matematicki list 1979 xiv 1

7/28/2019 Matematicki list 1979 XIV 1

http://slidepdf.com/reader/full/matematicki-list-1979-xiv-1 1/18

OBAVESTENJE PRETPLATNICIMA

1. Uredni5tvo poziva nastavnike i profesore matematike kao i ostale ditaoce

da Salju svoje priloge za list: dlanke, odabrane zadatke, zadatke sa prijemnih ispitai matematidkih takmidenja, razne zanimljivosti. PoZeljno je da svi rukopisi (osimudenidkih reSenja zadataka) budu pisani pisaiom maSinom, s proredom. Rukopisise ne vra6aju.

2. Matematitki /rst namenjen je svim uienicima IV-VIII raz. osnovne Skole.

List izlazi 6 puta u toku Skolske godine i to l. X, 15. XI, 1.I, 15. II, 1. IV i 25. V.

3. Godi5nia pretplata (za svih 6 brojeva), iznosi 44 dinara. Narudiocima za viSe

od 10 komada odobravamo rabat (20'%, 15%lO%), zavisno od roka do kojeg se

isplati celokupna pretplata (1. XII, 1. III, l. IV). Nikakvi drugi odbici ne uvaZavaju se..

NarudZbine se mogu vr5iti samo pismenim putem i Salju se samo neposrednona adresu lista. Novac za sve narudZbine se Salje na iiro-raiun Dru5tva matema'tiEara, fiziiara i astronoma SR Srbiie, br. 60806-678-10766,Knez Mihailova 35/IVsa naznakom za Matematiiki list. Pri tome treba obavezuo navesti tainu odresu

na koju list treba dostaviti i jasno naznaditi na Sta se narudiina odnosno uplataodnosi.

NarudZbine na manje od l0 primeraka lista isporuduju se samo po izvr5enoj

pretplati. Ostale narudZbine treba da budu isplaiene najkasnije na 90 dana poprijemu prve isporudene po5iljke.

Obaveitenja se mogu dobiti preko telefona redakcije, br. Oll-638-263.4. RaspolaZemo kompletima lista iz Skolske 1968169. god. (br. III, l-5),

5k. 1969/70. god. (br. IV, 1-5),3k. 197A171. god. (br. V, 3 i 4), Ek. 197ll72.god'.(br. VI, l-5),5k. 1972173. god. (br. VII, l-5), !)k. 1973174. god. (br. VIII, 1-5),\k. 1974175. god. (br. IX, 1-6), i)k. 1975176. god. (br. X,2,3,4,6),5k' 1976177.

eod. (br. XI, 1-6), atk. 1977 178. god. (br. XII, l-6). i 5k. 1978/79. god. (br.

XIII, l-6). Od ovih godiSta prodaju se: godi5ta: III, IV, VI, VII, VIII i Xpo sniZenoj ceni od 15 dinara, godi3te V po 6 dinara i godi5ta IX' XI, XII

i Xttl po 20 din. Sem toga se mogu dobiti i preostali primerci triju dosada iza5lih dodatnih svezaka ML (,,Matematidke tablice", ,,Mali reCnik mate-matidkih termina", i ,,Mala zbirka mat. zanimljivosti") svaka po ceni od 5

dinara. Zbirka resenih zadataka sa mat. takmidenja udenika osn. Skole moZe se

dobiti po ceni od 20 din.5. Mole se poverinici ML da izmire sva zaostala dugovanja.

6. Sve priloge, primedbe i narud4bine slati iskljutivo na adresu:

Matematiiki list, Knez Mihailova 35/IV' p.p. 728, ll0l Beograd

SADRZAJ

l. M. Markovii: Jedan nadin izvotlenja formula za izradunavanje zbiraprvih n prirodnih brojeva I

2. P. D. Goldbah-Ojlerov problem 5

3. P. M. Barabin: Resavanje nekih zadataka i grafovi .. 6

4. V. Stojanovii: Vatlenje kvadratnog i kubnog korena pomo6u lenjira 9

5. Izvestaj o X saveznom takmidenju iz mat. za udenike osnovnih Skola 12

6. Zadaci sa republidkog tak. ud. osn. 5k. SR Bosne i Hercegovine .... l7

7- Zadaci sa republidkog natjecanja udenika osnovnih Skola SRHrvatske 208. Odabrani zadaci . 24

9. Konkrusni zadaci . 26

10. Matematidko kviz-takmidenje mladih matematidara . . . '. .. .: 27

11. Nagradni zadatak '.. ' 3. s.k.

I

MATEMATIEKI LIST

ZA UCENIKE OSNOVNE STOTN

XIV

I

BEOGRADt979.



SAVEZ DRUSTAVA MATEMATICARA, FIZICARA I ASTRONOMAJUGOSLAVIJE

MATEMATIEKI LIST

za uEenike osnovne Skole

God. XIV, broj I (1979)

Izlazi Sest puta godi5nje

I?/,DAJE. DRUSTVO MATEMATTCARA, FIZICARA I ASTRONOMASR SRBIJE

Beograd, Knez Mihailova 35/IV, p. p. 72E.

Urednici:

Platon Dimi6 i Miroslav Zivkovit

Redakcioni odbor:

Bogumila Kolenko (Ljubljana), dr Zeljko Pauie (Zagreb),

Ko s ta M ijatovr'd (Sarajevo), Dani lo Stepanor,rc (Titograd),

Duiko Kovadey (Skopje), Velimir Sotirovit (Novi Sad),

Vladimir Stojanovid (Beograd)

Glavni i odgovorni urednik: Miroslav Zivkovii

Sva prava umnoZavanja, pre5tampavanja i prevodenja zadrlava

DruStvo matematiEara, fizicala i astronoma SR Srbije

Oslobodeno placanja poreza na promet na osnovu re5enja RepubliCkog sekretarijata

za kulturu SR Srbije br. 413-186-03 od ll. l.1973. godine

Stampa: Beogradski izdavadko-grafidki zavod, Beograd, Bul. vojvode Mi5i6a br. 17

Milovan Markovid (Poiega)

JEDAhI NACIN IZVODENJA FORMULA ZA IZRACUNAVANJEZBIRA PRYIH n PRIRODNIH BROJEVA, ZBIRA KVADRATA

I ZBIRA KUBOVA OVIH BROJEVA

l. U matematici Cesto se javlja potrebada se izraduna zbir prvih n prirodnih brojeva

-S1(z): 1.t-2+3+. . .ln, zbir kvadrata prvihn prirodnih brojeva-52@):12t

22+32+. . .+{n2 i zbir kubova prvih n prirodnih brojeva

-S3(z):13123+33+.. .*r3. Javlja se gdekad

i potreba da se odredi zbir nekih vi5ih stepenaprvih n prirodnih brojeva, ali do toga rededolazi.

Svi se ovi zbirovi mogu izraiunati i bezpoznavanja bilo kakvih formula. Mogu se,jednostavno, sabrati brojevi 1,2,3,. .. z; ili se

mogu najpre izradunati kvadrati ovih brojeva,pa izrn5iti sabiranje dobijenih vrednosti, itd. Ali je to spor i tegobannadin dobijanja ovih zbirova, pa se zato ve6 i u dobu starih grdkihmatematiEara i5lo na to da se nadu kradi nadini za njihovo izradunavanje,

da se dobiju - kako se to danas kain - formule za njihovo izraduna-vanje. Tato 6e ovde biti pokazano kako se do tih formula moie dodi.

2. Po<timo od istinite formule (k+t1z:1rzLr2k+l ipretpostavimo

da /c ( { I , 2, 3. . . n}. Tatim formirajmo jednakosti :

(O-1-t1z:2212. l+t(l-Ptlz:12-u2. t+t(21t12:2212.2+l

Ako(n*l)2:n212'n*l

uzmemo u obzir da -je

(0* l)2: lz, (l+ l1z:22, (21 llz:32. ;16.

(l)



i ako jednakosti (l) saberemo, dobi6emo:

12+22+32+. . .*(n*t)z : 12+22+32*. . . nz*2(l+2+3+. . .*n)+

+(z+1).

Izostavljaju6i istovremeno na levoj i desnoj strani ove jednakostizbir 12+22*. ..*n2, dobijamo:

(n* l)2 :25{n)l@* l), 2S1(z): (pft)z

-

(n*r), 2S{n)--n(n*l),

(2) ,s, (n): n(n + l).

2

Tako je naden zbir S1(n) u funkciji od rf Stoga, na primer, ako je

n:17, onda je sl(17):l7'(t-t*t):ttr.

2

3. Potlimo sad od istinite formule (&+t;l:;rs.t-3k3+3k+l ipretpostavimo da &({1, 2,3,. . . n}. Zatim formirajmo jednakosti:

(0+t;r:9r13 . 02+3 . 0+l(l1t;::13+3. l2+3. l+l

(2+t1t:2ta3 -22+3 . 2+l

(n*l)r:2ra3'nz*3' n1l

Ako opet uzmimo u obzir da je

(0+11::1r, (l+t;r:2r, (2*l;r:3r, ir6.

i ako jednskosti (3) saberemo, dobiiemo:

l 3+23+33+. . .*(n f l)r: l r+23+33{. . .}nrf 3Q2+22+32 +

*. . .*n2)*3(l+2+3+. . .*n)*(z*l).

Oduzimajuii istovremeno od leve i desne strane ove jednakostizbir l3+23+33+. . .fn3, dobijamo:

(z{ l)3:35r(n){3s1(n){(z* l), 352(r"):(nt l)3 - 3Sr(n) - (n * l),

2

3 S2(n):(n f t1r - 3n(z-F l)

- (z* l),26 S r(n)

: 2(n * t)r - 3 n(n * r) - 2(n * t), 65,(z) : (n $ t)12(n * t)z - (3 n * Z))

6 S 2@) : (n I t) Qnz ! 4n t 2 - 3 n - 2), 6 Sz@\ : (n * t) (2nz a n1,

(4) s' (n): n(n+l)(2n+l)

(0+t;+:9ra4 . 03+ 6 . 02+4 . 0+l(l1t;+a1ra4. l3+6 .t2+4. 1+l(2+ty:2a-;4 . 23+6 . 22+4 . 2+l

(nl l)+ :n+ Lr4. n3 * 6 . n2 +4. n+ |

Ako i sada uzmemo u obzir da je

(01t;a:1r, (t+t)a:zq, (2f l)+:3a, ;16.

i ako jednakosti (5) saberemo, dobi6emo:

14 +24 + 34 +. . . *(z* t;+ : 14 +24 +3t 1. . .n+ { 4(l r +23+3 3+

*. . .*23) + 6(tz{22-y32+. . .*nz)* (t*2+3+. . .*n)*(n*l).Oduzimajudi istovremeno od leve i desne strane ove jednakosti

zbir la*2a*34+.. . *n4, dobijamo:

Prema tome, na primer, ako je n:5, onda je S2(5):I-!-J1:55.

4. Podimo od istinite jednakosti (k+Da:1taa4F+6k2+4k+l*i pretpostavimo da ke{|,2,3...n}. Zatim formirajmo jednakosti:

(5)

(3)

- : ^qSkoli se u.gi da je (a*D)2:a2+2ab+b2 a lako se dokazuje i da je (a*D)r:

=g:+1!:bt?abz+b3,pa je na osnovu toga jasno da je (kat)z: *ziZi+t i aaje(k+l)r:k3*3k2+3k+1. Da bi se dobilaformula za-(a+b)4,'treba izvr5iii mno-

zfnje (a+b)2-.(g+t12, pa 6e se dobiti da je (a+b)+:at+4aib+Oazb+4ab3+b4.

Otud sleduje : (k + 11+ : 1, t a 4k3 + 6kz + 4k + 1.



4S3(z):(zf l)a - n(n*l) (2n-tl) -2n(n*l) - (z*l),4S3(z):(n* l) (zf l): - nQn*l) - 2n - l),

4Sr(z):(z* l) (nt-pJnzLr3n - 2n2ln - 2n),

4^S3(r) : (n + t) (n3 * n2), 45 3(n) : nz(n { l)2,

s,1n1:['(n-+tl1''

J\/L 2 J

(6)

(z{ l)r:45(z)*6Sz(n) *45r(n)*(z* l),

4,S3(z):(z* l)4 - 6s2b)-4Sr(n) - (n-lt),

4g(n):(n*l)n-O -4.n(n+l)-(zfl),

Odavde se vidi da je ,S3(n):Sr2(n), tj. da je ibir tre6ih stepena(kubova) prvih z prirodnih brojeva jednak kvadratu zbira prvih zprirodnih brojeva.

5. Kao Sto se vidi, ovaj nadin izradunavanja zbira-prvih z prirod-nih brojeya, zbira njihovih kvadrata i zbira njihovih kubova zanimljivje pre svega po tome Sto se zasniva najednoj sasvimjednostavnoj dinje.nici, to jest na tome da se svaki prirodni broj moZe predstaviti kao zbiriz prirodnog broja koji je za

Imanji od njega

i brojaI; i zatim Sto se,postupaju6i onako kao 5to je to pokazano u navedena tri sludaja, moiE

postepno do6i i do obrazaca za zbirove kojih bilo stepena prvih z pri-rodnih brojeva, to jest do So(z), Sr(n), . . . S1(n):1k+2k+3k+. . . +{nk, gde k€N.

Zad^ct

1. Izradunati: a) zbir kvadrata prvih l0 prirodnih brojeva; b) zbir kubovaprvih l0 prirodnih brojeva.

2. Imaju6i u vidu da je n-ti po redu parni prirodni broj 2n, naCi: a) zbir n prvihparnih brojeva; b) zbir kvadrata n prvih parnih brojeva; c) zbir kubova n prvihparnih brojeva.

