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Curso Matemática Para Concursos II – Módulo I

LEMBRETE: Todos os módulos do curso são revisados pela equipe www.somaticaeducar.com.br , quaisquer divergência com sinais, números, símbolos, soluções dos exercícios, problemas de digitação ou outros problemas, a www.somaticaeducar.com.br deverá ser comunicada imediatamente para que sejam resolvidos tais problemas.

1

MATEMÁTICA PARA CONCURSOS II.

QUERIDO(A) ALUNO(A):

SEJA BEM-VINDO AO CURSO LIVRE MATEMÁTICA PARA

CONCURSOS II. ESTE CURSO OBJETIVA PRIORITARIAMENTE QUE

VOCÊ DESENVOLVA COMPETÊNCIAS SIGNIFICATIVAS ATRAVÉS

DOS TEMAS ABORDADOS PARA USO EM EVENTUAIS

CONCURSOS PÚBLICOS.

SABEMOS QUE ATUALMENTE A CONCORRÊNCIA É FATOR

CONSTANTE NOS DIVERSOS PROCESSOS SELETIVOS, E ,

SABEMOS TAMBÉM QUE É ATRAVÉS DA ATUALIZAÇÃO E

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PARA ISSO DESENVOLVEMOS QUALIDADES COMO A

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2

Módulo I

Sistema Legal de Medidas

Sistema Métrico Decimal

Medir significa comparar. Medir um determinado comprimento significa

compará-lo com outro tomado como unidade de medida .

Para obter-se uniformidade estabeleceu-se um sistema universal de

medida que é o sistema métrico decimal , baseado no metro linear .

Chama-se metro linear ao comprimento equivalente à fração 1/10 000 000

da distância que vai de um pólo até a linha do Equador, medida sobre um

Meridiano.

Esse comprimento, após calculado, encontra-se assinalado sobre uma

barra de metal nobre (platina e irídio) que está depositado no Museu

Internacional de Pesos e Medidas em Sevres, na França.

Múltiplos (unidades maiores que o metro)

Submúltiplos (unidades menores que o metro)



3

Observação: Qualquer das unidades é sempre 10 vezes maior que a

unidade imediatamente inferior e 10 vezes menor que a unidade

imediatamente superior.

Mudança de Unidade

Passagem para unidade menor: desloca-se a vírgula para a direita,

tantas casas decimais quantos são os espaços que separam as duas

unidades na escala:

usando zeros para as unidades vagas:

Exemplo:

1) Reduzir 45,892 hm para m.

Devemos deslocar a vírgula duas casas decimais para a direita:

Então: 45,892 hm = 4589,2m

Passagem para unidade maior: desloca-se a vírgula para a esquerda.

Exemplo:

1) Reduzir 67,8 dm a hm



4

Devemos deslocar a vírgula três casas decimais para a esquerda.

67,8 dm = 0,0678 hm (completou-se com zeros as unidades vagas)

Exercícios:

1) 0,02 hm para metros:

2 metros

2) 54,36 dm para dam:

0,5436 dam

3) 0,425km para cm:

42500cm



5

Unidades de Área (Superfície)

A idéia de superfície é conhecida. É uma noção que se diz intuitivamente

porque o conhecemos sem a necessidade expressiva de definí-la. Assim,

superfície da mesa, do assoalho, do vidro, da janela são chamadas de

superfícies planas.

“Chamamos de área o número que mede uma superfície numa

determinada unidade”.

A unidade para medir superfícies é o metro quadrado (que corresponde a

área de um quadrado de 1metro de lado, cujo símbolo é 2m ).

Múl

tiplo

s

Quilômetro Quadrado Hectômetro Quadrado Decâmetro Quadrado

2Km 2hm

2dam

21000000m 210000m

2100m

Metro Quadrado 2m 21m

Sub

múl

tiplo

s

Decímetro Quadrado Centímetro Quadrado Milímetro Quadrado

2dm 2cm

2mm

20,01m 20,0001m

20,000001m

Observação: qualquer unidade é sempre 100 vezes maior que a unidade

imediatamente inferior ou 100 vezes menor que a unidade imediatamente

superior.



6

Mudança de Unidade

Desloca-se a vírgula de duas em duas casas decimais para a direita ou

para a esquerda, conforme a mudança seja para uma unidade menor ou

maior, e completando com zeros, caso faltem algarismos. 2 2 2 2 2 2 2Km hm dam m dm cm mm− − − − − −

Exemplos:

1) 2,9358 dam 2 para m 2

Devemos deslocar a vírgula duas casas decimais para a direita.

