matematika - dmfazeljko.dmfa.si/lectures/2011/les-matematika.pdf · matematika bf – lesarstvo...

MatematikaBF – Lesarstvo

Matjaž Željko

Zapiski ob predavanjih v šolskem letu 2010/2011

Izpis: 19. avgust 2011

Kazalo

1 Števila 51.1 Naravna števila . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2 Cela števila . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.3 Racionalna števila . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.4 Realna števila . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.5 Urejenost realnih števil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.6 Omejene množice realnih števil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.7 Aksiomatska vpeljava realnih števil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2 Množice 152.1 Množice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.2 Operacije z množicami . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.3 Preslikave med množicami . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3 Zaporedja 213.1 Zaporedja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

4 Funkcije 354.1 Splošni pojem funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354.2 Limita funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404.3 Zveznost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454.4 Lastnosti zveznih funkcij . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504.5 Pregled elementarnih funkcij . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534.6 Zveznost elementarnih funkcij . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

5 Diferencialni račun 675.1 Definicija odvoda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 675.2 Geometrični pomen odvoda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 705.3 Pravila za odvajanje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 715.4 Odvodi elementarnih funkcij . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 735.5 Diferencial funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 795.6 Lastnosti odvedljivih funkcij . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 815.7 Konveksnost, konkavnost, prevoji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 885.8 Ekstremi funkcij . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 895.9 Risanje grafov funkcij . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 965.10 L’Hôpitalovo pravilo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

6 Vrste 1046.1 Številske vrste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1046.2 Funkcijske vrste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1156.3 Potenčne vrste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1166.4 Taylorjeva vrsta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

7 Integralski račun 1257.1 Nedoločeni integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1257.2 Pravila za integriranje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1267.3 Integral racionalne funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1317.4 Integracija trigonometričnih funkcij . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1347.5 Integracija korenskih funkcij . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

2

7.6 Določeni integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1367.7 Geometrijski pomen integrala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1387.8 Lastnosti določenega integrala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1397.9 Zveza med določenim in nedoločenim integralom . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1407.10 Računanje določenega integrala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1427.11 Uporaba integrala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

8 Funkcije več spremenljivk 1558.1 Splošni pojem funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1558.2 Odprte množice in okolice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1578.3 Zveznost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1598.4 Parcialni odvodi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1618.5 Verižno pravilo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1688.6 Taylorjeva formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1708.7 Lokalni ekstremi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1718.8 Metoda najmanǰsih kvadratov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1768.9 Vezani ekstremi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

9 Diferencialne enačbe 1829.1 Splošen pojem diferencialne enačbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1829.2 Diferencialne enačbe prvega reda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

9.2.1 Enačba z ločljivima spremenljivkama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1849.3 Radioaktivni razpad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1869.4 Naravna rast . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1879.5 Newtonov zakon ohlajanja oz. segrevanja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1889.6 Problem mešanja raztopin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1889.7 Bartalanffyev model rasti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1909.8 Verhulstov model rasti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1909.9 Linearna diferencialna enačba I. reda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1929.10 Bernoullijeva enačba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1949.11 Diferencialne enačbe vǐsjih redov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1959.12 Homogene linearne diferencialne enačbe II. reda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

9.12.1 Enačbe s konstantnimi koeficienti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1979.13 Nehomogene linearne diferencialne enačbe II. reda . . . . . . . . . . . . . . . . . 1989.14 Nihanje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2019.15 Sistemi diferencialnih enačb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2059.16 Sistem dveh diferencialnih enačb s konstantnimi koeficienti . . . . . . . . . . . . 206

10 Matrike 20910.1 Operacije z matrikami . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20910.2 Permutacije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21410.3 Determinante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21510.4 Računanje determinant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21710.5 Razvoj po vrstici ali stolpcu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21910.6 Cramerjevo pravilo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22110.7 Gaussova metoda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22410.8 Inverz matrike . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231

3

11 Vektorji 23611.1 Vektorji v prostoru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23611.2 Koordinatni sistem v prostoru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24011.3 Premica in ravnina v prostoru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25111.4 Razdalje med točkami, premicami in ravninami . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25311.5 Presečǐsča premic in ravnin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25511.6 Koti med premicami in ravninami . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25711.7 Vektorske funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258

12 Kombinatorika 26012.1 Preštevanja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260

13 Verjetnost 26613.1 Osnovni pojmi in računanje z dogodki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26613.2 Osnovne lastnosti verjetnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26813.3 Algebra dogodkov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26913.4 Lastnosti verjetnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27013.5 Pogojna verjetnost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27113.6 Zaporedje neodvisnih dogodkov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27613.7 Slučajne spremenljivke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28013.8 Številske karakteristike slučajnih spremenljivk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284

14 Primeri vprašanj za teoretični del izpita 288

4

1 Števila

1.1 Naravna števila

Naravna števila so števila, s katerimi štejemo:

1, 2, 3, 4, . . .

Množico naravnih števil {1, 2, 3, . . .} označimo z N. Naravna števila lahko med seboj seštevamoin množimo. Vrstni red pri seštevanju in množenju ni pomemben, člene (pri seštevanju) alifaktorje (pri množenju) lahko poljubno združujemo. Torej za vsaka tri naravna števila a, b in cvelja

a+ b = b+ a,

ab = ba,

(a+ b) + c = a+ (b+ c),

(ab)c = a(bc).

Prvi dve lastnosti imenujemo komutativnost seštevanja oz. množenja, drugi dve lastnosti paimenujemo asociativnost seštevanja oz. množenja.

Če naravna števila seštevamo in množimo, se moramo držati dogovora o vrstnem redu ope-racij. Ker ima množenje prednost pred seštevanjem, je

a+ b · c = a+ (b · c),a · b+ c = (a · b) + c.

Če želimo najprej izračunati a+b in nato rezultat pomnožiti s c, zapǐsemo (a+b) ·c. V splošnemvelja pravilo o distributivnosti množenja:

(a+ b)c = ac+ bc,

a(b+ c) = ab+ ac.

Načelo matematične indukcijeNaravna števila so induktivna množica: če je S ⊆ N taka podmnožica, da je 1 ∈ S in velja

sklep: če n ∈ S, potem n+ 1 ∈ S, je S = N. Tej lastnosti pravimo tudi načelo matematičneindukcije.

Zgled 1.1. Za vsako naravno število n velja

1 + 2 + . . .+ n =n(n+ 1)

2. (1)

Rešitev. Označimo S = {n ∈ N; 1 + 2 + . . .+ n = n(n+1)2 }. Množica S je torej množica tistihnaravnih števil, za katera drži enakost (1). (Induktivna hipoteza je, da formula (1) drži zadano število n.)

Najprej preverimo, da je 1 ∈ S.Privzemimo sedaj, da je n ∈ S. Tedaj je 1 + 2 + . . . + n = n(n+1)2 . Torej je (1 + 2 + . . . +

n) + (n + 1) = n(n+1)2 + (n + 1) =(n+1)(n+2)

2 , kar pomeni, da je tudi n + 1 ∈ S. Po načelumatematične indukcije je S = N. Torej velja formula 1 + 2 + . . .+ n = n(n+1)2 za vsako naravnoštevilo n.

Matematično indukcijo lahko uporabimo tudi na množici N ∪ {0}.

5

Zgled 1.2. Naj bo q 6= 1. Za vsako število n ∈ N ∪ {0} velja

a+ aq + . . .+ aqn = aqn+1 − 1q − 1 .

Rešitev. Za n = 0 seveda velja a = a q0+1−1q−1 = a.