3. Imaju6i u vidu da se zbir z prvih neparnih prirodnih brojeva moZe smatratikao razlika zbira svih z prvih prirodnih-brojeva i zbira z prvih parnih brojeva, nadi:a\ zbir n prvih neparnih brojeva; b) zbii kvadrata n prvih neparnih brojeva; i c) zbir

kubova n prvih neparnih brojeva.

4. Dokazati da je Sz(z)-S rrnr:n"l-t' .

5. Za3to se moZe tvrditi da zbir kubova prvih n prirodnih brojeva ni za kojen ne moia iznositi 200?

4

ToJTAEAX-OJJTEPOB nPOBJTEM

nosxaro je .qa ce cBaKr{ cJroxen 6poj Moxe rpeAcraBnTn xaorrpor{3BoA rrpocrnx 6pojera. A Aa lu ce Moxe npnpoAaH 6poj npeg-craBfiTr{ xao s6np npocrr{x 6pojena?

V resu c rrrM npru je usxeo je4ny nperflocraBry jour cropo npeABe cror[He rleAecer roAr{Ha qJraH TaAarrure flerporpagcxe axageunjeHa)ma Xpncrujax IolA6ax (1690-176/). On je, Har{Me, y jeAnorra cnor"r

rrncMy, yrryhenou 1742. rotune MareMarruapy Jleouap,qy Ojnepy(1707-1783), caonrurro Aa cMarpa Ea 6u ce Monro Aora3arr{ Aa cecBaKrr Herrapan 6poj, rehu oA 5, uoxe npeAcraBr{Tu rao r6up o4 neEurue oA 3 npocra 6poja. To ce noxasyje raqHrrM xaA ce ucntryje,peAoM, rrtrraB Hu3 rrpBux Herrapur{x 6pojeaa. Taro je, Ha rrpuMep:

7:2*2*3, 9:3*3*3*, ll:2!2!7, 13:3*5f5, urs.

Hern o,q orux 6pojera Mory ce rr Ha Burrre Haqurra rrpffia3aru Kao36upoBn oA no 3 npocta 6poja.

Anx Aoxas 4a je ora rBpArLa rarlna 3a cBe Hetrapne 6pojeaeIona6ax xr{e nrvrao.

Iol46axy je Ojaep oAroBopno Aa He Moxe AoKa3arr oro cnoj-crlo Henapunx 6pojera, ann Aa MrrcJrx M 6u ete MorJra AoKa3arr{ cJre-

Aeha reopeMa: cBa(E trapan 6poj, rehu og 2, uoxe ce.npeAcraBurr{ yEUA/ 36upa Apa trpocra 6poja. Ha npnuep: 8:3*5, 28:11*17, nr,q.Vocrarou, raxe AaJbe Ofirep, xag 6n ce Aoxa3aJro oao crojcrno napulD(6pojena, caJvffiM rnu 6n 6lura 4oxarana u lol46axoBa reopeMa. CrarlrBetrapas 6poj uoxe ce, HaRMe, trpeAoraBr{Tr{ xao r6up Hexor [pocror6poja, Ha trpnMep 3, uje4ror napxor 6poja; n aro 6n 6fino raqHo Aaoe claKr napiur 6poj rr.roxe lpecraBrrn xao s6rp ABa rrpocra 6poja,cBaxrr f,etrapan 6poj 6n ce ruorao [peAcraBrrrrr rao s6up rpu trpocra6poja.

locne rora je rearrx 6poj MareMarfiqapa [oKyrrraBao Aa AoKaxeTa{HOCT 6rUO nple, 6rUO,qpyre oA oBe ABe TeopeMe, anr{ cBe Ao Aarracy roMe y rrorrryHocrrr xrje nmo yctreo. Irlcnnruranu cy cBn 6pojennAo 100000, u yrBpleno je ga ra rrnx Baxe oBe reopeMe; arr{ Aa oxe

yotrrrrre Baxe, uJrrr Aa oxe He Baxe, ro joru xnro xnje Morao Aa AoKaxe.llnax, 4ra suavajna p$ynrara y irorne4y yrapfnrarra raqrtocrn

oBnx reolteMa 6a:lla cy lrocrfiruyra roqertroM osor croreha, r{ onacy cne4eha.



lo.qrure I 930. corjercxrr MareMaruvap lllnnpervan ( I 905- I 938)ycneoje Aa Aoxaxe 4a nocrojn H3BecraH 6poj k, TaKaB Aa ce caaxn 6pojn Moxe npeAcraBHTH xao s6up oA He Br{ue 94 /< npocrnx 6pojena. flpervraToMe, KaA 6n ce yrnpAr{Jro Aa je k:3, fol46auona xrnore3a 6nna 6uAoKa3arra. Mefyrnr'r, xacHnje je 4oxasauo caMo Aa k uuje sehe oA20. 3aruu je, 1937. roAHHe, coajercru MareMarr{qap BuHorpaAos(pob. l89l) AoKa3ao cnegehy reopeMy: ,,flocrojn roHbraHra C rarsaAa cBar(u HenapaH 6poj /[, sehu oA C, rraoxe 6urn npeAcraBJbeH yBrlAy cyMe 3 npocra 6poja N:pr *pz*p{,. Oro je 6ulo rpao sHauajno

orxpuhe, ruru ce oAHocHJro cauo sa HenapHe 6pojeae, a cervr rora je6uao yrrpfeHo u Aa je C usaecraH peJraruBHo Berr.rr 6poj. Mefyrur"r,ruro ce rn.re yrapluBarsa raqHocrn Ojnepone reopeMe, y roM norneAy.qo caAa Hlrcy nocrr.rrHyrr{ HHXaKBn snarajnuju pesyJrrarfi.

n.4

II. M. Eapabrn (CCCP)

PEIIIABAEE HEKI,IX SAAATAKA U TPA'X)BLI

Vgr'ruuo nere 3aAarxe o [pec[narby, trpeJra3y rrpexo peKe, Aeo6n.Onu cy seh oAasHo rrocrarr[ cacraBHu .qeo paAa MareMarntrKux rpylaI{ H:ula3e caoje uecro y MareMarlrqx}IM BeqepltMa, TaKMHqerbnMa, I{TA.O6uqno ce ra(BH 3aAauu peruarajy ,,HanaMer" u 3a ro je norpe6no

He MaJro orrrrpoyMnocrr{ r{ AoBr{TJbrrBocru. Llnax, ga ce nale jegan,6ruro raxas HatrHH perrraBarba raKBr.rx 3aAaraKa o6uqso nnje raxoTerrxo. Mnoro je rexe yKa3arrr na najrpahu HaquH u cre uoryhe Haqr{HepellraBarba oBaKBr{x 3aAaTaKa.

OArosopu Ha oBaKBa rrr{Tarba Mory ce naro go6urn nouohyrpaQuvxzx cxeMa xoje ce cacroje n3 TaqaKa n qpra. Taxne cxeMe cenasnnajy rpaQr.

3agafrarc l. flea qoneKa uuajy ilyu xpval unexa og 8 auwapa,a ucfro ruaxo u gsa frpasua Kpvais og 5 u j tuthpe, Rarco uoiy go uogeneMreKo Ha gsa jggnarca ge.ra?

3a pemararre oBor 3aAarra xopncruheuo ce rpaSou. O6elexunao3aro cBaKr{ xpvar je4nnr"r 6pojer"r: xpqar oA 8 aurapa 6pojerra l, rp.rarog 5 rnrapa 6pojerra 2 N rp.rar o4 3 nnrpa 6pojeu 3. PatuorpuMo cBe

vroryhe napnjanre rryrberba Kpqara xoje ce r,rory go6nu Kao pe3yJrraruo JeAHor llpenuBarba.

Ha noverxy rprar 6p. I je uyu, a Kpqa3r.r 6p. 2 a 6p. 3 cy upa3nrr.IlaparHuo ry rrnrbeHlrqy Ha cJr. I ra.rxor,t (8, 0, 0). Ca.qa je uoryhe usrpqara 6p. I ulu trpenr{rtr 5 nnrapa y Kpqar 6p.2 utru upe;lurn 3 nnrpe

6

y Kpqar 6p. 3. Kao pe3ynrar oBtrx rocrynaxa .qodrjajy ce Ase HoBeaapujaure ryruerba xp{ara, u ro (3,5,0) n (5,0,3). ffui nerrao raxofeH3pa3nrr{ TayKaMa Ha cJr. l, a crpernqaua heuo rroKa3arH Aa ce oxeAo6u-jajy ns roqerHe napujanre (8,0,0). lpyrnx napujanara ryreM npBornpeJruBarba Huje voryhe Ao6urn.

Bpruurrao Aiuba upenunawa. la ne 6ucuo npo[ycrr{nu nu je4HyuoryhHocr, HAeMo peAoM. Ilolurvro o4 rapujanre (3,5,0)

- y xp"ary

_6_n.I cV 3 lurpe, y Kpqary 6p. 2 cy 5 mlrapa, a xpqar Op. :je upasaH.

Hr xp_vara 6p. I voxe ce npenr{rn MJrer(o caMo y rpvar Op. 3, ua he

ce Ao6xru noaa rapujaHTa.uyrber'a (0, 5, 3). V regu c rurra Ha rpa$yroBrarluMo qpry oA rauxe (3,5,0) Ao ravre (0,5,3). I4r xprara 6p. 2Moxe ce npenr{ru ruJreKo y xpqar 6p. I nnu y xpqar 6p. 3 (npu .rerray

ce rrpeJrnBarbe y Asa Kpqara cMarpa 3a ABa y3acronHa npeaunana),aJrn [penr{Barbe y xpqar 6p. I ne gaje xuxaxan HoB pe3ynrar, rroruro ceraro 4o6nje ueh paauorpena uapujanra (8,0,0). Ilpenuranerur MJreKar.r-3 rpqara 6p.2 y Kpqar 6p. 3 ao6xjaMo HoBy rapnjanry (3,2,3).Kpvar 6p. 3 je rpa3aH rr 3aro ce uoryhuoct flpennBarba MJreKa u3 rleraHe y3rrMa y o6aup.

.{are npela3rrMo Ha napujanry (5,0,3). Axo pacyfyjeMo aHa-JrorHo rrperxoAHoM, go6njauo jou jeany napujanry (5, 3,0) rr rrMe,qouyrbyjeMo rparf. (Caaa je jacno Aa ce rpoqec peruaBarba cBoArr Ha,,parrnjane ApBera rpaQa"). IlpoayxyjVhn pacyfnrarre, AoJra3uMo Aotror[ynor rpa$a ua cn. l.

s,0.3l(4K,Lnr-l(vrTll K,P)

!v,T,Pll 11 1tos,t ( J,2.J I s,3,0 )

I 2,3,6 J

2.5,t )

( 7,0,1 )

(2t,0)

(4,tt3 )

( 1,1.0 )

1 6.2,0 )

( 6,0,2 )

( ,,s,2).

( !,1,3 )

( 1.t.i,t

(vtitr,x)

tv, e, x rr)( K il n,v,r.)

( nKilv,f )

(-il 4KyJ

(fIC /,KJ

lP,K,TltvJ

C}r. t Cn.2

lla nevy BrrAHMo ABa Hrr3a raqaKa xojn uorrury KoA Taqxe (8,0,0)x aarpruarajy ce aapujaxrou (4,4,0). Onn ce jarrajy rao trocneAr{qeADaJy pa3rurlrnTrrx Halr[Ea trpeJruBalLa.



I naqun : (8, 0, 0)+(3, 5, 0)l+(3, 2, 3)--+(6, 2, 0)--+(6, 0, 2)-+(1, 5, 2>>(1, 4, 3)-+(4,4, 0).

II HaquH: (8, 0, 0)-+(5, 0, 3)-+(5, 3,0)-+ (2,3,3)--+(2,5, l)+(7, 0, l)-->--+(7, 1,0)-+(4, l, 3)-+(4, 4, 0).

jagautarc 2. Ilpeeonurc (II) frpefia ga upesese uperco perce ayxa (B),r<ozy (K) u mosap Kyuyca (T). Karco je uaua4 rra.neH, y uctuu ce Jwo)rce

cuectauwu uopeg ilpesosnuxa jou ca.Llo 6yK, ultu coJ.4o Kosa uru cai4onioeap Ryuyca. Cen tuoia, Kyuyc He Moctce ocwawu ua o6amt can4o c Ko-301/t, Hu Ko3a c 6yKoJvt. Raxo ce ruoxrce uzeecwu upeeocrerue?

Iperuocrau{Mo Aa ce uajupe [peBo3Hr{K ca ayrou, Ko3oM rr Ky-rrycoM taarasyr na nenoj o6atm pere. flpe4craBr{Mo norrerHy crlryaqnjyje.qnoru raqKoM (ctr. 2) u o6enexnMo je oraro: (8, R, T,II ll - ). .Ilpunu-KoM flpBor upeJraxena rrpeBo3HHK Moxe y3eru ca co6ov cilMo Ko3y(norrrro ce oHa He Moxe ocraBr.rrr.r na o6aau Hll ca ByKoM Hrr ca ryuy-cov). Kao pebylrar go6ujarrao Hony curyaqlrjy: (8, TliR,Z), ruro snavnAa cy ByK u roBap na aeroj o6alu, a Ea cy Ko3a lr npeBo3rrr.rK na 4ecHojo6ztru. Vzpazuuo ro je4rou rarrxoM rr uoBexr{Mo je qproM 3a ratrry(8, R,T, nli-), ucruvyhu ga je ona curyaqr.rja npor3auura us cnryaqr.rje(8, R, T, n ll -) rocne rpBor npeJracKa pexe. IIpu npahany npero3uurrrpena3r[ caM peKy, jep aa rroBe3e ca co6orrr r.r Ko3y r{ Aa ce Bparr{ HarrperxoAHy cnryaqujy HeMa cMlrcJra. HoaoAo6ujeny curyaqujy nsapsn-Mo orrer je.qnorvr raqKoM na rpaQy. flocle rora npeBo3Hr{K nMa ABeuoryhuocrn: Aa rrpeBe3e roBap uJrH ByKa.

