matematica 2

5/13/2018 Matematica 2 - slidepdf.com

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PROFESOR

MSc. JOSE FRANCISCO CAMACHO PEREZE-mail: jfcamachoS4@hotmaiLcom

ALUMNO (A)



U NIV ER SID AD M E TR OP OL IT AN A C AS TR O C AR AZ O - U M CA

M Sc. JO SE FR AN CISC O C AM AC HO PE RE Z

C UR SO : M A2024 M AT EM AT IC A il - CA lCULO D lFERENCIAL E INTEGRAL I CUA l1RIM ESTRE 2011

NOM BRE COM PLETO DELALUM NO: _

CONTROL DE TRABAJO EN CLASE, TAREAS Y TRABAJO FINAL

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5:21/01~~

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1(8:00-11:00 pm]

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NOTA :

0' AI finatizar el trabajo asignado en cada leccion y antes de retirarse, el alumna (a) debe

presentar este cronograma al profesor para la anotacion que corresponda.



ALGUNOS ARTicULOS IMPORTANTES DEL REGLAMENTO DE REGIMEN

ESTUDIANTIL

CAPITULO VII: De la Evaluaci6n del Aprovechamiento.

Articulo 42: Otras disposiciones que norman la evaluaci6n de cursos.

a- Los resultados de los diferentes tipos de evaluaci6n se cuantifican can base en la escalade 1 a 100.

b- EI estudiante que obtenga un promedio final de 1 a 59 debera repetir el curso pues su

resultado es de reprobado.c- EI estudiante que obtenga un promedio de 60 a 69 tiene derecho a un examen

extraordinario. Este examen debera realizarse una semana antes de iniciar el siguiente

cuatrimestre. En el supuesto de no aprobarse 0 se pase la fecha de convocatoria

correspondiente, el estudiante debera cursar de nuevo la materia.

e- La cajficaeion correspondiente a la aprobacion de un examen extraordinario es de 70,

aun cuando el puntaje obtenido par el estudiante sea mayor al indicado.

Articulo 45-46-47: Requisitos al practicar una evaluacion.

Vienen descritos en la portada de cada examen.

Articulo 48: Abandono del recinta mientras se realiza la prueba.

Una vez que la prueba haya iniciada, no se permitira al alumno, bajo ninguna

circunstancia, excepto caso fortuito 0 de fuerza mayor, abandonar el recinto de examen sin

haber finalizado la prueba.

Articulo 49: Fraude durante y despues del examen.

En caso que un estudiante fuera descubierto tomando informacion adicional en el

momenta de elaboraci6n de cualquier tipo de prueba que efectue el profesor, 0 procura la

alteraclon 0 destrucci6n de pruebas 0 notas, perdera el curso autornaflcarnente. Si fuese

descubierto copiando durante la ejecuci6n de un examen, 1 0 perdera can la nota minima

(uno) y se Ie aplicara el regimen disciplinario (expulsion del estudiante de la universidad).

Articulo 52: Preservacion de exarnenes, investigaciones u otros trabajos.

Para efectos de reclamos, el estudiante debe conservar en buen estado los exarnenes, y

sin alteraciones evidentes, trabajos, investigaciones, tareas, asi como alms medios que

respalden su progreso acadernico. De no ser asi,el estudiante no podra efectuar su

reclamo, pues no cuenta con documentas probatorios que 10 respalden. EI estudiante

tendra derecho a reclamar por escrito ante el pmfesor, 1 0 que considere mal evaluado del

examen 0 trabajo, en los tres dias habiles posteriores a la finalizaci6n del plazo senalado

para la entrega.

Articulo 53: Plazo para la entrega de examenes debidamente calificados.

Cuando la prueba que se realiza es de forma escrita, el estudiante recibira su examen

debidamente corregido y calificado de mana del profesor, a mas tardar diez dias habilesdespues de realizadala prueba. En caso contrario puede presentar un reclamo ante la

unidad academica carrespondiente. SI la prueba se lieva cabo en forma oral, el estudiante

debe recibir su calificaci6n inmediatamente despues de efectuada.

Articulo 54: Perdida de exarnenes por parte del profesor.

La perdida de exarnenes por parte del protesor, otorqara el derecho al estudlante de que

se Ie asigne una nota de 80, una nota de acuerdo con el promedio del rendimiento en la

signatura, 0, si este es mayor, a que se Ie repita el examen, sequn 10 considere el

estudiante.



CAPiTULO X: De la Asistencia a Clases.

Articulo 66: Obligatoriedad de aslstir a los cursos.

La asistencia a los cursos es obligatoria. Los estudiantes que tuviesen al menos tres

ausencias consecutivas injustificadas 0 cuatro altemas en el mismo cnrso, durante uncuatrimestre, perderan la materia autornatlcamente. En este caso sera el alurnno el unico

responsable de ponerse al dia cuando talte a lecciones.

Articulo 67: Puntualidad para entrar y salirde crases.

La entrada y salida de lecciones en horario cotidiano, tanto para estudiantes como para

profesores, deben ser estrictamente observadas, de conformidad con la hora establecida

para el curso, sequn la oferta acadernlca.

Articulo 68: Obligatoriedad de asistir a la realizaci6n de pruebas 0 exarnenes.

Es obligatoria la asistencia a las pruebas, aun cuando estas se realicen fuera del horarioI

de clase. Solamente se justificaran las ausencias por las razones siguientes:

a- Enfermedad personal; esta debe ser debidamente comprobada, mel\diante dictamen

medico.b- Enfermedad grave 0 muerte de alqun rmembro de su familia, hasta en primer grado de

consanguinidad 0 afinidad.

c- Cualquier otra raz6n producto de caso fortuito 0 fuerza mayor, siempre tque se presentejustificaci6n vallda.

La justificaci6n de ausencias para pruebas debera presentarse al profesor del curso por

escrito, en un lapso no mayor de echo dias habiles a partir de la fecha de ~ealizaci6n de la

prueba. La solicitud de justificaci6n debe incorporar documentos probatorios, ya sea de la

Caja Costarricense de Segura Social, del Instituto Nacional de Seguras, tdtocopia del actade defunci6n, sequn sea el caso, 0 carta firm ada per el jefe inmediato de laiempresa donde

labora.

"La mayor parte de 10 que ignoramos,

es mucho mayor que todo cuanto

sabemos"

Plat6n



a) ( x 2 + xV)(x2 - x - i )

~ I Ib) (Sa + 3b)(5a - 3b) (a+b)(a - b) = a2 _ b2

c ) (2xl + 9x8)(2xl - 9x

B)

d) (3,2 + ~)(3:;-~)

UN IV ERSID AD M HROPOL ITA NA CASTRO CARA ZO

E SC U EL A D E A D MI NI ST R AC IO N

CURSO : M A2{)24 M ATEM ATICA 11- CA LCULO DlFEREN CIA l E INTEGRA L

PROF. MSc . JOSE FRANCISCO CA MA CH O PEREZ

pRACTICA 1

fNDICACIONES:

• Esta practica se presentara, obligatoriamente, en una CARPETA (0 FOLDER) que incfuya

una portada con los datos personales basicos del alumna (Universidad, carrera, nombre del

curso, nombre completo del estudiante, numero de camet, nombre complete del profesor,

cuatrimestre).

