matematika 3. módszertani ajánlások, első félév
TRANSCRIPT
Scherlein Márta Dr. Hajdu Sándor Köves Gabriella Novák Lászlóné
MATEMATIKA 3.
MÓDSZERTANI AJÁNLÁSOK
ELSŐ FÉLÉV
Módszertani ajánlások
A számok 200-ig
Kompetenciák, fejlesztési feladatok:
gazdasági nevelés, számlálás, számolás, rendszerezés, relációszókincs fejlesztése,
szövegértés, szövegértelmezés, szövegesfeladat-megoldás, rész-egész észlelése, tér-
beli viszonyok meg�gyelése, induktív következtetések, problémaérzékenység, probléma-
megoldás, emlékezet fejlesztése, �gyelem, kezdeményez®képesség, meg�gyel®képes-
ség, összefüggéslátás, pontosság, kooperatív és önálló munkavégzés.
Óra: 1{3. 1{3. 1{4.
Felelevenítjük, hogy mit tanultunk 2. osztályban a tízes számrendszerr®l, és kiterjesztjük
a 200-as számkörre. Mélyítjük, tudatosabbá tesszük az egyjegy¶, kétjegy¶ számokról
tanultakat, kialakítjuk a háromjegy¶ szám fogalmát. Cél, hogy a tanulók legyenek képe-
sek helyiérték szerint bontani és képezni a számokat 200-ig. Tudják a számokat szá-
megyenesen ábrázolni, nagyság szerint összehasonlítani, rendezni. Jó, ha ezen rutinok
kialakítását sokoldalú szemléltetéssel, modellezéssel segítjük el®: táblázatba rendezés,
kirakás játék pénzzel, számegyenes használata stb.
Fektessünk hangsúlyt a számok pontos, illetve közelít® helyének megkeresésére a
számegyenesen, igazodva a számegyenes beosztásához. Keressük meg a számok
egyes és tízes szomszédait.
Tk. 5/Emlékeztet®: Beszéljük meg a tízes számrendszer felépítését, azt, hogy matema-
tikaórán ezután is használunk egy- és kétforintost. Játék pénzzel rakjanak ki a tanulók
minél több számot a számfogalom szilárdítása érdekében.
Tk. 5/1. kidolgozott mintapélda: összefoglaljuk, amit a számfogalom alakítása kapcsán
a helyiérték szerinti bontásról eddig tanultunk, kiegészítve analóg példákkal, amelyek
el®segítik a 200-as számkörre való továbblépést.
Tk. 6/1. feladat: A pénzhasználat is segíti a számfogalom fejl®dését. A tantárgyak közötti
koncentrációban kapcsolódik a háztartásismerethez.
Megoldás: 60 80 15 10
6 40 150 10
120 20 200 100
12 200 20 100
Tk. 6/2. feladat: Fontosnak tartjuk, hogy egy szám többféle alakban jelenjen meg a
gyermek el®tt, illetve tudjon egy számot többféle alakban megjeleníteni.
Megoldás: a) 125 = 1 sz + 2 t + 5 e = 1 � 100 + 2 � 10 + 5 � 1 = 100 + 20 + 5
b) 119 = 1 sz + 1 t + 9 e = 1 � 100 + 1 � 10 + 9 � 1 = 100 + 10 + 9
c) 104 = 1 sz + 0 t + 4 e = 1 � 100 + 0 � 10 + 4 � 1 = 100 + 4
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
1
d) 140 = 1 sz + 4 t + 4 e = 1 � 100 + 4 � 10 + 0 � 1 = 100 + 40
e) 44 = 4 t + 4 e = 4 � 10 + 4 � 1 = 40 + 4
Tk. 6/3. feladat: Hasonló feladatokkal gyakoroltathatjuk a pénzhasználatot.
Megoldás: a) 152 = 1 db 100 5 db 10 2 db 1
b) 115 = 1 db 100 1 db 10 5 db 1
c) 111 = 1 db 100 1 db 10 1 db 1
d) 109 = 1 db 100 0 db 10 9 db 1
e) 155 = 1 db 100 5 db 10 5 db 1
f) 149 = 1 db 100 4 db 10 9 db 1
Tk. 6/4. feladat: Számok összehasonlítása. Ha szükséges rakják is ki játék pénzzel a
tanulók az értékeket, s úgy végezzék el az összehasonlítást.
Megoldás: Anna = 130 Ft >27
Béla = 103 Ft
Cili = 92 Ft <9Dávid = 101 Ft
Eszter =156 Ft
Feri
Tk. 7/5. feladat: Hasonló feladatokat páros és csoportos munkában játszhatnak a tanu-
lók, így szituációs játékban gyakorolhatják a pénzhasználatot.
Megoldás: Andi:100 Bandi: 125 Cili: 200 Dani: 188
a) Mindegyik gyerek vehet egy kosár vadalmát.
b) Cili és Dani vehet egy kosár somot.
c) Andi: Vadalmát vehet.
Bandi: Vadalmát vehet.
Vadkörtét vehet.
Szedret vehet.
Cili: Vadalmát vehet.
Vadkörtét vehet.
Szedret vehet.
Somot vehet.
(Ha több kosár gyümölcsöt is vehet:)
Vadalmát és vadkörtét vehet.
Vadalmát és szedret vehet.
2 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
Dani: Vadalmát vehet.
Vadkörtét vehet.
Szedret vehet.
Somot vehet.
(Ha több kosár gyümölcsöt is vehet:)
Vadalmát és vadkörtét vehet.
d) Cili: Vadalmát és vadkörtét vehet.
Vadalmát és szedret vehet.
Dani: Vadalmát és vadkörtét vehet.
Tk. 7/6. feladat: Egyesével beosztott számegyenesen megjelölt számok felismertetésé-
vel, illetve adott számok helyének megkeresésével alakítjuk a számfogalom fejl®dését.
Megoldás: a) 40 > 38 > 23 > 17 > 6
b) 140 > 138 > 123 > 117 > 106
c) 99 > 87 > 72 > 59 > 51
d) 199 > 187 > 172 > 159 > 151
Tk. 7/7. feladat: A számegyenesen a számok helyének meg�gyelése segíti az egyes,
illetve tízes szomszédok meghatározását. Az ilyen feladatnál, ha a gyermek igényli, en-
gedjük a számegyenes használatát. Figyeltessük meg, hogy a 0, a 100, a 200 is lehet
egyes, illetve tízes szomszéd, valamint azt is, hogy mely számok lehetnek az el®bb em-
lítetteknek egyes, illetve tízes szomszédaik. A kerekítések el®készítéseként �gyeltessük
meg, hogy az 5-re végz®d® számok a számegyenesen ugyanolyan távol vannak mindkét
tízes szomszédjuktól.
Megoldás: 5 < 6 < 7 70 < 71 < 72
0 < 6 < 10 70 < 71 < 80
14 < 15 < 16 79 < 80 < 81
10 < 15 < 20 70 < 80 < 90
21 < 22 < 23 98 < 99 < 100
20 < 22 < 30 90 < 99 < 100
39 < 40 < 41 102 < 103 < 104
30 < 40 < 50 100 < 103 < 110
58 < 59 < 60 114 < 115 < 116
50 < 59 < 60 110 < 115 < 120
Tk. 8/8. feladat: a számok alakiértékér®l, helyiértékér®l, tényleges értékér®l tanultak al-
kalmazása.
Megoldás: a) 150 b) 109 c) 186 d) 100
e) 120 f) 200 g) 105 h) 100
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
3
Tk. 8/9. feladat: A számtáblázat segíti a feladatok megoldását. Amennyiben szükséges,
minden feladatnál újra és újra �gyeltessük meg.
Megoldás: a) 10 b) 90 c) 101 d) 21
e) 111 f) 55 g) 100
Tk. 8/10. feladat: Törekedjünk az összes megoldás megkerestetésére. A megoldás kap-
csán feleleveníthetjük az összeadás és a szorzás tulajdonságairól tanultakat. Például 16
megoldása az e) pontnak, akkor a 61 is, mert 1 � 6 = 6, illetve 6 � 1 = 6.
Megoldás: a) 2, 12, 22, 32, 42, 52, 62, 72, 82, 92, 102, 112, 122, 132, 142,
152, 162, 172, 182, 192
b) 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 120, 121, 122, 123,
124, 125, 126, 127, 128, 129
c) 200
d) 6, 15, 24, 33, 42, 51, 60, 105, 114, 123, 132, 141, 150
e) 16, 23, 32, 61, 116, 123, 132, 161
Tk. 8/11. feladat: Törekedjünk az összes megoldás megkerestetésére.
Megoldás: a) 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99
b) 21, 42, 63, 84
c) 12, 24, 36, 48
d) 20, 31, 42, 53, 64, 75, 86, 97
e) 13, 24, 35, 46, 57, 68, 79
Gy. 5/1. feladat: A pénzhasználat is segíti a számfogalom fejl®dését. Fontosnak tartjuk,
hogy egy szám többféle alakban jelenjen meg a gyermek el®tt.
Megoldás: 120 120 105
105 25 25
25 105 120
150 125 150
125 150 125
Gy. 5/2. feladat: Fontosnak tartjuk, hogy egy szám többféle alakban jelenjen meg a
gyermek el®tt, illetve tudjon egy számot többféle alakban megjeleníteni.
4 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
6/3. feladat: A pénzhasználat is segíti a számfogalom fejl®dését. Fontosnak tartjuk, hogy
egy szám többféle alakban jelenjen meg a gyermek el®tt. A feladatok megoldása során
hívjuk fel a tanulók �gyelmét a számok helyesírására.
Megoldás: 142
10 10 1 1 1 1 142
100 124
10 10 10 10 140
100 10 10 1 1 1 1 1 százhuszonöt
152 százötvenkett®
6/4. feladat: A számok helyiérték szerinti bontását gyakoroltató feladatok. A bontott alak
meg�gyelése segíti a számok összehasonlítását.
Megoldás: sz t e M¶velettel Számmal
1 3 8 100 + 30 + 8 138
1 8 3 100 + 80 + 3 183
1 0 6 100 + 6 106
1 7 0 100 + 70 170
1 6 7 100 + 60 + 7 167
9 5 90 + 5 95
1 5 9 100 + 50 + 9 159
6/5. feladat: A számok helyiérték szerinti bontását gyakoroltató feladatok. A bontott alak
meg�gyelése segíti a számok összehasonlítását.
Megoldás: a) 108 = 1 � 100 + 0 � 10 + 8 � 1 180 = 1 � 100 + 8 � 10 + 0 � 1
b) 158 = 1 � 100 + 5 � 10 + 8 � 1 185 = 1 � 100 + 8 � 10 + 5 � 1
c) 163 = 1 � 100 + 6 � 10 + 3 � 1 136 = 1 � 100 + 3 � 10 + 6 � 1
d) 63 = 6 � 10 + 3 � 1 36 = 3 � 10 + 6 � 1
e) 126 = 1 � 100 + 2 � 10 + 6 � 1 162 = 1 � 100 + 6 � 10 + 2 � 1
7/6. feladat: A számok helyiérték szerinti bontását gyakoroltató feladatok. A bontott alak
meg�gyelése segíti a számok összehasonlítását.
Megoldás: Bet¶vel sz t e Bontott alakban Szám
Százhetvennyolc 1 7 8 1 � 100 + 7 � 10 + 8 � 1 178
Hetvennyolc 7 8 7 � 10 + 8 � 1 78
Száznyolc 1 0 8 1 � 100 + 0 � 10 + 8 � 1 108
Száznyolcvanhét 1 8 7 1 � 100 + 8 � 10 + 7 � 1 187
Száznyolcvan 1 8 0 1 � 100 + 8 � 10 180
Nyolc 8 8 � 1 8
Hetven 7 0 7 � 10 + 0 � 1 70
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
5
7/7. feladat: A számok helyiérték szerinti bontását gyakoroltató feladatok. A bontott alak-
ról kell felírni a számokat.
Megoldás: a) 105 150 102 30 120 152
b) 146 164 146 140 160 46 146
7/8. feladat: A számok helyiérték szerinti bontását gyakoroltató feladatok. A bontott alak
segíthet a számok összehasonlításában.
Megoldás: 47 < 48 190 > 109
147 < 148 100 = 100
156 < 165 15 < 105
Gy. 7/9. feladat: Jobb csoportokban megkérdezhetjük, hogy az adott számhalmazon
mely számokra nem igaz az egyenl®tlenség.
Megoldás:
96 < a < 10290 100 110
� � � � �
106 > b > 9290 100 110
� � � � � � � � � � � � �
153 5 c 5 161150 160 170
� � � � � � � � �
200 = d = 185 180 190 200
� � � � � � � � � � � � � � � �
Gy. 8/10. feladat: Egyesével beosztott számegyenesen megjelölt számok felismerteté-
sével, illetve adott számok helyének megkeresésével alakítjuk a számfogalom fejl®dését.
Megoldás: 4 < 52 < 85 < 99 < 106 < 128 < 131 < 175 < 183 < < 197 < 200
Gy. 8/11. feladat: A számegyenesen a számok helyének meg�gyelése segíti az egyes,
illetve tízes szomszédok meghatározását. Az ilyen feladatnál, ha a gyermek igényli, en-
gedjük a számegyenes használatát. Figyeltessük meg, hogy a 0, a 100, a 200 is lehet
egyes, illetve tízes szomszéd, valamint azt is, hogy mely számok lehetnek az el®bb em-
lítetteknek egyes, illetve tízes szomszédaik.
Megoldás: 3 < 4 < 5 0< 4 < 10
51 < 52 < 53 50 < 52 < 60
84 < 85 < 86 80 < 85 < 90
98 < 99 < 100 90 < 99 < 100
105 < 106 < 107 100 < 106 < 110
127 < 128 < 129 120 < 128 < 130
130 < 131 < 132 130< 131 < 140
174 < 175 < 176 170 < 175 < 180
182 < 183 < 184 180< 183 < 190
6 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
196 < 197 < 198 190 < 197 < 200
199 < 200 < 201 190 < 200< 210
Gy. 9/12. feladat: A számokat kell meghatározni a kirakott pénz alapján, majd meg kell
keresni a számok helyét egyesével beosztott számegyenesen.
Megoldás: Anna: 114 Ft, Bea: 105 Ft, Cili: 120 Ft, Dóra: 132 Ft
Dórának van a legtöbb pénze.
Beának van a legkevesebb pénze.
Gy. 9/13. feladat: Egyesével beosztott számegyenesen megjelölt számok felismerteté-
sével, illetve adott számok helyének megkeresésével alakítjuk a számfogalom fejl®dését.
Megoldás:
a)
100 130
106; 109; 115; 118; 122; 127
b) 100 + 30 + 2; 100 + 40 + 3; 100 + 50 + 9;
130 160
100 + 30 + 7; 100 + 50 + 6
c) 1 százas + 6 tízes + 2 egyes; 1 százas + 75 egyes;
160 190
16 tízes + 8 egyes; 1 százas + 8 tízes + 7 egyes
d) Százötvenhat; százhetven; százhetvennégy;
150 180
százötvenöt; százhetvenegy
Gy. 9/14. feladat: Az egyjegy¶, kétjegy¶, háromjegy¶ szám fogalmának szilárdítására
szánt feladatsor.
Megoldás:
a) A legkisebb kétjegy¶ szám ! 10 >19 A legnagyobb egyjegy¶ szám.
b) A legnagyobb kétjegy¶ szám ! 99>89
10 A legkisebb kétjegy¶ szám.
c) A legkisebb háromjegy¶ szám ! 100>90
10 A legkisebb kétjegy¶ szám.
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
7
Hosszúságmérés
Kompetenciák, fejlesztési feladatok:
rendszerezés, mennyiségi következtetés, becslés, mérés, mértékegységváltás, szöveg-
értés, szövegértelmezés, rész-egész észlelése, induktív következtetések, deduktív kö-
vetkeztetések, problémaérzékenység, problémamegoldás, emlékezet fejlesztése, fela-
dattartás, �gyelem, énkép, önismeret, kezdeményez®képesség, meg�gyel®képesség,
összefüggéslátás, pontosság, csoportos, páros, egyéni munkavégzések.
Óra: 4{5. 4{5. 5{8.
A hosszúságmérésr®l tanultak felidézését konkrét mérésekhez, meg�gyelésekhez kap-
csoljuk.
A hosszúságok összehasonlítása, megmérése, kimérése, összemérése történhet alkal-
milag választott egységgel vagy a szabványmértékegységek közül centiméterrel, deci-
méterrel, méterrel. Minél többet mérnek a gyermekek, annál több tapasztalatuk lesz a
mértékegységek közti kapcsolatról, illetve a mér®szám és a mértékegység közötti kap-
csolatról.
A matematika, a környezetismeret és a technika tananyaga és követelményrendszere
átfedéseket tartalmaz. Sokkal hatékonyabban fejleszthetjük a tanulók ismereteit és ké-
pességeit, ha ennek az anyagrésznek a tárgyalását tanmenetileg is összehangoljuk a
három tantárgyban.
Fontosnak tartjuk, hogy a méréseket minden esetben el®zze meg a hosszúságok becs-
lése, majd a mérést kövesse a becsült érték és a ténylegesen mért eredmény összeha-
sonlítása (ezzel is fejlesztve a gyermekek térbeli tájékozódását). A tanterv statisztikából,
illetve környezetismeretb®l el®írt követelményeit �gyelembevéve az adatokat föltétlenül
dolgozzuk fel statisztikai szempontból is. Például:
Rendezzük nagyság szerint az adatokat, állapítsuk meg a legnagyobb, a legkisebb, il-
letve a középs® értékeket (számtani közép, módusz, medián). Külön színnel ábrázoljuk
és hasonlítsuk össze a lányok és a �úk adatait. Vizsgáljuk meg, hogy melyik érték hány-
szor fordul el® (ezt is ábrázolhatjuk oszlopdiagramon). Mérjük meg év elején, majd év
végén ugyanazokat a dolgokat, például a tanulók testméreteit (testmagasság, fejkörmé-
ret, lábfej hossza stb.). A mérési adatokat ábrázoljuk közös diagramban. Vizsgáljuk a
változásokat.
Tk. 9/1. Emlékeztet®: A hosszúság-mértékegységekr®l tanultakat idézzük fel. Meg�gyel-
tetjük az 1 méter, az 1 deciméter és az 1 centiméter közötti kapcsolatot.
Tk. 9/1. feladat: Mélyítjük a mértékegységekr®l tanultakat becslésekkel, mérési adatok
összehasonlításával.
Megoldás: 1 m < P < 2 m 1 dm < K < 2 dm
2 cm < R < 3 cm 4 m < A < 5 m
10 cm < K < 20 cm 10 m < H < 20 m
Tk. 10/2. feladat: A tankönyvi feladatokat inkább mintapéldáknak tekintsük, és az osztály
tanulóinak adatait rendeztessük különböz® szempontok szerint, ábrázoltassuk gra�ko-
8 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
non, végeztessünk statisztikai vizsgálatokat. A feladatok feldolgozásával nagyon össze-
tett nevelési és oktatási célokat érhetünk el: számfogalom elmélyítése, a függvényfo-
galom el®készítése, tapasztalatszerzés elemi statisztikai vizsgálatokról, a matematika
gyakorlati hasznosságának tudatosítása. Kapcsolat a technikával és a környezetisme-
rettel (háztartási ismeretek, egészségtan stb.). Ezért kell® id®t biztosítsunk a feladatok
megoldására.
Megoldás:
Magasságok (cm):
A.K. B.M. B.L. E.E. F.S. H.S. N.L. P.A. P.T. T.P. V.Z. W.A. Z.X.
126, 130, 140, 128, 120, 148, 130, 132, 129, 138, 128, 142, 125
Megoldás: a) 13 b) B.M. és N.L.
c) F.S. d) 5
e) H.S. f) 6
Tk. 11/3. feladat: A tanulók mérjék meg páros, illetve csoportmunkában egymás fejkör-
méretét, s az adatokat hasonlítsák össze a tankönyvben lev® adatokkal.
Megoldás: Mennyi az osztály létszáma? 23 f®
Melyik a leggyakoribb fejkörméret? 50 cm
Melyik a legkisebb fejkörméret az osztályban? 47 cm
Melyik a legnagyobb fejkörméret az osztályban? 53 cm
Hány gyereknek van 48 cm-es fejkörmérete? 4
Hány gyereknek van 50 cm-nél nagyobb fejkörmérete? 7
Tk. 11/4. feladat: Tasziló összegy¶jtött néhány típushibát. Ezek kijavítása mélyíti a mér-
tékegységekr®l tanultakat.
Megoldás: a) 135 dm helyett 135 cm;
b) 5 m helyett 5 cm;
c) 7 cm helyett 7 dm.
d) 8 cm helyett 8 dm.
Tk. 11/5. feladat: Mértékváltások gyakorlása. A folyamatos ismétlések kapcsán sok
ezekhez hasonló feladatot adjunk az ismeretek mélyítésére.
Megoldás: 9 dm < 105 cm < 1 m 2 dm < 127 cm < 15 dm
25 dm < 5 m 2 dm < 6 m < 105 dm
200 cm = 20 dm < 3 m < 49 dm < 9 m
Gy. 10/1. feladat: Mennyiségek ki- és megmérése kapcsán gyakoroltatjuk a vonalzó
használatát. Követeljük meg, hogy a tanulók soha se feledkezzenek meg a becslésr®l,
és törekedjenek a pontos munkavégzésre.
Megoldás: a b c d e f
Mérés (cm) 3 8 4 2 7 3
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
9
Az a oldalnál hosszabb: b , c , e
Az a oldalnál nem hosszabb: f , d
A b oldal felénél rövidebb: a , d , f
A d oldal kétszeresénél hosszabb: b , e
Gy. 10/2. feladat: Mennyiségek ki- és megmérése kapcsán gyakoroltatjuk a vonalzó
használatát.
Megoldás: 1 dm = 10 cm 1 dm 2 cm = 12 cm
Gy. 11/3. feladat: Konkrét becslések, mérések végrehajtása, az adatok táblázatba ren-
dezése, összehasonlítása.
Gy. 11/4. feladat: Konkrét becslések, mérések végrehajtása, az adatok táblázatba ren-
dezése, összehasonlítása.
Gy. 12/5. feladat: Mértékváltások gyakorlása.
Megoldás: a) 20 dm 42 dm 7 m 5 dm
60 dm 86 dm 2 m 3 dm
b) 50 cm 35 cm 9 dm 1 cm
90 cm 79 cm 5 dm 4 cm
c) 100 cm 115 cm 1 m 28 cm
200 cm 107 cm 1 m 82 cm
Gy. 12/6. feladat: A tankönyvi feladatokat inkább mintapéldáknak tekintsük, és az osz-
tály tanulóinak adatait rendeztessük különböz® szempontok szerint, ábrázoltassuk gra�-
konon, végeztessünk statisztikai vizsgálatokat.
Gy. 13/7. feladat: A tankönyvi feladatokat inkább mintapéldáknak tekintsük, és az osz-
tály tanulóinak adatait rendeztessük különböz® szempontok szerint, ábrázoltassuk gra�-
konon, végeztessünk statisztikai vizsgálatokat.
Gy. 14/8. feladat: Mértékváltások gyakorlása.
Megoldás: a) 10 cm f) 12 cm
b) 60 cm g) 74 cm
c) 130 cm h) 128 cm
d) 200 cm i) 183 cm
e) 120 cm j) 109 cm
Gy. 14/9. feladat: Mértékváltások gyakorlása.
Megoldás: a) 5 dm e) 5 dm 6 cm
b) 10 dm f) 14 dm 0 cm
c) 19 dm g) 10 dm 9 cm
d) 15 dm h) 19 dm 4 cm
10 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
Gy. 14/10. feladat: Mértékváltások gyakorlása.
Megoldás: a) 10 dm = 100 cm f) 123 cm
b) 14 dm = 140 cm g) 138 cm
c) 11 dm = 110 cm h) 190 cm
d) 19 dm = 190 cm i) 106 cm
e) 12 dm = 120 cm j) 158 cm
Gy. 14/11. feladat: Mértékváltások gyakorlása m¶veletvégzéshez kapcsolva.
Megoldás: a) 9 dm d) 18 dm
b) 5 dm e) 18 dm
c) 1 dm f) 16 dm
Gy. 14/12. feladat: A vonalzóhasználat gyakorlása. Figyeljük a pontos mérésre.
Megoldás: 4 cm hosszú a papírcsík.
a) 12 cm b) 7 cm c) 2 cm
�rtartalommérés
Kompetenciák, fejlesztési feladatok:
rendszerezés, mennyiségi következtetés, becslés, mérés, mértékegységváltás, szöveg-
értés, szövegértelmezés, rész-egész észlelése, induktív következtetések, deduktív kö-
vetkeztetések, problémaérzékenység, problémamegoldás, emlékezet fejlesztése, fela-
dattartás, �gyelem, kezdeményez®képesség, meg�gyel®képesség, összefüggéslátás,
pontosság, csoportos, páros, egyéni munkavégzések.
Óra: 6. 7. 9.
Az ¶rtartalommérésr®l a 2. osztályban tanultak áttekintése, felidézése. Becsültessük és
méressük meg, majd hasonlíttassuk össze néhány mindennapi életben használt edény
¶rtartalmát. Méressünk ki adott ¶rtartalmú vizet (homokot vagy f¶részport). Figyeltes-
sük meg az 1 liter, az 1 deciliter és az 1 centiliter közötti kapcsolatot. Beszéljük meg,
hogy a �deci" szót �tized", a �centi" szót �század" értelemben használjuk (ezek latin ere-
det¶ szavak). Ismételjük át a tized, század fogalmakat. Jól gyakoroltassuk be a tanult
mértékegységek átváltását a tanult számkörben. Ebben a témakörben is fontos feladat
a diagramok, gra�konok értelmezése, vizsgálata, készítése, a mérési adatok statiszti-
kai feldolgozása, valamint a mérésekkel kapcsolatos ismeretek alkalmazása szám- és
szöveges feladatokban, kapcsolódva a környezetismerethez és a technikához.
Tk. 12/1. Emlékeztet®: Az ¶rtartalom-mértékegységekr®l tanultakat idézzük fel. Meg�-
gyeltetjük az 1 liter, az 1 deciliter és az 1 centiliter közötti kapcsolatot.
Tk. 12/1. feladat: Mélyítjük a mértékegységekr®l tanultakat becslésekkel, mérési adatok
összehasonlításával.
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
11
Megoldás: 1 l < K < 2 l 80 l < H < 100 l 1 cl < E < 2 cl
1 dl < P < 2 dl 80 cl < Ü < 100 cl 100 dl < V < 200 dl
Tk. 12/2. feladat: Tasziló összegy¶jtött néhány típushibát. Ezek kijavítása mélyíti a mér-
tékegységekr®l tanultakat.
Megoldás: 3 liter helyett 3 dl.
12 cl helyett 12 l.
200 dl helyett 200 l.
Tk. 13/3. feladat: Becslési és mérési eredmények összehasonlításával mélyítjük az ¶r-
tartalom mértékegységeir®l tanultakat. Figyeltessük meg a mér®szám és a mértékegy-
ség közötti kapcsolatot. Ha ugyanazzal az egységgel nagyobb (kisebb) mennyiséget mé-
rünk, a mér®szám nagyobb (kisebb) lesz. Ha ugyanazt a mennyiséget nagyobb (kisebb)
mér®egységgel mérjük, a mér®szám kisebb (nagyobb) lesz.
Tk. 13/4. feladat: A tanulók a nyilak behúzása el®tt váltsák át a mértékegységeket. Be-
széljük meg, hogy a �nem több" jelentése: �kevesebb vagy ugyanannyi", ezért minden
adatból saját magába visszatér® nyilat is kell rajzolnunk.
Megoldás:
1 l 3 dl 13 dl 13 dl1 l 3 dl
103 cl 1 l 33 cl 1 l 33 cl103 cl
Tk. 13/5. feladat: Mérési adatokból gra�kon készítése, illetve adatok leolvasása a gra�-
konról. Statisztikai adatok elemzése.
Megoldás: a) 8 db 5 dl-es, 12 db 2 dl-es és 4 db 1 l-es üveg van.
b) 5 � 8 dl = 40 dl
12 � 2 dl = 24 dl
4 � 1 l = 4 l = 40 dl
c) 8 + 12 + 4 = 24 24 üveg paradicsom van.
d) 40 + 24 + 40 = 104 dl 104 dl paradicsom van.
12 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
Gy. 15/1. feladat: Mértékváltások gyakorlása.
Megoldás: a) 10 dl b) 10 cl c) 100 cl
80 dl 70 cl 200 cl
180 dl 120 cl 50 cl
d) 60 dl e) 4 l f) 5 dl
130 dl 12 l 16 dl
200 dl 16 l 18 dl
Gy. 15/2. feladat: Mértékváltások gyakorlása.
Megoldás: a) 4 l 5 dl b) 9 dl 2 cl c) 1 l 50 cl
3 l 0 dl 5 dl 0 cl 1 l 25 cl
15 l 8 dl 11 dl 1 cl 2 l 0 cl
d) 12 dl e) 143 cl f) 175 cl
59 dl 120 cl 118 cl
25 dl 105 cl 90 cl
Gy. 15/3. feladat: Mértékváltások gyakorlása.
Megoldás: a) 156 cl d) 1 l 7 dl 6 cl
b) 174 cl e) 1 l 8 dl 4 cl
c) 106 cl f) 1 l 0 dl 9 cl
Gy. 15/4. feladat: Mértékváltások gyakorlása táblázat kitöltésével.
Megoldás:
Pohár (cl) 4 40 50 5 50 15 15 30 100 10 0 150
Üveg (dl) 1 2 7 10 10 10 5 17 8 19 5 3
Kancsó (cl) 14 60 120 105 150 115 65 200 180 200 50 180
Gy. 15/5. feladat: Mértékváltások gyakorlása táblázat kitöltésével.
Megoldás:
Kancsóban volt(dl) 20 10 15 5 15 15 8 18 10 16 10
Kiöntöttbel®le (cl) 20 70 10 10 150 100 70 70 100 100 30
Maradt (dl) 18 3 14 4 0 5 1 11 0 6 7
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
13
Tömegmérés
Kompetenciák, fejlesztési feladatok:
rendszerezés, mennyiségi következtetés, becslés, mérés, mértékegységváltás, szöveg-
értés, szövegértelmezés, rész-egész észlelése, induktív következtetések, deduktív kö-
vetkeztetések, problémaérzékenység, problémamegoldás, emlékezet fejlesztése, fela-
dattartás, �gyelem, énkép, önismeret, kezdeményez®képesség, meg�gyel®képesség,
összefüggéslátás, pontosság, csoportos, páros, egyéni munkavégzések.
Óra: 7. 8. 10{11.
A tömegmérésr®l tanultak ismétlését is célszer¶ összehangolni a környezetismeretben
ebben a témakörben tanultakkal. �Igy ezt az anyagrészt környezetismeret-órával össze-
vonva két órában igen hatékonyan dolgozhatjuk fel.
A tanulók tanulják meg a fürd®szobamérleg használatát saját tömegük mérésére, illetve a
konyhamérleg használatát tárgyak megmérésére, kimérésére. (A �deka" és a �kilo" görög
eredet¶ szavak jelentését csak kés®bb tudjuk megbeszélni.)
Jól gyakoroltassuk be a tanult mértékegységek átváltását a tanult számkörben. Ebben a
témakörben is fontos feladat a diagramok, gra�konok értelmezése, vizsgálata, készítése,
a mérési adatok statisztikai feldolgozása, valamint a mérésekkel kapcsolatos ismeretek
alkalmazása szám- és szöveges feladatokban, kapcsolódva a környezetismerethez és a
technikához.
Tk. 14/1. Emlékeztet®: A tömeg-mértékegységekr®l tanultakat idézzük fel. Meg�gyel-
tetjük az 1 kilogramm és az 1 dekagramm közötti kapcsolatot. A �század" fogalmát a
�részekre osztás" fogalmára támaszkodva részletesen el kell magyaráznunk. A felada-
tok megoldását el®zze meg a gyermek környezetében lév® tárgyak tömegének becslése,
mérése, összehasonlítása.
Tk. 14/1. feladat: Mélyítjük a mértékegységekr®l tanultakat becslésekkel, mérési adatok
összehasonlításával.
Megoldás: 90 dkg < N, K < 110 dkg 100 dkg < N, K < 200 dkg
50 kg < F < 100 kg 5 dkg < T < 10 dkg
20 kg < Gy < 30 kg 10 dkg < A < 20 dkg
Tk. 14/2. feladat: Tasziló összegy¶jtött néhány típushibát. Ezek kijavítása mélyíti a mér-
tékegységekr®l tanultakat.
Megoldás: 12 dkg helyett 12 kg.
100 dkg helyett 10 kg.
5 kg helyett 5 dkg.
Tk. 15/3. feladat: A tankönyvi részben lév® feladat a tömegméréssel kapcsolatos statisz-
tikai elemzésekre mutat példát, míg a gyakorlóban lév® feladatok megoldása feltételezi
a tényleges vizsgálat elvégzését:
14 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
mérés, adatgy¶jtés, az adatok lejegyzése;
a mért adatok nagyság szerinti rendezése;
az adatok ábrázolása gra�konon, a �úk és lányok adatainak megkülönböztetése.
További vizsgálatok lehetnek:
a sorban középs® érték (medián) meghatározása;
a legnagyobb és a legkisebb érték közti különbség (terjedelem) meghatározása;
a lányok és a �úk adatainak összehasonlítása.
Érdekes lehet a mérések év végi megismétlése és a két adatsor összehasonlítása.
Megoldás: Mért tömegek: 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 4 4
5 6 8 9 9 0 1 2 2 3 3 4 4 4 4 5 6 6 7 8 8 0 6
Megoldás: a) 34 kg d) 34 kg
b) 30 kg e) 46 kg minusz 25 kg = 21 kg
c) 36 kg
Tk. 15/4. feladat: A tankönyvi feladatokat inkább mintapéldáknak tekintsük, és az osz-
tály tanulóinak adatait rendeztessük különböz® szempontok szerint, ábrázoltassuk gra�-
konon, végeztessünk statisztikai vizsgálatokat.
Megoldás: a 4 lány, 1 �ú, összesen 5 gyerek
b 4 lány, 6 �ú, összesen 10 gyerek
c 4 lány, 2 �ú, összesen 6 gyerek
d 0 lány, 1 �ú, összesen 1 gyerek
e 0 lány, 1 �ú, összesen 1 gyerek
Gy. 16/1. feladat: Mértékváltások gyakorlása.
Megoldás: a) 100 dkg b) 2 kg 0 dkg
140 dkg 1 kg 65 dkg
104 dkg 1 kg 9 dkg
Gy. 16/2. feladat: A feladatok megoldása feltételezi a tényleges vizsgálat elvégzését:
mérés, adatgy¶jtés, az adatok lejegyzése; a mért adatok nagyság szerinti rendezése.
Gy. 16/3. feladat: A feladatok megoldása feltételezi a tényleges vizsgálat elvégzését:
az adatok ábrázolása gra�konon, a �úk és lányok adatainak megkülönböztetése. Tanév
elején és tanév végén is végezzük el a méréseket, és vessük össze az eredményeket.
Gy. 17/4. feladat: A különböz® mennyiségek és mér®eszközeik párosítása. átismételjük,
mit mivel mérünk. Elevenítsük fel a mérésr®l, mér®eszközökr®l, mennyiségekr®l (mérték-
egység és mér®szám), különböz® mennyiségek mértékegységeir®l tanultakat.
Megoldás: 3 kg 48 dkg mérleg
2 dl 4 cl mér®edény
5 m 3 dm 4 cm méterrúd
5 óra 15 perc óra
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
15
Gy. 17/5. feladat: A különböz® mennyiségek és mér®eszközeik párosítása. átismételjük,
mit mivel mérünk. Elevenítsük fel a mérésr®l, mér®eszközökr®l, mennyiségekr®l (mérték-
egység és mér®szám), különböz® mennyiségek mértékegységeir®l tanultakat.
Megoldás: ¶rtartalom: liter, deciliter
Id®tartam: perc, nap
Hosszúság: méter, deciméter
Tömeg: kilogramm, dekagramm
Gy. 17/6. feladat: Hasonló feladatokkal, konkrét mérésekkel egyre pontosabbá válhat a
tanulók becslése.
Megoldás: Pohár tej: 2 dl (lehet ekkora az ¶rtartalma),
20 dkg (ennyi lehet a tömege),
5 perc (ennyi id® alatt tudom meginni).
Szelet kenyér: 3 dkg (lehet ekkora a tömege),
5 perc (ennyi id® alatt tudom megenni),
1 cm (ilyen vastag lehet).
Gy. 17/7. feladat: A tanulók számára érdekes és tanulságos lehet, ha ezeket az adatokat
év végén is megmérjük, és az eredményeket összehasonlítjuk. (Kapcsolat a környezet-
ismeret követelményeivel.) Testnevelésórán egyéb adatokat is megmérhetünk.
Kerek tízesek összeadása, kivonása 200-ig
Kompetenciák, fejlesztési feladatok:
Gazdasági nevelés, számlálás, számolás, rendszerezés, relációszókincs fejlesztése,
szövegértés, szövegértelmezés, szövegesfeladat-megoldás, rész-egész észlelése, tér-
beli viszonyok meg�gyelése, induktív következtetések, deduktív következtetések, problé-
maérzékenység, problémamegoldás, emlékezet fejlesztése, �gyelem, kezdeményez®ké-
pesség, meg�gyel®képesség, összefüggéslátás, pontosság, kooperatív és önálló mun-
kavégzés.
Óra: 8{9. 9{10. 12{15.
Ismételjük át és egészítsük ki a térgeometriai ismeretek közül a testekr®l, a téglatestr®l
és a kockáról tanultakat. A különböz® testek, köztük a téglatest és speciálisan a kocka
lapjainak vizsgálatával el®készítjük a testháló fogalmának kialakítását. Figyeltessük meg,
hogy a kocka speciális téglatest.
Elevenítsük fel, majd b®vítsük ki a síkgeometriai ismeretek közül a síkidom, a négy-
szög fogalmát, a téglalap és a négyzet fogalmát. Vizsgáltassuk meg a síkidomok tulaj-
donságait, ismertessük fel a téglalap és speciálisan a négyzet tengelyes szimmetriáját.
Rajzoltassuk meg a tükörtengelyeiket. Ismételten tudatosítsuk, hogy a négyzet speciális
téglalap.
16 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
Figyeljünk arra, hogy a tanulók helyesen használják az elnevezéseket. (Tanítsuk meg
az egyenes és a szakasz fogalma közti különbséget. A téglalapnak oldalai és csúcsai
vannak, a téglatestnek élei, lapjai és csúcsai.)
A hasábok, f®leg a téglatest, kocka tulajdonságait) vizsgálva kerestessünk párhuzamos,
metsz®, mer®legesen metsz® és kitér® éleket; párhuzamos, metsz®, mer®leges lapokat.
Tk. 16/1. kidolgozott mintapélda: Az összeadásnál az analóg számítások szemlélteti
a feladat.
Tk. 16/1. feladat: Az összeadásnál az analóg számítások gyakoroltatására pénzhasz-
nálattal. Ha szükséges több hasonló feladatot adjunk a tanulóknak.
Megoldás: 4 + 3 = 7 14 + 3 = 17 7 + 5 = 12
40 + 30 = 70 140 + 30 = 170 70 + 50 = 120
Tk. 16/2. feladat: Az összeadásnál az analóg számítások gyakoroltatására számegye-
nesen történ® lépegetéssel.
Megoldás: 10 + 5 = 15 100 + 50 = 150
6 + 8 = 14 60 + 80 = 140
Tk. 17/2. kidolgozott mintapélda: A kivonásnál az analóg számítások szemlélteti a fel-
adat.
Tk. 17/3. feladat: A kivonásnál az analóg számítások gyakoroltatására pénzhasználattal.
Ha szükséges több hasonló feladatot adjunk a tanulóknak.
Megoldás: 6 { 2 = 4 16 { 2 = 14 12 { 6 = 6
60 { 20 = 40 160 { 20 = 140 120 { 60 = 60
Tk. 17/4. feladat: A kivonásnál az analóg számítások gyakoroltatására számegyenesen
történ® lépegetéssel.
Megoldás: 20 { 7 = 13 200 { 70 = 130
16 { 9 = 7 160 { 90 = 70
Tk. 18/5. feladat: Analóg számítások a számolási rutin fejlesztésére. Figyeltessük meg
az összeg változásait.
Megoldás: a) 7 70 b) 9 90
17 170 19 190
17 170 19 190
Tk. 18/6. feladat: A szöveggel adott függvény megoldása során �gyeltessük meg az
összeadás és a kivonás közti kapcsolatot. A szöveg alapján mondassuk el, majd írassuk
le a �matematika nyelvén" a szabály többféle alakját. Beszéljük meg, hogy mit jelent a
bet¶szimbólum. Például a �P" nem a persely rövidítése, hanem a perselyben lév® pénzé.
Figyeljük meg, mennyire képesek a tanulók követni a szabályt.
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
17
Megoldás: A szabály: P + T = Ö; T + P = Ö; Ö { P = T; Ö { T = P.
Persely (Ft) 80 180 30 30 120 50 60 30 80
Pénztárca (Ft) 20 20 70 170 40 130 40 130 110
Összesen (Ft) 100 200 100 200 160 180 100 160 190
Tk. 18/7. feladat: Analóg számítások a számolási rutin fejlesztésére. Figyeltessük meg
a különbség változásait.
Megoldás: a) 2 20 b) 2 20
12 120 12 120
2 20 2 20
Tk. 18/8. feladat: A szöveggel adott függvény megoldása során �gyeltessük meg az
összeadás és a kivonás közti kapcsolatot.
Megoldás: Szabály: P + T = Ö; T + P = Ö; Ö { P = T; Ö { T = P.
Volt (Ft) 100 200 90 190 150 150 180 150 150
Sütemény(Ft) 50 50 60 160 40 140 110 110 140
Maradt (Ft) 50 150 30 30 110 10 70 40 10
Tk. 18/9. feladat: Kreatív gondolkodást fejleszt®, optimumszint¶ feladat. Kerestessünk
többféle megoldást! Figyeltessük meg (szemléltetéssel), hogy ha az ábrákat elforgatjuk,
tükrözzük, akkor csak látszólag kapunk más megoldást.
Megoldás:
90 40 70
60 80
50
200
30 70 100
80 40
90 50 60
200
70 30 100
80 40
50 90 60
200
Gy. 18/1. feladat: A pénzhasználat szemléletessé teszi a m¶veletvégzést. Az eszközö-
ket csak addig használjuk, amíg a gyermek igényli. A képr®l két összeadás írását várjuk
el a tanulóktól.
Megoldás: a) 70 + 60 = 130 b) 120 + 50 = 170
60 + 70 = 130 50 + 120 = 170
Gy. 18/2. feladat: A pénzhasználat szemléletessé teszi a m¶veletvégzést. A képr®l két
kivonás írását várjuk el a tanulóktól.
Megoldás: a) 160 { 40 = 120 160 { 120 = 40
18 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
b) 150 { 110 = 40 150 { 40 = 110
c) 140 { 60 = 80 140 { 80 = 60
Gy. 18/3. feladat: A pénzhasználat szemléletessé teszi a m¶veletvégzést. A képr®l leg-
alább két összeadás és két kivonás írását várjuk el a tanulóktól.
Megoldás: a) 140 + 30 = 170 b) 130 + 50 = 180
30 + 140 = 170 50 + 130 = 180
170 { 140 = 30 180 { 130 = 50
170 { 30 = 140 180 { 50 = 130
140 >110
30 180 >130
50
140 { 110 = 30 180 { 130 = 50
30 <110
140 50 <130
180
30 + 110 = 140 50 + 130 = 180
Gy. 19/4. feladat: Analóg számítások a számolási rutin fejlesztésére. Figyeltessük meg
az összeg változásait.
Megoldás: a) 9 90 190
b) 10 100 200
c) 7 70 170
d) 10 100 200
e) 9 90 190
Gy. 19/5. feladat: Analóg számítások a számolási rutin fejlesztésére. Figyeltessük meg
az összeg változásait.
Megoldás: a) 12 57 120
b) 15 96 150
c) 14 140 68
d) 16 79 160
e) 12 84 120
Gy. 19/6. feladat: Analóg számítások a számolási rutin fejlesztésére. Figyeltessük meg
az összeg változásait.
Megoldás: a) 18 180
b) 20 128
c) 16 79
d) 15 150
Gy. 19/7. feladat: Szöveges feladatok az összeadás, kivonás köréb®l. A megoldás lé-
péseit jelzi a könyv. Az egy m¶velettel megoldható (nehezítést nem tartalmazó) egy-
szer¶ szöveges feladatok megoldása minimumkövetelmény. Természetesen év elején
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
19
még nem mindegyik tanuló képes önállóan megbirkózni ezekkel a szöveges feladatok-
kal. Ezért eleinte a megoldások során újra és újra tudatosítsuk a szöveges feladatok
megoldásának a menetét.
Megoldás: a) Adatok: A = 40 Ft, A <
80 Ft-talJ, J = ?
Terv: J = A + 80
Számolás: J = 40 + 80 J = 120 Ft
Válasz: 120 Ft-ja van Julinak.
Megoldás: a) Adatok: B = 50 Ft, K = 70 Ft, ö = ?
Terv: ö = B + K
Számolás: ö = 50 + 70 ö = 120 Ft
Válasz: 120 Ft-juk van együtt.
Gy. 20/8. feladat: Analóg számítások a számolási rutin fejlesztésére. Figyeltessük meg
a különbség változásait.
Megoldás: a) 3 30 75
b) 13 130 175
c) 5 50 113
d) 6 60 141
Gy. 20/9. feladat: Analóg számítások a számolási rutin fejlesztésére. Figyeltessük meg
a különbség változásait.
Megoldás: a) 3 30 5 50
b) 8 80 9 90
c) 5 50 8 80
d) 1 10 8 80
Gy. 20/10. feladat: Analóg számítások a számolási rutin fejlesztésére.
Megoldás: a) 140 150 130 140
b) 90 100 80 90
c) 130 130 50 130
d) 170 170 90 110
e) 170 70 90 190
Gy. 20/11. feladat: Analóg számítások a számolási rutin fejlesztésére.
Megoldás: a) 6 60
b) 2 20
c) 4 40
20 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
Gy. 20/12. feladat: Analóg számítások a számolási rutin fejlesztésére.
Megoldás: a) 20 40 60
20 10 90
18 30 50
b) 15 50 200
12 80 200
13 40 170
Gy. 21/13. feladat: Szöveges feladatok az összeadás, kivonás köréb®l. A megoldás lé-
péseit jelzi a könyv.
Megoldás: a) Adatok: v = 140 Ft, t = 70 Ft, m = ?
Terv: m = v { t
Számolás: m = 140 { 70 = 70
Ellen®rzés: 70 + 70 = 140
Válasz: 70 Ft-ja maradt Nórának.
Megoldás: b) Adatok: B = 150 Ft, B >
80 Ft-talé, é = ?
Terv: é = B { 80
Számolás: é = 150 { 80 é = 70 Ft
Ellen®rzés: 70 + 80 = 150
Válasz: 70 Ft-ja van Édának.
Megoldás: a) Adatok: D = 70 Ft, D <
40 Ft-talG, G = ?
Terv: G = D + 40
Számolás: G = 70 + 40 G = 110Ft
Ellen®rzés: 110 { 40 = 70
Válasz: 110 Ft-ja van Gabinak.
Gy. 21/14. feladat: A szöveggel adott függvény megoldása során �gyeltessük meg az
összeadás és a kivonás közti kapcsolatot. A szöveg alapján mondassuk el, majd írassuk
le a �matematika nyelvén" a szabály többféle alakját.
Megoldás: a) Szabály: D + E = 150, E +D = 150, 150 { D = E, 150 { E = D
D (Ft) 120 130 50 0 10 40 60 70 1
E (Ft) 30 20 100 150 140 110 90 80 149
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
21
b) B >
60C, B { 60 = C, C <
60B, c + 60 = B,
C + 60 = B, B { C = 60
B (Ft) 100 180 140 60 120 160 130 190 200 65
C (Ft) 40 120 80 0 60 100 70 130 140 5
Gy. 21/15. feladat: Szöveges feladatok az összeadás, kivonás köréb®l. A megoldás lé-
péseit itt is várjuk el a tanulóktól.
Megoldás: a) Adatok: e = 80 cm, m = 120 cm, ö = ?
Terv: ö = e + m
Számolás: ö = 80 + 120 ö = 200 cm = 2 m
Válasz: 200 cm hosszú csövet kaptunk.
b) Adatok: v = 200 cm, l = 50 cm, m = ?
Terv: m = v { l
Számolás: m = 200 { 50 vagy m = 150 cm
Ellen®rzés: 150 + 50 = 200
Válasz: 150 cm hosszú léc maradt.
c) Adatok: t = 150 m, e = 60 m, h = ?
Terv: h = t { e
Számolás: h = 150 { 60 h = 90 m
Ellen®rzés: 90 + 60 = 150
Válasz: 90 m járdát kell még elkészíteni.
d) Adatok: ö = 120 dkg, k = 80 dkg, r = ?
Terv: r = ö { k r + k = ö
Számolás: r = 120 { 80 r = 40 dkg
Ellen®rzés: 40 + 80 = 120
Válasz: 40 dkg a rozscipó tömege.
e) Adatok: ö = 90 cm, ö <4 dm = 40 cm-rel
J, J = ?
Terv: J = ö + 40
Számolás: J = 90 + 40 J = 130 cm
Ellen®rzés: 90 < 130 40 cm-rel
Válasz: 130 cm magas Jutka.
f) Adatok: a = 70 cm, r = 6 � 5 cm, e = ?
Terv: e = a + r
Számolás: e = 70 + 6 � 5 e = 100 cm = 1 m
Válasz: 1 m-re van a padlótól az ötforintos
22 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
Gy. 21/16. feladat: Beszéljük meg, hogy a mennyiségekkel kapcsolatos szöveges fela-
datok adatainak lejegyzésekor ügyelni kell a mértékegységek egyeztetésére. Az adatok
lejegyzése lehet egy megfelel® ábra, vagy táblázat is. A számításokat a mér®számok-
kal végezzük. Itt nem célszer¶ jelölni a mértékegységeket. A szöveges válaszban az
eredmény tükrében újra kell értelmezni a szöveget, ekkor a mér®szám �visszanyeri" a
dimenzióját. Megint fontos, hogy a mennyiség tartalmazza a mértékegységet is.
Megoldás: a) Adatok: Rajzon: 2 m = 20 dm, 5 dm,
Terv: m = v { l
Számolás: m = 20 { 5 m = 15 dm
Válasz: 15 dm hosszú szalag marad.
b) Adatok: Rajzon: 15 m, 40 dm = 4 m,
Terv: t = e +m
Számolás: t = 15 + 4t = 19 m
Válasz: 19 m-re van a két juharfa egymástól.
Kerek tízesek hozzáadása, elvétele
Kompetenciák, fejlesztési feladatok:
számlálás, számolás, rendszerezés, relációszókincs fejlesztése, szövegértés, szövegér-
telmezés, szövegesfeladat-megoldás, rész-egész észlelése, térbeli viszonyok meg�gye-
lése, induktív következtetések, deduktív következtetések, problémaérzékenység, problé-
mamegoldás, emlékezet fejlesztése, �gyelem, kezdeményez®képesség, meg�gyel®ké-
pesség, összefüggéslátás, pontosság, kooperatív és önálló munkavégzés, környezettu-
datosságra nevelés.
