matematica ii (actual)

8/3/2019 MATEMATICA II (Actual)

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RANGOUNIVERSITARIOLEYN29550

MATEMTICA

II

CICLO II

L I C . R O N D N R A M R E Z C A R L O S V C T O R

2011


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Lic. RONDN RAMREZ Carlos Vctor Pgina 2

MATEMATICA I Matemtica bsica

N M E R O S R E A L E SCONCEPTOS BSICOS

PROPOSICIN:Una afirmacin o resultado no asociado a ningn teorema en particular.

PREMISA.-Es cada una de las proposiciones anteriores a la conclusin de un argumento. En unargumento vlido, las premisas implican la conclusin, pero esto no es necesario para que una

proposicin sea una premisa: lo nico relevante es su lugar en el argumento, no su rol. Al ser

proposiciones, las premisas siempre afirman o niegan algo y pueden ser verdaderas o falsas.

AXIOMA.- Es una premisa que, por considerarse evidente, se acepta sin demostracin, como punto departida para demostrar otras frmulas. Tradicionalmente, los axiomas se eligen de entre las consideradas

verdades evidentes porque permiten deducir las dems frmulas.

TEOREMA.- es una afirmacin que puede ser demostrada dentro de un sistema formal. Demostrarteoremas es un asunto central en la matemtica.

Un teorema generalmente posee un nmero de premisas que deben ser enumeradas o aclaradas de

antemano. Luego existe una conclusin, una afirmacin matemtica, la cual es verdadera bajo las

condiciones dadas. El contenido informativo del teorema es la relacin que existe entre la hiptesis y la

tesis o conclusin.

COROLARIO.- Se llamar corolario a una afirmacin lgica que sea consecuencia inmediata de unteorema, pudiendo ser demostrada usando las propiedades del teorema previamente demostrado.

LEMA.- una afirmacin que forma parte de un teorema ms amplio. El lema de Gauss y el lema de Zorn,por ejemplo, son considerados demasiado importantesper se para algunos autores, por lo cual consideranque la denominacin lema no es adecuada.

DEFINICIN AXIOMTICA DE LOS NMEROS REALESEs un conjunto R previsto de dos operaciones, Adicin (+) y multiplicacin (.) (leyes de

composicin interna), y una relacin de orden denotado por (


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M1 Conmutativa: a.b=b.a, a,b RM2 Asociativa: (a.b).c=a.(b.c), a,b,c RM3 Identidad Multiplicativa: a R, 1 0, 1R, tal que: 1.a=aM4 Inverso Multiplicativo: a0, a

-1 R, tal que: a.a

-1=a

-1.a=1

3. RELACION DE ORDENO1a R una y solamente una de las relaciones se cumple: a>b, a


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9. a, b R, a.b0, demostrar que (a.b)-1= a-1 . b-1

10. a, b, c, d R, b0, d0, demostrar que

11.Para cada nmero real aR, demostrar a.b=0 a=0 b=0

REPRESENTACIN DE LOS NMEROS REALES

Sobre una recta se fija su origen 0. A cada punto de una recta le corresponde un nmero real y

recprocamente, a cada nmero real le corresponde un nico punto de la recta, al nmero real

correspondiente a un punto de la recta se le denomina abscisa del punto.

NOTACIN PARA LOS CONJUNTOS DE NMEROS

CONJUNTO DE LOS NMEROS REALES


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TEORIA DE ECUACIONESUn polinomio es la suma algebraica de dos o ms monomios. Si est en trminos de la variable

independiente x, se denota como una funcin P(x) y en su forma general es una expresin de la

forma:

P(x) = an xn

+ an-1 xn-1

+ an-2 xn-2

+ an-3 xn-3

+ + a1 x + an

Llamaremos polinomios de grado n en la variable x a la expresin cuyo primer trmino del

polinomio anx se conoce como el trmino dominante y al trmino an se conoce como trmino

independiente.

Una ecuacin en x es un polinomio igualado a cero, cuyo grado es n, es decir, P(x)=0. Por

ejemplo: x3-4x

2+7x+10=0, es un polinomio Mnico.

Cuando en un polinomio el coeficiente principal es an=1, le llamaremos polinomio Mnico.

El nmero cero es el nico polinomio constante que su grado no est definido.

ECUACIONES LINEALES EN UNA VARIABLESon de la forma: ax+b=0, donde a y b son constantes, a0, siendo x la incgnita, por la cual son

tambin llamadas ecuaciones lineales con una incgnita y debido a las propiedades de los

nmeros reales se resuelve de la siguiente manera:

ax+b=0 Ejemplos:

1) 9x+24=0 2) -5x-15=0 3) 7x-37=0 ECUACIONES EQUIVALENTES

Dos ecuaciones son equivalentes si tienen exactamente las mismas soluciones.

Ejemplo: 5x=10 y x-2=0

ECUACION QUE NO TIENE SOLUCIN

Ejemplo: 6x+12=6(x+3) 6x+12=6x+180=6 .(Absurdo)

Operacin FALSA independiente de cualquiera que sea el valor de x, y por lo tanto tal ecuacin

no tiene solucin para ningn x en R.

SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES CON DOS INCOGNITASPROBLEMAS PROPUESTOS

I. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones lineales simultneos:

a) 3x+2y=13

5x-3y=9

b) 3m+2n=13

-6m+4n=14

c) x-y=23x-2y=9

d) 4x+3y+4=0

6x+4y+7=0

e) 2x+y=11

3x-y=9

f) 0,5a+0,2b=0,540,3a-0,7b=0,16


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g) 4x-6y=32

15x+6y=6

h) 22x+16y=6

33x-24y=9

II. Resolver cada una de los siguientes sistemas de ecuaciones

a)

b) 4x+(2/y)=3

7x+(3/y)=5

c) (12/x)+7y=53

(18/x)-13y=-85

d)

e)

III. Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones

a) 3x+2y+z= - 4

5x-6y+z=92

4x+7y-z= - 67

b) 37x-23y+17z= - 32

14x-22y-11z= - 91

-9x+11y-10z=1

c) x+y=2

y+z=4

z+x=9

d) 2x+y-4z=14

5y-x-z=1

2x-4y+5z=13

e)

f)

g)

h)

i)

j)

ECUACIONES DE SEGUNDO GRADOUna ecuacin de segundo grado con una incgnita es una igualdad algebraica que se puedeexpresar en la forma: ax2 + bx + c = 0, siendo a, b y c nmeros reales y a0. Los coeficientes de la ecuacin son a y b. El trmino independiente es c. Si b0 y c0, se dice que la ecuacin es completa.

Si b=0 c=0 la ecuacin es incompleta.Resolucin de ax2+bx=0La ecuacin de segundo grado incompleta del tipo ax2+bx=0 tiene dos soluciones:x1=0 y x2=-b/a

03

625

3

zyx

zyx

zyx

1827

12

32

tzyx

tyx

tzyx


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Se resuelve sacando factor comn a la x e igualando los dos factores a cero.

Resolucin de ax2+c=0La ecuacin de segundo grado incompleta del tipo ax2+c=0, puede no tener solucin tener dos

soluciones distintas de la forma:

Resolucin de ax2+bx+c=0La ecuacin de segundo grado completa es una igualdad algebraica que se puede expresar de laforma ax2+bx+c=0, siendo a, b y c nmeros reales y a 0Para obtener las soluciones utilizamos la frmula:

.RAICES Y DISCRIMINANTE DE LA ECUACION CUADRATICAPropiedades de las races (TEOREMA DE VITE)

Si x1 y x2 son las races de una ecuacin de segundo grado ax

2

+bx+c=0, estas cumplen lassiguientes propiedades:Suma y producto de races: Diferencia de races:

Cociente de races:

Discriminante o VarianteSe llama discriminante de una ecuacin de segundo grado ax2+bx+c=0, a la expresin:

=b2-4ac

Si >0 (discriminante positivo), entonces existen dos races distintas: x1 y x2, dados por laformula , una para cada signo, en cuyo caso, siempre es posible factorizar ax

2+bx+ccomo:

ax2+bx+c = a(x-x1).(x-x2), con x1, x2 Reales.

Si =0 (discriminante igual a cero) entonces existe una sola raz (doble).

x1= x2= x = De: ax

2+bx+c=a , la expresin cuadrtica resulta ser un cuadrado

perfecto:

ax

2

+bx+c=


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Si 0y por lo tanto de ax2+bx+c=a ,;tomando la expresin del corchete, sta ser estrictamente positivo para todo x real:

>0, x R

Y como a0 entonces ax2+bx+c nunca se anulara en R, es decir que la ecuacin ax2+bx+c=0,en este caso no tendr soluciones reales.

INTERPRETACION GEOMETRICA DE LA DISCUSIN DE LAS RAICES DE LAECUACION CUADRATICA DE COEFICIENTES REALESEn la ecuacin cuadrtica: ax

2+bx+c=0; a 0. Sabemos que la naturaleza de sus races viene

dada por el valor del discriminante , segn esto, geomtricamente, se obtiene grficamente lo

siguiente:

CARACTERISTICA DE LA

DISCRIMINANTE

COEFICIENTE

PRINCIPAL

REPRESENTACIN

GEOMETRICA

NATURALEZA DE LAS

RAICES

>0

a>0

Las races son

reales y diferentes

x1 x2

a0Las races son

reales e iguales

x1 = x2 o una raz

real doble

a


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FORMACION DE UNA ECUACION DE SEGUNDO GRADO CONOCIENDO SUSRAICES

I. Conociendo x1y x2, races de la ecuacin de segundo grado, se cumple que:(x-x1)(x-x2)=0, llevando a la forma cannica, se tendra la formula:

x2(x1 + x2)x + x1 . x2=0

II. Conociendo la suma de las races S= x1+ x2, y el producto de ellas mismas P= x1. x2, lafrmula a utilizar es:

x2Sx + P = 0

RESOLUCION DE LA ECUACION DE SEGUNDO GRADOMETODO DE FACTORIZACIONSe sustenta en los siguientes TEOREMAS:

TEOREMA.- Sean a y b en R, entonces ab=0 [(a=0) (b=0)]