2,9358 dam 2 → 293,58m 2

2) 52,36cm 2 para dam 2

Devemos deslocar a vírgula seis casas decimais para a esquerda.

52,36cm 2 → 0,00005236 dam 2

Exercícios

Transformar:

a) 5,24 dam 2 para dm 2

52400 dm 2



7

b) 241,2cm 2 para dam 2

0,0002412 dam 2

Unidades Agrárias

São usadas para medir a superfície de terrenos como sítios, fazendas,

etc. A unidade agrária fundamental é o are, cujo símbolo é a−

e é igual ao

decâmetro quadrado, valendo, 100 metros quadrados.

“Chama-se are ao quadrado que tem 10 metros de lado”.

Mudanças de Unidade

Como nas unidades de superfície, de duas em duas casas decimais para

a direita ou esquerda, conforme a mudança seja para uma unidade menor

ou maior.

Exemplos:

a) 5 ha para m 2 =

5 ⋅ 10000 = 50000m 2



8

b) 15,25a em m 2 =

15,25 ⋅ 100 = 1525m 2

c) 2500m 2 em ha=

2500m 2 = 2500 ca = 0,25ha

Unidades de Medidas de Volume

A unidade fundamental para medida de volume é o metro cúbico.

“Chama-se metro cúbico ao volume de um cubo cuja a aresta mede 1

metro”.

“Cada unidade de volume é 1000 vezes maior que a unidade

imediatamente inferior ou 1000 vezes menor que a unidade

imediatamente superior”.

Nome Símbolo Valor

Múl

tiplo

s

Quilômetro Cúbico Hectômetro Cúbico Decâmetro Cúbico

3Km 3hm

3dam

31000000000m 31000000m

31000m

Metro Cúbico 3m 31m

Sub

múl

tiplo

s

Decímetro Cúbico Centímetro Cúbico Milímetro Cúbico

3dm 3cm

3mm

30,001m 30,000001m

30,000000001m



9

Mudança de Unidade

Desloca-se a vírgula de três em três casas decimais para a direita ou para

a esquerda, conforme se passa para uma unidade menor ou maior,

completando com zeros, caso faltem algarismos.

3 3 3 3 3 3 3Km hm dam m dm cm mm− − − − − −

Exemplos:

1) 4,936 hm 3 em m 3 =

4936000m 3 → desloca a vírgula seis casas decimais para a direita.

2) 15mm 3 para dm 3 =

0,000015 dm 3 → deslocando a vírgula seis casas decimais para a

esquerda.

Exercícios:

1) Converter:

a) 0,0025km 3 para dam 3 =



10

0002500 dam 3 → 2500 dam 3

b) 0,000 0001 hm 3 em mm 3 =

0,000 0001 hm 3

0 000 000100000000mm 3 = 100 000 000mm 3

Unidades de Medida de Capacidade

A unidade fundamental para medir capacidade é o litro que se abrevia l.

“O litro é o volume equivalente a um decímetro cúbico”.

Lembremos que quando um líquido é colocado num recipiente qualquer,

toma a forma desse recipiente e o volume do espaço interno que pode ser

ocupado por forma desse recipiente e o volume do espaço interno que

pode ser ocupado pó líquido ou grãos, chama-se Capacidade.

31litro =1dm



11

Cada unidade de medida de capacidade é 10 vezes maior que a que lhe

é imediatamente inferior ou 10 vezes menor que a que lhe é

imediatamente superior.

Mudanças de Unidade

Exemplos:

a) Converter 3,953 hl em l=

395,3 litros

b) Converter 43dl em dal=



12

c) 1,4 hl para l =

140 litros

d) 58 450dl em dam 3 =

Então, 58 450dl = 5.845l

58 450dl = 5.845 dm 3

58 450dl = 0,005845 dam 3

31hectolitro =100litros =100dm

31litro =1litro =1dm

31mililitro = 0,001litro =1cm

e) 53 825 ml em dal

5,3825 dal

Peso e Massa ( Fonte: Solução,2006 )

Peso → é a força com que esse corpo é atraído para o Centro da Terra, e

como essa força de atração não é a mesma para todos os lugares da

Terra, então o peso de um corpo varia de acordo como local da Terra em

que ele se encontra. Quando nos pesamos, estamos medindo a massa do

nosso corpo e não o peso.



