Luigi GrecoDipartimentodi MatematicaeApplicazioni RenatoCaccioppoliFacolt`adi IngegneriaUniversit`a degli Studi di Napoli Federico II Anno Accademico 2008-2009 Luigi Greco Dipartimento diMatematica e Applicazioni Renato Caccioppoli Facolt`a di Ingegneria Universit`a degli Studi di NapoliFedericoIIAnnoAccademico2008-2009Luigi GrecoDipartimentodi Matematicae ApplicazioniRenato Caccioppoli Facolt`a di Ingegneria Universit`a degli Studi di Napoli Federico II AnnoAccademico2008-2009Luigi GrecoDipartimentodi MatematicaeApplicazioni RenatoCaccioppoliFacolt`a di Ingegneria Universit`a degli Studi di Napoli Federico II Anno Accademico 2008-2009 LuigiGreco Dipartimento di Matematica e Applicazioni Renato Caccioppoli Facolt`a di Ingegneria Universit`adegli Studi di Napoli Federico II Anno Accademico 2008-2009 Luigi Greco Dipartimento di MatematicaeApplicazioni RenatoCaccioppoliFacolt`adi IngegneriaUniversit`adegli Studi di Napoli FedericoII Anno Accademico 2008-2009 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni RenatoCaccioppoliFacolt`adi IngegneriaUniversit`adegli Studi di Napoli FedericoIIAnnoAccademico2008-2009Luigi GrecoDipartimentodi MatematicaeApplicazioni RenatoCaccioppoliFacolt`adiIngegneriaUniversit`adegli Studi di Napoli FedericoIIAnnoAccademico2008-2009Luigi GrecoDipartimento di Matematica e Applicazioni Renato Caccioppoli Facolt`a di Ingegneria Universit`a degliStudi di Napoli FedericoIIAnnoAccademico2008-2009Luigi GrecoDipartimentodi MatematicaeApplicazioni RenatoCaccioppoliFacolt`adi IngegneriaUniversit`adegli Studi di Napoli FedericoII Anno Accademico 2008-2009 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni RenatoCaccioppoliFacolt`adi IngegneriaUniversit`adegli Studi di Napoli FedericoIIAnnoAccademico2008-2009Luigi GrecoDipartimentodi MatematicaeApplicazioni RenatoCaccioppoliFacolt`adiIngegneriaUniversit`adegli Studi di Napoli FedericoIIAnnoAccademico2008-2009Luigi GrecoDipartimento di Matematica e Applicazioni Renato Caccioppoli Facolt`a di Ingegneria Universit`a degliStudi di Napoli FedericoIIAnnoAccademico2008-2009Luigi GrecoDipartimentodi MatematicaeApplicazioni RenatoCaccioppoliFacolt`adi IngegneriaUniversit`adegli Studi di Napoli FedericoII Anno Accademico 2008-2009 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni RenatoCaccioppoliFacolt`adi IngegneriaUniversit`adegli Studi di Napoli FedericoIIAnnoAccademico2008-2009Luigi GrecoDipartimentodi MatematicaeApplicazioni RenatoCaccioppoliFacolt`adiIngegneriaUniversit`adegli Studi di Napoli FedericoIIAnnoAccademico2008-2009Luigi GrecoDipartimento di Matematica e Applicazioni Renato Caccioppoli Facolt`a di Ingegneria Universit`a degliStudi di Napoli FedericoIIAnnoAccademico2008-2009Luigi GrecoDipartimentodi MatematicaeApplicazioni RenatoCaccioppoliFacolt`adi IngegneriaUniversit`adegli Studi di Napoli FedericoII Anno Accademico 2008-2009 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni RenatoCaccioppoliFacolt`adi IngegneriaUniversit`adegli Studi di Napoli FedericoIIAnnoAccademico2008-2009Luigi GrecoDipartimentodi MatematicaeApplicazioni RenatoCaccioppoliFacolt`adiIngegneriaUniversit`adegli Studi di Napoli FedericoIIAnnoAccademico2008-2009Luigi GrecoDipartimento di Matematica e Applicazioni Renato Caccioppoli Facolt`a di Ingegneria Universit`a degliStudi di Napoli FedericoIIAnnoAccademico2008-2009Luigi GrecoDipartimentodi MatematicaeApplicazioni RenatoCaccioppoliFacolt`adi IngegneriaUniversit`adegli Studi di Napoli FedericoII Anno Accademico 2008-2009 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni RenatoCaccioppoli Facolt`a di Ingegneria Universit`a degli Studi di Napoli Federico II Anno Accademico 2008-2009 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni Renato Caccioppoli Facolt`a di IngegneriaUniversit`a degli Studi di Napoli Federico II Anno Accademico 2008-2009 Luigi Greco Dipartimento diMatematica e Applicazioni Renato Caccioppoli Facolt`a di Ingegneria Universit`a degli Studi di NapoliFedericoIIAnnoAccademico2008-2009Luigi GrecoDipartimentodi Matematicae ApplicazioniRenato Caccioppoli Facolt`a di Ingegneria Universit`a degli Studi di Napoli Federico II AnnoAccademico2008-2009Luigi GrecoDipartimentodi MatematicaeApplicazioni RenatoCaccioppoliFacolt`a di Ingegneria Universit`a degli Studi di Napoli Federico II Anno Accademico 2008-2009 LuigiGreco Dipartimento di Matematica e Applicazioni Renato Caccioppoli Facolt`a di Ingegneria Universit`adegli Studi di Napoli Federico II Anno Accademico 2008-2009 Luigi Greco Dipartimento di MatematicaeApplicazioni RenatoCaccioppoliFacolt`adi IngegneriaUniversit`adegli Studi di Napoli FedericoII Anno Accademico 2008-2009 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni RenatoCaccioppoli Facolt`a di Ingegneria Universit`a degli Studi di Napoli Federico II Anno Accademico 2008-2009 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni Renato Caccioppoli Facolt`a di IngegneriaUniversit`a degli Studi di Napoli Federico II Anno Accademico 2008-2009 Luigi Greco Dipartimento diMatematica e Applicazioni Renato Caccioppoli Facolt`a di Ingegneria Universit`a degli Studi di NapoliFedericoIIAnnoAccademico2008-2009Luigi GrecoDipartimentodi Matematicae ApplicazioniRenato Caccioppoli Facolt`a di Ingegneria Universit`a degli Studi di Napoli Federico II AnnoAccademico2008-2009Luigi GrecoDipartimentodi MatematicaeApplicazioni RenatoCaccioppoliFacolt`a di Ingegneria Universit`a degli Studi di Napoli Federico II Anno Accademico 2008-2009 Luigi3. SERIEDI FOURIER 129 2 3 2x0(t) =2x2(t) =2 sin0t 2 sin 20t 2 3 2x4(t) =2 sin0t 2 sin20t 3 sin30t 4 sin40t 2 3 2x1(t) =2 sin0t 2 3 2x3(t) =2 sin0t 2 sin 20t 3 sin 30t 2 3 2x5(t) =2 sin0t 2 sin20t 3 sin30t 4 sin40t 5 sin50t 2 3 2Questi diagrammi mostrano la convergenza puntuale della serie di Fourier. Ineetti, ponendox(k ) = /2, k Z, per il teorema 3.4 luguaglianza (3.17)vale anche in senso puntuale, t R.Analogamente possiamo scrivere la serie esponenziale di Fourier, oppurepossiamo ricordare le (1.17):ck = jbk2= j2 k, ck = jbk2= j2 (k) , k N.Dunquex(t) =2 + j

k=01k 0ejk0 t.ESERCIZIO3.7. Vericarecheluguaglianzadi Parseval perlaserie(3.17) si riduce a26=+

k=11k2.ESEMPIO3.8. Scriviamo la serie di Fourier dellonda triangolarex(t),replica periodica di periodo 2 del segnale (t), cfr. esempio 2.3. Cominciamocon la serie trigonometrica. Essendo il periodo= 2, `e0=. Poichex `eun segnale pari, abbiamobk = 0 , k N.Risulta poia0 =12 .Inoltre, ricordando come `e denito , perk N troviamoak =_11x(t) cos k t dt =_01(1 + t) cos k t dt +_10(1 t) cos k t dtLuigi GrecoDipartimentodi MatematicaeApplicazioni RenatoCaccioppoliFacolt`adi IngegneriaUniversit`a degli Studi di Napoli Federico II Anno Accademico 2008-2009 Luigi Greco Dipartimento diMatematica e Applicazioni Renato Caccioppoli Facolt`a di Ingegneria Universit`a degli Studi di NapoliFedericoIIAnnoAccademico2008-2009Luigi GrecoDipartimentodi Matematicae ApplicazioniRenato Caccioppoli Facolt`a di Ingegneria Universit`a degli Studi di Napoli Federico II AnnoAccademico2008-2009Luigi GrecoDipartimentodi MatematicaeApplicazioni RenatoCaccioppoliFacolt`a di Ingegneria Universit`a degli Studi di Napoli Federico II Anno Accademico 2008-2009 LuigiGreco Dipartimento di Matematica e Applicazioni Renato Caccioppoli Facolt`a di Ingegneria Universit`adegli Studi di Napoli Federico II Anno Accademico 2008-2009 Luigi Greco Dipartimento di MatematicaeApplicazioni RenatoCaccioppoliFacolt`adi IngegneriaUniversit`adegli Studi di Napoli FedericoII Anno Accademico 2008-2009 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni RenatoCaccioppoliFacolt`adi IngegneriaUniversit`adegli Studi di Napoli FedericoIIAnnoAccademico2008-2009Luigi GrecoDipartimentodi MatematicaeApplicazioni RenatoCaccioppoliFacolt`adiIngegneriaUniversit`adegli Studi di Napoli FedericoIIAnnoAccademico2008-2009Luigi GrecoDipartimento di Matematica e Applicazioni Renato Caccioppoli Facolt`a di Ingegneria Universit`a degliStudi di Napoli FedericoIIAnnoAccademico2008-2009Luigi GrecoDipartimentodi MatematicaeApplicazioni RenatoCaccioppoliFacolt`adi IngegneriaUniversit`adegli Studi di Napoli FedericoII Anno Accademico 2008-2009 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni RenatoCaccioppoliFacolt`adi IngegneriaUniversit`adegli Studi di Napoli FedericoIIAnnoAccademico2008-2009Luigi GrecoDipartimentodi MatematicaeApplicazioni RenatoCaccioppoliFacolt`adiIngegneriaUniversit`adegli Studi di Napoli FedericoIIAnnoAccademico2008-2009Luigi GrecoDipartimento di Matematica e Applicazioni Renato Caccioppoli Facolt`a di Ingegneria Universit`a degliStudi di Napoli FedericoIIAnnoAccademico2008-2009Luigi GrecoDipartimentodi MatematicaeApplicazioni RenatoCaccioppoliFacolt`adi IngegneriaUniversit`adegli Studi di Napoli FedericoII Anno Accademico 2008-2009 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni RenatoCaccioppoliFacolt`adi IngegneriaUniversit`adegli Studi di Napoli FedericoIIAnnoAccademico2008-2009Luigi GrecoDipartimentodi MatematicaeApplicazioni RenatoCaccioppoliFacolt`adiIngegneriaUniversit`adegli Studi di Napoli FedericoIIAnnoAccademico2008-2009Luigi GrecoDipartimento di Matematica e Applicazioni Renato Caccioppoli Facolt`a di Ingegneria Universit`a degliStudi di Napoli FedericoIIAnnoAccademico2008-2009Luigi GrecoDipartimentodi MatematicaeApplicazioni RenatoCaccioppoliFacolt`adi IngegneriaUniversit`adegli Studi di Napoli FedericoII Anno Accademico 2008-2009 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni RenatoCaccioppoliFacolt`adi IngegneriaUniversit`adegli Studi di Napoli FedericoIIAnnoAccademico2008-2009Luigi GrecoDipartimentodi MatematicaeApplicazioni RenatoCaccioppoliFacolt`adiIngegneriaUniversit`adegli Studi di Napoli FedericoIIAnnoAccademico2008-2009Luigi GrecoDipartimento di Matematica e Applicazioni Renato Caccioppoli Facolt`a di Ingegneria Universit`a degliStudi di Napoli FedericoIIAnnoAccademico2008-2009Luigi GrecoDipartimentodi MatematicaeApplicazioni RenatoCaccioppoliFacolt`adi IngegneriaUniversit`adegli Studi di Napoli FedericoII Anno Accademico 2008-2009 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni RenatoCaccioppoli Facolt`a di Ingegneria Universit`a degli Studi di Napoli Federico II Anno Accademico 2008-2009 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni Renato Caccioppoli Facolt`a di IngegneriaUniversit`a degli Studi di Napoli Federico II Anno Accademico 2008-2009 Luigi Greco Dipartimento diMatematica e Applicazioni Renato Caccioppoli Facolt`a di Ingegneria Universit`a degli Studi di NapoliFedericoIIAnnoAccademico2008-2009Luigi GrecoDipartimentodi Matematicae ApplicazioniRenato Caccioppoli Facolt`a di Ingegneria Universit`a degli Studi di Napoli Federico II AnnoAccademico2008-2009Luigi GrecoDipartimentodi MatematicaeApplicazioni RenatoCaccioppoliFacolt`a di Ingegneria Universit`a degli Studi di Napoli Federico II Anno Accademico 2008-2009 LuigiGreco Dipartimento di Matematica e Applicazioni Renato Caccioppoli Facolt`a di Ingegneria Universit`adegli Studi di Napoli Federico II Anno Accademico 2008-2009 Luigi Greco Dipartimento di MatematicaeApplicazioni RenatoCaccioppoliFacolt`adi IngegneriaUniversit`adegli Studi di Napoli FedericoII Anno Accademico 2008-2009 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni RenatoCaccioppoli Facolt`a di Ingegneria Universit`a degli Studi di Napoli Federico II Anno Accademico 2008-2009 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni Renato Caccioppoli Facolt`a di IngegneriaUniversit`a degli Studi di Napoli Federico II Anno Accademico 2008-2009 Luigi Greco Dipartimento diMatematica e Applicazioni Renato Caccioppoli Facolt`a di Ingegneria Universit`a degli Studi di NapoliFedericoIIAnnoAccademico2008-2009Luigi GrecoDipartimentodi Matematicae ApplicazioniRenato Caccioppoli Facolt`a di Ingegneria Universit`a degli Studi di Napoli Federico II AnnoAccademico2008-2009Luigi GrecoDipartimentodi MatematicaeApplicazioni RenatoCaccioppoliFacolt`a di Ingegneria Universit`a degli Studi di Napoli Federico II Anno Accademico 2008-2009 Luigi130 VII.ELEMENTI DI ANALISI FUNZIONALEed essendo_11cos k t dt = 0 ,integrando per parti, abbiamo ancoraak = 2_10t cos k t dt = 2k __t sink t10_10sink t dt_= 2(k )2_cos k t10 =___0 , perk pari,4k22, perk dispari.Daltra partec0 = a0 =12e perk N, essendobk = 0, risultack = ck =ak2=___0 , perk pari,2k22, perk dispari.Pertanto la serie di Fourier `ex(t) =12 +22+

n=ej (2 n+1) t(2 n + 1)2=12 +42+

n=0cos(2 n + 1) t(2 n + 1)2.Osserviamo che il segnale considerato nellesempio 3.5 `e x

