matematika i · 2018-09-27 · ciljevi ucenjaˇ. ciljevi ucenja za predavanja i vjezbe:ˇˇ....
TRANSCRIPT
Matematika IVrste funkcija
Katedra za matematiku, FSB
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 1 / 38
Ciljevi ucenja
Ciljevi ucenja za predavanja i vjezbe:Pregled vrsta funkcija-ponavljanje, elementarne funkcijeVeza grafa funkcije i grafa njoj invernze funkcijeNeki poznati grafovi koji nisu grafovi funkcija
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 2 / 38
Sadrzaj
Sadrzaj:
1 Vrste funkcijaPolinomiRacionalne funkcijeTrigonometrijske funkcijeEksponencijalne i logaritamske funkcijeElementarne funkcije
2 Graf funkcijeGraf linearne funkcijeGraf kvadratne funkcijeGraf polinoma
3 Graf inverzne funkcije
4 Neki vazni grafovi koji nisu grafovi funkcija
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 3 / 38
Vrste funkcija Polinomi
Polinomi
Polinom:
y = anxn +an−1xn−1 + · · ·+a1x +a0,
kazemo da je stupnja n ako je an 6= 0.
Primjer.1 y = x2 +x +12 y = x100−13 y =−3x4 +
√3x2−πx +5.25
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 4 / 38
Vrste funkcija Racionalne funkcije
Racionalne funkcije
Racionalna funkcija:
y =P(x)Q(x)
,
gdje su P(x) i Q(x) polinomi.
Primjer.
1 y =2x +5x−3
2 y =3x +2
x2 +x +3
3 y =5x4 +
√7x2−πx +5
x3−2x +1
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 5 / 38
Vrste funkcija Trigonometrijske funkcije
Trigonometrijske funkcije
Trigonometrijske funkcije:1 y = sinx2 y = cosx3 y = tgx4 y = ctgx
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 6 / 38
Vrste funkcija Eksponencijalne i logaritamske funkcije
Eksponencijalne i logaritamske funkcije
Eksponencijalne i logaritamske funkcije: neka je a > 0, a 6= 11 y = ax
2 y = loga x
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 7 / 38
Vrste funkcija Elementarne funkcije
Elementarne funkcije
Elementarne funkcije su sve funkcije koje su gore navedene i one kojesu dobivene iz njih konacnim brojem primjena racunskih operacijazbrajanja, oduzimanja, mnozenja, dijeljenja, komponiranja iinvertiranja.
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 8 / 38
Graf funkcije
Graf funkcije
Graf funkcije y = f (x) u zadanom koordinatnom sustavu x ,y , cine svetocke (x ,y) za koje vrijedi y = f (x).Dakle sve tocke oblika (x , f (x)).
y
x0 x
f(x)(x, f(x))
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 9 / 38
Graf funkcije
Graf funkcije
Zadatak.Funkcija f je zadana grafom
y
x4
3
−1
Ocitajte vrijednosti: f (0), f (52), f (4), f (−1), f (−2).
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 10 / 38
Graf funkcije
Primjer 1.Je li zadani graf graf funkcije? Ako jest oznaci podrucje definicije tefunkcije.
Slika 1. Slika 2.
Slika 3. Slika 4.
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 11 / 38
Graf funkcije
Zadatak.Je li zadani graf graf funkcije? Ako jest odredi podrucje definicije tefunkcije.
-1 1
Slika 1.
-1 1
Slika 3.
Slika 2. Slika 4.
Slika 5.
Slika 6.
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 12 / 38
Graf funkcije Graf linearne funkcije
Graf linearne funkcije oblika y = ax +b (polinom 1. stupnja ) je pravac.
a < 0
y = ax+ b
a > 0
y = ax+ b
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 13 / 38
Graf funkcije Graf linearne funkcije
Zadatak.Skicirajte sljedece pravce:
1 y = 2x−32 y = 3−2x3 y = 4
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 14 / 38
Graf funkcije Graf kvadratne funkcije
Graf kvadratne funkcije oblika y = ax2 +bx +c (polinom 2. stupnja ) jeparabola cija je os paralelna s osi y .
a > 0
a < 0
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 15 / 38
Graf funkcije Graf kvadratne funkcije
Zadatak.Skicirajte sljedece funkcije:
1 y = x−x2
2 y = (x−1)2
3 y = x2−3x−44 y = x2 +x +1
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 16 / 38
Graf funkcije Graf polinoma
Polinom je funkcija oblika
y = anxn +an−1xn−1 + · · ·+a1x +a0,
an,an−1, . . . ,a1,a0 ∈ R, an 6= 0. Prirodni broj n se naziva stupanjpolinoma.
