matematica - 1º ano do ensino médio volume 1
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Apostila de Matematica - 1º Ano do Ensino Médio Volume 1TRANSCRIPT
Gabarito – Caderno do Aluno Matemática 1ª série – Volume 1
1
SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 1
CONJUNTOS NUMÉRICOS; REGULARIDADES NUMÉRICAS E GEOMÉTRICAS
Páginas 3-8
1.
a) A = {5, 6, 7, 8, 9, 10, 11}
b) B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}
c) C = {–3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4}
d) D = {–2, –1, 0, 1, 2, 3, …}
2.
a) E = {0, 4, 8, 12, 16}
b) F = {9, 11, 13, 15, 17}
c) G = {–3, –2, –1, 0, 1}
d) H = {4, 5, 6, 7, 8}
3. Algumas possíveis respostas corretas:
E = {4n, sendo n ∈ N e n < 5}
F = {2n + 1, sendo n ∈ N e 4 ≤ n ≤ 8}
G = {x ∈ Z / – 4 < x < 2}
H = {2n + 1 > 7, sendo n ∈ N e 3 < n < 9}
4.
a) 1
b) 2 (posição múltipla de 3)
c) 3 (posição múltipla de 5)
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2
5. A 7ª figura é igual à 1ª, a 8ª figura é igual à 2ª, e assim por diante. Ou seja, cada
período é formado por 6 figuras, portanto, a 152ª figura será igual à 2ª, pois tanto o
número 2 (que indica a posição da 2ª figura) quanto o número 152 (que indica a
posição da 152ª figura), quando divididos por 6, deixam resto 2.
Conclusão, as figuras 1, 7, 13, 19, etc. são todas iguais à 1ª figura, pois os números
1, 7, 13, 19, etc., quando divididos por 6, deixam resto 1. Do mesmo modo, as
figuras 3, 9, 15, 21, etc. são todas iguais à figura 3, pois os números 3, 9, 15, 21, etc.,
quando divididos por 6, deixam resto 3, e assim sucessivamente.
6. A figura que ocupa a posição 38 será a mesma figura da posição 2, pois a divisão de
38 por 4 deixa resto 2; e a que ocupa a posição 149 será a mesma da posição 1, visto
que a divisão de 149 por 4 deixa resto 1.
7. O período é de 5 números. Assim, o 38º termo é 2, pois a divisão de 38 por 5 deixa
resto 3, e o terceiro termo da sequência é o número 2; o 149º termo é igual a 3, pois a
divisão de 149 por 5 deixa resto 4 e o quarto termo da sequência é o número 3.
8. O período é de 7 dias. A divisão de 90 por 7 deixa resto 6, portanto o 90º dia será o
sexto elemento da sequência dos dias da semana iniciada na quinta-feira. Logo, o 90º
dia será terça-feira.
9.
a) 6 . 10 + 120 = 180 árvores
b) No 10º dia teremos um total de: 9 . 10 + 120 = 210 árvores. Assim, o número de
árvores plantadas até o 10º dia será ⇒ S = 120 + 130 + 140 +... + 190 + 200 + 210.
Como o número x representa o total previsto de árvores e o total das árvores
plantadas até o 10º dia corresponde à metade desse total, teremos que:
x = 1 650 . 2 ⇒ x = 3 300 árvores.
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10.
a) O período da sequência é de 6 termos. A divisão de 30 por 6 resulta resto 0.
Assim, o termo (XXX) é igual ao termo (VI), e nele estarão pintadas as quadrículas
C2, C3, D3 e D4.
b) A quadrícula B2 é pintada 3 vezes a cada período, nos termos (I), (III) e (IV).
Até o termo (XIX), incluindo-o, serão 3 períodos e mais 1 termo. Portanto, a
quadrícula B2 será pintada 3 . 3 + 1 = 10 vezes.
Páginas 8-10
1. Resposta livre.
2. As sequências serão: (1, 4, 10, 20, 35, 56, 84, 120, …) e (1, 5, 15, 35, 70, 126, 210,
409, …).
