1

APOSTILA 7 (2006)

Determinantes II Atividades (página 2) a) 2 2 3

1 4 0 16 9 12 4 11 3 2

−= − + + − =

− −

0 5 3

b) 1 4 5 9 50 24 10 272 3 2− = − + − + =

1 3

2 1 3 51 4 5 3

c) 0 (L L )2 1 3 55 3 2 7

−= =

−

.3 1

1 2 10d) 4 3 40 0 (C 10 C )

8 5 80− = =

− −

Testes (página 1)

1. Resposta: b

6 7 12 3 11 1 1 05 7 32 3 1

4

1 1

5

1

5 1 9+−− = =−

−

+− − −

−

+

2. Resposta: e

14 32 421 2 0

28 a 84−

Observe que o determinante será nulo se a = 64 (L3 = 2 . L1).

2

3. Resposta: a

1 2 3a 2a 3a

b 1 b 2 b 3+ + +

O determinante será nulo para quaisquer valores de a e b, pois L2 = a. L1 (as linhas são proporcionais).

4. Resposta: c

x 1 34 x 5 0

6 3 7x 1 34 x 5

−− =

−

−−

7x2 + 36 – 30 – 18x + 15x – 28 = 0 (regra de Sarrus) 7x2 – 3x – 22 = 0

x = 3 9 616 3 2514 14

± + ±=

x1 = 2 x2 =117−

5. Resposta: d

a b0 ad bc 0 ad bc

c d= ⇒ − = ∴ =

Regra de Sarrus:

a b 00 d 1 2bc bc 3bc.c 0 2a b 00 d 1

2ad bc= = + =+

3

6. Resposta: a

⇒ k2 + 0 + 0 – 0 – 1 + 2k =0 (regra de Sarrus) k2 + 2k -1 =0

k = 2 2 22

− ± ∴ k1 = -1 + 2 (positiva) e k2 = -1 - 2 (negativa).

7. Resposta: d

(2 x) 1 20 (3 x) 5 (2 x).(3 x).(1 x) 00 0 (1 x)

−− = − − − =

− (matriz triangular)

Quando um produto é nulo, um dos fatores é nulo, logo: 2 – x = 0 ou 3 – x = 0 ou 1 – x = 0 x = 2 x = 3 x = 1

8. Resposta: 0

1 x 11 0 0 1 0 1 0 0 0 x 12 1 1

= ⇒ + + − − − = (regra de Sarrus)

9. Resposta: 24

x(2) x(3) x( 1)

a x 1 2a 3x 14 2c 3z 3 ( 4).(2).(3).( 1)

b y 224

2b 3y 2c z 3

−

−= − ⇒ − = − − =

−

10. Resposta: a

aij = 2log x,se i j0,se i j

=⎧⎨ ≠⎩

⇒ 2

2

2

log x 0 00 log x 0 270 0 log x

= − ∴ (log2 x)3 = -27 (matriz triangular)

log2 x = 3 27−

log2 x = - 3 ⇒ x = 2-3 ∴ x = 18

.

1 2 01 k 1 0

0 1 k− =

c

a

z

x 1b y 2

34= ⇒

1 x 1x 0− ==

4

Determinantes III Atividade (página 3) Aplicando o teorema de LAPLACE na 1º coluna, vem:

det (A) = 1. (-1)2+1. 3 1

a 1 0 a 1 0c 0 3 2.( 1) . b 1 2d 1 0 d 1 0

++ − −

det (A) = 1 . (-1) . (3d – 3a) + 2 . 1 . (2d – 2a) = – 3d + 3a + 4d – 4a det (A) = d – a Testes (página 2)

1. Resposta: a

aij =

0 1 1 11,se i j 1 0 1 1

A0,se i j 1 1 0 1

1 1 1 0

⎛ ⎞⎜ ⎟≠⎧ ⎜ ⎟⇒ =⎨ ⎜ ⎟=⎩⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

01) Correto. a23 = a32 = 1 (i≠ j) 02) Correto. (i = j) 04) Incorreto. (det A = –3) Confira:

det A = 1 . (- 1)1+2. 1 3

1 1 1 1 0 11 0 1 1.( 1) . 1 1 11 1 0 1 1 0

++ − + (-1)1+4.1 0 11 1 0 31 1 1

= −

08) Correto.

Confira:

cof (a11) = (-1)2 . 0 1 11 0 11 1 0

cof (a44) = (-1)8 . 0 1 11 0 11 1 0

16) Incorreto. Será igual a nove vezes o determinante de A.