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 17 / 38
Graf funkcije Graf polinoma
Polinom je funkcija oblika
y = anxn +an−1xn−1 + · · ·+a1x +a0,
an,an−1, . . . ,a1,a0 ∈ R, an 6= 0. Prirodni broj n se naziva stupanjpolinoma.Ako je n paran broj, n = 2,4,6, . . .
an > 0 an < 0
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 17 / 38
Graf funkcije Graf polinoma
Polinom je funkcija oblika
y = anxn +an−1xn−1 + · · ·+a1x +a0,
an,an−1, . . . ,a1,a0 ∈ R, an 6= 0. Prirodni broj n se naziva stupanjpolinoma.Ako je n neparan broj, n = 1,3,5,7, . . .
an > 0 an < 0
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 17 / 38
Graf funkcije Graf polinoma
Zadatak.Skicirajte grafove funkcija, kao na prethodnom slide-u
1 y = 4x3−2x2 +12 y =−3x4 +x3 y = x−x2−x3
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 18 / 38
Graf funkcije Graf polinoma
Zadatak.Skicirajte grafove funkcija, kao na prethodnom slide-u
1 y = 4x3−2x2 +12 y =−3x4 +x3 y = x−x2−x3
Rjesenje.
y = 4x3 − 2x2 + 1
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 18 / 38
Graf funkcije Graf polinoma
Zadatak.Skicirajte grafove funkcija, kao na prethodnom slide-u
1 y = 4x3−2x2 +12 y =−3x4 +x3 y = x−x2−x3
Rjesenje.
y = −3x4 + x
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 18 / 38
Graf funkcije Graf polinoma
Zadatak.Skicirajte grafove funkcija, kao na prethodnom slide-u
1 y = 4x3−2x2 +12 y =−3x4 +x3 y = x−x2−x3
Rjesenje.
y = x− x2 − x3
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 18 / 38
Graf funkcije Graf polinoma
SPECIJALNO: n = 2,4,6,8
y = x2
1
1
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 19 / 38
Graf funkcije Graf polinoma
SPECIJALNO: n = 2,4,6,8
y = x4
1
1
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 19 / 38
Graf funkcije Graf polinoma
SPECIJALNO: n = 2,4,6,8
y = x6
1
1
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 19 / 38
Graf funkcije Graf polinoma
SPECIJALNO: n = 2,4,6,8
y = x8
1
1
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 19 / 38
Graf funkcije Graf polinoma
SPECIJALNO: n = 2,4,6,8
y = x2
y = x4
y = x6
y = x8
1
1
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 19 / 38
Graf funkcije Graf polinoma
SPECIJALNO: n = 1,3,5,7
y = x
1
1
−1
−1
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 20 / 38
Graf funkcije Graf polinoma
SPECIJALNO: n = 1,3,5,7
y = x3
1
1
−1
−1
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 20 / 38
Graf funkcije Graf polinoma
SPECIJALNO: n = 1,3,5,7
y = x5
1
1
−1
−1
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 20 / 38
Graf funkcije Graf polinoma
SPECIJALNO: n = 1,3,5,7
y = x7
1
1
−1
−1
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 20 / 38
Graf funkcije Graf polinoma
SPECIJALNO: n = 1,3,5,7
y = xy = x3
y = x5
y = x7
1
1
−1
−1
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 20 / 38
Graf funkcije Graf polinoma
Uocimo sljedece svojstvo prethodnih polinoma:
Funkcija y = xn za parne eksponente n ima svojstvo y(−x) = y(x);
Zato svaku funkciju f koja ima svojstvo f (−x) = f (x) nazivamo parna.
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 21 / 38
Graf funkcije Graf polinoma
Funkcija y = xn za neparne eksponente n ima svojstvo y(−x) =−y(x).
i svaku funkciju f koja ima svojstvo f (−x) =−f (x) nazivamo neparna;
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 22 / 38
Graf funkcije Graf polinoma
Zadatak.Koja je od sljedecih funkcija (ne)parna?
Slika 1. Slika 2. Slika 3.
Rjesenje.1. parna, 2. neparna, 3. niti parna niti neparna.
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 23 / 38
Graf funkcije Graf polinoma
Zadatak.Koja je od sljedecih funkcija (ne)parna?
Slika 1. Slika 2. Slika 3.
