19. FUNCII SPECIALEFunciile speciale prezentate n acest capitol sunt: funciile Bessel de prima i a doua spe, funcia Beta, funcia eroare, funciile eliptice i funcia Gamma. Astfel:besseljCalculeaz funciile Bessel de spea nti;besselyCalculeaz funciile Bessel de spea a doua;besseliCalculeaz funciile Bessel modificate de spea nti;besselkCalculeaz funciile Bessel modificate de spea a doua;betaCalculeaz funcia Beta;betaincCalculeaz funcia Beta incomplet;betalnCalculeaz funcia Beta logaritmic;erfCalculeaz funcia eroare;eticCalculeaz funcia eroare complementar;erfinvCalculeaz invers funciei eroare;gammaCalculeaz funcia Gamma;gammaincCalculeaz funcia Gamma incomplet;gammalnCalculeaz funcia Gamma logaritmic.19.1. Ecuaia i funciile BesselEcuaia diferenial:x2y"(x) + xy'(x) + (x2-\'2)y(x) = 0 , pentru x>0 siv=const.>0 este o ecuaie Bessel. Aceast ecuaie apare n rezolvarea unor probleme de cmp cu simetrie cilindric.Soluia general a ecuaiei difereniale Bessel pentru v^ntreg este:y = C,Jv(x) + C2J_v(x)unde C, i C2 sunt constante reale, este funcia Bessel de spea nti i ordin v. Soluia general a ecuaiei Bessel pentru v=n=ntreg, este:y = C,Jn(x) + C2Yn(x) unde C-, i C2 sunt constante reale, iar Yn este funcia Bessel de spea a doua i ordin n.Ecuaia diferenial :x2y"(x) + xy'(x)-(x2 + \^)y(x) = 0 , pentru x>0 siv=const.>0 este cunoscut sub numele de ecuaie Bessel modificat.Soluia general a ecuaiei difereniale Bessel modificate pentru v^ntreg este:y = C,lv(x)+C2Lv(x)unde Ci i C2 sunt constante reale, iar lv este funcia Bessel modificat, de spea nti iordin v.Soluia general a ecuaiei difereniale Bessel modificate, pentru v=n=ntreg, este:y = C,ln(x) + C2Kn(x)unde C, i C2 sunt constante reale, iar ln i Kn sunt funciile Bessel modificate de spea unu i doi i ordin n.Funciile Bessel prezentate mai sus, se calculeaz n MATLAB dup cumurmeaz:J=>esse//(niu, X) - calculeaz funciile Bessel de spea nti, pentru ordinul niu" real pozitiv i argumentul X. X i niu pot fi vectori de dimensiunile m i respectiv n, caz n care J va fi o matrice cu dimensiunea m x n. Elementul din poziia (k,j) este J(k,j)=>esse//(niu(j),X(k)). Dac argumentul niu" este vector, el trebuie s aib incrementul 1 i s aparin intervalului [0, 1000].Exemple de utilizare a funciei:J=besselj (3:9, (10:.2:20)') J=besselj (1/3:1:25/3, (-20: .5:30))N=bessely(n\u, X) - calculeaz funciile Bessel de spea a doua, pentru ordinul niu" real pozitiv i argumentul X. X i niu pot fi vectori de dimensiunile m i respectiv n, caz n care N va fi o matrice cu dimensiunea m x n. Elementul din poziia (k,j) este N(k,j)=besse/y(niu(j),X(k)). Dac argumentul niu" este vector, el trebuie s aib incrementul 1 i s aparin intervalului [0, 1000].Exemplu de utilizare a funciei:N=bessely(3:9,(10:.2:20)')l=Jbesse/;(niu, X) - calculeaz funciile Bessel modificate de spea nti, pentru ordinul niu" real pozitiv i argumentul X pozitiv. X i niu" pot fi vectori de dimensiunile m i respectiv n, caz n care I va fi o matrice cu dimensiunea m x n. Elementul din poziia (k,j) este l(k,j)= Jbesse//(niu(j),X(k)). Argumentul niu trebuie s aib incrementul 1 i s aparin intervalului [0, 1000].Exemple de utilizare a funciei:I=besseli(3:9, (10:.2:20) ') I=besseli(1/3:1:25/3, (-2 0:.5:30))K=Jbesse//((niu, X) - calculeaz funciile Bessel modificate de spea a doua, pentru ordinul niu" real pozitiv i argumentul X pozitiv. X i niu" pot fi vectori de dimensiunile m i respectiv n, caz n care I va fi o matrice cu dimensiunea m x n. Elementul din poziia (k,j) este l(k,j)= besse//(niu(j),X(k)). Argumentul niu" trebuie s aib incrementul 1 i s aparin intervalului [0, 1000].Exemplu de utilizare a funciei:K=besselk(3:9, (10:.2:20) ')F=bessela(n\u,X) - calculeaz funciile Bessel pentru argument complex.F=/?esse/(niu,X) - apeleaz besselj dac X este real de spea nti, besseli dac X este imaginar i bessela dac X este complex;Exemplul 19.1.1. S se reprezinte grafic funciile Bessel de spea nti i de ordine O, 1, 2.x = 0:.25:20; niu=[0 1 2]; J=besselj(niu,x); plot(x,J); grid

Exemplul 19.1.2. S se reprezinte grafic funciile Bessel modificate de spea nti i de ordine 0 , 1 i 2.x = o': .1:2; niu=[0 1 2]; N=besseli(niu,x); plot(x,N); grid

19.2. Funcia GammaFuncia Gamma este definit de integrala:

Dac argumentul a este ntreg, funcia Gamma este identic cu funcia factorial:r(n + l) = n! Aceast funcie satisface relaia de recuren:T(a + 1) = ar(a)Dac funcia Gamma este cunoscut pentru a>1, valorile acesteia pentru a