.{oaasuuoAo ABe rrroryhe

cnryaquje: @ll nz T, R) n:nla (T'l n,8,1(). _Csary oA.rbnx rpe6a 4aupe.qcraBr.rMo no je4uou raqKoM Ha rpa$y. Hacrarnajyhu sarnu garrocry[aMo aHaurorHo, Aohn heuo Harrocnerxy .qo xeJbeHe cnryaqnje(- li {, R B, T). ,(aa unsa rarlaKa roju ce AeJr}rMrrtrHo nornanajyJaBJbaJy ce y Be3r ca ,qBa pa3Jrr{lrrrTa Haqr{Ha perrraBarba oBor 3aAaTKa.

3aaauf,

1. (flyaconoa saAarar). flolnarou $panrrycrorvr MareMarrqapy CnvronyIlyacory (1781-1810) y MrraAocrr cy noiramnr jegan wareuarnrsr 3aAarax.rlorsro ce 3ar{HTepecoBao 3a rrcrr{, flyacon c€ oAyueBf,o MareMarrmoM rr trocBerf,ojoj qeo cnoj xraor. Eso ror 3aAarra.

Hexo uua 12 .mrrs. (mlnr- Mepa 3a reurocr) Br{na rr xohe Aa troKJroEf,

tronoBnuy ror Brrxa caou uptjarery. Amr on EeMa cy.q oA 6 mnru, Eero rrMa @MoABa rrpa3xa cyAa, n ro je4an oa 8, a Apyrn oA 5 unrrn.

6poj nperuaara uorvrohy xojnx ceMoxe ro nocrshr?2. lluauo 4 6ypera. Ilpro uoxe.qa rpnMn 24Be4pa (seapo - crapa Mepa

sa re.rrocr) Brma,.qpyro 13, rpehe lI, a verrpro 5. Ha uorerxyje nany*eio cavonpno 6ype. CaApxnny ror 6ypera rpeba pauurrfHa rpu jeAxara Aerra, TaKo AatrpBa rpr{ 6ypera ca,apxe no 8 re.qapa Brrfla, a {erBpro Aa ocraxe rrpa3uo.

(,,I(DaEf., 211975,

8

Vladimir Stoianovi6 (Beograd)

VADENJE KVADRATNOG I KUBNOG KORENAPOMOEU LENJIRA

Veiina.na5ih ditalaca,. pa i oni najmladi, znaju da izradunajukvadrat ili kub nekog broja. Na primer, 152:15. lS:225, l2t---\2.12.12:1728, itd. Medutim, daleko sloZeniji zadatak je naii broj

koji treba dici na kvadrat ili na kub da bi se dobio dati broj, ito se naziviuailmjem kvadratnog, odnosno vadenjem kubnog korena iz datog broja.Za to postoje odredene radunske metode.* Sern toga, mogu se torislitii tzv. >Tablice kvadratnih i kubnih korena((, iz kojih se moie neposrednoproditati, na primer, koliko j" /T lf 13, itd. Jod se brZe nalaze ovevrednosti pomodu raznih vrsta elektronskih radunara. No, mi demoovde, kao zanimljivost, prikazati kako se kvadratni i kubni korenimogu nadi prostim merenjem, pomo6u le4iira. Za to je potrebno samonatiniti odgovarajuce posude, kao Sto su one koje vidimo na slikamaI i 2. Razume se da ovo merenje (vattenje korena) neie biti apsolutnotaEno, ali to neka nas ne zabrinjava. eak ni najprecizniji radunari nbmogu dati apsolutno tadne rezultate. Naime, kvadratni i kubni koreni,osim maqjeg broja sluiajeva, kao Sto su, na primer, /4, /8, flg i sl.,pred-stavljaju, tzv. iracionalne brojeve, tj. brojeve iiji decimilni zapiiima-beskonadqo plogo neperiodidnih decimala. No, ostavimo sada ovajproblem i pogledajmo kako iemo nadiniti na5e posude i kako iemo ihkoristiti za vadeqie korena.

1. Na sl. I prikazana je posuda u obliku trostrane prizme dijaje.baza..pravoggli jednakokraki trougao (na slici to je trougao ,lBi),a dija visina CCy du?inc I cm, i bodna strana ABBfil su postavljenehorizontalno.

Prema poznatoj osobini jednakokrakog pravouglog trougla znamoda je osnovna ivica AB dva puta duia od visine CO, C6:h,6aze ABC.

Stoga, u cm3 zapremina V prizme iznosi: v:?!-!.|:hz.Odavde

j". h:/tr.ryo. posuda nije ispunjena do gornje ivice,, nego do nekog

nivoa A'B'B'1A'y tada se zapremina Z' nalivene tednosti iziaZava prek6odgovarajude visine &' na isti nadin kao i kod pune posude: V,-:h,2.

' O tome videti dlanak M. MiliCi6a u ML X, 3.



Dakle, ma kolika bila zapremina Z nalivene teCnosti, izrainna. u cm3,

vaii rclacija' h:tV.

o

\'.. _

\ ".ei :

20

h

t0,.)C.,;

Csl. l

Ako je trougao ABC nadinjen od prozirnog materijala, onda se

na visini OC moLe izmeriti dubina nalivene teinosti. Stoga 6emo na duZiOC spolja ucrtati skalu na kojoj 6emo oznaEiti milimetre i centimetre,redom od C ka O. Ako je trougao ABC neproziran, skalu 6emo ucrtatisa unutra5nje strane. Na osnovu utvrdene jednakosti 1:y'V, sadamoZemo brzo izvaditi

kvadratni koren iz Zeljenog broja. Na primer,ako hodemo da izradunamo y'SOO tada iemo u na5u posudu naliti500 cm3, tj. pola litra vode. Na skali CO proditamo dubinu tednosti:h:22,4 cm. Tako odmah utvrdimo da je pribliZn o y'-SOO:22,4. Razumese, da bi se ovo moglo izvesti moramo imati posudu odgovarajuiegkapaciteta i moramo Sto preciznije izmeriti zaprelninu nalivene tednosti.

2. Pretpostavimo sada da imamo posudu oblika kupe okrenutevrhom nd dole, koja je udvr5cena tako da joj je baza postavljena hori-zontalno. Zapreminu'ove posude, pune ili nalivene do nekog nivoa ft1,izradunademo koristedi poznatu formulu kojom se Y izra?ava preko

poluprednika r bazs kupe i visine i ; y:LTzl.Podesiiemo poluprednik'3i visinu posude tako da zapremina bude Y:ht, odnosno da bude

n:fV. Ako u formuli za zapreminu Y zamenimo sa ft3, dobicemo:

ht:+r2h, odakte j" ';:1, odno.n t ;-:JI-O,rr.

l0

Neka naia posuda na sl. 2 poseduje ovu osobinu. Odnos a ne

menja se ni onda kada posuda nije ispunjena do vrha. to s.luto joka-

zuje na osnovu slidnosti tro lgla ABV (sa katetama r i h) sa proizvoljnoizabranim trouglom A1B1V (sa katetama 11 i h). Na sl. Z se lasno viaina osnovu dega su ovi trouglovi. slidni. Prema tome, bez obzira na nivo

je u ovom sludaju h1:f71.

V

sl. 2

Stavimo u posudu lenjir male zapremine (nadinjen od tankogmaterijala), onako kako je prikazano na slici. potrebno jL da zapreminilenjira bude Sto je moguce manja, tako da neznatno utide na tadnostmerenja. Sada, kao i u prethodnom sludaju, neposredno sa lenjira di-tamo vrednost kubnog korena, izraLenu u vidu decimalnog bioja sajednom decimalom. Na primer, ako u posudu nalijemo 500im: vodb,sa lenjira 6emo proditati dubinu hr:7,9 cm; Dakle, fl500:7,9 pribliZno.

Udenici koji imaju dobro opremljenu radionicu u Skoii ili kodku6e. mogu polcu5ati da sami nadine ove neobidne posude za vadenjekvadratnog i kubnog korena.

Zaltsci

t. Fu\q l" opisane posude mogu koristiti zaizralunavanje zapremina posudanepravilnih oblika?

2. Izradunati kolike treba da budu dimenzije opisanih posuda da bi niihovezapremine iznosile pribliZno po l00o grnr. (Dimenzije visina iiabrati da iznoie ceobroj centimetara).

3. odredite dimenzije posude u obliku pravilne detvorostrane piramide, kojase moie koristiti za vadenje kubnog korena, slidno posudi sa sl. 2.

B1

B

ll



MATEMATTCru, r.nvuCnN.rl

x sAvEzNo rlxutCpnru rzMATEMATIKE ZI UCNXrrr

osNovI{E 5ror,B

OvogodiSnje, jubilarno Savezno takmidenje u&nika osnovnih Skola odrianoje 3. juna 1979. godine u Domu JNA u Ohridu. Udestvovali su predstavnici svih naSih

socijalistiCkih republika i SAP Vojvodine, a bilo je ukupno 30'uCenika VII razreda

i ,14 udenika VIII razreda.

Takmidari su dobili po 5 zadataka, svako na svom maternjem jeziku, a imalisu na raspolaganju 120 minuta za njihovo relavarfe. Savezna komisija, koju su sa-dinjavali po jedan delegat Dru5tava matematidara, fizi(aru i astronoma svih socija-listiEkih republika i SAP Vojvodine, sastavila je zadatke i ocenila radove svih utenika.Mada su postavljeni problemi bili veoma ozbiljni, udenici su reSili sve zadatke i po-

kazali izuzetno visok op5ti nivo znanja. Tako su, od mogudih 7400 bodova, osvojiliukupno 3421 bod, Sto imosi preko 47/o. Nije bilo udenika koji je zavr3io takmidenjebez osvojenih bodova. Ovakav izvanredan rezultat treba da bude posebno zabelefun.

Matematiiki list za uEenike osnovne Skole,koji je bio neposredni organizatorsvih do sada odrZanih Saveznih takmidenja, snosio je troSkove boravka svih uEenikai Clanova Komisije za sprovodenje takmiCenja, a obezbedio je i nagrafe, vredneknjige, za 24 najuspelnija takmidara. Dobitnici prve nagrade pozvani s\ \ IztniuSkolumladih matematiCara, od l. do 12. jula, takotle o troika MatematiEkog lista.Domadin, DruStvo matematilara, fizidara i astronoma Makedonije, darovao je sve

uCesnike prigodnim suvenirima, koji de ih podsedati na boravak u Ohridu.

Svi uCenici i njihovi pratioci, nastavnici i roditelji, stigli su u Ohrid jedan ilidva dana pre takmidenja, a slobodno weme su provodili u razgledanju ovog divnog

etrada na krajnjem jugu Jugoslavije. Samo takmiCenje odriano je u nedelju pre podne,a posle rudka, dok je Komisija ocenjivala radove, za udenike i njihove pr/atioce orga-nizovana je prijatna voZnja brodom po Ohridskom Jezeru i poseta manastiru Sveti

Naum. Uvode, istog dana, udenicima su podeljena priznanja, a najuspeinijim takmi-darima uruCene su pohvale i nagrade.

NajuspeSniji takmidari bili su:

VIT RAZRED

Vesna Milo3evid, ud. OS >Heroj M. f,ajetinac eajka<, Trstenik (I nagrada)

Mlrm Dtamonia, ud. OS >>V. Peri6 Valter<<, Sarajevo (I nagrada)

Slavlca Delid, ud. OS >A. Savdi6<, Valjevo (II nagrada)

Jebna Kova6evld, ud. OS >A. Savdi6<, Valjevo 0I nagrada)

Milka Zivanovid, ud. OS >20. oktobar<, Beograd (II nagrada)

Zoran Jelakovid, ud. OS >>7-apre2it<, Taprrlit, (III nagrada)

Kost Ili6, ud. OS >V. Ribnikar<, Beograd (III nagra4a)

Deian Vasovi6, uC. OS >R. Mitrovi6<, Beograd (III nagrada)

Vesna Ristid, ud. OS >P.Preradovi6<, Z,agreb (III nagrada)

Moniks Varkonji, ud. OS >I. AndriC<, Beograd (III nagrada)

r2

Strnho Gnrden, ud. OS >Spomenik NOB<, Cerkno (III nagrada)

I\fierija Strnkovi4 ud. OS >D. JerkoviC<, T. UZice (pohvala)

$5a Xond u!. OS >N. Popovi6<, Kru3evac (pohvala)'

Vlrdan Stevaoovl4 ud. OS D2l. maj<, NiI (pohvala)

Tatjana.strnoevsk& ud. OS >8. Miladinovi<<, Skopje (pohvala)

Mlrue Ungar, ud. OS >D. Nato5evi6<, Novi Sad (pohvala)

VUI RAZRED

Nlkola Mlljkovl6, u!. OS >Brada Ribar<, Beograd (I nagrada)

Mladen Despid, uC. OS >G. Jankovid<<, Blatuj (I nagrada)

Zoren Cvetkovl4 ud. OS >Heroj L Muker3<, S. Palanka (I nagrada)

Mcriisn Petrovld, uC. OS >eibuk. partizani(, Kraljevo (II nagrada)