13

Massa → a quantidade de matéria que esse corpo possui é sempre a

mesma em qualquer lugar da Terra, ou fora dela, portanto a massa de um

corpo não varia e a medida da massa é obtida pelas balanças.

Unidades de Medida de Massa

A unidade fundamental para medir a massa de um corpo é o quilograma

(kg), que se constitui na massa de um decímetro cúbico de água destilada

à temperatura de 4 0 C.

A cada unidade de massa é 10 vezes maior que a imediatamente inferior

ou 10 vezes menor que a imediatamente superior.

Mudança de Unidade

Kg – hg – dag – g – dg – cg – mg

Conclui-se que a mudança de unidade é feita da mesma forma que as

medidas de comprimento.



14

Tonelada (t) = 1 000 Kg = 1 000 000 g

Megaton = 1 000 t = 1 000 000 Kg

Quintal = 100 Kg = 100 000 g

Quilate = 0,2 g

Tonelada, Megaton e Quintal = usadas para medir grandes massas.

Quilate = usada para medir metais e pedras preciosas.

Volume Capacidade Massa 31m 1 Kl 1 t

31dm 1 l 1 Kg

31cm 1 ml 1 g

SISTEMA DE MEDIDAS NÃO DECIMAIS

O sistema não decimal ou complexo compreende sistema de medida não

ligado por relação decimal.

Exemplos:

Medidas de prazos ou intervalos de tempo, das medidas de ângulos e das

grandezas referidas ao sistema inglês de pesos e medidas.



15

Unidades de Medidas de Tempo

A unidade fundamental é o segundo (s ou seg ). Corresponde ao intervalo

de tempo igual a fração 1/86 400 do dia solar médio, definido de acordo

com as convenções de Astronomia.

Também são unidades de tempo usuais:

- semana (7d);

- quinzena (15d);

- bimestre (2me);

- trimestre (3me);

- semestre (6me);

- lustro (5a);

- década (10a);

- século (100a).

A representação do número complexo (representa a medida de uma

grandeza num sistema complexo e é formado de duas ou mais unidades

da mesma espécie) é feita escrevendo em ordem decrescente do valor, os

Nome Símbolo Valor

Segundo

Minuto

Hora

Dia

Mês Comercial

Ano Comercial

s ou seg

m ou min h

d

me a

1 seg

60 seg

3 600 seg

86 400 seg

30 d

360 d



16

números correspondentes às diversas unidades, acompanhadas dos

respectivos símbolos.

Exemplo: 10a 12me 30d 8h 20min 15seg

Exercícios

1) Na leitura do hidrômetro de uma casa, verificou-se que o consumo do

último mês foi de 36 3m .Quantos litros de água foram consumidos?

Solução:

3 336m = 36000dm = 36000litros de água foram consumidos.

2) Uma indústria farmacêutica fabrica 1400 litros de uma vacina que

devem ser colocados em ampolas de 335cm cada uma. Quantas

ampolas serão obtidas com essa quantidade de vacina?

Solução:

3 31400litros =1400dm =1400000cm

31400000cm= 40000ampolas

335cm

Serão obtidas 40 000 ampolas com essa quantidade de vacina.

3) O valor de 0,689 ca, em ha é:

a) 0,00689ha

b) 0,689ha

c) 0,0689ha

d) 0,000689ha

c) 0,0000689ha



17

Solução:

Desloca-se a vírgula quatro casas para a esquerda.

0,0000689ha

4) O valor de 57,2kg em dg, é:

a) 572000dg

b) 572dg

c) 57,2dg

d) 5720dg

e) 57200dg

Solução:

572000dg

5) 58342,50cg para hg, é:

5,834250hg

6) (Solução – 2006) Uma pedra preciosa tem 30 quilates. Qual é o seu

preço se cada grama custa R$125,00?

Solução:

30 quilates × 0,2g → 6 gramas

125 × 6 gramas = R$750,00

Seu preço é de R$750,00.



18

7) (Solução – 2006) 10m 3 de certo produto serão colocados em frascos

de 8cl. Então, quantos frascos serão necessários?

a) 125 b) 1250 c) 12500 d) 125000

Solução:

10m 3 → cl

Sendo que 1dm 3 = 1l

1kl = 1m 3

1 000 000cl ÷ 8cl = 125000

Serão necessários 125000 frascos.