TEOREMA.- Sean a y b en R, entonces a2

=b

2

[ a=b a= - b ]Debido a la anotacin: a=b (a= b) (a=-b), el teorema previo tambin sepuede enunciar como sigue:

TEOREMA.- Sean a y b en R, entonces a2=b2 a = bEjemplo: Resuelva la ecuacin: x

2-8x+15=0

Problemas propuestos:Resolver las siguientes ecuaciones:

1) x2-11x+28=02) x2+4x-45=03) x2-4x-21=0

4) 2x2+x-1=05) 3x2-6x+3=06) 3x2+x-10=0

METODO DE COMPLETAR CUADRADOS

Cuando una expresin cuadrtica ax2 + bx + c no se puede factorizar en una forma sencilla,entonces aplicaremos el cuadrado de un binomio en la forma equivalente:

ax2 + bx + c a(x h)2 k , donde h y k pueden ser positivos, negativos o cero.De las relaciones:

( x + d )2

= x2+ 2 (d) (x) + (d)

2

( x - d )2

= x2- 2 (d) (x) + (d)

2

Ejemplo: completando cuadrados hallar la siguiente ecuacin: x2-6x+6=0

Solucin

x2-6x+6 = (x

2-6x )+6 = [x

2- 2(3)(x) ]+6

= [ x2- 2(3)(x)+3

2-3

2]+6

= [ x2- 2(3)(x)+3

2] -9+6 = (x-3)

2-3

FORMA DIRECTA DE COMPLETAR CUADRADOS

x2+ bx + c =

x2- bx + c =

Ejemplo: hallar la siguiente ecuacin: x2+8x+15.

Solucinx

2+8x+15 = =


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1) x2+5x-5=02) x2+2x-4=03) 2x2-6x-1=04) 5x2+4x-1=0

5) 2x2-2x-1=06) x2+4=0

7) x+ ECUACIONES REDUCTIBLE A LA FORMA CUADRATICASon aquellas ecuaciones que tienen la forma general: aw

2+ bw + c = 0

Donde: w=f(x); es decir, donde w es una funcin de x.

Ejemplo: hallar la siguiente ecuacin: x4+2x

2-24=0

Solucin

Haciendo: x2=w, en w

2+2w-24=0 (w+6)(w-4)=0 w=-6 w=4

Luego: x2=-6 x

2=4 x= i

x = 2


1) x4-13x2+36=02) x4-6x2+8=03) x4-5x2-36=0

4) 36x4-13x2+1=05) 81x4-45x2+4=06) 4x4+7x2-2=0

ECUACIONES BICUADRADASSon aquellas que solamente contienen potencias pares de la variable.

Ejemplo: En la ecuacin 2x2-(m

2+1)x+( m

2+3)=0, Qu valor debe darse a m para que las

races difieran en 1?Solucin

La diferencia de las races es igual a:

Luego m {3, i )Verificando:

a) Para m2=9 ; x2-5x+6=0 x1=2 , x2=3

b) Para m2=-3 ; 2x2+2x=0 x1=-1 , x2=0


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ECUACIONES RECIPROCASDado un polinomio P(x), a la ecuacin aw

2+ bw + c = 0: P(x)=0 se le denomina Ecuacin

Recproca si la ecuacin dada se transforma en una ecuacin idntica al reemplazar x por su

reciproco

.

En esta ecuacin reciprocas, el polinomio P(x), recibe el nombre de polinomio reciproco.

Sea: 2x2-5x+2=0

Pues al reemplazar x por su reciproco se obtiene: 2()2-5()+2=0

2x2-5x+2=0 que viene a ser la misma ecuacin original.

Ejemplo: 2x2-5x+2=0 (x-2)(2x-1)=0 x=2 y x=

.CARACTERISTICAS DE LAS ECUACIONES RECIPROCAS

1) Cuando los coeficientes de los trminos extremos de P(x) son idnticos (incluso en el signo),

as como los coeficientes de los trminos equidistantes de los extremos.

Para resolver aplicaremos el mtodo de RUFFINI.

2x3-3x

2-3x+2=(x+1)(x-2)(2x-1)=0

Luego las races son: x=-1; x=2; x=1/2

Si la ecuacin es de grado par el termino intermedio esta fuera de la regla como en la

ecuacin: 2x2-6x+8=0

2) Tambin se tiene una ecuacin reciproca P(x)=0 cuando los coeficientes de los trminos

equidistantes de los extremos de P(x) son iguales en magnitud pero de signos opuestos.

Factorizando por el mtodo de Ruffini se obtiene: (x-1)(x-3)(3x-1)=0 x=1; x=3; x=1/3.

