mat potenciacao e radiciacao
TRANSCRIPT
Inclusão para a vida Matemática B
Pré-Vestibular da UFSC 1
UNIDADE 1
POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO
POTENCIAÇÃO
Definição
Potenciação é uma multiplicação de fatores iguais.
Sendo a R e a 0 e m Z. Tem-se que:
am = a. a. a. a. a..... a.
m fatores
Casos Particulares
a0 = 1 para a 0
a1 = a
a-n
= 1
a n
Propriedades
Se a e b são números reais e m e n, números inteiros,
tem-se:
am.a
n = a
m + n
a
aa
m
n
m n
(am)
n = a
m.n
(a.b)n = a
n.b
n
a
b
a
b
n n
n
Potência de base 10
Sabe-se que: 100 = 1
101 = 10
102 = 100
103 = 1000
Então 10n = 100...........00
n zeros
Observe ainda que: 10-1
= 10
1= 0,1
10-2
= 210
1= 0,01
10-3
= 310
1= 0,001
Então 10–n
= 0,000.............001
n casas decimais
RADICIAÇÃO
Definição
b é a raiz n-ésima de a, se bn = a.
Representação
n a = b b
n = a
Nomenclatura
Em n a = b, temos:
n é o índice
a é o radicando
b é a raiz
Condição de existência
Em n a , se n for par, então é necessário que a
seja maior ou igual a zero.
Se n for ímpar então n a sempre existe.
Propriedades
n.m an m a
n.p m.pa
n ma
n ma
mn a
nb
a
n b
n a
n a.bn b.n a
n
m
n m aa
Racionalização de denominadores
Dada uma fração com denominador contendo radical,
racionalizar o denominador é um processo no qual se
obtém uma fração equivalente a primeira sem, no entanto,
com o radical no denominador.
1º CASO: O denominador é do tipo n ma
Neste caso, multiplica-se numerador e denominador
pelo fator: n mna .
2º CASO: O denominador é do tipo ba
Neste caso, multiplica-se numerador e denominador
Pelo fator: ba
Matemática B Inclusão para a Vida
Pré-Vestibular da UFSC 2
Exercícios de Sala
1. Calcule:
a) 24
b) – 2
4 c) (– 2)
4
d) 17 e) 0
3 f) 214
0
g) 3-2
h)
4
3
2
2. Transforme cada expressão em uma única potência de
base 3.
a) 37 . 3
-5 . 3
6 = b)
33
53.
23
=
c) (34)
2 = d)
243 =
3. Calcule:
a) 25,0 b) 01,0
c) 3 125 d)
3 64
e) 2
4 9 f) 242223250
4. Racionalize:
a) 2
3 b)
5
5 c)
5 2
3 d)
35
2
Tarefa Mínima
1. Determine o valor das expressões:
a) 34
b) – 34 c) (– 3)
4
d) 1201
e) 080
f) 5000
g) 4-2
h)
3
2
5 i) 2
4 + 1
201 + 0
3 + 4
0
j) 4
2
3)
2(2
42)(
k)
12
2
3
3
2
2. Transforme cada expressão em uma única potência de
base 2.
a) 25.2
3.2
7 b)
4
2.)2(2323
3. Sendo A = 2100
, obtenha:
a) sucessor de A b) o dobro de A
c) quádruplo de A d) quadrado de A
e) metade de A f) raiz quadrada de A
4. Usando a definição, calcule o valor de cada uma das
raízes:
a) 4 625 b)
5 32 c) 5 0
d) 3 1 e)
16
81 f) 3 125,0
5. Racionalize:
a) 2
5 b)
3
6 c)
3 5
2 d)
23
5
Tarefa Complementar
6. O valor da expressão 01,0
)1,0.(100 3
é equivalente a:
a) 102 b) 10
3 c) 10
4 d) 10
5 e) 10
7. Assinale a soma dos números associados às proposições
corretas:
01. O número 573 é equivalente a 5,73. 102
02. O valor da expressão 5.108. 4.10
-2 é 2.10
7
04. Se n é par, então a expressão (– 1)2n
+ (– 1)2n + 1
é
zero.
08. A metade de 48 + 8
4 é 17.2
11
8. (Fuvest-SP) Qual desses números é igual a 0,064?
2 2 3 2 3
1 1 2 1 8a) b) c) d) e)
80 8 5 800 10
9. (FGV-SP) Qual o valor da expressão
,.....
.....1123
214212
bababa
bababaquando a = 10
3 e b = 10
2
a) 106 b) 10
2 c) 10
3 d) 10
9 e) 10
7
10. (FGV-SP) Simplificando a
expressão12
124
22
222nn
nnn
temos:
3
34d
3
82c
4
87b
4
3a ))))
11. (Cesgranrio) Se a2 = 99
6, b
3 = 99
7 e c
4 = 99
8, então
(abc)12
vale:
a) 9912
b) 9921/2
c) 9928
d) 9988
e) 9999
12. Determine a soma dos números associados às proposições
corretas:
Inclusão para a vida Matemática B
Pré-Vestibular da UFSC 3
01. A expressão
5
802045 é
equivalente a 153
02. O valor de 42222 é 2
04. O valor de 2
1
3
1
168 é 4
08. Racionalizando
2
4obtém-se 2 2
16. A expressão 3
5
5
3 é igual a
15
158
13. Calculando 35
1213
2:2
33 , acha-se:
a) 32 b) 34 c) 36
d) 38 e) n.d.a.
14. (UEL-PR) A expressão 122
1
22
1é
equivalente a:
a) – 1 b) 2 – 2 c) 2 + 2
d) 2 – 1 e) 2 + 1
15. (UEL-PR) Seja o número real
x =
15
522203500. Escrevendo x na forma x = a
+ b c , tem-se que a + b + c é igual a:
a) 5 b) 6 c) 7
d) 8 e) 9
UNIDADE 2
TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO
RETÂNGULO
Considere o triângulo retângulo ABC
Nesse triângulo podemos destacar os seguintes elementos:
___
AB e AC____
são os catetos
___
BC é a hipotenusa
C e
B são os ângulos agudos
Pelo teorema angular de Thales prova-se que os ângulos
agudos são complementares, ou seja, C
B = 90º
RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS:
SENO: seno de um ângulo agudo é o quociente entre
o cateto oposto ao ângulo e a hipotenusa.
CO-SENO: co-seno de um ângulo é o quociente entre
o cateto adjacente ao ângulo e a hipotenusa.
TANGENTE: tangente de um ângulo é o quociente
entre o cateto oposto ao ângulo e o cateto adjacente.
Sendo assim, temos que:
sen = a
b cos =
a
c tg =
c
b
Observação:
Se + = 90° tem-se que sen = cos
Tabela de arcos notáveis
Observe o triângulo equilátero. Traçando uma de suas
alturas, dividimos o triângulo em dois triângulos
retângulos congruentes.
