Dr. Czeglédy István fôiskolai tanár

Dr. Czeglédy Istvánné vezetôtanár

Dr. Hajdu Sándor fôiskolai docens

Novák Lászlóné tanár

Zankó Istvánné tanár

Matematika 5.

PROGRAM

általános iskola 5. osztálynyolcosztályos gimnázium 1. osztály

Átdolgozott kiadás

MÛSZAKI KÖNYVKIADÓ, BUDAPEST

Alkotó szerkesztô:DR. HAJDU SÁNDOR

Szerkesztette:ZANKÓ ISTVÁNNÉ

Az 1. kiadást bírálta:DR. MAROSVÁRI MIKLÓSNÉ vezetôtanárDR. SÜMEGI LÁSZLÓ egyetemi adjunktus

© Dr. Czeglédy István, Dr. Czeglédy Istvánné,Dr. Hajdu Sándor, Novák Lászlóné, Zankó Istvánné, 1994, 2001

© Mûszaki Könyvkiadó, 2001

OM-engedélyszám: XXVIII/1408-S/2000

ISBN 963 16 2794 2Azonosító szám: CAE 039

Kiadja a Mûszaki KönyvkiadóFelelôs kiadó: Bérczi Sándor ügyvezetô igazgató

Felelôs szerkesztô: Bosznai GáborMûszaki vezetô: Abonyi Ferenc

Borítóterv: Bogdán HajnalMûszaki szerkesztô: Ihász Viktória

Tördelôszerkesztés és számítógépes grafika: Köves GabriellaTerjedelem: 10,01 (A/5) ív

4. kiadásNyomta és kötötte az Oláh Nyomdaipari Kft.

Felelôs vezetô: Oláh Miklós

Tartalom

Általános módszertani javaslatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

Óraterv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6A tanulási folyamatról . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8A taneszközökr®l . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

A tananyag-feldolgozás általános szerkezete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13A tudáspróbák feladata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15Szemléltetés, eszközhasználat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

A tananyag és a követelmények értelmezésér®l . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19Halmazok, logika, kombinatorika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19Számtan, algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22Relációk, függvények, sorozatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23Mérés, geometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25Valószín¶ség, statisztika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

A tananyag feldolgozása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1. A természetes számok. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29A tananyag-feldolgozás csomópontjai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29Kapcsolódási lehet®ségek. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30Tanmenetjavaslat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31A tananyag-feldolgozás áttekintése. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2. Kerület, terület, felszín, térfogat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49A tananyag-feldolgozás csomópontjai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49Kapcsolódási lehet®ségek. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49Tanmenetjavaslatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52A tananyag-feldolgozás áttekintése. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

3. Az egész számok. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63A tananyag-feldolgozás csomópontjai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64Kapcsolódási lehet®ségek. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64Javasolt eszközök és modellek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65Tanmenetjavaslat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67A tananyag-feldolgozás áttekintése. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

4. A szögek mérése . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74Kapcsolódási lehet®ségek. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74Tanmenetjavaslat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75A tananyag-feldolgozás áttekintése. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

5. Törtek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80A tananyag-feldolgozás csomópontjai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81Kapcsolódási lehet®ségek. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81Tanmenetjavaslat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82A tananyag-feldolgozás áttekintése. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

6. Adott tulajdonságú ponthalmazok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90A tananyag-feldolgozás csomópontjai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90Kapcsolódási lehet®ségek. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91Tanmenetjavaslat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

3

A tananyag-feldolgozás áttekintése. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 937. A tizedestörtek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

A tananyag-feldolgozás csomópontjai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103Kapcsolódási lehet®ségek. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103Tanmenetjavaslat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104A tananyag-feldolgozás áttekintése. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

8. Összefoglaló . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112Tanmenetjavaslat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

4

ÁLTALÁNOS MÓDSZERTANI JAVASLATOK

Az elmúlt fél évszázadban alapvet®en megváltozott a tudásról, a m¶veltségr®l és a ké-

pességr®l alkotott elképzelésünk. A tudomány és a technika robbanásszer¶ fejl®dése,

a társadalom átalakulása a jöv® (s®t már a jelen) emberét®l megköveteli, hogy a tanul-

taktól eltér®en is tudjon látni és dolgozni, önálló és konstruktív legyen, képes legyen

folyamatosan megújulni.

A korszer¶ matematikatanítás nemcsak (és nem els®sorban) a tananyag b®vítésével, új

témák feldolgozásával, hanem a nevelési célrendszer újragondolásával alkalmazkodhat

ezekhez a változásokhoz. Nem a matematikai gondolatok elsajátíttatása az els®dle-

ges célunk, hanem a matematikai gondolkodás fejlesztése. Ezért nagy hangsúlyt kell

fektetnünk a kreativitás és az alkotóképesség fejlesztésére. Megjegyezzük, hogy a

kreativitásra nevelés azért is nehéz feladat, mert a pedagógiai beállítottság, amelyet

megkíván, nincs összhangban az általánosan elterjedt tanítási eljárásokkal, a tanórák

legkényelmesebbnek és talán leghatékonyabbnak t¶n® felépítési módjával.

Ugyanakkor az elmúlt évek csalódásai, balsikerei arra is �gyelmeztetnek bennünket,

hogy nem hanyagolhatjuk el a szilárd és alkalmazásképes ismeretrendszer felépítését,

a fegyelmezett gondolkodásra nevelést sem. A vizsgálatok egyértelm¶en bizonyították,

hogy ebben az életkorban inkább valamivel kevesebbet kell tanítanunk, de azt alapo-

sabban meg kell tanítanunk, be kell gyakoroltatnunk.

A nevelési célrendszer átalakulása megváltoztatta a tanításról vallott felfogásunkat, a

matematikaórákon a tanításról a tanulásra tev®dött át a hangsúly. Ez a korábbinál sokkal

változatosabb óravezetést, más id®beosztást kíván. A konkrét fejlesztési feladatoknak

megfelel®en kell variálnunk módszereinket, a tanulási folyamat megszervezését. Ebben

a részben néhány ezzel kapcsolatos általános javaslatot, gondolatot vázolunk fel. A

konkrét módszertani megoldások ajánlásával a tananyag-feldolgozás foglalkozik.

A matematikatanítás megújítására való törekvések az elmúlt évtizedekben egymástól

igen különböz® utakat, sokszor széls®ségesen egyoldalú megoldásokat jelöltek ki. A

pedagógiai gyakorlat { az adott körülményekhez igazodva { transzformálta, csiszolta,

továbbfejlesztette ezeket az elképzeléseket, sokszor az egymástól eltér®ket is ötvözve.

Az általunk ajánlott program nem köt®dik valamelyik speciális pszichológiai vagy tan-

tárgypedagógiai irányzathoz, nem íróasztal mellett született, hanem a pedagógiai gya-

korlat tükörképe, az 1978-as tanterv olyan újraértelmezése, amely �gyelembe veszi a

gyerekek teherbíró képességét, az országos (Monitor) és nemzetközi (IEA) felmérések

eredményeit, az 1985-ös tantervi korrekció tapasztalatait, valamint a gyakorló pedagó-

gusok véleményét (például az 1990-t®l 1994-ig folyó NAT-vita tanulságait).

Ez a tanítási program és a hozzá kapcsolódó taneszközrendszer a Nemzeti alaptanterv

�gyelembevételével kidolgozott kerettantervre épül, annak egy lehetséges didaktikai

kifejtése. A kerettanterv sokféle eltér® programmal, helyi tantervvel megvalósítható,

ezért az ebben a könyvben leírtak csupán módszertani ajánlásoknak tekinthet®k.

5

Óraterv

A matematika heti óraszáma a kerettanterv szerintminimum 4 óra. A tényleges óraszá-

mot az iskolák a helyi tantervükben rögzítik. Az összóraszám két részb®l tev®dik össze,

a �kötelez® órakeretb®l" és a �kiegészít® órakeretb®l". Így 5. osztályban a kötelez® óra-

keretb®l évi 148 óra jut a matematikára. A kiegészít® órakeret terhére legalább heti 1

órát fordítsunk a matematikatanulással kapcsolatos speciális feladatok megoldására, a

felzárkóztatásra, a kiegészít® anyagrészek megtanítására, a tehetséggondozásra, a

versenyre való felkészítésre.

A Hajdu Sándor által szerkesztett alsó és fels® tagozatos program, illetve taneszközök

egységes koncepció alapján épülnek fel. Ha az alsó tagozaton is ebb®l a tankönyvcsa-

ládból tanultak a tanulók, akkor lényegében zökken®mentes lehet a tagozatváltás. Más

alsó tagozatos tankönyvek esetén jelent®s �hézag" lehet az alsó és a fels® tago-

zat tananyaga és követelményrendszere között, amelyet csak gondos tervezéssel és

több hónapig tartó munkával tudunk megszüntetni. A felmérések szerint a következ®

gondokat tapasztalhatjuk:

fejletlen a szövegértelmez® képesség, nem tudják önállóan megoldani az egyszer¶

szöveges feladatokat a tanulók;

bizonytalan számfogalom, nem képesek a nagyobb számokat értelmezni, nem tudják

ábrázolni a számokat a számegyenesen;

gyakorlatlanul és pontatlanul számolnak �fejben" és írásban;

nem ismerik kell®en a mér®eszközöket és mértékegységeket.

Alsó tagozatban a heti 4 óra, akár a magyar közoktatás múltját, akár a fejlett országok

gyakorlatát tekintjük, olyanminimum, amelynél kevesebb óraszámmal már nem oldhatók

meg a matematikai nevelés feladatai.

Ha az alsó tagozatban választott tankönyvek vagy a kevés óraszám miatt az alsó és

a fels® tagozatos tankönyvek nincsenek kell®en összehangolva, akkor legalább az el-

s® félévben szervezzünk heti 1 óra felzárkóztató foglalkozást a kiegészít® órake-

ret terhére. Ennyi id® föltétlenül szükséges ahhoz, hogy pótoljuk az alsó tagozatban

felhalmozódott esetleges hiányosságokat, hozzászoktassuk a tanulót a fels® tagozat

munkatempójához és követelményeihez, feldolgozzuk és megnyugtató módon begyako-

roltassuk az 5. osztályra id®arányosan jutó tananyagot. Ha nem biztosítunk kiegészít®

órát az alsó tagozatos hiányok pótlására, akkor éppen az ismeretek megalapozásá-

ra és begyakorlására nem jut id®, ezért a tanulók tudásában mutatkozó hiányosságok

nagyobbak lesznek, mint azt az elmaradt óraszám alapján gondolnánk. Tehát, ha gon-

dokat észlelünk, akkor a kiegészít® órákat ne új ismeretek tanítására fordítsuk, hanem

felzárkóztatásra, az alapvet® ismeretek begyakorlására, elmélyítésére.

Az óratervet két változatban készítettük el.

A változat: Azoknak az osztályoknak készült, amelyek a fent részletezett okok miatt

csak a kerettantervi minimumot képesek feldolgozni.

B változat: A megfelel® alsó tagozatos alapozásra építve az els® két fejezetet intenzí-

vebben, magasabb szinten dolgozhatjuk fel, így elegend® id® jut a többi

anyagrész alaposabb megtanítására.

6

A B

1. Természetes számok. Az alsó tagozatos számtan, algebra,

illetve mérés, mértékegységek (kivéve a terület- és térfogatszá-

mítást) tananyag ismétlése, rendszerezése, kiegészítése.

36 30 óra

Felzárkóztatás a kiegészít® órakeret terhére. (+12) { óra

2. Kerület, terület, felszín, térfogat. Az alsó tagozatos geometria

tananyag ismétlése, rendszerezése, kiegészítése.

14 14 óra

Felzárkóztatás a kiegészít® órakeret terhére. (+5) { óra

3. Az egész számok. 13 16 óra

4. A szögek mérése. 8 8 óra

Az irányt¶ használata. { (+2) óra

5. Törtek. 18 21 óra

A negatív törtek értelmezésével, rendezésével, összeadá-

sával, kivonásával csak a B változatban találkozunk.

6. Adott tulajdonságú ponthalmazok. 12 17 óra

Távolság, mer®legesség, párhuzamosság; testek építése,

ábrázolása. Szerkesztések.

7. A tizedestörtek. Valószín¶ség, statisztika. 20 22 óra

A negatív tizedestörtekkel csak a B változatban találkozunk.

8. Év végi összefoglalás. 9 10 óra

Felmérések, értékelések. 12 10 óra

Tartalék. Az el®re nem látott didaktikai, nevelési feladatok meg-

oldására.

6 { óra

Összesen a kötelez® órakeretb®l: 148 148 óra

A fenti két változat alapján az osztály tudásszintjének és a helyi tantervnek a �gyelem-

bevételével alakítsuk ki saját óratervünket. Vigyázzunk arra, hogy a mérés, geometria

témakörre legalább 36{44 óra jusson (a koncentrációt, a folyamatos ismétlést és az év

végi összefoglalást is �gyelembe véve). A dolgozatokban is legalább 25{30%-os súllyal

szerepeljenek a méréssel, illetve geometriával kapcsolatos feladatok. Érdemes néhány

órát el®re nem látható didaktikai, nevelési feladatok megoldására tartalékolnunk.

Az órakeret betartatása els®sorban az igazgató feladata, de sok múlhat a matematika

munkaközösség oda�gyelésén is. Véleményünk szerint, a matematika fejleszt® hatásá-

ról semmilyen tetszet®s indokkal nem mondhatunk le ebben az életkorban. Nem csak a

kés®bbi matematika és természettudományos tantárgyak sikeres tanulásának egyik el®-

feltétele, hogy kell® szintre emeljük a gyermek matematikai tudását és képességeit. A

logikus gondolkodásra, a problémamegoldó képességre, a kreativitásra az élet minden

területén szükségünk van. Az általános iskolában nem feledkezhetünk meg arról sem,

hogy a középiskolák a matematikát olyan kulcstantárgynak tekintik, amelyre föltétlenül

oda�gyelnek a felvételiz® gyermekek képességeit vizsgálva.

7

A tanulási folyamatról

A tanulási folyamat megtervezése, a feltételek biztosítása, a munka irányítása, az

elért eredmények diagnosztizálása, értékelése, a tapasztalt hiányosságok felszámolása

igen összetett pedagógiai tevékenység. Ezért célszer¶ áttekintenünk és részletesen

elemeznünk e folyamat fázisait. Természetesen az egyes szakaszok nem elkülönülten

jelennek meg, hanem sokszor egymásba mosódnak, egymást elfedik, de mindegyiknek

van valamilyen, a többit®l különböz® domináns szerepe, amit az elnevezése is tükröz.

A tanulásnak ezt a leírását olyan modellnek tekinthetjük, amely bár leegyszer¶síti a

valóságos folyamatot, mégis segíthet e folyamat megszervezésében és irányításában.

1. El®készít® szakasz

Törekedjünk arra, hogy a tanuló ne készen { közölve { kapja az ismereteket, hanem

a valóságból, esetleg kísérletb®l, tárgyi tevékenységb®l kiindulva, vagy feladatsorok

feldolgozása során lássa meg, fedezze fel azokat. A fogalom megértését, az ismeretek

elsajátítását sok és sokféle tapasztalatszerzés el®zze meg.

A következ®kben megvizsgáljuk a tapasztalatszerzés összetev®it:

A tanulók el®z® ismeretei

Egy-egy új, megértend® fogalom, elsajátítandó ismeret el®készítése általában már az

alsó tagozatban elkezd®dik. Gy®z®djünk meg arról, hogy az ott szerzett tapasztalatokból

mennyire emlékeznek, mennyi épült be eddigi ismereteikbe. Ezt a �gyökérképz®dést"

gyerekenként kell feltárnunk. Ne tévesszen meg bennünket az, hogy a jobbak a tapasz-

talatszerzés folyamatában is el®bbre vannak, mert lehet, hogy a gyengéknek nincsenek

meg az alapismereteik sem. Ez a hiány okozza sokszor a további lemaradásukat.

Például a törtek értelmezésének, összehasonlításának, rendezésének el®készítésekor

gy®z®djünk meg arról, hogy a gyerekek megfelelnek-e az alsó tagozatos elvárásoknak:

értik-e a törteket kifejez® fél, harmad, �, 2 harmad, 3 harmad, � kifejezéseket;

el® tudják-e állítani adott egység esetén az egységtörteknek és többszöröseiknek

megfelel® mennyiségeket hajtogatással, rajzzal, színezéssel;

le tudják-e olvasni konkrétan megjelenített törtek többféle �nevét";

a konkrétan el®állított, megjelenített törteket tudják-e nagyság szerint rendezni?

Nézzünk egy feladatot!

a) Másold le a téglalapot! Színezd ki a felét, 2 negyedét, 3 negye-

dét, harmadát, 2 harmadát, 3 harmadát, hatodát, 2 hatodát, 3

hatodát, 4 hatodát, 5 hatodát!

b) A beszínezett téglalaprészek között van-e azonos nagyságú?

c) Melyik a legkisebb, melyik a legnagyobb színezett rész? A színezés alapján írd fel a törteket

nagyságrendben!

Amelyik gyerek nem tudja az ilyen és ehhez hasonló konkrét feladatokat megoldani, an-

nak most 5. osztályban kell biztosítani a sokoldalú tapasztalatszerzést eszközzel, rajzzal

stb., pótolni kell a leírt elvárásokat. De ne essünk abba a hibába, hogy az eredmény-

8

t®l függetlenül teljesen elölr®l kezdjük a törtfogalom el®készítését. Építsünk a meglév®

tapasztalatokra, ne vesszen kárba az alsó tagozatban végzett sokoldalú tevékenység.

Gy®z®djünk meg arról is, hogy az el®készítést szolgáló ismeretek mennyire �m¶köd®ké-

pesek". Konkrét feladatunkkal kapcsolatban például vizsgáljuk meg, hogy el® tudják-e

állítani adott szakasznak mint egységnek a felét, negyedét, harmadát, 2 harmadát stb.

Ennek segítségével meg tudják-e jelölni a számegyenesen a szakasszal el®állított törtek

helyét?

A környezetük, a mindennapi életük

Ebben a fázisban is fordítsunk gondot a matematika és a gyakorlat kapcsolatának ala-

kítására. Érezzék azt a gyerekek, hogy az elsajátított ismeretekre szükségük van, azok

jól hasznosíthatók a mindennapi életükben.

Példánkkal kapcsolatban felvethetjük:

Hány perc alatt ér haza az, akinek negyed óra, fél óra stb. kell az utazásra?

Ki ér haza leghamarabb, legkés®bb?

Mennyi az ára fél kg, negyed kg, háromnegyed kg, másfél kg stb. kenyérnek?

Tapasztalatszerzés eszközökkel, modellekkel végzett kísérletek során

A munkaeszköz-használatról pszichológiai és didaktikai szempontból a módszerek kö-

zött külön is szó lesz. Most csak röviden. A munkaeszközökkel ebben a fázisban a

felfedez® ismeretszerzést akarjuk szemléletileg megalapozni. Szükséges-e, hogy min-

den gyerek manipuláljon? Biztosan vannak olyan gyerekek, akiknek az el®z® években

és a környezetükben szerzett tapasztalataik elegend®ek az új ismeretek maradandó be-

fogadásához. De számukra is hasznos lehet olyan { mindenki által végzett { tevékeny-

ség, amelyre szükség esetén kés®bb is hivatkozni lehet. Az ® fejl®désüket is kedvez®en

befolyásolhatja az összefüggések tudatos meg�gyelése, gondolati feldolgozása.

Vigyázzunk arra, hogy

az eszközhasználat ne váljon öncélúvá;

minden gyerek gondolkodva dolgozzon;

munkájuk eredményér®l, a fogalom, ismeret el®készítésének szintjér®l legyen meg-

felel® információnk;

a lassabban gondolkodókat, a gyengéket eszközhasználat közben is segítsük köz-

bevetett kérdéssel, újabb utasítással.

Lehet®leg jussunk el odáig, hogy a gyerekek az eszközzel el®állított matematikai mo-

dellen felismerjék az összefüggéseket, és a maguk nyelvén fogalmazzák is meg a fel-

fedezésüket. A megfogalmazásukat esetleg pontosíthatjuk, példát mutatva a logikus,

szabatos, az általános iskolás számára is érthet® matematikanyelv használatára.

Különböz® vizsgálatok azt mutatják, hogy ha az el®készít® szakasz nem kell®en alapos,

nem adunk elegend® id®t a szemléleti megalapozásra, akkor a kés®bbi ismeretelsajátí-

tás hatásfoka alacsony lesz, a tanulók ismeretei bizonytalanok és nehezen alkalmazha-

tók lesznek. Ebben a szakaszban a tanulópárokban, kiscsoportokban szervezett közös

munkát javasolhatjuk. (A törtek nagyságrendjének eszközzel való közvetlen el®készíté-

sét a tananyag leírásában találjuk.)

9

2. Intenzív szakasz

Ebben a szakaszban a tanítási óra gerincét a kit¶zött oktatási cél, a fogalom, ismeret ha-

tározza meg. A megoldott feladatok a matematikai modellen meg�gyelt összefüggéseket

tartalmazzák.

Az óra eleji folyamatos ismétlés, gyakorlás során az eddig tanultakból tudatosan azokat

az elemeket szedjük össze, hozzuk a gyerekekben felszínre, amelyek feltételei az új

befogadásának. Arra törekedjünk, hogy a feladatok a tanterv különböz® témaköreib®l

tartalmazzák a már ismert legfontosabb követelményeket. Az természetes, hogy ez a

bels® koncentráció a tárgyalt témakörrel a leger®sebb.

Ebben a szakaszban fogadtatjuk el, gyakoroltatjuk be a fogalommal, ismerettel kapcso-

latos szóhasználatot, jelölési módot, megállapodásokat. Itt beszéljük meg az alapfogal-

makat és alapfeltételeket, amelyeket meghatározás, illetve bizonyítás nélkül felhasznál-

hatunk.

A tanulási folyamat eredményességét ez a szakasz befolyásolja a legjobban. Töreked-

jünk arra, hogy lehet®leg minden gyerek a maga szintjén magas intenzitással dolgozzon.

A különböz® módszerek segítségével tudatosan vonjuk be a gyengébbeket is a munká-

ba, tegyük ®ket érdekeltté képességeikre szabott megbízásokkal. Minél több tanulót

aktivizáljunk. Így mi is visszajelzést kapunk, és egymás tudásából, tévedéséb®l is ta-

nulhatnak. Alakuljon ki vita, aminek eredményeként kitisztulhat, megfogalmazódhat

pontosan és érthet®en a célul kit¶zött ismeret.

Ebben a szakaszban a visszajelzés, az egyes gyerekek tudásszintjének ismerete nagyon

fontos. Ezért alkalmazzuk a visszajelzés sokféle módját. Egy-egy megértést tükröz®

egyszer¶ feladat megoldása, vagy csak egy-egy szám, kapcsolat leírása; a kapcso-

lat, összefüggés eszközzel való megjelenítése, a matematika nyelvén való leírása már

információt jelenthet a számunkra.

Ne féljünk a tanári példamutatástól sem. Ebben a szakaszban a többi fázishoz képest

nagyobb szerepet kaphat a tanár közvetlen irányítása, a �frontális munka". Amikor

hasznosnak látjuk, fogalmazzuk meg mi is az ismereteket, összefüggéseket. A táblai

munkánk során mutassunk mintát az áttekinthet®, rendezett feladatmegoldáshoz.

3. Er®sít® szakasz

Ezt a szakaszt a mindennapi szóhasználattal gyakorlásnak is nevezhetnénk. De ez a

gyakorlás nem csak a tanult matematikai elem rutinfeladatokon való egyszer¶ alkalma-

zása, sokkal inkább jellemz® rá az a törekvés, hogy az új elem beépüljön a gyerek mate-

matikai m¶veltségébe. Ezért oldassunk meg olyan feladatsorokat, amelyek visszahatnak

a többi témakörb®l tanultakra, ugyanakkor pedig az új elem er®sítését is szolgálják.

Ebben a szakaszban jellemz® a tanulók önálló, egyéni munkája.

Ezzel kapcsolatban Pólya György ezt írja A gondolkodás iskolája cím¶ könyvében:

�A feladatmegoldás éppen olyan gyakorlati készség, mint mondjuk az úszás. Gyakorlati készsé-

geket utánzással és gyakorlással sajátíthatunk el. Ha úszni szeretnénk megtanulni, utánozzuk

azokat a mozdulatokat, amelyeket mások végeznek kezükkel lábukkal, hogy fenntartsák magukat

a víz színén; de végül is úgy tanulunk meg úszni, hogy úszunk. Ha feladatmegoldó készséget

szeretnénk szerezni, utánoznunk kell azt, ahogyan mások oldanak meg feladatokat, de végül is

úgy tanulunk meg feladatot megoldani, hogy feladatokat oldunk meg."

10

Mivel az új befogadását dönt®en befolyásolja a régi ismeretek mennyisége és alkalma-

zási szintje, ezért lehet®ségünk és szükségünk van a di�erenciálásra. A tankönyv és a

Matematika gyakorló feladatrendszerei lehet®séget nyújtanak az új fogalmak kialakítá-

sához, az ismeretek beépítéséhez, di�erenciált begyakorlásához.

4. Alkalmazó szakasz

Ebben a szakaszban már a fogalmak, ismeretek automatikusan mozgósíthatók. A foga-

lomrendszer szilárd, így a �gyelmet nem az egyes elemek felidézése köti le, hanem a

feladatokban rejl® probléma.

Az alkalmazási szint gyerekenként igen különböz®. A feladatok sokféleségével, jól meg-

választott di�erenciáló módszerrel ebben a szakaszban lehet a legjobban �gyelembe

venni a tanulók széles képesség- és tudásskáláját.

Az alkalmazás különböz® szintjei a tanulási folyamat el®z® szakaszaiban is m¶ködtek,

hiszen mind az ismeretek befogadása, mind a bevésése, gyakorlása feladatok megol-

dásán keresztül történt.

A taneszközökr®l

Az 5. osztály számára a következ® taneszközöket dolgoztuk ki:

Matematika 1{8. Mintatanterv

A kerettanterv követelményrendszerén alapuló tantervi minta 1. osztálytól 8. osztály-

ig évekre bontva, tartalmilag és pedagógiailag egységes koncepció szerint építi fel a

matematika-tananyagot.

A szerz®k �gyelembe vették matematikatanításunk hagyományait, a fels® tagozatba lép®

tanulók tudásszintjének sajátosságait, az iskolák helyi tanterveinek sokféleségét (eltér®

óraszám, képesség szerinti csoportbontás, gimnáziumi tagozat stb.), az országos és a

nemzetközi felmérések eredményeit, több európai ország tantervét és tankönyveit. Ezt

a tantervet a M¶szaki Könyvkiadó könyv formájában vagy lemezen térítésmentesen

biztosítja az iskolák számára.

Matematika 5. A tankönyv (alapszint)

A kerettanterv által el®írt minden olyan tananyagrészt tartalmaz, amely a továbbtanulás-

hoz nélkülözhetetlen, és az általános matematikatudás alapja. Ezek az ismeretek nem

elégségesek ahhoz, hogy a tanulók a középiskolában sikeresen folytathassák tanulmá-

nyaikat.

Matematika 5. B tankönyv (b®vített változat)

A b®vített változatot javasoljuk, ha az alapszint¶ ismereteknél többet kívánunk megta-

11

nítani tanítványainknak. Ez a változat kissé b®vebben és magasabb szinten tárgyalja a

tananyagot, mint amit a kerettanterv el®ír, a következ® okok miatt is:

A kerettanterv nem alkot egységes, logikailag és didaktikailag hézagmentes rendszert,

csupán a tananyag közös magját tartalmazza, amelyet mindenki számára tanítanunk

kell. Ez a �mag" 5. osztályban a tananyag 80%-a. A tankönyvnek és a hozzá csatlakozó

taneszközöknek tartalmazniuk kell azokat az anyagrészeket, feladattípusokat is, ame-

lyekkel teljessé tehet® a tananyag. Az osztály képességének és a matematikai tartalom

egymásra épülésének �gyelembevételével, a helyi tanterv alapján a szaktanár dönti el,

hogy melyik tanulócsoportnak hogyan egészíti ki a kerettanterv által el®írt tananyagot.

A tankönyv �széles sávban" dolgozza fel a tananyagot. A szerz®k egyaránt �gyelembe

vették a halmozottan hátrányos helyzetben lév®, az átlagos képesség¶, illetve az �emelt

szint¶" program alapján dolgozó (például gimnáziumi) osztályok lehet®ségeit, igényeit.

Ebb®l következik, hogy a különböz® osztályokban nem föltétlenül kell és lehet a tel-

jes tankönyvet megtanítani, az összes feladatot megoldatni. A tanulók képességeit®l

függ, hogy melyik osztályban mit és milyen mélységben tanítunk meg, illetve hogy mit

hagyunk ki.

Matematika 4. Gyakorló

Ha a tanulók az alsó tagozatban nem a Hajdu Sándor által szerkesztett tankönyvekb®l

tanultak, akkor a két különböz® koncepció szerint felépül® program összehangolásához

a tapasztalatok szerint legalább 20 órával többet kell fordítani az év eleji ismétlésre, mint

amennyit az óraterv el®ír. Ehhez biztosít nagyon sok feladatot ez a kiadvány. (Haszno-

sabb lenne, ha ezeket a feladatokat a tanulók 4. osztályban oldanák meg!)

Matematika 5. Gyakorló

Els®sorban a tanultak gyakorlását, az esetleges hiányok pótlását szolgálja. A tankönyv-

ben jelöljük, hogy ezek a feladatsorok hogyan illeszkednek a tankönyv egyes alfejezete-

ihez.

Matematika 5{6. Feladatgy¶jtemény

Ezzel a feladatgy¶jteménnyel a tehetséggondozást kívánják segíteni a szerz®k. A jó ké-

pesség¶ tanulóinktól fokozatosan várjuk el az intenzívebb, magasabb szint¶ munkát. Ez

az általános iskolai tagozaton azért fontos, hogy a tanulók a nyolcosztályos gimnázium-

ba járó társaikkal azonos színvonalra juthassanak.

Eszköztár, Matematika 3{5.

Többségében kartonpapírból készült eszközöket tartalmaz a 3{5. osztályos tankönyv

anyagának tanulásához. Ezeknek az eszközöknek a felhasználásával megszervezhet®

a tárgyi tevékenységb®l kiinduló, irányított felfedeztet® tanulás, az elvont fogalmak

szemléleti megalapozása, valamint a tanultak gyakorlati jelleg¶ alkalmazása. Ehhez

segítséget nyújt az eszköztárban megtalálható útmutató.

12

Témazáró felmér® feladatsorok, matematika 5. osztály (A, B, C, D változat)

A Kerettantervben, illetve a Mintatantervben szerepl® követelményeket fedik le ezek a

feladatsorok. A felmér® feladatsorok célja, hogy a különböz® helyi tantervek követelmé-

nyei összevethet®k legyenek a Program követelményeivel (és egymással).

A tanulói példányok A és B változatban tartalmazzák a témazáró feladatsorokat. Ehhez

a füzethez készített tanári példányok a feladatsorokon kívül a javítási útmutatókat és az

értékelési normákat is tartalmazzák.

Olcsóbb kivitelben került kiadásra a C és külön füzetben a D változat. Ezekben a fü-

zetekben a témazáró felmérések mellett tájékozódó felmérések is találhatók. Ezek a

változatok a kereskedelmi forgalomban nem vásárolhatók meg, hivatalos megrendelés-

re az iskoláknak küldi meg a M¶szaki Könyvkiadó. Így alkalmasak a tényleges min®sít®

dolgozatok megíratására. Ezekhez a változatokhoz egy tanári példány tartozik.

Matematika 5. tankönyv feladatainak megoldása

A tanulók otthoni munkájának önellen®rzését segít® kiadvány.

Tanuljunk együtt!

Azoknak a szül®knek készült, akik segíteni szeretnének a fels® tagozatba lép® gyer-

mekeiknek a matematikatanulásban. Tanulmányozásával a szül®k (már az alsó tago-

zatosokéi is!) tájékozódhatnak arról, mit, hogyan és miért tanulnak ebben a tanévben

gyermekeik, és mi lehet a segítség hatékony módja. A pedagógusok számára az egyes

anyagrészek tanításához tantárgy-pedagógiai és pszichológiai indoklást is tartalmaz.

A tananyag-feldolgozás általános szerkezete

Tekintsük át, hogy az el®z® részben bemutatott tanulási modell hogyan tükröz®dik a

tankönyv felépítésében.

1. Az ismeretelsajátítás el®készítése

A tankönyv a legtöbb témakörben az alsó tagozatban tanultakból indul ki. Az ott meg-

oldottakhoz hasonló feladatokkal elevenítjük föl a korábbi ismereteket, készítjük el® az

új ismeretek tanulását. Mivel ebben a szakaszban f®szerepet kaphat a tapasztalatszer-

z®, felfedez® tevékenység, ilyen jelleg¶ feladatsorok is tartoznak ezekhez a bevezet®

részekhez. Az alsó tagozatos alapoktól függ®en ez a szakasz 1{4 óra tananyagát fog-

lalhatja magában.

Ha ezt a tapasztalatszerzést valamilyen okból elnagyoljuk, akkor az nemcsak a követke-

z® órák sikerét veszélyezteti, hanem évekre gátolhatja az eredményes munkát. Vizsgá-

lataink egyértelm¶en kimutatták ezt például a negatív számokkal végzett m¶veletek és

a térgeometria tanításánál.

El®fordulhat, hogy a tulajdonképpeni el®készítés több témakörön keresztül, hosszú ideig

13

folyik, és esetleg a további lépcs®fokokra csak a következ® években lép a tanuló. Így

oldjuk meg például az egyenletek, a geometriai transzformációk, a függvények tanítását.

2. Az aktuális tananyag feldolgozása

A tanítási gyakorlat és az elméleti megfontolások egyaránt azt támasztják alá, hogy a

viszonylag kötetlen felfedez® tevékenységet egy irányítottabb, célratör®bb tanulási folya-

matnak kell követnie, amelynek során a tanuló tudatosítja a meg�gyelt összefüggéseket,

elsajátítja a fogalmakat, jelöléseket, megtanulja például a szerkesztési, számolási eljá-

rásokat stb.

Ehhez a tanulási szakaszhoz kapcsolódnak a tankönyv kidolgozott és magyarázatokkal

ellátott mintapéldái. Ezek rögzítik azokat az ismereteket, amelyeket az el®z® tapaszta-

latszerz® szakaszban a tanulók önállóan felismertek, és amelyeket minden tanulónak el

kell sajátítania.

Az elsajátítandó tananyagot a tankönyv tömören, a fontossági fokozatokat nyomdatech-

nikailag megkülönböztetve tartalmazza.

3. A tanultak megszilárdítása, begyakoroltatása

Az elsajátított ismereteket nem elég megérteni, azok úgy épülhetnek be a tanuló tudás-

rendszerébe, ha a legkülönböz®bb feladathelyzetekben ismételten alkalmazza azokat.

A tanulás és felejtés törvényei szerint

a gyakorlást nem szabad kés®bbi id®pontra halasztani, mivel az els® napokban a

leggyorsabb a felejtés;

a gyakorlás kezdeti szakaszában a tanult fogalomnak, összefüggésnek, eljárásnak

viszonylag szembet¶n®en kell a feladatokban megjelenniük, és csak fokozatosan

válhatnak bonyolultabbá a problémák. Ezért vannak a fejezetek végén matematikai-

lag �érdektelen", de a tanultak megszilárdításához nélkülözhetetlen gyakorlatok.

4. A tanultak beépítése a tanuló matematikai m¶veltségébe

A tanár és a tanuló számára is nyomasztó, ha a tanultak begyakorlása nélkül lépünk

tovább. A nem kell®en szilárd ismereteket a következ® anyagrészek �kisöprik", de az új

ismeretek megtanulása is egyre reménytelenebbé válik a bizonytalan alapozás miatt.

Ugyanakkor a tananyag elég nagy ahhoz, hogy ne id®zhessünk tetsz®leges ideig egy-

egy anyagrésznél. (Ez a tanulók számára is el®bb-utóbb érdektelenné válna!)

Ezt az ellentmondást a tanultak folyamatos ismétlésével, �összeszövésével", az anyag-

részek közti koncentráció megteremtésével próbáljuk megoldani. A tanultak lényegében

minden kés®bbi fejezetben újra és újra megjelennek, hol azért, hogy az új ismerethez

kapcsolva kiegészítsük, általánosítsuk azokat, hol eszközként alkalmazzuk ®ket az új

ismeret, összefüggés feltárásánál. Az alapvet® cél a komplex, rugalmas és alkalmazás-

képes ismeretrendszer kialakítása.

A folyamatos ismétlés és a koncentrálás lehet®ségeire minden témakör feldolgozásánál

14

részletesen kitér a program azért, hogy a konkrét osztálynak megfelel® tartalommal és

szinten tervezhessük meg azt.

A tudáspróbák feladata

A pedagógia az értékelés három funkcióját különbözteti meg:

A diagnosztikus értékelés során tudáselemenként vizsgáljuk, hogy a korábban tanultak-

ból mire építhetünk, milyen hiányosságokat kell pótolnunk, hogyan szervezzük meg az

ismétlést, illetve felzárkóztatást. A diagnosztikus értékelés esetén nem osztályozzuk a

tanulót.

A fejleszt® értékelés nemcsak motiválja és irányítja a tanulási folyamatot, hanem a si-

keres tanulás el®feltétele. Lényege, hogy a tanuló folyamatos visszajelzést kapjon mun-

kájáról, eredményeir®l. Az irányított felfedeztet® tanulás a tanuló önálló munkájára épül,

ezért a fejleszt® értékelésben is el®térbe kerül az önértékelés. A tankönyvben ezt egy-

részt úgy oldjuk meg, hogy jelöljük a feladatok nehézségi fokát, tudáspróbákat iktattunk

be, másrészt külön könyvben megjelentetjük a tankönyv feladatainak megoldását. Így a

tanuló önállóan is ellen®rizheti teljesítményét. A tankönyv tudáspróbái, illetve a Mate-

matika 5. Gyakorló 10. fejezetének témazáró feladatsorai is fejleszt® értékelés céljából

készültek. A fejleszt® értékelés során általában nem osztályozunk.

A min®sít® értékelés egy-egy anyagrész lezárása után ellen®rzi és min®síti a tanuló tu-

dását, teljesítményét. Ezt a célt szolgálják például a Témazáró felmér® feladatsorok

cím¶ füzetek.

Szemléltetés, eszközhasználat

A szemléltetés, szemléletesség ®si pedagógiai alapelv. A matematikatanítás fejl®désé-

vel a szemléltetés eszközei és módszerei is fejl®dtek.

1. Az el®re elkészített rajzokkal, eszközökkel történ® szemléltetés

Ha az elkészítés folyamatát nem kívánjuk szemléltetni, akkor egyszer¶bb összefüg-

gések bemutatására ez a módszer a legalkalmasabb. (Gondoljunk például a tan-

könyvi ábrákra.)

2. A tanuló el®tt megszerkesztett, felépített ábrák és eszközök

Ide sorolhatjuk a több transzparensb®l felépíthet®, írásvetít®vel bemutatható ábrákat

is. El®nyük, hogy a tanár elképzelései szerint, a pillanatnyi pedagógiai helyzetnek

megfelel®en alkalmazhatók.

3. Az oktató�lm és a videoszemléltetés modernebb változatai

Az el®z® módszerek közös fogyatékossága, hogy a tanuló viszonylag passzívan vesz

részt az ismeretszerz® folyamatban. Mindig arra �gyel, amire �gyelmét irányítják, a tanár

mutat rá arra, amit észre kell vennie, nem akadhat fenn az esetleges buktatókon. Mivel

az ismeretszerzés nem önálló munka eredménye, az ismeretet nem érzi magáénak,

15

nem örülhet a saját sikereinek, ezért érzelmileg nem köt®dik a tanultakhoz. Ha valamit

nem ért meg, vagy rosszul �gyel meg, általában észre sem veszi, sem ®, sem a tanár.

Az el®z®ekben felsorolt módszereknek másik hibája az, hogy viszonylag rövid id® alatt

jut el a tanár a fogalom, eljárás, összefüggés bemutatásától, szemléltetését®l az abszt-

rakcióig.

Ezért a korszer¶ matematikatanítás arra törekszik, hogy a szemléltet® eszközöket, mo-

delleket a tanuló kezébe adja. Ez a módszer olyankor is célravezet®, amikor az el®z®

szemléltetési módok nem hatékonyak.

Az eszközöket különböz® didaktikai céllal adhatjuk a gyerekek kezébe.