Óra: 10{11. 11{12. 16{27.
Az összeadás és a kivonás gyakorlása a 200-as számkörben. Kerek tízesek hozzáadása
egy számhoz, kivonása egy számból. Analóg számítások végzése: a 100-as számkör-
ben, illetve a kerek tízesekkel végzett m¶veletek során elsajátított számolási eljárásokat
és az összeg, különbség változásairól tanultakat alkalmazva léphetünk tovább. A tanul-
tak alkalmazása összetett szám- és szöveges feladatok megoldásában sorozatok foly-
tatásában, táblázatok kiegészítésében. A szöveges feladatok alkalmasak a különböz®
mennyiségekr®l és mértékegységekr®l tanultak folyamatos ismétlésére.
Tk. 21/1. kidolgozott mintapélda: Figyeljük meg az analógiákat. Ezek alkalmazása biz-
tosabbá teszi a m¶veletvégzést. Kés®bb a számkör b®vítésénél építhetünk az itt szerzett
tapasztalatokra.
Tk. 21/1. feladat: Az összeadásnál az analóg számítások gyakoroltatására pénzhasz-
nálattal. Ha szükséges több hasonló feladatot adjunk a tanulóknak.
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
23
Megoldás: 70 + 26 = 96 60 + 19 = 79 30 + 53 = 83
170 + 26 = 196 160 + 19 = 179 30 + 153 = 183
Tk. 21/2. feladat: Számolási rutin fejlesztésére szánt feladatsor a hiányzó tagok pótlá-
sával.
Megoldás: 26 60 12 40
126 60 112 40
10 21 40 43
110 21 140 43
Tk. 22/3. feladat: A kivonásnál az analóg számítások gyakoroltatására pénzhasználattal.
Ha szükséges több hasonló feladatot adjunk a tanulóknak.
Megoldás: 36 { 20 = 16 74 { 10 = 64 63 { 23 = 40
136 { 20 = 116 174 { 110 = 64 163 { 23 = 140
Tk. 22/4. feladat: Számolási rutin fejlesztésére szánt feladatsor a hiányzó kisebbítend®,
illetve kivonandó pótlásával.
Megoldás: 40 39 46 35
40 139 146 135
26 70 82 75
26 170 182 175
Tk. 22/5. feladat: Számolási rutin fejlesztésére szánt feladatsor sorozatok folytatásával.
Megoldás: A sorozat mindig 20-szal növekszik.
27, 47, 67, 87, 107, 127, 147.
A sorozat mindig 30-cal csökken.
196, 166, 136, 106, 76, 46
Tk. 22/6. feladat: Ismét beszéljük meg a szöveges feladat megoldásmenetét.
Megoldás: a) Adatok: A = 58, A <
30-calB, B = ?
Terv: B = A + 30
Számolás: B = 58 + 30 B = 88
Válasz: 88 képeslapja van Beának.
b) Adatok: C = 58, C >
30-calD, D = ?
Terv: D = C { 30
Számolás: D = 58 { 30 D = 28
Válasz: 28 szalvétája van Dórának.
24 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
Tk. 22/7. feladat: Számolási rutin fejlesztésére szánt feladatsor táblázat kitöltésével.
Fogalmaztassuk meg a szabályt többféle alakban.
Megoldás: Szabály: I + J = 156, J + I = 156, 156 { I = J, 156 { J = I
I (dkg) 110 66 70 150 1 16 126 151 46 100
J (dkg) 46 90 86 6 155 140 30 5 110 56
Gy. 23/1. feladat: Számolási rutin fejlesztésére szánt az összeadás gyakorlására. Fi-
gyeltessük meg az összeg változásait.
Megoldás: a) 80 180 180
85 185 185
b) 60 160 160
66 166 166
c) 130 150 130
133 154 138
Gy. 23/2. feladat: Számolási rutin fejlesztésére szánt a kivonás gyakorlására. Figyeltes-
sük meg a különbség változásait.
Megoldás: a) 50 150 50
55 155 55
b) 30 130 30
33 133 33
c) 80 60 60
86 68 69
Gy. 23/3. feladat: Hasonlítsuk össze az összegeket. Figyeljük meg a változásokat.
Megoldás: a) 130 < 135 140 < 143
b) 114 = 114 186 = 186
Gy. 23/4. feladat: Hasonlítsuk össze a különbségeket. Figyeljük meg a változásokat.
Megoldás: a) 30 < 34 130 < 134
b) 70 < 76 30 < 34
c) 50 > 41 14 = 14
Gy. 24/5. feladat: Egyenes, illetve fordított szövegezés¶, egy m¶velettel megoldható
egyszer¶ szöveges feladatok. Egy-egy összetartozó feladatsort célszer¶ egy órán föl-
dolgoztatni. A feladatok megoldása során ne elégedjünk meg csupán az eredménnyel,
hanem kérjük számon a feladatmegoldás lépéseit.
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
25
Megoldás: a) Adatok: C = 65 Ft, D <
50 Ft-talC, D = ?
Terv: D = C { 50
Számolás: D = 65 { 50 D = 15 Ft
Ellen®rzés: 15 + 50 = 65
Válasz: 15 Ft-ja van Dórának.
b) Adatok: E = 87 Ft, E <
30 Ft-talF, F + ?
Terv: F = E + 30
Számolás: F = 87 + 30 F = 117 Ft
Válasz: 117 Ft-ja van Ferinek.
c) Adatok: G = 87 Ft, G >
30 Ft-talH, H = ?
Terv: H = G { 30
Számolás: H = 87 { 30 H = 57 Ft
Ellen®rzés: 57 + 30 = 87
Válasz: 57 Ft-ja van Gábor húgának.
d) Adatok: I = 90 Ft, J = 156 Ft, k = ?
Terv: k = J { I
Számolás: k = 156 { 90 k = 66 Ft I <
66 FtJ
Ellen®rzés: 66 + 90 = 156
Válasz: Jutkának 66 Ft-tal több pénze van.
e) Adatok: E = 150 Ft, L = 90 Ft, K = ?
Terv: K = E { L
Számolás: K = 150 { 90 K = 60 Ft
Ellen®rzés: 60 + 90 = 150
Válasz: 60 Ft-ja van Karcsinak.
Gy. 24/6. feladat: Összetett szöveges feladatok, amelyek megoldása során alkalmazzuk
a m¶veleti sorrendr®l tanultakat. Szoktassuk rá a tanulókat, hogy az adatok kigy¶jtésénél
hajtsák végre a szükséges mértékváltásokat.
Megoldás: a) Adatok: v = 118 Ft, r = 30 Ft, k = 50 Ft, m = ?
Terv: m = v { r { k
Számolás: m = 118 { 30 { 50 m = 38 Ft
Ellen®rzés: 38 + 30 + 50 = 118 Ft
Válasz: 38 Ft-ja maradt Marikának.
b) Adatok: v = 118 Ft, e = 30 Ft, k = 50 Ft, l = ?
Terv: l = v { e + k
26 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
Számolás: l = 118 { 30 + 50 l = 138 Ft
Válasz: 138 Ft-ja lett Norbinak.
c) Adatok: v = 118 Ft, k = 30 Ft, e = 50 Ft, m = ?
Terv: m = v + k { e
Számolás: m = 118 + 30 { 50 m = 98 Ft
Válasz: 98 Ft-ja maradt Orsolyának.
d) Adatok: v = 118 Ft, k = 30 Ft + 50 Ft, l = ?
Terv: l = v + k
Számolás: l = 118 + 30 + 50 l = 198 Ft
Válasz: 198 Ft-ja lett ödönnek.
Gy. 24/7. feladat: Táblázattal adott számpárokhoz szabály keresése, szabály alapján a
táblázat kitöltése.
Megoldás: Szabály: a { 50 = b, b + 50 = a, 50 + b = a, a { b = 50
a 106 132 200 113 158 121 185 197 146 93
b 56 82 150 63 108 71 135 147 96 43
Egyjegy¶ számok hozzáadása, elvétele
Kompetenciák, fejlesztési feladatok:
gazdasági nevelés, számlálás, számolás, rendszerezés, relációszókincs fejlesztése,
szövegértés, szövegértelmezés, szövegesfeladat-megoldás, rész-egész észlelése, tér-
beli viszonyok meg�gyelése, induktív következtetések, deduktív következtetések, problé-
maérzékenység, problémamegoldás, emlékezet fejlesztése, �gyelem, kezdeményez®ké-
pesség, meg�gyel®képesség, összefüggéslátás, pontosság, kooperatív és önálló mun-
kavégzés.
Óra: 12. 13. 18.
100-as számkörben kétjegy¶ számok és egyjegy¶ számok összege, különbsége tízesek
átlépésével is, majd ennek analógiájára a 100-nál nagyobb számok és egyjegy¶ számok
összege, különbsége tízesek átlépésével is. Külön gyakoroltassuk a 100 átlépését.
Figyeltessük meg az összeg és a különbség változásait.
Tk. 23/1. kidolgozott mintapélda: Figyeljük meg az analógiákat. Ezek alkalmazása biz-
tosabbá teszi a m¶veletvégzést. Kés®bb a számkör b®vítésénél építhetünk az itt szerzett
tapasztalatokra.
Tk. 23/1. feladat: Figyeltessük meg az analógiákat. Ha szükséges, szemléltessük a fel-
adatot játék pénzzel.
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
27
Megoldás: 46 + 4 = 50 68 + 7 = 75 146 + 4 = 150 168 + 7 = 175
4 + 46 = 50 7 + 68 = 75 4 + 146 = 150 7 + 168 = 175
50 { 4 = 46 75 { 7 = 68 150 { 4 = 146 175 { 7 = 168
50 { 46 = 4 75 { 68 = 7 150 { 146 = 4 175 { 168 = 7
46 >442 68 >
761 146 >
4142 168 >
7161
46 { 42 = 4 68 { 7 = 61 146 { 142 = 4 168 { 7 = 161
4 <42
46 7 <61
68 4 <142
146 7 <161
168
4 + 42 = 46 7 + 61 = 68 4 + 142 = 146 7 + 161 = 168
Tk. 23/2. feladat: Figyeltessük meg az analógiákat. Ha szükséges, szemléltessük a fel-
adatot számegyenesen lépegetéssel.
Megoldás: 56 + 8 = 64 73 { 8 = 65
156 + 8 = 164 173 { 8 = 165
97 + 8 = 105 103 { 8 = 95
Tk. 24/3. feladat: Számolási rutin fejlesztésére szánt feladatsor a hiányzó tagok pótlá-
sával.
Megoldás: 6 6 42 86
6 6 142 186
6 6 58 69
6 6 158 169
Tk. 24/4. feladat: Számolási rutin fejlesztésére szánt feladatsor a hiányzó kivonandó,
illetve kisebbítend® pótlásával.
Megoldás: 3 3 84 42
3 3 184 142
7 8 75 32
7 8 175 132
Tk. 24/5. feladat: Egyenlettel adott függvény értékeinek kiszámítása. �Irassuk fel a sza-
bályt többféle alakban.
Megoldás: Szabály: a + 6 = b, 6 + a = b, b { 6 = a, b { a = 6,
a <
6b, b >
6a
a 32 39 54 120 137 106 98 97 95 99
b 38 45 60 126 143 112 104 103 101 105
Tk. 24/6. feladat: Szöveges feladatok. A megoldás során törekedjünk az önálló munka-
végzésre, betartva a szöveges feladatok megoldásának tanult lépéseit.
28 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
Megoldás: a) Adatok: P = 1 m 34 cm = 134 cm, P <
8 cm-relR, r = ?
Terv: R = P + 8
Számolás: R = 134 + 8 R = 142 cm
Válasz: 142 cm = 1 m 4 dm 2 cm magas Réka.
b) Adatok: S = 13 dm 4 cm = 134 cm, S >
8 cm-relT, T = ?
Terv: T = S { 8
Számolás: T = 134 { 8 T = 126 cm
Ellen®rzés: 126 + 8 = 134
Válasz: 126 cm = 1 m 2 dm 6 cm magas Tibi.
c) Adatok: v = 15 dl = 150 cl, k = 5 cl, m = ?
Terv: m = v { k
Számolás: m = 150 { 5 m = 145 cl
Ellen®rzés: 145 + 5 = 150
Válasz: 145 cl = 1 l 4 dl 5 cl víz maradt az edényben.
d) Adatok: v = 1 l 50 cl = 150 cl, h = 5 dl = 50 cl, l = ?
v = 1 l 50 cl = 15 dl, h = 5 dl, l = ,
Terv: l = v + h
Számolás: l = 150 + 50 l = 200 cl
l = 15 + 5 l = 20 dl
Válasz: 200 cl = 20 dl = 2 l víz lett az edényben.
e) Adatok: n = 126 dkg, n <9 dkg
a, a = ?
Terv: a = n + 9
Számolás: a = 126 + 9 a = 135 dkg
Válasz: 135 dkg = 1 kg 35 dkg volt az alma.
f) Adatok: a = 126 kg, a >9 kg-mal
sz, sz = ?
Terv: sz = a { 9
Számolás: sz = 126 { 9 sz = 117 kg
Ellen®rzés: 117 + 9 = 126
Válasz: 117 kg sz®l®t vitt a keresked® a piacra.
g) Adatok: v = 1 m 45 cm = 145 cm, l = 5 dm = 50 cm, m = ?
Terv: m = v { l
Számolás: m = 145 { 50 m = 95 cm
Ellen®rzés: 95 + 50 = 145
Válasz: 95 cm = 9 dm 5 cm hosszú szalag marad.
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
29
Gy. 25/1. feladat: Számolási rutin fejlesztésére szánt feladatsor az összeadás gyakor-
lására.
Megoldás: a) 73 80 82
173 180 182
b) 68 70 75
168 170 175
c) 98 100 102
99 100 103
Gy. 25/2. feladat: Számolási rutin fejlesztésére szánt feladatsor a kivonás gyakorlására.
Megoldás: a) 60 62 59
160 162 159
b) 73 70 67
173 170 167
c) 103 100 99
102 100 98
Gy. 25/3. feladat: Hiányos összeadás és kivonás gyakorlására, az összeadás és a ki-
vonás közötti kapcsolat elmélyítésére szánt feladatok. A feladat megoldását a kapott
eredmény behelyettesítésével ellen®riztessük!
Megoldás: a) 8 8 164
4 4 183
b) 5 5 175
3 3 193
Gy. 25/4. feladat: Sorozat folytatása adott szabály alapján.
Megoldás: a) 60, 110, 150, 200
b) 130, 100, 93, 63
c) + 80, + 7, + 80, + 7
d) { 50, + 8, { 50, + 8
Összeadás, kivonás a 200-as számkörben
Kompetenciák, fejlesztési feladatok:
gazdasági nevelés, számlálás, számolás, rendszerezés, relációszókincs fejlesztése,
szövegértés, szövegértelmezés, szövegesfeladat-megoldás, rész-egész észlelése, tér-
beli viszonyok meg�gyelése, induktív következtetések, deduktív következtetések, problé-
maérzékenység, problémamegoldás, emlékezet fejlesztése, �gyelem, kezdeményez®ké-
pesség, meg�gyel®képesség, összefüggéslátás, pontosság, kooperatív és önálló mun-
kavégzés, énkép, önismeret, környezettudatosságra nevelés.
30 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
Óra: 13{16. 14{17. 19{22.
A szóbeli számolási eljárások tanulásának befejezéseként tetsz®leges kétjegy¶ számok
összegét, különbségét számoljuk ki a 200-as számkörben.
Többféle megoldási modellt mutatunk a számok összegének és különbségének kiszámí-
tására a tízesek és a 100 átlépésével is a 200-as számkörben.
A gyermekek többségénél hagyjuk, hogy saját maguk válasszák ki a számukra leg-
könnyebben követhet® modellt.
Lehetséges, hogy feladattípustól függ®en alkalmazzák a különböz® modelleket. Egy mo-
dellt csak azokkal a tanulókkal gyakoroltassunk, akiknek nehezen megy a számolás.
Tk. 25/1. kidolgozott mintapélda: Különböz® számolási modelleket mutatunk be, több-
féleképpen szemléltetve a m¶veletvégzést.
Tk. 25/1. feladat: Különböz® számolási tervek tudatosítására, a tanultak begyakorlására,
a számolási rutin fejlesztésére szolgáló egyszer¶ számfeladatok. Figyeltessük meg, hogy
az összeg változásairól tanultak hogyan alkalmazhatók a számításokban.
Megoldás: a) 56 156 59 159
b) 65 165 95 195
c) 88 188 93 193
Tk. 25/2. feladat: Különböz® számolási tervek tudatosítására, a tanultak begyakorlására,
a számolási rutin fejlesztésére szolgáló egyszer¶ számfeladatok.
Megoldás: a) 97 117 120 122
b) 77 117 120 122
c) 79 109 110 115
d) 90 92 160 162
Tk. 26/2. kidolgozott mintapélda: Különböz® számolási modelleket mutatunk be, több-
féleképpen szemléltetve a m¶veletvégzést. A többi feladatot hasonló módon szemléltet-
hetjük.
Tk. 26/3. feladat: Különböz® számolási tervek tudatosítására, a tanultak begyakorlására,
a számolási rutin fejlesztésére szolgáló egyszer¶ számfeladatok. Figyeltessük meg, hogy
az összeg változásairól tanultak hogyan alkalmazhatók a számításokban.
Megoldás: a) 46 146 42 142
b) 42 142 36 136
c) 60 160 57 157
Tk. 26/4. feladat: Különböz® számolási tervek tudatosítására, a tanultak begyakorlására,
a számolási rutin fejlesztésére szolgáló egyszer¶ számfeladatok.
Megoldás: a) 41 141 71 68
b) 48 148 92 88
c) 27 127 90 87
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
31
Tk. 26/5. feladat: Szabálykövetés, táblázat kitöltése. Mondassuk el a szabályt többféle
alakban!
Megoldás: Szabály: a + b = c, b + a = c, c { a = b, c { b = a
a 48 53 26 134 57 76 29 67 64
b 16 54 132 36 63 89 83 94 136
c 64 107 158 170 120 165 112 161 200
Tk. 27/6. feladat: Figyeltessük meg az összeg, illetve a különbség változásait.
Megoldás: a) 138 b) 58 c) 48
140 53 46
135 60 56
161 80 86
Tk. 27/7. feladat: Figyeltessük meg az összeg, illetve a különbség változásait.
Megoldás: a) a<56
124, a + 56 = 124, 124 { 56 = a, a = 68;
b) 124 <56
b, b { 56 = 124, 124 + 56 = b, b = 180;
c) c = 124 + 56, c = 180;
d) d = 124 { 56, d = 68;
e) e>56
124, e { 56 = 124, 124 + 56 = e, e = 180;
f) f<56
124, f + 56 = 124, 124 { 56 = f, f = 68.
Tk. 27/8. feladat: Egyszer¶ szöveges feladatok. Hívjuk fel a gyermekek �gyelmét, hogy
ügyeljenek a mértékegységekre.
Megoldás: a) Adatok: p = 75 cm, k = 49 cm, ö = ?
Terv: ö = p + k
Számolás: ö = 75 + 49 ö = 124 cm
Válasz: 124 cm = 1 m 2 dm 4 cm hosszú szalagja lett Karcsinak.
b) Adatok: L = 75 cm, L >
49 cm-relb, b = ?
Terv: b = L { 49
Számolás: b = 75 { 49 b = 26 cm
Ellen®rzés: 26 + 49 = 75
Válasz: 26 cm = 2 dm 6 cm hosszú szalagja van.
c) Adatok: ö = 75 cm, p = 49 cm, k = ?
Terv: k = ö { p
Számolás: k = 75 { 49 k = 26 cm
32 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
Ellen®rzés: 26 + 49 = 75
Válasz: 26 cm = 2 dm 6 cm hosszú a kék papírcsík.
d) Adatok: N = 75 cm, N <
49 cm-relO, O = ?
Terv: O = N + 49
Számolás: O = 75 + 49 O = 124 cm
Válasz: 124 cm = 1 m 2 dm 4 cm hosszú utat épített Ottó.
e) Adatok: h = 75 dm, sz = 49 dm, k = ?
Terv: k = h { sz
Számolás: k = 75 { 49 k = 26 dm
Ellen®rzés: 26 + 49 = 75
Válasz: 26 dm = 2 m 6 dm-rel hosszabb a tanterem hossza a
szélességénél.
Tk. 27/9. feladat: összetett feladat a tanultak gyakorlására.
Megoldás: Az összefüggéseket többféleképpen is leírhatjuk. Például:
1 F = G + 15, H = F + 18;
2 F = G + 15, F = H { 18;
3 G = F { 15, F = H { 18;
4 G<15
F<18
H stb.
a) F = 127 cm, G = 112 cm, H = 145 cm;
b) F = 109 cm, G = 94 cm, H = 127 cm;
c) F = 142 cm, G = 127 cm, H = 160 cm.
Tk. 27/10. feladat: Egyszer¶ szöveges feladatok megoldása. szövegértés, szövegesfel-
adat-megoldási képesség, környezettudatosságra nevelés.
Megoldás: a) Adatok: e = 56 év, e <
48 évvelm, m = ?
Terv: m = e + 48
Számolás: m = 56 + 48 m = 104 év
Válasz: 104 éves a másik tekn®s.
b) Adatok: h = 185 kg, n = 128 kg, k = ?
Terv: k = h { n
Számolás: k = 185 { 128 k = 57 kg
Ellen®rzés: 57 + 128 = 185
Válasz: 57 kg-mal nehezebb a hím oroszlánfóka a n®sténynél.
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
33
c) Adatok: e = 85 cm, e <
107 cm-relzs, zs = ,
Terv: zs = e + 107
Számolás: zs = 85 + 107 zs = 192 cm
Ellen®rzés: 192 cm
Válasz: 71 m 9 dm 2 cm magas egy újszülött zsiráf.
Adatok: e = 102 kg, e >47 kg-mal
zs, zs = ?
Terv: zs = e { 47
Számolás: zs = 102 { 47 zs = 55 kg
Ellen®rzés: 55 + 47 = 102
Válasz: 55 kg tömeg¶ egy újszülött zsiráf.
d) Adatok: v = 175l, i = 138 l, m = ?
Terv: m = v { i
Számolás: m = 175 { 138 m = 37 l
Ellen®rzés: 37 + 138 = 175
Válasz: 37 l víz maradt a töml®ben.
e) Adatok: a = 1 m 2 dm = 120 cm, a <
48 cm-relk, k = ,
Terv: k = a + 48
Számolás: k = 120 + 48 k = 168 cm
Ellen®rzés:
Válasz: 168 cm = 1 m 6 dm 8 cm hosszúak a nagy kudu szarvai.
f) Adatok: h = 1 m 3 dm = 130 cm, f = 42 cm, t = ?
Terv: t = h { f
Számolás: t = 130 { 42 t = 88 cm
Ellen®rzés: 88 + 42 = 130
Válasz: 88 cm = 8 dm 8 cm hosszú a vidra teste a farka nélkül.
Gy. 26/1. feladat: Különböz® számolási tervek tudatosítására, a tanultak begyakorlásá-
ra, a számolási rutin fejlesztésére szolgáló egyszer¶ számfeladatok. Figyeltessük meg,
hogy az összeg és a különbség változásairól tanultak hogyan alkalmazhatók a számítá-
sokban.
Megoldás: a) 92 100
192 200
192 200
b) 28 52
128 152
28 52
34 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
Gy. 26/2. feladat: Különböz® számolási tervek tudatosítására, a tanultak begyakorlásá-
ra, a számolási rutin fejlesztésére szolgáló egyszer¶ számfeladatok. Figyeltessük meg,
hogy az összeg és a különbség változásairól tanultak hogyan alkalmazhatók a számítá-
sokban.
Megoldás: a) 85 185 185
b) 85 185 185
c) 81 181 181
d) 26 126 26
e) 45 145 45
f) 35 135 35
Gy. 26/3. feladat: Az összeadásról, kivonásról tanultak alkalmazása néhány elemével
adott számsorozat hiányzó elemeinek meghatározására.
Megoldás: a) 100, 94, 88, 82, 76, 70, 64, 58, 52
b) 10, 30, 50, 70, 90, 110, 130, 150, 170
c) 22, 39, 56, 73, 90, 107, 124, 141, 158
Gy. 27/4. feladat: Figyeljük meg mikor egyezik meg két összeg, illetve különbség ered-
ménye.
Megoldás: a) 134 134 144 134
134 144 134 144
b) 29 29 29 29
29 29 27 29
Gy. 27/5. feladat: Különböz® számolási tervek tudatosítására, a tanultak begyakorlásá-
ra, a számolási rutin fejlesztésére szolgáló egyszer¶ számfeladatok. Figyeltessük meg,
hogy az összeg és a különbség változásairól tanultak hogyan alkalmazhatók a számítá-
sokban.
Megoldás: a)9 8
+ 5 0 + 9
4 8+ 59
1 0 7
5 7
+ 9 + 5 0
+ 6 0 {
4 8+ 59
{ 1 + 6 0
1 0 8
1
1 0 7
4 7
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
35
b)
+ 6 0 + 8
7 5+ 8
8 ++
1 3 5
8
1 4 3
8 0
8 3
+ 7 0 {
7 5+ 68
+{
1 4 5
2
1 4 3
2 7 0
7 3
c)
{ 6 0 {
1 3 6{ 69
{ 9 {
7 6
9
6 7
6 0
1 2 7
{ 7 0 +
1 3 6{ 69
+ 1 {
6 6
1
6 7
7 0
1 3 7
d)
{ 8 0 {
1 1 2{ 87
{ 7 {
3 2
7
2 5
8 0
1 0 5
{ 9 0 +
1 1 2{ 87
+ {
2 2
2
2 5
3 9 0
1 1 5
Gy. 28/6. feladat: A fejszámolási tervek közös vonása, hogy egy m¶veletet több m¶ve-
lettel helyettesítünk. Ezt többféleképpen valósíthatjuk meg.
37+ 100 { 3
1 1
+
3 3
9
7 4
7
37+ 90 + 7
1 1
+
2 3
9
7 4
7
125{ 90 { 6
{
3 2
9
5 9
6
125{ 100 + 4
{
2 2
9
5 9
6
Gy. 28/7. feladat: Különböz® számolási tervek tudatosítására, a tanultak begyakorlásá-
ra, a számolási rutin fejlesztésére szolgáló egyszer¶ számfeladatok.
Megoldás: a) 74 174 174
b) 72 172 172
c) 82 182 182
36 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
d) 81 181 181
e) 84 184 184
f) 85 185 185
Gy. 28/8. feladat: Különböz® számolási tervek tudatosítására, a tanultak begyakorlásá-
ra, a számolási rutin fejlesztésére szolgáló egyszer¶ számfeladatok.
Megoldás: a) 76 176 76
b) 46 146 46
c) 48 148 48
d) 36 136 36
e) 35 135 35
f) 19 119 19
Gy. 28/9. feladat: Különböz® számolási tervek tudatosítására, a tanultak begyakorlásá-
ra, a számolási rutin fejlesztésére szolgáló egyszer¶ számfeladatok.
Megoldás: a) 54 54 138
b) 17 17 156
c) 38 38 147
d) 38 38 196
e) 34 34 181
f) 37 37 175
Gy. 29/10. feladat: Egy-egy feladatsort egy órán dolgoztassunk fel a szövegértés fej-
lesztése érdekében. Az adatok kigy¶jtése során �gyeltessük meg, melyek a szükséges,
illetve felesleges adatok, melyekb®l hiányoznak adatok.
Megoldás: a) Adatok: l = 47, f = 58, ö = ?
Terv: ö = l + F
Számolás: ö = 47 + 58 ö = 105
Válasz: 105 harmadik osztályos tanuló van.
b) Tisztázzuk a legalább (amelynél kevesebb nem lehet) és a legfeljebb
(amelynél több nem lehet) fogalmakat.
U
S
É
5343
t = 47 + 58 t = 105
Legalább 96 tanuló járhat összesen
sportkörre vagy énekkarra; ha min-
den énekkaros egyben sportkörre is
jár, akkor 43 tanuló csak sportkörös,
és 53 tanuló sportkörös és énekka-
ros.
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
37
U
S
É
5343
t = 47 + 58 + 52 t = 148
Legfeljebb 148 tanuló járhat össze-
sen sportkörre vagy énekkarra; ha
1 tanuló van, aki énekkaros és egy-
ben sportkörre is jár, akkor 95 tanuló
csak sportkörös, és 52 tanuló csak
énekkaros.
c) Adatok: t = 102, f = 48, l = ?
Terv: l = t { f
Számolás: l = 102 { 48 l = 54
Ellen®rzés: 54 + 48 = 102
Válasz: 54 negyedik osztályos lány van.
d) Az adatokból nem derül ki, hogy a hiányzó tanulók közül mennyi a �ú
és mennyi a lány. Legalább 159, legfeljebb 187 �ú lehetett jelen attól
függ®en, hány �ú volt a hiányzók között.
159 5 f 5 187
e) Adatok: t = 143, h = 56, f = ?
Felesleges adat: közülük 26 lány.
Terv: f = t { 56
Számolás: f = 143 { 56 f = 87
Ellen®rzés: 87 + 56 = 143
Válasz: 87-en vettek részt fejtör® játékokban.
Gy. 29/11. feladat: Ezt a feladatsort egy órán dolgoztassunk fel a szövegértés fejleszté-
se érdekében. Az adatok kigy¶jtése során �gyeltessük meg, melyek a szükséges, illetve
felesleges adatok, melyekb®l hiányoznak adatok.
Megoldás: a) Adatok: f = 45, l = 56, gy = ?
Felesleges adat: h = 14, n = 21
Terv: gy = f + l
Számolás: gy = 45 + 56 gy = 101
Válasz: 101 gyerek játszik az udvaron.
b) Adatok: l = 56, f = 45, k = ?
Felesleges adat: h = 14, n = 21
Terv: k = l { f
Számolás: k = 56 { 45 k = 11
Ellen®rzés: 11 + 45 = 56
Válasz: 11-gyel több lány játszik az udvaron.
c) Adatok: l = 56, f = 45, h = 14, m = ?
Felesleges adat: n = 21
38 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
Terv: m = l + f { h
Számolás: m = 56 + 45 { 14 m = 87
Válasz: 87 tanuló maradna az udvaron.
d) Adatok: Az adatokból nem derül ki, hogy a negyedik osztályosok
között hány lány van. Legalább 35, legfeljebb 56 lány ma-
radhat az udvaron.
56 { 21 5 l 5 56 { 0
35 5 f 5 56
e) Adatok: l = 56, f = 45, h = 14, n = 21, t = ?
Terv: t = l + f { h { n
Számolás: t = 56 + 45 { 14 { 21 t = 66
Ellen®rzés: 66 + 21 + 14 = 56 + 45
Válasz: 66 fels® tanuló játszik az udvaron.
Gy. 29/12. feladat: Beszéljük meg, hogy a rajzkészítés segíthet a feladat megoldásában.
Megoldás: Adatok: p + k = 120 cm, p >
20 cm-relk, p = ?, k = ?
z 20
z
Terv: x + x + 20 = 120
Számolás: x = 50 cm k = 50 cm
Ellen®rzés: p = 50 + 20 p = 70 cm
Válasz: 50 cm hosszú a kék, 70 cm hosszú a piros szalag.
Óra: 17. 18. 23.
1/I. tájékozódó felmérés
A Felmér® feladatsorok cím¶ kiadvány feladatsora.
Szorzás és osztás
Kompetenciák, fejlesztési feladatok:
gazdasági nevelés, számlálás, számolás, rendszerezés, relációszókincs fejlesztése,
szövegértés, szövegértelmezés, szövegesfeladat-megoldás, rész-egész észlelése, kom-
binativitás, induktív következtetések, deduktív következtetések, problémaérzékenység,
problémamegoldás, emlékezet fejlesztése, �gyelem, kezdeményez®képesség, meg�-
gyel®képesség, összefüggéslátás, pontosság, kooperatív és önálló munkavégzés.
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
39
Óra: 18{19. 19{20. 24{25.
Felelevenítjük a szorzás és az osztás többféle értelmezését, de most sem jelöljük külön
jellel a bennfoglalást és a részekre osztást. Meg�gyeltetjük és tudatosítjuk az összeadás
és a szorzás, az osztás és a szorzás közti kapcsolatot, illetve a szorzás tényez®inek
felcserélhet®ségét.
Az 5-ös és a 10-es szorzótábla ismétlése, ezek kapcsolatának vizsgálata. Soralkotások
ötösével és tízesével növekv®, illetve csökken® sorrendben a számegyenes bejárásával.
Az analógiák felismerésével a tanulók tapasztalatot szereznek kétjegy¶ számok 10-zel
való szorzásáról is. Az így szerzett tapasztalatok egyrészt megalapozzák a számok ábrá-
zolását ötösével, tízesével beosztott számegyenesen, másrészt a tanulók ismerkednek
az 5-tel és a 10-zel osztható számokkal, tehát a szorzótábla ismétlését összeköthetjük
a számfogalom elmélyítésével.
Ha biztos számolási rutint akarunk kialakítani a gyengébben haladó tanulók esetében is,
akkor kell® id®t kell biztosítanunk a szóbeli m¶veletek gyakorlására. Ezt úgy oldhatjuk
meg, hogy az összeadással, kivonással és a szorzással, osztással kapcsolatos anyag-
részeket egymással párhuzamosan dolgozzuk fel, és folyamatosan gyakoroltatjuk mind
a négy m¶veletet. Ezért ezeken az órákon is adunk fel feladatokat összeadására, kivo-
nására a 200-as számkörben.
A szöveges feladatok között a fogalomalkotás és a gyakorlati alkalmazás szempontjá-
ból egyaránt fontos szerepet játszanak az egyenes arányossági következtetések (egyr®l
többre, többr®l egyre).
Tk. 29/1. kidolgozott mintapélda: A mintapéldában a szorzást ismételt összeadásként
értelmezzük. Bemutatjuk, hogy egy képet többféleképpen értelmezhetünk, ennek követ-
keztében többféle egyenletet írhatunk róla. Ez a meg�gyelés vezet el annak a felismer-
tetéséhez, hogy a szorzás tényez®i felcserélhet®k (a szorzás kommutatív). Ezért nem
különböztetjük meg a szorzót a szorzandótól, hanem mint a kés®bbi matematikai tanul-
mányaikban is megszokott, tényez®kr®l beszélünk.
Tk. 29/Elnevezések: Beszéljük meg a szorzásban az elnevezéseket.
Tk. 29/Figyeld meg!: Figyeljük meg, hogy a szorzásban a tényez®k felcserélhet®k (a
szorzás kommutatív).
Tk. 29/1. feladat: Az összeadás és a szorzás közötti kapcsolatot, illetve a szorzás té-
nyez®inek felcserélhet®ségét szemlélteti a feladatok.
Megoldás: 10 + 10 + 10 + 10 + 10 = 50; 5 � 10 = 50;
5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 50; 10 � 5 = 50.
Tk. 30/2. feladat: A feladatok segítik a számegyenesen való tájékozódást. A lépegetés-
sel szemléletessé tehetjük az összeadás és a szorzás kapcsolatát. Figyeltessük meg a
10-es és az 5-ös szorzótábla közti összefüggéseket!
Megoldás: a) Béka: 0, 10, 20, 30, 40, 50, 60
Veréb: 0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60
40 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
b) Béka: 100, 110, 120, 130, 140, 150, 160
Veréb: 100, 115, 120, 125, 130, 135, 140, 145, 150, �.
c) Béka: 60, 70, 80, 90, 100, 110, 120
Veréb: 60, 65, 70, 75, 80, 85, 90, 95, 100, 105, 110, �.
Tk. 30/3. feladat: A feladatok segítik a számegyenesen való tájékozódást. Figyeljük meg
a 10-zel való szorzást.
Megoldás: a) 4 � 10 = 40 b) 7 � 10 = 70 c) 10 � 10 = 100
d) 12 � 10 = 120 e) 15 � 10 = 150 f) 20 � 10 = 200
Tk. 30/4. feladat: A feladatok segítik a számegyenesen való tájékozódást. Figyeljük meg
az 5-tel való szorzást.
Megoldás: a) 4 � 5 = 20 b) 7 � 5 = 35 c) 10 � 5 = 50
d) 12 � 5 = 60 e) 15 � 5 = 75 f) 20 � 5 = 100
Tk. 30/5. feladat: Az analógiákat meg�gyeltetve a kerek tízesek szorzását is értelmez-
hetjük a 200-as számkörben.
Megoldás: a) 5 + 5 + 5 = 15 3 � 5 = 15
50 + 50 + 50 = 150 3 � 50 = 150
Természetesen az 5 � 3 = 15, illetve az 50 � 3 = 150 is megoldása a
feladatnak. Ennek a nyelvi megfogalmazása lehet például: 50 Ft-ot há-
romszor tettem a borítékba.
b) 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 6 6 � 1 = 6
10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 = 60 6 � 10 = 60
c) 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 10 5 � 2 = 10
20 + 20 + 20 + 20 + 20 = 100 5 � 20 = 100
Tk. 31/2. kidolgozott mintapélda: Az osztást mint a szorzás inverz m¶veletét értelmez-
zük. Tudatosítsuk az osztásban szerepl® elnevezéseket. Vetessük észre, hogy egy-egy
képr®l többféle osztás olvasható le. A részekre osztást és a bennfoglalást csupán a szö-
veges feladatok értelmezése során és a szöveges válaszban különböztetjük meg, de
nem használunk különböz® jelet, mert mindkét esetben az elvont matematikai modell az
�osztás". A m¶veletek közti összefüggések alapján meg�gyeltethetjük, hogy az osztás
ellen®rizhet® szorzással vagy egy másik osztással.
Tk. 31/Elnevezések: Beszéljük meg az osztásban az elnevezéseket.
Tk. 31/Figyeld meg!: Figyeljük meg, hogy a szorzásban a tényez®k felcserélhet®k (a
szorzás kommutatív).
Tk. 31/6. feladat: Az osztás értelmezését el®készít® feladatok. A fogalom kialakítása
szempontjából fontos, hogy az osztás mindkét értelmezésére adjunk szöveges feladato-
kat, és a tanulóktól várjuk el a pontos szöveges választ. (A bennfoglalás eredménye egy
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
41
arányszám, a részekre osztásé egy mennyiség.) Mindkét esetben az elvont matematikai
modell az osztás, ezért ne jelöltessük két különböz® jellel az osztás kétféle értelmezését.
Megoldás: a) 20 : 2 = 10 10 � 2 = 20
10 db kétforintosra váltható.
b) 20 : 5 = 4 4 � 5 = 20
4 db ötforintosra váltható.
c) 20 : 10 = 2 2 � 10 = 20
2 db tízforintosra váltható.
Tk. 32/7. feladat: Az osztás értelmezését el®készít® feladatok. A fogalom kialakítása
szempontjából fontos, hogy az osztás mindkét értelmezésére adjunk szöveges feladato-
kat, és a tanulóktól várjuk el a pontos szöveges választ. (A bennfoglalás eredménye egy
arányszám, a részekre osztásé egy mennyiség.) Mindkét esetben az elvont matematikai
modell az osztás, ezért ne jelöltessük két különböz® jellel az osztás kétféle értelmezését.
Megoldás: a) 20 : 2 = 10 2 � 10 = 20
10 golyót kapna egy gyerek.
b) 20 : 5 = 4 5 � 4 = 20
4 golyót kapna egy gyerek.
c) 20 : 10 = 2 10 � 2 = 20
2 golyót kapna egy gyerek.
d) 20 : 20 = 1 20 � 1 = 20
1 golyót kapna egy gyerek.
e) 20 : 4 = 5 4 � 5 = 20
5 golyót kapna egy gyerek.
f) 20 : 1 = 20 1 � 20 = 20
20 golyót kapna egy gyerek.
Tk. 32/8. feladat: Az összeadás és szorzás, illetve a szorzás és az osztás közti kapcso-
latot �gyeltethetjük meg ezzel a feladattal.
Megoldás: a) 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 15 5 + 5 + 5 = 15
5 � 3 = 15 3 � 5 = 15
15 : 3 = 5 15 : 5 = 3
b) 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 20 10 + 10 = 20
10 � 2 = 20 2 � 10 = 20
20 : 2 = 10 20 : 10 = 2
f) 2 + 2 = 4 2 � 2 = 4 4 : 2 = 2
d) 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 65
13 + 13 + 13 + 13 + 13 = 65
13 � 5 = 65 5 � 13 = 65
65 : 13 = 5 65 : 5 = 13
42 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
Tk. 32/9. feladat: A bennfoglalás (mint ismételt kivonás) szemléltetése számegyenesen
való lépegetéssel. A tanulók tapasztalatot szereznek a 10-zel, illetve az 5-tel osztható
számokról. A feladatokkal el®készíthetjük a tízesével, illetve ötösével beosztott száme-
gyenesen való tájékozódást.
Megoldás: a) 40 : 10 = 4 b) 100 : 10 = 10 c) 170 : 10 = 17
4 � 10 = 40 10 � 10 = 100 17 � 10 = 170
Tk. 32/10. feladat: A bennfoglalás (mint ismételt kivonás) szemléltetése számegyene-
sen való lépegetéssel. A tanulók tapasztalatot szereznek a 10-zel, illetve az 5-tel osztható
számokról. A feladatokkal el®készíthetjük a tízesével, illetve ötösével beosztott száme-
gyenesen való tájékozódást.
Megoldás: a) 35 : 5 = 7 b) 65 : 5 = 13 c) 100 : 5 = 20
7 � 5 = 35 13 � 5 = 65 20 � 5 = 100
Gy. 30/1. feladat: A táblázat alapján ismételjük át a szorzótáblákat.
Gy. 30/2. feladat: Figyeljük meg az el®z® feladat táblázatában hol találhatók meg az
egyes szorzatok.
Megoldás: Az egyes szorzótáblákhoz tartozó sorok és oszlopok számai megegyeznek.
Gy. 30/3. feladat: Figyeltessük meg a szorzás és az osztás közti kapcsolatot, valamint
a szorzás kommutativitását.
a) b)
7 � 5 = 3 5
5 � 7 = 3 5
3 5 : 5 = 7
3 5 : 7 = 5
1 0 � 2 = 2 0 2 0 : 2 = 1 0
2 � 1 0 = 2 0 2 0 : 1 0 = 2
c)0 30
6 � 5 = 3 0 3 0 : 5 = 6
5 � 6 = 3 0 3 0 : 6 = 5
Gy. 31/4. feladat: Ha szükséges, akkor az 1. feladatban szerepl® táblázatból is keres-
hetnek szorzásokat a tanulók.
Megoldás: 12 = 2 � 6 = 6 � 2 = 3 � 4 = 4 � 3 = 12 � 1 = 1 � 12
36 = 6 � 6 = 4 � 9 = 9 � 4 = 3 � 12 = 12 � 3 = 2 � 18 = 18 � 2 = 1 � 36 = 36 � 1
18 = 2 � 9 = 9 � 2 = 3 � 6 = 6 � 3 = 1 � 18 = 18 � 1
40 = 4 � 10 = 10 � 4 = 5 � 8 = 8 � 5 = 2 � 20 = 20 � 2 = 1 � 40 = 40 � 1
24 = 3 � 8 = 8 � 3 = 4 � 6 = 6 � 4 = 2 � 12 = 12 � 2 = 1 � 24 = 24 � 1
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
43
Gy. 31/5. feladat: Figyeljük meg az adott szorzótáblákhoz tartozó számokat.
Megoldás: a) A 2-höz tartozó sor, oszlop kétszerese az 1-nek.
b) A 10-hez tartozó sor, oszlop kétszerese az 5-nek.
c) A 2-höz tartozó sor, oszlop fele a 4-nek.
d) A 2-höz tartozó sor, oszlop harmadrésze a 6-nak.
e) A 2-höz tartozó sor, oszlop negyedrésze a 8-nak.
Gy. 31/6. feladat: Figyeljük meg az adott szorzótáblákhoz tartozó számokat.
Megoldás: a) 3-as szorzótáblához tartozó sort kapjuk.
b) 10-es szorzótáblához tartozó sort kapjuk.
c) 6-os szorzótáblához tartozó sort kapjuk.
d) 8-as szorzótáblához tartozó sort kapjuk.
Gy. 31/7. feladat: Figyeljük meg az adott szorzótáblákhoz tartozó számokat.
Megoldás: a) 4-es szorzótáblához tartozó sort kapjuk.
b) 3-as szorzótáblához tartozó sort kapjuk.
c) 8-as szorzótáblához tartozó sort kapjuk.
d) 9-es szorzótáblához tartozó sort kapjuk.
Az 5-ös és a 10-es szorzótábla
Kompetenciák, fejlesztési feladatok:
gazdasági nevelés, számlálás, számolás, rendszerezés, relációszókincs fejlesztése,
szövegértés, szövegértelmezés, szövegesfeladat-megoldás, rész-egész észlelése, kom-
binativitás, induktív következtetések, deduktív következtetések, problémaérzékenység,
problémamegoldás, emlékezet fejlesztése, �gyelem, kezdeményez®képesség, meg�-
gyel®képesség, összefüggéslátás, pontosság, kooperatív és önálló munkavégzés, kör-
nyezettudatosságra nevelés, hon- és népismeret.
Óra: 20. 21{22. 26{27.
A szorzótábla ismétlését, a 2. osztályban tanultak felelevenítését segít® feladatok. Fi-
gyeltessük meg a szorzótábla sorai közti kapcsolatokat. Tudatosíthatjuk, hogy a hiányzó
tényez® megkeresésekor a szorzás fordított m¶veletét, az osztást hajtjuk végre.
Tk. 33/1. feladat: Figyeljük meg az 5-ös és a 10-es szorzótábla kapcsolatát. Ha szük-
séges játék pénzzel rakjuk ki a feladatot.
Tk. 33/2. feladat: Ha szükséges játék pénzzel rakjuk ki a feladatot.
Megoldás: a) 10 30 50 70 100
b) 110 130 150 170 200
44 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
Tk. 33/3. feladat: Az 5-ös és a 10-es szorzótábla gyakorlására szánt feladat a hiányzó
tényez® pótlásával.
Megoldás: a) 10 10 10 0 15
b) 5 5 5 0 15
Tk. 33/4. feladat: A 10-zel való maradékos osztás gyakorlása. A pénzhasználat segít a
feladatok megoldásában.
Megoldás: a) 2 10 0 1 4 10 0 1 10 10 0 1 16 10 0 1 20 10 0 1
b) 2 10 7 1 4 10 6 1 10 10 5 1 16 10 8 1 20 10 9 1
Tk. 33/5. feladat: Ha szükséges játék pénzzel rakjuk ki a feladatot.
Megoldás: a) 5 15 25 35 50
b) 55 65 75 85 100
Tk. 33/6. feladat: Az 5-tel való osztás gyakorlása. A pénzhasználat segít a feladatok
megoldásában.
Megoldás: a) 2 6 10 14 20
b) 5 8 9 11 21
Tk. 33/7. feladat: Az 5-ös, illetve 10-es szorzótábla számai közé tartozó számokat kell
kikeresni a számhalmazból. Figyeltessük meg, mely számok oszthatók maradék nélkül
10-zel, illetve 5-tel.
Megoldás: 0 5 6 10 40 48 100 105 110 140 146
Tk. 34/8. feladat: Egy órán dolgozzuk fel ezeket a szöveges feladatokat! Törekedjünk
az önálló szövegértelmezésre, megoldási modell keresésére. Kérjük a megoldás során
a szöveges feladat megoldásának lépéseit!
Megoldás: a) Adatok: 1 cs 5 gy
8 cs ? gy
Terv: x = 8 � 5
Számolás: x = 40
Válasz: 40 gyerek fér 8 csónakba.
b) Adatok: 1 v 5 f
? v 25 f
Terv: x = 25 : 5
Számolás: x = 5
Ellen®rzés: 5 � 5 = 25
Válasz: 5 vitorlásba fér 25 feln®tt.
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
45
c) Adatok: B = 20, K >
tizedeB, K = ?
Terv: K = 10 � B
Számolás: K = 10 � 20 K = 200
Válasz: 200 képeslapja van Dórának.
Tk. 34/9. feladat: Az 5-tel való oszthatóság vizsgálata során szerzett tapasztalatok al-
kalmazására szánt feladat. A megoldás nem minimumszint¶ követelmény.
Megoldás: a) 15 : 0; 5
b) 1 5 : 0; 1; 2; 3; 4; 5
c) 16 : nincs megoldás
d) 10 : 0; 5
Tk. 34/10. feladat: A 10-es és az 5-ös szorzótáblához kapcsolva tanítjuk a 10-esével,
illetve 5-ösével beosztott számegyenesen a számok közelít® helyének megkeresését.
Megoldás: 12, 15, 20, 30, 38, 41, 46, 55, 56, 58
a d b e c f
Tk. 34/Emlékeztet®: Az emlékeztet®ben megmutatjuk, hogyan lehet a számok közelít®
helyét megkeresni. A feladatok ennek begyakorlására szolgálnak. A közelít® hely meg-
találása fontos lépés a számfogalom fejl®désében, ezért kell® �gyelmet fordítsunk rá!
Gy. 32/1. feladat: Figyeltessük meg az analógiákat.
Megoldás: a) 2 � 5 = 10 2 � 50 = 100
b) 3 � 5 = 15 3 � 50 = 150
c) 4 � 5 = 20 4 � 50 = 200
Gy. 32/2. feladat: Az 5-ös és 10-es szorzótáblák gyakorlására szánt feladatsor.
Megoldás: 1 5 6 50
0 6 8 50
9 5 8 70
6 9 2 5
3 5 5 5
6 5 5 5
Gy. 32/3. feladat: Az 5-ös és 10-es szorzótáblák gyakorlására szánt feladatsor. A szám-
egyenesen történ® lépegetés segíti a feladat megoldását.
Megoldás: a) 0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50
b) 0, 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100
46 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
Gy. 32/4. feladat: Egy órán dolgozzuk fel ezeket a szöveges feladatokat! Törekedjünk
az önálló szövegértelmezésre, megoldási modell keresésére. Kérjük a megoldás során
a szöveges feladat megoldásának lépéseit!
Megoldás: a) Adatok: 1 hét 5 mnap 8 hét ?
Terv: x = 8 � 5
Számolás: x = 40
Válasz: 40 munkanapból áll 8 hét.
b) Adatok: 1 bé = 20 Ft, bé >
10bo bo = ?
Terv: bo = bé : 10
Számolás: bo = 20 : 10 bo = 2 Ft
Ellen®rzés: 2 � 10 = 20
Válasz: 2 Ft-ba kerül egy boríték.
Gy. 33/5. feladat: Számok helyének megkeresése egyesével, majd ötösével beosztott
számegyenesen. A �közelít® hely" fogalmának tudatosítása.
Megoldás:
a)
0 10
7 11 20 24 29 37 43 48
0 10
b)
100 110
107 111 120 124 129 137 143 148
100 110
c)
70 80
75 82 94 100 107 111 115 120
70 80
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
47
Gy. 33/6. feladat: Számok helyének megkeresése egyesével, majd tízesével beosztott
számegyenesen. A �közelít® hely" fogalmának tudatosítása.