5

2. Resposta: d Aplicando o teorema de Laplace na 2ª coluna, fica:

4

5 0 5 105 5 10

2 1 4 61.( 1) . 10 5 4 60

10 0 5 46 4 8

6 0 4 8

−−

= − − =−−

3. Resposta: b

Aplicando o teorema de Laplace na 4ª coluna, fica:

6

2 0 1 02 0 1

1 1 0 11.( 1) . 0 1 2

0 1 2 00 3 1

0 3 1 0

−−

−= − − = -10

4. Resposta: a

A=1 2 31 2 33 2 1

−− − −−

det (A) = 1 2 31 2 3 2 6 18 18 6 2 483 2 1

−− − − = − + + + + + =−

I. Correto. (det A = 48)

II. Correto. M32 =1 3

3 3 61 3

−= − − = −

− −

III. Correto. cof (a32) = (-1)5. (-6) = 6

IV. Correto. cof (a22) = (-1)4 . 1 3

1 9 83 1

−= − =

−

6

5. Resposta: a

1 1 0 2x 1 x 2 1 3

1 3 x 2 10 1 1 1

−⎡ ⎤⎢ ⎥+ −⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥−⎣ ⎦

cof (a33) = (-1)6 1 1 2

(x 1) (x 2) 30 1 1

−+ − =

− x – 2 + 2x + 2 + 3 + x + 1

cof (a33) = 4x + 4 Como cof (a33) = 0 ⇒ 4x + 4 = 0 4x = – 4 ∴ x = –1

6. Resposta: a

x 0 0 31 x 0 0

0 1 x 10 0 1 2

−−

− −

= x. (–1)2 5

x 0 0 1 x 01 x 1 3.( 1) . 0 1 x

0 1 2 0 0 1

−− + − −

− − − =

= x . (–2x2 + x) – 3 . (–1) = –2x3 + x2 + 3.

7. Resposta: b

a 0 0 b0 a b 00 b a 0b 0 0 a

= b . (–1)5 . 8

0 a b a 0 00 b a a .( 1) . 0 a bb 0 0 0 b a

+ − =

= (– b) .(a2b – b3) + a . (a3 – ab2) = a4 – 2a2b2 + b4 =

= (a2 – b2)2

8. Resposta: 64

Teorema de Jacobi 1 1 1 1 x( 1) 1 1 1 11 7 1 1 0 6 0 0

1.6.3.3 541 1 4 1 0 0 3 01 1 1 4 0 0 0 3

+

+

+

−←⎯⎯

= = =←⎯⎯←⎯⎯

(matriz triangular)

7

9. Resposta: b O determinante se anula se:

x 3 2 7

x x 2 7 0x x x 7x x x x

=

Portanto, as raízes não nulas da equação são 3 , 2 e 7 . Como ( 7 )2 = 22 + 3 2 (teorema de Pitágoras), o triângulo é retângulo e b = 3 , c = 2 e a = 7 (conforme a figura).

Assim, a área do triângulo é:

S= bc2

∴S = 3

Determinantes IV Atividades (página 4)

1. det (A) = 2.(–3).(–1).2.5 = 60 (Matriz triangular)

2. Matriz de Vandermonde, onde a fila base é a 2ª linha. Logo:

det(A) = (-2-2).(-2-1).(-2-3).(2-1).(2-3).(1-3) det(A) = (-4).(-3).(-5).(1).(-1).(-2) = -120

3. Matriz de Vandermonde, onde a fila base é a 2ª coluna. Logo:

det (M) = (c – b) (c – a) (b – a)

Testes (página 3)

1. Resposta: c

5 0 0 03 2 0 0

5.2.( 2).( 3) 602 4 2 0

1 3 5 3

= − − =− −

−

(matriz triangular)

x = 3 (C1 = C2) ou x = 2 (C1 = C3 ) ou x = 7 (C1

= C4) ou x = 0 (C1 = 0).

8

2. Resposta: c

det (M) = ( 3 k) 0

04 (5 k)

− −=

− ⇒ (–3 –k) . (5 –k) = 0

k2 –2k –15 = 0 ∴k = –3 e k = 5.

3. Resposta: a

0 7

2

5 9 1 1 3 1log 4 6 csc30 2 6 2 0

x y z x y z° ⇒ = (L2 = 2.L1)

4. Resposta: e

det (M) = 2 k 1

02 5 k+

=+

⇒ (2 + k) . (5 + k) – 2 = 0

K2 +7k + 8 = 0

7 49 32k2

− ± −= ∴ 1

7 17k2

− += e 2

7 17k2

− −= (irracionais e negativas).

Observação: 17 ≅ 4,1

5. Resposta: 1 Teorema de Jacobi

det (A) =

1 1 1 1 x( 2) 1 1 1 11 2 2 2 1 0 0 01 2 3 3 1 2 3 31 2 3 4 1 2 3 4

−↵ −

=

Aplicando o teorema de Laplace na 2ª linha, vem:

det (A) = 3

1 1 1( 1).( 1) . 2 3 3

2 3 4− −

det (A) = 1

9

6. Resposta: c

Para x = a, as colunas 1 e 2 ficam iguais e o determinante se anula.