3. Resolvendo a equação de 2º grau, encontraremos como raízes os números 3 e 5. A
sequência será, portanto, (–3, –1, 1, 3, 5). Assim, os dois primeiros termos serão –3 e
–1, respectivamente.
Páginas 10-15
1.
a) 85,
74,
63,
52,
41
.
b) 129
.
c) 5754
.
d) Um termo qualquer an é uma fração em que o numerador é igual a n e o
denominador é 3 unidades a mais do que n, isto é, é igual a n + 3. Assim, 3+
=n
nan .
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2.
a) (2, 5, 8, 11, 14)
b) 29
c) 59
d) Somando o termo inicial, 2, a certo número de termos sempre iguais a 3. Para
obter um termo n qualquer devemos somar o primeiro termo, 2, com n – 1 termos
iguais a 3. Assim, an = 2 + 3.(n – 1) = 3n – 1.
Outro raciocínio possível é o seguinte: como o salto de um termo a outro é constante
e igual a 3, podemos supor que uma expressão geral deva conter o termo 3n. Para
que a1 = 2 é preciso que seja subtraído 1 de 3n. Assim, an = 3n – 1.
3.
a) (3, 6, 11, 18, 27)
b) a8 = 82 + 2 = 66
c) a20 = 202 + 2 = 402
d) an = n2 + 2
4.
para n = 1 ⇒ 31
211 =
+=a ;
para n = 2 ⇒ 22
222 =
+=a ;
para n = 3 ⇒ 35
323
3 =+
=a .
5.
a) 01111
1 =+−
=a
b) 32
64
1515
5 ==+−
=a
c) 97
1818
8 =+−
=a
d) O termo 119
pode ser escrito como 110110
+−
. Portanto, ele é o 10º termo.
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5
6.
a) Cada termo da sequência, a partir do 2º, é obtido pela divisão do anterior por 3.
Assim, o quinto termo será igual a 913
31
=÷ .
b) a6 = a5 ÷ 3 = 2713
91
=÷ .
c) Como 27 é igual a 81 ÷ 3 e 271
é o 6º termo, 811
é o 7º termo.
7. O termo geral da sequência é nna −= 33 , que poderá ser verificado com a substituição
de n por números naturais maiores do que 0.
8.
a) O 10º termo é 18.
b) O 15º termo é 28.
c) a35 = 68
d) a101 = 200
e) 420 é o 211º termo.
f) an = (n – 1) . 2, sendo n um número natural maior do que 0.
9.
Os cinco primeiros termos serão: 1, 3, 5, 7, 9.
a) a10 = 19
b) a13 = 25
c) a25 = 49
d) an = 2n – 1, onde n é um número natural maior do que 0.
10.
a) O 6º termo é 62 = 36
b) a7 = 72 = 49
c) an = n2
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6
Páginas 15-17
1.
a) 6,5,2,3,2 .
b) Os cinco primeiros termos representados por números inteiros serão aqueles em
que o radicando é um quadrado perfeito.
a3 = 2 a8 = 3 a15 = 4 a24 = 5 a35 = 6
2.
a) 30 quadrinhos brancos, pois 6 . 6 – 6 = 30.
b)
c) 39² – 39 = 39.(39 – 1) = 39 . 38 = 1 482
3.
a) O 6º termo terá 36 quadrinhos e o décimo termo, 100 quadrinhos.
b) an = n²
4.
a) 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25
b) A soma dos números escritos abaixo da figura é igual ao total de quadrinhos que
formam a figura. Os números escritos abaixo da figura são os cinco primeiros
naturais ímpares. Sua soma é 25. O total de quadrinhos da figura é 5² = 25.
c) 8² = 64
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5.
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SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 2
PROGRESSÕES ARITMÉTICAS E PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS
Páginas 18-27
1.
a) ( I ) 15, 18, 21.