Megoldás:
a)
0 10
3 15 28 30 32 35 41 50
0 10
b)
100 110
103 115 128130
132135
141 150
100 110
c)
80 90
82 89 95 100 107 111113
118
80 90
Gy. 33/7. feladat: Számok halmazokba rendezése. Beszéljük meg a �kerek tízes" fogal-
mát.
Megoldás: Kerek tízesek Nem kerek tízesek
20, 100, 0,
180, 200
32, 5, 83,
146, 125
A 2-es szorzótábla
Kompetenciák, fejlesztési feladatok:
gazdasági nevelés, számlálás, számolás, rendszerezés, relációszókincs fejlesztése,
szövegértés, szövegértelmezés, szövegesfeladat-megoldás, rész-egész észlelése, kom-
binativitás, induktív következtetések, deduktív következtetések, problémaérzékenység,
problémamegoldás, emlékezet fejlesztése, �gyelem, kezdeményez®képesség, meg�-
gyel®képesség, összefüggéslátás, pontosság, kooperatív és önálló munkavégzés.
48 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
Óra: 21. 23. 28.
A 2-es szorzótábla ismétlése 20-ig, illetve analóg számítások kerek tízesekkel 200-ig a 2-
es szorzótábla közvetlen alkalmazásaként. A kett®vel való oszthatóság vizsgálata, a ma-
radékosztályok meg�gyelése, a korábban tanultak általánosítása. A fél fogalma el®készíti
a törtekhez kapcsolódó fogalomalkotást. Soralkotások: számlálás kettesével növekv®, il-
letve csökken® sorrendben. Számok ábrázolása kettesével beosztott számegyenesen.
Tk. 35/1. feladat: Figyeljük meg a 2-es szorzótáblát.
Tk. 35/2. feladat: A számegyenesen történ® lépegetéssel �bejárjuk" a számkört, meg�-
gyeltetjük, hogyan helyezkednek el a 2 többszörösei a számegyenesen.
Megoldás: a) 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, . . .
b) 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, . . .
c) 60, 62, 64, 66, 68, 70, 72, 74, 76, 78, 80, . . .
d) 61, 63, 65, 67, 69, 71, 73, 75, 77, 79, 81, . . .
e) 100, 102, 104, 106, 108, 110, 112, 114, 116, . . .
f) 101, 103, 105, 107, 109, 111, 113, 115, 117, . . .
g) 160, 162, 164, 166, 168, 170, 172, 174, 176, . . .
h) 161, 163, 165, 167, 169, 171, 173, 175, 177, . . .
Tk. 35/3. feladat: A 2-es szorzótábláról tanultak felidézése, közvetlen alkalmazása. Ana-
lóg számítások: kerek tízesek 2-szerese, illetve a 20 többszörösei. Szemléltetés játék
pénzzel.
Megoldás: a) 6 � 2 = 12 6 � 20 = 120 b) 5 � 2 = 10 5 � 20 = 100
Tk. 35/4. feladat: A 2-es szorzótábláról tanultak felidézése, közvetlen alkalmazása.
Megoldás: a) 8 4 18 14 20
b) 80 40 180 140 200
c) 80 40 180 140 200
Tk. 35/5. feladat: A 2-es szorzótábláról tanultak alkalmazása a számfeladatok megoldá-
sában.
Megoldás: 2 2 20 20
2 0 20 20
Tk. 35/6. feladat: Osztás 2-vel, 20-szal. Az osztás különböz® értelmezését bemutató
feladatsor (mint részekre osztás és mint bennfoglalás). Beszéljük meg a �valaminek a
fele" fogalom jelentését. újra �gyeltessük meg a szorzás és az osztás közötti kapcsola-
tot. Beszéljük meg, hogy az osztás egyik fordított m¶velete egy szorzás (ha az osztandó
ismeretlen), másik fordított m¶velete egy osztás (ha az osztó ismeretlen). Gy¶jtsenek
tapasztalatot a tanulók az osztandó és a hányados, illetve az osztó és a hányados vál-
tozásairól!
Megoldás: Igen Nem Igen
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
49
Tk. 36/7. feladat: Beszéljük meg a �valaminek a fele" fogalom jelentését. újra �gyeltes-
sük meg a szorzás és az osztás közötti kapcsolatot.
Megoldás: Ennyit kapnak 10 13 18 19 20 21 60 64
Ennyi jut egynek 5 6 9 9 10 10 30 32
Ennyi marad 0 1 0 1 0 1 0 0
Ennyit kapnak 100 101 106 130 138 189 200
Ennyi jut egynek 50 50 53 65 69 94 100
Ennyi marad 0 1 0 0 0 1 0
Tk. 36/8. feladat: Osztás 2-vel. újra �gyeltessük meg a szorzás és az osztás közötti
kapcsolatot. Beszéljük meg, hogy az osztás egyik fordított m¶velete egy szorzás (ha
az osztandó ismeretlen), másik fordított m¶velete egy osztás (ha az osztó ismeretlen).
Gy¶jtsenek tapasztalatot a tanulók az osztandó és a hányados, illetve az osztó és a
hányados változásairól!
Megoldás: a) 12 : 2 = 6 b) 16 : 2 = 8 c) 20 : 2 = 10
6 � 2 = 12 8 � 2 = 16 10 � 2 = 20
Tk. 36/9. feladat: Osztás 20-szal. újra �gyeltessük meg a szorzás és az osztás közötti
kapcsolatot. Beszéljük meg, hogy az osztás egyik fordított m¶velete egy szorzás (ha
az osztandó ismeretlen), másik fordított m¶velete egy osztás (ha az osztó ismeretlen).
Gy¶jtsenek tapasztalatot a tanulók az osztandó és a hányados, illetve az osztó és a
hányados változásairól!
Megoldás: a) 120 : 2 = 60 b) 160 : 2 = 80 c) 200 : 2 = 100
60 � 2 = 12 80 � 2 = 160 100 � 2 = 200
Tk. 36/10. feladat: Beszéljük meg a �valaminek a fele" fogalom jelentését. újra �gyel-
tessük meg a szorzás és az osztás közötti kapcsolatot. Beszéljük meg, hogy az osztás
egyik fordított m¶velete egy szorzás (ha az osztandó ismeretlen), másik fordított m¶ve-
lete egy osztás (ha az osztó ismeretlen). Gy¶jtsenek tapasztalatot a tanulók az osztandó
és a hányados, illetve az osztó és a hányados változásairól!
Megoldás: a) 6 : 2 = 3 b) 60 : 2 = 30
2 � 3 = 6 2 � 30 = 60
Gy. 34/1. feladat: újra �gyeltessük meg a szorzás és az osztás közötti kapcsolatot. Be-
széljük meg, hogy az osztás egyik fordított m¶velete egy szorzás (ha az osztandó isme-
retlen), másik fordított m¶velete egy osztás (ha az osztó ismeretlen). Gy¶jtsenek tapasz-
talatot a tanulók az osztandó és a hányados, illetve az osztó és a hányados változásairól!
Megoldás: a) 4 � 2 = 8 4 � 20 = 80
8 : 4 = 2 80 : 4 = 20
8 : 2 = 4 80 : 20 = 4
50 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
b) 6 � 2 = 12 6 � 20 = 120
12 : 6 = 2 120 : 6 = 20
12 : 2 = 6 120 : 20 = 6
Gy. 34/2. feladat: A számolási rutin fejlesztésére szánt feladatsor.
Megoldás: a) 20 20 10
200 200 100
200 200 100
b) 8 5 14
80 50 140
80 50 140
Gy. 34/3. feladat: A számolási rutin fejlesztésére szánt feladatsor.
Megoldás: a) 3 10 2
30 100 20
3 10 2
b) 8 2 4
80 20 40
8 2 4
Gy. 34/4. feladat: 2-vel növeked® sorozat képzése számegyenesen történ® lépegetés-
sel. Figyeljük meg a 2 többszöröseit.
Megoldás: 0, 2, 4 , 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18
50, 52, 54, 56, 58, 60, 62, 64, 66, 68
130, 132, 134, 136, 138, 140, 142, 144, 146, 148
Gy. 35/5. feladat: Számolási rutin fejlesztésére szánt feladatsor.
Megoldás: 20 20 10
30 50 8
70 20 3
50 17 2
Gy. 35/6. feladat: A táblázat kitöltésével újabb tapasztalatokat szerezhetnek a tanulók
a 10-zel és az 5-tel, illetve a 2-vel és a 20-szal való osztás hányadosainak összehason-
lításában.
Megoldás: Ennyi pénz van 50 60 100 150 200 80 110 160
Ennyi 10 -osra vált. 5 6 10 15 20 8 11 16
Ennyi 5 -osra vált. 10 12 20 30 40 16 22 32
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
51
Ennyi pénz van 40 100 160 120 180 200 140 80
Ennyi 2 -osra vált. 20 50 80 60 90 100 70 40
Ennyi 20 -osra vált. 2 5 8 6 9 10 7 4
Gy. 35/7. feladat: Pénzhasználathoz kapcsolódó szöveges feladatok a 2-es, az 5-ös és
a 10-es szorzótábla és az analóg számításokkal kapcsolatosan tanultak alkalmazására.
Ha szükséges, egy-egy feladatnál használhatnak játék pénzt a tanulók.
Megoldás: a) Adatok: 1 bélyeg 10 Ft, ? 150 Ft
Terv: x = 150 : 10
Számolás: x = 15
Ellen®rzés: 15 � 10 = 150
Válasz: 15 bélyeget vehetett Peti 150 Ft-ért.
b) Adatok: 30 db 5 ?
Terv: x = 30 � 5
Számolás: x = 150 Ft
Válasz: 150 Ft-ja van Ritának.
c) Adatok: 120 db 1 ? 10
Terv: x = 120 � 1 : 10
Számolás: x = 12
Ellen®rzés: 12 � 10 = 120 � 1
Válasz: 12 db 10 -osra válthatja be a pénzét.
Adatok: 120 db 1 ? 5
Terv: x = 120 � 1 : 5
Számolás: x = 24
Ellen®rzés: 24 � 5 = 120 � 1
Válasz: 24 db 5 -osra válthatja be a pénzét
d) Adatok: 18 db 10 ? Ft
Terv: x = 18 � 10
Számolás: x = 180 Ft
Válasz: 180 Ft-ja lehet Tibornak.
e) Adatok: U: 20 db 10
V: 20 db 5 , k = ?
Terv: k = U { V
Számolás: k = 20 � 10 { 20 � 5 k = 100 Ft
Ellen®rzés: U = 20 � 10 = 200 V = 20 � 5 = 100
Válasz: 100 Ft-tal több pénze van Ulriknak.
52 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
f) Adatok: 8 db 20 ? 2
Terv: 8 db 20 ? 1 2
Számolás: x = 8 � 20 : 2 x = 80
Ellen®rzés: 8 � 20 = 80 � 2
Válasz: 80 db 2 -osra válthatná be Zita a pénzét.
g) Adatok: Zs: 2 db 50 N: 5 db 20 k = ?
Terv: k = Zs { N
Számolás: k = 2 � 50 { 5 � 20 k = 0 FT
Ellen®rzés: Zs = 2 � 50 = 100 N = 5 � 20 = 100
Válasz: Ugyanannyi pénzük van.
h) Adatok: ü = 40 Ft, ü >ötödrésze
p, ö = ?
Terv: ö = ü + p
Számolás: ö = 40 + 40 : 5 ö = 48 Ft
Válasz: 48 Ft-ba kerül az üdít® a pohárral.
Páros és páratlan számok
Kompetenciák, fejlesztési feladatok:
számlálás, számolás, rendszerezés, relációszókincs fejlesztése, szövegértés, szöveg-
értelmezés, szövegesfeladat-megoldás, rész-egész észlelése, kombinativitás, induktív
következtetések, deduktív következtetések, problémaérzékenység, problémamegoldás,
emlékezet fejlesztése, �gyelem, kezdeményez®képesség, meg�gyel®képesség, össze-
függéslátás, pontosság, kooperatív és önálló munkavégzés.
Óra: 22. 24. 29.
A 2-es szorzótáblához kapcsolódva a számegyenesen való lépegetések meg�gyelése
során a páros, illetve a páratlan szám fogalmának az általánosítására kerül sor. A tanu-
lókkal mondassuk el a feladatmegoldás során szerzett tapasztalataikat. (Ne szabályokat
tanítsunk!) Figyeltessük meg, hogy a kerek tízesek párosak (a 0 és a kerek százasok
is kerek tízesek), így elegend® csupán az egyesek helyén álló számot vizsgálni. Ha az
egyesek helyén álló szám páros, akkor maga a szám is páros, ellenkez® esetben párat-
lan.
Tk. 37/1. kidolgozott mintapélda: Az ábra szemlélteti, hogy a kerek százasok, kerek
tízesek párosak, így az egyesek helyén álló szám dönti el a szám paritását.
Tk. 37/1. feladat: A feladatok a meg�gyelt összefüggések meger®sítését szolgálják.
Megoldás: a) 8 katona igen. 18 katona igen. 118 katona igen.
b) 5 katona nem. 25 katona nem. 125 katona nem.
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
53
Tk. 37/2. feladat: A feladatok a meg�gyelt összefüggések meger®sítését szolgálják. Is-
mét �gyeljük meg, hogy a páros számok beválthatók csupa kétforintosra.
Megoldás: 5 10 20 35 45 50
55 60 70 85 95 100
Tk. 37/3. feladat: A feladatok a meg�gyelt összefüggések meger®sítését szolgálják. Is-
mét �gyeljük meg, hogy csak a páros számok válthatók be csupa kétforintosra.
Megoldás: a) Igen. Igen. Igen. Igen. Igen. Igen.
b) Nem. Nem. Nem. Nem. Nem. Nem.
Tk. 37/4. feladat: Halmazábra megfelel® részébe kell beírni a páros, illetve páratlan
számokat. Figyeljük meg, mennyire tudják felhasználni önállóan a tanulók a korábbi ta-
pasztalatokat.
Megoldás:Páros számok Páratlan számok
0, 4, 8, 10, 34,
100, 134, 198
1, 7, 21, 67,
121, 167
Tk. 37/5. feladat: A 2-vel való oszthatóság vizsgálata során szerzett tapasztalatok alkal-
mazására szánt feladat. A megoldás nem minimumszint¶ követelmény.
Megoldás: a) 15 : 0; 2; 4
b) 1 5 : nincs megoldás
c) 16 : 1; 2; 3; 4; 5
d) 10 : 0; 2; 4
Gy. 36/1. feladat: A számegyenesen kettesével lépegetve meg�gyeltetjük, hogy pá-
ros vagy páratlan számokra lépünk-e. Vizsgáljuk meg a páros (páratlan) számok egyes
szomszédait. Páros számok egyes szomszédai páratlanok, és fordítva.
Megoldás: a) Páros számok: 4, 26, 30, 38
Páratlan számok: 15, 33, 41, 49
b) Páros számok: 104, 126, 130, 138
Páratlan számok: 115, 133, 141, 149
c) Páros számok: 74, 96, 100, 108,
Páratlan számok: 85, 103, 111, 119
Gy. 36/2. feladat: Ismét �gyeltessük meg, ha az egyesek helyén álló szám páros, akkor
maga a szám is páros, ellenkez® esetben páratlan.
54 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
Megoldás: a) 100 + 40 + 5 = 145 b) 100 + 50 + 4 = 154
c) 100 + 70 = 170 d) 100 + 7 = 107
Gy. 36/3. feladat: Ismét halmazábra megfelel® részébe kell beírni a páros, illetve párat-
lan számokat. Figyeljük meg, mennyire tudják felhasználni önállóan a tanulók a korábbi
tapasztalatokat.
Megoldás:Páros számok Páratlan számok
24, 0, 100,
178, 126
7, 91, 99,
153, 105
A 4-es és a 8-as szorzótábla
Kompetenciák, fejlesztési feladatok:
számlálás, számolás, rendszerezés, relációszókincs fejlesztése, szövegértés, szöveg-
értelmezés, szövegesfeladat-megoldás, rész-egész észlelése, kombinativitás, induktív
következtetések, deduktív következtetések, problémaérzékenység, problémamegoldás,
emlékezet fejlesztése, �gyelem, kezdeményez®képesség, meg�gyel®képesség, össze-
függéslátás, pontosság, meg�gyel®képesség, összefüggéslátás, pontosság, kooperatív
és önálló munkavégzés, környezettudatosságra nevelés.
Óra: 23. 25{26. 30{31.
A négyesével, nyolcasával növekv® vagy csökken® sorozatok képzése, számok rende-
zése maradékosztályokba, a maradékok vizsgálata el®készíti a maradékos osztást. Is-
mertessük fel a negyed és a nyolcad fogalmát, illetve a fél, a negyed és a nyolcad közti
kapcsolatot. Analóg számítások: kerek tízesek szorzása, osztása.
Tk. 38/1. feladat: Figyeljük meg 2-es, a 4-es és 8-as szorzótábla közti kapcsolatot.
Tk. 38/2. feladat: Hasonlítsuk össze a 4-es és a 8-as szorzótábla számait.
Megoldás: 5 � 4 = 20 5 � 8 = 40 3 � 4 = 12 3 � 8 = 24
10 � 4 = 40 10 � 8 = 80 13 � 4 = 52 13 � 8 = 104
20 � 4 = 80 20 � 8 = 160 23 � 4 = 92 23 � 8 = 184
Tk. 38/3. feladat: A szorzótábla folyamatos gyakorlására, a számolási rutin fejlesztésére
szánt feladatok. A tanultak alkalmazása analóg számításokban a 200-as számkörben.
Megoldás: 4 6 40 4
3 6 60 3
8 9 20 9
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
55
Tk. 38/4. feladat: Figyeljük meg 2-es, a 4-es és 8-as szorzótábla, illetve a szorzás és
az osztás közti kapcsolatot.
Megoldás: a) 3 4 8 b) 2 4 8
30 40 20 20 10 15
Tk. 38/5. feladat: A szorzótábla folyamatos gyakorlására, a számolási rutin fejlesztésére
szánt feladatok. A tanultak alkalmazása analóg számításokban a 200-as számkörben.
Megoldás: 3 4 36 120
4 40 72 160
4 2 64 180
Tk. 38/6. feladat: A szorzótábla folyamatos gyakorlására, a számolási rutin fejlesztésére
szánt feladatok. A tanultak alkalmazása analóg számításokban a 200-as számkörben.
Ismét �gyeltessük meg a szorzás és osztás közti kapcsolatot.
Megoldás: Tömeg (dkg) 32 8 16 40 64 72 80 96 16 160 200
Ennyi labdának 4 1 2 5 8 9 10 12 2 20 25
Tk. 39/7. feladat: Beszéljük meg, hogy az adatlejegyzésnél jelölnünk kell az összefüggé-
seket. Az ilyen típusú feladatokban a rajzkészítés, a számegyenesen történ® lépegetés
segíthet a feladat megoldásában. Figyeljük meg a hányados változásait.
Megoldás: a) Adatok: 1 ugrás 8 m
? ugrás 56 m
Terv: x = 56 : 8
Számolás: x = 7
Ellen®rzés: 7 � 8 = 56
Válasz: 7 ugrással ér a forráshoz a szarvas.
b) Adatok: 1 ugrás 4 m
? ugrás 56 m
Terv: x = 56 : 4
Számolás: x = 14
Ellen®rzés: 14 � 4 = 56
Válasz: 14 ugrással ér a forráshoz az ®z.
c) Adatok: 1 ugrás 4 m
8 ugrás ? m
Terv: x = 8 � 4
Számolás: x = 32 m
Ellen®rzés: 32 : 4 = 8
Válasz: 32 m-re kellene állnia az ®znek.
56 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
Tk. 39/8. feladat: Szöveges feladatok. A feladatok lehet®séget biztosítanak a szorzás,
illetve az osztás különböz® értelmezéseinek meg�gyeltetésére. A feladatok megoldása
során ösztönözzük a gyermekeket az önálló munkavégzésre.
Megoldás: a) Adatok: Sz = 6 dm 4 cm = 64 cm, Sz negyedrésze ?
x
6 dm 4 cm = 84 cm
x x x
Terv: x = 64 : 4
Számolás: x = 16 cm
Ellen®rzés: 4 � 16 = 64
Válasz: 16 cm a szalag negyedrésze.
b) Adatok: x negyedrésze 8
Terv: x : 4 = 8 x = 4 � 8
Számolás: x = 32
Ellen®rzés: 32 : 4 = 8
Válasz: 32 a szám.
c) Adatok: 2 gy 60 g
1 gy ? g
Terv: x = 60 : 2
Számolás: x = 30
Ellen®rzés: 2 � 30 = 60
Válasz: Felét kapta egy gyerek. 30 golyót kapott egy gyerek.
d) Adatok: k = 8, k nyolcadrésze B, B = ?
Terv: B = k : 8
Számolás: B = 8 : 8 B = 1
Ellen®rzés: 8 � 1 = 8
Válasz: 1 Budapestet ábrázoló képeslapja van.
e) Adatok: 1 cs 4 kg
? cs 96 kg
Terv: x = 96 : 4
Számolás: x = 24 24 � 4 = 96
Válasz: 24 db 4 kg-os csomag készíthet®.
Tk. 39/9. feladat: Az osztás mint részekre osztás meg�gyeltetése. A tört, illetve a törtrész
fogalmának el®készítése.
Megoldás: Fél Fél Nyolcad Negyed Negyed
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
57
Tk. 39/1. kidolgozott mintapélda: Figyeltessük meg a szöveges feladat megoldásme-
netét.
Megoldás:
4
� 2 � 48
� 8
3 2 4
� 2 � 44
� 8
1 6
5
� 2 � 41 0
� 8
4 0 2
� 2 � 21 6
� 8
3 2
4
� 4 � 22 6
� 8
3 2 5
� 2 � 41 0
� 8
4 0
Gy. 37/1. feladat: Figyeltessük meg a 2-es, a 4-es és a 8-as szorzótábla közötti össze-
függéseket.
Gy. 37/2. feladat: A számolási rutin fejlesztésére szánt feladatsor.
Megoldás: a) 28 48 24 64
36 24 0 16
32 72 56 40
b) 7 4 10 9
6 4 8 8
4 8 10 8
Gy. 37/3. feladat: A néggyel való osztás maradékainak ábrázolása gra�konon. Figyel-
tessük meg a maradékokat.
4 8 12 16 20
0
1
2
3
4
� � � � � � �
� � � � � � �
� � � � � �
� � � � � �
Gy. 37/4. feladat: Az osztás mint részekre osztás meg�gyeltetése. A tört, illetve a tört-
rész fogalmának el®készítése.
Megoldás: 40 fele 20 40 negyede 10 40 nyolcada 5 40 tizede 4
58 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
A 3-as, a 6-os és a 9-es szorzótábla
Kompetenciák, fejlesztési feladatok:
gazdasági nevelés, számlálás, számolás, rendszerezés, relációszókincs fejlesztése,
szövegértés, szövegértelmezés, szövegesfeladat-megoldás, rész-egész észlelése, kom-
binativitás, induktív következtetések, deduktív következtetések, problémaérzékenység,
problémamegoldás, emlékezet fejlesztése, �gyelem, kezdeményez®képesség, meg�-
gyel®képesség, összefüggéslátás, pontosság, kooperatív és önálló munkavégzés.
Óra: 24{25. 27{28. 32{33.
A 3-as, a 6-os és a 9-es szorzótábla ismétlése jó alkalmat biztosít a szorzótáblák közti
kapcsolatok vizsgálatára. Soralkotások: számlálás hármasával, hatosával, kilencesével.
Végeztessünk analóg számításokat kerek tízesek szorzására, osztására a 200-as szám-
körön belül.
Tk. 40/1. kidolgozott mintapélda: Színesrudak segítségével szemléltetjük az összea-
dás és a szorzás, illetve a kivonás és a szorzás közötti disztributív kapcsolatot. (A zá-
rójelek használatának el®készítése.) Gyengébb csoportokban, ha szükséges, más szá-
mokkal is rakassuk ki, �gyeltessük meg ezeket az összefüggéseket! Szánjunk kell® id®t
a szorzótáblák közti kapcsolat tudatosítására, mert ez biztosabb számolási rutint ered-
ményezhet!
Tk. 41/1. feladat: Ismételjük át a 3-as, 6-os, 9-es szorzótáblákat. Figyeltessük meg a
közti lev® kapcsolatokat.
Tk. 41/2. feladat: A táblázat kitöltése során meg�gyeltethetjük, alkalmaztathatjuk a 10-
es, 1-es és 9-es szorzótáblák közötti kapcsolatokat.
Megoldás: Ennyi almát v. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Ad érte (Ft) 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Visszakap (Ft) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Kerül (Ft) 0 9 18 27 36 45 54 63 72 81 90
Tk. 41/3. feladat: A számolási rutin fejlesztését segít® feladatok. Figyeltessük meg az
analógiákat.
Megoldás: 6 � 2 = 12 6 � 20 = 120 3 � 5 = 15
3 � 50 = 150 9 � 2 = 18 9 � 20 = 180
Tk. 41/4. feladat: A számolási rutin fejlesztését segít® feladatok. Figyeltessük meg az
analógiákat.
Megoldás: 4 4 50 2
9 0 3 20
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
59
Tk. 41/5. feladat: A számolási rutin fejlesztését segít® feladatok. Figyeltessük meg az
analógiákat.
Megoldás: 18 18 12 18 9
180 180 120 180 90
180 180 120 180 90
Tk. 42/2. kidolgozott mintapélda: Játék pénz segítségével az osztás különböz® értel-
mezésére mutatunk példát. Az osztás mint részekre osztás, mint bennfoglalás, mint a
szorzás inverz m¶velete. Az írásbeli osztás el®készítése szempontjából fontos a hánya-
dos változásainak meg�gyeltetése, és ennek alkalmazásával a kerek tízesek osztása a
200-as számkörben.
Tk. 42/3. kidolgozott mintapélda: Játék pénz segítségével az osztás különböz® értel-
mezésére mutatunk példát. Az osztás mint részekre osztás, mint bennfoglalás, mint a
szorzás inverz m¶velete. Az írásbeli osztás el®készítése szempontjából fontos a hánya-
dos változásainak meg�gyeltetése, és ennek alkalmazásával a kerek tízesek osztása a
200-as számkörben.
Tk. 42/6. feladat: A számolási rutin fejlesztését segít® feladatok. Figyeltessük meg a
szorzás és az osztás közti kapcsolatot.
Megoldás: 9 � 4 = 36 6 � 5 = 30 7 � 3 = 21
4 � 9 = 36 5 � 6 = 30 3 � 7 = 21
36 : 4 = 9 30 : 6 = 5 21 : 3 = 7
36 : 9 = 4 30 : 5 = 6 21 : 7 = 3
Tk. 42/7. feladat: A számolási rutin fejlesztését segít® feladatok. Figyeltessük meg az
analógiákat.
Megoldás: 4 3 5 2 3 9
40 30 5 2 30 9
4 3 50 20 3 90
Tk. 42/8. feladat: A számolási rutin fejlesztését segít® feladatok. Figyeltessük meg az
analógiákat.
Megoldás: 3 9 20 16
30 9 200 160
3 90 200 160
Tk. 42/9. feladat: Szöveges feladatok a szorzás és az osztás gyakorlására. Fontos fela-
dat a szöveg értelmezése, a megfelel® matematikai modell elkészítése, a számolás, az
ellen®rzés és a szöveges válasz is.
Megoldás: a) Adatok: A = 9, A <
�3B, B = ?
Terv: B = 3�A
60 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
Számolás: B = 3�9 B = 27
Válasz: 27 kis autója van Bélának.
b) Adatok: C = 9, C >
�3D, D = ?
Terv: D = C : 3 D � 3 = C
Számolás: D = 9 : 3 D = 3
Ellen®rzés: 3 � 3 = 9
Válasz: 3 babája van Dórának.
c) Adatok: k = 30, k >
hatodrészet, t = ?
Terv: t = k : 6
Számolás: t = 30 : 6 t = 5
Ellen®rzés: 6 � 5 = 30
Válasz: 5 könyv szól a törpékr®l.
d) Adatok: D = 30 Ft, I >
hatodrészeD, I = ?
Terv: I = 6�D
Számolás: I = 6�30 I = 180 Ft
Ellen®rzés: 180 : 6 = 30
Válasz: 180 Ft-ja van Imrének.
e) Adatok: 1 sor 9 db
? sor 54 db
Terv: x = 54 : 9
Számolás: x = 6
Ellen®rzés: 6 � 9 = 54
Válasz: 6 sorba fér el 54 bélyeg.
Tk. 42/10. feladat: Szöveges feladatok a szorzás és az osztás gyakorlására. Fontos
feladat a szöveg értelmezése, a megfelel® matematikai modell elkészítése, a számolás,
az ellen®rzés és a szöveges válasz is.
Megoldás: a) Adatok: 1 lépés 6 dm
7 lépés ? dm
Terv: x = 7 � 6
Számolás: x = 42 dm = 4 m 2 dm
Válasz: 42 dm = 4 m 2 dm távolságra jut Pista.
b) Adatok: 9 lépés 6 m 3 dm = 63 dm
Terv: 1 lépés ? m
x = 63 : 9
Számolás: x = 7
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
61
Ellen®rzés: 9 � 7 = 63
Válasz: 7 dm hosszú Róza egy lépése.
c) Adatok: 1 sor 3 db
Terv: ? sor 27 db
x = 27 : 3
Számolás: x = 9
Ellen®rzés: 9 � 3 = 27
Válasz: 9 sor csempével fedték le az el®szobát.
Gy. 38/1. feladat: Ha bet¶szimbólumokat vezetünk be, akkor könnyebben leírhatjuk a
meg�gyelt összefüggéseket: Kapcsolatok a táblázat egyes sorai között például:
Megoldás:
V � 2 = L, V � 3 = S, L : 2 = V, S : 3 = V, S : 3 � 2 = L, L : 2 � 3 = S, V + L = S.
Rudak száma 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
V: Világoskék (cm) 0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33
L: Lila (cm) 0 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 66
S: Sötétkék (cm) 0 9 18 27 36 45 54 63 72 81 90 99
Gy. 38/2. feladat: A táblázat kitöltése során meg�gyeltethetjük, alkalmaztathatjuk a 10-
es, 1-es és 9-es szorzótáblák közötti kapcsolatokat.
Megoldás: Dobozok száma 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Bonbon dobozzal 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Ebb®l a doboz 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Ebb®l a bonbon 9 18 27 36 45 54 63 72 81 90
Gy. 38/3. feladat: A táblázatok kitöltése során meg�gyeltethetjük, alkalmaztathatjuk a
szorzótáblák közötti kapcsolatokat.
Megoldás: üveg száma 3 6 7 5 10 8
Szódavíz 15 30 35 25 50 40
Szörp 3 6 7 5 10 8
üdít® 18 36 42 30 60 48
átváltás 1 l 8 dl 3 l 6 dl 4 l 2 dl 3 l 0 dl 6 l 0 dl 4 l 8 dl
Gy. 38/4. feladat: A számolási rutin fejlesztését segít® feladatok. Figyeltessük meg az
analógiákat.
Megoldás: 24 10 21 12
20 18 36 24
62 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
27 36 30 20
20 45 48 40
Gy. 39/5. feladat: A számolási rutin fejlesztését segít® feladatok. Figyeltessük meg az
analógiákat.
Megoldás: 3 2 7 9
10 10 10 3
1 6 9 9
0 7 5 8
Gy. 39/6. feladat: A számolási rutin fejlesztését segít® feladatok. Figyeltessük meg az
analógiákat.
Megoldás: a) 18 18 12
180 180 120
180 180 120
b) 2 6 2
20 60 20
2 6 2
Gy. 39/7. feladat: A számolási rutin fejlesztését segít® feladatok. Figyeltessük meg az
analógiákat.
Megoldás: N 12 15 0 21 30 27 24 36 90 63 60 66 69
U 4 5 0 7 10 9 8 12 30 21 20 22 23
Gy. 39/8. feladat: Szöveges feladatok a szorzás és az osztás gyakorlására.
Megoldás: a) 18 : 2 = 9 2 � 9 = 18 9 palacsinta jutott.
18 : 3 = 6 3 � 6 = 18 6 palacsinta jutott.
18 : 6 = 3 6 � 3 = 18 3 palacsinta jutott.
18 : 9 = 2 9 � 2 = 18 2 palacsinta jutott.
b) 30 : 2 = 15 2 � 15 = 30 30 fele 15.
30 : 3 = 10 3 � 10 = 30 30 harmada 10.
30 : 5 = 6 5 � 6 = 30 30 ötöde 6.
30 : 6 = 5 6 � 5 = 30 30 hatoda 6.
30 : 10 = 3 10 � 3 = 30 30 tizede 3.
c) 24 = 1 � 24 = 2 � 12 = 3 � 8 = 4 � 6 = 6 � 4 = 8 � 3 = 12 � 2 = 24 � 1
24 osztói: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
8-féleképpen állítható sorba 24 gyerek.
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
63
d) 36 : 3 = 12 12 � 3 = 36 12 doboz telik meg.
36 : 4 = 9 9 � 4 = 36 9 doboz telik meg.
36 : 6 = 6 6 � 6 = 36 6 doboz telik meg.
36 : 9 = 4 4 � 9 = 36 4 doboz telik meg.
A 7-es szorzótábla; a szorzótáblák gyakorlása
Kompetenciák, fejlesztési feladatok:
gazdasági nevelés, számlálás, számolás, rendszerezés, relációszókincs fejlesztése,
szövegértés, szövegértelmezés, szövegesfeladat-megoldás, rész-egész észlelése, kom-
binativitás, induktív következtetések, deduktív következtetések, problémaérzékenység,
problémamegoldás, emlékezet fejlesztése, �gyelem, kezdeményez®képesség, meg�-
gyel®képesség, összefüggéslátás, pontosság, kooperatív és önálló munkavégzés.
Óra: 26{27. 29{30. 34{35.
A szorzótáblák ismétlésének befejezéseként beszéljük meg a 0 és az 1 többszöröseinek,
illetve a számok 0-szorosának, 1-szeresének értelmezését is.
Tk. 44/1. feladat: 7-es szorzótábla ismétlését segít táblázat. Figyeltessük meg a szorzás
és az osztás közötti kapcsolatot. Használjuk a hetede, hétszerese kifejezéseket.
Megoldás: a) 5 � 7 = 35 8 � 7 = 56 4 � 7 = 28
b) 21 : 7 = 3 63 : 7 = 9 42 : 7 = 6 105 : 7 = 15
Tk. 44/2. feladat: A számolási rutin fejlesztését segít® feladatok. Figyeltessük meg az
analógiákat.
Megoldás: 42 35 8 0
63 140 7 10
7 7 2 0
7 8 7 Nullával nem lehet osztani!
Tk. 44/3. feladat: A 7-es szorzótábla és az id®mértékegységek közül a nap és a hét
közötti kapcsolat meg�gyeltetése, a naptár használata. A héttel való osztás és a hét
napjai közötti kapcsolat szemléltetése.
Megoldás: a) 7 : 7 = 1 b) 10 : 7 = 1 c) 14 : 7 = 20 3 0
Hétf® lesz Csütörtök lesz Hétf® lesz
d) 17 : 7 = 2 e) 35 : 7 = 5 f) 40 : 7 = 53 0 5
Csütörtök lesz Hétf® lesz Szombat lesz
64 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
Tk. 44/4. feladat: A 7-es szorzótábla és az id®mértékegységek közül a nap és a hét
közötti kapcsolat meg�gyeltetése, a naptár használata. A héttel való osztás és a hét
napjai közötti kapcsolat szemléltetése.
Megoldás: a) 1., 8., 15., 22., 29.
b) 2., 11., 18., 25.
c) 7., 14., 21., 28.
d) 6., 13., 20., 27.
Tk. 44/5. feladat: Szöveges feladatok a szorzás és az osztás gyakorlására. Fontos fela-
dat a szöveg értelmezése, a megfelel® matematikai modell elkészítése, a számolás, az
ellen®rzés és a szöveges válasz is.
Megoldás: a) Adatok: 1 nap 2 Ft
5 hét = 5 � 7 nap ? Ft
Terv: x = 5 � 7 � 2
Számolás: x = 70 Ft
Válasz: 70 Ft-ja gy¶lt össze Anikónak.
b) Adatok: k: 1 nap 8 Ft
1 hét = 7 nap 7 � 8, m = 4 Ft, v = ?
Terv: v = k +m
Számolás: v = 7 � 8 + 4 v = 60 Ft
Válasz: 60 Ft-ja volt eredetileg Boldizsárnak.
Gy. 40/1. feladat: A számolási rutin fejlesztését segít® feladatok. Figyeltessük meg az
analógiákat.
Megoldás: 21 0 8 14
35 1 10 14
70 9 7 35
56 4 7 42
49 2 13 42
42 13 7 Nullával nem lehet osztani!
Gy. 40/2. feladat: A táblázatok kitöltésével �gyeljük meg a szorzótáblák közti kapcsola-
tot.
Megoldás:
a) Ennyi hét 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 20
Ennyi munkanap 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 100
Ennyi pihen®nap 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 40
Ennyi nap 7 14 21 28 35 42 49 56 63 70 140
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
65
b) Ennyi dl szörp 7 35 49 63 14 28 42 21 70 140 91
Ennyi üvegbe fér 1 5 7 9 2 4 6 3 10 20 13
Gy. 40/3. feladat: A számolási rutin fejlesztését segít® feladatok. Figyeltessük meg az
analógiákat.
Megoldás: a) 0 5 0 28
20 10 4 56
12 35 25 24
90 45 18 48
15 10 40 20
16 6 40 40
b) 24 30 6 49
48 60 12 63
72 90 18 21
12 15 21 35
24 30 42 14
36 45 63 70
Gy. 41/4. feladat: A számolási rutin fejlesztését segít® feladatok. Figyeltessük meg az
analógiákat.
Megoldás: a) 10 10 8 6
3 10 5 3
7 3 0-val nem 2
lehet osztani
10 10 5 2
4 7 6 8
20 4 70 5
b) 9 7 5 0
6 7 2 4
6 7 4 7
5 3 8 5
15 2 8 2
4 6 5 8
c) 12 3 36 1
24 4 0 4
8 6 8 0
16 5 10 0-val nem
lehet osztani
66 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
72 7 56 43
36 1 81 8
Gy. 41/5. feladat: A számolási rutin fejlesztését segít® feladatok. Figyeltessük meg az
analógiákat.
Megoldás: a) 3 0 4 8
8 6 9 0
7 5 8 2
8 1 6 1
8 8 5 9
28 6 35 5
18 5 9 7
15 4 0 2
30 7 12 1
32 4 27 9
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
67
Gy. 42/6. feladat: Az állatoknak minden számot érinteniük kell, amelyre igaz az állítás.
Megoldás:
3 � 5
7 � 5
1 � 3 5 � 1 3 � 3 3 � 8 6 � 6
7 � 4
1 � 1
2 � 8
5 � 5
9 � 1
9 � 3
7 � 1
2 � 2
7 � 8
6 � 4 9 � 0
8 � 9
2 � 6 4 � 5
7 � 10
10�1010 � 5
10 � 9
8 � 5
8 � 6
5 � 9
6 � 10
6 � 9
7 � 6
7 � 7
9 � 9
4 � 10
9 � 7
8 � 8
9 � 11
Maradékos osztás
Kompetenciák, fejlesztési feladatok:
számlálás, számolás, rendszerezés, relációszókincs fejlesztése, szövegértés, szöveg-
értelmezés, szövegesfeladat-megoldás, rész-egész észlelése, kombinativitás, induktív
következtetések, deduktív következtetések, problémaérzékenység, problémamegoldás,
68 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
emlékezet fejlesztése, �gyelem, kezdeményez®képesség, meg�gyel®képesség, össze-
függéslátás, pontosság, kooperatív és önálló munkavégzés.
Óra: 28. 31. 36{37.
A szorzótáblák ismétléséhez kapcsolódva foglalkozunk a maradékos osztás fogalmával,
elvégzésével. Ha szükséges, többféleképpen szemléltessük a maradékos osztást. Pél-
dául: játék pénzzel; számegyenesen való lépegetéssel; korongok, pálcikák, színesrúd
kirakásával.
A következ® órákon ismételten térjünk vissza a maradékos osztás folyamatos gyakorlá-
sára. A vizsgálatok szerint ez a leghatékonyabb módja a szorzótábla alkalmazásra képes
megtanításának, az írásbeli osztás el®készítésének. Figyeltessük meg az osztás mara-
dékait különböz® osztók esetén. (Ismerkedés a maradékosztályokkal.)
A tanulók ne feledkezzenek meg az ellen®rzésr®l!
Tk. 45/ 1. kidolgozott mintapélda: Szöveges feladat megoldása kapcsán mutatjuk be
a maradékos osztás elvégzését, írásmódját, ellen®rzését, a szöveges feladatra adott
választ.
Tk. 45/1. feladat: Maradékos osztás gyakorlására szánt feladatsor. Hívjuk fel a �gyelmet
az ellen®rzés fontosságára.
Megoldás: a) 14 : 3 = 4 28 : 9 = 3 47 : 5 = 92 1 2
4 � 3 + 2 = 14 3 � 9 + 1 = 28 9 � 5 + 2 = 47
26 : 3 = 8 19 : 2 = 9 33 : 5 = 62 1 3
8 � 3 + 2 = 26 9 � 2 + 1 = 19 6 � 5 + 3 = 33
b) 54 : 6 = 9 75 : 9 = 8 17 : 6 = 20 3 5
9 � 6 + 0 = 54 8 � 9 + 3 = 75 2 � 6 + 5 = 17
24 : 6 = 4 38 : 9 = 4 50 : 6 = 80 2 2
4 � 6 + 0 = 24 4 � 9 + 2 = 38 8 � 6 + 2 = 50
Tk. 45/2. feladat: Szöveges feladatok a maradékos osztás gyakorlására. Fontos fela-
dat a szöveg értelmezése, a megfelel® matematikai modell elkészítése, a számolás, az
ellen®rzés és a szöveges válasz is.
Megoldás: a) Adatok: 37 db 1 ? 5
Terv: x = 37 : 5
Számolás: 37 : 5 = 72
Ellen®rzés: 7 � 5 + 2 � 1 = 37
Válasz: 7 darab ötforintosra váltható és marad 2 darab egyforintos.
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
69
b) Adatok: 1 lap 9 dm
? lap 7 és fél m = 75 dm
Terv: x = 75 : 9
Számolás: 75 : 9 = 83
Ellen®rzés: 8 � 9 + 3 = 75
Válasz: 8 lap fér el, 3 dm hosszú járda marad lefedetlen.
Tk. 45/3. feladat: A maradékos osztás gyakorlása táblázat kitöltésével.
Megoldás: Ennyi mogyoró 10 18 37 53 85 72 73 74 71 67 55
Ennyi jut 1-nek 1 2 4 6 10 9 9 9 8 8 6
Ennyi marad 2 2 5 5 5 0 1 2 7 3 7
Tk. 45/4. feladat: A maradékos osztásról tanultak elmélyítése problémahelyzetben.
Megoldás: a) a : 9 = 6 a = 6 � 9 + 3 a = 573
b) 47 : b = b: 3, 5, 9, 15, 45
2
Gy. 43/1. feladat: A maradékos osztás értelmezése, gyakorlása, ellen®rzése.
Megoldás: a) 34 : 9 = 3 3 � 9 + 7 = 34 7 alma marad ki.7
Gy. 43/2. feladat: A maradékos osztás értelmezése, gyakorlása, ellen®rzése.
Megoldás:
15 Ft 19 Ft 20 Ft
1 5 : 2 = 7
1
1 9 : 2 = 9
1
2 0 : 2 = 1 0
0
7 � 2 + 1 = 1 5 9 � 2 + 1 = 1 9 1 0 � 2 = 2 0
Gy. 43/3. feladat: Szöveggel adott függvény táblázatának kitöltése. Az osztás maradé-
kának meg�gyelése.
Ennyi 1 -os van 46 75 100 107 140 63 121 159
Ennyi 10 -osra váltható 4 7 10 10 14 6 12 15
Ennyi 1 -os marad 6 5 0 7 0 3 1 9
Gy. 43/4. feladat: Szöveggel adott függvény táblázatának kitöltése. Az osztás maradé-
kának meg�gyelése.
70 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
Ennyi virág volt 21 28 32 61 96 20 120 151
Ennyi csokor lett 7 9 10 20 32 6 40 50
Ennyi szál maradt 0 1 2 1 0 2 0 1
Gy. 43/5. feladat: Szöveggel adott függvény táblázatának kitöltése. Az osztás maradé-
kának meg�gyelése.
Ennyi tojás volt 30 45 50 121 185 123 182
Ennyi doboz telt meg 5 7 8 20 30 20 30
Ennyi tojás maradt 0 3 2 1 5 3 2
Gy. 44/6. feladat: A maradékos osztás értelmezése, gyakorlása, ellen®rzése.
Megoldás: a) 19 : 2 = 9 25 : 6 = 4 30 : 9 = 31 1 3
9 � 2 + 1 = 19 4 � 6 + 1 = 25 3 � 9 + 3 = 30
b) 34 : 5 = 6 47 : 9 = 5 34 : 6 = 54 2 4
6 � 5 + 4 = 34 5 � 9 + 2 = 47 5 � 6 + 4 = 34
c) 27 : 5 = 5 29 : 3 = 9 15 : 2 = 72 2 1
5 � 5 + 2 = 27 9 � 3 + 2 = 29 7 � 2 + 1 = 15
d) 60 : 9 = 6 53 : 6 = 8 49 : 5 = 96 5 4
6 � 9 + 6 = 60 8 � 6 + 5 = 53 9 � 5 + 4 = 49
Gy. 44/7. feladat: Szöveges feladatok a maradékos osztás gyakorlására.
Megoldás: a) Adatok: 1 tepsi 9 db
? tepsi 50 db
Terv: x = 50 : 9
Számolás: 50 : 9 = 55
Ellen®rzés: 5 � 9 + 5 = 50
Válasz: 5 tepsi sütemény készíthet®, és marad 5 tojás.
b) Adatok: 6 gyerek 40 szál
1 gyerek ?
Terv: x = 40 : 6
Számolás: 40 : 6 = 6
4
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
71
Ellen®rzés: 6 � 6 + 4 = 40
Válasz: 6 virág jut egy gyereknek, és 4 szál virág marad.
c) Adatok: 3 veréb 25 mag
1 veréb ? mag
Terv: x = 25 : 3
Számolás: 25 : 3 = 81
Ellen®rzés: 3 � 8 + 1 = 25
Válasz: 8 mag jutna egynek, és maradna 1 mag.
Nem oszthatják szét egyenl®en.
Gy. 44/8. feladat: Természetes számok maradékosztályokba rendezése.
Megoldás:
0 1 2 3 4 0 1 2 3 4 5
Óra: 29. 32. 38.
1/I. tájékozódó felmérés
A Felmér® feladatsorok cím¶ kiadvány feladatsora.
1/II. tájékozódó felmérés
A Felmér® feladatsorok cím¶ kiadvány feladatsora.
A m¶veletek sorrendje
Kompetenciák, fejlesztési feladatok:
számlálás, számolás, rendszerezés, relációszókincs fejlesztése, szövegértés, szöveg-
értelmezés, szövegesfeladat-megoldás, rész-egész észlelése, kombinativitás, induk-
tív következtetések, deduktív következtetések, problémaérzékenység, problémamegol-
dás, emlékezet fejlesztése, �gyelem, kreativitás, kezdeményez®képesség, metakogníció,
meg�gyel®képesség, összefüggéslátás, pontosság, kooperatív és önálló munkavégzés,
környezettudatosságra nevelés.
Óra: 30. 33. 39{40.
A m¶veletek sorrendjével már 2. osztályban is foglalkoztunk. Az ott tanultakat elevenítjük
föl és alkalmazzuk szöveges feladatok és összetett számfeladatok megoldásánál, analóg
számításokhoz kapcsolódóan is.
72 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
Tk. 46/Emlékeztet®: Felidézzük a m¶veleti sorrendr®l tanultakat:
Ha csak egyenrangú m¶veletek szerepelnek a m¶veletsorban (összeadás, kivonás, illet-
ve szorzás, osztás), és nem szerepel zárójel, akkor balról jobbra haladhatunk a m¶ve-
letvégzésben.
Ha nem csak egyenrangú m¶veletek szerepelnek a m¶veletsorban, és nem szerepel
zárójel, akkor a szorzást, osztást végezzük el el®ször, majd az így kapott eredményekkel
az összeadást és a kivonást.
A szorzást és az osztást ebben az esetben ne tegyük zárójelbe. Tanuláslélektani meg-
fontolásból jobb, ha a zárójelet csak a szükséges esetekben tesszük ki. Ugyanis ha
feleslegesen használjuk a zárójelet, akkor kialakulhat az a rossz szokás, hogy csak a
zárójelek esetén �gyel a tanuló a m¶veletek helyes sorrendjére, és nem rögzülnek a fent
részletezett szabályok.
A zárójelek használatát kés®bb, a m¶veleti sorrendr®l tanultak begyakorlása után érde-
mes felelevenítenünk és begyakoroltatnunk.
Tk. 46/1. kidolgozott mintapélda: Figyeltessük meg a m¶veleti sorrendr®l tanultakat a
szöveges feladat megoldása során.
Tk. 46/1. feladat: Összetett számfeladatok a m¶veleti sorrend gyakorlására. A számolás
el®tt a tanulók tervezzék meg és írják be a kis körökbe a m¶veletek sorrendjét.
Megoldás: a) 40
1:
+ 90| {z }
130
2:
{ 20 = 110 90
1:
+ 20| {z }
110
2:
+ 70 = 180
137
1:
{ 60| {z }
77
2:
+ 9 = 86 180
1:
{ 60| {z }
120
2:
{ 50 = 70
b) 6
1:
� 10| {z }
60
2:
� 2 = 120 180
1:
: 10| {z }
18
2:
: 2 = 9
72
1:
: 9| {z }
8
2:
� 15 = 120 16
1:
: 2| {z }
8
2:
� 5
| {z }
40
3:
: 10 = 4
c) 20
2:
+ 6
1:
� 10| {z }
60
= 80 80
2:
+ 40
1:
: 5| {z }
8
= 88
75
2:
+ 5| {z }
�
8:
1 40 = 115 9
1:
� 10| {z }
90
3:
{ 45
2:
: 5| {z }
9
= 81
Tk. 47/2. feladat: Összetett szöveges feladatok. Figyeltessük meg m¶veletek sorrendjét.
Mutassuk meg, hogy a modell készítése hogyan segíti a feladatmegoldást.
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
73
Megoldás: a) Adatok: 125 mK B
8 mm | {z }
?
1 ugrás 8 m
5 ugrás 5 � 8 m
Terv: x = 125 { 5 � 8|{z}
40
Számolás: x = 85 m
Ellen®rzés: 85 + 5 � 8 = 125
Válasz: 85 m-re lesz a kenguru a bokortól.
b) Adatok: 125 mK B
8 mm| {z }
?1 ugrás 12 m
5 ugrás 5 � 12 m
Terv: x = 125 + 5 � 12| {z }
60
Számolás: x = 185 m
Ellen®rzés: 185 { 5 � 12 = 125
Válasz: 185 m-re lesz a kenguru a bokortól.
c) Adatok: 85 mB E M
185 m| {z }
?Terv: x = 185 { 85
Számolás: x = 100 m
Ellen®rzés: 100 + 85 = 185
Válasz: 100 m-re van a két kenguru egymástól.