Új ismeretek szemléleti megalapozása

Ennek a módszernek a pszichológiai hátterét Piaget vizsgálatai tárták fel. Ezek szerint az

absztrakt fogalmak a gyakorlati tevékenységb®l fokozatosan bels®vé válva alakulnak ki.

Piaget eredményeit Dienes Zoltán fejlesztette tovább a matematikatanításra, és Varga

Tamás honosította meg nálunk.

A tárgyi tevékenységb®l, kísérletekb®l kiinduló felfedeztet® tanulást els®sorban az egész

számok, a törtek, a felszín- és a térfogatszámítás, valamint az adott tulajdonságú pont-

halmazok tanításánál javasoljuk. A kísérleteink és felméréseink szerint ezekben a téma-

körökben ötödik osztályban más módszerrel igen csekély eredményre számíthatunk.

Vizsgálatainkból az is kit¶nt, hogy önmagában a �szabad játékon" alapuló manipulál-

gatás nem vezet el a matematikai fogalomalkotáshoz. Didaktikailag lépésr®l lépésre ki

kell dolgoznunk ezt az utat. A tankönyvben ezt meg is tettük, és a program kés®bbi

fejezeteiben, a konkrét tananyag sajátosságait �gyelembe véve foglalkozunk az eszköz-

használat lehet®ségeivel. Ezért itt csak vázlatosan tekintjük át a tárgyi tevékenységb®l

kiinduló felfedeztet® tanulás általános modelljét:

1. szakasz

A tanuló többféle eszközzel (modellel) ismerkedik meg. Ezekkel játékos feladatokat meg-

oldva tevékenykedik. A kísérleteit és a meg�gyeléseit lényegében nem irányítjuk. Ehhez

az alapozó szakaszhoz sorolhatjuk, hogy több témakörben már az anyag tanítását meg-

el®z® években elkezdik a meg�gyeléseket, a tapasztalatgy¶jtést a gyerekek.

Ebben a szakaszban jól bevált a kiscsoportos foglalkozás vagy a tanulópárban végzett

tevékenység. Így a tanulók közvetlenül elleshetik egymástól az eszközhasználat forté-

lyait, segíthetnek egymásnak, kicserélhetik tapasztalataikat, sejtéseket fogalmazhatnak

meg, azt megvitathatják stb.

2. szakasz

A kísérletek irányítottá válnak, és a meg�gyeléseket értelmezik a tanulók. A különböz®

modellekkel (például az adósságcédula{készpénz modellel, illetve a kisautós modellel)

önállóan tevékenykedve észreveszik a közös vonásokat, felismerik az összefüggéseket.

Ennek a szakasznak a lezárásaként hasznos lehet a frontális tevékenység. A tanári

demonstrációval párhuzamosan a tanulók is elvégzik a kísérleteket. Közösen elemzik a

tapasztaltakat, megállapodnak abban, hogy az eredményeket hogyan fordíthatják le a

matematika nyelvére stb.

16

3. szakasz

A tanulók nem az eszközhasználathoz kapcsolódva kapják a feladatokat. A matema-

tikai problémát szükség esetén konkretizálják, és segédeszközként alkalmazzák azt a

modellt, amelyre leginkább tudnak támaszkodni.

A tevékenység egyre inkább bels®vé válik, a tényleges eszközhasználatot felválthatja

a rajzos modell, az eszköz elképzelése stb. Ám semmiképp sem célszer¶ er®ltetni az

eszközhasználat nélküli munkát. A tanuló magától tolja félre az eszközt, ha már anélkül

is boldogul, de növeli a biztonságérzetét, ha tudja, hogy bármikor ellen®rizheti az

eredményt az eszközzel.

Ebben a szakaszban a di�erenciált egyéni munkát javasoljuk.

4. szakasz

A tanulókban kialakult az új ismeretrendszer. A tevékenység teljesen bels®vé vált. Az

ismeretek alkalmazásához, illetve a megoldások ellen®rzéséhez nem igényli az eszkö-

zök használatát. Az új fogalmak a további ismeretszerz® folyamatban már eszközként

szerepelhetnek.

Elvont problémák megközelítése szemléletes modellel

A már megszilárdult ismeretrendszerhez kapcsolódva is megfogalmazhatunk olyan fela-

datokat, amelyek elvontságuk, bonyolultságuk miatt modellezés nélkül megközelíthetet-

lenek a tanulók számára. Ötödik osztályban a következ® témakörökben találkozhatnak

ilyen feladatokkal:

Kombinatorika. A számkártyák, szívószáldarabok tényleges rakosgatása a tanulók

mintegy felének segítséget jelent a rajzzal szemben.

Síkidomok csoportosítása különböz® szempontok szerint. A síkgeometriai modelle-

z®készletet célszer¶ kiegészíteni további síkidomokkal.

A derékszög¶ koordináta-rendszer modellezése lyukastáblával. Sokkal dinamiku-

sabbá és hatékonyabbá tehetjük a munkát, ha rajzolgatás helyett az eszközöket

használják a tanulók. Olyanok is önállóan tevékenykedve kapcsolódnak be a mun-

kába, akik a rajzzal csak nagyon lassan és bizonytalanul boldogulnak.

Térgeometria. A térelemek egymáshoz való viszonyával, a testek hálójának elké-

szítésével kapcsolatos feladatokat modellezés nélkül nem képes megoldani a 10-11

éves tanuló. Ha a tanár kihagyja ezeket a foglalkozásokat, akkor a kés®bbi évek-

ben egyre nehezebben tudja bepótolni az itt elszalasztott alkalmakat. Térszemléletet

csak tényleges térbeli tevékenységgel alakíthatunk ki. (Ezt a kérdéses anyagrészek-

nél újra és újra hangsúlyozni fogjuk!)

Gyakorlati tevékenység matematikai jellemzése

A matematikatanítás fontos feladata a gyakorlatra nevelés, beleértve a �zika, techni-

ka, kémia stb. tanulásának matematikai megalapozását. Ezzel kapcsolatban például a

következ® témakörökben szükséges különböz® eszközök használata:

Mérések. Különböz® tárgyak hosszúságának, területének, térfogatának, ¶rtartalmá-

nak mérése, meghatározása. Távolság- és szögmérés terepen. Id®mérés.

17

Testek ábrázolása (elölnézete, felülnézete, oldalnézete).

Valószín¶ségi kísérletek.

Az ezekhez a témakörökhöz tartozó feladatokban az a közös, hogy a tanulónak meg kell

találnia a gyakorlati feladatnak megfelel® matematikai eszközt, azt alkalmazva megoldja

a gyakorlati problémát úgy, hogy közben a matematikai fogalomrendszere és eszköztára

is jelent®sen b®vül és alkalmazhatóbbá válik.

Figyeljük meg a különbséget a tanári magyarázattal kísért bemutatással szemben: a ta-

nuló maga tervezi meg a kísérletet, mér, összehasonlít, ellen®rzi az eredményt. A

készen kapott magyarázattal szemben rá hárul a probléma megoldása. Önállóan jön rá

arra, amit tanítani akarunk neki, ezért sikerélménye van, magáénak érzi a felfedezett

ismeretet. Közben az évek folyamán fokozatosan kialakul az a képessége, amelynek

birtokában önállóan is végig tudja járni az ismeretek felfedezésének, a szokatlan prob-

lémák megoldásának az útját.

18

A tananyag és a követelmények értelmezésér®l

Ebben a részben a tantervi témaköröket kö-

vetve fogalmazunk meg ajánlásokat a tan-

anyaggal, illetve a követelményekkel kap-

csolatosan. Els®sorban azokkal az anyagré-

szekkel foglalkozunk részletesebben, ame-

lyeket a tankönyvben nem önálló fejezetként,

hanem a többi anyagrésszel �összesz®ve"

dolgozunk fel (halmazok, logika; relációk,

függvények, sorozatok; kombinatorika, való-

szín¶ség, statisztika). Nagyon fontos, hogy

egész évre el®re átgondoljuk, hogyan oldhat-

juk meg sikeresen ezeknek a témaköröknek

a tanítását úgy, hogy közben az aktuális ta-

nanyag tanítására helyezzük a hangsúlyt.

Tananyag

Kerettanterv által el®írt tananyag

Követelményekhez

kapcsolódó anyag

A továbbhaladás

feltételei

Vegyük �gyelembe, hogy átlagos vagy az átlagosnál jobb osztályban a tananyag általá-

ban b®vebb lehet, mint amit a követelményekben el®írunk. A törzsanyaghoz tartozhatnak

olyan anyagrészek, amelyekkel föltétlenül célszer¶ foglalkoznunk, hogy kell®en el®ké-

szítsük a kés®bbi munkát, de amelyeket még nem követelünk meg tanulóinktól. Más, a

törzsanyaghoz nem tartozó anyagrészekkel csak �színezzük" a tanítást.

A helyi tantervben a 4., az 5. és a 6. osztályra vonatkozó követelményeket, az

alsó tagozatos munkaközösséggel közösen, mint egységes követelményrendszert

célszer¶ kidolgoznunk. Egyrészt az alsó tagozatos kollégáknak is világosan látniuk kell,

hogy 5. és 6. osztályban mire szeretnénk építeni, mivel nem kívánunk már foglalkozni,

melyek lesznek a fejlesztés f® irányai stb. Másrészt a fels® tagozatos szaktanárnak is

tisztában kell lennie azzal, hogy mit, milyen mélységben taníthat meg az alsó tagozat.

Csak így kerülhet®k el az átmenetb®l fakadó nehézségek és ellentmondások.

Az egységes koncepció szerint kidolgozott tananyagot és követelményrendszert a Ma-

tematika 1{8. Mintatanterv tartalmazza. Ezt a kiadványt könyv alakban vagy lemezen

minden iskolának térítésmentesen biztosítja a M¶szaki Könyvkiadó.

Halmazok, logika, kombinatorika

A �Gondolkodási módszerek" címen összefoglalt követelményekhez kapcsolódó anyag-

részek.

Fels® tagozatban nem tanítunk halmazelméletet, hanem a tanulókban halmazszemléle-

tet akarunk kialakítani, fejleszteni úgy, hogy eszközként használjuk a többi témakörrel

kapcsolatos feladatok megoldásához, az új ismeretek kialakításához és a gondolkodási

képességek fejlesztéséhez. Erre a témakörre különösen igaz az, hogy nem elszigetelten,

nem külön tanítjuk, hanem a többibe beépülve. Példaanyaga kiterjed a teljes általános

iskolai matematikára, segít a témák �összeszövésében", az egységesebb matematikai

szemlélet alakításában. Ezért nem is lehet meghatározni, hogy az egy-egy tanévre,

19

évfolyamra szánt matematikaórák hány százalékát fordítjuk a halmaz, logika témakör

tanítására, a tanultak alkalmazására. Lehet hogy f®témaként, egyetlen órában sem

foglalkozunk vele, de alig van olyan anyagrész, amely ne igényelne valamilyen szint¶

halmazelméletet. Különösen a folyamatos ismétlés és az ismeretek rendszerezése ad

sok lehet®séget a halmazelméleti és logikai ismeretek gyakorlására, alkalmazására.

Tanítási tapasztalatok, felmérési eredmények alapján { e témakör kapcsán { szeretnénk

felhívni a �gyelmet néhány olyan gondolatra, amelyet a tanulók félreérthetnek.

A halmaz fogalmáról:

Már alsó tagozatban is használjuk a �halmaz", az �elem", az �eleme" fogalmakat. Eze-

ket nem de�niáljuk, alapfogalmak. A gyerekben a konkrét feladatok megoldása során

alakulnak ki ezek a fogalmak.

A �halmaz" elnevezésr®l:

Ügyeljünk arra, hogy nem az elnevezésen van a hangsúly. A halmaz szó sok esetben el

is hagyható vagy más szóval helyettesíthet®. Például �a 10-nél kisebb természetes szá-

mok" megfogalmazás a �halmaz" szó nélkül is a 0, 1, 2, �, 8, 9 számok összességét

jelenti. A geometriában sok esetben a halmaz helyett alakzatról beszélhetünk.

A jelölésekr®l:

H

B

C

2

3

5

7

1

4

0

6

98

A halmazokat nagybet¶vel szokás jelölni. A halmaz ele-

meit kapcsos zárójelbe tesszük.

Például: A = f2; 3; 5; 7g.

Halmazok szemléltetésére gyakran használunk ábrákat.

Körbe, téglalapba, egyéb síkidomba írjuk, rajzoljuk a

halmaz elemeit (Venn-diagram).

Például: H = f10-nél kisebb természetes számg.

Most H az alaphalmaz, vagyis a szóba jöhet® dolgok halmaza. A halmazábrán mindig

jelöljük az alaphalmazt.

Az alaphalmazon belül egy zárt görbe két halmazt szemléltet.

Páldául:

B = fTörzsszámg és C = fNem törzsszámg (a H alaphalmazon belül).

A B és a C egymásnak kiegészít® (komplementer) halmazai.

Az üres halmaz jele: ;. Ezt a jelölést ötödikben, hatodikban nem célszer¶ használni.

Ugyanis az üres halmaz fogalmát legtöbbször a nyitott mondatok igazsághalmazával

kapcsolatosan alkalmazzuk, és a gyerek könnyen keverheti azzal az esettel, amikor

x = 0 a megoldás.

Vigyázzunk arra, hogy a gyerekek ne azonosítsák a jelölést a halmazzal. A felsorolt

számok akkor is halmazt alkotnak, ha elhagyjuk a kapcsos zárójelet vagy nem diagram-

ban ábrázoljuk. Ezért fontos, hogy más jelölést, illetve szemléltetést is alkalmazzunk,

például táblázatot, számegyenest:

Törzsszám Nem törzsszám

2; 3; 5; 7 0; 1; 4; 6; 8; 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

� � � �

20

A halmaz megadásáról:

Egy halmaz megadása elemeinek a megadását jelenti.

A halmazt { egyszer¶ esetben { megadhatjuk elemeinek felsorolásával. Például:

D = f0; 1; 4; 9g. (Minden elemet csak egyszer írunk le.)

A halmazt megadhatjuk olyan tulajdonsággal, amely egy alaphalmazból pontosan a

kívánt elemeket jelöli ki. Például:

D = fEgyjegy¶ négyzetszámg.

Nem minden halmaz adható meg elemeinek felsorolásával és tulajdonság megfogalma-

zásával. Például:

K = fNégyzetszámg. Ez a halmaz végtelen, az összes elem felsorolásával nem ad-

ható meg. Ha nem okoz félreértést, akkor elkezdhetjük az elemek felsorolását, és

pontozással jelölhetjük azt, hogy végtelen sok elem van: K = f0; 1; 4; 9; 16; 25; . . .g.

Nehezen adható meg tulajdonsággal például az

F = fMagyarország, Budapest, Margit hídg halmaz.

Ha két halmaznak ugyanazok az elemei, akkor azok egyenl®k. A másféle sorrend vagy

másféle alak nem teszi mássá a halmazt.

A kombinatorikai feladatok megoldásakor is alig lépünk túl az alsó tagozatos tananyagon

és követelményeken. A tankönyvben nincs feldolgozva a kombinatorikával kapcsolatos

ismeretanyag. Ennek oka, hogy 5. osztályban nem lehet célunk a kombinatorikai fel-

adatok megoldási módjának mechanikus megadása, még kevésbé, hogy az elméleti

háttérrel foglalkozzunk. Konkrét feladatokkal és a bennük rejl® utasításokkal szeretnénk

elérni, hogy fejl®djön a gyerekek kombinatorikus szemlélete, merjenek belevágni olyan

feladatok megoldásába is, amelyek számukra újszer¶ek, szokatlanok, esetleg nem is

szorosan a matematika világából valók. Fejl®djön bennük a több megoldás keresésé-

nek igénye. A feladatok megoldása során bizonyosodjanak meg arról, hogy valamennyi

lehet®séget megtalálták. Ez az igény igen hasznos például a geometriai szerkesztések

megoldásában.

A kombinatorikus feladatokban a lehet®ségek számát keressük adott feltételek mellett.

Az els® egy-két lehet®ség megtalálása bizonyíthatja, hogy a gyerek megértette a

feladatot, érti a feltételeket.

Az összes eset megkeresésekor célszer¶ valamilyen rend szerint dolgozni. Így

könnyebben átlátható, hogy nem ismétl®dik-e vagy nem hiányzik-e valamelyik le-

het®ség.

Rendezési forma lehet a fadiagram készítése. A kész fadiagramról úgy olvassuk le

a lehet®ségeket, hogy az ágakon végigmegyünk.

Annyi eset van, ahány ágvégz®dés.

Rendezési forma lehet a lehet®ségek táblázatos elrendezése. A feladatok megoldá-

sának leírásakor alkalmaztuk ezeket a formákat is.

Egy-egy rendezési forma segít abban is, hogy a gyerekek észrevegyék a különböz®

tartalmú feladatokban a közös matematikai gondolatot.

A kombinatorikai feladatok megoldása sok lehet®séget ad a többi témakör tananyagának

21

megértéséhez, az ismeretek alkalmazásának színesítéséhez, mélyítéséhez, a témák

összeszövéséhez.

Külön is megemlítjük a kombinatorika és a szorzás értelmezésének kapcsolatát. A szor-

zást legtöbbször úgy értelmezzük, mint azonos tagok összeadását. A szorzásnak egy

másik értelme két halmaz elemeib®l alkotható párok számának meghatározása. Például

a Tk. 1.57. feladatban az egyik halmaz három különböz® szoknya, a másik halmaz

négy különböz® blúz. A párosítás { a felöltözés { lehet®ségének száma: 3 � 4 = 12.

Lehet, hogy már 5. osztályban is vannak olyan gyerekek, akiknek nincs szükségük

az összes lehet®ség felsorolására, hanem az összefüggést látva szorzással is ki tudják

számítani az esetek számát. Arról azonban még gy®z®djünk meg, érti-e, hogy miért old-

ható meg a feladat egyszer¶en szorzással. A gyerek által elmondott indoklás a többiek

számára is hasznos, lehet hogy hasznosabb, mint a tanári magyarázat.

A követelményekr®l:

Természetes, hogy az alsó tagozatos elvárások 5. osztályban is érvényesek. A témakör

szemléletformáló szerepe és eszközjellege miatt azok a csomópontok, tevékenységek,

feladatféleségek, amelyekkel a tanulók alsó tagozatban találkoztak, az 5. osztályos tan-

terv tananyagában és követelményeiben is megfogalmazódnak, esetleg egy-egy felté-

tellel b®vítve. Ezek közül a leggyakoribbakról részletesebben szólunk. Az alsó tagozatos

és az ötödik osztályos követelmények közti különbség els®sorban nem a halmazelméleti,

logikai és kombinatorikai ismeretek kib®vítésével fogalmazható meg, hanem azzal, hogy

ezeknek a (korábban tanult) ismereteknek a biztosabb tudását, elvontabb, összetettebb

feladatokban történ® alkalmazását várjuk el. Amit korábban csak a jobbaktól vártunk

el, az most már minimumkövetelmény, vagy amit két halmaz esetében vizsgáltunk, azt

most több halmazra is megnézzük stb. B®vül az alkalmazás területe is.

Számtan, algebra

A számtan, algebra tananyagot a tankönyv 1., 3., 5. és 7. fejezete tárgyalja. A

tananyaggal kapcsolatos részletes ajánlásainkat ezen fejezetek módszertani feldolgozá-

sában ismertetjük.

Ez a témakör a tananyag gerincét alkotja. Föltétlenül látnunk kell, hogy mit várhatunk

tanítványainktól ezen a területen, milyen el®képzettséggel, mennyire begyakorolt isme-

retekkel, milyen képességekkel rendelkeznek, milyen ütemben és milyen mélységben

dolgozhatjuk fel az új anyagot.

Ehhez térképezzük fel, hogy milyen tankönyvb®l (tankönyvekb®l) mit, milyen követel-

ményszinten tanultak tanítványaink. Kérdések lehetnek:

Mely számkörig jutottak el 4. osztály végére a tanulók?

A tanult számkörben mennyire teljes a kialakult számfogalom? (kerekítés, szám-

szomszédok, ábrázolás stb.)

A tanult számkörben milyen a tanulók számolási rutinja?

Tanulták-e a kétjegy¶ osztóval való írásbeli osztást?

Mennyire gyakorolták be a tanult írásbeli m¶veleteket?

22

Kell® rutint szereztek-e az összetett számfeladatok megoldásában?

Képesek-e a szöveges feladatok értelmezésére, megoldására?

Tudják-e a tanultakat problémahelyzetben alkalmazni? (Arányos következtetések,

mértékváltás, gra�konok értelmezése stb.)

Ezért fontosnak tartjuk, hogy év elején (de ne az els® héten!) mérjük fel a szám- és m¶-

veletfogalom, a számolási képesség, valamint a szövegértelmezési és szövegelemzési

képesség fejlettségét.

Bár a Hajdu Sándor által szerkesztett alsó és fels® tagozatos tankönyvek egységes kon-

cepció és követelményrendszer alapján dolgozzák fel a tananyagot, még ebben az

esetben is javasoljuk, hogy a helyi tanterv biztosítson átfedést, fokozatos átmenetet a

4. osztályos és az 5. osztályos követelmények között. Ezt az átfedést tanítási tapaszta-

latokkal (a tanulók egyenl®tlen fejl®désével, a felejtéssel, a tagozatváltással kapcsolatos

problémákkal stb.) és elméleti megfontolásokkal (�a hosszú érlelés elvével") egyaránt

indokolhatjuk. Az ötödik osztályos tankönyv els® fejezete tükrözi ezt a törekvést.

Relációk, függvények, sorozatok

A tankönyvben nem foglalkozunk különálló fejezetben ezzel az anyagrésszel, mivel ötö-

dik osztályban nem célunk a relációk, függvények és sorozatok elméleti hátterének lé-

nyeges b®vítése. Az alsó tagozatban tanultakat eszközszer¶en alkalmazzuk a számtan,

algebra, a mérések és a geometria, valamint a valószín¶ség-számítás és a statisztika

témakörében az ismeretek feltárása és elmélyítése során. Az alkalmazás körének ki-

b®vítésével a tanulók további tapasztalatokat szereznek, amelyekkel el®készíthetjük a

függvények 6. és 7. osztályos tanítását.

Relációk

A reláció szó kapcsolatot, összefüggést jelent. A H halmazon értelmezett sz¶kebb érte-

lemben vett biner reláción a H halmaz elemeib®l képzett (egymással kapcsolatban lév®)

rendezett elempárok egy halmazát értjük. (Röviden a reláció a H�H Descartes-szorzat

egy részhalmaza.) Bár alig van olyan matematikai téma, amelyben ne lenne szerepe a

relációknak, magát a fogalmat az általános iskolában nem célszer¶ de�niálnunk, és a

kifejezést sem fontos használnunk.

Ügyeljünk arra, hogy ez a fogalom ne sz¶küljön le a számok, mennyiségek nagyság

szerinti összehasonlítására, hiszen végtelen sokféle kapcsolatot jelenthet.

A relációt általában nyitott mondattal, szöveggel, diagrammal, gra�konnal és táblázattal

adhatjuk meg.

A relációtulajdonságok tudatosítását, megfogalmazását, értelmezését sem célszer¶

megkövetelni, de konkrét kapcsolatok elemzésénél sokszor foglalkozhatunk ezekkel az

összefüggésekkel anélkül, hogy a kifejezéseket használnánk. Ötödik osztályban is vizs-

gálhatjuk a relációk következ® tulajdonságait:

Re exivitás: minden elem kapcsolatban van saját magával.

23

Például az �egyenl®", �egybevágó", �hasonló", �osztható" relációk re exívek; a �kisebb",

a �mer®leges" nem re exívek.

Szimmetria: ha az a elem kapcsolatban van a b elemmel, akkor a b elem is (az adott )

kapcsolatban van az a elemmel.

Például az �egyenl®", �egybevágó", �hasonló", �párhuzamos", �mer®leges", �van közös

osztójuk" szimmetrikus reláció; a �kisebb", a �többszöröse" nem szimmetrikus.

Tranzitivitás: egy adott relációt vizsgálva, ha egy a elem kapcsolatban van egy b elem-

mel, és a b elem kapcsolatban van egy c elemmel, akkor az a elem is kapcsolatban

van a c elemmel.

Az �egyenl®", �nagyobb", �osztható", �egybevágó" tranzitív, de például a térbeli egye-

nesekre: ha a ? b és b ? c, akkor a és c nem biztos, hogy mer®legesek. Tehát a

�mer®leges" reláció nem tranzitív.

Függvények

Az A és a B halmaz elemei közti reláción (hozzárendelésen) az A � B Descartes-

szorzat egy részhalmazát értjük, vagyis a reláció az A és B halmaz elemeib®l képzett

rendezett elempároknak egy halmaza. A függvény speciális reláció.

A függvényfogalom több év alatt alakul ki. Ötödik osztályban a tapasztalatgy¶jtés szint-

jén maradunk, ezért sem az általános reláció fogalmát, sem a függvény fogalmát ne

értelmezzük, ne emeljük ki az A és a B halmaz elemei közti egyéb kapcsolatok vizs-

gálata közül a függvénykapcsolatokat. Ennek ellenére a konkrét feladatokban (az elne-

vezések használata nélkül) minden esetben tisztázhatjuk az eredeti elemek halmazát,

az értelmezési tartományt és a képelemek halmazát, az értékkészletet. Vizsgáltathatjuk

(ugyancsak az elnevezések használata nélkül), hogy a hozzárendelés több-többértelm¶,

egy-többértelm¶, több-egyértelm¶, egy-egyértelm¶-e.

A függvényeket megadhatjuk táblázattal, szöveggel, nyitott mondattal, gra�konnal.

Mindegyik megadási módot célszer¶ alkalmaznunk, mindegyiknek megvan a maga

didaktikai és nevelési haszna, feladata.

A gyakorlatra nevelés fontos eszköze a tapasztalati függvények feldolgozása. Kapcsola-

tot teremthetünk a környezetismeret tantárggyal. Mérési adatokat táblázatba rendezünk,

arról gra�kont készítünk, vagy adott gra�konról adatokat olvasunk le, az adatsokaságot

meg�gyeljük, megállapítjuk néhány jellemz®jét (számtani közepét; leggyakoribb adatot;

legkisebb, legnagyobb eltérést; stb.). Ismertessük föl a tanulókkal (konkrét példákban)

a valóság és a függvény mint a valóság matematikai modellje közti kapcsolatot.

A szám-szám függvényeket eszközként használjuk a számfogalom kiterjesztéséhez, b®-

vítéséhez, a m¶veletek értelmezéséhez és gyakorlásához. Részletesen tárgyaljuk a

m¶veletek eredményeinek a komponensek változásától való függését. A derékszög¶

koordináta-rendszer megismerésével el®készíthetjük a szám-szám függvények ábrázo-

lását és függvénytranszformációk vizsgálatát. Ezeknél a feladatoknál is tisztáznunk kell,

hogy melyik számhalmazból választhatjuk az eredeti elemeket és a képelemeket. A leg-

több esetben célszer¶ abban megállapodnunk, hogy mindkét halmaz a tanult számok

halmaza.

A kreativitásra nevelés fontos eszközének tartjuk az ún. szabályjátékokat. Mivel néhány

24

elempárhoz keresnek a tanulók szabályt, ezért sok megoldást ismerhetnek fel. Min-

denképpen tudatosítsuk, hogy ezeknek a feladatoknak végtelen megoldásuk van. A

tanításban fordítsunk nagy hangsúlyt a szöveggel megadott függvényekre, az adatok

közötti kapcsolatok megállapítására, lejegyzésére. Ezzel javíthatjuk a szaknyelv megér-

tésének és használatának, valamint a szöveges feladatok értelmezésének, a megoldási

terv készítésének, a megoldásnak, ellen®rzésnek a képességét.

Kiemelten foglalkozunk az egyenes és a fordított arányossággal, de a fogalmak tudato-

sítása 6. osztályra maradhat.

A geometriában például a sokszögek területe olyan függvénynek tekinthet®, amelynek

az értelmezési tartománya a sokszögek halmaza, az értékkészlete a nemnegatív valós

számok halmaza. Ezért a területfogalom kialakítása, a téglalap területének meghatáro-

zása stb. során (a tudatosítás igénye nélkül) építhetünk tanulóink függvényszemléletére,

és fejleszthetjük is azt.

Sorozatok

Az alsó tagozatban sokféle eszközzel, rajzzal is készítettek sorozatokat. Ötödik osz-

tályban zömmel csak számsorozatokkal foglalkozunk. Eszközként használjuk a szám-

fogalom alakításához, a m¶veletek tulajdonságainak vizsgálatához, a m¶veletvégzés

gyakorlásához. A sorozatot mint pozitív egész számokon értelmezett függvényt az álta-

lános iskolában legfeljebb csak a 7. osztályban értelmezzük.

Sorozatot készítünk adott szabály alapján a tanult számkörökben, és szabályt keresünk

néhány elemmel megadott sorozatokhoz. Ez utóbbi típusú feladatoknak végtelen sok

megoldásuk van. Ezt ismertessük fel tanulóinkkal. Sorozatot építünk a kombinatorikus

feladatok feltételeinek és megoldásainak számából, valamint a geometriai alakzatok

tulajdonságainak felhasználásával is.

Mérés, geometria

A tankönyv 2., 4., 6., továbbá (ismétlésként) az 1. és a 8. fejezete foglalkozik a

mérés, geometriai tananyag feldolgozásával. Ezen túlmen®en az aktuális tananyaghoz

kapcsolódva a többi fejezetben is megfogalmazunk geometriai problémákat, mint ahogy

a geometria tanulása során gyakoroljuk, elmélyítjük, kib®vítjük, esetleg el®készítjük a

más témakörökhöz tartozó ismereteket.

Mire építhetünk?

Alsó tagozatban a tanulók különböz® síkidomokat állítottak el® hajtogatással, nyírással,

testeket építettek, bontottak szét. Vizsgálták az alakzatok tulajdonságait, összefüggése-

ket kerestek, szétválogatták az alakzatokat a felismert tulajdonságaik alapján.

Megbecsülték, majd megmérték különböz® tárgyak, illetve alakzatok hosszúságadatait.

Els®sorban szemléletes példákban (például kerítés hosszúsága) kiszámították konkrét

sokszögek kerületét.

A területet lefedéssel, hálón való megszámlálással mérték. A 4. osztályban hangsúlyt

25

kapott a téglalap területének kiszámítása a kirakást felidéz® magyarázat kíséretében

(konkrét esetekben). Követelmények megfogalmazása nélkül foglalkoztak a térfogat-

méréssel. Egységkockákból, színesrudakból felépítettek testeket, megszámlálták, hogy

hány egységkocka fér egy-egy konkrét téglatestbe stb.

Így szemléletes szinten megalapoztak szinte minden olyan fogalmat, amelyre a fels®

tagozatban építünk. Ugyanakkor tisztában kell lennünk azzal, hogy az alsó tagozatos

geometriai foglalkozások els®dleges célja a szemléletfejlesztés, a problémaérzékenység

kifejlesztése. Az életkori sajátosságokból adódóan sem várhatjuk el, hogy a tanulók

tudatos és alkalmazásképes ismeretrendszerrel rendelkezzenek.

Vannak olyan ismeretek, amelyekkel a tanulók már az alsó tagozaton is találkoznak, de

az 5. osztályban sem támasztunk ezekkel kapcsolatos követelményeket.

Ilyen anyagrészek például:

az egybevágósági transzformációk,

a tengelyes szimmetria,

a hasonlóság,

a topológiai alapismeretek.

A tankönyvben sok olyan feladat van, amely eszközhasználathoz, rajzos kísérletezge-

téshez stb. kapcsolódva feleleveníti ezeket az ismereteket, további tapasztalatszerzésre

ad lehet®séget, esetenként ki is b®víti, elmélyíti a tanultakat. Ám nem t¶zzük ki célul

ezeknek a fogalmaknak az értelmezését, a felismert összefüggések általános megfogal-

mazását és bizonyítását.

A geometria tanításának megtervezésekor azt is �gyelembe kell vennünk, hogy ezen

a téren a legpolarizáltabb a tanulók tudása. Többségüknek gondot jelent a vonalzó és

a körz® használata. Nagyon nagy különbségek vannak az egyes osztályok között attól

függ®en, hogy az alsó tagozatos pedagógus mennyire tartotta fontosnak a geomet-

riai látásmód kifejlesztését, elvezette-e tanulóit (az eszközhasználat segítségével) az

összefüggések �felfedezéséhez", a tapasztaltak gondolati feldolgozásához, vagy sem.

A képességek egyenl®tlen fejl®dése miatt is lényeges eltérések lehetnek a tanulók kö-

zött. Ezért a legtöbb osztályban a tanórák mintegy felében javasoljuk a tanulók optimális

fejl®dését biztosító di�erenciálást.

Valószín¶ség, statisztika

Valószín¶ség

Sem alsó, sem fels® tagozatban nem valószín¶ségi ismereteket tanítunk, hanem való-

szín¶ségi gondolkodásmódot fejlesztünk. A tankönyv egy alfejezete foglalkozik a való-

szín¶séggel. Ezen túlmen®en javasoljuk, hogy a számtan, algebra témakör feldolgozása

során (vagy különleges alkalmakkor, például a 100. órán) szervezzünk valószín¶ségi já-

tékokat, kísérleteket, házi feladatként �gyeltessünk meg különböz® �tömegjelenségeket".

26

Jobb csoportban eljuthatunk (egyszer¶bb esetekben) a valószín¶ség kiszámításához, a

kiszámított valószín¶ség és a relatív gyakoriság összehasonlításához.

A tanulók a kísérletek alapján

különbséget tesznek biztos, lehetetlen és lehetséges, de nem biztos események

között;

a lehetséges eseményeket összehasonlítják, melyik a valószín¶bb;

tapasztalják, hogy amelyik esemény nem fordul el®, abból még nem következik,

hogy sohasem fordulhat el®;

megtanulják megkülönböztetni a kiszámított valószín¶séget és a relatív gyakoriságot;

meg�gyelik, hogy minél többször végzik el a kísérletet, annál kisebb a relatív gyako-

riság ingadozása.

Statisztika

Az általános iskolában a statisztika elemeit részben a valószín¶ségi kísérletek eredmé-

nyeinek elemzésére használjuk, részben a környezet meg�gyelésével, a jellemz®k leí-

rásával kapcsolatosan alkalmazzuk.

Amikor a valószín¶ségi kísérletekben az események kimenetelét lejegyezzük, táblázatba

foglaljuk, összehasonlítjuk, gra�kont készítünk, akkor statisztikai elemzést végzünk.

A környezet statisztikai meg�gyelése az osztály adatainak elemzésével kezd®dhet, majd

a b®vül® környezet { az iskola, a lakóhely { jellemz®inek vizsgálatával folytatódhat.

Különböz®, a gyermekek által javasolt szempontok, illetve kategóriák szerint táblázatba

rendeztethetjük az adatokat. A gyerekek például összehasonlíthatják a �úk és a lányok

osztályzatainak vagy testmagasságának az eloszlását. Az adatokat oszlopdiagrammal,

milliméterpapírra rajzolt szalagdiagrammal stb. szemléltethetjük, megkerestethetjük a

legkisebb, illetve a legnagyobb értéket. A tizedestörtek tanulásához kapcsolódva az

adatokat századrészben is számolhatják.

Sor kerülhet a számtani közép fogalmának elmélyítésére, alkalmazására, de az adatso-

kaság egyéb jellemz®it (például az adatok �szóródását") is vizsgálhatják.

27

A TANANYAG FELDOLGOZÁSA

Ebben a részben a tankönyv fejezeteit követve áttekintjük azokat a szakmai és mód-

szertani kérdéseket, amelyek a tananyag feldolgozása során esetleg felmerülhetnek.

Javaslatokat fogalmazunk meg a koncentrálás lehet®ségeivel, a tananyag variálásával,

a szemléltetéssel, a feladatok felhasználásával kapcsolatosan.

A program tankönyvi fejezetenként adja meg a tanmenetjavaslatot, ezzel hangsúlyoz-

va �félkész", illetve �segédlet" jellegét. A tanszabadság azt jelenti, hogy a tananyag

kiválasztásának és feldolgozásának megtervezésekor, tanmenetünk megírása során

{ a helyi tanterv keretein belül { saját pedagógiai elképzeléseinket követhetjük. Ez a

szabadság ugyanakkor felel®sséggel jár. Gondosan mérlegelnünk kell az osztály adott-

ságait, szociális hátterét, a gyerekek képességeit és törekvéseit, de a fels®bb iskolák

elvárásait is.

Hogyan célszer¶ adaptálnunk a tanmenetjavaslatot?

Nézzük meg, hogy milyen alsó tagozatos alapokkal rendelkeznek a tanulók, melyik

tankönyvb®l, mit, milyen szinten, heti hány órában tanultak.

Gondoljuk végig, hogy a fejezet anyagából mit kivánunk tanítani, mit nem, milyen

mélységben kívánjuk feldolgozni az egyes anyagrészeket.

Vizsgáljuk meg, hogy a helyi tanterv szerint mivel kell, illetve saját elképzeléseink

alapján mivel szeretnénk kiegészíteni a javasolt tananyagot.

Döntsük el, hogy van-e olyan anyagrész, amelyet más témakörhöz kapcsolódva

kívánunk tanítani.

Számoljunk utána, hogy megfelel®-e a javasolt óraszám. Valószín¶, hogy egyes

anyagrészeket kevesebb, másokat esetleg több óra alatt dolgozhatunk föl, mint

amennyit a tanmenetjavaslat ajánl.

A szükségletnek megfelel®en tervezzük meg a folyamatos ismétlést, a felzárkózta-

tást és a tehetséggondozást. Döntsük el, hogy a koncentrálás lehet®ségeit miképpen

kívánjuk kihasználni.

A tankönyvb®l, illetve a Matematika gyakorlóból válogassuk ki az elképzeléseink-

nek megfelel® feladatokat. A folyamatos ismétléshez tekintsük át az el®z® fejezetek

feladatait is.

Tervezzük meg a tananyag-feldolgozás eszközszükségletét.

Különösen a tankönyv 1. és 2. fejezetét lehet és kell akár óránként is eltér® módon

feldolgozni a különböz® osztályokban. Ugyanis a helyi tantervek különböz®sége, az

alsó tagozatos tanítók eltér® törekvései, a tanulók egyenl®tlen fejl®dése stb. miatt az

alsó tagozatban tanultak �összeszedése", tudatosítása, magasabb absztrakciós szintre

emelése, kiegészítése, a hiányosságok pótlása minden osztályban és minden gyereknél

más-más kérdést vet fel.

28

1. A természetes számok

Ebben a fejezetben, az év eleji ismétlés keretében, felelevenítjük, rendszerezzük és

kib®vítjük az alsó tagozatos számtan, algebra tananyagnak a továbblépéshez nélkülöz-

hetetlen részét.

Mivel ez az anyagrész közvetlenül az alsó tagozatos tananyaghoz kapcsolódik, ezért

saját programunknak ezt a részét csak a helyi tanterv alapján kidolgozott alsó tagozatos

program �gyelembevételével állíthatjuk össze.

Ha a tanulóink az alsó tagozatban nem jutottak el a kell® szintre, akkor az 1. és a

2. fejezetre több id®t kell fordítanunk. Ebben az esetben mindkét fejezet anyagát cél-

szer¶ két-két részre bontanunk, és a szorzás gyakorlása után (megszakítva a számtan,

algebra témakört) beillesztenünk a 2. fejezet els® felét (a területszámítással bezáró-

lag). Így a geometriai témakörök tárgyalása mellett, folyamatos ismétlés keretében mód

nyílik a számtan és algebra témakörben mutatkozó hiányosságok pótlására, illetve a

felzárkóztatásra. Másrészt az 1. fejezet további témaköreinek feldolgozása során már

gyakoroltathatjuk a téglalap és négyzet kerület- és területszámításáról tanultakat is. Eh-

hez a hiánypótláshoz használhatják a tanulók a Matematika 4. Gyakorlót is, amelyet

úgy állítottunk össze, hogy segítségével az alsó tagozatos tananyag magas szinten be-

gyakorolható legyen.

Ha az alsó tagozatos helyi tanterv súlyt helyezett a hagyományos matematikatanítás

értékeire is (megtanította a négy alapm¶veletet, az egyszer¶ szöveges feladatok értel-

mezését és a mértékegységeket), akkor az 1. fejezet lényegesen kevesebb tanóra alatt

is feldolgozható.

