matemÁtica - energia.com.br · pb 1 ec 2017/1 matemÁtica x comentário r 1 r 2 r 3 ˜ ˜ ˜ ˜ se...
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PB 1
UDESC2017/1
MATEMÁTICA
X
Comentário
r1
r2
r3
� �
� �
Se a reflexão ocorre em faces paralelas, perceba que r1
é paralelo a r3
�� devido à
propriedade geométrica dos ângulos alternos internos serem iguais.
E se a reflexão ocorre em faces adjacentes, perceba que r1
também será paralelo a r3
��. Logo, r1
e r3
�� serão sempre paralelos, independentemente do ângulo inicial do
feixe de laser.
2 3
UDESC2017/1
X
Comentário
sec
sec
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1 1x
tg x
x
cotg x
tg x
x
cosec cosec x + 1
c
2
oosec x
sec
cosec x
cosec x cosec xcos x
cos
2
2
2 2
2
2
tg x
x
sen x2
2
2
11
xx
.
1
1
1 2
2
2 2
2
sen x
sen x sen x
sen x
2 3
UDESC2017/1
X
Comentário
2
0 2 4 6 8 10
1
4
9
16
25
8
18
32
50
A
B
C
D
E
g(x)
g(x) = x
+ x + 1
g(0) = 0
+ 0 + 1 = 1 ponto A
g(2) = 2
2
2
2
4
4→
44
4
+ 2 + 1 = 4 ponto B
g(4) = 4
+ 4 + 1 = 9 ponto C
g(6)
2
→
→
= 6
+ 6 + 1 = 16 ponto D
g(8) = 8
+ 8 + 1 = 25
2
2
4
4
→
Soma das áreas dos triângulos:S = 2 + 8 + 18 + 32 + 50 = 110 u.a.
4 5
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X
Comentário
a = a . q
= . q
. = q
q =
q =
5 32
2
2
2
29
1027
29
271035
35
±
a = a . q
= .
=
n 5n 5
n 5
225
29
35
925
35
2 2
2
2
925
35
35
35
n 5
n 5
=
=
nn 52
n 5
22
5 4
9
n
n
Considerando mais os termos d e e, temos 11 termos.
4 5
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X
Comentário
2 2 3 27
3 4 4 44
4 5 6 59
x y z
x y z
x y z
(L )
(L )
(L
1
2
33
1 2
)
( 3 . L + 2 . L )
( 4 .
2 1 7
1 2 1
y z
y z LL + 3 . L )2 3
z = 3 e y = 5
Subst. em (L1) → 2x + 10 + 9 = 27 → x = 4
Logo, z < x < y.
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X
Comentário
( F ) v
v
13
23 3
4343
343
. R
. R) . 27R 27 . v1
(
( V ) D2 = a2 + b2 + c2 = 42 + 22 + 22 = 24 Como o paralelepípedo possui 4 diagonais de mesma medida, o produto delas será: D . D . D . D = D2 . D2 = 24 . 24 = 576.
( V ) v = . R . H = . (2r) . H = 4 . . r . H
v
cilindro2 2 2
con
ee2
cilindro
cone
2
2
= . . H
v
v4 . . r . H
. . H
13
13
1
r
r 22
6 7
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X
Comentário
(1) y x
x y
y
y
y
y
x
x
x
x
log
log
( ) ( )
24
24
4
4 4 4
4
4
4
4
4 2
4 2
4 2
2 4
Função inversa de (1)
(2) yx
xy
x y
2 .
2 .
log
log
log
2
2
2
44
44
24
4
y
y
y
y
y
y
x
x
x
x
x
44
2
4 2
2 2 4
2 4
2 4
2
2
2
2 2
22
42
12
4 .
.
( ))
( )
x
xy
4
4
4
2 4
Função inversa de (2)
(3) y x
x y
y
y
y
y
x
x
x
x
log ( )
log ( )
( )
4
4
2
2
2
2 8
2 8
2 8 4
2 2 8
2 2 8
22
882
2 42 1y x
Função inversa de (3)
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X
Comentário
Temos três tamanhos de mesas: P, M e G, em que cabem 1, 2 e 3 vasos, respectivamente. Como os vasos azul e verde devem estar lado a lado na mesma mesa, temos:
i) os dois vasos na mesa M, ouii) os dois vasos na mesa G.
Calculando o total de possibilidades de i:
2 1.
Mvaso azul
e verde
4
P
3 2 1 = 48
G
. . 3!.