Problemas propuestos:Resuelva las ecuaciones reciprocas siguientes:

1) 2x3+7x2+7x+2=0

2) 2x4+5x3-5x-2=0

3) 4x4-17x3+17x-4=0

4) 4x4-6x3+6x-4=0

5) 12x5-8x4-45x3+45x2+8x-12=0

6) x5-4x4+3x3+3x2-4x+1=0


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VALOR ABSOLUTOEl valor absoluto del nmero real x se denota por , y se define por la siguiente regla:

Interpretacin geomtrica del valor absoluto de un nmero real:

PROPIEDADES:

1)

2)

3)

4)5) 6) 7) 8) 9) 10) Ejercicio: Resolver la ecuacin

Solucin

Aplicando convenientemente - - - - -- Luego la solucin es: x=5

PROBLEMAS PROPUESTOS1) Resolver x R: 2) Resolver x R: 3) Resolver x R: 4) Resolver x R: 5) Resolver x R: 6) Resolver x R: 7) Resolver x R: 8) Resolver x R:

9) Resolver x R: 10)Resolver x R:


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PROBLEMAS PROPUESTOS

1) x2 = 812) 14x2 - 28 = 03) (x + 6)(x - 6) = 134) (2x - 5)(2x + 5) - 119 = 05) (x + 11)(x - 11) = 236) x2 = 7x7) 21x2 + 100 = - 58) 2x2 - 6x = 6x2 - 8x9) (x - 3)2 - (2x + 5)2 = - 1610) (4x - 1)(2x + 3) = (x + 3)(x - 1)11) x2 + 12x + 35 = 012) x2 - 3x + 2 = 013) x2 + 4x =285

14) 5x(x - 1) - 2(2x

2

- 7x) = - 815) (x + 2)2 = 1 - x(x + 3)

16)

17)

18)

19)

20) 21)

22)

23) Resuelve

a) x2 5x = 0

b) x

2

+ 3x = 0c) x2 9 = 0

d) x2

+ 5 = 0

24) Resuelvea) x

2 5x + 6 = 0

b) x2 3x 4 = 0

c) x2

+ 3x 10 = 0

d) x2 6x + 9 = 0

25) Resuelve

a) (x + 2)(x 3) = 0b) (3x + 1)(x + 5) = 0

c) x(x + 9) = 0

d) (2x + 8)(3x 9) = 0

26) Escribe una ecuacin de segundo gradocuyas races sean:a) x=3 y x=-5

b) x=2 y x=4

c) x=-1 y x=-9

d) x=0 y x=-5

27) Resuelvea) (x + 2)(x 3) = 6

b) (x + 1)(x 5) = 16

28) Resolver las siguientes ecuaciones:a) b) c) d) e)

f) 29) Resolver x R: 30) Resolver: 31) Resolver x R:

32) Resolver x R: 33) Resolver x R: 34) Resolver x R: 35) Si:

.


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Halle la suma de los elementos de:

AB.

36) Si:

.Halle: A-B.

DESIGUALDADESLa correspondencia entre los nmeros reales y los puntos de una recta pueden usarse para dar

una interpretacin geomtrica de la relacin de orden entre los nmeros reales.

La relacin a < b significa que sobre una recta numrica del grafico el punto A corresponde al

nmero a, que se encuentra a la izquierda del punto B correspondiente al nmero b.

Los signos de desigualdad a usarse son:

Smbolo Palabras Ejemplo de uso

= igual a 8 + 1 = 9

no igual a 1 + 1 1

> mayor que 5 > 2

< menor que 7 < 9

mayor o igual que x 1

menor o igual que y 3

Definicin: * Un numero real a es positivo si, a>0* Un nmero real a es negativo si, a


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TEOREMAS1) a,b,c,d R; Si a


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NOTA:I) Si x [a,b] axb

II) Si x a 0, entonces:

Representacin grafica: Representacin grafica:

x x PROBLEMAS PROPUESTOS: resolver las siguientes inecuaciones:

1) 3x + 6 > 2x + 12

2) 4x - 8 > 3x14

3) 10x + 24 < 16x + 12

4)

5) - 2x + 3 > - 3x1

6) 5(x + 6) - 5 > - 10

7)

8) 6 + 3(x + 1) > 7 + 4(x - 1)

9) 5 - [ 2x + (x + 2) ] < 4

10)

11)

12)2x - 3 - 4(x2 - 5) > 20 + 5x - 4x2

13)7x(2x +5) - 5x(2x + 3) < (2x + 4)2

14)(4x + 2)(4x + 9) (4x + 6)2

15) 16) 17)

18)

19)25-3x11

20)5x-4(x+5)x-24


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INECUACIONES DE SEGUNDO GRADO EN UNA INCOGNITA

Sonde la forma: ax2+bx+c>0 ax

2+bx+c0

Dando valores a x se presentan tres casos:

1er.Caso) DISCRIMINANTE POSITIVO, >0: cuando b2- 4ac > 0 la ecuacinax

2+bx+c=0 tiene dos soluciones reales distintas, x1 y x2, y podemos escribir:

ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)

Bastar con estudiar el signo de los tres factores para saber el signo del trinomio.

2do.Caso)DISCRIMINANTE CERO, =0: cuando b2- 4ac > 0 la ecuacin ax2+bx+c=0tiene una solucin real doble, x1= x2, y podemos escribir: ax

2+bx+c=a(x-x1)

2

Como (x-x1)20, el trinomio tendr el signo del coeficiente a y ser nulo para

x = x1.

3er.Caso) DISCRIMINANTE NEGATIVO, 0 Tiene dos soluciones reales distintas.

=0 tiene dos soluciones reales iguales. (Una solucin.)