Mtie Bensa, ud. OS DM. Strukelj(, N. Gorica (II nagrada)

Tetianr Boiatrid, ud. OS >M. Vi5nji6<<, Banja Luka (II nagrada)

Robert Bokula, ud. OS r>P. Voranc<<, Ljubljana (II nagrada)

Bruno SkreIl4 ud. OS >A. Senoa<<, Zaereb (II nagrada)

Slobodan Rrkl€, ud. OS )V. Karadlid<, Sabac (II nagrada)

Tatjana DraIa, ud. OS >I.Gunduli6<, Beograd (III nagrada)

Andreja Tepovlevl4 ud. OS >I. Lola Ribar<, Novi Sad (III nagrada)

Am Pribakovld, ud. OS >rM. Vrhovltik<, Ljubljana (III nagrada)

Polono Blaznik, ud. OS >Miran Jarc<, Ljubljana (III nagrada)

Goce Trajdevskl, ud. OS >G. Deldev<, Bitola (III nagrada)

Vesna Jovani4 ud. OS >B. RadiCevid<, Beograd (pohvala)

Jadranka StaSevid, ud. OS >A. SavCiC<, Valjevo (pohvala)

MlSko Veselinskl, ud. OS DV. Ili6 t enjin<, Skopje (pohvala)

Violetr Somardll4 ud. OS DB. Raditevid< Novi Sad (pohvala)

Zoran Martlnovjd, ud. OS ))R. Mitrovid<, eadak (pohvala)

Dobrlla Dokid, ud. OS ))R. Pavicevi6<, Bajina Ba5ta (pohvala)

Valentlno Stojkovski, ud. OS >V. Ili6 knjin<, Skopje (pohvala)

Nlne Drobnjak, ud. OS >L Lola Ribar<, Kakanj (pohvala)

Voiislav Traikovid, ud. OS >M. Pijade<, Opovo (pohvala)

Miroolav Minid ud. OS )N. Matid<, T. UZice (pohvala)

Filip Anilelovski, ud. OS DV. Ilie Lenjin<, Skopje (pohvala)

Gordane Belevska, ud. OS >D. A. Gaberot<, Kavadarci (pohvala)

OBAVESTENJE

Zbog stalnog poskupljivanle usluga prinuiteni smo da povisimo godi5niu

pretphtu ns Mstematilki list za uEenike osnovne Skole na zl4 dinara.

Ure&iItvo

l3



Z,ADACI SA X SAVEZNOG TAI(MICENJA

VII RAZRED

i. St.ij"l"" gada u metu i za svaki uspje5ni pogodak dobiva 5 bodova, a zasvaki proma5aj oduzimaju mu se 3 boda. Kako je odito imao lo5 dan, strijelac je nakonserije hitaca, kojih je bilo vi3e od 10, a manje od 20, postigao toino n u I a bodova.

Koliko hitaca je bilo u toj seriji i koliko je od njih bilo uspe5nih?

2. Prirodni broj a nije djeljiv brojem 5. Odrediti ostatak koji se dobije pri

djeljenju broja aa brojem 5.

3. Izradunati rnednost izraza:

A:t.3.9+2. 6. l8+3 .9 - 27+.. .+100.300.900

4. U Cetvorouglu (detverokutu) ABCD nejednakih stranica dijagonale lCi 8D seku se u taeki O. Ako su povr5ine trouglova (ploitine trokuta) ADO i BCOjednake, dokazati da'' je dati Cetvorougao trapez.

5. Nad hipotenuzom pravouglog trougla (pravokutnog trokuta) konstruisanje kradrat koji ne sadrii teme (wh) pravog ugla (kuta) datog trougla. Dokazati da

simetrala pravog ugla datog trougla sadrZi centar kvadrata.

VIII RAZRED

t. Na nekoj sveCanoj vederi Sefsaleje dobio zadatak da okojednog okruglogstola rasporedi detiri mu5karca i izvjestan broj iena, i to na taj naCin da nijedna Zena

ne sjedi pored druge Zene, te da se nasuprot (dijametralno) svake osobe nalazi osoba

suprotnog spola. Da lije Sefsale uspio nadiniti takav raspored? Obrazloiiti odgovor.

2. Na &lu kolone biciklistiCke trke nalaze se biciklisti Aca i Bora, vozeii jedan

pored drugog. Oni su toliko odmakli ostalim udesnicima trke, da ih do cilja niko ne

moie stiii. 20 km pred ciljem Aci pukne guma. Bora je nastavio da vozi do cilja saprosednom brzinom od 40 km/h. Aca je zbog popravke gume izgubio 3 minuta,a onda je do cilja vozio sa prosednom brzinom od 45 km/h. Ko je pobedio u trcii sa koliko metara prednosti?

1 pat jeizrdz /F+F-SZxy. llyo ie x:361 979, z:561980, odreditisve vrijednosti za y, za koje dati izraz poprima najmanju moguiu vrijednost.

4. Frave (pravci): x-y:-l; x*y:8 i x-2y:) i obe koordinatne ose

formiraju petougao (peterokut). Odredi zapreminu (volumen) rotacionog tijela koje

nastaje rotacijom tog petougla oko apscisne ose.

5. Trapez ima powsinu (ploitinu) 80 cm2 i duZinu (duljinu) visine 8 cm.

Sredi5te srednje linije (poloviSte srediSnjice) ttaFza udaljeno je od jednog kraka3 cm, a od drugog 4 cm. Izradunati duiine osnovica tog trapeza.

l4

Re5enja zadetaks

VII RAZRED

^!. $k9 je strelac imao rz pogodaka i z promaSaja, tada je 5m-3n:0 i l0<m*+nA2O: Jedini par prirodnih b19j-eya koji zadovofa*a ovi dva ustova jC n:6,z:10. Dakle, strelac je ispalio 16 hitaca, od kojih 6 u metu.

?. ryr"J a kb3i ni;e deljiv sa 5, moZe se predstaviti kao 5k*l ili SkL?..Kvadratov9_q b-ro-ja -je: a2:(5klt)2:25k2+l0k+t:S(5k2+20+7:Sm+t iti a2:

.6kt2)z :25k2 +2ok + 4: 5(5*z *oO, * o

-52*4.Ako (vadriramo

io5 iednomdgbig9mo. a4 : (5 m + l)z : 25 mz * lom * l, ili at : (5n * 4)2 : 25 n2 + 4}ni f O.' U oUasludaja vidimo, a'ko a4 podelimo sa 5, dobiiemo ostatak l.

., 3. svi sabirci u brojiocu (brojniku) deljivi su sa l'2.4, a u imeniocu (naziv-niku) sv! sabirci.su deljivi sa I .3.9. Ako iiwsimo izvlacenje pred zagradu'iajed-nidkog faktora i skra6ivanje, dobicemo:

1.2.4(l+2'+3'... +1003) 1.2.4 8A:1.3.9 (l +2t +33 +... + t0O3)

:t.j.g: n'

- - -. 4. Ako uz trouglove AO2|,BOC, jednakih powsina, dodamo trougao ABO,dobidemo trouglove ABD i ABC, koji takode imaju jednake trovr5ine: pnii:pn"i.

llDakle

tAB . h-- AB.hz Gl. 1), a odavde ie hr:1tr, tj. DE:CF. Samim tim,

&tvorouelg cD_EF je pravougaonik (pravokutnik), pa je DCllAB. Zbog nejednakostistranica AB i CD izlazi da je detvorougao ABCDiapez.

sl. I st. 2

- l. -Neka

je A teme pravog ugra, BCMN kvadrat i o centar kvadrata. Dokaza-dgnp pa-:e prava (pravac) AO simetrala_ugta BAC - sl. 2. Kako je igrri iOC pr"u,sledi da !,rug {, opisan oko trougla ABC,iadrzi tacku o. Tetive io i"aoFon.te.umeilu sobom,-kao polovine-dijagonala kvadrata, pa su periferijski uglovi ti.lo i ceonad ovim tetivama jednaki. Zbog toga prava'Ao p6lovi uiao nilO.

st. 2

l5



' 1. Da bi nasuprot svakog od 4 muSkarca sedeli Zena, moraju se za stolom

rasporediti tadno 4 Zene, i to tako da izmedu svake dve iene bude po jedan mu5karac.

Neka je AB jedan prednik (dijametar) okruglog stola (sl. 3). Ako je ,tl mu5karac,

B je ircna. Medutim, levo i desno od prednika lB-oo.iu riO*i po I otirt". No,-i"41 B mora biti muS-

aBoraju sedeti po 3 osobe. No, tada B mora biti muS-

karac, Sto protivredi uslovu da dijametralno suprotnomu5karcu sedi Zena. Dakle, Sef sale nije uspeo da na-

dini traZeni raspored gostiju.20

2. Bora je vozio do cilja*:o,t

dasova, odno- O

sno 30 minuta. Aci je bilo. potrebno*4

*.ouu i joS 3

5. Neka je SP:3 cm i .S0:4 cm (sl. l). Iz pow5ine trawza dolljamo {::m , h, odnosnb 8o:m'8, oda[le je srednja linija lrapezg !.^lo. Dakle, a{6:

r :20 cm. a nravougli trouglovi (pravokutni trokuti) SMP i SNQ imaju hipotenuze

\ S cm. Foinoiu Pitaforine teoremilzraiunamo da je MP:4cm i/V9=3 cm. Pravougli" ;d;lovi SMP i aeFsfcni su, jer su uglovi (kutovi) kod M i B jednaki, kqo 9qt-ovif ru oiralelnim kracima. Iz slidnbsti ovih trougtova dobijamo proporciju SP : MP:il :r, , rr,odnosno 3 : 4:8 : x, pa je

"::. Na isti nadin, iz slidnosti trouglova

2

NQS i AED dobijamo proporciju SQIQN:DE,:AE, ti' 4:-3:8:/, odakle je

i jo. futo j. detvorougab (&tveiotut) Carr paralelogtram, sledi da je EF: qP:b,

pa

iei+y:a-b. Sada dobijamo sistem linearnih jednadina: o-t:3]+a,

89minuta, odnosno ukuPno -

minuta.

VIII RAZRED

Vidimo da je aA

st3minuta, tj. za 2O

a+b-20,

20. Relenje ovog sisterna odretluje traZene osoovice trspozai o:7,

3AAAIPT CA PEITYE.'IUqKOT TAKMIITIEbAyqEHI4KA OCHOSHUX IIIKOJIA CP BOCITE lI XEPTIETOBITITE

oAltt€ror 26. uoia 1979. ro,qlre y Erxohy

\vII PA3PEA

i".ga xoje aprjegnocrr 6poia a $yxrunje .f(x) :ax a g(x): x+4 3aAoBorga'

sajy jcAHarocr 11g@)) 3a cBaKu peanan 6poj x?

2.,Aro ca6epeMo ABa 6poja, no6uheuo tpehu. Axo cabepervro gpyra n rpehr,

.qo6HheN{b {ergpM6poj, I{ra. llipa'lyHarn r6np npBrlx urecr raxo ,qobunessx 6po-jeaa,.4xo ce gna ,qa je nern 6pbj 7,25.

\ Iloragarn Aa je, sa cBaKr rlpocr (npuu) 6poj p)3, uporigsoA @+t7'o ''@-l) .4iernr Epojeu 24.

4.Aorasaru rBpArby:'gyxu"a gyxn roja cnaja nononnurra ,qujaronana rparle3a jerurara je

uoJroBurrn pa3nrrKe,ryx[Ha li€roBut( [€paJreJrlrnx crpaEltqa.

5; Csara oa ,qenje rpyxrrulle AoArpyjy o6a rpara spaBor yura' a jeanoj onrxx xpyxHr{qa 11p1ana.qa qeHrap Apyre Kpyxailrqe. I{apavynarn xa 4anje AerII{MaIne:

a) o4noc norryupewrira; 6) onnoc o6nrvra rpyxnru1a; c) oAIIoc rloBprluua

rpyroBa.

VIII PA3PEA

1, Axo AsorFrlpexou 6pojy nfpnurerrro jepy unOnv, Ao6nheuo 6poj xojuje mecr'uyra Malslt oA upno6uruor 6poja.-

i) Moxe nn urbpncana qr$pa 6xru na rrajecry jelpruIa u gamro?

6) Koju je ro naouu0penn 6poj?

I. Tatra je ucupn,rana csojoj Apyraprqu Ca6npu Aaje naqprana rpoyrao

ABC y roiey. ancsna ia crpannrry 8C nponart raq'o ra{roM npecjexa cr{Merpaue

ytra ABi !t c[MerpaJre crpanrrqe AB rot rpoyrna' Haro je-C-a6npa ycrBpAf,rra:

,,Ur rnx uoaarara j-e 1roryhe oApeAtrrlr Be1114rIrHy ytta ABC".Ilpoajepxrn.qa ntr je-Ca6rpa

y [paBy. Axo jecre, oApeA[T[ B€nrtulgy yma ABC,

5b:-.