Observe, agora, o quadrado. Nele traçamos a diagonal e
obtemos dois triângulos retângulos isósceles.
Em resumo, temos:
Matemática B Inclusão para a Vida
Pré-Vestibular da UFSC 4
Exercícios de Sala
1. (FUVEST) Obter o valor de x na figura:
2. No triângulo ABC, o valor do ângulo , em graus, é:
a) 60° b) 45° c) 30° d) 90° e) n.d.a.
3. (UFSC) Dois pescadores P1 e P2 estão na beira de m
rio de margens paralelas e conseguem ver um bote B na
outra margem. Sabendo que P1P2 = 63 m, os ângulos P1P2
= e BP2P1 = e que tg = 2 e tg = 4, a distância
entre as margens (em metros) é:
Tarefa Mínima
1. Nas figuras abaixo, determinar o valor de x
a)
30°
X12
b)
60°
X
6
c)
45°
x
5
2. Na cidade de pisa, situada na Itália, está localizada a
Torre de Pisa, um dos monumentos mais famosos do
mundo. Atualmente a torre faz, na sua inclinação, um
ângulo de 74º com o solo. Quando o sol está bem em cima
da torre (a pino) ela projeta uma sombra de 15 m de
comprimento. A que distância se encontra o ponto mais
alto da torre em relação ao solo?
(dados: sen 74º = 0,96 cos 74º = 0,28 tg74º = 3,4)
a) 55 metros b) 15 metros
c) 45 metros d) 42 metros
e) 51 metros
3. (UFSC) Num vão entre duas paredes, deve-se construir
uma rampa que vai da parte inferior de uma parede até o
topo da outra. Sabendo-se que a altura das paredes é de
4 3 m e o vão entre elas é de 12m, determine o ângulo,
em graus, que a rampa formará com o solo.
4. Na figura abaixo, determinar o valor de x e y.
Tarefa Complementar
5. Com base na figura abaixo é correto afirmar:
01. h = 2 m
02. h = 3m
04. a = (1 + 3 ) m
08. O triângulo ACD é isósceles
Inclusão para a vida Matemática B
Pré-Vestibular da UFSC 5
16. O lado
____
AC mede 6m
6. Um barco navega seguindo uma trajetória retilínea e
paralela à costa. Num certo momento, um coqueiro situado
na praia é visto do barco segundo um ângulo de 20º com
sua trajetória. Navegando mais 500 m, o coqueiro fica
posicionado na linha perpendicular à trajetória do barco.
Qual é a distância do barco à costa? (sen 20º = 0,34; cos 20
= 0,93; tg 20º = 0,36)
7. Determine o valor de x e y na figura abaixo:
8. (Unicamp-SP) Uma pessoa de 1,65 m de altura observa
o topo de um edifício conforme o esquema abaixo. Para
sabermos a altura do prédio, devemos somar 1,65m a:
a) b cos b) a cos c) a sen
d) b tg e) b sen
9. (UEPG-PR) Na figura abaixo, em que o ponto B
localiza-se a leste de A, a distância
___
AB = 5 km. Neste
momento, um barco passa pelo ponto C, a norte de B, e
leva meia hora para atingir o ponto D. A partir destes
dados, assinale o que for
correto.
01.
___
AC = 10km
02.
___
AD = 2,5 km
04.
____
BC = 5 3 km
08. O ângulo DAB ˆ mede 60°
16. A velocidade média do barco é de 15km/h
10. (UFSC) Na figura, abaixo, determine o valor de x
30° 60°
A
B
CD
AD = x DC= x - 38 BD = y
UNIDADE 3
TEOREMA DOS CO-SENOS
Num triângulo qualquer, o quadrado da medida de um lado
é igual à soma dos quadrados das medidas dos outros dois
lados, menos duas vezes o produto das medidas destes
lados pelo co-seno do ângulo formado por eles.
TEOREMA DOS SENOS
Num triângulo qualquer, os lados são proporcionais aos
senos dos ângulos opostos. A razão de proporção é o
diâmetro da circunferência circunscrita ao triângulo.
Exercícios de Sala
1. Determine o valor de x na figura abaixo:
2. (FUVEST) Em um triângulo ABC, AB = 4 2 e o
ângulo C oposto ao lado AB mede 45°. Determine o
raio da circunferência que circunscreve o triângulo
3. Determine o valor de x na figura abaixo
4. Determine o valor da diagonal BD do paralelogramo
abaixo, é:
Matemática B Inclusão para a Vida
Pré-Vestibular da UFSC 6
Tarefa Mínima
1. Determine o valor de x na figura abaixo:
2. (UFSC) Na figura, a medida do lado AC é 75 2 cm. A
medida, em cm, do lado AB será:
A
B C
45° 30°
3. O triângulo ABC está inscrito na circunferência de
centro O e raio R. Dado que AC = 2 3 cm, determine a
soma dos números associados às proposições verdadeiras:
75°
60°
O
A
B C
01. O triângulo ABC é equilátero
02. o raio da circunferência vale 2cm
04.
___
AB = 2 2 cm
08. O comprimento da circunferência é 4 cm
4. (PUC-SP) Dois lados consecutivos de um
paralelogramo medem 3 2 cm e 5cm e formam um
ângulo de 45°. Podemos afirmar que a diagonal menor, em
centímetros, mede:
a) 4 b) 11 c) 3
d) 13 e) 4 2
5. (FUVEST) Um triângulo T tem os lados iguais a 4, 5 e
6. O co-seno do maior ângulo de T é:
a) 5/6 b) 4/5 c) 3/4
d) 2/3 e) 1/8
Tarefa Complementar
6. (CESGRANRIO) No triângulo ABC, os lados AC e BC
medem respectivamente 8cm e 6cm, respectivamente, e o
ângulo A vale 30°. O seno do ângulo B vale:
a) ½ b) 2/3 c) 3/4
d) 4/5 e) 5/6
7. (FUVEST-SP) Numa circunferência está inscrito um
triângulo ABC; seu lado
___
BC é igual ao raio da
circunferência. O ângulo B A C mede:
a) 15° b) 30°
c) 36° d) 45°
e) 60°
8. (ITA-SP) Um navio, navegando em linha reta, passa
sucessivamente pelos pontos A, B e C. O comandante,
quando o navio está em A, observa o farol L e mede o
ângulo L A C = 30°. Após navegar 4 milhas até B, verifica
o ângulo L B C = 75°. Quantas milhas separam o farol do
ponto B?
a) 2 2 b) 3
c) 2 3 d) 3 2
e) 4 2
9. Num triângulo ABC, AB = 5cm, AC = 7cm e BC = cm.
Calcule o comprimento da mediana relativa ao lado BC.