• Dicha carpeta se utilizara para presentar, en forma separada, los trabajos en clase

(practices), tareas y trabajo final, acompafiados.

• Calculo debe lIevar su respective desarrollo y respuesta final..

• Se debe utilizar !apicero con tinta azul a negra. No se debe usar lapiz ni corrector liquido.

• Seexige orden, claridad y nurneros legibles. No se aceptan borrones ni tachones.

• La carpeta se presentara en las semanas que se indiquen en el cronograma a control.

• EI alumno ausente justificara la ausencia sequn 10 estabJece el articulo 68 del Capitulo X del

Reglamento de Regimen Estudiantii.

LAS ANTERIORES INDICACIONES RIGEN PARA TODAS LAS PRACTICAS 0TAREAS.

PRODUCTOS 0 FORMULAS NOTABLES

1) Resuelva, aplicando la PRIMERA FORMULA NOTABLE:

Ia) ( x : - y 1 + 5x)2

b) (12x + 1)2

2) Resuelva, aplicando la SEGUNDA FORMULA NOTABLE:

a) {1 O x ;Y - xi)2

1(3ab _ - a3)2

4b)

3) Resuelva, aplicando la TERCERA FORMULA NOTABLE:



4) Resuelva, aplicando el CUBO DE LA SUMA Y EL CUBa DE LA dlFERENCIA DE DOSTERM/NOS::

(a + bf = a3 + 3a2b + 3ab2 + bJ

(a - b)J = aJ- 3 l 2b + 3ab2 _ b3

I

a) (3x + 8)3

b) (5x- 2)3

FACTORIZACION POR FACTOR COMON" AGRUPACI6N DE LERMINOS,

DIFERENCIA DE CUADRADOS E INSPECCI6N I I

5) Factorice extrayendo el MAYOR FACTOR CDMON:

a) a3 + a2 - a

b) Sa2b4 - 25a3b5(

~b+ac+ad = a(b+c+d) )

'---_---+-1 _

c) 12x3- 6ry

d) 24a~3 + 12ax4 - 6a3x

6) Factori ce los siguientes binomios, aplicando la DIFERENCIADECUAD~DOS:

a) y . 2 - 16 I a2- b2 = (aJ1b){a-b) I

b) 16~-641 I

nr;;; m /c) 1-2Sl

"m Ina =a

Id) a8b4-100

e) 20~-45x

\f) m10n6 _ p12

7) Factorice las siguientes expresiones par AGRUPACION DE TERM/NOS:

a) x3 + ~z + 2d + 2z3

b) a3 + 2a2 + 2a + 4

c) 18~ + 4~ - 15y - 35

d) 2x3+2 x~ - 2xY- - 2y3

ax+bx+ay+by = (arb){X+Y)



8) Factorice, en forma completa, los siguientes trinomios de segundo grado, aplicando el

metoda de INSPECCION 0 TANTEO:

a) Y ? +5x + 6

b) y? - 7x + 12

c) Y ? + 7x-8

d) 0-5x+4

e) Y ? + 2x - 3

f) .x2-x-12

g) 1+ 4y-12

h) 2a2 - 26a + 80

i) 3.x2+ 5x + 2

j) 5x2 + 11x + 2

k) 6xZ-x-1

I) 60 + 22x + 20

m) 40 + 7x + 3

n) 40 + 13xy + 31

0) 31 + 11y + 6

p) 7c2 - 37c - 30

"EL ERROR MAs GRANDE QUE UNA PERSONA PUEDE

COMErER, ES TENER MIEDO D.E COMErER UNO"

ELBERT HUBBARD



U NIV ER SID AD M ET RO PO lIT AN A C AS TR O C AR AZ O

CA lCU L O INT E GRA .L E INFERENCIA.L

PROF . M Sc. JOSE reo. CAMACHO PEREZ

FACTORIZACION

Factorar una expresi6n algebraica es convertirla en el producto indicado d l sus factores.FACTOR COMUN MONOM10 I

Se dice que un polinomio tiene factor cornun cuando una misma cantidad, ya sea numero 0

letra, se encuentra en todos los terrnlnos del polinomio.

( ~ a _ b _ + _ a _ c _ + _ a _ d _ = _ _ a _ ( b _ + _ C _ + _ d _ ) _ _ ~ )

Cuando el factor comun a todos los terminos del polinomio es un monomio.

Procedimiento para factorizar:

1) Se extrae el factor cornun de cualquier tlpo, ya sea numero (el mbXimo divisor cornun

de los coeficientes-MCD) a letra (variable de menor exponente).IEste viene a ser el

primer factor.

2) Se divide cada termlno de la expresi6n entre el factor cornun y elre resultadosviene a ser el segundo factor.

EJEMPLOS

1) Factorizar X7+ X3

Variable comun con su menor exponente: x

3

ma m+nt n = a

I

Luego se divide:

2) Faetorizar: 14a9 + 7a - 49a4

EI MCD DE 14, 7 Y 49 es 7

Variable cornun con su menor exponente: a

14a9+7a -49a

414a

97a 49a

48 3

Luego se divide: =--+---- =2a +1-7a7a 7a 7a 7a



FACTOR eOMON POLINOMIO

m(a+b) + n(a+b) = (m+n) (a+b)

Cuando el factor coman que aparece es un polinomio.


1) Se extrae el factor cornun de cualquier clase, que viene a ser el primer factor.

2) Se divide cada parte de la expresi6n entre el factor cornun y el conjunto de resultados

viene a ser el segundo factor.

EJEMPLOS

1) Factorizar a(x+3) + b(x+3)

Factor cornun con su menor exponente: (x+3)

Luego se divide:

_a_{x_+_3---,-}_+_b---,-(x_+_3_>a(x + 3} + b(x +3) = = a + b

(x+3) (x+3) (x+3)

Entonces: a(x+3)+b(x+3) = (a+b)(x+3)

2) Factorizar (2a-3)(y+1) - (y+1)

Factor cornun con su menor exponente: (y+1)

Luego se d.ivide:

(2a - 3)(y + 1)- (y +1) = (2a - 3)(y + 1) _ (y +1)= = (2a _ 3) -1=2 a _ 3 -1= 2a _ 4

(y + 1) (y + 1) (y +1)

Entonces: (2a-3)(y+ 1) - (y+ 1) = (y+ 1) (2a-4)

FACTOR eOMON POR AGRUPACION DE TERMINOS

[~ a_X_+_b_x_+_a_Y_+_by_=_(_a_+_b_)(_x+_Y_)~lCuando el factot comun de todos los terminos de un polinomio es un poJinomio.




1) Se trata de factorizar con la finalidad de obtener en primer lugar un factor comOn

monomio y como consecuencia un factor cornun polinomio. I

2) Se divide cada parte de la expresi6n entre el factor comun y el resultado viene a ser el

segundo factor.

