matematika gyakorló és érettségire felkészítő feladatgyűjtemény megoldások

8/9/2019 MATEMATIKA Gyakorl s rettsgire felkszt feladatgyjtemny Megoldsok

1/21

I. Matematikai logika

Logikai feladatok

01. a) igaz;b) hamis (pl. 24); c) igaz (pl. 1 s+1); d) igaz;e) igaz;f) hamis.02. Csak a B llts lehet hamis, hiszen ha az igaz volna, akkor valamennyimsik is igaz volna. gy a ngyszg rombusz.03. a) Balzs b) Csaba

04. Mivel ngyen sztak pratlan szm plyn, ezrt nem lehet a hrompros helyezst elosztani kztk.05. Vltozik, mert a szl sebessgcskkent hatsa hosszabb ideig rvnyesl,mint a sebessgnvel hats.06. Igaz.07. Igen. Aki megszlalt, nem lehet lkt, mert akkor igaz lenne, amit mon-dott, de tudjuk, hogy mindig hazudik. Teht lovag, s ezrt igazat mondott,gy trsa lkt.08. Bizony nagyon lmosak lehettnk, mert ez a kt mondat gy nem hangoz-hatott el. Ugyanis azA llts csak akkor hamis, ha mindketten lovagok, akkorazonban nem mondhatta, hogy legalbb az egyiknk lkt. Ha viszontA iga-zat mondott, akkor lovag, teht akkor B szksgkppen lkt. Ebben azesetben viszont igaz, hogy klnbz tpushoz tartoznak, vagyis ez az lltsigaz, s gy is ellentmondsra jutottunk.09. A harmadik lakos mindenkppen igazmond. Az els lakos biztos hazu-ds, ezrt a msodik ha igazat mond, akkor a harmadik lakos is lovag, ha vi-szont lkt, akkor is mivel mindhrman nem lehetnek lktk lovag a har-madik.10. Az t vlaszbl pontosan egy lehet igaz, mivel brmely kt vlasz egymstkizrja. Egy vlasznak azonban igaznak kell lennie, mert ha mind hamis, akkor5 lovag lehetne csak a trsasgban, de akkor mindenkinek igazat kellene mon-dania. Ezrt egy lovag volt kzttk.11. Ha mindenki lkt lenne, akkor mindenki igazat mondana, ezrt kelllennie legalbb egy lovagnak. Vlasszunk ki egy lovagot. nmagn s kt szom-szdjn kvl mindenki lkt, teht legfeljebb 3 lovag lehet. Ha 3 lenne, akkorez a hrom szomszdos lenne. Aszlsk nem szomszdok, mgsem lktk, te-ht ellentmondsba tkztnk, gy legfeljebb 2 lovag lehet. Ha csak egy lenne,

akkor a szomszdja lkt lenne, mgis igaz lenne lltsa, gy egy lovag nemlehet. Teht csak 2 lovag lehet. Ekkor a kt lovagnak igaz az lltsa, a lktk-nek pedig mindig van velk nem szomszdos lovag, gy az k lltsa hamis.Teht 2 lovag l az asztalnl.12. Mivel az utols llts biztosan igaz, gy van kzttk lovag. Ha pontosank lovag van, akkor igaz ak-adik,k+1-edik, utols llts, az elsk-1 pedighamis. Ezrt 4 lovag s 3 lkt van a szobban.

I


2/21

13. Fogalmunk sincs. Ugyanis ha pontosank igazmond van kztk, akkor azelsk vlasz igaz, az azutn kvetkez vlaszok hamisak, s ez lehetsges ismindenk-ra


3/21

f) E&A 0D; ngyzet& tglalap vagy rombusz igaz;g) B&C; az tlk felezik egymst& az tlk =-ek hamis;h) A& C; nem tglalap& az tlk nem =-ek hamis;

i) (A / C)&E; tglalap s az tlk nem =-ek& nem ngyzet igaz;

j) D 0E&B; ngyzet s rombusz& az tlkfelezik egymst igaz.

26.a) A " C; ha a szm oszthat 6-tal& 12-re vgzdik;b) B "D; ha nem pros szm& prm;c) (B /D)"F; pros szm s prm& nem oszthat 9-cel;

d) (B 0A)" (A / G); ha pros vagy 6-tal oszthat& pros s

a szmjegyeinek sszege 3-mal oszthat;e) E " C; ha 4-gyel nem oszthat egy szm& nemvgzdik 12-re;

f) (G 0B) )A; egy szm akkor s csak akkor nem oszthat6-tal, ha szmjegyeinek sszege nem oszthat 3-malvagy nem pros;

g) (E /B) "D. ha egy szm oszthat 4-gyel s pros& nem prm.Ac, e, f, g igaz, aza, b, d hamis.27. Nem. Akkor is vihetek ernyt, ha nem is esik.28. p: a szm pratlan, q: a szm prm.

p q p "q (p "q)/ q p

i i i h h

i h h h hh i i h i

h h i i i

A kvetkeztets hamis.29. Igen. Lehet az is, hogy betegsg miatt hinyzott. Persze lehet az lltsahamis is.30. p: a szmnak kt osztja van, q: a szm prm.A kvetkeztets logikai alakja:[( p " q) q] &p. rtktblzattal ellen-rizhet, hogy a kvetkeztets helyes.31. Ngy.32. a) Egy. Ez kvetkezik a hrom implikcibl.

b) Bla biztosan nem mondott igazat az els implikci s a sajt lltsa

miatt.c) Pontosan egy. Ez lehet Antal vagy Csaba egyarnt.33. A vlasz: 29.Az ellensg a sarkokban llkat ktszer szmolja.5 s 5 s 5 6 s 4 s 5 8 s 0 s 75 5 4 5 0 05 s 5 s 5 5 s 5 s 5 7 s 0 s 8Amikor az ersts megrkezik, az ellensg ppen tmadni kszl, gy mr csak29 l vd volt az erdben.