Encontre diversos rostos nessa imagem!!!!

Fonte:http://www.ilusao.net/IlusaoDeOpticaArvore.html



19

8) Efetuar:

a) 25d – (13d 8h 45min) =

Então, verificou que (25d) emprestou 1 dia (24h) e esta emprestou 1 hora

(60min).

b) 8 ⋅ (15d 7h 13min 45seg)



20

Geometria

Perímetro e Área das Figuras Planas

Considerações:

- A unidade de superfície é o quadrad o, cujo lado é unidade de

comprimento;

- Chama-se área a medida de uma superfície ;

- Dois polígonos congruentes são sempre equivalentes , porém dois

polígonos equivalentes podem não ser congruentes ;

- Figuras semelhantes : têm a mesma forma ;

- Figuras equivalentes : têm a mesma área;

- Sólidos equivalentes : têm o mesmo volume ;

- A figura geométrica é o conjunto de pontos .

Uma figura geométrica é plana , se todos os seus pontos pertencem a

um mesmo ponto plano (quadrado, retângulo, pentágono, triângulo). Uma

figura geométrica é não-plana se nem todos os seus pontos pertencem

a um mesmo plano. (bloco retangular, cubo, cilindro, pirâmide).

1) Retângulo

b = base

h = a = altura



21

S = superfície ou área

P = 2b + 2h P = perímetro

2) Quadrado

S = l 2 S = superfície ou área

P = 4 ⋅ l l = lado

P = perímetro

d = diagonal

3) Paralelograma

P = 2(b+h) ou P = 2b+2h


b = base

h = altura

P = perímetro



22

4) Triângulo (Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre (http: //pt.wikipedia.org/)

No plano, triângulo é a figura geométrica que ocupa o espaço interno

limitado por três linhas retas que concorrem, duas a duas, em três pontos

diferentes formando três lados e três ângulos internos que somam 180 0 .

Também se pode definir um triângulo em superfícies gerais. Nesse casos,

são chamados de triângulos geodésicos e têm propriedades diferentes.

O triângulo é o único polígono que não possui diagonais e cada um de

seus ângulos externos é suplementar do ângulo interno adjacente. O

perímetro de um triângulo é a soma das medidas dos seus lados.

Denomina-se a região interna de um triângulo de região convexa e a

região externa de região côncava .

A área de um triângulo obtém-se calculando a metade do produto da

medida da sua altura pela medida da sua base.

Assim, a área do triângulo pode ser calculada pela fórmula: ( )

2

h bA

⋅= .

Sendo h a altura do triângulo e b a medida da base. Outra maneira de

calcular sua área é através do Teorema de Heron, também conhecido

como fórmula do semi-perímetro. Essa fórmula é

( ) ( ) ( )A p p a p b p c= ⋅ − ⋅ − ⋅ − onde ( )

2

a b cp

+ += (o semi-perímetro).

Se o triângulo for equilátero de lado l, sua área A pode ser obtida

calculando: 2 3

4

lA = . Pode-se ainda calcular sua área em função de sua

altura (h): 3

2

lh = .



23

Outra forma de calcular a área é 2

a b senA

⋅ ⋅ ∝= , onde a e b são dois lados

quaisquer do triângulo e ∝ é o ângulo entre eles.

Tipos de Triângulo

Os triângulos podem ser classificados de acordo com as medidas de seus

lados.

- Um triângulo equilátero possui os lados todos congruentes. Um

triângulo equilátero é também equiângulo : todos os seus ângulos internos

são congruentes (medem 60 0 ), sendo, portanto, classificado como um

polígono regular.

- Um triângulo isósceles possui pelo menos dois lados de mesma

medida e dois ângulos congruentes. O triângulo equilátero é,

conseqüentemente, um caso especial de um triângulo isósceles, que

apresenta não somente dois, mas todos três lados iguais, assim como os

ângulos, que medem todos 60 0 . Num triângulo isósceles, o ângulo

formado pelos lados congruentes é chamado ângulo do vértice . Os

demais ângulos denominam-se ângulos da base e são congruentes.

- Em um triângulo escaleno , as medidas dos três lados são diferentes.

Os ângulos internos de um triângulo escaleno também possuem medidas

diferentes.