10. (FUVEST) No quadrilátero dado a seguir, BC = CD =
3cm, AB = 2cm, A D C = 60° e A B C = 90°.
A B
D
C
O perímetro do quadrilátero, em cm, é:
a) 11 b) 12 c) 13
d) 14 e) 15
Inclusão para a vida Matemática B
Pré-Vestibular da UFSC 7
UNIDADE 4 e 5
INTRODUÇÃO À CIRCUNFERÊNCIA
TRIGONOMÉTRICA
ARCO DE UMA CIRCUNFERÊNCIA
Arco de uma circunferência é cada uma das partes que
ficam divididas uma circunferência por dois quaisquer de
seus pontos.
A cada arco corresponde um ângulo central (ângulo que
possui vértice no centro da circunferência).
Para medir arcos e ângulos usaremos o grau e o radiano.
Graus: Um arco de um grau (1º) é aquele cujo
comprimento é igual a 1
360do comprimento da
circunferência.
Logo, a circunferência tem 360º.
Os Submúltiplos do Grau são os minutos e segundos:
1º = 60' 1'= 60''
Radiano: Um radiano é um arco cuja medida é igual ao
raio da circunferência onde está contido.
Uma circunferência de raio unitário possui 2 radianos.
Pode-se, então, estabelecer uma relação entre graus e
radianos.
360º 2 rad
Portanto: 180º rad
CICLO TRIGONOMÉTRICO
Quando numa circunferência de raio unitário se estabelece
um sentido de deslocamento, diz-se que se define o ciclo
trigonométrico.
Os eixos x e y dividem o ciclo em quatro partes
denominadas quadrantes.
ORIENTAÇÃO Negativo Horário
Positivo Horário Anti
ARCOS CÔNGRUOS
Dois ou mais arcos são côngruos quando a diferença entre
seus valores é um múltiplo de 360º.
Exemplo: 1) 30º, 390º, 750º, 1110..........
Veja que esses arcos possuem a mesma extremidade e
diferem apenas no número de voltas.
A expressão x = 30º + 360º . k, com k Z, é denominada
expressão geral do arco de 30º, onde 30º é a primeira
determinação positiva.
A expressão geral dos arcos côngruos a ele é dada por:
+ k . 360º, com k Z.
Se um arco mede radianos, a expressão geral dos
arcos côngruos a ele é dada por:
+ k . 2 , com k Z.
SENO e CO-SENO DE UM ARCO
DEFINIÇÃO
Considere o arco que possui extremidades na origem do
ciclo trigonométrico e no ponto M o qual corresponde o
ângulo central .
Matemática B Inclusão para a Vida
Pré-Vestibular da UFSC 8
Denomina-se sen a projeção do raio OM, pela
extremidade M do arco sobre o eixo y.
Denomina-se cos a projeção do raio OM, sobre o eixo x.
2. Sinais
TABELA
Note que: – 1 sen 1 e – 1 cos 1
OBSERVAÇÃO: Com o auxílio da simetria de arcos é
possível determinar os valores de seno e co-seno de arcos
do 2º, 3º e 4º quadrantes.
Equações trigonométricas num intervalo dado:
Equações Trigonométricas são aquelas que envolvem as
funções Trigonométricas em seus membros.
São exemplos de equações trigonométricas:
1) sen x = 1
2) 2cos2 x + 3cos x - 2 = 0
Não é possível estabelecer um método para resolver todas
as equações trigonométricas, pois, existe uma infinidade
delas. Para isso apresentaremos alguns tipos básicos:
sen x = sen a x a k
x a k
2
2
(congruos)
(suplementares)
cos x = cos a x a k
a k
2
2
(congruos)
x (suplementares)
Exercícios de Sala
1. Expresse em radianos os seguintes arcos:
a) 300º b) 60º c) 12º
2. Um arco de 200° equivale em radianos a:
a) 3
2 b)
2
5 c) 4 d)
9
10 e) 6
Inclusão para a vida Matemática B
Pré-Vestibular da UFSC 9
3. Calcule a 1ª determinação positiva e escreva a
expressão geral dos arcos côngruos a:
a) 930º b) 23
6rad
4. Determine o valor de:
a) sen 150°
b) cos 150°
c) sen 210°
d) cos 210°
e) sen 330°
f) cos 330°
5. Para que valores de m a equação cos x = 2m – 5
admite solução.
a) - 1 m 1
b) - 2 m 5
c) 2 m 3
d) 2 < m < 3
e) 1 < m < 2
Tarefa Mínima
1. Obter a medida em graus dos seguintes arcos:
a) 3
2
b) 6
2. (UFMG) Transformando 7º30' em radianos, teremos:
a) /24
b) /25
c) /30
d) 3 /25
e) 5 /32
3. Determine o valor da expressão
180cos0sen
270sen.180cos0cos.90sen22
4. Se sen x > 0 e cos x < 0, então x é um arco do:
a) 1º quadrante
b) 2º quadrante
c) 3º quadrante
d) 4º quadrante
e) n.d.a.
5. A equação sen x = 2m – 5 admite solução para:
a) 2 m 3
b) 1 m 4
c) -1 m 1
d) 2 < m < 3
e) 0 m 1
6. Resolver, no intervalo 0 x < 2 , as seguintes
equações:
a) sen x = 1
b) cos x = 0
c) sen x = 2
1
d) cos x = 2
2
7. Sabendo que 0 x < 2 , o conjunto solução da
equação: sen 2 x 3sen x 4 = 0 é:
a) {90º}
b) {-90º}
c) {270º}
d) {180º}
e) {30º}
Tarefa Complementar
8. (Mack-SP) A menor determinação positiva de 4900º é:
a) 100° b) 140º c) 40º
d) 80º e) n.d.a.
9. (UFPA) Qual a 1ª determinação positiva de um arco
de 1000º?
a) 270º b) 280º c) 290º
d) 300º e) 310º
10. (SANTO AMARO-SP) Às 9 horas e 10 minutos, o
menor ângulo formado pelos ponteiros de um relógio é:
a) 135º b) 140º c) 145º
d) 150º e) n.d.a.
11. (UFPR) O maior ângulo formado entre os ponteiros
de um relógio, às 23h45min, vale:
a) 189º30' b) 277º30' c) 270º
d) 254º45' e) 277º50'
12. (UFSC) O maior valor numérico que y pode assumir
quando y37 2senx
3, é:
13. (UFPA) O menor valor positivo que satisfaz a equação
2 sen x = 1 é:
a) /6 b) /4 c) /3
d) /2 e) n.d.a.
Matemática B Inclusão para a Vida
Pré-Vestibular da UFSC 10
14. (UM-SP) O menor valor positivo de x para o qual
9- cos x
= 1
3 é:
2
6 4 3 2 3a) b) c) d) e)
15. Determinar o número de soluções da equação
2sen x cos x = sen x no intervalo 0 x < 2 .