( II ) 16, 19, 22.
( III ) 17, 20, 23.
( IV ) 64, –128, 256.
( V ) 1,0 ; 1,2 ; 1,4.
( VI ) 1 024, 4 096, 16 384.
b) Não, pois o algarismo 8 aparece no termo 28, que é o 10º termo da sequência.
c) Não, pois a sequência (I) é formada apenas por números que, divididos
por 3, deixam resto 0; a sequência (II) é formada apenas por números que,
divididos por 3, deixam resto 1; a sequência (III) é formada apenas por números
que, divididos por 3, deixam resto 2. Como a divisão por um número natural
diferente de 0 (divisão euclidiana) não pode apresentar dois restos distintos, não é
possível que um mesmo número apareça em duas dessas sequências.
d) O número 1 087 é um termo da sequência (II), pois a divisão de 1 087 por 3
deixa resto 1, e é também elemento da sequência (V) uma vez que é múltiplo de 0,2.
e) A sequência (II) é formada apenas por números que, divididos por 3, deixam
resto 1. Logo, o 137 não é termo da sequência (II), pois a divisão de 137 por 3 deixa
resto 2.
f) an = 3(n – 1), n ∈ N*
g) an = 3n – 2, n ∈ N*
h) an = 3n – 1 , n ∈ N*
i) an = (–2)n, n ∈ N*
j) an = 0,2n, n ∈ N*
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k) an = 4n–1, n ∈ N*
l) Resposta livre. Uma possibilidade de resposta é analisar os termos das
sequências apresentadas, observando algumas em que o passo constante é somado a
cada termo e outras em que o passo constante é multiplicado a cada termo.
2.
a) As Olimpíadas acontecem em anos em que sua divisão por 4 deixa resto 0. Já a
Copa do Mundo acontece em anos em que sua divisão por 4 deixa resto 2 e os Jogos
Pan-Americanos acontecem em anos em que sua divisão por 4 deixa resto 3. Assim,
em 2118 aconteceria a Copa do Mundo (resto 2), em 2079 aconteceriam os Jogos
Pan-Americanos (resto 3) e em 2017 não aconteceria nenhuma dessas três
competições (resto 1).
b) Não é possível, pois qualquer número dividido por 4 deixa um, e apenas um,
desses restos: zero, 1, 2 ou 3.
3.
SSeeqquuêênncciiaa ccrreesscceennttee
a) (–8, –2, 4, 10, 16)
b) 40
c) 76
d) 106
e) 42
f) an = 6n – 14
4.
a) 0,1
b) 0,5
c) 2,5
d) 25
e) an = 0,02 . 5n – 1
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5. São PAs as seguintes sequências: a (razão: 3); c (razão: – 4); d (razão: 0); e
(razão:21
).
6.
I) 5, 9, 13, 17, 21
II) 3, 15, 35, 63, 99
III) 2, 6, 18, 54, 162
IV) 2, 5, 8, 11, 14
São PAs as seguintes sequências: ( I ), com razão = 4, e ( IV ), com razão = 3.
7. São PGs: (I) de razão 3; (III) de razão 31
; (IV) de razão –2; (VI) de razão 2 .
8.
I) 4, 7, 10, 13, 16
II) 2, 11, 26, 47, 74
III) 3, 6, 9, 12, 15
IV) 3, 6, 12, 24, 48
V) 3, 5, 7, 9, 11
(IV) é PG de razão 2. São PAs: (I) de razão 3, (III) de razão 3 e (V) de razão 2.
9.
a) 5ª figura: 48 quadradinhos, e 6ª figura: 96 quadradinhos.
b) (3, 6, 12, 24, …) é PG, pois cada termo an é obtido da multiplicação do termo
anterior an–1 por 2.
c) Podemos escrever a fórmula desta maneira: an = 3 . 2n–1.
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11
Neste caso, podemos obter uma fórmula de recorrência: ( ) 2.1−= nn aa , e a fórmula
do termo geral: 12.3 −= nna .