Denomina-se base o lado sobre qual se apóia o triângulo. No triângulo

isósceles, considera-se base o lado de medida diferente.



24

Eqüilátero Isósceles Escaleno

Um triângulo também pode ser classificado de acordo com seus ângulos

internos:

- Um triângulo retângulo possui um ângulo reto. Num triângulo retângulo,

denomina-se hipotenusa o lado oposto ao ângulo reto. Os demais lados

chamam-se catetos. Os catetos de um triângulo são complementares.

- Um triângulo obtusângulo possui um ângulo obtuso e dois ângulos

agudos.

- Em um triângulo acutângulo , todos os três ângulos são agudos.

Retângulo Obtusângulo Acutângulo (Fonte: Wikipedia

(http://pt.wikipedia.org/) )

Pontos, linhas e círculos associados a um triângulo

Mediatriz

A mediatriz é a reta perpendicular a um lado do triângulo, traçada pelo seu

ponto médio. As três mediatrizes de um triângulo se encontram em um

único ponto, o circuncentro , que é o centro da circunferência circunscrita

ao triângulo, que passa pelos três vértices do triângulo. O diâmetro dessa

circunferência pode ser achado pela lei dos senos.



25

O Teorema de Tales (ou Lei angular de Tales) determina que se o

circuncentro estiver localizado em um lado do triângulo, o ângulo oposto a

esse lado será reto. Determinada também que se o circuncentro estiver

localizado dentro do triângulo, este será acutângulo; se o circuncentro

estiver localizado fora do triângulo, este será obtusângulo.

O circuncentro é o centro da

circunferência circunscrita ao triângulo.

Altura

O ponto de interseção das alturas é o

ortocentro.

Altura é um segmento de reta perpendicular a um lado do triângulo ou ao

seu prolongamento, traçado pelo vértice oposto. Esse lado é chamado

base da altura, e o ponto onde a altura encontra a base é chamado de pé

da altura.



26

O ponto de interseção das três alturas de um triângulo denomina-se

ortocentro (H). No triângulo acutângulo, o ortocentro é interno ao

triângulo; no triângulo rectângulo, é o vértice do ângulo recto; e no

triângulo obtusângulo é externo ao triângulo. Os três vértices juntos com o

ortocentro formam um sistema ortocêntrico.

Mediana

Mediana é o segmento de reta que une cada vértice do triângulo ao ponto

médio do lado oposto. A mediana relativa à hipotenusa em um triângulo

retângulo mede metade da hipotenusa.

O ponto de interseção das três medianas é o baricentro ou centro de

gravidade do triângulo. O baricentro divide a mediana em dois

segmentos. O segmento que une o vértice ao baricentro vale o dobro do

segmento que une o baricentro ao lado oposto deste vértice. No triângulo

Eqüilátero, as medianas, bissetrizes e alturas são coincidentes. No

isósceles, apenas as que chegam ao lado diferente, no escaleno,

nenhuma delas.

O ponto de interseção das três medianas é

o baricentro ou centro de gravidade.



27

Bissetriz

O ponto de interseção das três bissetrizes é

o incentro.

A bissetriz interna de um triângulo corresponde ao segmento de reta que

parte de um vértice, e vai até o lado oposto do vértice em que partiu,

dividindo o seu ângulo em dois ângulos congruentes.

Em um triângulo há três bissetrizes internas, sendo que o ponto de

interseção delas chama-se incentro .

O círculo que tem o incentro como centro e é tangente aos três lados do

triângulo é denominado círculo inscrito.

Já a bissetriz externa é o segmento da bissetriz de um ângulo externo

situado entre o vértice e a interseção com o prolongamento do lado

oposto.

As bissetrizes externas duas a duas têm um ponto de interseção,

denominado exincentro relativo ao lado que contêm os vértices pelos

quais passam essas retas.

Dado um exincentro, o círculo que tem esse ponto como centro, e é

tangente a um lado e ao prolongamento dos dois outros lados do

triângulo, é denominado círculo exinscrito.



28

Em um triângulo eqüilátero, o incentro, o ortocentro e o baricentro são o

mesmo ponto.

Reta de Euler

É a reta que contém o ortocentro, o baricentro e o circuncentro.

