matematika dan iad (bab 14 proposisi)
TRANSCRIPT
7/25/2019 Matematika Dan IAD (Bab 14 Proposisi)
http://slidepdf.com/reader/full/matematika-dan-iad-bab-14-proposisi 1/13
PROPOSISI
1.1 PROPOSISI dan TABEL KEBENARAN
1.1.1 ProposisiDi dalam matematika, tidak semua kalimat berhubungan dengan logika. Hanya
kalimat yang bernilai benar atau salah saja yang digunakan dalam penalaran. Kalimat
tersebut dinamakan proposisi ( preposition).
Proposisi adalah kalimat deklaratif yang bernilai benar ( true) atau salah ( false), tetapi tidak
dapat sekaligus keduanya. Kebenaran atau kesalahan dari sebuah kalimat disebut nilai
kebenarannya (truth value).
Contoh berikut ini dapat mengilustrasikan kalimat yang merupakan proposisi dan mana
yang bukan.
Contoh 1.1
a) 6 adalah bilangan genap b) oekarno adalah Presiden !ndonesia yang pertama
") # $ # % &
d) !bukota Pro'insi aa *arat adalah emarang
e) +# +-
f) Kemarin hari hujan
g) uhu di permukaan laut adalah #+ derajat "el"ius
h) Pemuda itu tinggi
i) Kehidupan hanya ada di Planet *umi
emuanya merupakan proposisi. Proposisi a, b, " bernilai benar, tetapi proposisi d
salah karena ibukota aa *arat seharusnya *andung dan proposisi e bernilai salah karena
seharusnya +# +-. Proposisi f sampai ! memang tidak dapat langsung ditetapkan
kebenarannya, namun satu hal yang pasti, proposisi/proposisi tersebut tidak mungkin benar
dan salah sekaligus. Kita bisa menetapkan nilai proposisi tersebut benar atau salah.
0isalnya, proposisi f bias kita andaikan benar (hari kemarin memang hujan) atau salah
(hari kemarin tidak hujan). Demikian pula halnya untuk proposisi g dan h. Proposisi i bias
benar atau salah, karena sampai saat ini belum ada ilmuan yang dapat memastikan
kebenarannya.
Contoh 1.2
a) am berapa kereta api 1rgo *romo tiba di 2ambir3 b) erahkan uangmu sekarang4
") 5 $ % 7
d) 5 8
bukan proposisi. Kalimat a adalah kalimat 9anya, sedangkan kalimat b adalah kalimat
perintah, keduanya tidak mempunyai nilai kebenaran. Dari "ontoh +.+ dan +.# di atas,
dapat disimpulkan baha proposisi selalu dinyatakan sebagai kalimat berita, bukan sebagai
kalimat 9anya maupun kalimat perintah. Kalimat " dan d bukan proposisi karena kedua
7/25/2019 Matematika Dan IAD (Bab 14 Proposisi)
http://slidepdf.com/reader/full/matematika-dan-iad-bab-14-proposisi 2/13
kalimat tersebut tidak dapat ditentukan benar maupun salah sebab keduanya mengandung
peubah ('ariable) yang tidak dispesifikasikan nilainya. 9etapi kalimat
:;ntuk sembarang bilangan bulat n <, maka #n adalah bilangan genap=
*idang logika yang membahas proposisi dinamakan kalkulus proposisi( propositional
calculus) atau logika proposisi ( propositional logic).
e"ara simbolik, proposisi biasanya dilambangkan dengan huruf ke"il seperti p, q, r , >.misalnya,
p? 6 adalah bilangan genap,
;ntuk mendefinisikan p sebagai proposisi :6 adalah bilangan genap=. *egitu juga untuk
q ? soekarno adalah Presiden !ndonesia yang pertama.
r ? # $ # % &.
dan sebagainya.