Rjesenje.1. parna, 2. neparna, 3. niti parna niti neparna.
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 23 / 38
Graf funkcije Graf polinoma
Zadatak.Nadopunite graf funkcije f tako da:
Slika 1.
f je parna f je neparna
Slika 2.
f je parna
Slika 3.
f je neparna
Slika 4.
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 24 / 38
Graf funkcije Graf polinoma
Rjesenje.Nadopunite graf funkcije f tako da:
Slika 1. Slika 2.
Slika 3. Slika 4.Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 24 / 38
Graf funkcije Graf polinoma
Primjer.
Skicirajte graf funkcije y =1x
Rjesenje.
1 x →+∞ onda y → 02 x →−∞ onda y → 03 x → 0+ onda y →+∞
4 x → 0− onda y →−∞
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 25 / 38
Graf funkcije Graf polinoma
Primjer.
Skicirajte graf funkcije y =1x
Rjesenje.
1 x →+∞ onda y → 02 x →−∞ onda y → 03 x → 0+ onda y →+∞
4 x → 0− onda y →−∞
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 25 / 38
Graf funkcije Graf polinoma
Primjer.
Skicirajte graf funkcije y =1
1+x2
Rjesenje.1 x →+∞ onda y → 02 x →−∞ onda y → 03 vrijednost funkcije je
najveca za x = 0, onda jey = 1
1
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 26 / 38
Graf funkcije Graf polinoma
Primjer.
Skicirajte graf funkcije y =1
1+x2
Rjesenje.1 x →+∞ onda y → 02 x →−∞ onda y → 03 vrijednost funkcije je
najveca za x = 0, onda jey = 1
1
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 26 / 38
Graf funkcije Graf polinoma
Zadatak.Skicirajte grafove funkcija:a) y = 1
x−1 b) y = 1x2 .
Rjesenje.
a)b)
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 27 / 38
Graf funkcije Graf polinoma
Zadatak.Skicirajte grafove funkcija:a) y = 1
x−1 b) y = 1x2 .
Rjesenje.
a)b)
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 27 / 38
Graf inverzne funkcije
Graf inverzne funkcije
x = f−1(y)
y = f(x)
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 28 / 38
Graf inverzne funkcije
Graf inverzne funkcije
Ima li svaka funkcija y = f (x) inverz x = f−1(y)?NE, kako donja slika pokazuje.
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 29 / 38
Graf inverzne funkcije
Primjer.
Pokusajmo invertirati funkciju f (x) = x2.
Rjesenje.
y = x2 =⇒ x =±√y . (2 funkcije)
yx = −√y x =
√y
y = x2
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 30 / 38
Graf inverzne funkcije
Suzavanje domene omogucava invertiranje:
Ako je f : [0,∞)→ R, f (x) = x2, onda je f−1(y) =√
y .
Ako je f : (−∞,0]→ R, f (x) = x2, onda je f−1(y) =−√y .
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 31 / 38
Graf inverzne funkcije
Zadatak.Nadite parove inverznih funkcija
Slika 1. Slika 3.
Slika 2. Slika 4.
Slika 5.
Slika 6.
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 32 / 38
Graf inverzne funkcije
Zadatak.Za funkciju sa slike skicirajte inverznu funkciju (ako postoji)
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 33 / 38
Graf inverzne funkcije
Rjesenje.
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 33 / 38
Graf inverzne funkcije
Zadatak.Za funkciju sa slike skicirajte inverznu funkciju (ako postoji)
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 34 / 38
Graf inverzne funkcije
Rjesenje.Nema inverznu jer
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 34 / 38
Graf inverzne funkcije
Zadatak.Za funkciju sa slike skicirajte inverznu funkciju (ako postoji)
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 35 / 38
Graf inverzne funkcije
Rjesenje.
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 35 / 38
Neki vazni grafovi koji nisu grafovi funkcija
Neki vazni grafovi koji nisu grafovi funkcija
Kruznica radijusa r s centrom u ishodistu (x2 +y2 = r2):
r
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 36 / 38
Neki vazni grafovi koji nisu grafovi funkcija
Neki vazni grafovi koji nisu grafovi funkcija
Elipsa s poluosima a i b(
x2
a2 +y2
b2 = 1)
:
a
b
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 37 / 38
Neki vazni grafovi koji nisu grafovi funkcija
Neki vazni grafovi koji nisu grafovi funkcija
Hiperbola s poluosima a i b(
x2
a2 −y2
b2 = 1)
:
a
b
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 38 / 38