Logikai feladatok 11

I


4/21

34. Elszr is azA sB feladatnak nincs elfelttele, gy egyszerre, s ssze-sen 8 perc alatt elvgezhetk. Ha B befejezdtt, C elvgezhet (B a Celfelttele).Ha C elkszlt (4 perc alatt),D is elvgezhet (11 perc alatt), s vgl, haD iselkszlt, az tel tlalhat (vagyisIelvgezhet). gy a kritikus t:START0B 8 C 4 D 11I2KSZ,s a vacsora elksztshez szksges id 8 + 4 + 11 + 2 = 25 perc, vagyis avacsora elksztst legksbb 18:05-kor el kell kezdeni.Mivel G nincs a kritikus ton, attl, hogy 5 perccel rvidebb ideig tartana, mgnem kezdhetnnk a vacsora elksztst 5 perccel ksbb.35. Minimum hrom idpontra van szksg a bizottsgi lsek szmra.A Vacsora, Szlls s regdik-album bizottsgok egyszerre lsezhetnek,hasonlan a Msor s Dszts bizottsgok is. A Meghvk bizottsgnak klnidpont kell. Elszr vlogassuk szt, ki melyik bizottsgban tag (gy jobban lt-szik, kik vannak ugyanabban a csoportban):Anna, Joln, Anita: SzllsAmlia, Angla: VacsoraKati:MeghvkKroly, Juli: MsorZoli, Aliz: regdik-albumErik: regdik-album s Msor,Tams: Szlls s Msor,Simon, Rita: Vacsora s Msor,

Tdor: Szlls s Dszts,Mtys, Rbert: regdik-album s Dszts,Jakab, Gergely:Meghvk s Dszts,Rozlia, Dani:Meghvk s Vacsora,Aki csak egy bizottsgban tag, nem szmt. Innen ltszik, hogy az albbibizottsgok lsei nem lehetnek egyszerre:Msors regdik-album, Msor sSzlls,Msors Vacsora,Meghvk s Vacsora,Dszts sMeghvk,Dszts sSzlls,Dszts s regdik-album.Lthat, hogy aMsors aDszts, valamint a Vacsora, a Szlls s az regdik-album bizottsgok egyszerre lsezhetnek, mivel az egy csoporton belli hal-mazok metszete res. AMeghvk bizottsgnak mindkt csoportbeli halmazzalvan kzs rsze, gy kln idpont kell az lseiknek.36. Az els felttel szerint:

A talajszennyez vagy Tams, vagy Hug. A zajszennyez vagy Tams, vagyHug.A msodik felttel szerint:A levegszennyez (vagy Andrs, vagy Rbert) teniszezik. Tams hokizik.A zajszennyez (vagy Tams, vagy Hug) focizik. A talajszennyez (vagyTams, vagy Hug) hokizik. Innen Tams a talajszennyez s Hug a zajszen-nyez.A harmadik felttel szerint:Andrs s Tams ns. Rbert s Hug agglegny.

12 Logikai feladatok

I


5/21

A negyedik felttel szerint:Andrs a levegszennyez, aki teniszezik.Innen pedig Rbert a vzszennyez.sszefoglals:Andrs, a levegszennyez kelet-magyarorszgi, teniszezik s ns.Rbert, a vzszennyez kelet-magyarorszgi s agglegny.Tams, a talajszennyez kelet-magyarorszgi, hokizik s ns.Hug, a zajszennyez nyugat-magyarorszgi, focizik s agglegny.37. A felttelek szerint az I. llts igaz (a,b); a II. is (d). Mivel Tcsak vasr-nap dolgozhat, gy III. hamis. UsXbeosztsa nincs egymsra hatssal, ezrtV. nem felttlen igaz. A IV. llts is igaz (d,e).

38. A helyes beoszts e. Az a-nl nincs fikvezet, b-nl kett van, a c s desetben WsXugyanaznap dolgozik.39. Biztosan igaz:a, c. Biztosan hamis: b, d.40. A msodik s harmadik llts hamis, a tbbi igaz.41. Valamennyi azonossg bizonytsa, illetve logikai egyenlet megoldsa azazonossgok felhasznlsval az albbiakhoz hasonl mdon trtnik.h)

p q r p/ i p/h (p/ i)0(p/h) q/r eredmny

i i i i h i i i

i i h i h i h h

i h i i h i h h

h i i h h h i hi h h i h i h h

h i h h h h h i

h h i h h h h i

h h h h h h h i

42. Pldul (p/h) 0p.43.

p q p "q p/q (p/q)

i i i h i

i h h i hh i i h i

h h i h i

44. Igen, mert a felttelblq = i kvetkezik, s ez elgp 0q = i-hez.45. Nem, mert (p " q) =h esetn az eltag igaz s az uttag hamis, gy(p/q) = i.46. q "p = i.

Logikai feladatok 13

I


6/21

47.

48. Azonossgok: b; c; e; g; h.49. Helyes kvetkeztetsi formk:a; b; c; e; h.50. Vizsgljuk meg, hogy a szmllk mikor igazak!

p q p"q

i i i

h i i

h h i

Bizonytsi mdszerek

Skatulyaelv

51. a) Ki kell hzni az sszes nem zldet, s mg egy zldet is, teht 34-et.b) 6 fehr s 5 zld kihzsa utn a kvetkez biztosan piros vagy kk.

Teht 12-t.c)Az sszes piros, zld s fehr kihzsa utn lehetnk csak biztosak a

kk hzsban, teht 27-et kell kivenni.d) Ha vletlenl minden pirosat kihztunk, mg mindig nincs ktfle, de

a 16. hzs utn mr biztosan lesz kt klnbz szn.e) Lehet, hogy a kkek maradtak csak benn a vgn, s mg azok kzl is

ki kell hzni 4-et, teht sszesen 30-at.f) Ha a zldek maradnak a vgre, akkor csak az utols kt zld marad-

hat benn, teht 36-ot kell kivenni.g) 8 golyt kivlasztva mg elkpzelhet, hogy minden sznbl kett van,

a 9. hzs utn azonban mr biztosan lesz olyan szn, amelyikbl 3-atvettnk ki.