0 ax

2+bx+c < 0,

ax2+bx+c 0 ax

2+bx+c 0, donde a, b y c R, a0, por medio de la naturaleza de

las races primero se resuelve la ecuacin ax2+bx+c =0 y de acuerdo a la naturaleza de las

races se hallaran la solucin.

La grafica de un polinomio p(x)= ax2+bx+c es una parbola que se abre hacia arriba o

hacia abajo.

1. Si ax2+bx+c > 0, con a>0 la parbola est por encima del eje de las abscisas; entonces la

solucin es todos los valores de x que pertenecen al intervalo .


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2. Si ax2+bx+c < 0 con a>0 la parbola est por debajo del eje de las abscisas, la solucin estodos los valores de x que pertenecen al intervalo .

c) METODOS PARA RESOLVER UNA INECUACION DE SEGUNDO GRADO

COMPLETANDO CUADRADOS: Ejemplo: resolver: -4x2

+4x+3>0Pasos a seguir:

*Primero la inecuacin se convierte en una ecuacin Mnica.*Asociar los trminos en x

2y en x, si estos existen:

(-4x

2+4x)>-3

*El coeficiente de x2

debe ser positivo y la unidad: Mult.-1/4 [(-4x2+4x)>-3]

x2-x0 b>0] [a


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[(x-3)>0 (x+2)3 x


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PROBLEMAS PROPUESTOS: resolver las siguientes inecuaciones:1) x(x-4) < 2x2;

2) x2 - 2x + 8 03) - x2 + 6x9 0

4) x2 6x + 8 > 05) x2+ 2x +1 0

6) x2 + x +1 > 0

7) 7x2+ 21x 28 < 0

8) x2+ 4x 7 < 0

9) 4x2-160

10) 4x24x + 1 0

11) x4 25x2 144 < 0

12) x4 16x2 225 0

13)

14)

15) 16) 17)

18)

19)

20)

INECUACIONES FRACCIONARIASUna inecuacin fraccionaria en una incgnita es de la forma: Donde P(x) y Q(x) son monomios o polinomios diferentes de cero. Son equivalentes a las inecuaciones: P(x).Q(x)>0 P(x). Q(x)0 de donde se tiene:

Si:

Si:

Ejercicio: Resolver la siguiente inecuacin

Solucin

Efectuamos la transposicin correspondiente:

Desarrollando se tiene:

Simplificando: que es equivalente a la inecuacin.( Luego determinamos las races de la inecuacin: r1=-1; r2=0; r3=1, r4=

, r5=

Por lo tanto: x


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Ejercicio: resolver la siguiente inecuacin:

Solucin

La siguiente inecuacin es equivalente a (x2-1)(x+3)(x-2)(x-5)(x+7)>0, para x-7,5

Determinando las races: r1=-7; r2=-3; r3=-1, r4=1 , r5=2, r6=5 son reales diferentes.Graficando:

La inecuacin es de la forma:

Por tanto la solucin es: x

INECUACIONES EXPONENCIALESLa inecuaciones exponenciales en una incgnita son de la forma: a f(x) > ag(x) af(x) < ag(x) , dondef(x) y g(x) son expresiones en x,a R

+, a1

CASOS:1) Si: a>1, entonces los exponentes de la inecuacin dada son desiguales en el mismo sentido

prefijado, es decir:

Si: af(x)

> ag(x)

f(x) > g(x)

Si: af(x)

< ag(x)

f(x) < g(x)

2) Si: 0 g(x)

Ejercicio: Resolver la siguiente inecuacin: Solucin

Por leyes de exponentes se tiene:

Como a= 3>1 entonces 50x+10 < 54x+54 -44 < 4x-11 < x x >-11 x

VALOR ABSOLUTO

Se define por la regla:


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PROPIEDADES para resolver inecuaciones donde interviene valor absoluto.1) Si: b>0, entonces:

i) ii)

2) Si a,b R se verifica:i) -ii) -

3) 4) 5)

6) 7) (desigualdad triangular)

Ejercicio: Resolver la ecuacin:--

Solucin

Aplicando la definicin de valor absoluto: para los valores delnumerador.

Por dato del problema: Luego:

-- Ejercicio: Resolver xR,

Solucin

Aplicando la propiedad: [-7x+4][3x-2]0 (7x-4)(3x-2)0

x [4/7, 2/3]

Ejercicio: Resolver xR, Solucin

Aplicando


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xR-{0} x-1 x, con x0x > 1 x < 1

x

PROBLEMAS PROPUESTOS1) Hallar el conjunto solucin de las siguientes inecuaciones:

a) x2-4x+30 c) (x+2)

2-6x+2 d) 6x

2-5x-60

e) x2-4x-210 g) x(3x+2)0

i) 3x2-7x+4>0 j) 4x

2-2x>x+1

2) Resolver las siguientes inecuaciones cuadrticas:a)x

5+8x

4+12x

3-x

2-8x-12>0 b) x(2x+1)(x-2)(2x-3)>63 c)

d) e) f)

g) h)

3) Resolver las siguientes inecuaciones:

a)2x-4 < x - 8 b) < 4x+1 c) 3x-5 8x+7

d) > 9 -6x e) ( x+2)(x-3) < 0 f) 6

g) (3- x)( 2+x) > 0 h) -71- 2x -1 i)-1< 3x-5 6 j) k)

l) m) n)

