MAKALAHMATEMATIKAEKONOMIPANGKAT, AKAR, DAN LOGARTIMAElisabeth Veronika SipahutarNIM: 1302121392DAFTAR ISIDaftar isi................................................................................................................1Pendahuluan.........................................................................................................2Pembahasan1. Pangkat.....................................................................................................32. Akar...........................................................................................................63. Logaritma..................................................................................................9Penutup...............................................................................................................14Daftar pustaka.....................................................................................................15PENDAHULUANA. Latar Belakang Masalahelakanganini! ilmumatematikatelahberkembangpesat. ukanhan"asebatashitung menghitung menggunakan skala statistik! nilai! angka#angka real!kalkulus danpeluang.Akantetapi!perkembanganilmu matematika$uga ter$adididasarkan padapenalaran#penalaran"anglogisatassistemmatematis.Penalaran"angdilakukanoleh para ahli matematik diperoleh atas realitakehidupan "ang n"ata "ang dirasakanoleh manusia. Perkembangan dan aplikasidan bagian matematik ini sangatdirasakan oleh manusia di berbagai kehidupan.Penalaran inilah dalambahasamatematika sering disebut logika.Dari latar belakang masalah di atas maka penulisakan men"usun salahsatu pembahasan matematika "aitu tentang logaritma beserta%ontoh # %ontoh soaldan $a&aban.1B. Rumusan Masalah1. Pengertian dan seputaran pangkat.2. Pengertian dan seputaran akar.3. Pengertian dan seputaran logaritma. PEMBAHASAN1. PANGATPangkat dari sebuah bilangan ialah suatu indeks "ang menun$ukkan ban"akn"aperkalian bilangan "ang sama se%ara beruntun. 'otasixoberartibah&a xharus dikalikandenganxitusendiri se%araberturut#turut seban"akakali. 'otasi pemangkatansangatberfaedah untuk merumuskan penulisan bentuk perkalian se%ara ringkas. (ebagai %ontoh)perkalian bilangan * seban"ak 5 kali tak perlu dituliskan dengan lengkap * + * + * + * + *!melainkan %ukup diringkas men$adi *5. ,adi!* + * + * + * + * - *55 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 - 5*.!3 + .!3 + .!3 + .!3 + .!3 + .!3 - .!36'otasi pemangkatan berfaedah pula untuk meringkas bilangan#bilangankelipatan perkalian sepuluh "ang nilain"a sangat besar atau sangat ke%il. (ebagai %ontoh)bilangan1......dapat diringkasmen$adi 1.5/ bilangan101......atau.!....1dapatdiringkas men$adi 1.#5. egitu pula!1............ - 1.!5............ - 5. 1.!2*.5.......... - *!5 . 1.! atau *5 . 1.".!..........1 - 1.#!.!.........34 - 34 . 1.#! atau 3!4 . 1.#"Pemangkatan sebuah bilangan dan pengoperasian bilangan#bilanganberpangkat mematuhi kaidah#kaidah tertentu. erdasarkan kaidah#kaidah "ang segera akandipaparkan berikut ini! kita dapat pula memetik berbagai faedah lain dari notasipemangkatan.1.1AIDAH PEMANGATAN BILANGAN1. ilangan bukan nol berpangkat nol adalah satu.