Troca a posição
das mesas
= 288
Calculando o total de possibilidades de ii:
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Comentário
Temos o quadrado ABCD inscrito na circunferência x2 + y2 – 6x – 10y + 25 = 0, de centro C1 (3; 5) e raio r1 = 3.Temos também o quadrado EFGH circunscrito à circunferência x2 + y2 – 4x – 10y + 4 = 0, de centro C2 (2; 5) e raio r2 = 5.
–3 –2 –1 1 2 3 4 5 6 7
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
y
x
A
D
C
B
H
E
G
F
C (2,5)2 raio r = 5
2
I. Verdadeira.
O lado do quadrado ABCD mede 3 2 u.c., pois d d dAB AB AB ( ) ( )5 2 3 0 3 3 3 22 2 2 2 u.c.
Portanto, a área do ABCD mede 18 u.a.
O lado do quadrado EFGH mede 10 u.c., pois d d dEF EF EF ( ) ( ) ( )3 7 0 0 10 0 102 2 2 2 u.c.
Portanto, a área do EFGH mede 100 u.a.
Daí segue que a diferença entre as áreas é de 100 – 18 = 82 u.a.
II. Verdadeira. Calculando a área do triângulo EAB:
D
3 0 3 3
0 5 2 0D = –15 + 0 + 0 – 0 – 15 + 6
D = –24
Área = |D|2
Área =| 24|
2 u.a.
242
12
III. Falsa. O perímetro do quadrado ABCD mede 12 2 e o do quadrado EFGH mede 40. Portanto, a soma dos perímetros vale (40 + 12 3 ) u.c. = 4 . (10 + 3 3 ) u.u.
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X
Comentário
Temos que A . B =
2 10
2 2. Então, devemos resolver o sistema de equações matriciais:
x y
x y
x
1 5
1 1
21 3
2 2
1 13
4 4
y
0 8
3 3
det (y) = 0 – 24 = –24
Portanto, det (x) + det (y) = –72.
det (x) = 4 – 52 = –48
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X
Comentário
Temos três padrões de vídeos:
Cinema: 24 quadros/s. 1
242
243
24; ; ; ...
TV NTSC: 30 quadros/s. 1
302
303
30; ; ; ...
TV PAL: 25 quadros/s. 1
252
253
25; ; ; ...
I. Verdadeiro. 16
de segundo é múltiplo de 124
e de 1
30.
II. Falso. As três câmeras geram o 2o quadro idêntico após 1 segundo.
III. Verdadeiro. Como não existe uma fração de 1 segundo que seja múltipla de 1
24e
125
, o 2o quadro idêntico será após
1 segundo.
IV. Verdadeiro. A cada 1 segundo, as câmeras NTSC e PAL geram 5 quadros idênticos. Portanto, em 1 hora = 3600 s, elas irão gerar 18 000 quadros idênticos + 1 (momento inicial) = 18 001
V. Falso. As três câmeras geram o 2o quadro idêntico após 1 segundo.
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X
Comentário
f(x) = |x2 – 1|
–2 –1 1 2 3
1
1
2
2
3
� Im = [0;+ [�0
� Im = [0;3]
–2–2 –1 10 2
� Im = ]0;+ [�–2–2 –1 10 2
� Im = [0;3]
–2–2 –1 10 2
�
�
Im
Im
= [0;1[
= [0;+ [�
–2
–2
–2
–2
–1
–1
1
1
0
0
2
2
A
B
A–B
B–A
A B�
B A�
Por inspeção, temos: f(A ∪ B) ⇒ Im = [0; +∞[ e f(A) ∪ f(B) ⇒ Im = [0; +∞[ ∪ Im = [0; 3] ⇒ Im = [0; +∞[
Portanto, f(A ∪ B) = f(A) ∪ f(B).
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X
Comentário
Os múltiplos de 9 com quatro algarismos são: (1008; 1017; 1026; ...; 9999), que é uma P.A. de 1000 termos, pois:
an = a1 + (n – 1) . r9999 = 1008 + (n – 1) . 98991 = (n – 1) . 9999 = n – 1n = 1000
A soma dessa P.A. é calculada por:
sa a
s
s
s
nn
( )
( )
1
1000
1000
21008 9999
211007
. n
. 1000
. 500
11000 55 003 500
que é divisível por 6, pois é divisível por 2 (par) e por 3 (soma dos algarismos é múltiplo de 3) e, assim, deixa resto zero na divisão.