UNIDADE 6
RELAÇÕES FUNDAMENTAL DA
TRIGONOMETRIA
sen2 + cos
2 = 1 (Relação Fundamental)
A relação acima também vale para arcos com
extremidades fora do primeiro quadrante.
Exemplos: sen230° + cos
230° = 1
sen2130° + cos
2130° = 1
Convém lembrar que se + = 90°, sen = cos .
Logo, vale também relações do tipo:
sen2 50° + sen
2 40° = 1
sen 210° + sen
2 80° = 1
TANGENTE DE UM ARCO
DEFINIÇÃO
Associa-se a circunferência trigonométrica mais um eixo,
a reta t, que tangencia a circunferência no ponto P de
coordenadas (1,0). Define-se como tangente do arco PM
ao segmento PQ determinado sobre o eixo das tangentes.
SINAIS
TABELA
EQUAÇÃO TRIGONOMÉTRICA
tg x = tg a x a k2
Exercícios de Sala
1. Sabendo que sen x = 3
2 e que x
2, calcule
cos x:
2. (FCChagas-BA) As sentenças sen x = a e cos x =
2 a 1 são verdadeiras para todo x real, se e somente
se:
a) a = 5 ou a = 1 b) a = -5 ou a = -1
c) a = 5 ou a = 1 d) a = 1
e) n.d.a.
Inclusão para a vida Matemática B
Pré-Vestibular da UFSC 11
3. Resolver no intervalo 0 x < 2 , a equação
2cos2x = – 3sen x
4. Determina o valor de:
a) tg 120° b) tg 210° c) tg 330°
5. Resolva no intervalo 0 x < 2 as seguintes equações:
a) tg x = 3
3 b) tg
2x – 1 = 0
Tarefa Mínima
1. No intervalo 22
3x se sen x =
3
1, calcule
cos x.
2. (UFSC) O valor, em graus, do arco x 02
x na
equação: 1 cos2x + sen x = 0 é:
3. O valor de tg 315° + tg 225° é
4. (UFSC) Considere o ângulo x = 1215°. Determine |tg x |
5. Resolva as seguintes equações no intervalo 0 x < 2
a) tg x = 3
b) tg2x + tg x = 0
Tarefa Complementar
6. Determine m de modo que se obtenham
simultaneamente, sen x = m e cos x = m33
7. No intervalo 0 x < 2 , determine o número de
soluções para a equação 2cos2x = 5 – 5sen x.
8. (FURG-RS) O valor numérico da função f(x) = sen2x –
tg x + 2cos 3x para x = 4
3é:
9. (PUC-RS) O valor numérico de
x
xtg
x
cos3
4
32
2sen
para x = 3
é:
a) 5/2 b) 5/3 c) 3/2 d) 2/5 e) 0
10. No intervalo 0 x < 2 , a equação 3 tg2x + tg x = 0
possui quantas soluções?
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
UNIDADE 7
RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
sen2 x + cos
2 x = 1 (Relação Fundamental)
As demais Relações Trigonométricas com as condições de
existência obedecidas são:
tg x = sen x
cos x cotg x = 1
tg x
sec x = 1
cos x cossec x =
x sen
1
A partir da relação sen2 x + cos
2 x = 1 podemos
estabelecer duas relações derivadas.
Dividindo a Relação Fundamental por sen2 x temos:
1 + cotg2 x = cossec
2 x
E dividindo a Relação Fundamental por cos2 x temos:
tg2 x + 1 = sec
2 x
Sinais das Funções Trigonométricas
1°Q 2°Q 3°Q 4°Q
seno e cossecante + +
cosseno e secante + +
tangente e cotangente + +
Exercícios de Sala
1. Determine o valor de:
a) cossec 30° b) sec 30°
c) cotg 30° d) cossec 210°
e) sec 315° f) cotg 300°
2. Sendo sen = 5
4 e 2
2
3, calcular:
a) cos b) tg c) cotg
d) sec e) cosec
Matemática B Inclusão para a Vida
Pré-Vestibular da UFSC 12
Tarefa Mínima
1. Determine o valor de:
a) sec 60o
b) cossec 150
o c) cotg 315
o
2. (Faap-SP)Se sen x = 3/5, com x 4º quadrante,
então tg x é:
a) 3/4 b) 1/2
c) 4/5 d) 3/4
e) 4/5
3. ( UFSC ) Dados sen x =3
5 e
2x , determine
o valor de: 32 tg x + 1
4. ( FGV-SP ) Simplificando-se a expressão
sena tga coseca
cosa cotga seca, obtém-se:
a) 0 b) sec2a
c) sen2a d) 1
e) tg2a
Tarefa Complementar
5. (UFSC)Sabendo que cossec x = 5/4 e x é do primeiro
quadrante, então o valor da expressão 9.(sec2 x + tg
2 x) é:
6. (UFSC) Calcule o valor numérico da expressão:
sen30 cos120 cosec150 cotg330
sec300 tg60 cotg225
7. (UFCE) Para todo x 1º quadrante, a expressão
(sec x - tg x)(sec x + tg x) sen2x é igual a:
a) cos2x b) 1 + sen
2x
c) cos x - sen x d) sec x + cos x
e) n.d.a.
8. Determine a soma dos números associados à(s)
proposição(ões) correta(s).
01. A medida em radianos de um arco de 225º é
6
11πrad.
02. A menor determinação positiva de um arco de
1000° é 280°.
04. Os valores de m, de modo que a expressão
sen x = 2m – 5 exista, estão no intervalo [2,3].
08. sen x > cos x para 44
x .
16. Se tg x = 4
3e x
2
3 , então o valor de
sen x – cos x é igual a 5
1.
32. Se sen x 0, então cosec x 0.
64. A solução da equação 2sen2x + 3sen x = 2 para
0 x 2 é x = 6
ou x =
6
5 .
9. (UFSC) Dado sen x = 3
5 e x 0
2, calcule o
valor numérico da expressão:
sec x cotgx cosecx tgx
6 senx cosec x
2
2
1
10. (FATEC) Se x e y são números reais tais que
y = xxtgx
xtgee xx
sec.sec 2
4
, então:
a) y = ex
b) y = e
x(1 + tg x)
c) y = x
ex
cos d) y =
x
ex
sec
e) n.d.a.
UNIDADES 8 e 9
GEOMETRIA ANALÍTICA
ESTUDO DO PONTO
O sistema cartesiano ortogonal, como já vimos em
funções, é composto por duas retas x e y perpendiculares
entre si, no ponto O (origem). A reta x é denominada eixo
das abscissas, e a reta y é denominada eixo das ordenadas.
Os dois eixos dividem o plano em quatro regiões
denominadas quadrantes numerados no sentido anti-
horário.
A cada ponto do plano cartesiano está associado um par
ordenado (x, y).