V dokazu induktivnega koraka pa opazimo, da je

a+ aq + . . . + aqn + aqn+1 = aqn+1 − 1q − 1 + aq

n+1 =

= aqn+1 − 1 + (q − 1)qn+1

q − 1 =

= aqn+2 − 1q − 1 .

Peanovi aksiomiNaravna števila lahko aksiomatično vpeljemo s pomočjo Peanovih aksiomov:

• 1 je naravno število.

• Vsakemu naravnemu številu n pripada natančno določeno naravno število n+, ki ga ime-nujemo naslednik števila n.

• Število 1 ni naslednik nobenega naravnega števila.

• [Načelo indukcije] Če je S ⊆ N taka podmnožica, da je 1 ∈ S in velja sklep: če n ∈ S,potem n+ ∈ S, je S = N.

S Peanovimi aksiomi lahko v množico naravnih števil vpeljemo tudi seštevanje in množenje.

1.2 Cela števila

V množici naravnih števil lahko seštevamo in množimo, ne moremo pa odštevati. Da bi lahkonaravna števila odštevali, vpeljemo število 0 in negativna števila. Število 0 je tako število, dazanj velja

a+ 0 = a

za vsako naravno število a. K naravnemu številu a pa pridružimo tako nasprotno število −a,da zanj velja

a+ (−a) = 0.Množico celih števil označimo z

Z = N ∪ {0} ∪ {−n; n ∈ N}.

To je “najmanǰsa” množica števil, v kateri je za vsaki naravni števili a in b rešljiva enačbaa = b+ x.

1.3 Racionalna števila

V množici celih števil ne moremo deliti. Če želimo število a razdeliti na b, b 6= 0, enakih delov,bo vsak del velik ab . Racionalno število

ab je torej tako število, za katero velja

ab · b = a.

Množico racionalnih števil označimo z Q = {ab ; a, b ∈ Z, b 6= 0}. To je “najmanǰsa”množica števil, v kateri je za vsaki celi števili a in b, b 6= 0, rešljiva enačba a = bx.

6

Pri računanju s številom 0 je potrebno biti previden. Jasno je

a+ 0 = a,

a− 0 = a,a · 0 = 0.

Racionalno število a0 , a 6= 0, pa ne obstaja (oz. deljenje z 0 ni dopustno), saj ne obstaja takoštevilo x, za katerega bi bilo x · 0 = a.

1.4 Realna števila

Številska premicaRacionalna števila si lahko ponazorimo s točkami na številski premici. Številska premica

je poljubna premica, na kateri smo si izbrali dve različni točki, ki predstavljata O in E. TočkoO imenujemo koordinatno izhodǐsče in upodablja število 0. Točka E upodablja število 1.

O E0 1bc bc

Z nanašanjem daljice OE v eno ali v drugo stran od koordinatnega izhodǐsča dobimo slike celihštevil.

0 1 2 3 4−1−2bc bc bc bc bcbcbc

Z enostavno geometrijsko konstrukcijo (razmerja) lahko upodobimo racionalna števila.

0 135

bc bcb

Izkaže se, da na premici obstajajo števila, ki niso upodobitve racionalnih števil.

0 1√2

bc bc b

Pojem števila zato še enkrat razširimo in rečemo, da so realna števila vsa števila, ki jihlahko upodobimo na številski premici. Množico realnih števil označimo z R.

Med množicami naravnih, celih, racionalnih in realnih števil velja zveza

N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R,

kjer so vse inkluzije prave.

7

Decimalni zapis realnega številaNaj bo X točka na številski premici. Številu X bomo priredili decimalno število x.Ker cela števila razdelijo številsko premico na enotske intervale, obstaja celo število a0, da

leži točka X med a0 in a0+1. (Če X ne upodablja celega števila, je število a0 določeno enolično.)Interval med a0 in a0 + 1 razdelimo na deset enako dolgih delov. Potem obstaja število

a1 ∈ {0, 1, . . . , 9}, da leži točka X med a0 + 110 in a0 + 110a1 + 110 .Postopek ponavljamo. Točki X na številski premici smo tako priredili neskončno zaporedje

števk a0, a1, . . . . Pravimo, da jex = a0.a1a2a3 . . .

decimalni zapis števila x.

a0 a0 + 1

a0 +a110 a0 +

a1+110

a0 +a110 +

a2100 a0 +

a110 +

a2+1100

b

b

b

|

|

|

|

|

|

|

|

|

|

|

|

|

|

|

|

|

|

|

|

|

|

|

|

|

|

|

b

b

b

bx

bx

bx

• Decimalni zapis ni nujno enoličen. Število 54 lahko zapǐsemo kot 1.25000 . . . = 1.250 ali1.249999 . . . = 1.249.

• Cela števila in racionalna števila oblike a2m5n imajo končen decimalni zapis.

• Vsa druga racionalna števila imajo neskončen periodičen decimalni zapis.

5

3= 1.666 . . . = 1.6,

1

7= 0.142857142857 . . . = 0.142857.

• Iracionalna števila imajo neskončen neperiodičen decimalni zapis.

π = 3.1415926535897932384626433832795 . . .√2 = 1.4142135623730950488016887242097 . . .

1.5 Urejenost realnih števil

Realna števila lahko primerjamo po velikosti. Pravimo, da je število a na številski premicipozitivno, če leži desno od točke 0 (torej na istem poltraku kot točka 1). Pravimo, da je številoa na številski premici negativno, če leži levo od točke 0 (torej na drugem poltraku kot točka1).

01

negativna števila

pozitivna števila

bc bc

8

Pravimo, da je število a manǰse od b in označimo a < b, če je število b− a pozitivno (tj. b ležidesno od a). Pravimo, da je število a večje od b in označimo a > b, če je število b−a negativno(tj. b leži levo od a).

Število 0 ni ne pozitivno ne negativno.

Simbol < lahko tudi obrnemo. Pravimo, da je število a večje od b, oznaka a > b, če jeb < a.

Če je a b ali a = b, na kratko označimo a ≥ b in pravimo, da je a večje ali enako bPri računanju s pozitivnimi oz. negativnimi števili moramo biti nadvse pazljivi.

• iz a 0 sledi ac < bc,

• iz a bc.

Zadnja lastnost enostavno pove, da se pri množenju z negativnim številom neenakost obrne.

Absolutna vrednostVsakemu realnemu številu x lahko priredimo nenegativno realno število |x| s predpisom

|x| ={x, če je x ≥ 0−x, če je x < 0.

Število |x| imenujemo absolutna vrednost števila x. Velja

|x · y| = |x| · |y|∣∣∣∣x

y

∣∣∣∣ =|x||y|

|x+ y| ≤ |x|+ |y| trikotnǐska neenakost

Geometrijsko pomeni |x| razdaljo od točke X, ki upodablja število x, do točke O na številskipremici. Če sta x, y realni števili, je |y−x| razdalja med njunima slikama na številski premici.