10.
a) A sequência formada pelas quantidades de palitos é, sim, uma PA, pois cada
figura tem seis palitos a mais que a precedente: 4, 10, 16, 22, 28, …
b) 28 + 6 = 34 e 34 + 6 = 40
c) 4 + 77 . 6 = 466
d) an = 4 + (n – 1).6 = 6.n – 2
11. a20 = 73. Para determinar o 20º termo de uma PA é suficiente adicionar ao 9º termo
uma parcela que é igual ao produto 11 . 4, pois para “passar” do 9º ao 20º é
necessário “avançar” 11 termos, ou seja, a20 = a9 + 11r. Não sendo necessário,
portanto, encontrar antes o 1º termo para se obter o vigésimo.
12. Em toda PA, temos 2841223 =⇒−=−−⇒−=− xxxaaaa . Com o mesmo
raciocínio, escrevemos y – (– 4) = – 4 – x ⇒ y + 4 = – 4 –2 ⇒ y = –10. Nesse caso,
temos: (8, 2, – 4, –10).
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12
Páginas 28-31
1. A nova sequência será uma PA, cuja razão é igual ao produto do número 6 pela razão
da PA inventada.
2.
I) 18728 =a
II) 161
8 =a
3. 51212 =a
4. A altura de 18 m será considerada o 1º termo, isto é, a1 (ainda não houve salto). A
partir deste termo teremos o 1º salto, que corresponderá, portanto, ao termo a2 e
assim por diante. A altura atingida no 5º salto corresponde ao 6º termo de uma PG,
em que o primeiro termo é igual a 80% de 18, e a razão é 0,8. Assim, a6 = 18 . 0,85
≅ 5,898 m. A altura do 10º salto, obedecendo a essa lógica, será: a11 = 18 . 0,810
≅ 1,933 m.
5. Em toda PG, cada termo, a partir do segundo, é a média geométrica do antecessor e
do sucessor. Nesse caso, 432.21
==x . Por outro lado, pela definição de PG,
.2564
3232
3232
=⇒=⇒= yyx
y Nesse caso, temos:
256,32,4,
21
.
6.
a) Inicialmente, vamos adotar a seguinte linguagem:
P0: população inicial; P1: população 1 ano depois; P2: população 2 anos depois, e
assim por diante.
P1= 50 000 + 20% de 50 000 = 50 000 + 0,2 . 50 000 = 60 000.
P2 = 60 000 + 20% de 60 000 = 60 000 + 0,2 . 60 000 = 72 000.
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Fazendo-se os demais cálculos, obtêm-se as populações P3 e P4: 86 400 e
103 680, respectivamente.
b) A sequência (50 000, 60 000, 72 000, 86 400, 103 680, …) é uma PG, de razão
1,2, pois .2,140086680103
0007240086
0006000072
0005000060
====
Assim, para se obter o termo sucessor de um termo conhecido, basta multiplicar
este último por 1,2, ou seja, Pn + 1= 1,2Pn
c) P1 = 50 000 . 1,21
P2 = 50 000 . 1,21. 1,2 = 50 000.1,22
P3 = 50 000 . 1,22. 1,2 = 50 000.1,23
Assim, Pn= 50 000 . 1,2n.
Essa fórmula pode ser generalizada para Pn = P0(1 + i)n, sendo i a taxa de
crescimento.
7.
a) R$ 13 122,00
b) Pn = 20 000 . 0,9n
Vale ressaltar que a taxa nesse problema é negativa. Se há uma depreciação de
10% ao ano, o valor do carro passa a ser de 90% sobre o valor anterior.
Utilizando os resultados da atividade anterior, observamos que, para calcular o
preço do carro daqui a 1 ano, é suficiente multiplicar o valor inicial do carro por
0,9, pois P1 = P0(1 – 0,1) = P0 . 0,9.