Inclusão para a vida Matemática B
Pré-Vestibular da UFSC 13
Dizemos que (xp, yp) são as coordenadas do ponto P, onde
o número real xp é chamado abscissa do ponto e o número
real yp é chamado ordenada do ponto.
OBSERVAÇÕES
Se um ponto pertence ao eixo das abscissas, então sua
ordenada é nula.
P (xp, 0)
Se um ponto pertence ao eixo das ordenadas, então sua
abscissa é nula.
P (0, yp)
Se um ponto P pertence à bissetriz dos quadrantes
ímpares, então suas coordenadas são iguais
xp = yp
Se um ponto P pertence à bissetriz dos quadrantes
pares, então suas coordenadas são simétricas.
xp = - yp
DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS
Dados dois pontos A(xA, yA) e B(xB, yB) no plano
cartesiano, a distância entre eles pode ser calculada em
função de suas coordenadas. Observe a figura abaixo:
O triângulo ABC é retângulo em C, então:
AB AC BC2 2 2
Daí vem a fórmula que calcula a distância entre dois
pontos:
d x x y yAB B A B A2 2
PONTO MÉDIO DE UM SEGMENTO
Considere um segmento AB de extremidades A(xA, yA) e
B(xB, yB). Encontrar as coordenadas do ponto Médio
M(xM, yM) é encontrar a média aritmética entre as
coordenadas de A e B.
Observe a figura:
Pelo teorema de Tales temos que AM = MB, logo,
no eixo x tem-se:
xM xA = xB xM xx x
MA B
2
no eixo y tem-se:
yM yA = yB yM yy y
MA B
2
Dessa forma as coordenadas do Ponto Médio terão as
seguintes coordenadas:
Mx x y yA B A B
2 2
ÁREA DE UM TRIÂNGULO CONHECENDO AS
COORDENADAS DO VÉRTICE
Considere o triângulo abaixo:
y
x
yC
xA
B
yA
xB
A
yB
xC
C
Quando conhecemos as coordenadas dos vértices A, B e C
podemos demonstrar que a área desse triângulo é dada por:
A =
1
1
1
.2
1
CC
BB
AA
yx
yx
yx
OBSERVAÇÕES:
O determinante
x y
x y
x y
A A
B B
C C
1
1
1
foi tomado em módulo,
pois a área é indicada por um número positivo.
Se o determinante
x y
x y
x y
A A
B B
C C
1
1
1
for nulo, dizemos
que os pontos estão alinhados.
Exercícios de Sala
1. Dados os pontos A(3, 6) e B(8, 18), determine:
a) distância entre A e B
b) Ponto Médio do segmento AB
Matemática B Inclusão para a Vida
Pré-Vestibular da UFSC 14
2. Sabe-se que o ponto P(a,2) é eqüidistante dos pontos
A(3,1) e B(2,4). Calcule a abscissa a do ponto P.
3. Considere o triângulo de vértices A(6,8); B(2,3);
C(4,5). O valor da medida da mediana AM do triângulo
ABC é:
a) 3 b) 4 c) 5
d) 6 c) 7
4. Os pontos A(2, 4), B(-6, 2) e C(0, -2) são os vértices de
um triângulo ABC. Calcule a área desse triângulo.
Tarefa Mínima
1. (Mack-SP) Identifique a sentença falsa:
a) o ponto (0,2) pertence ao eixo y.
b) o ponto (4,0) pertence ao eixo x.
c) o ponto (500,500) pertence à bissetriz dos
quadrantes ímpares.
d) o ponto (80,-80) pertence à bissetriz dos quadrantes
pares.
e) o ponto ( 3 + 1, 3 + 1) pertence à bissetriz dos
quadrantes pares.
2. (Cesgranrio) A distância entre os pontos M(4,-5) e
N(-1,7) do plano x0y vale:
3. (UFRGS) A distância entre os pontos A(-2,y) e B (6,7)
é 10. O valor de y é:
a) -1 b) 0 c) 1 ou 13
d) -1 ou 10 e) 2 ou 12
4. ( Cescea-SP ) O ponto do eixo das abscissas,
eqüidistantes dos pontos P(-2,2) e Q(2,6), é:
a) A(2,0) b) B(5,0) c) C(3,0)
d) D(0,2) e) E(4,0)
5. Calcular a área do triângulo ABC. Dados: A(8, 3); B(4,
7) e C(2, 1)
Tarefa Complementar
6. (UFSC) Dados os pontos A(-1,-1); B(5,-7) e C(x,2),
determine x sabendo que o ponto C é eqüidistante dos
pontos A e B.
7. (FCC-BA) O triângulo cujos vértices são os pontos
(1,3), (-2,-1) e (1, -2) é:
a) eqüilátero b) escaleno
c) isósceles d) retângulo
e) n.d.a.
8. (PUC-SP) Dados A(4,5), B(1,1) e C(x,4), o valor em
módulo de x para que o triângulo ABC seja retângulo em
B é:
9. (UFJF-MG) Se (2,1), (3,3) e (6,2) são os pontos
médios dos lados de um triângulo, quais são os seus
vértices?
a) (-1,2), (5,0), (7,4)
b) (2,2), (2,0), (4,4)
c) (1,1), (3,1), (5,5)
d) (3,1), (1,1), (3,5)
10. (UCP-RJ) A distância da origem do sistema
cartesiano ao ponto médio do segmento de extremos
(-2,-7) e (-4,1) é:
a) 3 b) 2 c) -3 d) 1 e) 3 2
11. (Mack-SP) A área de um triângulo é 25/2 e os seus
vértices são (0,1), (2,4) e (-7,k). O valor de k pode ser:
a) 3 b) 2,5 c) 2 d) 4 e) 5
12. A área do polígono, cujos vértices consecutivos são:
A(10,4), B(9,7), C(6,10), D(-2,-4) e E(3,-5) em
unidades de área, é:
UNIDADE 10
ESTUDO DA RETA
Pode-se associar a cada reta no plano cartesiano uma
equação. Com tal equação podemos determinar se um
ponto pertence ou não a uma reta. Dois tipos de equação
merecem destaque:
A Equação Geral
A Equação Reduzida
EQUAÇÃO GERAL DA RETA
A Equação Geral da reta pode ser obtida pela condição de
alinhamento de 3 pontos.
Sejam A(xA, yA), B(xB, yB) e um ponto genérico P(x, y).
A, B e P estão alinhados se e só se:
x y
x y
x y
A A
B B
1
1
1
0
Desenvolvendo 0
1
1
1
BB
AA
yx
yx
yx
temos:
x . yA + xA . yB + y . xB yA . xB x . yB y . xA = 0
(yA yB) x + (xB xA) y + xAyB xByA = 0 a b c
Inclusão para a vida Matemática B
Pré-Vestibular da UFSC 15
Logo: ax + by + c = 0 equação geral da reta.