Intervali in okoliceNaj bosta a in b, a ≤ b, poljubni realni števili. Definirajmo:

[a, b] = {x ∈ R; a ≤ x ≤ b} zaprt interval od a do b(a, b] = {x ∈ R; a < x ≤ b} polodprt interval od a do b[a, b) = {x ∈ R; a ≤ x < b} polodprt interval od a do b(a, b) = {x ∈ R; a < x < b} odprt interval od a do b

a b[a, b]

a b(a, b]

a b[a, b)

a b(a, b)

9

Pri a = b je [a, a] = {a} in (a, a] = [a, a) = (a, a) = ∅.Definiramo lahko tudi neskončne intervale, ki so pri ∞ vedno odprti, saj ∞ sploh ni število:

(−∞, b] = {x ∈ R; x ≤ b}(−∞, b) = {x ∈ R; x < b}[a,∞) = {x ∈ R; a ≤ x}(a,∞) = {x ∈ R; a < x}

(−∞,∞) = R

Za vsak a ∈ R in ε > 0 imenujemo interval

(a− ε, a+ ε) = {x ∈ R; a− ε < x < a+ ε}

ε-okolica točke a.

a a+ εa− εbcbc bc

Zgled 1.3. Poǐsči vsa realna števila x, za katera je x+2 > |2x−1|. Rezultat zapǐsi z intervalom.

Rešitev. Ker je |2x− 1| = 0 za x = 12 , ločimo dva primera.Če je x < 12 , je |2x − 1| = −2x + 1. Neenakost postane x + 2 > −2x + 1, kar lahko

preoblikujemo v 3x > −1 oz. x > −13 . Torej x ∈ (−13 , 12).Če pa je x ≥ 12 , je |2x−1| = 2x−1. Neenakost postane x+2 > 2x−1, kar lahko preoblikujemo

v x < 3. Torej x ∈ [12 , 3).Rešitev je x ∈ (−13 , 12) ∪ [12 , 3), kar lahko kraǰse zapǐsemo kot x ∈ (−13 , 3).

xO

1

y

1

x+2

|2x−1|

bc

bc

bc

bc

bc

3bc

bc

−13

Zgled 1.4. Poǐsči vsa realna števila x, za katera je

|x− 2| ≥ |3x− 1| − 2.

Rešitev. Ker je |x− 2| = 0 za x = 2 in |3x− 1| = 0 za x = 13 , ločimo 3 primere.Če je x < 13 , neenakost preoblikujemo v 2 − x ≥ 1 − 3x − 2, kar nam da x ≥ −32 . Torej

x ∈ [−32 , 13).Če je x > 2, neenakost preoblikujemo v x− 2 ≥ 3x− 1− 2, kar nam da x ≤ 12 . Torej v tem

primeru ni rešitev.Če pa je 13 ≤ x ≤ 2, velja 2− x ≥ 3x− 1− 2 in x ≤ 54 . Torej x ∈ [13 , 54 ].Rešitev je x ∈ [−32 , 13) ∪ [13 , 54 ], kar lahko kraǰse zapǐsemo kot x ∈ [−32 , 54 ].

10

xO

1

y

1

|x−2||3x

−1|−2

bc

bc

bc

bc

bc

54

bc

bc

−32

Zgled 1.5. Poǐsči vsa realna števila x, za katera je

|x2 − 2| < x+ 2.

Rešitev. Ker je |x2 − 2| = 0 za x = ±√2, ločimo 3 primere, ki pa jih lahko združimo v 2:

|x| ≤√2 in |x| >

√2.

Če je |x| ≤√2, velja 2−x2 < x+2. Torej x2+x > 0. Ker je x2+x = 0 za x = 0 in x = −1,

mora biti x > 0 ali x < −1. Ob pogoju |x| ≤√2 to pomeni x ∈ [−

√2,−1) ∪ (0,

√2].

Če pa je |x| >√2, velja x2 − 2 < x + 2. Torej x2 − x − 4 < 0. Ker je x2 − x − 4 = 0 za

x1,2 =1±

√17

2 , ob pogoju |x| >√2 to pomeni x ∈ (1−

√17

2 ,−√2) ∪ (

√2, 1+

√17

2 ).

Rešitev je torej x ∈ (1−√17

2 ,−1) ∪ (0, 1+√17

2 ).

xO

1

y

x+2

bc

bc

bc

bc

bcbc

bc

bc

bc

|x2 − 2|

bc

1+√17

2

bc−1

bc

1−√17

2

1.6 Omejene množice realnih števil

Naj bo A neprazna množica realnih števil. Če obstaja število M , da je a ≤ M za vsak a ∈ A,pravimo, da je M zgornja meja množice A. Pravimo, da je množica A navzgor omejena,če obstaja kakšna zgornja meja množice A.

Če obstaja število m, da je m ≤ a za vsak a ∈ A, pravimo, da je m spodnja meja množiceA. Pravimo, da je množica A navzdol omejena, če obstaja kakšna spodnja meja množice A.

Mm aAbc bcbc

11

Množica A je omejena, če je omejena navzgor in navzdol.Število M je natančna zgornja meja množice A, če je zgornja meja množice A in če za vsak

ε > 0 obstaja a ∈ A, da je a > M − ε. (Natančna zgornja meja je torej najmanǰsa zgornja mejamnožice A.)

MM − ε aAbc bcbc

Natančno zgornjo mejo množice A označimo s supA in poimenujemo supremum množice A.

• Natančna zgornja meja vsakega (odprtega, zaprtega, polodprtega) intervala med a in b ještevilo b.

Število m je natančna spodnja meja množice A, če je spodnja meja množice A in če za vsakε > 0 obstaja a ∈ A, da je a < m+ ε. (Natančna spodnja meja je torej največja spodnja mejamnožice A.)

m m+ εa Abcbc bc

Natančno spodnjo mejo množice A označimo z inf A in poimenujemo infimum množice A.

• Natančna spodnja meja vsakega (odprtega, zaprtega, polodprtega) intervala med a in b ještevilo a.

Zgled 1.6. Določi natančno spodnjo in zgornjo mejo množic

A = {n2 + 1; n ∈ Z}B = { 1n ; n ∈ N},C = {x ∈ R; 2 < x2 ≤ 3}.

inf(A) = 1, sup(A) = ∞.inf(B) = 0, sup(B) = 1.inf(C) = −

√3, sup(C) =

√3.

• Dedekindov aksiom Vsaka neprazna navzdol omejena podmnožica realnih števil imanatančno spodnjo mejo.

Dedekindov aksiom je ekvivalenten trditvi, da ima vsaka neprazna navzgor omejena pod-množica realnih števil natančno zgornjo mejo.

Ta aksiom razloči med realnimi in racionalnimi števili. Množica A = {x; x2 > 2 in x > 0}v množici racionalnih števil namreč nima natančne spodnje meje, v množici realnih števil pa jenatančna spodnja meja (iracionalno) število

√2.

Zgled 1.7. Število√2 je iracionalno.

Rešitev. Dokaz s protislovjem.Recimo, da je

√2 = pq , kjer je

pq okraǰsan ulomek. Potem je p

2 = 2q2. Torej p = 2p1 in

2p21 = q2. Sledi q = 2q1 in

pq =

2p12q1

v resnici ni okraǰsan ulomek.

12

1.7 Aksiomatska vpeljava realnih števil

Realna števila lahko vpeljemo povsem aksiomatsko. Realna števila so množica (označimo jo zR), v kateri sta definirani računski operaciji: seštevanje in množenje.

Za poljubni dve števili a ∈ R in b ∈ R obstaja natančno določeno realno število a+ b, ki gaimenujemo vsota števil a in b.

Za poljubni dve števili a ∈ R in b ∈ R obstaja natančno določeno realno število a · b (kraǰseab), ki ga imenujemo produkt števil a in b.

