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Matematica e didattica della matematica Corso di laurea in Scienze della Formazione Primaria

a.a. 2008-09 Docente: Ana Millán Gasca

LEZIONE 2 CONTARE. NUMERI NATURALI E SISTEMI DI NUMERAZIONE

«Uno due tre/conta fin che ce n’è ce n’è quattro cinque sei/ sono sette e sono otto/questo fuori e questo sotto. Son venuta su al castello/per trovare mio fratello Tuo fratello qui non c’è/ esci fuori via anche te. Olio pepe sale/per condire l’insalata insalata non ce n’è/a star fuori tocca a te. Conta contarello/Questo gioco è molto bello Molto bello come te/conta uno due e tre.» (Lella Grandini, Anghingò)

SOMMARIO: 2.1. La conta e il contare. 2.2 La rappresentazione dei numeri. 2.3 Calcolo e scrittura all’alba della civiltà 2.4 Sistemi di numerazione additivi e posizionali. 2.5 La base di numerazione. 2.6 Le concezioni numeriche ingenue nel bambino. 2.7 Le idee matematiche nella scuola dell’infanzia. 2.8 Svegliare l’interesse per la matematica: dalla scuola dell’infanzia alla classe prima. 2.9 Leggere, scrivere, far di conto. Lettura 2.1 I canti enumerativi. Lettura 2.2 Il diario matematico di una madre. Esercizi Bibliografia: All’inizio fu lo scriba, cap. 1 (in particolare riquadri pp. 7-8; 10-11); 2. 1 La conta e il contare

Quando i bambini si siedono ai banchi di scuola in prima elementare, essi conoscono già

alcuni delle parole numerali nella loro lingua materna,

uno, due, tre, quattro, cinque, sei sette otto nove dieci …

e sanno adoperarle per eseguire piccoli conteggi di oggetti (si pensi a meno di dieci caramelle, mele o macchinine) oppure per enumerare gli scalini che si scendono, i piani che risale un ascensore, i membri della famiglia.

MATEMATICA E DIDATTICA DELLA MATEMATICA Ana Millán Gasca

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Il verbo contare (come verbo intransitivo) significa recitare, a mente o ad alta voce, la lista

delle parole numerali: queste parole designano i numeri naturali. Lo stesso verbo contare (questa volta come verbo transitivo) sta ad indicare una delle attività

umane più primitive, ossia elencare distintamente e con ordine oggetti di una collezione (persone, animale, oggetti, giorni). Più precisamente, contare è passare in rassegna gli oggetti della collezione, facendo corrispondere ad ognuno di essi gli elementi di un insieme campione, nel modo seguente: ad ogni oggetto della collezione si associa uno ed uno solo degli elementi dell’insieme campione, e viceversa ad ogni elemento dell’insieme campione si associa uno ed uno solo degli elementi della collezione.

I bambini imparano quindi che i numeri naturali sono un comodo ed efficace insieme

campione per contare, ma ricordiamo che il confronto quantitativo che si esegue quando si conta può essere eseguito senza numeri. Per contare oggetti ciò che è necessario è disporre di:

– un insieme-campione e – un modo di collegare gli elementi di questo insieme a quelli dell’insieme contato Una corona di grani, le dita della mano o un oggetto con alcune tacche incise sono esempi di

insieme-campione primitivi. Conta “senza numeri” chi fa scorrere la corona di grani di un rosario con le dita ad ogni preghiera detta; conta chi apre le dita man mano che guarda gli oggetti; e anche il carcerato che segna una tacca ad ogni giorno passato in cella e cancella ogni gruppo di cinque tacche conta; “conta” le ore e i quarti la campana della chiesa, adoperando dei tocchi. Quando apparecchiamo la tavola ricordando il nome delle persone che partecipano a un pranzo e collocando un piatto per ognuna di esse eseguiamo un confronto quantitativo, “contiamo” senza numeri (una volta eseguito il conteggio infatti possiamo completare la tavola con bicchieri, posate e tovaglioli in modo quantitativamente preciso).

Il bambino che recita i numerali a lui noti mentre scende gli scalini, o man mano che indica o tocca ad uno a uno alcuni oggetti conta, ma egli conta anche “senza numeri”. Alcuni bambini (non tutti, non sempre) contano con le dita, ossia contano aprendo le dita della mano senza usare alcuna parola numerale. Le conte dei bambini sono piccole canzoncine che servono come insieme campione per i conteggi necessari per organizzare un gioco (formare i gruppi, oppure scegliere chi cercherà gli altri a nascondino): il confronto è eseguito indicando i bambini posti in cerchio e scandendo con lo stesso ritmo le sillabe o parole della conta, che sono alcune volte parole numerali.

Le parole numerali e il loro uso in piccoli conteggi, che gli adulti apprezzano come una gran conquista dei bambini, sono per la verità solo la punta dell’iceberg delle loro concezioni numeriche. Anzi, le apparenze nascondono spesso il fatto che anche per i bambini molto piccoli i numeri non sono soltanto collegati a oggetti tangibili, e anzi che essi iniziano precocemente a sentire il carattere astratto del numero. Per lavorare sulle concezioni numeriche del bambino nella scuola dell’infanzia e per insegnare la matematica elementare ai bambini a partire dalla classe prima della scuola dell’obbligo è quindi fondamentale conoscere da vicino che cosa si nasconde sotto l’apparente semplicità della sequenza

1 2 3 4 … 10 11 12 13 …

Si tratta, cioè, di descrivere con precisione, dal punto di vista matematico – senza lasciarci

ingannare perché si tratta di cose che le sanno tutti – che cosa sono i numeri naturali e che cosa è contare: di questo ci occuperemo nella lezione 3. In questa lezione si sviluppa invece una riflessione sulla rappresentazione dei numeri: le parole e i simboli che servono a rappresentare i numeri, e

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anche altre forme di rappresentazione tramite modelli concreti (suoni, oggetti, disegni o configurazioni). Ci occuperemo quindi anche delle concezioni numeriche ingenue del bambino: conteggi, parole e simboli aprono la strada al concetto astratto di numero nell’esperienza dei più piccoli.

2.2 La rappresentazione dei numeri Gioverà ricordare che è importante distinguere il numero che indica la quantità degli oggetti

di una certa collezione dal simbolo usato per scriverlo, simbolo formato da uno o più segni grafici e che è una convenzione. Ad esempio, i simboli

10 X

!

I

rappresentano con segni grafici diversi lo stesso numero, rispettivamente nel sistema di numerazione di origine indoarabica, nel sistema di numerazione romano e nel sistema di numerazione antico egizio, così come i numerali «due», «two», «dos» indicano lo stesso numero in tre lingue moderne diverse. Allo stesso modo, anche i due simboli

!

1

2

!

0,5

sono due notazioni simboliche che designano uno stesso numero (non più pero un numero naturale, bensì un numero razionale). Si tratta di due notazioni moderne, che usano le cifre indoarabiche e in più la linea di frazione e la virgola.

La notazione letterale del algebra, ossia l’uso delle lettere per rappresentare i numeri, rende più evidente la differenza fra il concetto astratto di numero e la sua rappresentazione.

Nella scuola primaria i bambini si accostano all’uso dei simboli sia nella scrittura sia nella notazione dei numeri con il sistema di numerazione posizionale decimale oggi in uso. Essi vengono così introdotti alla sfera simbolica attraverso lettere e cifre.

I modelli concreti di numero

Per non confondere il concetto astratto di numero con la sua rappresentazione scritta si possono usare dei modelli concreti (materiali o virtuali), ossia rappresentazioni del numero legate a un aspetto sensibile immediato e diverse quindi dalla rappresentazione simbolica con un segno grafico. Ad esempio, Richard Courant e Herbert Robbins presentano un modello che pensa i numeri con palline poste in scatole rettangolari, che possono essere anche realizzate materialmente. Anche i pitagorici usavano dei modelli geometrici, poiché rappresentavano i numeri come aggregati di punti, e anzi la loro disamina dei naturali includeva lo studio di disposizioni geometriche particolari, i cosiddetti numeri figurati, quali i numeri triangolari 1, 3, 6, 10,… i numeri quadrati, 1, 4, 9, 16,… (si veda la figura), i numeri pentagonali e così via.


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Nella Cina antica, indipendentemente dalla scrittura dei numeri, per eseguire gli algoritmi si

usava una procedura basata su una rappresentazione dei numeri grazie a dei bastoncini (suan) disposti su una superficie di calcolo seguendo una regola posizionale decimale.

La ricerca moderna sull’insegnamento della matematica ha anche introdotto dei modelli concreti dei numeri. Il maestro belga Emile-Georges Cuisenaire (1891-1976) introdusse nella sua scuola della cittadina di Thuin i regoli colorati (presentati nel suo lavoro del 1952 I numeri in colore) oggi diffusi in tutto il mondo. La ricercatrice belga Fréderique Papy, studiosa dell’insegnamento elementare della matematica, suggerì una rappresentazione dei numeri naturali con pedine disposte su una tavola di calcolo. La stessa funzione hanno i regoli colorati, che possono essere adoperati con i bambini piccoli ben prima della prima elementare, oppure i blocchi multibase dello studioso di origine ungherese Zoltan Dienes. Nei manuali scolastici in uso per la scuola primaria in Cina l’addizione è illustrata da due artefatti: l’abaco (come in Italia) e le stecchine o bastoncini da legare a fascetti da dieci.