) o) p)q) r)

4) Resolver la siguientes inecuaciones:

a) b) c) d) e)

f)

g) h)


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5) Determine el conjunto solucin de cada una de las siguientes desigualdades con valorabsoluto. Exprese el resultado como un intervalo o unin de intervalos.

a) b) c)

d) e) f)

g) h) i)

j) k) l)

m) n) )

o) p) q)

r) s)

6) Hallar la expresin:

MATRICES

Las matrices se utilizan en el clculo numrico, en la resolucin de sistemas de ecuaciones con

numerosas incgnitas, problemas complejos de ingeniera (vigas estticamente indeterminadas),

de las ecuaciones diferenciales, estabilizacin y puesta en rbita de satlites, naves, clculos de

urbanizacin (agua, drenaje, topografa, etc.) y de las derivadas parciales. Tienen tambin

muchas aplicaciones en el campo de la fsica, qumica, matemtica y otras ciencias.

Veamos algunos pares ordenados:

(1;1) 1;2)(2;1) (2;2)

(1;1) le asignamos a11=1+1=2

(1;2) le asignamos a12=1+2=3(2;1) le asignamos a21=2+1=3(2;2) le asignamos a22=2+2=4 ( i ; j) le asignamos aij=i+j

A= [ aij ]

Una matriz es un arreglo rectangular de elementos de un conjunto dispuesto en filas y columnas.


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Son de la forma:

La matriz anterior se denota tambin por (a i j), i =1,...,m; j =1,..., n, o simplemente por (ai j).

Los trminos horizontales son las filas de la matriz y los verticales son sus columnas. Una matriz

conmfilas yncolumnas se denomina matriz m por n, o matrizmxn.

Las matrices se denotarn usualmente por letras maysculas, A, B,..., y los elementos de las

mismas por minsculas, a, b,...

Ejemplo: la siguiente matriz es una matriz de 2x3:

Donde la filas estn compuesto de: (1, -3, 4) y (0, 5, -2) y las columnas en:

Asimismo cada elemento est representado por: a11=1; a12=-3; a13=4; a21=0; a22=5 y a23=-2.Adems: a11=1 y a21=0 ; a12=-3 y a22=5 ; a13=4; a23=-2.

CLASES DE MATRICES ESPECIALES

Segn el aspecto de las matrices, stas pueden clasificarse en:

Matrices cuadradas

Una matriz cuadrada es aquella que tiene igual nmero de filas que de columnas. Se dice que una

matriz cuadrada nxn es de orden n y se denomina matriz n-cuadrada.

Ejemplo: Sean las matrices

3x3 2x2

Entonces,A yB son matrices cuadradas de orden 3x3 y 2x2 respectivamente.

En una matriz cuadrada todos los elementos que tienen iguales subndices forman la diagonalprincipal o simplemente diagonal.

Diagonal de A={1; 0; 2}; B={2; 5}.


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Matriz diagonal

En una matriz diagonal todos los elementos situados por encima y por debajo de la diagonalprincipal son igual a cero. (ai j)=0; para ij.

Una matriz cuadrada es diagonal, si todas sus entradas no diagonales son cero o nulas. Se denota

porD = diag (d11, d22, ..., dnn ).

Por ejemplo:

Son matrices diagonales que pueden representarse, respectivamente, por diag(3,-1,7) diag(4,-3)

y diag(2,6,0,-1).

Matriz escalar

Es el caso particular en donde todos los elementos de la diagonal son iguales (ai j=k=Cte.)

Matriz identidad o Unidad

Una matriz identidad es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son

iguales a 1.

SeaA = (a i j ) una matriz n-cuadrada. La diagonal (o diagonal principal) de A consiste en los

elementos a11, a22, ..., an.n.

La matriz n-cuadrada con unos en la diagonal principal y ceros en cualquier otra posicin,

denotada por I, se conoce como matriz identidad (o unidad). Para cualquier matrizA,

A I = I A = A.


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Matriz triangular superior

Una matriz cuadrada A = (ai j) es una matriz triangular superior o simplemente una matriz

triangular, si todas las entradas bajo la diagonal principal son iguales a cero. As pues, las

matrices. (ai j)=0; para j < i.

Son matrices triangulares superiores de rdenes 2x2; 3x3 y 4x4.

Matriz triangular inferior

Una matriz cuadrada A = (ai j) es una matriz triangular superior o simplemente una matriz

triangular, si todas las entradas sobre la diagonal principal son iguales a cero. As pues, las

matrices. (ai j)=0; para j > i.

Son matrices triangulares superiores de rdenes 2x2; 3x3 y 4x4.

Traspuesta de una matriz

La traspuesta de una matrizA consiste en intercambiar las filas por las columnas y se denota por

AT.

As, la traspuesta de

es

La transposicin de una matriz cumple las siguientes propiedades:

1) La traspuesta de una suma de matrices es igual a la suma de las traspuestas de los sumandos:

(A +B)T =AT +BT.

2) La traspuesta de la traspuesta es igual a la matriz original: (AT)T = A.