Za seštevanje in množenje veljajo naslednji zakoni

I Komutativnost seštevanja: a+ b = b+ a za vsaka a, b ∈ R

II Asociativnost seštevanja: (a+ b) + c = a+ (b+ c) za vsake a, b, c ∈ R

III Obstoj nevtralnega elementa za seštevanje: Obstaja 0 ∈ R, da je a+ 0 = a za vsaka ∈ R

IV Obstoj nasprotnega elementa za seštevanje: Za vsak a ∈ R obstaja število −a ∈ R,da je a+ (−a) = 0

V Komutativnost množenja: a · b = b · a za vsaka a, b ∈ R

VI Asociativnost množenja: (a · b) · c = a · (b · c) za vsake a, b, c ∈ R

VII Obstoj enote za množenje: Obstaja 1 ∈ R, da je 1 · a = a za vsak a ∈ R

VIII Obstoj inverznega elementa za množenje: Za vsak a ∈ R \ {0} obstaja a−1 ∈ R, daje a · a−1 = 1

IX Distributivnostni zakon: (a+ b) · c = a · c+ b · c za vsake a, b, c ∈ R

X Različnost števil 0 in 1: Velja 1 6= 0

Množici, opremljeni z operacijama seštevanja in množenja, ki zadoščata zahtevam I – X,pravimo obseg. Torej je množica realnih števil obseg.

Za vsaki dve realni števili a in b obstaja natančno določeno realno število x (namreč številob+(−a)), da je a+x = b. Število x imenujemo razlika števil b in a in označimo z b−a. Veljaa + (b − a) = b. Podobno za vsaki dve realni števili a, a 6= 0, in b obstaja natančno določenorealno število x, da je ax = b. Število x imenujemo kvocient števil b in a in označimo z ba .

Velja a · ba = b.

Urejenost realnih številRealna števila delimo na pozitivna, negativna in število 0.

XI Če je a 6= 0, je od števil a in −a natanko eno pozitivno. Število 0 ni ne pozitivno nenegativno.

XII Če sta števili a in b pozitivni, sta tudi števili a+ b in ab pozitivni.

Množico R uredimo po velikosti z dogovorom: če je a−b pozitivno število, pravimo, da je številoa večje od b in pǐsemo a > b. Podobno, če je a − b negativno število, pravimo, da je številoa manǰse od b in pǐsemo a < b. Če je a b ali a = b,pǐsemo a ≥ b.

13

Lastnosti urejenosti

• Tranzitivnost: Če je a > b in b > c, je a > c.

• Zakon trihotomije: Za vsaki dve števili a in b velja natanko ena od treh možnosti a > bali a b, je a+ c > b+ c za vsak c ∈ R.

• Če je a > b in c > 0, je ac > bc. Če je a > b in c < 0, je ac < bc.

• Med poljubnima dvema realnima številoma leži vsaj eno realno število.

Omejene množice realnih številNaj bo A neprazna množica realnih števil. Če obstaja število M , da je a ≤M za vsak a ∈ A,

pravimo, da je M zgornja meja množice A. Pravimo, da je množica A navzgor omejena,če obstaja kakšna zgornja meja množice A.

Če obstaja število m, da je m ≤ a za vsak a ∈ A, pravimo, da je m spodnja meja množiceA. Pravimo, da je množica A navzdol omejena, če obstaja kakšna spodnja meja množice A.

Množica A je omejena, če je omejena navzgor in navzdol.Število M je natančna zgornja meja množice A, če je zgornja meja množice A in če za vsak

ε > 0 obstaja a ∈ A, da je a > M − ε. (Natančna zgornja meja je torej najmanǰsa zgornja mejamnožice A.)

MM − ε aAbc bcbc

Natančno zgornjo mejo množice A označimo s supA in poimenujemo supremum množice A.

• Natančna zgornja meja vsakega (odprtega, zaprtega, polodprtega) intervala med a in b ještevilo b.

Število m je natančna spodnja meja množice A, če je spodnja meja množice A in če za vsakε > 0 obstaja a ∈ A, da je a < m+ ε. (Natančna spodnja meja je torej največja spodnja mejamnožice A.)

m m+ εa Abcbc bc

Natančno spodnjo mejo množice A označimo z inf A in poimenujemo infimum množice A.

• Natančna spodnja meja vsakega (odprtega, zaprtega, polodprtega) intervala med a in b ještevilo a.

XIII [Dedekindov aksiom] Vsaka neprazna navzdol omejena podmnožica realnih števil ima na-tančno spodnjo mejo.

Aksiom XIII je ekvivalenten trditvi, da ima vsaka neprazna navzgor omejena podmnožicarealnih števil natančno zgornjo mejo.

Ta aksiom razloči med realnimi in racionalnimi števili. Množica A = {x; x2 > 2 in x > 0}v množici racionalnih števil namreč nima natančne spodnje meje, v množici realnih števil pa jenatančna spodnja meja (iracionalno) število

√2.

14

Zgled 1.8. Število√2 je iracionalno.

Dokaz. Dokaz s protislovjem.Recimo, da je

√2 = pq , kjer je

pq okraǰsan ulomek. Potem je p

2 = 2q2. Torej p = 2p1 in

2p21 = q2. Sledi q = 2q1 in

pq =

2p12q1

v resnici ni okraǰsan ulomek.

Izrek 1.9 (Arhimedova lastnost). Če sta x, y ∈ R in je y > 0, obstaja tak n ∈ N, da je x < ny.Dokaz. Recimo, da takega n ni. Potem je x ≥ ny za vsak n in je zato x zgornja meja množiceA = {ny; n ∈ N}. Označimo z M njeno natančno zgornjo mejo. Potem obstaja tak n ∈ N, daje ny > M − y. Sledi (n+1)y > M . Ker je (n+1)y ∈ A, je to v protislovju s predpostavko, daje M natančna zgornja meja množice A.

Izrek 1.10. Za vsako realno število a in vsak ε > 0 obstaja racionalno število pq , da je |a−pq | <

ε.

Pravimo, da je množica racionalnih števil gosta v množici realnih števil.

2 Množice

2.1 Množice

Množica A je določena, če obstaja pravilo, po katerem je mogoče za vsako reč odločiti ali je v Aali ne. Če a spada v množico A, pravimo, da je a element množice A in označimo a ∈ A. Če ani element množice A, označimo a /∈ A.

Množico lahko podamo tako, da zapǐsemo njene elemente:

A = {1, 2, 3} , B = {“modra”, “zelena”}.Množico lahko podamo tudi tako, da povemo lastnost L, ki jo imajo natanko vsi njeni elementi.Torej A = {a; L(a)}.

C = {x; |2x− 1| < 1} , D = {n; n deli število 12}.Možno je, da noben element nima lastnosti L; tedaj je A prazna množica, kar zapǐsemo A = ∅.

2.2 Operacije z množicami

A

B

Množica A je podmnožica množice B, z oznako A ⊆ B, če vsak element množiceA leži tudi v množici B. Če je A ⊆ B in B ⊆ A, imata množici A in B isteelemente in sta enaki. Oznaka: A = B.

A B

A ∪B

Unija množic A in B je množica A ∪B, definirana z

A ∪B = {x; x ∈ A ali x ∈ B}.

A B

A ∩B

Presek množic A in B je množica A ∩B, definirana z

A ∩B = {x; x ∈ A in x ∈ B}.

Za poljubne množice A, B in C velja

15

• Komutativnost ∪ in ∩ A ∪B = B ∪A, A ∩B = B ∩A

• Asociativnost ∪ in ∩ (A ∪B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C), (A ∩B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)

• Idempotentnost ∪ in ∩ A ∪A = A, A ∩A = A

•

A B

AbsorbcijaA ∪ (A ∩B) = A, A ∩ (A ∪B) = A

• Lastnost ∅ A ∪ ∅ = A, A ∩ ∅ = ∅

Izrek 2.1 (Distributivnostna zakona). Za poljubne množice A, B in C velja

A ∩ (B ∪ C) = (A ∩B) ∪ (A ∩ C)A ∪ (B ∩ C) = (A ∪B) ∩ (A ∪ C)

B C

A

A ∩ (B ∪ C)

B C

A

A ∪ (B ∩ C)

A \B

A B

Razlika množic A in B je množica A \B, definirana z

A \B = {x; x ∈ A in x /∈ B}.