7. Resposta: c

a a a x( 1) a a a x( 1) a a aa b b 0 (b a) (b a) 0 (b a) (b a)a b c 0 (b a) (c a) 0 0 (c b)

+

+

− −←⎯⎯ = − − ↵ = − −←⎯⎯ − − −

=

= a . (b – a) . (c – b) = a . (a – b) . (c – b).

8. Resposta: e

Teorema de Jacobi

x x

x x

x x

1 1 1 1 x( 1) 1 1 1 11 2 2 1 1 0 1 2 0 0

01 1 3 2 1 0 0 2 2 01 1 1 1 2 0 0 0 2

+

+

+

−+ ←⎯⎯ +

⇒ =− ←⎯⎯ −

− ←⎯⎯ −

(matriz triangular)

Portanto: 1.(1+2x).(2-2x).(-2x)=0 Logo: 2 – 2x = 0

2x = 21 ⇒ x = 1

9. Resposta: 5

det (A) = 0, pois a 1ª linha e a 3ª linha da matriz A são proporcionais. Como det A = det B, fica det B = 0. Logo: 1 x 30 0 1 0 x 5 0 x 51 5 2

= ⇒ − = ∴ =

2 2 2 2

3 3 3 3

1 1 1 1x a b cx a b cx a b c

10

10. Resposta: 54

÷ (3) ÷ (3) ÷ (3)

2 2 2

3 3 3det (M) 3log 3 3log 30 3log 300

3(log 3) 3(log 30) 3(log 300)=

2 2 2

1 1 1det (M) log 3 log 30 log 300

27(log 3) (log 30) (log 300)

= (matriz de Vandermonde)

det (M)

27 = (log 30 – log 3). (log 300 – log 3). (log 300 – log 30)

det (M)

27 = 30 300 300log . log . log

3 3 30⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

det (M)

27 = log10 . log100. log10

det (M)

27 = 1.2.1 ⇒ det (M) = 54.

MATRIZES I Atividades (página 5)

1. Igualando os termos correspondentes:

a11 = b11 ⇒ x2 – 5 = 80 ⇒ x2 = 81 ⇒ x =± 9 a21 = b21 ⇒ x (x – 10) = –9 ⇒ x2 – 10 + 9 ⇒ x = 1 ou x = 9 Como ambas as igualdades devem ser verificadas, x = 9 é o único valor possível para x.

2. simétrica (A=At) ⇒ 2 3 4 2 x zx 3 y 3 3 2z 2 1 4 y 1

−⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟= − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Igualando os termos correspondentes: x = –3; y = –2; z = 4

11

3. anti-simétrica A=(-At)⇒ 0 0 44

α −⎛ ⎞ ⎛ ⎞=⎜ ⎟ ⎜ ⎟β −α −β⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Igualando os termos correspondentes: α = – 4 β = – β ⇒ β = 0

Testes (página 4)

1. Resposta: a

B = bij(2x2) ⇒ B = 11 12

21 22

b bb b⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

, onde:

Assim:

B = 1 43 1

−⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

e det (B) = 13 ⇒ det (Bt) = 13

2. Resposta: d

A = x y z2 0 31 3 0

⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦

At = – A ⇒ x 2 1 x y zy 0 3 2 0 3z 3 0 1 3 0

− − − −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎣ ⎦ ⎣ ⎦

, logo: z = 1, y = – 2, x = – x ∴ x = 0.

3. Resposta: c

a x 1 0 1y b 3 2 a b

−⎡ ⎤ ⎡ ⎤=⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ +⎣ ⎦ ⎣ ⎦

a = 0 x – 1 = 1 a + b = 3 y + b = 2 x = 2 0 + b = 3 y + 3 = 2 b = 3 y = – 1

a b 1 0 3 1A x y 1 A 2 1 1

x a y b 1 2 2 1

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= ⇒ = −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥− +⎣ ⎦ ⎣ ⎦

e det(A) = 6 (regra de Sarrus).

b11 = 1 b22 = 1 b21 = 3.1 = 3 b12 = –2.1.2 = – 4

12

4. Resposta: d

2

2

2 1 3 (x 2) 1 31 (x 5x) 5 1 6 5

⎡ ⎤−⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎢ ⎥− − − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Portanto: x2 – 2 = 2 x2 – 5x = – 6

x2 = 4 x2 – 5x + 6 = 0

x = ± 2 x = 2 ou x = 3

Assim, para que A = B, o único valor de x deve ser 2. Logo: 7x + 15 = 29.

5. Resposta: e

x 1 x y 3 3 0z x y 2 5− − + +⎡ ⎤ ⎡ ⎤

=⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ −⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Portanto: x – 1 = 3 x + y = 5 z = – 2

x = 4 4 + y = 5

y = 1

Logo, x + y + z = 3.