Páginas 31 - 33
1.
a) B = {7, 10, 13, 16, 19, 22}
b) Uma PA de razão 1.
c) Uma PA de razão 3.
Gabarito – Caderno do Aluno Matemática 1ª série – Volume 1
14
2.
a) D = {10, 5, 0, –5, –10, –15}
b) Uma PA de razão –5.
3.
a) 37
b) 61
c) 6n + 1 = p
d) 55
e) Uma PA de razão 6 e primeiro termo 7.
Páginas 33-34
1. (7, 49, 343, 2 041). Trata-se de uma PG de razão 7.
2.
a) A = {11, 22, 33, 44, …, 99}, PA de razão 11.
b) Construindo-se o conjunto B = {101, 111, 121, 131, 141, 151, …} temos a
impressão de que ele é uma PA de razão 10. Contudo, escrevendo mais alguns
termos na sequência (…, 171, 181, 191, 201, 211, …) observamos que, na passagem
do algarismo das centenas de 1 para 2, a série de palíndromos é quebrada.
A sequência dos números de três algarismos que iniciam por 2 seria:
(202, 212, 222, …). O mesmo ocorrerá na passagem das centenas que terminam com
algarismo 2 e começam com 3 (…, 292, 302, 312, …). Portanto, a sequência de
palíndromos de 3 algarismos não é uma PA.
Gabarito – Caderno do Aluno Matemática 1ª série – Volume 1
15
SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 3
SOMA DOS TERMOS DE UMA PA OU DE UMA PG FINITAS; APLICAÇÕES À MATEMÁTICA FINANCEIRA
Páginas 35-40
1. 440
2. 7 998
3. Os números inteiros divisíveis por 23, entre 103 e 850, formam a PA de razão 23:
(115, 138, …, 828). Utilizando a fórmula do termo geral, obtemos n = 32, e
aplicando a fórmula da soma dos termos da PA, obtemos o resultado 15 088.
4.
a) 1, 3, 6, 10, 15, …
b) Cada termo é igual à soma dos termos anteriores. Pode-se concluir que é a regra
de Hipsicles aplicada na composição dos números triangulares.
c) Uma possível fórmula é an = an-1 + n
d)
Gabarito – Caderno do Aluno Matemática 1ª série – Volume 1
16
5.
a) 51 e 70.
b) Em relação aos números pentagonais, reiteramos que a construção de uma tabela
como a que segue favorece a obtenção de uma fórmula de generalização:
6. 12
)12(.120
20 −−
=S → 122020 −=S
7. A razão da PG é 2.
Portanto, ( ) 51012122 =
−−n
→ 251012 ÷=−n → 2562 =n → 822 =n → 8=n . Logo
188 2.2 −== ax → x = 256.
8.
a) A sequência da quantidade de tábuas colocadas é:
1, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, …
Para obter o total de tábuas ao final de 9 operações, será necessário calcular a soma
dos termos da progressão geométrica 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, e em seguida,
acrescentar uma unidade.
Gabarito – Caderno do Aluno Matemática 1ª série – Volume 1
17
S = .25512
12.1281
. 1 =−−
=−−
qaqan Portanto, a pilha terá 256 tábuas.
b) A altura da pilha será igual a 256 . 0,5 = 128 cm = 1,28 m.
9. Trata-se de calcular a soma 50,00 + 52,50 + 55,00 + 57,50 + … + 77,50, que resulta
R$ 765,00.
10.
a) Temos uma PG de razão (1 – 0,05) = 0,95, e queremos determinar o 6º termo.
a6 = 200 . 0,955 = 154,00 .
b) Devemos calcular a soma dos termos da PG.
( ) ( ) 88,904195,0.0004
05,0195,0.200
195,020095,0.200
1. 5
551 =−−=
−−
=−−
=−−
=q
aqaS n
n .