Množici A \B pravimo tudi komplement množice B glede na A.

Včasih obravnavamo le podmnožice neke fiksne, dovolj velike množice U , ki jo v tem primeruimenujemo univerzalna množica. Komplement množice A (glede na univerzalno množicoU) je množica Ac, definirana z Ac = U \A.

• A ∪ U = U , A ∩ U = A lastnost univerzalne množice U

• A ∪Ac = U , A ∩Ac = ∅ lastnost komplementa

• (Ac)c = A involutivnost komplementa

• U c = ∅, ∅c = U komplementarnost U in ∅

Izrek 2.2 (De Morganova zakona). Za poljubne množice A, B in C velja

(A ∪B)c = Ac ∩Bc(A ∩B)c = Ac ∪Bc

16

A B

(A ∪B)cA B

(A ∩B)c

Zgled 2.3. Izračunaj A∪B, A∩B in A\B za A = {2n−1; n = 1, 2, . . . , 7} in B = {3n−2; n =1, 2, . . . , 7}.

Rešitev. Ker je A = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13} in B = {1, 4, 7, 10, 13, 16, 19}, je

A ∪B = {1, 3, 4, 5, 7, 9, 10, 11, 13, 16, 19},A ∩B = {1, 7, 13} inA \B = {3, 5, 9, 11}.

Naj bo x ∈ A in y ∈ B. Urejeni par elementov x in y je množica

{{x}, {x, y}},

ki jo kraǰse označimo z (x, y).

• Iz (x, y) = (x′, y′) sledi, da je x = x′ in y = y′. V urejenem paru je vrstni red zapisapomemben.

• Za x 6= y je (x, y) 6= (y, x), vendar pa {x, y} = {y, x}

Kartezični produkt množic A in B je množica urejenih parov

A×B = {(x, y); x ∈ A, y ∈ B}.

• A×B = ∅ natanko tedaj, ko je vsaj ena izmed množic A in B prazna.

• Za različni neprazni množici A in B velja A×B 6= B ×A.

• Če je A = B, pǐsemo namesto A×A kar A2.

Potenčna množica množice A je množica vseh podmnižic množice A in jo označimo s P(A).Torej

P(A) = {X; X ⊆ A}.

• P(∅) = {∅}

• P(P(∅)) = {∅, {∅}}

• P({1, 2, 3}) = {∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}}

• Za končno množico A z n elementi velja, da ima potenčna množica P(A) natanko 2nelementov.

17

2.3 Preslikave med množicami

Preslikave med množicamiNaj bosta A in B množici. Preslikava f : A → B je pravilo f , ki vsakemu elementu a

množice A priredi natančno določen element f(a) množice B. (Preslikavo pogosto imenujemotudi funkcija, zlasti, če je A ⊆ R in B ⊆ R.)

f

a f(a)

A B

bb

Množica A je lahko tudi prazna, saj za vsako množico B obstaja “prazna” preslikava ∅ → B.Če pa je množica B prazna, obstaja preslikava A→ ∅, le če je tudi množica A prazna.

Množico A imenujemo definicijsko območje ali domena, množico f(A) = {f(a); a ∈A} ⊆ B pa zaloga vrednosti ali kodomena preslikave f . Definicijsko območje funkcije foznačimo tudi z Df , zalogo vrednosti pa z Zf .

f

A = Df B

Zf

Zgled 2.4. Ali sta funkciji f1(x) =xx in f2(x) = 1 enaki? Ali sta funkciji g1(x) =

√x2 in

g2(x) = x enaki?

Preslikava f : A → B je injektivna, če za vsaka a1, a2 ∈ A, a1 6= a2, velja f(a1) 6= f(a2).(Ekvivalentno: f je injektivna, če za vsaka a1, a2 ∈ A iz f(a1) = f(a2) sledi a1 = a2.)

a1f(a1)

a2 f(a2)

A B

f

fb

b

bb

Preslikava f : A → B je surjektivna, če je Zf = B. (Ekvivalentno: f je surjektivna, če zavsak b ∈ B obstaja tak a ∈ A, da je f(a) = b.)

a b

A B

f

b b

Preslikava f je bijektivna, če je injektivna in surjektivna.Graf preslikave f : A→ B je množica

Γ(f) = {(a, f(a)); a ∈ A} ⊂ A×B.

18

A

B

Γ(f)

A×Ba

f(a) bc

bc

bc

Funkcija f je injektivna, če vsaka vodoravna premica v A × B seka graf Γ(f) največ enkrat.Funkcija f je surjektivna, če vsaka vodoravna premica v A×B seka graf Γ(f) vsaj enkrat.

Zgled 2.5. Narǐsi graf funkcije f : [−1, 2] → [−1, 4], podane s predpisom f(x) = x2. Ali jefunkcija injektivna oz. surjektivna?

Rešitev.

xO

4

−1

y

−1 2

bc

bc

bc

bc

bc

Funkcija ni ne injektivna ne surjektivna.

Zgled 2.6. • Funkcija f : R → R, definirana s predpisom f(x) = x3, je bijektivna.

• Funkcija f : R → R, definirana s predpisom f(x) = x3 − x, je surjektivna, a ni injektivna.

• Funkcija f : R → R, definirana s predpisom f(x) = 2x, je injektivna, a ni surjektivna.

Naj bosta f : A→ B in g : B → C preslikavi. Kompozitum preslikav f in g je preslikavag ◦ f : A→ C, definirana z (g ◦ f)(a) = g(f(a)).

f

a f(a)

A B

g

g(f(a))

C

g ◦ f

bb

b

Zgled 2.7. Naj bo f : A→ B in g : B → C.

• Če sta f , g injektivni, je g ◦ f injektivna.

• Če sta f , g surjektivni, je g ◦ f surjektivna.

19

• Če je g ◦ f injektivna, je f injektivna.

• Če je g ◦ f surjektivna, je g surjektivna.

Rešitev. Če a1 6= a2, potem f(a1) 6= f(a2) in g(f(a1)) 6= g(f(a2)).Za c ∈ C obstaja b ∈ B, da g(b) = c. Obstaja a ∈ A, da f(a) = b. Torej g(f(a)) = c.Če a1 6= a2, potem g(f(a1)) 6= g(f(a2)) in zato f(a1) 6= f(a2).Za c ∈ C obstaja a ∈ A, da je g(f(a)) = c. Torej je g(b) = c za b = f(a) ∈ B.Preslikavo f : A → A, definirano z f(a) = a, imenujemo identična preslikava množice A

in označimo idA.

Naj bo f : A → B preslikava. Če obstaja taka preslikava g : B → A, da je g ◦ f = idA inf ◦ g = idB , pravimo, da je g inverz preslikave f in označimo f−1 = g.

f

a f(a)

A Bg

bb

Trditev 2.8. Preslikava f : A→ B je bijektivna natanko tedaj, ko ima inverz.

Zgled 2.9. Naj bo A = {1, 2, 3, 4} in f(n) = 2n − 1 za n ∈ A. Določi množico B in preslikavog : B → A, ki je inverz preslikave f .

Rešitev. Po vrsti izračunamo f(1) = 1, f(2) = 3, f(3) = 5 in f(4) = 7. Torej je množicaB = {1, 3, 5, 7} zaloga vrednosti preslikave f .