EJEMPLOS

1) Factorizar ax+bx+aw+bw

Agrupamos: (ax+bx) + (aw+bw)

Factor comun de cada termino: x(a+b) + w(a+b)

Factor comun polinomio:

Luego se divide:

(a+b)

x(a+b)+w(a+b) x(a+b) w(a+b) L-------= + rX+W

(a+b) (a+b) (a+b)

Entonces: ax + bx + wa + wb = (a+b) (x+w)

2) Factorizar 2X2-4xy-4x+8y-a~b = -(a-b)

-a-b = -(a+b)

I-ax+ay = -a(x-y)

I-ax-ay = -a(x+y)

I

Agrupamos: (2x?-4xy) - (4x-8y)

Factor cornun de cada termino: 2x(x-2y) - 4(x-2y)

Factor comun: (x-2y)

2x(x - 2y) - 4(x - 2y) = 2x(x - 2y) _ 4(x - 2y) = 2x _ 4

(x - 2y) (x - 2y) (x - 2y)1

Entonces: 2X2- 4xy - 4x + 8y = (x-2y) (2x-4) = (x-2y) 2(x-2) = 2(x-2y) (x-2)

Luego se divide:



TRINOMIO DE LA FORMA x2 + bx + c Y TRINOMIO CUADRADO PERFECTO

Se ldentifica par tener tres termlncs, hay una expresi6n literal con exponente al cuadrado y uno

de elias es el terrnino independiente. Se resuelve par media de dos parentesis. Para este upo

de factonzaclcn usaremos la calculadora cientifica modelo fx-S7D ES 0 fx-95MS.

EJEMPLO

Factorice los siguientes trinomios: (en la catculadora fx-S70ES)

1) Factorice a2 + 2a - 15 (Aqui a=1, b=2 y c= -15)

Dlqite las teclas: (ALPHA) (MODE) (5(EQN)) (3(ax2+bX+c=D».

Luego Ilene las celdas con los nurneros: (1) (=), (2) (=), (-15) (=), (=).

En la pantalla aparece:

X1 = 3 : : : : > x - 3 = D (el 3 positivo pasa al otro lado negativo a a restar e igualamas a D para

hallael primer factor»

X2 = -5:::::> x + 5 ::: 0 (el 5 negativo pasa al otro lado positivo 0 a sumar e igualamos a 0

para hallar el segundo factor)

Cambiamos la variable" x" por la variable (a, b, y, m, t, ) que se utitice en el trinornio.

Entonces: a2+ 2a - 15 = (a - 3)(a + 5)

2) Factorice 4J? -12xy + 9~ (Aqui a=4, b=-12 Y c=9)

Digite las teclas: (ALPHA) (MODE) (5(EQN» (3(ax2+bX+c=D».

Luego Ilene las celdas can los numeros: (4)(=), (-12)(=), (9)(=), (=).

3En la pantaUa aparece: x = 2 (aqui aparece un solo valor para la "x", por tanto, el primer

factor y segundo factor son iguales. Entonces, iguaJamos a 0 para hallar el factor)

3Si x= 2 => 2x = 3 (e12 que esta dividiendo pasa al otro lado a rnultiplicar a la x)

: : : : : : > 2x - 3 = 0 (el 3 que esta negativo pasa positivo 0 a restar)

Entonces: 4x! -12xy + 9;1 = (2x- 3y) (2x- 3y)



U NIV ER SID A D M E TR OP OlIT AN A C AS TR O C AR AZ O

C AlC UlO D IF ER EN CIA L E IIN TE GR AL M Sc. JO SE F RA NC IS CO C AM AC HO PE RE Z

UMITES Y CONTINUIDAD

Tal vez has estado en. un estacionamiento en el que debe "aproximarse"lal carro de entrente,

perc no quiere golpearlo ni tocarlo. Esta noci6n de estar cada vez mas cs rca de alqo, pero sin

tocarlo, es muy importante en rnaternatlcas y esta involucrado en el concepto de limite, en el

que descansa el tundamento del calculo. Basicarnente haremos que ~ue una variable "se

aproxime" a un valor particular y examinaremos el efecto que tiene sobre los valores de la

funci6n. I

Vamos a estudiar ellimite de ta funci6n!(xj = : e en el punta X c I = 2

x f(x)

1,9 3,61

1,99 3,96011,999 3,996001

••• • ••.} . , ! .

2 4

x f(x)

2,1 2,41

2,01 4,0401

2,001 4,004001

••• •••

.} .J ,2 4

Tanto si nos acercamos a 2, es decir, x = 2, por t e izquierda (valores menores que 2) 0 la

derecha (valores mayores que 2) las lrnaqenes se acercan a 4, es decir f(X)\eS 4.

Se dice entonees que:

e/limite cuando x fiende a 2 de la tuncton f(xJ = J i l ~s 4

ISimb61icamente se escribe:

lim x2=4x-+2

Llamamas el limite de f(x) cuando x se aproxirna (0 tiende) a a, es el numerJ L , escrito

lim f(x)=Lx~a

Enfatizamos que cuando debemos encontrar un limite, no estamos intere~ados en 1 0 que Ie

pasa a f(x) cuando x es igual a a, sino s610en 1 0 que Ie sucede a f{x) cuando x es cercana a a.



PROPIEDADES DE LOS LiMITES

Para determinar limites no siernpre hace falta calcular los valores de la funci6n 0 esbozar una

grafica. De manera alternativa, hay varias propiedades de los limites que podemos emplear, las

siguientes son las que mas utilizamos:

1. Si f(x)=c es una funcicn constante, entonces lim f(x) =x ~ a

lim c = cx - - ' > a

EJEMPLO 1

lim f(x) =x-- ,>2

lim 7 = 7

x-- ,>2

2. lim nx = an , para cualquier numero entero positivo n.x->a

EJEMPLQ 2

lim x2

= 62

=36x-- ,>6

3. Si lim f(x) yx - - ' > a

lim g(x) existen, entonces

x-- ,>a

x - - ' > olim [((x) + g(x)] = lim I(x) + lim g(x). Esto es, ellimite de una suma 0 diferencia es

x - - ' > a x-+a

la suma 0diferencia, respectivamente, de los limites.

EJEMPLO 3

lim (x2

+x)= lim x2+ lim x=(2)2+2=4+2=6

x --'> 2 x --'> 2 x --'> 2

4. Si lim [rCx). g(x)]= Lim f(x). lim g(x). Esto es, ellimite de un producto es el

x--'>a x--'>a

producto de los Iimites.



EJEMPLO 4

Lim (x+ l).x = = lim (x + 1). lim x = ( lim x + lim 1 ) . Urn x ~ (3 + 1).3 =] 2

x --> 3 x --> 3 x ---> 3 x--> 3 x--> 3 x --> 3 I

5. lim [c. I(x)] = C • lim I(x) , donde c es una constante. Esto F S ' el limite de unax - - - - + a x ~ a

constante por una funci6n es la constante por el limite de la funcion.