Tk. 47/3. feladat: A feladatsor feldolgozását egy órára javasoljuk. Segítségével felmér-
hetjük az ért® szövegolvasást. Figyeljük meg, hogy a szöveg alapján hogyan ismerik fel
az összefüggéseket, hogyan alkotják meg a matematikai modellt.
Ne feledkezzünk meg a szöveges feladat megoldási lépéseir®l!
Megoldás: a) Adatok: v = 70 Ft, k = 5 db 10 l = ?
Terv: l = v + k
Számolás: l = 70 + 5�10 l = 120 Ft
Válasz: 120 Ft-ja lesz Fanninak.
b) Adatok: v = 70 Ft, k = 5 Ft + 10 Ft, l = ?
Terv: l = v + k
Számolás: l = 70 + 5 + 10 l = 85 Ft
Válasz: 85 Ft-ja lesz Gábornak.
74 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
c) Adatok: v = 70 Ft, e = 5 db 10 , m = ?
Terv: m = v { e
Számolás: m = 70 { 5 � 10 m = 20 Ft
Ellen®rzés: 20 + 5 � 10 = 70
Válasz: 20 Ft-ja maradt Heninek.
d) Adatok: f = 10 db 10 , m = 70 Ft, v = ?
Terv: v = f +m
Számolás: v = 10 � 5 + 70 v = 120 Ft
Ellen®rzés: 120 { 10 � 5 = 70
Válasz: 120 Ft-ja volt Ildikónak.
e) Adatok: p = 70 Ft, p >
tizedeny, 5 ny
Terv: ny = 70 : 10 � 5
Számolás: ny = 35 Ft
Ellen®rzés: 70 : 10 = 35 : 5
Válasz: 35 Ft-ot �zet Jutka az 5 nyalókáért.
Tk. 47/4. feladat: Figyeljük meg, hogy a szöveg alapján hogyan ismerik fel az összefüg-
géseket, hogyan alkotják meg a matematikai modellt. Ne feledkezzünk meg a szöveges
feladat megoldási lépéseir®l!
Megoldás: a) Adatok: v = 178 l, k = 15 � 6 l, m = ?
Terv: m = v { k
Számolás: m = 178 { 15 � 6| {z }
6
m = 88 l
Ellen®rzés: 80 + 88 = 178
Válasz: 88 l víz marad a hordóban.
b) Adatok: v = 1 m 65 cm = 165 cm, l = 7 � 1 dm = 10 cm, m = ?
Terv: m = v { l
Számolás: m = 165 { 7 � 10| {z }
70
, m = 95 cm
Ellen®rzés: 95 + 7 � 10 = 165
Válasz: 95 cm = 9 dm 5 cm hosszú szalag marad.
c) Adatok: v = 8 � 10 dkg, é = 8 � 5 dkg, ö = ?
Terv: ö = v + é
Számolás: ö = 8 � 10| {z }
80
+8 � 5|{z}
40
ö = 120 dkg
Válasz: 120 dkg = 1 kg 20 dkg az össztömeg.
d) Adatok: k = 75 dkg, é = 8 � 5, ö = ?
Terv: ö = k + é
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
75
Számolás: ö = 75 + 8 � 5|{z}
40
ö = 115 dkg
Válasz: 115 dkg = 1 kg 15 dkg nehéz volt összesen.
Gy. 45/1. feladat: Összetett számfeladatok a m¶veleti sorrend gyakorlására. A számolás
el®tt a tanulók tervezzék meg és írják be a kis körökbe a m¶veletek sorrendjét.
Megoldás:
a) 5
1:
� 30| {z }
150
2:
+ 40 = 190 3
1:
� 50| {z }
150
2:
{ 40 = 190 8
1:
� 20| {z }
160
2:
{ 20 = 140
2
1:
� 80| {z }
160
2:
+ 20 = 180 6
1:
� 20| {z }
120
2:
+ 15 = 135 60
1:
� 2| {z }
120
2:
{ 15 = 105
5
1:
� 40| {z }
200
2:
{ 30 = 170 4
1:
� 50| {z }
200
2:
{ 60 = 140 3
1:
� 60| {z }
180
2:
{ 50 = 130
b) 70
2:
+ 4
1:
� 20| {z }
80
= 150 90
2:
+ 50
1:
� 1| {z }
50
= 140 180
2:
{ 5
1:
� 30| {z }
150
= 30
200
2:
{ 2
1:
� 60| {z }
120
= 80 20
2:
+ 2
1:
� 50| {z }
100
= 120 200
2:
{ 10
1:
� 5| {z }
50
= 150
30
2:
+ 90
1:
� 1| {z }
90
= 120 50
2:
+ 70
1:
� 2| {z }
140
= 190 190
2:
{ 20
1:
� 6| {z }
120
= 70
Gy. 45/2. feladat: Függvényre vezethet® szöveges feladat. A feladat megoldása a táblá-
zat kitöltése. Figyeljünk az összefüggések felismerésére és a szabálykövetésre. Beszél-
jük meg, hogyan jelölhetjük bet¶kkel az egyes mennyiségeket.
Megoldás: Ennyi pénz volt = V; ennyi 5 -os = Ö;
Ennyi pénz marad = M.
Szabály lehet: V { Ö � 5 = M.
Ennyi pénz volt V 42 95 100 148 167 180 156 113
Ennyi 5 -os Ö 4 8 10 20 6 30 30 20
Ennyi pénz marad M 22 55 50 48 137 30 6 13
Gy. 45/3. feladat: Figyeljük meg, hogy a szöveg alapján hogyan ismerik fel az összefüg-
géseket, hogyan alkotják meg a matematikai modellt. Ne feledkezzünk meg a szöveges
feladat megoldási lépéseir®l!
76 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
Megoldás: Adatok: v = 120, e = 8 � 5, m = ?
Terv: m = v { e
Számolás: m = 120 { 8 � 5|{z}
40
m = 80
Ellen®rzés: 80 + 8 � 5 = 120
Válasz: 80 gyerek maradt a táborban.
Gy. 45/4. feladat: Figyeljük meg, hogy a szöveg alapján hogyan ismerik fel az összefüg-
géseket, hogyan alkotják meg a matematikai modellt. Ne feledkezzünk meg a szöveges
feladat megoldási lépéseir®l!
Megoldás: Adatok: e = 50, v = 9 � 10, l = ?
Terv: l = e + v
Számolás: l = 50 + 9 � 10| {z }
90
l = 140
Válasz: 140 bélyege lett Bélának.
Gy. 46/5. feladat: Összetett számfeladatok a m¶veleti sorrend gyakorlására, a számolási
rutin fejlesztésére, a folyamatos ismétlésre.
Megoldás:
a) 7
1:
� 3| {z }
21
2:
+ 140 = 181 96
2:
+ 60
1:
: 3| {z }
20
= 116
9
1:
� 6| {z }
54
2:
+ 110 = 164 132
2:
{ 120
1:
: 6| {z }
20
= 112
6
1:
� 8| {z }
48
2:
+ 70 = 118 81
2:
+ 180
1:
: 9| {z }
20
= 101
a) 126
2:
{ 5
1:
� 6| {z }
30
= 96 90
1:
: 3| {z }
30
2:
+ 75 = 105
145
2:
{ 10
1:
� 9| {z }
90
= 55 180
1:
: 6| {z }
30
2:
+ 97 = 105
112
2:
{ 10
1:
� 3| {z }
30
= 82 200
1:
: 5| {z }
40
2:
{ 26 = 14
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
77
Gy. 46/6. feladat: Figyeljük meg, hogy a szöveg alapján hogyan ismerik fel az összefüg-
géseket, hogyan alkotják meg a matematikai modellt. Ne feledkezzünk meg a szöveges
feladat megoldási lépéseir®l!
Megoldás: a) Adatok: 6 db 20 , 3 db 5 , ö = ?
Terv: ö = 6 � 20| {z }
120
+3 � 5|{z}
15
Számolás: ö = 135 Ft
Válasz: 135 Ft-ja van Dórának.
Gy. 46/7. feladat: Figyeljük meg, hogy a szöveg alapján hogyan ismerik fel az összefüg-
géseket, hogyan alkotják meg a matematikai modellt. Ne feledkezzünk meg a szöveges
feladat megoldási lépéseir®l!
Megoldás: a) Adatok: v = 195 Ft, e = 9 db 20 , m = ?
Terv: m = v { e
Számolás: m = 195 { 9 � 20| {z }
180
m = 15 Ft
Ellen®rzés: 15 + 9 � 20 = 195
Válasz: 15 Ft-ja maradt édának.
Gy. 46/8. feladat: Figyeljük meg, hogy a szöveg alapján hogyan ismerik fel az összefüg-
géseket, hogyan alkotják meg a matematikai modellt. Ne feledkezzünk meg a szöveges
feladat megoldási lépéseir®l!
Megoldás: a) Adatok: t = 10 m 5 dm = 105 dm, m = 15 � 7 dm, h = ?
Terv: h = t { m
Számolás: h = 105 { 15 � 7| {z }
1
05 h = 0 dm
Ellen®rzés: 0 + 15 � 7 = 105
Válasz: Odaért a tóhoz.
A zárójelek használata
Kompetenciák, fejlesztési feladatok:
gazdasági nevelés, számlálás, számolás, rendszerezés, relációszókincs fejlesztése,
szövegértés, szövegértelmezés, szövegesfeladat-megoldás, rész-egész észlelése, kom-
binativitás, induktív következtetések, deduktív következtetések, problémaérzékenység,
problémamegoldás, emlékezet fejlesztése, �gyelem, kreativitás, kezdeményez®képes-
ség, metakogníció, tudatosság, meg�gyel®képesség, összefüggéslátás, pontosság, ko-
operatív és önálló munkavégzés, környezettudatosságra nevelés.
78 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
Óra: 31{32. 34{35. 41{42.
Összetett számfeladatok, a m¶veleti sorrendr®l és a zárójelek használatáról tanultak fel-
elevenítése, gyakorlása. A tankönyvi mintapéldák segítséget nyújtanak az összetett szö-
veges feladatok önálló megoldásához. Figyeltessük meg a gyermekekkel a zárójelek
módosító szerepét. Mutassunk példákat arra, hogy mely esetekben változik és melyek-
ben nem változik az eredmény a zárójel hatására.
A zárójelek felbontását készítjük el®, amikor az összetett zárójeles számfeladatokat átí-
ratjuk zárójel nélkülivé, illetve szöveges feladatok számítási tervének felírását zárójellel
és anélkül is elvárjuk.
Folyamatosan gyakoroltassuk a szorzótáblákat, az összeadást és a kivonást.
Tk. 48/1. kidolgozott mintapélda: Fedeztessük fel az összeadás asszociatív tulajdonsá-gát: tetsz®legesen zárójelezhetjük azt a m¶veletsort, amely csak összeadást tartalmaz,
az eredmény nem változik.
Tk. 48/Figyeld meg!: A m¶veleti sorrendr®l, zárójelr®l tanultak megbeszélése.
Tk. 48/1. feladat: A szöveges feladatok megoldása során is fedeztessük fel az össze-
adás asszociatív tulajdonságát: tetsz®legesen zárójelezhetjük azt a m¶veletsort, amely
csak összeadást tartalmaz, az eredmény nem változik.
Megoldás: a) Adatok: v = 47 Ft, k = 30 Ft + 8 Ft, l = ?
Terv: l = v + k
Számolás: l = 47 + 30| {z }
77
+8 l = 47 + (30 + 8) l = 85 Ft
Válasz: 85 Ft-ja lett Istvánnak.
b) Adatok: v = 64, h: ö = 20, a = 9, l = ?
Terv: l = v + h
Számolás: l = (64 + 20| {z }
84
) + 9 vagy
l = 64 + (20 + 9| {z }
29
) vagy
l = 64 + 20| {z }
84
+9 l = 93
Válasz: 93 doboz gyümölcsital lett
c) Adatok: cs = 48 Ft, ü = 40 Ft, b = 20 Ft, ö = ?
Terv: ö = cs + ü + b
Számolás: ö = 48 + 40| {z }
88
+20 vagy ö = 48 + (40 + 20| {z }
60
) ö = 108 Ft
Válasz: 108 Ft-ot �zetett összesen Jutka.
d) Adatok: r = 15 Ft, m = 25 Ft, ü = 48 Ft, ö = ?
Terv: ö = r + m + ü
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
79
Számolás: ö = (15 + 25| {z }
40
) + 48 vagy ö = 15 + 25 + 48| {z }
73
ö = 88 Ft
Válasz: 88 Ft-ot �zetett összesen Dóra.
e) Adatok: v = 135 kg, e = 70 kg, r = 3 kg, m = ?
Terv: m = v { e { r vagy m = v { (e + r )
Számolás: m = 135 { 70| {z }
65
{ 3 m = 135 { (70 + 3)| {z }
73
m = 62 kg
Válasz: 62 kg burgonya maradt.
Tk. 49/2. kidolgozott mintapélda: A szöveges feladatok megoldásakor tapasztalatot
szerezhetnek a tanulók, hogyan kell összeget, illetve különbséget kivonni, illetve hogyan
hagyható el a zárójel, ha el®tte kivonásjel van.
Tk. 49/2. feladat: A szöveges feladatok megoldásakor tapasztalatot szerezhetnek a ta-
nulók, hogyan kell összeget, illetve különbséget kivonni, illetve hogyan hagyható el a
zárójel, ha el®tte kivonásjel van.
Megoldás: a) Adatok: v = 126, k = 40, gy = 10, m = ?
Terv: m = v { k { gy vagy m = v { (k + gy)
Számolás: m = 126 { 40| {z }
86
{ 10 m = 126 { (40 + 10)| {z }
50
m = 76
Válasz: 76-an maradtak a táborban.
b) Adatok: v = 126, j = 40, n = 10, m = ?
Terv: m = v { (j { n) vagy m = v { j + n
Számolás: m = 126 { (40 { 10)| {z }
30
m = 126 { 40| {z }
86
+10 m = 96
Válasz: 96-an maradtak a táborban.
c) Adatok: v = 126, k = 40, m = ?
Felesleges adat: sz = 10
Terv: m = v { k
Számolás: m = 126 { 40 m = 86
Válasz: 86-an maradtak a táborban.
Tk. 49/3. feladat: összeadást és kivonást tartalmazó összetett számfeladatok. A záróje-
lek felbontására gy¶jthetnek tapasztalatot a tanulók.
Megoldás: a) 80 + (30 + 7)| {z }
37
= 117 80 + 30| {z }
110
+7 = 117
b) 90 { (40 + 2)| {z }
42
= 48 90 + 40| {z }
50
{ 2 = 48
c) 150 { (100 + 20)| {z }
80
= 70 150 { 100| {z }
50
{ 20 = 70
80 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
d) 76 + (50 + 3)| {z }
53
= 129 76 + 50| {z }
126
+3 = 129
e) 156 { (30 + 4)| {z }
34
= 122 156 { 30| {z }
126
{ 4 = 122
f) 125 { (120 { 5)| {z }
115
= 10 125 { 120| {z }
5
+5 = 10
Tk. 50/3. kidolgozott mintapélda: összeadással, kivonással, szorzással, illetve osztás-
sal leírható összetett szöveges feladatok megoldása során mutatjuk be a zárójelek sze-
repét, a zárójelfelbontást, a feladat megoldási menetét.
Tk. 50/4. kidolgozott mintapélda: összeadással, kivonással, szorzással, illetve osztás-
sal leírható összetett szöveges feladatok megoldása során mutatjuk be a zárójelek sze-
repét, a zárójelfelbontást, a feladat megoldási menetét.
Tk. 50/4. feladat: összetett számfeladatok a m¶veleti sorrendr®l és a zárójelek haszná-
latáról tanultak gyakorlására. Figyeltessük meg, mikor változtat az eredményen a zárójel,
és mikor nem.
Megoldás: a) (20 + 8) � 7 = 20 � 7 + 8 � 7 = 196
b) (140 + 7) : 7 = 140 : 7 + 7 : 7 = 21
c) 6 � (30 + 2) = 6 � 30 + 6 � 2 = 192
d) (20 + 3) � 8 = 20 � 8 + 3 � 8 = 184
e) (160 + 8) : 8 = 160 : 8 + 8 � 8 = 21
f) 80 : (10 { 2) = 10 Nem bontható fel a zárójel
g) (50 { 7) � 3 = 50 � 3 { 7 � 3 = 129
h) (60 { 6) : 9 = 54 : 9 = 6
i) 48 : (2 + 4) = 8 Nem bontható fel a zárójel
j) (30 { 4) � 4 = 30 � 4 { 4 � 4 = 104
k) (200 { 8) : 4 = 200 : 4 { 8 : 4 = 48
l) 7 � (27 { 14) = 7 � 27 + 7 � 14 = 91
Tk. 51/5. feladat: A szöveges feladatok megoldásakor tapasztalatot szerezhetnek a ta-
nulók, hogyan kell összeget, illetve különbséget kivonni, illetve hogyan hagyható el a
zárójel, ha el®tte kivonásjel van.
Megoldás: a) Adatok: j = 16 � 8 dm, b = 16 � 2 dm, ö = ?
Terv: ö = j + b
Számolás: ö = 16 � 8| {z }
128
+16 � 2| {z }
32
vagy ö = 16 � (8 + 2)| {z }
10
ö = 160 dm
Válasz: 160 dm-re lesznek egymástól.
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
81
b) Adatok: 160 mT1 T2
1 perc 2 m 1 perc 8 mTerv:
Számolás: x = 160 : (2 + 8)| {z }
10
x = 16 perc
Válasz: 16 perc múlva találkoznak.
c) Adatok:
M
1 lépés 8 dm
B
1 lépés 2 dm
1. lépés
M1
B1
| {z }
?
Terv: 1 lépés = 8 { 2 a különbség
16 lépés k = ?
Számolás: k = 16 � 8| {z }
128
{ 16 � 2| {z }
32
vagy k = 16 � (8 { 2)| {z }
6
k = 96 dm
Válasz: 96 dm-re lesznek egymástól.
d) Adatok: 160 mP
1 perc 20 m
Terv: t = 160 m, m = 8 � 20 m, h = ?
Számolás: h = t { m
Ellen®rzés: h = 160 { 8 � 20| {z }
160
h = 0 m
Válasz: 0 m távolságra lesz a vízt®l.
e) Adatok: 160 mR
| {z }
80 m{t úszik
| {z }
?1 sz. cs. 2 m
t = 160 m, m = 80 m, 1 sz 2 m, ? sz
Terv: sz = (t { m) : 2
Számolás: sz = (160 { 80)| {z }
80
: 2 vagy sz = 160 : 2| {z }
80
{ 80 : 2| {z }
40
sz = 40
Válasz: 40 szárnycsapással ér oda.
f) Adatok: R
| {z }
16 m
| {z }
80 m
1 u 2 m
82 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
Terv: 1 ugrás 2 m
? ugrás 16 m + 80 m
Számolás: x = (16 + 80)| {z }
92
: 2 vagy x = 16 : 2| {z }
8
+80 : 2| {z }
40
x = 48
Válasz: 48 ugrással teszi meg a távolságot.
g) Adatok:
S
1 perc 20 m
T
1 perc 16 m
| {z }
80 m
1. perc után
S T
| {z }
?
Terv: A kérdés az, hogy 1 perc alatt hány métert hoz be
Süni a hátrányából
1 perc alatt 20 { 16 m-t
u perc alatt 80 m
Számolás: u = 80 : (20 { 16)| {z }
4
u = 20 perc
Válasz: 20 perc múlva éri utol.
Gy. 47/1. feladat: Figyeltessük meg, hogy ha a nyitó zárójel el®tt összeadásjel vagy
szorzásjel van, akkor a zárójelezés nem változtatja meg az eredményt.
Megoldás: a) 160
1.
: 4
2.
� 2 = 8 0 b) 97
1.
{ 54
2.
+ 8 = 7 1
160
2.
: (4
1.
� 2) = 2 0 97
1.
{ (54
1.
+ 28) = 1 5
(160
1.
: 4)
2.
� 2 = 8 0 (97
1.
{ 54)
2.
+ 28 = 7 1
Gy. 47/2. feladat: Figyeltessük meg, hogy ha a nyitó zárójel el®tt összeadásjel vagy
szorzásjel van, akkor a zárójelezés nem változtatja meg az eredményt.
Megoldás: a) 60
2.
+ 20
1.
� 2 = 1 0 0 b) 100
2.
{ 20
1.
: 5 = 9 6
(60
1.
+ 20)
2.
� 2 = 1 6 0 (100
1.
{ 20)
2.
: 5 = 1 6
60
1.
� 2
2.
+ 20 = 1 4 0 100
1.
: 5
2.
{ 20 = 0
60
1.
� 2
2.
+ 20
3.
� 2 = 1 6 0 100
1.
: 5
3.
{ 20
2.
: 5 = 1 6
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
83
Gy. 47/3. feladat: Figyeltessük meg, hogy ha a nyitó zárójel el®tt összeadásjel vagy
szorzásjel van, akkor a zárójelezés nem változtatja meg az eredményt.
Megoldás: a) 140 felének és 56-nak az összege; a = 140 : 2 + 56 a = 126
b) 140-nek és 56 felének a különbsége; b = 140 { 56 : 2 b = 112
c) 140 és 56 összegének a fele; c = (140 + 56) : 2 c = 98
d) 140 és 56 különbségének a fele; d = (140 { 56) : 2 d = 42
e) 140-nek és 56 kétszeresének a különbsége;
e = 140 { 56 � 2 e = 28
f) 140 és 56 különbségének a kétszerese? f = (140 { 56) � 2 f = 168
Gy. 47/4. feladat: Szabálykövetés. Figyeltessük meg, hogy ugyanazon számok esetén
más eredményre juthatunk, ha más a m¶veleti sorrend és a m¶veleti jel.
Megoldás:
a) 80� 2
1 6 0+ 20
1 8 0: 3
6 0{ 10
5 0
b) 80+ 20
1 0 0� 2
2 0 0: 10
2 0{ 3
1 7
c) 80{ 20
6 0� 3
1 8 0+ 10
1 9 0: 2
9 5
Gy. 48/5. feladat: Szabálykövetés. Figyeltessük meg, hogy ugyanazon számok esetén
más eredményre juthatunk, ha más a m¶veleti sorrend és a m¶veleti jel.
Megoldás: A B C D
1
2
3
4
A1 : 102 C1 : 124
A2 : 44 C2 : 20
A3 : 125 C3 : 7
A4 : 80 C4 : 104
B1 : 34 D1 : 60
B2 : 43 D2 : 55
B3 : 40 D3 : 15
B4 : 200 D4 : 70
84 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
Mer®legesség, párhuzamosság
Kompetenciák, fejlesztési feladatok:
rész-egész észlelése, térbeli viszonyok meg�gyelése, térlátás, induktív következtetések,
problémaérzékenység, problémamegoldás, emlékezet fejlesztése, feladattartás, �gye-
lem, kreativitás, kezdeményez®képesség, meg�gyel®képesség, összefüggéslátás, pon-
tosság, csoportos, páros, egyéni munkavégzések.
Óra: 33{34. 36{37. 43{44.
Sok és sokféle tevékenységre alapozva alakítsuk ki a metsz®, mer®legesen metsz®, pár-
huzamos és kitér® egyenespárok szemléletes fogalmát. Kerestessünk különböz® síkido-
mokon párhuzamos, metsz®, mer®legesen metsz® oldalpárokat. Ezeknek a vizsgálatok-
nak a során adjunk a tanulók kezébe síkidom-, illetve testmodelleket.
Kezdetben típushiba, hogy a tanulók összetévesztik a �mer®leges" és a �párhuzamos",
illetve a �mer®leges" és a �metsz®" fogalmakat, elnevezéseket. E fogalmak sokféle alkal-
mazásával és az elnevezések következetes használatával kiküszöbölhetjük ezt a hibát.
A fogalmak meger®sítése céljából a következ® fejezet feldolgozása során újra és újra
vizsgáljuk a különböz® síkidomok oldalainak, illetve a testek éleinek kölcsönös helyze-
tét.
A számolási rutin és a szövegértelmez® képesség fejlesztése érdekében folyamatosan
ismételjük és gyakoroltassuk a m¶veletekr®l, a m¶veletek sorrendjér®l eddig tanultakat.
3. osztályban a geometriát feldolgozó órákon is legalább 5-6 percet számoljanak a gyer-
mekek. Otthoni munkára is folyamatosan adjunk fel e témakörb®l feladatokat.
Tk. 52-53/Meg�gyelések: A �metsz®", illetve a �mer®legesen metsz®" egyenespár fo-
galmának kialakítása. A mer®leges egyenespárok kiválasztása, illetve el®állítása papír-
hajtogatással, rajzzal.
Fontos, hogy a mer®leges egyenespárokat �ferde" helyzetben is felismerjék és létre tud-
ják hozni a tanulók.
Tk. 53/1. feladat: A mer®leges egyenespárok kiválasztása, illetve el®állítása papírhajto-
gatással. A tanteremben található tárgyakon mer®leges egyenespárok keresése.
Megoldás: Tábla, asztal, pad, könyv, stb. vizsgálata, mer®leges egyenespárok keresé-
se.
Tk. 53/2. feladat: A mer®leges egyenespárok kiválasztása, illetve el®állítása pálcikákkal.
�Metsz®", a �mer®legesen metsz®", �mer®legesen nem metsz®" egyenespárok el®állítása
tevékenységgel.
Megoldás: a) b) c)
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
85
Tk. 53/3. feladat: A mer®leges egyenespárok rajzolásának gyakorlása papírhajtogatás-
sal készített eszköz segítségével.
Megoldás: Fontos, hogy a mer®leges egyenespárokat �ferde" helyzetben is felismerjék
és létre tudják hozni a tanulók.
Tk. 53/4. feladat: A �párhuzamos" egyenespár fogalmának kialakítása. Figyeltessük
meg, hogy a párhuzamos egyenesek között mindig ugyanakkora a távolság. Ez a tá-
volság 0 is lehet, ezért az egyenest önmagával párhuzamosnak tekintjük. Fontos, hogy
a párhuzamos egyenesekkel is sokféle helyzetben találkozzanak a tanulók.
Megoldás: 2 cm-re távolságra van a két sínpár egymástól.
Gy. 49/1. feladat: Mer®leges és párhuzamos egyenespárok keresése az adott bet¶kön.
Megoldás:
.
.
.
.
. . . .
.
. .
Gy. 49/2. feladat: A �párhuzamos" egyenespár fogalmának kialakítása. A párhuzamos
egyenespárok kiválasztása, illetve el®állítása papírhajtogatással, színezéssel, rajzzal.
Megoldás: a) Igen b) Igen c) Nem d) Nem e) igen
Két sínpár közötti talpfák hossza egyenl®.
Gy. 49/3. feladat: A �párhuzamos" egyenespár fogalmának kialakítása. A párhuzamos
egyenespárok kiválasztása, illetve el®állítása papírhajtogatással, színezéssel, rajzzal.
Megoldás:
86 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
Gy. 50/4. feladat: Mer®leges és párhuzamos egyenespárok keresése az adott síkido-
mokon.
Megoldás:
1.
.
.
2..
.
.3.
.
.
4..
.
.
.
5.
.
. 6.
. .
.
7.
Van párhuzamos oldalpárja. 1.; 2.; 3.; 4.; 5.; 6.; 7.
Van mer®leges oldalpárja. 1.; 2.; 3.; 4.; 5.; 6.
Van mer®leges oldalpárja és párhuzamos oldalpárja is. 1.; 2.; 3.; 4.; 5.; 6.
A fenti vizsgálatokon túl tükör segítségével kerestessük meg az egyes sokszögek tükör-
tengelyeit is. Ismertessük fel, hogy a 4. téglalap átlója nem tükörtengely, illetve, hogy a
7. paralelogrammának nincs tükörtengelye.
Gy. 50/5. feladat: Mer®leges és párhuzamos egyenespárok keresése az adott síkido-
mokon.
Megoldás:
a) . .
. .
.
.
.
.
. .
..
.
.
.
.
b) c). .
. .
. .
..
. .
. .
. .
. .
. .
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
87
Téglatest, kocka, téglalap, négyzet
Kompetenciák, fejlesztési feladatok:
rész-egész észlelése, térbeli viszonyok meg�gyelése, térlátás, induktív következtetések,
problémaérzékenység, problémamegoldás, emlékezet fejlesztése, feladattartás, �gye-
lem, kreativitás, kezdeményez®képesség, meg�gyel®képesség, összefüggéslátás, pon-
tosság, csoportos, páros, egyéni munkavégzések.
Óra: 35{36. 38{39. 45{46.
Ismételjük át és egészítsük ki a térgeometriai ismeretek közül a testekr®l, a téglatestr®l
és a kockáról tanultakat. A különböz® testek, köztük a téglatest és speciálisan a kocka
lapjainak vizsgálatával el®készítjük a testháló fogalmának kialakítását. Figyeltessük meg,
hogy a kocka speciális téglatest.
Elevenítsük fel, majd b®vítsük ki a síkgeometriai ismeretek közül a síkidom, a négy-
szög fogalmát, a téglalap és a négyzet fogalmát. Vizsgáltassuk meg a síkidomok tulaj-
donságait, ismertessük fel a téglalap és speciálisan a négyzet tengelyes szimmetriáját.
Rajzoltassuk meg a tükörtengelyeiket. Ismételten tudatosítsuk, hogy a négyzet speciális
téglalap.
Figyeljünk arra, hogy a tanulók helyesen használják az elnevezéseket. (Tanítsuk meg
az egyenes és a szakasz fogalma közti különbséget. A téglalapnak oldalai és csúcsai
vannak, a téglatestnek élei, lapjai és csúcsai.)
A hasábok, f®leg a téglatest, kocka tulajdonságait vizsgálva kerestessünk párhuzamos,
metsz®, mer®legesen metsz® és kitér® éleket; párhuzamos, metsz®, mer®leges lapokat.
Tk. 54/1. feladat: Összefoglaljuk a testekr®l, a téglatestr®l, speciálisan a kockáról tanul-
takat. Vizsgáljuk ezeknek a testeknek a lapjait. Adjunk a gyermekek kezébe különböz®
testmodelleket.
A téglalapot, speciálisan a négyzetet mint a téglatest lapjait értelmezzük.
Értelmezzük az �egyenes" és a �szakasz", valamint az �él", a �lap" és a � csúcs" fogalmát.
Megoldás: a) 1., 4., 5., 7., 8., 9. b) 2., 3., 6., 10.
c) 4., 5., 7., 8. d) 8.
Tk. 54/2. feladat: A téglalapot, speciálisan a négyzetet mint a téglatest lapjait értelmez-
zük.
Megoldás: a) 4., 5., 7., 8. b) 8.
Tk. 54/Figyeld meg!: Összefoglaljuk a testekr®l, a téglatestr®l, speciálisan a kockáról
tanultakat. Vizsgáljuk ezeknek a testeknek a lapjait.
Tk. 55/Elnevezések!: Értelmezzük az �egyenes" és a �szakasz", valamint az �él", a �lap"
és a �csúcs" fogalmát.
Tk. 55/1. kidolgozott mintapélda: Megvizsgáljuk a téglalapok oldalait. Keresünk mer®-
leges, illetve párhuzamos oldalpárokat, és ezek tulajdonságait összefoglaljuk.
88 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
Tk. 55/3. feladat: A metsz®, a kitér®, a mer®leges, a párhuzamos egyenesekr®l, illet-
ve a tengelyes tükrösségr®l tanultakat sokoldalúan alkalmazzuk téglalapok (négyzetek)
el®állításában hajtogatással, rajzzal, illetve a téglalap (négyzet) vizsgálatában.
Megoldás: A szomszédos oldalak mer®legesek egymásra.
A szemben lév® oldalak párhuzamosak egymással.
Tk. 56/4. feladat: A metsz®, a kitér®, a mer®leges, a párhuzamos egyenesekr®l, illetve a
tengelyes tükrösségr®l tanultakat sokoldalúan alkalmazzuk a téglatest (kocka) tulajdon-
ságainak vizsgálatában. Adjunk téglatesteket a tanulók kezébe, és konkrét cselekedte-
téssel �gyeljük meg a téglatest éleinek tulajdonságát.
Megoldás: a) Például:
b) Például:
c) Például:
Tk. 56/5. feladat: Fontos a térfogat fogalmának el®készítése, illetve a képi gondolkodás
rugalmasságának fejlesztése szempontjából, hogy a feladat második kérdésére minél
több megoldást kerestessünk.
Megoldás: 12 egységkockából 4 különböz® téglatest építhet®, amelyeknek az éle:
1, 1, 12 egység;
1, 2, 6 egység;
1, 3, 4 egység;
2, 2, 3 egység.
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
89
Tk. 56/6. feladat: Vizsgáljuk ezeknek a testeknek a lapjait, éleit, csúcsait. Adjunk a ta-
nulók kezébe ilyen testeket, s ezek meg�gyelése után válaszoljanak a kérdésekre.
Megoldás: l = 5 l = 5 l = 6 l = 6 l = 6
é = 8 é = 9 é = 12 é = 12 é = 12
cs = 5 cs = 6 cs = 8 cs = 8 cs = 8
Tk. 56/7. feladat: A �négyszög", a �téglalap" és a �négyzet" fogalmak közti kapcsolat
tudatosítása.
Megoldás: a) 1., 5., 6., 8., 11., 12.
b) 1., 8., 11.
c) 8., 11.
Tk. 57/8. feladat: A metsz®,q a kitér®, a mer®leges, a párhuzamos egyenesekr®l, illet-
ve a tengelyes tükrösségr®l tanultakat sokoldalúan alkalmazzuk téglalapok (négyzetek)
el®állításában hajtogatással, illetve a téglalap (négyzet) tulajdonságainak vizsgálatában.
Megoldás: a) A szemben lév® oldalak egymással párhuzamosak.
b) A szomszédos oldalak egymásra mer®legesek.
Tk. 57/9. feladat: A metsz®, a kitér®, a mer®leges, a párhuzamos egyenesekr®l, illetve
a tengelyes tükrösségr®l tanultakat sokoldalúan alkalmazzuk téglalapok el®állításában
hajtogatással, illetve a téglalap tulajdonságainak vizsgálatában.
Megoldás: a) A hajtásélek és az oldalak párhuzamosak egymással.
b)
Tükörtengely. Tükörtengely.
Tk. 57/10. feladat: A metsz®, a kitér®, a mer®leges, a párhuzamos egyenesekr®l, illetve
a tengelyes tükrösségr®l tanultakat sokoldalúan alkalmazzuk téglalapok el®állításában
hajtogatással, illetve a téglalap tulajdonságainak vizsgálatában.
Megoldás: a) A téglalapnál a hajtásélek metsz®k, de nem mer®legesek,
a speciális téglalapnál (négyzetnél) a hajtásélek mer®lege-
sek egymásra.
b)
Nem tükörtengely. Tükörtengely.
90 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
Gy. 51/1. feladat: Vizsgáljuk meg a téglatest lapjait, éleit, csúcsait!
Megoldás: Lapok száma: 6
Csúcsok száma: 8
Élek száma: 12
Gy. 51/2. feladat: A fogalomalkotás szempontjából nélkülözhetetlen, hogy a tanulók (kis-
csoportos munkában) ténylegesen építsenek minél több testet.
Megoldás:
6 2 0 0 1
0 4 2 3 0
0 0 2 0 0
0 0 2 0 0
0 0 0 2 4
Lapok száma 6 6 6 5 5
Csúcsok száma 8 8 8 6 5
Élek számal 12 12 12 9 8
Gy. 52/3. feladat: A metsz®, a kitér®, a mer®leges, a párhuzamos egyenesekr®l, illetve
a tengelyes tükrösségr®l tanultakat sokoldalúan alkalmazzuk téglalapok el®állításában
hajtogatással, illetve a téglalap tulajdonságainak vizsgálatában.
Megoldás: a) 2., 3., 4., 5., 6.
b) 2., 4.
c) 1., 2., 4., 5., 6.
Gy. 52/4. feladat: A metsz®, a kitér®, a mer®leges, a párhuzamos egyenesekr®l, illetve
a tengelyes tükrösségr®l tanultakat sokoldalúan alkalmazzuk téglalapok el®állításában
hajtogatással, illetve a téglalap tulajdonságainak vizsgálatában.
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
91
Megoldás:
a) b) c)
Gy. 52/5. feladat: A metsz®, a kitér®, a mer®leges, a párhuzamos egyenesekr®l, illetve
a tengelyes tükrösségr®l tanultakat sokoldalúan alkalmazzuk téglalapok el®állításában
hajtogatással, illetve a téglalap tulajdonságainak vizsgálatában.
Megoldás:
30 mm
25 mm
30 mm
15 mm
14 mm
22 mm
Óra: 37. 40. 47{48.
1. felmérés
A Felmér® feladatsorok cím¶ kiadvány feladatsora.
A számok 2000-ig
Kompetenciák, fejlesztési feladatok:
gazdasági nevelés, számlálás, számolás, rendszerezés, relációszókincs fejlesztése, szö-
vegértés, szövegértelmezés, szövegesfeladat-megoldás, rész-egész észlelése, induk-
tív következtetések, problémaérzékenység, problémamegoldás, emlékezet fejlesztése,
�gyelem, kezdeményez®képesség, metakogníció, meg�gyel®képesség, összefüggéslá-
tás, pontosság, kooperatív és önálló munkavégzés.
92 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
Óra: 38{39. 41{44. 49{52.
A b®vítés logikai csomópontjai:
1 A szemléletre támaszkodva meg�gyeltetjük a számok képzését, elnevezését, írását
200-tól 2000-ig.
2 Tudatosítjuk a tízes számrendszerben a helyiértékes írásmódot, az alakiérték, helyi-
érték, tényleges érték fogalmát. Begyakoroltatjuk a számok helyiérték szerinti bon-
tását többféleképpen. Kiterjesztjük a �kisebb", �nagyobb", �nem kisebb", �nem na-
gyobb", �ugyanannyi" relációk értelmezését az új számkörre.
3 Kiterjesztjük a páros, páratlan szám, a kerek tízes, kerek százas, illetve a háromje-
gy¶ szám fogalmát az új számkörre. Kialakítjuk a négyjegy¶ szám fogalmát.
4 Kiterjesztjük a m¶veletek fogalmát és a tanult számolási eljárásokat az új szám-
körre. Ezzel összetett didaktikai feladatot oldunk meg: Továbbfejlesztjük a szóbeli
számolási rutint. Elmélyítjük a számfogalmat, ugyanis a kerek százasokkal, tízesek-
kel végzett m¶veletekkel mintegy �bejárjuk" az új számkört. Végül el®készítjük az
írásbeli m¶veletek tanítását.
5 Kiterjesztjük az új számkörre a római számírásról tanultakat.
6 Ábrázoljuk a számokat az egyesével, tízesével, százasával beosztott számvonalon.
7 Megbeszéljük a tízes szomszéd, a százas szomszéd és az ezres szomszéd, a pon-
tos érték, közelít® érték fogalmát, a kerekítés (százasra és tízesre) szabályait, al-
kalmazását közelít® számításokban.
8 A számfogalomról tanultakat alkalmazzuk játékos kombinatorikai és logikai feladatok
megoldásában.
9 A számkörb®vítésr®l tanultakat alkalmazzuk a mértékegységekr®l tanultak általáno-
sítására, kib®vítésére.
Mi indokolja ezt a megszokottnál b®vebb számkört?
A tapasztalatok szerint 3. osztályban ez nem okoz gondot a tanulóknak. Egyrészt
a 200-as számkörben végzett munka jól el®készítette ezt a b®vítést, másrészt a
mindennapi életben naponta találkoznak ekkora, illetve ennél nagyobb számokkal a
gyermekek.
Tudatosabbá válhat a tízes számrendszer és a helyiértékes írásmód fogalma, kia-
lakíthatjuk a négyjegy¶ szám fogalmát. A 2000-es számkör alapos megismerése
jobban el®készíti a 4. osztályban esedékes további számkörb®vítéseket. (4. osz-
tályban a program szerint el®ször a 20 000-es számkörben dolgozunk, majd ha
lehet®ségünk van rá, akkor 100 000-ig b®vítjük a számkört.)
A 200-as számkörben megtanult számolási eljárások analógiájára számolhatunk ke-
rek százasokkal, illetve kerek tízesekkel.
Az 1000-es számkör túlságosan sz¶k az írásbeli m¶veletek tanítására, ebben a
számkörben nagyobb lesz a �mozgásterünk" m¶veletek végrehajtásakor.
Tk. 58/Figyeld meg!: Nemcsak b®vítjük, hanem tudatosabb szintre is emeljük a koráb-
ban tanultakat. A 2000-nél nem nagyobb számok értelmezése sokféle szemléltetéssel. A
200-nál nem nagyobb számok értelmezésér®l, a helyiérték szerinti bontásról tanultakat
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
93
kell összefoglalnunk és kiterjesztenünk a 2000-es számkörre, miközben tudatosítjuk az
1000, illetve a �négyjegy¶ szám" fogalmát.
Tk. 59/1. kidolgozott mintapélda: Rakassuk ki a számokat játék pénzzel. Olvastassuk
le, hasonlíttassuk össze a kirakott számokat. Figyeltessük meg egy szám többféle alak-
ját (játék pénzzel kirakva, számjegyekkel leírva, szavakkal kifejezve, helyiérték szerinti
összegre bontva stb.).
A játék pénzzel vagy másféleképpen szemléltetett számok leírása többféle alakban a biz-
tos számfogalom alakítását segíti. Ha nehezen megy a számok írása, olvasása, össze-
hasonlítása, többször adjunk hasonló feladatot.
Tk. 59/2. kidolgozott mintapélda: Számok bontása helyiérték szerint, illetve bontott
alakban felírt számok írása számjegyekkel.
Az alaki-, helyi- és a tényleges érték fogalmát készítjük el®.
Tk. 59/1. feladat: Játék pénz segítségével analóg számítások a 2000-es számkörben.
A különböz® helyiértékek közti kapcsolatokat tudatosítjuk.
Meg�gyeltethetjük a mér®szám és a mértékegység közötti összefüggések analógiáját
is: Ugyanazt a mennyiséget kisebb egységgel mérjük, nagyobb mér®számot kapunk.
Ugyanazzal az egységgel nagyobb mennyiséget mérünk, nagyobb mér®számot kapunk.
A fordított, illetve az egyenes arányosság el®készítésére is alkalmas a feladat.
Megoldás: a) 40 400 200 2000
b) 70 700 140 1400
Tk. 60/2. feladat: Rakassuk ki a számokat játék pénzzel. Olvastassuk le, hasonlíttassuk
össze a kirakott számokat. Figyeltessük meg egy szám többféle alakját (játék pénzzel
kirakva, számjegyekkel leírva, szavakkal kifejezve, helyiérték szerinti összegre bontva
stb.).
Megoldás: a) 1145 = 1 E + 1 sz + 4 t + 5 e = 1000 + 100 + 40 + 5 =
= 1 � 1000 + 1 � 100 + 4 � 10 + 5 � 1 =
= ezerszáznegyvenöt
b) 1230 = 1 E + 2 sz + 3 t + 0 e = 1000 + 200 + 30 =
= 1 � 1000 + 2 � 100 + 3 � 10 + 0 � 1 =
= ezerkétszázharminc
c) 1071 = 1 E + 0 sz + 7 t + 1 e = 1000 + 70 + 1 =
= 1 � 1000 + 0 � 100 + 7 � 10 + 1 � 1 =
= ezerhetvenegy
d) 1009 = 1 E + 0 sz + 0 t + 9 e = 1000 + 9 =
= 1 � 1000 + 0 � 100 + 0 � 10 + 9 � 1 =
= ezerkilenc
94 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
Tk. 60/3. feladat: A pöttyökkel szemléltetett számok leírása a biztos számfogalom ala-
kítását segíti. Beszéljük meg a áros, páratlan szám fogalmát.
Megoldás: a) 1463 páratlan b) 1634 páros
Tk. 60/4. feladat: Játék pénz segítségével, az alaki-, helyi- és a tényleges érték fogal-
mának alkalmazásával �gyeltetjük meg a számok közötti nagyságviszonyokat.
Megoldás: 1400 > 1004 1013 < 1103 1024 < 1200
Tk. 60/5. feladat: Tasziló összegy¶jtötte azokat a típushibákat, melyeket a tanulók gyak-
ran elkövetnek. Ezek megbeszélése, kijavítása szilárdítja a számfogalmat.
Megoldás: 1602 6 � 10 helyett 6 � 100,
ezerhatszázhúsz helyett ezerhatszázkett®
1026 1000 + 200 + 6 helyett 1000 + 20 + 6
1260 1 E + 2 sz + 6 e helyett 1 E + 2 sz + 6 t
1 � 100+2 � 10+6 � 1 helyett 1 � 1000+2 � 100+6 � 10
Tk. 61/Elnevezések: Az eddigi tapasztalatokra építve bevezetjük az alakiérték, helyiér-
ték és tényleges érték fogalmát. A kés®bbiekben rendszeresen térjünk vissza a témára
a pontos fogalom kialakítása érdekében.
Tk. 61/3. kidolgozott mintapélda: Az alakiérték, helyiérték és tényleges érték fogalmát
szilárdítjuk meg.
Tk. 61/6. feladat: Az alakiértékr®l, helyiértékr®l és tényleges értékr®l tanultak elmélyíté-
sét segít® feladatok.
Megoldás: a) 605 1053 508 1605 1503
5 50 500 5 500
b) 1609 870 1000 1050 301
9 8 1 5 3
egyes százas ezres tízes százas
c) 1090 761 309 1800 253
ezres százas százas ezres százas
1 7 3 1 2
Tk. 62/7. feladat: A pénzhasználatot gyakoroltató feladat. Hasonló feladatokat páros, il-
letve csoportos munkában is játszathatunk a tanulókkal a biztos számfogalom kialakítása
érdekében.
Megoldás: Ben®: 2000 Ft, Jen®: 1500 Ft, Dezs®: 950 Ft
a) Ben® veheti meg a kis hajót.
b) Labdát, repül®t veheti meg Dezs®.
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
95
c) Ben®: labda és autó,
labda és repül®
autó és repül®
Jen®: autó és repül®
labda és repül®
Dezs®: Nem tud két játékot megvenni.
d) Ben®: labda,
autó,
hajó,
repül®,
labda és autó,
labda és repül®,
autó és repül®.
Jen®: labda,
autó,
repül®,
labda és repül®,
autó és repül®.
Dezs®: labda,
autó,
repül®.
Tk. 62/8. feladat: A feladatoknak több megoldásuk van. Ezek felkutatása fejleszti a tanu-
lók logikus gondolkodását és problémaérzékenységét, megszilárdítja a számfogalmukat.
Megoldás:
456 > a 56 a: 1; 2; 3. 2 b 8 < 258 b: 0; 1; 2; 3; 4.
596 < 6 c 6 c: 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9. 66 d < d 66 d: 7; 8; 9.
e 54 < 5 e 4 e: 1; 2; 3; 4. 4 f 3 > 493 Nincs megoldás.
Tk. 62/9. feladat: Az alakiérték, helyiérték és tényleges érték fogalmának elmélyítését
segít® komoly kombinatorikai feladatok. A feltételeknek eleget tev® összes megoldás
megkeresését nem várjuk el minden tanulótól.
Az alakiérték, helyiérték és tényleges érték fogalmának elmélyítését segít® komoly kom-
binatorikai feladatok. A feltételeknek eleget tev® összes megoldás megkeresését nem
várjuk el minden tanulótól.
a) Figyeltessük meg, hogy egy szám akkor kisebb 300-nál, ha a százasok helyén álló
számjegy kisebb 3-nál! A százasok helyén 0 nem állhat, mert 0-val nem kezd®dik
természetes szám. Tehát a százas helyiértéken lev® számjegy alakiértéke 1 vagy 2
lehet.
Általánosan: Összesen 6 helyre kell elosztani a 6 különböz® számkártyát.
1: 2: 3:| {z }
1: szám
j 4: 5: 6:| {z }
2: szám
hely, : : :| {z }
1: szám
j : : :| {z }
2: szám
96 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
Az els® helyre kétféleképpen választhatok, vagy 1-est, vagy 2-est. A negyedik helyre
már csak 1-féleképpen. 2 : :| {z }
1: szám
j 1 : :| {z }
2: szám
A második helyre a maradék 4 kártyából akármelyiket elhelyezhetem. Ez 4-féle
választási lehet®ség. A harmadik helyre a maradék 3 kártyából stb. választhatok.
2 � 4 � 3| {z }
1: szám
� 1 � 2 � 1| {z }
2: szám
= 48 eset.
Az 1. és a 2. szám sorrendje nem számít, így az összes eset száma 48 : 2 = 24.
103, 245; 103, 254; 104, 235; 104, 253; 105, 234;
105, 243; 130, 245; 130, 254; 134, 205; 134, 250;
135, 204; 135, 240; 140, 235; 140, 253; 143, 205;
143, 250; 145, 203; 145, 230; 150, 234; 150, 243;
153, 204; 153, 240; 154, 203; 154, 230.
b) Figyeltessük meg, hogy egy számmikor nagyobb 300-nál! A százas helyiértéken álló
számjegy alakiértéke 3, 4 vagy 5 lehet. Ha a százasok helyén 3 áll, a tízesek és az
egyesek helyén egyszerre nem állhat 0, de erre az esetre most nem kell �gyelnünk.
Az els® szám százas helyiértékén 3-féleképpen, a második szám százas helyiér-
tékén 2-féleképpen; az els® számban a tízesek helyére 4-, az egyesek helyére 3-;
illetve a második számban a tízesek helyére 2-, az egyesek helyére 1-féleképpen
választhatok számjegyet. 3 � 4 � 3| {z }
1: szám
� 2 � 2 � 1| {z }
2: szám
= 144 eset.
Az 1. és a 2. szám sorrendje nem számít, így az összes eset száma 144 : 2 = 72.
Meg�gyeltethetjük, hogyan változik a megoldáshalmaz, ha mind a két szám na-
gyobb 400-nál! A százas helyiértéken álló számjegy alakiértéke 4 vagy 5 lehet.
2 � 4 � 3| {z }
1: szám
� 1 � 2 � 1| {z }
2: szám
= 48 eset.
Az 1. és a 2. szám sorrendje nem számít, így az összes eset száma 48 : 2 = 24.
401, 523; 410, 523; 420, 513; 430, 512;
401, 532; 410, 532; 420, 531; 430, 521;
402, 513; 412, 503; 421, 503; 431, 502;
402, 531; 412, 530; 421, 530; 431, 520;
403, 512; 413, 502; 423, 501; 432, 501;
403, 521; 413, 520; 423, 510; 432, 510.
c) Figyeltessük meg, hogy egy szám mikor páros! Ha az egyes helyiértéken lev® szám-
jegy páros. Alakiértéke 0, 2 vagy 4 lehet.
Általánosan: Bontsuk 3 részre a feladatot.