1.1.2 Ta!l K!!naran @ilai kebenaran dari proposisi majemuk ditentukan oleh nilai kebenaran dari proposisi
atomiknya dan "ara mereka dihubungkan oleh operator logika.• "isalkan p dan q adalah proposisi.• Kon#ungsi p $ % !rnilai !nar #ika p dan q k!duan&a !nar' s!lain itu nilain&a
salah• (is#ungsi p ) % !rnilai salah #ika p dan q k!duan&a salah' s!lain itu nilain&a !nar
N!gasi p' &aitu * p' !rnilai !nar #ika p salah' dan s!alikn&a0isalkan
p? +A adalah bilangan prima
q? bilangan prima selalu ganjil
jelas baha p bernilai benar dan q bernilai salah sehingga konjungsi
p B q? +A adalah bilangan prima dan bilangan prima selalu ganjil adalah salah.
atu "ara yang praktis untuk menentukan nilai kebenaran proposisi majemuk adalah
menggunakan tabel kebenaran. 9abel kebenaran menampilkan hubungan antara nilai
kebenaran dari proposisi atomik. 9abel +.+ menunjukkan tabel kebenaran untuk konjungsi,
disjungsi, dan ingkaran. Pada tabel tersebut, 9%true(benar), dan % false(salah).
Ta!l 1.1 9abel kebenaran konjungsi, disjungsi, ingkaran
7/25/2019 Matematika Dan IAD (Bab 14 Proposisi)
http://slidepdf.com/reader/full/matematika-dan-iad-bab-14-proposisi 3/13
Contoh soal? ika p, q, r adalah proposisi. *entuklah tabel kebenaran dari ekspresi logika
(p B ) ' (E B r)Penyelesaian?
1da buah proposisi atomi" di dalam ekspresi logika dan setiap proposisi hanya
mempunyai # kemungkinan nilai, sehingga jumlah kombinasi dari semu proposisi tersebut
adalah buah. 9abel kebenaran dari proposisi (p B ) ' (E B r) ditunjukkan pada tabel +.#.
Proposisi majemuk dapat selalu bernilai benar untuk berbagai kemungkinan nilai
kebenaran masing/masing proposisi atomiknya, atau selalu bernilai salah untuk berbagai
kemungkinan nilai kebenaran masing/masing proposisi atomiknya. adi, sebuah proposisi
majemuk disebut tautologi jika ia benar untuk semua kasus, sebaliknya
disebut kontradiksi jika ia salah untuk semua kasus.
Fang dimaksud dengan :semua kasus= di dalam definisi si atas adalah semua
kemungkinan nilai kebenaran dari proposisi atomiknya. Proposisi tautologi di"irikan pada
kolom terakhir pada tabel kebenarannya hanya memuat Tru!. Proposisi kontradiksidi"irikan pada kolom terakhir pada tabel kebenarannya hanya memuat +als!.
1.1., -uku / -uku ProposisiProposisi, dalam kerangka hubungan eki'alen logika, memenuhi sifat/sifat yang
dinyatakan dalam sejumlah hukum pada tabel di baah.*eberapa hukum tersebut mirip
dengan hukum aljabar pada system bilangan riil, misalnya a(b $ ") % ab $ a", yaitu hukum
7/25/2019 Matematika Dan IAD (Bab 14 Proposisi)
http://slidepdf.com/reader/full/matematika-dan-iad-bab-14-proposisi 4/13
distributif, sehingga kadang/kadang hukum logika proposisi dinamakan juga huku0huku al#aar proposisi .
Hukum/hukum logika di atas bermanfaat untuk membuktikan ke/eki'alenan dua
buah proposisi. elain menggunakan tabel kebenaran, ke/eki'alenan dapat dibuktikan
dengan hukum/hukum logika, khususnya pada proposisi majemuk yang mempunyai
banyak proposisi atomik. *ila suatu proposisi majemuk mempunyai n buah proposisi
atomi", maka table kebenarannya terdiri dari baris. ;ntuk n yang besar jelas tidak praktis
menggunakan tabel kebenaran, misalnya untuk n=+< terdapat baris di dalam tabel
kebenarannya.
7/25/2019 Matematika Dan IAD (Bab 14 Proposisi)
http://slidepdf.com/reader/full/matematika-dan-iad-bab-14-proposisi 5/13
2.1 TATOLOI (AN KONTRA(IKSI2.1.1 Tautologi
9autologi adalah pernyataan majemuk yang selalu benar untuk semua
kemungkinan nilai kebenaran dari pernyataan/pernyataan komponennya. ebuah 9autologi
yang memuat pernyataan !mplikasi disebut !mplikasi Gogis. ;ntuk membuktikan apakah
suatu pernyataan 9autologi, maka ada dua "ara yang digunakan. Cara pertama denganmenggunakan tabel kebenaran, yaitu jika semua pilihan bernilai * (benar) maka disebut
9autologi, dan "ara kedua yaitu dengan melakukan penjabaran atau penurunan dengan
menerapkan sebagian dari +# hukum/hukum kui'alensi Gogika.