EJEMPLO 5

3lim 3x = 3 •

X -'T-2lim x3 = 3(-2)3 = -24

x -'T-2

f(x) lim [ex)6. lim __ = x ~ a , si

x ~. a g(x) lim g(x)

x - - - - + a

tenga un limite de O.

lim g(x) * " O. Esto es, siempre que el denominador no

x - - - - + a

EJEMPLO 6

lim (2x2 + x - 3) 2

2x2 + x-3 =0 x "-71 = 2(1) +1-3 = Q = 0

lim (x3 +4) (1)3+4 5

x-'Tl

7. lim n,f/(x) =0 n~ lim f(x)x ~ a x ~ a

EJEMPLO 7

lim (x2 + 7) = = ~ 1 1 6=2~

x~3

lim ~x2 + 7 = 3

X-'T3

EJEMPLO 8

3 lim (3x3

- 8)3x -8 X "-70

lim --- = = = . -----'.-=-~-- =x---tO x-2 lim (x-2)

X40

3. Urn x3 - lim 8

x....-? -O x->O x: -8=4lim x - lim 2 - 2

x~O x---tO



U N IV ER SID A D M E TR dp OllT AN A C AS TR O C AR AZ O

E SC U ElA D E A D M IN IS TR A CIO N

C U RS O : M A 20 24 M A TE M A T lC A 1 1- C AlC UlO D I FE RE NC IA l E IN TE GR AL

P RO F . M S c. J OS E F RA f) JC IS CO C A M AC H O P E RE Z

PRACTICA 2

N 9 LIMITE RI

1lim 8

8x~2

2 lim - J 3 - J 3x~ a

311m 3,(' 4

s s-

x~ 3

4lim (5X)2

x~ ,I i50

lim t4 - 15

t--->2 - J 3143

6Jim n2

2

x~o1t

7Jim (-x2-2x+19) 176

- 1 1 3-

X---> 9

li m (3x?-5x-2)148-5-fi

x~ 5,,/i

91 1 m (4;i!-5x+1 )

7x~-2

lim 1 ( 1 1 ) 110 x 5 5+x -

10x-o

lim ( 10-x ) 1211 5-3x+ 2X2

-

19x---> -2

2

12 Jim (x2-1)3 4

x~-3



lim gg ; 213

l-3

t----+4

14

lim (-x4+30)

-4x-- -2

lim x+1 (J2-12)I

-415 -

X----+3 x+6 3I

20lim (2x-1)3

\ 125x----+3

21lim (x+3}(~+1)

\

8X----+1 3x-2

2

I-

limZ3

22z-Ez

1

I-8

13 -

(3X2 +20,,/-;)3

23 lim

I4

x-4

2

I1

25 lim (x2-1) (x2-5) 2 8

x- 3

26Jim e X + l ) ~

4x2-8

I-- 3I

limJ

2X2 + 2x+4 42 7

~ \-

6x-3 3x- 5



U N IV ER SID A D M IT RO PO U TA NA C AS TR O C A.R AZ O

M A TE M AT IC A II - C AlC UlO D lF ER EN CIA L E IN TE GR AL

M Sc. JO SE F RA NO SC O C AM A CH O P ER EZ

FORMULAS NOTABLES

1. EI cuadrado de la suma de dos terminos (a+b)" = = (a+b)(a+b) = = a L + 2ab + bL

2. EI cuadrado de la diferencia de dos{a_b)2 = = (a-b)(a-b) =a2 - 2ab + b2

terminos

3_ La diferencia de cuadradas(a+b)(a-b) ::::a2 - b2

4. La suma de dos termmos par un trinomio(a+b)(a2- ab +b2) = = a3 + b3

5. La diferencia de dos tEmninos par un

trinomio (a-b)(a2 + ab + b2) = = a3 _ b3

6. EI cuba de la suma de dos terrninos (a+b)" = = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

7. EI cuba de la diferencia de dos terminos (a-b)" ::::aCl_ 3a2b + 3ab:.! - b;;

B . EI cuadrado de un pollnornio(a+b+c)" = = a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc

FACTORIZACION

1. Factor comun ax' + ax.! + ax +a - a(x" +XL + x + 1)

2. Aqrupacion de terminos ax+bx+ay+by = = x(a+b) + y(a+b) = = (a+b)(x+y)

3_ 10 F6rmula notable ao!+ 2ab + bo! ::::(a+b)(a+b) ::::(a+b)"

4 _ 2° F6rmula notable aL - 2ab + b" = = (a-b)(a-b) = (a-b)"

5. 3" Formula notable aL _ bL= = (a+b)(a-b)

6. Suma de cubos a" + b" = = (a+b)(a.!- ab +b")

7. Diferencia de cubos a" - bJ:::: (a-b)(a" + ab + b")



· . , \SIMPLIFICACION ANTES DE HALLAR LIMITE POR SUSTlTUCION DIRECTA

Calcularemos ahora el limite de funciones un poco mas cornplejas, SiQUienfo el mismo proceso de

sustitucion directa

Ejemplo

Obtener el siguiente limite: lim x ? - 4x-+2 x-2

aEn este caso si aplicamos la sustituci6n directa, esta nos conduce ala expresion que no tiene

ningun significado, par 1 0 que carece de sentido el escribirla. \ 0

Sin embargo una factarizaci6n del numerador pennite expresar eilimite como sigue:

lim x ? - 4 = lim (02) (x+Z) = lim (x+2) = 2 + 2 = 4

x-+2 x-2 X-l- 2 ~ x-2

EI heche par el cualla sustituci6n directa no es aplicable desde el principia se ~ebe a que la funcion es

discontinue en x = 2.

Asi pues, algunas funciones deben ser simplificadas antes de calcular ellimitl par sustituci6n directa,

pues de otra forma conducen a expresiones no definidas.

FACTORlZACION POR PROIJUCTOS NOTABLES

• Primeraformuia notable: aZ+2ab+b

2:; (a+b)(a+b) = (a+bl

• Segundafurmula notable: aZ-2ab+b2

= (a-b)(a-b) = (a~bi

• Terceroformula notahie: a2- b

2 = (a+b)(a-b)3 3 2 2

• /}iferencia de cubos: a - b = (a-b)(a +ab+bJ

• Suma de cuba... a3+ b

3= (a+b)(a

z-ab+b

2)



LiMITES INDETERMINADOS DE FUNCIONES

En algunos casos los teoremas (afirmaciones que pueden ser demostradas como verdaderas a

partir de un marco loqico) tratados anteriarmente para et calculo de limites no son aplicables

ya que al evaluar el limite se puede presentar, algunas veces, formas extrarias que no se

presentan ni dicen nada. Estas formas extrarias, reciben el nombre de tormes2

indeterminadas. Por ejemplo 5i consideramos a f(x) definida par f(x) = x -1 y desearnos

x -1

2averiguar su limite, es deeir x -1 nos encontramos con que el limite del denominador

lim

X ~] x-1

es cere, en conseeuencia no es aplieable el teorema sobre limite de un eaciente para encontrar

el valor del limite (que existe y es 2). Se dice entonees que estamos ante una Indeterminacion

ode la forma - .

o

Otras formas indeterminadas que se pueden encontrar son: 00- 00,0.00, Q , 1"',00°,00.o

En algunos easos las indeterminaeiones serialadas antenormente, pueden hacerse

desaparecer a traves de algunas manipulaciones algebraicas de la funci6n (factorizaci6n,

empleando conjugados, sacando factores eomunes, entre otros).

oa) En los llrnites de la forma - para levantar 0 suprimir la indeterrnlnacion, se recomienda

outillzar la conjugada 0 factorizaci6n tanto al numerador como el denominador de la

expresi6n.

Recuerde que:

aJ - b.j = (a - b)(a:l + ab + bL)

a;j + b::!= (a + b)(a~ - ab + bL)

x.j-8=xJ-2::!

Ejemplo:

2x -1 11m (x - 2) (x + 2) = 11m x + 2 _ _ i_ _ . ! _

x ~ 2 (x - 2)( x 2 + 2x + 4) x ~ 2 x2 + 2x + 4 - 16 - 4



O C I

b) En limites de la forma - para levantar 0 suprimir este tipo doeindeterminaci6n se

sugiere dividir tanto el nurnsraoor como el denominador de la e*presi6n por la mayor

potencia de la variable.