Ker iz f(n) = 2n − 1 = m sledi n = m+12 , je preslikava g : B → A, podana z g(m) = m+12 ,inverz preslikave f .

f : n 7→ 2n− 1

g : m 7→ m+12

1 2 3 4 1 3 5 7b b b b b b b b

Naj bo f : A → B poljubna preslikava in Ã ⊂ A podmnožica. Zožitev preslikave f napodmnožico Ã je preslikava f |Ã : Ã→ B, definirana z f |Ã(a) = f(a).

Zgled 2.10. Funkcija f : R → R, podana s predpisom f(x) = x2 + 1, ni bijektivna. Za A ={x; x ≥ 0} in B = {x; x ≥ 1} je zožitev f |A : A→ B funkcije f bijektivna.

Rešitev. Funkcija f ni injektivna, saj je f(x) = f(−x) za vsak x ∈ R. Funkcija f ni surjektivna,saj je f(x) ≥ 1 za vsak x ∈ R.

Injektivnost zožitve Če je f |A(x1) = f |A(x2), je x21 + 1 = x22 + 1, od koder sledi x21 = x22oz. (x1 − x2)(x1 + x2) = 0. Če je x1 + x2 = 0, je zaradi x1 ≥ 0 in x2 ≥ 0 lahko le x1 = x2 = 0.Če je x1 + x2 6= 0, mora biti x1 − x2 = 0 oz. x1 = x2.

Surjektivnost zožitve Vzemimo poljuben y ≥ 1. Tedaj za x = √y − 1 velja f |A(x) = y.

20

xO

1

y

f

f : R → R

bc

bc

xO

1

y

f |A

f |A : A→ BA

B

bc

bc

b

b

3 Zaporedja

3.1 Zaporedja

Zaporedje realnih števil je preslikava a : N → R. Običajno namesto a(n) pǐsemo an. Številoan imenujemo n-ti člen zaporedja, število n pa indeks člena an. Zaporedje s splošnim členoman označimo z (an).

Zaporedje je lahko podano

• eksplicitno: s pomočjo funkcijskega predpisa an = f(n)

• implicitno oz. rekurzivno: zapǐsemo prvih nekaj členov zaporedja in pravilo, kakoizračunamo naslednji člen s pomočjo preǰsnjih.

Zaporedje lahko ponazorimo

• s sliko množice točk {an; n ∈ N} na realni osi ali

• z grafom Γ(a) ⊂ N× R funkcije a : N → R.

Zgledi

• Zaporedje s splošnim členom an = 2−n je 2−1, 2−2, 2−3, . . .

• Zaporedje (an) = (−1, 1,−1, . . .) ima splošni člen an = (−1)n = cos(nπ).

• Aritmetično zaporedje Podamo a1 in razliko d med poljubnima sosednjima členoma:an+1 − an = d. Sledi an = a1 + (n− 1)d. Ugodneje an = a0 + nd.

• Geometrično zaporedje Podamo a1 in kvocient q med poljubnima sosednjima členoma:an+1an

= q. Sledi an = a1qn−1. Ugodneje: an = a0qn.

• Fibonaccijevo zaporedje Podamo a1 = a2 = 1 in an+2 = an+1 + an. Velja an =(1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, . . .)

21

Monotonost in omejenost zaporedijZaporedje je naraščajoče, če je an+1 ≥ an za vsak indeks n.

N

R

b

bb b

bb

b

b b

b

| | | | | | | | | |

Ran−1 an an+1b bb

Zaporedje je padajoče, če je an+1 ≤ an za vsak indeks n.Zaporedje je monotono, če je naraščajoče ali padajoče.Zaporedje je navzgor omejeno, če obstaja M ∈ R, da je an ≤ M za vsak n. Število M

imenujemo zgornja meja zaporedja.

N

R

M

b

bb

bb b

b

bb

b

bc

| | | | | | | | | |

Ran−1 an+1 an Mbb bb

Zaporedje je navzdol omejeno, če obstaja m ∈ R, da je an ≥ m za vsak n. Število mimenujemo spodnja meja zaporedja.

Zaporedje je omejeno, če je navzgor in navzdol omejeno.

• Naraščajoče zaporedje je navzdol omejeno, padajoče pa navzgor omejeno.

Zgled 3.1. Razǐsči zaporedje s splošnim členom an =14n+ 1.

Rešitev.

N

R

1

an =14n+ 1

bb

bb

bb

bb

bb

bc

| | | | | | | | | |

Zaporedje ima člene a1 =54 , a2 =

64 , a3 =

74 , . . . . Ker je an+1 − an = 14 > 0, je zaporedje

naraščajoče. Torej je navzdol omejeno. Zaporedje ni navzgor omejeno.

22

Zgled 3.2. Razǐsči zaporedje s splošnim členom an =1n .

Rešitev.

N

R

1

an =1n

b

bb b b b b b b b

bc

| | | | | | | | | |

Zaporedje ima člene a1 = 1, a2 =12 , a3 =

13 , . . . . Ker je an+1 − an = − 1n(n+1) < 0, je zaporedje

padajoče. Torej je navzgor omejeno. Ker je an > 0 za vsak n ∈ N, je zaporedje tudi navzdolomejeno. Torej je zaporedje omejeno.

Natančna zgornja in spodnja mejaŠtevilo M je natančna zgornja meja zaporedja (an), z oznako M = supn∈N an, če je

an ≤M za vsak n in če za vsak ε > 0 obstaja indeks k, da je ak > M − ε.

k N

R

M

M − ε bc

bc

b

bb

b b

b

b

b

bb

| | | | | | | | | |

Rakan MM − εbbb

Število M je natančna spodnja meja zaporedja (an), z oznako M = infn∈N an, če jean ≥M za vsak n in če za vsak ε > 0 obstaja indeks k, da je ak < M + ε.

Nk

R

M

M + ε bc

bc

b

b

b

bb

b

b

b

b

b

| | | | | | | | | |

Rak anM + εMb b b

Izrek 3.3. Vsako omejeno zaporedje ima natančno zgornjo in spodnjo mejo.

Dokaz. Naj bo A = {an; n ∈ N} množica vseh členov zaporedja (an). Ker je zaporedje (an)omejeno, je množica A ⊂ R omejena in zaradi znanih lastnosti omejenih podmnožic realnihštevil obstajata natančna zgornja in spodnja meja množice A.

Trditev je tako dokazana, saj je številoM natančna zgornja meja množice A, če jeM zgornjameja množice A in če za vsak ε > 0 obstaja a ∈ A, da je a > M − ε.

23

Največji in najmanǰsi člen zaporedjaOpozoriti velja, da inf an ne pomeni najmanǰsi člen zaporedja. Tudi če inf an obstaja, ni

nujno, da je inf an = aN za neki N ∈ N.Podobno tudi sup an ne pomeni največji člen zaporedja. Tudi če sup an obstaja, ni nujno,

da je sup an = aN za neki N ∈ N.

Obratna trditev pa drži. Če najmanǰsi člen zaporedja obstaja (označimo ga z min an), jeseveda inf an = min an.

Podobno je tudi sup an = max an, če le največji člen zaporedja obstaja (označimo ga zmax an).

Zgled 3.4. Določi natančno zgornjo in spodnjo mejo zaporedja s splošnim členom an =(n+1)(−1)n

n .

Rešitev.