Páginas 40-42
1.
a) an = 5n – 9
b) 282
c) Sn = )135(.21
2.)954(
2.)( 21 nnnnnaa n −=
−+−=
+
2.
a) S6 = 3 . 62 – 5 . 6 = 78
b) S7 = 3 . 72 – 5 . 7 = 112
c) O 7º termo é a diferença entre S7 e S6. Portanto, a7 = 112 – 78 = 34.
d) a1 = S1 = –2
a2 = S2 – a1 = 2 – (–2) = 4
A PA tem razão 6, e os cinco primeiros termos são –2, 4, 10, 16, 22.
Gabarito – Caderno do Aluno Matemática 1ª série – Volume 1
18
3.
a) a4 = 10 . 1,23 = 17,28 km.
b) Trata-se de calcular a soma dos 10 termos de uma PG em que a1 = 10 e
a10 = 10.1,29.
S = ( ) ( ) ( )12,6.5012,1.50
2,012,1.10
12,1102,1.2,1.10
1. 10
1091 −=−=
−=
−−
=−−
qaqan = 260 km.
Páginas 43-46
1.
2.
Tabela B
Gabarito – Caderno do Aluno Matemática 1ª série – Volume 1
19
Os R$ 200,00 depositados no 1º mês tornam-se R$ 210,00, no 2º mês,
R$ 220,00, no 3º mês, e assim por diante, tornando-se, ao final, R$ 280,00. Os
R$ 200,00 depositados no 2º mês, de modo análogo, convertem-se em
R$ 270,00, ao final de sete meses de aplicação. Seguindo o raciocínio, o saldo final
da aplicação será o resultado da adição dos valores da última coluna da tabela, que
são os termos de uma progressão aritmética:
Saldo final = 210 + 220 + 230 + 240 + 250 + 260 + 270 + 280
Saldo final = ( )
28.280210 +
= R$ 1 960,00.
3.
Tabela C
A soma dos valores da última coluna da tabela fornece o total capitalizado. Trata-se
da soma dos termos de uma progressão geométrica de razão 1,05.
S = 200 . (1,05 + 1,052 + 1,053 + 1,054 + 1,055 + 1,056 + 1,057 + 1,058)
S = 200 . =−−1
. 1
qaqan
= 200 . 105,1
05,105,1.05,1 8
−−
S ≅ 2 005,31, isto é, R$ 2 005,31.
Gabarito – Caderno do Aluno Matemática 1ª série – Volume 1
20
4. Trata-se de calcular a soma S = 520 + 540 + 560 + 580 + … + 700
S = 10065.12202
10.)700520(==
+
O resgate será de R$ 6 100,00.
5. Trata-se de calcular a soma de termos em PG:
S = 1 000 . 1,02 + 1 000 . 1,022 + 1 000 . 10,23 + … + 1 000 . 1,0212
S = 1 000 (1,02 + 1,022 + 1,023 + … + 1,0212)
S = ( )
02,0102,1.02,10001
102,102,102,1.02,1.0001
1..0001
12121 −
=−−
=−−
qaqan
S = 1 000 . 51.(1,0212 – 1) = 51 000 . 0,27 = 13 770
Portanto, o resgate será de R$ 13 770,00.
6. Sendo o cálculo do montante à base de juros simples, temos a soma de termos em
PA, da seguinte maneira:
S = 1,1X + 1,2X + 1,3X + … + 2,0X
15 500 = X . (1,1 + 1,2 + 1,3 + … + 2,0)
15 500 = X.( )
2.1 naa n+
= X.( )
210.0,21,1 + = X . 15,5 ⇒ X = 1 000.
Portanto, a parcela mínima a ser depositada é igual a R$ 1 000,00
7. O valor futuro da geladeira, em 6 meses, será igual a:
1 500 . 1,036 = 1 500 . 1,19 = 1 785.
A soma das parcelas fixas, a 3% de juros compostos ao mês, recai em:
S = P.(1,03 + 1,032 + … + 1,036)
Onde P é o valor da parcela fixa mensal. Como S = 1 785, tem-se
1 785 = P. =−−103,1
03,103,1.03,1 6
P.( )
=−
03,0103,1.03,1 6
P. 34,33.(1,066 – 1) = P . 34,33.0,19.
Assim: 1 785 = P . 6,5227 ⇒ P = 273,65
Portanto, a parcela mensal deverá ser igual a R$ 273,65.