Lo zero e la rappresentazione simbolica dei numeri

Il numero zero è un esempio di particolare importanza per riflettere sulla differenza fra il numero e la sua rappresentazione. Si tratta di un concetto astratto che è nato in collegamento con un segno grafico 0 introdotto in India per indicare una posizione vuota e rendere quindi pienamente operativo il sistema di numerazione decimale posizione, originario da questa regione del mondo. In questo caso, dalle esigenze di scrittura dei numeri, più che dalle riflessioni sul numero in astratto, è nato il concetto astratto di un numero zero che si è aggiunto ai numeri naturali e può essere maneggiato come uno di essi; anzi lo zero è il primo passo dell’estensione del sistema dei numeri nella matematica (di cui si parlerà nelle Lezioni 5 e 7). Ovviamente, lo zero è un numero speciale, che ha suscitato molte riflessioni filosofiche e religiose. La matematica si è sviluppata a cavallo fra la sfera astratta del pensiero e le mille sollecitazioni dell’attività umana.

La rappresentazione in matematica

Nelle attività di disegno e nell’espressione plastica. il bambino si avvicina all’idea di rappresentazione come raffigurazione, ossia la riproduzione di un aspetto della realtà mediante figure o segni sensibili; nelle attività di drammatizzazione e teatro, i bambini si avvicinano alla rappresentazione della realtà mediante l’interpretazione. Ma l’essere umano raffigura la realtà anche attraverso dei simboli, ossia attraverso dei gesti, segni o figure che non riproducono la realtà ma suscitano invece nella mente un’idea diversa da quella offerta dal loro immediato aspetto sensibile. I simboli possono servire a rappresentare oggetti visibili, ma ancor di più oggetti o idee astratte. La scrittura e la notazione della matematica sono il perno della rappresentazione simbolica.

I sistemi di numerazione costituiscono l’esempio più antico di rappresentazione simbolica in matematica. Nel corso della storia la collezione dei simboli usati dalla matematica per rappresentare idee (l’uguaglianza fra oggetti, il raccogliere oggetti) e enti astratti (un punto, un numero, una coppia di numeri, una variabile) si è arricchita sempre di più: qualsiasi libro di matematica, e anche questo materiale didattico, ha bisogno infatti di un lungo glossario di simboli, e ogni definizione in matematica è accompagnata da istruzioni riguardanti la notazione simbolica.


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Più in generale: la matematica si occupa e lavora sulla rappresentazione. Pensiamo ad esempio alla rappresentazione dei punti mediante le coordinate una volta fissato un sistema di riferimento; oppure alla scelta della frazione ridotta ai minimi termini come rappresentante della collezione di tutte le frazioni equivalenti; o alla rappresentazione di una frazione mediante l’espressione decimale; alle identità algebriche, quali i prodotti notevoli; oppure alla rappresentazione di una procedura di calcolo mediante un diagramma di flusso; o ancora alla rappresentazione di un certo numero in base due nel calcolare elettronico. In matematica, rappresentare significa sostituire a un ente un altro ente che, sotto certi aspetti e mediante opportune convenzioni, sia ad esso equivalente.

OSSERVAZIONE IMPORTANTE LA NOTAZIONE SIMBOLICA IN MATEMATICA

La rappresentazione dei numeri nel sistema di numerazione decimale posizionale, insieme ai

simboli per le quattro operazioni, al simbolo > e al simbolo =, costituiscono i primi passi del bambino nel simbolismo matematico.

Quando si devono stabilire proprietà generali dei numeri e relazioni fra numeri (generali nel senso che valgono per numeri scelti ad arbitrio all’interno di una certa classe o insiemi di numeri) non è possibile usare la scrittura di numeri particolari, e si adoperano quindi le lettere: parleremo quindi ad esempio dei numeri

!

a,b,c… oppure n,m, .., oppure z,w, o ancora x,y,z. La notazione matematica ci viene in aiuto per rendere più evidente il carattere astratto dei

concetti matematici. I Greci introducevano le lettere per designare i punti nelle configurazioni geometriche, per poter così condurre su una figura disegnata ragionamenti di validità generale. Allo stesso modo, la notazione algebrica moderna, che adopera singole lettere dell’alfabeto per designare i numeri, ci viene in aiuto per rendere più evidente la distinzione fra un numero e la sua rappresentazione. Le lettere possono anche rappresentare altri oggetti logici e matematici, quali rette, funzioni, variabili, insiemi o proposizioni. Un’espressione matematica è la traduzione in simboli matematici (quali lettere, simboli di operazioni, simboli logici, parentesi) di una frase.

Alcuni aspetti della notazione simbolica matematica sono introdotti nella scuola primaria fin dalla prima classe. La notazione algebrica e le corrispondenti espressioni algebriche, invece, non sono usate nella scuola primaria (essa può invece essere introdotta opportunamente nel corso della scuola secondaria di primo grado). Tuttavia, l’insegnante deve avere familiarità con tale scrittura simbolica che, d’altra parte, già conosce dalla scuola media. La notazione simbolica sarà di grande aiuto per occuparci del pensiero matematico e per dare profondità al nostro sguardo sulle concezioni numeriche del bambino e sulla matematica elementare.

2.3 Calcolo e scrittura all’alba della civiltà Si veda All’inizio fu lo scriba, capitolo 1.


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2.4 Sistemi di numerazione posizionali e additivi Un sistema di numerazione è una collezione di segni grafici e una procedura di notazione per

scrivere i numeri. Vi sono stati storicamente due tipi fondamentali di procedure, basati rispettivamente sul principio additivo e su quello di posizione.

In un sistema di numerazione additivo, si scrivono una serie di segni numerici, se necessario

ripetendoli, uno accanto all’altro, e il numero rappresentato è la somma totale dei valori dei segni. Ovviamente è possibile rappresentare qualsiasi numero in tal modo (e basta avere un simbolo

per l’unità), anche se può essere molto farraginoso. Il sistema di numerazione egizio nella scrittura geroglifica, ad esempio, usava sei diversi simboli: la tacca per l’unità e l’ansa, la corda a spirale, il fiore di loto, il dito alzato, il girino e il dio che indicavano le prime sei potenze di dieci. Così,

!

III

stava ad indicare 34 (quattro tacche e tre anse). Anche il sistema dei numeri romani era essenzialmente additivo.

Il sistema di numerazione posizionale decimale, oggi il più usato in tutto il mondo, è molto efficace e rende molto facile eseguire le operazioni, anche se ai bambini che imparano a eseguirle può sembrare ostico: qualche prova con il metodo usato in Egitto, o nell’antica Roma, può però convincerli del contrario! È basato sull’uso di soli dieci segni o cifre (originari dall’India): 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 … e lo 0, che ha un ruolo chiave (l’idea di avere un segno per indicare il “niente” non era per niente “naturale”). Nel nostro sistema, infatti, quando scriviamo il numero 7402, indichiamo che vi sono 2 unità, nessuna decina, 4 centinaia e 7 migliaia: esso conta quindi il valore delle cifre, ma anche il luogo dove esse sono poste. Ogni posizione fa riferimento a una potenza di dieci, a cominciare da sinistra: le unità (potenza 100 , si dice in notazione moderna); le decine (potenza 101 ); le centinaia (102 ); le migliaia (103 ) e così via. Di conseguenza servono solo 10 cifre: una volta raggiunte in un conteggio 9 unità, il passo seguente non richiede un’altra cifra, basta scrivere “una decina, zero unità” (ossia 10), “una decina, una unità” (11), “una decina, due unità” (12) e così via. Quindi, 7402 significa, usando la scrittura abbreviata:

7402 = 2 ! 10

0+ 0 !10

1+ 4 !10

2+ 7 !10

3

In generale, per scrivere un numero qualsivoglia (lo scriviamo quindi simbolicamente con una lettera, n) si considera la sua decomposizione nel modo seguente

!

n = ao"10

0+ a

1"10

1+ a

2"10

2+ a

3"10

3+ ...+ a

k"10

k e quindi il numero si scrive accostando le cifre nel modo seguente:

!

ak...a

3a2a1a0


28

In un sistema di numerazione posizionale il valore dei segni o cifre dipende dalla loro

posizione. Il sistema si dice in base b se si ha a disposizione b cifre (di cui una indica la posizione vuota) e il valore posizionale dei segni è collegato alle successive potenze della base. Per scrivere un numero n qualsivoglia in base b bisogna decomporlo nel modo seguente*:

!

n = ao" b

0+ a

1" b

1+ a

2" b

2+ a

3" b

3+ ...+ a

k" b

k e quindi il numero si scrive accostando i segni

!

(ak...a

3a2a1a0)b

Per esempio, in base 8, conservando gli stessi simboli (da 0 a 7), il numero che abbiamo

appena scritto ha un’interpretazione diversa:

!

74028

= 2 " 80

+ 0 " 81+ 4 " 8

2+ 7 " 8

3= 3842

10

I computer registrano i numeri (come tutta l’informazione) nel sistema binario (in base 2). In questo sistema bastano due simboli, che possiamo scrivere * e –, oppure, come è consuetudine fare, 0 e 1. Ad esempio:

!

112

=1" 20

+1" 21

Nell’astronomia babilonese antica veniva adoperato un sistema di numerazione che

adoperava due soli segni per scrivere i numeri fino a sessanta usando il principio additivo; oltre il numero sessanta veniva applicato il principio posizionale in base 60. Traccia di questo sistema posizionale sessagesimale si ritrova modernamente nelle unità di misura del tempo e delle ampiezze angolari (si veda All’inizio fu lo scriba, cap. 1, pp. 10-11).