(t/).Riportiamo qui di seguito i diagrammi dei primi polinomi trigonometricidi Fourierxndix:x1(t) =12 +42 cos t11 1 3x5(t) =12 +42 cos t +49 2 cos 3 t +425 2 cos 5 t11 1 3x3(t) =12 +42 cos t +49 2 cos 3 t11 1 3x7(t) =12 +42 cos t + +449 2 cos 7 t11 1 3Questi diagrammi mostranolaconvergenzapuntualedellaseriedi Fourier.Valgono le ipotesi del teorema di convergenza puntuale.Luigi GrecoDipartimentodi MatematicaeApplicazioni RenatoCaccioppoliFacolt`adi IngegneriaUniversit`a degli Studi di Napoli Federico II Anno Accademico 2008-2009 Luigi Greco Dipartimento diMatematica e Applicazioni Renato Caccioppoli Facolt`a di Ingegneria Universit`a degli Studi di NapoliFedericoIIAnnoAccademico2008-2009Luigi GrecoDipartimentodi Matematicae ApplicazioniRenato Caccioppoli Facolt`a di Ingegneria Universit`a degli Studi di Napoli Federico II AnnoAccademico2008-2009Luigi GrecoDipartimentodi MatematicaeApplicazioni RenatoCaccioppoliFacolt`a di Ingegneria Universit`a degli Studi di Napoli Federico II Anno Accademico 2008-2009 LuigiGreco Dipartimento di Matematica e Applicazioni Renato Caccioppoli Facolt`a di Ingegneria Universit`adegli Studi di Napoli Federico II Anno Accademico 2008-2009 Luigi Greco Dipartimento di MatematicaeApplicazioni RenatoCaccioppoliFacolt`adi IngegneriaUniversit`adegli Studi di Napoli FedericoII Anno Accademico 2008-2009 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni RenatoCaccioppoliFacolt`adi IngegneriaUniversit`adegli Studi di Napoli FedericoIIAnnoAccademico2008-2009Luigi GrecoDipartimentodi MatematicaeApplicazioni RenatoCaccioppoliFacolt`adiIngegneriaUniversit`adegli Studi di Napoli FedericoIIAnnoAccademico2008-2009Luigi GrecoDipartimento di Matematica e Applicazioni Renato Caccioppoli Facolt`a di Ingegneria Universit`a degliStudi di Napoli FedericoIIAnnoAccademico2008-2009Luigi GrecoDipartimentodi MatematicaeApplicazioni RenatoCaccioppoliFacolt`adi IngegneriaUniversit`adegli Studi di Napoli FedericoII Anno Accademico 2008-2009 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni RenatoCaccioppoliFacolt`adi IngegneriaUniversit`adegli Studi di Napoli FedericoIIAnnoAccademico2008-2009Luigi GrecoDipartimentodi MatematicaeApplicazioni RenatoCaccioppoliFacolt`adiIngegneriaUniversit`adegli Studi di Napoli FedericoIIAnnoAccademico2008-2009Luigi GrecoDipartimento di Matematica e Applicazioni Renato Caccioppoli Facolt`a di Ingegneria Universit`a degliStudi di Napoli FedericoIIAnnoAccademico2008-2009Luigi GrecoDipartimentodi MatematicaeApplicazioni RenatoCaccioppoliFacolt`adi IngegneriaUniversit`adegli Studi di Napoli FedericoII Anno Accademico 2008-2009 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni RenatoCaccioppoliFacolt`adi IngegneriaUniversit`adegli Studi di Napoli FedericoIIAnnoAccademico2008-2009Luigi GrecoDipartimentodi MatematicaeApplicazioni RenatoCaccioppoliFacolt`adiIngegneriaUniversit`adegli Studi di Napoli FedericoIIAnnoAccademico2008-2009Luigi GrecoDipartimento di Matematica e Applicazioni Renato Caccioppoli Facolt`a di Ingegneria Universit`a degliStudi di Napoli FedericoIIAnnoAccademico2008-2009Luigi GrecoDipartimentodi MatematicaeApplicazioni RenatoCaccioppoliFacolt`adi IngegneriaUniversit`adegli Studi di Napoli FedericoII Anno Accademico 2008-2009 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni RenatoCaccioppoliFacolt`adi IngegneriaUniversit`adegli Studi di Napoli FedericoIIAnnoAccademico2008-2009Luigi GrecoDipartimentodi MatematicaeApplicazioni RenatoCaccioppoliFacolt`adiIngegneriaUniversit`adegli Studi di Napoli FedericoIIAnnoAccademico2008-2009Luigi GrecoDipartimento di Matematica e Applicazioni Renato Caccioppoli Facolt`a di Ingegneria Universit`a degliStudi di Napoli FedericoIIAnnoAccademico2008-2009Luigi GrecoDipartimentodi MatematicaeApplicazioni RenatoCaccioppoliFacolt`adi IngegneriaUniversit`adegli Studi di Napoli FedericoII Anno Accademico 2008-2009 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni RenatoCaccioppoli Facolt`a di Ingegneria Universit`a degli Studi di Napoli Federico II Anno Accademico 2008-2009 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni Renato Caccioppoli Facolt`a di IngegneriaUniversit`a degli Studi di Napoli Federico II Anno Accademico 2008-2009 Luigi Greco Dipartimento diMatematica e Applicazioni Renato Caccioppoli Facolt`a di Ingegneria Universit`a degli Studi di NapoliFedericoIIAnnoAccademico2008-2009Luigi GrecoDipartimentodi Matematicae ApplicazioniRenato Caccioppoli Facolt`a di Ingegneria Universit`a degli Studi di Napoli Federico II AnnoAccademico2008-2009Luigi GrecoDipartimentodi MatematicaeApplicazioni RenatoCaccioppoliFacolt`a di Ingegneria Universit`a degli Studi di Napoli Federico II Anno Accademico 2008-2009 LuigiGreco Dipartimento di Matematica e Applicazioni Renato Caccioppoli Facolt`a di Ingegneria Universit`adegli Studi di Napoli Federico II Anno Accademico 2008-2009 Luigi Greco Dipartimento di MatematicaeApplicazioni RenatoCaccioppoliFacolt`adi IngegneriaUniversit`adegli Studi di Napoli FedericoII Anno Accademico 2008-2009 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni RenatoCaccioppoli Facolt`a di Ingegneria Universit`a degli Studi di Napoli Federico II Anno Accademico 2008-2009 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni Renato Caccioppoli Facolt`a di IngegneriaUniversit`a degli Studi di Napoli Federico II Anno Accademico 2008-2009 Luigi Greco Dipartimento diMatematica e Applicazioni Renato Caccioppoli Facolt`a di Ingegneria Universit`a degli Studi di NapoliFedericoIIAnnoAccademico2008-2009Luigi GrecoDipartimentodi Matematicae ApplicazioniRenato Caccioppoli Facolt`a di Ingegneria Universit`a degli Studi di Napoli Federico II AnnoAccademico2008-2009Luigi GrecoDipartimentodi MatematicaeApplicazioni RenatoCaccioppoliFacolt`a di Ingegneria Universit`a degli Studi di Napoli Federico II Anno Accademico 2008-2009 Luigi3. SERIEDI FOURIER 131ESEMPIO3.9. Scriviamo la serie di Fourier di | sint|, cfr. esempio 2.6.Essendo il periodo, abbiamo0 = 2 e, k Z,ck =1_0sint ej 2 k tdt =1_0ej tej t2 jej 2 k tdt=12 j__ej (12 k) t0j (1 2 k)_ej (1+2 k) t0j (1 + 2 k)_ =2 (1 4 k2) .Quindick = ck. Ne seguea0 = c0 =2e perk Nak = ck + ck = 2 ck =4 (1 4 k2) , bk = j (ckck) = 0 ,lultima uguaglianza essendo chiara poiche | sint| `e funzione pari. Pertanto(3.18) | sint| =2 +4+

k=111 4 k2 cos 2 k t =2+

k=11 4 k2ej 2 k t.Leuguaglianze(3.18) valgonosianel sensodellenergiacheinsensopun-tuale t R. Riportiamoqui di seguitoi diagrammi dei primi polinomitrigonometrici di Fourierxndix: 2 2x0(t) =2 2 x2(t) =2 43 cos 2 t 415 cos 4 t 2 x4(t) =2 43 cos 2 t 415 cos 4 t 435 cos 6 t 463 cos 8 t 2 x1(t) =2 43 cos 2 t 2 x3(t) =2 43 cos 2 t 415 cos 4 t 435 cos 6 t 2 x5(t) =2 43 cos 2 t 415 cos 4 t 435 cos 6 t 463 cos 8 t 499 cos 10 tAnalogamente, si pu` o scrivere la serie di Fourier di sin+ t. Il periodo `e 2 e0 = 1; con calcoli simili ai precedenti, troviamo, k Z {1},ck =___0 , perk dispari,1 (1 k2) , perk pari,c1 = 14 j.Luigi GrecoDipartimentodi MatematicaeApplicazioni RenatoCaccioppoliFacolt`adi IngegneriaUniversit`a degli Studi di Napoli Federico II Anno Accademico 2008-2009 Luigi Greco Dipartimento diMatematica e Applicazioni Renato Caccioppoli Facolt`a di Ingegneria Universit`a degli Studi di NapoliFedericoIIAnnoAccademico2008-2009Luigi GrecoDipartimentodi Matematicae ApplicazioniRenato Caccioppoli Facolt`a di Ingegneria Universit`a degli Studi di Napoli Federico II AnnoAccademico2008-2009Luigi GrecoDipartimentodi MatematicaeApplicazioni RenatoCaccioppoliFacolt`a di Ingegneria Universit`a degli Studi di Napoli Federico II Anno Accademico 2008-2009 LuigiGreco Dipartimento di Matematica e Applicazioni Renato Caccioppoli Facolt`a di Ingegneria Universit`adegli Studi di Napoli Federico II Anno Accademico 2008-2009 Luigi Greco Dipartimento di MatematicaeApplicazioni RenatoCaccioppoliFacolt`adi IngegneriaUniversit`adegli Studi di Napoli FedericoII Anno Accademico 2008-2009 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni RenatoCaccioppoliFacolt`adi IngegneriaUniversit`adegli Studi di Napoli FedericoIIAnnoAccademico2008-2009Luigi GrecoDipartimentodi MatematicaeApplicazioni RenatoCaccioppoliFacolt`adiIngegneriaUniversit`adegli Studi di Napoli FedericoIIAnnoAccademico2008-2009Luigi GrecoDipartimento di Matematica e Applicazioni Renato Caccioppoli Facolt`a di Ingegneria Universit`a degliStudi di Napoli FedericoIIAnnoAccademico2008-2009Luigi GrecoDipartimentodi MatematicaeApplicazioni RenatoCaccioppoliFacolt`adi IngegneriaUniversit`adegli Studi di Napoli FedericoII Anno Accademico 2008-2009 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni RenatoCaccioppoliFacolt`adi IngegneriaUniversit`adegli Studi di Napoli FedericoIIAnnoAccademico2008-2009Luigi GrecoDipartimentodi MatematicaeApplicazioni RenatoCaccioppoliFacolt`adiIngegneriaUniversit`adegli Studi di Napoli FedericoIIAnnoAccademico2008-2009Luigi GrecoDipartimento di Matematica e Applicazioni Renato Caccioppoli Facolt`a di Ingegneria Universit`a degliStudi di Napoli FedericoIIAnnoAccademico2008-2009Luigi GrecoDipartimentodi MatematicaeApplicazioni RenatoCaccioppoliFacolt`adi IngegneriaUniversit`adegli Studi di Napoli FedericoII Anno Accademico 2008-2009 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni RenatoCaccioppoliFacolt`adi IngegneriaUniversit`adegli Studi di Napoli FedericoIIAnnoAccademico2008-2009Luigi GrecoDipartimentodi MatematicaeApplicazioni RenatoCaccioppoliFacolt`adiIngegneriaUniversit`adegli Studi di Napoli FedericoIIAnnoAccademico2008-2009Luigi GrecoDipartimento di Matematica e Applicazioni Renato Caccioppoli Facolt`a di Ingegneria Universit`a degliStudi di Napoli FedericoIIAnnoAccademico2008-2009Luigi GrecoDipartimentodi MatematicaeApplicazioni RenatoCaccioppoliFacolt`adi IngegneriaUniversit`adegli Studi di Napoli FedericoII Anno Accademico 2008-2009 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni RenatoCaccioppoliFacolt`adi IngegneriaUniversit`adegli Studi di Napoli FedericoIIAnnoAccademico2008-2009Luigi GrecoDipartimentodi MatematicaeApplicazioni RenatoCaccioppoliFacolt`adiIngegneriaUniversit`adegli Studi di Napoli FedericoIIAnnoAccademico2008-2009Luigi GrecoDipartimento di Matematica e Applicazioni Renato Caccioppoli Facolt`a di Ingegneria Universit`a degliStudi di Napoli FedericoIIAnnoAccademico2008-2009Luigi GrecoDipartimentodi MatematicaeApplicazioni RenatoCaccioppoliFacolt`adi IngegneriaUniversit`adegli Studi di Napoli FedericoII Anno Accademico 2008-2009 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni RenatoCaccioppoli Facolt`a di Ingegneria Universit`a degli Studi di Napoli Federico II Anno Accademico 2008-2009 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni Renato Caccioppoli Facolt`a di IngegneriaUniversit`a degli Studi di Napoli Federico II Anno Accademico 2008-2009 Luigi Greco Dipartimento diMatematica e Applicazioni Renato Caccioppoli Facolt`a di Ingegneria Universit`a degli Studi di NapoliFedericoIIAnnoAccademico2008-2009Luigi GrecoDipartimentodi Matematicae ApplicazioniRenato Caccioppoli Facolt`a di Ingegneria Universit`a degli Studi di Napoli Federico II AnnoAccademico2008-2009Luigi GrecoDipartimentodi MatematicaeApplicazioni RenatoCaccioppoliFacolt`a di Ingegneria Universit`a degli Studi di Napoli Federico II Anno Accademico 2008-2009 LuigiGreco Dipartimento di Matematica e Applicazioni Renato Caccioppoli Facolt`a di Ingegneria Universit`adegli Studi di Napoli Federico II Anno Accademico 2008-2009 Luigi Greco Dipartimento di MatematicaeApplicazioni RenatoCaccioppoliFacolt`adi IngegneriaUniversit`adegli Studi di Napoli FedericoII Anno Accademico 2008-2009 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni RenatoCaccioppoli Facolt`a di Ingegneria Universit`a degli Studi di Napoli Federico II Anno Accademico 2008-2009 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni Renato Caccioppoli Facolt`a di IngegneriaUniversit`a degli Studi di Napoli Federico II Anno Accademico 2008-2009 Luigi Greco Dipartimento diMatematica e Applicazioni Renato Caccioppoli Facolt`a di Ingegneria Universit`a degli Studi di NapoliFedericoIIAnnoAccademico2008-2009Luigi GrecoDipartimentodi Matematicae ApplicazioniRenato Caccioppoli Facolt`a di Ingegneria Universit`a degli Studi di Napoli Federico II AnnoAccademico2008-2009Luigi GrecoDipartimentodi MatematicaeApplicazioni RenatoCaccioppoliFacolt`a di Ingegneria Universit`a degli Studi di Napoli Federico II Anno Accademico 2008-2009 Luigi132 VII.ELEMENTI DI ANALISI FUNZIONALEDaltra partea0 = c0 = 1/ e, k N {1},ak =___0 , perk dispari,2 (1 k2) , perk pari;bk = 0 .Inoltrea1 = c1 + c1 = 0 , b1 = j (c1c1) =12 .Pertanto(3.19)sin+ t =1 +2+