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21
LIÇÃO DE CASA
Página 47
1.
a) O valor total capitalizado exige o cálculo de uma soma de termos em PG.
S = 200 . (1,04 + 1,042 + 1,043 + … + 1,048)
S = 200· 9241)137,1.(26.20004,0
)104,1(.04,1.200104,1
04,104,1.04,1 88
=−=−
=−−
Portanto, Júlia deu de entrada R$ 1 924,00.
b) O valor financiado é igual à diferença entre R$ 5 000,00 e R$ 1 924,00, ou seja, R$
3 076,00. Esse valor, em 5 meses, a 2% ao mês, torna-se 3 076 . 1,025 = 3 383,60.
Uma parcela fixa P, paga todo mês e corrigida à base de 2% ao mês deve, ao final,
gerar montante equivalente a R$ 3 383,60.
3 383,60 = P(1,02 + 1,022 + 1,023 + 1,024 + 1,025)
3 383,60 = P· 1,5.10,0.51.02,0
)102,1(02,1.102,1
02,102,1.02,1 55
PPP ==−
=−−
3 383,60 = P.5,1 ⇒ P = 663,45
Portanto, a parcela fixa será igual a R$ 663,45.
Página 48
Lenda do Xadrez
Conta-se que certa vez um rajá indiano, aborrecido com os jogos em que a sorte
acabava determinando o vencedor, e não as estratégias e o raciocínio, solicitou a um
sábio de sua corte que inventasse um jogo em que prevalecessem essas características.
Esse sábio, cujo nome era Sissa, inventou o xadrez que, como sabemos, é um jogo que
valoriza a sabedoria, o raciocínio lógico, a prudência e se opõe à aleatoriedade de um
jogo de dados, por exemplo.
Gabarito – Caderno do Aluno Matemática 1ª série – Volume 1
22
Joga-se o xadrez sobre um tabuleiro quadriculado com 64 casas, no qual se
movimentam peças de diferentes formatos, correspondendo cada uma a elementos do
exército indiano: soldados (peões), carros (bispos), cavalo, elefantes (torres), além de
um rei e uma rainha.
Sissa justificou que escolheu a guerra porque, para vencer, são necessárias a
persistência, a ponderação, a sabedoria e a ousadia.
O rajá ficou encantado com o jogo e concedeu a Sissa o direito de pedir o que
quisesse como recompensa. Sissa fez ao rajá um pedido aparentemente simples e fácil:
queria 1 grão de trigo pela primeira casa do tabuleiro, 2 grãos de trigo pela segunda
casa, 4 pela terceira, 8 pela quarta casa, 16 pela quinta casa, 32 pela sexta casa, e assim
sucessivamente, sempre dobrando o número de grãos colocados na casa anterior até 64
casas. O rei não conseguiu cumprir sua promessa, pois o total de grãos era
simplesmente 18 446 7444 073 709 551 615, ou seja, a soma dos termos de uma PG de
64 termos
1+2+4+8+16+64+128+256+512+1 024+ 2 048+ 4 096+... + 9 223 372 036 854 775 808
Um número tão fantástico que seriam necessários alguns séculos para que a Terra
produzisse todo esse trigo.
Para alívio do rajá, Sissa disse que já sabia que sua recompensa não poderia ser paga,
pois aquela quantidade daria para cobrir toda a superfície da Índia com uma cama de
trigo de quase uma polegada de espessura.
Gabarito – Caderno do Aluno Matemática 1ª série – Volume 1
23
SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 4
LIMITE DA SOMA DOS INFINITOS TERMOS DE UMA PG
Desafio!