52. a) Ha 32 darabot ki kellett venni, az azt jelenti, hogy 31 golyt mg kilehet gy hzni, hogy nincs kzttk mind a ngy sznbl. Teht azutols sznbl 9 goly van, a msik hrombl sszesen 31, de egyikblsem lehet 9-nl kevesebb.

iihhiihhhhihiiihhhhiiihihhiihhii

(p0q)p/qqp (p/q)p0qqp

14 Bizonytsi mdszerek

I


7/21

b) A msik hrom sznbl is legalbb 9 goly kell legyen, hiszen havalamelyikbl kevesebb lenne (persze akkor ms valamibl tbb),akkor annak az els golyjra vrva mg tbbet kellett volna hzni.Ezrt ha hrom sznbl 9-9-9 goly van, akkor lehet a negyedikbl 13darab.A kvetkez eloszlsok lehetsgesek: (1. szn& amibl a legtbb van)

53. Hrom pr tiszta zoknira van szksgem, ehhez elg 7 darabot kihozni,hiszen ha 6 darabbl nem lehet 3 prat vlasztani, akkor van 2 pr zokni, s egyfekete, egy barna. Ahetedik valamelyikkel mr prt alkot. (Ha gy rtelmezzka feladatot, hogy csak a tovbbi kt napra kell zokni, ma mr felltztem, akkora helyes vlasz 5 db.)54. Legalbb 37-en, hiszen lehet, hogy minden hnapban 3-an szlettek, sakkor 36 tanul esetn sincs olyan hnap, amelyben 4-en szlettek.55. Hrom egsz szm kztt biztosan van kt azonos parits, azok sszegebiztosan pros.56. Ngyzetszm 3-mal osztva nulla vagy 1 maradkot adhat, ezrt lesz kett,amelyek maradka megegyezik, ezrt klnbsgk 3-mal oszthat.57. Ngyzetszm 4-gyel osztva nulla vagy 1 maradkot adhat, ezrt lesz kett,amelyek maradka megegyezik, ezrt klnbsgk 4-gyel oszthat.58. A 10-nl nagyobb prmek vgzdse csak 1, 3, 7, 9 lehet, ezrt van kzt-tk kt azonos jegyre vgzd. Ezek klnbsge 10-zel oszthat.59. Ngyzetszm vgzdse csak 0, 1, 4, 5, 6, 9 lehet, ezrt van kzttkkt azonos jegyre vgzd. Ezek klnbsge 10-zel oszthat.60. t egsz szm kzl ha van hrom, amely ugyanazt a maradkot adja 3-mal osztva , ezek megfelelnek, vagy nincs, de akkor mindhrom maradknakszerepelnie kell. Vegynk hrom ilyen szmot! Ezek sszegnek maradka0 + 1 + 2 = 3, teht ezeknek az sszege 3-mal oszthat.61. Egy szm akkor oszthat 15-tel, ha oszthat 3-mal s 5-tel. Ngyzetszmmaradka 3-mal osztva ktfle lehet, 0 vagy 1; 5-tel osztva pedig 0 vagy 1 vagy4. Ez sszesen 2 $ 3 = 6 lehetsg, teht 7 szm kztt van kett, amely 3-mal s5-tel osztva is ugyanazt a maradkot adja, ezek klnbsge 15-tel oszthat.

62. Prmszm 3-mal osztva csak 1 vagy 2 maradkot adhat, ha nem a 3-rl vansz. A10. feladat szerint brmely 5 egsz kzl kivlaszthat hrom, amelyeksszege 3-mal oszthat, ezrt maximum 4 szm adhat meg gy, hogy azsszegk is prm legyen. Ennyi meg is adhat, hiszen pldul 7, 11, 13, 23ilyen prmngyes.63. Hrom hatvnyainak vgzdse: 3; 9; 7; 1; 3; teht a sorozat mivelmindig egyformn 3-mal szorozzuk az elz vgzdst periodikus.64. Az utols kt helyen maximum 50-fle vgzds llhat (2 hatvnyaiprosak), ezrt az els 51 hatvny kztt van legalbb kett, amely ugyanarra

9101011

99111199101299913

4. szn3. szn2. szn1. szn

Skatulyaelv 15

I


8/21

a kt szmjegyre vgzdik. Ettl kezdve a sorozat mivel mindig egyformn 2-vel szorozzuk az elz vgzdst periodikus.65. Tekintsk a kvetkez 17 szmot:1111111111h

111111 (17 darab 1-es)Ezek kzt vagy van 17-tel oszthat, vagy nincs. Az els esetben megtalltuk akeresett szmot, a msodikban pedig a 17 szm maximum 16 fle maradkot

adhat 17-tel osztva, gy van kzttk legalbb kett, amely ugyanazt a marad-kot adja. Vonjuk ki a nagyobbl a kisebbet! A klnbsg olyan szm lesz, ami-ben valahny egyes utn nhny nulla ll. Ezt a szmot osztja 17, de ez a szmelll egy csupa egyesbl ll szm s 10-nek egy termszetes kitevj hatv-nynak szorzataknt. Mivel 10 s 17 relatv prmek, & 17 a csupa 1-esbl llszmot osztja, teht ez megfelel.66. Az els 13 meccsbl kell 5-t eltallni. Ha hrom tipposzlopot kitltnkgy, hogy az els oszlopba csupa 1-est, a msodikba csupa kettest, a harmadikbacsupa x-et runk, akkor biztosan lesz valamelyik oszlopban legalbb 5 tallatunk,hiszen 13 meccs kzl lesz legalbb 5, amelyiknek ugyanaz az eredmnye.67. Ha van az egyenesek kztt kt prhuzamos, azok szge 0, gy a feladatlltsa igaz. Ha nincs, akkor toljuk el valamennyi egyenest a sk egy tetszlegespontjba! Nem vltozik kt egyenes szge, ha azokat sajt magukkal prhuza-mosan eltoljuk. Ekkor a 10 egyenes a skot 20 kzs cscs szgtartomnyrabontja, ahol a szgek sszege 360. Ezen szgek kztt nem lehet mindegyik20, vagy annl tbb, mivel 20 $ 20 = 400 >360.68. Egy pont kt koordintja kzl mindkett vagy pros, vagy pratlan, ez 4lehetsg. Ezrt 5 pont kztt biztosan van kett, amelynl mindkt koordintaparitsa megegyezik. Ezek felezpontja kielgti a feladatot, mivel azonos pari-ts szmok sszege pros, annak a fele teht egsz, s gy kell a felezpontkoordintit kiszmolni.69. Trben a hrom koordinta mindegyike vagy pros, vagy pratlan, ezsszesen 23 = 8 lehetsg, ezrt 9 pont kztt lesz kett, amelynek mindenkoordintjnak paritsa megegyezik. Ez a kt pont ltal meghatrozott sza-kasz felezpontja rcspont.70. Egy hromszg slypontjnak koordintit megkapjuk, ha a hrom cscsmegfelel koordintinak szmtani kzept vesszk. Egy pont koordintit

tekintve hromfle maradkot adhat 3-mal osztva, ezrt 13 pont kztt lesz 5olyan pont, amelynek az els koordintja ugyanazt a maradkot adja 3-malosztva. Ezek kzl brmely hrmat vlasztva az els koordintk sszege 3-maloszthat. Nzzk ezek msodik koordintit! Ez t egsz szm, amelyrl mrbizonytottuk, hogy van kzttk hrom, amelynek az sszege 3-mal oszthat,gy ezek ltal meghatrozott hromszg slypontjnak mindkt koordintjaegsz, teht rcspont.71. A szmok kztt eggyel tbb pratlan van, mint pros, ezrt minden per-mutciban lesz olyan pratlan szm, amely alatt is pratlan szm ll. Ezek