6. Resposta: a

Seja A = ta b a cA

c d b d⎛ ⎞ ⎛ ⎞

⇒ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Se A = At ⇒ b = c, portanto A = a bb d⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

. Assim, é necessário que pelo menos dois

elementos sejam iguais.

13

7. Resposta: b

t

(4 a) x y ( 4 a) a bM a (b 2) z ( M ) x ( b 2) c

b c (2c 8) y z ( 2c 8)

+ − − − −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= + ⇒ − − − − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − − − +⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Como M = – Mt , vem: 4 + a = – 4 – a b + 2 = – b – 2 2c– 8 = –2c + 8 a = – 4 b = – 2 c = 4 Portanto: x = – a ⇒ x = 4 y = – b ⇒ y = 2 z = – c ⇒ z = – 4

8. Resposta: a

B = a 5 1b 3 2c 2 3

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

⇒ Bt = a b c5 3 21 2 3 x(2)

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

⇒ a b c5 3 22 4 6

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

= A

Portanto:

det (A) = 2 det (Bt) ∴ det (A) = 2 . det (B) 9. Resposta: 13

Simétrica ⇒ M = Mt Assim:

1 x 2 1 7 y7 2 4 x 2 zy z 5 2 4 5

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

∴x = 7, y = 2 e z = 4 ⇒ x + y + z = 13.

10. Resposta: b

2 4 zx 0A B

y x2 y z⎡ ⎤ ⎡ ⎤

= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥−+ ⎣ ⎦⎣ ⎦

14

2t 4 yx 0

A Bz x2 y z

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⇒ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥−+ ⎣ ⎦⎣ ⎦

Portanto: x2 = 4 y = 0 z = 2 y + z = – x x = ± 2 0 + 2 = – x x = – 2 Assim:

x y 1 2 0 1 2 0 1z 1 1 2 1 1 e 2 1 1 04 5 2 4 5 2 4 5 2

− − − − −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

(regra de Sarrus).

MATRIZES II Atividades (página 6)

1. a) At + 2B = 2 1 2 8 0 91 0 0 6 1 63 5 4 10 1 15

−⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

b) 2A – Bt = 4 2 6 1 0 2 5 2 82 0 10 4 3 5 2 3 5

− − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2. det (2M) = 23. det (M) ⇒ det (2M) = 40

Testes (página 5)

1. Resposta: d

A = 1 2 30 1 21 1 1

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎣ ⎦

2A + 3At = 2 4 6 3 0 3 5 4 30 2 4 6 3 3 6 5 72 2 2 9 6 3 7 8 5

−⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

15

2. Resposta: a

a b 1 0 2 4 1 02.

c d 1 0 6 2 0 1⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

+ − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2a 2b 1 0 1 42c 2d 0 1 7 2

− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2a 2b 2 42c 2d 7 1⎛ ⎞ ⎛ ⎞

=⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Logo: a = 1; b = 2, c = 7/2 e d = –1/2

∴ X = 1 27 12 2

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟−⎜ ⎟⎝ ⎠

3. Resposta: b

A = (aij)3x3 aij = 0, se i j1, se i j1, se i j

=⎧⎪ >⎨⎪− <⎩

A = 0 1 11 0 11 1 0

− −⎛ ⎞⎜ ⎟− ⇒⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

At = 0 1 11 0 11 1 0

⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟− −⎝ ⎠

0 1 1 0 1 1 0 2 21 0 1 1 0 1 2 0 21 1 0 1 1 0 2 2 0

− − − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

4. Resposta: b

det A = 4 e n = 3

det (αA) = αn . det A ⇒ det (2A) = 23. 4 = 32

5. Resposta: e

det A = x e n = 3

det (αA) = αn . det A ⇒ det (2A) = 23. x

det (2A) = 8x

6. Resposta: e

16

7. Resposta: e

A = 1 1 11 2 21 4 4

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

B = 0 0 01 2 31 2 3

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟− − −⎝ ⎠

C = (–1). A

a) Verdadeira. Propriedade comutativa. b) Verdadeira. A = – C ∴ A + C = 0 c) Verdadeira. d) Verdadeira. A + 2 (–A) = A – 2A = -A

e) Falsa. 1 1 1 0 0 0 1 1 11 2 2 1 2 3 0 1 11 4 4 1 2 3 2 6 7

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

8. Resposta: e

det (M) = 2

det (2M) = 23 . det M = 8 . 2 = 16

det (3M) = 33 . det M = 27 . 2 = 54

2 + 16 + 54 = 72

9. Resposta: d

A = a bc d⎛ ⎞

⇒⎜ ⎟⎝ ⎠

A = 2 3

a aqaq aq⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

det (A) = a2q3 – a2q3 ∴det (A) = 0

Como det (3A) = 32. det A ⇒ det (3A) = 9 . 0 ∴ det (3A) = 0.