Contoh:
Gihat pada argumen berikut?
ika 9ono pergi kuliah, maka 9ini juga pergi kuliah. ika iska tidur, maka 9ini pergi
kuliah. Dengan demikian, jika 9ono pergi kuliah atau iska tidur, maka 9ini pergi kulah.
Diubah ke 'ariabel proposional?
1 9ono pergi kuliah* 9ini pergi kuliah
C iska tidur
Diubah lagi menjadi ekspresi logika yang terdiri dari premis/premis dan kesimpilan.
kspresi logika + dan # adalah premis/premis, sedangkan ekspresi logika adalah
kesimpulan.
(+) 1 I * (Premis)
(#) C I * (premis)
() (1 J C) I * (kesimpulan)
0aka sekarang dapat ditulis? ((1 I *) (C I *)) I ((1 J C) I *ʌ
Dari tabel kebenaran diatas menunjukkan baha pernyataan majemuk ?
7/25/2019 Matematika Dan IAD (Bab 14 Proposisi)
http://slidepdf.com/reader/full/matematika-dan-iad-bab-14-proposisi 6/13
((1 I *) (C I *)) I ((1 J C) I * adalahʌ s!ua !nar (9autologi)#L.
Contoh tautologi dengan menggunakan tabel kebenaran?
+. (p ʌ E) p
Pembahasan?
!ni adalah tabel kebenaran yang menunjukkan 9autologi dengan alasan yaitu semua
pernyataannya bersifat benar atau 9rue (9). maka dengan perkataan lain pernyataan
majemuk (p ʌ E) p s!lalu !nar.#. (p ) ʌ pL p
Pembahasan?
+) (#) () (&) (M)
*erdasrkan tabel diatas pada kolom M, nilai kebenaran pernyataan majemuk itu adalah
****. Dengan perkataan lain, pernyataan majemuk (p ) pLʌ p s!lalu !narPembuktian dengan "ara kedua yaitu dengan penjabaran atau penurunan dengan
menerapkan sebagian dari +# hukum/hukum ekui'alensi logika.
Contoh?
+. (p ʌ )
Penyelesaian?
(p )ʌ E(p ) ' ʌ
Ep ' E '
Ep ' 9
7/25/2019 Matematika Dan IAD (Bab 14 Proposisi)
http://slidepdf.com/reader/full/matematika-dan-iad-bab-14-proposisi 7/13
Dari pembuktian diatas telah nampaklah baha pernyataan majemuk dari (p ʌ ) adalah
tautologi karena hasilnya 9 (true) atau benar.
Pembuktian dengan menggunakan tabel kebenaran dari pernyataan majemuk (p ʌ )
yaitu?
Pada tabel diatas nampaklah baha kalimat majemuk (p )ʌ merupakan 9autologi.
#. (p ' )
penyelesaian?
(p ' ) E ' (p ' )
E ' ( ' p)
9 ' p
2.1.2 KontradiksiKontradiksi adalah kebalikan dari tautologi yaitu suatu bentuk pernyataan yang hanya
mempunyai "ontoh substansi yang salah, atau sebuah pernyataan majemuk yang salah
dalam segala hal tanpa memandang nilai kebenaran dari komponen/komponennya. ;ntuk
membuktikan apakah suatu pernyataan tersebut kontradiksi, maka ada dua "ara yangdigunakan. Cara pertama dengan menggunakan tabel kebenaran, yaitu jika semua pilihan
bernilai atau salah maka disebut kontradiksi, dan "ara kedua yaitu dengan melakukan
penjabaran atau penurunan dengan menerapkan sebagian dari +# hukum/hukum
kui'alensi Gogika.
Contoh dari Kontradiksi?
+. (1 ʌ E1)
Pembahasan?