2. Equação Reduzida da Reta
Pode-se obter a equação reduzida da reta se isolando na
equação geral y.
Veja: ax + by + c = 0
by = ax c
ya
b
c
b substituindo
a
bpor m e
c
b por n temos:
y = mx + n Equação Reduzida da Reta
No qual o coeficiente m é denominado coeficiente angular
da reta, e n o coeficiente linear da reta.
3. Coeficiente Angular e Linear da
Reta
Vamos considerar a equação y = mx + n. Sabemos que m é
o coeficiente angular da reta e n, o coeficiente linear da
reta.
Vejamos, agora, o significado geométrico deles.
COEFICIENTE LINEAR
O coeficiente linear vai indicar o ponto em que a reta corta
o eixo y.
COEFICIENTE ANGULAR
Define-se como coeficiente angular da reta a tangente do
ângulo , onde indica a inclinação da reta em relação ao
eixo x.
m = tg ou
Ax
Bx
Ay
By
m
CASOS PARTICULARES
Quando a reta é paralela ao eixo x o ângulo é igual a
0, logo, o coeficiente angular será nulo, pois tg 0º = 0.
Quando a reta é paralela ao eixo y o ângulo é igual a
90º, logo, o coeficiente angular não existe, pois tg 90º
não é definido.
4. Equação do Feixe de Retas
Pode-se conhecer a equação de uma reta r, quando é dado
um ponto Q(xo, yo) e o coeficiente angular dessa reta. Para
isso, usa-se a relação: y yo = m(x xo)
Exercícios de Sala
1. Em relação à reta r que passa pelos pontos A(2, 5) e
B(4, 9), determine:
a) equação geral
b) equação reduzida
c) coeficiente angular e linear da reta
2. Determine o coeficiente angular das retas abaixo:
a) r: 2x + 3y + 1 = 0
b)
c)
3. Determine a equação da reta representada pela figura
abaixo:
Matemática B Inclusão para a Vida
Pré-Vestibular da UFSC 16
Tarefa Mínima
1. Em relação à reta r que passa pelos pontos A(1, 2) e
B(2, - 3), determine:
a) equação geral
b) equação reduzida
c) coeficiente angular e linear da reta
2. Considere a reta r indicada pela figura abaixo
Assinale a soma dos números associados às
proposições corretas:
01. A equação da reta r é y = x – 1
02. o coeficiente linear da reta r é – 1
04. o menor ângulo que a reta r determina no eixo x é
45o
08. a reta r passa pelo ponto de coordenadas (5, 3)
16. a reta r intercepta o eixo x no ponto de
coordenadas (1,0)
3. Determine a equação da reta r indicada abaixo
4. (FGV-SP) Os pontos A(-1, m) e B(n, 2) pertencem à
reta 2x - 3y = 4. A distância entre A e B é:
a) 3 b) 3,25 c) 2 13
d) 2 e) 9
5. (Fac. Moema-SP) O coeficiente linear e angular da
reta 2x 3y + 1 = 0 são, respectivamente:
a) 2 e 3 b) 2/3 e 1
c) 2/3 e 1/3 d) 1/3 e 2/3
e) n.d.a.
Tarefa Complementar
6. A equação da reta que passa pelo ponto (2, 4) e tem
coeficiente angular 3.
7. Considere as retas r e s indicadas abaixo:
Determine a soma dos números associados às
proposições corretas:
01. A equação da reta r é x + 2y – 4 = 0
02. A equação da reta s é x – y – 1 = 0
04. o ponto de intersecção das retas r e s possui
coordenadas (2, 1)
08. A reta s passa pelo ponto de coordenadas (6,3)
8. (UFSC) As retas r, dada pela equação 3x - y + 7 = 0,
e s, dada pela equação 4x - y - 5 = 0, passam pelo
ponto P(a,b). O valor de a + b é:
9. Calcular a área da região limitada pelas retas y = 5,
5x + 2y - 95 = 0, x = 0 e y = 0.
10. (UFPR) No plano cartesiano os pontos A(1, -1),
B(3,1), C(3,5) e D(-1, 5) são os vértices de um
quadrado. É correto afirmar que:
01. a origen do sistema de coordenadas está no interior
do quadrado.
02. a reta r que passa por A e B tem coeficiente
angular 1/2
04. a reta cuja equação é x + y – 4 = 0 contém a
diagonal BD do quadrado.
08. a reta r do item 04 intercepta o eixo y no ponto
(0, -4)
16. o centro do quadrado é o ponto (1,3)
UNIDADE 11
ESTUDO DA RETA
POSIÇÃO RELATIVA ENTRE 2 RETAS
No plano cartesiano duas retas r e s podem ser:
Concorrentes
Paralelas
Coincidentes
Inclusão para a vida Matemática B
Pré-Vestibular da UFSC 17
Considere as retas r e s de equações:
r = m1x + n1 e s = m2x + n2
Assim, podemos ter as seguintes situações:
PARALELAS DISTINTAS:
m1 = m2
PARALELAS COINCIDENTES:
m1 = m2 e n1 = n2
CONCORRENTES
m1 m2
CONCORRENTES E PERPENDICULARES:
m1 . m2 = 1
DISTÂNCIA DE PONTO À RETA
Considere um ponto P(x0 , y0) e uma reta r: ax + by + c =
0, a distância do ponto P a reta r pode ser calculada pela
expressão:
Exemplo: Calcular a distância entre o ponto P(4, 3) e a reta
r de equação 5x + 2y 6 = 0.
Resolução: 45
20
34
63.24.5
22ddd
Portanto a distância entre P e r é de 4 unidades.
Exercícios de Sala
1. Considere a reta r indicada pela figura abaixo:
Determinar:
a) a equação da reta s que passa pelo ponto P(3, 5) e é
paralela à reta r.
b) a equação da reta t que passa pelo ponto P(4, 3) e é
perpendicular à reta r.
2. Determine a distância do ponto A(2, 3) à reta r de
equação y = 2x + 5.
3. (UFSC) Considere as retas r: kx + 5y -7 = 0 e s: 4x + ky
-5 = 0. Determine a soma dos números associados à(s)
proposição(ões) VERDADEIRA(S).
01. O valor de k para que a reta r passe pelo ponto
(1, -2) é 17.
02. O valor de k para que as retas r e s se interceptam
no ponto 07
5 é 25/7.
04. As retas r e s são paralelas para k = 2 5 .
08. A equação geral da reta que é perpendicular à reta s
no ponto (2,1) é 3x + 4y -10 = 0.
16. Sendo k = 0, então a distância do ponto (-1,3) à reta
r é 20.
Tarefa Mínima
1. (UFRGS) As retas com equações respectivas 4x + 2y -
4 = 0 e 4x - 3y + 12 = 0:
a) são paralelas
b) são coincidentes
c) são concorrentes mas não perpendiculares.
d) interceptam-se no 1º quadrante e são
perpendiculares.
e) interceptam-se no 4º quadrante e são
perpendiculares.