La notazione posizionale dei numeri frazionari

Ricordiamo che i sistemi di numerazione posizionali permettono di scrivere, oltre ai numeri interi naturali, anche numeri frazionari. Per esempio, nel sistema di numerazione posizionale decimali oggi usuale si impiegano le posizioni a destra delle unità, separandole con una virgola:

!

9

4= 2 + 2 "

1

10+ 5 "

1

100# $ # 2,25

63

500=1"

1

10+ 2 "

1

100+ 6 "

1

1000# $ # 0,126

In generale, la regola di rappresentazione è la seguente: se un numero v si può decomporre

nel modo seguente, usando le potenze di dieci, le frazioni decimali, l’addizione e la moltiplicazione

!

v = an"10

n+ a

n#1 "101

+ ...+ a2"10

2+ a

1"10 + a

0+ b

1"1

10+ b

2"1

102

+ ...+ bm"1

10m

* Tale espressione matematica è la traduzione in simboli matematici di una serie di operazioni: in questo caso si tratta di un’addizione di k addendi, ognuno dei quali è a sua volta un prodotto. Osservare che

!

ao,a1,a2,a3,... rappresentano numeri naturali (si legge, rispettivamente “a con 0”, “a con 1”, “a con 2”, “a

con 3”, che saranno diversi per ogni numero n che si decompone), mentre

!

b0,b1,b2,b3,... rappresentano le

successive potenze de numero b (si legge, rispettivamente “b elevato a 0”, “b elevato a 1”, b al quadrato, b al cubo). Quindi anche

!

akrappresenta un numero naturale (k è un subindice), mentre

!

bksta a indicare “b elevato

a k” (k è un esponente).


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allora il numero si rappresenta, con l’ausilio di una virgola, accostando le cifre

!

an,...,a

3,a2,a1,a0,b1,b2,...,b

m nel modo seguente

!

an...a

3a2a1a0,b1b2...b

m

ESERCIZIO. Adoperando questa regola, è possibile scrivere tutti i numeri frazionari? Provi a trovare degli esempi e ad individuarne le limitazioni. 2.5 La base di numerazione

La scrittura oggi usuale dei numeri è uno dei possibili modi per rappresentare graficamente i

numeri. Nel passato vi sono stati altri modi, e ad esempio nella comunicazione con il computer adoperiamo un modo diverso di rappresentazione (un sistema di numerazione posizionale binario). La scrittura dei numeri che viene insegnata ai bambini nella classe prima è quindi una convenzione, come lo è la scrittura alfabetica che essi apprendono nel contempo.

Per approfondire la consapevolezza di questo importante aspetto è utile esaminare la scrittura posizionale dei numeri in altre basi di numerazione, adoperando le cifre usuali oppure anche segni scelti arbitrariamente (nel caso della base 12, ad esempio, sarà comunque necessario inventare altri due segni oltre alle cifre da 0 a 9). Poiché si tratta comunque di numerazione posizionale, in questi sistemi sono validi gli algoritmi dell’addizione e della moltiplicazione in colonna e possiamo anche costruire le relative “tabelline”.

Si veda Che cos’è la matematica, cap. 1, § Calcolo in sistemi non decimali, pp. 42-45.


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2.6 Le concezioni numeriche ingenue nel bambino In questa sezione ci occupiamo di come il bambino molto piccolo si accosta alla idea di numero e all’attività del contare a partire dalle sue esperienze in ambito familiare oppure nella scuola dell’infanzia, ma comunque prima di essere introdotto alla matematica come materia scolastica.

Chiamiamo concezioni numeriche ingenue quelle che hanno i bambini prima della scuola

elementare; chiamiamo concezioni numeriche formali quelle che sono insegnate loro nella scuola elementare.

Non ci occupiamo qui di esaminare le ipotesi sull’evoluzione delle capacità numeriche dei

bambini di cui si sono occupati alcuni studiosi di psicologia dello sviluppo e dell’educazione nel Novecento. L’evoluzione individuale delle concezioni numeriche dei bambini dai 3 ai 6 anni è molto variabile e, quando bambine e bambini arrivano nella classe prima, il proprio bagaglio di concezioni numeriche varia straordinariamente dall’uno all’altro. Ciò che ci interessa è, in primo luogo, passare in rassegna il territorio delle concezioni numeriche ingenue; e, in secondo luogo mettere in evidenza la rottura forte che introducono nelle esplorazioni numeriche del bambino i primi insegnamenti di matematica nella scuola primaria. Dobbiamo infatti ricordare che:

– prima della prima classe della scuola primaria, vi è un percorso di conoscenza

numerica variabile da bambino a bambino ma comunque ricco e articolato, che include aspetti concreti e astratti del concetto di numero

– l’insegnamento della matematica elementare tende a rendere omogenea la portata

delle conoscenze di ogni bambino e ad incanalare le loro riflessioni lungo un binario condiviso, proprio per la natura di questa disciplina, le cui regole sono rigide e che da meno spazio di altre materie alla soggettività individuale.

La complessità delle concezioni numeriche in età prescolare contrasta con l’immagine

comune, che non di rado vede nel contare, ossia nell’essere capace di dire a voce sempre più parole della serie

uno due tre quattro cinque sei sette otto nove dieci …

il riflesso di una conoscenza numerica che progredirebbe quindi in modo lineare.

Le concezioni numeriche ingenue sono collegate allo sviluppo linguistico e possono essere

suddivisi in vari aspetti: a) la collezione dei numerali b) la collezione dei simboli numerici c) le strategie per ottenere “numerosità” di un insieme d) l’idea astratta di numero Tali concezioni hanno un carattere sistemico, vale a dire, questi diversi aspetti hanno

collegamenti fra di loro, a partire dai quali emerge l’idea astratta e unificatrice di numero. L’idea astratta si impone progressivamente come base sottostante alle diverse conoscenze concrete, che permette di tenerle tutte insiemi: gli aspetti linguistici orali (dire le parole), gli aspetti di


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rappresentazione simbolica grafica (i “disegni” dei numeri), gli aspetti di elaborazione della percezione sensibile (elencare distintamente elementi, identificare direttamente la “numerosità” di insiemi piccoli) e gli aspetti operativi (contare le caramelle, oppure seguire il movimento dell’ascensore che sale i vari piani).

Ognuno di questi aspetti è costituito da un insieme di concetti e procedure, oltre che di

convinzioni e idee di natura culturale con una rete di connessioni interna, che costituisce quindi a sua volta un sotto-sistema concettuale.

I bambini sviluppano inoltre la capacità di usare i numeri e il contare in contesti o situazioni

matematicamente diversi e riconoscere quindi i diversi significati matematici, come è stato sottolineato da Karen C. Fuson:

– valore sequenziale (il “contare”): i numeri formano una famiglia con un ordine stabile – valore cardinale: i numeri rispondo alla domanda: quanti sono?

– valore ordinale: i numeri rispondono alla domanda quanto è di più, quanto è di meno

(prezzi, età) chi viene prima?, (in una gara, nel calendario, in ascensore)?

– uso nella misura: i numeri, insieme a certe unità di misura, servono a rispndere a domande sulla grandezza quanto è lungo? quanto è pesante?

– uso come codice di identificazione: i numeri sono presenti senza nessuno degli usi

precedenti nelle targhe della macchina, nel codice postale, nel telecomando. In un libro pubblicato nel 1988 e dedicato al contare e ai concetti di numero nel bambino

(Children’s counting and concepts of number, New York, Springer, 1988), Karen Fuson ha esplorato l’elaborazione del numerico nel bambino indipendentemente dalla rappresentazione simbolica dei numeri, esaminando l’acquisizione delle parole numerali e la sua elaborazione in rapporto ai diversi usi di tale parole; e l’attività del contare oggetti e la connessione fra il conteggio e l’idea di cardinalità.

a) I numerali

Il bambino impara, insieme ad altre parole, i numerali cardinali e i numerali ordinali. Il bambino ha il sentimento che si tratta di parole “diverse” dalle altre, collegato alla consapevolezza che esse servono a un fine preciso: contare. Le parole possono incorporarsi al loro vocabolario anche alla rinfusa, oppure nel loro ordine naturale. L’idea di ordine associata a questa particolare famiglia di parole può anche farsi presente attraverso l’idea che tali parole devono essere scandite, recitate, un idea che si manifesta in modo espressivo attraverso le conte tradizionali.

I numerali cardinali da uno a dieci hanno un’importanza culturale basilare che deriva dal

sistema di numerazione posizionale decimale oggi in uso; sono tutte parole che possono essere usate come sostantivo o come aggettivo, tranne che per i numerali:

uno (sostantivo)

!

" # $ un una (aggettivi) Oltre dieci, egli impara ad “andare avanti” con i numerali cardinali da undici a sedici, e

raggiungere la consapevolezza della legge che regola sistematicamente la formazione di tutte le altre parole numerali


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Ventuno Trentuno Quarantuno … Ventidue Trentadue Quarantadue Ventitre Trentatre Quarantatre … … ...

In italiano come in altre lingue europee, queste regole rispecchiano il sistema di numerazione solo in parte. Infatti, oltre ai numerali cardinali da uno a dieci è necessario imparare alcune altre parole basilari, quali venti, trenta, laddove in cinese ad esempio si usa l’equivalente di due dieci, tre

dieci. Spesso a questi numerali ordinali si aggiunge la conoscenza dei numerali in un’altra lingua

one two three four …

circostanza un tempo rara è ora sempre più comune, per la diffusione del bilinguismo e l’accresciuta mobilità internazionale di persone e cose.