A tananyag-feldolgozás csomópontjai

1. A tízes számrendszer, számok írása, olvasása, helyesírása, ábrázolásuk szám-

egyenesen. Az alsó tagozatban tanult számkör kib®vítése legalább két nagyság-

renddel. Szorzás és osztás 10-zel, 100-zal, 1000-rel, � . Természetes számok

tízes, százas, ezres szomszédai. Természetes számok kerekítése. A korábban

tanult ismeretek kib®vítése, elmélyítése, begyakorlása, alkalmazása.

2. Természetes számok összeadásának, kivonásának, szorzásának, osztásának fo-

galma. A szóbeli és írásbeli m¶veletek begyakorlása, osztás kétjegy¶ osztóval, a

hiányosságok pótlása. A korábban tanult m¶veleti tulajdonságok tudatosabb szintre

emelése, meger®sítése. Helyes m¶veleti sorrend tudatosítása, zárójelek használata.

3. A természetes számokról, illetve a m¶veletekr®l tanultak alkalmazása a mértékegy-

ségek értelmezésében, átváltásában. A korábban tanultak rendszerezése, meger®-

sítése.

4. A szövegelemz®, szövegértelmez® képesség és a m¶veletfogalom fejlesztése (a

m¶veletek értelmezésével, gyakorlásával párhuzamosan). Arányossági következte-

tések.

Az arányossági következtetés fontos szerepet játszik a szorzás és az osztás fogalmának tudatosításában,

29

illetve a két m¶velet közti kapcsolat felismerésében.

A Matematika 5. Gyakorló több száz szöveges feladatot tartalmaz. Ezek közül, a 4. osztályos programot

is �gyelembe véve, válasszuk ki az osztály színvonalának leginkább megfelel®ket. A feladatok b® keretet

nyújtanak az egész évi folyamatos ismétlés megszervezésére is.

5. A tanultak folyamatos alkalmazása egyszer¶ (próbálgatással, néhány lépésben kö-

vetkeztetéssel megoldható) egyenletek, egyenl®tlenségek megoldásában, a meg-

oldás ellen®rzésében, az igazsághalmaz szemléltetésében, valamint a gra�konok,

sorozatok vizsgálata során.

Kapcsolódási lehet®ségek

Bár az év eleji ismétlés gerincét a számtan és algebra alkotja, ám ehhez kapcsolva

minden egyéb témakört átismételhetünk.

Halmazok, logika

A logikai ismeretek és a halmazokról tanultak eszközszer¶ alkalmazását tételezi föl az

egyszer¶ nyitott mondatok igazsághalmazának a vizsgálata, illetve az oszthatósággal

kapcsolatos néhány feladat. A feladatok megoldásával felismeri a tanuló a logikai m¶-

veletek és a halmazm¶veletek kapcsolatát.

Relációk, függvények, sorozatok

A fejezeten végighúzódik a �kisebb", �nem nagyobb", �, illetve az �osztója", �többszö-

röse" reláció vizsgálata, ábrázolása. A Gra�konok cím¶ részben a függvénykapcsolatok

vizsgálatát egyszer¶ gra�konok elemzésével, megrajzolásával készítjük el®.

A számkör kib®vítéséhez és a számolási képességek fejlesztéséhez eszközjelleggel al-

kalmazzuk a sorozatokat és a �szabályjátékokat".

Mérés, geometria

A számkör kib®vítésével, a m¶veletek gyakorlásával párhuzamosan rendszerezzük a

mértékegységekr®l tanultakat is.

Kombinatorika

Kombinatorikus gondolkodásmódot igényel például a tankönyv 1.09., 1.10., 1.56., 1.57.,

B1.03., 1.94. feladatának a megoldása.

30

Tanmenetjavaslat

A tanmenetjavaslatokban d®lt bet¶vel szedtük a tananyag legjellemz®bb részét (amit a

naplóba írunk). Kisebb bet¶vel jelezzük a folyamatos ismétléssel és koncentrációval

kapcsolatos ajánlásainkat, illetve a feladatok kiválasztásával kapcsolatos megjegyzése-

inket.

Ehhez a fejezethez két tanmenetjavaslatot dolgoztunk ki.

A változat

Az A változatot azon osztályok számára javasoljuk, amelyek alsó tagozaton redukált

matematikai nevelésben részesültek. Bizonytalan a tanulók szám- és m¶veletfogalma,

számolási képessége. A tanultakat nehezen képesek alkalmazni a szöveges feladatok

megoldásában.

Ezekben az osztályokban javasoljuk, hogy legalább az els® félévben a négy kötelez®

órán túl a kiegészít® órakeret terhére biztosítsunk hetente még egy órát a hiányosságok

pótlására.

Óra Aktuális tananyag Feladatok

Folyamatos ismétlés, koncentráció

1{3. A természetes számok írása, olvasása a tízes számrend-

szerben. Római számírás.

A természetes számkör b®vítése millióig.

Ha 4. osztályban csak tízezres számkörben dolgoztak a ta-

nulók, akkor a folyamatos ismétlés keretében, fokozatosan

jussunk el tízmillióig.

Tk. 1.01{1.08.;

Mgy. 1.01{1.18.,

1.29., 1.35{1.36.,

9.01{9.14.

(+ 1 ó.) A kiegészít® órakeret terhére biztosítsunk további gyakor-

lási lehet®séget.

4. Szorzás és osztás 10-zel, 100-zal, 1000-rel, � .

Szóbeli számolás kerek számokkal, a becslés el®készítése.

A szorzás és az osztás közti kapcsolat.

Oszthatóság. Részhalmaz. Igaz, hamis állítások. Kombina-

torika.

Mgy. 1.03{1.05.,

2.39., 9.15{9.18.;

Tk. 1.11{1.14.

5{6. Hosszúság- és tömegmérés.

Becslés, megmérés, kimérés; a mér®szalag, mér®rúd,

vonalzó, konyhai mérleg használata. Mérés terepen.

A hosszúság és a tömeg mértékegységeir®l tanultak rend-

szerezése.

Számok írása, olvasása.

A 10-zel, 100-zal, 1000-rel, � való szorzás és osztás

alkalmazása a mértékegységek átváltásában.

Mgy. 7.01{7.04.,

7.06{7.10.,

7.18{7.20.;

Tk. 1.16{1.19.

(+ 1 ó.) Gyakorlás a kiegészít® órakeret terhére.

31

Óra Aktuális tananyag Feladatok

Folyamatos ismétlés, koncentráció

7{8. Tájékozódás számegyenesen. Mgy. 1.19{1.26.,

9.25{9.30.;

(+ 1 ó.) A kiegészít® órakeret terhére. Tk. 1.20{1.22.;

Egyszer¶ egyenl®tlenségek értelmezése, megoldáshal-

mazuk ábrázolása. �Legalább", �legfeljebb", �nem na-

gyobb", �nem kisebb" stb. kifejezések értelmezése.

Számok írása, olvasása.

Kijelentések tagadása; a halmaz kiegészít® halmaza (komp-

lementere). Logikai �és", �vagy"; halmazm¶veletek.

Mgy. 1.27{1.29.;

Tk. 1.23{1.24.;

Mgy. 9.31{9.32.

9{10. A természetes számok kerekítése. A kerekített számok

helye a számegyenesen. Számolás kerekített számokkal.

Számok írása, olvasása, ábrázolása számegyenesen.

A m¶veleti eredmények becslése.

Mgy. 1.30{1.34.,

2.01{2.03., 2.38.,

2.40.;

Tk. 1.26{1.29.

11{13. A természetes számok szóbeli és írásbeli összeadása, ki-

vonása. A m¶veleti eredmények becslése.

Számok írása, olvasása, ábrázolása. Kerekítés.

Mgy. 2.06{2.13.;

Tk. 1.30{1.34.,

1.35{1.37.;

Egy lépéssel (következtetéssel) megoldható egyenletek és

egyenl®tlenségek.

Egyszer¶ (összeadással, illetve kivonással megoldható)

szöveges feladatok.

Mgy. 2.04{2.05.,

2.22{2.37.;

Tk. 1.38{1.40.;

(+ 1 ó.) A kiegészít® órakeret terhére.

Az összeadás és kivonás tulajdonságai. Az összeg és

különbség változásai.

Összetettebb (összeadással, illetve kivonással megoldható)

szám- és szöveges feladatok.

Tk. 1.43{1.55.;

Mgy. 3.01{3.04.,

3.15{3.16.,

3.21{3.24.

14{16. A természetes számok szóbeli és írásbeli szorzása.

A m¶veleti eredmények becslése.

A szorzás tulajdonságai. A szorzat változásai.

Összeg, különbség szorzása.

A �szorzási szabály" alkalmazása egyszer¶ kombinatorikai

feladatokban.

Egy lépéssel (következtetéssel) megoldható egyenletek és

egyenl®tlenségek.

Tk. 1.56{1.61.;

Mgy. 2.38{2.39.,

2.41{2.53.,

3.05{3.06.;

Egyszer¶, szorzással megoldható szöveges feladatok.

Következtetés egyr®l többre.

Tk. 1.62{1.65.;

Mgy. 2.64{2.67.,

2.75., 2.77{2.78.;

(+ 1 ó.) Gyakorlás (a kiegészít® órakeret terhére).

A szövegértelmez® képesség fejlesztése: két m¶velettel

(összeadással, kivonással, illetve szorzással) megoldha-

tó szöveges feladatok.

Mgy. 3.25{3.27.

32

Óra Aktuális tananyag Feladatok

Folyamatos ismétlés, koncentráció

17. Az id® mérése és mértékegységei.

Id®méréssel kapcsolatos egyszer¶ szöveges feladatok.

Szorzás, következtetés egyr®l többre.

Tk. 1.67{1.70.;

Mgy. 7.24.,

7.27{7.28.

(+ 1 ó.) Gyakorlás (a kiegészít® órakeret terhére).

18{19. Az osztó és a többszörös.

Logika, halmazok, relációk alkalmazása az oszthatósági

vizsgálatokban. Sorozatok.

Egy lépéssel (következtetéssel) megoldható egyenletek és

egyenl®tlenségek.

Tk. 1.71{1.77.;

Mgy. 6.46{6.49.

20. Diagnosztizáló értékelés. Tk. 1.78.

21{22. A természetes számok osztása. Nulla az osztásban.

Írásbeli osztás egyjegy¶ osztóval.

A hányados változásai.

Egy lépésben megoldható egyenletek megoldása következ-

tetéssel, a szorzás és az osztás közti összefüggés alkalma-

zásával.

Szöveges feladatok. Következtetés egyr®l többre, többr®l

egyre.

Tk. 1.79{1.84.;

Mgy. 2.40., 2.55.,

2.76.

23{25. Összeg, különbség, szorzat, hányados osztása.

M¶veletek sorrendje, zárójelek használata; rendszerezés,

gyakorlás.

Két m¶velettel megoldható szöveges feladatok, a m¶veleti

sorrend és a zárójelezés alkalmazása.

Két lépéssel megoldható egyenletek, egyenl®tlenségek

megoldása tervszer¶ próbálgatással és a m¶veleti tulajdon-

ságok alkalmazásával.

Tk. 1.85{1.87.,

1.91{1.93.;

Mgy. 3.06.,

3.11{3.14.,

9.40{9.42.

26{27. A természetes számok osztása többjegy¶ osztóval, a há-

nyados becslése, a maradékos osztás ellen®rzése.

Szöveges feladatok megoldása (vegyesen a többjegy¶vel

való szorzás és osztás alkalmazásával).

Tk. 1.95{1.102.;

Mgy. 2.56{2.62.,

2.68{2.73., 7.24.,

7.27.

(+ 2 ó.) Gyakorlás (a kiegészít® órakeret terhére).

28{30. Arányossági következtetések, a tanultak áttekintése: kö-

vetkeztetés egyr®l többre, többr®l egyre, többr®l többre.

A szorzás és az osztás gyakorlása. Szövegértelmezés.

Mérés, mértékegységek.

Tk. 1.103{1.106.;

Mgy. 2.74{2.88.,

6.01., 9.43{9.44.

(+ 2 ó.) Egyenletek, egyenl®tlenségek (a kiegészít® órakeret ter-

hére).

Tk. 1.111{1.124.;

Mgy. 9.49{9.50.

31{32. Függvények, gra�konok, sorozatok.

Számok ábrázolása számegyenesen. Szövegértelmezés.

Mérés, mértékegységek.

Tk. 1.125{1.131.;

Mgy. 6.02{6.19.,

6.41{6.45.

33

Óra Aktuális tananyag Feladatok

Folyamatos ismétlés, koncentráció

33{36. Gyakorlás, szám- és szöveges feladatok megoldása.

(+ 2 ó.) Gyakorlás (a kiegészít® órakeret terhére).

Diagnosztizáló értékelés.

A hiányosságok pótlása. A folyamatos ismétlés megter-

vezése a tanulók eredményeinek �gyelembevételével.

Tk. 1.132{1.144.,

1.145.;

Mgy. 10.01{10.02.

B változat

Azon osztályok számára javasoljuk, amelyek alsó tagozatban kell® alapozást kaptak.

Például a Hajdu Sándor által szerkesztett tankönyvcsaládból legalább heti 4 órában ta-

nulták a matematikát. 4. osztályban eljutottak legalább a húszezres számkörig, jól

begyakorolták az írásbeli m¶veleteket, beleértve a kétjegy¶ osztóval való osztást is.

Képesek a tanultakat alkalmazni szöveges feladatok megoldásában, mértékváltásban

stb.

Óra Aktuális tananyag Feladatok

Folyamatos ismétlés, koncentráció

1{3. A természetes számok írása, olvasása a tízes számrend-

szerben. Római számírás.

A természetes számkör b®vítése tízmillióig, ha 4. osztály-

ban húszezres számkörben dolgoztak; ezermillióig, ha 4.

osztályban milliós számkörig jutottak.

Tk. 1.03{1.08.;

Mgy. 1.01{1.18.,

1.29., 1.35{1.36.,

9.01{9.14.;

Fgy. 1.1.01{06.;

Kombinatorika. Tk. 1.09{1.10.

4. Szorzás és osztás 10-zel, 100-zal, 1000-rel, �

Szóbeli számolás kerek számokkal, a becslés el®készíté-

se.

A szorzás és az osztás közti kapcsolat.

Oszthatóság. Részhalmaz. Igaz, hamis állítások. Kombina-

torika.

Mgy. 1.03{1.05.,

2.39.;

Tk. 1.11{1.15.;

9.15{9.18.

5{6. Hosszúság- és tömegmérés.

Becslés, megmérés, kimérés. Mérés terepen.

A hosszúság és a tömeg mértékegységeir®l tanultak rend-

szerezése.

Számok írása, olvasása.

A 10-zel, 100-zal, 1000-rel, � való szorzás és osztás

alkalmazása a mértékegységek átváltásában.

Mgy. 7.01{7.04.,

7.06{7.10.,

7.18{7.20.;

Tk. 1.16{1.19.;

Fgy. 6.1.03{04.

34

Óra Aktuális tananyag Feladatok

Folyamatos ismétlés, koncentráció

7{8. Tájékozódás számegyenesen. Mgy. 1.19{1.26.,

9.25{9.30.;

Tk. 1.20{1.22.;

Egyszer¶ egyenl®tlenségek értelmezése, megoldáshal-

mazuk ábrázolása.

�Legalább", �legfeljebb", �nem nagyobb", �nem kisebb"

stb. kifejezések értelmezése.

Számok írása, olvasása.

Kijelentések tagadása; a halmaz kiegészít® halmaza (komp-

lementere). Logikai �és", �vagy"; halmazm¶veletek.

Mgy. 1.27{1.29.;

Tk. 1.23{1.24.;

Mgy. 9.31{9.32.

9. A természetes számok kerekítése. A kerekített számok

helye a számegyenesen. Számolás kerekített számokkal.

Számok írása, olvasása, ábrázolása számegyenesen.

A m¶veleti eredmények becslése.

Mgy. 1.30{1.34.,

2.01{2.03., 2.38.

2.40.;

Tk. 1.26{1.29.;

Fgy. 1.1.25{26.,

1.2.01., 1.2.06.

10{13. A természetes számok szóbeli és írásbeli összeadása, ki-

vonása, szorzása. A m¶veleti eredmények becslése.

Számok írása, olvasása, ábrázolása. Kerekítés.

Egy lépéssel (következtetéssel) megoldható egyenletek és

egyenl®tlenségek.

Összetettebb (összeadással, kivonással, illetve szorzással

megoldható) szám és szöveges feladatok.

M¶veleti tulajdonságok. Az összeg, különbség változásai.

Mgy. 2.10{2.13.,

2.18{2.21., 2.25{

2.37., 2.51{2.53.,

2.04{2.05., 2.39.;

Tk. 1.38{1.55.,

1.56{1.66.;

Fgy. 1.2.02{21.

14. Az id® mérése és mértékegységei.

Id®méréssel kapcsolatos egyszer¶ szöveges feladatok.

Szorzás, következtetés egyr®l többre.

Tk. 1.67{1.70.;

Mgy. 7.24{7.28.

15{16. Az osztó és a többszörös.

Logika, halmazok, relációk alkalmazása az oszthatósági

vizsgálatokban. Sorozatok.

Egy lépéssel (következtetéssel) megoldható egyenletek és

egyenl®tlenségek.

Tk. 1.74{1.77.;

Mgy. 6.46{6.49.;

Fgy. 1.3.02.

17{18. A tanultak elmélyítése, di�erenciált gyakorlása.

Diagnosztizáló értékelés.

Tk. B1.01{B1.12.;

B1.13.

19{20. A természetes számok osztása. Nulla az osztásban.

Írásbeli osztás egyjegy¶, illetve többjegy¶ osztóval.

A hányados változásai.

Egy lépésben megoldható egyenletek megoldása következ-

tetéssel, a szorzás és az osztás közti összefüggés alkalma-

zásával.

Szöveges feladatok.

Tk. 1.80{1.84.;

1.98.{1.102.;

Mgy. 2.40., 2.55.,

2.76., 2.56{2.73.;

Fgy. 1.2.32.,

1.2.43{46.,

1.2.48{49.,

1.2.59., 1.3.07{08.

35

Óra Aktuális tananyag Feladatok

Folyamatos ismétlés, koncentráció

21{22. Összeg, különbség, szorzat, hányados osztása.

M¶veletek sorrendje, zárójelek használata; rendszerezés,

gyakorlás.

Két m¶velettel megoldható szöveges feladatok, a m¶veleti

sorrend és a zárójelezés alkalmazása.

Két lépéssel megoldható egyenletek, egyenl®tlenségek

megoldása tervszer¶ próbálgatással és a m¶veleti tulajdon-

ságok alkalmazásával.

Tk. 1.85{1.94.;

Mgy. 3.06.,

3.11{3.20.,

3.25{3.27.;

Fgy. 1.2.56.,

1.2.58.

23{24. Arányossági következtetések, a tanultak áttekintése: kö-

vetkeztetés egyr®l többre, többr®l egyre, többr®l többre.

A szorzás és az osztás gyakorlása. Szövegértelmezés.

Mérés, mértékegységek.

Tk. 1.103{1.110.;

Mgy. 2.74{2.94.,

6.01., 9.43{9.44.;

Fgy. 5.2.05{07.

25{26. Egyenletek, egyenl®tlenségek Tk. 1.112{1.124.;

Mgy. 9.49{9.50.;

Fgy. 1.2.47.,

1.2.57.,

1.2.60{63.,

1.2.65.

27{28. Függvények, gra�konok, sorozatok.

Számok ábrázolása számegyenesen. Szövegértelmezés.

Mérés, mértékegységek.

Tk. 1.125{1.131.;

Mgy. 6.02{6.22.,

6.41{6.45.;

Fgy. 5.1.01{04.,

5.1.07.,

5.1.19{20.,

5.3.01{03.,

5.3.16{18.

29{30. Gyakorlás, szám- és szöveges feladatok megoldása.

A hiányosságok pótlása. A folyamatos ismétlés megter-

vezése a tanulók eredményeinek �gyelembevételével.

Tk. 1.140{1.144.,

B1.14{B1.25.,

Diagnosztizáló értékelés.

A folyamatos ismétlés megtervezése a tanulók eredmé-

nyeinek �gyelembevételével.

B1.26.;

Mgy. 10.01{02.;

Jobb csoportban:

Ha a tanulók az átlagosnál biztosabb számfogalommal

rendelkeznek, akkor foglalkozhatunk a Nem tízes szám-

rendszerek c. alfejezettel.

Tk. 1.146{1.150.;

Fgy. 1.4.01{12.

36

A tananyag-feldolgozás áttekintése

A tízes számrendszer

A véges halmazok számosságát nevezzük természetes számoknak. Van olyan halmaz,

az üres halmaz (ilyen például a 4-gyel osztható páratlan számok halmaza), amelynek

nincs eleme, vagyis a halmaz számossága 0. Tehát ebben az értelmezésben a 0 is

természetes szám.

Megjegyezzük, hogy korábban a 0-t az alsó tagozatban nem számnak, hanem �helypótló

jelnek" tekintették. Sajnos ez az értelmezés még ma is kísért! Sokszor tapasztaljuk, hogy

a gyermekek következetesen kihagyják a 0-t a vizsgálatokból. Az ebb®l ered® típushibák

közül néhány:

Ha az alaphalmaz a természetes számok halmaza, akkor a gyerek nem sorolja fel

az x 5 5 egyenl®tlenség megoldásai közt a 0-t.

A gyerek úgy véli, hogy �a 0 olyan szám, amelyik se nem páros, se nem páratlan".

A gyerek kihagyja a 0-t a számok többszörösei közül.

Mivel a természetes szám véges halmaz számossága, ezért a természetes számokat

használjuk fel a tárgyak megszámlálásakor (amikor a halmazhoz számot rendelünk) és

a tárgyak leszámlálásakor (amikor adott számhoz halmazt rendelünk hozzá).

Ha sok tárgyat vagy jelet kell megszámlálnunk, akkor csoportosítással segítünk magun-

kon. Így jutunk el a számrendszer, speciálisan a tízes számrendszer, a helyiértékes

írásmód fogalmához.

Ha alsó tagozatban csak 10 000-es számkörben dolgoztak a tanulók, akkor el®ször

100 000-ig, majd innen 1 000 000-ig lépjünk tovább a számfogalom kialakításában.

Szorzás és osztás 10-zel, 100-zal, 1000-rel, �

A címben foglalt ismeretrendszer része az alsó tagozatos követelményeknek. Ennek

ellenére { a felmérések tapasztalata szerint { néhány feladat megoldásával nem intéz-

hetjük el ennek a témakörnek a felelevenítését. A tanulók tudása az osztályok egy ré-

szében meglehet®sen bizonytalan és sajnos mechanikus. Esetleg tudják, hogy hogyan

kell, de nem értik, hogy miért úgy kell szorozni, illetve osztani a 10 hatványaival. Mivel

az írásbeli szorzás és osztás, majd kés®bb a tizedestörtek 10-zel, 100-zal, 1000-

rel, � való szorzásának elsajátításához nélkülözhetetlen a most tanultak megértése,

ezért súlyos hibának kell tekintenünk a �szabályok" megértés nélküli beszajkóztatását,

még ha els® pillanatra egyszer¶bbnek t¶nik is ez a �megoldás". A mechanikusan be-

tanult, ezért lényegében alkalmazhatatlan ismeretek kedvez®tlen következményeit (a

felmérések szerint) még 8. osztályban is tapasztaljuk.

A tanulók a szemlélethez jól kapcsolódó feladatok megoldásával gy¶jtsenek minél több

tapasztalatot annak az összefüggésnek felismeréséhez, hogy ha például 10-zel szor-

zunk, akkor az egyesekb®l tízesek, a tízesekb®l százasok stb. lesznek a szorzatban.

Vagyis ha 10-zel, 100-zal, 1000-rel szorzunk, akkor a szorzandó minden számjegye

eggyel, kett®vel, hárommal � nagyobb helyiérték¶ helyre kerül, ezért kell a szorzat-

37

ban a szorzandó után nullát, illetve nullákat írnunk. Ötödik osztályban elegend®, ha az

összefüggést a konkrét szorzóra (például 1000-re) fogalmazza meg a tanuló.

A 10-zel, 100-zal, 1000-rel � való osztás megtanításakor támaszkodhatunk annak a

felismertetésére, hogy az osztás a szorzás fordított m¶velete. A szabályok megfogalma-

zása helyett (a tizedestörtekr®l tanítandók miatt) jobb, ha a tanulók képesek felismerni,

hogy mely számok oszthatók (maradék nélkül) 10-zel, 100-zal, 1000-rel � .

A hosszúság és a tömeg mértékegységei

A mérésr®l tanultak felelevenítése a tízes számrendszer er®sítését is szolgálja. Különö-

sen a hosszúság és a tömeg szabványmértékegységei tükrözik jól a tízes számrendszer

helyiértékeit.

A mértékegységek átváltásakor eszközként alkalmazzuk a 10-zel, 100-zal, 1000-rel �

való szorzásról és osztásról tanultakat.

A hosszúság és tömeg mértékegységeivel együtt átismételjük és kiegészítjük mindazt,

amit a mérésr®l eddig tanultak a gyerekek. Az alsó tagozatban szerzett tapasztalatok

felelevenítése és a szemléleti alapozás megszilárdítása céljából mérjenek meg és mér-

jenek ki most is konkrét hosszúságot és tömeget alkalmilag választott és szabványmér-

tékegységgel is. Például:

Hány arasz, hány deciméter a pad (az asztal) hossza?

Körülbelül hány kilogramm az iskolatáska tömege?

Hány matematika-tankönyv tömegével egyenl® az iskolatáska tömege?

A konkrét mérések alapján fogalmazódjon meg a mérés lényege: a mérés mindig össze-

hasonlítás.

Ha adott mennyiségeket hasonlítunk össze a választott mértékegységgel, akkor azt

számoljuk meg, hogy hány egységb®l áll a mérend® mennyiség.

Ha ismert mennyiséget mérünk ki a választott mértékegységgel, akkor adott mér®-

számhoz rendeljük a kimérend® mennyiséget.

Minden mérés pontatlan. Így mind a méréssel megállapított mér®szám, mind a mér®-

számhoz rendelt kimért mennyiség csak megközelít®en felel meg egymásnak.

A mérend® mennyiség általában nem egészszámszorosa az egységnek. Például a tan-

könyv hosszúságát deciméterrel mérve azt kapjuk, hogy 2 dm-nél több és 3 dm-nél

kevesebb:

2 dm < a tankönyv hosszúsága < 3 dm.

Ezért szükséges, hogy az egységet kisebb részekre osszuk. A decimétert tíz egyenl®

részre osztva kapjuk a centimétert. Ezzel is mérve azt kapjuk, hogy a tankönyv hossza

28 és 29 centiméter között van:

28 cm < a tankönyv hosszúsága < 29 cm.

Most kisebb mértékegységgel mértünk, így kisebb lesz a mérés hibája. Majd a tizedes

törtek tanulásakor a centiméter pontosságú mérést deciméterekkel is kifejezhetjük:

2,8 dm < a tankönyv hosszúsága < 2,9 dm.

Most a mér®szám nem egész, hanem törtszám.

38

Általában a mérés kivezet a természetes számok köréb®l. Az egység kisebb részével,

részeivel mérve eljutunk a pozitív törtszámok, s®t a pozitív valós számok körébe. A

valós számokról nyilván 5. osztályban nem beszélünk, de azt fontos tudatosítanunk,

hogy a gyakorlati mérés sohasem lehet pontos. Ezért gyakran használjuk a közelítést

kifejez® szavakat: �körülbelül"; �több, mint �"; �kevesebb, mint �"; �majdnem �"; ��

és � között van"; stb.

Minden mérést el®zzön meg becslés!

El®ször egyezzünk meg abban, hogy milyen pontossággal érdemes becsülni. Ez a

pontosság nemcsak egy-egy mértékegység lehet, hanem esetleg egy mértékegység

többszöröse is. (Hangsúlyozzuk, hogy a becslés nem jelenthet parttalan találgatást!)

Például:

Valószín¶, hogy az iskolaudvar hosszát nem méter pontossággal, hanem 10 méter

pontossággal becsüljük. Ehhez feltétlenül szükséges, hogy konkrét képünk, tapasztala-

tunk legyen a 10 méter hosszúságról. Esetleg készíttessünk 10 méteres mér®zsinórt

is. Igen hasznos lehet, ha a folyosón, udvaron kimérünk és megjelölünk néhány kerek

mér®számú távolságot, például 10 m-t, 20 m-t, 50 m-t, 100 m-t. Ezeknél kisebb

hosszúságokat a tanteremben jelöljünk ki. Így ha bármikor a tanév folyamán segíteni

akarunk adott hosszúság becslésében, a feladatokban szerepl® mennyiségek elképze-

lésében, összehasonlításában, a köztük lév® összefüggések meglátásában, hivatkozni

tudunk a kimért és megjegyzett hosszúságokra. Ily módon elérhetjük, hogy a gyermek

tapasztalataiból kiindulva �gondolkozva" becsül, nem csupán találgat.

A becslés eredményét kifejezhetjük egyetlen mennyiséggel (körülbelül 140 m) vagy egy

mennyiség-intervallummal (140 m és 150 m között).

Milyen pontossággal érdemes becsülni? A választott pontosság függ a mennyiség

(hosszúság, tömeg) nagyságától. Például:

Becsültessük meg a gyerekkel az iskola és az otthona távolságát. A távolságok között

adódhat olyan, amelyet 10 m pontossággal, és lehet olyan is, amelyet 500 m vagy

annál is kisebb pontossággal hasznos becsülni. Az az általános tapasztalat, hogy a

kielégít®en becsült mennyiség mér®számában az értékes számjegyek száma egy vagy

legfeljebb kett®. A következ® példákban az értékes számjegyek száma kett® (az 1 és

az 5):

a négyemeletes ház magassága hozzávet®legesen 15 m;

két utcasarok távolsága körülbelül 150 m;

egy út hossza 1500 m körül van.

Ugyanazt a mennyiséget többféle mértékegységgel is mérjük! Sok és sokféle tapasztalat

segít az egység, a mennyiség és mér®szám közti kapcsolat tudatosításában. Éppen

ezért a tankönyv többi fejezetében is sokszor találkozunk olyan feladattal, amelynek a

megoldása újra és újra tudatosítja ezt az összefüggést.

Ha ugyanazzal a mértékegységgel mérünk, akkor a nagyobb mennyiséghez nagyobb

mér®szám tartozik.

39

150 dm15 m

: 10

=

� 10Például: A tanterem hosszúsága: 15 m; szélessége: 8 m.

Ha ugyanazt a mennyiséget kisebb mértékegységgel

mérjük, akkor nagyobb lesz a mér®szám.

Majd 6. osztályban még tudatosabban foglalkozunk ezek-

kel az összefüggésekkel, és felhasználhatjuk az egyenes

és fordított arányosság igazolására is.

A tömeggel kapcsolatban is járjuk végig a becslés, mérés felsorolt lépcs®it.

Megjegyezzük, hogy a matematika tanulása során sokkal többször találkoznak a gye-

rekek a hosszúsággal, mint bármilyen más mennyiséggel. Ennek az az oka, hogy a

távolság matematikai fogalom is, míg például a tömeg és az id® �zikai fogalom.

Tájékozódás számegyenesen

A számegyenessel alsó tagozatban sokszor találkoztak a gyerekek, és 5. osztályban va-

lamennyi témakör tárgyalásakor eszközként használhatjuk. Éppen ezért most az év ele-

jén gy¶jtsük össze azokat a matematikai és módszertani gondolatokat, amelyek egész

tanévben segíthetik a munkánkat. A számfogalom, a számkör b®vítése, közelít® mérés,

kerekítés, m¶veletek végzése, becslés, számsorozatok, a derékszög¶ koordináta-

rendszer, gra�kon bármelyikének tárgyalásához, az alaphalmaz és az igazsághalmaz

szemléltetéséhez nélkülözhetetlen a számegyenes.

Néhány módszertani javaslat, feladatféleség:

Igaz, hogy alsó tagozatban sokszor találkoztak a számegyenessel a gyerekek, de

lehet, hogy némelyikük például az 5 helyét nem egy pontnak, hanem a 0 és 5

közötti szakasznak látja.

Ne csak olyan számegyenest lássanak, amelyen a 0 és az egység jól leolvasható,

hanem két bármilyen szám helyével adottat is.

Jelöltessünk meg többféle számsorozatot ugyanazon a számegyenesen, ezzel el®-

készíthetjük például a közös osztó, a közös többszörös fogalmát.

Lépegessenek a tanulók adott számmal el®re, hátra a számegyenesen. Ez egyrészt

el®segíti a számfogalom megszilárdulását, másrészt el®készíti az egész számok

összeadását és kivonását.

Ne csak �vízszintes helyzet¶" számegyenest lássanak. Gondoljunk például a koordi-

nátatengelyek helyzetére, amir®l majd kés®bb tanulnak.

Jelöltessünk számközt is. Ilyenkor ne feledkezzünk meg az alaphalmaz szerepér®l,

meghatározó voltáról.

Ha az alaphalmaz a természetes számok halmaza, akkor az 5-nél nagyobb és 10-nél

kisebb számok helye a számegyenesen négy pont:

0 5 10� � � �

Ha az alaphalmaz a racionális számok halmaza, akkor mindenütt s¶r¶n helyezked-

nek el a számok. Ezt a s¶r¶séget már szakasszal szoktuk jelölni:

0 5 10

40

Kisebb, nemkisebb; nagyobb, nemnagyobb

A matematkai pontosság miatt tisztáznunk kell, hogy a �kisebb" (< ) tagadása nem a

�nagyobb", hanem a �nagyobb vagy egyenl®", más szóval �nemkisebb" (= ). Hasonlóan

a �nagyobb" tagadása a �nemnagyobb".

Ezeket a kapcsolatokat célszer¶ konkrét halmazokon megjelenítenünk. A tagadásnak

(negációnak) mint logikai m¶veletnek a halmaz kiegészít® halmaza (komplementere) fe-

lel meg. Tisztáznunk kell, hogy ha (nyitott mondattal) megadunk egy halmazt, az azt

jelenti, hogy az alaphalmaz minden elemér®l eldönthetjük, hogy beletartozik-e a hal-

mazba, vagy sem. Az alaphalmaznak azok az elemei, amelyek nem tartoznak az adott

halmazba, alkotják a halmaz kiegészít® halmazát. Halmazábrán ezt úgy jeleníthetjük

meg, hogy minden �halmazkarikához" két címke tartozik, a �bels®" a halmazt, a �küls®"

a halmaz kiegészít® halmazát jelöli.

Fontos, hogy számegyenesen is szemléltessük a számok egymáshoz való viszonyát és

az egyszer¶ egyenl®tlenségek megoldáshalmazát. Ha egy-egy beosztás például ezret

jelent, akkor már tisztázhatjuk az �üres", illetve �nem üres karika" szerepét is a szemlél-

tetésben. Például:

1000 < x 5 4000 1000 5 x < 4000

0 5000 0 5000

A természetes számok kerekítése

Minden évfolyamban követelmény a számok (dolgok sokaságának), mennyiségek, m¶-

veletek eredményeinek megbízható becslése. A megfelel®, célszer¶ becslés az ellen-

®rzés alapja. A becsült értéket általában kerekített értékkel adjuk meg. A gyakorlati

életben is sokszor találkozunk a kerekített számokkal (értékekkel). A statisztikai adatok

rendszerint ilyenek.

A kerekített értéket most se tévesszük össze a közelít® értékkel. Sokszor el®fordul, hogy

a két fogalom összemosódottan jelenik meg, vagy egymást helyettesít® szavak, vagy

azonos tartalom van mögötte. Ötödik osztályban sem tudjuk a kett®t élesen megkü-

lönböztetni egymástól. A közelít® érték fogalma még túlságosan elvont. Majd hatodik

osztályban visszatérünk rá, amikor a tizedes törtek ismeretében egyre pontosabban

írhatjuk le a mérés eredményét, a mennyiségeket.

A méréssel kapott közelít® értéket rendszerint kerekítjük. Például a Kékes megközelít®-

leg 1014 méter, ennél pontosabban már nem is célszer¶ megmérni. Ezt a magasságot

kerekíthetjük tízesekre is (1010 m), százasokra is (1000 m). Ez most megegyezik az

ezresekre kerekített értékkel is.

A közelít® érték egy intervallumban bármely számot jelenthet. Ezért a számegyene-

sen egy szakasz bármely pontja megfelelhet a számnak. Szemléletesen úgy is szokták

mondani, hogy a közelít® értéknek egy szakasz felel meg a számegyenesen.

A számok kerekítését az alsó tagozatban szerzett tapasztalatok, ismeretek alapján vé-

gezzük.

Megállapítjuk, hogy milyen értékre kerekítünk. A kerekítés értékének megállapítását

befolyásolhatja a szám, mennyiség nagysága és a kerekítés célja, a kerekített érték

41

felhasználása. Szöveges feladatok, gyakorlati problémák esetén ezt nem nehéz eldön-

teni. Például, ha Miskolc és Szeged lakosságának számát hasonlítjuk össze, akkor a

tízezres pontosság is elegend®. De ha azt szeretnénk megállapítani, hogy egy adott tan-

évben hány általános iskolai tanulóra lehet számítani, akkor már a népesség pontosabb

megállapítására van szükség.

A gyakorlásra nemcsak most, hanem a teljes tanév folyamán érdemes a minden évben

megjelen® Statisztikai zsebkönyv adatait felhasználni. Egy-egy területtel kapcsolatos

adathalmaz kerekítése, nagyságrendjük megállapítása, esetleg gra�kon készítése cso-

portmunkával is történhet. Minden csoport más-más adathalmazt dolgozhat fel. Így

kevesebb id® alatt több oldalról ismerkedhetnek meg a tanulók például Magyarország

népességi, földrajzi és gazdasági adataival, mint ha a teljes osztály közös munkájával

végeznénk ilyen vizsgálatokat.

A természetes számok összeadása és kivonása

Az összeadás és a kivonás tulajdonságai

Ebben a részben a hiányok pótlására, a m¶veletek értelmezéséhez, az eredmény becs-

léséhez, írásbeli elvégzésükhöz, a szöveges feladatok megoldásának stratégiájához

adhatunk segítséget. Ha azt tapasztaljuk, hogy az osztály biztos tudással került 5. osz-

tályba, a gyerekek biztosan oldják meg a feladatokat, akkor ezt a részt elhagyhatjuk, és

rátérhetünk az összeadás és kivonás tulajdonságainak a tárgyalására.

1. A m¶veletek értelmezése során fontos a tartalmi sokoldalúság.

Az összeadás

Közös elem nélküli halmazok egyesítésének számossága. Ilyenkor az összea-

dandóknak nincs megkülönböztetett szerepük. Például:

Janinak 30 forintja van, Misinek 40 forintja. Mennyi van kett®jüknek összesen?

Hozzávetés. Például:

Janinak van 30 forintja, még gy¶jt hozzá 40 forintot. Mennyi lesz?

�Valamennyivel több". Például:

Janinak 30 forintja van, Misinek 40 forinttal több. Mennyi van Misinek?

A kivonás

Az egyesítés megfordítása. Például:

Janinak és Misinek együtt 70 Ft-ja van, Janinak 30 Ft-ja van. Mennyi van

Misinek?

A kivonás mint elvétel. Például:

Jani 30 forintjából elköltött 10 forintot. Mennyi maradt?

�Valamennyivel kevesebb". Például:

Misinek 40 Ft-ja van, Janinak 10 Ft-tal kevesebb. Hány forintja van Janinak?

Ezek a gondolatok nyilvánvalónak látszanak, de a gyönge felkészültség¶ osztályok-

ban érdemes ilyen részletességgel is átismételni a korábban tanultakat. Nemcsak a

matematikai gondolatok miatt, hanem a szabatos, érthet® matematikai nyelv gya-

korlása miatt is. (Még kés®bb is sokszor el®fordul { különösen szöveges feladatok

42

egyenlettel történ® megoldásakor {, hogy a kisebbet hozzáadással akarják kifejezni

a nagyobból.)

2. Az írásbeli összeadás és az írásbeli kivonás lépései, a lépések indoklása.

A kés®bbiek { például az írásbeli osztás { miatt hasznos, ha az írásbeli kivonást

�pótlásnak" tekintjük.

3. A komponensek elnevezése, tudatos használata a feladatokban.

4. Az eredmény becslésének módja.

5. Szöveges feladatok megoldásakor a szükséges és a felesleges adatok megkülön-

böztetése, a hiányzó adatok megállapítása. Az adatok közötti összefüggés(ek) leí-

rása a matematika nyelvén.