10. Resposta: 4 Sabe-se que :

det A = 1,5 e det (Bt) = det (B) = 96.

Se B = K.A ⇒ det B = k3 . det A ∴ 96 = k3 . 1,5

k3 = 64

k = 4

17

MATRIZES III Atividades (página 8) A3x3 . B 3x2 ⇒ existe (número de colunas de A igual ao número de linhas de B) Efetuando o produto A . B:

AB = 2 3 2 2 1 4 9 2 2 0 6 7 41 3 5 . 3 0 2 9 5 1 0 15 2 163 1 0 1 3 6 3 0 3 0 0 9 3

− − − + + + − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟= − + − + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − − − + + + −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

B 3x2 . A3x3 ⇒ não existe (número de colunas de A diferente do número de linhas de B) Testes (página 6)

1. Resposta: b A(3x2) . B(2x1) = C(3x1) A(5x4) . B(5x2) = ∃ A(2x3) . B(3x2) = C(2x2)

2. Resposta: e

A = a bb a⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

B = c dd c⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

AB = a b c d ac bd ad bc

.b a d c bc ad bd ac

+ +⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞=⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ +⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

BA = c d a b ca db cb ad

.d c b a bc ad bd ac

+ +⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞=⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ +⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

3. Resposta: b

A = 0 12 3⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

B = 4 56 7⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

AB = 0 1 4 5 0 6 0 7 6 72 3 6 7 8 18 10 21 26 31

+ +⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ +⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

4. Resposta: a

A = 1 2 30 1 21 1 1

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎣ ⎦

18

A2 + A . At = 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 0 10 1 2 . 0 1 2 0 1 2 . 2 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 3 2 1

−⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥+⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − − − − − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

A2 + A . At = 1 0 3 2 2 3 3 4 30 0 2 0 1 2 0 2 21 0 1 2 1 1 3 2 1

+ − + + + −⎡ ⎤⎢ ⎥+ − + + + −⎢ ⎥⎢ ⎥− + + − + − − + +⎣ ⎦

1 4 9 0 2 6 1 2 30 2 6 0 1 4 0 1 21 2 3 0 1 2 1 1 1

+ + + + − + −⎡ ⎤⎢ ⎥+ + + + + + −⎢ ⎥⎢ ⎥− + − + − + +⎣ ⎦

A2 + A . At 2 7 4 14 8 2 12 15 22 3 0 8 5 1 6 8 1

0 2 0 2 1 3 2 3 3

− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= − + − = −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − − − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

.

5. Resposta: c

Se M1 = 1 01 0⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

e M2 = p q1 1⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

, então a equação M2 . M1 – M1 . M2 = 2 23 2

−⎛ ⎞⎜ ⎟− −⎝ ⎠

, fica:

p q 1 0 1 0 p q

. .1 1 1 0 1 0 1 1⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

− =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 23 2

−⎛ ⎞⎜ ⎟− −⎝ ⎠

p q 0 p q 2 2

2 0 p q 3 2+ −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

− =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

q q 2 2

2 p q 3 2− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞

=⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Assim, q = 2 e 2 – p = –3 ∴p = 5.

6. Resposta: c A = (aij)(3x2) B = (bjy)(2x3)

aij = 2i – 3j bjy = y – j

a11 = 2.1 – 3.1 = – 1 b11 = 1 – 1 = 0

a12 = 2.1 – 3.2 = – 4 b12 = 2 – 1 = 1

a21 = 2.2 – 3.1 = 1 b13 = 3 – 1 = 2

a22 = 2.2 – 3.2 = – 2 b21 = 1 – 2 = –1

a31 = 2.3 – 3.1 = 3 b22 = 2 – 2 = 0

a32 = 2.3 – 3.2 = 0 b23 = 3 – 2 = 1

19

A.B = 1 4 0 4 1 0 2 4

0 1 21 2 . 0 2 1 0 2 2

1 0 13 0 0 0 3 0 6 0

− − + − + − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟− = + + −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ + +⎝ ⎠ ⎝ ⎠

A.B = 4 1 62 1 00 3 6

− −⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

⇒ det (A.B) = 0 (regra de Sarrus)

7. Resposta: b

M = a 0b a⎡ ⎤⎢ ⎥−⎣ ⎦

M2 = 8 00 8⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

M2 = M . M ⇒ 8 0 a 0 a 0

.0 8 b a b a⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤

=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

2

2

8 0 a 00 8 ab ab 0 a

⎡ ⎤⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎢ ⎥ − +⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Assim, a2 = 8 ∴ a = ± 2 2 . Logo, a pode valer 2 2 .

8. Resposta: a

P.C =

( ) ( ) ( )3x3 3x1 3x1

2 1 1 1 71 2 1 . 3 92 2 0 2 8

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟=⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Verifique:

O produto (L1 x C1) indica que o prato P1 com duas porções de arroz ao preço de 1 real cada, uma porção de carne ao preço de 3 reais e uma porção de salada ao preço de 2 reais, custa 7 reais.