3

55

pobednik Aca, jer je stleao za Isekundi, pre Bore. 7a tih z|sekundi Bori je ostalo da' precle jo5

*'*:i*

Aca je pro5ao cilj sa prednoKu od 222,2 metra'

3. Najmanja vrednost datog kvadratnog korena je 0. Dakle, mora. bit x2+*y2-zz*2xy:d, a kako je x2+yz+2xy:(x1y1z, sledi da mora biti (x*y)2-zz:Q,odnorno @|iz:zz. Od-avde dobijamo x*y:2, ili xly:-2, ti. y:z-x, iliy:-z-x. TraZene vrednosti za / su 200001 ili

-923959-4. Dobijeni petougao je osenden na sl. 3' Koordinate temena (vrhova) dopijaju

se u presecimi odiovaraludi-h pravih. Na primer, tadka (0,1) je presek y-ose (x:0)

i prave x-r:-l; koordinate tadke (;' ])oooturrro resavajuci sistem jednadina

x-y:-7, x*y:8 itd/TraZenu zapremini dobiiemo ako od dvostruke kupe poluprednika (konusa

9radijusa)

!i visine 9 oduzmemo dvostruku kupu poluprednika 2 i visine 6 i kupu

poruprednika I i visine I (levo ody-ose): z:1(;); t-+ z"n'e -li''t'n'r:629

12v

(0r1

\

{

r#iiu

Y EaF

st. 3 -J$ti!il')t7



3. Jeasarorpa(l rparre3'ruje cy ocrroBr{qe 4yre 12,5 cm u 3,5 cm,a gujaro-nana 10 cm, porlpa oKo Marbe ocnoBxqe. llopavynarx rroBprrJr.rHy n 3anpeMr{HyHacranor rxjera.

4. Ogpennrx cBe paquoHanne 6pojeae xojn ra4onoraaajy nejegnavnny:

3o-2.0.

a+l5. Borje npeuao Mocr ryr 225 m, aosehu cranHoM 6pruuor"r, sa27 ceKyutu

(paqyxajyhu rpnjer"re o.q Haunacrta noxoMorfiBe Ha Mocr Ao cr{JracKa nocnearserBaroHa ca r"rocra). 3arunr je Bo3 npomao nope.q jeAxor nellaxa, xojn ce rperaocynporrro cujepy rosa, sa 9 ceryxAn. 3a ro rpujerrae njeurax je npeurao 9 m.

OApeAnrr AyxuHyEo3a y MerpuMa x rberoBy bprnxy xperarba y KfinoMerpuMa

Ila caT,

Pieuetre saAaraKo

VII PA3PEA

l. JeAnaxocr f (e@D:cUQ)) najet a(xla):ax+a, a oAaBAe je a2:a, ;;nva2-a:O.;16r6*Bgrba jenHa(ocr Moxe Aa ce Harrurue Kao d(4-l):0, a oro je ucrry-r$€Ho axo je a:O wn a:1.

2. flpaux urecr 6pojera oBor Hrr3a cy: a, b, a+b, a*2b,7,25 n al2b*7,25.Kaxo je nern 6poj je4nar :6upy rpeher u qerBpror, ro je (a*D)*(a*2b'):7,25,rj.7a*3b:7,25. 36np r npBrx ruecr bpojena je: s:a*bl(a*b)'t(a*2b)*1,25't* (a*2b'17,25): 4a * 6b * 14,5 :2(2a +3 b) + I 4,5 : 2' 7,25 + 14,5 :29.

3. flpousroa (p-l)'p'@+t) o6pagyjy rpl{ y3acronHa npupo4na 6poja,na je jegar oA rbux curypuo,ajenuo ca 3. Karo jep npocr 6poj, aaxne I{ HeIIapaH,

ro cy 6pojesu ( p-l) u (p* l) asa y3acrorHa napna 6poja, na je jeaan oA rbux ajerunca 2, a apyruje ljerus ca 4. Oryta je Aart rpol{3BoA Ajerils ca 3 '2'4:24.4. Cpearruqa MN rpanesa ABCD lz'lrLa oco6uny Aaje napanenna ca ocHoBu-

IrlaMa n nena 4yxuna je4rara je nonyo6upY .qyxrfla ocHoBI'Iua: ,*:z uB+cD).

Axo cy P n Q npecjetue rallxe cpeArbnue u Aujaronala, osAa cy pyxn MP u NQI

cpeAnuqe rpoyrnoBa AC D u BC D. 36or rora je r, :Z

C D : N Q.T axo,qo6ujar'ao:

Cr. I

u

l8 l9

PQ:MN- MP- NQ:+ UB+CD)-; CD-; 6p:-(AB-,2-

rr:!uB-cD),,t

1,5 F

Ctr. 4

IIITO CE Il

TBpA[no:''5. Hexa cy Su 51 rleHrprr xpyxErrqa ca tronyrlpetrHrwMl?r r-rt,a Pu Pr

,qoanps6 raqre .oiux r<pyxntrIla,ca KpaxoM OP npator yr:la POQ, Beha xpyxrnua

caapitr ravxy S (cl. 2). Ilpasoyrau rpoyrnoBx OPS tt OPrSt cY je.unaxoxpaxu,

jep ra.rxe S n ^Srnptnaaajy crrMerpanu upaBor yrna. 36or rora je OS:r /\ a

OSr:rr y'i Ocuu rora je OS1:0$171:rVZ+rt.

a) llr noc'eA*ux gsejy Fanarocrr Ao6nsawo: rr/T--rY'T+rr oArlocHo

,. VT - .t:

n(/2-D:r lT, naje ::

-2. Aroysr,,teuo npu6auxsoV 2:1,41, ao6nheuo

o^i"a:yu- r vz-r

6) O,uuoc.o6uua rpyxnrlla je 01 t O:r1 : r:3,44'c) Onsoc roBprurura xpyxnnqa ie P1 :, P:rf n ' 72v:(r1: r)z:11'33'

VIII PA3PEA

l. a) I4s6pncaHa un$pa He Moxe 6lrru na r"rjecry je'qrHnua, jep 6n y rovcay,rajy uianu jeaxarocri l6a+b:6a, rj. b:-4a, a oao unje uoryhe, iep cy a u b

qu$pe n nropajy 6tru o6e nognrugne.

6) Axo nr6purueuo uuopy Aeceruqa, npeMa .uaroM ycrloBy,, aoblrjarrlo:

10a*b:66, i o,qa"nd je 2a:b. ciii oco6uny nvajv 6pojeau: 12, 24, 36 u 48'

2. Hexa Bucura AD ca4pxn upecjeYlry ravry O cuMerpane yrn-a rl cuMerpaJre

.tpu""q"-,lCi*: tj. H; o'rosy ocobuie curtaerpale ayxn, 6ahe AO:OB, u t6or

rora y jegnaxoKpar(oM rpoyrry ABO ie i'OAB:4OBA:-'- ' Karo je rpoyrao

ABD npatoynru, ro je 4B)D+4ABD:90., tj +:90o, oaaxne je 9:60''2

Cabupa je 6ura Y nPaBY.

.t



. 3. Aro rs rjeuera_C xoucrpyrmeMo ,ryx CE uapaloruy Kpaxy AD,,qo6nheMoje4narorparn rpoyrao BCE, tuja Brlcrua h:CF rr6n6rln irc"b"rirv-aE-G". +laxne, AF:8, ra rr3 trpaBoyrnor rpoyrna BCF aoFrsrlavro: BC: y'Aq+,-sz:1,5.

Tujeno roje xacraje p_oraqujou^ oBor rparrea or(o Marse ocroauqe, cn. 5,upeAcraBJba BaJba( B[cr{He H:AB-:12,5 u norynpeqElxa r:h:6, E3 Kora cy ctr_rd€rpFrno norafene xyue xoje cy Qoprvrnpaue xa4-6alaua raEra, ia

"ucn"oni,:

:BF:4,5.,{aue, eanpemnra je Y:r2zr1-2.! ,rn1r:3422r,a uoapmnn aie p::2rrH*2' ncBC':24$i.

3

4. Axo je 6pojrurau Aaror pa3noMr(a no3rrr{Barr: 3a-l>0,r1. o>f,, r^nrrlrrtrBlrrfi ruopa 6nrn EerarnBax, a{l g0, rj. a<-1. Ono mlje voryhe, jep re rvroxe

6uru rcrorpje*" o ou?o 2<-1.

Axo je 6pojrurarl HerartrBarr, ,:. ta|, ra)1a nalurrm uopa 6nrr tro3nruBarr

rj. a>-1. ,{axne, nocran'enn yclroB 3a.uoBo;rarajy cnn parltroxamtr bpojear r:t 2\urrrepBarra (- t,

;/,rj. pargonanrrr opojeglr xojn cy sehr oa _ I r ucroapjelreuo

2MaEn oA

-.5. IlpernocraBnr\,{o Aa sog sa I celm.qy npele v Merapa, a Aa je .ryxma

Bo3a x^Merapa._Ta4a je aorouornaa ga 27 ceKyHAr{ flpemna eZS+x) r,rerala, rj.27v:225*x.36or rperarra njeruaxa.y crrajepy cynpor'oM Kperarby no:a, sa 9 ce-ryrrAn noroMorr{Ba npena3rr (x-9) ruerapa, rj. gv:x-9. pjemararreu go6ureuorcncreMa

JeAHaqr{Hauo Herro3HarrrM y r{

r Hit"lra3rMo aaje

x:126 Merapa, ro je ay_xuHa Bo3a' a' v:13 Merapa y ceKyHAH. Epsnra (perarsa aoga 13.360b r,aerapa nacar, oAHocHo 46,8 km/h.

REPUBLICKO NATJECANJE UEENIKA OSNOVI\IH SXOT,.C,

sR HRVATSKE,odrZano ll.-13. svibnja 1929. godine u Crikvenici

Republi_dko natjecanje iz matematike za udenike osnovnih skola sR Hrvatske9dr1a-4o

je u okviru-pokreta >Nauka mladima<<. Natjecanje se odvijalo u au" aii"r".Prvi dio sastojao se iz rjesavanja po 6 taksih zadataki, na'kojima 16 oij"n:iuao por-navanje tipidnog sfols.kos qrldiva. Drugi dio natjecanji zahtijivao je oa udsnita uecinapor,ier je trebalo rjeliti jos 4 teza zadatka. oide c6mo daii ges6n3a aiugeifupinezadataka.

VII RAZRED

1. a) Dokaii da za bito koji prirodan broj z wijedi

b) Izradunaj zbroj n n+l n(n+l)

IIIII+--+_+r..r_l

l00.tol tol.toz t02.103' 198.199' t99.200'

20

, -trNekasu & .y, z€N, takvi da je x<y<z i 1+1+l:1. Natli x, x, z.

3.'Tadanaje kruinica & i tocke -p i n unutalnjJro'nrt.uiraj pravokutni

trokut ypisan u kruZnicu k, takav da todka P pripada jednoj kateti, a R drugoj.

4. &tverokuti ABCD i EFGH inaju svojstvo da su todke B, C, D,,{, redompolovi5ta duilina AE, BF, CG, D^f;L Ako je plo5tina Cetverokuta ABCD iednakaI (cmz), kolika je ploltina detverokuta EFGH2

, VIII RAZRED

l. Neka su x, y, z € N, takvi da je xcy <2. Odredi x, y i z, ako je broj njihovihreciprodnih wijedn6iti jednak nekom crjelom brqju a.

",2. Na stranicama paralelograma ABCD dabrane su toCke KIAB, LIBC,MICD i N€DA tako da je d (A,Kl:d (K,B):d (B,L) i d (L,C):d(C,M) : d(M,D\::d(D,N) i d(N,A):k, gdje je /r€R 'i k+O. Dokazati da je detverokut KLMN p'ralelogram. Kako se odnose plo$tine paralelograma ABCD i KLMN?

3. Na pionirskom sportskom natjecanju pokazalo se je da se svaki djedakpoznaje s todno z djevojdica i da se svaka djevojdica poznaje s todno z djedaka. Do'trazati da je na natjecanju sudjelovao jednak broj djedaka i djbvojdica.

4. Osnovica uspravne prizme ABCDA1B1C1D1 je trapez s bazama AB i CDu kojem su duljine stranica d(A,B):A, d(B,C):g, d(C,D):16 i d(D,A):7. Kolikije volumen prizme ako dijagooala BD1 zatvata s dijagonalom BD baze kut od 45"?

RjeSenia zadtttka

VII RAZRED

1. a) Dovoalenjem razlomaka na zajednidki nazivnik doUlvamo:

I I _n+l-nn n+l n(n+ll n(n+l)' -

b) Koristedi se rezultatom dobiveirim gore, svaki razlomak u datom zbroju

napisademo kao razliku dva prosta razlomka, a onda & dodi do poni5tavanja sufrofnih brojeva, tako da ostanu'samo prvi i posljednji razlomak:

I r I 'l

-!-

t00.1ot'101.102'102.103' 198.199 199.200 100 l0l l0llll ltllll

--r---f... r

---L-o2' 102 103 r98 199 200 100 200 2N

2. Odigledno je da ne moZ€ biti r=1., Prema tome, oajmanja moguda wijed'111-+-:-ostza x jex:2.Tadaimamo;-;:;,

odakleje 2z*2y:yz,odnosno vz:2v

:22. Odavde dobirnrmo y:

z_2.

Zboe y>3 i z>4 dobivam"

;<3,

odakle2z

-(

3'z

je 227324, odnosno z>6. Dal\le, z:4, ili z:5, ili z:6. Nije mogude z:4, ierjetadaiy:i,Sto je protivrelno ugetu y<2,7-a z:5 ne dobivamo naravnu vrijednost

za y. Zi z:6 dobivlmo y:3, paje rje5enje x:2, v:3, z:6. Nije telko uvjeriti se

da je to jedino rje5enje zadatka.