3) La traspuesta del producto de un numero por una matriz es igual al producto del numero por

la traspuesta de la matriz: (kA)T

= kAT

(si k es un escalar).

4) La traspuesta del producto de matrices es igual al producto de las traspuestas de los factores

pero con el orden cambiado: (AB)T =BTAT.


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Matriz simtrica

Es aquella donde todos los elementos que estn simtricamente distribuidos respecto a la

diagonal son iguales.

En general: A es simtrica AT =A.

Se dice que una matriz real es simtrica, siAT =A; y que es antisimtrica, si:AT = -A.

Ejemplo:

Consideremos las siguientes matrices:

Podemos observar que los elementos simtricos de A son iguales, o que AT =A. Siendo as, Asimtrica.

ParaB los elementos simtricos son opuestos entre s, de este modoB es antisimtrica.

A simple vista, Cno es cuadrada; en consecuencia, no es ni simtrica ni antisimtrica.

Matriz antisimetrica

Es aquella en donde los elementos simtricamente distribuidos respecto a la diagonal tienen

signos opuestos e igual magnitud, adems todos los elementos de la diagonal son ceros.

A= AT

= = - A

En general: A es antisimetrica AT

= - A

Matriz inversa

Dada una matriz A, se dice que la matriz B es la matriz inversa de A AB=BA=I,

(I=Identidad).

Notacin: B=A-1

A=B-1

.

Clculo de la matriz inversa

Ejemplo: Calcular la matriz inversa deSolucin

Sea: la inversa de A, multiplicando A.B=I


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Luego se tiene:

4a11 + 2a21 = 1 .2 8a11 + 4a21 = 2

-8a11 + 5a21 = 0 -8a11 + 5a21 = 0

9a21 = 2

a21 = 2/9

De: 4a11 + 2. = 1 a11= 5/36Tambin se tiene: 4a12 + 2a22 = 0 .2 8a12 + 4a22 = 0

-8 a12 + 5a22 = 1 -8 a12 + 5a22 = 1

9a22 = 1

a22 = 1/9

De: 4a12 + 2. = 0 a12 = -2/36 = -1/18

Entonces: B=A-1

=

Hallando el m.c.m. de los denominadores (36) se tiene: A-1

=

MTODO DE GAUSS-JORDANEste mtodo consiste en colocar junto a la matriz de partida (A) la matriz identidad (I) y hacer

operaciones por filas, afectando esas operaciones tanto a A como a I, con el objeto de

transformar la matriz A en la matriz identidad, la matriz resultante de las operaciones sobre I es

la inversa de A (A-1

).

Las operaciones que podemos hacer sobre las filas son:a)Sustituir una fila por ella multiplicada por una constante, por ejemplo, sustituimos la fila 2 por

ella multiplicada por 3.

b)Permutar dos filasc)Sustituir una fila por una combinacin lineal de ella y otras.

La matriz inversa de A es:


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OPERACIONES CON MATRICESAdicin y sustraccin de matricesLa suma de una matriz es una generalizacin de la suma de vectores y la diferencia se efectua

alterando los signos de la matriz restante.

Para poder sumar o restar matrices, stas deben tener el mismo nmero de filas y de columnas.Es decir, si una matriz es de orden 3 x 2 y otra de 3 x 3, no se pueden sumar ni restar. Esto es as

ya que, tanto para la suma como para la resta, se suman o se restan los trminos que ocupan el

mismo lugar en las matrices.

Ejemplo:

Para sumar o restar ms de dos matrices se procede igual. No necesariamente para poder sumar o

restar matrices, stas tienen que ser cuadradas.

Ejemplo:

Producto de matrices

El producto de dos matrices se realiza mediante la multiplicacin de filas por columnas, la

multiplicacin de fila n de la primera matriz por la columna m de la segunda matriz y sumando

los elementos obtenidos da ligar al elemento (n,m) de la matriz producto.

Para poder multiplicar dos matrices, la primera debe tener el mismo nmero de columnas que

filas la segunda. La matriz resultante del producto quedar con el mismo nmero de filas de la

primera y con el mismo nmero de columnas de la segunda.


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Ejemplo:

1.

2.

Producto por un escalar

El producto de un escalar kpor la matrizA, escrito kA o simplemente kA, es la matriz obtenida

multiplicando cada entrada deA por k:

Ejemplo:

Entonces:

Divisin de matrices

La divisin de matrices se define como el producto del numerador multiplicado por la matriz

inversa del denominador. Es decir, sean las matricesA yB tal queA/B = AB-1:

Si una matriz est dividida entre un escalar, todos los trminos de la matriz quedarn divididos

por ese escalar.

Ejemplo:

MATRICES INVERTIBLES

Se dice que una matriz cuadradaA es invertible, si existe una matrizB con la propiedad de que

AB = BA = I


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SiendoIla matriz identidad. Denominamos a la matrizB la inversa deA y la denotamos porA-1.

Ejemplo:

Puesto que AB = BA = I, A yB son invertibles, siendo cada una la inversa de la otra.

Mtodo de Gauss

Sea A = (ai j ) una matriz cuadrada de orden n. Para calcular la matriz inversa de A, que

denotaremos comoA-1, seguiremos los siguientes pasos:

Paso 1. Construir la matriz n x 2n M= (A I ) esto es, A est en la mitad izquierda de My lamatriz identidadIen la derecha.