O produto (L2 x C1) indica que o prato P2 com uma porção de arroz ao preço de 1 real, duas porções de carne a 3 reais cada e uma porção de salada ao preço de 2 reais, custa 9 reais.

Finalmente, o produto (L3 x C1) indica que o prato P3, com duas porções de arroz ao preço de 1 real cada, duas porções de carne a 3 reais cada e sem porção de salada, custa 8 reais.

20

9. Resposta: b

Veja a tabela:

e

x5 8 10

. y9 6 4

z

⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦

10. Resposta: 283

A =

( )

21 13 3

3 2x3

log x log x 110 log x

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

B =

( )

213

13 3x 2

log x01 0

3log x 4

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟− −⎜ ⎟⎝ ⎠

Escrevendo – log3x na base 13

, fica:

13

313

log xlog x

log 3− = − ⇒

13

3

log xlog x

( 1)− = −

− ⇒ 3 1

3

log x log x− = .

Para 3log x y= , vem:

A.B = 0 2y

y 2y 1. 1 0

0 y 13y 4

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠

⇒ A.B = 2y 2y 4

2y 4⎛ ⎞− −⎜ ⎟− −⎝ ⎠

Como A.B = (A.B)t ⇒ 2

2

y 2yy 2y 42y 4 42y 4− −⎛ ⎞− − ⎛ ⎞

=⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −− − ⎝ ⎠⎝ ⎠

Portanto, 2y2 – 4 = –2y ∴ y2 + y – 2 = 0 ⇒ y1 = 1 e y2 = –2. Para:

y = 1 ⇒ 13

log x 1= ∴ x = 13

y = –2 ⇒ 13

log x 2= − ∴x = 9

Resposta: 13

+ 9 = 283

.

A B C Mariax 5 8 10 Luciax 9 6 4

Preços A x B y C z

21

MATRIZES IV Atividades (página 10) 1.

Sendo A=2 3

1 4−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠

, então det (A) = 5 (Existe A-1).

Matriz dos co-fatores (A’) : cof(a11) = (–1)1+1. |–4| = 1.(–4) = –4

cof(a12) = (–1)1+2. |1| = (–1). 1 = –1

cof(a21) = (–1)2+1. |3| = (–1). 3 = –3

cof(a22) = (–1)2+2. |–2| = 1.(–2) = –2

A’=4 13 2

− −⎛ ⎞⎜ ⎟− −⎝ ⎠

Matriz adjunta ( A ):

A = (A’)t = 4 31 2

− −⎛ ⎞⎜ ⎟− −⎝ ⎠

Matriz inversa (A-1):

A-1 = 1 Adet A

⇒ A-1 = 4 311 25

− −⎛ ⎞⎜ ⎟− −⎝ ⎠

∴ A-1 =

4 35 51 25 5

⎛ ⎞− −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟− −⎜ ⎟⎝ ⎠

2.

Sendo A=2 1 32 1 01 0 0

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

, então det (A) = 3 (Existe A-1).

Matriz dos co-fatores (A’): cof(a11) = 0

cof(a12) = 0

cof(a13) = 1

cof(a21) = 0

cof(a22) = 3

cof(a23) = –1

cof(a31) = –3

cof(a32) = 6

cof(a33) = 0

A’ = 0 0 10 3 13 6 0

⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

Matriz adjunta ( A ):

A = (A’)t = 0 0 30 3 61 1 0

−⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

22

Matriz inversa (A-1):

A-1 = 1 Adet A

⇒ A-1 = 1

0 0 3 0 0 11 0 3 6 A 0 1 23

1 1 0 1 1 03 3

−

⎛ ⎞⎜ ⎟− −⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ ∴ = ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ −⎜ ⎟⎝ ⎠

Testes (página 8)

1. Resposta: c

A = 1 0 11 2 0

1 4 35

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟− −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

, det A = 485

− (regra de Sarrus).

det (A-1) = 1det A

⇒ det (A-1) = 548

−

2. Resposta: a

M =

3x 0 11 0 x0 x 1

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

∴ det M = x5 – x

Para que a matriz não admita inversa, det M = 0 ⇒ x5 – x = 0

x (x4 – 1) = 0 x = 0 ou x4 – 1 = 0 ∴ x = ± 1 3. Resposta: e

A = 0 11 0⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

. B = 3 46 5⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

a) Correto. 0 1 3 4 3 51 0 6 5 7 5⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

+ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

b) Correto. 0 1 3 4 0 6 0 5 6 5

.1 0 6 5 3 0 4 0 3 4

+ +⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ +⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Logo, B = {3,4,5,6} e AB = {3,4,5,6}. c) Correto. det (A) = – 1 det (B) = 15 – 24 = –9 det (3A) = 32(–1)= –9

23

d) Correto. A . A = 0 1 0 1 1 01 0 1 0 0 1⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞

=⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Logo A . A = I2

e) Incorreto: 1 00 1⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

Não é matriz identidade.