2l



3. Ako jg Q wh pravog kuta tralenog trokuta, onda Ce duZina pX biti dija-metar opisane kruZnice trokuta PQR. Dakle, todku R dobidemo u presjeku ditekruZnice i kruZnice dijametra PR (sl. ll. T.a;tim konstruiramo tetive AO1 AO.Oa,ruZnice i kruZnice dijametra PR (sl. l). 7-atim konstruiramo tetive Ael ne. Oaje kut AQB prav slijedi iz dinjenice da je svaki put nad dijametrom priv. Z{datakmoZe da ima dva rjeSenja, kao na (sl. l). trokuti ABQ i A$rOr. iedno rie5enie- ilije kut AQB prav slijedi iz dinjenice da kut AQB prav stUedi iz einjenice da je svaki put nad dijametrom prav. ZadatakmoZe da ima dva rjeSenja, kao na (sl. l). trokuti ABQ i ABte1, jedno rje5enje, ilinijedno, zavisno od toga da li kruinica dijametra .PR sijede, dodiruje ili ne sijeCedatu kruinicu.

41 Hst. I sl. 2

4. Oznadimo sa P1 i P2 ploStine trokuta ABD i BCD. Dokazaiemo da trokutABH ima plo5tinu P1. Neka su K i I noZi5ta okomica iz vrhova D i H na pravacAB (s1.2). Pravokutni trokuti ADK i AHL sukladni su, jer je AH:AD i 4EAL::4KAD (naianjenidni kutovi). Zbog toga su visine DK i HL trokuta ABD i ABH

jednake, pa kako je AB zajednidka osnovica, to je plo5tina trokuta ABH jednaka

ploStini trokuta ABD. Tako i plo5tina trokuta HBE iznosi P1 (BE:AB, visinaje IItr).Dakle, plo3tina trokuta AHE iznosi 2P1. Slidno dokazujemo da je plo5tina irokutaCFG jednaka 2P2.

Ako sa P3 oznadimo plo5tinu trokuta ABC, a sa P3 plo5tinu trokfia ACD,onda, slidno prethodnom izlaganju, dokazujemo da je plo5tina trokuta.BEF jednaka2P3, a plo5tina trokuta DGH jednaka 2P3.

Plo3tina P detverokuta EFGH jednaka je zbroju plo5tina trokuta AEH, BEF,CFG, DGE| letverokuta ABCD, a to je:. P:2Pr*2Pt*2Pz*2Pq*l:lf2(Pr**Pz*Pt*P). Kako je Plapr:pt*P3:1, to je P:l-12.2:5 (cmz).

VIII RAZRED

111 lll1. Uvjet -* -f.l:a moZemo napisati u obliku - * - * - :1,xyzaxayaz

gdje su ax, ax, az naravni brojevi i ax<ay<az. Na nadin, kao u zadatku 2 zayll

razred, dobivamo jedinstveno rje5enje: ax:2, a!:3,a2:6, odnosn o *:' , ,:t ,a- a6

z:- . Odavde izlazi da rje5enje postoji samo za a:I, i to x:2 y:3, z:6.a

22

2. Neka je KB:DM:I. Tada je AK:CM:/c.x. Slidno je CN:AN:yi BL:DN:k 'y (sl. 3). Iako se dokazuje da su trokuti AKN i CLM sukladni, paje KN:LM. Na isti nadin, iz sukladnosti trokutaBKL i DMlf sljedi da je KL:MN.Prema tome, detverokut KLMN ima jednake nasprdmne stranice, pa je on parale-logram.

Neka su toCke E i P noii5ta okomica iz toCaka D i N na pravac ;(8. Iz slid-nosti pravokutnih trokuta ANP i ADE izlazi da je DE : NP:AD :,{.iV, odakle jevisina paralelograma; h:(k+l)v, gdje je v visina trokuta LKN. Slidno, visina tro-kuta BKL, okomita na stranicu .81(, iznosi /r'v.

Plo3tinu p paralelograma KLMN dobiCemo kada od plo5tine P paralelogramaABCD oduzmemo plo5tine trokuta lKNi CLM,tj.2Pr i pl5otine trokutaBKLi DMN,

Ii Pc:-xkv.-2tome P:p:

3. Neka je na natjecanju sudjelovalo a djedaka i 6 djevojdica. Svaki djelakie s todno z djevojdica, pa a dje{aka ima ukupno n'a poznan\tav:i sa dje-a. Slidno, D djevojdica ima toCno z. D poznanstva s djedacima. Medutim,poznanstvu )djedak - djevojdica< odgovara tocno jedno poznanstvo )dje-

- djetak( (na primjer, poznanstw >Aca-

Vesna<<, odgovara poznanstvo

se poznaJe s tocno rvojCicama. Slidno, D

svakom poznanstvu

vojdica -djetak( (na primjer, poznanstw

>rVesna - Aca<), pa je na:nb, odakle je c2Vesqa - Arca<), pa ie Y:nb, odakle je a:b. Dakle, broj dje.daka jednak je brojudjevojdica, Sto se i tvrdilo.

ti. 2P2. Kako je P:AB' h:(k*l)x(k*l)v:(k+l)zxv, rr:f,**,to je p:p4p1-2P2:(ktl)2xv-kxv-kxy:(&2{l)n. Prema

:(k*l)zxv : (kztl) tr:(::l!" .k2 +l

st. 3 st. 4

BAst. 5

4. Najprije 6emo izradunati duljinu visine DFi dijagoqale 8D. Duljina dulineAF ozrn&na je sa x, a ostale duljine oznalene su na sl. 4. Primjenjujudi Pitagorinpoudak na trokute ADF i DEF dobiCemo: 72-x2:h2 i 92-<8-x)2:rr2, odnosno72-x2:9218-x)2. 96"u6. je x:2, a 8-x:6. Potom dobiramo da je hz:45,odnosno h: /45:3 /i Saaa imamo duljine kateta DF i 8F pravokutnog trokutaBDF. Iz BD2:DF2+BF2 dobivamo: d(B,D):23.

Ttokut ABDr na sl. 5je

pravokutni istokrdni,pa je

duljina visine DDrprizme

jednaka duljini dijagon ale BD. Kako je plo5tina P lxrze ABCD: *lg+ZO.z

.g /t:60/T, to ie volume! prizme: V-@ {s .23:1380 y's.



13Eli. Odrediti vrijednostrsl;r1A, B i C tako da operacija zbrajanja (sabi-

ranja)budetadnoizvrsena. + ABA.

c c cc. ^13ry.

Kada se u praz49 rez''uoar sipa voda sudgqr rr.oji zahvata 45 ritara,posle 34 sipanja u rezervoaru 69 biti dve trecine ukupne torieini vooe ida *oz. a"stane u tajreznmoar. Koliko litara zahvata taj rez6rvoar?

r-13b7"6anduk sa sriivama teZak je 2-5 kg. Koliko j9 tezat sam sanduk ako.suSljive, kdjers6"nalaze u nj6mu, za zo ti tJz" o?,uiour."f

. i"l{t Koje sye promjene duljina (duzina) str,anica pravougaonika u cijerim mmdovodb'do promjene njegovog obima'za 4 ifii-1389. stranice kvadrata povrsine I dm2 nacrtane su zelenim fromasterom,

7 zalim.je pows tog kvadrata-isjedena na kvadritide ponisin"-l-ii,rr.-iiJito e"kvadratida biti kod kojih su: 2 stranice iere""

"u":ir.,lii"i-riiuoid"i"r."obojena a sve stranice neobojene?

B) Za utenike V i VI razreda

. -1390. IA2D3A4A5O6A7O8O9:1. Umjesto A, rl i O treba stavitipo jedan znak osnovnih radunskih operacija tatco ira aati-j"frutoriuuo!1piuur".1391. Dva lonca sadrZe.mrrj_e{g. Ako se prerije.4 ritra mrijeka iz prvog suda

:r qrlrci' !1{" 6e u drugom biti za-2 ritra manje nego sto je ostaro u prvdm.-fi.olit<oje bilo mlijeka u drugom loncu ako je u p.uotir pr-ij-e presipanjtbid ii itt;;;i'1392. Koliki je broj svih trozname-nkastih (trgcifrenih) brojeva kad kojihsu znamenke (cifre) stotina i znamenke jedinica raziidite?

C) Za utenike l/I i WI razreda

1393. Automobilista je pr"S"o ] puta. KadU

bude preSao jo5 5 km, ostade mu joSfi nuta Ao

polovine puta. Koliko km iznosi duljina ii;elog puta?

24

ZADACIODABRAM ZADACT

Ovi zadaci treba da vam sluZe za verbr i pripremanjc zamatcmaticka rakmicenja, ka_o i za rad u^ot"^oliii"i

,[iiiii. bo"'uiunizaqacr nlsu teski i moze da ih reii svaki ulenik koji reiovno pratinasta_vu_matematike u Skoli. Zadatke treba samosrainJ da reSiii, anavcdcni realtati i uputstva neka,vam stuze ii ioniioiu.

-Zauceni*c

iq;nb,;:;"yat:yi:::t;:r*e*f;atiiii,r,}r#tiiredstsvlja korisno uveZliavanjc.

A) Za uienike IV i V razreda

st. r

1394. Zbroj (zbir) dva naravna (prirodna) broja je 168, a njihov najvedi za-jednidki divizor (delilac) je 24. Odrediti sve parove naravnih brojeva koji imaju owosobinu.

1395. Usporediti plo5tine (powline) Srafiranih pravokutnika (pravougaonika)na sl. l. Dokazati zakljudak.

" D) Za utenike VII i Wil razreda

1396. Urediti po velidini brojeve.: o, 4, a2,2a, a3, ako je-lca<0.397. Produkt (proizvod) Cetiri uzastopna cijela broja iznosi 24O24. Koji

su to brojevi?1398. Dokazati da svaka todka na osnovici istokradnog trokuta (jednako-

krakog trougla) ima osobinu da joj je zbroj (zbir ) okomitih rastojanja od oba krakastalan. Koliko iznosi taj zbroj?

E) Za uteniki VIII razreda

1399. Od ukupnog broja udenika jedne Skole na ekskurziju nije iSIo 56 udenika,odnosno 8f od svih udenika Skole. Broj djevojdicaje 751 od broja djedaka. Kolikou toj Skoli ima djevojdica2

U{n. Za koliko 6e se procenata povedati plo5tina (povr5ina) kvadrata akose njegov opseg (obim) povein za 2O/"?

1401. Osnovni bridovi (ivice) posude oblika kvadra stoje u omjeru 4 :3.Opseg baze je 56 cm, a dijagonala kvadra je 0,25 m. Izradunati koliko litara tednostistaje u ovu posudu.

F) Za utenike svih razreda

. 14U2. Koliko ima troznamenkastih (trocifrenih) brojeva koji u svom dekadnomzapisu imaju todno jednu znamenku (cifru) 5? \

1403. MiS se nalazi izmjedu rupe i madke. MiS je od rupe udaljen 20 koraka,a madka od miSa pet skokova. Dok madka nadini jedan skok, mis nadini tri koraka.

Da li ie madka uloviti miSa, ako je duljina njenog jednog skoka jednaka sa desetkoraka miSa?

t4&l. Zbroj (zbir) svih cijelih brojeva od I do 100 razbiti na pet jednakihzbrojeva. Napisati sve brojeve u svakoj klasi.

Rezultati odabranih zadataka 1E85-1404

BEs. A moZe imati wijednosti svih naravnih (prirodnih) jednocifrenih bro-jeva; B:0, C:A. 13E6. Rezervoar zahvata 2295 litara. 13E7. TeZina sanduka je2 kg 500 g. 1388. Jedna ili druga od susednih stranica treba da se skrate ili produieza po 2 mm; ili i jedna i druga susedna stranica da se skrate ili produZe za po I mm.1389. Sa dve oboiene stranice

-4 kvadratida: sa iednom oboienom stranicom -3E9. Sa dve obojene stranice

-4 kvadratiia; sa jednom obojenom stranicom -32 kvadratiia; 64 kvadratida neobojenih stranica. 1390. A je znak mnoZenja; tl je

znak oduzimanja; O znak zbrajanja (sabiranja). 1391. Bilo je 5litara mleka. 1392.Takvih trocifrenih broieva ima 810. 1393. 200 km 1394. 24 i 144: 48 i l2O:.72 i 96.znak oduzimanja; O znak zbrajanja (sabiranja). 1391. Bilo je 5litara mleka. 1392.Takvih trocifrenih brojeva ima 810. 1393. 200 km 1394. 24 i 144:' 48 i l2O;72 i 96.1395. PloStine su jednake. 1396.2a<a<a3<az<-a 1397.

-14, -13, -13i-lf,ili 11, 12, 13 i 14. 139E. Zbroj okomitih rastojanja svake todke na osnovici jednak je

visiniistokradnog trokuta. 139.

525. M0i0,.

4%.1401. 2,88 litara. 12102. 225. 1403.

MiS se spasava za jedan korak. l4(X. Svakih deset uzastopnih brojeva razbijemo naklase: 1*10,2+9,3+8, 4+7,5+6. Zbroj svih dvadeset brojeva svake klase iznosil0l0,aklasesu:{1,10,11,20,...,100},{2,9,12,19,...,99}, {3,8,13,18,...,98},{4,7, 14, 17,. . .,97}, {5, 6, 15, 16,. . ., 96}.

25

--



KOHKyPCHI,I 3AAAIIr,[

OBf, 3a,[aqn cy HaMcrcBH DFrBcHcrBcHo 3a caMomanaapaa oHrx yrexura rojr cc y Behoj wcpn nnrepccyjy 3a MarcMa-rxry. Peuere caaror 3a,[arxa 6uhe o6jaancro ca nornHcoMof,or pcuaBaoqa ;oju 6y.qc nffnao cacBf,M rarxo r xaj6oreo6pa3noxexo pcucEc y rory npBux 20 lua no H3racry nf,ma.

llMcaa of,Hx peuaBuaua xojr nouuy 6ap 5 npa-tf,JrHf,x pcucBa xoHrylrcHrx 3a,qarara 6nhc o6jaanena yacrtrouro cc oa btrx trpf,Mc no yrynno 5 ramnx pcuem. Ceurora ie y rocnc,[HM 6pojy lucra 3a oBy uxoncry roaHny6nru nocc6xo objaElbeHa lvcna xaj6onxx pquaBuaqa, axojc cy npc,qBnbcBe EoBcanc Earpa.[c.