Dari tabel kebenaran diatas dapatlah disimpulkan baha pernyataan majemuk
(1 ʌ E1) s!lalu salah.#. P (Ep )ʌ ʌ
7/25/2019 Matematika Dan IAD (Bab 14 Proposisi)
http://slidepdf.com/reader/full/matematika-dan-iad-bab-14-proposisi 8/13
Pembahasan?
!ni adalah tabel kebenaran yang menunjukkan kontradiksi dengan alasan yaitu semua
pernyataan bernilai salah ().
,.1 EKI3ALENSI (AN LOIKADua atau lebih pernyataan majemuk yang mempunyai nilai kebenaran sama disebut
ekui'alensi logika dengan notasi : dua buah pernyataan majemuk dikatakan ekui'alen, jika
kedua pernyataan majemuk itu mempunyai nilai kebenaran yang sama untuk semua
kemungkinan nilai kebenaran pernyataan/pernyataan komponen/komponennya.
,.1.1 -uku0-uku Ekui)al!nsi Logika1. -uku Koutati45 p ʌ pʌ
p ' ' p
2. -uku Asosiati45
(p ) r ʌ ʌ p (ʌ r)ʌ
(p ' ) ' r p ' ( ' r)
,. -uku (istriuti45 p ( ' r)ʌ (p ) ' (p r)ʌ ʌ
p ' ( r)ʌ (p ' ) (p ' r)ʌ
6. -uku Id!ntitas5 p 9ʌ p
p ' p
7. -uku Ikatan 8(oinasi95P ' 9 9
P '
:. -uku N!gasi5P ' Ep 9
P ʌ Ep
;. -uku N!gasi anda 8In)olusi95E(Ep) p
<. -uku Id!pot!n5
P pʌ p p ' p p
=. -uku (! "organ5E( p )ʌ Ep ' E
E(p ' ) Ep ʌ E
1>. -uku P!n&!rapan 8Asorpsi95 p ' (P )ʌ p
P (p ' )ʌ p
11. -uku T (an +5E9
E 9
12. -uku Iplikasi K! And?Or5P Ep '
7/25/2019 Matematika Dan IAD (Bab 14 Proposisi)
http://slidepdf.com/reader/full/matematika-dan-iad-bab-14-proposisi 9/13
Dengan adanya hukum/hukum diatas, penyelesaian soal/soal baik yang bersifat
tautologi, kontradiksi dan ekui'alensi logika tidak hanya menggunakan tabel kebenaran
namun juga bisa dengan menggunakan jalan penurunan yaitu dengan memanfaatkan +#
(dua belas) hukum/hukum ekui'alensi logika tersebut.
6.1 AL@ABAR PROPOSISIetiap proposisi yang saling eki'alen dapat dipertukarkan atau diganti antara satu dengan
yang lainnya.
Hukum-hukum aljabar Proposisi adalah sebagai berikut:
a. -uku Id!pot!n 8Id!9
• p∨ p ek p
• p∧ p ek p
. -uku Asosiati4 8As9
• (p∨)∨r ek p∨(∨r)
• (p∧)∧r ek p∧(∧r)
. -uku Koutati4 8Ko9
• ∨ ek ∨ p
• p∧ ek ∧ p
d. -uku (istriuti4 8(ist9
• p∨(∧r) ek (p∨)∧(p∨r)
• p∧(∨r) ek (p∧)∨(p∧r)
!. -uku Id!ntitas 8Id9
• p∨ ek p
• p∨9 ek 9
• p∧ ek
• p∧9 ek p
4. -uku Kopl!!n 8Kop9
• p∨∼ p ek 9
• p∧∼ p ek
• ∼(∼ p) ek p
• ∼9 ek
g. -uku Transposisi 8Trans9
• p⇒ ek ∼⇒∼ p
h. -uku Iplikasi 8Ip9
• p⇒ ek ∼ p∨
i. -uku Eki)al!nsi 8Eki9
• p⇔ ek (p⇒)∧(⇒ p)
• p⇔ ek (p∧)∨(∼∧∼ p)
#. -uku Eksportasi 8Eksp9
• (p∧)⇒r ek p⇒(⇒r)
k. -uku (! "organ 8("9
• ∼(p∨) ek ∼ p∧∼
• ∼(p∧) ek ∼ p∨∼
7/25/2019 Matematika Dan IAD (Bab 14 Proposisi)
http://slidepdf.com/reader/full/matematika-dan-iad-bab-14-proposisi 10/13
7.1 I"PLIKASI LOIK 8LOICAL I"PLICATION9 7.1.1 Iplikasi 8Proposisi B!rs&arat9
• !mplikasi adalah 0isalkan ada # pernyataan p dan , untuk menunjukkan atau
membuktikan baha jika p bernilai benar akan menjadikan bernilai benar juga,
diletakkan kata :!K1= sebelum pernyataan pertama lalu diletakkan kata :01K1=
sebelum pernyataan kedua sehingga didapatkan suatu pernyataan majemuk yang disebutdengan :implikasiNpernyataan, bersyaratNkondisionalNhypotheti"al dengan notasi :◊=. notasi
p ◊ dapat diba"a ?