I


9/21

klnbsge pros, s ha egy szorzatban van pros tnyez, akkor a szorzatpros.72. Tekintsk a kvetkez szmokat!333333h

3333.3 (n db 3-as).Ezek kzt vagy van 3-mal oszthat, s akkor az kielgti a feladat felttelt,vagy nincs. Akkor viszont ez olyan n darab szm, amelyn-nel osztva legfeljebbn 1 fle maradkot adhat, teht van kztk legalbb kett, aminek ugyanaz a

maradka. Ezek klnbsgen-nel oszthat, s a szm a kvnt alak.73. Osszuk a krlapot hat darab 60-os kzpponti szg krcikkre! Leszolyan kzttk, amelyikbe legalbb kt tallati pont esik. Ez a kt pont a kvnttulajdonsg.74. Osszuk a szablyos hromszget az oldalaival prhuzamos vgsokkal 9darab 5 mter oldal szablyos hromszgre. Lesz olyan kzttk, amelyikbelegalbb kt pont esik. Ez a kt pont a kvnt tulajdonsg.75. El lehet helyezni. Tegynk a ngy cscsba, a ngy oldalfelez pontba s angyzet kzppontjba egy-egy pontot, ez az elrendezs j. 10 pontot mr nemlehet elhelyezni, mert ha a ngyzetet oldalaival prhuzamos vgsokkal kilencdarab kisebb ngyzetre bontjuk, akkor lesz olyan, amelyikbe legalbb 2 pont

esik. E kt pont ltal meghatrozott szakasz hossza maximum 6 szm, amelyhez tallunk szablyos rcs-sokszget. Legyen egy ilyen legrvidebb oldal rcssokszg A A A An1 2 3f . En-nek a rcssokszgnek valamennyi AiAi + 1 oldalt toljuk el gy, hogy az Ai cscsaz origba kerljn. Ekkor a szakaszok vgpontjai jra egy szablyos n oldalB B B Bn1 2 3f rcssokszget alkotnak. A kt sokszg oldalainak arnya

6. Teht A A A An1 2 3f nem lehetett a legr-

videbb oldalhossz rcsn-szg.

93. Az sszesen kivlaszthat szmprok szma:90

2

45 89$=J

L

KK

N

P

OO , ami pratlan

szm. Egy szelvnyen 5 szmot tltnk ki, ez5

25 2 10$= =

J

L

KK

N

P

OO szmpr meg-

jellst jelenti. Tbb szelvny kitltsvel csak ennek tbbszrse rhet el,ami nem lehet pratlan, teht a vlasz nem.94. Nem. Tegyk fel, hogy sikerlt, s jelljkA-val a kzs sszeget! Mindenlen lv szmot kt cscsnl szmolunk hozz az sszeghez, s mivel a kock-nak 8 cscsa van, gy ktflekppen sszeszmolva az sszes lre rt szmoksszegt, a kvetkez egyenletet kapjuk: 8A= 2(1 + 2 + 3 + + 12) = 156,ami nem oszthat 8-cal.

95. Bizonyts: indirekt mdon. Tegyk fel, hogy n nem prm, akkor vagyn = 1, vagyn =ab, ahola > 1 sb > 1. Azn = 1-re a szm nem prm, teht az

llts errl nem mond semmit. Han =ab, ahola > 1 s b > 1, akkor osszukaz n darab 1-esbl ll szmot b darab olyan szmra, amelyek mindegyike adarab 1-esbl ll. Ezt az a darab 1-esbl ll szmot jellje k, s tudjuk, hogyk > 1. Az eredetinjegy szm teht felrhat a kvetkez alakban:k(1 + 10a ++ 102a + + 10a(b-1)), s a msodik tnyez is nagyobb egynl. gy nem lehetprm, mivel kt egynl nagyobb termszetes szm szorzata. Ellentmondsrajutottunk, ezrt az eredeti llts igaz.A megfordts nem igaz, hiszenn = 3-ra 111 = 3 $ 37.


I


13/21

Teljes indukci

96. A hiba ott van, hogy kt egyms utni rtkre n - 1-re s n - 2-rehasznltuk a msodik lpsnl az indukcis felttelt, de csak egyetlen rtkre,n = 1-re ellenriztk.

97. Az llts csak 1-nl nagyobbn-ekre igaz, az els lpsnl a jobb oldalon1-re, a bal oldalon 2-re szl lltst tettnk egyenlv.

98. Egy egyenes behzsa esetn legyen az egyik flsk fekete, a msikfehr, ez a sznezs j. Kt egyenes esetn mr meg kell vizsglni, hogy az egye-nesek prhuzamosak vagy metszk, de mindkt konkrt eset nyilvnvalankisznezhet. Tegyk fel, hogy igaz az llts n =k egyenesre, azaz a sk a k-

vnt mdon kisznezhet. Ekkor biztosan ltezik egy msik sznezs is, az,amelyben fekete az, ami az eredeti sznezsen fehr, s fordtva. Hzzuk bemost ak+ 1-edik egyenest. Ez a skot kt flskra osztja. A kt flsk kzl azegyikben hagyjuk meg a sznezst, a msikban vltoztassuk az ellenttre. Ez asznezs j, hiszen mindkt flsk kln-kln jl van sznezve, s az egyenesltal hatrolt tartomnyok az egyenes kt oldaln klnbz sznek.