Pcnmajre trocraBDcxc 3a,qarrc f, nannrc nx y morclfcu 6pojy Mafuetatuuaxon tucay. Pena&,;otttr uory nlo

sarf, pc,qarqrjf, pc[gba caMo omx 3aAaraxa Koju cy ApcgFculjew u ftuN paspeg u u yqexuK.e ccux pa3pcga. 3a,a^TrcpcuarajTc caMocrurEo, re rpaxchtr rioMoh Ef, oA xora. Crfficqprajrc npcqlrno, a pcueEa nnunrc o6pauoxcHo s wrxo.Ha jc,qxou nncry nampa rpc6a Eaucartr ca f,oc crparcpcanx 6poj, Texcr r roMmcrno p€uctr cilo tro jc,qnor ra-AarKa g cDaxo pcuerc Tpe6a nortrf,carf, EyHuil uterct u

Apesuerct, mcogehu pa?pcg u ogehew, uKoty, ilecfuo u xyhny agpecy. HetroTtryHa peucEa, xaox peucra 6es o6paeaoxena, o,qtrocxo 6€3 nyac aApcce trouf,Daoua, f,€hc G y3f,Martr y o6:np., Csa pcuena xoja uffiTe f,croBtrcMexo craBf,Tc y ,e,qaH xolepar f, nousxre f,x Ha aapecypc.4aKrlHj€ ca Ea3HaroM ,,KoHrypcxu 3ataqa". Ha noacllxu KoBcpra aaBcaf,Tc crojc nve, urolyf, pa3pc.q. Peueua 3aAaraxa B3 olor 6poja rocra rpe6a nmaru uajxacmje Ao 5. 11. 1979. r.

A) 3ayvenuxe IV u V paspega

553. He Merbajyhr Beh ym{caue rlr$p€, cBary 3BeAtrrry3aMeHx jeAnorr,r oA 10 apa[c(ux qloapa (rnarvreuxn) TaKo Aa otre-paqrja MHoxerf,a 6y.qe raqHo r3BeAeHa. O6pa3nors nocrytraKoApebuBaba Uxoapa.

B) k yuenuxe Y u YI paspega

556. y npnxa3axoj cxeMn cnoBa 3aMerrlrf, gx$paMa ra-xo Aa cBe HaBeaeHe o[eparlEje, IIo EpcTaMa rr roJlouaMa, 6y.ryTalrno ElBprIeHe. Hcro croBo speAcTaEJba xcTy ryopy.

554. Kaxo ce Moxe [oMohy cyAoBa oA l0 nnrapa t7 JlaTapa 3axBarf,rn rrr

pexe TaqHo 8 mrapa roAe?555. florvreuraHe cy ABe Bpcre po&: 2 xnnorpaua npBe Bpcre no 27 llrfiapa

rr 3 [ape 3a xnnorpaM, r 6 xmorpaua ApyFe Bpcre rro24 gwnpaa 50 napa 3a Knno-rpaM. ll3pa{yHarrI qeHy je4ror xulorpaMa cMeEe.

* t.2 t

l**

. r-TZ-

AB.B:CB+- +B: A: B

DE.F:GE557. Ilouohy repa3rja ca racoBnMa, xopf,crehf, jeaax rer oa 50 g, Tpe6a

oA 9 kg Eparnna oAMepxrtr ABa ro{norpaMa 6pamna tryrcM catMo rpx Meperra.Kaxo ce Moxe ro obanliTlr?

' C) 3a yuenuxe VI a VII paspega

55t. Axo cy a v D npocrr 6pojean Behx oA 3, onga BpeAxocr rrepira(a + b) (a- bl

-- trpelcraBJ6a qeo 6poj. ,{oxa:arr.559. Ilpare (upaaun) a, b, c npwagajy xcroj paBxx (paBHnHr{), a re npo.nare

cBe rprr xpo3 ncry rayxy. Koucrpyrrcarx Ta{xy,{ xa nparoj 4 x raqxy .B xa npaaoj D,

Taro Aa cy re ,q8e Tallre ocao cf,MeTprnme y oAEocy lla EpaEy c.

26

D) 3a yuenuxe VII u VIII pa3pega

l

i

l

i

i

I

I

I

I

,

l

560. 4,8% Heror 6poja &

13715

--3.625+28:-29 15

Il3HOCI{

*.9.8+0,625:1,75

O.qpearrn 6poj /c,

561. Taqxe M n N cy cpeAf,rura (nororrurra) crparf,ua AD n BC npout-

BorbHor qerBopoyrra (veraeponyra). ,{orasaru na je Mivaf (ABIcD).Raxaz

BarKR 3HaX je4narocru?

E) 3a yqenuxe YIII paspega

562. Axo cy a, b, c, d, e,fyzacrotw trpupoArru 6pojenn, yperETE tro BeJrf,-

acewIHrpa3noMK"

t,Z,T.563. Aoxasarn Aa je g6rp (s6poj) KBaApara Anjarogana 6uno rojer trapane-

norpaMa je4nar a6upy xBaApara crpaHsqa ror [apaflenorpaMa.

F) 3a yvenuxe csux paspega

564. Ha yAirrbenocrr oA 125 m uacje ouaruo 3eIIa tr [ojypno 3a rstrM. IlcrorTpeHyrxa 3erl ce Aao y 6er. Jegunu c(oxoM 3eu [pecKarle trona Merpa, a

''.acAs,a

Merpa. ocffM Tora, y BpeMeHy y rojeM 3erl oe,qaM tryTa crotllr, trac cKorIIl ABa rryra.Konrry yAalberrocr je nperpvao rrac oA Tpelryrra KaA je ona3l{o 3€ua, .qo rpelryrraraa ra je yroruo?

565. llrpaqygarn Ayxrure (.qynrne) crpaxnqa a, b n c rpoyrna (rporyra),aKo je a+D:22 cm, b*c:26 cm u a+c:32 cm.

ZANIMLJTVOSTI I RAZNOMATEMATICKO KVIZ"TAKMICNX.TN MLADIH MATEMATICARA UCENIKA

osNovMH sror,e

Na inicijativu uredni5tva Matematidkog lista za udenike osnovne Skole odrZanoje 26 maja o.g. kviz-takmidenje iz matematike predstavnika mladih matemati(ara izosnovnih Skola >Karadorde< iz Topole, >rS.tevan Sintlelii< iz Velikog Popovida i>>Branko Radidevi6< iz Sedlara, kao tri medusobno ne mnogo udaljenih mesta izkojih je ovaj list imao mnogo re5avalaca konkursnih zadataka i iz kojih je dobivaoodgovore na pitanja iz rubrike >Mi smo ih reSili - a vi?<

Pre odrZavanja kviza bilo je objavljeno konzultovanje izmetlu urednika ovog

lista i nastavnika pomenutih Skola o nadinu izvodenja ovog takmidenja, pa je biloizvedeno i jedno eksperimentalno, probno takmidenje u Velikom Popoviiu. Zatimje, posto su bili konadno utwdeni zahtevi koji Ce se postaviti uCesnicima u kvizu,bilo ostavljeno izvesno weme za njihovo pripremanje. Bilo je utvrdeno da iz svake

Skole udesvuje po tri predstavnika dotiCne Skole i da se takmieenje izvede u lepo

opremljenoj dvorani dbma kulture u Velikom Popovidu, s tim da ono ne traje vi5e

od 90 minuta.Tehnidke pripreme za takmidenje bile su od strane domadina obavljene u

potpunosti, pa je tat<mieenje proteklo po predvidenom rasporedu i bez zastoja. Napozbrnici doma-kulture bili su postavljena tri stola, rasporedena kao Sto je to pred-

itavljeno na sl. I, sa stonim svetiljkama za signaliziranje gotovosti za davanje odgo-

27



yor.at nop{ kojih su sedeli takmicrari. Na desnom kraju pozornice stajata je talba zaispisivanje broja postignutih poena, a na levom tabla zajsticanje platata sa-ciocovbrimana postavljena pitanja, za publiku. Ozvudenjeje bilo vrlo d-obro.

oooo,/)o/7

_ Voditelj kviza bila je Maja lvano-

^Ovi6, udenica III razreda Malematidke(\-O

-gimnazije, a njen pomodnik je bio SaSa

\\O Otkovi6, udenik III razreda isti gimaznije,\ i oni su obavili svoj posao kore-ktno.

-Tok takmidenja moir- se videti iz

s1Z9to-g teksta scenarija ovog kviza kojisleduje.t. I

I DEOVoditelj

uspeh.

1. Prva tadkaradunanju.

brzom usmenom

sposobnost za, brzo usmeno rad,nanje bila je nekada jako na ceni, sa prona-laskom.radunan znahj ovog radTr-Fnja je jako opao, ali nair;e ono Gt-pot"t"ou trgovini, na po5ti i slidno.-D-a vidimo kako vi stbjit6 u tom p6ghdu. ^

Takmididete se na slededi naEin.. -Nq

pryg qoje pitanje odgo'raraju, bez zapisivanja podataka, usmeno, samooni takmicari-koji

-suprvi u svojoj grupi, bez prbva da se oogovari.yu ia oiiarma.

cim neko_natle dobar odgovor,.neka upali svetlost i, kad poliaiem-na

njega, nekaodgovori. Ko pryi odgovori dobija I poen. Na dobar odgovoi ceka se najviie-l minut.Jeste li razumeli?

Prvo pitanje glasi:

-Napgsli Jovan kupi tri

-dopisniceza po dinar i po i retiri uputnice od 30 para,

a preda na Salteru l0 dinara. Koliko treba da mu bude rna6eno? (voditelj poiavljipitanje.) Sad!

Poito ie dobio prvi odgovor, voditelj objavUaje:

- Prvi je odgovorio predstavnik OS . . .; odgovor je . . . (Ako odgovor prvog nijetatan, odgovara drugi, itd.)

Prema tome, predstavnik OS . . . osvojio je I poen.

- _N. drugo pitanje odgovaraju samo oni koji su drugi u svojoj grupi, bez pravada se dogovaraju sa ostalima. Postupakje kao u prethodnom slu8ajul Diigi zaiatakglasi:

- l.{"kopreele

2 km i onda zapita prvog prolaznika koliko ima joS do prvogsela. >Pre5ao_si tek prvu tredinu prve polovine puta<, odgovori mu ovij tovei ko;'l

je, iGleda, voleo da se izraLava zagouetno. rolikb je tiebal-o jos da se ide do tog sela?(Voditelj ponavlja zadatak.) Sadl

Dalje - kao u prethodnom sluiaju.

28

Na trede pitanje odgovaraju samo oni koji su treCi u svojoj grupi, bez pravada se dogovaraju sa ostalima. Trece pitanje glasi:

Recite brzo koliko je 16,16'251 (Voditeli ponavlia pitanie.) Sad!

Dalje-

kao u prethodnom slutaiu.Na detwto pitanje odgovaraju samo oni koji su drugi u svojoj grupi, ali kao

predstavnici svojih grupa, pa imaju prava da se dogovaraju sa ostalima iz svojihgrupa. Kad neko od njih pomisli daje re5io zalatak, neka upali svetlo i, kad pokaiemna njega, neka odgovori. Jeste li razumeli? Cetwto pitanje glasi:

Izradunajte razliku 282-272, podelite je sa 5 i ono Sto dobijete podignite

na kvadrat. (Voditelj ponavlja zadatak.) Sad!Dalje -

kao u pretho&nm sluiaiu.Prema tome, u

ovojtadki na5eg kviia osvojili su predstavnici 05 . .

predstavnici OS... ... poena i predstavnici OS ... ... poena.

Pomocnik voditelja

Kontrolile vreme i upisuje brojeve steienih poena na tabli.

Voditeti

2. Prelazimo na drugu tadku naSeg takmidenja. Ona se sastoji u sledecem.Ja du vam na jednom primeru prikazati jednu veStinu brzog otkrivanja za-

miSljenih brojeva i vi dete posle toga. objasniti kako sam ja brzo uspela da ih otkrijem.Imate prava da pi5ete i da se dogovarate. Odgovore daju samo predstavnici grupa,

oni koji se de na mestima broj 2. Prvi dobar odgovor donosi 2 poena i na njega se

Ceka najviSe 2 minuta.Da podnemo. Zamislite i napi5ite neki jednocifreni broj. Podignite na kvadrat

najpre broj koji je od njega za I vedi, a zatim broj koji je od njega za I manji. Saberiteova dva kvadrata i podelite natlenu sumu sa 2. Recite mi koliko ste dobili i ja Cu vamodmah redi koje ste brojeve zamislili. Idemo redom. (Voditelj prilazi stolovima i,

kada mu koji od. takmiiara kaie kolikoje

dobio, pogada zamiiljene brojeve.)Kao Sto ste videli, zami3ljeni brojevi su otkriveni. A sada je na vama da ob-jasnite kakoje to udinjeno. eim koja grupa rratte odgovor, nje predstavnik neka upalisvetlo i neka odgovori. Sad!

Po5to dobije prvi odgovor, voditelj objavljuje: Prvi je odgovorio predstavnikOS . . . Odeovor je . . . (Ako prvi odgovor nije tatan, tita se drugi odgovor, itd.)

S obzirom na date odgovore ekipa OS... dobila je 2 poena.