A questa conoscenza si aggiunge quella di alcuni dei numerali ordinali primo, secondo, terzo,… (sono arrivato primo! Sono arrivato secondo!)

Spesso i numerali sono le prime parole che associano a un segno grafico

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 precorrendo così la comprensione del collegamento fra le parole dette e la loro trascrizione nel sistema alfabetico La parola zero, pur essendo un numerale, costituisce un complesso a sé, poiché non serve a contare, è fuori dall’ordine dei numerali e non si inserisce nella legge di formazione di questo sistema verbale. La parola zero è collegata alle concezioni sul nulla e sul vuoto. b)Contare: Le strategie per ottenere la “numerosità” di un insieme

I bambini adoperano le parole numerali per indicare la numerosità di un insieme. Ma come ottengono tale numerosità? Vi è un ventaglio di procedure a disposizione, fra cui bisognerà poi saper scegliere, quali: a) il subitizing (cogliere direttamente); b) contare con le dita; e c) contare adoperando le parole numerali. Si può dire che nella nostra cultura essenzialmente i bambini non scolarizzati esplorano autonomamente queste procedure, imitando gli adulti o anche rispondendo ai loro stimoli (domande, correzione di errori); nella scuola dell’infanzia più che “insegnare” a contare si può accompagnare in modo sistematico questa ricerca.

Con la parola inglese subitizing si fa riferimento alla capacità di identificare la numerosità di un insieme in modo immediato, quindi senza la procedura di contare. Il primo esempio riguarda ovviamente l’identificazione dell’unità (un autobus, una caramella) come distinta da “più elementi”, che è alla base della capacità di passare in rassegna gli elementi di una famiglia di oggetti. Ma questa capacità si estende a insiemi di due, tre, quattro o cinque elementi.

Si può inoltre contare adoperando le parole numerali in modi diversi: mentalmente, senza indicare o toccare gli elementi (insiemi di pochi elementi, soprattutto se disposti con regolarità nel piano o nello spazio); oppure scandendo ordinatamente le parole e segnalando o spostando oggetti per non commettere errori (per sei, sette o più elementi, secondo quanto abbiamo descritto prima).

In un influente libro intitolato The child’s understanding of numbers (1978), gli studiosi statunitensi Rochel Gelman e Charles R. Gallistel presentarono alcuni anni fa un’interessante analisi


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dei molteplici aspetti che intervengono nell’attività del contare, che permette di seguire efficacemente i vari percorsi seguiti dai bambini in età prescolare per imparare a contare (la prima attività matematica del bambino) “in modo agevole, esatto e sicuro” (Lafforgue) e anche individuare le origini dell’errore. L’attività del contare, lo abbiamo visto, è un confronto, che coinvolge, da una parte, ciò che si conta (gli oggetti di uno schieramento) e, dall’altra, una raccolta di “etichette”. Le caratteristiche di questo confronto sono stata già descritta nel §2.1, e possono essere formalizzata in termini matematici (lo vedremo più avanti) attraverso il concetto di corrispondenza biettiva. Gelman e Gallistel hanno calato però tali caratteristiche nell’operazione fisica e/o mentale eseguita dal bambino, analizzando le varie regole e subprocessi che il bambino mette in opera.

Il contare del bambino è una operazione matematica orale. Le etichette usate dai bambini sono i numerali, le parole del contare. Il bambino deve avere a disposizione una buona raccolta di etichette; deve eseguire il confronto secondo un processo iterativo, passo dopo passo, processo che deve rispettare certe regole o principi che garantiscono un risultato esatto; deve identificare una parola (una etichetta numerica) che esprime il risultato dell’operazione eseguita. Il bambino deve raggiunger la padronanza delle tre componenti del contare; tuttavia, egli può raggiungere la padronanza di queste tre componenti in tempi diversi; ognuna quindi è all’origine di errori diversi nel contare.

(a) Il principio dell’ordine stabile delle etichette numeriche o numerali. La raccolta delle etichette o parole numerali è sempre la stessa (anche se non tutte le etichette disponibile vengono usate ad ogni confronto) e nello stesso ordine (abbiamo già visto che il bambino deve memorizzare una collezione di numerali più o meno lunga a seconda della lingua e imparare una regola di formazione che deriva dalla regola posizionale del sistema di numerazione). (b) Il principio uno-uno del confronto come processo iterativo. Il contare richiede di assegnare etichette agli oggetti di uno schieramento (ciò che si conta) passo dopo passo, in modo tale che una e una sola etichetta sia usata per ogni oggetto dello schieramento e non venga usata la stessa etichetta per due oggetti diversi. Rispettare questa regola richiede coordinare due processi: la ripartizione in due gruppi e l’etichettamento.

Ripartizione significa che ad ogni passo deve essere tenuto presente quali oggetti sono da contare e quali sono già stati contatti: passo dopo passo questi due gruppi cambiano, perché il bambino trasferisce ad ogni passo oggetti da un gruppo all’altro, e il trasferimento può avvenire fisicamente o mentalmente.

L’etichettamento è la gestione della raccolta di etichette, la quale cambia anche ad ogni passo; questa gestione implica: – reperire o “estrarre” etichette dalla raccolta, una ad ogni passo del confronto, ossia

ogni volta che un oggetto dello schieramento viene trasferito.

– mettere da parte ad ogni passo l’etichetta usata in quel passo, la quale “rientra” nella raccolta soltanto dopo che il conteggio è concluso.

Questi due processi di ripartizione e di etichettamento (che includono diversi subprocessi) devono essere coordinati aritmicamente: devono iniziare insieme, essere “in fase” ad ogni passo del processo iterativo e concludersi insieme. Per coordinare i due processi i bambini possono seguire un ritmo mentale guardando gli oggetti dello schieramento, o aiutarsi spostando fisicamente oppure indicando gli oggetti. L’etichettamento conclude quando nella ripartizione si arriva ad avere tutti gli oggetti dello schieramento nel gruppo degli oggetti già contati.


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(c) Il principio di cardinalità che stabilisce il risultato dell’operazione di contare: l’ultima etichetta prelevata è il risultato del conteggio. Essa quindi ha un significato diverso di tutte le altre che sono state usate: oltre a riferirsi all’ultimo oggetto dello schieramento, si riferisce allo schieramento intero.

GLI ERRORI NEL CONTARE

i) incertezza sulle parole numerali: mancano parole numerali memorizzabili, l’ordine non è stabile, manca la legge di formazione

ii) non è chiaro che l’ultima parola e il risultato del conteggio, ad esempio si scandiscono correttamente le parole numerali ma poi si da come risultato un’altra parola numerale.

iii) errori nel processo di ripartizione (si conta un oggetto più di una volta, si dimentica un oggetto, per esempio perché gli oggetti non presentano un ordine)

iv) errori nell’etichettamento: la stessa etichetta è usata due volte v) errori nel coordinamento ritmico tra ripartizione ed etichettamento: il bambino

scandisce più o meno parole degli oggetti ripartiti, ad esempio perché si deve spostare per contare gli oggetti e in tanto continua a scandire parole.

La descrizione di Gellman e Gallistel ci permette di capire la ricchezza concettuale del

contare, e la complessa interazione dei processi che questa operazione coinvolge. Questi autori hanno anche individuato due aspetti che rendono evidente il carattere astratto di questa operazione – la prima operazione matematica acquisita dai bambini – anche se essa è riferita a uno schieramento di oggetti concreto, indicati da loro come principio di astrazione e principio di irrilevanza dell’ordine. Il principio di astrazione è la convinzione che il bambino acquisisce di poter applicare la stessa operazione e le stesse etichette a qualsivoglia schieramento di oggetti, siano essi oggetti fisici posti davanti a noi oppure oggetti non visibili oppure che non sono posti davanti a noi in quel momento. Il principio dell’irrilevanza dell’ordine è la convinzione che il bambino acquisisce del fatto che l’ordine del conteggio (la scelta ciò dei singoli oggetti nel processo di ripartizione) è irrilevante, e quindi che le etichette assegnate lo sono solo temporaneamente. Questi due aspetti astratti indicano anche come nel bambino le cose contate si “separano” dalle etichette numeriche, le quali, quindi. sono pensate come numeri astratti; e come comincia a farsi spazio la consapevolezza delle proprietà dei numeri. c) I simboli numerici

Ben prima di sentir parlare di decine e centinaia o usare l’abaco a scuola i bambini osservano intorno a sé particolari “disegni”, il trattino, il piccolo cerchio, e tutti gli altri

1 0 2 7 3 8

5 4 9 Questi disegni sono “importanti”: sono sulla torta di compleanno; sono osservati attentamente dagli adulti sui cartellini al supermercato; indicano il portone della casa dove si abita; stanno sul telecomando con cui scegliere i cartoni animati. Questi disegni, poi, sono associati alle parole numerali: il collegamento più facile da stabilire è quello fra lo zero è il segno 0, e fra i primi nove numerali cardinali e le singole cifre (arabe). Più complicato è addentrarsi nel collegamento fra i numerali e i simboli numerici composti da due o più cifre, a cominciare dal simbolo 10.