• +. ika p maka
• #. jika p
• . p adalah syarat "ukup untuk
• &. adalah syarat perlu untuk p
•
ontoh !mplikasi ":
• p ? Pak 1li adalah seorang haji.
• ? Pak 1li adalah seorang muslim.
• p O ? ika Pak 1li adalah seorang haji maka pastilah dia seorang muslim.
• !mplikasi dari p ke dinyatakan dengan, p8, ialah proposisi yang bernilai salah
jika dan hanya jika p bernilai benar dan bernilai salah. Proposisi p disebut anteseden
(premisNhipotesa) dan proposisi disebut konsekuen(konklusiNkesimpulan).
•
ontoh !mplikasi ":
• a. ika adik lulus ujian, maka ia mendapat hadiah dari ayah.
• b. ika suhu men"apai 7<C, maka alarm berbunyi.
• ". ika anda tidak mendaftar ulang, maka anda dianggap mengundurkan diri• Pernyataan berbentuk :jika p, maka = sema"am itu disebut proposisi bersyarat atau
kondisional atau implikasi.
•
• :.1 +NSI PROPOSISI (AN -I"PNAN KEBENARAN
• 0isalkan P(5) merupakan sebuah pernyataan yang mengandung 'ariabel 5 dan D
adalah sebuah himpunan (sembarang kumpulan obyek). Kita menyebut P sebuah fungsi
proposisi (dalam D) jika untuk setiap 5 di D, P(5) adalah proposisi.
• ontoh :
+. 0isalkan P(n) adalah pernyataan, n adalah bilangan ganjil dan D adalah himpunan
bilangan bulat positif. 0aka P adalah fungsi proposisi dengan daerah asal pembi"araan D
karena untuk setiap n di D, P(n) adalah proposisi (yakni, untuk setiap n di D, P(n) bisa
bernilai benar atau salah tetapi tidak keduanya). ika n%+, dapat diperoleh proposisi. +
adalah bilangan ganjil bernilai benar. ika n%#, diperoleh proposisi # adalah bilangan
ganjil bernilai salah.
7/25/2019 Matematika Dan IAD (Bab 14 Proposisi)
http://slidepdf.com/reader/full/matematika-dan-iad-bab-14-proposisi 11/13
#. ungsi proposisi :5$#8A= yang didefinisikan pada @, yakni himpunan bilangan asli.
0aka Q5 R 5 @, 5$#8AS % Q6,A,7,>Sadalah himpunan kebenarannya.
•
• ;.1 PENKR @"LA- NI3ERSAL• 0isalkan # sebuah penyataan, dan $ menyatakan suatu 'ariabel. ika kita ingin
menunjukkan baha # bernilai benar untuk semua kemungkinan nilai $, kita tuliskan ∀5 #.
∀ $ disebut pengukur jumlah uni'ersal (universal quantifier ), dan # dikatakan sebagai ruang
lingkup ( scope) dari pengukur jumlah tersebut. Jariabel $ dikatakan menjadi 'ariabel
terbatas (bound ) dari pengukur jumlah tersebut. imbol ∀ diba"a :;ntuk semua=.