$% & 1 ' $ % (1ontoh) 3 % - 12. ilangan berpangkat satu adalah bilangan itu sendiri.$1 & $1ontoh) 3 1 - 33. 'ol berpangkat sebuah bilangan adalah tetap nol.% $ & %1ontoh) . ) - .4. ilanganberpangkat negatif adalahbalikanpengali 2multipli%ati3ein3erse4dari bilangan itu sendiri.$% & 1x01ontoh) 3 # * - 132 - 19 219=9 #1 45. ilangan berpangkat pe%ahan adalah akar dari bilangan itu sendiri! dengansukupembagi dalampe%ahanmen$adi pangkat dari akarn"asedangkansuku terbagi men$adi pangkat dari bilangan "ang bersangkutan.xab & bxa1ontoh)325 - 532 - 59- 1!556. ilangan pe%ahan berpangkat adalah hasil bagi suku#suku berpangkatn"a.3 xy & xaya1ontoh) 2 354 * - 3252 - 925*. ilangan berpangkat dipangkatkan lagi adalah bilangan berpangkat hasil kalipangkat#pangkatn"a.x(a)b & $ a+1ontoh) 3(2)4 - 3 2.4 - 35 - 65615. ilangan dipangkatkan pangkat#berpangkat adalah bilangan berpangkathasil pemangkatan pangkatn"a.xab & $ , dimana , & a + 324 - 3 16 - 43..46.*21 6aidah ke#* dan ke#5 di atas perlu mendapat perhatian khusus! sebab a%apkalidiselesaikan se%ara tak benar. ,ika kita kurang teliti! %ontoh#%ontoh dalam kaidah ke#* danke#5tersebut bisasalahdiselesaikanmen$adi 942-12964! padahal seharusn"amasing#masing adalah 35dan 316. Prinsip pen"elesaian bilangan "ang pangkatn"a beranting ialahmen"elesaikan pangkat#pangkat n"a terlebih dahulu.1.*AIDAH PERALIAN BILANGAN BERPANGAT9. 7asil kali bilangan#bilangan berpangkat "ang basisn"a sama adalah bilanganbasis berpangkat $umlah pangkat#pangkatn"a.$a . $+ & $ a-+1ontoh) 3* . 3. - 3 * - . - 3/ - *291.. 7asil kali bilangan#bilangan berpangkat "ang pangkatn"a sama! tetapibasisn"a berbeda! adalahperkalianbasis#basisn"a dalampangkat "angbersangkutan.$a . 0a & '$0(a1ontoh) 3* . 5* - 23.54* - 15* -2251.)AIDAH PEMBAGIAN BILANGAN BERPANGAT411. 7asil bagi bilangan#bilangan berpangkat "ang basisn"a sama adalahbilangan basis berpangkat selisih pangkat#pangkatn"a.$a 1 $+ & $ a#+1ontoh) 3* ) 3. - 3 *#. - 3 #* - 1912. 7asil bagi bilangan#bilangan berpangkat "ang pangkatn"a sama! tetapibasisn"aberbeda! adalahpembagianbasis#basisn"adalampangkat "angbersangkutan.$a 1 0a & ( xy)a1ontoh) 3* ) 5* - (35)2 & 925*. AARAkar merupakan bentuk lain untuk men"atakan bilangan berpangkat. Akar darisebuah bilangan ialah basis "ang memenuhi bilangan tersebut berkenaan dengan pangkatakarn"a. erdasarkan konsep pemangkatan kita mengetahui! bah&a $ika bilangan#bilangan"ang sama 2misaln"a +4 dikalikan se$umlah tertentu seban"ak 2katakanlah4 a kali! maka kitadapat menuliskann"a men$adi +a / + disebut basis dan a disebut pangkat. Andaikata +a - m!maka + dapat $uga disebut sebagai akar pangkat a dari m! "ang $ika dituliskan dalam bentukakar men$adi + - am . ,adi! am - + sebab +a - m/ atau dengan kata lain! am - +$ika +a - m.29 - 3 sebab 3* - 9364 - 4 sebab 4) - 64(e%ara umum)am& $ 23ka $a & mDalam notasi am ! a disebut pangkat dari akar sedangkan m disebut radikan.Pangkat 2 dari akar biasan"a tidak di%antumkan dalam penulisan! sehingga tanda akar "angtidak men%antumkan pangkat dengan sendirin"a harus diba%a dan ditafsirkan sebagai akarberpangkat 2. ,adi! 29 - 9! 