6. A fordított szövegezés¶ feladatok értelmezése.

�Az összeadás és kivonás tulajdonságai" cím¶ részben a két m¶velet azonosságait dol-

gozza föl a tankönyv.

Az összeg tagjainak felcserélhet®ségével, csoportosíthatóságával már alsó tagozatban

is sokat foglalkoztak a gyerekek. Valószín¶, hogy nemcsak értik, hanem alkalmazni is

tudják ezeket az összefüggéseket.

Az összeg és különbség változásait igen részletesen, szemléletesen dolgozza fel a tan-

könyv 1.47{1.55. feladatsora. Ezekben a feladatokban a komponensek viszonylag kis

számok, és fokozatosan változik hol az egyik, hol a másik, majd mind a kett®. Nincs

leírva sem az összeg, sem a különbség változásának szabálya, de minden esetben kér-

jük a gyerekekt®l a tapasztalatok szóbeli megfogalmazását és esetenként a matematika

nyelvére való lefordítását is.

Az itt tanult azonosságok egyik célja a számolási eljárások gyorsítása, könnyítése, másik

célja az algebrai átalakítások el®készítése, alkalmazásuk az egyenletek megoldásában.

Fejszámolás során adjunk sok olyan feladatot, amelyeknek a megoldása a tanult össze-

függések alkalmazásával egyszer¶bben oldható meg. Például:

329 + 98 = 429 { 2 = 427; 329 { 98 = 229 + 2 = 231:

A természetes számok szorzása

A szorzás értelmezése

1. Ismételt összeadás.

8 � 5 = 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 vagy 8 � 5 = 8 + 8 + 8 + 8 + 8:

2. Két halmaz elemeib®l alkotható párok száma.

A második értelmezéssel ritkábban találkozunk, a tankönyv sem tér ki erre. A kombina-

torikai feladatokhoz kapcsolódva ismerjék föl a gyerekek ezt az értelmezést.

Mindkét értelmezésb®l felismerhet®, hogy a szorzat tényez®i felcserélhet®k. Alsó tago-

zatban (a programtól függ®en különböz® sorrendben) az egyik tényez®t szorzandónak,

a másikat szorzónak nevezték. Fels® tagozatban a tényez®k felcserélhet®sége és az

algebrai kifejezések el®készítése miatt fokozatosan megszüntetjük ezt a megkülönböz-

tetést. Esetleg a szöveges feladatok megoldásakor, az összefüggések matematika

nyelvére való lefordításakor különböztetjük meg a tényez®ket.

43

Ha a szorzó 0 vagy 1, akkor a szorzás nem tekinthet® ismételt összeadásnak, ilyenkor

jól alkalmazható a második értelmezés. Ha akárhány tényez® közül az egyik 0, akkor a

szorzat is 0. Ha két tényez® közül az egyik 1, akkor a szorzat a másik tényez®. Annak

ellenére, hogy egyszer¶nek t¶nnek ezek a gondolatok, a kés®bbiek miatt (például az

összeg szorzattá alakítása) foglalkoznunk kell velük.

A tankönyv szemléletesen dolgozza fel az összeg és különbség szorzásának lehet®sé-

geit. Az összeggel való szorzás az írásbeli szorzást készíti el®.

Az írásbeli szorzást csak akkor tárgyaljuk a tankönyvben található részletességgel, ha

a tanulók felkészültsége miatt szükségesnek tartjuk. Arról feltétlenül gy®z®djünk meg,

hogy értik-e a mechanikussá vált lépések okait.

Az írásbeli szorzás megbízható, gyors elvégzésének feltétele a biztos fejszámolás. Minél

többet gyakoroltassuk a szorzótáblát, a 10 hatványaival és egyéb többszöröseivel való

szorzás szóbeli elvégzését (például az óra eleji �el®készítés" keretében is).

Az id® mérése

Legalább 1 órát fordítsunk az id® mérésér®l tanultak felelevenítésére és kiegészítésére.

A tankönyv tartalmazza. A különböz® mennyiségek közül az id® becslésében vagyunk

még mi feln®ttek is a legbizonytalanabbak. Az id®érzék fejlesztésére fordítsunk gondot

most is és a tanév folyamán rendszeresen. Becsüljenek és mérjenek meg a gyerekek

id®közöket.

Például: Mérjék meg, mennyi id® alatt érnek haza, mennyi id® alatt mondanak el egy

tanult verset. Mérjenek ki másodpercet is mutató órával 30 másodpercet, 1 percet,

másfél percet stb. Tanulmányozzuk a rádió- és televízióm¶sort, valamint a vasúti me-

netrendet. Mennyi ideig tart a mese (vagy bármilyen más m¶sor) a rádióban, mennyi

ideig a televízióban? Mennyi id® alatt ér a személyvonat Miskolcról Budapestre? Mennyi

id® szükséges a gyorsvonatnak, az expresszvonatnak? Miskolcról indulva Budapest felé

hol lesz 1 óra múlva a személy-, a gyors-, az expresszvonat? Budapestr®l indulva

hol lesz 1 óra múlva? Körülbelül hány kilométert tesznek meg a különböz® sebesség¶

vonatok fél óra alatt?

Az id® mértékegységei nem a tízes számrendszert tükrözik, hanem részben a hatvanast,

ez a tény jó példa annak igazolására, hogy a gyakorlatban más számrendszerek is lé-

tezhetnek. A törtekkel, törtszámokkal majd kés®bb foglalkozunk részletesen, de az alsó

tagozatos tapasztalatok alapján már most is beszélhetünk fél, negyed, háromnegyed,

másfél, harmad stb. óráról, percr®l is.

Osztó, többszörös

A gyerekek számára sem az osztó, sem a többszörös nem új kifejezés. Mindkett®vel

gyakran találkoztak az alsó tagozatban is. Például soralkotással, szorzótáblával, száme-

gyenesen való lépegetéssel, szorzattá alakítással kapcsolatos feladatokban. Új gondo-

lat, hogy az osztó{többszörös fogalmát az osztópárokkal és nem az osztás m¶veletével

értelmezzük.

Tudatosítsuk, hogy az oszthatóságot csak egész számok, jelen esetben csak a termé-

szetes számok körében értelmezzük. Ezt azért kell most hangsúlyoznunk, mert kés®bb,

44

a racionális számok körében maradéktalanul elvégezhet® az osztás olyankor is, amikor

az osztandó nem többszöröse az osztónak. Például: 5 : 2 = 2,5 , de a hányados most

nem egész szám.

A számok tulajdonságaival, a számelmélettel 6. osztályban majd részletesebben is

foglalkozunk. Most minél több és minél többféle tapasztalatot gy¶jtünk olyan fogalmakról,

amelyek a szorzással, osztással kapcsolatban különösen nagyon fontosak.

Tudáspróba

Ha az alsó tagozatban tanulóink nem szereztek biztos, alapos és alkalmazásképes tu-

dást a számokról és m¶veletekr®l, akkor az eddigi részek átismétlése, begyakorlása,

a hiányosságok pótlása már mintegy 5{6 hetet felemésztett. Ebben az esetben cél-

szer¶ diagnosztizálnunk, hogy hol tartunk, elérték-e a gyerekek azt a szintet, amelyr®l

továbbléphetünk.

A természetes számok osztása

Eddig is, most is és a kés®bbiek folyamán is nagyon sok el®ny származik abból, ha az

osztást a szorzás inverzeként kezeljük. Így az osztásról tanultakat a szorzásról tanultak-

kal tudjuk magyarázni, igazolni.

Ha alsó tagozatban ugyanebb®l a tankönyvcsaládból tanultak a tanulók, akkor a szorzás

értelmezésekor azonnal, újra és újra �felfedezték" a tényez®k felcserélhet®ségét. Így már

kezdetben sem különböztették meg a szorzót és a szorzandót. A szorzás kommutativi-

tásából következett, hogy csak egyféle osztást értelmeztek, nem tekintették különböz®

m¶veletnek a �bennfoglalást", illetve a �részekre osztást". Ezekben az osztályokban a

tankönyv 1. példájának feldolgozásakor (Tk. 49. oldal) sem érdemes foglalkoznunk a

�kétféle osztás" értelmezésével.

Alsó tagozatban vannak olyan programok, amelyek szerint m¶veleti jellel is megkülön-

böztetik az osztás kétféle értelmezését. A bennfoglaláskor ismeretlen szorzót, a részekre

osztáskor ismeretlen szorzandót keresnek.

A szöveges feladatok megoldása során ismét felvet®dik az osztás kétféle értelmezése:

Bennfoglaláskor az osztó ugyanolyan mennyiség, mint az osztandó, és a hányados egy

szám, majd kés®bb tanítjuk, egy arány. Például: 24 km : 4 km = 6. (A 24 km-ben a

4 km 6-szor van meg.)

Részekre osztáskor az osztó egy szám, a hányados az osztóval azonos mennyiség.

Például: 24 km : 4 = 6 km, vagy 24 km / 4 = 6 km. (A 24 km egynegyede 6 km.)

Fordítsunk gondot a 0 szerepére. A gyerek számára nem természetes az, hogy például

a 0 : 6 hányados értelmezhet®, a 6 : 0 hányados pedig nem.

A hányados változásait a Tk. 1.82. feladatsorával vizsgálhatjuk. A szerzett tapasztalato-

kat fogalmaztassuk meg a gyerekekkel. A tankönyvben ezzel kapcsolatban nem találunk

szabályt, de anélkül is érteniük kell és jól kell alkalmazniuk a tapasztalt összefüggéseket.

A hányados változásairól tanultakra fogunk majd építeni a tizedestörtek osztásának ta-

nításakor.

Ebben a fejezetben ismételjük át az egyjegy¶ osztóval való osztást. Ha a tanulók ezt

45

az algoritmust már 3. osztályban tanulták, akkor néhány feladat megoldásával kell®en

feleleveníthetjük a tanultakat. Ha csak 4. osztály végén foglalkoztak vele, akkor több

órát kell szánnunk a begyakorlására.

A m¶veletek sorrendje

A négy alapm¶velet értelmezésének áttekintése után feladhatunk olyan összetett szám-

és szöveges feladatokat, amelyekben oda kell �gyelnünk a m¶veletvégzés sorrendjé-

re. Más feladatok feltételezik a zárójelek biztos használatát. A fejezet feladatsorainak

megoldatásával tudatosíthatjuk a szabályokat.

A helyes m¶veleti sorrend begyakorlására nem elegend® az az egy-két óra, amelyet

elkülöníthetünk erre a témára. Házi feladatként, a folyamatos ismétlés során újra és újra

adjunk fel olyan feladatokat, amelyekkel gyakoroltathatjuk az itt tanultakat.

Az összeg és különbség osztása

Most a szemléletes példák után a tankönyvben szabályok is találhatók. De ezeket a

szabályokat csak feladatok megoldásával kapcsolatban kérjük a tanulóktól. Ezeket az

azonosságokat most azért tartjuk fontosnak, mert mind a m¶veletek sorrendjének meg-

állapításakor, mind az írásbeli osztás elvégzésekor alkalmazzuk az összeg és különbség

osztásáról tanultakat.

Adjunk sok olyan szóbeli számolási feladatot, amely egyszer¶bben megoldható a most

tanultak felhasználásával. Például: 396 : 4; 2016 : 4 { 16 : 4.

Osztás többjegy¶ osztóval

Már korábban is fehívtuk a �gyelmet arra, hogy a helyi tanterv alsó tagozatos és fels®

tagozatos matematikaprogramját az alsó tagozatos kollégákkal közösen célszer¶ kidol-

gozni. Az egyik kényes kérdés lehet, hogy az alsó tagozatban megtanítsuk-e a több-

jegy¶vel való osztást. Ha úgy döntünk, hogy nem, akkor erre a témára több id®t kell

fordítanunk, mint amennyit a tanmenetjavaslat ajánl.

Ha az alsó tagozatos programban szerepel a többjegy¶ számmal való osztás, akkor sem

várhatjuk, hogy minden tanuló begyakorolt tudással rendelkezzék ezen a téren.

Lehet, hogy az osztály tudása nem teszi szükségessé, hogy olyan részletességgel

foglalkozzunk az írásbeli osztással, mint ahogyan a tankönyv teszi. Ebben az esetben

is az osztás végzése során minél többször kérjünk magyarázatot az egyes lépésekr®l.

Az írásbeli osztás végzésekor a �0" okozza a legtöbb problémát, tévedést. Például:

9708 : 48 = 202 9648 : 48 = 201 9624 : 48 = 200

108 048 024

12 0

Ilyen esetben van igen nagy szerepe az el®zetes becslésnek, a becsült és a kapott

hányados összehasonlításának és az ellen®rzésnek. A bizonytalankodóktól még több

alkalommal kívánjuk meg, hogy a �részletosztandó" és a kapott �részlethányados" valódi

értékét hangsúlyozzák, úgy ahogyan a mintapéldában is van.

46

Arányos következtetés

Arányossági következtetésekkel korábban is találkoztak a gyerekek. A szorzás fogalmá-

nak értelmezéséhez nélkülözhetetlenek azok a feladatok, amelyekben �egyr®l többre"

következtetünk, míg az osztás értelmezésekor azok, amelyekben �többr®l egyre". A

fejezet kidolgozott példái tulajdonképpen összegzik a korábbi tapasztalatokat.

A szöveges feladatok megoldása során vizsgálhatjuk, hogy az egyik mennyiség válto-

zása maga után vonja-e a másik mennyiség változását, vagy sem. Ha igen, akkor

hogyan. Lehet, hogy arányosan, lehet, hogy nem arányosan. Ha arányosan, akkor a

két mennyiség ugyanannyiszorosára változik-e, vagy sem, hanem pontosan fordítva.

Mindegyik feladatféleség megjelenik a feladatokban. Most is igen nagy szerepe van a

becslésnek és az ellen®rzésnek. Legyen gondunk arra is, hogy a gyakorlati életben az

arányosságnak van határa!

Ötödik osztályban nem akarjuk az egyenes és fordított arányosságot de�niálni. Majd

hatodik osztályban mindkett®t mint függvényt is tárgyaljuk, és a hányadost arányként is

értelmezzük.

Egyenlet, egyenl®tlenség

Az eddigi fejezetekben, az aktuális feladatokhoz kapcsolódóan folyamatosan foglalkoz-

tunk egyszer¶ egyenletek, egyenl®tlenségek megoldásával.

Ebben a fejezetben tudatosítjuk, pontosítjuk és elmélyítjük az eddig tanultakat.

Hasonlóan járunk el majd a 3., 5. és 7. fejezet tárgyalása során is, ezért a nehe-

zebben haladó csoportokban kés®bbre halaszthatjuk az egyenletek, egyenl®tlenségek

alaposabb feldolgozását.

Gra�konok

A gra�konok két halmaz elemei közti összefüggéseket, vagyis relációkat szemléltetnek.

Készíthetünk a gyerekek jellemz® adatairól is gra�konokat. Például a magasságukról.

Ha ezt év végén is elkészítjük, érdekes lesz összehasonlítani, megállapítani, hogyan

változott egy-egy gyerek magassága az év folyamán, hogyan változott az osztály magas-

ságrendje. Könnyen el®állíthatunk ilyen gra�kont: egy kartonra rajzolt tengelyen minden

gyereknek megjelöljük a helyét. Ide a gyermek olyan ragasztószalagot ragaszt, amely-

nek a hossza annyi milliméter, ahány centiméter a tanuló magassága.

A gyakorlatra nevelés miatt igen hasznos, ha a gyerekek újságból, folyóiratból, statiszti-

kai zsebkönyvb®l maguk is gy¶jtenek gra�konokat. A szükségesnél kevesebb szerepel a

tankönyvben. Ennek az az oka, hogy a gazdasági és kulturális élet adatai egy-két éven

belül megváltoznak. Az aktuális adatok vizsgálata jobban megfelel nevelési céljainknak.

Gyakorlófeladatok

Törd a fejed!

Az összefoglalást, gyakorlást, felzárkóztatást és tehetséggondozást nem oldhatjuk meg

47

e két fejezet feladataival. Támaszkodjunk a Matematika 5. Gyakorló, illetve a Matema-

tika 5{6. Feladatgy¶jtemény feladatsoraira.

Nem tízes számrendszerek

A gyerekek csoportosítással, �leltározással" jutnak el a különböz® számrendszerekhez.

A tárgyakat például ötösével csoportosítják, majd a csoportokat ismét csoportosítják, és

így tovább, míg a csoportosításra lehet®ség van. Felismertetjük, hogy a természetes

szám leírásához annyiféle számjegyre van szükség, mint a számrendszer alapszáma.

A kettes számrendszerben kett®re: 0, 1; a hármasban háromra: 0, 1, 2; a tízesben

tízre stb.

A különböz® számrendszerekkel azért foglalkozunk, hogy a tanuló mélyebben megért-

se a tízes számrendszer fogalomrendszerét. A fels® tagozatban (kimondottan csak az

érdekl®d®bb tanulókkal foglalkozva) kiegészít® anyagként, esetleg szakköri feldolgo-

zásban kib®víthetjük és elvontabb szintre fejleszthetjük a tanultakat. Követelményeket

semmiképp se támasszunk ehhez az anyagrészhez kapcsolódva.

48

2. Kerület, terület, felszín, térfogat

Ebben a fejezetben is felelevenítjük, tudatosabbá tesszük, rendezzük és kib®vítjük

az alsó tagozatban tanultakat. Olyan ismeretek tartoznak ehhez a részhez, amelyek

közvetlenül kapcsolódnak az alsó tagozatos tananyaghoz, de azokkal az anyagrészekkel

is szoros kapcsolatba hozhatók, amelyekkel az ötödik és hatodik osztályban ezután

foglalkozunk.

Itt is felhívjuk a �gyelmet arra, hogy a tankönyv minden fejezetét úgy építettük föl, hogy

teljes feldolgozásához egy átlagos általános iskolai osztályban több id®re lenne szük-

ség, mint amennyi id® a rendelkezésünkre áll. Ehhez kapcsolódik még a Matematika

5. Gyakorló 7. és 8. fejezetének nagyon sok feladatsora. Az így kialakított b® ke-

ret messzemen®en biztosítja és kiszolgálja a különböz® helyi tantervek törekvéseit, a

kollégák egyéni elképzeléseit, az osztályra és gyerekre szabott tervezést.

A tananyag-feldolgozás csomópontjai

1. A geometriai alakzatokról tanultak áttekintése.

Elnevezések, alapszerkesztések, a körz® és a vonalzó használatának gyakorlása.

2. Hosszúságmérés, a sokszögek kerülete.

3. A terület szemléletes fogalma, mértékegységei. A téglalap (négyzet) területe.

4. Testek vizsgálata, ábrázolása, építése. A téglatest (kocka) hálója, felszíne.

5. Térfogat szemléletes fogalma. A téglatest (kocka) térfogata, a térfogat mértékegy-

ségei. �rtartalommérés.

Kapcsolódási lehet®ségek

A korszer¶ matematikatanításban az egyes témaköröket nem egymástól elszigetelten

tárgyaljuk. A tankönyv, a Matematika 5. Gyakorló és a Matematika 5{6. Feladat-

gy¶jtemény feladatait úgy szerkesztettük meg, hogy a gyakorló pedagógus nevelési és

oktatási célkit¶zéseinek, a tanulók felkészültségének, érdekl®dési körének �gyelembe-

vételével, megfelel® mélységben és tartalommal kapcsolatot teremthessen a matematika

különböz® területei között. Ez a kapcsolatteremtés a következ® célokat szolgálhatja:

A korábban tanultak új szempontok szerinti megvilágítása, rendszerezése, folyama-

tos ismétlése, kiegészítése, begyakorlása, a hiányosságok pótlása.

A kés®bbiekben tanítandó anyagrészek el®készítése a tapasztalatszerzés szintjén.

A tanultak alkalmazása új területeken. Az újonnan és a korábban tanultak �össze-

szövése". Ezzel elkerülhetjük az ismeretek megmerevedését, vagyis azt a nem

kívánt jelenséget, hogy a tanuló csak a tanult körülmények között képes alkalmazni

tudását.

49

Komplex matematikai problémák megoldásával az ötletgazdagság, a rugalmasság,

a problémameglátó és problémamegoldó képesség fejlesztése.

Egyes témakörökkel (halmazok, logika; relációk, függvények, sorozatok; kombina-

torika, számítástechnika), illetve anyagrészekkel (például: egybevágósági transzfor-

mációk, hasonlóság, tengelyes szimmetria) az ötödik osztályban nem foglalkozunk

külön tanórákon, hanem az aktuális tananyag elmélyítésére, a matematikai képes-

ségek fejlesztésére szinte minden tanórán eszközjelleggel alkalmazzuk ezeket.

Halmazok, logika

A halmazelmélet és logika ismeretrendszerét, eszköztárát a konkrét osztály felkészültsé-

gének megfelel® mélységben alkalmazzuk a felfedezett összefüggések tudatosítására,

a tanultak rendszerezésére.

Az alakzatokat ponthalmazoknak tekintjük. Két alakzat közös pontjai a két ponthal-

maz közös részének elemei. Ezt a szemléletet a 4. fejezet feladatainak megoldása

során gyümölcsöztethetjük.

Az alakzatok különböz® szempontok szerinti csoportosítása során alkalmazhatjuk a

részhalmaz, az osztályozás fogalmát, a logikai és halmazm¶veleteket. Tisztáznunk

kell például a négyszögek halmazának, a téglalapok halmazának és a négyzetek

halmazának a viszonyát; hasonló módon a téglatestek halmazának és a kockák hal-

mazának a viszonyát.

Számtan, számelmélet, algebra

Ezt az anyagrészt azért is tárgyaljuk közvetlenül az év eleji ismétlés után, hogy el®-

segítsük a számolási készségek és képességek fejlesztését, az ezen a téren észlelt

hiányosságok pótlását.

Ha a tanulók gyakorlottak a fejszámolásban és az írásbeli m¶veletvégzésben, akkor a

számítások egy részében használhatják a zsebszámológépet. Ez id®t szabadít fel az

érdekesebb matematikai problémák számára.

A kerületszámítással az összeadást, a terület- és térfogatszámítással a szorzást gyako-

roltathatjuk. A mértékegységek átváltása a 10-zel, 100-zal stb. való szorzás és osztás

gyakorlására ad lehet®séget.

A kerületszámításhoz kapcsolódva felismertethetjük az összeg tagjainak a felcserélhe-

t®ségét (az összeadás kommutativitását). A téglalap területének négyzetlapokkal való

lefedésekor kétféleképpen választhatjuk meg az els® lefedend® sort, ezzel a ténye-

z®k felcserélhet®ségét (a szorzás kommutativitását) szemléltethetjük. Hasonló módon a

téglatest térfogatszámítása esetén a tényez®k tetsz®leges csoportosítására (a szorzás

asszociativitására) mutathatunk rá. A téglalap kerületének és a téglatest felszínének a ki-

számításakor feleleveníthetjük a m¶veletek sorrendjér®l és a zárójelek használatáról (az

összeg szorzásáról) tanultakat. Kézenfekv®en szemléltethetjük a szorzat változását az

olyan feladatokban, amelyekben a téglalap oldalainak változásával vizsgáljuk a terület

változását.

A szorzás és az osztás közti összefüggésekre világít rá a Tk. 2.25. feladat. Hasonló

50

feladatokkal folyamatosan gyakoroltathatjuk az írásbeli osztást, továbbá a tapasztalat-

szerzés szintjén el®készíthetjük az egyenletek megoldásának tanítását is.

El®készíthetjük a tizedestörtekkel végzend® m¶veleteket az olyan kerület- és területszá-

mításos feladatok megoldásával, amelyekben az adatokat nem egyetlen mértékegység-

gel adjuk meg (pl. a = 7 m 5 dm; b = 2 m 32 cm).

Több olyan feladatot fogalmaztunk meg (Tk. 2.15., 2.44.), amelyekben az adatok közti

összefüggést felírhatjuk egyenlet formájában is, majd a szemléletre támaszkodva követ-

keztetéssel (két, három lépésben) eljuthatunk a megoldáshoz. Ezekkel a feladatokkal

el®készíthetjük az egyenletek megoldásának tanítását.

Az osztó, többszörös, osztópárok, tényez®kre bontás fogalomrendszerét elmélyíthetjük

például a Tk. 2.39. feladat diszkussziója során.

Relációk, függvények, sorozatok

A függvénytani ismeretek alkalmazásával hatékonyan el®segíthetjük azt, hogy a tanulók

�felfedezzék" a különböz® összefüggéseket, önállóan jussanak el az általános formulák

megfogalmazásához, továbbá tapasztalatot szerezzenek kés®bb tanulandó anyagré-

szekkel kapcsolatosan. Ugyanakkor ezekkel a feladatokkal gyakoroltathatjuk a gra�ko-

nok használatát és a szabályjátékokat is.

Ismerjék fel a tanulók, hogy a mértékegység és a mér®szám változása között fordított

arányosság van (az elnevezést és a fogalmat itt még nem tudatosítjuk).

Felismerhetik, hogy hasonló síkidomok, testek esetén a hosszúságegység valahány-

szoros változásával a hozzá tartozó területegység négyzetesen, míg a hozzá tartozó

térfogategység köbösen változik (Tk. B2.07., 2.56., B2.30., B2.31.).

A téglalap területképletének felismeréséhez az egyenes arányosságot és a �szabályjá-

tékokat" hívhatjuk segítségül.

Geometriai széls®érték-feladatok megoldásával színesebbé tehetjük óráinkat, ugyanak-

kor a számelméleti ismeretek, a fejszámolás gyakorlásával, a gra�konok alkalmazásával,

a négyzetr®l és a kockáról szerzett ismeretek elmélyítésével nagyon összetett nevelési

és képzési feladatokat oldhatunk meg.

A sorozatokhoz is kapcsolódik a Tk. 2.56., B2.07 feladat.

A geometria, mérések egyéb témakörei

Hosszúságmérés, a hosszúság mértékegységei.

A síkidomok, sokszögek különböz® szempont szerinti csoportosítása során a tanulók

felismerhetik a tengelyes szimmetriát.

Hasonlóság, hasonló alakzatok kerületének, területének, illetve felszínének és térfoga-

tának az aránya (Tk. 2.56., B2.07. feladat).

Kombinatorika

Egyes geometriai feladatok lehetséges megoldásainak a megkeresése kombinatorikai

látásmódot is feltételez (Tk. B2.03{B2.05., 2.39. c) feladat).

51

Kevésbé szokványos kombinatorikai problémát fogalmazhatunk meg a 2.31. feladattal

kapcsolatosan.

Ha az osztály felkészültsége olyan, hogy az elemi rutinfeladatok gyakorlására nem kell

sok id®t fordítanunk, akkor érdemes külön csokorba kötni ilyen feladatokat, és a kerü-

let-, terület-, felszín- és térfogatszámítás el®készítéseként teljes órában foglalkozhatunk

a kombinatorikai problémákkal.

Tanmenetjavaslatok

Ebben a fejezetben két tanmenetjavaslatot dolgoztunk ki annak bemutatására, hogyan

lehet egyéni elképzeléseinkhez és a feltételekhez igazítanunk a tananyag tartalmát és a

haladási ütemet. A két változat els®sorban a koncentrálási lehet®ségek kihasználásában

tér el egymástól, vagyis abban, hogy az eddig tanult matematikai ismeretanyaggal milyen

területen, milyen mélységben és milyen módon teremtünk kapcsolatot.

A változat

Ezt a változatot olyan osztályok számára terveztük, amelyekben a mindennapi gondok

er®sen jelentkeznek, ezért hangsúlyozzuk a felzárkóztatást. Itt szorosabban követjük a

tankönyv felépítését, mint a másik tanmenetben.

Óra Aktuális tananyag Feladatok

Folyamatos ismétlés, koncentráció

1{2. Testek, felületek, vonalak; szakasz, egyenes, félegye-

nes; szakaszmásolás.

Ismerkedés a sík- és térgeometriai modellez®készlettel.

Távolságmérés, mérések térképen, a körz® használata

távolságméréshez. A körz® és a vonalzó használatának

gyakorlása alapszerkesztésekben.

Tk. 2.01{2.05.;

Mgy. 8.01{8.03.,

8.06.

3. Síkidomok, sokszögek csoportosítása különböz® szem-

pontok szerint (a síkgeometriai modellez®készlet eleme-

inek vagy kartonpapírból kivágott síkidommodelleknek a

vizsgálata, rendszerezése).

A háromszög és a négyszög fogalma, jelölések, elneve-

zések (csúcs, oldal, átló).

A sokszög mint a háromszög, négyszög, ötszög, �

általánosítása.

Halmazok, logika. Tengelyesen tükrös síkidomok.

El®készít® jelleggel (házi feladatként): A sokszög kerületé-

nek fogalma, megszerkesztése félegyenesre.

Tk. 2.06., 2.08.;

Mgy. 8.07., 8.116.

52

Óra Aktuális tananyag Feladatok

Folyamatos ismétlés, koncentráció

4. A sokszögek kerülete. A téglalap, négyzet kerületének

kiszámítása konkrét esetekben.

Az összeadás gyakorlása, az összeadás tulajdonságai.

Hosszúságmérés, a hosszúság mértékegységei. Körz®,

vonalzó használata. Hasonlóság.

Házi feladat, illetve folyamatos ismétlés több órán át:

Tk. 2.10{2.16.;

Mgy. 7.01{7.04.,

7.09{7.10.,

8.09{8.10., 8.15.

(+ 1 ó.) Gyakorlás (a kiegészít® órakeret terhére).

5. A terület fogalma. Négyzetrácsos füzetbe, milliméterpa-

pírra rajzolt síkidomok területének meghatározása.

Mgy. 8.18{8.20.;

Tk. 2.17{2.19.;

Mgy. 8.23{8.24.

Hosszúságmérés, a kerületszámítás gyakorlása. Egyenes

és fordított arányosság.

6{7. A téglalap (a négyzet) területe. A terület mértékegységei.

A mértékegységek átváltása.

Egyenes arányosság, szabályjátékok, gra�konok.

A szorzat változásai. A szorzás és osztás gyakorlása, szö-

veges, illetve a mindennapi élethez kapcsolódó feladatok.

Egyenletek.

A mértékegység és a mér®számának kapcsolata (fordított

arányosság).

A kerületszámítás gyakorlása.

Tk. 2.20{2.26.;

Mgy. 8.25{8.37.

(+ 1 ó.) Gyakorlás (a kiegészít® órakeret terhére).

8{9. A téglatest fogalma, elnevezések, a tulajdonságok vizs-

gálata, téglatestek ábrázolása, építése.

A téglatest hálója, felszíne konkrét feladatok kapcsán.

(A téglatest felszínének képletét nem tanítjuk.)

Az összeadás és a szorzás gyakorlása; zárójelek használa-

ta: az összeg szorzása.

Szükséges eszközök: Sík- és térgeometriai modellez®kész-

let. Kartonpapír, olló, öntapadó ragasztószalag. Színesrúd-

készlet. Téglatestmodellek.

Tk. 2.27{2.37.;

Mgy. 8.44{8.50.,

8.56., 8.60.

(+ 1 ó.) Gyakorlás (a kiegészít® órakeret terhére).

10{11. A téglatest térfogata, a térfogat mértékegységei.

A térfogat- és felszínszámítás gyakorlása.

A szorzat csoportosíthatósága. Oszthatóság. Egyenletek.

Szükséges eszközök: Színesrúdkészlet. Téglatestmodellek.

Köbméter-, köbdeciméter- stb. modell.

Tk. 2.38.,

2.40{2.43.;

Mgy. 8.62{8.64.;

8.70{8.71.

(+ 1 ó.) Gyakorlás (a kiegészít® órakeret terhére).

53

Óra Aktuális tananyag Feladatok

Folyamatos ismétlés, koncentráció

12. Az ¶rtartalom mérése. A mértékegységek átváltása.

Kapcsolat a térfogat és az ¶rtartalom mértékegységei

közt.

A térfogatszámítás gyakorlása. A tömeg mértékegységei.

Szükséges eszközök: �rmértékmodell, szabványos és al-

kalmi mér®edények, mérleg.

Tk. 2.46{2.47.;

Mgy. 7.12{7.14.

(+ 1 ó.) Gyakorlás (a kiegészít® órakeret terhére).

13{14. A hiányosságok pótlásának megszervezése.

Vegyes gyakorlófeladatok.

Tk. 2.48{2.55.;

Mgy. 8.31{8.32.,

8.34., 8.54.,

8.65{8.66.,

7.15{7.17.;

Fejleszt® értékelés. Tk. 2.58.;

Mgy. 10.03.

M¶veletek a természetes számok körében. Függvények,

sorozatok. A testek ábrázolásának el®készítése. Mérték-

egységek ismerete, átváltása.

B változat

Ezt a tanmenetjavaslatot átlagos képesség¶, de jó el®képzettséggel rendelkez® osztály

számára állítottuk össze.

Óra Aktuális tananyag Feladatok

Folyamatos ismétlés, koncentráció

1. Testek, felületek, vonalak; szakasz, egyenes, félegye-

nes; szakaszmásolás.

Távolságmérés, mérések térképen, a körz® használata tá-

volságméréshez. A körz® és a vonalzó használatának gya-

korlása alapszerkesztésekben.

Tk. 2.01.; 2.05.;

Mgy. 8.01{8.06.;

Fgy. 6.2.01.

2{3. Síkidomok, sokszögek csoportosítása különböz® szem-

pontok szerint (a síkgeometriai modellez®készlet eleme-

inek vagy kartonpapírból kivágott síkidommodelleknek a

vizsgálata, rendszerezése).

A háromszög és a négyszög fogalma, jelölések, elne-

vezések (csúcs, oldal, átló). A sokszög értelmezése,

de�níciója. Konvex síkidomok. Sokszögek.

Halmazok, logika. Tengelyesen tükrös síkidomok.

Tk. 2.06{2.09.,

B2.01{B2.02.;

Mgy. 8.07{8.08.,

8.116.;

Fgy. 6.3.01{02.,

6.3.04{05.

Téglalap, négyzet, kerületük értelmezése, kiszámítása,

az általános összefüggés felírása.

Tk. 2.13.{16.;

Mgy. 8.09{8.16.;

Fgy. 6.3.11.

54

Óra Aktuális tananyag Feladatok

Folyamatos ismétlés, koncentráció

4. Geometriai problémák megoldása a kombinatorika alkal-

mazásával.

A kerületszámítás gyakorlása. A terület-, a felszín- és a tér-

fogatszámítás el®készítése. Egybevágósági transzformáci-

ók. Oszthatóság.

Szükséges eszközök: Szívószál, logikai készlet. Sík- és tér-

geometriai modellez®készlet.

A kerületszámítás gyakorlása (házi feladatként és folyama-

tos ismétlésként).

Tk. 2.11.,

B2.03{B2.04.,

B2.22{B2.23.,

2.31., 2.39{2.40.;

Mgy. 8.24., 8.63.

5{6. A terület fogalma, mértékegységei. A téglalap területe. Tk. 2.18., B2.07.,

2.20{2.26.;

Egyenes arányosság, szabályjátékok, gra�konok. A szor-

zat változásai. Hasonlóság, hasonló síkidomok területének

aránya.

Mgy. 8.18{8.23.,

8.29., 8.31{8.32.,

8.34., 8.36{8.37.

7{8. Téglatestek építése. A téglatest hálója, felszíne, az álta-

lános összefüggés is.

A mértékegységek átváltása. A területmérés gyakorlása.

Szükséges eszközök: Sík- és térgeometriai modellez®kész-

let. Kartonpapír, milliméterpapír, olló. Ragasztószalag.

Téglatestmodellek.

Tk. 2.27{2.37.;

Mgy. 8.38{8.43.,

8.47{8.53., 8.61.;

Fgy. 6.5.01{02.,

6.5.04{06.,

6.5.11.

9{10. A téglatest térfogata, a térfogat mértékegységei. A mér-

tékegységek átváltása.

Az ¶rtartalom mérése.

A szorzat csoportosíthatósága. Oszthatóság. Egyenletek.

Hasonló testek térfogata. Sorozatok. A tömeg mérték-

egységei.

Szükséges eszközök: Színesrúdkészlet. Téglatestmodellek.

Köbméter-, köbdeciméter-modell; ¶rmértékmodell, mér®-

edények, mérleg.

A felszínszámításról tanultak meger®sítése.

Önértékelés otthoni munkában.

Tk. 2.38.,

2.39. a), b),

2.41{2.45.;

Mgy. 8.64{8.69.,

7.12{7.17.;

Fgy. 6.5.09{10.

11. Széls®érték-feladatok a tanultak elmélyítésére:

Adott kerület¶ téglalapok közül melyik területe a legna-

gyob?

Adott terület¶ téglalapok közül melyik kerülete a legki-

sebb?

Adott térfogatú téglatestek közül melyik felszíne a legki-

sebb?

Oszthatóság. Függvények, gra�konok.

Tk. B2.05{B2.06.,

2.40.;

Mgy. 8.25{8.26.

55

Óra Aktuális tananyag Feladatok

Folyamatos ismétlés, koncentráció

12{14. Vegyes gyakorlófeladatok.

Gyakorlati jelleg¶ szöveges feladatok, szöveges egyen-

letek.

Mérések terepen.

Szükséges eszközök: Mér®szalag. Négyzetmétermodell.

Tk. B2.01{B2.33.;

Mgy. 8.27{8.28.,

8.30., 8.33.,

8.35., 8.54{8.60.,

7.16{7.17.,

8.70{8.71.;

Fejleszt® értékelés. Tk. B2.34.

A tananyag-feldolgozás áttekintése

Ismerkedés testekkel, felületekkel, vonalakkal

A tankönyvben a fejezetek elején felsoroljuk a korábban tanult és az ötödik osztályos

geometria tanulásához nélkülözhetetlen fogalmakat, elnevezéseket, jelöléseket.

A geometriai fogalomrendszer alapfogalmai a pont, az egyenes, a sík, és a tér. Ezeket

nem de�niáljuk, vagyis nem vezetjük vissza egyszer¶bb fogalmakra. A tankönyvben

az alapfogalmakhoz f¶zött megjegyzések nem értelmezik, csupán szemléletessé teszik

ezeket a fogalmakat. Az általános iskolában a vonal és a felület fogalmát is alapfoga-

lomnak tekintjük.

Ha az egyenest feldaraboljuk, szakaszokat, illetve félegyeneseket kapunk. Már ötödik

osztályban jelölhetjük a szakaszt két végpontjával (AB szakasz), illetve a félegyenest

a kezd®pontjával és egy bels® pontjával. Ezek a jelölések lényegesen egyszer¶bbé

teszik majd a szerkesztések leírását, illetve az összefüggések igazolását. Ugyanakkor

AB szimbólum az A és a B pont távolságát (az AB szakasz hosszát) is jelenheti.

A szimbólum nem egyértelm¶ jelentése kezdetben gondot okozhat. (Tudatosítsuk, a

szövegt®l függ, hogy az AB szimbólum mikor mit jelent!)

A síkidom és a test fogalmára a szakirodalomban többféle értelmezést találunk:

1. A sík (tér) tetsz®leges ponthalmazát síkidomnak (testnek) nevezzük.

2. A sík (tér) tetsz®leges tartományát síkidomnak (testnek) nevezzük.

3. A sík (tér) korlátos tartományát síkidomnak (testnek) nevezzük.

A korábbi tankönyvek az utolsó de�níció szemléletes változatát tartalmazták:

A síkidom a síknak zárt görbével (görbékkel) körülhatárolt része.

A test a térnek zárt felülettel (felületekkel) körülhatárolt része.

Ezek a meghatározások a korlátosság viszonylag nehéz fogalmát matematikailag vitat-

hatóan fordították le a gyerekek nyelvére. Ezért javasoljuk a 2. de�níció szemléletes

változatát:

A sík (tér) feldarabolásakor síkidomok (testek) keletkeznek. (Lásd Hajós György:

Bevezetés a geometriába, Tankönyvkiadó, 7. kiadás, 1984. 7{8., ill. 38{39. old.)

56

Ez az értelmezés rendkívül szemléletes, ezért a gyermek számára is azonnal érthet®,

ugyanakkor matematikailag egzakttá tehet®. Ebb®l az értelmezésb®l kiindulva leegy-

szer¶södik néhány témakör tárgyalása. Így például a szögtartomány speciális síkidom,

ezért a konvex szög speciális esete a konvex síkidomnak.