2. A equação da reta que passa pelo ponto P(-3, 5) e é
paralela à reta de equação 5x + y = 0 é:
a) 5x + y + 10 = 0 b) – 5x + y + 10 = 0
c) 5x – y + 10 = 0 d) 5x – y – 10 = 0
e) – 5x + y – 10 = 0
3. (Cesgranrio-RJ) Se as retas (r) x + 2y + 3 = 0 e (s) ax +
3y + 2 = 0 são perpendiculares, então o parâmetro a vale:
a) – 2 b) 2 c) – 6 d) 6 e) – 3
4. Considere o triângulo de vértices A(0,0), B(1,4) e
C(4,1). A altura em relação à base BC mede:
5. (UEL-PR) A distância entre as retas de equações x - y
+ 2 = 0 e 2x - 2y + k = 0 é igual a 2 se, e somente se:
a) k = 0 b) k = 4 c) k = 8
d) k = 0 ou k = 8 e) k = -4 ou k = 8
Matemática B Inclusão para a Vida
Pré-Vestibular da UFSC 18
Tarefa Complementar
6. (UFSC) Dados os pontos A(1, 1), B( 1, 3) e C(2, 7),
determine a medida da altura do triângulo ABC relativa ao
lado BC.
7. (UFSC) De acordo com o gráfico abaixo, assinale
a(s) proposição(ões) VERDADEIRA(S).
01. A equação da reta s é 3x – 2y + 6 = 0.
02. A reta s e a reta r são perpendiculares.
04. As retas r e s se interceptam no ponto de
abscissa 5
4.
08. A distância da origem do sistema de
coordenadas cartesianas à reta r é de 2
2
unidades.
16. A área da região do plano limitada pelas retas r,
s e pelo eixo das abscissas é igual a 10
3
unidades de área.
8. (UFRGS) Os pontos A(-1,3) e B(5,-1) são
extremidades de uma das diagonais de um quadrado. A
equação da reta suporte da outra diagonal é:
a) 2x - 3y - 1 = 0
b) 2x + 3y - 7 = 0
c) 3x + 2y - 8 = 0
d) 3x - 2y - 4 = 0\
9. A medida da altura do trapézio cujos vértices são os
pontos A(1, 1), B(6, 1), C(2, 3) e D(4, 3) é:
10. ( U. E. Maringá-PR ) Considere as retas r, s e t, dadas
no gráfico ao lado. Sabe-se que a equação de r é 2y = x –
3, que os pontos B e C são simétricos em relação ao eixo
das abscissas, que as retas r e s são paralelas e que t é
perpendicular a r. Nessas condições, é correto afirmar que:
01. o ponto A sobre o eixo x, interseção de r e t, é (2,0).
02. o ponto C é (0, 2
3 ).
04. a distância entre r e s é 3.
08. os coeficientes angulares das retas r, s e t são,
respectivamente, 2
1 ,
2
1 e –2.
16. a equação da reta t é y = –2x + 6.
32. a equação da reta horizontal que passa por A é
x = 0.
64. a equação da reta vertical que passa por A é x = 3.
UNIDADE 12
GEOMETRIA ANALÍTICA
ESTUDO DA CIRCUNFERÊNCIA
DEFINIÇÃO
Recebe o nome de circunferência o conjunto de pontos de
um plano que se equidistam de um ponto C denominado
centro da circunferência. Essa distância é denominada raio
da circunferência.
R
C
EQUAÇÃO DA CIRCUNFERÊNCIA
Seja C(a, b) o centro da circunferência e P(x, y) um ponto
genérico pertencente à circunferência, a distância de C a P
é o raio da circunferência.
Inclusão para a vida Matemática B
Pré-Vestibular da UFSC 19
Pode-se escrever a equação da circunferência das seguintes
formas:
Equação Reduzida:
(x a)2 + (y b)
2 = R
2
Exemplo: Determine equação da circunferência de raio
3 e centro C(2, 5):
Resolução: (x )2 + (y )
2 = R
2
(x 2)2 + (y 5)
2 = 3
2
Logo, a equação procurada é: (x 2)2 + (y 5)
2 = 9
CASO PARTICULAR: Se a circunferência possuir
centro na origem então a equação
(x )2 + (y )
2 = R
2
fica reduzida a: x2 + y
2 = R
2
Equação Geral:
A Equação Geral da circunferência é obtida
desenvolvendo a equação reduzida. Veja:
(x a)2 + (y b)
2 = R
2
x2 2ax + a
2 + y
2 2by + b
2 = R
2
x2 + y
2 2ax 2by + a
2 + b
2 R
2 = 0
x2 + y
2 + Ax + By + C = 0
onde: A = 2a; B = 2b; C = a2 + b
2 R
2
Exemplo: Determinar a equação geral da circunferência
de raio 3 e centro C(2, 5)
Resolução: (x )2 + (y )
2 = R
2
(x 2)2 + (y 5)
2 = 3
2
(x 2)2 + (y 5)
2 = 9
x2 4x + 4 + y
2 10y + 25 9 = 0
Logo, a equação geral é x2 + y
2 4x 10y + 20 = 0
CONDIÇÃO DE EXISTÊNCIA
Vamos comparar a equação de uma circunferência com
uma equação do 2º grau completa.
x2 + y
2 + Kxy + Ax + By + C = 0
Sendo assim, essa equação só irá representar a equação de
uma circunferência se e só se:
Os coeficientes de x2 e y
2 forem iguais e diferentes de
zero.
Não existir termo em xy, ou seja ter K = 0.
A2 + B
2 4AC > 0
POSIÇÕES RELATIVAS DA CIRCUNFERÊNCIA
Ponto e Reta
Dado um ponto P(xP, yP) do plano e uma circunferência
(x )2 + (y )
2 = R
2. Em relação a circunferência, o
ponto P pode assumir as seguintes posições:
Para determinar a posição do ponto P em relação a
circunferência, substitui-se as coordenadas de P na
equação da circunferência. Assim, podemos ter:
(xP )2 + (yP )
2 R
2 < 0 P interior à
circunferência
(xP )2 + (yP )
2 R
2 = 0 P pertence à
circunferência
(xP )2 + (yP )
2 R
2 > 0 P exterior à
circunferência
Reta e Circunferência
Dada uma reta ax + by + c = 0 do plano, e uma
circunferência (x )2 + (y )
2 = R
2 . Em relação à
circunferência, a reta pode assumir as seguintes posições:
Para determinar a posição da reta r em relação à
circunferência, substitui-se a equação da reta na equação
da circunferência. Assim, teremos uma equação do
2º Grau. Então, se:
< 0 reta externa (não existe ponto de intersecção)
= 0 reta tangente (existe um ponto de intersecção)
> 0 reta secante (existe dois pontos de
intersecção)
Caso exista o(s) ponto(s) de intersecção, esse(s) são
obtidos por um sistema de equações.
