Matemáticas. 7. Ecuaciones de rectas y planos. 1

7. ECUACIONES DE RECTAS Y PLANOS.

La recta.

• Una recta queda determinada mediante un punto A (a1,a2,a3) que pertenezca a ella y un vector paralelo a ella, que se denomina vector de dirección de la recta. Cualquier recta tiene infinitos vectores de dirección.

( 321 d,d,dd =r

)

)• Si A (a1,a2,a3) y B (b1,b2,b3) son dos puntos que pertenecen a la recta, el vector

es un vector de dirección de la recta. ( 332211 ab,ab,ab −−−

• La ecuación de una recta es una igualdad (o varias) en la que aparecen las variables x, y, z, que representan las coordenadas de un punto cualquiera de la recta. Un punto pertene-ce a dicha recta si, y sólo si, al sustituir x, y, z por sus coordenadas la igualdad o igualda-des son ciertas.

Ecuación vectorial.

• Si X (x,y,z) es un punto cualquiera de la recta, OX es su vector de posición y OA es el vector de posición del punto A, entonces: dOAOX

r⋅λ+= , siendo λ un número real.

Esta igualdad es la ecuación vectorial de la recta, que puede expresarse:

( ) ( ) ℜ∈λ⋅λ+= ,da,a,az,y,x 321

r

Ecuaciones paramétricas.

• Se obtienen a partir de la ecuación vectorial:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⋅λ+=⋅λ+=

⋅λ+=

33

22

11

dazdaydax

Ecuaciones continuas.

• Se obtienen despejando λ de las ecuaciones paramétricas e igualando las expresiones obtenidas:

3

3

2

2

1

1

daz

day

dax −

=−

=−

Si alguna de las componentes del vector de dirección es nula, se iguala aparte la coordena-da x, y o z con la correspondiente coordenada del punto A.

Incidencia de punto y recta.

• Un punto P (p1,p2,p3) pertenece a la recta si, y sólo si, el sistema de ecuaciones en λ

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⋅λ+=

⋅λ+=⋅λ+=

333

222

111

dapdapdap

es compatible. Es decir, si, y sólo si, el rango de la matriz ampliada

es 1. ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−

333

222

111

apdapdapd

Matemáticas. 7. Ecuaciones de rectas y planos. 2

Puntos alineados.

• Tres puntos del espacio A (a1,a2,a3), B (b1,b2,b3) y C (c1,c2,c3) están alineados si, y sólo si, los vectores AB y AC son paralelos, es decir, si, y sólo si, el rango de la matriz

es 1. ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−−−−−

332211

332211

acacacababab

El plano.

• Un plano queda determinado mediante un punto A (a1,a2,a3) que pertenezca a él y dos vectores y paralelos a él, que se denominan vectores de dirección del plano.

( )321 d,d,dd =r

( 321 e,e,ee =r )

Cualquier plano tiene infinitos vectores de dirección.

• Si A (a1,a2,a3), B (b1,b2,b3) y C (c1,c2,c3) son tres puntos que pertenecen al plano, los vectores y ( )332211 ab,ab,ab −−− ( )332211 ac,ac,ac −−− son vectores de dirección del plano.

• La ecuación de un plano es una igualdad (o varias) en la que aparecen las variables x, y, z, que representan las coordenadas de un punto cualquiera del plano. Un punto pertene-ce a dicho plano si, y sólo si, al sustituir x, y, z por sus coordenadas la igualdad o igualda-des son ciertas.

Ecuación vectorial.

• Si X (x,y,z) es un punto cualquiera del plano, OX es su vector de posición y OA es el vector de posición del punto A, entonces el vector AX es combinación lineal de y e , es decir,

r

edAXrr

, siendo λ y μ dos números reales. Por tanto: ⋅μ+⋅λ=

edOAOXrr

⋅μ+⋅λ+= Esta igualdad es la ecuación vectorial de l plano, que puede expresarse:

( ) ( ) ℜ∈μλ⋅μ+⋅λ+= ,eda,a,az,y,x 321 ,rr

Ecuaciones paramétricas.

• Se obtienen a partir de la ecuación vectorial:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⋅μ+⋅λ+=⋅μ+⋅λ+=

⋅μ+⋅λ+=

333

222

111

edazedayedax

Ecuación general.

• Puesto que el vector AX es combinación lineal de dr

y er

, debe cumplirse que:

0eeeddd

azayax

321

321

321

=−−−

.

Entonces:

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( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 0ededa

ededaededazededyededxeded

21123

1331232231122131132332

=−⋅+

+−⋅+−⋅+⋅−+⋅−+⋅−

Esta igualdad constituye la ecuación general del plano. Llamando A, B y C a los coeficientes de x, y, z, respectivamente, y D al término indepen-diente, la ecuación general del plano queda en la forma:

0DCzByAx =+++

• El vector cumple que ( C,B,An =r ) edn

rrr∧= . Entonces, el vector n es normal al pla-

no.

r

Por tanto, un plano también queda determinado por un vector normal a él y un punto que pertenezca a dicho plano. En efecto, la ecuación general del plano puede obtenerse fácil-mente a partir de dichos datos.

• Todo plano tiene infinitos vectores normales a él, que son proporcionales a r. ( )C,B,An =

Ecuación normal.

• Se obtiene dividiendo la ecuación general por el módulo del vector normal al plano : ( )C,B,An =

r

0CBA

DzCBA

CyCBA

BxCBA

A222222222222

=++

+++

+++

+++

• Se denominan cosenos directores de un plano a los cosenos de los ángulos que forma un vector normal al plano con la parte positiva de los ejes de coordenadas. Los coeficientes de x,y,z en la ecuación normal del plano son los cosenos directores.

Ecuación segmentaria.

• Se obtiene a partir de la ecuación general, pasando el término independiente D al se-gundo miembro y dividiendo entre –D:

1Gz

Fy

Ex

=++

• Los puntos (E,0,0), (0,F,0) y (0,0,G) son los puntos de corte del plano con los ejes de coordenadas.

Incidencia de punto y plano.

• Un punto P (p1,p2,p3) pertenece al plano si, y sólo si, el sistema de ecuaciones en λ y μ

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⋅μ+⋅λ+=

⋅μ+⋅λ+=⋅μ+⋅λ+=

3333

2222

1111

edapedap

edap es compatible. Es decir, si, y sólo si, el rango de la matriz ampliada

es 2. ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−

3333

2222

1111

apedapedaped

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Puntos coplanarios.

• Cuatro puntos del espacio A (a1,a2,a3), B (b1,b2,b3), C (c1,c2,c3) y D(d1,d2,d3) son coplanarios si, y sólo si, los vectores AB , AC y AD son linealmente dependientes, es

decir, si, y sólo si, determinante 0adadadacacacababab

332211

332211

332211

=−−−−−−−−−

.