225 - 25 .Apabilapangkat akarn"aberupabilangangenap! makaradikanpositif akanmenghasilkan 2 ma%am akar) "ang satu positif dan "ang satun"a lagi negatif. 7al ini selarasdengan kaidah perkalian dalam operasi tanda! bah&a baik bilangan positif maupun bilangan5negatif $ikaberpangkat genapakanmenghasilkanbilanganpositif. ,adi! sesungguhn"a9 - 3 2ba%a) 8 3 dan 9 34! bukan han"a 8 3/ sebab 2 8 34* - 9 dan 2# 34* - 9 $uga.(ama haln"a! 25- 5 dan bukan han"a 8 5! 16 - 2 dan bukan han"a 82.Apabila pangkat akarn"a genap dan radikann"a negatif! hasiln"a adalah berupabilangan kha"al. (ebagai %ontoh 9 adalah bilangan kha"al! sebab baik 8 3 maupun 93 $ika dipangkatkan 2 tidak ada "ang menghasilkan 9 9.Apabilapangkat akarn"aberupabilangangan$il! baikradikanpositif maupunradikannegatif han"aakanmenghasilkanakar positif satuma%amakar! radikanpositifmenghasilkan akar positif! radikan negatif menghasilkan akar negatif.364 - 8 4 sebab han"a 2 8 4 4 2 8 4 4 2 8 4 4 - 64364 - # 4 sebab han"a 2 # 4 4 2 # 4 4 2 # 4 4 - # 64(eperti haln"a dalam pemangkatan! pengakaran bilangan pun mematuhise$umlah kaidah. 6aidah#kaidah tersebut dirin%i di ba&ah ini)*.1 AIDAH PENGAARAN BILANGAN1. Akar dari sebuahbilanganadalahbasis"angmemenuhi bilangantersebutberkenaan dengan pangkat akarn"a.erdasarkan) am - + ! $ika +a - m 2 + adalah basis 4!:aka) bx &x1b(ebab x1b 4 + &xbb - + 1 - +Dalam hal inix1b adalah basis.1ontoh) 364 &6413 - 42. Akar dari sebuah bilangan berpangkat adalah bilangan itu sendiriberpangkatpe%ahan! denganpangkat dari bilanganbersangkutanmen$adi sukuterbagisedangkan pangkat dari akar men$adi suku pembagi.b xa & xab 61ontoh) 532 -325 - 1!553. Akar dari suatu perkalian bilangan adalah perkalian dari akar#akarn"ab xy& bx . b y1ontoh) 38.64 - 38 . 364 - 2 . 4 - 54. Akar dari sebuah bilangan pe%ahan adalah pembagian dari akar suku#sukun"a.b xy & bxby1ontoh) 3 864 - 38364 - 24 - .!5*.* AIDAH PEN4UMLAHAN 'PENGURANGAN( BILANGAN TERAARilangan#bilanganterakarhan"adapat ditambahkanataudikurangkanapabilaakar#akarn"a se$enis. ;ang dimaksud dengan akar#akar "ang se$enis ialah akar#akar "angpangkat dan radikann"a sama.5. ,umlah 2selisih4 bilangan#bilangan terakar adalah $umlah 2selisih4 koefisien#koefisienn"a terakar.m bxa n b xa & 'm - n( b xa1ontoh) 5 3 8 2 3 - * 3 - * 21!*34 - 12!11*.)AIDAH PERALIAN BILANGAN TERAAR6. 7asil kali bilangan#bilangan terakar adalah akar dari hasil kali bilangan#bilangann"a. Perkalian han"a dapat dilakukan apabila akar#akarn"a berpangkatsama.bx . b y & bxy1ontoh) 38.364 - 38.64 - 3512=8*. Akar ganda dari sebuah bilangan adalah akar pangkat baru dari bilanganbersangkutan/ pangkat baru akarn"a ialah hasil kali pangkat dari akar#akarsebelumn"a.b cxa & bc xa1ontoh) 315625 - 2.315625 - 57*..AIDAH PEMBAGIAN BILANGAN TERAAR5. 7asil bagi bilangan#bilangan terakar adalah akar dari hasil bagi bilangan#bilangann"a. Pembagian han"a dapat dilakukan apabila akar#akarn"aberpangkat sama.b xb y=b xy 1ontoh) 38364=3 864 - 318 - .!5). L5GARITMALogaritmapadahakekatn"amerupakankebalikandari proses pemangkatandan0atau pengakaran.