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d) L’idea astratta di numero L’idea astratta di numero emerge attraverso i collegamenti fra tutta questa rete di concetti,

procedure e idee che abbiamo analizzato, ma si presenta in ordine cronologico e concettuale molto vario fra i bambini. Emerge attraverso le regole generali che vengono scoperte, che riguardano i seguenti aspetti:

– il principio di astrazione e il principio di irrilevanza dell’ordine nel contare – l’intuizione dell’idea di successore (“aggiungere uno”), la curiosità per l’avanzare

della sequenza di numeri e quindi la crescente consapevolezza del fatto che i numeri “non hanno fine”

– i confronti fra quantità o “numerosità”

– i piccoli “calcoli”, ossia essenzialmente semplici addizioni o sottrazioni che

permettono di risolvere dei “problemi” (a partire dalla semplice addizione “aggiungere uno”)

Infine, l’idea astratta di numero emerge anche attraverso la capacità di usare i numerali e i

simboli numerici in contesti o situazioni matematicamente diversi (uso cardinale, uso ordinale, uso nella misura, uso come codice di identificazione).

2. 7 Le idee matematiche nella scuola dell’infanzia

Concetti matematici astratti nella loro forma semplice e concreta

La scuola dell’infanzia deve considerare l’area di matematica, perché l’intelligenza matematica del fanciullo è assai precoce, come già hanno indicato Pestalozzi, Fröbel, Enriques e hanno confermato le ricerche recenti. Nella seconda metà del Novecento, il rinnovato interesse per il mondo dei bambini molto piccoli ha portato con sé lo sviluppo di molte ricerche sulla visione del bambino dei concetti della matematica e del modo in cui egli acquisisce tali concetti. Tali ricerche possono migliorare le esperienze di apprendimento numerico dei piccoli bambini a casa, nella scuola dell’infanzia e all’inizio della scuola primaria (dai 2 agli 8 anni); come ha scritto Fuson “i concetti numerici sono molto astratti e diventano assai complessi; i bambini di queste età che hanno opportunità ragionevoli di imparare tali concetti mostrano una competenza realmente assai sorprendente nel loro uso delle parole numerali” (Fuson 1988, p. 4). Gli errori dei bambini, come hanno mostrato Fuson e Gelmann-Gallistel, sono indice della ricchezza concettuale della loro esplorazione, per il suo carattere astratto e per la complessità legata all'uso delle parole numerali in contesti molto diversi dal punto di vista matematico e alle molteplici componenti che permettono uno uso corretto dei numeri e del contare.

In quest’età il bambino è portato ad una riflessione profonda sull’idea di numero, soprattutto, ma anche sulle idee geometriche o sull’idea di insieme.

Questa riflessione è già matematica perché, come si è visto nella sezione precedente, segue le strade proprie della matematica:

– uso di parole matematiche – il rigore (uso corretto/incorretto, conteggio corretto/incorretto) – il passaggio fra concreto e astratto – l’equilibrio fra intuizione diretta e argomentazione.


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Il passaggio fra concreto e astratto è al cuore del discorso matematico dei bambini più piccoli. La ricerche recente ci aiutano a capire come il discorso numerico dei bambini più piccoli si sviluppa in riferimento al concreto ma è rivolto al concetto astratto di numero: quindi non bisogna pensare a una “progressione” da una fase del concreto verso una fase dell’astratto (collocata eventualmente nell’età scolare). Quindi, ad esempio, la scuola dell’infanzia deve proporre ai bambini esperienze di apprendimento numerico in differenti “situazioni numerali” che includano l’amplio ventaglio di concetti e abilità tipiche delle concezioni numeriche ingenue. Il ruolo della scuola dell’infanzia è insostituibile nell’introduzione di concetti matematici genuini nella loro forma semplice e concreta (usando l’espressione del matematico René Thom): il contare, l’indagare il cardinale o l’idea di successore, il confrontare e l’ordinare (nel senso numerico! Non in quello di “mettere a posto”), oppure il raccogliere elementi di un insieme e indagare l’appartenenza, l’unione, l’intersezione, la partizione, trovano una collocazione solo in età prescolare.

Non ridurre la matematica a logica

Le ricerche recenti hanno smentito la convinzione secondo la quale esisterebbero alcuni prerrequisiti di natura logica per poter sviluppare i concetti matematici come quello di numero, che si credeva costituissero ostacoli all’acquisizione di tali concetti e quindi impedissero di maneggiare correttamente i numeri ai bambini più piccoli e fossero la fonte degli errori. Tale punto di vista è stato in parte conseguenza dell’evoluzione della matematica all’inizio del Novecento. Infatti, nelle decadi iniziali del Novecento fu portato avanti un tentativo di ridurre l’intera matematica alla logica per un processo di questo genere: le varie teorie matematiche sono basate le une sulle altre fino ad arrivare all’aritmetica, ossia i numeri interi e i numeri naturali; e i numeri naturali si possono dedurre dalla teoria degli insiemi, e questa a sua volta da alcuni pochi principi logici.

ATTACO A PIAGET

Il principale teorico dei prerrequisiti logici è stato lo psicologo Jean Piaget (1896-1980),

autore, insieme a Szeminska, del saggio La genesi del numero nel bambino nel quale tentavano di mostrare che, prima della formazione del concetto di numero nel bambino, vi erano delle tappe quali il riconoscimento della conservazione della quantità rispetto a certe trasformazioni. Martin Hughes, nel suo libro Children and number; Difficulties in learning mathematics (1986), include un capitolo intitolato “Attacco a Piaget”, nel quale ricorda che le ricerche più recenti rappresentano “una critica implicita delle affermazioni di Piaget, secondo cui i bambini in età prescolastica (3-5 anni) sarebbero […] incapaci di pensiero logico e privi di un concetto coerente di numero.”

Piaget sviluppò il suo lavoro anche sotto l’influsso di un gruppo di matematici molto attivi negli anni Cinquanta, i bourbakisti, e della loro visione della matematica: il progetto culturale dei bourbakisti era un tentativo di sistematizzare la matematica sulla base della teoria degli insiemi e della classificazione dei tre tipi di strutture matematiche (topologiche, di ordine e algebriche) che possono essere studiate negli insiemi. L’ipotesi di Piaget era che tali strutture potessero essere che collegate con le strutture operatorie dell’intelligenza; ma altri studiosi, come il logico e matematico John von Neumann, autor del famoso saggio Il calcolatore e il cervello, hanno escluso che il linguaggio della logica e della matematica possano dirci qualcosa sui processi o strutture soggiacenti dell’intelligenza.

Questi temi sono aperti alla discussione degli studiosi. Tuttavia, nella letteratura e nella prassi scolastica, come sottolineato da Karen Fuson, non è stato raro costatare una completa ignoranza del significato matematico di termini matematici come “ordinale”, “relazione d’ordine” o struttura topologica.

La concezione logicista della matematica (l’idea secondo la quale la matematica si ridurrebbe

in ultimo termine a logica, e quindi che lo studio della matematica deva prendere le mosse dalla


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logica) è stato abbandonato dai matematici: oggigiorno, nei corsi superiori di matematica i giovani vengono introdotti alle principali teorie matematiche (derivate e integrali, algebra, geometria) senza nessun prerrequisito altro che alcune parole o simboli della logica (come i quantificatori per costruire frasi o “proposizioni”,

!

" che significa “per ogni” oppure

!

" “esiste”) e della teoria degli insiemi (i simboli

!

",#,$,%), ma non si richiede la conoscenza del calcolo logico e nemmeno della teoria degli insiemi).

Sotto l’influsso delle tendenze logiciste all’interno della matematica, nell’ambito della didattica ha avuto molta risonanza l’idea secondo la quale i concetti della logica matematica devono costituire la base sulla quale si costruiscono nel bambino i concetti della matematica elementare, (ossia i concetti aritmetici, i concetti geometrici e i concetti relativi al trattamento dell’informazione quantitativa). Ad esempio, Gérard Vergnaud, seguace di Piaget, scrive nel suo libro Il bambino, la matematica, la realtà (1981; traduzione italiana Armando Editore, Roma, 1994) che la nozione di numero “lontano dall’essere una nozione elementare, poggia su altre nozioni, quelle di funzione, di corrispondenza biunivoca, di relazione di equivalenza e di relazione d’ordine”. Questo punto di vista è stato molto discusso anche dovuto all’insuccesso scolastico, registrato internazionalmente, dell’insiemistica o “matematica moderna” a scuola. I concetti di insieme, di relazione di equivalenza o di funzione sono il frutto di una lunga storia di lavoro in matematica, e possono essere considerati con il bambino, ma non devono costituire la base di concetti che sono di per sé basilari e naturali, come l’idea di numero, collegata al raccogliere e al contare, e le idee geometriche, collegate all’intuizione visiva.

GLI INSIEMI NELLA SCUOLA DELL’INFANZIA

I concetti della teoria degli insiemi sono sofisticate e anche molto artificiose, per evitare i

paradossi che insorgono nonostante il suo carattere apparentemente naturale perché derivate dall’idea del “raccogliere”. Per questo motivo esse sono introdotte a livello elementare usando i diagrammi di Eulero-Venn, che fanno leva sull’intuizione geometrica (alla quale si assegna quindi un ruolo più basilare nell’insegnamento).

René Thom, in un saggio intitolato “La matematica “moderna”: un errore educativo e filosofico?” (1971), mostra che è impossibile introdurre in modo matematico e rigoroso le idee della teoria degli insiemi prima dell’insegnamento superiore. Nel contempo, faceva notare l’esplorazione in forma semplice e concreta (con illustrazioni geometriche, oppure raccogliendo fisicamente oggetti) trova una collocazione didattica nella scuola dell’infanzia. Ecco le sue parole:

«La forza persuasiva dello schema logico deriva dalle inclusioni spaziali, e non viceversa. Ciò ci indica l’atteggiamento che una concezione educativa ragionevole dovrebbe adottare verso la teoria degli insiemi. Nella sua forma semplice e concreta, dovrebbe essere introdotta nel giardino di infanzia, che è il suo habitat naturale. Nei primi anni della scuola secondaria, gli studenti dovrebbero imparare l’uso dei simboli

!