Javasoljuk, hogy az el®bbi fogalmakat a feladatok megoldása közben tudatosítsuk, sok-

oldalú szemléltetésre támaszkodva. Kiscsoportos foglalkozás keretében egy-egy cso-

portnak tálcán el®készíthetjük a különböz® modelleket, eszközöket. A sík- és térgeo-

metriai modellez®készletet kiegészíthetjük papírlapokkal, félbevágott pingponglabdábal,

golyókkal, fonaldarabkákkal, szívószállal, gyurmával stb. Így a tanulók kiválaszthatják,

illetve elkészíthetik a szóba kerül® alakzatok modelljét.

Türelmes munkával érhetjük el, hogy tanulóink biztosan használják a körz®t és a vonal-

zót. A szakaszmásolás legyen minimumkövetelmény. Ezért esetenként körz®vel másol-

tatva méressük meg a szakasz hosszát. A körz® használatának gyakorlására játékos

keretet biztosít a tankönyv 2.05. feladata. Ha a számtan, algebra tárgyalása során házi

feladatként vonalzóval el®re elkészíttetjük a táblázatokat, számegyeneseket, koordináta-

rendszereket, és minden esetben megköveteljük a pontos és esztétikus munkát, akkor

ez nemcsak a kérdéses órát teheti zökken®mentesebbé és hatékonyabbá, hanem a

kés®bbi geometriai foglalkozásokat is.

Síkidomok, sokszögek

A töröttvonal és a záródó töröttvonal fogalmát feladathoz kapcsolódva, szemlélte-

téssel és megnevezéssel alakítjuk ki. Ezekre a fogalmakra azért van szükségünk,

hogy a sokszög tulajdonságait minél teljesebben feltárhassuk és a kerületszámítást el®-

készíthessük.

Nem várhatjuk, hogy tanulóink egyik óráról a másikra képesek legyenek önállóan al-

kalmazni ezeket az elnevezéseket és jelöléseket. Ezért azt ajánljuk, hogy a további

anyagrészek tanulása során újra és újra elevenítsük fel, és fokozatosan mélyítsük el ezt

a fogalomrendszert.

A tanulók ismerik a háromszöget, a négyszöget, az ötszöget stb. A sokszög fogalmát

legegyszer¶bben (és az életkori sajátosságoknak leginkább megfelel® módon) általáno-

sítással �közelíthetjük meg": a háromszög, négyszög, ötszög mintájára el®állíthatunk

akárhány oldalú sokszöget, majd az így létrehozott síkidomokat egy halmazba foglalva

kapjuk a sokszögek halmazát.

Az általános iskolában az egyszer¶ sokszögekkel foglalkozunk. Megkülönböztetjük a

sokszöglapot mint síktartományt és a sokszöget határoló sokszögvonalat. Az (egyszer¶)

sokszögvonal tulajdonságai:

Egyetlen záródó töröttvonalból áll.

Ugyanannyi oldala van, mint ahány csúcsa, és minden csúcsában pontosan két

oldal találkozik.

Az oldalai csak a csúcsokban találkoznak, ami azt jelenti, hogy az oldalai nem ke-

resztezhetik egymást, illetve egyetlen csúcsa sem lehet valamely oldal bels® pontja.

Szomszédos oldalai nem zárhatnak be egyenesszöget.

57

Ez az értelmezés kizárja a sokszögvonalak közül a következ® alakzatokat:

�

A sokszögvonal a síkot két tartományra bontja. A sokszögvonal és a belsejében lév®

pontok halmaza a sokszög (sokszöglap).

A helyi tanterv szerkesztésekor gondoljuk meg, hogy ötödik osztályban tudatosítsuk-e

a konvex síkidom (konvex sokszög, konvex szögtartomány) fogalmát, illetve az alsó

tagozatos program el®készítse-e ezt a fogalmat.

Konvexnek nevezzük a síkidomot, ha bármelyik két pontját összeköt® egyenes szakasz

teljes egészében a síkidomhoz tartozik. Mint már említettük, ez a de�níció a szögtarto-

mányra is érvényes.

Ha egy sokszög nem egyszer¶, akkor nem lehet konvex.

� �

A B

� �

A B

Egyszer¶ sokszög akkor és csak akkor konvex, ha bármely egyenessel szétvágva leg-

feljebb két darabra esik szét.

A konvex sokszög minden bels® szöge konvex.

e

e

A fogalomrendszert fokozatosan építjük fel. Már az alsó tagozatban vizsgálják az alak-

zatokat a tanulók, de a meghatározásokat legfeljebb 7. osztályban kérjük számon.

Ugyanakkor a feladatok megoldásában, a szemléletre támaszkodva már az 5. és

6. osztályban is elvárjuk ezeknek az ismereteknek az alkalmazását. Ötödik osztályban

a tanárnak kell eldöntenie, hogy az osztály képességének, illetve nevelési és oktatási

célkit¶zéseinek függvényében milyen mélyen és milyen részletességgel foglalkozik ezzel

a témakörrel.

A következ® felépítést javasoljuk.

A tanulók különböz® szempontok szerint csoportosítják a síkidomokat:

a végtelenbe nyúlik-e (nem korlátos);

58

csak egyenes szakaszok határolják-e;

egyetlen határvonala van-e;

tengelyesen tükrös-e;

oldalai keresztezik-e egymást;

oldalai csak a csúcspontokban találkoznak-e; stb.

Ha a helyi tanterv el®írja, vagy jobb osztályban { di�erenciált munkában { szemléle-

tes példához kapcsolódva megismerkednek a tanulók a konvex síkidomokkal, és ezen

szempont szerint is csoportosítják a síkidomokat.

A háromszög, a négyszög vizsgálatából kiindulva �felfedezik" azokat a tulajdonságokat,

amelyek a különböz® (egyszer¶) sokszögekben közösek. Csoportosítják a sokszöge-

ket a felismert tulajdonságok szerint. Nyírással, rajzzal el®állítanak adott tulajdonságú

sokszögeket. Ellenpéldák vizsgálatával tudatosítják a felismert tulajdonságokat.

A háromszög és a négyszög tulajdonságainak vizsgálata mellett megismerkednek a ta-

nulók a háromszög és a négyszög oldalainak és csúcsainak szokványos jelölésével, il-

letve a szomszédos oldal (csúcs), a szemközti oldal (csúcs), továbbá az átló fogalmával

is. Megállapodhatunk, hogy háromszög csúcsait általában latin bet¶kkel jelöljük. Ha a

csúcsokat A-val, B-vel és C-vel jelöljük, akkor a csúcsokkal szemben fekv® oldalait

az a, b, c kisbet¶kkel vagy a BC, AC, AB szimbólumokkal.

Az elnevezések és jelölések megtanításának pedagógiailag egyedül indokolható módja

az ismeretek sokszorosan ismétl®d® alkalmazása különböz® feladatokban.

A sokszögek kerülete

A kerület fogalmát tetsz®leges síkidomokra csak magasabb matematikai ismeretek bir-

tokában értelmezhetnénk. Ezért ötödik osztályban meg kell elégednünk a sokszög ke-

rületének fogalmával. Ezen belül a téglalap (és speciálisan a négyzet) kerületének a

kiszámítását be kell gyakoroltatnunk. Fontosnak tartjuk, hogy a tanulók a gyakorlati

életb®l vett példákra is legyenek képesek alkalmazni a kerületszámítást. Felméréseink

szerint a fels® tagozatba lép® tanulók jelent®s hányada �keveri" a téglalap kerületének

és területének a kiszámítását. Ez annak a következménye, hogy nem az életkornak

megfelel® szinten, a szemléletre és a mérési gyakorlatokra támaszkodva alakították ki

ezeket a fogalmakat, hanem megelégedtek a képletek megtanításával.

A terület mérése

A területmérés els® lépéseként azt vizsgáljuk, hogy a kiválasztott területegység hány pél-

dányával fedhetjük le hézagtalanul és átfedés nélkül a mérend® területet. Átismételjük

és kib®vítjük az alsó tagozatban tanultakat. A 3. és 4. osztályban ténylegesen lefedték

a területet az egységül választott lapokkal (parkettázás), megszámlálták különböz® há-

lózatokon, hogy hány területegység fér a síkidomra, adott terület¶ síkidomokat rajzoltak

különböz® hálózatokra (például milliméterpapírra), megvizsgálták, hogy a területegység

változásával hogyan változik a terület mér®száma. Ezeket a vizsgálatokat idézi fel ez a

fejezet.

59

A terület mértékegységei. A téglalap területe

A téglalap területének kiszámítása a kirakást felidéz® magyarázat kíséretében 4. osz-

tályos követelmény. Ilyen szinten várjuk el a tankönyv 2.20. feladatának megoldását is.

Elegend® számú feladat megoldásával elvezethetjük a tanulót az általános összefüggés

felismeréséig. A területszámítást gyakorló feladatok megoldásakor is célszer¶ ismétel-

ten felidéztetni a kiszámítás módját igazoló gondolatmenetet. El®fordulhat, hogy az alsó

tagozatos el®készítést nem érezzük megfelel®nek, akkor több órát szánjunk ennek a

fejezetnek a feldolgozására.

Ebben a fejezetben olyan téglalapokkal találkozik a gyerek, amelyek oldalainak mér®szá-

ma egész szám. A törtek és a tizedestörtek tanítása után már az egyik oldal (6. osztály-

ban mindkét oldal) mér®száma lehet törtszám is. Végeredményben majd azt fogadtatjuk

el (bizonyítás nélkül), hogy a téglalap egyik oldalának és területének változása között

egyenes arányosság van, ha a másik oldal változatlan.

Korábban elfogadtattuk a gyerekekkel, hogy területméréskor az egységül választott sok-

szöglap területével hasonlítjuk össze a mérend® sokszög területét. Most megállapo-

dunk, hogy ha nem mondunk mást, akkor a területegység olyan négyzetlap területe

lesz, amelynek az oldala 1 mm, 1 cm, 1 dm, 1 m, 100 m vagy 1 km. Például az

1 cm oldalú négyzet területe: 1 cm2.

Az el®z®ek alapján matematikailag hibás és didaktikailag is megalapozatlan a követ-

kez® értelmezés: (1 cm) � (1 cm) = 1 cm2, hiszen a hosszúságok mint mennyiségek

szorzását nem értelmezhetjük. Hasonlóan értelmezhetetlen például a következ® egyen-

let is: 1 dm2 = (10 cm) � (10 cm) = 100 cm2. A terület-mértékegységek átváltásának

gondolatmenetét a négyzetlapokkal történ® kirakásra vezetjük vissza (tankönyv 90{91.

oldal).

A tankönyvben szemléltetjük a területmérés szabványos egységei közül a négyzetmil-

limétert, a négyzetcentimétert és a négyzetdecimétert. Emellett mutassunk be 1 m2

terület¶ négyzetet, és képzeltessük el az 1 hektáros, illetve az 1 km2 terület¶ négyze-

tet is.

A területmérés szabványos egységeinek használata feltételezi a hosszúság mértékegy-

ségeinek és átváltásuknak begyakorolt alkalmazását, a négyzet területének kiszámítá-

sát, továbbá a 10-zel, 100-zal stb. való szorzás és osztás biztos elvégzését. Ezeket

ilyen szinten nem követelheti meg az alsó tagozatos tanterv. Ebb®l következik, hogy

egy-két óra alatt nem taníthatjuk meg a terület mértékegységeinek használatát, átváltá-

sukat. Az év végéig, s®t az elkövetkez® években is vissza kell térnünk ilyen feladatok

megoldására.

A téglatest hálója, felszíne

A téglatest tulajdonságait különböz® modelleken vizsgálhatják a gyerekek. Vegyék ész-

re, hogy a téglatest alapvet® tulajdonságaival rendelkezik a négyzetes oszlop és a kocka

is, ezért ezek a testek speciális téglatestek. A lap, az él és a csúcs fogalmát megne-

vezéssel alakítjuk ki. Következetesen ragaszkodjunk ezeknek a fogalmaknak a helyes

használatához. Típushiba az él{oldal, illetve a lap{oldal fogalompárok felcserélése.

A test felszínét általánosan csak magasabb matematikai eszközökkel értelmezhetnénk,

60

ezért az általános iskolában mindig az éppen tanult testek felszínér®l beszélünk. Az át-

lagos, illetve az annál gyengébb felkészültség¶ osztályokban nem ajánljuk a téglatest

és a kocka felszínképletének a megtanítását. A konkrét téglatestek felszínét a terület-

számítás alkalmazásaként határozzák meg a tanulók. Ha a jobb osztályokkal, illetve

a jobb tanulókkal el kívánunk jutni az általánosításig, akkor az tényleg általánosítás le-

gyen, vagyis több konkrét feladat megoldására támaszkodjunk. A deduktív út ebben az

életkorban { általában { igen bizonytalan és nehezen alkalmazható tudást eredményez.

Felméréseink arra �gyelmeztetnek, hogy az osztályok többségében az ötödik osztály

végére a tanulók nem tudják elkészíteni adott téglatest hálóját, mintegy 50%-uk még

azzal sincs tisztában, hogy hány lapja van a téglatestnek. Egyes osztályokban viszont

szinte minden tanuló hibátlanul megoldja a téglatest hálójával és a felszínszámítással

kapcsolatos feladatokat. Ezekb®l a felmérési eredményekb®l arra következtetünk, hogy

a hiányosságok tanítási hibából erednek. A tízéves gyereknek bemutatással, magyará-

zattal, közléssel nem lehet biztonságosan megtanítani ezeket az ismereteket. Rá kell

szánnunk legalább egy órát a téglatestek építésére, szétbontására, a testhálók megraj-

zolására (Tk. 2.28{2.34.; Mgy. 8.40{8.45., 8.53., 8.60.). Ezeknek a feladatoknak a

felszínszámítás megtanításán túl a térszemlélet fejlesztésében van szerepük. A térszem-

lélet csak a tényleges térbeli tevékenység közben alakulhat ki, azt pedig magyarázattal

nem pótolhatjuk.

A téglatest térfogata

Az ¶rtartalom mérése

Alsó tagozatban téglatesteket építettek színesrudakból. Összeszámlálták, hogy hány

fehér kockából, rózsaszín rúdból stb. építhet® fel a test. Tapasztalatokat szereztek, de

a téglatest térfogatszámításának, illetve a térfogat mértékegységeinek ismeretét nem

várhatjuk el az ötödik osztályba lép® tanulóktól. Itt is érvényes, amit a felszínszámítás

tanításával kapcsolatban elmondtunk. Szemléletileg megalapozott, alkalmazásképes

ismereteket magyarázattal nem közvetíthetünk.

A kísérletezésb®l kiinduló irányított felfedeztet® tanulásmozzanatai ebben a témakörben:

1. A tanulók kiscsoportos munka keretében testeket építenek fel, összeszámlálják a

testet felépít® színesrudakat, egységkockákat. (Ez a szakasz lényegében az alsó

tagozatos tapasztalatszerzés folyamata. Ötödik osztályban néhány feladattal felidéz-

zük a korábbi élményeket. Ha hiányzik ez a feltételezett el®készít® folyamat, akkor

több ilyen feladatot kell megoldatnunk az összefüggések felismerésének, a logikai

rendezésnek az igénye nélkül.)

2. Különböz® összefüggéseket ismernek fel. Például:

A 64 egységkockából kirakható téglatest minden élének hosszúsága osztója a

64-nek.

Ugyanannyi egységkocka fér el a téglatest egy éle mentén, mint amennyi az él

hosszúságának a mér®száma.

Ugyanannyi egységkocka fér a téglatest alapjára, mint amennyi az alaplap terü-

letének mér®száma.

61

Ebben a szakaszban még nem célszer¶ meghatározott irányba terelni a �felfe-

dezéseket".

3. Felismerik (a területszámításnál tanultak mintájára) az összeszámlálás ésszer¶síté-

sének lehet®ségét. Konkrét téglatestek esetén, a kirakást felidézve, az összeszám-

lálást gondolatban is képesek elvégezni.

4. A testépítésnél szerzett tapasztalatokat, a kirakást felidéz® gondolatmenetet alkal-

mazzák a térfogat-mértékegységek közti összefüggések felismerésére.

5. A tanulók a tanár irányításával (közös munkával) eljutnak az általános összefüggések

felismeréséhez és alkalmazásához.

6. A térfogatszámításról és az ¶rmértékekr®l tanultak összekapcsolása. Az összefüggé-

sek tudatosítása. Gyakorlati jelleg¶ feladatok megoldása; szoba, szekrény, akvárium

stb. térfogatának és ¶rtartalmának becslése, majd a szükséges adatok mérése után

a kiszámítása.

7. A tanultak begyakorlása, �összeszövése" a korábbi, illetve a kés®bbi anyagrészekkel.

(Bár a téglatest térfogatának kiszámítását az ötödik osztály végére minden tanulótól

elvárjuk, ez a szakasz lényegében az általános iskola végéig tart.)

A térfogatszámítás alkalmas az írásbeli szorzás és osztás gyakorlására, a szorzás m¶ve-

leti tulajdonságainak a szemléltetésére. Azoknak a tanulóknak, akiknél hiányosságokat

�gyeltünk meg ezen a téren, több órán adhatunk ilyen feladatokat (esetleg házi feladat-

ként, amelyet viszont ellen®rzünk). Ám a rutinfeladatok sulykoltatása ne vegye el az id®t

a térszemlélet és a problémamegoldó képességet fejleszt® érdekes feladatok megoldá-

sától. A feladatmegoldások során ismételten idéztessük fel a kirakás gondolatmenetét,

ezzel mintegy bizonyíttatjuk a számításokat.

Gyakorlófeladatok

A fejezet elegend® feladatot biztosít az összefoglaláshoz, rendszerezéshez, de a folya-

matos ismétléshez, a hiányosságok pótlásához célszer¶ válogatnunk a Matematika 5.

Gyakorló 7. és 8. fejezetének feladataiból is.

Törd a fejed!

A feladatokat például pontverseny keretében adhatjuk fel.

Tehetséges tanulóinkkal oldassuk meg a Matematika 5{6. Feladatgy¶jtemény felada-

tait is.

62

3. Az egész számok

Az egész számokkal kapcsolatosan a különböz® osztályokban körülbelül egyforma el®-

képzettségre számíthatunk, ezért ebben a fejezetben valószín¶leg kevésbé szükséges

a tananyag variálása, szelektálása, mint az el®z® két fejezetben. A folyamatos ismétlés

és a koncentráció megtervezésében, illetve a feladatok nehézségi fokának megválasz-

tásában már jelent®sebb különbségek lehetnek az egyes osztályok között.

Az átlagosnál gyengébb osztályokban föltétlenül biztosítsuk a kisebb lépésekben történ®

el®rehaladást, akár a tananyag óvatos redukciójával is. Például az egyenletek, egyenl®t-

lenségek megoldásával ne foglalkozzunk külön órán. Az egy lépésben következtetéssel

megoldható egyenleteket ( hiányzik az összeg, illetve a különbség egy komponense:

Mgy. 4.30.) az összeadás, kivonás gyakorlása során oldják meg a gyerekek. A szorzás-

sal és az osztással csak a tankönyv b®vített változatában foglalkozunk.

Jobb osztályokban külön órákat szánhatunk a geometriai transzformációk és a m¶ve-

letek kapcsolatának elemzésére, illetve az egész számokon értelmezett függvények

vizsgálatára.

Felméréseink az mutatják, hogy a tanulók jelent®s hányada a 8. osztály végére sem

sajátítja el szilárdan a racionális számkörrel kapcsolatos ismeretrendszert, és ezen belül

a negatív számokkal végzett m¶veletek okozzák az egyik legnagyobb gondot. Ez kedve-

z®tlenül befolyásolja az egyenletek, az algebrai kifejezések, a függvények és sorozatok

tanítását is. Végs® soron sikertelenné teheti a tanuló további matematikai tanulmányait.

Vizsgálatainkból az is kit¶nik, hogy vannak osztályok, amelyekben a leggyengébb ta-

nulók is keveset hibáznak ezekben a feladatokban, más osztályokban a legjobbak sem

boldogulnak a viszonylag egyszer¶ számításokkal. Következésképp megállapíthatjuk,

hogy ez a hiányosság nagyon er®sen függ a tanártól, pontosabban a tanítási módszer-

t®l.

Beigazolódott, hogy a 10{11 éves gyermekek többsége deduktív úton még sikeresnek

t¶n® tanári magyarázattal sem képes tartósan és alkalmazásképesen elsajátítani ezeket

az ismereteket. Az ilyen módszerrel tanított tanuló úgy végzi el például a negatív szám

kivonását, hogy el®z®leg megkísérli felidézni a tanult összefüggést, majd alkalmazza

azt a konkrét számokra. Nyilvánvaló, hogy ez az út a gyerek számára nehézkes és

sok buktatót rejt magában. Az a tanuló, aki az életkorának megfelel®, játékos tevé-

kenységb®l kiindulva (például a kis autós modellel) sajátította el az ismereteket, azonnal

�látja" az eredmény kiszámításának módját, de szükség esetén képes az összefüggés

megfogalmazására is.

A kerettenterv 6. osztályos követelményrendszere szerint a negatív számokkal végzett

m¶veleteket tanítanunk kell, de nem minimumkövetelmény. Ugyanakkor az egysze-

r¶ els®fokú egyenleteket minimumszinten is meg kell oldaniuk a tanulóknak. Ez utóbbi

követelményt csak úgy teljesíthetik, ha negatív számokkal is végre tudják hajtani a m¶-

veleteket.

63

A tananyag-feldolgozás csomópontjai

1. A negatív egész számok mint ellentétes mennyiségek mér®számai; értelmezés, el-

nevezések, jelölések, ábrázolás számegyenesen, nagysági viszonyok. Az egész

szám fogalma, az egész számok ellentettje, abszolútértéke.

2. Kis abszolútérték¶ egész számok összeadása, kivonása szemléletre támaszkodva,

modellekkel kísérletezve. A modellkísérletek során az összefüggések felismerése,

(jobb csoportban) megfogalmazása.

3. Az öszeadás, kivonás tulajdonságainak vizsgálata, a természetes számok körében

ismert azonosságok kiterjesztése az egész számok halmazára. Az összeadás és a

kivonás közti kapcsolatok megfogalmazása. Az összeg és különbség változásainak

meg�gyelése.

4. Jobb csoportban: Az egész számok szorzása természetes számmal mint az egész

számok ismételt összeadása.

5. Az egész számokról tanultak alkalmazása próbálgatással vagy egy-két lépésben kö-

vetkeztetéssel megoldható egyenletek megoldásában, függvények, sorozatok vizs-

gálatában.

6. A derékszög¶ koordináta-rendszer értelmezése, alkalmazása függvények ábrázolá-

sában, vizsgálatában, valamint geometriai problémák megoldásában.

Kapcsolódási lehet®ségek

Halmazok, logika

A �pozitív szám", �nempozitív szám", �negatív szám", �nemnegatív szám", �természetes

szám", �egész szám" fogalmát a megfelel® halmazok, illetve ezeknek a halmazoknak az

elemeir®l megfogalmazott állítások vizsgálatával mélyíthetjük el (Tk. 3.07., B3.25.). A

fogalomrendszer pontosítását további logikai feladatok segítik (Tk. B3.30., 3.30.).

Nyitott mondatok igazsághalmazai (Tk. B3.26., B3.10{B3.12.). Több egyenlet, egyenl®t-

lenség igazsághalmazának együttes vizsgálata (amellyel az egyenl®tlenség-rendszerek

tanítását alapozzuk meg) feltételezi a logikai, illetve a halmazm¶veletek alkalmazását

(Tk. B3.27{B3.28.).

Számtan, algebra egyéb témakörei

Elemi (szóbeli) számolási képességek folyamatos fejlesztése az összeadás és a kivonás

gyakorlása során.

Az összeadás m¶veleti tulajdonságai, az összeg és különbség változása, zárójelek

használata, helyes m¶veleti sorrend.

A nyitott mondatról, egyenletr®l, egyenl®tlenségr®l tanultak alkalmazása az egész szá-

mok körében. (Részletesen lásd a tananyag-felépítés ismertetésénél.)

64

Relációk, sorozatok, függvények

Ötödik osztályban nem az a célunk, hogy a reláció, a függvény, illetve a sorozat fogalmát

pontosítsuk, csupán a gyermek által korábban elsajátított szemléletes ismeretrendszer

eszközszer¶ alkalmazását terjesztjük ki az egész számok körére, illetve fordítva, az

egész számok körében tanultakat alkalmazzuk a sorozatokra, függvényekre.

Alkalmasan megválasztott sorozattal (Tk. 3.02., 3.23.; B3.07., B3.20.) támaszthatjuk alá

az egész számok nagyság szerinti összehasonlítását, az összeadás és kivonás, illetve

a szorzás értelmezését.

A koordináta-rendszer bevezetésével, egyel®re csak tapasztalatgy¶jtés szintjén, el®ké-

szíthetjük a reláció fogalmának pontosítását. Jobb csoportban továbbléphetünk a függ-

vények vizsgálatában, derékszög¶ koordináta-rendszerben történ® ábrázolásában (Tk.

3.24.; B3.21.; Mgy. 6.29., 6.31.). Ezen a téren azonban csak 6. és 7. osztályban

támaszthatunk követelményeket.

Megtehetjük a kezd® lépéseket a függvénytranszformáció tanításának el®készítésére

(Tk. 3.28., B3.08.; Mgy. 6.24., 6.30.). Ezek a feladatok egyúttal a koordinátageometria

tanítását is el®készítik, továbbá kapcsolódnak a geometriai transzformációk tanításához.

Geometria, koordinátageometria

A koordináta-rendszer megismerése során a tanulók vizsgálják az egyenest®l, illetve két

egyenest®l adott távolságra (adottnál nagyobb, adottnál kisebb távolságra) lév® pontok

halmazát (Tk. B3.23.).

A koordináta-rendszerben végzett transzformációk geometriai tartalmának vizsgálata

(Tk. 3.28., B3.08.; Mgy. 6.28., 6.24., 6.30.).

Kombinatorika

Kombinatorikai tartalmú feladatok például: Tk. B3.03., B3.04., B3.23.

Javasolt eszközök és modellek

A következ®kben ismertetjük azokat az eszközöket, illetve módszereket, amelyek legjob-

ban beváltak a kísérleteink során. Természetesen ez nem azt jelenti, hogy a kollégáknak

egyedül üdvözít® módszereket akarunk sugallni, csupán b® választékot kívánunk nyúj-

tani munkájuk megtervezéséhez.

A h®mér®modell

A gyermek mindennapi tapasztalataihoz kapcsolja a számkörb®vítést. A h®mér® skálá-

ján felismeri és gyakorolja az egész számok számegyenesen való ábrázolását. A h®mér-

séklet csökkenése, illetve növekedése szemléletes rendszerét adja a mér®számoknak.

(Kapcsolat a környezetismeret tantárggyal és a technikával.)

65

Tengerszint alatti mélység, tengerszint feletti magasság

Az ellentétes mennyiségek szemléltetése, az abszolútérték fogalmának kialakítására

alkalmas modell. (Kapcsolat a földrajzzal.)

A folyó vízállása

Az el®z® modellnél azért szemléletesebb, mert a változások nyomon követésére ad

lehet®séget.

Készpénz{adósságcédula

Az ellentétes mennyiségek szemléltetése mellett tudatosul a tanulókban, hogy bármely

vagyoni helyzet végtelen sokféleképpen állítható el® készpénz és adósságcédula se-

gítségével. Konkrét esetekben megvizsgálhatják, hogy kinek jobb az anyagi helyzete,

vagyis kinek nagyobb a �vagyona". Az el®z® modellekkel együtt, a többféle tapasztalattól

elvonatkoztatva alakul ki az �ellentétes mennyiségek" szemléletes fogalma, majd további

elvonatkoztatással a szám ellentettjének a fogalma.

Korong{lyuk-modell

Az el®bbi modell szemléletes változata. A korong a lyukba helyezve nullát jelent. A

számolás során �nullából" bármennyi lehet az asztalon. Például a következ® kivonást

ezzel a modellel így szemléltethetjük: ({ 3) { ({ 5) = 2.

Ebb®l

Elveszünk

Marad

A korongot vastagabb anyagból célszer¶ elkészíteni, mint a lyukat, hogy könnyen ki

lehessen emelni azt a lyukból.

Kis autós modell

Tartós modellt készíthetünk 30{40 cm-es vonalzó hátoldalára ragasztott öntapadó ra-

gasztószalagra rajzoltatva a számegyenest, a fát és a házat. A legfeljebb 8{10 mm

hosszú, 4{5 mm széles kis autót legegyszer¶bb törl®gumiból (radírból) kifaragni. ( Egy

radírból 15{20 kis autót is készíthetünk néhány perces munkával.) Lényeges, hogy a

kis autó elejét egyértelm¶en meg tudjuk különböztetni a végét®l.

66

Az els® egy-két órán a számegyenesen való tájékozódás gyakorlását szolgálja. Ezeken

az órákon még nem fordíttatjuk le a tevékenység eredményét a matematika nyelvére,

hanem (a készpénz{adósságcédula-modellel együtt ) kötetlen kísérletezéssel készítjük

el® az egész számok összeadását, kivonását, szorzását.

A további órákon az összeadás és méginkább a kivonás begyakorlásának, az összefüg-

gések felismertetésének legfontosabb eszköze lehet. A szemlélett®l nehezen elszakadó

tanulóknak addig engedélyezzük az eszköz használatát, amíg azt szükségesnek érzik.

Az els® látásra bonyolultnak t¶nik a modell használata a számegyenesen való lépege-

téssel szemben. Ám ez a �bonyolultság" a fogalomrendszer tartalmi sajátossága, és

nem a modellé. Meg kell különböztetnünk az el®jelet a m¶veleti jelt®l. Ha például csak

a ceruza hegyével lépegetünk a számegyenesen, akkor éppen a nehezebben tanítható

m¶veletet, a kivonást már nem tudjuk közvetlenül szemléltetni.

Számolóléc

Jól kiegészítheti az el®z® modellt. A kivonóskála használata igen szembet¶n®en világít

rá az összefüggésekre. Alkalmas a modell az egyszer¶ egyenletek és egyenl®tlenségek

megoldásának a szemléltetésére (lásd kés®bb).

Tanmenetjavaslat

Óra Aktuális tananyag Feladatok

Folyamatos ismétlés, koncentráció

1{2. Az egész szám fogalmának kialakítása a szemléletre tá-

maszkodva (a h®mér®modell, a kis autós modell, a

készpénz{adósságcédula-modell alkalmazása).

Ellentétes mennyiségek; az egész, a természetes, a pozi-

tív, a negatív szám fogalomrendszere. Az egész számok

ábrázolása számegyenesen, nagyság szerinti összeha-

sonlításuk.

Környezetismeret tantárgy: A h®mérséklet mérése, tenger-

szint feletti magasság.

Mgy. 4.01{4.06.,

4.08{4.10.;

Tk. 3.01{3.05.;

Fgy. 2.1.04{05.,

2.1.07{09.;

Relációk, sorozatok. Halmazok, halmazm¶veletek. Igaz,

hamis állítások. Egyenletek, egyenl®tlenségek.

Mgy. 4.07.;

Tk. 3.06{3.09.

3. Az egész számok abszolútértéke.

Az egész számok fogalma, ábrázolásuk számegyenesen,

nagysági viszonyaik. Igaz, hamis állítások. Egyenletek,

egyenl®tlenségek.

Tk. 3.10{3.11.;

Mgy. 4.11{4.13.;

Fgy. 2.1.01{03.

67

Óra Aktuális tananyag Feladatok

Folyamatos ismétlés, koncentráció

4{6. Az egész számok összeadása, kivonása eszközhaszná-

lattal (kis autós modell; készpénz{adósságcédula-modell;

számolóléc).

Az egész számok összeadásának ábrázolása vektorok-

kal.

A számolási képesség fejlesztése. Számegyenes, nagysági

viszonyok.

Az elmozdulás mint vektor. H®mérsékletmérés.

Mgy. 4.14{4.24.;

Tk. 3.12{3.15.;

Fgy. 2.2.01{02.

7{9. Gyengébb csoportban (alapképzés).

Az összeadás és a kivonás közti összefüggések felisme-

rése. Az összeg és különbség változásai.

A szám és az ellentettje közti kapcsolatok vizsgálata.

Az öszeadás és kivonás gyakorlása, a tanultak alkalmazá-

sa. Sorozatok, függvények.

Tk. 3.16{3.24.;

Mgy. 4.26{4.30.,

6.50.;

Jobb csoportban (az el®z® anyagrészen túlmen®en): Az

összeadásról és a kivonásról tanultak meger®sítése.

Tk. B3.01{B3.04.;

Fgy. 2.2.03{17.

10{11. A derékszög¶ koordináta-rendszer. Tájékozódás a koor-

dináta-rendszer négy síknegyedében (esetleg lyukastábla

alkalmazásával).

Az egész számok fogalomrendszere. Igaz, hamis állítások.

Mgy. 6.23.;

Tk. 3.25{3.28.;

Kombinatorika. Ponthalmazok. Relációk, függvények.

Függvénytranszformáció. Geometriai transzformációk.

Mgy. 6.25{6.28.;

Jobb csoportban: (az el®z® anyagrészen túl):

Az x 7!{ x, illetve x 7! jxj függvény ábrázolása a derék-

szög¶ koordináta-rendszerben.

Mgy. 6.29.

12{13. Gyengébb csoportban (alapképzés):

Az egész számokról tanultak rendszerezése, gyakorlása.

Számfogalom. Az összeadás, kivonás tulajdonságainak

meg�gyelése.

Egy lépéssel megoldható egyenletek megoldása következ-

tetéssel.

Derékszög¶ koordináta-rendszer. Függvények.

Tk. 3.29{3.34.;

Mgy. 4.25.,

6.24., 6.30.

Fejleszt® értékelés, a felzárkóztatás megszervezése. Tk. 3.35.;

Mgy. 10.04.

Ha elegend® id®nk van, akkor célszer¶ több órát fordítanunk az egész számok össze-

adásának és kivonásának gyakorlására, a korábban és az újonnan tanultak �összeszö-

vésére". El®készíthetjük a természetes számmal való szorzás és osztás értelmezését.

Ehhez kapcsolódva az egészek körében is gyakoroltathatjuk a m¶veletek sorrendjét, a

zárójelek használatát; egyenletek, egyenl®tlenségek megoldását; függvények, sorozatok

vizsgálatát. Ezt a koncepciót tükrözi tanmenetjavaslatunk következ® változata.

68

Óra Aktuális tananyag Feladatok

Folyamatos ismétlés, koncentráció

12{13. Jobb csoportban:

Negatív számok szorzása, osztása természetes szám-

mal. (El®készítés.)

A szorzat és a hányados változásai.

Egy lépésben megoldható egyenlet megoldása következte-

téssel.

Összetett számfeladatok; m¶veleti sorrend, zárójelek hasz-

nálata.

Transzformáció koordináta-rendszerben.

Egész számokon értelmezett függvények vizsgálata (táblá-

zatok kitöltése adott szabály alapján, a függvény gra�kon-

ja). Egyenes arányosság, lineáris függvény (tapasztalat-

szerzés).

Tk. B3.05{B3.08.;

Mgy. 4.31.,

6.31. 6.51.

14. Jobb csoportban:

Egyenletek, egyenl®tlenségek az egészek körében.

Az igazsághalmaz megkeresése tervszer¶ próbálgatás-

sal, következtetéssel. A mérlegelv el®készítése.

Az összeadás, kivonás, szorzás, osztás gyakorlása.

Tk. B3.09{B3.16.;

Mgy. 4.30.,

4.32{4.34.

15{16. Jobb csoportban:

Összefüggések kutatása.

Az egész számokról tanultak rendszerezése, gyakorlása.

Fejleszt® értékelés.

Általános összefüggések, m¶veleti tulajdonságok megsej-

tetése.

Halmazok, logika. Relációk, függvények, sorozatok. Kom-

binatorika.

Az összeg és a különbség m¶veleti tulajdonságai.

Egyenlet, egyenl®tlenség.

Tk. B3.17{B3.30.;

Mgy. 4.25., 6.24.;

Fgy. 2.2.18{19.;

Tk. B3.31.

A tananyag-feldolgozás áttekintése

Nem elég a természetes szám

Többféle modellel tevékenykedtetve feleleveníthetjük a tanulók alsó tagozatban szerzett

tapasztalatait.

A szemléletre támaszkodva elfogadják, hogy egyes mennyiségek egy kezd® értékhez

(nullához) viszonyítva kétféle irányban vehetnek fel értékeket. Megállapodás szerint az

egyik irányban (egyesével lépegetve) a pozitív egész számokkal, ellenkez® irányban

lépegetve a negatív egész számokkal fejezhetjük ki a mennyiség mértékét.

Az ismertetett modellekkel tevékenykedve a tanuló szemléleti szinten belátja, hogy a

69

természetes számok rendezését terjesztjük ki az egész számokra. Például ha a +12-t®l

lépegetünk a 0 felé, akkor csökken® számsorozatot kapunk, csökken® marad a sorozat

akkor is, ha a lépegetést a negatív számok körében folytatjuk. Hasonlóan vizsgáljuk a

számok növekedését. ( Ebben az életkorban és ezen a képzettségi szinten semmiképp

sem javasoljuk a �kisebb", �nagyobb" reláció de�niálását az egész számokra.)

Néhány megjegyzés az el®jelek írásával kapcsolatban:

A gyakorló pedagógusok többsége egyetért abban, hogy az el®jeleknek a m¶veleti je-

lekt®l való megkülönböztetése el®segíti a fogalom kialakítását. Ezért a fogalmak kiala-

kításának a fázisában célszer¶ másképpen írnunk az el®jelet és a m¶veleti jelet.

A korábban alkalmazott megemelt írásmód (+2, illetve {2) azonban sokszor több kárral

járt, mint amennyi haszon származott bel®le. Egyrészt a fogalom kialakulásakor rögzítet-

tünk egy nem szabványos írásmódot, amelyet kés®bb nagyon nehezen lehetett �kiirtani".

Másrészt az el®jelek megemelt írása �feleslegessé tette" a zárójelek használatát a m¶-

veletekben. Elterjedt a következ® {5 {+ 3 +{ 7 típusú írásmód a helyes írásmóddal

összeegyeztethet® {5 { (+3) + ({7) helyett. (Hogy ezt a hibát elkerüljük, az els® órától

kezdve ragaszkodjunk a zárójelek alkalmazásához.)

A fentiek miatt nem tartjuk célszer¶nek az el®jelek megemelt írását. Ugyanakkor szí-

nes bet¶kkel szedve megkülönböztetjük az el®jelet a m¶veleti jelt®l. A kivonás és az

összeadás közti összefüggések felismerése után viszont feleslegessé válik a megkülön-

böztetés, ekkor javasoljuk a szokványos írásmódra való áttérést. Ezért már tudatosítsuk,

hogy az el®jelek megkülönböztetése a m¶veleti jelekt®l ideiglenes.

Az egész számok abszolútértéke

Az abszolútérték fogalmának a bevezetése feltételezi a szemléleti szinten kialakuló fo-

galomrendszer kissé magasabb absztrakciós szintre fejlesztését, logikai rendezését. Az

osztály színvonala alapján döntsük el, hogy milyen mélységben foglalkozunk ezzel a

résszel.

A számok abszolútértékének a fogalmát összekapcsolhatjuk a számok nagyság szerinti

összehasonlításával. Ezzel mindkét szemléletes fogalom matematikai tartalmát mélyeb-

ben tárhatjuk fel.

Az egész számok összeadása, kivonása

Az egész számokon végzett négy alapm¶veletet (a program szerint) két év alatt kell

megtanítanunk. Ötödik osztályban a természetes számokon értelmezett összeadást és

kivonást általánosítjuk a negatív egész számokra. Jobb csoportban néhány szemléletes

feladatban érintjük a negatív egész szám természetes számmal való szorzását, s ezzel

el®készítjük a következ® évi munkát.

A korábbi módszertani könyvek az összeadás és kivonás tanításának olyan módszerét

javasolták, amely a 8. osztályos tanuló fejlettségének felelt meg. Kísérleteink azt mu-

tatták, hogy ha ragaszkodunk ehhez, a 14 éves tanulóknál esetleg bevált módszerhez,

akkor a negatív számok kivonását nem tudjuk ötödik osztályban megtanítani. Azokban

az osztályokban viszont, amelyekben legalább három órán át tevékenykedtek a tanulók

70

például a kis autós modellel, az összeadás és a kivonás tanításának eredményessége

között nem láttak különbséget a kollégák.

Az összefüggések megfogalmazását 6. osztályban követeljük meg. Ötödikben nem

er®ltetjük az elvonatkoztatást és az általánosítást, ám ez nem jelenti azt, hogy jobb

képesség¶ tanulóink nem juthatnak el erre a szintre.

Az összeadás és kivonás közti kapcsolatok felismertetése után rátérhetünk az el®jelek

szokványos írására.