99. Elg bebizonytani, hogy 6; 7; 8 darab ngyzetre felbonthat (99. bra),mert azutn egy ngyzetet 4 egybevg ngyzetre bontva addik teljes induk-cival minden 3k; 3k + 1 s 3k + 2 alak szmra, s ezzel az sszes termszetesszmra az llts.100. Ez kvetkezik a 101. feladatbl. (100101. bra)101. Ha egy hromszg kzpvonalait meghzzuk, akkor egyetlen hrom-szgbl ngy darab, az eredetihez hasonl hromszget kaptunk, teht az ere-detihez hasonl hromszgek szmt 3-mal nveltk. Ezrt elg megmutatni,hogy fel lehet bontani 6; 7; 8 darab, az eredetihez hasonl hromszgre, mertazutn egy hromszget 4 egybevg hromszgre bontva teljes indukcivaladdik minden 3k; 3k + 1 s 3k + 2 alak szmra, s ezzel az sszes termszetesszmra az llts. Ezt a felbontst pedig a 100101. bra mutatja.

Teljes indukci 21

I

99.

100101.


14/21

A kvetkez feladatokban csak egy-kt pldt dolgozunk ki rszletesen, mivel azsszes bizonytsa nagyon hasonl.102.

a)A bizonytst teljes indukcival vgezzk.n = 1-re az llts igaz, mert 7 3 16 4 41 2 $+ = = .

Tegyk fel, hogy egyn szmra igaz az llts.lltom, hogy (n + 1)-re is igaz marad, vagyis ha 4 7 3n n 1+ + , & 4 7 3n n1 2++ + .Alaktsuk t az lltsban szerepl mennyisget a kvetkez mdon:7 3 7 7 3 3 7 7 7 3 4 3 7 7 3 4 3n n n n n n n n n1 2 1 1 1 1 1$ $ $ $ $ $+ = + = + - = + -+ + + + + + +` j .Ennek az sszegnek az els tagja az indukcis felttel 7-szerese, ezrt a feltevs

szerint oszthat 4-gyel, a msodik tag egy egsz szm 4-szerese, ezrt oszthat4-gyel. Mivel az sszeg mindkt tagja 4-gyel oszthat, gy az llts igaz.103106. A feladatok megoldst az olvasra bzzuk.107. A bizonytst teljes indukcival vgezzk. (Mrn = 0-ra is igaz az llts,mert 8 + 3 $ 5 = 23.)n = 1-re az llts igaz, mert 23 2 3 5 1024 27 3125 85 3997 3 2 1 4 1$ $+ = + = =+ + +

23 3713$= .Tegyk fel, hogy egyn szmra igaz az llts.lltom, hogy (n + 1)-re is igaz marad, vagyis ha 23 2 3 5n n n7 3 2 1 4 1$++ + + &23 2 3 5n n n7 3 2 1 4 1$++ + + .

.

2 3 5 128 2 3 5 9 625 3 5

128 2 3 5 23 239 3 5

n n n n n n n n

n n n n n

7 10 2 3 4 5 7 3 2 1 4 1 2 1 4 1

7 3 2 1 4 1 2 1 4 1

$ $ $ $ $ $

$ $ $ $ $

+ = + + =

= + +

+ + + + + + + +

+ + + + +

`

`

j

jAz els tag az indukcis felttel miatt, a msodik a 23-mal val szorzs miattoszthat 23-mal, s ezt kellett bizonytani.108109. A feladatok megoldst az olvasra bzzuk.

110. Bizonytand, hogy ...( )( )

nn n n

1 2 36

1 2 12 2 2 2+ + + + =

+ +

.A bizonytst teljes indukcival vgezzk.

n = 1-re az llts igaz, mert 16

1 2 32 $ $= .

Tegyk fel, hogy egyn szmra igaz az llts.lltom, hogy (n + 1)-re is igaz marad, vagyis ... n1 2 32 2 2 2+ + + + =

( )( )n n n

6

1 2 1=

+ +

& ... n1 2 32 2 2 2+ + + + ( )n 1 2+ + =

( ) ( ( ) ) ( ) ( )n n n n n n6

1 2 2 1 16

1 2 2 3=

+ + + +

=

+ + +_ _i i.

Az indukcis felttel szerint a bal oldalon az elsn tagot a felttel jobb oldal-val helyettestve

...( )( )

n nn n n

n1 2 3 16

1 2 112 2 2 2

2 2+ + + + + + =

+ +

+ + =_ _i i

( )( )nn n n

nn n

n n n

6

12 1 6 1

6

12 7 6

6

1 2 2 32

=

+

+ + + =

+

+ + =

+ + +

_ _ ` _

i i j i

8 B ,

s ezt kellett bizonytani.


I


15/21

111113. A feladatok megoldst az olvasra bzzuk.

114. ... ( )( )( )

n nn n n

1 2 2 3 3 4 13

1 2$ $ $ $+ + + + + =

+ +

. Erre ktfle bizonytst

adunk.

1. bizonyts:Nzzk a teljes indukcis bizonytst, amely mkdik akkor is, ha semmi nemjut esznkbe. Teht elszr megnzzk,n = 1-re igaz-e az llts.

1 23

1 2 3$

$ $

= , teht igaz. Tegyk fel most, hogy egy n szmra igaz az llts.

lltom, hogy (n+

1)-re is igaz marad, vagyis

... ( )n n1 2 2 3 3 4 1$ $ $ $+ + + + + =( )( )n n n

3

1 2+ +& ...1 2 2 3 3 4$ $ $+ + + +

( )( )n n1 2+ + + =( )( )( )n n n

3

1 2 3+ + +.

Az indukcis felttel szerint a bal oldalon az elsn tagot a felttel jobb oldal-val helyettestve

... ( )( )( )( )

( )( )n nn n n

n n1 2 2 3 3 4 1 23

1 21 2$ $ $+ + + + + + =

+ +

+ + + =

( )( ) ( )

( ) ( ( )( )nn n n

nn n

n n n

3

12 3 2

3

15 6

3

1 2 32

=

+

+ + + =

+

+ + =

+ + +

` j7 A ,

amit bizonytani kellett.

2. bizonyts:

A jobb oldali kifejezs adhatja az tletet, mivel nagyon hasonltn 2

3

+J

L

KK

N

P

OO kifej-

tett alakjhoz, annak pontosan a ktszerese. Ezrt osszuk el az egyenletet 2-vel!Ekkor a bal oldali tagok is felrhatk binomilis egytthatkknt:

...n n2

2

3

2

4

2

1

2

2

3+ + + +

+

=

+J

L

KK

J

L

KK

J

L

KK

J

L

KK

J

L

KK

N

P

OO

N

P

OO

N

P

OO

N

P

OO

N

P

OO, ami ismert kombinatorikai azonossg.


