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MAT 1720 A :Calcul différentiel
et intégral I
Approximationaffine (suite)
Estimation deserreurs
Les taux liés
MAT 1720 A : Calcul différentiel etintégral I
Paul-Eugène ParentDépartement de mathématiques et de statistique
Université d’Ottawa
le 5 octobre 2015
MAT 1720 A :Calcul différentiel
et intégral I
Approximationaffine (suite)
Estimation deserreurs
Les taux liés
Au menu aujourd’hui
1 Approximation affine (suite)
2 Estimation des erreurs
3 Les taux liés
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Rappel
Soit f : D → R une fonction différentiable tels que f (a) etf ′(a) nous sont donnés.Alors l’approximation affine de f au point a est
La( x︸︷︷︸a+∆x
) = f ′(a)(x − a︸ ︷︷ ︸∆x
) + f (a).
On écrit habituellement
f (a + ∆x) ≈ La(a + ∆x).
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Exemple
Calculez l’approximation affine de la fonction f (x) =√x + 3
au voisinage du point a = 1. Estimez les valeurs√3.98 et√
4.02.Solution : On doit calculer f (1) et f ′(1), c’est-à-dire,• f (1) =
√1 + 3 = 2 ;
• f ′(x) =1
2√x + 3
. Donc f ′(1) = 14 .
Conclusion : L’approximation affine est
L1(x) =x − 14
+ 2.
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Estimons d’abord√3.98.
√3.98 =
√0.98 + 3 = f (0.98)
≈ L1(0.98) =0.98− 1
4+ 2 = 1.995.
Comparons à la vrai valeur√3.98 ≈ 1.99499371.
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En un deuxième temps estimons√4.02.
√4.02 =
√1.02 + 3 = f (1.02)
≈ L1(1.02) =1.02− 1
4+ 2 = 2.005.
La vrai valeur est√4.02 ≈ 2.00499376.
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y =√x + 3
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Estimation des erreurs
Idée : Soit “a” une quantité obtenue suite à une mesure(exemple : longueur, masse, ...). Cette mesure n’est pasparfaite. Elle a certainement une erreur associée ∆xprovenant de celui qui a pris cette mesure, l’humain, etprovenant de l’instrument utilisé. Malgré cela nous voulonsl’utiliser afin d’évaluer une quantité f (a) (exemple : aired’une surface, le volume d’un objet, ...).Question : Etant donnée cette erreur ∆x attribuée à notremesure, quelle est l’erreur que l’on commet lors du calculf (a) ?
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On fait l’hypothèse que “vous” êtes un technicien compétentet que votre compagnie vous fournit des instruments de“bonne” qualité, c’est-à-dire,
∆x est petit !
On estime alors l’erreur associée à f (a) de la façon suivante :
| f (a + ∆x)− f (a)︸ ︷︷ ︸la vrai erreur
| ≈ |La(a + ∆x)− f (a)| = |f ′(a)| ·∆x .
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Exercice
Supposons que l’on mesure le rayon d’une sphère :r = (21± 0.05)cm. Si l’on calcule le volume de la sphère àl’aide de cette mesure alors quelle erreur faisons-nous ?Solution : Ici ∆r = 0.05. On se rappelle que le volume d’une
sphère est V =43πr3.
La dérivée est donc V ′ = 4πr2. On peut donc estimer l’erreur
∆V ≈ |V ′(21)| · 0.05 = 277.1 cm3.
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Cette erreur, est-elle grande ou petite ? Pour répondre àcette question nous introduisons la notion de
DéfinitionL’erreur relative associée à une valeur mesurée ou calculée“y ” est
∆y
y.
Dans notre exemple l’erreur relative associée au volume est
|V ′(21)|∆r
V (21)=
4π(21)2 ·∆r43π(21)3
= 0.007,
c’est-à-dire une erreur relative de 0.7%.
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L’erreur relative sur la mesure du rayon est
∆r
r=
0.0521
= 0.0024,
c’est-à-dire une erreur relative de 0.24%.ATTENTION : En général, le plus de calculs que vous faitesà l’aide d’une mesure, plus grande sera l’erreur associée à vosrésultats.
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1) On gonfle un ballon à un taux de 100 cm3/s. A quellevitesse le rayon s’accroît-il lorsque le diamètre atteint 50 cm ?Solution : Le volume, V (t), et le rayon, r(t), sont tous lesdeux des fonctions du temps.
• Nous savons quedV
dt= 100 cm3/s ; et
• ce que nous recherchonsdr
dt
∣∣∣∣r=25 cm
.
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Le volume et le rayon sont tous les deux liés par la relation
V =43πr3.
Donc
dV
dt= 4πr2 · dr
dtpar la dérivation en chaîne.
Conclusion :
dr
dt
∣∣∣∣r=25 cm
=1
4π(25)2dV
dt
=100
4π(25)2 ≈ 0.013 cm/s.
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2) Une échelle glisse vers le bas selon le dessin suivant.
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Quelle est la vitesse atteinte par le haut de l’échelle lorsque lepied de l’échelle est à 1.80m du mur ?Solution : Les positions du pied de l’échelle, x(t), et du hautde l’échelle, y(t), sont toutes les deux des fonctions dutemps.
• Nous savons quedx
dt= +0.3m/s ; et
• ce que nous recherchonsdy
dt
∣∣∣∣x=1.80m
.
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Estimation deserreurs
Les taux liés
Les deux quantités x et y sont liées par le Théorème dePythagore, c’est-à-dire,
x2 + y2 = 32 = 9.
En appliquant la dérivation en chaîne on trouve
2xdx
dt+ 2y
dy
dt= 0.
Doncdy
dt= −x
y
dx
dt= − x√
9− x2
dx
dt.
Conclusion :dy
dt
∣∣∣∣x=1.80m
= − 1.8√9− (1.8)2
· 0.3 = −0.225m/s.
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3) On remplit un réservoir d’eau à un taux de 2m3/min. Si leréservoir à la forme d’un cône tel qu’indiqué sur le dessin,alors à quelle vitesse le niveau d’eau s’accroît-il lorsquecelui-ci atteint 3m ?
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Solution : Le volume, V (t), et la hauteur, h(t), sont tous lesdeux des fonctions du temps.
• Nous savons quedV
dt= 2m3/min ; et
• ce que nous recherchonsdh
dt
∣∣∣∣h=3m
.
Les deux quantités V et h sont liées par la relation
V =13πr2h.
Deux variables ? ! ?
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En fait r et h sont liés par
Donc
V =13π
(h
2
)2
· h =112πh3.
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Les taux liésEn utilisant la dérivation en chaîne
dV
dt=
π
12· 3h2 · dh
dt.
Doncdh
dt
∣∣∣∣h=3m
=4π· 132 · 2 ≈ 0.28m/min.