1. rész: Számoljuk össze azokat az eseteket, amikor a 0 az els® számban az egye-
sek helyén áll. : : 0| {z }
1: szám
j : : :| {z }
2: szám
A második számban az egyesek helyére 2-féleképpen választhatok, vagy 2-est,
vagy 4-est. Így elhasználtam már két számkártyát. Maradt 4. Az els® számban a
százasok helyére 4-féleképpen, a tízesekére 3-féleképpen, a második számban a
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
97
százasok helyére 2-féleképpen, a tízesekére 1-féleképpen választhatok számkár-
tyát. 4 � 3 � :| {z }
1: szám
� 2 � 1 � 2| {z }
2: szám
= 48 eset lehetséges.
2. rész: Ugyanennyi esetet kapok, ha a 0-t a második számba teszem az egyes
helyiértékre.
3. rész: A 0-t nem teszem az egyes helyiértékre.
Az els® számban az egyesek helyére 2-féleképpen választhatok. A második szám-
ban az egyesek helyére már csak 1-féleképpen.
A százas helyiértékre nem kerülhet 0, így az els® számban a százas helyiértékre 3-,
a második számban 2-féleképpen, a tízesekére 2-, illetve 1-féleképpen választhatok
számkártyát. 3 � 2 � 2| {z }
1: szám
� 2 � 1 � 1| {z }
2: szám
= 24 eset.
Az 1. és a 2. szám sorrendje nem számít, így az összes eset száma:
(48 + 48 + 24) : 2 = 60
130, 452; 210, 354; 310, 254; 510, 342; 102, 354;
130, 542; 210, 534; 310, 524; 510, 432; 102, 534;
140, 352; 230, 154; 320, 154; 530, 142; 132, 504;
140, 532; 230, 514; 320, 514; 530, 412; 152, 304;
150, 342; 250, 134; 350, 124; 540, 132; 302, 154;
150, 432; 250, 314; 350, 214; 540, 312; 302, 514;
120, 354; 310, 452; 410, 352; 510, 234; 312, 504;
120, 534; 310, 542; 410, 532; 510, 324; 352, 104;
130, 254; 340, 152; 430, 152; 520, 134; 502, 134;
130, 524; 340, 512; 430, 512; 520, 314; 502, 314;
150, 234; 350, 142; 450, 132; 530, 124; 512, 304;
150, 324; 350, 412; 450, 312; 530, 214; 532, 104.
d) Összesen 70 lehet®ség. Ha az els® szám 103, a második 254, 452, 542, � lehet.
103; 254, 452, 542, 524; 245; 310;
105; 234, 324, 342, 432; 251; 304, 340, 430;
123; 450, 504, 540; 253; 410;
125; 304, 340, 430; 301; 452, 524, 542;
135; 204, 240, 402, 420; 305; 412;
143; 250, 502, 520; 315; 402, 420;
145; 230, 302, 320; 321; 450, 504, 540;
153; 204, 402; 325; 410;
201; 354, 534; 341; 502, 520;
203; 514; 351; 402, 420;
205; 314; 401; 532;
213; 450, 504, 540; 403; 512;
215; 304, 340, 430; 413; 502, 520;
231; 450, 504, 540; 421; 530;
98 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
235; 410; 423; 510;
241; 350, 530; 431; 502, 520.
243; 510;
Tk. 62/10. feladat: A jobb képesség¶ tanulóktól elvárhatjuk az összes megoldás megke-
resését. A megoldások megtalálásában segítséget jelent, ha felírjuk, milyen alakiérték¶
számokat szerepeltethetünk.
Megoldás:
a) 2 = 0 + 2 = 1 + 1 = 0 + 1 + 1. Tehát a számunkban szerepelhet 0 és 2, vagy 0 és 2
darab 1-es, vagy 2 darab 1-es.
A számok: 2, 20, 200, 2000, 11, 101, 110, 1001, 1010, 1100.
b) 3 = 0 + 3 = 1 + 2 = 1 + 2 + 0 = 1 + 1 + 1 = 0 + 1 + 1 + 1
A számok: 3, 30, 300, 12, 21, 102, 120, 201, 210, 1002, 1020, 1200, 111, 1011,
1101, 1110.
c) 4 = 0 + 4 = 1 + 3 = 1 + 3 + 0 = 2 + 2 = 2 + 2 + 0 = 1 + 1 + 2 = 1 + 1 + 2 + 0 = 1 + 1 + 1 + 1
A számok: 4, 40, 400, 13, 31, 103, 130, 301, 310, 1003, 1030, 1300, 22, 202, 220,
112, 121, 211, 1012, 1021, 1102, 1120, 1201, 1210, 1111.
Gy. 53/1. feladat: A játék pénzes szemléltetésre támaszkodva értelmezhetjük a kerek
százasokat 100-tól 1000-ig. Figyeltessük meg, hogyan helyezhet®k el a kerek százasok
a számvonalon.
Megoldás: 800 1000 800
1000 600 900
600 800 1000
700 900 600
500 700 500
900 500 700
300 100 200
100 300 400
400 200 100
200 400 300
Gy. 54/2. feladat: A játék pénzzel vagy másféleképpen szemléltetett számok leírása
többféle alakban a biztos számfogalom alakítását segíti. Ha nehezen megy a számok
írása, olvasása, összehasonlítása, többször adjunk hasonló feladatot.
Megoldás: E sz t e
5 2 3 Ötszázhuszonhárom 523
1 3 4 6 Ezerháromszáznegyvenhat 1346
1 6 4 0 Ezerhatszáznegyven 1640
1 0 5 4 Ezerötvennégy 1054
1 0 0 6 Ezerhat 1006
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
99
Gy. 54/3. feladat: Számok bontása helyiérték szerint, illetve bontott alakban felírt szá-
mok írása számjegyekkel.
Megoldás: E sz t e
568 5 � 100 + 6 � 10 + 8 � 1 5 6 8
1245 1 � 1000 + 2 � 100 + 4 � 10 + 5 � 1 1 2 4 5
1054 1 � 1000 + 0 � 100 + 5 � 10 + 4 � 1 1 0 5 4
1504 1 � 1000 + 5 � 100 + 0 � 10 + 4 � 1 1 5 0 4
1050 1 � 1000 + 0 � 100 + 5 � 10 + 0 � 1 1 0 5 0
1240 1 � 1000 + 2 � 100 + 4 � 10 + 0 � 1 1 2 4 0
Gy. 54/4. feladat: Számok bontása helyiérték szerint, illetve bontott alakban felírt szá-
mok írása számjegyekkel.
Megoldás: a) 564 b) 1520
365 1506
980 1073
Gy. 55/5. feladat: A kerek százasok értelmezése 2000-ig.
Megoldás: a) 1200 900 1500 1700
400 1000 1200 2000
Gy. 55/6. feladat: A 2000-nél nem nagyobb számok értelmezése játék pénzzel történ®
szemléltetéssel.
Megoldás: a) 452 b) 1402 c) 1035 d) 1350
Gy. 55/7. feladat: A 2000-nél nem nagyobb számok értelmezése helyiértékes bontással
történ® szemléltetéssel.
Megoldás: a) 1438 b) 1403 c) 1074 d) 1003
Gy. 55/8. feladat: A számok nagyság szerinti összehasonlítása, növekv®, illetve csök-
ken® sorozatba rendezése a helyiértékes írásmódról, a számok helyiérték szerinti bon-
tásáról tanultak alkalmazásával.
a) 1 E + 5 sz + 9 e = 1 5 0 9 > 1 0 5 9 = 1 E + 5 t + 9 e
b) 1 E + 4 sz + 6 t = 1 4 6 0 > 1 0 6 4 = 1 E + 6 t + 4 e
c) 1 E + 7 sz + 5 e = 1 7 0 5 = 1 7 0 5 = 1 E + 5 e + 7 sz
d) 1 E + 6 sz + 42 e = 1 6 4 2 = 1 6 4 2 = 1 E + 64 t + 2 e
Gy. 56/9. feladat: Játék pénz segítségével, az alaki-, helyi- és a tényleges érték fogal-
mának alkalmazásával �gyeltetjük meg a számok közötti nagyságviszonyokat.
100 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
Megoldás: a) 706 > 526 b) 525 < 552
c) 1451 < 1541 d) 1307 > 1037
Gy. 56/10. feladat: Bet¶kkel írt számok leírása számjegyekkel. Beszéljük meg a számok
helyesírását.
Megoldás: 78 95
178 950
1078 1905
1708 1095
Gy. 56/11. feladat: Bet¶kkel írt számok leírása számjegyekkel. Beszéljük meg a számok
helyesírását. Rendezzük a számokat növekv® sorrendbe.
Megoldás: a) 139 1069
601 1601
960 1009
139 < 601 < 960 < 1009< 1069 < 1601
b) 182 1082
920 1802
128 1208
128 < 182 < 920 < 1082 < 1208 < 1802
Gy. 57/12. feladat: Számok bontása helyiérték szerint, illetve bontott alakban felírt szá-
mok írása számjegyekkel. Az alaki-, helyi- és a tényleges érték fogalmát gyakoroltathat-
juk ezzel a feladattal.
Megoldás: a) Ezernyolcszázötvennégy = 1854 =
= 1000 + 800 + 50 + 4 = 1 E + 8 sz + 5 t + 4 e =
= 1 � 1000 + 8 � 100 + 5 � 10 + 4 � 1
b) Ezerkilencszázharminc = 1930 =
= 1000 + 900 + 30 = 1 E + 9 sz + 3 t + 0 e =
= 1 � 1000 + 9 � 100 + 3 � 10 + 0 � 1
c) Ezerhetvenhat = 1076 =
= 1000 + 70 + 6 = 1 E + 0 sz + 7 t + 6 e =
= 1 � 1000 + 0 � 100 + 7 � 10 + 6 � 1
d) Ezerhárom = 1003 =
= 1000 + 3 = 1 E + 0 sz + 0 t + 3 e =
= 1 � 1000 + 0 � 100 + 0 � 10 + 3 � 1
Gy. 57/13. feladat: Játék pénz segítségével analóg számítások a 2000-es számkörben.
A különböz® helyiértékek közti kapcsolatokat tudatosítjuk. Meg�gyeltethetjük a mér®-
szám és a mértékegység közötti összefüggések analógiáját is: Ugyanazt a mennyiséget
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
101
kisebb egységgel mérjük, nagyobb mér®számot kapunk. Ugyanazzal az egységgel na-
gyobb mennyiséget mérünk, nagyobb mér®számot kapunk. A fordított, illetve az egyenes
arányosság el®készítésére is alkalmas a feladat.
Megoldás: a) 80 b) 800
120 1000
1000 1300
1500 2000
Gy. 57/14. feladat: Játék pénz segítségével analóg számítások a 2000-es számkörben.
A különböz® helyiértékek közti kapcsolatokat tudatosítjuk. Meg�gyeltethetjük a mér®-
szám és a mértékegység közötti összefüggések analógiáját is: Ugyanazt a mennyiséget
kisebb egységgel mérjük, nagyobb mér®számot kapunk. Ugyanazzal az egységgel na-
gyobb mennyiséget mérünk, nagyobb mér®számot kapunk. A fordított, illetve az egyenes
arányosság el®készítésére is alkalmas a feladat.
Megoldás: a) 6 b) 90
18 100
90 120
180 200
Gy. 57/15. feladat: Játék pénz segítségével analóg számítások a 2000-es számkörben.
A különböz® helyiértékek közti kapcsolatokat tudatosítjuk. Meg�gyeltethetjük a mér®-
szám és a mértékegység közötti összefüggések analógiáját is: Ugyanazt a mennyiséget
kisebb egységgel mérjük, nagyobb mér®számot kapunk. Ugyanazzal az egységgel na-
gyobb mennyiséget mérünk, nagyobb mér®számot kapunk. A fordított, illetve az egyenes
arányosság el®készítésére is alkalmas a feladat.
Megoldás: a) 1 b) 6
9 10
14 15
18 20
Gy. 58/16. feladat: Az alakiértékr®l, helyiértékr®l és tényleges értékr®l tanultak elmélyí-
tését segít® feladatok.
Megoldás: 1756 1756
Alakiérték 1 7 5 6 1 5 6 7
Helyiérték E sz t e E sz t e
Tényleges 1000 700 50 6 1000 500 60 7
1904 1490
Alakiérték 1 9 0 4 1 4 9 0
Helyiérték E sz t e E sz t e
Tényleges 1000 900 0 4 1000 400 90 0
102 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
Gy. 58/17. feladat: Számok rendszerezése adott, illetve felismert szempont szerint.
Megoldás:A
P�aros sz�amok P�aratlan sz�amok
100; 74; 0; 1026;
2000; 1000305; 981; 1439; 1975
A
1000-n�el nagyobb sz�amok 1000-n�el kisebb sz�amok
1026; 1439; 1975;
2000; 1000100; 305; 74; 0; 981
Gy. 58/18. feladat: Az alakiérték, helyiérték és tényleges érték fogalmáról tanultakat kellalkalmazni a feladat megoldása során. Kerestessük meg az összes megoldást.
Az alakiérték, helyiérték és tényleges érték fogalmáról tanultakat kell alkalmazni a feladatmegoldása során. Kerestessük meg az összes megoldást.
Megoldás: a) 1541, 1543, 1545, 1547, 1549.
c) 1960, 1970, 1980, 1990.
M¶veletek kerek számokkal
Kompetenciák, fejlesztési feladatok:
gazdasági nevelés, számlálás, számolás, rendszerezés, relációszókincs fejlesztése, szö-
vegértés, szövegértelmezés, szövegesfeladat-megoldás, rész-egész észlelése, induk-
tív következtetések, problémaérzékenység, problémamegoldás, kreativitás, emlékezet
fejlesztése, �gyelem, kezdeményez®képesség, meg�gyel®képesség, összefüggéslátás,
pontosság, kooperatív és önálló munkavégzés.
Óra: 40{41. 45{47. 53{55.
A 200-as számkörben tanultak kiterjesztése a 2000-es számkörre: analóg számítások
kerek százasokkal, majd tízesekkel. A kétjegy¶ számok szorzása 10-zel. A 20-nál nemnagyobb számok szorzása 100-zal. Azért célszer¶ már most foglalkozni ezekkel a szá-molási eljárásokkal, hogy mire az írásbeli m¶veletek eredményének becslésekor szük-ség lesz rájuk, akkorra már a tanulók kell® gyakorlatot szerezzenek a kerek számokkaltörtén® számításokban. Minden témakörben oldjunk meg kell® számú egyszer¶, illetveösszetett szöveges feladatot, vizsgáljunk szöveggel adott függvényeket.
Tk. 63/1. kidolgozott mintapélda: A mértékváltáshoz kapcsolva �gyeltessük meg azanalógiákat az egyesekkel, kerek tízesekkel, kerek százasokkal végzett összeadás so-rán.
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
103
Tk. 63/1. feladat: Összeadás egyesekkel a 20-as, kerek tízesekkel a 200-as, kerek szá-zasokkal a 2000-es számkörben. Ezek a feladatok számos lehet®séget nyújtanak azanalógiák meg�gyelésére.
Megoldás: a) 5 + 3 = 8 50 + 30 = 80 500 + 300 = 800
11 + 7 = 18 110 + 70 = 180 1100 + 700 = 1800
Tk. 63/2. feladat: Összeadás a 2000-es számkörben kerek tízesekkel, a korábban meg-ismert számolási modellek alkalmazásával. Ismételten �gyeltessük meg az összeg vál-tozásait kéttagú összeg esetén.
Ha az egyik tagot növeljük (csökkentjük), a másikat nem változtatjuk, az összeg is ugyan-annyival n® (csökken).
Ha az egyik tagot növeljük (csökkentjük), a másikat ugyanannyival csökkentjük (növel-jük), az összeg nem változik.
A tanulók alkalmazzák a számolások során a meg�gyelt összefüggéseket.
Megoldás: a) 280 b) 830 c) 720
380 730 720
580 760 600
Tk. 63/3. feladat: Az analóg számításokról, illetve az összeg változásairól tanultak tuda-tos alkalmazása.
Megoldás: a = 250 c = 480
b = 270 d = 440
Tk. 64/2. kidolgozott mintapélda: A mértékváltáshoz kapcsolva �gyeltessük meg azanalógiákat az egyesekkel, kerek tízesekkel, kerek százasokkal végzett kivonás során.
Tk. 64/4. feladat: Kivonás egyesekkel a 20-as, kerek tízesekkel a 200-as, kerek szá-zasokkal a 2000-es számkörben. Ezek a feladatok számos lehet®séget nyújtanak azanalógiák meg�gyelésére.
Megoldás: a) 5 { 3 = 2 50 { 30 = 20 500 { 300 = 200
b) 20 { 12 = 8 200 { 120 = 80 2000 { 1200 = 800
Tk. 64/5. feladat: Kivonás a 2000-es számkörben kerek tízesekkel, a korábban megis-mert számolási modellek alkalmazásával. Ismételten �gyeltessük meg a különbség vál-tozásait.
Ha a kisebbítend®t növeljük (csökkentjük), a kivonandót nem változtatjuk, a különbségis ugyanannyival n® (csökken).
Ha a kisebbítend®t nem változtatjuk, a kivonandót növeljük (csökkentjük), a különbségis ugyanannyival csökken (n®).
Ha a kisebbítend®t és a kivonandót is ugyanannyival növeljük (csökkentjük), a különbségnem változik.
A tanulók alkalmazzák a számolások során a meg�gyelt összefüggéseket.
104 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
Megoldás: a) 270 b) 350 c) 460
370 250 560
170 550 360
670 1350 460
Tk. 65/6. feladat: Az analóg számításokról, illetve a különbség változásairól tanultaktudatos alkalmazása.
Megoldás: a = 150 c = 610
b = 150 d = 640
Tk. 65/7. feladat: Az analóg számításokról, illetve az összeg és a különbség változása-iról tanultak tudatos alkalmazása.
Megoldás: 900 + 700 = 1600
a) 900 + 700 { 200 = 1600 { 200 = 1400
b) 900 + 200 + 700 = 1600 + 200 = 1800
c) 900 { 200 + 700 + 200 = 1600 { 200 + 200 = 1600
d) 900 + 200 + 700 + 200 = 1600 + 200 + 200 = 2000
e) 900 { 200 + 700 { 200 = 1600 { 200 { 200 = 1200
Tk. 65/8. feladat: Az analóg számításokról, illetve az összeg és a különbség változása-iról tanultak tudatos alkalmazása.
Megoldás: Sanyi Tamás1400 >
500900
a) 1400 >300
900 + 200
b) 1400 + 200 >700
900
c) 1400 { 200 >300
900
d) 1400 >700
900 { 200
e) 1400 + 200 >500
900 + 200
f) 1400 { 200 >500
900 { 200
Tk. 65/9. feladat: Figyeltessük meg, hogy az ábra hogyan segítheti a megoldást.
Megoldás:
a)K L1600 m
| {z }
700 m
| {z }
1600 m { 700 m
e = 1600 { 700 = 900, 900 m-t mentek együtt.
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
105
b) K L1600 m
| {z }
500 m
| {z }
1600 m { 500 m { 700 m
| {z }
700 m
m = 1600 { 500 { 700 = 400, 400 m-re voltak egymástól.
Tk. 65/10. feladat: Az analóg számításokról, illetve az összeg és a különbség változá-sairól tanultak tudatos alkalmazása.
Megoldás: a) Hamis 830 6= 810 b) Igaz 350 = 350
c) Hamis 810 6> 820 d) Igaz 350 > 340
Tk. 66/3. kidolgozott mintapélda: Játék pénz segítségével szemléltetjük a 10-zel, 100-zal való szorzást, illetve a kerek tízesek, százasok szorzását. Ha szükséges, több hason-ló feladatot adjunk a tanulóknak. A tanulók tapasztalatot szereznek a 10-zel, 100-zal valóoszthatóság felismerésére. Figyeltessük meg a szorzat, illetve a hányados változásait:
Ha az egyik tényez®t tízszeresére (százszorosára, ezerszeresére) növeljük, a másik té-nyez®t ugyanannyiad részére csökkentjük, akkor a szorzat értéke nem változik. (A pénzértékével kapcsolatosan is felismertethetjük a mér®szám és a mértékegység közötti for-dított arányosságot.)
Tk. 66/11. feladat: Az analóg számításokról, illetve szorzat változásairól tanultak tudatosalkalmazása.
Megoldás: a) 20 � 10 = 200 = 2 � 100 = 200
b) 300 � 1 = 300 = 30 � 10 = 300
c) 170 � 10 = 1700 = 17 � 100 = 1700
d) 1 � 1000 = 1000 = 1000 � 1 = 1000
Tk. 66/12. feladat: Figyeljük meg, mely értékek válthatók be csupa tízforintosra.
Megoldás: a) Igen b) Nem c) Igen c) Nem
13 db 48 db
e) Igen f) Igen g) Igen h) Igen
10 db 100 db 160 db 186 db
Tk. 66/13. feladat: Figyeljük meg, mely értékek válthatók be csupa százforintosra.
Megoldás: a) Igen b) Igen c) Nem c) Nem
2 db 6 db
e) Igen f) Igen g) Igen h) Nem
1 db 10 db 13 db
Tk. 67/4. kidolgozott mintapélda: Játék pénz segítségével szemléltetjük az analógszorzásokat. Ha szükséges, több hasonló feladatot adjunk a tanulóknak. Figyeltessükmeg a szorzat változásait:
Ha az egyik tényez®t tízszeresére (százszorosára, ezerszeresére) növeljük, akkor a szor-zat értéke is tízszeresére (százszorosára, ezerszeresére) n®.
106 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
Tk. 67/14. feladat: Játék pénz segítségével szemléltetjük az analóg szorzásokat.
Megoldás: a) 6 � 2 = 12 b) 3 � 5 = 15
6 � 20 = 120 3 � 50 = 150
6 � 200 = 1200 3 � 500 = 1500
Tk. 67/15. feladat: A 10-zel, 100-zal való szorzásról, osztásról, illetve a kerek tízesek,százasok szorzásáról; a m¶veleti sorrendr®l tanultak alkalmazása szöveges feladatokmegoldásában.
Megoldás: a) Adatok: v = 500 db 1 , b = 30 db 10 , l = ?
Terv: l = v + b
Számolás: l = 500 � 1| {z }
500
+30 � 10| {z }
300
l = 800 Ft
Válasz: 800 Ft-ja lett Karcsinak.
a) Adatok: v = 5 db 100 , f = 300 Ft, m = ?
Terv: m = v { f
Számolás: m = 5 � 100| {z }
500
{ 300 m = 200 Ft
Válasz: 200 Ft-ja maradt Lacinak.
Tk. 67/16. feladat: A 10-zel, 100-zal való szorzás, osztás gyakorlása, mértékváltásokkalösszekapcsolva. A �tizedrész" és a �századrész" fogalmát el kell magyaráznunk.
Megoldás: a) 3 dm = 30 cm >27 cm-rel
3 cm
b) 60 dkg = 60 dkg
c) 50 dl = 500 cl
d) 700 cm = 70 dm
Tk. 67/17. feladat: Kreativitás, képi gondolkodás, metakogníció fejlesztésére szánt fela-dat.
Megoldás:
150 140 300 180 120 160 170
260 480 150 450 430 850 180
680 520 900 550 270 150 490
390 170 130 140 130 400 910
280 330 400 540 200 300 300
Gy. 59/1. feladat: Összeadás, kivonás egyesekkel a 20-as, kerek tízesekkel a 200-as,kerek százasokkal a 2000-es számkörben. Ezek a feladatok számos lehet®séget nyúj-tanak az analógiák meg�gyelésére.
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
107
Megoldás: a) 7 70 700
15 150 1500
15 150 1500
13 130 1300
17 170 1700
18 180 1800
b) 2 20 200
6 60 600
6 60 600
9 90 900
7 70 700
12 120 1200
Gy. 59/2. feladat: Összeadás, kivonás kerek százasokkal a 2000-es számkörben.
Megoldás: a) 700 < 800 b) 1300 > 1200
c) 1200 = 1200 d) 1100 < 1300
e) 400 > 300 f) 600 < 800
g) 700 = 700 h) 700 > 500
Gy. 59/3. feladat: Sorozat folytatása adott szabály alapján. Számolás kerek százasok-kal.
Megoldás: 300 , 300 ,
5 0 0 8 0 0 1 1 0 0 1 4 0 0
3 0 0 6 0 0 9 0 0 1 2 0 0
Gy. 60/4. feladat: Összeadás, kivonás a 2000-es számkörben kerek tízesekkel, a ko-rábban megismert számolási modellek alkalmazásával.
Megoldás:
+ 2 0 +
3 6+ 28
+ 8 +
5 6
8
8 4
2 0
4 4
+ +
3 6 0+ 280
+ +
5 6 0
2 0 8 0
6 4 0
8 0 2 0 0
4 4 0
108 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
{ {
7 2{ 47
{ {
3 2
4 0 7
2 5
7 4 0
6 5
{ {
7 2 0{ 470
{ {
3 2 0
4 0 0 7 0
2 5 0
7 0 4 0 0
6 5 0
Gy. 60/5. feladat: Összeadás, kivonás a 2000-es számkörben kerek tízesekkel, a ko-rábban megismert számolási modellek alkalmazásával.
Megoldás: a) 32 320
84 840
100 1000
119 1190
141 1410
b) 22 220
54 540
72 720
92 920
79 790
Gy. 60/6. feladat: Játék pénzzel kirakva és eljátszva a történetet egyszer¶bbé válik amegoldás.
Megoldás:
A feladat megoldásakor kétféle gondolatmenetre számíthatunk.
1. Ha Nórának 800 Ft-tal kevesebb pénze lenne, Nóra és Éda vagyona egyenl® lenne.Ekkor kett®jük vagyona is 800 Ft-tal kevesebb lenne. Az így kapott közös vagyon feleÉdáé, a másik fele és a �félretett" 800 Ft Nóráé.
100 100 100 100 100 100 100 100
100 100 100 100 100 100 100 100
| {z }
Éda vagyona
| {z }
Nóra vagyona
Egyenlettel:
É = (1600 { 800) : 2 = 400,
N = 1600 { 400 = 1200, vagy
N = 400 + 800 = 1200
2. Ha Édának 800 Ft-tal több pénze lenne, Nóra és Éda vagyona egyenl® lenne. Ekkorkett®jük vagyona is 800 Ft-tal több lenne. Az így kapott közös vagyon fele Nóráé, Édavagyona pedig 800 Ft-tal kevesebb, mint Nóráé.
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
109
100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100
100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100
| {z }
Nóra vagyona
| {z }
Éda vagyona
Egyenlettel:
N = (1600 + 800) : 2 = 1200,
É = 1200 { 800 = 400, vagy
É = 1600 { 1200 = 400
Gy. 61/7. feladat: Egy órán oldassuk meg a feladatsort! Figyeljük meg, hogy a tanulókmilyen szintre jutottak a szöveg értelmezésében, az összefüggések megtalálásában, amegoldási modell elkészítésében.
Megoldás: a) Adatok: E = 700 Ft, F = 500 Ft, Ö = ?
Terv: Ö = E + F
Számolás: Ö = 700 + 500 Ö = 1200 Ft
Válasz: 1200 Ft-juk van együtt.
b) Adatok: G = 700 Ft, G <500 Ft-tal
H, H = ?
Terv: H = G + 500
Számolás: H = 700 + 500 H = 1200 Ft
Válasz: 1200 Ft-ja van Hugónak.
Gy. 61/8. feladat: Szöveggel adott függvények. Fogalmaztassuk meg a szabályt többfélealakban. Vezessük rá a tanulókat a szabály tudatos követésére.
Megoldás: a) A + 800 = B, B { 800 = A, B { A = 800
A 100 200 300 600 500 1100 0 1200 700 800
B 900 1000 1100 1400 1300 1900 800 2000 1500 1600
b) Cs + D = 800, 800 { Cs = D, 800 { D = Cs
Cs 100 600 500 800 700 400 10 300 790 799
D 700 200 300 0 100 400 790 500 10 1
110 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
Gy. 61/9. feladat: Kreativitást, képi gondolkodást, összefüggéslátást fejleszt® feladat.
a) El®ször gy¶jtsük össze, mely három szám összege 1000. 300
320
380 280 340
3601000
280 + 340 + 380,
300 + 340 + 360,
300 + 320 + 380.
Két felbontásban szerepel a 300, 340, 380.
Ezek a számok kerülnek a háromszög csúcsaira.
b) Az eljárás itt is lehet ugyanaz, mint az el®bb. Gy¶jtsük össze, mely három számösszege 1000.
260 + 340 + 400, 280 + 320 + 400, 300 + 320 + 380,
260 + 360 + 380, 280 + 340 + 380, 300 + 340 + 360.
Mindegyik szám két felbontásban szerepel, így több megoldás is lehetséges.
1000
260 340 400
360 280
380 300 320
1000
340 260 400
360 280
300 380 320
300 360 340
260
400280320
380 1000
Gy. 62/10. feladat: Játék pénz segítségével szemléltetjük a 10-zel, 100-zal való szor-zást, illetve a kerek tízesek, százasok szorzását. Ha szükséges, több hasonló feladatotadjunk a tanulóknak. A tanulók tapasztalatot szereznek a 10-zel, 100-zal való osztható-ság felismerésére. Figyeltessük meg a szorzat, illetve a hányados változásait:
Megoldás:
a)
7 � 2 = 1 4 7 � 2 0 = 1 4 0 7 � 2 0 0 = 1 4 0 0
1 4 : 7 = 2 1 4 0 : 7 = 2 0 1 4 0 0 : 7 = 2 0 0
1 4 : 2 = 7 1 4 0 : 2 0 = 7 1 4 0 0 : 2 0 0 = 7
b)
3 � 5 = 1 5 3 � 5 0 = 1 5 0 3 � 5 0 0 = 1 5 0 0
1 5 : 3 = 5 1 5 0 : 3 = 5 0 1 5 0 0 : 3 = 5 0 0
1 5 : 5 = 3 1 5 0 : 5 0 = 3 1 5 0 0 : 5 0 0 = 3
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
111
Gy. 62/11. feladat: A 10-zel, 100-zal való szorzás gyakorlására szánt feladatok.
Megoldás: a) 7 70 7009 90 900
10 100 100017 170 170020 200 2000
b) 6 60 610 100 1016 160 1620 200 20
Gy. 62/12. feladat: A 10-zel, 100-zal való szorzásról, osztásról, illetve a kerek tízesek,százasok szorzásáról; a m¶veleti sorrendr®l tanultak alkalmazása szöveges feladatokmegoldásában.
Megoldás: a) Adatok: p = 50 db 10 , t = 3 db 100 k = ?
Terv: k = p { t
Számolás: k = 50 � 10| {z }
500
{ 3 � 100| {z }
300
k = 200
Válasz: 200 Ft-tal több pénz van a perselyben.
b) Adatok: p = 500 Ft, p >30 db 10
t, t = ?
Terv: t = p { 30 � 10
Számolás: t = 500 { 30 � 10| {z }
300
t = 200 Ft
Válasz: 200 Ft- van Nóra pénztárcájában.
c) Adatok: ö = 500 Ft, t = 30 db 10 , p = ?
Terv: p = ö { t
Számolás: p = 500 { 30 � 10| {z }
300
p = 200 Ft
Válasz: 200 Ft- van Ottó perselyében.
Gy. 63/13. feladat: A kerek tízesek, százasok szorzásának gyakorlása.
Megoldás: a) 18 180 1800
18 180 1800
20 200 2000
b) 2 20 200
3 30 300
4 40 400
2 20 200
112 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
c) 56 560 560
45 450 450
24 240 240
d) 8 80 8
3 30 3
6 60 6
10 100 10
Gy. 63/14. feladat: A kerek tízesek, százasok szorzásáról tanultak alkalmazása szöve-ges feladatok megoldásában.
Megoldás: a) Adatok: s = 250 cm, zs >fele
s, zs = ?
Terv: zs = 2 � s
Számolás: zs = 2 � 250 zs = 500 cm
Válasz: 500 cm = 5 m magas egy zsiráf.
b) Adatok: h = 1 m 60 cm = 160 cm, k = 8 cm, e = ?
Terv: e = h : k
Számolás: e = 160 : 8 e = 20
Válasz: 20-szorosa az énekes hattyú a királyka hosszának.
Gy. 64/15. feladat: M¶veletvégzés gyakorlása, a m¶veleti sorrendr®l tanultak alkalma-zása összetett számfeladatokban.
Megoldás: a)
1 5 0 0
2.
{ 3 0 0
1.� 4 =
| {z }
1 2 0 0
3 0 0
b)
(1 5 0 0
1.{ 3 0 0)
2.: 4 =
| {z }
1 2 0 0
3 0 0
c)
5 3 0
2.+ 7 0
1.� 3 =
| {z }
2 1 0
7 4 0
d)
(5 3 0
1.+ 7 0)
2.� 3 =
| {z }
8 0 0
1 8 0 0
e)
5 6 0
2.+ 4 0
1.: 5 =
| {z }
8
5 6 8
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
113
f)
(5 6 0
1.
+ 4 0)
2.: 5 =
| {z }
6 0 0
1 2 0
Gy. 64/16. feladat: M¶veletvégzés gyakorlása, a m¶veleti sorrendr®l tanultak alkalma-zása összetett szöveges feladatokban.
Megoldás: a) Adatok: Á = 930 m, Á : 3 <60 m-rel
L, l 7 ?
Terv: L = Á � 3 + 60
Számolás: L = 930 � 3| {z }
310
+60 L = 370 m
Válasz: 370 m hosszú a Lánchíd.
b) Adatok: k = 3 kg 10 dkg = 310 dkg, 1 f 3 dkg
50 f 50 � 3 dkg
Terv: e = k { 50 � 3
Számolás: e = 310 { 50 � 3| {z }
150
e = 160 dkg
Válasz: 160 dkg = 1 kg 60 dkg-mal nehezebb a kakas az 50 fecs-kénél.
Római számírás
Kompetenciák, fejlesztési feladatok:
számlálás, számolás, rendszerezés, deduktív következtetések, problémaérzékenység,
problémamegoldás, emlékezet fejlesztése, �gyelem, kezdeményez®képesség, meg�-
gyel®képesség, összefüggéslátás, pontosság, kooperatív és önálló munkavégzés.
Óra: 42. 48. 56.
Összefoglaljuk a római számírás alapvet® szabályait, a korábban tanultakat kiterjesztjük
a 2000-es számkörben. Új számjegy a D = 500 és az M = 1000.
Tk. 68/Figyeld meg!: Figyeltessük meg az egyesek, a tízesek és a százasok írása kö-zötti összefüggést. Külön emeljük ki a 4, 40, 400, illetve a 9, 90, 900 számok írását.
Új számjegy a D = 500 és az M = 1000.
Külön emeljük ki a 4, 40, 400, illetve a 9, 90, 900 számok írását.
Tk. 68/1. feladat: A római számírás gyakorlására szánt feladatsor.
Megoldás: a) 100|{z}
C
+ (50 + 10)| {z }
LX
+ (1 + 1)| {z }
II
= CLXII
114 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
b) (500 + 100)| {z }
DC
+ (50 { 10)| {z }
XL
+ (1 + 1)| {z }
II
= DCXLII
c) 1000| {z }
M
+ (500 + 100)| {z }
DC
+ 1|{z}
I
= MDCI
d) (1000 { 100)| {z }
CM
+ (50 + 10)| {z }
LX
+ 5|{z}
V
= CMLXV
e) 1000| {z }
M
+ (100 + 100)| {z }
CC
+ (5 + 1)| {z }
VI
= MCCVI
f) (500 + 100 + 100)| {z }
DCC
+ (10 + 10 + 10)| {z }
XXX
= DCCXXX
Tk. 68/2. feladat: Arab számírással írt számok felírása római számírással, az eddig ta-nultak alkalmazásával.
Megoldás: a) 356 = CCCLVI, 204 = CCIV, 713 = DCCXIII,
825 = DCCCXXV, 1001 = MI, 968 = CMLXVIII.
b) 179 = CLXXIX, 407 = CDVII, 652 = DCLII,
936 = CMXXXVI, 1053 = MLIII, 1104 = MCIV.
Tk. 68/3. feladat: Római számírással írt számok felírása arab számírással, az eddigtanultak alkalmazásával.
Megoldás: a) CLXII = 162, CCCXLVII = 347, DVIII = 508,
CD = 400, MCCI = 1201, MCDVI = 1406.
b) CCXXXVIII = 238, CDXL = 440, DCCLXX = 770,
CMLVII = 957, MCMXLV = 1945.
c) CDXIII = 413, DCIX = 609, DCCCLXXXVIII = 888,
CMI = 901, MDCLXVI = 1666.
Gy. 65/1. feladat: Figyeljük meg az analógiát az egyjegy¶, kétjegy¶ és háromjegy¶ szá-mok írása között.
Megoldás: a) 3 = III 30 = XXX 300 = CCC
b) 5 = V 50 = L 500 = D
c) 4 = IV 40 = XL 400 = CD
d) 8 = VIII 80= LXXX 800 = DCCC
e) 10 = X 100 = C 1000 = M
f) 9 = IX 90 = XC 900 = CM
g) 13 = XIII 130 = CXXX 1300 = MCCC
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
115
h) 14 = XIV 140 = CXL 1400 = MCD
i) 16 = XVI 160 = CLX 1600 = MDC
Gy. 65/2. feladat: El®ször bontva írják le a tanulók a számokat, majd a bontott alakalapján római számírással.
Megoldás: a) 756 = (500 + 100 + 100)| {z }
DCC
+ 50|{z}
L
+ (5 + 1)| {z }
VI
= DCCLVI
b) 263 = (100 + 100)| {z }
CC
+ (50 + 10)| {z }
LX
+ (1 + 1 + 1)| {z }
III
= CCLXIII
c) 435 = (500 { 100)| {z }
CD
+ (10 + 10 + 10)| {z }
XXX
+ 5|{z}
V
= CDXXXV
d) 974 = (1000 { 100)| {z }
CM
+ (50 + 10 + 10)| {z }
LXX
+ (5 { 1)| {z }
IV
= CMLXXIV
e) 1301 = 1000| {z }
M
+ (100 + 100 + 100)| {z }
CCC
+ 1|{z}
I
= MCCCI
Gy. 65/3. feladat: Kreativitást, képi gondolkodást, ötletgazdagságot fejleszt® feladat.
Megoldás: a) XII { V = VII b) X + VI = XVI
XI { IV = VII X + IV = XIV
XII { VI = VI IX + V = XIV
IX + VI = XVI
Számok ábrázolása számvonalon
Kompetenciák, fejlesztési feladatok:
számlálás, számolás, rendszerezés, relációszókincs fejlesztése, szövegértés, szöveg-
értelmezés, rész-egész észlelése, induktív következtetések, problémaérzékenység,
problémamegoldás, emlékezet fejlesztése, �gyelem, kezdeményez®képesség, meg�-
gyel®képesség, összefüggéslátás, pontosság, kooperatív és önálló munkavégzés.
Óra: 43{44. 49{50. 57{58.
A számok közelít® helyének ábrázolása tízesével, százasával beosztott számegyenesen.
Fontosnak tartjuk, hogy többször, többféle módon járják be a tanulók a különböz® szám-vonalakat. A számok ábrázolása, elhelyezkedésük leolvasása lehet®séget nyújt a szá-mok összehasonlítására, a nagysági viszonyok eldöntésére, tulajdonságaik tudatosításá-ra. A számfogalom kiterjesztésér®l tanultak elmélyítése céljából a számok számegyene-sen való ábrázolása mellett térjünk ki a számok írásáról, olvasásáról, képzésér®l, bon-tásáról, összehasonlításáról, szomszédairól, tulajdonságairól tanultakra is { megfelel®indirekt di�erenciálással alkalmazkodva az egyes tanulók tudásszintjéhez.
116 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
Tk. 69/1. feladat: Lépegetés egyesével beosztott számvonalon, számok helyének meg-keresése. Soroltassuk fel a kerek tízeseket növekv®, illetve csökken® sorrendben, a ta-nulók kövessék ezt a felsorolást a számvonalon.
Beszéljük meg, melyik szám nagyobb, melyik kisebb. A számok nagyság szerinti össze-hasonlítása szemléletessé teszi a számok közötti viszonyt, segíti a számfogalom fejl®-dését.
Határoztassuk meg az egyes számok számszomszédait, páros, páratlan, illetve tízes,százas és ezres szomszédait.
Ha szükségesnek tartjuk, többször térjünk vissza ehhez a számvonalhoz.
Megoldás: h >995
g >700
e >491
d >462
c >158
b >62
a
Tk. 69/2. feladat: Lépegetés egyesével beosztott számvonalon, számok helyének meg-keresése. Soroltassuk fel a kerek tízeseket növekv®, illetve csökken® sorrendben, a ta-nulók kövessék ezt a felsorolást a számvonalon.
Beszéljük meg, melyik szám nagyobb, melyik kisebb. A számok nagyság szerinti össze-hasonlítása szemléletessé teszi a számok közötti viszonyt, segíti a számfogalom fejl®-dését.
Határoztassuk meg az egyes számok számszomszédait, páros, páratlan, illetve tízes,százas és ezres szomszédait.
Megoldás: Különböz® színnel be is jelöltethetjük a számokat a számvonalon.
Tk. 70/1. kidolgozott mintapélda: A természetes számok halmazán értelmezett egyen-l®tlenségek igazsághalmazának ábrázolása számegyenesen.
Ha eddig nem tanítottuk a kisebb-egyenl®, nagyobb-egyenl® (5,=) nem kisebb, nemnagyobb, nem egyenl® (6>, 6<,6= ) fogalmakat, akkor ezzel a témával most részletesebbenkell foglalkoznunk, többször vissza kell térnünk rá.
Tk. 70/3. feladat: A természetes számok halmazán értelmezett egyenl®tlenségek igaz-sághalmazának ábrázolása számegyenesen.
Megoldás:
a) 20 < a < 3020 30
� � � � � � � � �
b) 220 < b 6> 230220 230
� � � � � � � � � �
c) 550 6> c < 560, és c páros550 560
� � � � �
d) 550 6> d < 560, és d páratlan550 560
� � � � �
e) e < 50, és az e kerek tízes0 50
� � � � �
Tk. 70/4. feladat: Lépegetés egyesével beosztott számvonalon, számok helyének meg-keresése. Soroltassuk fel a kerek tízeseket növekv®, illetve csökken® sorrendben, a ta-nulók kövessék ezt a felsorolást a számvonalon.
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
117
Megoldás: a) 200, 205, 210, 215, 220, 225, 230, 235, 240, 245, 250
b) 600, 595, 590, 585, 580, 575, 570, 565, 560, 555, 550
c) 450, 460, 470, 480, 490, 500, 510, 520, 530, 540, 550
d) 730, 710, 690, 670, 650, 630, 610, 590, 570, 550, 530
Tk. 71/5. feladat: Különböz® beosztású számegyeneseken jelölt számok meghatáro-zása. Ezekkel a feladatokkal készítjük el® a számok közelít® helyének meghatározásátkülönböz® beosztású számegyeneseken.
Figyeltessük meg az analógiákat.
Megoldás: a) d = 4, e = 9, f = 11, g = 15, h = 20
b) d = 40, e = 90, f = 110, g = 150, h = 200
c) d = 400, e = 900, f = 1100, g = 1500, h = 2000
Tk. 71/6. feladat: Különböz® beosztású számegyeneseken jelölt számok meghatáro-zása. Ezekkel a feladatokkal készítjük el® a számok közelít® helyének meghatározásátkülönböz® beosztású számegyeneseken.
Figyeltessük meg az analógiákat.
Megoldás: a) d = 15, e = 30, f = 50, g = 80, h = 100
b) d = 415, e = 430, f = 450, g = 480, h = 500
c) d = 915, e = 930, f = 950, g = 980, h = 1000
Tk. 71/7. feladat: Különböz® beosztású számegyeneseken jelölt számok meghatáro-zása. Ezekkel a feladatokkal készítjük el® a számok közelít® helyének meghatározásátkülönböz® beosztású számegyeneseken.
Megoldás: a = 460, e = 510, b = 600, f = 605, g = 798, c = 850, d = 972,
h = 975, i = 1420, j = 1600, k = 1703
Tk. 71/8. feladat: A számok közelít® helyének megkeresése tízesével, százasával, ötö-sével, ötvenesével beosztott számegyenesen.
Például a tízesével beosztott számegyenesen a feladatot úgy végezhetjük el a legpon-tosabban, ha a két kerek tízes közötti szakaszt gondolatban tíz egyenl® részre osztjuk,és így határozzuk meg a keresett szám helyét.
Az ábrázolás során �gyeltessük meg a szám tízes, kés®bb százas szomszédait, és aztis, melyik szomszédhoz áll közelebb a szám (a számok kerekítésének el®készítése).
Megoldás: c = 5 d = 30 e = 54 f = 76
c = 50, d = 300, e = 540, f = 760
Gy. 66/1. feladat: A számok helyének megkeresése egyesével beosztott számegyene-sen.
118 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
Megoldás:
a) a = 83, b = 107, c = 95, d = 113, e = 118, f = 99
80 90 100 110 120
a bc d ef
b) a = 183, b = 207, c = 195, d = 213, e = 218, f = 199
180 190 200 210 220180
a bc d ef
c) a = 985, b = 1011, c = 992, d = 1008, e = 1018, f = 999
980 990 1000 1010 1020
a bc d ef
d) a = 1683, b = 1691, c = 1695, d = 1703, e = 1712, f = 1719
1680 1690 1700 1710 1720
a b c d e f
Gy. 66/2. feladat: A számok közelít® helyének megkeresése tízesével, százasával, ötö-sével, ötvenesével beosztott számegyenesen.
Például a tízesével beosztott számegyenesen a feladatot úgy végezhetjük el a legpon-tosabban, ha a két kerek tízes közötti szakaszt gondolatban tíz egyenl® részre osztjuk,és így határozzuk meg a keresett szám helyét.
Számok kerekítése
Kompetenciák, fejlesztési feladatok:
gazdasági nevelés, számlálás, számolás, rendszerezés, relációszókincs fejlesztése, szö-
vegértés, szövegértelmezés, rész-egész észlelése, induktív következtetések, probléma-
érzékenység, problémamegoldás, emlékezet fejlesztése, �gyelem, kezdeményez®képes-
ség, meg�gyel®képesség, összefüggéslátás, pontosság, kooperatív és önálló munkavég-
zés.
Óra: 45{46. 51{52. 59{60.
Korábban is foglalkoztunk már a számok szomszédaival. Most a kerekítés szabályaivalismerkedhetünk meg, melyek fontosak lesznek a kés®bbiekben a m¶veletek eredménye-inek becslésénél.
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
119
Tk. 72/1. kidolgozott mintapélda: A feladatok feldolgoztatásával el®készíthetjük a szá-
mok kerekítését:
megkerestetjük a számok közelebbi tízes, illetve százas szomszédját;
meg�gyeltetjük, hogy az 5-re végz®d® számok egyenl® távolságra vannak mindkét
tízes szomszédjuktól, az 50-re végz®d® számok egyenl® távolságra vannak mindkét
százas szomszédjuktól;
tudatosítjuk, hogy a 0 lehet tízes, százas, ezres szomszédja is egy számnak;
a kerek százasok is lehetnek tízes szomszédok, illetve kerek ezresek is lehetnek
tízes, százas szomszédok.
Tk. 72/1. feladat: A számegyenesen meg�gyeltethetjük, hogy mely számok vannak egy
adott tízeshez közelebb. Ehhez hasonló feladatok segíthetnek a tízes kerekítés fogalmá-
nak megszilárdításában. Beszéljük meg, hogy a 145 ugyanolyan távol van mindkét tízes
szomszédjától.
Megoldás: 146, 147, 148, 149, 150, 151, 152, 153, 154
Tk. 73/2. feladat: A megoldásnál és a közös ellen®rzésnél használhatjuk a 69. oldalon
lév® számvonalat.
Megoldás: a) 56; 57; 58; 59; 60; 61; 62; 63; 64.
Beszéljük meg, hogy az 55 és a 65 egyenl® távol van a tízes szomszé-
daitól.a) 96; 97; 98; 99; 100; 101; 102; 103; 104.
b) 576; 577; 578; 579; 580; 581; 582; 583; 584.
c) 1496; 1497; 1498; 1499; 1500; 1501; 1502; 1503; 1504.
d) 0; 1; 2; 3; 4.
Tk. 73/3. feladat: A számok szomszédainak megkeresése után beszéljük meg a szám
tízes, százas kerekítését.
Megoldás: a) 541 < 542 < 553 544 < 545 < 546
540< 542 < 550 540 < 545 < 550
500< 542 < 600 500< 545 < 600
646 < 647 < 648 653 < 654 < 655
640 < 647 < 650 650< 654 < 660
600< 647 < 700 600 < 654 < 700
b) 902 < 903 < 904 951 < 952 < 953
900< 903 < 910 950< 952 < 960
900< 903 < 1000 900 < 952 < 1000
994 < 995 < 996 1004 < 1005 < 1006
990 < 995 < 1000 1000 < 1005 < 1010
900 < 995 < 1000 1000< 1005 < 1100
120 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
c) 2 < 3 < 4 8 < < 10
0< 3 < 10 0 < < 10
0< 3 < 100 0< < 100
44 < 45 < 46 52 < 53 < 54
40 < 45 < 50 50 < 53 < 60
0< 45 < 100 0 < 53 < 100
153 < 154 < 155
150< 154 < 160
100 < 154 < 200
Tk. 73/4. feladat: Figyeljük meg, hogy az 50-re végz®d® számok vannak egyenl® távol-
ságra mindkét százas szomszédjuktól.
Megoldás: a) 550, 650, 750
b) 950, 1050
b) 50, 150, 250
Tk. 73/5. feladat: A pontos érték, közelít® érték közötti különbség érzékeltetése a feladat
célja. Kérjünk a tanulóktól is hasonló példákat.
Megoldás: a) Körülbelüli érték.
b) Pontos érték.
c) Pontos érték.
d) Körülbelüli érték.
Tk. 74/Figyeld meg!: Megfogalmazzuk az eddigi tapasztalatok alapján a �pontos ér-
ték", �kerekített érték", illetve a �közelít® érték" fogalmakat. A kerekítésre ne mechanikus
szabályt fogalmaztassunk meg, hanem olyat, amely a matematikai tartalmat is tükrözi.
Beszéljük meg: az 5-re, 50-re végz®d® számokat azért kerekítjük felfelé, mert a mate-
matikusok ebben állapodtak meg (másképpen is megegyezhettek volna).
Tk. 75/6. feladat: Számok tízesre kerekítése.
Megoldás: a) 123 256 402 697
120 260 400 700
b) 21 103 844 900
20 100 840 900
c) 1208 1532 1848 1950
1210 1530 1850 1950
Tk. 75/7. feladat: Számok százasra kerekítése.
Megoldás: a) 158 316 879 501
200 300 900 500
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
121
b) 12 499 610 700
0 500 600 700
c) 1026 1175 1450 1649
1000 1200 1500 1600
Tk. 75/8. feladat: Célszer¶ el®ször az egyik feltételnek eleget tev® számhalmazt megha-
tározni. x jelentse azoknak a számoknak a halmazát, amelyek százasra kerekített értéke
500, x � 500; x: 450; 451; . . . 548; 549.
Megoldás: a) 450; 451; 452; 453; 454; 455; 456; 457; 458; 459.
b) 540; 541; 542; 543; 544; 545; 546; 547; 548; 549.
c) 495; 496; 497; 498; 499; 500; 501; 502; 503; 504.