Calcularx 00

indetrmina ci6nlim

x~o:Jx+l

Entonces:

x

x= = lim _X_= lim __ = lim _1_ ee 1

X-H;Q~+~ x~col+~ x---too1+O

x x x

lim

x ~ 00 x +I



U N IV E R SI DA D M E T R O PO L IT A N A C A S TR O C A R A ZO

ESCUELA DE ADMI N ISTRAC ION

C U R S O: M A 2 02 4 M A T EM A T IC A 1 1- C A lC U lO D lF ER E NC IA l E IN TE G RA L

P RO F. M S o:. JO SE F RA NC IS CO C AM A OIO P ER EZ

PRACTICA 3

N2 PREGUNTA R I

1lim x2-9

x-3 x-36

2lim -2- 25

X--+-5 x+5-10

3lim x+1 -1

x_ -1 ~-1-

2

4lim x2+x-6

x_ 2 x-2

5

5lim 3x-3 3

1 ~-1-

x- 2

611m xZ-4x+3

x_ 1 x-1-2

1 1 mx-I-- I

7 x3-1 -

x- i3

8li m x':+x

1x_ 0 x

91 1 m x2-6x+8

x_ 2 x-2 '-2

10lim -2+x-2 3

x_1 7-=1-2

11li m 2x+6 -1

x _ -3 4)(2-36-

12

12lim (x-1)(x?-9)

12x--+3 (x-3)

13lim :x 3+3xZ+2x -2

x_-2 x~-x-6-

5



lim x-1I

114

.>2-~+x-1-

x--1 2I

limI

115

x-12X4+X3_2x2_1 -

x 1

I 4'------

• • • IRACIONALtZACION ANTES DE HALLAR LIMITE PORSUSTITUCION DIRECTA

I

Adernas de los ejemplos estudiados existen otros, par ejemplo, si deseamos hallar el

x-4

~-2lim tenemos que al tratar de utilizar el metoda de sustituci6n directa.

I

x--4

lim x-4 4-4 4-4 0J =:!. = -- = - (forma indeterminada)-Jx-2 -"J4-2 2-2 0

x--4

Si bien en este caso no podemos apficar el rnetodo de sustituclon directa y el rnetodo de

Iactorizacion para simplificar la funcion, podemos utilizar, sin embargo otro rnetodo mate matico

conocido como la recionettzscion (del numerador 0 del denominador). De1acuerdo can el caso

anterior tenemos que:

lim

x--4x-4 = lim (x-4)(,Jx +2) li. (x-4)(....Ix +2) li:

__ j j = i4 ( CX ) 2 _ 22 = x~. . . ,{ ;-2 x (...,{;-2)(~+2) - s x

I Iconjugados diferencia de cuadrados

-14)($ +2) _

-4

I 1 . •ca'1ce acton

= = lim (J;+ 2) = . . . , f 4 + 2 =4>:44



U N IV E RS ID A D M E TR O PO llT A NA C A ST RO C A RA Z O

E S CU E L A D E A D M I NI ST R A CI O N

C U RS O: M A 20 24 M A T EM A T IC A 1 1- C A lC U LO D IF ER EN C IA L E IN T EG R AL

P RO F. M Sc . JO SE F RA NC IS CO C AM A CH O P ER EZ

PRACTICA4N2 PREGUNTA RI

limx-9

1 ~-3 6

X---> 9

limx-25

2 ~-5 10

x~ 25

Um2x-18 . J X -2

3 .£-3 x3-64 12

x~9

lim3£-6 .,

5-,)

8-2x-

8x - - - >4

lim9-x

6 JX-3 -6

x ~ 9

lim.J X -2

17

x3-64-192

x~ 4

lim . J 9 +x-3 18x2+2x

-12

x-a

lim. J x + 7-3 1

9x-2

-

6x-+2

lim2-.J4-x 1

10 -x 4

x~ 0

limx2-3x+ 2

112£-2

-1

x - -- > 1

lim~-3 2

12)X-4-2

-

3x - 8

lim.J2-x-1

132-.JX+3

2

x - 1



Una piscina se vacla sequn la formula2--Jt=3

, donde 'V' es el volumen==

e-49-1 ~

14 -m~

expresado en m3 y "t" el tiempo en minutos. (_A que valor se aproxima el volumen 56

cuando el tiempo se aproxima a 7 minutos? I

Una piscina se vacia sequn [a funci6n v = .Jt+3 -2 , donde "v" eJ el volument-1

115 _m3

expresado en m3y "f' el tiempa en haras. (_A que valor aproxima el volumen cuando 4

el tiempo se aproxima a 1 hara?



U N IV E RS ID A D M E TR O PO U TA N A C A ST RO C A RA Z O

E S CU E lA D E A D M IN IS T RA C IO N

C U RS O: M A 20 24 M A TE M A TIC A 1 1- C A lC U LO D IF ER E NC IA L E I NT EG R AL

P RO F. M Sc. JO SE F RA NC IS CO C AM A CH O P ER EZ

TAREA 1

N Q PREGUNTA

1 lim (5+,J3)

x--'> 1

2lim - r -x--'> 4

3lim (-x2-x-1)

X--'> -1

lim [ x ' , 2 J4 3 -2x + 3

t----)4

5lim (6x3-2x)(5x-1 0)

x--2

6 lim (-~-2x+19)

x--'> -%

7 lim 3 - J 3t3 + 4t - 5

t_2

[' rim

2x +5x+l "38 x

3+2x

2-4

x--'> 1

9lim (3t-1 ) (5t2+8)

t --'>1

10lim (2x-1)3

x- 3

4x2 -111 lim

x-t-I/ 4x2+8x+3

- 12

12 lim4x

2-x-3

x-tl x-l

13 Ibn4x

2-8x

x-t2 x-2



6x-24 I

14lim

- J X -2

\

x-4

15 lim,/x+3- 2

" J x -1\

x~l

lim. J X -2

16x3-64

\

X---> 4

17EI . d I' d d ' f " l ~ a 2+9-3area e un terreno rectangu ar esta a 0 segun la uncion A = . ' donde

. a

U a " es el ancho del terreno expresado en metros. ~A que valor Fe aproxima el area

del terreno cuando su ancho se aproximaa 0 metros?



