matematik: videnskaben om det uendeligematematikfilosofi.ruc.dk/udelelige.pdf · achimedes: metoden...
TRANSCRIPT
![Page 1: Matematik: Videnskaben om det uendeligematematikfilosofi.ruc.dk/udelelige.pdf · Achimedes: Metoden Fundet af den danske filolog ... • Men endnu ikke nogen generel teori til at](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022022118/5cd107f488c99347028caff4/html5/thumbnails/1.jpg)
Matematik: Videnskaben om det uendelige
2
Klaus Frovin Jørgensen
![Page 2: Matematik: Videnskaben om det uendeligematematikfilosofi.ruc.dk/udelelige.pdf · Achimedes: Metoden Fundet af den danske filolog ... • Men endnu ikke nogen generel teori til at](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022022118/5cd107f488c99347028caff4/html5/thumbnails/2.jpg)
Den græske matematik • Endelige geometriske objekter er matematikkens
objekter
• Kun det potentielt uendelige accepteres – Objekter – Processer
• Det fysiske er abstraheret væk i matematikken
Filosofien havde en indflydelse på matematikken
2
![Page 3: Matematik: Videnskaben om det uendeligematematikfilosofi.ruc.dk/udelelige.pdf · Achimedes: Metoden Fundet af den danske filolog ... • Men endnu ikke nogen generel teori til at](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022022118/5cd107f488c99347028caff4/html5/thumbnails/3.jpg)
En paradigmatisk metode
Der findes et areal B = C2 sådan at
3
![Page 4: Matematik: Videnskaben om det uendeligematematikfilosofi.ruc.dk/udelelige.pdf · Achimedes: Metoden Fundet af den danske filolog ... • Men endnu ikke nogen generel teori til at](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022022118/5cd107f488c99347028caff4/html5/thumbnails/4.jpg)
4
![Page 5: Matematik: Videnskaben om det uendeligematematikfilosofi.ruc.dk/udelelige.pdf · Achimedes: Metoden Fundet af den danske filolog ... • Men endnu ikke nogen generel teori til at](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022022118/5cd107f488c99347028caff4/html5/thumbnails/5.jpg)
5
![Page 6: Matematik: Videnskaben om det uendeligematematikfilosofi.ruc.dk/udelelige.pdf · Achimedes: Metoden Fundet af den danske filolog ... • Men endnu ikke nogen generel teori til at](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022022118/5cd107f488c99347028caff4/html5/thumbnails/6.jpg)
Archimedes og Parablens Kvadratur
Skriftet om ”Parablens kvadratur” ender med:
6
![Page 7: Matematik: Videnskaben om det uendeligematematikfilosofi.ruc.dk/udelelige.pdf · Achimedes: Metoden Fundet af den danske filolog ... • Men endnu ikke nogen generel teori til at](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022022118/5cd107f488c99347028caff4/html5/thumbnails/7.jpg)
7
![Page 8: Matematik: Videnskaben om det uendeligematematikfilosofi.ruc.dk/udelelige.pdf · Achimedes: Metoden Fundet af den danske filolog ... • Men endnu ikke nogen generel teori til at](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022022118/5cd107f488c99347028caff4/html5/thumbnails/8.jpg)
8
![Page 9: Matematik: Videnskaben om det uendeligematematikfilosofi.ruc.dk/udelelige.pdf · Achimedes: Metoden Fundet af den danske filolog ... • Men endnu ikke nogen generel teori til at](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022022118/5cd107f488c99347028caff4/html5/thumbnails/9.jpg)
Achimedes: Metoden
Fundet af den danske filolog J.L. Heiberg i 1906
9
![Page 10: Matematik: Videnskaben om det uendeligematematikfilosofi.ruc.dk/udelelige.pdf · Achimedes: Metoden Fundet af den danske filolog ... • Men endnu ikke nogen generel teori til at](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022022118/5cd107f488c99347028caff4/html5/thumbnails/10.jpg)
10