Tk. 75/9. feladat: Célszer¶ el®ször az egyik feltételnek eleget tev® számhalmazt meg-
határozni.
Megoldás: a) 996; 998; 1000; 1002; 1004.
b) 1010; 1012; 1014; 1016; 1018.
c) Nincs ilyen szám. Ha az egyesek helyén 1 áll, a szám nem lehet páros.
d) 950; 960; 970; 980; 990 1000; 1010; 1020; 1030; 1040.
Tk. 75/10. feladat: Kreativitást, problémamegoldó-képesség fejlesztését segít® feladat.
Megoldás: a) c = 2; d = 2; e = 5; f = 6;
g: 5, 6, 7, 8, 9; h: 0, 1, 2, 3, 4.
b) i = 3; j = 4; k: 5, 6, 7, 8, 9;
l: 0, 1, 2, 3, 4; m: 0, 1, . . . 8, 9;
n: 0, 1, . . . 8, 9.
Tk. 75/11. feladat: Könnyebb eldönteni az állítások igaz vagy hamis voltát, ha megha-
tározzuk, mely számoknak 70 a tízesre kerekített értéke.
Megoldás: x � 70, x: 65; 66; 67; 68; 69; 70; 71; 72; 73; 74.
a) Igen, pl.: 66; 67.
b) Nem, mert a legkisebb és a legnagyobb szám különbsége kevesebb
10-nél. (74 { 65 = 9)
c) Igen, 65; 70.
d) Nem. (Csak egy kerek tízes van, a 70.)
Gy. 67/1. feladat: A számok egyes és tízes szomszédairól tanultak gyakorlására szánt
feladat.
Megoldás: a) 62 < 63 < 64 90 < 96 < 100
69 < 70 < 71 100< 102 < 110
86 < 87 < 88 110 < 115 < 120
122 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
Gy. 67/2. feladat: A számok tízes és százas szomszédairól tanultak gyakorlására szánt
feladat.
Megoldás: 840 < 847 < 850 800< 847 < 900
850< 854 < 860 800 < 854 < 900
900< 903 < 910 900< 903 < 1000
1000 < 1007 < 1010 1000< 1007 < 1100
1040 < 1048 < 1050 1000< 1048 < 1100
1090 < 1100< 1110 1000 < 1100< 1200
Gy. 67/3. feladat: A számok egyes, tízes és százas szomszédairól tanultak gyakorlására
szánt feladat.
Megoldás:
Szám Egyes szomszédok Tízes szomszédok Százas szomszédok
kisebb nagyobb kisebb nagyobb kisebb nagyobb
475 474 476 470 480 400 500
958 957 959 950 960 900 1000
1237 1236 1238 1230 1240 1200 1300
1862 1861 1863 1860 1870 1800 1900
Gy. 68/4. feladat: A számok tízes és százas szomszédairól tanultak gyakorlására szánt
feladat.
Megoldás: 1050 < 1056 < 1060 1000 < 1056 < 1100
1120< 1123 < 1130 1100< 1123 < 1200
1280 < 1285 < 1290 1200 < 1285 < 1300
1300< 1304 < 1310 1300< 1304 < 1400
1490 < 1496 < 1500 1400 < 1496 < 1500
1530< 1531 < 1540 1500< 1531 < 1600
Gy. 68/5. feladat: A számok tízes kerekítésér®l tanultak gyakorlására szánt feladat.
Megoldás: a) 140 570 1410
130 580 1400
140 580 1410
b) 990 1010 1750
1000 1010 1760
1000 1000 1750
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
123
Gy. 68/6. feladat: A számok százas kerekítésér®l tanultak gyakorlására szánt feladat.
Megoldás: a) 100 600 1400
100 600 1400
100 600 1400
b) 1000 1000 1800
1000 1000 1800
1000 1000 1800
Gy. 69/7. feladat: A számok egyes, tízes, százas szomszédairól tanultak gyakorlására
szánt feladat.
Megoldás:
Szám Egyes szomszédok Tízes szomszédok Százas szomszédok
kisebb nagyobb kisebb nagyobb kisebb nagyobb
3 2 4 0 10 0 100
47 46 48 40 50 0 100
963 962 964 960 970 900 1000
1004 1003 1005 1000 1010 1000 1100
1035 1034 1036 1030 1040 1000 1100
1050 1049 1051 1040 1060 1000 1100
Gy. 69/8. feladat: Adott számok jelölése a számegyenesen, a tízes számszomszédok
meg�gyelése, a számok tízesre kerekített értékének meghatározása.
Megoldás: a) 108 125 142 160 179 195
110 130 140 160 180 200
b) 511 528 545 563 580 597
510 530 550 560 580 600
Gy. 69/9. feladat: Adott számok jelölése a számegyenesen, a százas számszomszédok
meg�gyelése, a számok százasra kerekített értékének meghatározása.
Megoldás: a) 13 256 404 587 700 950
0 300 400 600 700 1000
b) 1053 1246 1450 1700 1899 1948
1100 1200 1500 1700 1900 1900
Gy. 70/10. feladat: Ismét �gyeltessük meg, hogy az 50-re végz®d® számok egyenl® tá-
volságra vannak mindkét százas szomszédjuktól. Beszéljük meg, hogy a ��." azt jelenti,
hogy folytatódik a felsorolás a három pont után adott számig.
124 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
A számegyenesen már nem tudjuk egyenként jelölni a számokat, ezért csak azt jelöljük,
hogy mely szakaszon helyezkednek el ezek a számok. Az üres karika azt jelenti, hogy
az a szám már nem tartozik a megoldáshoz.
Megoldás: af451 , 452 , . . . 548: 549g.
400 500 600
Gy. 70/11. feladat: Az alaki-, a helyi- és a tényleges értékr®l, a számszomszédokról, a
kerekítésr®l stb. tanultak gyakorlására szánt feladat.
Megoldás: a b c d e
f g
h i j
k l m
n o p
q r
s t
1 9 1 4 4 5
5 0 0 8 0 0
1 0 8 5 0
0 9 0 1 2
6 1 9 6 0
5 0 0 4 0 0
4 0 2 0 0 0
Hosszúságmérés; milliméter
Kompetenciák, fejlesztési feladatok:
rendszerezés, mennyiségi következtetés, becslés, mérés, mértékegységváltás, szöveg-
értés, szövegértelmezés, rész-egész észlelése, induktív következtetések, deduktív kö-
vetkeztetések, problémaérzékenység, problémamegoldás, emlékezet fejlesztése, fela-
dattartás, �gyelem, kezdeményez®képesség, meg�gyel®képesség, összefüggéslátás,
pontosság, csoportos, páros, egyéni munkavégzések, környezettudatosságra nevelés,
hon- és népismeret.
Óra: 47{48. 53{54. 61{62.
A hosszúságmérésr®l tanultak gyakorlása, tartalmi kib®vítése kedvez® alkalmat nyújt a
2000-es számkörr®l tanultak alkalmazására, folyamatos ismétlésére és gyakorlására.
Tk. 76/1. kidolgozott mintapélda: Bevezetjük a milliméter fogalmát. A tanult mértékegy-
ségeket (milliméter, centiméter, deciméter, méter) rendszerezzük. Tisztázzuk a �deci-",
�centi-", �milli-" latin eredet¶ el®tagok jelentését.
A fogalomalakítás szempontjából fontosnak tartjuk, hogy a tanulók sok mérést végez-
zenek teremben, terepen egyaránt. Különböz® távolságokat mérjenek meg, mérjenek
össze, illetve mérjenek ki. A mérést minden esetben el®zze meg a hosszúságok becs-
lése. A gyakorlatok során alkalmazzuk a kerekítésr®l tanultakat. Sok tapasztalatszerzés
után kerüljön csak sor az átváltásokra.
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
125
A milliméterskála használata, az átváltások mélyítik és biztosabbá teszik a számfogal-
mat.
Ennél a témánál lehet®ségünk nyílik a tantárgyak közötti koncentrációra (környezetisme-
rettel, technikával).
Tk. 77/1. feladat: Különböz® hosszúságok becslése, mérése.
Megoldás: Kulcs: 30 mm, Lyukasztó: 100 mm,
Csavar: 45 mm, Kapocs: 18 mm,
Kanál: 70 mm
Tk. 77/2. feladat: Ismerkedés a térképhasználattal. (Kapcsolat a környezetismerettel.)
Megoldás: Árpád híd 93 mm 930 m
Margit híd 61 mm 610 m
Lánchíd 38 mm 380 m
Erzsébet híd 39 mm 390 m
Szabadság híd 33 mm 330 m
Pet®� híd 51 mm 510 m
Tk. 77/3. feladat: Különböz® hosszúságok becslése.
Megoldás: a) 2 dm, b) 4 dm, c) 6 dm
5 dm 7 dm
Gy. 71/1. feladat: Több hasonló feladatot adjunk egyéni, páros, illetve csoportmunkában
a tanulóknak a konkrét mérések gyakorlására.
Megoldás: a) A tábla szélessége 20 dm,
magassága 1 m,
vastagsága 25 mm.
b) Egy öv hosszúsága 7 dm,
szélessége 3 cm,
vastagsága 1 mm.
c) Egy könyv hosszúsága 2 dm 35 mm,
szélessége 15 cm 5 mm,
vastagsága 15 mm.
Gy. 71/2. feladat: Több hasonló feladatot adjunk egyéni, páros, illetve csoportmunkában
a tanulóknak a konkrét mérések gyakorlására. Hasonlítsák össze a feladatban szerepl®
adatokat a saját adataikkal.
Megoldás: a) Magassága: 13 dm.
b) Araszának hossza: 160 mm.
c) Lépésének hossza: 46 cm.
126 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
Gy. 71/3. feladat: Távolságok becslése, kimérése, megmérése. Figyeltessük meg a mé-
rés és a becslés közötti eltéréseket.
Megoldás: 5 cm 5 mm
3 cm 35 mm
Gy. 71/4. feladat: Távolságok becslése, kimérése, megmérése. Figyeltessük meg a mé-
rés és a becslés közötti eltéréseket.
Megoldás:
Becslés Mérés
a 30 mm mm 33 mm mm
b 20 mm mm 16 mm mm
c 40 mm mm 38 mm mm
d 80 mm mm 76 mm mm
Gy. 71/5. feladat: Távolságok becslése, kimérése, megmérése. Figyeltessük meg a mé-
rés és a becslés közötti eltéréseket.
Megoldás: a = 4 cm fele 2 cm
b = 56 mm fele 28 mm
c = 30 mm fele 15 mm
Gy. 72/6. feladat: A kerület fogalmát készítjük el® a négyszögek oldalhosszúságának
megmérésével, félegyenesre való kimérésével.
Megoldás: a) a = 25 mm, b) a = 28 mm, c) a = 20 mm,
b = 32 mm, b = 38 mm, b = 45 mm,
c = 25 mm, c = 23 mm, c = 45 mm,
d = 32 mm, d = 22 mm, d = 20 mm,
K = 104 mm; K = 111 mm; K = 130 mm.
Gy. 72/7. feladat: Kell® tapasztalatszerzés után kerüljön csak sor a mértékváltások gya-
koroltatására, összehasonlítására, rendszerezésére.
Megoldás: a) 8 cm 5 mm b) 2 dm 5 cm 4 mm
14 cm 2 mm 5 dm 0 cm 8 mm
25 cm 0 mm 10 dm 9 cm 5 mm
50 cm 6 mm 10 dm 0 cm 1 mm
c) 550 mm d) 135 mm
720 mm 181 mm
310 mm 105 mm
190 mm 199 mm
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
127
Gy. 73/8. feladat: Kell® tapasztalatszerzés után kerüljön csak sor a mértékváltások gya-
koroltatására, összehasonlítására, rendszerezésére.
Megoldás: a) 20 mm b) 200 mm
50 mm 2000 mm
110 mm 1200 mm
200 mm 2000 mm
Gy. 73/9. feladat: Kell® tapasztalatszerzés után kerüljön csak sor a mértékváltások gya-
koroltatására, összehasonlítására, rendszerezésére.
Megoldás: a) 50 cm b) 0 m
4 dm 180 cm
910 mm 1980 mm
85 cm 151 cm
985 mm 1510 mm
750 mm 750 mm
100 mm 50 cm
Gy. 73/10. feladat: Kell® tapasztalatszerzés után kerüljön csak sor a mértékváltások
gyakoroltatására, összehasonlítására, rendszerezésére.
Megoldás: a) 3 cm 5 mm b) 2 dm 5 cm 2 mm
13 cm 5 mm 6 dm 0 cm 8 mm
8 cm 2 mm 13 dm 5 cm 4 mm
38 cm 2 mm 10 dm 4 cm 5 mm
Gy. 73/11. feladat: Kell® tapasztalatszerzés után kerüljön csak sor a mértékváltások
gyakoroltatására, összehasonlítására, rendszerezésére.
Megoldás: 12 cm = 120 mm 1 cm 2 mm = 12 mm
1 dm 2 cm = 120 mm 1 dm 2 mm = 102 mm
12 dm = 1200 mm 1 m 2 dm = 1200 mm
1 m 2 cm = 1020 mm 1 m 2 mm = 1002 mm
12 mm < 102 mm < 120 mm=120 mm < 1002 mm < 1020 mm <
< 1200 mm = 1200 mm
1 cm 2 mm < 1 dm 2 mm < 12 cm = 1 dm 2 cm < 1 m 2 mm <
< 1 m 2 cm < 12 dm = 1 m 2 dm
Gy. 74/12. feladat: A kerekítésr®l tanultak alkalmazása a hosszúságok közelít® megha-
tározásában.
Megoldás: 42 cm <3 mm
42 cm 3 mm<
7 mm43 cm, 423 mm � 420 mm = 42 cm;
30 cm <5 mm
30 cm 5 mm <5 mm
31 cm, 305 mm � 310 mm = 31 cm;
128 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
99 cm <7 mm
99 cm 7 mm <3 mm
100 cm, 997 mm � 1000 mm = 100 cm;
100 cm <4 mm
100 cm 4 mm <6 mm
101 cm, 1004 mm � 1000 mm = 100 cm.
Gy. 74/13. feladat: A kerekítésr®l tanultak alkalmazása a hosszúságok közelít® megha-
tározásában.
Megoldás: 3 dm <58 mm
3 dm 58 mm <42 mm
4 dm, 358 mm � 400 mm = 4 dm;
6 dm <12 mm
6 dm 12 mm <88 mm
7 dm, 612 mm � 600 mm = 6 dm;
9 dm <49 mm
9 dm 49 mm <51 mm
10 dm, 949 mm � 900 mm = 9 dm;
10 dm <54 mm
10 dm 54 mm <46 mm
11 dm, 1054 mm � 1100 mm = 11 dm.
Gy. 74/14. feladat: A vonalzó használatának gyakorlása. Törekedjünk a pontos mérésre.
Megoldás:� �
Gy. 74/15. feladat: Mértékváltások gyakorlása szöveges feladatokban.
Megoldás: a) Adatok: v = 1 m 5 cm = 105 cm = 1050 mm,
l = 1 dm 5 mm = 105 mm, m = ?
Terv: m = v { l
Számolás: m = 1050 { 105 m = 945 mm
Válasz: 945 mm = 9 dm 4 cm 5 mm hosszú cs® maradt.
b) Adatok: v = 15 dm = 1500 mm,
h = 1 dm 5 mm = 105 mm, l = ?
Terv: l = v + h
Számolás: l = 1500 + 105 l = 1605 mm
Válasz: 1605 mm = 1 m 6 dm 5 mm hosszú lett a papírcsík.
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
129
�rtartalommérés; milliliter
Kompetenciák, fejlesztési feladatok:
rendszerezés, mennyiségi következtetés, becslés, mérés, mértékegységváltás, szöveg-
értés, szövegértelmezés, rész-egész észlelése, induktív következtetések, deduktív kö-
vetkeztetések, problémaérzékenység, problémamegoldás, emlékezet fejlesztése, fela-
dattartás, �gyelem, kezdeményez®képesség, meg�gyel®képesség, összefüggéslátás,
pontosság, csoportos, páros, egyéni munkavégzések, környezettudatosságra nevelés,
egészséges életmód.
Óra: 49{50. 55{56. 63{64.
Az ¶rtartalommérésr®l tanultak áttekintése, kib®vítése, alkalmazása a 2000-es számkör-
ben. ¶rtartalmak becslése, összehasonlítása, megmérése, kimérése alkalmilag válasz-
tott egységekkel, illetve szabványmértékegységekkel, milliliterrel, centiliterrel, deciliterrel,
literrel. Új fogalom a milliliter, ezért itt is beszéljük meg, hogy a �milli" latin szót milyen
értelemben használjuk.
Az ¶rtartalom becslése a tapasztalat hiánya miatt sokkal nehezebb, mint a hosszúság
becslése, így erre nagy �gyelmet fordítsunk.
Mutassunk be különböz® alakú, közel azonos ¶rtartalmú edényeket. Becslés alapján ren-
deztessük ezeket ¶rtartalmuk szerint. A becslést ellen®riztessük méréssel. A mérésnél
hívjuk fel a �gyelmet arra, hogy a mér®edényt mindig pontosan töltsék meg, a folyadékot
ne lötyögtessék szét.
Tk. 78-79/Figyeld meg!: A tanult mértékegységek értelmezése, rendszerezése: Mutas-
sunk be 1 dm3 térfogatú, vagyis 1 l ¶rtartalmú, például kartonpapírból készült kockát,
1 dl ¶rtartalmú �tepsit" stb. Így a tanulók tapasztalatot szereznek (el®készítés szintjén)
az ¶rtartalommérés és a térfogatmérés egységei közti kapcsolatok felismeréséhez.
Tk. 79/1. feladat: Tasziló olyan hibákat gy¶jtött össze, amelyeket a tanulók a becslés,
illetve mérés során tévesztenek.
Megoldás: 100 cl = 1 l 80 dl = 8 l 120 l = 1200 dl 2 cl = 20 ml
Tk. 80/2. feladat: A centiliter és a milliliter fogalmát szemléletileg megalapozó feladat. A
fogalomalkotás szempontjából kedvez®, ha ezt a mér®edényt ténylegesen bemutatjuk.
Megoldás: 250 : 10 { 25
25 beosztás van az üvegen.
a) 5 � 10 = 50 ml b) 7 � 10 = 70 ml
c) 10 � 10 = 100 ml d) 20 � 10 = 200 ml
Tk. 80/3. feladat: A centiliter és a milliliter fogalmát szemléletileg megalapozó feladat. A
fogalomalkotás szempontjából kedvez®, ha ezt a mér®edényt ténylegesen bemutatjuk.
Megoldás: 1000 ml = 100 cl 7 10 dl = 1 l
1 l vizet lehet mérni az edénnyel.
130 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
Az edény felfelé kiszélesedik, ezért a beosztások különböz® távolságra
vannak egymástól.
a) 250 : 50 = 5 b) 1000 : 50 = 20
5 pohárral tölthet® meg. 20 pohárral tölthet® meg.
Tk. 80/4. feladat: A centiliter és a milliliter fogalmát szemléletileg megalapozó feladatok.
Megoldás: a) 1 dl = 100 ml, 15 cl = 150 ml
100 + 150 + 30 + v = 300 v = 20 ml
20 ml vizet önt a koktélba.
b) 15 cl = 150 ml, 1 dl = 100 ml
150 + 100 + 20 + v = 300 v = 30 ml
30 ml vizet önt a koktélba.
c) 1 dl = 100 ml, 10 cl = 100 ml
100 + 25 + 75 + 100 + v = 300 v = 0 ml
Nem önt vizet a koktélba.
Tk. 80/5. feladat: A centiliter és a milliliter fogalmát megalapozó feladat.
Megoldás: a) 300 : 30 � 2 = 20
20 ml = 2 cl nektárt gy¶jt össze a méh.
b) 1500 : 30 � 2 = 100
100 ml = 10 cl = 1 dl nektárt gy¶jt össze a méh.
c) 900 : 30 � 2 = 60
60 ml = 6 cl nektárt gy¶jt össze a méh.
d) 1800 : 30 � 2 = 120
120 ml = 12 cl = 1 dl 2 cl nektárt gy¶jt össze a méh.
Tk. 80/6. feladat: Mértékváltások gyakorlása szöveges feladatban.
Megoldás: a) Adatok: 1 óra 200 ml
10 óra ? ml
Terv: x = 10 � 200
Számolás: x = 2000 ml = 200 cl = 20 dl = 2 l
Válasz: 2000 ml mézharmat gy¶lik össze.
Gy. 75/1. feladat: A tanult mértékegységek átváltása a 2000-es számkör �gyelembevé-
telével.
Megoldás: a) 10 ml b) 20 ml
10 cl = 100 ml 200 ml
10 dl = 100 cl = 1000 ml 2000 ml
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
131
Gy. 75/2. feladat: A tanult mértékegységek átváltása a 2000-es számkör �gyelembevé-
telével.
Megoldás: a) 30 ml b) 400 ml
70 ml 200 ml
120 ml 1500 ml
200 ml 2000 ml
Gy. 75/3. feladat: A tanult mértékegységek átváltása a 2000-es számkör �gyelembevé-
telével.
Megoldás: a) 4 cl 5 ml b) 3 dl 5 cl 4 ml
14 cl 5 ml 7 dl 0 cl 9 ml
7 cl 6 ml 10 dl 5 cl 4 ml
17 cl 6 ml 10 dl 0 cl 9 ml
Gy. 75/4. feladat: A tanult mértékegységek átváltása a 2000-es számkör �gyelembevé-
telével.
Megoldás: a) 54 ml b) 24 cl 5 ml
125 ml 35 cl 0 ml
1202 ml 50 cl 8 ml
c) 354 ml d) 6 dl 82 ml
528 ml 4 dl 50 ml
199 ml 7 dl 0 ml
e) 12 dl = 120 cl = 1200 ml
18 dl = 180 cl = 1800 ml
20 dl = 200 cl = 2000 ml
f) 134 cl 5 ml = 13 dl 4 cl 5 ml
156 cl 0 ml = 15 dl 6 cl 0 ml
180 cl 0 ml = 18 dl 0 cl 0 ml
Gy. 76/5. feladat: A mindennapi életben használt eszközök ¶rtartalmának becslése,
majd megmérése. Pontosabban mérhetjük meg a kanál ¶rtartalmát, ha például 10 kanál
folyadék ¶rtartalmát mérjük meg.
Megoldás: a) B: 15 cl b) B: 5 cl c) B: 20 cl
Gy. 76/6. feladat: A mindennapi életben használt eszközök ¶rtartalmának becslése,
majd megmérése. Pontosabban mérhetjük meg a kanál ¶rtartalmát, ha például 10 kanál
folyadék ¶rtartalmát mérjük meg.
Megoldás: a) B: 2 dl b) B: 5 dl c) B: 10 dl
132 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
Gy. 76/7. feladat: A mértékváltásról tanultak gyakorlása.
Megoldás: a) 70 dl 150 dl 8 dl 16 dl
b) 90 cl 500 cl 70 cl 580 cl
c) 40 ml 2000 ml 500 ml 1070 ml
Gy. 76/8. feladat: Mértékváltások gyakorlása szöveges feladatokban.
Megoldás: a) Adatok: v = 2 l = 2000 ml, k = 3 dl 5 ml = 305 ml, m = ?
Terv: m = v { k
Számolás: m = 2000 { 305 m = 1695 ml
Válasz: 1695 ml = 1 l 6 dl 9 cl 5 ml víz maradt az edényben.
b) Adatok: v = 3 dl 5 cl = 35 cl = 350 ml,
h = 36 cl 8 ml = 368 ml, l = ?
Terv: l = v + h
Számolás: l = 350 + 368 l = 718 ml
Válasz: 718 ml = 7 dl 1 cl 8 ml víz lett az edényben.
Gy. 76/9. feladat: A mértékváltásról tanultak gyakorlása.
Megoldás: a) 5 dl 5 cl b) 650 ml
3 dl 8 cl 760 ml
4 dl 2 cl 440 ml
Gy. 76/10. feladat: A centiliter és a milliliter fogalmát szemléletileg megalapozó feladat.
A fogalomalkotás szempontjából kedvez®, ha ezt a mér®edényt ténylegesen bemutatjuk.
Megoldás:
80 ml
fél dl
15 ml
100 ml
7 cl 5 ml
negyed dl
5 cl
Tömegmérés; gramm
Kompetenciák, fejlesztési feladatok:
rendszerezés, mennyiségi következtetés, becslés, mérés, mértékegységváltás, szöveg-
értés, szövegértelmezés, rész-egész észlelése, induktív következtetések, deduktív kö-
vetkeztetések, problémaérzékenység, problémamegoldás, emlékezet fejlesztése, fela-
dattartás, �gyelem, kezdeményez®képesség, meg�gyel®képesség, összefüggéslátás,
pontosság, csoportos, páros, egyéni munkavégzések, környezettudatosságra nevelés.
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
133
Óra: 51. 57. 65.
A gramm fogalmát értelmezzük már meglév® tapasztalatokra és ismeretekre építve. A
háztartásban a gyermekek gyakran találkoznak hasonló tömeg¶ árukkal. Törekedjünk ar-
ra, hogy minél többször becsüljenek meg, hasonlítsanak össze 10{20 grammnyi mennyi-
ségeket.
A színesrúdkészlet fehér kockája 1 gramm tömeg¶ (ennek megfelel®en ahány centiméter
hosszú a rúd, annyi gramm a tömege). Apró tárgyakat hasonlítsanak össze vele.
Konyhai vagy játék mérlegen mérjenek meg (ki) azonos anyagból különböz® mennyisé-
geket, illetve különböz® s¶r¶ség¶ (fajsúlyú), azonos térfogatú anyagokat (vasreszelék,
homok, só, cukor, liszt stb.). Hasonlítsuk össze a mérési eredményeket, és �gyeltessük
meg a következ®ket:
Ugyanabból az anyagból kisebb ¶rtartalmú anyagnak arányosan kisebb, nagyobb
¶rtartalmú anyagnak arányosan nagyobb a tömege.
Különböz® anyagból készült (vas, fa, hungarocell stb.), de ugyanakkora méret¶ tár-
gyaknak, illetve azonos térfogatú különböz® anyagoknak más-más lehet a tömege.
Ha ugyanannak a testnek a tömegét megmérve különböz® színesrudakat alkalma-
zunk egységként, akkor a nagyobb egységhez arányosan kisebb, a kisebb egység-
hez arányosan nagyobb mér®szám tartozik (nem mondjuk meg, hogy fordított ará-
nyosságról van szó).
Csak a konkrét mérések után foglalkozzanak a tanulók a tanult mértékegységek átváltá-
sával a 2000-es számkör �gyelembevételével.
A mérési adatokat rendeztessük táblázatba, esetleg készíttessünk diagramot, gra�kont
a mérési adatok felhasználásával.
A téma feldolgozását hangoljuk össze a környezetismerettel is.
Tk. 81/Figyeld meg!: Összefoglaljuk, rendszerezzük a tömegmérésr®l eddig tanultakat.
Tk. 81/1. feladat: Mértékváltás gyakorlása.
Megoldás: a) 4 b) 10 c) 15 d) 100 e) 2 és fél
Tk. 81/2. feladat: A biztos mennyiségfogalom kialakulását segít® feladat.
Megoldás: 25 g 500 g 25 dkg 50 g 25 kg
f¶szer margarin margarin vaj gyerek
Tk. 82/3. feladat: Következtetés egységnyi mennyiségr®l többre.
Megoldás: a) l = 8 � 15 g l = 120 g = 12 dkg
120 g = 12 dkg a tömege 8 kanál lisztnek.
b) c = 7 � 25 g c = 175 g = 17 dkg 5 g
175 g = 17 dkg 5 g a tömege 7 kanál cukornak.
c) s = 4 � 30 g s = 120 g = 12 dkg
120 g = 12 dkg a tömege 4 kanál sónak.
134 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
d) e = 6 � 15 g + 6 � 25 g e = 240 g = 24 dkg
240 g = 24 dkg a tömege 6 kanál lisztnek és 6 kanál cukornak.
e) ö = 9 � 15 g + 30 g ö = 165 g = 16 dkg 5 g
165 g = 16 dkg 5 g a tömege 9 kanál lisztnek és 1 kanál sónak.
Tk. 82/4. feladat: Mértékváltások gyakorlása szöveges feladatban.
Megoldás: Adatok: c = 4 g, c <
2n, 30 nap ?
Terv: x = 30 � 2 � 4
Számolás: x = 240 g = 24 dkg
Válasz: 240 g élelmet fogyaszt el a cickány 30 nap alatt.
Rajzon: 30 mm Valóságban: 2 � 30 = 60
60 mm = 6 cm hosszú a cickány testhossza a farka nélkül.
Tk. 82/5. feladat: Mértékváltások gyakorlása szöveges feladatban.
Megoldás: Adatok: p = 40 g, g >
hatodap, k = ?
Terv: k = g { p
Számolás: k = 6 � 40 { 40 vagy k = 5 � 40
Válasz: k = 200 g = 20 dkg
20 dkg-mal nagyobb a gerle tömege.
Rajzon: 28 mm Valóságban: 5 � 28 = 140
140 mm = 14 cm = 1 dm 4 cm hosszú a búbos pacsirta.
Tk. 82/6. feladat: Mértékváltások gyakorlása szöveges feladatban.
Megoldás: Adatok: b = 1 kg 80 dkg = 180 dkg = 1800 g b >
300cs,cs = ?
Terv: cs = 1800 : 300
Számolás: cs = 6 g
Válasz: 6 g a csilpcsalpfüzike tömege.
Rajzon: 4 cm Valóságban: 18 � 4 = 72 cm
72 cm magas a bölömbika.
f = 720 : 6 f = 120 mm = 12 cm
120 mm = 12 cm hosszú a füzike.
Gy. 77/1. feladat: Alkalmazzuk a tömeg- és az ¶rtartalom-mértékegységek közötti kap-
csolatot. (4 oC-os vízr®l van szó.)
Megoldás: a) 1 ml víz tömege = 1 g
b) 1 cl víz tömege = 10 g = 1 dkg
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
135
c) 1 dl víz tömege = 100 g = 10 dkg
d) 1 l víz tömege = 1000 g = 100 dkg = 1 kg
Gy. 77/2. feladat: Következtetés egységnyi mennyiségr®l többre.
Megoldás: a) d = 6 � 150 d = 900 g = 90 dkg
90 dkg a tömege 6 pohár darának.
b) l = 9 � 130 l = 1170 g = 117 dkg
1170 g = 117 dkg a tömege 9 pohár lisztnek.
c) c = 4 � 270 g c = 1080 g = 108 dkg
1080 g = 108 dkg a tömege 4 pohár cukornak.
Gy. 77/3. feladat: Mértékváltás gyakorlása.
Megoldás: a) 7 dkg 5 g b) 1156 g
14 dkg 6 g 1082 g
125 dkg 6 g 1004 g
c) 36 g d) 1 kg 24 dkg 6 g
252 g 1 kg 7 dkg 5 g
1025 g 1 kg 90 dkg 2 g
Gy. 77/4. feladat: Következtetés egyr®l többre. A fehér kocka tömege 1 gramm.
A feladat megoldását, illetve ellen®rzését kapcsoljuk konkrét méréshez. Tudatosítsuk,
hogy a mért adat mindig közelít® érték.
Megoldás: a) 1 világoskék rúd tömege = 3 g
15 világoskék rúd tömege = 45 g = 4 dkg 5 g
b) 1 lila rúd tömege = 6 g
132 lila rúd tömege = 792 g = 79 dkg 2 g
c) 1 narancssárga rúd tömege = 10 g
200 narancssárga rúd tömege = 2000 g = 200 dkg 0 g = 2 kg
Az összeg becslése
Kompetenciák, fejlesztési feladatok:
gazdasági nevelés, számlálás, számolás, rendszerezés, relációszókincs fejlesztése, szö-
vegértés, szövegértelmezés, szövegesfeladat-megoldás, rész-egész észlelése, becslés,
induktív következtetések, problémaérzékenység, problémamegoldás, emlékezet fejlesz-
tése, �gyelem, kezdeményez®képesség, meg�gyel®képesség, összefüggéslátás, pon-
tosság, kooperatív és önálló munkavégzés.
136 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
Óra: 52. 58. 66.
Az írásbeli összeadás els® lépésében meg kell becsülnünk az összeget. Ezért most tisz-
tázzuk a becslés fogalmát. Megbeszéljük, hogy a kerekítésr®l és a kerek számok össze-
adásáról tanultakat hogyan alkalmazhatjuk háromjegy¶ számok összegének becslésére.
Minimumszinten elégedjünk meg a százasra kerekített értékekkel történ® számolással.
A biztosabban számoló tanulóktól elvárható, hogy képesek legyenek alkalmazni a másik
két modellt, a tízesre kerekített értékekkel történ® számolást, illetve az összeg �két érték
közé szorítását".
A becsült közelít® érték és a tényleges összeg összevetésekor a tanulóknak tudatosan
alkalmazniuk kell az összeg változásairól korábban meg�gyelteket.
Tk. 83/1. kidolgozott mintapélda: Beszéljük meg a m¶veletvégzés el®tt a becslés mód-
jait.
Tk. 83/1. feladat: Összeg becslése, a becsült érték és a tényleges érték összehasonlí-
tása az összeg változásainak �gyelembevételével.
Megoldás: a) 200 + 300 = 500
Becslés < Számolás, mert mindkét tagot lefelé kerekítettük.
b) 1400 + 500 = 1900
Becslés > Számolás, mert mindkét tagot felfelé kerekítettük.
c) 300 + 100 + 100 = 500
Becslés < Számolás, mert többet kerekítettük lefelé, mint felfelé.
Tk. 83/2. feladat: Összeg becslése, a becsült érték és a tényleges érték összehasonlí-
tása az összeg változásainak �gyelembevételével.
Megoldás: a) 210 + 340 = 550
Becslés < Számolás, mert mindkét tagot lefelé kerekítettük.
b) 1370 + 520 = 1890
Becslés > Számolás, mert többet kerekítettük lefelé, mint felfelé.
c) 330 + 80 + 150 = 560
Becslés > Számolás, mert minden tagot felfelé kerekítettük.
Tk. 83/3. feladat: Összeg becslése, a becsült érték és a tényleges érték összehasonlí-
tása az összeg változásainak �gyelembevételével.
Megoldás: a) 210 + 340 < ö < 220 + 350 550 < ö < 570
b) 1360 + 520 < ö < 1370 + 530 1880 < ö < 1900
c) 320 + 70 + 140 < ö < 330 + 80 + 150 530 < ö < 560
Tk. 84/4. feladat: Összeg becslése, a becsült érték és a tényleges érték összehasonlí-
tása az összeg változásainak �gyelembevételével.
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
137
Megoldás: a) Becslés: 150 + 350 = 500 Ft
Pontos érték: 153 + 348 = 501 Ft
Becslés <1Számolás
501 Ft-ja lett Annának.
b) Becslés: 430 + 280 = 710 Ft
Pontos érték: 432 + 283 = 715 Ft
Becslés <5Számolás
715 Ft-juk van együtt.
c) Becslés: 360 + 110 = 470 Ft
Pontos érték: 355 + 113 = 468 Ft
Becslés >2Számolás
468 Ft-ja van Editnek.
Tk. 84/5. feladat: Összeg becslése, a becsült érték és a tényleges érték összehasonlí-
tása az összeg változásainak �gyelembevételével.
Megoldás: a) Toll: 458 Ft, Festék: 312 Ft
Becslés: 500 + 300 = 800 Ft
b) Album: 573 Ft, Színes ceruza: 236 Ft
Becslés: 600 + 200 = 800 Ft
c) Album: 573 Ft Toll: 458 Ft
Becslés: 570 + 460 = 1030 Ft
d) Festék: 312 Ft, Színes ceruza: 236 Ft
Becslés: 310 + 240 = 550 Ft
e) Album és festék,
Album és színes ceruza
f) Toll és színes ceruza,
Toll és festék,
Festék és színes ceruza
Gy. 78/1. feladat: Összeg becslése százasra kerekített értékekkel számolva.
Megoldás: a) 1000 + 100 = 1100
b) 500 + 100 + 100 = 700
138 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
Gy. 78/2. feladat: Összeg becslése tízesre kerekített értékekkel számolva.
Megoldás: a) 230 + 980 = 1210
b) 200 + 200 = 400
c) 200 + 230 + 210 = 640
d) 200 + 980 + 300 = 1480
Gy. 78/3. feladat: Összeg becslése két érték közé szorítással.
Megoldás: 460 + 350 < x < 470 + 360 810 < x < 830
�Irásbeli összeadás
Kompetenciák, fejlesztési feladatok:
gazdasági nevelés, számlálás, számolás, rendszerezés, relációszókincs fejlesztése, szö-
vegértés, szövegértelmezés, szövegesfeladat-megoldás, rész-egész észlelése, becslés,
induktív következtetések, problémaérzékenység, problémamegoldás, emlékezet fejlesz-
tése, �gyelem, kezdeményez®képesség, metakogníció, meg�gyel®képesség, összefüg-
géslátás, pontosság, kooperatív és önálló munkavégzés, környezettudatosságra nevelés,
egészséges életmód.
Óra: 53{57. 59{64. 67{72.
Az írásbeli összeadás algoritmusa jól szemléltethet® játék pénzzel. A tankönyvi ábra sta-
tikus, ha például a táblán kirakva ténylegesen �eljátsszuk" két érték összeadását, akkor
ez a dinamikus szemléltetés lényegesen hatékonyabb lehet (ebben az esetben a tan-
könyvi ábra �emlékeztet®" szerepet játszik). Adjunk a gyerekek kezébe játék pénzt.
Az írásbeli összeadás tanulása során az �átváltás" okozhat gondot a tanulóknak, ezért
ezen a téren (több órán át) fokozatosan nehezítjük a feladatokat (nincs átváltás, egy
átváltás van, több átváltás van).
Kezdetben típushiba lehet, hogy a tanulók nem veszik �gyelembe a helyiértéket a szá-
mok egymás alá írásakor, ezért mindig adjunk olyan feladatokat, amelyekben a gyerme-
keknek kell egymás alá írniuk a számokat.
A m¶veletvégzés el®tt mindig becsültessük meg az eredményt (lásd az összeg becslé-
sénél leírtakat). A becslésnél ne írják egymás alá a számokat a tanulók, �fejben" szá-
moljanak. Tipikus, hogy az írásbeli m¶velet eredményét kerekíti a tanuló, és ezt írja be
becsült értékként. Ne fogadjuk el ezt a �megoldást".
Az eredményt ellen®riztessük az összeadás fordított sorrendben történ® elvégeztetésé-
vel, illetve a becsült érték és az összeg összehasonlíttatásával.
Az írásbeli m¶veletek elsajátíttatását, gyakoroltatását a tanítás minden fázisában kös-
sük össze egyszer¶ szöveges feladatok megoldatásával. Most válik teljessé a szöveges
feladatok megoldásának menete (hiszen korábban nem volt funkciója a becslésnek):
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
139
A szöveg értelmezése: esetleg rajz, táblázat készítése, az adatok lejegyzése stb.
Az adatokat úgy kell lejegyezni, hogy az adatok közti összefüggés is értelmezhet®
legyen.
A matematikai modell felírása.
Becslés kerekített értékekkel történ® számítással.
A számítás elvégzése.
Ellen®rzés: a becsült érték és a számított érték összehasonlítása, az összeg válto-
zásainak �gyelembevételével.
Szöveges válasz, az eredmény értelmezése a szöveg alapján.
Tk. 85/1. kidolgozott mintapélda: Két szám írásbeli összeadása átváltás nélkül. A m¶-
veletvégzés el®tt (tízesre vagy százasra kerekített értékekkel számolva) becsültessük
meg az eredményt. Az ellen®rzésnél hasonlíttassuk össze a becsült és a számított érté-
keket.
Két szám írásbeli összeadása átváltás nélkül. A m¶veletvégzés el®tt (tízesre vagy szá-
zasra kerekített értékekkel számolva) becsültessük meg az eredményt. Az ellen®rzésnél
hasonlíttassuk össze a becsült és a számított értékeket.
Tk. 85/1. feladat: Tasziló ismét megmutatja a tanulóknak azokat a hibákat, amelyeket
gyakran elkövetnek. Beszéljük meg, és javítsuk ki az összeadást. Az írásbeli összeadás-
nál helyiérték szerint kell egymás alá írni a számokat.
Megoldás: Becslés: Becslés:
százasra kerekítve: 1400 százasra kerekítve: 1400
tízesre kerekítve: 1480 tízesre kerekítve: 1390
Számolás: 1235+ 243
1478
Számolás: 1342+ 53
1395
Tk. 86/2. feladat: Két szám írásbeli összeadása átváltás nélkül. A m¶veletvégzés el®tt
(tízesre vagy százasra kerekített értékekkel számolva) becsültessük meg az eredményt.
Az ellen®rzésnél hasonlíttassuk össze a becsült és a számított értékeket.
Megoldás: Becslés
százasra kerekítve: 800 700 900 300 1500 1300 1600
tízesre kerekítve: 830 690 950 290 1570 1380 1650
Számolás: 834 688 955 288 1567 1379 1649
Tk. 86/3. feladat: Tízesátlépés nélküli írásbeli összeadás gyakorlása és az összeg vál-
tozásainak meg�gyeltetése a feladat célja. A tanulók egy része a m¶veletek elvégzése
el®tt meg tudja mondani, mikor n®, mikor csökken az eredmény, és mennyivel.
140 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
Megoldás: 3 4 6
+ 2 1 3
5 5 9
3 4 6
+ 3 1 3
6 5 9
3 4 6
+ 1 1 3
4 5 9
+100
{ 200
{ 100
+100
{ 200
{ 100
Tk. 86/4. feladat: Tízesátlépés nélküli írásbeli összeadás gyakorlása és az összeg vál-
tozásainak meg�gyeltetése a feladat célja. A tanulók egy része a m¶veletek elvégzése
el®tt meg tudja mondani, mikor n®, mikor csökken az eredmény, és mennyivel.
Megoldás: Becslés
százasra kerekítve: 600 700 700 700 700 500
tízesre kerekítve: 560 660 660 680 680 490
Számolás: 567 667 667 687 687 487<
100= <
20= >
100
Tk. 86/2. kidolgozott mintapélda: �Irásbeli összeadás tízesek, illetve százasok átlépésé-
vel. Ha a maradékkal kezdik a következ® helyiértéken az összeadást a tanulók, kevésbé
feledkeznek meg róla.
Csak akkor lépjünk át erre az anyagrészre, ha az átváltás nélküli összeadás algoritmusát
már elsajátították a tanulók. Két szám írásbeli összeadását legfeljebb egy helyiértéken
történ® átváltással, végeztessük.
Rendszeresen térjünk vissza az összeg változásainak meg�gyeltetésére.
Tk. 87/5. feladat: Két szám írásbeli összeadása legfeljebb egy helyiértéken történ® át-
váltással. A m¶veletvégzés el®tt (tízesre vagy százasra kerekített értékekkel számolva)
becsültessük meg az eredményt. Az ellen®rzésnél hasonlíttassuk össze a becsült és a
számított értékeket.
Megoldás: Becslés
százasra kerekítve: 700 800 700 600 900 700
tízesre kerekítve: 740 800 760 600 990 760
Számolás: 740 796 757 595 981 753
Tk. 87/6. feladat: Két szám írásbeli összeadása legfeljebb egy helyiértéken történ® át-
váltással. A m¶veletvégzés el®tt (tízesre vagy százasra kerekített értékekkel számolva)
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
141
becsültessük meg az eredményt. Az ellen®rzésnél hasonlíttassuk össze a becsült és a
számított értékeket.
Megoldás: 5 m 32 cm = 532 cm, 2 m 4 dm = 240 cm
6 m 3 cm = 603 cm, 2 m 1 dm 8 cm = 218 cm
Megoldás: Becslés Számolás:
százasra kerekítve: tízesre kerekítve:
532 + 240 700 770 772 cm
532 + 111 + 218 800 860 855 cm
603 + 218 800 820 815 cm
603 + 111 + 240 900 950 954 cm
Tk. 87/3. kidolgozott mintapélda: �Irásbeli összeadás tízesek, illetve százasok átlépésé-
vel. Ha a maradékkal kezdik a következ® helyiértéken az összeadást a tanulók, kevésbé
feledkeznek meg róla.
Csak akkor lépjünk át erre az anyagrészre, ha az átváltás nélküli összeadás algoritmusát
már elsajátították a tanulók. Két szám írásbeli összeadását több helyiértéken történ®
átváltással végeztessük.
Rendszeresen térjünk vissza az összeg változásainak meg�gyeltetésére.
Tk. 88/7. feladat: Két szám írásbeli összeadása legfeljebb egy helyiértéken történ® át-
váltással. A m¶veletvégzés el®tt (tízesre vagy százasra kerekített értékekkel számolva)
becsültessük meg az eredményt. Az ellen®rzésnél hasonlíttassuk össze a becsült és a
számított értékeket.
Megoldás: Becslés
százasra kerekítve: 500 700 900 600 800 800
tízesre kerekítve: 510 730 840 590 820 730
Számolás: 507 728 839 587 818 735
Tk. 88/8. feladat: Az írásbeli összeadás gyakorlása és az összeg változásainak meg-
�gyeltetése a feladat célja. A tanulók egy része a m¶veletek elvégzése el®tt meg tudja
mondani, mikor n®, mikor csökken az eredmény, és mennyivel.
Megoldás:4 5 3
+ 2 7 5
7 2 8
3 5 3
+ 3 7 5
7 2 8
5 5 3
+ 1 7 5
7 2 8
{ 100
+200
+100
{ 200
+0
+0
142 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
Tk. 88/4. kidolgozott mintapélda: A szöveges feladat megoldásának lépéseit mutatja
be a feladat az írásbeli összeadásra.
A szöveg értelmezése: esetleg rajz, táblázat készítése, az adatok lejegyzése stb.
Az adatokat úgy kell lejegyezni, hogy az adatok közti összefüggés is értelmezhet®
legyen.
A matematikai modell felírása.
Becslés kerekített értékekkel történ® számítással.
A számítás elvégzése.
Ellen®rzés: a becsült érték és a számított érték összehasonlítása, az összeg válto-
zásainak �gyelembevételével.
Szöveges válasz, az eredmény értelmezése a szöveg alapján.
Tk. 89/5. kidolgozott mintapélda: Több szám írásbeli összeadásának modelljét mutat-
juk be több helyiértéken történ® helyiérték-átlépéssel.
A m¶veletvégzés el®tt megbecsüljük az eredményt. Az eredményt ellen®rizhetjük az
összeadás fordított sorrendben történ® elvégzésével, illetve a becsült érték és az összeg
összehasonlításával.
Tk. 90/9. feladat: �Irásbeli összeadása gyakorlására szánt feladatsor. A m¶veletvégzés
el®tt (tízesre vagy százasra kerekített értékekkel számolva) becsültessük meg az ered-
ményt. Az ellen®rzésnél hasonlíttassuk össze a becsült és a számított értékeket.
Megoldás: a) Becslés
százasra kerekítve: 800 700 900 1400 800 1200
tízesre kerekítve: 770 700 860 1430 770 1260
Számolás: 769 694 858 1434 765 1253
Tk. 90/10. feladat: Az átváltásokkal kapcsolatos típushibákat becslés segítségével fel-
ismertetjük, majd javíttatjuk a tanulókkal.
Megoldás: b) Becslés
százasra kerekítve: 600 0 1000 1400 200
tízesre kerekítve: 630 80 1090 1410 140
Számolás: 626 73 1084 1408 140
Tk. 90/11. feladat: Szöveges feladatok az írásbeli összeadás, illetve a mértékváltások
gyakoroltatására. A szükséges adatok nem azonos mértékegységgel vannak megadva,
így az adatok kigy¶jtésénél át kell váltani a mértékegységeket.
Törekedjünk az önálló feladatmegoldásra. Kezdetben lépésenként ellen®rizzük a megol-
dást (adatok kigy¶jtése, terv, becslés, számolás, ellen®rzés, válasz), majd fokozatosan
jussunk el a szöveges válasz utáni ellen®rzéshez.
Megoldás: a) Adatok: B= 2 kg 84 dkg = 284 dkg,
D = 3 kg 2 dkg = 302 dkg, Ö = ?
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
143
Terv: Ö = B + D Ö = 284 + 302
Becslés: Százasra kerekítve: 600 dkg
Tízesre kerekítve: 580 dkg
Számolás: Ö = 586 dkg = 5 kg 86 dkg
Ellen®rzés: Az eredmény összhangban van a becsléssel.
Válasz: 586 dkg = 5 kg 86 dkg nehéz volt a két gyerek együtt.
b) Adatok: a = 612 kg, k = 203 kg, sz = 385 kg, ö = ?
Felesleges adat: k = 78 kg
Terv: ö = a + k + sz
ö = 612 + 203 + 385
Becslés: Százasra kerekítve: 1200 kg
Tízesre kerekítve: 1200 kg
Számolás: ö = 1200 kg
Ellen®rzés: Az eredmény összhangban van a becsléssel.
Válasz: 1200 kg gyümölcs volt a zöldségesnél.
c) Adatok: É = 2 m 35 cm = 235 cm,
J = 1 m 25 cm = 125 cm, Ö = ?
Terv: Ö = É + J
Ö = 235 + 125
Becslés: Százasra kerekítve: 300 cm
Tízesre kerekítve: 370 cm
Számolás: Ö = 360 cm = 3 m 60 cm
Ellen®rzés: Az eredmény összhangban van a becsléssel.
Válasz: 360 cm = 3 m 60 cm anyagot kell vásárolniuk.
d) Adatok: K = 2 dm 35 mm = 235 mm K <
1 dm 25 mm = 125 mmJ, J = ?
Terv: J = K + 125 J = 235 + 125
Becslés: Százasra kerekítve: 300 mm
Tízesre kerekítve: 370 mm
Számolás: Ö = 360 mm = 3 dm 6 cm
Ellen®rzés: Az eredmény összhangban van a becsléssel.
Válasz: 360 mm = 3 m 6 cm szalagot kötöttek Lilla hajába.
e) Adatok: ü = 1 l 34 cl = 134 cl,
k = 17 l 1 cl = 1701 cl, ö = ?
Terv: ö = ü + k ö = 134 + 1701
Becslés: Százasra kerekítve: 1800 cl
Tízesre kerekítve: 1830 cl
Számolás: ö = 1835 cl = 18 l 3 dl 5 cl
144 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
Ellen®rzés: Az eredmény összhangban van a becsléssel.
Válasz: 1835 cl = 18 l 3 dl 5 cl víz van a két edényben összesen.
f) Adatok: ü = 13 l 4 cl = 1304 cl, ü <1 l 71 cl = 171 cl -rel
k k = ?
Terv: k = ü + 171 k = 1304 + 171
Becslés: Százasra kerekítve: 1500 cl
Tízesre kerekítve: 1470 cl
Számolás: ö = 1475 cl = 14 l 7 dl 5 cl
Ellen®rzés: Az eredmény összhangban van a becsléssel.
Válasz: 1475 cl = 14 l 7 dl 5 cl víz van a kannában.
Tk. 91/12. feladat: Az összeg hiányzó tagjának, illetve hiányzó számjegyeinek meghatá-
rozása. A megoldás feltételezi az írásbeli összeadás alapos begyakorlását. A feladatok
megoldásával el®készítjük az írásbeli kivonás gyakorlását.