119. ...( )( )n n n

n

1 3

1

3 5

1

5 7

1

2 1 2 1

1

2 1$ $ $+ + + +

- +=

+.

Erre is ktfle bizonytst adunk.1. bizonyts: Nzzk a teljes indukcis bizonytst, ami mkdik akkor is, hasemmi nem jut esznkbe. Teht elszr megnzzk,n = 1-re igaz-e az llts.

Teljes indukci 23

I


16/21

1 3

1

2 1 1

1

$ $=

+, teht igaz. Tegyk fel most, hogy egy n szmra igaz az llts,

lltom, hogyn + 1-re is igaz marad, vagyis ...1 3

1

3 5

1

5 7

1

$ $ $+ + + +

( )( )n n n

n

2 1 2 1

1

2 1+

- +=

+& ...

( )( )n n1 3

1

3 5

1

5 7

1

2 1 2 1

1

$ $ $+ + + +

- ++

( )( )n n n

n

2 1 2 3

1

2 3

1+

+ +=

+

+

. Az indukcis felttel szerint a bal oldalon az

elsn tagot a felttel jobb oldalval helyettestve

( )( )n

n

n n2 1 2 1 2 3

1

++

+ +=

( )( )

( )

n n

n n

n

n

2 1 2 3

2 3 1

2 3

1=

+ +

+ +

=+

+

, amit bizonytani kellett.

2. bizonyts (Parcilis trtekre bonts.):Prbljuk meg felrni az ltalnos tagot kt trt sszegeknt!

( )( ) ( )( )

( ) ( )

k k n

x

n

y

k k

x k y k

2 1 2 1

1

2 1 2 1 2 1 2 1

2 1 2 1

- +=

-+

+=

- +

+ + -

=

( )( )

( )

k k

k x y x y

2 1 2 1

2=

- +

+ + -

.

Ez csak gy teljeslhet mindenk

-ra, hax+y=

0 sx y=

1, vagyisx =

2

1

sy = -

2

1. Ezt felhasznlva a bal oldali sszeg a kvetkezkppen rhat fel:

...( )( )n n1 3

1

3 5

1

5 7

1

2 1 2 1

1

$ $ $+ + + +

- +=

...n n2

11

3

1

3

1

5

1

5

1

7

1

2 1

1

2 1

1= - + - + - + +

--

+=

J

L

KK

J

L

KK

J

L

KK

J

L

KK

N

P

OO

N

P

OO

N

P

OO

N

P

OO

R

T

SSS

V

X

WWW

n n

n

2

1

1

1

2 1

1

2 1= -

+=

+

J

L

KK

N

P

OO .

120. A feladat megoldst az olvasra bzzuk.

121. ... >n n n1

1

2

1

3 1

11

++

++ +

+.

Bizonyts teljes indukcival. Elszr nzzk n= 1-re

... >1 1

1

1 2

1

3 1

1

2

1

3

1

4

1

12

131

++

++ +

+= + + = , teht igaz.

rdemes megnznin= 2-re is, htha szrevesszk, min mlik a bizonyts.


I


17/21

... >2 1

1

2 2

1

6 1

1

3

1

4

1

5

1

6

1

7

1

420

4591

++

++ +

+= + + + + = .

Teht az els tag eltnt, viszont az sszeg hrom j taggal bvlt.Most vizsgljuk meg, hogy han-re igaz az llts, akkor igaz marad-e (n + 1)-re

is. Ehhez azt elg bizonytani, hogy >n n n n3 2

1

3 3

1

3 4

1

1

10

++

++

+-

+

az elzek rtelmben. trendezve >n n n n n3 2

1

3 4

1

1

1

3 3

1

3 3

2

++

+ +-

+=

+.

Mivel minden szerepl tag pozitv, ezrt 2-vel elosztva az egyenltlensgetszrevehetjk, hogy a bal oldal a (3n + 2) s (3n + 4) kifejezsek harmonikuskzepnek reciproka, mg a jobb oldalon ennek a kt kifejezs szmtanikzepnek reciproka ll, ezrt az llts igaz. (Pozitv mennyisgek reciprokairaval ttrsnl fordul az egyenltlensg irnya).Ha azonban nem vesznk szre semmit, az se baj, mert a kzs nevezvelvgigszorozva s a kijellt mveleteket elvgezve is kijn az llts.122. A122. s 123. kzl elg az utbbit igazolni, mert abbl a msik kvet-kezik. Ez vzlatosan a kvetkez:123. n = 2-re:

>3

1

4

1

12

7

24

14

24

13+ = = .

Tegyk fel, hogyn-re igaz az llts.lltom, hogy akkor (n + 1)-re is igaz lesz.

Ehhez azt kell bizonytani, hogy a kimarad s az jonnan hozzvett tagokklnbsge pozitv. s ez igaz, mert

>n n n n n2 1

1

2 2

1

1

1

2 1

1

2 2

10

++

+-

+=

+-

+, mivel kt azonos szm-

llj pozitv trt kzl az a nagyobb, amelyiknek a nevezje kisebb.124. Ezt az egyenltlensget is lehet teljes indukcival igazolni, de sokkalegyszerbb, ha becslssel prblkozunk. Helyettestsk az egyenltlensg min-den tagjt azaz n darabot az utolsval, a legkisebbel!

... > ,n n

nn nha

1

1

2

1 12$+ + + = .


127. Bizonyts teljes indukcival:n = 1 egyenes a skot kt rszre osztja, sa kpletbl is 2 addik. Tegyk fel most, hogy tetszleges n egyenes a skot

legfeljebbn n

2

22+ +rszre osztja. lltom, hogy akkor n + 1 egyenes a skot

legfeljebbn n

2

1 1 22

+ + + +_ _i irszre osztja. Nzzk meg, mi trtnik

az n + 1-edik egyenes behzsval! A legtbb rsz akkor keletkezik, ha az jegyenes nem megy t semelyik eddigi metszsponton, s nem prhuzamosegyetlen eddigi egyenessel sem. Ekkor teht az egyenes az elzn egyenes min-

Teljes indukci 25

I


18/21

degyikt klnbz pontokban metszi, azaz n metszspont keletkezett, s nmetszspont az egyenest n + 1 rszre osztja. Ezek a metszspontok az n + 1-edik egyenesen egy-egy j skrsz hatrol szakaszai, illetve flegyenesei. Ezrt

a skrszek szman + 1-gyel ntt.n n

nn n n

2

21

2

2 2 22 2+ ++ + =

+ + + +

=

n n

2

1 1 22

=

+ + + +_ _i i, s ezt kellett igazolni.