Círculo dos Nove Pontos

É a circunferência que contém os pontos médios dos lados, os pés das

alturas, e os pontos médios dos segmentos que unem o ortocentro aos

vértices. (Fonte: Wikipedia (http:/wikipedia.org/))

Triângulo Qualquer

P = a+b+c / 2



29

Triângulo Eqüilátero

2 3

4

lA

⋅= A = área ou superfície

P = 3 ⋅ l l = lado

P = perímetro

Triângulo Retângulo

A = (cateto) ⋅ (cateto) / 2

A = b ⋅ c / 2 ou 2

b hA

⋅=



30

5) Losango

6)

D = diagonal maior

d = diagonal menor


6) Trapézio


B = base maior

b = base menor

h = altura

7) Círculo



31

A = π ⋅ r 2

π ≃ 3,14

8) Perímetro do pentágono regular

P = 5 ⋅ l



32

Exercícios

1) Para ladrilhar totalmente uma parede de 27m 2 de área foram usadas

peças quadradas de 15cm de lado. Quantas peças foram usadas?

Solução:

Área parede = 27m 2

Área peças = A = l 2

A = 0,15 2

A = 0,0225m 2

Quantas peças foram usadas?

27m 2 ÷ 0,0225m 2 = 1200peças que foram usadas.

2) Um pedaço de compensado, cuja espessura é desprezível, tem a

forma e as dimensões da figura abaixo. Determine a área desse

pedaço de compensado:

36 metros

S = b ⋅ h S = 70 ⋅ 36 = 2520m 2

70 metros



33

3) O pé de Rafael mede 22cm. Dê essa medida em milímetros:

Resposta: 220mm tem o pé de Rafael.

4) Um fazendeiro pretende cercar um terreno retangular com 400m de

comprimento e 90m de largura. Sabendo que a cerca deve ter 5 voltas

de arame farpado, quantos metros desse arame serão usados?

Solução:

A terreno retangular = b ⋅ h

A = 400 ⋅ 90 = 36000m 2

P = 2 ⋅ b+2 ⋅ h

P = 2 ⋅ 400+2 ⋅ 90

P = 800+180

P = 980 → é o perímetro do terreno retangular.

Como a cerca deve ter 5 voltas de arame:

5 ⋅ 980 = 4900 metros

Então, serão usados 4900 metros desse arame.

5) Uma barra de ferro tem 3 polegadas de diâmetro. Quantos centímetros

tem o diâmetro dessa barra?

Solução:



34

1 polegada = 2,54cm

3 polegadas = 3 ⋅ 2,54 = 7,62cm

O diâmetro dessa barra tem 7,62cm.

6) Todos os anos, realiza-se nos Estados Unidos uma corrida

automobilística que é muito famosa: as 500 milhas de Indianápolis.

Quantos metros percorre um piloto que completa essa corrida?

Solução:

1 milha = 1609,344m

500 milhas = 500 ⋅ 1609,344 = 804672

Os pilotos que completam essa corrida percorrem 804672 metros.

Fonte: os exercícios do n 0 3 até o n 0 6 – foram extraídos do livro Matemática Vida - 5 a

série – Bongiovanni – Visoto = Laureano – Editora Ática – 2002.

Observações:

0

A ngström= unidade de medida usada na Física. Um 0

a ngström é igual a

1mm dividido por 10 000 000.



35

Ano luz = unidade de medida usada na Astronomia – representa a

distância percorrida pela luz em um ano. Então, um ano luz é igual a 9,5

trilhões de quilômetro, isto é, 9 500 000 000 000km.

7) A unha de Wladimir cresce 0,1mm por dia. Quantos ela crescerá em 1

semana?

Solução:

0,1 ⋅ 7 = 0,7mm

Crescerá 0,7mm em uma semana.

8) Um trem parte de uma estação às 7h 45min para uma viagem que

deve durar 8 horas e 30min. A que horas esse trem deverá chegar ao

seu destino?

Solução:

Esse trem deverá chegar às 16h e 15min.

9) Convidei 30 pessoas para um churrasco. Se, em médio, cada pessoa

come 300g de carne, quantos kg de carne devo comprar?

Solução:



36

0,3kg ⋅ 30 pessoas = 9kg

Devo comprar 9kg de carne.