k=111 4 k2 cos 2 k t + 12 sint=1+

k=11 4 k2ej 2 k t+ej t4 jej t4 j.Osservato chesin+ t = | sint| + sint2,notiamo che la serie trigonometrica si scrive subito a partire dalla (3.18) som-mando sint e dividendo ambo i membri per 2: queste operazioni conservanolaconvergenzanel sensodellenergia, quindi laseriein(3.19)`elaseriediFourier di sin+ t. Riportiamo qui di seguito i diagrammi dei primi polinomitrigonometrici di Fourierxndix: 2 3 4 2 x0(t) =1 + 12 sint 2 3 4 2 x2(t) =1 + 12 sint 23 cos 2 t 215 cos 4 t 2 3 4 2 x4(t) =1 + 12 sint 23 cos 2 t 215 cos 4 t 235 cos 6 t 263 cos 8 t 2 3 4 2 x1(t) =1 + 12 sint 23 cos 2 t 2 3 4 2 x3(t) =1 + 12 sint 23 cos 2 t 215 cos 4 t 235 cos 6 t 2 3 4 2 x5(t) =1 + 12 sint 23 cos 2 t 215 cos 4 t 235 cos 6 t 263 cos 8 t 299 cos 10 tLuigi GrecoDipartimentodi MatematicaeApplicazioni RenatoCaccioppoliFacolt`adi IngegneriaUniversit`a degli Studi di Napoli Federico II Anno Accademico 2008-2009 Luigi Greco Dipartimento diMatematica e Applicazioni Renato Caccioppoli Facolt`a di Ingegneria Universit`a degli Studi di NapoliFedericoIIAnnoAccademico2008-2009Luigi GrecoDipartimentodi Matematicae ApplicazioniRenato Caccioppoli Facolt`a di Ingegneria Universit`a degli Studi di Napoli Federico II AnnoAccademico2008-2009Luigi GrecoDipartimentodi MatematicaeApplicazioni RenatoCaccioppoliFacolt`a di Ingegneria Universit`a degli Studi di Napoli Federico II Anno Accademico 2008-2009 LuigiGreco Dipartimento di Matematica e Applicazioni Renato Caccioppoli Facolt`a di Ingegneria Universit`adegli Studi di Napoli Federico II Anno Accademico 2008-2009 Luigi Greco Dipartimento di MatematicaeApplicazioni RenatoCaccioppoliFacolt`adi IngegneriaUniversit`adegli Studi di Napoli FedericoII Anno Accademico 2008-2009 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni RenatoCaccioppoliFacolt`adi IngegneriaUniversit`adegli Studi di Napoli FedericoIIAnnoAccademico2008-2009Luigi GrecoDipartimentodi MatematicaeApplicazioni RenatoCaccioppoliFacolt`adiIngegneriaUniversit`adegli Studi di Napoli FedericoIIAnnoAccademico2008-2009Luigi GrecoDipartimento di Matematica e Applicazioni Renato Caccioppoli Facolt`a di Ingegneria Universit`a degliStudi di Napoli FedericoIIAnnoAccademico2008-2009Luigi GrecoDipartimentodi MatematicaeApplicazioni RenatoCaccioppoliFacolt`adi IngegneriaUniversit`adegli Studi di Napoli FedericoII Anno Accademico 2008-2009 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni RenatoCaccioppoliFacolt`adi IngegneriaUniversit`adegli Studi di Napoli FedericoIIAnnoAccademico2008-2009Luigi GrecoDipartimentodi MatematicaeApplicazioni RenatoCaccioppoliFacolt`adiIngegneriaUniversit`adegli Studi di Napoli FedericoIIAnnoAccademico2008-2009Luigi GrecoDipartimento di Matematica e Applicazioni Renato Caccioppoli Facolt`a di Ingegneria Universit`a degliStudi di Napoli FedericoIIAnnoAccademico2008-2009Luigi GrecoDipartimentodi MatematicaeApplicazioni RenatoCaccioppoliFacolt`adi IngegneriaUniversit`adegli Studi di Napoli FedericoII Anno Accademico 2008-2009 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni RenatoCaccioppoliFacolt`adi IngegneriaUniversit`adegli Studi di Napoli FedericoIIAnnoAccademico2008-2009Luigi GrecoDipartimentodi MatematicaeApplicazioni RenatoCaccioppoliFacolt`adiIngegneriaUniversit`adegli Studi di Napoli FedericoIIAnnoAccademico2008-2009Luigi GrecoDipartimento di Matematica e Applicazioni Renato Caccioppoli Facolt`a di Ingegneria Universit`a degliStudi di Napoli FedericoIIAnnoAccademico2008-2009Luigi GrecoDipartimentodi MatematicaeApplicazioni RenatoCaccioppoliFacolt`adi IngegneriaUniversit`adegli Studi di Napoli FedericoII Anno Accademico 2008-2009 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni RenatoCaccioppoliFacolt`adi IngegneriaUniversit`adegli Studi di Napoli FedericoIIAnnoAccademico2008-2009Luigi GrecoDipartimentodi MatematicaeApplicazioni RenatoCaccioppoliFacolt`adiIngegneriaUniversit`adegli Studi di Napoli FedericoIIAnnoAccademico2008-2009Luigi GrecoDipartimento di Matematica e Applicazioni Renato Caccioppoli Facolt`a di Ingegneria Universit`a degliStudi di Napoli FedericoIIAnnoAccademico2008-2009Luigi GrecoDipartimentodi MatematicaeApplicazioni RenatoCaccioppoliFacolt`adi IngegneriaUniversit`adegli Studi di Napoli FedericoII Anno Accademico 2008-2009 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni RenatoCaccioppoli Facolt`a di Ingegneria Universit`a degli Studi di Napoli Federico II Anno Accademico 2008-2009 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni Renato Caccioppoli Facolt`a di IngegneriaUniversit`a degli Studi di Napoli Federico II Anno Accademico 2008-2009 Luigi Greco Dipartimento diMatematica e Applicazioni Renato Caccioppoli Facolt`a di Ingegneria Universit`a degli Studi di NapoliFedericoIIAnnoAccademico2008-2009Luigi GrecoDipartimentodi Matematicae ApplicazioniRenato Caccioppoli Facolt`a di Ingegneria Universit`a degli Studi di Napoli Federico II AnnoAccademico2008-2009Luigi GrecoDipartimentodi MatematicaeApplicazioni RenatoCaccioppoliFacolt`a di Ingegneria Universit`a degli Studi di Napoli Federico II Anno Accademico 2008-2009 LuigiGreco Dipartimento di Matematica e Applicazioni Renato Caccioppoli Facolt`a di Ingegneria Universit`adegli Studi di Napoli Federico II Anno Accademico 2008-2009 Luigi Greco Dipartimento di MatematicaeApplicazioni RenatoCaccioppoliFacolt`adi IngegneriaUniversit`adegli Studi di Napoli FedericoII Anno Accademico 2008-2009 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni RenatoCaccioppoli Facolt`a di Ingegneria Universit`a degli Studi di Napoli Federico II Anno Accademico 2008-2009 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni Renato Caccioppoli Facolt`a di IngegneriaUniversit`a degli Studi di Napoli Federico II Anno Accademico 2008-2009 Luigi Greco Dipartimento diMatematica e Applicazioni Renato Caccioppoli Facolt`a di Ingegneria Universit`a degli Studi di NapoliFedericoIIAnnoAccademico2008-2009Luigi GrecoDipartimentodi Matematicae ApplicazioniRenato Caccioppoli Facolt`a di Ingegneria Universit`a degli Studi di Napoli Federico II AnnoAccademico2008-2009Luigi GrecoDipartimentodi MatematicaeApplicazioni RenatoCaccioppoliFacolt`a di Ingegneria Universit`a degli Studi di Napoli Federico II Anno Accademico 2008-2009 LuigiCAPITOLOVIIITrasformazionediLaplace1. LatrasformatadiLaplaceDEFINIZIONE 1.1. Sia x L1loc([0, +[). Si dice che x `e trasformabile(insensounilatero)ins Cset x(t) es t`eintegrabilein[0, +[. Latrasformata unilatera dix `e la funzione di variabile complessa(1.1) Lu[x] = X(s) =_+0x(t) es tdt = limT+_T0x(t) es tdt .Si diceche x`eassolutamentetrasformabileins Cse t x(t) es t`esommabile in[0, +[.`Echiaroche lassolutatrasformabilit` aimplicalatrasformabilit` a.Fondamentale `e il seguenteTEOREMA1.2. Seil segnalex`eLu-trasformabileins0 C, esso`etrasformabile anche in ognis C con Re s > Re s0.La trasformabilit`a signica integrabilit`a della funzione integranda; riguardo al teorema,ci limitiamo ad osservare che un risultato analogo a proposito della assoluta trasformabilit`a`ebanale,poicheRe s > Re s0 |x(t) es t| |x(t) es0 t| , perq.o.t 0 .La quantit` a(1.2) x = inf{ Re s : x `e trasformabile ins }si chiama ascissa di convergenza. La trasformataX(s) `e dunque denita nelsemipiano di convergenzaformato dai numeris C tali che Re s > x.xNotiamo che il semipiano di convergenza coincide con lintero piano complessonel casox = .133Luigi GrecoDipartimentodi MatematicaeApplicazioni RenatoCaccioppoliFacolt`adi IngegneriaUniversit`a degli Studi di Napoli Federico II Anno Accademico 2008-2009 Luigi Greco Dipartimento diMatematica e Applicazioni Renato Caccioppoli Facolt`a di Ingegneria Universit`a degli Studi di NapoliFedericoIIAnnoAccademico2008-2009Luigi GrecoDipartimentodi Matematicae ApplicazioniRenato Caccioppoli Facolt`a di Ingegneria Universit`a degli Studi di Napoli Federico II AnnoAccademico2008-2009Luigi GrecoDipartimentodi MatematicaeApplicazioni RenatoCaccioppoliFacolt`a di Ingegneria Universit`a degli Studi di Napoli Federico II Anno Accademico 2008-2009 LuigiGreco Dipartimento di Matematica e Applicazioni Renato Caccioppoli Facolt`a di Ingegneria Universit`adegli Studi di Napoli Federico II Anno Accademico 2008-2009 Luigi Greco Dipartimento di MatematicaeApplicazioni RenatoCaccioppoliFacolt`adi IngegneriaUniversit`adegli Studi di Napoli FedericoII Anno Accademico 2008-2009 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni RenatoCaccioppoliFacolt`adi IngegneriaUniversit`adegli Studi di Napoli FedericoIIAnnoAccademico2008-2009Luigi GrecoDipartimentodi MatematicaeApplicazioni RenatoCaccioppoliFacolt`adiIngegneriaUniversit`adegli Studi di Napoli FedericoIIAnnoAccademico2008-2009Luigi GrecoDipartimento di Matematica e Applicazioni Renato Caccioppoli Facolt`a di Ingegneria Universit`a degliStudi di Napoli FedericoIIAnnoAccademico2008-2009Luigi GrecoDipartimentodi MatematicaeApplicazioni RenatoCaccioppoliFacolt`adi IngegneriaUniversit`adegli Studi di Napoli FedericoII Anno Accademico 2008-2009 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni RenatoCaccioppoliFacolt`adi IngegneriaUniversit`adegli Studi di Napoli FedericoIIAnnoAccademico2008-2009Luigi GrecoDipartimentodi MatematicaeApplicazioni RenatoCaccioppoliFacolt`adiIngegneriaUniversit`adegli Studi di Napoli FedericoIIAnnoAccademico2008-2009Luigi GrecoDipartimento di Matematica e Applicazioni Renato Caccioppoli Facolt`a di Ingegneria Universit`a degliStudi di Napoli FedericoIIAnnoAccademico2008-2009Luigi GrecoDipartimentodi MatematicaeApplicazioni RenatoCaccioppoliFacolt`adi IngegneriaUniversit`adegli Studi di Napoli FedericoII Anno Accademico 2008-2009 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni RenatoCaccioppoliFacolt`adi IngegneriaUniversit`adegli Studi di Napoli FedericoIIAnnoAccademico2008-2009Luigi GrecoDipartimentodi MatematicaeApplicazioni RenatoCaccioppoliFacolt`adiIngegneriaUniversit`adegli Studi di Napoli FedericoIIAnnoAccademico2008-2009Luigi GrecoDipartimento di Matematica e Applicazioni Renato Caccioppoli Facolt`a di Ingegneria Universit`a degliStudi di Napoli FedericoIIAnnoAccademico2008-2009Luigi GrecoDipartimentodi MatematicaeApplicazioni RenatoCaccioppoliFacolt`adi IngegneriaUniversit`adegli Studi di Napoli FedericoII Anno Accademico 2008-2009 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni RenatoCaccioppoliFacolt`adi IngegneriaUniversit`adegli Studi di Napoli FedericoIIAnnoAccademico2008-2009Luigi GrecoDipartimentodi MatematicaeApplicazioni RenatoCaccioppoliFacolt`adiIngegneriaUniversit`adegli Studi di Napoli FedericoIIAnnoAccademico2008-2009Luigi GrecoDipartimento di Matematica e Applicazioni Renato Caccioppoli Facolt`a di Ingegneria Universit`a degliStudi di Napoli FedericoIIAnnoAccademico2008-2009Luigi GrecoDipartimentodi MatematicaeApplicazioni RenatoCaccioppoliFacolt`adi IngegneriaUniversit`adegli Studi di Napoli FedericoII Anno Accademico 2008-2009 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni RenatoCaccioppoli Facolt`a di Ingegneria Universit`a degli Studi di Napoli Federico II Anno Accademico 2008-2009 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni Renato Caccioppoli Facolt`a di IngegneriaUniversit`a degli Studi di Napoli Federico II Anno Accademico 2008-2009 Luigi Greco Dipartimento diMatematica e Applicazioni Renato Caccioppoli Facolt`a di Ingegneria Universit`a degli Studi di NapoliFedericoIIAnnoAccademico2008-2009Luigi GrecoDipartimentodi Matematicae ApplicazioniRenato Caccioppoli Facolt`a di Ingegneria Universit`a degli Studi di Napoli Federico II AnnoAccademico2008-2009Luigi GrecoDipartimentodi MatematicaeApplicazioni RenatoCaccioppoliFacolt`a di Ingegneria Universit`a degli Studi di Napoli Federico II Anno Accademico 2008-2009 LuigiGreco Dipartimento di Matematica e Applicazioni Renato Caccioppoli Facolt`a di Ingegneria Universit`adegli Studi di Napoli Federico II Anno Accademico 2008-2009 Luigi Greco Dipartimento di MatematicaeApplicazioni RenatoCaccioppoliFacolt`adi IngegneriaUniversit`adegli Studi di Napoli FedericoII Anno Accademico 2008-2009 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni RenatoCaccioppoli Facolt`a di Ingegneria Universit`a degli Studi di Napoli Federico II Anno Accademico 2008-2009 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni Renato Caccioppoli Facolt`a di IngegneriaUniversit`a degli Studi di Napoli Federico II Anno Accademico 2008-2009 Luigi Greco Dipartimento diMatematica e Applicazioni Renato Caccioppoli Facolt`a di Ingegneria Universit`a degli Studi di NapoliFedericoIIAnnoAccademico2008-2009Luigi GrecoDipartimentodi Matematicae ApplicazioniRenato Caccioppoli Facolt`a di Ingegneria Universit`a degli Studi di Napoli Federico II AnnoAccademico2008-2009Luigi GrecoDipartimentodi MatematicaeApplicazioni RenatoCaccioppoliFacolt`a di Ingegneria Universit`a degli Studi di Napoli Federico II Anno Accademico 2008-2009 Luigi134 VIII.TRASFORMAZIONEDI LAPLACENelle applicazioni, useremo la trasformata unilatera; `e comodo per`o con-siderare la trasformata bilatera.DEFINIZIONE1.3. Siax L1loc(R) un segnale localmente sommabile.Si dicechex`etrasformabilesecondoLaplaceins Cset x(t) es t`eintegrabileinR. Latrasformata(bilatera)di x`elafunzionedi variabilecomplessa(1.3)L[x] = X(s) =_+x(t) es tdt .Lintegrabilit` a in R vuol dire integrabilit` a su ] , 0] e su [0, +[ e_+x(t) es tdt =_0x(t) es tdt +_+0x(t) es tdt ,dove ciascuno dei due integrali a secondo membro `e inteso come limite. Lul-timointegrale `elatrasformataunilateradelsegnalex(ristrettoa[0, +[).Il primo integrale a secondo membro mutandot in t si riscrive_+0x(t) e(s) tdtequindirappresentalatrasformataunilateradi t x(t),valutatain s.Pertanto(1.4)L[x(t)](s) = Lu[x(t)](s) +Lu[x(t)](s) .Dette1lascissadiconvergenzadi Lu[x(t)]e 2lascissadiconvergenzadi Lu[x(t)], il secondotermineasecondomembrodi (1.4)`edenitoperRe s >1, mentreil primoper Re(s) >2, ovveroRe s 0 .Analogamente(1.7)L[u(t)] = _0es tdt =1s , Re s < 0 .Confrontando(1.6)e(1.7)apparechiaralanecessit`adi indicareil dominiodella trasformata. Altre semplici trasformate sono(1.8)L[u(t t0)] =_+t0es tdt =es t0s, Re s > 0 ,(1.9)L[u(t) es0 t] = Lu[ es0 t] =_+0e(ss0) tdt=1s s0, Re s > Re s0 ,(1.10)Lu[sint] =Lu[ ej t] Lu[ ej t]2 j=12 j_1s j 1s + j_=1s2+ 1 , Re s > Re j = 0 ,e analogamente(1.11) Lu[cos t] =ss2+ 1 , Re s > 0 .Introduciamounaclasse di funzioni importante nellateoriadellaL-trasformata.Luigi GrecoDipartimentodi MatematicaeApplicazioni RenatoCaccioppoliFacolt`adi IngegneriaUniversit`a degli Studi di Napoli Federico II Anno Accademico 2008-2009 Luigi Greco Dipartimento diMatematica e Applicazioni Renato Caccioppoli Facolt`a di Ingegneria Universit`a degli Studi di NapoliFedericoIIAnnoAccademico2008-2009Luigi GrecoDipartimentodi Matematicae ApplicazioniRenato Caccioppoli Facolt`a di Ingegneria Universit`a degli Studi di Napoli Federico II AnnoAccademico2008-2009Luigi GrecoDipartimentodi MatematicaeApplicazioni RenatoCaccioppoliFacolt`a di Ingegneria Universit`a degli Studi di Napoli Federico II Anno Accademico 2008-2009 LuigiGreco Dipartimento di Matematica e Applicazioni Renato Caccioppoli Facolt`a di Ingegneria Universit`adegli Studi di Napoli Federico II Anno Accademico 2008-2009 Luigi Greco Dipartimento di MatematicaeApplicazioni RenatoCaccioppoliFacolt`adi IngegneriaUniversit`adegli Studi di Napoli FedericoII Anno Accademico 2008-2009 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni RenatoCaccioppoliFacolt`adi IngegneriaUniversit`adegli Studi di Napoli FedericoIIAnnoAccademico2008-2009Luigi GrecoDipartimentodi MatematicaeApplicazioni RenatoCaccioppoliFacolt`adiIngegneriaUniversit`adegli Studi di Napoli FedericoIIAnnoAccademico2008-2009Luigi GrecoDipartimento di Matematica e Applicazioni Renato Caccioppoli Facolt`a di Ingegneria Universit`a degliStudi di Napoli FedericoIIAnnoAccademico2008-2009Luigi GrecoDipartimentodi MatematicaeApplicazioni RenatoCaccioppoliFacolt`adi IngegneriaUniversit`adegli Studi di Napoli FedericoII Anno Accademico 2008-2009 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni RenatoCaccioppoliFacolt`adi IngegneriaUniversit`adegli Studi di Napoli FedericoIIAnnoAccademico2008-2009Luigi GrecoDipartimentodi MatematicaeApplicazioni RenatoCaccioppoliFacolt`adiIngegneriaUniversit`adegli Studi di Napoli FedericoIIAnnoAccademico2008-2009Luigi GrecoDipartimento di Matematica e Applicazioni Renato Caccioppoli Facolt`a di Ingegneria Universit`a degliStudi di Napoli FedericoIIAnnoAccademico2008-2009Luigi GrecoDipartimentodi MatematicaeApplicazioni RenatoCaccioppoliFacolt`adi IngegneriaUniversit`adegli Studi di Napoli FedericoII Anno Accademico 2008-2009 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni RenatoCaccioppoliFacolt`adi IngegneriaUniversit`adegli Studi di Napoli FedericoIIAnnoAccademico2008-2009Luigi GrecoDipartimentodi MatematicaeApplicazioni RenatoCaccioppoliFacolt`adiIngegneriaUniversit`adegli Studi di Napoli FedericoIIAnnoAccademico2008-2009Luigi GrecoDipartimento di Matematica e Applicazioni Renato Caccioppoli Facolt`a di Ingegneria Universit`a degliStudi di Napoli FedericoIIAnnoAccademico2008-2009Luigi GrecoDipartimentodi MatematicaeApplicazioni RenatoCaccioppoliFacolt`adi IngegneriaUniversit`adegli Studi di Napoli FedericoII Anno Accademico 2008-2009 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni RenatoCaccioppoliFacolt`adi IngegneriaUniversit`adegli Studi di Napoli FedericoIIAnnoAccademico2008-2009Luigi GrecoDipartimentodi MatematicaeApplicazioni RenatoCaccioppoliFacolt`adiIngegneriaUniversit`adegli Studi di Napoli FedericoIIAnnoAccademico2008-2009Luigi GrecoDipartimento di Matematica e Applicazioni Renato Caccioppoli Facolt`a di Ingegneria Universit`a degliStudi di Napoli FedericoIIAnnoAccademico2008-2009Luigi GrecoDipartimentodi MatematicaeApplicazioni RenatoCaccioppoliFacolt`adi IngegneriaUniversit`adegli Studi di Napoli FedericoII Anno Accademico 2008-2009 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni RenatoCaccioppoli Facolt`a di Ingegneria Universit`a degli Studi di Napoli Federico II Anno Accademico 2008-2009 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni Renato Caccioppoli Facolt`a di IngegneriaUniversit`a degli Studi di Napoli Federico II Anno Accademico 2008-2009 Luigi Greco Dipartimento diMatematica e Applicazioni Renato Caccioppoli Facolt`a di Ingegneria Universit`a degli Studi di NapoliFedericoIIAnnoAccademico2008-2009Luigi GrecoDipartimentodi Matematicae ApplicazioniRenato Caccioppoli Facolt`a di Ingegneria Universit`a degli Studi di Napoli Federico II AnnoAccademico2008-2009Luigi GrecoDipartimentodi MatematicaeApplicazioni RenatoCaccioppoliFacolt`a di Ingegneria Universit`a degli Studi di Napoli Federico II Anno Accademico 2008-2009 LuigiGreco Dipartimento di Matematica e Applicazioni Renato Caccioppoli Facolt`a di Ingegneria Universit`adegli Studi di Napoli Federico II Anno Accademico 2008-2009 Luigi Greco Dipartimento di MatematicaeApplicazioni RenatoCaccioppoliFacolt`adi IngegneriaUniversit`adegli Studi di Napoli FedericoII Anno Accademico 2008-2009 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni RenatoCaccioppoli Facolt`a di Ingegneria Universit`a degli Studi di Napoli Federico II Anno Accademico 2008-2009 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni Renato Caccioppoli Facolt`a di IngegneriaUniversit`a degli Studi di Napoli Federico II Anno Accademico 2008-2009 Luigi Greco Dipartimento diMatematica e Applicazioni Renato Caccioppoli Facolt`a di Ingegneria Universit`a degli Studi di NapoliFedericoIIAnnoAccademico2008-2009Luigi GrecoDipartimentodi Matematicae ApplicazioniRenato Caccioppoli Facolt`a di Ingegneria Universit`a degli Studi di Napoli Federico II AnnoAccademico2008-2009Luigi GrecoDipartimentodi MatematicaeApplicazioni RenatoCaccioppoliFacolt`a di Ingegneria Universit`a degli Studi di Napoli Federico II Anno Accademico 2008-2009 Luigi136 VIII.TRASFORMAZIONEDI LAPLACEDEFINIZIONE1.5. Un segnalex L1loc(R) `e detto di ordine esponen-zialese esistono1, 2 R, con1< 2, tali che(1.12) limt+x(t) e1 t= 0 , limtx(t) e2 t= 0 .Ad esempio, per x(t) =e|t| possiamo scegliere 1 e 2 qualsiasi verican-ti 1 < 1< 2< 1. Sex `e di ordine esponenziale, la funzionet x(t) es t`e sommabile su R, per ognis C vericante(1.13) 1< Re s < 2 .In eetti, data la locale sommabilit` a di x, occorre vericare la sommabilit` a solointorno a . Per la prima delle (1.12), intorno a + risulta |x(t)| e1 t,da cui segue|x(t) es t| e(1Re s) tequindi lasommabilit` aintornoa+. Analogamentesi stabiliscelasom-mabilit` aintorno a . Pertantox `etrasformabile (lintegraledi Laplace `eassolutamente convergente) nella striscia formata daglis vericanti (1.13).Osservazione1.6. Seil segnalex(t) `enullo intorno a ,lasecondadelle (1.12) `e vericata con 2 arbitrariamente grande, quindi la striscia (1.13)divieneunsemipianodestro1 0 .Pi` u in generale, ricordando la (1.9)(2.3) Lu[tkes0 t] =k!(s s0)k+1, Re s > Re s0 .Luigi GrecoDipartimentodi MatematicaeApplicazioni RenatoCaccioppoliFacolt`adi IngegneriaUniversit`a degli Studi di Napoli Federico II Anno Accademico 2008-2009 Luigi Greco Dipartimento diMatematica e Applicazioni Renato Caccioppoli Facolt`a di Ingegneria Universit`a degli Studi di NapoliFedericoIIAnnoAccademico2008-2009Luigi GrecoDipartimentodi Matematicae ApplicazioniRenato Caccioppoli Facolt`a di Ingegneria Universit`a degli Studi di Napoli Federico II AnnoAccademico2008-2009Luigi GrecoDipartimentodi MatematicaeApplicazioni RenatoCaccioppoliFacolt`a di Ingegneria Universit`a degli Studi di Napoli Federico II Anno Accademico 2008-2009 LuigiGreco Dipartimento di Matematica e Applicazioni Renato Caccioppoli Facolt`a di Ingegneria Universit`adegli Studi di Napoli Federico II Anno Accademico 2008-2009 Luigi Greco Dipartimento di MatematicaeApplicazioni RenatoCaccioppoliFacolt`adi IngegneriaUniversit`adegli Studi di Napoli FedericoII Anno Accademico 2008-2009 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni RenatoCaccioppoliFacolt`adi IngegneriaUniversit`adegli Studi di Napoli FedericoIIAnnoAccademico2008-2009Luigi GrecoDipartimentodi MatematicaeApplicazioni RenatoCaccioppoliFacolt`adiIngegneriaUniversit`adegli Studi di Napoli FedericoIIAnnoAccademico2008-2009Luigi GrecoDipartimento di Matematica e Applicazioni Renato Caccioppoli Facolt`a di Ingegneria Universit`a degliStudi di Napoli FedericoIIAnnoAccademico2008-2009Luigi GrecoDipartimentodi MatematicaeApplicazioni RenatoCaccioppoliFacolt`adi IngegneriaUniversit`adegli Studi di Napoli FedericoII Anno Accademico 2008-2009 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni RenatoCaccioppoliFacolt`adi IngegneriaUniversit`adegli Studi di Napoli FedericoIIAnnoAccademico2008-2009Luigi GrecoDipartimentodi MatematicaeApplicazioni RenatoCaccioppoliFacolt`adiIngegneriaUniversit`adegli Studi di Napoli FedericoIIAnnoAccademico2008-2009Luigi GrecoDipartimento di Matematica e Applicazioni Renato Caccioppoli Facolt`a di Ingegneria Universit`a degliStudi di Napoli FedericoIIAnnoAccademico2008-2009Luigi GrecoDipartimentodi MatematicaeApplicazioni RenatoCaccioppoliFacolt`adi IngegneriaUniversit`adegli Studi di Napoli FedericoII Anno Accademico 2008-2009 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni RenatoCaccioppoliFacolt`adi IngegneriaUniversit`adegli Studi di Napoli FedericoIIAnnoAccademico2008-2009Luigi GrecoDipartimentodi MatematicaeApplicazioni RenatoCaccioppoliFacolt`adiIngegneriaUniversit`adegli Studi di Napoli FedericoIIAnnoAccademico2008-2009Luigi GrecoDipartimento di Matematica e Applicazioni Renato Caccioppoli Facolt`a di Ingegneria Universit`a degliStudi di Napoli FedericoIIAnnoAccademico2008-2009Luigi GrecoDipartimentodi MatematicaeApplicazioni RenatoCaccioppoliFacolt`adi IngegneriaUniversit`adegli Studi di Napoli FedericoII Anno Accademico 2008-2009 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni RenatoCaccioppoliFacolt`adi IngegneriaUniversit`adegli Studi di Napoli FedericoIIAnnoAccademico2008-2009Luigi GrecoDipartimentodi MatematicaeApplicazioni RenatoCaccioppoliFacolt`adiIngegneriaUniversit`adegli Studi di Napoli FedericoIIAnnoAccademico2008-2009Luigi GrecoDipartimento di Matematica e Applicazioni Renato Caccioppoli Facolt`a di Ingegneria Universit`a degliStudi di Napoli FedericoIIAnnoAccademico2008-2009Luigi GrecoDipartimentodi MatematicaeApplicazioni RenatoCaccioppoliFacolt`adi IngegneriaUniversit`adegli Studi di Napoli FedericoII Anno Accademico 2008-2009 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni RenatoCaccioppoli Facolt`a di Ingegneria Universit`a degli Studi di Napoli Federico II Anno Accademico 2008-2009 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni Renato Caccioppoli Facolt`a di IngegneriaUniversit`a degli Studi di Napoli Federico II Anno Accademico 2008-2009 Luigi Greco Dipartimento diMatematica e Applicazioni Renato Caccioppoli Facolt`a di Ingegneria Universit`a degli Studi di NapoliFedericoIIAnnoAccademico2008-2009Luigi GrecoDipartimentodi Matematicae ApplicazioniRenato Caccioppoli Facolt`a di Ingegneria Universit`a degli Studi di Napoli Federico II AnnoAccademico2008-2009Luigi GrecoDipartimentodi MatematicaeApplicazioni RenatoCaccioppoliFacolt`a di Ingegneria Universit`a degli Studi di Napoli Federico II Anno Accademico 2008-2009 LuigiGreco Dipartimento di Matematica e Applicazioni Renato Caccioppoli Facolt`a di Ingegneria Universit`adegli Studi di Napoli Federico II Anno Accademico 2008-2009 Luigi Greco Dipartimento di MatematicaeApplicazioni RenatoCaccioppoliFacolt`adi IngegneriaUniversit`adegli Studi di Napoli FedericoII Anno Accademico 2008-2009 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni RenatoCaccioppoli Facolt`a di Ingegneria Universit`a degli Studi di Napoli Federico II Anno Accademico 2008-2009 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni Renato Caccioppoli Facolt`a di IngegneriaUniversit`a degli Studi di Napoli Federico II Anno Accademico 2008-2009 Luigi Greco Dipartimento diMatematica e Applicazioni Renato Caccioppoli Facolt`a di Ingegneria Universit`a degli Studi di NapoliFedericoIIAnnoAccademico2008-2009Luigi GrecoDipartimentodi Matematicae ApplicazioniRenato Caccioppoli Facolt`a di Ingegneria Universit`a degli Studi di Napoli Federico II AnnoAccademico2008-2009Luigi GrecoDipartimentodi MatematicaeApplicazioni RenatoCaccioppoliFacolt`a di Ingegneria Universit`a degli Studi di Napoli Federico II Anno Accademico 2008-2009 Luigi2. PROPRIET`AFONDAMENTALI 137ESEMPIO2.3. Lolomorapermette di calcolare facilmente X(s) =L[ et2]. Invero, peri criteri di sommabilit` avediamochet et2es t`esommabileinR, s C, quindi X`efunzioneintera. DalladenizionediL-trasformata, abbiamoes2/4X(s) =es2/4_+et2es tdt =_+e(t+s/2)2dtelultimointegralenondipendedaRe s, comesi vedeconlasostituzione =t + Re s/2. Perlacondizionedi Cauchy-Riemann, lafunzioneinteras es2/4X(s) `e indipendente anche da Ims, quindi `e costante;pers = 0vale , per la (V.1.17). Pertanto(2.4) X(s) =L[ et2] =es2/4.Vediamooralasecondaformulafondamentale, perlatrasformatadelladerivata. Ci limitiamo ai segnali di ordine esponenziale.TEOREMA2.4. (a) Se x`e assolutamente continuo(sugli intervallicompatti) e di ordine esponenziale, vale la formula(2.5)L[x