128. A bizonyts teljesen az elz mintjra trtnik. Egy kr a skot ktrszre osztja, s ez jn ki a kpletbl is. Tegyk fel, hogyn kr a skot legfeljebbn n 22- + rszre osztja. Ha azn + 1-edik kr minden elzt kt olyan pontbanmetsz, amely mg nem volt eddig metszspont, akkor 2n metszspont, s gy 2n

j skrsz keletkezett. s n n n n n2 2 1 1 222

- + + = + - + +_ _i i , amit bizo-nytani kellett.

129. a) ,cos cos cos cossin

sinx x x x

x

x2 4 2

2

2n

n

n

1

1

$ $ $f =+

+

sin x nahol s Ne0! ! .

Bizonyts teljes indukcival:n = 1-re ,cossin

sinsinx

x

xxahol

2

20!= & igaz.

Tegyk fel, hogy n-re igaz az llts. Bizonytsuk be most, hogy akkor

cos cos cos cos

sin

sinx x x x

x

x2 4 2

2

2n

n

n1

2

2

$ $ f =+

+

+

.

Az indukcis feltevst felhasznlva cos cos cos cosx x x x2 4 2n 1$ $ f =+

sin

sincos

x

xx

2

22

n

nn

1

11

$= =+

+

+

sin

sin cos

sin

sin

x

x x

x

x

2

2 2 2

2

2n

n n

n

n

2

1 1

2

2$

=+

+ +

+

+

, s ezt kellett

bizonytani.130.; 131. A130. s 131. feladat hasonlan bizonythat a trigonometrikussszegek szorzatt alaktsra vonatkoz azonossgok segtsgvel.132. Itt meg kell elszr sejteni a lpsszmra vonatkoz kpletet. Ehhezprbljuk meg elszr kt korongra vgiggondolni a lpseket!

a)A kis korongot a harmadik rdra tesszk.b)A nagyot ttesszk a msodikra.c) Vgl a harmadik rdrl rtesszk a kisebb korongot.

Ez teht 3 lps.

Most prbljuk meg hrom korongra vgiggondolni a lpseket!a)A kis korongot a msodik rdra tesszk.b)A nagyot ttesszk a harmadikra.c)A kiskorongot a harmadikra, a kzepes tetejre.

d)A legnagyobb korongot a msodikra.e)A kicsit az elsre.f)A kzepest a msodikra.g)A kicsit a msodik rd tetejre, s ksz.


I


19/21

Ez 7 lps, de a legfontosabb, hogy lthat az eljrs lnyege. Tehtn korongesetn

a) elszr a harmadik rdra t kell tenni n - 1 korongot a helyes sor-rendben,

b) azutn a legnagyobbat a msodik rdra,c)vgl rpakolni a harmadik rdrl a msodikra az n - 1 korongot a

helyes sorrendben.A rekurzis sszefggs teht ha a lpsszmotn korong esetn an jelli a a a a1 2 1n n n n1 1 1= + + = +- - - .Most keressnk kpletet! Kt korongnl 3, hrom korongnl 7 lps szksges.Prblkozzunk az a 2 1

n

n= - sszefggssel, ami n = 1; 2-re j. Bizonytsuk

indukcival, hogy ha n-re igaz volt a kplet, akkor n + 1-re is igaz marad.Valban, a rekurzit s az indukcis feltevst felhasznlva a a2 1n n1= + =+

2 2 1 1 2 1n n 1$= - + = -+` j , amit lltottunk.

Invarins tulajdonsgok

133. Nem. Ha egy paprdarabot 10 rszre bontunk, akkor a rszek szma 9-cel n, teht nem vltozik a 9-cel val osztsi maradka a lapok szmnak.Mivel egy paprbl indultunk ki, a kilences maradk teht 1, gy a vgn nemlehet a kilences maradk 2, ami 2000 kilences maradka.134. Nem. Ha egy paprdarabot 6 rszre bontunk, akkor a rszek szma 5-tel

n, ha 11 rszre bontunk, akkor a rszek szma 10-zel n, teht nem vltozik alapok szmnak az 5-tel val osztsi maradka. Mivel egy paprbl indultunkki, nem kaphatunk 2000 darabot a vgn.135. Mivel minden lpsben eggyel cskken a tbln lv szmok szma, gya kilencedik lps utn valban egyetlen szm ll a tbln.Ha azonos parits szmokat trltnk le, akkor pros szm kerlt a tblra,ha klnbz paritsakat trltnk, akkor pratlan szm. Ezek szerint atbln marad szmok sszege mindig pros szmmal vltozik. Mivel a kiin-dul sszeg 1 + 2 + + 10 = 55, ami pratlan, ezrt nem maradhat a vgnnulla a tbln.136. Ha egy cscsblk darab gyuft vesznk el, akkor a msik kettbe ssze-sen 4k gyuft helyeznk, teht a gyufk szma 3k-val ntt. Ezek szerint nemvltozik a hromszg cscsaiban lv gyufaszlak 3-mal val osztsi maradka.Mivel ez az indulskor 1 volt, nem lehet a vgn minden cscsban ugyanannyi,mert annak az sszegnek nulla a hrmas maradka.137. Szmozzuk meg a fkat 1-tl 14-ig! Ezutn vegyk a szmok 14-es ma-radkt, s ez legyen a mkusok szma. (Teht a 13-as fn l mkus szomsz-dai a 12-es s a 0-s mkusok; az egyes szomszdai a nulls s a 2-es stb.) Te-kintsk a mkusok sorszmnak az sszegt, s annak 14-es maradkt! Ez

teht 7, mert2

14 1391 6 14 7

$

$= = + . Amikor egy mkus tugrik egy msik f-

ra, legyen a szma az j fa sorszma.

Invarins tulajdonsgok 27

I


20/21

a) Ha az egyik mkus az ramutat jrsval megegyez, a msik ellent-tes irnyban ugrik, az sszeg nem vltozik, mert egyikk szma eggyeln, a msikuk eggyel cskken. Teht nem lehet, hogy mondjuk a k-adik fn sszegyljenek, mert akkor a a sorszmok sszege 14k,aminek 14-es maradka nulla, szemben az indul 7-es maradkkal.

b) Ha tetszleges irnyban, de szomszdos fra ugranak, akkor a sorsz-mok sszege nullval, +2-vel vagy 2-vel vltozik, azaz pros szm-mal, s gy sem kaphatunk nullt, mivel 7-bl indultunk ki.