MATEMATIVA 11-CALCULO

CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL MSC, JOSE FCO. CAMACHO PEREZ

REGlAS BAslCAS DE DERIVACION

1. (e)' = 0, (REG LA DE LA CONSTANTE

2. (u)' = 1

3. (u2)' = = 2u

4. (u3)' = 3u

2

5 _ (un)' = m . ln -1

6. (C Un)' :::: n(cu

n-1)

7. (u ± v)' :::: u' ± v'

8. (uv)' = U' y + v'u

9 , . ( ; Ju'v- v'u

""v2

(REGLA GENERAL DE LAS POTENCIAS)

(REGLA DEL MULTIPLO CONSTANTE)

(DERIVADA DE UN PRODUCTO)

(REGLA DE lA SUMA 0 DIFERENGIA)

(DERIVADA DE UN COCIENTE)

10. (un)' = n(ur-1,(u)' (REGLA DE LA CADENA)

.:. DERIVADAS DE FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARiTMICAS

11. (In u)' = . ! . • . u'u

12. (e")' = e", u'

13. (au)' = a" . In u . u'

114. (log,u)'= _'_ «u'

ulna

.:. DERIVADAS DE FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

15. (sen u)' = cos u

16.(cos u)' ::::-sen u

17.(tan U)' = sec2u

18.(cot u)' = -csc" u

19.(sec u)':::: sec u . tan u

20. (esc u)' = -csc u • cot u

PROPIEDADES DE LOS

LOGARITMOS

1. 109a (uv)> 109a u + 109a 'v

2,. loga (~) = loga u -109a v

3,. 109a UV = v . 109a u

4. loga a=:1

5. Ine = 1



UNIVERSIDAD METROPOLITANA CASTRO CARAZO

MATEMATICA 11- CALCUlO DIFERENCIAl_ E INTEGRAL PROF. JOSE FRANCIS~O CAMACHO PEREZ

LA DERIVADA

La idea de derivada fue formulada en el Siglo XVIII por el rnatemafico frances Pierre deFermat y tuvo su origen en un problema eminentemente geometrioo, cual es, el de hallar

la ecuacion de la recta tangente a una curva cualquiera en un punta P(x ,YI).

y

Para resolver este proble a bastara determinar cual es el valor de I i pendiente en

cuestion, puesto que ya conocemos las coordenadas del punta P(x . y ) y con esos

datos es perfectamente posible obtener la ecuaci6n de Jarecta" I". I

REGLAS DE DERIVADAS

La primere derivada se denota simb61icamente asi:

, f'( ) D dy dy , x > "Y , dx ' dx '

1. DERIVADA DE UNA CONSTANTE

La derivada de una funci6n constante es cero.

Si Y = c entonces y' = 0, can c numero real

Ejemplos

a) Si f(x) = 7 entonces f{x) = 0

b) Si f(x) = - ~ entonces f(x) = a5

c) Si f(x) = if? entonces f(x) = a



2. DERIVADA DEL MOLTIPLO CONSTANTE

Si Y = ex entonces y' = c

Ejemplos

a) Si Y = 4x en tances y': : : 4

-7 -7b) Si Y = -x entonces y' =

~ 4

3. DERIVADA DE UNA POlENCIA

Si Y = x entonces y' = 1

Si Y = x" entonces y' = nx"" con n numero raeional

Si y::: axil entonces y' = n{ax"-1)

Ejemplos

Hallar la derivada de cada una de las funciones siguientes:

1. y::: x9 entonces v '= 9 X 9 - 1 = 9 . x B

2. Y= X15 entonces y' = 15x15-1 = 15x'4

3.-3

y = x-3 entonces y' = _3X-3-1 = _3x-4 = -X4

Y o 1 ~1 1 Y o 14_ y::: x' entonees v '= - X - ::: - x 2::: -~

2 2 2 X 1!2

5. Y = 8x5 entonces y' = 5(80-') = 40x4

y, ] y. 1 1 0 /. 16. y::: x' entonces y '::: - X • - = - x' 4 - ~-

4 4 4X3/4

7. Y = 3x4 entonces y' = 4(3x4-') = 12x3

8. Y =3nx entonces v '= an

4_ DERIVADA DE LA SUMA Y DE LA DIFERENCIA

La derivada de una suma (0 diferencia) de dos funciones derivables es la suma (0 fa

diferencia) de sus derivadas.



Si y = f ± g entonces y'= f'±g'

Ejemplos

a) y = x3 - 4x + 5 entonces y' = 3x2 -4

_x4

b) Y = _ - +3x3 - 2x entonces y' = -2J2 +9x2 -22

5. DERIVADA DE UN PRODUCTO

La derivada de fg es igual al producto de la primera funci6n par la derivada de la

segunda mas la segunda par la derivada de la primera \

5i Y = f . 9 entonces y' = f' . 9 + g' . f

Ejempla

y = (x2+2)(3x-7) entonces y' = (x2+2)' (3x-7) + (3x-7)' ~2+2)

y'= 2x (3x-7) + 3 (x +2)

y' = 6x2- 14x + 3x2 + 6

y' = gx2 - 14x + 6

6. DERIVADA DE UN COCIENTE

La derivada de f es igual a la derivada del nurnerador por el denomihador menos Jag

derivada del denominador por el numerador.

s : y= fg

f'.g- g'fentonces y' =

Ejemplo

Xl +7Si y = entonces

3x-5

, (Xl +7)'(3x-5)-(3x-S)'(X2 +7)

y= (3X-S)2

, 2x(3x - 5) - 3(x2

+ 7)y= (3X-S)2

, 6xl-lOx-3x2-21

Y= (3X-S)2

3x 2 - 10 x - 21=_--~--

(3x - 5)2



7. REGLA GENERAL DE LAS POTENCIAS. CAsa PARTICULAR DE LA CADENA

Si Y = (u"]' = nu"" u'

Ejemplo

y = (3x-2x2)3 entonces r = 3(3X-2xZt1 (3x-2>t)'

y' =3(3x-2x )2 (3-4x)y' = (9-12x)(3x-2x2)2

EJERCI'CIO 1

Halle la primera derivada de cada una de las funciones siguientes.

1) y = -5

2)

10

y = -7

3) Y = 1[;3

4) y = x3

y 25) y = t

6)1

y =X 4

7) Y = r t f 2

8)5

y =X

S

9)4 2

y = -t5

10 ) Y =5

2 X 2

Sug.1 -n

-=Xx n

5

11 ) Y = ( 2 X 3 ) 3

712)y= --

(3xr2

]

Sug_ z" =x n

13) Y = 2 \(;



4) y:::-Jx2+2x-l

5) v = V2X2 -3x+5

6) Y = i'9 ~X2)3

7) Y = (u2 + 1)2 • (2u _ 3)3

B) Y = ( X + 1)3. (2 x + 1}4

Sug. aplicar derivada de un producto, factolzar el resultado

Sug. aplicar derivada de un producto, factorizar el resultado

Sug. aplicar derivada de un producto, facto1zar el resultado

9) Y = [ : : : J Sug. aplicar la derivada de un cociente

10) Sug. aplicar la derivada de un cociente

11) Sug. aplicar la derivada de un cociente

( )

3

3x2-1

13) Y =x+7

Sug. aplicar derivada de un producto, factoriz~r el resultado

ISug. aplicar la derivada de un cociente

DERIVACION DE FUNCIONES EXPONENCIALES Y FUNCIONES LOGARITMICAS

REGLAS SASICAS DE DERIVACION

• DERIVADA DE LA FUNCION EXPONENCIAL NATURAL

y= eX entonces y' = eX (x) '

• DERIVADA DE LA FUNCION LOGARITMO NA TURAL

1y= In x entonces y' = -ex)'

x

• DERIVADA PARA BASES D/STINTAS DE e

y :;:aX entonces v ' = a" In a (x)'

I t • _I_ex)'=o9a x en onces y =xlna



EJEMPLOS DE DERIVACION DE FUNCIONES LOGARITMICAS

1) Si y::: In x entonees y' = (In x)'::: 1

x

2) Si Y = In x ! ' entonees y' = <InxS), . (x5), = 1 . 5x4 = 5x4 ::: 5

x5 X5-;