(t)] = s X(s) .(b) Sex `e assolutamente continuo (sugli intervalli compatti contenuti) in[0, +[ e di ordine esponenziale, vale la formula(2.6) Lu[x

(t)] = s X(s) x(0) .Dim. Leformulesiottengonointegrandoperparti;adesempioL[x

(t)] =Z+x

(t) es tdt=hx(t) es ti++ sZ+x(t) es tdt = s X(s)poicheda(1.12)e(1.13)segue limtx(t) es t= 0.Osservazione2.5. Siaxa.c. sugli intervalli compatti di [0, +[ esiax

assolutamente Lu-trasformabileins0C. Intali ipotesi, x`eassolu-tamente Lu-trasformabileinogni sconRe s >max{0, Re s0}. Invero, se1> max{0, Re s0}, risulta(2.7) limt+x(t) e1 t= 0 .Possiamo infatti supporre Re s0 0, quindi per t `e 1 eRe s (t), da cui|x(t)| e1 t |x(0)| e1 t+e(Re s1) t_t0|x

()| eRe s ded il secondo membro `e innitesimo.Luigi GrecoDipartimentodi MatematicaeApplicazioni RenatoCaccioppoliFacolt`adi IngegneriaUniversit`a degli Studi di Napoli Federico II Anno Accademico 2008-2009 Luigi Greco Dipartimento diMatematica e Applicazioni Renato Caccioppoli Facolt`a di Ingegneria Universit`a degli Studi di NapoliFedericoIIAnnoAccademico2008-2009Luigi GrecoDipartimentodi Matematicae ApplicazioniRenato Caccioppoli Facolt`a di Ingegneria Universit`a degli Studi di Napoli Federico II AnnoAccademico2008-2009Luigi GrecoDipartimentodi MatematicaeApplicazioni RenatoCaccioppoliFacolt`a di Ingegneria Universit`a degli Studi di Napoli Federico II Anno Accademico 2008-2009 LuigiGreco Dipartimento di Matematica e Applicazioni Renato Caccioppoli Facolt`a di Ingegneria Universit`adegli Studi di Napoli Federico II Anno Accademico 2008-2009 Luigi Greco Dipartimento di MatematicaeApplicazioni RenatoCaccioppoliFacolt`adi IngegneriaUniversit`adegli Studi di Napoli FedericoII Anno Accademico 2008-2009 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni RenatoCaccioppoliFacolt`adi IngegneriaUniversit`adegli Studi di Napoli FedericoIIAnnoAccademico2008-2009Luigi GrecoDipartimentodi MatematicaeApplicazioni RenatoCaccioppoliFacolt`adiIngegneriaUniversit`adegli Studi di Napoli FedericoIIAnnoAccademico2008-2009Luigi GrecoDipartimento di Matematica e Applicazioni Renato Caccioppoli Facolt`a di Ingegneria Universit`a degliStudi di Napoli FedericoIIAnnoAccademico2008-2009Luigi GrecoDipartimentodi MatematicaeApplicazioni RenatoCaccioppoliFacolt`adi IngegneriaUniversit`adegli Studi di Napoli FedericoII Anno Accademico 2008-2009 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni RenatoCaccioppoliFacolt`adi IngegneriaUniversit`adegli Studi di Napoli FedericoIIAnnoAccademico2008-2009Luigi GrecoDipartimentodi MatematicaeApplicazioni RenatoCaccioppoliFacolt`adiIngegneriaUniversit`adegli Studi di Napoli FedericoIIAnnoAccademico2008-2009Luigi GrecoDipartimento di Matematica e Applicazioni Renato Caccioppoli Facolt`a di Ingegneria Universit`a degliStudi di Napoli FedericoIIAnnoAccademico2008-2009Luigi GrecoDipartimentodi MatematicaeApplicazioni RenatoCaccioppoliFacolt`adi IngegneriaUniversit`adegli Studi di Napoli FedericoII Anno Accademico 2008-2009 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni RenatoCaccioppoliFacolt`adi IngegneriaUniversit`adegli Studi di Napoli FedericoIIAnnoAccademico2008-2009Luigi GrecoDipartimentodi MatematicaeApplicazioni RenatoCaccioppoliFacolt`adiIngegneriaUniversit`adegli Studi di Napoli FedericoIIAnnoAccademico2008-2009Luigi GrecoDipartimento di Matematica e Applicazioni Renato Caccioppoli Facolt`a di Ingegneria Universit`a degliStudi di Napoli FedericoIIAnnoAccademico2008-2009Luigi GrecoDipartimentodi MatematicaeApplicazioni RenatoCaccioppoliFacolt`adi IngegneriaUniversit`adegli Studi di Napoli FedericoII Anno Accademico 2008-2009 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni RenatoCaccioppoliFacolt`adi IngegneriaUniversit`adegli Studi di Napoli FedericoIIAnnoAccademico2008-2009Luigi GrecoDipartimentodi MatematicaeApplicazioni RenatoCaccioppoliFacolt`adiIngegneriaUniversit`adegli Studi di Napoli FedericoIIAnnoAccademico2008-2009Luigi GrecoDipartimento di Matematica e Applicazioni Renato Caccioppoli Facolt`a di Ingegneria Universit`a degliStudi di Napoli FedericoIIAnnoAccademico2008-2009Luigi GrecoDipartimentodi MatematicaeApplicazioni RenatoCaccioppoliFacolt`adi IngegneriaUniversit`adegli Studi di Napoli FedericoII Anno Accademico 2008-2009 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni RenatoCaccioppoli Facolt`a di Ingegneria Universit`a degli Studi di Napoli Federico II Anno Accademico 2008-2009 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni Renato Caccioppoli Facolt`a di IngegneriaUniversit`a degli Studi di Napoli Federico II Anno Accademico 2008-2009 Luigi Greco Dipartimento diMatematica e Applicazioni Renato Caccioppoli Facolt`a di Ingegneria Universit`a degli Studi di NapoliFedericoIIAnnoAccademico2008-2009Luigi GrecoDipartimentodi Matematicae ApplicazioniRenato Caccioppoli Facolt`a di Ingegneria Universit`a degli Studi di Napoli Federico II AnnoAccademico2008-2009Luigi GrecoDipartimentodi MatematicaeApplicazioni RenatoCaccioppoliFacolt`a di Ingegneria Universit`a degli Studi di Napoli Federico II Anno Accademico 2008-2009 LuigiGreco Dipartimento di Matematica e Applicazioni Renato Caccioppoli Facolt`a di Ingegneria Universit`adegli Studi di Napoli Federico II Anno Accademico 2008-2009 Luigi Greco Dipartimento di MatematicaeApplicazioni RenatoCaccioppoliFacolt`adi IngegneriaUniversit`adegli Studi di Napoli FedericoII Anno Accademico 2008-2009 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni RenatoCaccioppoli Facolt`a di Ingegneria Universit`a degli Studi di Napoli Federico II Anno Accademico 2008-2009 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni Renato Caccioppoli Facolt`a di IngegneriaUniversit`a degli Studi di Napoli Federico II Anno Accademico 2008-2009 Luigi Greco Dipartimento diMatematica e Applicazioni Renato Caccioppoli Facolt`a di Ingegneria Universit`a degli Studi di NapoliFedericoIIAnnoAccademico2008-2009Luigi GrecoDipartimentodi Matematicae ApplicazioniRenato Caccioppoli Facolt`a di Ingegneria Universit`a degli Studi di Napoli Federico II AnnoAccademico2008-2009Luigi GrecoDipartimentodi MatematicaeApplicazioni RenatoCaccioppoliFacolt`a di Ingegneria Universit`a degli Studi di Napoli Federico II Anno Accademico 2008-2009 Luigi138 VIII.TRASFORMAZIONEDI LAPLACELe (2.5) e (2.6) si iterano: sex `e di classeCn1ex(n1)`e assolutamentecontinua, valgono le formule(2.8)L[x(n)(t)] = snX(s) ;(2.9) Lu[x(n)(t)] = snX(s) sn1x(0) sn2x

(0) x(n1)(0) .Mettiamo in luce una propriet` a della trasformata unilatera.TEOREMA 2.6 (comportamento asintotico). Se lintegrale di Laplace dix converge assolutamente (ad esempio,x `e di ordine esponenziale), risulta(2.10) limRe s+Lu[x(t)] = 0 .Dim. Ricordiamoinnanzituttoche il dominiodi Lu[x] `e unsemipianodestro, quindipossiamofartendereRe sa+. Poicheperq.o.t [0, +[risultalimRe s+x(t) es t= 0 ,la(2.10) segue, se possiamogiusticare il passaggioal limite sottoil segnodi integralenellespressione che denisce Lu[x]. Atale scopo, usiamoil teoremadi Lebesgue dellaconvergenzadominata: per trovare unamaggiorante sommabile, ssiamos0tale che lafunzione t x(t) es0 tsiasommabile in[0, +[ e osserviamoche, per Re s >Re s0,risulta|x(t) es0 t| |x(t) es t| , perq.o.t [0, +[ .Un altro risultato di questo tipo segue dal teorema di Riemann-Lebesgue.TEOREMA2.7. SelintegralediLaplacedi xconvergeassolutamente,risulta (Re s ssato)(2.11) limImsL[x(t)] = 0 .Spesso si cerca di ricavare informazioni sul segnale x dalla sua trasformataX=Lu[x]. Dallaformula(2.6)ricaviamoduerisultati di questotipo: iteoremi del valore iniziale e nale.TEOREMA 2.8. Siax assolutamente continuo (sugli intervalli compatticontenuti) in [0, +[.(Valore iniziale) Sex

`e assolutamente trasformabile, vale la formula(2.12) x(0) =limt0+x(t) = limRe s+s X(s) .(Valorenale)Sex

`esommabile, x(t)convergepert +, `eassolu-tamente trasformabile per Re s > 0 e risulta(2.13) limt+x(t) = lims0Re s>0s X(s) .Dim. La(2.12)segueda(2.6),poicheperilteorema2.6risulta limRe s+Lu[x

(t)] = 0.Riguardo al teorema del valore nale, osserviamo innanzitutto che la sommabilit`a signi-ca assoluta trasformabilit`a in s = 0. Questo implica che x

sia assolutamente trasformabileperRe s > 0. Inoltre,perlassolutacontinuit`aabbiamox(t) = x(0) +Zt0x

() dLuigi GrecoDipartimentodi MatematicaeApplicazioni RenatoCaccioppoliFacolt`adi IngegneriaUniversit`a degli Studi di Napoli Federico II Anno Accademico 2008-2009 Luigi Greco Dipartimento diMatematica e Applicazioni Renato Caccioppoli Facolt`a di Ingegneria Universit`a degli Studi di NapoliFedericoIIAnnoAccademico2008-2009Luigi GrecoDipartimentodi Matematicae ApplicazioniRenato Caccioppoli Facolt`a di Ingegneria Universit`a degli Studi di Napoli Federico II AnnoAccademico2008-2009Luigi GrecoDipartimentodi MatematicaeApplicazioni RenatoCaccioppoliFacolt`a di Ingegneria Universit`a degli Studi di Napoli Federico II Anno Accademico 2008-2009 LuigiGreco Dipartimento di Matematica e Applicazioni Renato Caccioppoli Facolt`a di Ingegneria Universit`adegli Studi di Napoli Federico II Anno Accademico 2008-2009 Luigi Greco Dipartimento di MatematicaeApplicazioni RenatoCaccioppoliFacolt`adi IngegneriaUniversit`adegli Studi di Napoli FedericoII Anno Accademico 2008-2009 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni RenatoCaccioppoliFacolt`adi IngegneriaUniversit`adegli Studi di Napoli FedericoIIAnnoAccademico2008-2009Luigi GrecoDipartimentodi MatematicaeApplicazioni RenatoCaccioppoliFacolt`adiIngegneriaUniversit`adegli Studi di Napoli FedericoIIAnnoAccademico2008-2009Luigi GrecoDipartimento di Matematica e Applicazioni Renato Caccioppoli Facolt`a di Ingegneria Universit`a degliStudi di Napoli FedericoIIAnnoAccademico2008-2009Luigi GrecoDipartimentodi MatematicaeApplicazioni RenatoCaccioppoliFacolt`adi IngegneriaUniversit`adegli Studi di Napoli FedericoII Anno Accademico 2008-2009 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni RenatoCaccioppoliFacolt`adi IngegneriaUniversit`adegli Studi di Napoli FedericoIIAnnoAccademico2008-2009Luigi GrecoDipartimentodi MatematicaeApplicazioni RenatoCaccioppoliFacolt`adiIngegneriaUniversit`adegli Studi di Napoli FedericoIIAnnoAccademico2008-2009Luigi GrecoDipartimento di Matematica e Applicazioni Renato Caccioppoli Facolt`a di Ingegneria Universit`a degliStudi di Napoli FedericoIIAnnoAccademico2008-2009Luigi GrecoDipartimentodi MatematicaeApplicazioni RenatoCaccioppoliFacolt`adi IngegneriaUniversit`adegli Studi di Napoli FedericoII Anno Accademico 2008-2009 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni RenatoCaccioppoliFacolt`adi IngegneriaUniversit`adegli Studi di Napoli FedericoIIAnnoAccademico2008-2009Luigi GrecoDipartimentodi MatematicaeApplicazioni RenatoCaccioppoliFacolt`adiIngegneriaUniversit`adegli Studi di Napoli FedericoIIAnnoAccademico2008-2009Luigi GrecoDipartimento di Matematica e Applicazioni Renato Caccioppoli Facolt`a di Ingegneria Universit`a degliStudi di Napoli FedericoIIAnnoAccademico2008-2009Luigi GrecoDipartimentodi MatematicaeApplicazioni RenatoCaccioppoliFacolt`adi IngegneriaUniversit`adegli Studi di Napoli FedericoII Anno Accademico 2008-2009 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni RenatoCaccioppoliFacolt`adi IngegneriaUniversit`adegli Studi di Napoli FedericoIIAnnoAccademico2008-2009Luigi GrecoDipartimentodi MatematicaeApplicazioni RenatoCaccioppoliFacolt`adiIngegneriaUniversit`adegli Studi di Napoli FedericoIIAnnoAccademico2008-2009Luigi GrecoDipartimento di Matematica e Applicazioni Renato Caccioppoli Facolt`a di Ingegneria Universit`a degliStudi di Napoli FedericoIIAnnoAccademico2008-2009Luigi GrecoDipartimentodi MatematicaeApplicazioni RenatoCaccioppoliFacolt`adi IngegneriaUniversit`adegli Studi di Napoli FedericoII Anno Accademico 2008-2009 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni RenatoCaccioppoli Facolt`a di Ingegneria Universit`a degli Studi di Napoli Federico II Anno Accademico 2008-2009 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni Renato Caccioppoli Facolt`a di IngegneriaUniversit`a degli Studi di Napoli Federico II Anno Accademico 2008-2009 Luigi Greco Dipartimento diMatematica e Applicazioni Renato Caccioppoli Facolt`a di Ingegneria Universit`a degli Studi di NapoliFedericoIIAnnoAccademico2008-2009Luigi GrecoDipartimentodi Matematicae ApplicazioniRenato Caccioppoli Facolt`a di Ingegneria Universit`a degli Studi di Napoli Federico II AnnoAccademico2008-2009Luigi GrecoDipartimentodi MatematicaeApplicazioni RenatoCaccioppoliFacolt`a di Ingegneria Universit`a degli Studi di Napoli Federico II Anno Accademico 2008-2009 LuigiGreco Dipartimento di Matematica e Applicazioni Renato Caccioppoli Facolt`a di Ingegneria Universit`adegli Studi di Napoli Federico II Anno Accademico 2008-2009 Luigi Greco Dipartimento di MatematicaeApplicazioni RenatoCaccioppoliFacolt`adi IngegneriaUniversit`adegli Studi di Napoli FedericoII Anno Accademico 2008-2009 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni RenatoCaccioppoli Facolt`a di Ingegneria Universit`a degli Studi di Napoli Federico II Anno Accademico 2008-2009 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni Renato Caccioppoli Facolt`a di IngegneriaUniversit`a degli Studi di Napoli Federico II Anno Accademico 2008-2009 Luigi Greco Dipartimento diMatematica e Applicazioni Renato Caccioppoli Facolt`a di Ingegneria Universit`a degli Studi di NapoliFedericoIIAnnoAccademico2008-2009Luigi GrecoDipartimentodi Matematicae ApplicazioniRenato Caccioppoli Facolt`a di Ingegneria Universit`a degli Studi di Napoli Federico II AnnoAccademico2008-2009Luigi GrecoDipartimentodi MatematicaeApplicazioni RenatoCaccioppoliFacolt`a di Ingegneria Universit`a degli Studi di Napoli Federico II Anno Accademico 2008-2009 Luigi3. PROPRIET`AFORMALI 139equindix(t)convergepert +,essendox

sommabile:(2.14) limt+x(t) = x(0) +Z+0x

() d .Neseguechex(t)`elimitatoedunqueanchessoassolutamentetrasformabile, quindi X(s)`edenita, perRe s>0. (Lultimaaermazione`eanchecontenutanellaosservazione2.5.)Daltra parte, poiche per Re s >0 risulta |x

