matemática en la música (presentación)
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REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA MINISTERIO DEL PODER POPULAR
PARA LA EDUCACIÓN UNIVERSITARIA
COLEGIO UNIVERSITARIOFRANCISCO DE MIRANDA
PARTICIPANTES: MARÍA PÉREZ ARQUIMEDES
BARRETO
CARACAS, ABRIL 2014
LA TEORÍA DE PITÁGORAS
MATEMÁTICA EN LA MÚSICA
La primera propiedad excepcional que tienen en común la música y la matemática es que ambas son lenguajes universales.
La segunda es que la teoría física de las ondas juega un papel fundamental en nuestra percepción de las ondas, y esta teoría puede ser analizada matemáticamente.
Y la tercera, es que según Bertrand Russel: el matemático puro como el músico, es el creador libre de su mundo de belleza ordenada.
Fue Pitágoras quien descubrió que existía una relación numérica entre tonos que sonaban “armónicos” y fue el primero en darse cuenta de que la música, siendo uno de los medios esenciales de comunicación y placer, podía ser medida por medio de razones de enteros.
4/40 EN LA MÚSICA
El «la 440» es el nombre que se le da coloquialmente al sonido que produce una vibración a 440 HZ y sirve como estándar de referencia para afinar la altura musical.
El «la 440» es la nota musical la o A que se encuentra cinco teclas blancas a la derecha del do central del piano.De acuerdo con los diferentes índices acústicos, el «la 440» recibe diferentes nombres:
la4 (la-cuatro) según la notación internacional, que se utiliza en todos los países de América, Asia y Europa (excepto Bélgica y Francia); la3 (la-tres) según la notación franco-beiga, que se utiliza en Bélgica, Francia y algunas regiones de España).
En 1936, una conferencia internacional recomendó que el la que se encuentra a la derecha del do central del piano se afinara a 440 Hz. Este patrón fue tomado por la Organización Internacional de Normalización (ISO en sus siglas en inglés) en 1955 (y reafirmado por ellos en 1975) como ISO 16.
Desde entonces ha servido como la frecuencia de sonido de referencia para la afinación de todos los instrumentos musicales (piano, violines, etc.).
RELACIÓN DE LAS ESCALAS MUSICALES CON LAS MATEMÁTICAS
Escala musical occidental (actual)
Se llama escala musical a la sucesión de sonidos constitutivos de un sistema (tonalidad) que se suceden regularmente en sentido ascendente o descendente, y todos ellos con relación a una nota que da nombre a la escala, o tónica.
La sucesión de sonidos en una escala es por movimiento conjunto, y se hace según las leyes de la tonalidad.
La construcción de la escala musical
La escala diatónica es la formación de una escala a partir de las distancias de tono y semitono. Son las más conocidas y usadas y la mayoría de ellas están formadas por siete notas, pero las hay también de seis u ocho.
Ordenadas las notas así: do, re, mi, fa, sol, la, si, y al añadirle un octavo sonido, de nuevo do, hemos formado una escala diatónica:
ESCALA PENTATÓNICA
Los músicos antiguos, que no tenían el concepto de escala natural, intuitivamente ajustaban (afinaban) las cuerdas (o en el caso de instrumentos de viento, adecuaban su longitud y grosor, distancia entre agujeros, etc.) de manera que produzcan un sonido lo más agradable posible para el oído humano.
Dentro de una octava, la combinación de sonidos más pura es la quinta, es decir, el intervalo musical entre dos notas cuyas frecuencias se relacionan como 3:2. (En nuestro ejemplo, estas notas son A y E.) Al escoger como la base la nota A4, iremos dos quintas arriba y abajo, tenemos la siguiente serie de 5 sonidos:
195.5556, 293.3333, 440, 660, 990
ESCALA DIATÓNICA
Ya sabemos que dos notas de una quinta producen juntas un sonido muy agradable. Dentro de la quinta, se encuentra un sonido más formando un triplete en que las frecuencias se relacionan como 4:5:6. Este triplete se llama armonía. La escala natural tiene una sola combinación armónica, las notas A-C-E. Al descubrir la armonía, los músicos antiguos empezaron a afinar sus instrumentos de manera que toda la escala musical fue compuesta de armonías continuas.
Frecuencia Razón nota anterior
Tónica F Do
Segunda 9/8·f 9/8=1,125 Re
Tercera 81/64·f 9/8=1,125 Mi
Cuarta 4/3·f 256/243=1,053 Fa
Quinta 3/2·f 9/8=1,125 Sol
Sexta 27/16·f 9/8=1,125 La
Séptima 243/128·f 9/8=1,125 Si
Octava 2f 256/243=1,053 D
Estas son las 7 notas de la escala diatónica (que se corresponden a las teclas blancas del piano), la octava es la misma que la anterior una octava más alta. De cualquier forma, en una octava se utilizan 12 notas. Las 5 notas restantes se simbolizan añadiendo a la derecha el carácter # (sostenido) o b (bemol).
JUEGO DE DADOS DE MOZART-EMPLEADO ACTUALMENTE EN LA ENSEÑANZA MUSICAL
Una de las relaciones matemático-musicales de Mozart más llamativas e interesantes para la docencia es el “ Juego de Dados ”. Consiste en la composición de un minueto a partir de la asignación de números de dados a compases. Las posibilidades combinatorias de este juego son muy numerosas (más de 45,949 billones, 11 elevado a 16), no es necesario tener conocimientos musicales, tan solo entender las normas de la combinación y azar del juego. ¡Siempre suena bien!.
EJEMPLO ACTUAL DE LA MÁTEMÁTICA EN LA MÚSICA
Los sonidos musicales son producidos por algunos procesos físicos que tienen un carácter periódico - una cuerda vibrando, el aire en el interior de un instrumento de viento, etc. Aun siendo muy diferentes entre ellos, estos procesos pueden ser descritos con un mismo modelo matemático. La característica más fundamental de esos sonidos es su "altura" o frecuencia.
Es común escuchar que “hay Matemática en la Música porque cuando se abre una partitura ésta está llena de numeritos”, es decir, de los números del compás y las digitaciones. Obviamente esta observación es muy simple. Se dice que hay Matemática en la Música, que la Música y la Matemática están muy relacionadas.
Bartok escribió que seguía a la naturaleza en la composición y que fue guiado indirectamente por fenómenos naturales para descubrir estas regularidades. Constantemente aumentaba su colección de plantas, insectos y especímenes minerales. El girasol era su planta favorita y se ponía muy feliz cuando encontraba piñas de abeto en su escritorio. Consideraba que la música folclórica también era un fenómeno de la naturaleza y que sus formaciones se desarrollaban tan espontáneamente como otros organismos vivientes: las flores, los animales, etc. Por esto su música le recuerda al oyente de escenas naturales. Por ejemplo, el girasol tiene 34 pétalos y sus espirales tienen los valores 21, 34, 55, 89,144.
En cuanto a la Forma y la Armonía, Bartok utiliza el principio de la razón áurea. Por ejemplo, en el primer movimiento de la Sonata para dos pianos y percusiones, que consta de 443 compases, si se multiplica este número por .618... se obtiene el compás 274, el cual será el centro de gravedad del movimiento. Así la re exposición o recapitulación ocurre en el compás 274.
Análogamente sucede con el primer movimiento de Contrastes, el cual consta de 93 compases, número que si se multiplica por 618... da el compás 57 justo donde comienza la re exposición.
EL APORTE DE BÉLA BARTOK
Elaborado por: Arquímedes Barreto María PérezSección: A05-402
Elaborado por: Arquímedes Barreto María PérezSección: A05-402