3) Si y:: : In X S : : : 5 In x entonees y' = 5. (In x)' ::: 5. _1 = §

x x

"

4) Si Y = (In X)5 entonees y ' = Qln X)J' (I n x)' = 5 (In X)4 . ~ = 5(1nXX)4

entonees

. 2x ::: 2x~~1

EJEMPLOS DE DERIVACION DE FUNCIONES EXPONENCIALES

1) Si y::: eX entonees r = (ex)'. (x)' = eX. 1 ::: eX

2) Si v = e7x entonees y ' = (e7X)' . (7x)' = e7x. 7::: 7e7x

3) Si y::: e3,,' entonees y' = (e3~' . (3X2)' = e3,,' . 6x = 6xe3x"

4) Si y = In e3X = 3x. In e = 3x. 1= 3x entonees y' = 3

t t

5) Si v = 7" entonees y' = 7" In 7

6) Si Y = -2e2x entonees y' = (-2), (e'lx) + (e~' (2x)' (-2)

v ' = 2xe2X(1 + x)

T




CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL PROF~ JOSE FRANCISCO CAMACHO PEREZ

DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR

La operaci6n derivada tama una funci6n f y produce un nueva funci6n f (se lee f prima) y

se llama primera derivada de f. Si ahara se deriva f se producira otra funci6n que se

designa como f' y que se llama segunda derivada de f. Esta, a su vez, puede ser

derivada para praducir f''' ,que se llama tercera derivada de f, etc.

Por ejemplo, sea f(x) = 2x3-4~+ 7x-8

f(x) = 6 XZ -8x + 7

f'(x) = 12x-8

f"(x) = 12fV(x) = 0

entonces

Dado que la derivada de la funci6n cera es cera, todas las derivadas ¢Ie mayor orden

seran cera.

Cabe aclara que hemos presentado cuatro notaciones de la derivada (que ahora se

llarnara tarnblen primera derivada ) de f(x). Estas son:

f'(x}, D x Y , Qy

dx

llarnadas, respec!iVamente, la notacion prima, Ia notacion D y la notaJion de Leibniz.

Existe una variaci6n de la notaci6n prima no nombrada, y' que tarnbien usaremos en

algunas ocasiones. I

Ejempla

Hallar y'" si y = sen 2x

Soluci6n: y = sen 2x

y' = 2 cos 2x

y" = 2 . -sen 2x . 2 = -4 sen 2xy'" = -4. cos 2x . 2 = -8 cos 2x

EJERCICIO 5

1) Halle la primera derivada y

a) f(x) = 3x5+7x

3-4x

2+12

b) f(x) = ~-6X2+9x+16

c) f(t) = (f+1)2

d) f(u) = (u2+1)(3u-2)

de orden superior de las funciones siquientes:

I

\

Sug. (a+b)" = a2 + 2ab + b2



2) Encuentrela derivada indicada en cada caso:

a) y'" si y =In x

b ) 'I' s l s= cos 1 O X

c) 'I" si Y = 1x 3

d ) 'I' 8i Y = x. sen x

f) y "• 1 '+1

51 Y = e:

g) y"[-1

si y=-t+1

h) y '" si Y=x. ln x

i) 'Iv si1

y----3u +1

D y" si y= In ( (X+l)(x+2»)

k) y" 5i y= (r+1l




MATEMATICA 11- CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL PROF. MSc. JOSE FRAN81SCO CAMACHO PEREZ

I TAREA2 I TEMA: DERIVADAS 1I VALOR: 9% FECHA DE PRESENTACION:

Halle la prirnera derivada de cada una de las expresiones siguientes:

5

cadena

N!! FUNCION N!! FUNCION

11 9 Y = = 5-Jx - _ 1 _ · +5x2

y= y 2 V xx

2 y=if7 Sug. i?=x% 10 3x4-5x

2 +7x \

y=x

33x

2+7x-5 \

3 Y = = if;i 11Su~. ~ = xx.x y= . r :

4 1 2 1 7 12 y=(x-3X3+2x} sJg. aplique regia de la

Y=-3 +x +-- ca1enax x

4 Y z 3y = -5 + 6x 2+ 51 +3

X x/2

6

7

15 Y = ( 1 + _ ] _ ) 33~ \

I

8-4

y = Sug. aplique regia de la

( x 2 + II

RESPUESTAS

-31)y=-.-

2xX

42)y=--

5xYs

-6

3) Y = Y s5x )

-3 14)y=- +2x--

X4 x2

-20 II 155) Y = = -6- + 9x72 - -7-

X 2x%

10) y = = 9 x2-5

9 11 7 511) Y=_X

72 + h . +--2 F x ~ 2x%

12) y = = 12x2 - ~7

2 213} y=6x +-Xl

2t + 2t5

14) Y= (1-t4)21

is) Y= - : 1 ( 1 t 3 ~ ) 23x/3 =ix

6) Y = 30x4 +9x2 + 12x

-12 37) y=--+ 12x

x

5

24x

8)Y=(x+l)4

5 19) Y=--u+~+10x

2X72 5X75



UNIVERSIDAD METR0POUT ANA CASTRO CARAZO

CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL PROF. JOSE FRANCISCO CAMACHO PEREZ

INTEGRACI.6N 0 ANTIDERIVACION

ANTI DERN ADAS

EI proceso de determinar la funcion cuando se conoce su derivada se llama

INTEGRACIONy la funcion a determinar se denomina la ANTIDERIVADA 0 la INTEGRAL

de la funcion dada.

Sea F(x) una antiderivada de f(x). Escribimos esta afirmaci6n en la forma

f f(x) dx = F(x) + C

que se lee como la integral de f(x), dx, es igual a F(x) + C.

La funcion f(x) por integrar se denomina el integrando y el sirnbolo f es el signo de

integral. EI simbolo _ !_ 6 f(x) que significa derivada, can respecto a x, de .... EI signa dedx

integral y dx van juntos. EI signo de integral indlca la operaclon de integraci6n y dx

significa que la variable de integrBci6n es x. EI integrando siempre se coloca entre el signa

de integral y la diferencial de la variable de integraci6n.

FORMULAS DE INTEGRACION

• Formula de la potencia: J x" dx = X"+1 + C (n*1)

n+1

• La integral del producta de una constante: k Jf(x) dx = kJ f(x) dx

• La integral de la suma: J f Q c ) + g(x) )x = H(x) dx + f g(x) dx

• La integral de una constante: I kdx = kx + c con k = constante

• I1dx= Inx+Cx



16) J % ( X 2 + X +1)dx2

17) r ( X i x 1 ) d X

18) r ( X2X+1}X

RESPUESTAS

1).!. 2) 0 3) 4) -10 5) -34 6) -12 7) 13 8) 295 9) 51 10) -93 ' 2, 12, , 3' , 2 ' 6' 2 ' 4 '

7 13)_15 15) -15 37. 8 3 211) - 12) 6+Sin 2, 14)260, 16) - 17) - 18) - + In 2 19)-

3 ' 2 ' 4' 12 ' 3) 1 . ' 3




VICERRECTORiA DE DOCENCIA

Programa Academico Curricular

Direcci6n de Ciencias Empresariales

Carrera:

Curso:

C6digo:

Creditos:

Bachillerato en Administraci6n de Negocios

Maternatica II (Calculo Di1ferencial)

MA 20244

I.Descrlpcion del Curso

EI presente curso pretende dar una formaci6n vigorosa e integral de los principios, teorlas

y metodos del Calculo Diferencial, Integral y Matricial, Se toma en cuenta que el estudio

del Calculo involucra dos limites principales, uno es Hamado derivada y el otro integral, los

cuales estan intimamente ligados con el concepto de funci6n continua que sera estudiada

en este curso como una primera e importante aplicaci6n del concepto de limite.