(t) es t| |x

(t)|, per q.o. t [0, +[,medianteilteoremadellaconvergenzadominata,abbiamolims0Re s>0s X(s) = x(0) + lims0Re s>0Z+0x

(t) es tdt = x(0) +Z+0x

() d .Confrontandoquestauguaglianzaconla(2.14),otteniamola(2.13).3. Propriet`aformaliElenchiamo alcune formule, che seguono subito dalla denizione, mediantele quali si opera con la trasformata.Traslazione int:L[x(t t0)] =es t0X(s) ,L[x(t) u(t t0)] =es t0L[x(t + t0) u(t)] .Traslazione ins:L[x(t) es0 t] = X(s s0) .Riscalamento e riessione: a R {0},L[x(a t)] =1|a| X_sa_.Coniugazione:L_x(t)_ = X(s) .In particolare,x reale Xhermitiana.Perlaformuladitraslazioneint,bastaeettuareuncambiamentodivariabile:L[x(t t0)] =Z+x(t t0) es tdt =Z+x() es (+t0)d=es t0L[x(t)] .Analoghi passaggi portanoallaformuladi traslazioneins. Vediamolaformuladi riscala-mento,pera > 0;conlasostituzione= a t,troviamoL[x(a t)] =Z+x(a t) es tdt =1aZ+x() esade quindi la formula. Per il caso della riessione, cio`e a < 0, lunica modica `e che nellultimointegraleinquestocasogliestremisonoinvertiti. Anchelaformulaperlatrasformatadelsegnaleconiugato`esemplice:Lhx(t)i =Z+x(t) es tdt =Z+x(t) es tdt =Z+x(t) es tdt ,poiche lintegrale del coniugato `e il coniugato dellintegrale (lintegrale `e limite delle sommeintegrali),equindilaformula.Luigi GrecoDipartimentodi MatematicaeApplicazioni RenatoCaccioppoliFacolt`adi IngegneriaUniversit`a degli Studi di Napoli Federico II Anno Accademico 2008-2009 Luigi Greco Dipartimento diMatematica e Applicazioni Renato Caccioppoli Facolt`a di Ingegneria Universit`a degli Studi di NapoliFedericoIIAnnoAccademico2008-2009Luigi GrecoDipartimentodi Matematicae ApplicazioniRenato Caccioppoli Facolt`a di Ingegneria Universit`a degli Studi di Napoli Federico II AnnoAccademico2008-2009Luigi GrecoDipartimentodi MatematicaeApplicazioni RenatoCaccioppoliFacolt`a di Ingegneria Universit`a degli Studi di Napoli Federico II Anno Accademico 2008-2009 LuigiGreco Dipartimento di Matematica e Applicazioni Renato Caccioppoli Facolt`a di Ingegneria Universit`adegli Studi di Napoli Federico II Anno Accademico 2008-2009 Luigi Greco Dipartimento di MatematicaeApplicazioni RenatoCaccioppoliFacolt`adi IngegneriaUniversit`adegli Studi di Napoli FedericoII Anno Accademico 2008-2009 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni RenatoCaccioppoliFacolt`adi IngegneriaUniversit`adegli Studi di Napoli FedericoIIAnnoAccademico2008-2009Luigi GrecoDipartimentodi MatematicaeApplicazioni RenatoCaccioppoliFacolt`adiIngegneriaUniversit`adegli Studi di Napoli FedericoIIAnnoAccademico2008-2009Luigi GrecoDipartimento di Matematica e Applicazioni Renato Caccioppoli Facolt`a di Ingegneria Universit`a degliStudi di Napoli FedericoIIAnnoAccademico2008-2009Luigi GrecoDipartimentodi MatematicaeApplicazioni RenatoCaccioppoliFacolt`adi IngegneriaUniversit`adegli Studi di Napoli FedericoII Anno Accademico 2008-2009 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni RenatoCaccioppoliFacolt`adi IngegneriaUniversit`adegli Studi di Napoli FedericoIIAnnoAccademico2008-2009Luigi GrecoDipartimentodi MatematicaeApplicazioni RenatoCaccioppoliFacolt`adiIngegneriaUniversit`adegli Studi di Napoli FedericoIIAnnoAccademico2008-2009Luigi GrecoDipartimento di Matematica e Applicazioni Renato Caccioppoli Facolt`a di Ingegneria Universit`a degliStudi di Napoli FedericoIIAnnoAccademico2008-2009Luigi GrecoDipartimentodi MatematicaeApplicazioni RenatoCaccioppoliFacolt`adi IngegneriaUniversit`adegli Studi di Napoli FedericoII Anno Accademico 2008-2009 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni RenatoCaccioppoliFacolt`adi IngegneriaUniversit`adegli Studi di Napoli FedericoIIAnnoAccademico2008-2009Luigi GrecoDipartimentodi MatematicaeApplicazioni RenatoCaccioppoliFacolt`adiIngegneriaUniversit`adegli Studi di Napoli FedericoIIAnnoAccademico2008-2009Luigi GrecoDipartimento di Matematica e Applicazioni Renato Caccioppoli Facolt`a di Ingegneria Universit`a degliStudi di Napoli FedericoIIAnnoAccademico2008-2009Luigi GrecoDipartimentodi MatematicaeApplicazioni RenatoCaccioppoliFacolt`adi IngegneriaUniversit`adegli Studi di Napoli FedericoII Anno Accademico 2008-2009 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni RenatoCaccioppoliFacolt`adi IngegneriaUniversit`adegli Studi di Napoli FedericoIIAnnoAccademico2008-2009Luigi GrecoDipartimentodi MatematicaeApplicazioni RenatoCaccioppoliFacolt`adiIngegneriaUniversit`adegli Studi di Napoli FedericoIIAnnoAccademico2008-2009Luigi GrecoDipartimento di Matematica e Applicazioni Renato Caccioppoli Facolt`a di Ingegneria Universit`a degliStudi di Napoli FedericoIIAnnoAccademico2008-2009Luigi GrecoDipartimentodi MatematicaeApplicazioni RenatoCaccioppoliFacolt`adi IngegneriaUniversit`adegli Studi di Napoli FedericoII Anno Accademico 2008-2009 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni RenatoCaccioppoli Facolt`a di Ingegneria Universit`a degli Studi di Napoli Federico II Anno Accademico 2008-2009 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni Renato Caccioppoli Facolt`a di IngegneriaUniversit`a degli Studi di Napoli Federico II Anno Accademico 2008-2009 Luigi Greco Dipartimento diMatematica e Applicazioni Renato Caccioppoli Facolt`a di Ingegneria Universit`a degli Studi di NapoliFedericoIIAnnoAccademico2008-2009Luigi GrecoDipartimentodi Matematicae ApplicazioniRenato Caccioppoli Facolt`a di Ingegneria Universit`a degli Studi di Napoli Federico II AnnoAccademico2008-2009Luigi GrecoDipartimentodi MatematicaeApplicazioni RenatoCaccioppoliFacolt`a di Ingegneria Universit`a degli Studi di Napoli Federico II Anno Accademico 2008-2009 LuigiGreco Dipartimento di Matematica e Applicazioni Renato Caccioppoli Facolt`a di Ingegneria Universit`adegli Studi di Napoli Federico II Anno Accademico 2008-2009 Luigi Greco Dipartimento di MatematicaeApplicazioni RenatoCaccioppoliFacolt`adi IngegneriaUniversit`adegli Studi di Napoli FedericoII Anno Accademico 2008-2009 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni RenatoCaccioppoli Facolt`a di Ingegneria Universit`a degli Studi di Napoli Federico II Anno Accademico 2008-2009 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni Renato Caccioppoli Facolt`a di IngegneriaUniversit`a degli Studi di Napoli Federico II Anno Accademico 2008-2009 Luigi Greco Dipartimento diMatematica e Applicazioni Renato Caccioppoli Facolt`a di Ingegneria Universit`a degli Studi di NapoliFedericoIIAnnoAccademico2008-2009Luigi GrecoDipartimentodi Matematicae ApplicazioniRenato Caccioppoli Facolt`a di Ingegneria Universit`a degli Studi di Napoli Federico II AnnoAccademico2008-2009Luigi GrecoDipartimentodi MatematicaeApplicazioni RenatoCaccioppoliFacolt`a di Ingegneria Universit`a degli Studi di Napoli Federico II Anno Accademico 2008-2009 Luigi140 VIII.TRASFORMAZIONEDI LAPLACEIllustriamolepropriet` aprecedenti conqualcheesempio. La(1.9)`euncaso particolare della formula di traslazione ins. Generalizziamo le (1.10) e(1.11); per R {0}, per Re s > 0 abbiamoLu[cos t] =Lu[ ej t] +Lu[ ej t]2=12_1s j +1s + j _ =ss2+2e analogamenteLu[sin t] =s2+2.Osserviamo inoltre che queste seguono da (1.11) e (1.10) mediante la formuladicambiamentodiscala: `esucienteconsiderareilcaso> 0. Ancora,ledue formule si ricavano luna dallaltra per derivazione rispetto at, mediantela II formula fondamentale.ESEMPIO 3.1.L[sint u(t /4)] =e4sLu[sin(t +/4)]=e4sLu[sint] +Lu[cos t]2=e4s21 + ss2+ 1 .ESEMPIO 3.2. CalcoliamoL[ e|t|]. Possiamo scrivere per q.o.te|t| =etu(t) +etu(t) .Per la formula di traslazioneL[ etu(t)] =1s + 1 , Re s > 1 .Daltra parte, per la formula di riessioneL[ etu(t)](s) =L[ etu(t)](s) =1s + 1per Re(s) > 1, ovvero Re s < 1. Dunque per 1 < Re s < 1 abbiamo(3.1)L[ e|t|] =1s + 1 +1s + 1=21 s2.4. LatrasformatadellaconvoluzioneTEOREMA4.1. Se xe y sonoassolutamentetrasformabili (cio`egliintegrali di Laplace convergono assolutamente) in una stessa striscia, risulta(4.1)L[x y] =L[x] L[y] .Laformulasi ricavasimilmenteallanalogaformula(IX.4.1)perlaF-trasformata. Notiamo chex ypu` o esseredenita anche sex eynon sonosommabili.Luigi GrecoDipartimentodi MatematicaeApplicazioni RenatoCaccioppoliFacolt`adi IngegneriaUniversit`a degli Studi di Napoli Federico II Anno Accademico 2008-2009 Luigi Greco Dipartimento diMatematica e Applicazioni Renato Caccioppoli Facolt`a di Ingegneria Universit`a degli Studi di NapoliFedericoIIAnnoAccademico2008-2009Luigi GrecoDipartimentodi Matematicae ApplicazioniRenato Caccioppoli Facolt`a di Ingegneria Universit`a degli Studi di Napoli Federico II AnnoAccademico2008-2009Luigi GrecoDipartimentodi MatematicaeApplicazioni RenatoCaccioppoliFacolt`a di Ingegneria Universit`a degli Studi di Napoli Federico II Anno Accademico 2008-2009 LuigiGreco Dipartimento di Matematica e Applicazioni Renato Caccioppoli Facolt`a di Ingegneria Universit`adegli Studi di Napoli Federico II Anno Accademico 2008-2009 Luigi Greco Dipartimento di MatematicaeApplicazioni RenatoCaccioppoliFacolt`adi IngegneriaUniversit`adegli Studi di Napoli FedericoII Anno Accademico 2008-2009 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni RenatoCaccioppoliFacolt`adi IngegneriaUniversit`adegli Studi di Napoli FedericoIIAnnoAccademico2008-2009Luigi GrecoDipartimentodi MatematicaeApplicazioni RenatoCaccioppoliFacolt`adiIngegneriaUniversit`adegli Studi di Napoli FedericoIIAnnoAccademico2008-2009Luigi GrecoDipartimento di Matematica e Applicazioni Renato Caccioppoli Facolt`a di Ingegneria Universit`a degliStudi di Napoli FedericoIIAnnoAccademico2008-2009Luigi GrecoDipartimentodi MatematicaeApplicazioni RenatoCaccioppoliFacolt`adi IngegneriaUniversit`adegli Studi di Napoli FedericoII Anno Accademico 2008-2009 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni RenatoCaccioppoliFacolt`adi IngegneriaUniversit`adegli Studi di Napoli FedericoIIAnnoAccademico2008-2009Luigi GrecoDipartimentodi MatematicaeApplicazioni RenatoCaccioppoliFacolt`adiIngegneriaUniversit`adegli Studi di Napoli FedericoIIAnnoAccademico2008-2009Luigi GrecoDipartimento di Matematica e Applicazioni Renato Caccioppoli Facolt`a di Ingegneria Universit`a degliStudi di Napoli FedericoIIAnnoAccademico2008-2009Luigi GrecoDipartimentodi MatematicaeApplicazioni RenatoCaccioppoliFacolt`adi IngegneriaUniversit`adegli Studi di Napoli FedericoII Anno Accademico 2008-2009 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni RenatoCaccioppoliFacolt`adi IngegneriaUniversit`adegli Studi di Napoli FedericoIIAnnoAccademico2008-2009Luigi GrecoDipartimentodi MatematicaeApplicazioni RenatoCaccioppoliFacolt`adiIngegneriaUniversit`adegli Studi di Napoli FedericoIIAnnoAccademico2008-2009Luigi GrecoDipartimento di Matematica e Applicazioni Renato Caccioppoli Facolt`a di Ingegneria Universit`a degliStudi di Napoli FedericoIIAnnoAccademico2008-2009Luigi GrecoDipartimentodi MatematicaeApplicazioni RenatoCaccioppoliFacolt`adi IngegneriaUniversit`adegli Studi di Napoli FedericoII Anno Accademico 2008-2009 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni RenatoCaccioppoliFacolt`adi IngegneriaUniversit`adegli Studi di Napoli FedericoIIAnnoAccademico2008-2009Luigi GrecoDipartimentodi MatematicaeApplicazioni RenatoCaccioppoliFacolt`adiIngegneriaUniversit`adegli Studi di Napoli FedericoIIAnnoAccademico2008-2009Luigi GrecoDipartimento di Matematica e Applicazioni Renato Caccioppoli Facolt`a di Ingegneria Universit`a degliStudi di Napoli FedericoIIAnnoAccademico2008-2009Luigi GrecoDipartimentodi MatematicaeApplicazioni RenatoCaccioppoliFacolt`adi IngegneriaUniversit`adegli Studi di Napoli FedericoII Anno Accademico 2008-2009 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni RenatoCaccioppoli Facolt`a di Ingegneria Universit`a degli Studi di Napoli Federico II Anno Accademico 2008-2009 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni Renato Caccioppoli Facolt`a di IngegneriaUniversit`a degli Studi di Napoli Federico II Anno Accademico 2008-2009 Luigi Greco Dipartimento diMatematica e Applicazioni Renato Caccioppoli Facolt`a di Ingegneria Universit`a degli Studi di NapoliFedericoIIAnnoAccademico2008-2009Luigi GrecoDipartimentodi Matematicae ApplicazioniRenato Caccioppoli Facolt`a di Ingegneria Universit`a degli Studi di Napoli Federico II AnnoAccademico2008-2009Luigi GrecoDipartimentodi MatematicaeApplicazioni RenatoCaccioppoliFacolt`a di Ingegneria Universit`a degli Studi di Napoli Federico II Anno Accademico 2008-2009 LuigiGreco Dipartimento di Matematica e Applicazioni Renato Caccioppoli Facolt`a di Ingegneria Universit`adegli Studi di Napoli Federico II Anno Accademico 2008-2009 Luigi Greco Dipartimento di MatematicaeApplicazioni RenatoCaccioppoliFacolt`adi IngegneriaUniversit`adegli Studi di Napoli FedericoII Anno Accademico 2008-2009 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni RenatoCaccioppoli Facolt`a di Ingegneria Universit`a degli Studi di Napoli Federico II Anno Accademico 2008-2009 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni Renato Caccioppoli Facolt`a di IngegneriaUniversit`a degli Studi di Napoli Federico II Anno Accademico 2008-2009 Luigi Greco Dipartimento diMatematica e Applicazioni Renato Caccioppoli Facolt`a di Ingegneria Universit`a degli Studi di NapoliFedericoIIAnnoAccademico2008-2009Luigi GrecoDipartimentodi Matematicae ApplicazioniRenato Caccioppoli Facolt`a di Ingegneria Universit`a degli Studi di Napoli Federico II AnnoAccademico2008-2009Luigi GrecoDipartimentodi MatematicaeApplicazioni RenatoCaccioppoliFacolt`a di Ingegneria Universit`a degli Studi di Napoli Federico II Anno Accademico 2008-2009 Luigi5. TRASFORMATAUNILATERADI SEGNALI PERIODICI 141ESEMPIO 4.2. Datax L1(0, +), la funzione integraley(t) =_t0x() d`e limitata in [0, +[, quindi assolutamente trasformabile per Re s > 0; `e facilemostrare che(4.2) Lu__t0x() d_ =1sLu[x(t)]inapplicazionedellaIformulafondamentale, poichey