N

R

1

−1

an =(n+1)(−1)n

n

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbc

bc

| | | | | | | | | |

Zaporedje s členi |an| = n+1n = 1 + 1n je padajoče k 1. Torej je (pod)zaporedje s sodimi indeksipadajoče k 1, (pod)zaporedje z lihimi pa naraščajoče k −1. Torej je sup an = max an = a2 = 32in inf an = min an = a1 = −2.

Stekalǐsče zaporedjaŠtevilo a je stekalǐsče zaporedja (an), če za vsak ε > 0 in obstaja neskončno indeksov m,

da je |a−am| < ε. Drugače povedano, število a je stekalǐsče zaporedja (an), če je v vsaki njegoviokolici neskončno členov tega zaporedja.

N

R

a+ εa

a− ε bcbc

bc

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

| | | | | | | | | |

Ra

ama+ εa− ε

bc b

• Zaporedje s splošnim členom an = 1n ima (edino) stekalǐsče v točki 0. Število 0 ni člentega zaporedja.

N

R

1

an =1n

b

bb b b b b b b b

bc

| | | | | | | | | |

24

• Zaporedje s splošnim členom an = (−1)n ima stekalǐsči v točkah 1 in −1, ki sta tudi členazaporedja.

N

R

1

−1

an = cos(nπ)

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbc

bc

| | | | | | | | | |

• Zaporedje s splošnim členom an = 14n+ 1 nima stekalǐsč.

N

R

1

an =14n+ 1

bb

bb

bb

bb

bb

bc

| | | | | | | | | |

• Zaporedje s splošnim členom an = 1+ nn+1 cos(nπ2 ) ima stekalǐsča v točkah 0, 1 in 2. Točka1 je tudi člen tega zaporedja.

N

R

0

1

2

an = 1 +n

n+1 cos(nπ2 )

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bc

bc

bc | | | | | | | | | | | | | |

Za n = 4k ± 1 velja an = 1 + 4k±14k±1+1 · 0 = 1.Za n = 4k velja an = 1 +

4k4k+1 · 1 → 2.

Za n = 4k + 2 velja an = 1 +4k+24k+3 · (−1) → 0.

Izrek 3.5. Vsako omejeno zaporedje ima stekalǐsče.

Dokaz. Naj bo m = inf an in M = sup an. Množica

A = {x ∈ R; an < x za največ končno n}

je neprazna, saj je m ∈ A. Je omejena, saj x < M za vsak x ∈ A. Torej ima natančno zgornjomejo a = supA.

25

Rkončno členov

neskončno členov

aa− ε a+ εbcbc bc

Število a je stekalǐsče zaporedja. Za ε > 0 je a− ε ∈ A in a + ε /∈ A. Levo od a− ε je končnomnogo členov zaporedja, levo od a + ε pa neskončno. Torej jih je na intervalu (a − ε, a + ε)neskončno.

Limita zaporedjaŠtevilo a je limita zaporedja an, z oznako a = lim

n→∞an, če za vsak ε > 0 obstaja N ∈ N,

da je |an − a| < ε za vsak n ≥ N .

N

R

a+ εa

a− ε

N

bc

bc

bc

b

b

b

b

b

bb

bb b

| | | | | | | | | |

Ra

anaNa+ εa− ε

bc bb

Drugače povedano, a je limita zaporedja an, če v vsaki njegovi okolici ležijo vsi členi odnekega člena dalje.

Število N , ki nastopa v definiciji limite zaporedja, je odvisno od ε. Pri manǰsem ε je številoN = N(ε) večje.

N1 N2

a+ ε1a+ ε2

a

a− ε2a− ε1

N

R

| | | | | | | | | | | |

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bc

bc

bc

bc

bc

Na gornji sliki imamo ε2 < ε1. Za pripadajoča N1 = N(ε1) in N2 = N(ε2) velja N2 > N1.

• Vsaka limita je tudi stekalǐsče, obrat pa ne drži, saj ima lahko zaporedje več stekalǐsč.

Zaporedje je konvergentno, če obstaja limita tega zaporedja. Zaporedje je divergentno,če ni konvergentno.

Zgled 3.6. Dokaži, da za zaporedje an =1n velja limn→∞

an = 0. Od katerega člena dalje ležijo vsi

členi v ε-okolici limitne točke za ε = 1100?

26

Za dani ε > 0 označimo N = [1ε ] + 1. Torej je1N < ε in je zato an ≤ aN = 1N < ε za vsak

n ≥ N . Posebej, pri ε = 1100 ležijo v ε-okolici limitne točke vsi členi od vključno člena a101dalje.

Zgled 3.7. Izračunaj limito zaporedja s splošnim členom an =n+1n+3 .

Rešitev. Ker je n+1n+3 = 1− 2n+3 , domnevamo, da bo limn→∞n+1n+3 = 1.

N

R

1

an =n+1n+3

b bb b b

b b b b bbc

| | | | | | | | | |

Naj bo ε > 0. Da bi vsi členi od N -tega dalje ležali v ε-okolici točke 1, mora veljati |an − 1| < εza n ≥ N . Torej mora biti | 2n+3 | < ε oz. n > 2ε − 1. Če torej izberemo poljubno tako naravnoštevilo N , da je N > 2ε − 1, bo za vsak n ≥ N veljalo |an − 1| < ε.Zgled 3.8. Določi limito ter največji in najmanǰsi člen zaporedja s splošnim členom an =

2n3−2n .

Rešitev. Ker je 2n3−2n = −1 + 33−2n , je limn→∞2n

3−2n = −1.

N

R

1

−1

2

−4

an =2n

3−2nb

b

bb b

b b b b b

bc

bc

bc

bc

| | | | | | | | | |

Ker je za n ≥ 2 vrednost izraza 33−2n negativna in s naraščajočim n približuje 0, bosta največjiin najmanǰsi člen kar a1 = 2 in a2 = −4.Izrek 3.9. Naj bo a ∈ R. Tedaj za |a| < 1 zaporedje s splošnim členom an = an konvergira k 0,za a = 1 zaporedje (an) konvergira k 1, v vseh ostalih primerih pa je zaporedje (an) divergentno.

Dokaz. Če je a = 0, je limn→∞

an = 0.

Če je 0 < a < 1, je zaporedje an padajoče in navzdol omejeno. Torej je konvergentno inoznačimo njegovo limito z α. Ker se zaporedje an+1 razlikuje od zaporedja an le v prvem členu,je tudi ima enako limito kot an. Sledi

α = limn→∞

an+1 = limn→∞

a · an = limn→∞

a · limn→∞

an = aα,

od koder zaradi a 6= 0 sledi α = 0.

Če je a = 1, je limn→∞

an = 1.

Če je a > 1 in če je zaporedje an omejeno, je konvergentno. Označimo njegovo limito z β.Torej je β ≥ a > 1. Sedaj podobno kot v primeru 0 < a < 1 dokažemo, da je β = aβ. Ker pa jeβ > 1 in a > 1, ta enačba ni smiselna. Torej an ni omejeno.

Če je −1 < a < 0, velja limn→∞

|a|n = 0, od koder izpeljemo, da je tudi limn→∞

an = 0.

Za a ≤ −1 pa ima zaporedje neskončno členov na intervalu (−∞,−1] in neskončno členovna intervalu [1,∞), zato ni konvergentno.

27

Izrek 3.10 (Bernoullijeva neenakost). Za vsako pozitivno število x in naravno število n > 1velja

(1 + x)n > 1 + nx.

Dokaz. Trditev bomo dokazali z indukcijo. Za n = 2 ni kaj dokazovati. V dokazu indukcijskegakoraka pa privzemimo, da je (1 + x)n > 1 + nx. Tedaj velja

(1 + x)n+1 = (1 + x)n(1 + x) > (1 + nx)(1 + x) =

= 1 + (n + 1)x+ nx2 > 1 + (n+ 1)x,

saj je nx2 > 0.