10) Atribui-se a Heron de Alexandria, Matemático grego que viveu por

volta do ano 100, a primeira demonstração de uma fórmula que

fornece a área de A de um triângulo, em função das medidas a, b e c,

dos lados: Segundo árabes, Arquimedes (287a.C. – 212a.C.) já

conhecia essa fórmula:

Fórmula de Heron: ( ) ( ) ( )A p p a p b p c= ⋅ − ⋅ − ⋅ − , onde 2

a b cp

+ += .

a) Calcule a área de um triângulo de lados medindo 3cm, 5cm e 6cm.

b) O valor da área é um número racional ou irracional?

a) 3 5 6

2p

+ +=

7p =

( ) ( ) ( )7 7 3 7 5 7 6A = ⋅ − ⋅ − ⋅ −

7 4 2 1A = ⋅ ⋅ ⋅

56A = cm 2 = 2 14 cm 2 é a área do triângulo.

b) É um número irracional.



37

11) Um arquivo vai ser instalado no interior de um balcão triangular da

recepção de um hotel. O arquivo deverá ficar à mesma distância de

três atendentes, que se posicionam em cada um dos vértices do

balcão. Em que local o arquivo deverá ser colocado?

O arquivo deverá ser colocado no circuncentro do triângulo.

12) Para construir uma alegoria de carnaval, em madeira e de forma

triangular, um carnavalesco deve colocar o mastro no ponto de

equilíbrio do triângulo. Qual é esse ponto.

Esse ponto é chamado de baricentro do triângulo.

13) Um terreno quadrangular, com A m 2 de área é dividido em K lotes

quadrangulares de mesma área. Paulo compra 10 lotes. Dê a

expressão algébrica que representa:

a) a área de cada lote

b) a área total adquirida por Paulo

c) a área de três lotes desse terreno

d) metade da área total adquirida por Paulo



38

Solução:

a) A

K

m 2

b) 10A

K ⋅

m 2

c) 3A

K ⋅

m 2

d) 5A

K ⋅

m 2

Fonte: os problemas do n 0 7 ao n 0 13 foram extraídos do livro: Matemática Vida –

Bongiovanni – Vissoto – Laureano - 7 a série – Editora Ática – 2002.

Na mesma imagem existe uma bruxa e uma bela mulher. Verifique...

Fonte: http://www.ilusao.net/IlusaoDeOpticaBruxa.html



39

14) Um retângulo tem 50cm de perímetro. Se o seu comprimento mede

150mm, quanto mede sua largura?

a) 235mm b) 485mm c) 10cm d) 35cm

Solução:

P =2b+2h

50 = 2 ⋅ 15+2h

-2h = 30-50

-2h = -20

h = 10cm

15) A base de um paralelogramo mede 60hm e a altura 7hm. Qual é, em

hectares, a sua área?

Solução:

S = b ⋅ h

S = 60 ⋅ 7

S = 420hm 2 → 420 hectares, pois 1hm 2 = 1 hectare.

16) (Solução – 2007) Calcule as dimensões de um retângulo, sabendo-se

que a medida da base é o dobro da altura e a sua área é de 216cm .

Solução:

A = b ⋅ h



40

16 = 2h ⋅ h

16 = 2h 2

2h 2 = 16

h 2 = 8

h = 2 2 cm

b = 2h

b = 2 ⋅ 2 2

b = 4 2 cm

As dimensões do retângulo são: base 4 2 cm e altura 2 2 cm.

17) (Solução – 2007) Calcular área de um triângulo isósceles, cuja base

mede 10cm e o perímetro 36cm.

Solução:

P = x+x+10

36 = 2x+10

2x = 26

x = 13cm



41

Aplicando o Teorema de Pitágoras no ∆ADC

O quadrado da hipotenusa é igual a soma dos quadrados dos catetos.

x 2 = h 2 +5 2 2

b hA

⋅=

13 2 = h 2 +25 10 12

2A

⋅=

h 2 = 144 120

2A =

h = 12cm 60A = cm 2

A área do triângulo isósceles é de 60cm 2 .

18) Calcular a área de um círculo, que tem 18cm de diâmetro;

Solução:

d = 2 ⋅ r

18 = 2r

r = 9

A = π r 2

A = π ⋅ 9 2

A= 81π 2cm ou A 2254,34cm≃ é a área do círculo.



42

Agora que você está cansado de tanto conteúdo e

de tanto estudar, presta atenção nesta figura????

Fonte: www.solbrilhando.com.br (ilusão ótica)

matemática para concursos ii. - somática · pdf filea idéia de...

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