Az összeadás és kivonás tanításának javasolt szakaszai:

1. A tanuló sokféle eszközzel dolgozva, a legkülönböz®bb tartalmú és absztrakciós

szint¶ feladat megoldása során olyan tapasztalatokat szerez, amelyek el®készítik

az összeadás és a kivonás tanítását. Az eszközhasználat során még nem fordítjuk

le a matematika nyelvére a feladatot, nem törekszünk az összefüggések meglátta-

tására. Ez a szakasz foglalja magában az alsó tagozatos el®zményeket is. Ebben

a (az összeadás és a kivonás szempontjából kötetlen) tevékenységben a tanulóban

szemléletes kép alakul ki az egész számok egymáshoz való viszonyáról. Például

a h®mér®modellel végzett óra eleji �bemelegít® foglalkozásokkal" el®segíthetjük azt,

hogy a tanulók �meglássák" az egész számok egymástól való irányított távolságát,

ami a különbség tanításának legfontosabb lépése (Mgy. 4.14{4.22.).

2. A tanulóknak az eszközhasználattal kapcsolatos feladatokat adunk, de a tevékeny-

séget a tanuló lefordítja a matematika nyelvére (lásd a tankönyv kidolgozott minta-

példái, valamint a 3.12{3.13. feladat).

A kísérletek azt mutatták, hogy ebben az életkorban a tanári szemléltetés nem helyet-

tesítheti a tanuló saját tevékenységét. A szemléltetéssel támogatott magyarázat alapján

a tanuló pillanatnyilag �megérti", de még nem �sajátítja el" az összeadást. A többfé-

le modellel végzett azonos matematikai tartalmú feladat megoldása el®mozdíthatja az

elvonatkoztatást.

A számok összeadásának vektorokkal való ábrázolása nemcsak szemlélteti a feladat

megoldását, hanem a kés®bbi, magasabb absztrakciós szint¶ tevékenységeket (például

a m¶veleti tulajdonságok vizsgálatát) is el®készíti.

3. A tanulók számfeladatokat oldanak meg, a megoldást a szemléletre támaszkodva

indokolhatják (Tk. 3.14.; Mgy. 4.24{4.25.). Javasoljuk, hogy a tanulók csoportmun-

kában dolgozva különböz® eszközökkel oldják meg a számfeladatokat, hasonlítsák

össze eredményeiket, fogalmazzanak többféle szöveget a feladathoz.

Ennek a szakasznak a végén a modell technikai segédeszközzé válik. Nem várhatjuk

el, hogy a tanulók rutinosan dolgozzanak minden eszközzel, nem az eszközhasználat

begyakorlása a cél, hanem a szemléleti megalapozás. A gyermek azzal a modellel

tevékenykedjék, amelyik leginkább megnyerte a tetszését, és csak akkor használja azt,

ha szükségesnek érzi.

4. Eszközhasználattal begyakoroltatjuk a kivonást. A feladatok megfelel® egymás mellé

helyezésével el®készítjük, majd egy feladatsorral (Tk. 3.15{3.18.; Mgy. 4.26{4.29.)

beláttatjuk a következ® összefüggéseket:

egész számot kivonni ugyanazt jelenti, mint a kivonandó ellentettjét hozzáadni a

kisebbítend®höz;

a negatív szám hozzáadását helyettesíthetjük ellentettjének kivonásával.

71

A feladatsor feldolgozása után térhetünk rá az el®jelek szokványos írására.

5. Az el®z® szakaszban felismert összefüggésekre támaszkodva egyszer¶síthetjük az

összeg felírását, a számegyenesen való lépegetéssel el®készíthetjük az összevonás

fogalmát (Tk. 3.19., 3.33{3.34.; Mgy. 4.30.). Az összevonás megtanítása 6{7. osz-

tályos feladat. Az ötödikes tanuló szintjén (a biztonságot növelend®) �szabályokat"

fogalmaztathatunk meg.

6. A kialakult ismereteket alkalmazzuk a sorozatok, függvények, egyenletek, egyenl®t-

lenségek, kombinatorika témakörén belül (Tk. 3.22{3.24., B3.07{B3.16., B3.20.,

B3.21.; Mgy. 6.24{6.31.).

7. Majd 6. osztályban a m¶veleti tulajdonságokról, az összeg és a különbség változá-

sairól, az összeadás és a kivonás közti összefüggésr®l tanultak érvényességének a

kiterjesztésével deduktív módon is alátámasztjuk azokat az összefüggéseket, ame-

lyeket ebben az évben a szemlélet alapján fogadtunk el.

Az összeadás és kivonás tanítását hátráltathatja a tanulók gyenge számolási képessége.

A kis autós modell és a számolóléc segíthet ennek a gondnak a felszámolásában is.

A számolási képesség fejlesztése érdekében és az egész számok összeadásáról és

kivonásáról tanultak gyakorlására célszer¶ a kés®bbiekben is szóbeli feladatokat adni

ebb®l a témakörb®l (például az óra bevezetéseként).

Az ötödikes gyerek gondolkodása er®sen támaszkodik a szemléletre, ezért ha a tanuló

szükségét érzi (f®képp a kivonás elvégzésére), használhassa az eszközöket a felada-

tok megoldása során. �Adminisztratív úton" kés®bb se tiltsuk el a tanulót az eszköz-

használattól, hanem olyan feladatokat adjunk, amelyek �kikényszerítik" a gondolkodás

magasabb szintre lépését.

A derékszög¶ koordináta-rendszer

A derékszög¶ koordináta-rendszer tanítása során kevés el®zményre támaszkodhatunk.

Ezért a legtöbb osztályban a Mgy. 6.23. szemléletes feladata mellett más játákos fela-

datot is szükséges megfogalmaznunk.

Legkézenfekv®bb a tanulók szokásos ülésrendjének a meghatározására bevezetnünk

egy �koordináta-rendszert". Sorszámozzuk a padsorokat, illetve az oszlopokat. Megál-

lapodunk abban, hogy az els® jelz®szám például az oszlopot, a második jelz®szám a

padsort jelenti. Fedeztessük fel a következ®ket:

az ugyanabban az oszlopban ül®knek megegyezik az els® jelz®száma;

az ugyanabban a sorban ül®knek megegyezik a második jelz®száma;

ha felcseréljük a két jelz®számot, akkor más tanuló helyét jelöljük meg.

A következ® lépésben a lyukastábla használatát javasoljuk. (A Tk. 3.25{3.26. feladaton

túl más feladatokban is gyorsíthatjuk a munkát ezzel az eszközzel.)

A Mgy. 6.25{6.31. feladat, valamint a tankönyv 3.27{3.28. feladatai a koordináta-

rendszerr®l tanultak alkalmazásán kívül a következ® célokat szolgálják:

Az egész számokról tanult ismeretek megszilárdítása, alkotó alkalmazás szint¶ gya-

korlása, �összeszövése" a matematika egyéb témaköreivel (kombinatorika; függvé-

nyek, függvénytranszformáció; geometriai transzformációk; halmazok, logika).

72

A függvényekr®l eddig tanultak kib®vítése a tapasztalatszerzés szintjén. Ezt az ok-

tatási célt az egész számok tanítása során végig szem el®tt kell tartanunk.

A fentieket �gyelembe véve az oktatási célkit¶zéseinknek és az osztály színvonalának

megfelel®en válogassunk a feladatok közül.

Gyakorlófeladatok

A gyakorlás során elmélyítjük és b®víthetjük az eddig tanultakat.

Az összeadásról, kivonásról tanultak meger®sítése

Negatív számok szorzása, osztása természetes számmal

A tankönyv b®vített változatában szerepl® fejezetek.

Jobb osztályban a tapasztalatgy¶jtés szintjén foglalkozunk a negatív számok természe-

tes számokkal való szorzásával és osztásával.

A szorzás és osztás megtanítása 6. osztályos feladat.

Nyitott mondatok megoldása az egész számok körében

A tankönyv b®vített változatában szerepl® fejezet.

Az egyenletek és egyenl®tlenségek megoldása az egészek körében ne legyen követel-

mény ötödik osztályban. Ennek ellenére javasoljuk, hogy minél több egyszer¶ feladatot

oldjanak meg a tanulók ebb®l a témakörb®l. Els®sorban azzal a céllal tesszük ezt, hogy

elmélyítsék, kib®vítsék és problémaszituációban gyakorolják az összeadásról és kivo-

násról tanultakat, másrészt minél több tapasztalatot szerezzenek az egyenletek, egyen-

l®tlenségek megoldásával kapcsolatosan.

Közismert, hogy az egyenletek, egyenl®tlenségek tanításával komoly gondok voltak és

vannak. 8. osztály végére, a tanulók jelent®s része a viszonylag egyszer¶bb egyenletek

megoldásával nehezen vagy egyáltalán nem boldogul. Ez azt jelenti, hogy felül kell

vizsgálnunk tanítási stratégiánkat és módszereinket.

A gondok csökkentésére javasoljuk, hogy a lehet® legkorábban ismerkedjenek az egyen-

letek, egyenl®tlenségek megoldásával a gyerekek, és igen kis lépésekben, a gyengébb

tanulók számára is követhet®en haladjunk tovább. Így 5. osztálytól 8. osztályig az

egyenletek, egyenl®tlenségek megoldása szinte minden órán napirenden lehet, hogy

biztosíthassuk a szükséges jártasságok és képességek kialakulását. Például ötödik

osztályban a gyengébb csoportokban is megoldathatjuk az egy lépésben megoldható

egyenleteket a m¶veletek összefüggései alapján.

Összefüggések kutatása

Törd a fejed!

A tankönyv b®vített változatában szerepl® fejezetek.

A problémák megoldása során mélyebb összefüggéseket fedezhetnek fel a tanulók, így

a matematikai tevékenységük tudatosabbá válhat.

73

4. A szögek mérése

A témakör feldolgozását 8 órában javasoljuk.

A szögmér®n és a tankönyvben bemutatott laptájolón kívül házilag egyszer¶en el®állít-

ható eszközöket adhatunk a tanulók kezébe.

Gombost¶vel összet¶zött szívószálakkal, illetve kartonpapírból kivágott modellekkel te-

vékenykedhetnek a szögek mérésének, összehasonlításának, a szögféleségek értelme-

zésének el®készítése során.

Érjük el, hogy minden tanuló legyen jártas a szögmér® használatában adott szögek

mérése, illetve el®állítása esetén. A leggyengébbek kivételével ismerjék a szög fogalmát

és a szögféleségeket.

Jobb csoporban, ha van rá id®nk (például az alsó tagozatos számtan{algebra anyag

ismétlésére az átlagosnál kevesebb id®t kellett fordítanunk), és a helyi tanterv is ajánlja,

akkor célszer¶ foglalkoznunk az elfordulással mint irányított szöggel. Javaslatunkat a

következ® érvekkel támasztjuk alá:

Az alsó tagozatban jobban el®készítették, mint a szögtartomány fogalmát.

A szög fogalmának különböz® irányokból való megközelítése el®segítheti a megér-

tést. Kisebb a valószín¶sége a hibás fogalomalkotásnak. Például a szögek nagyság

szerinti összehasonlítása lényegesen érthet®bb a 10{11 éves tanuló számára, ha

az elfordulásokat is összehasonlítja. A szögmérés tanításánál elmondhatjuk például,

hogy a szög elforduló szára mett®l meddig milyen fajta szöget súrol, vagy például

körülbelül tízfokonként lépegethetünk.

A negatív, pozitív elfordulással kapcsolatos feladatokkal átismételhetjük az egész

számokról tanultakat. Újabb modellt kapunk a mennyiség kétféle irányban történ®

változására. Érdekes számelméleti (és absztrakt algebrai) problémák nem szok-

ványos megközelítésére ad szemléleti alapot. A tanuló fejlettségének a szintjén,

térképészeti feladatok keretében foglalkozhatunk a polárkoordinátákkal.

A következ® években szükségünk van erre a fogalomra.

Felismertethetjük, hogy ha a síkon pozitív forgásirányban elforgatunk egy félegyenest,

ugyanez a forgatás a sík �másik oldala fel®l" nézve negatív forgásiránynak felel meg. Ez

lényegében azt jelenti, hogy a pozitív és negatív forgásirány kijelölésével azt is megha-

tározzuk, hogy a síkot melyik oldalról nézzük.

Kapcsolódási lehet®ségek

Számtan, algebra

Jobb csoportokban az alsó tagozaton tanultakra támaszkodva alkalmazhatjuk a törtr®l

tanultakat (Tk. 4.02., 4.08., B4.14., B4.15. feladat).

74

A mérés, geometria egyéb témakörei

Felelevenítjük az alapvet® geometriai ismereteket, fogalmakat; következetesen elvárjuk

a terminológia helyes használatát (félegyenes, mer®legesség, párhuzamosság, síkidom,

sokszög stb.).

A sokszögek vizsgálatát (tapasztalatgy¶jtés szintjén) kiegészítjük szögeik vizsgálatával.

Meg�gyeltethetjük, hogy a homorúszög tartománya nem konvex (és nem korlátos) sík-

idom, illetve a nemkonvex sokszögeknek van homorúszögük (Tk. 4.03., 4.06., 4.16{

4.21. feladat).

A derékszög¶ koordináta-rendszerben rajzolt sokszögek szögeinek vizsgálata (Tk. 4.20.,

4.24., B4.03{B4.05.).

Az id®méréssel (és a törtekkel) teremthetünk kapcsolatot az óramutatók által bezárt szö-

gek vizsgálatával (Tk. 4.15., B4.06{B4.08.).

Környezetismeret

A szögek mérése, irányok kijelölése tájolóval a terepen, illetve térképen a környezetis-

meret matematikai eszközigényére irányítja a �gyelmet.

Tanmenetjavaslat

Óra Aktuális tananyag Feladatok

Folyamatos ismétlés, koncentráció

1. Szögtartomány. Elnevezések (a szög csúcsa, szára),

jelölések.

Az egyenesszög és a derékszög fogalma.

A szögek összehasonlítása, mérésük { az egyenesszög,

illetve a derékszög az egység.

Törtek összehasonlítása, m¶veletek törtekkel.

Sokszögek vizsgálata.

Tk. 4.01{4.03.

2{3. Szögek mérése szögmér®vel. A fok, a szögperc, a szög-

másodperc fogalma.

Adott nagyságú szög rajzolása.

Tk. 4.04{4.07.,

4.09.;

Mgy. 8.104{

8.105.,

8.107{8.108.;

Jobb csoportban

Különböz® egységek közti átszámítások.

A mértékegység és a mér®szám változásának a kapcsolata.

Arányossági következtetések. Törtek.

Tk. 4.08.

4{5. A szögek fajtái.

A szögmérés gyakorlása. Id®mérés.

Tk. 4.10{4.15.;

Mgy. 8.103.,

8.106., 8.109.

75

Óra Aktuális tananyag Feladatok

Folyamatos ismétlés, koncentráció

6. Háromszögek, négyszögek szögeinek vizsgálata.

A trapéz, paralelogramma, téglalap szögeinek vizsgála-

ta. Háromszög, négyszög bels® szögeinek összegzése (ta-

pasztalatszerzés).

A téglalap területe és kerülete.

A négyszögek vizsgálata a derékszög¶ koordináta-rend-

szerben. Egyenletek. Sorozatok.

Tk. 4.16{4.21.;

Mgy. 8.113{8.115.

(+ 2 ó.) Jobb csoportban

Iránymérés terepen, térképen. A tájoló használata.

Térkép, laptájoló, mér®szalag alkalmazása.

Tk. B4.01.;

Mgy. 8.110{8.112.

7{8. A szögekr®l tanultak rendszerezése, alkalmazása, gya-

korlása.

Fejleszt® értékelés, a felzárkóztatás megszervezése.

Tk. 4.22{4.24.,

B4.02{B4.15.;

Mgy. 10.07.;

Fgy. 6.3.35{36.;

Tk. 4.25., B4.16.

A tananyag-feldolgozás áttekintése

A szögtartomány

Többféleképp eljuthatunk a szög fogalmához:

1. A síkot a P kezd®pontból kiinduló két félegyenes két tartományra darabolja. (A két

félegyenes által alkotott töröttvonal mindkét tartományhoz hozzá tartozik.) Ezeket

a tartományokat nevezzük szögeknek, a P pontot a szög csúcsának, a két féle-

gyenest a szög szárainak. Ebben az értelmezésben a szöget síkidomnak tekintjük.

Abban a határhelyzetben, amikor a két félegyenes egybeesik (az el®bbi értelmezés

kiegészítéseként), bevezethetjük a nullszög, illetve a teljesszög fogalmát.

Két szög egyenl®, ha egybevágó, vagyis mozgással fedésbe hozható. Két nem

egyenl® szög közül az a nagyobb, amelyik tartalmaz azonos csúcsú és a másikkal

egybevágó szögtartományt. Ha egy szöget egységül választunk, akkor a szögeket

mérhetjük. Ebben az értelmezésben a szög értéke nemnegatív valós szám.

2. Ha a síkban egy P kezd®pontú félegyenes a P pont körül elforgatva egy kezd®-

helyzetb®l egy véghelyzetbe jut, akkor (forgás)szöget súrol.

Az alsó tagozatos foglalkozások inkább a 2. értelmezést készítik el®, ötödik osztályban

viszont az 1. értelmezést tudatosítjuk, ugyanis az kapcsolódik jobban a fogalomrend-

szerhez. Ugyanakkor a tapasztalatgy¶jtés szintjén (síklapok feldarabolása, szívószálak,

óramutatók elforgatása) célszer¶ mindkét értelmezéshez kapcsolódnunk. Sok olyan fel-

adatot oldatunk meg, amely tárgyi tevékenységb®l kiindulva elvezeti a tanulót a fenti

fogalmak szemléletes megalapozásához, továbbá az els® értelmezés tudatosításához.

76

A két értelmezés között úgy teremtjük meg a kapcsolatot, hogy az elforgatott félegyenes

által súrolt tartományt vizsgáljuk.

A szögtartomány egybevágóságának alkalmazásaként újra értelmezhetjük a mer®lege-

seket (négy egybevágó szögre darabolják a síkot ) és a derékszöget.

A szögek nagyság szerinti összehasonlításának tanításánal, a hibás fogalomalkotás el-

kerülése céljából föltétlenül javasoljuk az eszközhasználatot. A tanulóknak az okozhat

nehézséget, hogy a végtelen szögtartományok egybevágóságát véges modellel kell fel-

ismernie. Ezért a tapasztaltak helyes értelmezéséhez tanári magyarázatra is szükség

lehet. Típushiba, hogy a tanuló azt a szöget tekinti nagyobbnak, amelyiknek a szárát

hosszabbra húzta meg, vagy amelyiket nagyobb sugarú körívvel jelölt meg.

Javasoljuk, hogy az egyenesszög jelölésére már most vezessük be a � szimbólumot.

Ha a szögmérés egységének nem csak a fokot (és kisebb részeit) választjuk (Tk. 4.02.),

akkor elkerülhetjük azt a típushibát, hogy a gyermek a szöget csak fokokban mérve tudja

elképzelni.

Szögek mérése szögmér®vel

Hívjuk fel a �gyelmet arra, hogy a régi babilóniai csillagászok 60-as számrendszerének

maradványaként a szögmérésnél nem 10, 100 stb. a váltószám (hasonlóan az id®mé-

réshez).

A szögek nagyságának a becslése, a becslés ellen®rzése méréssel el®segítheti az is-

meretek alkalmazhatóságának fejl®dését. A szögmér® használatát a feladatokban leírt

egyszer¶ segédeszközökkel minden tanuló néhány perc alatt elsajátíthatja, és egy-két

óra alatt maximálisan begyakorolhatja.

Az egyik felmérésünk szerint ötödik osztály végén a tanulók egyharmada nem tudta meg-

mérni az adott hegyesszöget, ezért célszer¶ végiggondolnunk a szögmérés �lépéseit".

Tudatos becslés: A tanuló megállapítja, hogy az adott szög kisebb vagy nagyobb

a derékszögnél, illetve az egyenesszögnél (kés®bb, hogy hegyesszög-e, tompa-

szög-e stb.). Tudatosítja például, �ha a derékszögnél nagyobb, de az egyenesszög-

nél kisebb, akkor 90�-nál nagyobb, de 180�-nál kisebb".

Mérés, az eszköz használata, a mérési eredmény leolvasása.

A szög nagyságának meghatározása a becsült és a mért eredmény összevetésével.

Jó módszertani fogás a papír szögmér® két skálájának különböz® szín¶re színezése

(például sorkiemel® �lctollal).

77

A homorúszögek mérését csak a konvex szögek mérésének begyakorlása után célszer¶

gyakoroltatni. Homorúszög esetén még azt is célszer¶ el®re megállapíttatnunk, hogy a

szög 270�-nál nagyobb-e vagy kisebb.

A szögperccel, szögmásodperccel kapcsolatos feladatokból elegend® néhányat megol-

dani. Ebb®l felesleges szigorú követelményt támasztanunk. A fogalomalkotáshoz fonto-

sabb az egyenesszöggel mint egységgel mért szögek átszámítása fokokba, és viszont.

Ezzel el®készíthetjük az ívmérték tanítását (a középiskolában sok gondot okoz), ismé-

telhetjük a törtrész kiszámítását.

A tanulók ismerjék föl a mértékegység és a mér®szám változása közti összefüggést.

A szögek fajtái

Háromszögek, négyszögek szögeinek vizsgálata

A szögféleségeket csak akkor értelmezhetjük, ha a tanuló megbízhatóan és alkalmaz-

hatóan ismeri a derékszög fogalmát, és képes a különböz® szögek nagyság szerinti

összehasonlítására. A tapasztalatok szerint jól bevált a Tk. 4.10{4.11. feladatban alkal-

mazott eszköz.

Az elnevezések megtanítását a feladatok megoldásához kapcsolódva a vizsgált szögek

ismételt megnevezésével érhetjük el. �Melléktermékként" elmélyíthetjük, kiegészíthetjük

a háromszögekr®l, négyszögekr®l tanultakat.

Ha az osztály színvonala megengedi a törzsanyag kib®vítését, akkor itt külön foglalkoz-

hatunk a konvex síkidomokkal, ezen belül speciális esetként a konvex szögekkel, illetve

a konvex sokszögekkel. A tanulók felismerhetik a következ®ket:

A hegyesszög, a derékszög, a tompaszög, az egyenesszög konvex.

A konvex sokszög minden szöge konvex. A nem konvex sokszögnek van homorú-

szöge.

Gyakorlófeladatok

A tankönyv b®séges választékot kínál a tanultak rendszerezésére, illetve a más téma-

körökkel való koncentráció megteremtésére. A feladatok egy részéhez a folyamatos

ismétlés során is visszatérhetünk.

Külön felhívjuk a �gyelmet a koordináta-rendszerrel kapcsolatos feladatokra (Tk. 4.20.,

4.24.). Ezekkel a pontok ábrázolásán és a szögmérésen kívül gyakorolhatják a tanu-

lók a kerület- és területszámítást, a hasonlóságot, a trapézokról, paralelogrammákról

tanultakat, ezen túlmen®en megsejthetik a háromszög és a négyszög bels® szögeinek

összegét.

Merre menjünk?

A tankönyv b®vített változatában szerepl® fejezet.

Semmiképp sem javasoljuk, hogy ezzel a témakörrel tanórán foglalkozzunk. A környezet-

ismeret és a testnevelés tantárggyal közösen célszer¶ megszervezni félnapos, egyna-

78

pos tanulmányi kirándulást, és ennek keretében játékos versenyeken megtanulhatják a

tanulók a térkép és a tájoló használatát.

Az ilyen rendhagyó matematikaórák meglep® hatékonyságáról több ízben megbizonyo-

sodhattunk.

Matematikából a következ®ket gyakoroltathatjuk:

1. Útszakasz, kerítés stb. hosszúságának, épület, kisebb fa magasságának becslése,

majd (a lehet®ségekhez mérten) megmérése.

2. Távolságok meghatározása térkép segítségével. A térképen kijelölt és megmért út-

szakasz végigjárása.

3. Adott területek becslése, a becslés pontosságának ellen®rzése méréssel és számí-

tással.

4. Az égtájak kijelölése tájolóval. Az északi iránytól mért irányszögek meghatározása.

Annak felismertetése, hogy kétféleképp fordulhatunk a megjelölt irány felé.

5. Tereptárgyak azonosítása térkép, tájoló segítségével és távolságbecsléssel.

Mivel vannak olyan iskolák, amelyek nincsenek kell® mértékben ellátva a szükséges

mér®szalagokkal, laptájolókkal, turistatérképekkel, ezért célszer¶ a foglalkozásokat

legfeljebb 10 f®s csoportokban szervezni, az eszközöket és a feladatokat pedig cikli-

kusan cserélni a csoportok között. A foglalkozásokat egy akadályversennyel zárhatjuk,

amelyben a csoportok bemutatják a frissen szerzett tudásukat. (A pálya a tanár számára

legyen belátható.)

79

5. Törtek

Els®rend¶ feladatunk, hogy a számok (aritmetika) tanítása korszer¶ matematikai szem-

lélet megalapozásához vezessen.

A törtek tanításánál (de a többi matematikai fogalomnál is) ez kétirányú tervezést felté-

telez. Egyrészt a törteket be kell építeni a számok fogalomrendszerébe, fel kell tárni az

egymásra épül® részfogalmakat, kapcsolatot kell teremteni a matematika egyéb foga-

lomrendszereivel, valamint más tantárgyakkal (�zika, kémia, technika stb.). Ez a rész

az ún. tartalmi tervezés. (Tehát az, hogy mit milyen mélységig, milyen összefüggések

feltárásával akarunk megtanítani.)

Másrészt fel kell tárnunk a környezeti ún. �kiszolgáló" elemeket, amelyek segítségé-

vel tartalmi céljainkat megvalósítjuk. Így meg kell találnunk az életkori sajátosságoknak

megfelel® motivációt, a tárgyi tevékenység lehet®ségét, a tanítási egységnek a fogalo-

malkotásban elfoglalt helyét, a leghatékonyabb munkaformákat, módszereket, s mind-

ezeket úgy kell tervezni, hogy a tananyag elsajátítása mellett elérjük nevelési céljainkat

is.

Mindezek hangsúlyozottan mutatják a rendszerszemlélet szükségességét a matematika-

tanításban.

A törtek fogalmának kialakítása alsó tagozaton kezd®dik. Ezt az id®szakot a manipulá-

ciónak és a tapasztalatgy¶jtésnek kell jellemeznie. Sem a ráfordítható óraszám, sem

a tanulók fejlettsége, el®képzettsége nem teszi lehet®vé az absztrakciót. Az elsietett

fogalomalkotás hátrányát igazából a fels® tagozaton éreznénk, els®sorban akkor, ami-

kor a tanulók olyan ismérveket is a törtek fogalomjegyei közé sorolnának, amelyek nem

tartoznak oda, illetve több fogalmi jegyet elhagynának. A nem kell®en megalapozott

ismereteket a tanuló könnyen elfelejti, nem képes újszer¶ feladatban alkalmazni (transz-

ferálni).

5. osztályban a törtek értelmezéséb®l az azonos nevez®j¶ { illetve könnyen azonos ne-

vez®j¶vé alakítható { törtek összeadásáig, kivonásáig, valamint természetes számmal

való szorzásukig, osztásukig jutunk el.

Ha az alsó tagozaton nem halmozódtak fel súlyos hiányosságok, és az els® két fejezet

feldolgozására nem kellett túl sok órát fordítanunk, akkor célszer¶ a negatív törtekkel

is foglalkoznunk. (Lásd a tankönyv b®vített változatának megfelel® fejezeteit.) Ezzel

egyrészt összekapcsoljuk és meger®sítjük a 3. és 5. fejezetben tanultakat, másrészt

el®készítjük a 6. osztályos tananyagot (a hosszú érlelés elvét követve).

6. osztályban el kell érnünk, hogy a törtek körében mind a négy alapm¶veletet el tudják

végezni.

7., 8. osztályban a racionális számokról tanultakat folyamatosan ismételjük, és egyre

összetettebb feladatokban gyakoroltatjuk. Minden tanulótól követeljük meg a racionális

szám fogalmának biztos ismeretét, s e számok halmazán végzett m¶veletek készség

szintjén való végzését.

A törtekr®l tanultak begyakoroltatását a Matematika 5. Gyakorló 5. fejezet feladatainak

megoldatásával érhetjük el.

80

A tananyag-feldolgozás csomópontjai

1. Az alsó tagozaton szemléletes szinten kialakított törtfogalom tudatosítása; elneve-

zések, jelölések; de�níciók. A tört mint szám fogalmának kialakítása, ábrázolásuk

számegyenesen. Azonos nevez®j¶, illetve azonos számlálójú törtek nagyság szerinti

összehasonlítása. Mennyiségek törtrészének meghatározása.

2. Törtek egyszer¶sítése, b®vítése. A számok végtelen sokféleképpen írhatók fel tört-

alakban. Különböz® nevez®j¶ törtek összehasonlítása.

3. Egyenl® nevez®j¶, illetve könnyen egyenl® nevez®re hozható törtek összeadása,

kivonása. Az összeadás tulajdonságairól tanultak kiterjesztése a törtekre. Az össze-

adás és kivonás összefüggésének tudatosítása, alkalmazása egyenletek megodá-

sában.

4. A törtek szorzása, osztása természetes számmal. A szorzás tulajdonságairól ta-

nultak kiterjesztése a törtekre. A szorzás és osztás összefüggésének tudatosítása,

alkalmazása egyenletek megoldásában.

5. A tanultak alkalmazása egyszer¶ szöveges feladatok megoldásában.

Kapcsolódási lehet®ségek

Halmazok, logika

A gyerek el®tt váljék nyilvánvalóvá, hogy a természetes, illetve az egész számok a tört-

alakban írható számok, vagyis a racionális számok részhalmazai. A törtszámok és az

egész számok egymás kiegészít® halmazai, ha az alaphalmaz a törtalakban írható szá-

mok halmaza. Más megközelítésben: a tanult számok halmazát a pozitív egész számok,

a 0, a negatív egész számok, a pozitív törtszámok és a negatív törtszámok alkotják.

Egyszer¶ nyitott mondatok megoldását különböz® számhalmazokon vizsgálhatjuk.

Törtekkel kapcsolatos állítások igazságának eldöntése (Tk. 5.13., 5.14., 5.56.; B5.05.,

B5.07{B5.09., B5.20.).

A számtan, algebra egyéb témakörei

A szám-, illetve a m¶veletfogalom kiterjesztése, a m¶veleti tulajdonságok vizsgálata so-

rán az eddig tanult ismereteket eszközszer¶en alkalmazzuk, illetve általánosítjuk. Fontos

a zárójelek használatának és a m¶veleti sorrendr®l tanultaknak a felelevenítése, gyakor-

lása. Ha a csoport összetétele megengedi, akkor föltétlenül kapcsoljuk össze a törtekr®l

és a (negatív) egész számokról tanultakat (de ez még ne legyen követelmény).

Mennyiségek törtrészének kiszámítása az arányos következtetésekr®l tanultakhoz kap-

csolódik.

A törtek egyszer¶sítése, illetve b®vítése során elemi számelméleti ismeretekre (osztha-

tóság, osztó, többszörös), illetve a hányados változásáról tanultakra támaszkodunk.

81

A m¶veletek közti kapcsolatokról tanultak alkalmazását tételezi fel az egyenletek, egyen-

l®tlenségek megoldása (Tk. 5.31., 5.36., 5.40., 5.46., 5.48.; B5.09., B5.35., B5.36.,

B5.46., B5.48., B5.56., B5.57., B5.59., B5.62{B5.64.).

Relációk, függvények, sorozatok

Néhány elemével megadott sorozathoz, táblázattal megadott függvényhez szabály kere-

sése, a sorozat, illetve táblázat kitöltésének folytatása adott (egyszer¶) szabály alapján

a törtek körében (Tk. 5.13., 5.14., 5.23., 5.35., 5.55., 5.57.; B5.06., B5.18., B5.19.,

B5.27., B5.38., B5.39., B5.55., B5.60., B5.61.).

Mérés, geometria

A törtek és a törtekkel végzett m¶veletek fogalmának kialakítása során fontos a törtek

geometriai modellezése { szakaszok, téglalapok, körök felosztása egyenl® részekre

A mértékegységekr®l, törtekr®l tanultak �összeszövése", mennyiségek (hosszúság, tö-

meg, ¶rtartalom, id®) törtrészének meghatározása, téglalap kerületének, területének

kiszámítása, ha az oldalak hosszúságának mér®száma törtszám (Tk. 5.06{5.09., 5.15.,

5.22{5.24., 5.32., 5.34., 5.45., 5.57., 5.58., 5.60., 5.61., 5.65., 5.66.; B5.23{B5.25.,

B5.28., B5.32{B5.34., B5.40{B5.44., B5.49., B5.50., B5.52.).

Kombinatorika, valószín¶ség

Törtalakú számok el®állítása adott számjegyekb®l (Tk. B5.31.).

A tört fogalmának kialakítása, illetve a törtek nagyság szerinti összehasonlítása megte-

remti az alapot a relatív gyakoriság meghatározására, valószín¶ségek összehasonlítá-

sára { melyik esemény bekövetkezésének nagyobb a valószín¶sége.

Tanmenetjavaslat

Óra Aktuális tananyag Feladatok

Folyamatos ismétlés, koncentráció

1{3. A törtekr®l tanultak ismétlése, jelölések, elnevezések.

A tört értelmezése mint az egység valahányad részének

többszöröse. Az egynél nagyobb, illetve az egynél kisebb

törtek. Számok törtalakja { törtszám, egészek törtalakjai.

Törtek ábrázolása számegyenesen.

A tört fogalma mint több egész egyenl® részekre osztása.

Mgy. 5.01{5.03.,

6.34., 5.11{5.12.,

9.51{9.55.;

Tk. 5.01{5.05.,

5.10{5.12.;

Az osztás értelmezése. Hosszúságmérés. Területszámítás.

Halmazok, logika. Számelmélet.

Tk. 5.06{5.09.;

Fgy. 3.1.01{05.,

3.1.10.

82

Óra Aktuális tananyag Feladatok

Folyamatos ismétlés, koncentráció

4{6. Egyenl® nevez®j¶, illetve egyenl® számlálójú törtek

összehasonlítása, nagyság szerinti rendezése.

Tk. 5.13{5.18.,

Törtek egyszer¶sítése, b®vítése. Különböz® nevez®j¶

törtek összehasonlítása közös nevez®re hozással, közös

számlálójú törtekké alakítással, illetve számegyenesen

történ® ábrázolással.

A hányados változásai. Számegyenes. A hosszúság és a

tömeg mértékegységei. Területszámítás.

5.19{5.24.;

Mgy. 5.08{5.10.,

5.13{5.21.,

9.56{9.57.;

Fgy. 3.2.01{03.;

A negatív számok. Mgy. 5.22{5.23.

(+ 1 ó.) Jobb csoportban

Törtek ellentettje. A törtek egész szomszédai. Negatív

törtek értelmezése, ábrázolása, rendezése.

Mgy. 5.04{5.07.;

Tk. B5.01{B5.09.;

Fgy. 3.2.04{06.,

3.2.18{19.

7{9. Azonos nevez®j¶, illetve könnyen azonos nevez®j¶vé ala-

kítható törtek összeadása és kivonása eszközök, illetve

rajzos modellek segítségével. A törtek összegalakja.

A törtek egyszer¶sítése és b®vítése. Halmazok, logika, nyi-

tott mondatok, sorozatok. Számegyenes. Negatív számok.

Hosszúságmérés. A téglalap területe.

Tk. 5.25{5.31.;

Mgy. 5.24{5.30.;

9.58{9.59.;

Tk. 5.32{5.34.;

Mgy. 5.31{5.34.;

9.60.;

Fgy. 3.3.01{02.

10{11. A törtek összeadásának és kivonásának gyakorlása, al-

kalmazása a matematika különböz® területein.

Mgy. 5.35{5.38.;

Tk. 5.35{5.40.;

(+ 2 ó.) Jobb csoportban

Pozitív és negatív törtek összeadása, kivonása.

B5.10{B5.14.;

Egyszer¶ szöveges feladatok.

Egyenletek, egyenl®tlenségek megoldása a törtek körében

próbálgatással, �lebontogatással".

Hosszúság-, ¶rtartalom-, id®mérés. Terület-, kerületszámí-

tás. Arányosság.

Fgy. 3.3.11.,

3.3.13{15.,

3.3.22.

12{13. A törtek szorzása természetes számmal (eszközzel, raj-

zos modellel, szemléletes feladatokkal). A m¶veletek sor-

rendje, zárójelek használata.

Egyszer¶ szöveges feladatok.

A szorzás m¶veleti tulajdonságai. Szorzás 0-val.

Mgy. 5.39{5.40.,

5.44{5.45., 9.61.;

Tk. 5.41{5.50.;

Fgy. 3.3.26.;

Jobb csoportban

Negatív törtek szorzása természetes számmal.

Tk. B5.15{B5.17.

83

Óra Aktuális tananyag Feladatok

Folyamatos ismétlés, koncentráció

14{15. A törtek osztása természetes számmal (eszközök, rajzos

modellek).

Egyszer¶ szöveges feladatok.

A m¶veletek sorrendje, zárójelek használata.

Az osztás a szorzás fordított m¶velete. A hányados válto-

zásai. Egyenletek, egyenl®tlenségek.

Mgy. 5.41{5.43.,

5.46.;

Tk. 5.51{5.55.;

Sorozatok, szabályjátékok. Mgy. 6.52.

Jobb csoportban

Negatív törtek osztása természetes számmal.

16{18. A törtekr®l tanultak rendszerezése, gyakorlása, alkalma-

zása. A hiányosságok feltárása és kiküszöbölése.

Törtekkel kapcsolatos szöveges feladatok megoldása.

Halmazok, logika. Kombinatorika.

Relációk, függvények, sorozatok.

Egyenletek, egyenl®tlenségek.

Tk. 5.56{5.67.;

B5.20{B5.64.;

Mgy. 7.42., 7.44.;

5.47.;

Hosszúság-, tömeg-, id®mértékegységek átváltása. Négy-

szögek szerkesztése. Kerület-, terület-, felszín-, térfogat-

számítás. Testek ábrázolása.

Fejleszt® értékelés di�erenciált feladatsorral. Tk. 5.68.; B5.65.;

Mgy. 10.06.

A tananyag-feldolgozás áttekintése

A törtek értelmezése

Bár alsó tagozatból bizonyos elemi törtfogalmat hoznak magukkal a tanulók, mégis szük-

séges a b®séges tapasztalatszerzés 5. osztályban is.

Az ismeretszerzés fázisai:

cselekvés, kísérletezés, tapasztalatgy¶jtés;

sejtések, felfedezések (heuréka);

lényeges fogalmi jegyek megkeresése;

lényegtelen, esetleg hibás jegyek (�zajok") kisz¶rése;

egyszer¶ fogalmak kialakítása, elnevezések;

manipuláció az egyszer¶ fogalmakkal;

magasabb rend¶ fogalmak kialakítása;

fogalomrendszerek kialakulása;

kapcsolatok egyéb fogalomrendszerekkel.

Ezek a fázisok magukban foglalják az alkalmazást, a gyakorlást, a küls®-bels® koncent-

84

rációt, a transzfert (új területen való alkalmazást) és az ismétlést is. Ebb®l következ®en

minden fogalom kialakítását { így a törtekét is, még ha id®igényesebb, akkor is { feltét-

lenül kísérletezéssel, konkrét tárgyi tevékenységgel kell kezdenünk. Fontos, hogy minél

többféle modellt kapjanak a gyermekek a kezükbe, hogy ne egy eszközhöz kössék a

törtfogalmat, hiszen akkor eseleg a modell jellemz® jegyeit (�zaj") is a tört fogalmi je-

gyeinek tekintik. A tankönyvben a színesrudkészlet, területmodellek, szakaszmodellek,

korongok, logikai készlet stb. szerepelnek javasolt eszközként.

A törtek kétféle értelmezését tárgyaljuk.

A tört mint a törzstört többszöröse. ( Törzstört számlálója 1, a nevez®je pozitív

egész.) Például:

3

4az

1

4(az egység negyedének) háromszorosa.

A tört mint valamely mennyiség valamekkora része. Például:

3

4a 3 egésznek az

1

4része.

Mindkét értelmezés magában foglalja a tört mint osztás, vagy másképpen, a tört mint

hányados fogalmát is. Erre még kés®bb { a tizedestörteknél { visszatérünk, s akkor

részletesebben tárgyaljuk. Itt csak alaposan el®készítjük.