Exercícios de Sala
1. Determinar a equação da circunferência na forma
reduzida de centro C e raio R nos seguintes casos:
a) C(4, 7) e R = 2 b) C(2, -3) e R = 5
c) C(3, 0) e R = 5 d) C(0, 3) e R = 5
e) C(0, 0) e R = 3
Matemática B Inclusão para a Vida
Pré-Vestibular da UFSC 20
2. A soma das coordenadas do centro da circunferência de
equação x2 + y
2 - 4x - 6y - 12 = 0, é:
a) 4 b) 5 c) 6
d) 7 e) 8
3. (UFSC) Seja C uma circunferência de equação x2 + y
2 -
2x -2y -6 = 0, e seja r a reta de equação x + y = 6.
Determine a soma dos números associados à(s)
proposição(ões) VERDADEIRA(S).
01. Em coordenadas cartesianas, o centro e o raio da
circunferência C são (1,1) e 2 2 respectivamente.
02. A circunferência C limita um círculo cuja área é
8 .
04. Com relação à posição de C e r, pode-se afirmar
que C e r são secantes.
08. A circunferência de centro no ponto (0,0) e raio
2 é tangente externamente à circunferência C.
16. Com relação à posição do ponto P(2,3) e C, pode-
se afirmar que o ponto P é exterior à C.
Tarefa Mínima
1. A equação da circunferência de centro C(-2,2) e
tangente aos eixos coordenados é:
a) (x + 2)2 + (y – 2)
2 = 4
b) (x – 3)2 + (y – 3)
2 = 4
c) (x + 2)2 + (y + 2)
2 = 2
d) (x – 2)2 + (y – 2)
2 = 4
e) (x + 2)2 – (y – 2)
2 = 4
2. (ACAFE-SC) A circunferência de equação x2 + y
2 + 6x
– 4y – q = 0 tem raio igual a 4. O valor de q é:
a) 2 b) – 3 c) 3
d) – 2 e) – 1
3. O centro da circunferência x2 + y
2 – 8x – 4y + 15 = 0 é
um ponto localizado no:
a) primeiro quadrante b) segundo quadrante
c) terceiro quadrante d) quarto quadrante
e) eixo x
4. (UECE) Sejam M(7,-2) e N(5,4). Se C1 é uma
circunferência que tem o segmento MN como um
diâmetro, então a equação de C1 é:
a) x2 + y
2 - 12x - 2y + 27 = 0
b) x2 + y
2 + 12x - 2y + 27 = 0
c) x2 + y
2 + 12x + 2y + 27 = 0
d) x2 + y
2 - 12x + 2y + 27 = 0
5. (PUC-SP) Seja a circunferência , de equação x2 + y
2 -
4x = 0. Determinar a área da região limitada por .
a) 4 b) 2 c) 5
d) 3 e) n.d.a.
Tarefa Complementar
6. (Mack-SP) O maior valor inteiro de k, para que a
equação x2 + y
2 + 4x - 6y + k = 0 represente uma
circunferência, é:
a) 10 b) 12 c) 13
d) 15 e) 16
7. (UFRGS) O eixo das abscissas determina no círculo
x2 + y
2 - 6x + 4y – 7 = 0 uma corda de comprimento
8. (FGV-SP) A reta 3x + 4y - 6 = 0 determina na
circunferência x2 + y
2 - 2x - 4y + 1 = 0 uma corda de
comprimento igual a:
a) 3 b) 3 c) 2 3
d) 6 e) 2 2
9. Calcule a área do círculo de centro (2, 5) sabendo que
a reta 3x + 4y - 6 = 0 é tangente a circunferência.
a) 16 b) 4 c) 2
d) 32 e) n.d.a.
10. (UFSC) Considere a circunferência C:
163422
yx e a reta r: 4x + 3y 10 = 0.
Assinale no cartão-resposta a soma dos números
associados à(s) proposição(ões) correta(s).
01. r C = .
02. O centro de C é o ponto (3, 4).
04. A circunferência C intercepta o eixo das abscissas
em 2 (dois) pontos e o das ordenadas em 1 (um)
ponto.
08. A distância da reta r ao centro de C é menor do
que 4.
16. A função y dada pela equação da reta r é
decrescente.
Inclusão para a vida Matemática B
Pré-Vestibular da UFSC 1
GABARITO
Unidade 1
1) a) 81 b) – 81 c) 81 d) 1 e) 0
f) 1 g)
16
1 h)
125
8 i) 18 j) – 5 k)
35/12
2) a) 215
b) 213
3) a) 2100 + 1 b) 2101 c) 2102 d) 2200 e)
299 f) 250 4) a) 5 b) 2 c) 0 d) 1 e) 9/4
f) – 0,5
5) a) 2
25 b) 32 c) 5
2523 d)
5( 23 )
6) e
7) 15
8) c
9) d
10) e
11) e
12) 31
13) c
14) d
15) e
Unidade 2
1) a) 6 b) 3 c) 5 2
2) e
3) 30°
4) x = 2 y = 2 3
5) 14
6) 180 m
7) x = 100 3 y = 100
8) e 9) 31 10) 57
Unidade 3
1) 4 2
2) 75
3) 14
4) d
5) e
6) b
7) b
8) a
9) 2 7
10) b
Unidades 4 e 5
1) a) 120° b) 30°
2) a
3) 2 4) b
5) a
6) a) S = 2
b) S =
2
3,
2
c) S = 18
33,
6
7 d)
4
7,
4
7) c
8) c
9) b
10) c
11) b
12) 13
13) c
14) c
15) 04
Unidade 6
1) 3
22
2) 00
3) 00
4) 01
5) a) 4) 3
4,
3 b)
3 70
4 4, , ,
6) 01
7) 01
8) 2
9) b
10) d
Unidade 7
1) a) 2 b) 2 c) – 1
2) a
3) 25
4) e
5) 41
6) 01
7) a
8) 86
9) 12
10) c
Unidades 8 e 9
1) e
2) 13
3) e
4) e
5) 16
6) 08
7) c
8) 03
9) a
10) e
11) a
12) 81
Unidade 10
1) a) 5x + y – 7 = 0 b) y = - 5x + 7
c) – 5 e 7
2) 23
3) y = x 3 - 2
4) c
5) d
6) y = 3x – 2
7) 07
8) 55
9) 90
10) 20
Unidade 11
1) c
2) a
3) c
4)
2
25
5) d
6) 04
7) 09
8) d
9) 02
10) 90
Unidade 12
1) a
2) c
3) a
4) a
5) a
6) c
7) 08
8) c
9) a
10) 28