Páginas 49-50
Para responder a essas questões, é importante observar, inicialmente, que, dado um
triângulo ABC com P e Q em pontos médios dos lados AB e BC, respectivamente, PQ é
paralelo a AC e sua medida é igual à metade de AC. O mesmo vale para os demais
lados do triângulo PQR, visto que o triângulo ABC é equilátero.
a) Como PQR é um triângulo equilátero, as medidas dos lados PQ, PR e RQ são todas
iguais a 0,5.
b) O perímetro do triângulo ABC é igual a 3, o do PQR é igual a 23
e o do triângulo
STU é 43
.
c) A sequência de triângulos assim construídos terá perímetros respectivamente iguais
a: (3, 23
, 43
, 83
, 163
, …).
Páginas 51-53
1. O valor procurado corresponde ao limite da soma de uma PG de razão 41
para o
número de termos, tendendo a infinito. Podemos fazer:
S
nlim
∞>−− = 3
8
411
21
1 =−
=− qa
Gabarito – Caderno do Aluno Matemática 1ª série – Volume 1
24
Portanto, por mais que aumentemos a quantidade de parcelas da soma, nunca
ultrapassaremos o valor 38
, embora cada vez mais nos aproximemos dele.
2.
a) A razão é 101−
. A soma será igual a 11
100− .
b) A razão é 21
. A soma será igual a 54
.
3. Temos a seguinte soma para as distâncias percorridas pela bola durante as descidas:
Sdescida = 6 + 2 + ...92
32
++
Temos a seguinte soma para as distâncias percorridas pela bola durante as subidas:
Ssubida = 2 + ...92
32
++ =
S
nlim
∞>−− = 3
311
21
1 =−
=− qa
Observando que Sdescida = 6 + Ssubida temos que Sdescida = 6 + 3 = 9
Portanto, a distância vertical total percorrida pela bola é igual a
Sdescida + Ssubida = 12 m.
4. 2718
411
2 =→=−
x
x
Páginas 53 - 56
1.
a) (10; 1; 0,1; 0,01; …)
b) 0,1
Gabarito – Caderno do Aluno Matemática 1ª série – Volume 1
25
c) Sn
lim∞>−− 9
1009,0
101,01
101
1 ==−
=−
=q
a metros.
d) Aquiles alcançará a tartaruga após percorrer 9
100 metros.
2. A expressão pode ser reescrita da seguinte forma:
.....161
81
41
21
161
81
41
21
2....2.2.2.2++++
=
Trata-se de calcular o limite da soma da PG de primeiro termo igual a 21
e razão
igual a 21
, cujo resultado é 1. Assim, o resultado da expressão é igual a 21 = 2.
3. Levando-se ao pé da letra a descrição fornecida no enunciado, a dívida jamais seria
paga, pois sempre restaria um resíduo, por menor que fosse. Podemos, no entanto,
calcular o limite da soma da PG formada pelas parcelas, pois esse será o valor limite
da dívida. Chamando de x o valor total da dívida, devemos verificar se a soma das
parcelas resulta no valor total da dívida, isto é, x.
S = x
xx
qaxxxx
==−
=−
=++++
212
211
21
...16842
1 .
4. Vamos decompor a dízima na seguinte soma:
1,777… = 1 + 0,777… = 1 + 0,7 + 0,07 + 0,007 + …
Podemos escrever esta soma da seguinte forma:
1,777… = 1 + 0,777… = 1 + 0,7 + 0,07 + 0,007 + …= 1 + ...00017
1007
107
+++
Desse modo, concluímos que as parcelas ...,00017,
1007,
107
formam uma PG infinita
de razão q = 101 e primeiro termo
107
1 =a .
Gabarito – Caderno do Aluno Matemática 1ª série – Volume 1
26
Assim, aplicando a fórmula do limite da soma nSlim ,1
1
qa−
= obtemos:
nSlim = .97
109
107
1011
107
11 ==
−=
− qa
Desse modo, a geratriz de 1,777… será 1 + 9
1697= .