Kövessük végig az ismeretszerzés fázisait!

Kezdetben tanulópárokban vagy 3-4 f®s csoportokban különböz® eszközökkel kísérle-

teket végeznek a tanulók. Az eszközök használatát a tanár szemlélteti, ezután önálló

munka folyik. Érjük el, hogy a tanulók annyit fedezzenek fel a törtek értelmezéséb®l,

amennyit képesek. (A szemléletileg nem alátámasztott, túl gyors absztrakciónak kés®b-

bi munkánk során látjuk kárát.) Kés®bb ugyancsak csoportmunkában dolgoznak, tanári

demonstráció nélkül, viszont tanári utasításra { a tanár irányítja a tapasztalatszerzést.

A csoportmunka több szempontból kívánatos. Egyrészt így többféle tapasztalatot sze-

reztethetünk ( különböz® csoportok például más-más eszközzel, más-más törtrészt ke-

resnek meg ), másrészt a jobb képesség¶ tanulók segítik a tanár munkáját, irányítják a

csoportban lév® gyengébb képesség¶ tanulók tevékenységét.

A sejtések kimondása föltétlenül frontális munkát igényel, a tanulók összevetik saját

tapasztalatukat társaikéval. A sejtések megfogalmazása olyan legyen { úgy irányítsa a

tanár {, hogy a lényeges, jellemz® jegyeket meg tudják állapítani. Felhívjuk a �gyelmet

néhány gyakran el®forduló hibára:

A tanulók keverik a számláló és a nevez® fogalmát.

Rosszul olvassák ki a törteket.

Pontatlanok a meghatározások. Például:

�Ötödöt kapunk, ha egy egészet 5 részre osztunk." A példában is benne van, de a

tanárnak is mindig javítani, illetve javíttatni kell: �Ötödöket kapunk, ha egy egészet

5 egyenl® részre osztunk."

Nem ismerik föl, hogy egy tört egynél kisebb, nagyobb, vagy egyenl® eggyel.

Amennyiben a tapasztalatszerzéskor, az eszközhasználatnál következetesek vagyunk,

ezeket a hibákat elkerülhetjük.

Míg a törtek írását, olvasását; számláló, nevez®, törtvonal fogalmát, az egynél nagyobb,

85

egynél kisebb, eggyel egyenl® törtek fogalmát nem sajátították el a tanulók, addig nem

szabad továbblépnünk, mert ezek olyan alapismeretek (egyszer¶ fogalmak), amelyek

nélkül a továbbiakban nem tudunk dolgozni.

A �törtszám", illetve a �tört" mint tört alakú szám fogalmát az irodalomban és a peda-

gógiai gyakorlatban nem egységesen használják. Mi törtszámoknak nevezzük azokat a

törteket, amelyek nem írhatók fel egész szám alakban.

A4

2például tört alakú szám, röviden tört, mert két szám hányadosaként írtuk föl, de

4

2= 2, ezért nem törtszám. A

3

7viszont törtszám.

Törtek összehasonlítása, egyszer¶sítése, b®vítése

Eddig a törteket legtöbbször valamilyen mennyiséghez kapcsoltuk és törtrész mér®szá-

mát jelöltük vele (akár a törzstört többszöröseként, akár valamely mennyiség valamek-

kora részeként értelmeztük).

Ebben a fejezetben már sokszor eltekintünk magától a mennyiségt®l, és csak a mér®-

számmal dolgozunk. Erre utal a fejezet végén található néhány példa. Mindig fel kell hívni

a tanulók �gyelmét, hogy például:1

3rész 6=

1

3. Dimenzionális különbség van köztük. Így

egy 12 cm-es szakasz1

3része 4 cm, és nem 4, illetve 12 cm

1

3része = 4 cm 6=

1

3.

(Kés®bb a százalékszámításnál is gondot jelent majd, hogy valamely mennyiség

80%-a nem80

100, hanem a mennyiség

80

100része.)

A konkrét mennyiségekt®l (hosszúság, terület, tömeg, darabszám stb.) való elszakadás

nem jelenti azt, hogy itt már felesleges lenne a tárgyi tevékenység. A bevezet® felada-

tok, ebben a fejezetben is, konkrét mennyiségek valamekkora részeinek mér®számai

összehasonlítására vonatkoznak.

Egyenl® nevez®j¶, majd egyenl® számlálójú törtek összehasonlítására kerül sor. ( Itt tört

alakú számokat hasonlítunk össze, tehát például16

8is el®fordulhat a törtek között.)

A különböz® nevez®j¶ és számlálójú törtek összehasonlítására háromféle módot ismer-

jenek meg a gyerekek:

egyenl® számlálójú törtekké alakítva döntsük el a nagysági viszonyokat (építünk a

manipulatív tevékenység tapasztalataira);

egyenl® nevez®j¶ törtekké alakítjuk ®ket;

ugyanolyan egység¶, de különböz® beosztású számegyeneseket helyezünk egymás

alá, s az egyes osztópontok �vetítésével" eldönthetik a nagysági viszonyokat.

Mindhárom összehasonlítási módnak az az alapja, hogy bizonyos modelleken valamilyen

törtrészt többféle formában is el® tudjanak állítani a tanulók. Ez ismét a konkrét tárgyi

tevékenység fontosságát támasztja alá. Például:

1

2=2

4=4

8= . . .

0

1

8

1

4

1

2

�

1

86

Enélkül gondunk lehet mind az egyszer¶sítéssel, mind a b®vítéssel, ebb®l ered®en a

törtek sorba rendezésével, összeadásával, kivonásával.

Az egymás alatt elhelyezett, azonos egység¶, más-más beosztású számegyenesek

igen hasznosak az egyszer¶sítés és a b®vítés tanításában. (Például az egymás alatt

elhelyezked® pontokkal szemléltethetjük, hogy az1

3milyen törtekkel egyenl®. (Lásd a

tankönyv ábráját.)

Ez a feladat arra is jó, hogy megmutassuk: egy szám végtelen sokféleképpen felírható.

Az ilyen tárgyalásmód egyben kisz¶ri azt a hibalehet®séget is, hogy a törtek b®víté-

sét keverjék a tanulók a törtek természetes számmal való szorzásával. Csak megfelel®

számú feladat megoldása után fogalmaztassuk meg azt a szabályt, amely a hányados

változásával való kapcsolatot mutatja. (�A tört értéke nem változik, ha mind a számláló-

ját, mind a nevez®jét ugyanazzal a 0-tól különböz® számmal szorozzuk vagy osztjuk.")

Ha a szabályt korábban ismertetjük velük { s nem maguktól jönnek rá {, ismeretük

formális lesz, nem látják az algoritmus mögött a tartalmat.

Az egymás alá helyezett számegyenesek jól modellezhet®k a színesrúdkészlettel. A

színesrúdkészlet azonban még sokoldalúbban is felhasználható, mert más-más rudat

választva egységnek, a többi rúd is más-más törtet jelent, míg a számegyeneseknél ez

újabb ábrát kíván.

Egyenl® nevez®j¶ törtek összeadása, kivonása

A tapasztalatok azt mutatják, hogy ez a fejezet nem okoz gondot a tanulóknak. Mégis

tanácsoljuk, hogy a tankönyvben ajánlott manipulatív tevékenységet végeztessük el a

tanulókkal, mert így megértik, miért kell azonos nevez®j¶vé alakítani a törteket. A

leghasznosabb a színesrúdkészlet és a területmodell.

Egyenl® nevez®j¶ törtek összeadását, kivonását maximális begyakorlottság (készség)

szintjén kell tudniuk a tanulóknak.

Különböz® nevez®j¶ törtek összeadása, kivonása

A könnyen azonos nevez®j¶vé alakítható törtek összeadása, kivonása a követelmény

(például: az egyik nevez® többszöröse a másiknak vagy kis számok a nevez®k, ezért

látszik a legkisebb közös többszörös).

Ebben a fejezetben el®térbe kerül a bels® koncentráció. Egyrészt motivál (érdekes),

másrészt egyéb anyagrészt is gyakoroltatunk vele. Például mértékek, mértékegységek,

sorozatok, nyitott mondatok.

A gyakorlófeladatok megválasztásában is szükségesnek tartjuk a di�erenciálást. Né-

mely tanulónak a minimumkövetelmény teljesítése is komoly er®próba. Velük els®sorban

az összeadást és a kivonást gyakoroltassuk. A jobb képesség¶ek optimális fejl®dését

ugyanakkor már csak a nehezebb, összetettebb feladatokkal biztosíthatjuk.

Az egyenleteket, egyenl®tlenségeket (Tk. 5.36. feladat) els®sorban próbálgatással

vagy lebontogatással oldassuk meg. Például: 1 { y =4

9; 1-b®l, azaz

9

9-b®l mennyit

87

kell elvennünk, hogy4

9maradjon? A Tk. B5.59. feladattal a �mérlegelv" majdani

tanulásához gy¶jthetnek élményt a tanulók.

A �zajok" kisz¶résére szolgál az ún. �H¶bele Balázs"-os feladat (Tk. B5.47.). Minden-

képpen frontális munkában javasoljuk megoldatni. A leggyakrabban el®forduló tanulói

hibákat �rejtettük" el benne.

Bár a törtek b®vítését, egyszer¶sítését tanulták a tanulók, így elvileg minden alap meg-

van arra, hogy ezeket a feladatokat eszköz nélkül is megoldják, mégis javasoljuk, hogy

azoknak a tanulóknak, akiknek problémát jelent az egyszer¶ numerikus feladat megol-

dása, engedjük meg az eszközhasználatot vagy a rajzos modell készítését.

Törtek szorzása természetes számmal

A törtek természetes számmal való szorzását kétféle módon vezetjük be. Mindkét út a

korábbi anyag ismétlése is egyben.

Egyrészt a törzstörtek többszöröseként:1

3� 2 =

2

3; másrészt azonos tagokból álló ösz-

szegeként:1

3� 2 =

1

3+1

3=2

3. Itt most komoly funkciója van a szorzótényez®knek.

(Szorzandó, szorzó.) Ha felcseréljük ®ket, akkor (didaktikailag) más m¶veletet végzünk.

A 2 �1

3a 2-nek az egyharmad része, vagy a 2-nek az

1

3-szorosa. Ez nem vezethet®

vissza összeadásra. A törttel való szorzás 6. osztályos követelmény.

Adnunk kell olyan példát is, ahol a szorzás mindkét formáját meg tudjuk mutatni. Például:

3

4� 2 =

3 � 2

4=6

4=3

2; vagy

3

4� 2 =

3

4 : 2=3

2.

Azaz: �� szorozzuk a tört számlálóját �", vagy: �� osztjuk a tört nevez®jét �". Ez

utóbbit csak akkor célszer¶ alkalmazni, ha a nevez® osztható az egésszel.

Sok példa megoldása során a tanulók felfedezhetik, hogy ha a törtet szorozzuk a neve-

z®jével, akkor a szorzat a tört számlálója lesz. Ezzel a felismeréssel mélyebbé válik a

tört értelmezése is. Például:3

7� 7 = 3;

5

3� 3 = 5; stb.

Kés®bb (7{8. osztályban, majd gimnáziumban) az algebrai kifejezéseknél, az egyenle-

teknél veszik ennek nagy hasznát.

Ebben a fejezetben is megvan a lehet®ség a bels® koncentrációra. Így kapcsolódhatunk

a m¶veleti tulajdonságokhoz, a m¶veletek sorrendjéhez, egyenletekhez, sorozatok-

hoz, terület-, kerületszámításhoz. Az egyenletek megoldása során is tudatosíthatjuk a

szorzás és osztás kapcsolatát.

Törtek osztása természetes számmal

A tanulók számára sokkal nehezebb ez az anyagrész, mint a törtek természetes szám-

mal való szorzása, tehát szükséges a konkrét tárgyi tevékenység. Ha a tankönyv beve-

zet® példái kevésnek t¶nnek { nem tudják a tanulók megsejteni az osztás algoritmusát {,

akkor még ne általánosítsunk, ne közöljük az algoritmust, hanem iktassunk az els® két

feladathoz hasonló feladatokat a begyakorlást szolgáló feladatok elé.

88

Itt is célszer¶ mindkét szabályt megtanítani, s példákon illusztrálni, hogy mikor melyiket

érdemes alkalmazni.

Gyakorlófeladatok

Ez a fejezet kett®s célt szolgál. Egyrészt, ha kevés az adott órára a feladat, akkor innen

lehet válogatni, másrészt ha a tudáspróba bizonyos hiányosságokat tárt fel, akkor ezek-

b®l a feladatokból válogathatunk olyanokat, amelyekkel a hiányokat megszüntethetjük.

Mindkét esetben lehet®séget teremt a di�erenciálásra is.

Törtek ellentettje

A tankönyv b®vített változatában található anyagrész.

A törtek értelmezése fejezetben pozitív törteket ábrázoltattunk számegyenesen. Ezt

most kib®víthetjük a negatív törtek ábrázolásával is. A negatív törteket a pozitív törtek

ellentettjeként (az egészeknél tanultakat felhasználva) vezetjük be. Ehhez át kell ismé-

telni az egész számok számegyenesen való ábrázolását.

Negatív törtekkel is számolunk

A tankönyv b®vített változatában szerepl® fejezet.

Az egész számokkal végzett m¶veletek, illetve a pozitív törtekkel végzett m¶veletek

szintéziseként dolgozhatjuk fel ezt a fejezetet, el®készít® jelleggel.

A számegyenesen való lépegetés analóg az egészeknél tanultakkal. Amennyiben prob-

lémát jelent, itt is vegyük el® a kis autós modellt. ( A tapasztalatok szerint a tanulók

mintegy felének szüksége van erre; B5.10{B5.11.)

Törd a fejed!

Ezeket a feladatokat di�erenciálási céllal, a tehetséggondozás szándékával szerepeltet-

jük a tankönyv b®vített változatában. Kifejezetten azoknak a tanulóknak szánjuk, akik a

törtek fogalmával rendelkeznek, biztosak a m¶veletek végzésében, és a korábbi felada-

tok nem terhelik le ®ket eléggé.

89

6. Adott tulajdonságú ponthalmazok

A témakör feldolgozását 10{16 órában javasoljuk.

Alacsonyabban állapíthatjuk meg a szükséges órák számát a következ® okok miatt:

Az alsó tagozatban kell® alapossággal tanulták a geometriát a gyerekek, így a mer®le-

gesség és a párhuzamosság fogalmával, mer®leges és párhuzamos egyenesek megraj-

zolásával a geometriai anyag átismétlésekor (a 2. fejezet feldolgozása során) foglalkoz-

tunk.

El®fordul, hogy a tanulók fejlettsége nem éri el azt a szintet, hogy érdemben foglalkoz-

zunk a geometriai szerkesztésekkel. Ebben az esetben a háromszög, illetve a téglalap

szerkesztését elhagyhatjuk. Esetleg jobb tanulókkal szerkesztési feladatokat oldatunk

meg, míg a témához még fel nem növ® tanulók a minimumkövetelményekhez kapcsoló-

dó gyakorlófeladatokkal foglalkoznak.

A térgeometriára szánt órák számát lehet®leg ne csökkentsük, s®t ha elegend® id®vel

rendelkezünk, akkor az egyik gyakorlóórán részletesebben foglalkozzunk egyéb térgeo-

metriai problémákkal is: téglatestek vizsgálatával, axonometrikus képük megrajzolásával

(Mgy. 8.38{8.43.), testek építésével, téglatest hálójának megszerkesztésével stb.

Bármely anyagrész biztos és alkalmazásképes elsajátításához a tanulók jelent®s hánya-

dának (a tanmenetjavaslathoz képest) több id®re van szüksége. Ezen a gondon di�eren-

ciáltan tervezett folyamatos ismétléssel segíthetünk, amely során �gyelembe vesszük a

konkrét osztály tanulóinak adottságait és a helyi tanterv ajánlásait. Dönthetünk úgy is,

hogy most több órában, koncentráltabban és alaposabban foglalkozunk az anyaggal.

Több órát szánhatunk az anyagra akkor is, ha úgy ítéljük meg, hogy a megnövelt

óraszám el®segíti a felzárkóztatást vagy a tehetséggondozást.

A tananyag-feldolgozás csomópontjai

1. Ponthalmazok távolsága. A kör és a párhuzamos egyenespár mint adott tulajdonsá-

gú ponthalmaz. A körz® használatának gyakorlása.

2. Egyenesek kölcsönös helyzete a síkon. Párhuzamosság, mer®legesség. A derék-

szög¶ vonalzó használatának gyakorlása.

3. Ismerkedés a szerkesztési feladatokkal. Háromszög és téglalap szerkesztése.

4. Az újonnan tanult fogalmak felhasználása a sokszögek vizsgálatában. Trapéz, pa-

ralelogramma, téglalap, rombusz, négyzet fogalma, tulajdonságaik, egymáshoz való

viszonyuk.

5. A vizsgálatok kiterjesztése a térre (adott tulajdonságú ponthalmazok térbeli analógja;

egyenesek, síkok kölcsönös helyzete a térben; téglatest éleinek és lapjainak kölcsö-

nös helyzete). Testek ábrázolása, építése, vizsgálata.

90

Kapcsolódási lehet®ségek

Halmazok, logika

Ponthalmaznak tekintjük az alakzatot távolságuk meghatározásakor, illetve a kör, gömb

stb. értelmezésekor (a sík vagy a tér pontjainak halmaza az alaphalmaz). Ebben a fel-

fogásban az alakzatok metszéspontjai a két ponthalmaz közös részének (metszetének)

tekinthet®k.

A négyszögek tulajdonságainak feltárása, a fogalomrendszer kialakítása során elenged-

hetetlen a vizsgált négyszögek részhalmazainak áttekintése, illetve a négyszögekkel

kapcsolatos állítások igazságának eldöntése (Tk. B6.07{B6.11.).

Számtan, algebra

A mértékegységek alkalmazása, átváltása során gyakoroljuk a természetes számok

írását, olvasását, a 10-zel, 100-zal, � való szorzást. Összetettebb feladatok megol-

dásakor a természetes számok összeadását, kivonását (ha kapcsolódunk a terület- és

térfogatszámításhoz, akkor a szorzását is).

Relációk

A párhuzamosság, illetve mer®legesség olyan reláció, amelyben az alaphalmaz a sík

(tér) egyeneseinek halmaza. A párhuzamosság (az értelmezésünk szerint) ekvivalenci-

areláció.

A pontok és alakzatok között vizsgáljuk az illeszkedés (rajta van) relációt. Ez a kapcsolat

{ halmazelméleti szempontból { megfelel az elem és a halmaz közti �eleme" relációnak.

A derékszög¶ koordináta-rendszerr®l tanultakhoz kapcsolódik a Tk. 6.14.; B6.21.,

B6.22. feladat.

A mérés, geometria egyéb témakörei

A vizsgálatokban, szerkesztésekben alkalmazzuk az eddig tanult geometriai ismereteket

(elnevezéseket, fogalmakat, szerkesztési eljárásokat), továbbá a hosszúságmérést. A

szerkesztési feladatokban, illetve a négyszögek vizsgálatakor kiszámíttathatjuk a sok-

szög kerületét, illetve a téglalapok területét, téglatestek felszínét és térfogtát.

Kombinatorika

Esetenként a feladat megoldásának áttekintéséhez (például a Tk. 6.29. feladat tizenhat

megoldásának megtalálásához) szükséges a kombinatorikai modell felismerése.

Tantárgyak közti kapcsolat (környezetismeret, technika)

Tereptárgyak távolságának mérése térképen. Testek ábrázolása.

91

Tanmenetjavaslat

Óra Aktuális tananyag Feladatok

Folyamatos ismétlés, koncentráció

1. Ponthalmazok távolsága. A távolság mint a legrövidebb

szakasz hossza.

Környezetismeret: Távolság meghatározása térképen.

Hosszúságmérés, a hosszúság-mértékegységek átváltása.

Szorzás, osztás 10-zel, 100-zal, 1000-rel, � .

Körz® és egyél¶ vonalzó használata, szakaszmásolás.

Tk. 6.01{6.03.;

Mgy. 8.06.,

8.72{8.74.

2{4. Mer®legesség fogalma, pont és egyenes, illetve pont és

sík távolsága.

Tk. 6.04.;

Párhuzamosság fogalma.

Egyenesek kölcsönös helyzete síkban és térben. Két sík,

illetve egyenes és sík kölcsönös helyzete.

Tk. 6.05{6.14.;

Mgy. 8.89{8.94;

A mer®leges és párhuzamos egyenesek szerkesztése de-

rékszög¶ vonalzóval. Egyenessel adott ponton át párhu-

zamos egyenes megrajzolása.

Ponthalmazok távolsága.

Adott tulajdonságú ponthalmazok.

Szakaszmásolás. Hosszúságmérés.

A téglatest (kocka) éleinek, lapjainak kölcsönös helyzete.

Derékszög¶ koordináta-rendszer.

A párhuzamosság és a mer®legesség mint reláció.

8.39.,

8.116{8.120.

5. A kör és a gömb mint adott tulajdonságú ponthalmaz. Tk. 6.15{6.19.;

Mgy. 8.75{8.79.;

(+ 1 ó.) Jobb csoportban

Adott tulajdonságú ponthalmazok vizsgálata. Az alaphal-

maz az egyenes, a sík és a tér.

Tk. B6.01{B6.06.;

Mgy. 8.80{8.81.;

Fgy. 6.2.09{10.,

6.2.20.

(+ 2 ó.) Jobb csoportban

Trapéz, paralelogramma, téglalap, rombusz, négyzet.

A speciális négyszögek tulajdonságainak és egymáshoz

való viszonyának felismertetése (el®készítés, tapasztalat-

szerzés).

A sokszögekr®l tanultak felelevenítése.

Párhuzamosság, mer®legesség.

Sokszögek kerülete.

Halmazok, halmazm¶veletek; igaz, hamis állítások.

Tk. B6.07{B6.13.;

Mgy. 8.95{8.98.;

Fgy. 6.3.15{18.,

6.3.31{32.

92

Óra Aktuális tananyag Feladatok

Folyamatos ismétlés, koncentráció

6. Háromszög szerkesztése három oldalból.

Hosszúságmérés, a hosszúság-mértékegységek átváltása.

A háromszög fogalma, háromszög-egyenl®tlenség, a há-

romszög kerülete.

Adott tulajdonságú ponthalmazok közös része.

Körz® és egyél¶ vonalzó használata, szakaszmásolás.

Tk. 6.20{6.21.;

Mgy. 8.82{8.88.;

Fgy. 6.4.27.

7{8. Szakaszfelez® mer®leges fogalma, szerkesztése.

Egyenes adott pontjában az egyenesre mer®leges egye-

nes szerkesztése.

Tk. 6.24{6.26.

9{10. Testek ábrázolása.

Párhuzamosság, mer®legesség. Kombinatorika.

Téglatest ábrázolása, hálója, felszíne, térfogata.

Tk. 6.27{6.29.;

Mgy. 8.100{

8.102.;

Fgy. 6.5.07{08.

Szükséges eszközök: Képsíkmodell, színesrudak, téglatest

élvázmodell. Sík- és térgeometriai modellez®készlet.

11{12. A tanultak rendszerezése, gyakorlása, összekapcsolása

a korábban tanultakkal.

Halmazok, logika. Kombinatorika. Relációk.

A trapéz, paralelogramma, téglalap tulajdonságai, kerü-

letük meghatározása. A téglalap területe. A derékszög¶

koordináta-rendszer, egész számok összeadása, kivonása.

Tk. 6.30{6.34.,

B6.21{B6.35.;

Fejleszt® értékelés, a felzárkóztatás megszervezése. Tk. 6.35., B6.36.;

Mgy. 10.05.

(+ 2 ó.) Téglalap szerkesztése.

Trapéz szerkesztése.

A téglalap (négyzet) fogalma, kerülete.

Szakaszmásolás. Hosszúságmérés.

A mer®leges és párhuzamos egyenesek szerkesztése.

Tk. B6.14{B6.17.,

B6.18{B6.20.;

Mgy. 8.99.

A tananyag-feldolgozás áttekintése

Ponthalmazok távolsága

A feladatok megoldása során, az aktuális geometriai tartalom tudatosítása mellett, fele-

levenítjük a szakasz, félegyenes fogalmát és jelölését, gyakoroltatjuk adott hosszúságú

szakasz kijelölését szakaszmásolással. Ráirányítjuk a tanulók �gyelmét a pontos fogal-

mazás szükségességére.

Az ötödik osztályos tantárgyak közül a környezetismerettel (földrajzzal) kell els®sorban

megteremtenünk a koncentrációt. Ezt sokan feleslegesnek tartják, pedig a matematika

gyakorlati alkalmazása mellett a valódi távolságok kiszámításával a mértékváltást és a

93

10-zel, 100-zal, 1000-rel való szorzást gyakoroltathatjuk, továbbá szemléletes szinten

el®készíthetjük a hasonlóság tanítását.

Két ponthalmaz távolságának fogalmához gyakorlati mérésekb®l kiindulva, kötetlen fel-

fedez® munka eredményeként, az elképzelések megvitatásával juthatnak el a tanulók.

Ezért ne magyarázzuk meg el®re ezt a fogalmat.

A Tk. 6.02{6.03. feladat feldolgozását csoportmunkában javasoljuk. A kiscsoport tagjai

vitathassák meg, hogyan érdemes értelmezni a távolságot, majd a csoportok ismertes-

sék az osztály el®tt az elképzeléseiket. Ezzel el®segíthetjük, hogy a felfedezett ismeretek

a szemléletesség szintjér®l a fogalmi szintre fejl®djenek. El kell érni, hogy (az általános

iskolában elfogadható pontossággal) önállóan értelmezzék a ponthalmazok távolságát,

és felismerjék, hogy 0 a távolság, ha a két ponthalmaznak van közös része. Megvizs-

gáltathatjuk azt is, hogy miért nem célszer¶ más értelmezésben megállapodnunk.

Két ponthalmaz távolságát egzaktan csak a fels®bb matematikában, a határérték-

számítás fogalmaival de�niálhatjuk, hiszen a két ponthalmaz pontjait összeköt® sza-

kaszok között nem biztos, hogy van legrövidebb. Ez a pontatlanság az általános isko-

lában nem jelent gondot sem a fogalomrendszer további kiépítésében, sem a gyakorlati

alkalmazásában.

Mer®legesség. Párhuzamosság

Ötödik osztályban a derékszög¶ vonalzó használatát is célszer¶ szerkesztésnek tekin-

tenünk. Ez egyrészt megállapodás kérdése, másrészt nem lépi át az euklideszi szer-

kesztés határait. Hiszen a derékszög¶ vonalzóval megrajzolt alakzatok az euklideszi

szerkesztés szabályai szerint is megszerkeszthet®k. (Az el®z®ek alapján a �szerkeszte-

ni" szó nem zárja ki a derékszög¶ vonalzó használatát.)

A következ® célokat kell elérnünk:

1. Alakuljon ki minden tanulóban, szemléletes szinten a mer®legesség és a párhuza-

mosság fogalma. Ismerjék fel és alkalmazzák a megfelel® jelöléseket. Legyenek

képesek ezt a fogalmat geometriai vizsgálatokban alkalmazni.

2. Ismerjék meg és gyakorolják be a tanulók a derékszög¶ vonalzó használatát. Legye-

nek képesek egyenes adott pontjába; egyenesre küls® pontból mer®leges egyenest

szerkeszteni. Szerkesszék meg egyenes és pont, illetve két párhuzamos egye-

nes távolságát. Legyenek képesek egyenessel adott ponton keresztül párhuzamos

egyenest szerkeszteni.

A mer®legesség és párhuzamosság fogalmával már 3. osztályban találkoznak a tanulók,

ennek ellenére gyakori típushiba a következ®.

A b mer®leges az a-ra: A c párhuzamos az a-val:

ba a

c

94

A hiba valószín¶síthet® oka, hogy a tanulóknak rendszeresen csak a füzetlap aljával

párhuzamos egyenesre (egyenessel) kellett mer®leges (párhuzamos) egyenest szer-

keszteniük.

A ponthalmazok távolságának alkalmazásaként a mer®legesség (szemléletes szinten

már esetleg ismert) fogalmát a pont és az egyenes távolságából kiindulva értelmezhet-

jük. A szög fogalmának bevezetésével új értelmezésre is lehet®ség nyílik. Ezért semmi-

képp se sulykoltassuk be ezt a de�níciót. Ennél lényegesen fontosabb, hogy a tanulók

önálló munkával fedezzék fel az összefüggést.

A mer®legesség fogalmának általánosításaként jutunk el a síkra mer®leges egyenes,

illetve az egymásra mer®leges síkok fogalmához.

A párhuzamossággal kapcsolatosan a következ® összefüggéseket ismerhetik fel a fela-

datok megoldása közben:

Az egyenest®l adott távolságra lév® pontok halmaza párhuzamos egyenespár.

Az egyenessel párhuzamos egyenes minden pontja ugyanakkora távolságra van az

egyenest®l. Ez a távolság a két párhuzamos egyenes távolsága.

A síkban egy egyenest®l adott (0-nál nagyobb) távolságra két párhuzamos egyenes

húzható. A térben végtelen sok (ezek egy hengerfelületet alkotnak).

A síkban két (különböz®) egyenes vagy metszi egymást egy pontban, vagy párhu-

zamos. A metsz®, illetve a párhuzamos egyenesek egyértelm¶en meghatároznak

egy síkot. Ha két egyenes nem egy síkban van, akkor az kitér®.

Párhuzamos két egyenes, ha egy síkban vannak és nem metszik egymást.

Egy egyenessel egy rajta kívül fekv® ponton át pontosan egy párhuzamos egyenes

húzható.

A párhuzamosságot kétféleképpen de�niálják a szakkönyvekben. Az egyik féle értel-

mezés szerint az egyenes párhuzamos saját magával, a másik szerint nem. Az els®

értelmezést javasoljuk. Ennek gondolatmenete a következ®:

Két egyenes metsz®, ha egy közös pontjuk van;

párhuzamos, ha egy síkban vannak, de nem metsz®k (ebben az esetben vagy nincs

közös pontjuk, vagy legalább két közös pontjuk van).

Nem lehet célunk a párhuzamosság fogalmának deduktív megközelítése. Ötödik osz-

tályban a szemléletes szinten megismert fogalom minél több tartalmi jegyét �fedezzék

fel" a tanulók a logikai rendezés igénye nélkül.

Az egyenesekr®l tanultak általánosításaként foglalkozunk két sík, illetve egy sík és egy

egyenes kölcsönös helyzetével.

Megjegyzés:

A kör és a gömb cím¶ fejezethez kapcsolódva a tankönyv b®vített változatában foglal-

kozunk a párhuzamos egyenesekkel mint adott tulajdonságú ponthalmazokkal.

A kör és a gömb

A geometriában a kör és a gömb különlegesen fontos szerepet játszik. Ötödik osztályban

az a feladatunk, hogy a korábbi években a gömbr®l és a körr®l szerzett (szemléletes) ta-

95

pasztalatokat és ismereteket b®vítsük. A következ® években tovább gyarapodnak ezek

az ismeretek. Hatodikban a körív, a szel® és a körcikk fogalmával, hetedik osztály-

ban, illetve nyolcadikban a kör kerületének és területének a kiszámításával, kés®bb a

gömb térfogatának és felszínének a meghatározásával. Vizsgáljuk továbbá ezeknek az

alakzatoknak a szimmetriaviszonyait is.

Ha olyan tulajdonságot adunk meg, amellyel pontok rendelkezhetnek, akkor beszél-

hetünk az ilyen tulajdonságú pontok halmazáról. Az adott tulajdonságú ponthalmaz az

alaphalmaz (például egyenes, sík, illetve tér) egy alakzata. Ennek az alakzatnak min-

den pontja rendelkezik a megadott tulajdonsággal, az alaphalmaz más pontja azonban

nem. Ötödik osztályban a körvonalat, a körlapot, a gömbfelületet és a gömbtestet adott

tulajdonságú ponthalmazként értelmezzük.

Az adott tulajdonságú ponthalmazok vizsgálata korábban a gimnáziumi geometria egyik

legnehezebben tanítható anyagrésze volt. Nyilván az általános iskolai tanulótól még nyol-

cadikban sem várhatjuk el, hogy a korábbi gimnáziumi tananyaggal megegyez® abszt-

rakciós szinten és egzaktsággal sajátítsa el ezeket a fogalmakat. Még kevésbé követel-

hetjük meg, hogy minden tanuló alkalmazza ezeket az ismereteket bonyolult szerkesztési

problémák megoldásában. Ugyanakkor ez a témakör (a geometriai transzformációkkal

együtt), a gyermek életkori sajátosságainak és érdekl®dési körének megfelel® absztrak-

ciós szinten és módszerekkel tanítva, rendkívül alkalmas a geometriai szemléletmód és

a vizuális problémamegoldó képesség fejlesztésére.

A következ® tanítási tervet javasoljuk a kör és a gömb mint adott tulajdonságú ponthal-

maz fogalomrendszerének az elsajátíttatására:

1. Tapasztalatszerzés eszközhasználattal, kísérletezgetéssel

Az eszközhasználat el®segítheti a hiba folyamatos korrigálását, ezért dinamikusab-

ban támogatja a tanuló szemléletét, mint a nehezebben javítható (ezért statikusabb)

rajzos vázlat. A javítási lehet®ségek miatt a tanuló magabiztosabban végzi a kísér-

leteket. A pontokat modellez®készlet kis korongok mozgatása bels®vé válik (interio-

rizálódik), ezzel fejl®dik a vizuális gondolkodás hajlékonysága, rugalmassága.

2. Áttérés a rajzos vázlat készítésére

A különböz® tulajdonságú ponthalmazok (a körvonal pontjainak, a körlap bels® pont-

jainak stb.) megkülönböztetése színezéssel.

A tanuló felismeri, hogy a sík egy pontjából adott távolságra lév® pontok egy körvo-

nalon helyezkednek el a síkon. Ez az adott távolság a kör sugara. Fordítva, azt is

belátja, hogy a körvonal minden pontja sugárnyi távolságra van a kör középpontjától,

a körvonalon belül lev® pontok ennél kisebb, a körvonalon kívül lév® pontok nagyobb

távolságra vannak a középponttól.

3. A vizsgálatok kiterjesztése a térre

A gömbfelület, illetve a gömbtest (tömör golyó) pontjainak jellemzése eszközhasz-

nálatra támaszkodva.

4. Az összefüggések tudatosítása, logikai rendezése

A körvonal, a körlap értelmezése.

A gömbfelület, illetve a gömbtest értelmezése az el®z® két fogalom térbeli általáno-

sításaként.

Megvizsgálhatjuk a körlap és gömbtest megfelel®jét, ha az alaphalmaz az egyenes.

96

5. Az összefüggések alkotó alkalmazása új összefüggések feltárásában

Háromszög szerkesztése három oldalból. (Hatodikban a szakasz felez®mer®legesé-

nek �felfedezése", illetve a szemlélethez kapcsolódó szerkesztési feladatok megol-

dásában.)

Az el®z® tanulási folyamat modellként szolgálhat a következ® adott tulajdonságú pont-

halmazok vizsgálatában is (els®sorban a Párhuzamosság cím¶ fejezet feldolgozásához

kapcsolódóan):

a) Egyenest®l adott távolságra lév® pontok halmaza a síkban az egyenessel párhuza-

mosság (Tk. B6.03.).

Ezt a vizsgálatot kétféleképp terjeszthetjük ki a térre:

vizsgáljuk az egyenest®l adott távolságra lév® pontok halmazát a térben (végte-

len hengerfelület);

megkeressük adott síktól meghatározott távolságra lév® pontok halmazát a tér-

ben (a síkkal párhuzamos síkpár).

b) Szakasztól, illetve félegyenest®l adott távolságra lév® pontok halmaza a síkban

(esetleg az el®z® ismeretek alkalmazásaként; Tk. B6.01.).

c) Körvonaltól (körlaptól) adott távolságra lév® pontok halmaza a síkban a körvonallal

közös középpontú kör, körpár, illetve kör és a középpont, a távolságok viszonyától

függ®en (Tk. B6.04., B6.05.).

d) Adott ponttól adott irányban fekv® pontok halmaza egy félegyenes.

e) Párhuzamos egyenespártól egyenl® távolságra lév® pontok halmaza a síkban

(Tk. B6.02.).

Ezt a vizsgálatot is kétféleképp terjeszthetjük ki a térre:

vizsgáljuk a párhuzamos egyenespártól egyenl® távolságra lév® pontok halmazát

a térben (a párhuzamos egyenespártól egyenl® távolságra fekv®, az egyenesek

síkjára mer®leges sík);

megkeressük adott párhuzamos síkpártól egyenl® távolságra lév® pontok halma-

zát a térben (a síkpártól egyenl® távolságban fekv®, azokkal párhuzamos sík.

Megjegyzések

Ötödik osztályban (a kör és a gömb kivételével) a tanulóknak nem kell értelmezniük a

különböz® alakzatokat mint ponthalmazokat, de a felfedeztet® tanulás során eljuthatnak

erre a szintre. Semmiképp se várjuk azonban, hogy az adott feladathelyzett®l függetlenül

megtanulják ezeket az értelmezéseket. Célunk, hogy a tárgyi tevékenység, rajzos kísér-

letezgetés eredményeként fejl®djön az elemz®, elvonatkoztató és általánosító képessé-

gük, illetve a problémaérzékenységük. Sajátítsák el az összefüggések keresésének a

stratégiáját, a geometriai problémák megoldásának az elemeit.

Fontosnak tartjuk síkgeometriai problémák kiterjesztését a térbeli vizsgálatokra:

a térszemlélet fejlesztését folyamatosan szem el®tt kell tartanunk;

a probléma új megvilágításba helyezése (a síkon megfogalmazott feladat átfogalma-

zása a térre) fejleszti a gondolkodás rugalmasságát, el®készíti a tanulót a megoldá-

sok több szempontból történ® elemzésére;

az ismereteket magasabb szint¶ rendszerbe foglaljuk az általánosítással.

97

Ebben a témakörben a 10{11 éves gyermek életkori sajátosságai miatt csupán magya-

rázatokkal, tanári szemléltetéssel még minimális eredményt sem érhetünk el. Javasoljuk,

hogy legalább három órán keresztül tevékenykedhessenek a tanulók a különböz® esz-

közökkel, önállóan ismerhessék föl a keresett alakzatokat. Szabadon vitathassák meg

észrevételeiket, sejtéseiket. Jól bevált a kiscsoportos foglalkozás.

A matematikai nevelés szempontjából kiemelked®en fontos célkit¶zéseink (a kreativitás,

a térszemlélet fejlesztése) mellett ne feledkezzünk meg a �prózaibb" oktatási, nevelési

feladatok megoldásáról sem.

Következetesen (de türelmesen) kérjük számon a pontos fogalmazást, az elnevezé-

sek és jelölések helyes használatát.

Szilárdítsuk meg a mer®legesség és a párhuzamosság fogalmát. A tanulók tudato-

san alkalmazzák a ponthalmazok távolságáról tanultakat a pont és egyenes, illetve

két párhuzamos egyenes távolságának a meghatározására.

Ellen®rizzük, hogy tanulóink kell®en begyakorolták-e a derékszög¶ vonalzó, a körz®

és a szögmér® használatát. (Szakaszmásolás; egyenessel adott ponton keresztül

párhuzamos egyenes; egyenes adott pontjára, illetve egyenesre adott pontból mer®-

leges egyenes szerkesztése.) Ha bizonytalanságot tapasztalunk, akkor szervezzük

meg a felzárkóztatást.

Következetesen kérjük számon a fegyelmezett, pontos és esztétikus munkát.

Az ismertetett síkbeli ponthalmazokat vizsgáltathatjuk a koordináta-rendszerben is.

Trapézok, paralelogrammák, téglalapok, rombuszok

A tankönyv b®vített változatában található fejezet.

A helyi tanterv alapján döntsük el, hogy 5. vagy 6. osztályban dolgozzuk-e fel ezt az

anyagrészt.

A 2. fejezet feladataiban különböz® szempontok szerint csoportosították a tanulók a

sokszögeket. Most a mer®legesség és a párhuzamosság fogalmával b®vül a vizsgálandó

tulajdonságok köre.

Az ötödik osztályban a geometriában viszonylag sok elnevezést kell megtanulni (sza-

kasz, oldal, oldalegyenes, átló, csúcs, alap, szár, magasság, szemközti oldal, oldalpár,

trapéz, paralelogramma, rombusz stb.). Az elnevezések megtanításának egyedül jár-

ható útja az ismételt alkalmazás. Ezért a feladatok megoldása során következetesen

használtassuk a terminológiát.