4. Resposta: a

A = (aij)(2x2)

ij

ij

a 1 se i ja 1 se i j

= ≤ ⎫⇒⎬= − > ⎭

A = 1 11 1

⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠

∴det (A) = 2.

cof(a11) = (–1)2.1 = 1 cof(a12) = (–1)3.(–1) = 1

cof(a21) = (–1)3.1 = –1 cof(a22) = (–1)4.1 = 1

A’ = 1 11 1

⎛ ⎞⇒⎜ ⎟−⎝ ⎠

(A’)t = 1 11 1

−⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

A-1 = 1

1 11 11 2 2A1 1 1 12

2 2

−

⎛ ⎞−⎜ ⎟−⎛ ⎞⇒ = ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎜ ⎟⎝ ⎠

5. Resposta: e A = (aij)(4x4)

a) A =

0 1 1 11 0 1 11 1 0 11 1 1 0

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

a) Correto. a23 = 1 e a32 = 1 b) Correto.

c) Correto. BA = (1 –1 1 –1) .

0 1 1 11 0 1 11 1 0 11 1 1 0

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

BA = ( )1 1 1 1− − ⇒ BA = – B

d) Correto. e) Incorreto.

24

6. Resposta: c

A = a bc d⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

01) Incorreto.

A = 2 2log 6 log 31 1

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

det (A) = log26 – log23 = log263

= log 2 = 1

02) Correto.

A = 1 11 1⎛ ⎞

⇒⎜ ⎟⎝ ⎠

A2 = 1 1 1 1 2 2

.1 1 1 1 2 2⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

=⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2A = 2 22 2⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

∴ A2 = 2A

04) Incorreto. Há dois valores.

A = x x

2 22 2−

−⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

Para 2x = y:

A = 2 21 yy

−⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

⇒ det A = 2y + 2y

= 5 ∴ 2y2 – 5y + 2 = 0 ∴ y = 2 ou y = 12

Para y = 2 ⇒ x = 1 e para y = 12⇒ x = –1.

08) Correto. ad ≠bc ⇒ det (A)≠ 0 16) Correto.

A = 1 00 1⎛ ⎞

⇒⎜ ⎟⎝ ⎠

det (A) = 1 ⇒ log101 = 0

7. Resposta: d

2x33x 2

1 01 0 1 1 0 x 1

. 0 1 3. .0 1 2 0 1 y 2

1 2

⎡ ⎤⎛ ⎞−⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟− − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎜ ⎟⎢ ⎥−⎝ ⎠⎣ ⎦

2 2 3 0 x 1

.2 5 0 3 y 2

⎡ ⎤−⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− =⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

25

1 2 x 1.

2 2 y 2− −⎡ ⎤ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

=⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⇒

x 2y 12x 2y 2− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞

=⎜ ⎟ ⎜ ⎟− +⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Assim:

x 2y 12x 2y 2− − =⎧

⎨− + =⎩ ⇒ x = –1 e y = 0. Logo x + y = –1.

8. Resposta: d Sejam as matrizes

A = a b cd e fg h i

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

, At = a d gb e hc f i

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

e B = j k l

m n op q r

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

.

I. Verdadeira. Pois tr(At) = tr(A) = a + e + i. II. Falsa. A matriz A é inversível se det(A) ≠ 0 e não se tr(A) ≠ 0. III. Verdadeira. Pois:

tr (A+λB) = a + λj + e + λn + i + λr

tr (A+λB) = a + e + i + λ . (j+n+r)

Logo:

tr (A+λB) = tr(A) + λ . tr(B).

9. Resposta: c

Se A = (2 a) a

1 1+⎡ ⎤

⎢ ⎥⎣ ⎦

e B = 1 1a (2 a)⎡ ⎤⎢ ⎥+⎣ ⎦

⇒ AB = 2 2(2 a a ) (2 a 2a a )

1 a (1 2 a)⎡ ⎤+ + + + +⎢ ⎥+ + +⎣ ⎦

AB = 2 2(a a 2) (a 3a 2)a 1 a 3

⎡ ⎤+ + + +⎢ ⎥+ +⎣ ⎦

⇒ det AB = 4

Portanto:

(AB)-1 = 2

a 3 ....4

a a 2....4

+⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥

+ +⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

A soma dos elementos da diagonal principal de (AB) -1 é:

2 2a 3 a a 2 a 2a 5 14 4 4 4+ + + + +

+ = = (5 + 2a + a2).