II. Justiflcacion del Curso

EI concepto de limite, es Jabase de la rama de las maternaticas conocida como "analisis",

y de la cual el Calculo DiferenciaJ e lnteqral es parte. Probablemente la mayor parte de

las maternaticas que el estudiante de este curso ha estudiado hasta ahara ha estado mas

que nada relacionada con las ramas mas anfiguas de las maternaticas, como son el

algebra y la geometria, y aunque en principia haya utilizado ya el concepto de limite en

problemas de geametrfa y funciones, sera hasta ahara que dicho concepto sera estudiado

formalmente.

Aunque muchos ge6metras grfegos ya manejaban "problemas de limite", este concepto

no se formaliz6 sino hasta finales del siglo XVII de nuestra era, en que dos hombres

descubren 1 0 que ahora Hamamos Calculo. Isaac Newton, un ingles a qulen usualrnentese Ie da el credito por el descubrimiento, y Gottfried Leibniz a quien recordamos en una

forma mas sutil: su notaci6n permanece en usa, mientras que la de Newton casi no es

conocida.

III. Objetivo General

Analizarlos conceptos fundamentales del Calculo Diferencial, Integral y Matricial en la

resoluci6n de problemas que afronte el estudiante durante el ejercicio de su profesi6n.

IV. Objetivos Especificos

1. Calcular el limite de una funci6n poliaornica apllcando las propiedades oasicas sobre

Iimites.

2. Calcular la derivada de una funci6n po.lin6mica, exponencial, logarftmica ytriqonornetrica aplicando las reglas basicas sobre derivadas.

3. Calcular la primera derivada y las de orden superior de una funci6n dada.

4. Aplicar la regia de la cadena en el calculo de una funci6n compuesta.

5. Aplicar la derivada en la soluci6n de problemas de diversas disciplinas.

6. Valorar la integral indefinida y definida de una funci6n polinornica aplicanda las reglas

basicas sobre integrales.

Unlversldad Metr"polit"nil Castro C"razo. Sede Central, calle 7. entre las Qv,"n;da' (""teal I' segunda, S~n Jose, Cost" Rica

T..I,Hono: (506) 257-0506, fal<: (50e;}257-1687. Apart do postal. )25.1005, Cost~ Rica. Piig",a web: www."m(a."'"

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7. Adquirir los conocimiento del calculo matricial necesarios

admlnistracion, economfa y otras areas de la vida profesional.

\

\en la practica de (a

v . Descripclcn de Contenidos

SbMANA CONTENIDOS-- i .;:

.. .t :

1 Tema 1:Umites y sus propiedades: I

1. LImite de una funcion,

2. Teoremas sobre Ifmites.

2 3. Simpliticacion y racionalizaci6n antes de hal\ar un limite por

sustituci6n directa.

3 Tema 2: oerivaci6n: \

1. Reglas basicas de derivaci6n potencias, mUltillOS constantes y

sumas.

2. Regia de derivaclon de productos y cocientes.

4 3. Re_glade la cadena.

5 I Examen Parcial

6 4. Derivadas de funciones exponenciales, \ logaritmicas y

trigonometricas.

7 5. Derivadas de orden superior.

\. Aplicaciones de la primera derivada.

8 7. Derivaci6n implicita. I

9 Tema 3: Integraci6n:

1. Integrales indefinidas.2. Reglas basicas de integraci6n.

10 II Examen Parcial \

11 3. Integrafes definidas. \

4. Inteqracion por sustitucion.

12 Tema 4: Calculo Matricial:1

1. Matrices

2. Operaciones can matrices: suma, mUltiP licaCi6\n, transpuesta.

inversa.

13 3. Soluclon de sistemas de ecuacianes lineales, Metoda Gauss-

Jordan

4. Determinantes

14 5. Saluci6n de sistemas de ecuaciones lineales, Metoda de Cramer15 Examen Final j

Urtiversictad Metropolitana Castro Carazo, Sed" Central. calle 7. entre las avenldas Central y segunda. $iln Jose. Costa Rica_

TelMono, (505) 257-0506. fax: (506) 257-1687_ Apartado postal: 325-1005. Costa RiGa. pagina web: {"ww.umca_nel

Puntarena" 661·<1056· Puri<c')l: '116-7031 • Paso C~noas: 732·2024. Limon: 798·4396' Palmaros: 453·4517' Per"z Zel"d6,,: 771-5632



etodotogia de la Enserianza

A 1 0 largo qel curso se destaca el papel practice, instrumental y formativo de la

Maternatica. Se considera que el proceso de enserianza aprendizaje no se limita a la

transmisi6n de conocimientos, conceptos e ideas expuestas por el profesor, y captados y

memorizados por el estudiante, sino que exista un cambio de conducta como

consecuencia del aprendizaje, desarrollando el pensamiento critico y aprendizaje

colaborativo.

EI presente curso tendra como modalidad una metodoloqla interactiva y constructivista.

Este tipo de metodologia permite que el estudiante interactue en forma permanente con

los elementos cognoscitivos, de forma que el aprendizaje resuJta mas efectivo e integral.

VII. Sistema de Evaluacion

RUBRO VALOR

" , (EN PORCENTAJE)

I Examen Parcial 15

II Examen Parcial 15

Examen Final 20Tareas 15

Practicas en clase 15

Trabajo de investigaci6n (a_QIicacionesde calculol 15

Autoevaluaci6n del Curso 5

Total 100

VIII. Bibliografia:

Lectura Obligatoria.

Larson, Hostetler, Edwards. (2010). Calculo escencial. Mexico Cengage Learning Editores.

Lectura de consulta

Haeussler Ernest. (2003). Maternafica aplicada a la administraci6n y a la economia. Pearson,

Prentice Hall

Jagdish Arya. (1992). Maternaticas aplicadas a la Adrrtinistracion y a la Economia. Editorial

Prentice Hall.

Edwin J. Purcell, Dale Varberg. (2003). Calculo Diferencial e Integral. Mexico: Prentice Hall

Hispanoarnerica.

Larson, Hostetler y Edwars. (1993). Calculo con Geometrfa Analit ica. Editorial McGraw-HilI.

Stanley I. Grossman. (2001). Algebra lineal, Mexico: Editorial McGraw-Hili.

Lipschutz, Seymour. (1991). Algebra Lineal. Mexico, D.F: CECSA.

Howard, Anton. (2003). Introducci6n al Algebra Lineal. Editorial Limusa.

U"iversidad Mctropolit~na Castro Carazo. Sed", Centr"l. carle 7. entre los OJvenida" Central y ,egundil. Sal. lose. Cosw Ric".

TellHono: (S06) 257-0506. fax: (506) 257-1687. Apanado postet: ]25-1005. Cos"la Rica. Pagina web: www.urnca.net

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matematica 2

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