![Page 11: Matematik: Videnskaben om det uendeligematematikfilosofi.ruc.dk/udelelige.pdf · Achimedes: Metoden Fundet af den danske filolog ... • Men endnu ikke nogen generel teori til at](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022022118/5cd107f488c99347028caff4/html5/thumbnails/11.jpg)
Metoden var karakteriseret ved
1. Brug af et vægtstangsprincip, så arealer kan ’vejes’
2. Arealet af en figur forstås som (samlingen) af alle parallelle linjestykker
11
![Page 12: Matematik: Videnskaben om det uendeligematematikfilosofi.ruc.dk/udelelige.pdf · Achimedes: Metoden Fundet af den danske filolog ... • Men endnu ikke nogen generel teori til at](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022022118/5cd107f488c99347028caff4/html5/thumbnails/12.jpg)
12
![Page 13: Matematik: Videnskaben om det uendeligematematikfilosofi.ruc.dk/udelelige.pdf · Achimedes: Metoden Fundet af den danske filolog ... • Men endnu ikke nogen generel teori til at](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022022118/5cd107f488c99347028caff4/html5/thumbnails/13.jpg)
Metoden passer ikke til det græske paradigme
Archimedes’ metode er i konflikt med både Platon og Aristoteles: – Vægtstangsprincippet er mekanisk (ikke-
geometrisk) – Der findes uendeligt mange linjer – kan vi
manipulere med en sådan samling?
13
![Page 14: Matematik: Videnskaben om det uendeligematematikfilosofi.ruc.dk/udelelige.pdf · Achimedes: Metoden Fundet af den danske filolog ... • Men endnu ikke nogen generel teori til at](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022022118/5cd107f488c99347028caff4/html5/thumbnails/14.jpg)
De udelelige er ikke egentligt begrebsliggjort
14
![Page 15: Matematik: Videnskaben om det uendeligematematikfilosofi.ruc.dk/udelelige.pdf · Achimedes: Metoden Fundet af den danske filolog ... • Men endnu ikke nogen generel teori til at](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022022118/5cd107f488c99347028caff4/html5/thumbnails/15.jpg)
Bonaventura Cavalieri (1598 – 1647)
15
Cavalieris princip:
If between the same parallels any two plane figures are constructed, and if in them, any straight lines being drawn equidistant from the parallels, the included portions of any one of these lines are equal, the plane figures are also equal to one another
![Page 16: Matematik: Videnskaben om det uendeligematematikfilosofi.ruc.dk/udelelige.pdf · Achimedes: Metoden Fundet af den danske filolog ... • Men endnu ikke nogen generel teori til at](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022022118/5cd107f488c99347028caff4/html5/thumbnails/16.jpg)
16
![Page 17: Matematik: Videnskaben om det uendeligematematikfilosofi.ruc.dk/udelelige.pdf · Achimedes: Metoden Fundet af den danske filolog ... • Men endnu ikke nogen generel teori til at](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022022118/5cd107f488c99347028caff4/html5/thumbnails/17.jpg)
Brug af princippet
• Evangelista Torricelli (1608 – 1647)
17
![Page 18: Matematik: Videnskaben om det uendeligematematikfilosofi.ruc.dk/udelelige.pdf · Achimedes: Metoden Fundet af den danske filolog ... • Men endnu ikke nogen generel teori til at](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022022118/5cd107f488c99347028caff4/html5/thumbnails/18.jpg)
Toricellis trumpet
En uendelig figur med et endeligt volume men uendelig overflade
18
![Page 19: Matematik: Videnskaben om det uendeligematematikfilosofi.ruc.dk/udelelige.pdf · Achimedes: Metoden Fundet af den danske filolog ... • Men endnu ikke nogen generel teori til at](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022022118/5cd107f488c99347028caff4/html5/thumbnails/19.jpg)
Et brud med det græske paradigme
• Der findes uendelige figurer; det endelige og det uendelige kan sammenlignes
• Uendelige processer kan tænkes færdiggjorte
• Geometri er imidlertid stadig det centrale
• Men endnu ikke nogen generel teori til at finde arealer af figurer
19