Megoldás: 324+ 708942
234+ 708942
471+ 348819
278+ 12361514
452+ 534986
156+ 8671023
Tk. 91/13. feladat: Az írásbeli összeadás gyakorlása becsléssel.
Megoldás: Becslés Számolás:
százasra kerekítve: tízesre kerekítve:
a) 300 + 0 + 100 = 400 330 + 20 + 110 = 460 459
b) 1300 + 0 + 200 = 1500 1260 + 40 + 230 = 1530 1528
c) 1300 + 0 + 0 = 1300 1330 + 10 + 40 = 1370 1370
d) 700+200+1000 = 1900 670+150+1030 = 1850 1859
e) 0 + 100 + 1400 = 1500 30+130+1420 = 1580 1578
f) 1200+200+300 = 1700 1230+190+280 = 1700 1706
Tk. 91/14. feladat: A kreativitást fejleszt® feladat. Minden próbálkozásnál beszéljük meg,
kinek sikerült a megoldás, kinek nem, és miért. A meglév® számokból más elrendezéssel
lehet-e a feltételnek megfelel® megoldást találni?
Megoldás: Figyeljük meg az egyes eseteket. Melyek lehetnek a nyer® stratégiák?
Tk. 91/15. feladat: Azt kell észrevenniük a tanulóknak, hogy a két legdrágább játékot
Ági meg tudja vásárolni, (még pénze is marad), de a három legolcsóbbat már nem.
Megoldás: a) 641+ 7161357
641+ 6241265
641+ 328969
641+ 4561097
716+ 6241340
716+ 3281044
716+ 4561172
624+ 328952
624+ 4561080
328+ 456784
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
145
641716
+ 6241981
641716
+ 3281685
641716
+ 4561813
641624
+ 3281593
641624
+ 4561721
641328
+ 4561425
716624
+ 3281668
716624
+ 4561796
624328
+ 4561408
b) 641 + 716| {z }
1357
< P < 624 + 328 + 456| {z }
1408
1358, 1359, 1360, . . . , 1405, 1406, 1407 Ft-ja lehet Toncsinak.
Tk. 92/16. feladat: Természetismerethez kapcsolódó szöveges feladatok, amelyeknek
adatai megfelelnek a valóságnak, szakkönyvekb®l vettük át.
Törekedjünk az önálló feladatmegoldásra. Kezdetben lépésenként ellen®rizzük a megol-
dást (adatok kigy¶jtése, terv, becslés, számolás, ellen®rzés, válasz), majd fokozatosan
jussunk el a szöveges válasz utáni ellen®rzéshez.
Megoldás: a) Adatok: m = 236 cm, m <
374 cm-reld, d = ?
Terv: d = m + 374 d = 236 + 374
Becslés: Százasra kerekítve: 600 cm
Tízesre kerekítve: 610 cm
Számolás: d = 610 cm = 6 m 10 cm
Ellen®rzés: 236 <374 cm-rel
610
Válasz: 610 cm = 6 m 10 cm magasra tud ugrani egy del�n.
b) Adatok: m = 405 cm, m <
658 cm-relh h = ?
Terv: h = m + 658 h = 405 + 658
Becslés: Százasra kerekítve: 1100 cm
Tízesre kerekítve: 1070 cm
Számolás: h = 1063 cm = 10 m 63 cm
Ellen®rzés: 405 <658
1063
Válasz: 1063 cm = 10 m 63 cm hosszú az afrikai elefánt.
c) Adatok: f = 178 cm, f <
86 cm-rels, s = ?
Terv: s = f + 86 s = 178 + 86
Becslés: Százasra kerekítve: 300 cm
Tízesre kerekítve: 270 cm
Számolás: s = 264 cm = 2 m 64 cm
146 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
Ellen®rzés: 178 <86
264
Válasz: 264 cm = 2 m 64 cm magas lehet egy strucc.
d) Adatok: K = 167 m, K <
213 m-relL, L = ?
Terv: L = K + 213 L = 167 + 213
Becslés: Százasra kerekítve: 400 m
Tízesre kerekítve: 380 m
Számolás: L = 380 m
Ellen®rzés: 167 <213
380
Válasz: 380 m hosszú a budapesti Lánchíd.
e) Adatok: b = 468 kg, b <976 kg-mal
e, e = ?
Terv: e = b + 976 e = 1468 + 976
Becslés: Százasra kerekítve: 1500 kg
Tízesre kerekítve: 1450 kg
Számolás: e = 1444 kg
Ellen®rzés: 468 <976
1444
Válasz: 1444 kg tömeg¶ volt az európai bölénybika.
Megoldás: b) Adatok: f = 29, g = 26, k = 32 + 32, l = 31 + 31, m = 25,
ö = ?
Terv: ö = f + g + k + l + m
ö = 29 + 26 + 32 + 32 + 31 + 31 + 25
Becslés: Százasra kerekítve: 0
Tízesre kerekítve: 210
Számolás: ö = 206
Ellen®rzés: Az eredmény összhangban van a becsléssel.
Válasz: 206 csontból épül fel az emberi csontváz.
Gy. 79/1. feladat: Két szám írásbeli összeadása átváltás nélkül. A m¶veletvégzés el®tt
(tízesre vagy százasra kerekített értékekkel számolva) becsültessük meg az eredményt.
Az ellen®rzésnél hasonlíttassuk össze a becsült és a számított értékeket.
Megoldás: a) Becslés Számolás: 578
százasra kerekítve: 300200500
tízesre kerekítve: 340240580
Becslés Számolás: 688
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
147
százasra kerekítve: 500200700
tízesre kerekítve: 450240690
Gy. 79/2. feladat: Két szám írásbeli összeadása átváltás nélkül. A m¶veletvégzés el®tt
(tízesre vagy százasra kerekített értékekkel számolva) becsültessük meg az eredményt.
Az ellen®rzésnél hasonlíttassuk össze a becsült és a számított értékeket.
Megoldás: Becslés a) b) c) d)
százasra kerekítve: 1400 1400 1000 1600
tízesre kerekítve: 1470 1390 1000 1590
Számolás: 1469 1397 999 1588
Gy. 80/3. feladat: A kell® begyakorlás érdekében leírjuk, hogyan becsülünk �fejben". A
tagok kerekített értékével végezzük el az összeadást.
Megoldás: Becslés Számolás:
százasra kerekítve: tízesre kerekítve:
a) 300 + 500 = 800 340 + 450 = 790 788
b) 400 + 600 = 1000 420 + 580 = 1000 998
c) 600 + 200 = 800 640 + 210 = 850 849
d) 500 + 200 = 700 510 + 160 = 670 669
e) 1400 + 500 = 1900 1350 + 550 = 1900 1898
f) 500 + 1000 = 1500 460 + 1020 = 1480 1484
Gy. 80/4. feladat: Két szám írásbeli összeadása átváltás nélkül. A m¶veletvégzés el®tt
(tízesre vagy százasra kerekített értékekkel számolva) becsültessük meg az eredményt.
Az ellen®rzésnél hasonlíttassuk össze a becsült és a számított értékeket.
Megoldás: a) Becslés
százasra kerekítve: 900 1900 1900 1700
tízesre kerekítve: 970 1930 1980 1670
Számolás: 969 1929 1977 1677
b) Becslés
százasra kerekítve: 900 900 2000 2000
tízesre kerekítve: 900 900 1990 1980
Számolás: 898 988 1988 1978
Gy. 81/5. feladat: Szöveges feladatok az írásbeli összeadás gyakoroltatására.
Törekedjünk az önálló feladatmegoldásra. Kezdetben lépésenként ellen®rizzük a megol-
dást (adatok kigy¶jtése, terv, becslés, számolás, ellen®rzés, válasz), majd fokozatosan
jussunk el a szöveges válasz utáni ellen®rzéshez.
148 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
Megoldás: a) Adatok: k = 264 Ft, l = 525 Ft, ö = ?
Terv: ö = k + l ö = 264 + 525
Becslés: százasra kerekítve: 800 Ft
tízesre kerekítve: 790 Ft
Számolás: ö = 789 Ft
Ellen®rzés: A számolás összhangban van a becsléssel.
Válasz: 789 Ft-ot �zetett összesen András.
b) Adatok: B = 1247 Ft, B <
551 Ft-talF, F = ?
Terv: F = B + 551 F = 1247 + 551
Becslés: százasra kerekítve: 1800 Ft
tízesre kerekítve: 1800 Ft
Számolás: F = 1798 Ft
Ellen®rzés: 1247 <551
1798
Válasz: 1798 Ft-ja van Ferinek.
c) Adatok: N = 1042 Ft, N <
755 Ft-talÉ, É = ?
Terv: É = N + 755 É = 1042 + 755
Becslés: százasra kerekítve: 1800 Ft
tízesre kerekítve: 1800 Ft
Számolás: É = 1797 Ft
Ellen®rzés: 1042 <755
1797
Válasz: 1797 Ft-ja van Édának.
d) Adatok: v = 605 Ft, k = 362 Ft, l = ?
Terv: l = v + k l = 605 + 362
Becslés: százasra kerekítve: 1000 Ft
tízesre kerekítve: 970 Ft
Számolás: l = 967 Ft
Ellen®rzés: A számolás összhangban van a becsléssel.
Válasz: 967 Ft-ja lett Pálnak.
Gy. 81/6. feladat: Tízesátlépés nélküli írásbeli összeadás gyakorlása és az összeg vál-
tozásainak meg�gyeltetése a feladat célja. A tanulók egy része a m¶veletek elvégzése
el®tt meg tudja mondani, mikor n®, mikor csökken az eredmény, és mennyivel.
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
149
Megoldás: a) Becslés
százasra kerekítve: 1900 900 2000 1800
tízesre kerekítve: 1890 890 1990 1840
Számolás: 1889 889 1989 1839<
1000<
1100>
150
b) Becslés
százasra kerekítve: 1900 1600 1900 2000
tízesre kerekítve: 1880 1580 1880 1970
Számolás: 1879 1579 1879 1969>
300<
300<
90
Gy. 82/7. feladat: A kell® begyakorlás érdekében leírjuk, hogyan becsülünk �fejben". A
tagok kerekített értékével végezzük el az összeadást. �Irásbeli összeadás tízesek, illetve
százasok átlépésével. Ha a maradékkal kezdik a következ® helyiértéken az összeadást
a tanulók, kevésbé feledkeznek meg róla.
Megoldás: Becslés Számolás:
százasra kerekítve: tízesre kerekítve:
a) 700 + 700 = 1400 650 + 750 = 1400 1399
b) 500 + 1400 = 1900 460 + 1390 = 1850 1849
c) 1500 + 400 = 1900 1510 + 380 = 1890 1888
Gy. 82/8. feladat: Írásbeli összeadás tízesek, illetve százasok átlépésével. A m¶velet-
végzés el®tt (tízesre vagy százasra kerekített értékekkel számolva) becsültessük meg
az eredményt. Az ellen®rzésnél hasonlíttassuk össze a becsült és a számított értékeket.
Megoldás: a) Becslés
százasra kerekítve: 1700 1100 1300 1500
tízesre kerekítve: 1660 1160 1350 1530
Számolás: 1658 1158 1348 1537
b) Becslés
százasra kerekítve: 1700 1700 600 1200
tízesre kerekítve: 1790 1720 680 1170
Számolás: 1783 1719 681 1168
Gy. 82/9. feladat: Írásbeli összeadás tízesek, illetve százasok átlépésével. A m¶velet-
végzés el®tt (tízesre vagy százasra kerekített értékekkel számolva) becsültessük meg
az eredményt. Az ellen®rzésnél hasonlíttassuk össze a becsült és a számított értékeket.
150 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
Megoldás: a) Becslés
százasra kerekítve: 1700 1400 900 900
tízesre kerekítve: 1760 1450 890 910
Számolás: 1758 1454 883 909
b) Becslés
százasra kerekítve: 1200 1300 1000 900
tízesre kerekítve: 1170 1270 950 920
Számolás: 1168 1269 954 915
Gy. 83/10. feladat: Szöveges feladatok az írásbeli összeadás, illetve a mértékváltások
gyakoroltatására. A szükséges adatok nem azonos mértékegységgel vannak megadva,
így az adatok kigy¶jtésénél át kell váltani a mértékegységeket. Törekedjünk az önálló
feladatmegoldásra. Kezdetben lépésenként ellen®rizzük a megoldást (adatok kigy¶jtése,
terv, becslés, számolás, ellen®rzés, válasz), majd fokozatosan jussunk el a szöveges
válasz utáni ellen®rzéshez.
Megoldás: a) Adatok: k = 468 kg, a = 1325 kg, ö = ?
Terv: ö = k + a ö = 468 + 1325
Becslés: százasra kerekítve: 1800 kg
tízesre kerekítve: 1800 kg
Számolás: ö = 1793 kg
Ellen®rzés: A számolás összhangban van a becsléssel.
Válasz: 1793 kg gyümölcse termett összesen Andor bácsinak.
b) Adatok: P = 5 m 47 cm = 547 cm, P <
602 cm-relSz, Sz = ?
Terv: Sz = P + 602 Sz = 547 + 602
Becslés: százasra kerekítve: 1100 cm
tízesre kerekítve: 1150 cm
Számolás: Sz = 1149 cm
Ellen®rzés: 547 <602
1149
Válasz: 1149 cm = 11 m 4 dm 9 cm vezetékre lenne szüksége
Pálnak.
c) Adatok: C = 5 kg 72 dkg = 572 dkg, C <4 kg 15 dkg = 415 dkg-mal
P, P = ?
Terv: P = C + 415 P = 572 + 415
Becslés: százasra kerekítve: 1000 dkg
tízesre kerekítve: 980 dkg
Számolás: P = 987 dkg
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
151
Ellen®rzés: 572 <415
987
Válasz: 987 dkg = 9 kg 87 dkg dinnyét vásárolt Pista.
d) Adatok: L = 4 dm 6 cm 8 mm = 468 mm, M = 315 mm, V = ?
Terv: V = L +M V = 468 + 315
Becslés: százasra kerekítve: 800 mm
tízesre kerekítve: 790 mm
Számolás: V = 783 mm
Ellen®rzés: A számolás összhangban van a becsléssel.
Válasz: 783 mm = 7 dm 8 cm 3 mm hosszú volt eredetileg a szalag.
Gy. 83/11. feladat: Szabálykövetés.
Megoldás: a 648 863 1237 1543 1847 543 1345 734
b 342 204 548 285 51 1104 284 814
a + b 990 1067 1785 1828 1898 1647 1629 1548
Gy. 84/12. feladat: Szöveg, illetve ábra értelmezése alapján változtatjuk a tagokat, és
�gyeltetjük meg az összeg változásait.
Megoldás: a) 156+ 462618
{ 200
{ 200
356+ 462818
+ 100
+ 100
456+ 462918
b) 356+ 302658
{ 160
{ 160
356+ 462818
+ 78
+ 78
356+ 540896
c) 426+ 392818
+ 70
{ 70
+ 0
356+ 462818
{ 120
+ 120
{ 0
236+ 582818
Gy. 84/13. feladat: Több szám írásbeli összeadásának modelljét mutatjuk be több he-
lyiértéken történ® helyiérték-átlépéssel. A m¶veletvégzés el®tt megbecsüljük az ered-
ményt. Az eredményt ellen®rizhetjük az összeadás fordított sorrendben történ® elvégzé-
sével, illetve a becsült érték és az összeg összehasonlításával.
Megoldás: Becslés a) b) c) d)
százasra kerekítve: 300 700 700 200
tízesre kerekítve: 350 790 690 190
Számolás: 356 789 694 186
152 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
Becslés e) f) g) h)
százasra kerekítve: 700 1500 300 1100
tízesre kerekítve: 810 1620 310 1010
Számolás: 802 1608 309 1007
Becslés i) j) k) l)
százasra kerekítve: 1100 900 1100 1900
tízesre kerekítve: 1030 880 1080 1910
Számolás: 1035 887 1088 1900
Gy. 85/14. feladat: Írásbeli összeadás több helyiértéken történ® helyiérték-átlépésével.
A m¶veletvégzés el®tt (tízesre vagy százasra kerekített értékekkel számolva) becsültes-
sük meg az eredményt. Az ellen®rzésnél hasonlíttassuk össze a becsült és a számított
értékeket.
Megoldás: a) Becslés
százasra kerekítve: 1300 1300 1300 1300
tízesre kerekítve: 1340 1340 1340 1340
Számolás: 1338 1338 1338 1338
b) Becslés
százasra kerekítve: 1200 1200 1300 1700
tízesre kerekítve: 1270 1280 1360 1760
Számolás: 1264 1273 1353 1757
c) Becslés
százasra kerekítve: 1900 900 1900 2000
tízesre kerekítve: 1840 940 1910 2000
Számolás: 1834 934 1905 2000
d) Becslés
százasra kerekítve: 1400 1300 1400 1300
tízesre kerekítve: 1340 1340 1420 1310
Számolás: 1346 1339 1425 1308
e) Becslés
százasra kerekítve: 1400 1400 1700 1900
tízesre kerekítve: 1410 1410 1670 1900
Számolás: 1407 1407 1663 1902
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
153
f) Becslés
százasra kerekítve: 1500 1000 1100 1700
tízesre kerekítve: 1530 1000 1100 1640
Számolás: 1524 999 1105 1634
Gy. 85/15. feladat: Szöveggel adott függvény az írásbeli összeadás gyakorlati alkal-
mazására. A szabályt többféle alakban fogalmaztassuk meg. A + B = C, B + A = C,
C { A = B, C { B = A.
Megoldás: A 134 258 647 376 247 1326 1650 1663
B 312 427 836 522 815 484 736 542
A + B 446 685 1483 898 1062 1810 914 1121
Gy. 86/16. feladat: Szöveges feladatok az írásbeli összeadás gyakoroltatására.
Törekedjünk az önálló feladatmegoldásra. Kezdetben lépésenként ellen®rizzük a megol-
dást (adatok kigy¶jtése, terv, becslés, számolás, ellen®rzés, válasz), majd fokozatosan
jussunk el a szöveges válasz utáni ellen®rzéshez.
Megoldás: a) Adatok: p = 165, s = 128, ö = ?
Terv: ö = p + s ö = 165 + 128
Becslés: Százasra kerekítve: 300
Tízesre kerekítve: 300
Számolás: ö = 293
Ellen®rzés: A számolás összhangban van a becsléssel.
Válasz: 293 tulipán nyílt ki.
b) Adatok: t = 756, n = 328, l = 474, ö = ?
Terv: ö = t + n + l ö = 756 + 328 + 474
Becslés: Százasra kerekítve: 1600
Tízesre kerekítve: 1560
Számolás: ö = 1558
Ellen®rzés: A számolás összhangban van a becsléssel.
Válasz: 1558 virághagymát ültettek el összesen.
c) Adatok: t = 728, t <
535g, g = ?
Terv: g = t + 535 g = 728 + 535
Becslés: Százasra kerekítve: 1200
Tízesre kerekítve: 1270
Számolás: g = 1263
154 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
Ellen®rzés: 728 <535
1263
Válasz: 1263 gerberát adtak el.
d) Adatok: á = 476, á <152
sz, sz = ?
Terv: sz = á + 152 sz = 476 + 152
Becslés: Százasra kerekítve: 700
Tízesre kerekítve: 630
Számolás: sz = 628
Ellen®rzés: 476 <152
628
Válasz: 628 százszorszéppalántát adtak el.
Adatok: á = 476, sz = 628, ö = ?
Terv: ö = á + sz ö = 476 + 628
Becslés: Százasra kerekítve: 1100
Tízesre kerekítve: 1110
Számolás: ö = 1104
Ellen®rzés: A számolás összhangban van a becsléssel.
Válasz: 1104 árvácska- és százszorszéppalántát szállítottak el
összesen.
e) Adatok: k = 576, k <
158sz, sz = ?
Terv: sz = k + 158 sz = 576 + 158
Becslés: Százasra kerekítve: 800
Tízesre kerekítve: 740
Számolás: sz = 734
Ellen®rzés: 576 <158
734
Válasz: 734 szegf¶t gondoznak ebben az üvegházban.
Adatok: k = 576, sz = 734, ö = ?
Terv: ö = k + sz ö = 576 + 734
Becslés: Százasra kerekítve: 1300
Tízesre kerekítve: 1310
Számolás: ö = 1310
Ellen®rzés: A számolás összhangban van a becsléssel.
Válasz: 1310 szegf¶t és kardvirágot gondoznak összesen.
f) Adatok: k = 186, k <
115t, t <
175sz, t = ?, sz = ?, ö = ?
Terv: t = k + 115 t = 186 + 115
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
155
Becslés: Százasra kerekítve: 300
Tízesre kerekítve: 310
Számolás: t = 301
Ellen®rzés: Az eredmény összhangban van a becsléssel.
Válasz: 301 tulipánt szállítottak el ezen a napon.
Terv: sz = t + 175 sz = 301 + 175
Becslés: Százasra kerekítve: 500
Tízesre kerekítve: 480
Számolás: t = 476
Ellen®rzés: Az eredmény összhangban van a becsléssel.
Válasz: 476 szegf¶t szállítottak el ezen a napon.
Terv: ö = k + t + sz ö = 186 + 301 + 476
Becslés: Százasra kerekítve: 1000
Tízesre kerekítve: 970
Számolás: ö = 963
Ellen®rzés: Az eredmény összhangban van a becsléssel.
Válasz: 963 virágot szállítottak el összesen.
Gy. 86/17. feladat: Az adatok kigy¶jtésekor döntsék el a tanulók, melyek a szükséges
és melyek a felesleges adatok a kérdés megválaszolásához. Fogalmaztassunk meg más
kérdéseket is a tanulókkal az alaptörténethez.
Megoldás: a) Adatok: p = 256, s = 348, ö = ?
Felesleges adat: szegf¶: 195, 476,
rózsa: 658, 428
Terv: ö = p + s ö = 256 + 348
Becslés: Százasra kerekítve: 600
Tízesre kerekítve: 610
Számolás: ö = 604
Ellen®rzés: Az eredmény összhangban van a becsléssel.
Válasz: 604 tulipán nyílt ki összesen.
b) Adatok: p = 195, s = 476, ö = ?
Felesleges adat: tulipán: 256, 348,
rózsa: 658, 428
Terv: ö = p + s ö = 195 + 476
Becslés: Százasra kerekítve: 700
Tízesre kerekítve: 680
Számolás: ö = 671
Ellen®rzés: Az eredmény összhangban van a becsléssel.
Válasz: 671 szegf¶ nyílt ki összesen.
156 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
c) Adatok: p = 658, s = 428, ö = ?
Felesleges adat: szegf¶: 195, 476,
tulipán: 256, 348
Terv: ö = p + s ö = 658 + 428
Becslés: Százasra kerekítve: 1100
Tízesre kerekítve: 1090
Számolás: ö = 1086
Ellen®rzés: Az eredmény összhangban van a becsléssel.
Válasz: 1086 rózsa nyílt ki összesen.
d) Adatok: t = 348, sz = 476, r = 428, ö = ?
Felesleges adat: tulipán: 256,
szegf¶: 195,
rózsa: 658
Terv: ö = t + sz + r ö = 348 + 476 + 428
Becslés: Százasra kerekítve: 1200
Tízesre kerekítve: 1260
Számolás: ö = 1252
Ellen®rzés: Az eredmény összhangban van a becsléssel.
Válasz: 1252 sárga virág nyílt ki összesen.
e) Adatok: t = 256, sz = 195, r = 658, ö = ?
Felesleges adat: tulipán: 348,
szegf¶: 476,
rózsa: 428
Terv: ö = t + sz + r ö = 256 + 195 + 658
Becslés: Százasra kerekítve: 1200
Tízesre kerekítve: 1120
Számolás: ö = 1109
Ellen®rzés: Az eredmény összhangban van a becsléssel.
Válasz: 1109 piros virág nyílt ki összesen.
f) Adatok: r = 658, t = 256, ö = ?
Felesleges adat: szegf¶: 195, 476,
rózsa: 428
tulipán: 348
Terv: ö = r + t ö = 658 + 256
Becslés: Százasra kerekítve: 1000
Tízesre kerekítve: 920
Számolás: ö = 914
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
157
Ellen®rzés: Az eredmény összhangban van a becsléssel.
Válasz: 914 piros rózsa és piros tulipán nyílt ki összesen.
g) Adatok: r = 428, sz = 195, ö = ?
Felesleges adat: szegf¶: 476,
rózsa: 658
tulipán: 256, 348
Terv: ö = r + sz ö = 428 + 195
Becslés: Százasra kerekítve: 600
Tízesre kerekítve: 630
Számolás: ö = 623
Ellen®rzés: Az eredmény összhangban van a becsléssel.
Válasz: 623 sárga rózsa és piros szegf¶ nyílt ki összesen.
h) Adatok: r = 658 + 428, t = 256 + 348, ö = ?
Felesleges adat: szegf¶: 195, 476,
Terv: ö = r + t ö = 658 + 428 + 256 + 348
Becslés: Százasra kerekítve: 1700
Tízesre kerekítve: 1700
Számolás: ö = 1690
Ellen®rzés: Az eredmény összhangban van a becsléssel.
Válasz: 1690 rózsa és tulipán nyílt ki összesen.
Gy. 87/18. feladat: Az összeg hiányzó tagjának, illetve hiányzó számjegyeinek megha-
tározása. A megoldás feltételezi az írásbeli összeadás alapos begyakorlását. A feladatok
megoldásával el®készítjük az írásbeli kivonás gyakorlását.
Megoldás: a) 342+ 247589
1234+ 3511999
656+ 12221878
403+ 540943
b) 546+ 8301376
714+ 3511065
437+ 8101247
310+ 7461056
c) 475+ 13511826
978+ 1171095
745+ 9931738
888+ 6191507
d) 527+ 12991826
648+ 281929
356+ 11641520
509+ 6931202
e) 805+ 4981303
1098+ 2061304
1147+ 911238
999+ 8891888
158 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
Gy. 87/19. feladat: Az összeg hiányzó tagjának, illetve hiányzó számjegyeinek megha-
tározása. A megoldás feltételezi az írásbeli összeadás alapos begyakorlását. A feladatok
megoldásával el®készítjük az írásbeli kivonás gyakorlását.
Megoldás: a) 419+ 8561275
325+12431568
1303+ 3451648
55+ 9951050
b) 692+3561048
135+9131048
208+ 8481056
478+ 10431521
c) 518+ 5301048
539+ 8011340
506+ 10151521
938+ 6171555
d) 553+4601013
507+11881695
458+ 10851543
312+ 9461258
A d feladat második feladatának megoldása lehet még
517+1 0881605
527+ 10881615
537+ 10881625
547+ 10881635
557+ 10881645
567+1 0881655
577+ 10881665
587+ 11881675
597+ 10881685
Gy. 87/20. feladat: A kreativitást fejleszt® feladat, alkalmas az indirekt di�erenciálásra.
(Ki talál több megoldást?) A feladat megoldatása el®tt �gyeltessük meg, hogy két há-
romjegy¶ szám összege mindig kisebb 2000-nél, így az összeg ezres helyiértékére csak
1-es számjegy kerülhet. A többi számjegyet próbálgatással keressék meg a tanulók. Ter-
mészetesen az összes megoldás megtalálását nem várjuk el.
Megoldás:
4 3 7
+ 5 8 9
1 0 2 6
4 3 9
+ 5 8 7
1 0 2 6
4 8 7
+ 5 3 9
1 0 2 6
4 8 9
+ 5 3 7
1 0 2 6
4 7 3
+ 5 8 9
1 0 6 2
4 7 9
+ 5 8 3
1 0 6 2
4 8 3
+ 5 7 9
1 0 6 2
4 8 9
+ 5 7 3
1 0 6 2
2 4 6
+ 7 8 9
1 0 3 5
2 4 9
+ 7 8 6
1 0 3 5
2 8 6
+ 7 4 9
1 0 3 5
2 8 9
+ 7 4 6
1 0 3 5
2 6 4
+ 7 8 9
1 0 5 3
2 6 9
+ 7 8 4
1 0 5 3
2 8 4
+ 7 6 9
1 0 5 3
2 8 9
+ 7 6 4
1 0 5 3
3 4 7
+ 8 5 9
1 2 0 6
3 4 9
+ 8 5 7
1 2 0 6
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
159
3 5 7
+ 8 4 9
1 2 0 6
3 5 9
+ 8 4 7
1 2 0 6
7 4 3
+ 8 5 9
1 6 0 2
7 4 9
+ 8 5 3
1 6 0 2
7 5 3
+ 8 4 9
1 6 0 2
7 5 9
+ 8 4 3
1 6 0 2
4 2 6
+ 8 7 9
1 3 0 5
4 2 9
+ 8 7 6
1 3 0 5
4 7 6
+ 8 2 9
1 3 0 5
4 7 9
+ 8 2 6
1 3 0 5
6 2 4
+ 8 7 9
1 5 0 3
6 2 9
+ 8 7 4
1 5 0 3
6 7 4
+ 8 2 9
1 5 0 3
6 7 9
+ 8 2 4
1 5 0 3
3 2 4
+ 7 6 5
1 0 8 9
3 2 5
+ 7 6 4
1 0 8 9
3 6 4
+ 7 2 5
1 0 8 9
3 6 5
+ 7 2 4
1 0 8 9
4 3 7
+ 6 2 5
1 0 8 9
4 3 2
+ 6 5 7
1 0 8 9
4 5 2
+ 6 3 2
1 0 8 9
4 5 7
+ 6 3 2
1 0 8 9
3 4 2
+ 7 5 6
1 0 9 8
3 4 6
+ 7 5 2
1 0 9 8
3 5 2
+ 7 4 6
1 0 9 8
3 5 6
+ 7 4 2
1 0 9 8
4 7 5
+ 6 2 3
1 0 9 8
4 7 3
+ 6 2 5
1 0 9 8
4 2 5
+ 6 6 3
1 0 9 8
4 2 3
+ 6 7 5
1 0 9 8
Óra: 58. 65. 73.
2. tájékozódó felmérés
A Felmér® feladatsorok cím¶ kiadvány feladatsora.
Óra: 59. 66. 74{75.
2. felmérés
A Felmér® feladatsorok cím¶ kiadvány feladatsora.
160 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
A különbség becslése
Kompetenciák, fejlesztési feladatok:
gazdasági nevelés, számlálás, számolás, rendszerezés, relációszókincs fejlesztése, szö-
vegértés, szövegértelmezés, szövegesfeladat-megoldás, rész-egész észlelése, becslés,
induktív következtetések, problémaérzékenység, problémamegoldás, emlékezet fejlesz-
tése, �gyelem, kezdeményez®képesség, meg�gyel®képesség, összefüggéslátás, pon-
tosság, kooperatív és önálló munkavégzés.
Óra: 60. 67. 76.
Az írásbeli kivonás el®készítéseként a háromjegy¶ számok különbségének becslésével
foglalkozunk.
Mélyítjük a közelít® számításokról és a mérésekr®l tanultakat, valamint gyakoroltatjuk
a kerek számok kivonását szöveges feladatok megoldásában is. Figyeltessük meg a
különbség változásait.
(Ugyancsak az írásbeli kivonás el®készítése végett oldassunk meg olyan feladatokat is,
amelyekben az összeg hiányzó tagját kell meghatározni.)
Tk. 93/1. kidolgozott mintapélda: A különbség becslésére két modellt mutatunk be.
Százasra vagy tízesre kerekített értékekkel számolva végeztetjük el a kivonást. A �két
érték közé szorítás" a kivonás esetén a tanulók többsége számára túlságosan nehéz len-
ne, ezért ezt a modellt legfeljebb csak megmutatjuk, de alkalmazását csak a legtehetsé-
gesebb tanulóktól várhatjuk el. Azzal a modellel foglalkozzunk részletesebben, amelyet
a helyi tanterv meghatároz, esetleg di�erenciáljunk a tanulók képességei szerint.
Tk. 93/1. feladat: A játék pénzzel való kirakás segíti a tanulókat a becslés, illetve a
kivonás elvégzésében.
Megoldás: a) Becslés: 200 { 100 = 100
Számolás: 245 { 55 = 190
Becslés < Számolás,
mert a kisebbítend®t lefelé, a kivonandót felfelé kerekítettük.
b) Becslés: 400 { 100 = 300
Számolás: 355 { 145 = 210
Becslés > Számolás,
mert a kisebbítend®t felfelé, a kivonandót lefelé kerekítettük.
c) Becslés: 500 { 300 = 200
Számolás: 465 { 250 = 215
Becslés < Számolás
Tk. 93/2. feladat: Gyakorlófeladatok a kivonás becslésére tízesre és százasra kerekített
értékekkel számolva. A különbség változásairól tanultak alkalmazásával hasonlíttassuk
össze a becsült és a valódi értéket.
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
161
Megoldás: Becslés Becslés
százasra kerekítve: tízesre kerekítve:
a) 700 { 500 = 200 670 { 470 = 200
700 { 400 = 300 680 { 440 = 240
b) 900 { 500 = 400 930 { 540 = 390
900 { 600 = 300 920 { 550 = 370
c) 1400 { 700 = 700 1360 { 650 = 710
1400 { 600 = 800 1370 { 650 = 720
Gy. 88/1. feladat: Különbség becslése százasra kerekített értékekkel számolva.
Megoldás: a) 1300 { 500 = 800
b) 2000 { 1400 = 600
c) 1600 { 1500 = 100
d) 1200 { 1200 = 0
Gy. 88/2. feladat: Különbség becslése tízesre kerekített értékekkel számolva.
Megoldás: a) 1350 { 510 = 840
b) 1950 { 1370 = 580
c) 1550 { 1540 = 10
d) 1250 { 1150 = 100
Gy. 88/3. feladat: A becslés gyakorlása szöveges feladatok megoldása során. Beszéljük
meg, hogy gyakran nem szükséges a pontos érték kiszámítása, elég a körülbelüli érték
meghatározása is.
Megoldás: a) Adatok: r = 1354 cm, l = 342 cm, m � ?
Terv: m = r { l
m = 1354 { 342
Becslés: 1350 { 340 = 1010
Válasz: m � 1010 cm
Körülbelül 1010 cm rúdja maradt Antalnak.
b) Adatok: t = 995 kg, a = 467 kg, m � ?
Terv: m = t { a
m = 995 { 467
Becslés: 1000 { 470 = 530
Válasz: m � 530 kg
Körülbelül 530 kg termett a többi gyümölcsb®l.
162 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
Írásbeli kivonás
Kompetenciák, fejlesztési feladatok:
gazdasági nevelés, számlálás, számolás, rendszerezés, relációszókincs fejlesztése, szö-
vegértés, szövegértelmezés, szövegesfeladat-megoldás, rész-egész észlelése, becslés,
induktív következtetések, problémaérzékenység, problémamegoldás, emlékezet fejlesz-
tése, �gyelem, kezdeményez®képesség, metakogníció, meg�gyel®képesség, összefüg-
géslátás, pontosság, kooperatív és önálló munkavégzés, környezettudatosságra nevelés,
egészséges életmód, hon- és népismeret.
Óra: 61{66. 68{73. 77{82.
Az írásbeli kivonás tanításánál is tartsuk be a fokozatosság elvét:
Az írásbeli kivonás végrehajtása tízesátlépés nélkül. Itt szemléltethetjük a kivonást játék
pénzzel (a fogalomalkotás szemléleti megalapozása). Már ebben a szakaszban felismer-
tetjük, hogy az ellen®rzést a m¶veletek közti kapcsolatokat alkalmazva végezhetjük el.
Az írásbeli kivonás végrehajtása úgy, hogy egy helyen van átváltás. Ekkor már nem
célszer¶ játék pénzzel szemléltetni az eljárást. Ugyanis ez a szemléltetés nem igazodik
a kivonás algoritmusához, hiszen a kisebbítend®ben kellene a tízest átváltani.
Ha az el®z® lépést megértették és begyakorolták a tanulók, akkor adhatunk olyan fela-
datokat, amelyekben több helyiértéken van átváltás.
Az írásbeli kivonásra három különböz® algoritmus terjedt el. Csak egy algoritmus meg-
tanítását és alapos begyakoroltatását javasoljuk.
A kivonás tanításának minden fázisában adjunk szöveges feladatokat. Ha kell® gyakor-
latra tettek szert a tanulók, akkor alkalmazzuk az újonnan tanult eljárást függvények vizs-
gálatában, sorozatok képzésében is.
Tk. 94/1. kidolgozott mintapélda: Az itt bemutatott eljárás az írásbeli kivonást a �hiá-
nyos" írásbeli összeadás kiegészítésére vezeti vissza, amikor az összeg és az egyik tag
ismeretében a hiányzó tagot kell megadni.
A mintapéldákban szemléletes szöveges feladatokkal ismertetjük fel, hogyan írható fel
ez a hiányos összeadás kivonásként, illetve hogyan alkalmazhatjuk az összeadásról ta-
nultakat a kivonás végrehajtásában.
Ennek az algoritmusnak az el®nyei:
Az új algoritmus a jól begyakorolt írásbeli összeadás algoritmusának közvetlen al-
kalmazása.
Kevesebb gondolati lépésb®l áll, ezért gyorsabb, mint a másik két algoritmus. Kisebb
a hiba lehet®sége.
Jól ismert összefüggésre épül: a kivonás az összeadás fordított m¶velete. Ezért
minden tanuló megérti, hogy ugyanazzal az elvi meggondolással számolhatunk (vé-
gezhetjük el például a tízes átlépését), mint az összeadásnál.
Például az elterjedtebb, de sokkal nehézkesebb pótlásos algoritmusnál az átváltást a kisebbítend® és
a kivonandó ugyanolyan mérték¶ növelésével magyarázzuk, amely az átlagos vagy annál gyengébb
képesség¶ gyermekek számára már alig követhet®. Így az algoritmusból csak a mechanikus eljárást
tanulják meg, de nem tudják indokolni a lépéseket.
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
163
Hátránya ennek az algoritmusnak, hogy a szül®k (és a kollégák) többsége nem ezt gya-
korolta be, ami zavart okozhat, ha a szül® segít a gyermeknek.
A kivonás ellen®rzését háromféle módon tanítjuk. Összeadással, másik kivonással, illet-
ve a becsült érték és az eredmény összehasonlításával. Ügyeljünk arra, hogy az ellen-
®rzés ne legyen nehezebb, mint maga a számítás.
Tk. 95/2. kidolgozott mintapélda: A mintapéldákban szemléletes szöveges feladatokkal
ismertetjük fel, hogyan írható fel ez a hiányos összeadás kivonásként, illetve hogyan
alkalmazhatjuk az összeadásról tanultakat a kivonás végrehajtásában.
Tk. 96/1. feladat: Az írásbeli kivonás gyakorlása tízesátlépés nélkül. A m¶velet elvégzé-
se el®tt becsültessük meg az eredményt. Az ellen®rzést többféleképpen végeztessük el.
Beszéljük meg, mikor melyik a célszer¶bb ellen®rzés. Csak akkor menjünk tovább, ha a
számolás algoritmusát már elsajátították a tanulók.
Megoldás: Becslés
százasra kerekítve: 600 300 600 500 500 1100 900
tízesre kerekítve: 530 330 540 500 510 1110 920
Számolás: 531 331 540 501 512 1104 920
Tk. 96/2. feladat: Szöveges feladatok a kivonás különböz® értelmezésére. Figyeltessük
meg, hogy a fordított szövegezés¶ feladat jól mutatja az összeadás és a kivonás kap-
csolatát. Tartassuk be a szöveges feladat megoldásának tanult lépéseit. Egyre nagyobb
önállóságot kérjünk a tanulóktól.
Megoldás: 432 { 332 = 100 100 Ft-ja marad.
675 { 432 = 243 243 Ft hiányzik.
854 { 432 = 422 422 Ft hiányzik.
1572 { 432 = 1140 1140 Ft hiányzik.
1437 { 432 = 1005 1005 Ft hiányzik.
Tk. 96/3. feladat: Hiányos összeadás átírása kivonássá. Figyeltessük meg az összeadás
és a kivonás közötti inverz kapcsolatot.
Megoldás: 543+ 332875
456+ 514970
372+ 474846
1356+ 2501606
437+ 217654
792+ 173965
745+ 12361981
875{ 543332
970{ 456514
846{ 372474
1606{ 1356
250
654{ 217437
965{ 173792
1981{ 1236
745
Tk. 96/4. feladat: Írásbeli kivonás egy helyiértéken történ® helyiérték-átlépéssel. Ismét
beszéljük meg az ellen®rzés fontosságát.
164 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
Megoldás: a) Becslés
százasra kerekítve: 500 400 600 200 500 1200
tízesre kerekítve: 510 420 500 220 510 1130
Számolás: 516 423 505 216 512 1136
b) Becslés
százasra kerekítve: 200 200 300 0 500 1100
tízesre kerekítve: 260 260 330 50 520 1150
Számolás: 253 261 332 43 515 1150
c) Becslés
százasra kerekítve: 500 700 400 300 700 100
tízesre kerekítve: 440 670 410 260 650 110
Számolás: 432 663 410 255 650 104
d) Becslés
százasra kerekítve: 500 100 100 200 0 100
tízesre kerekítve: 510 100 150 230 10 110
Számolás: 512 104 152 223 12 110
e) Becslés
százasra kerekítve: 1200 800 1000 1000 400 0
tízesre kerekítve: 1220 720 1040 990 460 80
Számolás: 1215 721 1035 998 454 85
Tk. 97/5. feladat: A típushibákra, illetve a becslés fontosságára hívjuk föl a tanulók �-
gyelmét. Részletesen beszéljük meg a tévedés okát, javíttassuk ki a hibákat.
Megoldás: Becslés Számolás:
százasra kerekítve: tízesre kerekítve:
1500 1510 1516
1600 1620 1623
200 260 258
700 610 618
300 350 351
500 520 520
900 940 938
Tk. 97/6. feladat: Ellen®rizhetjük, hogy a tanulók mennyire sajátították el a tanult szak-
kifejezéseket.
Megoldás: a) a = 816 { 154 a = 662
b) 952 { b = 248 b = 952 { 248 b = 704
c) c { 456 = 613 c = 1069
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
165
d) d = 819 { 327 c = 613 + 456 d = 492
e) 764 { e = 246 e = 764 { 246 e = 518
Tk. 97/7. feladat: Ellen®rizhetjük, hogy a tanulók mennyire sajátították el a tanult szak-
kifejezéseket.
Megoldás: Becslés Számolás:
Százasra Tízesre
kerekítve: kerekítve:
a) a = 672 { 357 300 310 315
b) b = 672 + 357 1100 1030 1029
c) c + 357 = 672 300 310 315
d) d = 672 { 357 300 310 315
e) e = 672 + 357 1100 1030 1029
f) f { 357 = 672 1100 1030 1029
Tk. 97/8. feladat: A kivonás gyakorlására szánt egyszer¶ szöveges feladatok. Figyeljük
meg, mennyire sajátították el a tanulók a szöveges feladatok megoldásának menetét.
Megoldás: a) Adatok: v = 634 Ft, m = 312 Ft, k = ?
Terv: k = v { m k = 634 { 312
Becslés: Százasra kerekítve: 300 Ft
Tízesre kerekítve: 320 Ft
Számolás: k = 322 Ft
Ellen®rzés: 322 + 312 = 634
Válasz: 322 Ft-ja maradt Palinak.
b) Adatok: k = 318 Ft, m = 235 Ft, v = ?
Terv: v = k +m v = 318 + 235
Becslés: Százasra kerekítve: 500 Ft
Tízesre kerekítve: 560 Ft
Számolás: v = 553 Ft
Ellen®rzés: 553 { 318 = 235
Válasz: 552 Ft-ja volt Robinak.
c) Adatok: gy = 652, l = 317, f = ?
Terv: f = gy { l f = 652 { 317
Becslés: Százasra kerekítve: 400
Tízesre kerekítve: 330
Számolás: f = 335
Ellen®rzés: 335 + 317 = 652
Válasz: 335 �ú jár ebbe az iskolába.
166 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
d) Adatok: v = 1235 Ft, k = 812 Ft, m = ?
Terv: m = v { k m = 1235 { 812
Becslés: Százasra kerekítve: 400 Ft
Tízesre kerekítve: 430 Ft
Számolás: m = 423 Ft
Ellen®rzés: 423 + 812 = 1235
Válasz: 423 Ft-ja maradt Andreának.
e) Adatok: E = 1304 Ft, E >
647 Ft-talA A = ?
Terv: A = E { 647 A = 1304 {{ 647
Becslés: Százasra kerekítve: 700 Ft
Tízesre kerekítve: 650 Ft
Számolás: A = 657 Ft
Ellen®rzés: 1304 >647
657
Válasz: 647 Ft-ja van Aladárnak.
f) Adatok: E = 945 Ft, B = 549 Ft, A = ?
Terv: A = E { B A = 945 { 549
Becslés: Százasra kerekítve: 400 Ft
Tízesre kerekítve: 400 Ft
Számolás: A = 396 Ft
Ellen®rzés: 396 + 549 = 945
Válasz: 396 Ft-ja van Andinak.
Tk. 98/9. feladat: A különbség változásainak meg�gyeltetése szemléletes szöveges, il-
letve rajzos feladatokban. A feladatok többsége indirekt di�erenciálásra alkalmas. Ha a
tanulók egy része nem ismeri fel az összefüggéseket, akkor is el tudják végezni a ki-
vonásokat, mások az összefüggések felismerése után az írásbeli m¶veletek elvégzése
nélkül megkapják az eredményeket.
Ha a kisebbítend® valamennyivel n® (csökken), a kivonandó nem változik, akkor a
különbség is ugyanannyival n® (csökken).
Ha a kisebbítend® nem változik, a kivonandó valamennyivel n® (csökken), akkor a
különbség is ugyanannyival csökken (n®).
Ha a kisebbítend® és a kivonandó ugyanannyival n® (csökken), akkor a különbség
nem változik.
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
167
Megoldás: 8 5 3
{ 6 2 5
2 2 8
9 5 3
{ 6 2 5
3 2 8
7 5 3
{ 6 2 5
1 2 8
+100
{ 200
{ 100
+200
Tk. 98/10. feladat: A különbség változásainak meg�gyeltetése szemléletes szöveges,
illetve rajzos feladatokban. A feladatok többsége indirekt di�erenciálásra alkalmas. Ha
a tanulók egy része nem ismeri fel az összefüggéseket, akkor is el tudják végezni a
kivonásokat, mások az összefüggések felismerése után az írásbeli m¶veletek elvégzése
nélkül megkapják az eredményeket.
Ha a kisebbítend® nem változik, a kivonandó valamennyivel n® (csökken), akkor a kü-
lönbség is ugyanannyival csökken (n®).
Megoldás: 7 1 8
{ 3 7 5
3 4 3
7 1 8
{ 4 7 5
2 4 3
7 1 8
{ 2 7 5
4 4 3
+100
{ 200
+100
{ 200
Tk. 98/11. feladat: A különbség változásainak meg�gyeltetése szemléletes szöveges,
illetve rajzos feladatokban. A feladatok többsége indirekt di�erenciálásra alkalmas. Ha
a tanulók egy része nem ismeri fel az összefüggéseket, akkor is el tudják végezni a
kivonásokat, mások az összefüggések felismerése után az írásbeli m¶veletek elvégzése
nélkül megkapják az eredményeket.
Ha a kisebbítend® és a kivonandó ugyanannyival n® (csökken), akkor a különbség nem
változik.
168 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
Megoldás: 1 0 5 8
{ 6 4 7
4 1 1
1 1 5 8
{ 7 4 7
4 1 1
9 5 8
{ 5 4 7
4 1 1
+100
{ 200
+100
{ 200
+0
{ 0
Tk. 98/12. feladat: Az adott feltételeknek megfelel®en a hiányzó kisebbítend®, illetve
kivonandó pótlása.
Megoldás: a) 845{ 672173
945{ 672273
b) 1076{ 491
585
976{ 591385<
100>
200
Tk. 99/13. feladat: A különbség változásainak meg�gyeltetése szemléletes szöveges,
illetve rajzos feladatokban. A feladatok többsége indirekt di�erenciálásra alkalmas. Ha
a tanulók egy része nem ismeri fel az összefüggéseket, akkor is el tudják végezni a
kivonásokat, mások az összefüggések felismerése után az írásbeli m¶veletek elvégzése
nélkül megkapják az eredményeket.
Ha a kisebbítend® valamennyivel n® (csökken), a kivonandó nem változik, akkor a
különbség is ugyanannyival n® (csökken).
Ha a kisebbítend® nem változik, a kivonandó valamennyivel n® (csökken), akkor a
különbség is ugyanannyival csökken (n®).
Ha a kisebbítend® és a kivonandó ugyanannyival n® (csökken), akkor a különbség
nem változik.
Az osztály, illetve a tanulók képességei szerint válogassunk a feladatok közül.
Megoldás: k = 815 { 573 k = 242 Ft
a) k = (815 + 100) { 573 k = 342 Ft
b) k = 815 { (573 + 120) k = 122 Ft
c) k = (815 { 200) { 573 k = 42 Ft
d) k = 815 { (573 { 150) k = 392 Ft
e) k = (815 + 100) { (573 + 100) k = 242 Ft
f) k = (815 { 200) { (573 { 200) k = 242 Ft
g) k = (815 + 50) { (573 { 50) k = 342 Ft
h) k = (815 { 50) { (573 + 50) k = 142 Ft
Tk. 99/3. kidolgozott mintapélda: Sorozatok hiányzó elemeinek meghatározása az
írásbeli összeadás és kivonás alkalmazásával. Figyeltessük meg az analógiákat.
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
169
Tk. 99/14. feladat: Sorozatok hiányzó elemeinek meghatározása az írásbeli összeadás
és kivonás alkalmazásával. Figyeltessük meg az analógiákat.
Megoldás: a) A növekv® sorozatban a szomszédos elemek különbsége mindig 150.
185; 335; 485; 635; 785; 935; 1085; 1235; 1385.
205; 355; 505; 655; 805; 955; 1105; 1255; 1405.
b) A csökken® sorozatban a szomszédos elemek különbsége mindig 120.
1374; 1254; 1134; 1014; 894; 774; 654; 534; 414.
1574; 1454; 1334; 1214; 1094; 974; 854; 734; 614.
1174; 1054; 934; 814; 694; 574; 454; 334; 214.
Tk. 100/15. feladat: A hiányzó kivonandó vagy kisebbítend®, illetve hiányzó számjegyek
meghatározása kijelölt kivonásban.
Megoldás: a) Különbség 342.
Hiányzó kisebbítend®k: 956, 986, 886, 896
b) Különbség: 405
Hiányzó kivonandók: 1448, 1248, 1208, 998
Tk. 100/16. feladat: A hiányzó kivonandó vagy kisebbítend®, illetve hiányzó számjegyek
meghatározása kijelölt kivonásban.
Megoldás: a) Különbség: 611 Hiányzó kivonandó: 145
b) Különbség: 334 Hiányzó kisebbítend®: 717
c) Különbség: 203 Hiányzó kivonandó: 578
d) Különbség: 752 Hiányzó kisebbítend®: 1298
Tk. 100/17. feladat: A hiányzó kivonandó vagy kisebbítend®, illetve hiányzó számjegyek
meghatározása kijelölt kivonásban.
