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Multiplicando ambos os membros por q, fica:

9 + 9q2 – 30q = 0

Dividindo por 3 e ordenando, fica:

3q2 – 10q + 3 = 0, que é uma equação do segundo grau.

Resolvendo a equação do segundo grau acima

encontraremos q = 3 ou q = 1/3.

Como é dito que a PG é decrescente, devemos conside

apenas o valor

q = 1/3, já que para q = 3, a PG seria crescente.

Portanto, a PG é:

9/q, 9, 9q, ou substituindo o valor de q vem: 27, 9

O problema pede a soma dos quadrados, logo:

a2 + b

2 + c

2 = 27

2 + 9

2 + 3

2= 729 + 81 + 9 =

6.2 - Sabe-se que S = 9 + 99 + 999 + 9999 + ... + 999...9

onde a última parcela contém n algarismos. Nestas

condições, o valor de 10n+1

- 9(S + n) é:

A)1

*B) 10

C) 100

D) -1

E) -10

Solução:

Observe que podemos escrever a soma S como:

S = (10 – 1) + (100 – 1) + (1000 – 1) + (10000

(10n – 1)

S = (10 – 1) + (102 – 1) + (10

3 – 1) + (10

4–

1)

Como existem n parcelas, observe que o número (

somado n vezes,

resultando em n(-1) = - n.

Logo, poderemos escrever:

S = (10 + 102 + 10

3 + 10

4 + ... + 10

n ) – n

Vamos calcular a soma Sn = 10 + 102 + 10

3

, que é uma PG de primeiro termo a1 = 10, razão q = 10 e

último termo an = 10n . Teremos:

Sn = (an.q – a1) / (q –1) = (10n . 10 – 10) / (10

10) / 9

Substituindo em S, vem:

S = [(10n+1

– 10) / 9] – n

Deseja-se calcular o valor de 10n+1

- 9(S + n)

Temos que S + n = [(10n+1

– 10) / 9] – n + n = (10

9

Substituindo o valor de S + n encontrado acima, fica:

10n+1

– 9(S + n) = 10n+1

– 9(10n+1

– 10) / 9 = 10

10) = 10

�� �������������������������

Multiplicando ambos os membros por q, fica:

10q + 3 = 0, que é uma equação do segundo grau.

Resolvendo a equação do segundo grau acima

Como é dito que a PG é decrescente, devemos considerar

q = 1/3, já que para q = 3, a PG seria crescente.

9/q, 9, 9q, ou substituindo o valor de q vem: 27, 9, 3.

logo:

= 729 + 81 + 9 = 819

se que S = 9 + 99 + 999 + 9999 + ... + 999...9

onde a última parcela contém n algarismos. Nestas

rve que podemos escrever a soma S como:

1) + (10000 – 1) + ... +

– 1) + ... + (10n –

Como existem n parcelas, observe que o número (– 1) é

3 + 10

4 + ... + 10

n

= 10, razão q = 10 e

10) / (10 – 1) = (10n+1

–

9(S + n)

n + n = (10n+1

– 10) /

encontrado acima, fica:

10) / 9 = 10n+1

– (10n+1

–

PENGE 1

1 .Conhecendo-se o baricentro B(3,5), do triângulo XYZ

onde X(2,5), Y(-4,6), responda:

a) Quais as coordenadas do vértice Z do triângulo

XYZ?

b) Qual o comprimento do segmento BZ?

2. Seja a reta y = -2x, determine:

a) As coordenadas do ponto P que está no segundo

quadrante, sobre a reta r e cuja distância ao ponto

(0,-1) é �10 unidades;

b) As coordenadas do ponto Q, sobre a reta r, que es

mais próximo do ponto (0,

PENGE 2

1-Sendo o ponto P(r - 12, 4r -

quadrantes ímpares e P’(s-12, 4s

dos quadrantes ímpares, determine:

a) O valor da distância entre P e P’.

b) Qual dos pontos está mais próximo da origem.

2. Considere o gráfico:

a) Obtenha uma equação da reta r

b) Obtenha uma equação da reta s que passa por P e é

perpendicular a r.

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���

se o baricentro B(3,5), do triângulo XYZ

4,6), responda:

) Quais as coordenadas do vértice Z do triângulo

) Qual o comprimento do segmento BZ?

2x, determine:

As coordenadas do ponto P que está no segundo

quadrante, sobre a reta r e cuja distância ao ponto

10 unidades;

As coordenadas do ponto Q, sobre a reta r, que está

mais próximo do ponto (0,-1).

- 6) pertencente a bissetriz dos

12, 4s-13) pertencente a bissetriz

dos quadrantes ímpares, determine:

a) O valor da distância entre P e P’.

ntos está mais próximo da origem.

Obtenha uma equação da reta r

Obtenha uma equação da reta s que passa por P e é

�

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c) Determine o ponto A de interseção de r com a reta

s obtida no item b

PENGE 3

PENGE 4

Questão 1

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Determine o ponto A de interseção de r com a reta

Questão 2

Verifique se o ponto P está mais próximo da reta r

reta s, considerando a figura abaixo.

PENGE 5

1)Sejam os pontos M(6,4) e N(4,8). Se C1 é a

circunferência que tem os segmentos MN com um

diâmetro, então a equação de C1 é?

2)Dada a circunferência de equação x2+y2 = 5. Deter

a posição relativa à circunferência dos pontos : A)

(1/2, 1) e C (1,2). Além disso determine se os pont

C são ou não colineares. Em caso negativo, determin

área do triângulo formado.

PENGE 6

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���

Verifique se o ponto P está mais próximo da reta r ou da

reta s, considerando a figura abaixo.

1)Sejam os pontos M(6,4) e N(4,8). Se C1 é a

circunferência que tem os segmentos MN com um

equação de C1 é?

2)Dada a circunferência de equação x2+y2 = 5. Determine

a posição relativa à circunferência dos pontos : A) (3, 1); B

(1/2, 1) e C (1,2). Além disso determine se os pontos A,B e

C são ou não colineares. Em caso negativo, determine a

�

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1)Identifique se representam e quais são as cônicas

de suas equações, determinando:

No caso de circunferência, o centro e o raio.

No caso de elipse ou hipérbole, os eixos e os focos

No caso de não representar uma cônica, justificar o

porquê.

a) 25x2 - 16y

2 = 400.

b) (x2/100) + (y

2/36) =1

c) 9x2 + 5y

2 − 45 = 0.

d) 0198422=+−−+ yxyx

e) 03041022=+−−+ yxyx

2)Faça o que se pede em cada item:

a)Sendo a elipse x2/36 + y

2/64 = 1, determine as

coordenadas seus eixos (maior e menor) e seus foco.

b)Sendo a circunferência (x-1)2 + (y-2)

2= 16 e a reta r: y =

2x-3, determine a posição relativa entre elas.

PENGE 7

Questão 3) Determine o(s) valore(s) de K(definido n

conjuntos dos reais) para que o ponto A(-2,K) pertença à

elipse 9x2+4y

2+18x-8y-23= 0

Questão 4)

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1)Identifique se representam e quais são as cônicas a partir

No caso de circunferência, o centro e o raio.

No caso de elipse ou hipérbole, os eixos e os focos.

cônica, justificar o

/64 = 1, determine as

menor) e seus foco.

= 16 e a reta r: y =

3, determine a posição relativa entre elas.

Questão 3) Determine o(s) valore(s) de K(definido no

2,K) pertença à

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