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Matemática
Prof. Daniel Prof. Daniel –– 28/04/2009 28/04/2009 –– 15h3015h30
α γ
β
α+β+γ=180o
Propriedade dosÂngulos Internos
αβγ
SOMA DAS MEDIDAS DOS ÂNGULOS INTERNOS
αe
αe
βe
βe
γe
γe
Propriedade dosÂngulos Externos
αe+βe+γe=360o
SOMA DAS MEDIDAS DOS ÂNGULOS EXTERNOS
αe
αeγ
β
β
γ
Teorema do Ângulo Externo
αe = β + γ
MEDIDA DO ÂNGULO EXTERNO
βα
β=α
O TRIÂNGULO ISÓSCELES
(ITA – 1998) Seja ABC um triângulo isósceles de base BC. Sobre o lado AC deste triângulo considere um ponto D tal que os segmentos AD, BD e BC são todos congruentes entre si. A medida do ângulo BÂC é igual a:
a) 23° b) 32° c) 36º d) 40° e) 45°
• ABC é um triângulo isósceles de base BC. • Segmentos AD, BD e BC são congruentes.
a) 23°
b) 32°
c) 36º
d) 40°
e) 45°
A
B C
x
D
x x
2x
2x
BÂCˆACEˆDBC
ˆEDB
(ITA – 2008) Considere o triângulo ABC isósceles em que o ângulo distinto dos demais, Sobre o lado AB, tome o ponto E tal que Sobre o lado AC, tome o ponto D tal que Então, o ângulo
, mede 40°.= 15º.= 35°.
vale
a) 35° b) 45º c) 55º d) 75º e) 85º
• ABC é um triângulo isósceles: = 40º• = 15° e = 35°
a) 35°
b) 45°
c) 55º
d) 75°
e) 85°
x
35
BÂCˆACE ˆDBC
A
B C
40
E
3515
D
55
55
A BM
x
35
A
B C
40
E
3515
55
55 D
(ITA – 2009) Considere o triângulo ABC de ladosa = , b = e c = e ângulos internos , BC AC AB CÂBα =
^ABCβ = e ^
BC Aλ = . Sabendo-se que a equação 2 2 22 cos 0x bx b aα− + − = admite c como raiz dupla,
pode-se afirmar que) 90) 60) 90º
d) o triânguloé retânguloapenas se α= 45°e) o triânguloé retânguloe béa hipotenusa.
abc
αβλ
= °= °=
A
B Ca
bcα
β λ
2 2 22 cos 0x bx b aα− + − =
PONTOS NOTÁVEIS EM UM TRIÂNGULO
Baricentro
Ortocentro
Incentro
Circuncentro
O triângulo ABC é retângulo em B. Sejam I o centro dacircunferência inscrita em ABC e O o ponto médio dolado AC. Se AÔI = 45º, quanto mede, em graus,o ângulo ?
^AC B
A
B
CO
I
45
45
aa x60
En el triángulo ABC se traza la bisectriz interior CD. Se sabe que el centro del círculo inscrito en el triánguloBCD coincide con el centro del círculo circunscrito emel triángulo ABC. Calcular los ángulos del triángulo ABC.
A C
B
DP
aa
2a
b b
A C
B
DP
aa
2a
baba
a3a3a
A
B CM
PROPRIEDADE DA MEDIANA
H
PROPRIEDADE DE UMA CEVIANA QUALQUER
A
B CSH
ABS
ACS
S BSS SC
=
.2ABS
BS AHS =.2ASC
SC AHS =
2ABSS AH
BS=
2ASCS AH
SC=
ABS ACSS SBS SC
=
(IME) Seja P um ponto no interior de um triânguloABC, dividindo-o em seis triângulos como mostra afigura. Calcule a área do triângulo ABC.
A
B C
P
84
353040
x
y
4030
BDDC
=84 4030 35
y BDx DC
+ +=
+ +
35x AE
EC=
8440 30 35x y AE
EC+ +
=+ +
4 1243 65
yx+
=+
8435 105x x y+ +
=
D
EF
70 56x e y= =
4x
Determine a medida do ângulo do vértice A do triângulo isósceles ABC, sabendo que os segmentosBC, BD, DE, EF e FA sãocongruentes.
A
B C
D
E
F
x
x = 20º
9x = 180º
4x + 4x + x = 180ºx 2x
2x3x
3x 4xx
Given as isoscele triangle ABC as shown with anglesof 20, 80 and 80. Length AM is the same as BC. Whatis the measure of angle ACM?
B C
A
M
80°
20°
B C
A
M
80°
20°
20°
40°
B C
A
M
B C
A
M
80°
20°
80°
N
40°
40°60°
20°
20° N
P
20°40°
40° 60
60°80°
20°
60°
100
ˆ ?ACM =
Na figura abaixo, ABCD é um quadrado e o segmentoAE é perpendicular ao segmento CF. Determine a medida do ângulo
^BF G
A B
CD
F
E
G
H
x45º
Calcule a área do triângulo ABC abaixo, dadosBD = 4, DE = 2, EC = 6, BF = FC = 3.
AB
C
D
EF
42
63
3
26 3 9 34BCES ⋅
= =
2 18 3ABC BCES S= ⋅ =
Na figura AB = AC. Determine o valor de x.
B C
A
D
Ex
60° 50°
20°Triângulo Russo
ABC é um triângulo isósceles de base BC. Sobre olado AB, temos dois pontos, M e P, tais que AP > AMe sobre AC outros dois pontos N e Q, tais que AQ > ANsabendo-se que AM = MN = NP = PQ = QB = BC, pede-se calcular o ângulo BAC.
180ºResposta :11
BÂC =
No trapézio ABCD, o lado AD é perpendicular às basesAB e CD. A base AB mede 45, a base CD mede 20 e olado BC mede 65. Seja P no lado BC tal que BP mede45 e seja M o ponto médio de AD. Calcule a medida dosegmento PM.
AB
C
P
D
45
20
65M
45x
AB
C
P
D
45
20
65M
45
x
20
20
25
y
65² = 25² + y²
y = 6030
30
α
α180º α−
Na figura abaixo, mostra-se um triângulo equiláterodividido por três retas e sete regiões. Em seis dasregiões é indicada a área correspondente. Achar a áreada sétima região, ou seja, área do triângulo menor central.
4
4
4
2020
20
4
4
4
A
B C
D
E
FG
H
y
20 – yy
20 – y
y20 – y
20
20
20
4 BEy CE
= 2844
BEx CE
=+
420y AG
y HG+
=−
2420
AGx y HG
=+ −
x
4 2844y x
=+
4 2420 20y
y x y+
=− + −
I
12x =