Megoldás: 799{ 283516
1067{ 635
432
602{ 123479
1054{ 638
416
807{ 534273
1516{ 1441372
Tk. 100/18. feladat: Az írásbeli kivonás (ellen®rzéskor az összeadás), valamint a
hosszúság, az ¶rtartalom és a tömeg mértékegységeir®l tanultak alkalmazása egyszer¶
szöveges feladatok értelmezésében és megoldásában.
Ügyeljünk arra, hogy a tanulók tartsák be a szöveges feladat megoldásának tanult lépé-
seit. Az adatok kigy¶jtésekor a köztük lév® összefüggéseket is jegyezzék le, és azonos
mértékegységekkel fejezzék ki a mennyiségeket. A szöveges válaszban is ügyeljenek a
megfelel® mértékegység használatára és az esetleges átváltásra.
Megoldás: a) Adatok: v = 3 m 42 cm = 342 cm,
l = 1 m 27 cm = 127 cm, m = ?
Terv: m = v { l m = 342 { 127
170 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
Becslés: Százasra kerekítve: 200 cm
Tízesre kerekítve: 210 cm
Számolás: m = 215 cm
Ellen®rzés: 215 + 127 = 342
Válasz: 215 cm = 2 m 1 dm 5 cm hosszú csipke maradt.
b) Adatok: K = 3 dm 24 mm = 324 mm,
L = 17 cm 2 mm = 172 mm, E = ?
Terv: E = K { L E = 324 { 172
Becslés: Százasra kerekítve: 100 mm
Tízesre kerekítve: 150 mm
Számolás: E = 152 mm
Ellen®rzés: 172 + 152 = 324
Válasz: 152 mm = 1 dm 5 cm 2 mm-rel alacsonyabb Laci tornya.
c) Adatok: k = 6 l 86 cl = 686 cl, k >15 dl 8 cl = 158 cl
sz sz = ?
Terv: sz = k { 158 sz = 686 { 158
Becslés: Százasra kerekítve: 500 cl
Tízesre kerekítve: 530 cl
Számolás: sz = 528 cl
Ellen®rzés: 528 + 158 = 686
Válasz: 528 cl = 5 l 2 dl 8 cl tápoldatot öntöztek a szobanövények-
re.
d) Adatok: v = 18 cl 5 ml = 185 ml
m = 1 dl 18 ml = 118 ml, i = ?
Terv: i = v { m i = 185 { 118
Becslés: Százasra kerekítve: 100 ml
Tízesre kerekítve: 70 ml
Számolás: i = 67 ml
Ellen®rzés: 67 + 118 = 185
Válasz: 67 ml = 6 cl 7 ml tejet ivott meg a kisbaba.
e) Adatok: v = 10 és fél kg = 1050 dkg,
f = 2 kg 25 dkg = 225 dkg, m = ?
Terv: m = v { f m = 1050 { 225
Becslés: Százasra kerekítve: 900 dkg
Tízesre kerekítve: 820 dkg
Számolás: m = 825 dkg
Ellen®rzés: 825 + 225 = 1050
Válasz: 825 dkg = 8 kg 25 dkg krumpli maradt a kamrában.
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
171
f) Adatok: v = 1 és fél kg = 150 dkg,
m = 73 dkg, e = ?
Terv: e = v { m e = 150 { 73
Becslés: Százasra kerekítve: 100 dkg
Tízesre kerekítve: 80 dkg
Számolás: e = 77 dkg
Ellen®rzés: 77 + 73 = 150
Válasz: 77 dkg lisztet használtak el a zacskóból.
Tk. 101/19. feladat: Az írásbeli kivonás (ellen®rzéskor az összeadás), valamint a
hosszúság, az ¶rtartalom és a tömeg mértékegységeir®l tanultak alkalmazása egyszer¶
szöveges feladatok értelmezésében és megoldásában.
Ügyeljünk arra, hogy a tanulók tartsák be a szöveges feladat megoldásának tanult lépé-
seit.
Az adatok kigy¶jtésekor a köztük lév® összefüggéseket is jegyezzék le, és azonos mér-
tékegységekkel fejezzék ki a mennyiségeket.
A szöveges válaszban is ügyeljenek a megfelel® mértékegység használatára és az eset-
leges átváltásra.
Megoldás: a) Adatok: K = 1014 m, Sz = 78 m, E = ?
Terv: E = K { Sz E = 1014 { 78
Becslés: Százasra kerekítve: 900 m
Tízesre kerekítve: 930 m
Számolás: E = 936 m
Ellen®rzés: 936 + 78 = 1014
Válasz: 936 m-rel magasabb hazánk legmagasabb pontja a lega-
lacsonyabb pontjánál.
b) Adatok: gy = 262 km, gy >48 km-rel
r r = ?
Terv: r = gy { 48 r = 262 { 48
Becslés: Százasra kerekítve: 300 km
Tízesre kerekítve: 210 km
Számolás: r = 214 km
Ellen®rzés: 214 + 48 = 262
Válasz: 214 km hosszú a legrövidebb út.
c) Adatok: K = 611 km, É = 488 km, E = ?
Terv: E = K { É E = 611 { 488
Becslés: Százasra kerekítve: 100 km
Tízesre kerekítve: 120 km
Számolás: E = 123 km
172 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
Ellen®rzés: 123 + 488 = 611
Válasz: 123 km-rel tettek meg hosszabb utat Katiék, mint Éváék.
d) Adatok: M = 613 m, M >
263 m-relA, A = ?
Terv: A = M { 263 A = 613 { 263
Becslés: Százasra kerekítve: 300 m
Tízesre kerekítve: 350 m
Számolás: A = 350 m
Ellen®rzés: 350 + 263 = 613
Válasz: 350 m hosszú a budai várhegy alatt épült alagút.
e) Adatok: L = 315 m, L >
219 m-relK, K = ?
Terv: K = L { 219 K = 315 { 219
Becslés: Százasra kerekítve: 100 m
Tízesre kerekítve: 100 m
Számolás: K = 96 m
Ellen®rzés: 96 + 219 = 315
Válasz: 96 m magas az Országház kupolacsarnoka.
Gy. 89/1. feladat: Gyakorlófeladatok a kivonás becslésére tízesre és százasra kerekített
értékekkel számolva. A különbség változásairól tanultak alkalmazásával hasonlíttassuk
össze a becsült és a valódi értéket.
Megoldás: a) Becslés Számolás: 342{ 231111
százasra kerekítve: 300, 200, 100
tízesre kerekítve: 340, 230, 110 Ellen®rzés: 111+ 231342
b) Becslés Számolás: 545{ 342203
százasra kerekítve: 500, 200, 200
tízesre kerekítve: 550, 340, 210 Ellen®rzés: 203+ 342545
Gy. 89/2. feladat: Az írásbeli kivonás gyakorlása tízesátlépés nélkül. A m¶velet elvég-
zése el®tt becsültessük meg az eredményt. Az ellen®rzést többféleképpen végeztessük
el. Beszéljük meg, mikor melyik a célszer¶bb ellen®rzés.
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
173
Megoldás: Becslés Becslés Számolás:
százasra kerekítve: tízesre kerekítve:
a) 1300 1200 1221
b) 700 720 715
Gy. 90/3. feladat: Az írásbeli kivonás gyakorlása tízesátlépés nélkül. A m¶velet elvég-
zése el®tt becsültessük meg az eredményt. Az ellen®rzést többféleképpen végeztessük
el. Beszéljük meg, mikor melyik a célszer¶bb ellen®rzés.
Megoldás: Becslés Becslés Számolás:
százasra kerekítve: tízesre kerekítve:
a) 1600 { 400 = 1200 1570 { 430 = 1140 1142
b) 900 { 500 = 400 950 { 500 = 450 445
c) 1500 { 1300 = 200 1470 { 1260 = 210 213
Gy. 90/4. feladat: Az írásbeli kivonás gyakorlása tízesátlépés nélkül. A m¶velet elvég-
zése el®tt becsültessük meg az eredményt. Az ellen®rzést többféleképpen végeztessük
el. Beszéljük meg, mikor melyik a célszer¶bb ellen®rzés.
Megoldás: Becslés Becslés Számolás:
százasra kerekítve: tízesre kerekítve:
a) 1100 1120 1116
b) 400 340 333
c) 900 920 913
d) 0 40 41
e) 1300 1260 1252
Gy. 91/5. feladat: Szöveges feladatok a kivonás különböz® értelmezésére. Figyeltessük
meg, hogy a fordított szövegezés¶ feladat jól mutatja az összeadás és a kivonás kap-
csolatát. Tartassuk be a szöveges feladat megoldásának tanult lépéseit. Egyre nagyobb
önállóságot kérjünk a tanulóktól.
Megoldás: a) Adatok: v = 1465 Ft, k = 342 Ft, m = ?
Terv: m = v { k m = 1465 { 342
Becslés: Százasra kerekítve: 1200 Ft
Tízesre kerekítve: 1130 Ft
Számolás: m = 1123 Ft
Ellen®rzés: 1123 + 342 = 1465
Válasz: 1123 Ft-ja maradt Albertnek.
b) Adatok: B = 1726 Ft, B >
412 Ft-talJ J = ?
Terv: J = B { 412 J = 1726 { 412
Becslés: Százasra kerekítve: 1300 Ft
Tízesre kerekítve: 1320 Ft
174 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
Számolás: J = 1314 Ft
Ellen®rzés: 1314 + 412 = 1726
Válasz: 1314 Ft-ja van Jutkának.
c) Adatok: N = 1854 Ft, N >
613 Ft-talÉ É = ?
Terv: É = N { 613 É = 1854 { 613
Becslés: Százasra kerekítve: 1300 Ft
Tízesre kerekítve: 1240 Ft
Számolás: É = 1241 Ft
Ellen®rzés: 1241 + 613 = 1854
Válasz: 1241 Ft-ja van Édának.
Gy. 91/6. feladat: Szöveges feladatok a kivonás különböz® értelmezésére. Figyeltessük
meg, hogy a fordított szövegezés¶ feladat jól mutatja az összeadás és a kivonás kap-
csolatát. Tartassuk be a szöveges feladat megoldásának tanult lépéseit. Egyre nagyobb
önállóságot kérjünk a tanulóktól.
Megoldás: a) Adatok: ö = 857, a = 614, k = ?
Terv: k = ö { a k = 857 { 614
Becslés: Százasra kerekítve: 300
Tízesre kerekítve: 250
Számolás: k = 243
Ellen®rzés: 243 + 614 = 857
Válasz: 243 körtefa volt a gyümölcsösben.
b) Adatok: B = 857, B >641-gyel
C C = ?
Terv: C = B { 641 C = 857 { 641
Becslés: Százasra kerekítve: 300
Tízesre kerekítve: 220
Számolás: C = 216
Ellen®rzés: 216 + 641 = 857
Válasz: 216 matricája volt Cilinek.
c) Adatok: n = 5 hl 78 l = 578 l, k = 256 l,e = ?
Terv: e = n { k e = 578 { 256
Becslés: Százasra kerekítve: 300
Tízesre kerekítve: 320
Számolás: e = 322 l
Ellen®rzés: 322 + 256 = 578
Válasz: 322 l vízzel volt több a nagyobb hordóban.
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
175
d) Adatok: a = 5 kg 78 dkg = 578 dkg, a >2 kg 65 dkg = 265 dkg-mal
sz, sz = ?
Terv: sz = a { 265 sz = 578 { 265
Becslés: Százasra kerekítve: 300 dkg
Tízesre kerekítve: 310 dkg
Számolás: sz = 313 dkg
Ellen®rzés: 313 + 265 = 578
Válasz: 313 dkg = 3 kg 13 dkg szilvát vásárolt édesanya.
Gy. 92/7. feladat: Írásbeli kivonás egy helyiértéken történ® helyiérték-átlépéssel.
Megoldás: Becslés Becslés Számolás:
százasra kerekítve: tízesre kerekítve:
a) 1200 { 700 = 500 1250 { 720 = 530 523
b) 800 { 400 = 400 750 { 430 = 320 325
c) 1800 { 1300 = 500 1850 { 1250 = 600 593
Gy. 92/8. feladat: Írásbeli kivonás egy helyiértéken történ® helyiérték-átlépéssel.
Megoldás: Becslés Becslés Számolás:
százasra kerekítve: tízesre kerekítve:
a) 200 300 296
b) 800 810 813
c) 300 370 373
d) 200 220 220
e) 600 650 651
Gy. 93/9. feladat: Szöveggel adott függvények a kivonás és az összeadás gyakorlására.
A szabályt többféle alakban is fogalmaztassuk meg. Figyeljük meg, mennyire ismerik föl
a tanulók az összeadás és a kivonás közötti összefüggéseket.
Megoldás:
a) Szabály: G +H = 1542 , H +G = 1542 , 1542 { G = H , 1542 { H = G.
G (Ft) 521 1126 920 707 679 774
H (Ft) 1021 416 622 835 863 768
b) Szabály: M + 328 = I , 328 +M = I , I { 328 = M , I { M = 328.
I (Ft) 658 603 913 1354 1026 1241
M (Ft) 330 275 585 1026 698 913
c) A feladat megoldása során észre kell vennünk, hogy 646 Ft, 647 Ft, 648 Ft, 649 Ft
maradhatott. Ha ezeket az értékeket beírjuk a táblázatba, kiszámítható a könyv ára.
Egyenl®tlenséget is írhatunk.
176 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
Szabály: 645 < 1245 { K < 650 vagy 1245 { K = M , 645 < M < 650
K (Ft) 599 598 597 596
M (Ft) 646 647 648 649
A táblázatban több rovat szerepel, mint ahány megoldás van. Ezzel egyrészt helyet
kívántunk biztosítani a próbálkozásoknak, másrészt nem akartuk sugallni a helyes
megoldások számát.
Gy. 93/10. feladat: Szöveggel adott függvények a kivonás és az összeadás gyakorlásá-
ra. A szabályt többféle alakban is fogalmaztassuk meg. Figyeljük meg, mennyire ismerik
föl a tanulók az összeadás és a kivonás közötti összefüggéseket.
Megoldás:
a) Az összefüggéseket többféle alakban is leírhatjuk.
K<
126 FtJ
<126 Ft
L; K + 126 = J, J + 126 = L;
J { 126 = K, L { 126 = J; J { K = 126, L { J = 126.
K (Ft) 541 415 289 1014 888 762
J (Ft) 667 541 415 1140 1014 888
L (Ft) 793 667 541 1266 1140 1014
b) Ottónak és Robinak együtt 1024 Ft-ja van. Hármójuknak sem lehet ennél kevesebb
pénzük. Hármójuk vagyona 1024 Ft, 1025 Ft, 1026 Ft, 1027 Ft, 1028 Ft, 1029 Ft
lehet. Innen könnyen kiszámítható Peti vagyona.
O +R = 1024 Ft,
1024 Ft 5 O + R + P < 1030 Ft,
1024 Ft { 1024 Ft 5 P < 1030 Ft { 1024 Ft.
O (Ft) 528 528 528 528 528 528
R (Ft) 496 496 496 496 496 496
P (Ft) 0 1 2 3 4 5
O +R + P 1024 1025 1026 1027 1028 1029
Gy. 94/11. feladat: Írásbeli kivonás több helyiértéken történ® átlépéssel.
Megoldás: Becslés Becslés Számolás:
százasra kerekítve: tízesre kerekítve:
a) 1600 { 800 = 800 1560 {{ 830 = 730 738
b) 1200 { 600 = 600 1240 {{ 640 = 600 603
c) 1600 { 800 = 800 1630 {{ 810 = 820 818
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
177
Gy. 94/12. feladat: Írásbeli kivonás több helyiértéken történ® átlépéssel.
Megoldás: Becslés Becslés Számolás:
százasra kerekítve: tízesre kerekítve:
a) 400 410 408
b) 700 670 669
c) 300 340 339
d) 700 700 698
e) 500 560 554
Gy. 95/13. feladat: Az írásbeli kivonás (ellen®rzéskor az összeadás), valamint a hosszú-
ság, az ¶rtartalom és a tömeg mértékegységeir®l tanultak alkalmazása egyszer¶ szöve-
ges feladatok értelmezésében és megoldásában.
Ügyeljünk arra, hogy a tanulók tartsák be a szöveges feladat megoldásának tanult lépé-
seit. Az adatok kigy¶jtésekor a köztük lév® összefüggéseket is jegyezzék le, és azonos
mértékegységekkel fejezzék ki a mennyiségeket. A szöveges válaszban is ügyeljenek a
megfelel® mértékegység használatára és az esetleges átváltásra.
Megoldás: a) Adatok: b = 10 kg 25 dkg = 1025 dkg,
e = 5 kg 70 dkg = 570 dkg, m = ?
Terv: m = v { e m = 1025 { 570
Becslés: Százasra kerekítve: 400 dkg
Tízesre kerekítve: 460 dkg
Számolás: m = 455 dkg
Ellen®rzés: 455 + 570 = 1025
Válasz: 455 dkg = 4 kg 55 dkg burgonya maradt.
b) Adatok: a = 12 m 50 cm = 1250 cm,
l = 32 dm 5 cm = 325 cm, m = ?
Terv: m = a { l m = 1250 { 325
Becslés: Százasra kerekítve: 1000 cm
Tízesre kerekítve: 920 cm
Számolás: m = 925 cm
Ellen®rzés: 925 + 325 = 1250
Válasz: 925 cm = 9 m 2dm 5 cm hosszú anyag maradt.
c) Adatok: k = 12 dm 5 cm 5 mm = 1255 mm,
k >
6 dm 78 mm = 678 mm-relp p = ?
Terv: p = k { 678 p = 1255 { 678
Becslés: Százasra kerekítve: 600 mm
Tízesre kerekítve: 580 mm
Számolás: p = 577 mm
178 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
Ellen®rzés: 577 + 678 = 1255
Válasz: 577 mm = 5 dm 7 cm 7 mm hosszú a piros szalag.
d) Adatok: v = 7 l fél dl = 705 cl,
k = 2 l 18 cl = 218 cl, m = ?
Terv: m = v { k m = 705 { 218
Becslés: Százasra kerekítve: 500 cl
Tízesre kerekítve: 490 cl
Számolás: m = 487 cl
Ellen®rzés: 487 + 218 = 705
Válasz: 487 cl = 4 l 8 dl 7 cl tej maradt a kannában.
e) Adatok: o = l l 25 cl 5 ml = 1255 ml,
sz = 5 dl 72 ml = 572 ml, v = ?
Terv: v = o { sz v = 1255 { 572
Becslés: Százasra kerekítve: 700 ml
Tízesre kerekítve: 690 ml
Számolás: v = 683 ml
Ellen®rzés: 683 + 572 = 1255
Válasz: 683 ml = 6 dl 8 cl 3 ml az oldatban a víz.
Gy. 96/14. feladat: Egyszer¶ szöveges feladatok az írásbeli kivonás és összeadás al-
kalmazásának gyakorlására. A változatos szövegezés a kivonás értelmezésének elmé-
lyítését és a szövegértelmez® képesség fejlesztését szolgálja. Szoktassuk rá a tanuló-
kat a szöveg �gyelmes elolvasására. Figyeltessük meg, hogy ugyanaz a szó (�maradt",
�kevesebb") más-más m¶velettel írható le a szöveg értelmének megfelel®en. Az adatok
kigy¶jtésekor az adatok közti összefüggéseket is jegyezzék le a tanulók.
Megoldás: a) Adatok: v = 354 Ft, sz = 1562 Ft, m = ?
Terv: m = sz { v v +m = sz m = 1562 { 354
Becslés: Százasra kerekítve: 1200 Ft
Tízesre kerekítve: 1210 Ft
Számolás: m = 1208 Ft
Ellen®rzés: 1208 + 354 = 1562
Válasz: 1208 Ft-ot kell még gy¶jtenie Annának.
b) Adatok: v = 1354 Ft, m = 562 Ft, k = ?
Terv: k = v { m v { k = m k = 1354 {{ 562
Becslés: Százasra kerekítve: 800 Ft
Tízesre kerekítve: 790 Ft
Számolás: k = 792 Ft
Ellen®rzés: 792 + 562 = 1354
Válasz: 792 Ft-ot költött Barna.
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
179
c) Adatok: m = 1354 Ft, k = 568 Ft, v = ?
Terv: v = m + k v = 1354 + 568
Becslés: Százasra kerekítve: 2000 Ft
Tízesre kerekítve: 1920 Ft
Számolás: v = 1922 Ft
Ellen®rzés: 1922 { 568 = 1354
Válasz: 1922 Ft-ja volt Cilinek.
d) Adatok: D = 1354 Ft, D <
568 Ft-talE E = ?
Terv: E = D + 568 E = 1354 + 568
Becslés: Százasra kerekítve: 2000 Ft
Tízesre kerekítve: 1920 Ft
Számolás: E = 1922 Ft
Ellen®rzés: 1354 <568
1922
Válasz: 1922 Ft-ja van Elemérnek.
e) Adatok: F = 1562 Ft, F >
358 Ft-talG G = ?,
Terv: G = F { 358 G = 1562 { 358
Becslés: Százasra kerekítve: 1200 Ft
Tízesre kerekítve: 1200 Ft
Számolás: G = 1204 Ft
Ellen®rzés: 1562 >358
1204
Válasz: 1204 Ft-ja van Gézának.
Gy. 96/15. feladat: A hiányzó kivonandó vagy kisebbítend®, illetve hiányzó számjegyek
meghatározása kijelölt kivonásban.
Megoldás: a) 956+ 342614
1042{ 945
97
838{ 526312
856{ 234622
b) 1155{ 642
513
743{ 591152
805{ 36769
697{ 479218
c) 751{ 599152
1101{ 769
332
1816{ 1167
649
1326{ 2181108
d) 783{ 175608
735{ 439296
1006{ 958
48
1723{ 771
952
180 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
e) 1519{ 754
765
1109{ 495
614
738{ 519219
1221{ 496
725
Gy. 96/16. feladat: A megoldás során alkalom nyílik tapasztalati úton a zárójelfelbontás
gyakorlására.
Megoldás: m = 1548 - 786 = 762
762 Ft-ja marad Zsuzsinak.
a) m = 1548 { (786 + 150) = 612, illetve m = 1548 { 786 { 150 = 612.
612 Ft-ja marad Zsuzsinak.
b) m = 1548 { (786 { 150) = 912, illetve m = 1548 { 786 + 150 = 912.
912 Ft-ja marad Zsuzsinak.
Gy. 97/17. feladat: A különbség változásainak meg�gyeltetése szemléletes szöveges,
illetve rajzos feladatokban.
Megoldás:
a) 5 5 2
{ 2 7 8
2 7 4
{ 2 0 0
{ 2 0 0
7 5 2
{ 2 7 8
4 7 4
+ 1 0 0
+ 1 0 0
8 5 2
{ 2 7 8
5 7 4
b) 7 5 2
{ 7 8
6 7 4
{ 2 0 0
+ 2 0 0
7 5 2
{ 2 7 8
4 7 4
+ 1 0 0
{ 1 0 0
7 5 2
{ 3 7 8
3 7 4
c) 9 0 2
{ 4 2 8
4 7 4
+ 1 5 0
+ 1 5 0
+ 0
7 5 2
{ 2 7 8
4 7 4
{ 2 5 0
{ 2 5 0
{ 0
5 0 2
{ 2 8
4 7 4
d) 9 3 7
{ 9 3
8 4 4
+ 1 8 5
{ 1 8 5
+ 3 7 0
7 5 2
{ 2 7 8
4 7 4
{ 1 5 8
+ 1 5 8
{ 3 1 6
5 9 4
{ 4 3 6
1 5 8
Óra: 67. 74. 83.
3. tájékozódó felmérés
A Felmér® feladatsorok cím¶ kiadvány feladatsora.
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
181
Összetett feladatok;
írásbeli összeadás, kivonás alkalmazása
Kompetenciák, fejlesztési feladatok:
számlálás, számolás, rendszerezés, relációszókincs fejlesztése, szövegértés, szöveg-
értelmezés, szövegesfeladat-megoldás, rész-egész észlelése, becslés, induktív követ-
keztetések, problémaérzékenység, problémamegoldás, emlékezet fejlesztése, �gyelem,
kezdeményez®képesség, metakogníció, meg�gyel®képesség, összefüggéslátás, pon-
tosság, kooperatív és önálló munkavégzés, egészséges életmód.
Óra: 68{70. 75{58. 84{87.
Összetett szám- és szöveges feladatok megoldása, a m¶veletek helyes sorrendjének és
a zárójelek használatának ismeretében. Az összeadást, a kivonást írásban, a szorzást és
az osztást fejben végezzék a tanulók. Részletesen foglalkozzunk az összetett feladatok
becslésével.
Tk. 102/1. kidolgozott mintapélda: Elevenítsük fel, hogyan számolhatunk, ha a m¶ve-
letsor csak összeadást és kivonást tartalmaz.
A számolás elvégzése el®tt minden esetben végeztessünk becslést.
Az ellen®rzést a becsült és a számított érték összehasonlításával végezzék a tanulók.
Tk. 102/1. feladat: A számolás elvégzése el®tt minden esetben végeztessünk becslést.
Az ellen®rzést a becsült és a számított érték összehasonlításával végezzék a tanulók.
Megoldás: Becslés
százasra kerekítve: 1200 1200 1200
tízesre kerekítve: 1140 1140 1140
Részeredmény 1330 667 1330
Végeredmény 1143 1143 1143
Becslés
százasra kerekítve: 1200 200 1200
tízesre kerekítve: 1140 180 1140
Részeredmény 289 663 667
Végeredmény 1143 191 1143
Tk. 103/2. kidolgozott mintapélda: Elevenítsük fel, hogyan számolhatunk, ha a m¶ve-
letsor összeadást, kivonást, szorzást, osztást tartalmaz. Idézzük fel a m¶veleti sorrendr®l
tanultakat.
A számolás elvégzése el®tt minden esetben végeztessünk becslést.
Az ellen®rzést a becsült és a számított érték összehasonlításával végezzék a tanulók.
Tk. 103/2. feladat: Elevenítsük fel, hogyan számolhatunk, ha a m¶veletsor az összeadás
és a kivonás mellett szorzást vagy osztást is tartalmaz. Beszéljük meg a zárójel sorrend-
módosító szerepét. A számolás elvégzése el®tt minden esetben végeztessünk becslést.
182 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
A szorzást és az osztást �fejben", az összeadást és a kivonást írásban végezzék el a
tanulók. Ellen®rzésként a becsült és a számított értéket hasonlítsák össze.
Megoldás: a) b) c)
Részeredmény 15 40 200
Végeredmény 365 42 380
Részeredmény 320 8 200
Végeredmény 80 30 2000
d) e) f)
Részeredmény 5 1600 6
Végeredmény 155 1510 15
Részeredmény 180 10 60
Végeredmény 30 160 5
g) h) i)
Részeredmény 50 60 30
Végeredmény 430 58 50
Részeredmény 80 6 60
Végeredmény 10 80 20
Tk. 104/3. feladat: Méréshez kapcsolódó összetett szöveges feladat.
Megoldás: a) A = 85 m + 33 m + 33 m = 151 m
B = 70 m + 28 m + 85 m = 183 m
C = 19 m + 22 m + 86 m = 127 m
b) b = (151 + 183) { 127 = 334 { 127 b = 207 m
207 m-rel tett meg többet a két testvér együtt, mint Cili.
c) c = (151 + 127) { 183 = 278 { 183 c = 95 m
95 m-rel tett meg többet a két lány együtt, mint Béla.
d) ö = 151 + 183 + 127 ö = 461 m
461 m-t tett meg összesen a három gyerek együtt.
Tk. 104/4. feladat: Kreativitást, ötletgazdagságot fejleszt® szöveges feladat. Beszéljük
meg, hogy a rajzkészítés segíthet a feladat megoldásában.
a)
P R S| {z }
628 m
| {z }
274 m
PS = 902 m
P RS| {z }
274 m
PS = 354 m
| {z }
628 m
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
183
I B E F| {z }
1260 m
| {z }
216 m| {z }
347 ma) EF = 131 m b) IF = 1607 m
I F B E| {z }
1260 m
| {z }
216 m
347 mz }| {
a) EF = 563 m b) IF = 913 m
I B FE| {z }
1260 m
| {z }
347 m
216 mz }| {
a) EF = 563 m b) IF = 1607 m
I BF E
| {z }
216 m| {z }
347 m| {z }
1260 ma) EF = 131 m b) IF = 913 m
Tk. 104/5. feladat: A tanulók válasszák ki a kérdés megválaszolásához szükséges, illet-
ve a felesleges adatokat.
Megoldás: a) Adatok: Szükséges adatok:
n = 526; f = 947; b = 263; a = 148 ö = ?
Terv: ö = n + f + b + a ö = 526 + 947 + 263 + 148
Becslés: Százasra kerekítve: 1800
Tízesre kerekítve: 1890
Számolás: ö = 1884
Ellen®rzés: A számolás összhangban van a becsléssel.
Válasz: 1884-en síztek összesen.
b) Adatok: Szükséges adatok:
n = 526; f = 947, e = ?
Terv: e = n + f e = 526 + 947
Becslés: Százasra kerekítve: 1400
Tízesre kerekítve: 1480
Számolás: ö = 1473
Ellen®rzés: A számolás összhangban van a becsléssel.
Válasz: 1473 feln®tt síz® volt.
184 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
c) Adatok: Szükséges adatok:
n = 526; f = 947; k = 263; l = 148, e = ?
Terv: e = (n + f) { (k + l) e = (526 + 947) { (263 + 148)
Becslés: Százasra kerekítve: 1000
Tízesre kerekítve: 1070
Számolás: e = 1062
Ellen®rzés: A számolás összhangban van a becsléssel.
Válasz: 1062-vel több feln®tt sízett, mint gyermek.
d) Adatok: Szükséges adatok:
n = 526; f = 947; k = 263; l = 148, e = ?
Terv: e = f { (n + k + l) e = 947 { (526 + 263 + 148)
Becslés: Százasra kerekítve: 0
Tízesre kerekítve: 10
Számolás: e = 10
Ellen®rzés: A számolás összhangban van a becsléssel.
Válasz: 10-zel több fér� sízett, mint gyermek és n® együtt.
Gy. 98/1. feladat: Elevenítsük fel, hogyan számolhatunk, ha a m¶veletsor csupán össze-
adást és kivonást tartalmaz, illetve hogyan módosítja a m¶veletvégzés sorrendjét a zá-
rójel. A számolás elvégzése el®tt minden esetben végeztessünk becslést.
Az ellen®rzést a becsült és a számított érték összehasonlításával végezzék a tanulók.
Megoldás: Becslés: Részeredmény Végeredmény
a) 700 + 400 { 200 = 900
680 + 350 { 220 = 810 1032 815
b) 1500 { 600 { 300 = 600
1540 { 620 { 280 = 640 922 644
c) 1500 { (600 { 300) = 1200
1540 { (620 { 280) = 1230 343 1200
d) 1300 { 600 + 600 = 1300
1260 { 630 + 590 = 1220 636 1230
e) 1300 { (600 + 600) = 100
1260 { (630 + 590) = 40 1222 42
Gy. 98/2. feladat: Elevenítsük fel, hogyan számolhatunk, ha a m¶veletsor csupán össze-
adást és kivonást tartalmaz, illetve hogyan módosítja a m¶veletvégzés sorrendjét a zá-
rójel.
A számolás elvégzése el®tt minden esetben végeztessünk becslést.
Az ellen®rzést a becsült és a számított érték összehasonlításával végezzék a tanulók.
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
185
Megoldás: Rész- Vég- Rész- Vég-
eredmény eredmény eredmény eredmény
a) 974 817 = 974 817
b) 1095 739 >100
1095 639
c) 114 441 >100
214 541
d) 227 49 = 327 49
Gy. 98/3. feladat: Elevenítsük fel, hogyan számolhatunk, ha a m¶veletsor csupán össze-
adást és kivonást tartalmaz, illetve hogyan módosítja a m¶veletvégzés sorrendjét a zá-
rójel.
A számolás elvégzése el®tt minden esetben végeztessünk becslést.
Az ellen®rzést a becsült és a számított érték összehasonlításával végezzék a tanulók.
Megoldás: Becslés: Részeredmény Végeredmény
a) a = 672 + 476 + 189 1148 1337
b) b = 672 { 476 + 189 196 385
c) c = 672 + 476 { 189 1148 959
d) d = 672 { 476 { 189 196 7
e) e = 672 + 476 { 189 1148 959
f) f = 672 { 476 { 189 196 7
g) g = 672 + 476 + 189 1148 1337
h) h = 672 { 476 + 189 196 385
Gy. 99/4. feladat: A szaknyelv helyes használatára nevel® és a szövegért® képességet
fejleszt® feladatsorok. A tanulók szokják meg, hogy �gyelmesen olvassák el a szöveget
(nagyon �gyeljenek oda a köt®szókra és a végz®désekre). Az adatkigy¶jtésnél föltétlenül
jegyezzék le, hogy melyik érték kevesebb (több), mennyivel.
Figyeltessük meg, hogy a matematikai modell leírásakor kell-e zárójelet használni. A
számításokban a szorzást vagy az osztást (analóg számításként) fejben, az összeadást
vagy a kivonást írásban hajtsák végre. Az eredményt a szöveg alapján ellen®rizzék.
Megoldás: a) a = (876 + 528) + (876 { 528) a = 1752
b) b = (876 + 528) { (876 { 528) b = 1056
Gy. 99/5. feladat: A megoldáshoz ismerni kell a kivonásban használt elnevezéseket. A
megoldáshalmazt a természetes számok halmazán értelmezzük.
Megoldás: a) 100 5 kivonandó < 110, azaz a
kivonandó: 100; 101; 102; 103; 104; 105; 106; 107; 108; 109 lehet.
1001 { 109 5 a 5 1001 { 100, vagy 1001 { 110 < a 5 1001 { 100.
a = 892; 893; . . . 900; 901
186 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
b) 96 < kivonandó < 100, azaz a kivonandó: 97; 98; 99 lehet.
1001 { 99 5 b 5 1001 { 97, vagy 1001 { 96 > b > 1001 { 100.
c) 995 < kivonandó < 1000, azaz a
kivonandó: 996; 997; 998; 999 lehet.
1001 { 999 5 c 5 1001 { 996, vagy 1001 { 995 > c > 1001 { 1000.
Gy. 99/6. feladat: Szöveges feladatok az összeadás és a kivonás gyakorlására.
Megoldás: a) Adatok: t = 618, n = 356, o = ?
Terv: o = t { n o + n = t o = 618 { 356
Becslés: Százasra kerekítve: 200
Tízesre kerekítve: 260
Számolás: o = 262
Ellen®rzés: 262 + 356 = 618
Válasz: 262 tanuló töltötte otthon a téli szünetet.
b) Adatok: f = 578, f >142-vel
a, a = ?
Terv: a = f { 142 a = 578 { 142
Becslés: Százasra kerekítve: 500
Tízesre kerekítve: 440
Számolás: a = 436
Ellen®rzés: 436 + 142 = 578
Válasz: 438 alsó tagozatos tanuló van.
Adatok: f = 578, a = 436, ö = ?
Terv: ö = f + a ö = 578 + 436
Becslés: Százasra kerekítve: 1000
Tízesre kerekítve: 1020
Számolás: ö = 1014
Ellen®rzés: A számolás összhangban van a becsléssel.
Válasz: 1014 tanuló jár összesen ebbe az iskolába.
c) Adatok: f = 456, l = 397, s = 185, ö = ?, n = ?
Terv: ö = f + l ö = 456 + 397
Becslés: Százasra kerekítve: 900
Tízesre kerekítve: 860
Számolás: ö = 853
Ellen®rzés: A számolás összhangban van a becsléssel.
Válasz: 853 tanuló jár ebbe az iskolába.
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
187
Terv: n = ö { s n = 853 { 185
Becslés: Százasra kerekítve: 700
Tízesre kerekítve: 660
Számolás: n = 668
Ellen®rzés: 668 + 185 = 853
Válasz: 668 tanuló nem sportköri tag.
d) Adatok: u = 287, u <184-gyel
é, é = ?
Terv: é = u + 184 é = 287 + 184
Becslés: Százasra kerekítve: 500
Tízesre kerekítve: 470
Számolás: é = 471
Ellen®rzés: 287 <184
471
Válasz: 471-en maradtak bent az épületben.
Adatok: u = 287, é = 471, ö = ?
Terv: ö = u + é ö = 287 + 471
Becslés: Százasra kerekítve: 800
Tízesre kerekítve: 760
Számolás: ö = 758
Ellen®rzés: A számolás összhangban van a becsléssel.
Válasz: 758 tanuló volt jelen az iskolában.
e) Adatok: v = 10 kg = 1000 dkg,
b = 5 kg 75 dkg = 575 dkg,
p = 2 kg 30 dkg = 230 dkg, m = ?
Terv: m = v { b { p m = v { (b + p) m = 1000 { 575 { 230
Becslés: Százasra kerekítve: 200 dkg
Tízesre kerekítve: 190 dkg
Számolás: m = 195 dkg
Ellen®rzés: 195 + 575 + 230 = 1000
Válasz: 195 dkg = 1 kg 95 dkg liszt marad.
Gy. 99/7. feladat: Az írásbeli kivonás (ellen®rzéskor az összeadás), valamint a hosszú-
ság mértékegységeir®l tanultak alkalmazása egyszer¶ szöveges feladatok értelmezésé-
ben és megoldásában.
Megoldás: a) Adatok: ö = 1 km 560 m = 1560 m, a = 358 m
B =?
Terv: B = ö { a B = 1560 { 358
188 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
Becslés: Százasra kerekítve: 1200 m
Tízesre kerekítve: 1200 m
Számolás: B = 1202 m
Ellen®rzés: 1202 + 358 = 1560
Válasz: 1202 m = 1 km 202 m-re lakik Balázs az iskolától.
b) Adatok: ö = 1 km 560 m = 1560 m, a = 358 m, b = 416 m,
C = ?
Terv: C = ö { a { b vagy C = ö { (a + B )
C = 1560 { 358 { 416
Becslés: Százasra kerekítve: 800
Tízesre kerekítve: 780
Számolás: C = 786 m
Ellen®rzés: 786 + 358 + 416 = 1560
Válasz: 786 m-re lakik Cili az iskolától.
Gy. 100/8. feladat: Kreativitást, ötletgazdagságot fejleszt® feladat.
Megoldás:
I B E F| {z }
1260 m
| {z }
216 m| {z }
347 m
a) EF = 131 m b) IF = 1607 m
I F B E| {z }
1260 m
| {z }
216 m
347 mz }| {
a) EF = 563 m b) IF = 913 m
I B FE| {z }
1260 m
| {z }
347 m
216 mz }| {
a) EF = 563 m b) IF = 1607 m
I BF E
| {z }
216 m| {z }
347 m| {z }
1260 m
a) EF = 131 m b) IF = 913 m
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
189
Gy. 100/9. feladat: Szöveges feladat az írásbeli kivonás gyakorlására. Gyakoroltathatjuk
a zárójelfelbontásról tanultakat is.
Megoldás: a) 1205 { 658 = 547; 547 Ft-ja marad Tibornak.
b) 1205 { 214 = 991; 991 Ft-ja marad Tibornak.
c) 1205 { 156 = 1049; 1049 Ft-ja marad Tibornak.
d) 1205 { 128 = 1077; 1077 Ft-ja marad Tibornak.
e) 1205 { (658 + 128) = 419;
1205 { 658 { 128 = 419; 419 Ft-ja marad Tibornak.
f) 1205 { (156 + 214) = 835;
1205 { 156 { 214 = 835; 835 Ft-ja marad Tibornak.
g) 1205 { (214 + 156 + 128) = 707;
1205 { 214 { 156 { 128 = 707; 707 Ft-ja marad Tibornak.
h) 1205 { (658 + 214 + 156 + 128) = 49;
1205 { 658 { 214 { 156 { 128 = 49. 49 Ft-ja marad Tibornak.
Gy. 100/10. feladat: Tisztázzuk, hogy 40 dkg egy doboz kakaó tömege
Megoldás: Ennyi doboz kakaó 4 10 15 7 12
Ennyi a tömege 160 dkg 4 kg 6 kg 280 dkg 840 dkg
Gy. 100/11. feladat: A m¶veletekr®l, mértékegységekr®l tanultak gyakorlására szánt fel-
adatsor.
Megoldás: Ennyi volt 5 kg 10 kg 2 kg 1 kg
Ennyi elfogyott 1 kg 40 dkg 4 kg 80 dkg 15 dkg 0 dkg
Ennyi maradt 3 kg 60 dkg 5 kg 20 dkg 185 dkg 100 dkg
Gy. 101/12. feladat: Elevenítsük fel, hogyan számolhatunk, ha a m¶veletsor az össze-
adáson és kivonáson kívül szorzást és osztást is tartalmaz. A szorzást, osztást �fejben",
az összeadást, kivonást írásban végezzék el a tanulók.
A számolás elvégzése el®tt minden esetben végeztessünk becslést. Az ellen®rzést a
becsült és a számított érték összehasonlításával végezzék a tanulók.
Megoldás: Becslés: Részeredmény Végeredmény
a) 1000 + 700 = 1700
1090 + 720 = 1810 720 1814
1000 { 400 = 600
990 { 420 = 570 420 1406
b) 1500 { 500 = 1000
1530 { 450 = 1080 450 1078
1000 { 300 = 700
1020 { 280 = 740 280 741
190 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
Gy. 101/13. feladat: Összetett számfeladat a m¶veleti sorrend és a zárójelhasználat
tudatosítására, gyakorlására.
Megoldás: Becslés Becslés
százasra kerekítve: tízesre kerekítve:
a) 500 540 6
1.
� 300
2.
{ 1258 = 542;
b) 300 270 4
1.
� 500
2.
{ 1729 = 271;
c) 400 420 7
1.
� 200
2.
{ 976 = 424;
d) 1200 1180 817
2.
+ 4
1.
� 90 = 1177;
e) 1600 1640 1396
2.
+ 3
1.
� 80 = 1636;
f) 1600 1520 7
1.
� 80
2.
+ 958 = 1518;
g) 700 700 1506
2.
{ 9
1.
� 90 = 696;
h) 1000 1000 1625
2.
{ 7
1.
� 90 = 995;
i) 600 660 912
2.
{ 5
1.
� 50 = 662;
j) 1300 1220 8
1.
� 70
2.
+ 658 = 1218;
k) 1000 1020 595
2.
+ 6
1.
� 70 = 1015;
l) 1900 1920 2
1.
� 600
2.
+ 718 = 1918.
Gy. 101/14. feladat: Összetett számfeladat a m¶veleti sorrend és a zárójelhasználat
tudatosítására, gyakorlására.
Megoldás: Becslés Becslés
százasra kerekítve: tízesre kerekítve:
a) 500 460 640
1.
: 8
2.
+ 379 = 459;
b) 700 660 587
2.
+ 420
1.
: 6 = 657;
c) 1200 1360 1276
2.
+ 560
1.
: 7 = 1356;
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
191
d) 800 850 913
2.
{ 480
1.
: 8 = 853;
e) 900 940 1032
2.
{ 270
1.
: 3 = 942;
f) 700 700 1001
2.
{ 900
1.
: 3 = 701;
g) 1800 1800 9
2.
� (176
1.
+ 24) = 1800;
h) 100 80 (1052
1.
{ 492)
2.
: 7 = 80;
i) 300 300 1200
2.
: (9
1.
{ 5) = 300.
Gy. 101/15. feladat: Összetett számfeladat a m¶veleti sorrend és a zárójelhasználat
tudatosítására, gyakorlására.
Megoldás: a) a = (998 { 648) : 50 = 350 : 50 a = 7
b) b = (1234 { 604) : 90 = 630 : 90 b = 7
c) c = (867 { 567) � 3 = 300 � 3 c = 900
Gy. 102/16. feladat: Di�erenciálásra javasolt, fokozatosan nehezed® feladatsorok. A két
vagy több m¶velettel megoldható összetett szöveges feladatok önálló megoldását még
nem várhatjuk el mindenkit®l, de már ebben az évben oldassunk meg sok ilyen feladatot.
Megoldás: a) Adatok: a = 865 kg, n: 1 láda 30 kg, ö = ?
8 láda 8 � 30 kg
Terv: ö = a + n ö = 865 + 8 � 30
Becslés: Százasra kerekítve: 1100 kg
Tízesre kerekítve: 1110 kg
Számolás: ö = 1105 kg
Ellen®rzés: A számolás összhangban van a becsléssel.
Válasz: 1105 kg gyümölcs van a zöldségüzletben.
b) Adatok: gy = 865 kg, k: 1 láda 30 kg a = ?
8 láda 8 � 30 kg
Terv: a = gy { k a = 865 { 8 � 30
Becslés: Százasra kerekítve: 700 kg
Tízesre kerekítve: 620 kg
Számolás: a = 625 kg
Ellen®rzés: 625 + 8 � 30 = 865
Válasz: 625 kg alma van a zöldségüzletben.
192 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
c) Adatok: v = 865 kg, e = 425 kg, m: 1 zacskó 4 kg
? zacskó
Terv: z = (v { e) : 4 z = (865 { 425) : 4
Becslés: Százasra kerekítve: 100
Tízesre kerekítve: 110
Számolás: z = 110
Ellen®rzés: 865 { 425 = 110 � 4
Válasz: 110 zacskóra volt szükség.
d) Adatok: v = 865 kg, h = 335 kg, 1 zsák 30 kg ? zsák
Terv: zs = (v + h) : 30 zs = (865 + 335) : 30
Becslés: Százasra kerekítve: 40
Tízesre kerekítve: 40
Számolás: zs = 40
Ellen®rzés: 865 + 335 = 40 � 30
Válasz: 40 zsákra volt szükség.
Gy. 103/17. feladat: A szaknyelv helyes használatára nevel® és a szövegért® képessé-
get fejleszt® feladatsorok. A tanulók szokják meg, hogy �gyelmesen olvassák el a szö-
veget (nagyon �gyeljenek oda a köt®szókra és a végz®désekre).
Megoldás: a) a = 320 � 4 { 76 = 1280 { 76 a = 1204
b) b = 320 � 4 + 76 = 1280 + 76 b = 1356
c) c = 320 : 4 { 76 = 80 { 76 c = 4
d) d = 320 : 4 + 76 = 80 + 76 d = 156
e) e = 320 � 4 + 76 = 1280 + 76 e = 1356
f) f = 320 : 4 { 76 = 80 { 76 f = 4
Gy. 103/18. feladat: A szaknyelv helyes használatára nevel® és a szövegért® képessé-
get fejleszt® feladatsorok. A tanulók szokják meg, hogy �gyelmesen olvassák el a szö-
veget (nagyon �gyeljenek oda a köt®szókra és a végz®désekre).
Megoldás: a) a = (238 + 162) � 3 = 400 � 3 a = 1200
b) b = (238 { 162) � 10 = 76 � 10 b = 760
c) c = (238 { 162) : 2 = 76 : 2 c = 38
Gy. 103/19. feladat: Di�erenciálásra javasolt, fokozatosan nehezed® feladatsorok.
A két vagy több m¶velettel megoldható összetett szöveges feladatok önálló megoldását
még nem várhatjuk el mindenkit®l, de már ebben az évben oldassunk meg sok ilyen
feladatot.
Megoldás: a) Adatok: 196 db 1 , 55 db 2 , 23 db 10 , ö = ?
Terv: ö = 196 � 1 + 55 � 2 + 23 � 10
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
193
Becslés: Százasra kerekítve: 500 Ft
Tízesre kerekítve: 550 Ft
Számolás: ö = 196 + 110 + 230 ö = 536 Ft
Ellen®rzés: A számolás összhangban van a becsléssel.
Válasz: 536 Ft-ja van Andrásnak.
b) Adatok: v = 1567 Ft, k: 20 � 45 Ft m = ?
Terv: m = v { k m = 1567 { 20 � 45
Becslés: Százasra kerekítve: 600 Ft
Tízesre kerekítve: 570 Ft
Számolás: m = 1567 { 900 m = 667 Ft
Ellen®rzés: A számolás összhangban van a becsléssel.
Válasz: 667 Ft-ja maradt Biankának.
c) Adatok: v: 198 db 1 , 25 db 5 , 40 db 2 , k = 896 Ft, l = ?
Terv: l = v + k l = 198 � 1 + 25 � 5 + 40 � 2 + 896
Becslés: Százasra kerekítve: 1200 Ft
Tízesre kerekítve: 1330 FT
Számolás: l = 198 + 125 + 80 + 896 l = 1299 Ft
Ellen®rzés: A számolás összhangban van a becsléssel.
Válasz: 1299 Ft-ja lesz Cilinek.
d) Adatok: v = 568 db 10 , 35 db 10 , 8 db 50 , e = 10 � 60,
m = ?
Terv: m = v { e m = 568 � 1 + 35 � 10 + 8 � 50 { 10 � 60
Becslés: Százasra kerekítve: 700 Ft
Tízesre kerekítve: 720 Ft
Számolás: m = 568 + 350 + 400 { 600 m = 718 Ft
Ellen®rzés: A számolás összhangban van a becsléssel.
Válasz: 718 Ft-ja maradt Dórának a vásárlás után.
Gy. 103/20. feladat: Di�erenciálásra javasolt, fokozatosan nehezed® feladatsorok.
A két vagy több m¶velettel megoldható összetett szöveges feladatok önálló megoldását
még nem várhatjuk el mindenkit®l, de már ebben az évben oldassunk meg sok hasonló
feladatot.
Megoldás: a) Adatok: v = 675 Ft, l = 855 Ft, k = ? db 20
Terv: k = (l { v) : 20
k = (855 { 675) : 20 855 = 675 + k � 20
Becslés: Százasra kerekítve: 10
Tízesre kerekítve: 10
Számolás: k = 180 : 20 k = 9
194 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
Ellen®rzés: 675 + 9 � 20 = 855
Válasz: 9 db 20 -ost kapott Ani.
b) Adatok: v = 1213 Ft, m = 893 Ft, e: ? db 40 Ft
Terv: e = (v { m) : 40 v { e � 40 = m
e = (1213 { 893) : 40
Becslés: Százasra kerekítve: 10
Tízesre kerekítve: 8
Számolás: e = 320 : 40 e = 8
Ellen®rzés: 1213 { 8 � 40 = 893
Válasz: 8 darab matricát vásárolhatott Béla.
c) Adatok: v = 584 Ft, l = 1584 Ft, b = 20 � x, x = ?
Terv: x = (l { v) : 20 v + 20 � x = l x = (1584 { 584) : 20
Becslés: Százasra kerekítve: 50 Ft
Tízesre kerekítve: 50 Ft
Számolás: x = 1000 : 20 x = 50
Ellen®rzés: 584 + 20 � 50 = 1584
Válasz: 50 Ft-ot tett naponta a perselyébe Cili.
Gy. 104/21. feladat: Kreativitás, képi gondolkodás fejlesztését segít® feladat.
Megoldás:
1010 { 935 630 : 7 67 + 29 + 9 3 � 40 912 { 777
300 : 2 87 + 9 + 69 9 � 20 1043 { 848 840 : 4
643 { 418 8 � 30 1732 { 1477 3 � 90 1612 { 1327
1500 : 5 242 + 67 + 6 990 : 3 254 + 8 + 83 40 � 9
Óra: 71. 79. 88{89.
3. felmérés
A Felmér® feladatsorok cím¶ kiadvány feladatsora.
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
195