Pomodnik vodltelja

Prilikom postavljanja zadataka deli hartiju za pisanje uEesnicima, zatimisposlavlja plakat za publiku na kome je ispisano reienje zadatko, kontroliie vreme

i upisuje brojeve steienih poena.

Voditeli

3. Sada, u ovoj tredoj tadki, bodovade se ne samo prvi pravilan odgovor, nego

svi pravilni odgovori koji budu dati u ime ekipa u roku od I minuta. Prvi dobarodgovor povladi za sopom 3 poena, drugi 2 poena, a treii I poen. Odgovor predajepredstavnik grupe.

Zadatak je slededi : Pokazati kako se moZe od figura na koje je izdeljen kvadratna sl. 2, koju dete videti kad prevrnete list koji imate pred sobom, sastaviti figurapredstavljena na sl. 3. Svaki udesnik moZe na svojoj skici crtati i brisati, ali slika kojabude predata u ime ekipe mora biti dista. Sad!

29



Sl 2 Sl.3

Pomocnik voditelja

- . Pri postauljanju ovog zodatka deli listove sa crtezima, istavlja plakat sa reienjemzadatka za publiku, kontrolile vreme i upisuje brojeve postignuiih'poena.

II DEO

Voditeli

- l. Sada de biti postavljena 3 zadatka iz istorije matematike, na koja eeteodgovarati usmeno' onako kao sto ste to dinili u toku prve tadke naseg pto!--.a-a:na prvo. pitanje odgovaraju-samo oni koji su prvi u svojoj grupi, bez dogoiaranjasa- ostalima-; na drugo oni koji su drugi, na treCe oni koji zu treci. Na pivi dobirodgovor teka se najvi5e jedan minut i ongj k_o prvi dobro odgovori stice za svojuekipu jedan poen. Polinjerno. Prvo pitanje glasi:

u starom veku Grci su imali nekoliko tako znamenitih maternatidara, da senjihova imena pominju joS i danas. Jedan od njih bio je Euklid. Kad je (otpriiike) onZiveo, kojeje njegovo glavno delo i dime se ono naroCito istide? Sad! '

.-Po!loje^Qbio prui dobar odgovor, voditelj objavljuje: prvi je odgovorio pred-

stavnik ekipe os .... odgovor je ... (Ako odgovor prvog prijavljenog utesniki nijedobar, dobija reE drugi, itd.)

Prema tome, ekipa OS . . . osvojila je I poen.Drugo pitanje glasi:

- _-._ Kada je rimska drfuva propala, u Evropi su bile stvorene nove drZave pri-doslih nalgda i u njima se neko vreme nauke nisu negovale. Tekovine starih grdkihmaternaticara preuzeli su tada Arapi, pa je po jednom delu jednog od njih i n:astalared >algebra<. Kako se zvao taj matematiiai, gde je i kad jelotprilike) Ziveo, i kakose zvalo pomenuto njegovo delo?

Dalje- kao u prethodnom slutaju.

TreCe pitanje glasi:

U XVII veku Francuska je imala nekoliko genijalnih matematidara, kao Stosu bjli Dekart, Ferma, Paskal i drugi. Ko je od njih poltavio jednu teoremu koja nido danas nije u potpunosti dokazana i u Eemu si ona sastoji? Sad!

Dalje- kao u prethodnom sluiaju,

Uvezi sa ovom tadkom naleg programa ekipa OS . . . osvojila je . . . poena, itd.

30

nn g) rr*e po^rr,,,h;,m::'ifliL,* vreme i unosi brojeve osvojenihpoena u tabelu.

Voditeli

2. Sada 6ete dobiti jedno pitanje za dije reSavanje dete mo6i koristiti svojeznanjeiz algebre. Odgovaradete ekipno i pismeno, svaka ekipa preko svo! predstav-nika. Bodovade se svako dobro re5enje koje bude predato u roku od 3 minuta, i toprvo sa 3 poena, drugo sa 2 poena i treCe sa I poenom, Kad neka ekipa nade resenje,neka upali svetlost i preda relenje. Evo ceduljica sa zadatkom, a ja du ga jo5 i glasnoproditati. Zadatak glasi:

Mesta I i .B su medusobno udaljena 450 km. U 7 Casova po<le iz mest'a ,{

putnidki automobil i krede se prema mestu .B sa prosednom brzinom od 80 km/h.U l0 dasova potle njemu u susret kamion iz mesta .B i krece se s prosednom brzinomod 60 kmlh. Kada de se oni sresti? Sad!

Po\to u ,oku 3 minuta pokupi sve predate odgovore, voditelj objavljuje:Prva je predala svoj odgovor ekipa OS. .. Odgovor glasi .. . Odgovor je ...

Druga je predala svoj odgovor ekipa OS . . . , itd.-

_ Prernatome, uvezisaovimzadatkomekipaOS... osvojilaje. .. poena,ekipaOS ... osvojila je ... poena i ekipa OS ... osvojila je ... poena.

Pomocnik. voditelja

Pri postavljanju zadatka deli ceduljice sa tekstom zadatka, istavlja plakat sazadatka za publiku, kontolifle vreme i unosi broj osvojenih poena u tabelu.

Voditeli

3. Sada treba da pokaZete svoje znanje iz geometrije. Odgovaradete na istinadin kao u prethodnom sludaju. Dobidete odmah ceduljice sa zadacima, a zadatakdu odmah i proditati. Zadatak glasi:

Prresekkrova iedne zsrade oredstavlia iednako- Cesek krova jedne z8rade predstavljajednako-

kraki trougao (na sl. 4 troigao ABC), sa osnovicomA8:6mi visinom CD: 4qn, Da bi se ojadale nosedegrede krova (na sl. 4 AC i BC) postavljene su potpornegrede DMi DlVtako da ie DMTAC i DffIBC. Kolikaje duZina ovih potpornih greda i koliko su tadke M i1V udaljene od tacke C? Sad!

Dalje - kao u pretlodtom duCaju.

IIIDEO A Dsl. 4

B

VoditeU

l. Sada, u zavr5nom delu ovog na5eg kviz-takmidenja, vi 6ete dobiti najpre 5 pi-tanja,za lijerelavanjeje potrebna pre svega dovitljivost. Da bi se ova tadka Sto brZeodvijala, ovoga puta 6ete se takmiCiti u >slobodnom stilu<<: dlanovi ekipe mogu se

dogovarati medu sobom, ali moZe odgovarati svaki Clan svake ekipe, dim digne rukui ja pokaiem na njega. Prvi pravilni odgovor donosi I poen ekipi kojoj pripadadavalac odgovora i na njega se &ka najvi5e pola minuta. Podinjemo.

Prvo pitanje glasi:

Koji broj ima svojstvo da je njegova polovina jednaka njegovoj petini? Sad!Potto dob-ije prvi pravilan odgovor, voditeA objavljuje:Ekipa OS . . . dala je prva pravilan odgovor i osvojila je I poen.Drugo pitanje glasi:

3l



U velikom loncu imamo tednosti za ne5to oko pola tonca. Kako moZemo bezmerenja utvrditi da li tednost zauzima vi5e ili manje od pola lonca?

Dalje - kao u prethodnom slutaju.Trede pitanje glasi:

Na jednom tasu kantara nalzi se velik komad sapuna, a na drugom ] takog4

sapuna i teg od 3/4 kg, Kantar je uravnoteZen, Kolika je masa velikog komada sapuna?palje

- kao u prethodnom sluiaju.Cetwto pitanje glasi:Izmeclu prvog i treieg udarca na tornju protekao je I sekund. Koliko de se-

kundi proteii izmedu prvog i dvanaestog udarca?Dalje

-kao u prethodnom slutaju.

Peto(Saljivo) pitanje glasi :

Neki dovek nasledi konja i madku, s tim da ih proda, pa da ono Sto dobije zakonja da u dobrotvorne svrhe,'a da ono 5to dobije za madku zadrZi za sebe. KaLo jeon postupio, pa da ipak najveCi deo nasledstva ostane njemu?

Dalje- kao u prethodnom slutaju.

- Prema tome, u vezi sa o_vom taekom na5eg programa ekipa OS ... osvojilaje ukupno ... poena, ekipa OS ... osvojila je ukupnb ... poena i ekipa OS ...osvojila je ukupno ... poena.

Pomodnik voditelia

Kontroliie vreme i unosi broj postignutih poena u tabelu.

Voditeli

2. Sada, na kraju ovog takmidenja, dobidete jedan od tzv. logidkih zadataka.U vezi sa istim dlanovi ekipe mogu se medusobno dogovarati, a odgovore 6e predavatipredstavnici ekipa. Na odgovore de se Cekati 3 minuta. Prvi dobar odgovor povladiza sobom 3 poena, drugi 2 poena i treci I poen. Tekst zadataka dobi6ete na cedulji-cama, ali ja Cu ga i glasno proditati. Zadatak glasi:

Zna se da se na stolu nalaze u istom redu 4 figure, izrezane od hartije: trougao,romb, krug i kvadrat. Boje tih figura su zelena, iluta, plava i crvena. Odrediti: ukakvom poretku leie te figure i kakvu boju ima svaka od njih, ako figura crvene bojeleZi izmetlu plave i zelene, ako desno od Zute figure leZi romb i ako krug leZi desnood trougla i romba, pri Cemu trougao ne leZi s kraja. Sem toga se zna da se figuraplave boje ne dodiruje s figurom Zute boje. Razmislite dobro i svoje odgovore na-piSite. Sad!

Poito u toku tri minuta prikupi cedulje sa odgovorima, voditelj objavljuje:Svoj odgovorje prva predala ekipa OS... Odgovor glasi ... Odgovorje...

Drugi odgovor po redu predala je ekipa OS . . . Odgovor glasi . .'. Odgovor je . . .Tredi odgovor po redu predalaje ekipa ... Odgovor glasi .... Odgovorje...- Prema tome, u vezi sa ovom tadkom naSeg takmiCenja ekipa OS . . . osvojilaje ... poena, itd.

Pomocnik voditeljaDeli cedulje sa tekstom zadatka tlanovima ekipa, zatim istiie plakat sa odgovorima

za publiku i ubeleiava broj postignutih poena.

VoditeljNaposletku, da vidimo koliko je poena ukupno osvojila svaka od nale triekipe u ovom takmiCenju. Prema onom Sto vidimo, ekipa OS . . . osvojila je. . . poena,ekipa OS... osvojila je... poena, a ekipa OS... osvojila je...poena. Na osnovutoga pobednik je u ovoj kviz-takmiCenju ekipa OS .. . .

32

Posle svakog dela orog kviz-takmidenja bila je izvedena po jedna koncertnatadka od strane uCenika OS >Stevan Sintleli6< iz Velikog Popoviia, dime je bila uve-iana Zivost ove i inade zanimljive priredbe. Od takmidarskih ekipa prvo mesto jez.auzela ekipa OS >Karadorde< iz Topole, drugo mesto ekipa OS >rStevan Sin<leli6<iz Velikog Popovida i treie mesto ekipa OS >Branko Radidevii< iz Sedlara. Spremnostkoju su pokazale u toku takmidenja sve tri ekipe bilaje na lepoj visini. Takmidarskukomisiju sadinjavali su: Platon Dimii, urednik Matematidkog lista za uCenike osnovneSkole, i saradnici ovog lista Ilija Mitrovii i Milorad Zimonjii; a takmiCenju su pri-sustvovali direktor OS >Stevan Sintleli6<, kao i nastavnici Manojlo Jevdii, Olgall.istic, Borislav Simii i Miroslav Milosavljevii.

Na kraju ove priredbe prvoplasiranoj ekipi bio je predat od strane predstavnikaRcdakcije MatematiCkog lista jedan mali pobednidki pehar.

+

U vezi sa ovom uspeino odrianom priredbom skreiemo painju naiim ditaocimanu sledete.

Matematiiki list za uienike osnovne ikole bite i dalje inicijator za odriavanjeovakvih kviz+akmitenja i preporutivate ih prvenstveno onim Skolama iz kojih imanttjviie reiavalaca konkursnih zadataka. Medutim, ovakve priredbe mogu da organizujui .wme Skole, na osnovu dogovora rukovodilaca matematiikih sekcija tih ikola, uzima-ju(i zo sastavljate zadataka nastavnike nekih drugih |kola, ili obratajuti se samomuredniitvu ML za iste. U svakom slutaju bite vrlo korisno ako ovakvo priredivanjetnutcnatitkih kviz-takmiienja dobiie iire razmere, jer se ista mogu priredivali i u toku.ikol:rke godine, a predstavljate za utenike uvek ne samo podsticaj za utenje, negoi razonodu.

P.D.

NAGRADNI ZADATAK BR. 63

U jezero je puiteno 3O ituka koje se postepenomedusobno jedu. Da bi se jedna od njih zasitila, trebada pojede 3 druge (gladne ili site). Na kraju su samosite ituke plivale po jezeru. Koliko ih je bilo? (Odgovor

treba obrazloiiti.)

Zz tatno resenje ovog zadatka hiie nagradeno matematidkim knjigama ili priborom za pisanje2ll')( onih koji poialju takva reienja. lzbor nagradenih bide ivrSen irebom.

RcSenje poslati na adresu: Matematieki list, p.p. 728, I l00l Beograd. Na samom radu obateznotrcba napisati ime i prezime, razred, odeljenje, ime Skole i po5tu (sa poitanskim brojem). Na kovertu(()m()tu) naznaeiti: Nagradni zadatak br. 60. ReSenje poslati najkasnije do 5. I l. 1979. g.

Mole se ditaoci da iz svake Skole Salju resenja samo oni uienici koji su zadatak resili samostalno

matematicki list 1979 xiv 1

Documents