",#,$,% ; più avanti dovrebbero essere introdotti ai quantificatori, e con ciò la questione dovrebbe essere chiusa»

CHE COSA È UN NUMERO?

Vi sono molti studi sulle idee basilari della matematica, condotte da studiosi come Giuseppe

Peano, Richard Dedekind, Henri Poincaré (tutti matematici con interessi filosofici), che seguono vie diverse da quella logicista, e quindi esplorano il concetto di numero naturale o le idee geometriche senza fondarle necessariamente sulla logica oppure sulla teoria degli insiemi: ognuno di questi studi è foriero di idee e approcci nell’insegnamento della matematica. Ad esempio, per capire l’idea di numero naturale è possibile seguire l’approccio ordinale, che esplora il concetto di successore (aggiungere uno), sia quello cardinale, che fonda la nozione di numero naturale sui concetti primitivi di insieme e di corrispondenza biunivoca tra insiemi.


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Non ridurre la logica alla matematica. Nella scuola dell’infanzia, ma anche nella scuola primaria, vi è un approccio globale

all’educazione dei bambini: ogni momento della giornata sono in gioco aspetti emotivi, fisici, intellettuali… Il maestro deve però essere consapevole della singolarità di questi aspetti. In particolare, all’interno della sfera intellettuale vi sono molti piani diversi, uno dei quali è quello dei concetti matematici. Nella scuola dell’infanzia si lavora su molti altri aspetti del pensiero logico, della “ragione”, che non sono di natura matematica, come l’associazione di idee, la collocazione geografica, l’osservazione del mondo animato e inanimato, la comprensione dei rapporti familiari, d’amicizia, o l’organizzazione e l’ordine in senso fisico.

Per esempio, i rapporti di parentela possono servire a illustrare esempi di relazioni binarie in matematica. Ma se si lavora sui rapporti di famiglia con bambini piccoli, il centro di interesse è la matematica oppure gli aspetti emotivi e sociali della crescita di un bambino e la sua capacità di ragionare?

Un secondo esempio. La “successione temporale” delle attività quotidiane oppure degli avvenimenti e dialoghi nelle storie e i racconti contribuiscono a strutturare il pensiero, a lavorare sulla rappresentazione, a raggiungere la propria autonomia. La sua connessione con il numero è assolutamente non pertinente, tranne forse quando un bambino impara a seguire una serie semplice di vignette numerate in un fumetto.

Le attività che riguardano il tempo, il corpo nello spazio e l’orientamento spaziale, il grafismo non sono di per sé attività di matematica. Viceversa, è possibile realizzare attività con il corpo e attività grafiche attinenti idee matematiche aritmetiche, geometriche, di teoria degli insiemi oppure relative all’elaborazione quantitative delle informazioni.

Infine, le attività che riguardano la misura coinvolgono le idee geometriche e aritmetiche a un livello maggiore di elaborazione. 2.8 Svegliare l’interesse per la matematica: dalla scuola dell’infanzia alla classe prima

L’esplorazione numerica ingenua è naturalmente un’esperienza gioiosa, altrimenti non è. Basti considerare alcuni esempi:

– la cantilena dei numerali scanditi camminando o salendo le scale (eventualmente

anche in disordine, e poi la scoperta dell’ordine) – l’acquisizione di altri numerali nella propria “valigia” di parole – avanzare le pedine contando nel gioco dell’oca e altri simili – la scoperta della corrispondenza fra le parole e i disegni che rappresentano

simbolicamente i numeri (l’1 dritto e lo 0 tondo al di sopra di tutti gli altri; i numeri sui bottoni dell’ascensore a cui si arriva quando si cresce)

– riconoscere le cifre sulle carte da gioco, chiave per imparare a giocare e per vincere

– collegare le parole con le sei facce del dado che è la chiave della fortuna (se tiro il

dado con forza uscirà il sei)

– saper dire gli anni (con le parole o con le dita o con un numero oppure un insieme di candeline che campeggiano sulla torta di compleanno)


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– scoprire gli ordinali (io sono arrivato primo, tu secondo; oppure tu sei il più alto, io

il secondo; oppure ancora abito al terzo [piano])

– eseguire semplici addizioni e risolvere o porre “problemi”, relativi a caramelle o amici o macchinine (ho due caramelle, se me ne dai un’altra quante caramelle ho? Io lo

so perché so che tre va dopo due)

– eseguire semplici addizioni mentalmente, oppure sottrazioni: (ho fatto la somma

senza contare!) L’esplorazione numerica ingenua è, inoltre, nella misura in cui avanza la consapevolezza

dell’aspetto astratto del numero, fonte di meraviglia e di curiosità: qual è il numero più grande? Quanti sono i numeri? Dopo il numero un milione settecento mila, vi è un altro numero?

Tale libertà individuale del pensiero, questa gioia e questa meraviglia, sono accompagnate da risultati notevolissimi sul piano della conoscenza numerica e dello sviluppo del pensiero astratto.

La scuola dell’infanzia accompagna lo sviluppo delle concezioni numeriche ingenue e lo può stimolare straordinariamente: la consapevolezza dell’organizzazione di tali concezioni, illustrata nel paragrafo 2.6, è fondamentale per l’attività didattica in questo livello scolastico. Tuttavia, in generale la scuola non interrompe tale evoluzione individuale, poiché non ha tra i suoi scopi l’insegnamento della matematica elementare. Secondo la visione della scuola dell’infanzia oggi corrente, le concezioni matematiche sono solo una parte dell’esplorazione della realtà sulla quale, a questo livello educativo, si deve lavorare in modo globale e unitario, lasciando ampio spazio alla varietà dei percorsi individuali. Anche se un tale punto di vista è soggetto a discussione, sembra ragionevole sfruttare questa libera esplorazione del bambino per dare spazio alla curiosità e predisporre favorevolmente ai numeri e alla matematica.

Con la prima elementare, invece, e indipendentemente dall’età dei bambini, la scuola interviene ad incanalare e disciplinare le scoperte ed esperienze di ogni singolo bambino rendendo omogenee la portata di conoscenze; e l’attività matematica diventa anche e soprattutto scritta. Si richiede ai bambini infatti:

– imparare come si scrivono i numeri nel sistema di numerazione posizionale decimale – usare dei simboli matematici (+, –, ≥, ≤, =);

– disporre ordinatamente i numeri sulla linea dei numeri;

– eseguire operazioni in colonna;

– costruire o capire tabelle. Poiché in prima l’esercizio della calligrafia ha perso negli ultimi anni il suo ruolo nelle ore di

italiano, spesso rimane soltanto alla matematica il compito prima condiviso di mettere ordine, di far chiarezza, di stabilire dei “divieti” sul piano grafico che creano una idea di struttura del pensiero.

L’incontro tra le concezioni numeriche ingenue del bambino e la matematica elementare è quindi un momento cruciale nell’educazione matematica: bisogna mettere a frutto l’interesse ingenuo per i numeri per creare interesse e apertura mentale verso la matematica. A tale scopo, è necessario lavorare ancora nella prima classe sulle concezioni ingenue: ciò darà spazio alle esplorazioni e alle domande di quegli allievi che possiedono un bagaglio meno ricco di conoscenze pregresse, ma sarà anche fonte di stimoli per coloro che già la sanno lunga sui numeri e si sentono mortificati dal silenzio che pare calare a scuola sui “misteri dei numeri”.


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Un esempio può essere utile. Un malinteso desiderio di “alleggerire il carico delle nozioni matematiche” per rendere più “facile” la matematica ai bambini, a cominciare dal sistema di numerazione e dalle addizioni e sottrazioni, ha portato alla raccomandazione a non andare oltre il numero 20 in prima elementare (ad esempio nei programmi italiana del 1955, si veda la sezione 1.6). Ma basta proporre a un bambino di proseguire sulla linea dei numeri la successione 2, 4, 6 che si porrà il problema di come proseguire oltre 20: ciò nasconde l’idea affascinante che i numeri pari (una delle definizioni più antiche della matematica) sono “tanti” quanti i numeri naturali.

2.8 L’introduzione alla sfera simbolica nella scuola primaria: leggere, scrivere e far di conto

Nella scuola primaria i bambini imparano quindi diverse abilità legate al sistema di

numerazione posizionale decimale oggi in uso; più precisamente:

– tracciare agevolmente le nove cifre da 1 a 9 e tracciare lo 0 che indica una posizione vuota; – applicare il principio posizionale, ossia le posizioni decimali legate alle potenze di dieci

(decine, centinaia, migliaia, decine di migliaia…) e l’uso dello zero;

– applicare l’addizione in colonna e gli altri algoritmi per eseguire sottrazioni, moltiplicazioni e divisioni: disposizione delle cifre, segni aggiuntivi, procedura iterativa, fine della procedura.