=xey(0) = 0. La(4.2) segue pure dalla formula per la trasformata della convoluzione, in quanto(prolungandox a R ponendox(t) = 0 pert < 0) risulta t R, cfr. (VII.1.2)u(t)_t0x() d=_x(t) u(t)_ u(t) .Pi` u in generale, daton N, la funzione(4.3) y(t) =_t0x() (t )n1(n 1)!dverica(4.4) y(n)= x e y(0) = y

(0) = = y(n1)(0) = 0 ,cio`e y `e la primitiva di ordinen di x che si annulla in 0 con le sue prime n1derivate. Da (4.4) Lu-trasformando ricaviamo(4.5) Lu__t0x() (t )n1(n 1)!d_ =1snLu[x(t)] .Notiamo altres` che (4.3) si riscrive chiaramente(4.6) y(t) u(t) =1(n 1)!_x(t) u(t)__tn1u(t)_e quindi (4.5) segue anche dalla formula (4.1).5. TrasformataunilateradisegnaliperiodiciTEOREMA 5.1. Siax un segnale periodico di periodo> 0, sommabilein (0, ). In queste ipotesi, la funzionet x(t) es t`e sommabile su (0, +)perogni s CconRe s >0, quindi x`eassolutamenteLu-trasformabile.Inoltre, postox0(t) = x(t) [u(t) u(t )], risulta(5.1) Lu[x(t)] =L[x0(t)]1 es .Luigi GrecoDipartimentodi MatematicaeApplicazioni RenatoCaccioppoliFacolt`adi IngegneriaUniversit`a degli Studi di Napoli Federico II Anno Accademico 2008-2009 Luigi Greco Dipartimento diMatematica e Applicazioni Renato Caccioppoli Facolt`a di Ingegneria Universit`a degli Studi di NapoliFedericoIIAnnoAccademico2008-2009Luigi GrecoDipartimentodi Matematicae ApplicazioniRenato Caccioppoli Facolt`a di Ingegneria Universit`a degli Studi di Napoli Federico II AnnoAccademico2008-2009Luigi GrecoDipartimentodi MatematicaeApplicazioni RenatoCaccioppoliFacolt`a di Ingegneria Universit`a degli Studi di Napoli Federico II Anno Accademico 2008-2009 LuigiGreco Dipartimento di Matematica e Applicazioni Renato Caccioppoli Facolt`a di Ingegneria Universit`adegli Studi di Napoli Federico II Anno Accademico 2008-2009 Luigi Greco Dipartimento di MatematicaeApplicazioni RenatoCaccioppoliFacolt`adi IngegneriaUniversit`adegli Studi di Napoli FedericoII Anno Accademico 2008-2009 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni RenatoCaccioppoliFacolt`adi IngegneriaUniversit`adegli Studi di Napoli FedericoIIAnnoAccademico2008-2009Luigi GrecoDipartimentodi MatematicaeApplicazioni RenatoCaccioppoliFacolt`adiIngegneriaUniversit`adegli Studi di Napoli FedericoIIAnnoAccademico2008-2009Luigi GrecoDipartimento di Matematica e Applicazioni Renato Caccioppoli Facolt`a di Ingegneria Universit`a degliStudi di Napoli FedericoIIAnnoAccademico2008-2009Luigi GrecoDipartimentodi MatematicaeApplicazioni RenatoCaccioppoliFacolt`adi IngegneriaUniversit`adegli Studi di Napoli FedericoII Anno Accademico 2008-2009 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni RenatoCaccioppoliFacolt`adi IngegneriaUniversit`adegli Studi di Napoli FedericoIIAnnoAccademico2008-2009Luigi GrecoDipartimentodi MatematicaeApplicazioni RenatoCaccioppoliFacolt`adiIngegneriaUniversit`adegli Studi di Napoli FedericoIIAnnoAccademico2008-2009Luigi GrecoDipartimento di Matematica e Applicazioni Renato Caccioppoli Facolt`a di Ingegneria Universit`a degliStudi di Napoli FedericoIIAnnoAccademico2008-2009Luigi GrecoDipartimentodi MatematicaeApplicazioni RenatoCaccioppoliFacolt`adi IngegneriaUniversit`adegli Studi di Napoli FedericoII Anno Accademico 2008-2009 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni RenatoCaccioppoliFacolt`adi IngegneriaUniversit`adegli Studi di Napoli FedericoIIAnnoAccademico2008-2009Luigi GrecoDipartimentodi MatematicaeApplicazioni RenatoCaccioppoliFacolt`adiIngegneriaUniversit`adegli Studi di Napoli FedericoIIAnnoAccademico2008-2009Luigi GrecoDipartimento di Matematica e Applicazioni Renato Caccioppoli Facolt`a di Ingegneria Universit`a degliStudi di Napoli FedericoIIAnnoAccademico2008-2009Luigi GrecoDipartimentodi MatematicaeApplicazioni RenatoCaccioppoliFacolt`adi IngegneriaUniversit`adegli Studi di Napoli FedericoII Anno Accademico 2008-2009 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni RenatoCaccioppoliFacolt`adi IngegneriaUniversit`adegli Studi di Napoli FedericoIIAnnoAccademico2008-2009Luigi GrecoDipartimentodi MatematicaeApplicazioni RenatoCaccioppoliFacolt`adiIngegneriaUniversit`adegli Studi di Napoli FedericoIIAnnoAccademico2008-2009Luigi GrecoDipartimento di Matematica e Applicazioni Renato Caccioppoli Facolt`a di Ingegneria Universit`a degliStudi di Napoli FedericoIIAnnoAccademico2008-2009Luigi GrecoDipartimentodi MatematicaeApplicazioni RenatoCaccioppoliFacolt`adi IngegneriaUniversit`adegli Studi di Napoli FedericoII Anno Accademico 2008-2009 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni RenatoCaccioppoli Facolt`a di Ingegneria Universit`a degli Studi di Napoli Federico II Anno Accademico 2008-2009 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni Renato Caccioppoli Facolt`a di IngegneriaUniversit`a degli Studi di Napoli Federico II Anno Accademico 2008-2009 Luigi Greco Dipartimento diMatematica e Applicazioni Renato Caccioppoli Facolt`a di Ingegneria Universit`a degli Studi di NapoliFedericoIIAnnoAccademico2008-2009Luigi GrecoDipartimentodi Matematicae ApplicazioniRenato Caccioppoli Facolt`a di Ingegneria Universit`a degli Studi di Napoli Federico II AnnoAccademico2008-2009Luigi GrecoDipartimentodi MatematicaeApplicazioni RenatoCaccioppoliFacolt`a di Ingegneria Universit`a degli Studi di Napoli Federico II Anno Accademico 2008-2009 LuigiGreco Dipartimento di Matematica e Applicazioni Renato Caccioppoli Facolt`a di Ingegneria Universit`adegli Studi di Napoli Federico II Anno Accademico 2008-2009 Luigi Greco Dipartimento di MatematicaeApplicazioni RenatoCaccioppoliFacolt`adi IngegneriaUniversit`adegli Studi di Napoli FedericoII Anno Accademico 2008-2009 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni RenatoCaccioppoli Facolt`a di Ingegneria Universit`a degli Studi di Napoli Federico II Anno Accademico 2008-2009 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni Renato Caccioppoli Facolt`a di IngegneriaUniversit`a degli Studi di Napoli Federico II Anno Accademico 2008-2009 Luigi Greco Dipartimento diMatematica e Applicazioni Renato Caccioppoli Facolt`a di Ingegneria Universit`a degli Studi di NapoliFedericoIIAnnoAccademico2008-2009Luigi GrecoDipartimentodi Matematicae ApplicazioniRenato Caccioppoli Facolt`a di Ingegneria Universit`a degli Studi di Napoli Federico II AnnoAccademico2008-2009Luigi GrecoDipartimentodi MatematicaeApplicazioni RenatoCaccioppoliFacolt`a di Ingegneria Universit`a degli Studi di Napoli Federico II Anno Accademico 2008-2009 Luigi142 VIII.TRASFORMAZIONEDI LAPLACEDando per buona la assoluta trasformabilit` a,ci limitiamo a mostrare laformula. Per la periodicit` a, abbiamox0(t) = x(t) u(t) x(t) u(t ) = x(t) u(t) x(t ) u(t )e quindi, per la formula di traslazione int, ricaviamoL[x0(t)] = Lu[x(t)] es Lu[x(t)]da cui segue subito la (5.1).ESEMPIO 5.2.Calcoliamo la trasformata di x0(t) = sint [u(t)u(t)]:per la formula di traslazione int,(5.2)L[x0(t)] =L[sint u(t)] +L[sin(t ) u(t )] =1 +e ss2+ 1.Notiamo cheL[x0] `e funzione intera. Dalla (5.2) possiamo ricavare ad esempioLu[| sint|] mediante la (5.1), poiche | sint| si ottiene come replica periodica diperiodo dix0(t):(5.3) Lu[| sint|] =11 e s1 +e ss2+ 1.Facendolareplicaperiodicadi periodo2 di x0, otteniamosin+ t, quindi,analogamente a prima, troviamo(5.4) Lu[sin+ t] =11 e2 s1 +e ss2+ 1=1(1 e s) (s2+ 1) .ESERCIZIO 5.3. CalcolareL[x0] in (5.2) direttamente dalla denizionedella trasformata mediante integrale.Osservazione5.4. Pi` u in generale, la (5.1) vale per la trasformata unilatera di sommaditraslate. Siax0 L1loc(R)vericantex0(t) = 0,pert < 0. Inquesteipotesilaserie+Xk=0x0(t k)convergeq.o.in R,poich`epertssato,quandok> tilterminek-simo`enulloequindilaseriesiriduceadunasommanita. Dettax(t)lasomma,risultax(t) = 0pert < 0ex(t ) =+Xk=0x0(t k) =+Xk=1x0(t k) ,quindix0(t) = x(t) x(t ) = x(t)u(t) x(t )u(t )dacui,comeprima,seguela(5.1).Comeillustrazione,calcoliamolatrasformatadix(t) =([t] , parteinteradit , pert 00 , pert < 0Ilsegnalexsiottienecomesommaditraslatedix0(t) = u(t 1)equindiLu[x] =L[u(t 1)]1 es=ess11 es.