A speciális négyszögekkel kapcsolatban is azt javasoljuk, hogy a fogalmak kialakítását

ne tanári magyarázattal, szemléltetéssel kezdjük, hanem a feladatok megoldása so-

rán fedeztessük föl azok tulajdonságait, egymáshoz való viszonyát. Hatékony lehet a

kiscsoportos foglalkozás.

A 10{11 éves gyermekt®l csak akkor várhatjuk el, hogy felsorolja például a paralelo-

gramma tulajdonságait, ha látja a paralelogramma rajzát, méginkább ha kezébe veheti

a paralelogramma modelljét. Ezért készíttessünk kartonpapírból, rajzlapból minél több

ilyen modellt. Ezzel nemcsak a feladatok megoldását gyorsíthatjuk meg, hanem sokkal

hatékonyabbá is tehetjük az ismeretelsajátítást. Ebben az esetben ki is b®víthetjük a

feladatokat a négyszögek átdarabolásával, területük kiszámításával.

98

Háromszögek szerkesztése

A háromszögek szerkesztésével kapcsolatos ismeretek tudatosítása 7. osztályos tan-

anyag. Az adott tulajdonságú ponthalmazok alkalmazásaként, tapasztalatgy¶jtés szinten

el®készíthetjük ezt a témakört.

A szerkesztési feladatok megoldása az általános iskolai matematikatanítás talán legtöbb

gondot okozó területe. Ezért azt javasoljuk, hogy ötödik osztálytól kezdve foglalkozzanak

a tanulók ezekkel a feladatokkal. Természetesen követelményeket nem támaszthatunk

ezen a téren, és a feladatok, illetve a módszerek megválasztásánál körültekint®en

�gyelembe kell vennünk a tanulók fejlettségét. Elképzelhet®nek tartjuk azt, hogy a di�e-

renciáltan megtervezett órákon csak a jobbak foglalkoznak a szerkesztéssel, a témához

nehezebben kapcsolódó tanulók pedig elemi gyakorlófeladatokat oldanak meg.

A három oldalával adott háromszög megszerkesztése csupán a szakaszmásolás köz-

vetlen alkalmazását tételezi fel, tehát a leggyengébbek számára sem jelenthet gondot.

Ugyanakkor a szerkesztés �miértjének" a felismerése magas szint¶ analizáló és szinteti-

záló tevékenységet, fejlett problémameglátó és -megoldó képességet vár el a tanulótól.

A tankönyv szemléletes példájának megoldása mintegy modellt ad a szerkesztési prob-

lémák megoldására.

Pólya György magyar származású matematikus és tantárgy-pszichológus vizsgálatai megmutatták, hogy a

tanulók lényegesen jobban boldogulnak a feladatok megoldásával, ha a tananyag mellett elsajátítják a problé-

mamegoldás stratégiáját is. Ez a stratégia nem a megoldás kulcsát nyújtja a tanuló kezébe, hanem az ötletek

felkutatásához, a megoldás megtervezéséhez, igazolásához és a diszkusszióhoz ad vezérfonalat.

A tankönyvben bemutatott változat a 10{12 éves tanulók életkori sajátosságait �gye-

lembe véve kíván segítséget nyújtani a kezd® lépések megtételéhez. Hetedik osztályra

kell elérnünk, hogy (a leggyengébbek kivételével) a tanulók ismerjék azt az utat, amelyet

a feladat megértését®l a megoldás bizonyításáig és a diszkusszióig be kell járnunk.

(1) Értelmezzük a feladatot!

A feladatok megoldása során a tanulók mintegy fele nehezen boldogul a matematikai

szöveg értelmezésével. Ezért javasoljuk:

a szöveg tagolását ceruzával berajzolt vonalakkal (mintapéldánkban most még meg-

adtuk a tagolást);

az ismert adatok aláhúzását, bekarikázását esetleg különböz® szín¶ ceruzával;

a meghatározandó adatok kiemelését piros színnel;

annak a tudatosítását, hogy mit jelentenek a feladatban el®forduló (az el®bbiekben

kiemelt) elnevezések;

egy olyan vázlat elkészítését, amelyre ráírhatók vagy színezéssel jelezhet®k az is-

mert, illetve a meghatározandó adatok;

jelölések bevezetését.

(2) Keressünk összefüggéseket az adatok között!

Elemeztessük az adatok jelentését.

Kötetlenül soroltassuk fel azokat a tulajdonságokat, amelyekkel a megszerkeszten-

d® síkidom rendelkezhet. Az ötletgazdagság fejlesztése érdekében minél több ötlet

megszületését segítsük el®, engedjük meg az ötletek szabad áramlását. Szelektál-

99

juk a felismerni vélt összefüggéseket, de a tanulókat semmiképp se marasztaljuk el

tévedéseikért.

Szükség esetén eszközhasználattal, rajzos kísérletekkel segítsük el® a megoldáshoz

vezet® ötlet megszületését, illetve kiválasztását.

Ha elegend® összefüggést felismertek a tanulók, akkor vizsgáltassuk meg, hogy

mely tulajdonságokból, ötletekb®l indulhatunk ki.

A tanuló problémaérzékenységének a fejlesztését csak akkor érhetjük el, ha ebben a

szakaszban biztosítjuk önálló munkáját.

(3) Készítsünk tervet!

A rajzos terv nem tévesztend® össze az (1), illetve a (2) szakaszban megrajzolt váz-

latokkal! Míg azok szerepe a feladat elemzése (analízis), addig a tervben a tanuló

összefoglalja, logikailag rendezi a felismeréseit (szintézis).

Szoktassuk rá tanulóinkat arra, hogy elég nagy, az adatoknak megfelel® méret¶ vagy

azokkal arányos vázlatokat készítsenek. A vázlat és a terv legyen áttekinthet® és tartal-

milag, formailag legalább annyira pontos, hogy a tanár és a tanuló eligazodjon rajta. Ez

az esztétikai és a munkafegyelemre nevelés mellett a fegyelmezett gondolkodást is fej-

lesztheti, továbbá el®segítheti a hibák elkerülését. Frontális munkában fogalmaztassuk

meg a terv lépéseit.

(4) Végezzük el a szerkesztést!

Az ötödik osztályban az euklideszi szerkesztésben megengedett eszközök, vagyis az

egyél¶ vonalzó és a körz® mellett a derékszög¶ vonalzót is használhatják a tanulók.

A szerkesztéseknél csak akkor kérhetjük számon az esztétikus és pontos munkát, ha

el®z®leg begyakoroltattuk a körz® és a vonalzók használatát. Erre a geometriai feladatok

megoldásán kívül a táblázatok, díszít®minták rajzoltatása is lehet®séget ad.

(5) Bizonyítsuk a szerkesztés helyességét!

A bizonyítást a terv lépéseinek ismertetésével párhuzamosan is elvégeztethetjük. Lénye-

ges, hogy kezdetben szóban, kés®bb egyre többször írásban is rögzítve indokoltassuk

a megoldást. A bizonyítás rendszeres elhagyása súlyos oktatási és nevelési hiba.

A megoldás kidolgozásának a képessége, vagyis a megoldás megtervezésének, vég-

rehajtásának és igazolásának a képessége ugyanolyan fontos a kreativitásra nevelés

szempontjából, mint az ötletgazdagság, illetve a problémaérzékenység.

Az összefüggések felismerésével, logikai rendezésével a matematikai ismeretek is ala-

posabbak és tudatosabbak lesznek.

Ki kell alakítanunk (nem csak a matematikában) a jó min®ségben elvégzett munka igé-

nyét. Ezt a nevelési célt csak példaadással és gyakoroltatással érhetjük el.

A fentiek miatt nem indokolható az a tanári gyakorlat, amely a feladatok megoldásá-

nak teljes kidolgozása helyett, id®hiányra hivatkozva újabb és újabb feladatok felületes

megoldásával kívánja oktatási céljait elérni.

(6) Mi mondható még el a feladatról? (Diszkusszió)

Ennek a szakasznak az elhagyására sem szolgálhat mentségül az id®hiány, mert a ma-

tematikatanítás célját éppen az ilyen elemzésekkel érhetjük el leghatékonyabban. Meg-

vizsgálható, hogy

100

az adatok értelmezhet®k-e másképpen is,

hogyan változik a megoldás akkor, ha megváltoztatunk egy-egy feltételt,

megkerestünk-e minden megoldást,

felfedezhetünk-e a megoldás eredményeként valamilyen általános érvény¶ össze-

függést,

van-e más megoldási mód, melyik a célszer¶bb, �szellemesebb", egyszer¶bb,

megvizsgáltuk-e a speciális eseteket,

lehet-e a problémát, a megoldási módot általánosítani, más feladatok megoldására

alkalmazni.

A diszkusszió fejleszti az ötletgazdagságot, a gondolkodás rugalmasságát, a prob-

lémaérzékenységet, az eredetiséget és a kidolgozási képességet, ezért a kreativitás

fejlesztésének egyik legfontosabb eszköze.

Szakaszfelez® mer®leges

Ezt az anyagrészt a 6. osztályos tankönyv is feldolgozza. A helyi tanterv alapján dönt-

hetünk úgy, hogy ebben az évben nem foglalkozunk ezzel a fejezettel.

Fontos, hogy a fogalmat a szemléletb®l kiindulva alapozzuk meg, ne elégedjünk meg a

szerkesztési eljárás mechanikus elsajátításával.

Az egyenes adott pontjában az egyenesre mer®leges egyenes szerkesztését téglalapok

szerkesztésével gyakoroltathatjuk be.

Testek ábrázolása

A technika és a rajz tantárgyakkal koncentrálva ábrázolhatjuk a testek elöl-, felül- és

oldalnézetét.

Az általános iskolai tananyag viszonylag kevés alkalmat biztosít a térszemlélet fejlesz-

tésére. Ezért minden lehet®séget ki kell aknáznunk. Pszichológiai vizsgálatok szerint a

képi gondolkodás fejleszthet®sége (f®képp a lányoknál) viszonylag korán lezárul. Ezért

ha 10{12 éves korban mell®zzük a térgeometriai feladatok megoldását, az a kés®bbiek-

ben behozhatatlan hátrányt jelent a tanulóknak.

A térgeometriai feladatok megoldását ebben az életkorban csak eszközhasználattal,

tényleges tárgyi tevékenységgel várhatjuk el. Ezt nem helyettesíthetjük tanári szem-

léltetéssel, táblai rajzzal, még kevésbé szemléltetés nélküli magyarázattal.

A pszichológiai vizsgálatok azt is megmutatták, hogy a vizuális gondolkodásnak más a

szerepe a �úknál, mint a lányoknál. Ezért a fér�ak hajlamosak túlbecsülni a szerepét, a

(tanár)n®k viszont általában nem érzik a szükségességét, ami már az ötödik osztályban

is hátráltatja a sikeres matematikatanulást, és kés®bb komoly gondok forrásává válhat,

hiszen a térszemlélet, a fejlett képi gondolkodás nemcsak a geometriában, hanem a

m¶szaki gyakorlat számos területén is nélkülözhetetlen.

A feladatok egy részét úgy szerkesztettük, hogy megoldásuk eredményeként, eszköz-

használatra támaszkodva a legkülönböz®bb mélység¶ és tartalmú matematikai össze-

függések felismeréséhez juthasson el a tanuló. Például a 6.29. a) feladatban, az önma-

101

gában is érdekes kombinatorikai modell (és a 16 megoldás) megtalálása mellett, a testek

egybevágósági transzformációit vizsgálva felfedezheti, hogy vannak olyan egybevágó

testek, amelyek mozgással nem hozhatók fedésbe, csak síktükörre való tükrözéssel.

Gyakorlófeladatok

Törd a fejed!

Ez a fejezet tartalmilag több helyen túlmutat az el®z® órákon tanultak egyszer¶ begya-

korlásán, összeszövésén.

A téglatest élvázmodelljén (B6.34. feladat) végzett vizsgálatok ráirányítják a �gyelmet a

térelemek kölcsönös helyzetére, távolságuk (szemléletes) meghatározására.

Átdarabolási problémaként foglalkozunk a trapéz és a paralelogramma területének ki-

számításával. A területszámítás képleteinek megtanítása nem ötödikes követelmény.

Elemi koordinátageometriai vizsgálatokat végezhetünk.

A mer®legesség és a párhuzamosság tulajdonságait vizsgálva a relációkkal kapcsolatos

tapasztalatok kib®vülését is várhatjuk.

Javasoljuk, hogy a gyakorlóórákon a tanulóknak az egyéni fejl®désüknek optimálisan

megfelel® feladatokat adjunk. Ügyeljünk rá, hogy a minimumkövetelményekben el®írt

ismereteket minden tanuló sajátítsa el és gyakorolja be.

Téglalap szerkesztése

Trapéz szerkesztése

A tankönyv b®vített változatában található fejezetek.

Az el®z® alfejezetek feldolgozása során megismert szerkesztési eljárásokat kell alkal-

mazni a tanulóknak. Ha önállóan dolgozhatnak, akkor többféle megoldási tervet talál-

hatnak, amelyek eltérhetnek a tankönyvi mintapélda megoldásától (lásd B6.14. feladat).

102

7. A tizedestörtek

A tizedestörtek is törtek, tehát ezekre is igaz, amit a törtek el®tti bevezetésben mond-

tunk. Viszont sokkal gyakrabban használjuk a gyakorlati életben a törtek tizedestört

alakját, mint a törtalakot. Ha a mértékváltásokat tekintjük, akkor is szembet¶nik a tize-

destörtek fontossága. Ráadásul sokkal inkább kapcsolódik a korábban kialakult szám-

fogalomhoz (természetes számok, egészek), mint a törtekhez. (Ennek igazolására elég

a tízes számrendszer helyiérték-táblázatára és a tizedestörtek körében végzett m¶vele-

tekre gondolnunk.)

Az életkori sajátosságoknak megfelel®en az ismeretszerzésben általában a tárgyi tevé-

kenységb®l indulunk ki. A konkréttól haladunk az absztrakt felé, illetve a speciálistól

az általános felé. (A matematika egyéb témaköreinél is ezt az utat követjük.) �Eszköz-

ként" leginkább a korábban már begyakorolt hosszúságmérés és tömegmérés vált be. A

mértékegységek átváltásával jól modellezhetjük a tizedestörtekr®l tanulandókat.

A tananyag-feldolgozás csomópontjai

1. A tizedestört fogalma, a helyiérték-táblázat kib®vítése. A természetes számokról,

illetve a törtekr®l tanultak kiterjesztése a tizedestörtekre (ábrázolás, kerekítés, egy-

szer¶sítés, b®vítés).

2. A tizedestörtek összeadása, kivonása.

3. A tizedestörtek szorzása, osztása természetes számmal.

4. M¶veleti tulajdonságok alkalmazása, zárójelek használata, m¶veletek sorrendje.

Összetett számfeladatok megoldása a tizedestörtek körében. A tizedestörtekr®l ta-

nultak alkalmazása a matematika különböz® témaköreiben.

5. Egyszer¶ és összetettebb szöveges feladatok megoldása.

6. A tizedestörtekr®l tanultak alkalmazása statisztikai, valószín¶ségi számításokban.

Kapcsolódási lehet®ségek

Halmazok, logika

A fogalomalkotás során tisztázzuk a különböz® számhalmazok (természetes számok,

pozitív egész számok, egész számok, véges vagy végtelen szakaszos tizedestört alak-

ban írható számok stb.) egymáshoz való viszonyát.

Nem bizonyítjuk, de a fogalomalkotás szempontjából hasznos lehet, ha a gyerekek

tudják, hogy a törtalakban írható számok halmaza és a véges vagy végtelen szakaszos

tizedestört alakban írható számok halmaza ugyanaz a számhalmaz.

103

A számtan, algebra egyéb témakörei

A fejezet aktuális tananyagának megtanítása mellett gyakoroltathatjuk a természetes

számokról, az egész számokról és a törtekr®l tanultakat is. Nemcsak a továbblépés-

hez szükséges alapok megteremtésér®l, a hiányosságok feltárásáról és pótlásáról van

szó, hanem a korábban tanultak tudatosításáról, szintézisér®l, összefoglalásáról, rend-

szerezésér®l is. Egyrészt minden újonnan tanult fogalom, eljárás (kerekítés, írásbeli m¶-

veletek stb.) a természetes számokról tanultak általánosítása, kiterjesztése és a törtekr®l

tanultak átfogalmazása, másrészt a tizedestört alakban írt számok körében is alkalmaz-

zuk a korábban tanult m¶veleti tulajdonságokat, gyakoroljuk a zárójelek használatát.

A m¶veletek közti összefüggések felhasználásával vagy próbálgatással a tizedestörtek

körében is megoldathatunk egy-két lépésben megoldható egyenleteket, egyenl®tlen-

ségeket (Tk. 7.26., 7.50{52., 7.56., 7.57., 7.65., 7.83., 7.89., 7.92., 7.101., 7.103.,

7.104.; B7.08., B7.09{B7.15.).

Gra�konok, függvények, sorozatok

A tizedestörtekr®l tanultakat folyamatosan alkalmazzuk sorozatok, táblázattal megadott

megfeleltetések szabályának megkeresésében, adott szabály alapján sorozatok folyta-

tásában, táblázat hiányzó elemeinek megkeresésében (Tk. 7.44., 7.66., 7.74{7.77.,

7.84.; B7.07.; Mgy. 6.32{6.40., 6.53.).

Mérés, geometria

A tizedestörtekr®l tanultak alkalmazása a mennyiségek mérésében, a mértékegységek

átváltásában, valamint a kerületszámításban (Tk. 7.02., 7.03., 7.13{7.18., 7.27., 7.28.,

7.34., 7.39{7.42., 7.45{7.47., 7.55{7.56., 7.62., 7.65., 7.73., 7.86., 7.93{7.98., 7.102.,

7.104., 7.105.; B7.10., B7.11.).

Statisztika, valószín¶ség

A tizedestörtek természetes számmal történ® osztásának ismerete lehet®vé teszi a

mennyiségek átlagának kiszámítását (Tk. 7.69{7.70., 7.78.{7.79.; Mgy. 5.98{5.99.).

Tanmenetjavaslat

Óra Aktuális tananyag Feladatok

Folyamatos ismétlés, koncentráció

1{3. A tizedestört fogalma, a tízes számrendszer helyiérték-

táblázatának a kib®vítése. A tizedestörtek írása, olvasá-

sa, ábrázolásuk számegyenesen. Mennyiségek kifejezé-

se tizedestört mér®számmal.

Törtek értelmezése. Hatványozás.

Mértékegységek átváltása.

Tk. 7.01{7.20.;

Mgy. 5.48{5.54.,

7.29{7.31., 9.62.;

Fgy. 4.1.01{04.

104

Óra Aktuális tananyag Feladatok

Folyamatos ismétlés, koncentráció

4. Tizedestörtek egyszer¶sítése, b®vítése, összehasonlí-

tása. A mérés pontosságának jelzése.

Törtek egyszer¶sítése, b®vítése.

Mértékegységek átváltása.

Tk. 7.21{7.26.;

Mgy. 5.56{5.58.,

5.61{5.62.

5{6. A tizedestörtek kerekítése; egyes, tized, század stb.

szomszédok.

Természetes számok kerekítése.

Mértékegységek átváltása.

A mérés pontosságának jelzése.

Tk. 7.27{7.34.;

Mgy. 5.63{5.67.,

9.63{9.65.;

Fgy. 4.1.09{10.,

6.1.01{02.

7{9. A tizedestörtek összeadása, kivonása. A hosszúság- és

a tömegméréshez kapcsolódó szemléletes szöveges fel-

adatok.

Tk. 7.35{7.42.;

Mgy. 5.68{5.73.;

A tizedestörtek összeadásának, kivonásának gyakorlása. Tk. 7.43{7.57.;

Természetes számok összeadása, kivonása.

Törtek összeadása, kivonása.

Mértékegységek átváltása.

Mgy. 5.74{5.79.;

Fgy. 4.2.06.

Az összeadás, a kivonás m¶veleti tulajdonságainak az al-

kalmazása. Az összeg és a különbség változásai.

Egész számok összeadása, kivonása.

Mértékegységek átváltása. Szögmérés.

A téglalap kerülete.

Sorozatok, szabályjátékok.

10{11. A tizedestörtek szorzása 10-zel, 100-zal, 1000-rel. A

tizedestörtek szorzása természetes számmal. A szorzás

m¶veleti tulajdonságai. A 0 szerepe a szorzásban. A

szorzat változásai. Szöveges feladatok a szorzásra; kö-

vetkeztetés.

Természetes számok, törtek szorzása.

Sorozatok, �szabályjátékok".

Mérés, mértékegységek átváltása.

A téglalap területe és kerülete.

A derékszög¶ koordináta-rendszer.

Tk. 7.58{7.61.;

Mgy. 5.82{5.83.,

9.66{9.67.;

Tk. 7.62{7.66.;

Mgy. 5.84{5.88.,

9.68.

12{15. A tizedestörtek osztása természetes számmal. Az osztás

ellen®rzése. Az írásbeli osztás egyszer¶sített változata. 0

az osztásban.

Tk. 7.67{7.68.;

Mgy. 5.89{5.92.;

5.93{5.97.;

Az átlag kiszámítása. Tk. 7.69{7.70.;

Mgy. 5.98{5.99.;

Törtalakban írt szám tizedestört alakja.

Természetes számok osztása. A hányados változásai.

Mérés, mértékegységek átváltása.

Tk. 7.71{7.73.;

Mgy. 5.55.;

Fgy. 4.2.16.

105

Óra Aktuális tananyag Feladatok

Folyamatos ismétlés, koncentráció

16{17. Gra�konok. Statisztikai vizsgálatok, oszlop- és szalagdi-

agramok készítése, vizsgálata.

M¶veleti tulajdonságok, zárójelek alkalmazása, m¶veleti

sorrend. Mérés, mértékegységek. A téglalap területe és

kerülete.

Szögmérés.

Tk. 7.74{7.77.;

Mgy. 6.35{6.40.;

Fgy. 5.1.03.,

5.1.05{06.

18. Mi a valószín¶bb? Valószín¶ségi kísérletek, játékok. �Biz-

tos", �lehetséges, de nem biztos", �lehetetlen" esemé-

nyek.

Tk. 7.78{7.79.

19{20. Az összeadás, kivonás, szorzás és osztás gyakorlása, a

tanultak alkalmazása a matematika különböz® témaköre-

iben. Összetett szám- és szöveges feladatok.

Mgy. 5.93{5.96.;

A tanultak rendszerezése, összekapcsolása a korábban

tanultakkal.

Tk. 7.80{7.105.,

B7.09{B7.15.;

A m¶veleti tulajdonságok vizsgálata. Az összeg, különb-

ség, szorzat, hányados változásai.

Kombinatorika. Halmazok, logika.

Relációk. Sorozatok, szabályjátékok.

Egyenletek, egyenl®tlenségek.

Hosszúság-, tömeg-, id®-, szögmérés.

A téglalap területe és kerülete.

Téglatestek felszíne, térfogata.

(+ 2 ó.) Jobb csoportban

Tizedestörtek ellentettje, abszolútértéke, számolás nega-

tív tizedestörtekkel.

Egész számok.

Tk. B7.01{B7.08.

Fejleszt® értékelés, a felzárkóztatás megszervezése. Tk. 7.106., B7.16.;

Mgy. 10.08.

A tananyag-feldolgozás áttekintése

A tizedestörtek értelmezése

A fogalom kialakítása során kett®s feladat hárul ránk. Egyrészt meg kell mutatnunk,

hogy a tizedestörtek is törtek ( 5. osztályban még nem fontos szólnunk a végtelen nem

szakaszos tizedestörtekr®l, erre csak a kés®bbi években térünk ki), másrészt meg kell

értetnünk a természetes számoknál tanult tízes számrendszer helyiértékeinek kib®víté-

sét. A kett® szintézise eredményezi végül azt, hogy meg tudjuk teremteni a racionális

szám fogalmának kialakításához az alapokat.

106

A mértékekkel, mértékegységekkel vezetjük be ezt a fogalmat. Így gyakoroltatjuk a

mértékváltást, és kapcsolatot teremtünk a törtekkel ( például: 1 cm =1

100m).

Végül az egység különböz® megválasztásával az egészrész, törtrész fogal-

mát készítjük el®. A helyiérték-táblázatot minden esetben használjuk addig, amíg a

tanulók bizonytalanok a különböz® helyiértékekben. Fordítsunk különös gondot a tize-

destörtek pontos kimondatására, valamint íratására. Ezáltal elkerülhet® a �helypótló"

nullák szerepének hiányos ismerete miatti hiba. Például ne fogadjuk el az 5,06 ilyen

kimondását: �öt egész nulla hat"; követeljük meg a helyes �öt egész hat század" kimon-

dást.

Amíg minden tanuló nem sajátította el a tizedestörtek értelmezését, írását, olvasását,

addig nem célszer¶ továbbhaladnunk.

Tizedestörtek ábrázolása számegyenesen

Tizedestörtek egyszer¶sítése, b®vítése, összehasonlítása

Ez a fejezet nem jelent új anyagot. Szintézise és általánosítása az egészek és a törtek

számegyenesen való ábrázolásának. Itt pótolhatjuk a korábbi hiányosságokat, illetve

javíthatjuk a hibákat.

A tizedestörtek nagyság szerinti rendezésére mindhárom módszert { egyszer¶sítés, b®-

vítés; számegyenesen való ábrázolás; helyiértékek összehasonlítása { alkalmazzuk.

Gyakori hiba az alaki- és a helyiértékek �keverése". Például ilyen hiba: 0,12 > 0,8; mivel

12 > 8. ( Ennek a hibának forrása lehet a helyiérték fogalmának hiányos volta, valamint

a helytelen analógia.) Mind a számegyenesen való ábrázolással, mind a helyiérték-

táblázatba való beírással kiküszöbölhet®, illetve korrigálható ez a hiba.

Például a 7.24. feladatban a számpárok közé es® tizedestörtek megkereséséhez b®vít-

sük a tizedestörteket.

3,2 < < 3,3 b®vítése: 3,20 < < 3,30; 3,200 < < 3,300 stb.

Így problémaszituációban mélyíthetjük el a tanultakat.

Tisztázzuk azt, hogy a tizedestört végére írt nullák mást jelentenek akkor, ha pontos

értékr®l, illetve ha közelít® értékr®l van szó.

Pontos érték esetén: 1,6 = 1,60 = 1,600 = . . .;

Közelít® érték esetén: x � 1,6, akkor 1,55 5 x < 1,65;

x � 1,60, akkor 1,595 5 x < 1,605; stb.

Tizedestörtek kerekítése

Kapcsoljuk az egészek kerekítéséhez, így itt is felhasználjuk az ún. �számszomszéd"

fogalmát.

Például: 15 tízes szomszédai: 10 < 15 < 20;

3,8 egyes szomszédai: 3 < 3,8 < 4;

5,28 tized szomszédai: 5,2 < 5,28 < 5,3.

107

�Eszközként" { míg problémát jelent a tanulóknak { feltétlenül használjuk a számegye-

nest. Problematikus lehet tizednek a tized szomszédja, századnak a század szomszédja

stb. Az el®z®ek szerint:

3,6 tized szomszédai: 3,5 < 3,6 < 3,7;

de 3,65 tized szomszédai: 3,6 < 3,65 < 3,7.

A számszomszédok segítségével meg tudjuk mutatni, hogy ugyanazt az algoritmust

alkalmazzuk itt is, mint az egészek körében.

Például: 328 tízesekre kerekítve: a közelebbi tízes szomszéd: 330;

3,28 tizedekre kerekítve: a közelebbi tized szomszéd: 3,3.

A kerekítést a gyakorlati élet kívánja meg, ezért feltétlenül vizsgáljuk meg azt is, hogy

milyen pontosan adtunk meg egy mennyiséget. (Mit jelentenek a szám végére írt nul-

lák?)

Például: Ha m � 120 kg, akkor (ha mást nem mondunk) 115 kg 5 m < 125 kg;

ha m � 123 kg, akkor 122,5 kg 5 m < 123,5 kg;

ha m � 123,0 kg, akkor 122,95 kg 5 m < 123,05 kg.

Tizedestörtek összeadása, kivonása

Többféle utat mutatunk be, mindegyiknek megvan a maga funkciója, így javasoljuk,

hogy mindegyiket tanítsuk.

a) A mértékváltást felhasználva, a tizedestörteket egészekké alakítjuk, elvégezzük a

kívánt m¶veleteket, majd az eredményt visszaalakítjuk tizedestörtekké. Ezáltal az

egészekkel való analógiát mutatjuk meg.

b) A tizedestörteket felírjuk törtalakban, így végezzük el a m¶veleteket, majd visszaa-

lakítjuk tizedestörtté. Ezáltal a törtekkel való analógiát mutatjuk meg.

Mindkét módszernél szükséges a helyiérték-táblázat. Ebben elhelyezve a számokat tud-

juk megalapozni az összeadás, illetve a kivonás algoritmusát. (Mely számok kerülnek

egymás alá, miért { helyiérték.)

A többféle módszer bemutatásával egyrészt segíthetjük az absztrakciót és az általánosí-

tást, másrészt elkerülhetjük azt a buktatót, hogy a tanulók nem a megfelel® helyiérték¶

számjegyeket írják egymás alá.

Ebben a fejezetben a mértékegységeken kívül gyakoroltathatjuk a sorozatokról, a m¶-

veleti tulajdonságokról, a nyitott mondatokról tanultakat, a terület- és kerületszámítást

stb.

Tizedestörtek szorzása, osztása 10-zel, 100-zal, 1000-rel, �

Itt ismét hangsúlyozzuk az egészekkel és a törtekkel való analógiát. Fontos a vissza-

csatolás, hiszen �tört szorzása természetes számmal", �összeg szorzása természetes

számmal", illetve �egészek szorzása 10 hatványaival" ismerete nélkül ez az anyagrész

nem tanítható meg.

Bár korábban azt tanítottuk, hogy �természetes számot 10-zel úgy szorzunk, hogy a

természetes számban minden számjegy eggyel magasabb helyiérték¶ helyre kerül", ez a

108

tanulók tudatában úgy csapódott (vagy csapódhatott ) le, hogy a természetes szám után

írtunk egy nullát. A megszokás és a helytelen analógia mint hibaforrás eredményezheti

azt, hogy így szoroz a tanuló: 1,28 � 10 = 1,280.

Többek közt az ilyen hibák kiküszöbölése végett is szükséges a többféle módszer be-

mutatása, minden esetben kapcsolva a helyiérték-táblázathoz.

A 10 hatványaival való osztásra hasonlóak érvényesek.

Tizedestörtek szorzása természetes számmal

A korábbiakhoz hasonlóan itt is olyan módszereket mutatunk be, amelyek épülnek az

eddig tanultakra, ugyanakkor érzékeltetik az analógiát az egészekkel, illetve a törtekkel.

a) A természetes számmal való szorzás visszavezethet® azonos tagok összeadására.

b) A tizedestörtet törtté alakítjuk, majd a szorzás elvégzése után ismét tizedestörtté

alakítjuk.

c) A mértékegységek átváltását felhasználva a tizedestörtet egésszé alakítjuk, elvé-

gezzük a szorzást, majd visszaalakítjuk tizedestörtté.

d) Beírjuk a tizedestörtet helyiérték-táblázatba, felírjuk a számot összegalakban, elvé-

gezzük a szorzást, ismét visszaírjuk { a táblázat segítségével { tizedestört alakba.

Az utóbbi hárommódszer arra épül, hogy a tanuló tud összeget, illetve törtet természetes

számmal szorozni. Ameddig ez gondot okoz, addig ezen anyagrész tanításához nem

szabad hozzákezdeni.

Célunk a legegyszer¶bb módszer { az egészekkel való analógia { algoritmusának elsa-

játíttatása. Az általánosítással nem szabad sietnünk, mert a tanulók ismerete { megfe-

lel® alap nélkül { formális marad. ( Szerencsés, ha a tanuló maga fogalmazza meg a

szabályt.)

Tizedestörtek osztása természetes számmal

Míg a szorzásnál több módszer követését javasoljuk, addig itt csak az egészekkel való

analógiát hangsúlyozzuk. A többi nem vezetne el az algoritmus felismeréséhez.

Tanulóinknak komoly gondot okoz ez a témakör, így szükséges az alapos el®készítés, a

sok gyakorlás. Több példán, frontális munkában, aprólékosan, minden lépést indokolva

szereztessünk tapasztalatokat, fogalmaztassunk meg sejtéseket.

Minden esetben végeztessük el az ellen®rzést. Ha a maradék 0, az ellen®rzés a legtöbb

tanulónak nem okoz gondot. Ha nem 0 a maradék, akkor komoly problémát jelenthet

az ellen®rzés:

52,8 : 7 = 7,5 Ellen®rzés: 7,5 � 7 52,53 8 52,5 + 0,33 52,8

52,8 : 7 = 7,54 Ellen®rzés: 7,54 � 7 52,783 8 52,78 + 0,0230 52,80

2

A maradék: 0,3 A maradék: 0,02

A tanulók itt találkoznak el®ször végtelen szakaszos tizedestörttel, ami egy következ®

fejezet el®készítése is egyben.

109

Az átlag kiszámítása

Az átlag gyakorlati vonatkozásait kell els®sorban kiemelnünk. Azt is meg kell mutatnunk,

hogy az átlagos érték lehet, hogy nem is szerepel a felsorolt értékek között. ( De az is

lehet, hogy szerepel.) Például: Egy nap átlagosan 1,89 t papírt gy¶jtöttek, de pontosan

ennyit egyik nap sem gy¶jtöttek.

Az átlag bizonyos következtetések levonásában, hosszú távú tervek készítésében stb.

segít. Például: Ha délel®tt 10 órára kell Budapestre érnem Nyíregyházáról, és 60km

óraátlagsebességgel tudok haladni, akkor meg tudom mondani, hogy mikor kell elindulnom,

hogy el ne késsek.

Több konkrét mennyiség számtani átlagának kiszámítását minden tanulótól elvárjuk.

E témakörb®l való szöveges feladatok megoldását csak a jobb képesség¶ekt®l köve-

telhetjük meg.

Törtalakban írt szám tizedestört alakja

Ez a fejezet nem új anyag, hanem az eddigiek szintézise. A tört mint hányados; a

törtvonal mint osztás; egyszer¶síthet®, nem egyszer¶síthet® törtek; egészek törtalakja;

véges, végtelen tizedestörtek stb. fogalmakkal már korábban foglalkoztak. Ezekre a

fogalmakra építve alakíthatjuk ki a racionális szám fogalmát.

Kezdjük a tizeddé, századdá, ezreddé stb. b®víthet® törtekkel! Ezeket könnyen fel

tudják írni tizedestört alakban. Folytatjuk olyan törtekkel, ahol a b®vítés már nem vezet

eredményre, csak az osztás. (Egyébként meg kell mutatnunk, hogy az osztás akkor is

eredményre vezet, ha tizeddé stb. b®víthet® törtr®l van szó.)

Megsejtetjük a tanulókkal, hogy azok a törtek írhatók véges tizedestört alakban, amelyek

nevez®jében { a lehetséges egyszer¶sítések elvégzése után { csak 2-nek és 5-nek

természetes szám hatványai vannak. (Ez nem követelmény, és csak konkrét esetekben

kérjük a jobb képesség¶ tanulóktól.)

A véges tizedestörtek törtté való visszaírását megköveteljük a tanulóktól (még a gyen-

gébb képesség¶ekt®l is), de a végtelen szakaszos tizedestörtek visszaírását nem.

Tisztáznunk kell, hogy ha egy törtalakban írt számot végtelen szakaszos tizedestört

alakban írunk fel, akkor a szakasz hossza kisebb, mint a tört nevez®je. (Mivel az osztás

maradéka mindig kisebb, mint az osztó, ezért az osztó értékénél kevesebb különböz®

maradéka lehet az osztásnak.)

Gra�konok, táblázatok

Ebben az anyagrészben el®készítjük a racionális számokon értelmezett fügvények ábrá-

zolását, vizsgálatát. A mintapéldák és feladatok feldolgozása során egyaránt alkalmazni

kell a tizedestörtekr®l újonnan, illetve a gra�konokról, derékszög¶ koordináta-rendszerr®l

tanultakat.

110

Mi a valószín¶bb?

Fontos, hogy ennek a fejezetnek a feldolgozása során ténylegesen végezzék el a gyer-

mekek a kísérleteket. A tapasztalatok alapján alakul ki a tanulókban a �biztos", a �le-

hetséges, de nem biztos", illetve a �lehetetlen" esemény fogalma. Tapasztalati szinten

eljuthatnak a nagy számok törvényének megsejtéséhez.

Gyakorlófeladatok

A fejezet mindegyik feladata kicsit más, mint amilyenek korábban a tananyag feldolgo-

zásánál szerepeltek: összetettebbek, vagy más összefüggéseit világítják meg az adott

fogalomnak stb. Ezért { ha jut rá id® { feltétlenül javasoljuk, hogy ezekb®l is válogasson

a tanár. (Házi feladat, szakkör, korrepetálás stb.)

A feladatokkal segítséget szeretnénk nyújtani

a tanultak begyakorlásához és az ismeretek elmélyítéséhez;

a di�erenciált egyéni munkához;

ahhoz, hogy a tanultak beépüljenek a gyermek matematikai m¶veltségébe (soroza-

tokkal, nyitott mondatokkal, geometriával stb. való koncentrálás);

a folyamatos ismétlés során a hiányosságok pótlásához.

Tizedestörtek ellentettje, abszolútértéke

Negatív tizedestörtekkel is számolunk

A b®vített tankönyvben található fejezetek. Az egészek és a törtek anyagrészhez hason-

lóan vezetjük be az ellentett és az abszolútérték fogalmát, illetve a negatív tizedestör-

tekkel végzett m¶veleteket. Szükség esetén segítségül hívhatjuk az adósság{készpénz-

modellt, és a kis autós modellt.

Koncentrációként a m¶veletek sorrendje, a sorozatok és az egyenletek témakör is sze-

repel ezekben a fejezetekben.

Törd a fejed!

A Törd a fejed! cím¶ fejezet feladatai közül több meghaladja az 5. osztályos követel-

mények szintjét, tehát nem csak azok érdemelnek jelest, akik ezeket is meg tudják

oldani.

111

8. Összefoglaló

Az ismétlés, rendszerezés, összefoglalás tematikáját úgy állítsuk össze, hogy pó-

toljuk, meger®sítsük azokat a (minimumkövetelményhez kapcsolódó) anyagrészeket,

amelyekben bizonytalannak, hiányosnak érezzük a gyermekek tudását, illetve amelyek

nélkülözhetetlenek a hatodikos tananyag feldolgozása során.

Tanmenetjavaslat

Óra Aktuális tananyag Feladatok

Folyamatos ismétlés, koncentráció

1. Mit tanultunk a tízes számrendszerr®l?

A természetes számok és a tizedestört alakban adott ra-

cionális számok írása, olvasása, ábrázolása, kerekítése.

Szorzás, osztás 10-zel, 100-zal, 1000-rel.

Mértékegységek átváltása.

Tk. 8.01{8.06.;

Fgy. 1.1.01{13.,

1.2.30{32.

2{3. Összetett szám- és szöveges feladatok megoldása (alap-

halmaz: tizedestört alakban írt nemnegatív számok). M¶-

veletek sorrendje.

Tk. 8.07{8.13.;

Mgy. 3.09{3.20.,

5.94{5.95.

4{5. Törtek értelmezése, egyszer¶sítése, b®vítése, összeadá-

sa, kivonása, szorzása és osztása természetes számmal.

A szorzat és a hányados változásai.

Tk. 8.14{8.19.;

8.25{8.31.;

Fgy. 3.3.31{35.

6. Egész számok értelmezése, ábrázolása, összeadása,

kivonása.

Az összeg és a különbség változásai.

Tk. 8.20{8.22.;

Fgy. 4.2.16.

7{8. Mérés, mértékegységek. Mértékegységek átszámítása.

Téglalap kerülete, területe; téglatest hálója, felszíne, tér-

fogata.

Szorzás, osztás 10-zel, 100-zal, 1000-rel.

Törtrész kiszámítása, arányossági következtetések.

Gra�konok.

Tk. 8.23{8.28.;

Fgy. 6.3.33{36.

9. Alakzatok tulajdonságainak vizsgálata. Tk. 8.29{8.36.;

(+ 1 ó.) Adott tulajdonságú ponthalmazok. Szerkesztések.

A derékszög¶ koordináta-rendszer.

Fgy. 6.5.01{06.

112