Accanto all’acquisizione delle abilità manuali e di calcolo legate alla registrazione convenzionale, i bambini approfondiscono la loro intuizione del numero astratto e iniziano a conoscere le sue proprietà. Per esempio, se insegniamo ai bambini a disporre due numeri in colonna e usare i riporti per calcolare il risultato della loro addizione, si sta introducendo l’algoritmo dell’addizione nel sistema di numerazione posizionale decimale (vi sono altri modi per ottenere il risultato, quali le manipolazioni dei blocchi multibase, gli abaci o il calcolo mentale, incluso quello di inserire correttamente i numeri in una calcolatrice!). Se invece riflettiamo sul fatto che l’ordine degli addendi non altera la somma (importante anche per adoperare la calcolatrice o escogitare comodi “trucchi” di calcolo mentale), stiamo parlando di una delle proprietà dell’addizione (la proprietà commutativa, si veda Lezione 3), che si illustra in matematica usando la notazione algebrica (

!

n + m = m + nper ogni coppia di numeri naturali scelti arbitrariamente

!

n,m ) e che può essere illustrato ai bambini ad esempio con un modello concreto come quello fornito dai regoli colorati. Lettura 1 La serie dei numeri nella tradizione popolare Oltre alle conte dei bambini, vi è una tradizione di canti popolari enumerativi, che attraverso il numero cercano di mettere ordine nella confusione del mondo, delle cose, dei fenomeni del cielo e della terra, della vita stessa dell’uomo e del suo senso trascendente; essi partono dall’uno, di ciò che è unico (la morte ad esempio, oppure l’unico Dio) e arrivano a 12, un numero che è anche stato usato come base di numerazione, oppure a 13. Ne trascriviamo tre esempi di origine culturale diversa.


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Il testo della canzone “La serie dei numeri” di Angelo Branduardi è tratto da una raccolta di canti popolari (mitologici, eroici, storici, comunque della tradizione pagana druidica) della Bretagna, intitolata Baraz Breiz, raccolta dal visconte Hersart de la Villemarqué e pubblicata nel 1867. (si veda Angelo Branduardi. Canzoni, a cura di Giampiero Comolli, Roma, Lato side, 1979) E tu bel bimbo, bimbo mio dolce, dimmi, cosa vuoi che io ti canti? Cantami dei numeri la serie, sino a che io oggi non la impari. Unica è la morte, niente altro, niente più... due i buoi legati al carro, e sono tre le parti del mondo, quattro le pietre di Merlino, che affilano le spade degli eroi. Unica è la morte, niente altro, niente più... E sul cammino che il tempo fa cinque finora sono le età, e sono sei le erbe che nel calderone il nano mescolerà... Sette sono i soli, sette le lune, otto sono i fuochi accesi a Maggio, attorno alla fontana sono nove le fanciulle che danzano alla luna... Unica è la morte, niente altro, niente più... E dieci vascelli sono venuti portandoci la guerra da lontano. Undici guerrieri sono tornati quand'erano in trecento a partire... Unica è la morte, niente altro, niente più... E sul cammino che il tempo fa cinque finora sono le età,

e sono dodici i mesi che giorno per giorno, da sempre segnando va. E dodici ancora sono i segni che tu puoi leggere nel cielo, guerra tra di loro han dichiarato, questa che ti canto sarà la fine. Unica è la morte, niente altro, niente più... Allora la tromba suonerà, avremo fuoco e tuono, pioggia e vento, la serie dei numeri è finita, per l'uno sai che non c'è serie: Unica è la morte, e due i buoi, e tre la parti, quattro le pietre, cinque le età e sei le erbe, sette sono i soli, sette le lune, otto sono i fuochi e nove le fanciulle, ma dieci i vascelli, undici i guerrieri, dodici i segni, dodici i mesi e unica la morte, da sempre madre del dolore

. Ecco la canzone Uno chi sa? che si usa cantare con i bambini alla fine della cena (il seder) di Pasqua ebraica, dopo la fine del racconto (la haggadà) Uno chi sa? Uno io lo so. Uno è Dio che in cielo è. Uno fu e uno è Due chi sa? Due io lo so. Due le tavole della legge, Uno è Dio che in cielo è. Uno fu ed uno è. Tre chi sa? Tre io lo so. Tre i padri nostri sono, Abraham, Isacc e Jacob, due le tavole della legge, Uno è Dio che in cielo è. Uno fu e uno è. Quattro chi sa? Quattro io lo so. Quattro le madri di Israel, Sara, Rivka, Rachel e Lea, tre i padri nostri sono, Abraham, Isacc e Jacob, due le tavole della legge, Uno è Dio che in cielo è. Uno fu e uno è. Cinque chi sa? Cinque io lo so. Cinque i libri della Torà, quattro le madri di Israel, Sara, Rivka, Rachel e Lea, tre i padri nostri sono, Abraham, Isacc e Jacob, due le tavole della legge, Uno è Dio che in cielo è. Uno fu e uno è. …


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Tredici chi sa? Tredici io lo so. Tredici sono gli attributi, dodici sono le tribù, undici sono i cohavim, dieci sono i commandamenti, nove i mesi della partoriente, otto i giorni della milà, sette i giorni con lo shabbat, sei i libri della Mishnà, cinque i libri della Torah, quattro le madri di Israel, Sara, Rivka, Rachel e Lea, tre i padri nostri sono, Abraham, Isacc e Jacob, due le tavole della legge, Uno è Dio che in cielo è. Uno fu e uno è. Infine, ecco una versione veneta delle dodici parole della verità della tradizione popolare cattolica diffusa in molti luoghi in Europa: (si veda M. Spagnol, L. Zeppegno, Guida ai misteri e segreti di Venezia e del Veneto, Milano: Sugar, 1970) Uno Sopra Dio non c'è nessuno Due Du mussi in taula che dorme Tre Tri patriarca, Giaco, Giacobe, Abramo Quattro Quattro evangelisti che il mondo sustien Cinque I sinque libri che il Cristo lezeva Sei Le sei valli di Vallonia Sette I sette lampi che à brusà Gerusalemme Otto Le oto anime che è in te l'arca di Noè Nove I nove doraduri che dorava el sol Dieci Le diese Vergini di Nostro Signore Undici I ondese dissipuli di Nostro Signore Dodici I ondese apostoli di Nostro Signore. Lettura 2 Diario matematico di una madre Questo diario è tratto dalla prima parte, dedicata alle parole numerali, del saggio Children’s counting and concepts of number (1988) di Karen C. Fuson. Occupandosi delle prime esperienze dei bambini con le parole numerali, in particolare in ambiente domestico, Fuson trascrive le annotazioni del suo diario relativo alla prima infanzia di sua figlia Adrienne che riguardano gli usi di parole numerali da parte della bambina. Fuson era in quel periodo una ricercatrice di matematica: si osservi l’importanza dell’analisi degli errori e della “correttezza” matematica. Nell’ultima colonna sono classificate le situazioni numerali (S sta ad indicare la acquisizione della sequenza dei numerali, C la padronanza del contare, Ca l’assimilazione del valore cardinale del numero, O del valore ordinale, M del valore nella misura, Ca+ e Ca l’esplorazione delle operazioni): si metta alla prova coprendo questa colonna nella prima lettura del diario. 1 anno e 8 mesi Tu salendo le scale: “A B C quattro cinque sei” (S) Frasi mie, risposte tue. “A – A, B – B, C – tre” (S) Cinque è in assoluto il tuo numero favorito. (?)

Conosci due e lo usi correttamente in nuove situazioni; due significa uno in ogni mano (Ca)

1 anno e 10 mesi Accarezzavi Sam (il gatto) e hai detto “Sam coa [coda]”. (Ca) Dopo “Tshad coa” (Tshad, il cane, non era nella stanza). Dopo “Due coe [code]”. Prima d’ora avevi detti spesso due tazze, due biscotti, ma sempre quando entrambi erano presenti fisicamente” 1 anno e 11 mesi “Ho due paette [palette]” (Ca) Occasionalmente conti cose, in particolare disegni. (C) Dici un numero ogni volta che alzi il tuo dito e segnali di nuovo, ma conti alcune cose varie volte e altre


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non le conti per niente. Tipica serie per contare: “uno, quattro, cinque, otto, quattro, cinque, due, sei”. Ieri sera abbiamo contato i passi per andare al letto (C) (lo facciamo di frequente). Eravamo a nove e hai detto, “Uno due te quattro cinque sei”. Prima volta così tanti corretti. 2 anni compiuti Conti tre cose correttamente. Vale a dire, indichi oggetti (C) e dici “uno due tre”. Dici anche tre correttamente quando (Ca) ti viene chiesto “quanti” (senza contare) “Uno due tre otto salta” (Sei impegnata a contare e (S) a saltare dal cuscino o persino dal divano). 2 anni un mese Tu contando i tuoi muffin (un gioco): “Uno due tre otto sette tre” (C) Oggi diverse volte: “Ho due anni” (M) “Faccio una B. La faccio ancora. Due B” (Ca)+ 2 anni e 4 mesi Disponi le mie dita per “avere due anni” (M) (il pollice schiaccia le dita terzo e quarto, le altre due dita alzate) 2 anni e 6 mesi Due pomodori sul tavolo. Hai detto e rappresentato (Ca)–

quanto segue: “Un pomodoro da due pomodori lascia uno. Due pomodori da due pomodori lascia nessuno”. Ti ho chiesto cosa era nessun pomodoro da due pomodori: “Due pomodori”. I cartoni di Sesame street fanno vedere cose simili alle due prime frasi. 2 anni e 7 mesi Rimettiamo le prugne secche in una scatola, le conti (C) no (Ca) correttamente fino a nove. Quando ti si chiede quante prugne: “tre” (è la tua solita risposta a quanti al momento: tre occhi, ecc.) 2 anni e 8 mesi “Tre di noi siamo seduti. Tu, Erica, e me (indicando (Ca)+ ognuna di noi). Se papà si siede, saremo quattro di noi.” 2 anni e 9 mesi Tu a papà: “Vuoi fare un picnic?”. Papà: (Ca, O) “Questa volta no. Verrò la prossima volta.”. Tu: “Faremo due picnic. Tu verrai al secondo picnic.” 2 anni e 10 mesi Taglio il tuo panino in due e poi di nuovo in due. (Ca)+ Guardi e dici: “Due e due fanno quattro” Hai appena chiesto quattro olive (ti piacciono tanto!) (Ca) Tuo padre te le ha dato e hai detto: (Ca)+ “Due e due fanno quattro” 3 anni Varie volte hai detto cose come questa: (M) “Posso aprire la porta da fuori ora. Quando avevo due anni e mezzo non potevo aprirla, ma adesso che ho tre anni posso aprire la porta.” 3 anni e due mesi “Otto nove dieci undici dodici tredici.” (S) Poi, alzando il numero corretto di dita (unità) (C) e concentrandoti tanto: “ventuno, ventidue, venti tre,ventiquattro, venticinque.” Ogni ven è stato lunghissimo. Conti ogni cosa. Ti piace molto contare.