• ;ntuk pernyataan :emua ku"ing punya ekor= dapat kita nyatakan dalam
kalkulus predikat sebagai ? ∀5 (Ku"ing(5)⇒Punyakor(5))
•
• <.1 PENKR @"LA- EKSISTENSIAL 8∃9
• 0isalkan 1 sebuah penyataan, dan 5 menyatakan suatu 'ariabel. ika kita ingin
menunjukkan baha 1 bernilai benar untuk sedikitnya satu nilai 5, kita tuliskan ∃5 1, yang
diba"a :1da satu 5 yang memenuhi 1=. ∃5 disebut pengukur jumlah eksistensial (e5istential
uantifier), dan 1 dikatakan sebagai ruang lingkup (s"ope) dari pengukur jumlah tersebut.
Jariabel 5 dikatakan menjadi 'ariabel terbatas (bound) dari pengukur jumlah tersebut.
• Contohnya, jika domain berupa sekumpulan benda, maka ∃5*lue(5) menyatakan
baha :1da benda yang berarna biru=.
• emua pengukur jumlah tersebut diperlakukan seperti operator uner, yang
mempunya tingkat presedensi lebih tinggi daripada operator biner. ebagai "ontoh, misalkan
P(5) meakili pernyataan :5 hidup= dan T(5) untuk :5 mati= maka• ∀5 (P(5) ∨ T(5)) diartikan baha :semua hidup atau mati= tetapi
• ∀5 P(5) ∨ T(5) diartikan :semua hidup atau 5 mati=
• Jariabel 5 dalam suatu pengukur jumlah dapat digantikan dengan 'ariabel lain tanpa
merubah arti dari seluruh pernyataan yang diakilinya. 0isalkan ∀5P(5) dengan ∀yP(y)
adalah hal yang samaU dan se"ara logika keduanya eki'alen. Pernyataan ∀yP(y) disebut
sebagai 'ariant dari ∀5P(5).
• Pengukur jumlah (uantifier) mungkin terjadi se"ara bersarang. Dimana ada suatu
pengukur jumlah dalam satu pernyataan yang didalamnya mengandung suatu pengukur
jumlah yang lain.
•
=.1 NEASI INKARAN• Kalimat ingkaran ( @egasi ) adalah suatu pernyataan yang diperoleh dari suatu
pernyataan sebelumnya dan mempunyai nilai kebenaran yang berlaanan dengan
pernyataan sebelumnya.
• *eberapa negasi suatu pernyataan dapat dilihat pada table berikut.
7/25/2019 Matematika Dan IAD (Bab 14 Proposisi)
http://slidepdf.com/reader/full/matematika-dan-iad-bab-14-proposisi 12/13
•
• 9abel nilai kebenaran @egasi ?
•
• ontoh :
•9entukan ingkaran dari pernyataan berikut, kemudian tentukanlah nilai kebenarannya.+. ( + ) p ? !bukota aa *arat adalah urabaya.#. s ? # $ # % M
. t ? Pinguin adalah *urung
• aab ?
+. p ? !bukota aa *arat adalah urabaya.
• Ep ? !bukota aa *arat *ukan urabaya.
• p bernilai ( salah ) dan Ep bernilai * ( benar )
#. ( # ) s ? # $ # % M
• Es ? # $ # V M
• s bernilai ( salah ) dan Es bernilai * ( benar )
. t ? Pinguin adalah burung.• Et ? Pinguin bukan burung.
• t bernilai * ( benar ) dan Et bernilai ( salah )
•
•
•
Su!r5• https?NNmuthiashri.ordpress."omN#<+&N<&N#-Nartikel/+6N
• http?NNnurha'ida.blogspot."o.idN#<+N<&Nmakalah/hukum/hukum/aljabar/
proposisi.html
• http?NNmiamia.blogspot."o.idN#<<-N+<Nmakalah/tentangimplikasi/logik/logi"al.html
• https?NNindahkardani.ordpress."omN#<+&N<6N#7NlogikaN
• http?NNjessioimeliojordy.blogspot."o.idN#<+&N+<Nsap/6/matematika/sistem/informasi/
+.html
• https?NNsu"ilaksmi+A<&.ordpress."omNmateri/smu/kelas/5iNlogika/
matematikaNkalimat/ingkaran/negasiN
7/25/2019 Matematika Dan IAD (Bab 14 Proposisi)
http://slidepdf.com/reader/full/matematika-dan-iad-bab-14-proposisi 13/13
•