Paso 2. Se deja tal y como est la primera fila de M, y debajo del primer trmino de la diagonalprincipal, a11, que llamaremos pivote, ponemos ceros. Luego se opera como se indica en el

siguiente ejemplo.

Ejemplo:

Consideremos una matriz 3 x 3 arbitraria

Paso 1.

Paso 2.


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El siguiente paso es igual que el anterior, pero esta vez se coge como pivote el segundo trmino

de la diagonal principal.

Al llegar al ltimo trmino de la diagonal, se procede igual que antes, pero poniendo los ceros

encima del nuevo pivote. Se observa que al coger como pivote el ltimo trmino de la diagonal,

la matrizA se transforma en una matriz triangular.

Una vez realizados todos los pasos, la mitad izquierda de la matriz Mse convierte en una matriz

diagonal. En este momento hay que proceder a transformar, si es que no lo est, la mitad

izquierda en la matriz identidad, dividiendo si fuera necesario las filas deMpor un escalar.

Ejemplo:

Supongamos que queremos encontrar la inversa de

Primero construimos la matrizM= (A I),

La mitad izquierda de Mest en forma triangular, por consiguiente, A es invertible. Si hubiera

quedado toda una fila con ceros en la mitad A de M, la operacin habra terminado (A no es

invertible).

A continuacin, cogemos como pivote a33, ponemos ceros encima de ste y seguimos operando

hasta que nos quede una matriz diagonal.


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Ya que la matriz colocada en la mitad izquierda es diagonal, no hay que operar ms.

Transformamos la matriz diagonal en una matriz identidad; para ello hay que dividir la segunda

fila entre -1:

La matriz que ha quedado en la mitad derecha deMes precisamente la matriz inversa deA:

Para comprobar si el resultado es correcto, se procede a multiplicarAA-1, teniendo que dar como

resultado la matriz identidadI.

Comprobacin:

AA-1 = I

Ejercicio: operaciones con matrices

Sean

a)Qu clase de matrices son?

b) Calcular:

-A -B + C.

A +B - C.

3A + C/2.

c) Calcular:

(A B) /C.

d) Calcular la inversa deA (A-1) y comprobar el resultado.


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Resolucin:

a) Las tres matrices son cuadradas y de orden tres. A su vez,B es una matriz triangular, ya que

todas las entradas debajo de la diagonal principal son ceros, y Ces antisimtrica porque los

elementos simtricos son opuestos entre s.

b)

c) Puesto que (AxB) /C=A xB x C-1, calcularemos primero la inversa de Cy luego haremos el

producto.


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Dividimos la primera fila entre -6, la segunda entre 3 y la tercera entre -3 para que en la mitad

izquierda quede la matriz identidad,

Por lo tanto, la matriz inversa de Ces:

A continuacin, se calcula el producto de las matricesA yB,

Por ltimo, calculamos (AxB)xC-1.

= .

Sacando factor comn 1/3, el resultado puede escribirse como:

d) Primero se construye la matrizM= (A I) y luego se va desarrollando por Gauss. As pues:


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Se simplifica un poco para que las operaciones no sean tan costosas, dividiendo la tercera fila

entre cuatro. De este modo, se tiene

.

Se vuelve a simplificar, dividiendo la primera fila entre dos y la segunda entre cuatro,

.

Puesto que ya ha quedado una matriz diagonal en la mitad izquierda de M, se procede a

transformar esta mitad izquierda en una matriz identidad, dividiendo la primera fila entre -3042,

la segunda entre -78 y la tercera entre 39,

As pues, la matriz que ha quedado en la mitad derecha es precisamente la matriz identidad, que

sacando factor comn 1/78 se puede escribir como:

Para comprobar el resultado, la matriz inversa deA oA-1, tiene que cumplir

AA-1 =I.

Procedamos a la comprobacin:


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MATRICES Y SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES

La matriz ampliadaMde un sistema de m ecuaciones con n incgnitas es la siguiente:

Cada fila deMcorresponde a una ecuacin del sistema y cada columna a los coeficientes de una

incgnita, excepto la ltima, que corresponde a las constantes del sistema.

Un sistema de ecuaciones lineales puede resolverse trabajando con su matriz ampliada,

especficamente, reducindola a forma escalonada mediante el proceso de Gauss.

MTODO DE GAUSS

Para resolver sistemas de ecuaciones lineales, se aplica el mtodo de Gauss. Este proceso se

ilustra en el siguiente ejemplo.

Ejemplo:

Sea el sistema,

Su matriz ampliada asociada es


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Ahora resolvemos por el mtodo de Gauss sabiendo que la primera columna corresponde a los

coeficientes de la x, la segunda a los de la y, la tercera a los de la z y la cuarta a los trminos

independientes:

De este modo, el sistema tiene la solucin nica

x = 2,y = -1,z = 3.

La resolucin de sistemas de ecuaciones lineales por matrices, aplicando el mtodo de Gauss u

otros, es una de las mltiples aplicaciones que tienen stas.

matematica ii (actual)

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