A vlasz teht mindkt esetben nem.138. Itt azt kell szrevenni, hogy egy j parcella elgyomosodsval a gyomosparcellk sszkerlete nem vltozik, mert a kt bels l helyett a kt kls

lt vesszk szmtsba. A 10 # 10-es tbla kerlete 40 mez, a kiindulsi 9 gyo-mos parcella kerlete csak 36 mez, ezrt a vlasz nem.Ha 10 gyomos parcella van, akkor elkpzelhet, hogy elgyomosodik a terlet, pl-dul ha a ftl mezi gyomosak. Erre a vlasz teht igen. (Termszetesen az islehet, hogy egyetlen j gyomos parcella sem lesz, pl. ha csak az els sor gyomos.)139. Vizsgljuk meg azx2 - 10x + 20 polinom s azx2 - 20x + 10 polinom he-lyettestsi rtkt azx = 1 helyen! Az els polinom helyettestsi rtke +11; amsodik 9. Ha egy lpsben csak az egyik egytthatt vltoztatjuk eggyel,akkor a polinom rtke is eggyel vltozik. (Egy polinom helyettestsi rtke azx = 1 helyen a polinom egytthatinak sszegvel egyenl.) Brmilyen lps-sorozat utn jutottunk is +11-tl 9-ig, egyszer kellett, hogy nulln lljunk,akkor pedig a polinom egyik gykex = 1 volt.

Szitaformula

140. Mivel sszesen 90 darab ktjegy szm van, ezekbl kell kivonni azokat,amelyek oszthatk 2-vel (45 ilyen van, mert minden msodik pros), s azokat,amelyek oszthatk 3-mal (30 ilyen van, mert minden harmadik ilyen). Ekkorazonban ktszer vontuk le azokat, amelyek 2-vel is s 3-mal is oszthatk, ezeketteht (-1)-szer szmoltuk, ezrt egyszer mg hozz kell adni, ha azt akarjuk,hogy nullaszor szerepeljenek. A keresett ktjegy szmok szma teht:90 45 30 15 30- + + =_ i darab.141. Az elz gondolatmenethez hasonlan oldjuk meg a feladatot. ssze-sen 900 darab hromjegy szm van. Ezek kztt 450 darab oszthat 2-vel ; 300darab oszthat 3-mal s 180 darab 5-tel oszthat van. Azokat a szmokat, ame-lyek oszthatak 2-vel s 3-mal (azaz 6-tal & 150 van belle), vagy 2-vel s 5-tel

(azaz 10-zel & 90 ilyen van), vagy 3-mal s 5-tel (azaz 15-tel & 60 ilyen szmvan kztk), megint ktszer szmoltuk le, ezrt egyszer vissza kell adni. Nzzkmost meg, mi trtnt 30-cal oszthat szmokkal, teht azokkal, amelyekoszthatak 2-vel s 3-mal s 5-tel is. Ezeket az els menetben 3-szor vontuk le,majd a msodik fordulban minden lpsben (hromszor) visszaadtuk, tehtmost egyszer szerepelnek a j szmok kztt, azaz most jra egyszer le kell von-nunk azokat. 30 darab 30-cal oszthat szm van. gy az eredmny:900 450 300 180 150 90 60 30 240- + + + + + - =_ _i i szm.


I


21/21

142. 999 darab legfeljebb hromjegy szm van. Ezek kzl 33 olyan van, ami30-cal oszthat, 28 olyan, ami 35-tel, s 23 olyan, amelyik 42-vel oszthat. Ezekkztt azonban a 210-zel, azaz az 5-tel, 6-tal s 7-tel is oszthat szmokathromszor szmoltuk le. Ngy ilyen legfeljebb hromjegy szm van, s ezeketegyltaln nem szabad szmolnunk. A keresett szmok szma teht:33 28 23 3 4 72$+ + - = .143. Az sszes legfeljebb 8 jegy szmok szma: 38. Ezek kztt vannakolyanok, amelyek csak ktfle szmjegyet tartalmaznak, pl. csak tst s hatost,vagy csak hatost s hetest, esetleg csak tst s hetest. Ktfle szmjegyblsszesen 28 szm kszthet. Teht le kell vonni 3 28 szmot. Ekkor azonban acsak 5-st vagy csak 6-ost vagy csak 7-est tartalmaz szmokat ktszer vontuk

le, ezrt egyszer vissza kell adni. A keresett szm teht: 3 3 2 3 19328 8

$- + = .144. Az ts szmrendszerben t szmjegy van: 0; 1; 2; 3; 4. Az sszes 8-jegyszmok szma 5-s szmrendszerben ezrt 58. Ezek kzl nem felelnek megazok, amelyek csak 3 szmot tartalmaznak az 1-2-3-4 kzl, s lehet mg benne

0 is. A 4 szmbl a szerepl 3-at4

3

J

L

KK

N

P

OO-flekppen tudjuk kivlasztani, s a

kivlasztott 3 szmbl s a 0-bl 48 darab szm kpezhet. Ekkor azonbanazokat a szmokat, amelyekben csak kett szerepel a kivlasztott 3 szmbl,

tbbszr szmoltuk. Ngy szmbl 2-t4

2

J

L

KK

N

P

OO-flekppen tudunk kivlasztani, s a

kt szmbl s a 0-bl 38 szm kpezhet. Most azokat kell mg kivonni, ame-lyek az 1-2-3-4-bl csak egyet tartalmaznak, s mg a nullt. Ezek szma41

28$J

L

KK

N

P

OO . Mg a csupa 0-bl ll szmot kell megnzni, hogy hnyszor szmoltuk

le. Ha vgigkvetjk, akkor 1 - 4 + 6 - 4 = -1-szer szmoltuk, ezrt most mgegyszer hozz kell adni. A keresett szmok szma:

54

34

4

23

4

12 1 166 8248 8 8 8- + - + =

J

L

KK

J

L

KK

J

L

KK

N

P

OO

N

P

OO

N

P

OO .

Szitaformula 29

I

matematika gyakorló és érettségire felkészítő feladatgyűjtemény megoldások

Documents