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Esercizi 1) Consideri il numero centoquarantatre. Presenti tre rappresentazioni simboliche di questo numero. 2) Consideri il numero 1532. Lo rappresenti usando l’abaco scolastico. Che significa questa scrittura? 3) Rappresenti il seguente numero naturale usando i sistemi di numerazione indicati:

!

3" 63

+ 2 " 62

+ 7 " 6 + 3

i) sistema di numerazione posizionale in base sei usando le cifre 0, 1, 2, 3,4,5,6 ii) il sistema di numerazione oggi di uso corrente iii) il sistema di numerazione nella scrittura geroglifico dell’Egitto antico iv) il sistema di numerazione dei Romani v) il sistema di numerazione erudito dei Babilonesi. Il simbolo ottenuto, quali altri numeri (interi o frazionari) potrebbe rappresentare: faccia tre esempi. 3) In un lontano pianeta è usato un sistema di numerazione posizionale in base 3 che adopera i segni o cifre seguenti

0 (per indicare una posizione vuota) | (per indicare l’unità) *

Quale numero è rappresentato nell’iscrizione seguente?

|*01 4) Rappresentare nel sistema di numerazione posizionale decimale il seguente numero

!

4 "1

1000+ 3 "

1

100+ 4 "

1

10

È un numero naturale? 5) Quale è la scrittura in base 3 del numero 3? Quale è la scrittura in base 6 del numero 6? E del numero 8 in base 8? E del numero 2 in base 2) 6) Scriva il numero naturale 68 in base 4. 7) Quale sono le parole numerali usate nella filastrocca tradizionale Un’ora dorme il gallo Due il cavallo, tre il viandante quattro l’elefante, cinque il soldato,

sei il magistrato, sette lo studente, otto tutta la gente nove la signoria, dieci a casa mia!

Quale è il valore di queste parole?


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8) «I linguaggi primitivi danno al numero un senso concreto» scrivono Richard Courant e Herbert Robbins all’inizio del loro libro Che cos’è la matematica. Illustrare quest’affermazione in riferimento al caso della civiltà mesopotamica. (Rileggere attentamente, se necessario, il riquadro “Numeri e scrittura”, All’inizio fu lo scriba, pp. 7-8). 9) Notazione additiva e notazione posizionale nei sistemi di numerazione. Spieghi la differenza e indicare il metodo di notazione dei sistemi usati nei seguenti contesti storico-culturali del mondo premoderno: 1) Egitto, 2) Roma, 3) Mesopotamia, 4) India. 10) Quale è l’origine del sistema di numerazione di uso generale del mondo contemporaneo? Illustri le sue caratteristiche. 11) La civiltà Maya, che fiorì in America centrale nei secoli 300 a.C.-900, faceva uso di una scrittura geroglifica e di un sistema di numerazione in base 20 che adoperava i due simboli (cinque unità) e • (l’unità). Scrivere i numeri: 11, 13, 12, 9, 8 e 7. Nei testi riguardanti la cronologia maya, è usata anche una notazione posizionale in disposizione verticale, con le unità nella posizione più in basso. Scriva seguendo questo principio 43 giorni, 310 giorni. 12) Scriva tutti i numeri a due cifre nei sistemi di numerazione posizionali binario, ternario, quaternario e in base cinque. 13) Scriva le tabelline dell’addizione e della moltiplicazione in base 3?Quale proprietà si riscontra scrivendo la tabellina? 14) Il sistema settenario. Scrivere i numeri “sette” (710) e “centonove” (10910) nel sistema di numerazione posizionale in base 7. Scrivere le “tabelline” dell’addizione e della moltiplicazione in base 7. Calcolare 2657 × 247 (per controllare il risultato: a quale moltiplicazione equivale nel sistema decimale?). 15) Il sistema binario. Scrivere nel sistema binario i numeri 7 e 5, ed effettuare la moltiplicazione usando l’algoritmo usuale.

«Leibniz vide in questa aritmetica binaria l’immagine della creazione. Egli immaginò che l’Unità rappresentasse Dio e lo zero il vuoto, e che l’Ente supremo avesse tratto tutti gli esseri dal vuoto, precisamente come l’unità e lo zero esprimono tutti i numeri in questo sistema di numerazione» (Pierre Simon de Laplace, 1749-1827)

16) Scegliere un gruppo di cifre per costruire un sistema di numerazione posizionale duodecimale e compilare le tabelle delle due operazioni. Scrivere i numeri 22, 423 e 131. 17) Scrivere i numeri “trenta” e “centotrentatré” nei sistemi di numerazione degli esercizi 4, 5 e 7. 18) Scriva l’espressione nel sistema di numerazione decimale posizionale dei numeri frazionari:

!

1 4, 1 8, 1 25, 1 10, 11 10, 25 4, 1 6


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19) Il sistema di notazione numerico erudito adoperato dagli scribi babilonesi a partire dal XIX secolo a. C. circa, era posizionale oppure e additivo? Quale è la base? Scriva, adoperando questo sistema, i numeri 11, 70 (cfr. All’inizio fu lo scriba, pp. 10-11).

“Dopo avere iscritto sulla tavoletta dei Destini il numero di settanta anni per l’oblio di Babilonia, il dio Marduk ebbe pietà e tornò sulla sua decisione. Invertì l’ordine delle cifre e decise così che questa città sarebbe stata recuperata dopo undici anni” (Dalla Pietra nera di Asarhadon, re degli Assiri, 680-669 a.C.; Asarhadon ricostruì la città di Babilonia undici anni dopo la sua distruzione da parte del padre Senaquerib, avvenuta nel 689 a.C.)

20) Per l’astronomia, gli eruditi babilonese scrivevano anche numeri non interi; ma la procedura antica aveva due differenze importanti con quella moderna: – non usavano la virgola: gli scribi capivano il significato posizionale intero o frazionario delle cifre a seconda del contesto – usavano indicare la parte non intera dei numeri usando una decomposizione in frazioni sessagesimali, ossia

!

a1"1

60+ a

2"1

602

+ a1"1

603

+ ...

Questo tipo di scrittura dei numeri non interi usando il principio posizionale continuò ad essere usata dagli studiosi greci e oltre. I due sistemi di misura degli angoli e del tempo in uso attualmente sono un’eredità del sistema babilonese. (i) Scriva nel sistema sessagesimale i seguenti numeri frazionari:

!

1 60, 1 30,67 60, 1 3600, 1 2, 1 3, 1 6 (può usare le cifre arabe oppure i due segni usati dai babilonesi) (ii) Confronti la scrittura della frazione un sesto nel sistema sessagesimale e quella ottenuta nell’esercizio 12) 21) Spieghi brevemente la dicotomia: matematica elementare/matematica superiore; matematica ingenua/matematica formale. 22) Elenchi alcuni dei diversi valori concettuali del numero che il bambino può acquisire prima della scuola dell’obbligo, fornendo degli esempi. 23) Proponga alcune attività numeriche che potrebbero essere proposte ai bambini dell’ultimo anno della scuola dell’infanzia per approfondire le concezioni numeriche ingenue. 24) In che senso le concezioni numeriche ingenue del bambino non si sviluppano in modo lineare ma hanno un carattere sistemico? 25) (i) Esplori i numerali ordinali italiani, trovando regole di formazione. (Indicazione: Quali

sono i numerali ordinali di forma unica?; quali hanno due forme?; quali ne hanno tre?


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Esempi: undicesimo, undecimo, decimoprimo, decimo primo; ventesimo, vigesimo; ventunesimo, ventesimoprimo). (ii) Quale è la scrittura abbreviata dei numerali in italiano? E in inglese?

26) Paio, coppia, centinaio: sono numerali? 27) I numeri naturali servono ad indicare misure di grandezze dopo aver fissato un’unità di misura. Avendo a disposizione diversi multipli e sottomultipli dell’unità, si può, evitare di usare numeri frazionari. Inoltre, essi possono fornire approssimazioni di misure frazionarie o intere, ad esempio per arrotondamento. Altri esercizi: Aritmetica di base, cap. 1 (nn. 22-27) e cap. 2, n. 24; Che cos’è la matematica, cap. 1, p. 44.

matematica e didattica della matematica -...

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