26

10. Resposta: 12

M =

3 k2

3k2

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟−⎜ ⎟

⎝ ⎠

⇒ det M = 34

+ k2

Assim:

M-1 =

2 2

2 2

3k2

3 3k k4 4

3k 2

3 3k k4 4

⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟+ +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟

−⎜ ⎟⎜ ⎟

+ +⎜ ⎟⎝ ⎠

e Mt =

3 k2

3k2

⎛ ⎞−⎜ ⎟

⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

Como M-1 = Mt , vem:

2 2

2 2

3k2

33 3 kk k4 4 2

3 3kk 2 23 3k k4 4

⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜ ⎟ ⎛ ⎞⎜ ⎟ −+ + ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟=⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎜ ⎟

+ +⎜ ⎟⎝ ⎠

⇒ 2

332

3 2k4

=+

∴ 34

+ k2 = 1 ∴ k = 12

± .

Logo, o valor positivo de k é 12

.

27

MATRIZES E DETERMINANTES - (COLEÇÃO COMPLEMENTAR) Testes (página 9)

1. Resposta: e A = (aij)n x n n = 2 aij = i2 – j

11 12

21 22

211

212

221

222

a aA

a a

a 1 1 0a 1 2 1 0 1

A det A 33 2a 2 1 3

a 2 2 2

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

⎫= − =⎪

= − = − −⎛ ⎞⎪⇒ = ∴ =⎬ ⎜ ⎟= − = ⎝ ⎠⎪

⎪= − = ⎭

2. Resposta: d

A = (aij)2 x 2

aij = -1 + 2i + j ⇒

11

12

21

22

a 1 2 1 1 2a 1 2 1 2 3a 1 2 2 1 4a 1 2 2 2 5

= − + ⋅ + == − + ⋅ + == − + ⋅ + == − + ⋅ + =

⇒ 2 3

A det A 24 5⎛ ⎞

= ∴ = −⎜ ⎟⎝ ⎠

3. Resposta: b A3 x 4 . Bp x q = (AB)3 x 5 ⇒ p = 4 e q = 5.

4. Resposta: c

A.B = I2 ⇒ a 2a 2b 2b 1 00 2a 0 b 0 1

−⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⇒

2ab 0 1 00 2ab 0 1

⎛ ⎞ ⎛ ⎞=⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Portanto:

12ab 1 ab2

= ∴ =

28

5. Resposta: b

A3 x 2 = 11 12

21 22

31 32

a aa aa a

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

, onde aij = i + j2 – 1 ⇒ ⇒ A= 1 42 53 6

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

.

6. Resposta: a 1 1 1 1 x( 1) 1 1 1 11 1 x 1 1 0 x 0 0

x.y.z1 1 1 y 1 0 0 y 01 1 1 1 z 0 0 0 z

+

+

+

−+ ←⎯⎯

= =+ ←⎯⎯

+ ←⎯⎯

(matriz triangular)

O produto x.y.z é o volume de um paralelepípedo retângulo cuja arestas medem x, y e z.

7. Resposta: a

A . A-1 = I4⇒

1 1 1 1 a b c d 1 0 0 01 2 3 4 e f g h 0 1 0 01 4 9 16 i j k l 0 0 1 01 8 27 64 m n p q 0 0 0 1

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⋅ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

L1 x C1 = P11 ⇒ a + e + i + m = 1.

8. Resposta: 11

Para a1 = 12

e r = 12

vem :

a4 = a1 + 3r

a4 = 1 3 42 2 2+ = = 2

a5 = a1 + 4r

a5 = 1 4 52 2 2+ =

a12 = a1 + 11r

a12 = 1 11 12 62 2 2+ = =

Assim:

A = 5 222 6

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

∴det (A) = 11.

a11 = 1+1-1 = 1

a12 = 1 + 22 -1 = 4

a21= 2 + 12 – 1 = 2

a22= 2 + 22 – 1 = 5

a31= 3 + 12 – 1 = 3

a32= 3 + 22 – 1 = 6

29

9. Resposta: 2

A e B são matrizes de 4ª ordem (n = 4), tais que B = c . A.

Como B = c . A ⇒ det (B) = det (cA) ∴ det (B) = cn . detA

det (B) = c4 . detA

112 = c4 . 7 ∴c = ± 2

Como c deve ser um número real positivo, c é 2.

10. Resposta: 0

Ax2 + 2Bxy + Cy2 + 2Dx + 2Ey + F ≡ 1x2 + 2mxy – 1y2 + 1x + 1y + 0

(PIP – Princípio da Identidade de Polinômios). Portanto:

A = 1 C = –1 2E = 1 ∴ E = 12

2B = 2m ∴ B = m 2D = 1 ∴ D = 12

F = 0

Considerando a matriz M = A B DB C ED E F

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

, temos :

M =

11 m21m 12

1 1 02 2

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

⇒ det(M) = m2

= 0 ∴ m = 0.

B2 – AC ≥ 0 ⇒ m2 + 1 ≥0 , condição esta que se verifica para m = 0.