Izrek 3.11. Naj bo a pozitivno realno število. Potem je limn→∞

n√a = 1.

Dokaz. Za a = 1 ni kaj dokazovati. Če je a > 1, lahko pri fiksnem n > 1 zapǐsemo a = 1+ nx,kjer je x = a−1n > 0. Tedaj po Bernoullijevi neenakosti velja

(1 +

a− 1n

)n> 1 + n

a− 1n

= a,

od koder sledi 1 + a−1n >n√a > 1. Ker je lim

n→∞(1 + a−1n ) = 1, iz gornje ocene sledi, da je tudi

limn→∞

n√a = 1. Če pa je 0 < a < 1, pǐsemo b = 1a in po že dokazanem velja limn→∞

n√b = 1. Torej

je tudi

limn→∞

n√a = lim

n→∞1n√b=

1

limn→∞

n√b= 1.

Lastnosti konvergentnih zaporedij

Izrek 3.12. Vsako konvergentno zaporedje je omejeno.

Dokaz. Naj bo a = limn→∞

an. Torej leži izven intervala (a − 1, a + 1) le končno mnogo členovzaporedja an. Množica

A = {a− 1, a+ 1} ∪ {an; an /∈ (a− 1, a+ 1)}

je končna in ima natančno spodnjo in zgornjo mejo: m in M . Sledi m ≤ an ≤M za vsak n.Zaporedje, ki ni omejeno, ne more biti konvergentno. Prav tako ne more biti konvergentno

zaporedje, ki ima več kot eno stekalǐsče.

Izrek 3.13. Zaporedje je konvergentno natanko tedaj, ko je omejeno in ima natanko eno ste-kalǐsče.

Rs1

s1 − ε s1 + εs2

s2 − ε s2 + εb bbc bc

Dokaz. Recimo, da je zaporedje konvergentno in označimo njegovo limito z s1. Po že dokazanemje omejeno. V skladu z definicijo je limita zaporedja tudi njegovo stekalǐsče. Recimo, da imazaporedje še eno stekalǐsče, ki ga označimo z s2. Označimo ε =

12 |s2−s1|. Potem znotraj ε-okolic

za s1 in s2 leži neskončno členov tega zaporedja, kar pomeni, da nobena izmed točk s1 in s2 nilimita tega zaporedja.

28

Cauchyjevo zaporedjeZaporedje je Cauchyjevo, če za vsak ε > 0 obstaja N ∈ N, da je |an − am| < ε za vsaka

m,n ≥ N .

Izrek 3.14. Zaporedje je konvergentno natanko tedaj, ko je Cauchyjevo.

Dokaz. Privzemimo najprej, da je zaporedje an konvergentno. Označimo z a njegovo limito.Naj bo ε > 0. Ker je zaporedje konvergentno, obstaja N ∈ N, da je |a− an| < ε2 za vse n ≥ N .Če sta torej m,n ≥ N , je

|am − an| ≤ |am − a|+ |a− an| ≤ε

2+ε

2= ε.

Za dokaz v drugo smer pa privzemimo, da je zaporedje Cauchyevo. Potem obstaja N0, daje |am − an| < 1 za vse m,n ≥ N0. Posebej to pomeni, da je |am − aN0 | < 1 za vse n ≥ N0in je zaporedje omejeno. Torej ima vsaj eno stekalǐsče, ki ga označimo z a. Dokažimo, da je alimita zaporedja (an). Izberimo in fiksirajmo ε > 0. Obstaja nek N , da je |am − an| < ε2 za vsem,n ≥ N . Vzemimo sedaj poljuben n ≥ N . Potem leži an na intervalu (aN − ε2 , aN + ε2) in zatoleži stekalǐsče a na intervalu [aN − ε2 , aN + ε2 ]. Sledi

|an − a| ≤ |an − aN |+ |aN − a| ≤ε

2+ε

2= ε.

Torej je a limita zaporedja (an).

Izrek 3.15. Vsako monotono in omejeno zaporedje je konvergentno.

Dokaz. Naj bo (an) npr. naraščajoče zaporedje. Ker je zaporedje omejeno, obstaja njegovanatančna zgornja meja, ki jo označimo z a. Potem za vsak ε > 0 obstaja N , da je a−ε < aN ≤ a.Ker je zaporedje monotono in navzgor omejeno z a, je a − ε < an ≤ a za vsak n ≥ N . Torejležijo v ε-okolici števila a vsi členi od N -tega dalje in je zato a = lim

n→∞an.

Operacije z zaporedji

Izrek 3.16. Če sta zaporedji (an) in (bn) konvergentni, so tudi zaporedja (an + bn), (an − bn)in (anbn) konvergentna ter velja

limn→∞

(an + bn) = limn→∞

an + limn→∞

bn,

limn→∞

(an − bn) = limn→∞

an − limn→∞

bn,

limn→∞

(anbn) = limn→∞

an · limn→∞

bn.

Če velja še bn 6= 0 za vsak n in limn→∞

bn 6= 0, je konvergentno tudi zaporedje (anbn ) in velja

limn→∞

anbn

=limn→∞

an

limn→∞

bn.

Predpostavka o konvergentnosti zaporedij an in bn je bistvena. Če npr. postavimo an = (−1)nin bn = (−1)n+1, je seveda an+bn = 0 za vsak n in lim

n→∞(an+bn) = 0, lim

n→∞(anbn) = −1, zaporedji

an in bn pa seveda nista konvergentni.Dokaz. Naj bo a = lim

n→∞an in b = lim

n→∞bn. Če je |an − a| < ε2 in |bn − b| < ε2 , je

|(an + bn)− (a+ b)| ≤ |an − a|+ |bn − b| < 2ε

2= ε.

29

Torej je limn→∞


an + limn→∞

bn.

Podobno dokažemo, da je tudi limn→∞

(an − bn) = limn→∞

an − limn→∞

bn.

Za dokaz konvergentnosti zaporedja anbn ocenimo

|anbn − ab| = |(an − a)(bn − b) + (an − a)b+ (bn − b)a| =≤ |(an − a)(bn − b)|+ |(an − a)b|+ |(bn − b)a| << ε2 + (|a|+ |b|)ε,

kjer smo privzeli, da je |an − a| < ε in |bn − b| < ε. Torej lahko izberemo tak ε > 0, da jevrednost izraza |anbn − ab| poljubno majhna in je zato res lim

n→∞(anbn) = lim

n→∞an · lim

n→∞bn. Za

dokaz četrte formule pa najprej dokažimo, da je limn→∞

1bn

= 1b . Ocenimo

∣∣∣∣1

bn− 1b

∣∣∣∣ =|b− bn||bbn|

<ε

|b|(|b| − ε) <2ε

|b|2

za ε < |b|2 . Po že dokazanem pa je limn→∞anbn

= limn→∞

an · 1bn = a ·1b =

ab .

Zgled 3.17. Izračunaj limn→∞

(n− 1)23n2 + n+ 1

.

Rešitev. Ker je (n−1)2

3n2+n+1= n

2−2n+13n2+n+1

, delimo števec in imenovalec tega ulomka z najvǐsjo

potenco; torej z n2. Dobimo (n−1)2

3n2+n+1= n

2−2n+13n2+n+1

=1− 2

n+ 1

n2

3+ 1n+ 1

n2. Ker je lim

n→∞1n = 0, je

limn→∞

(1− 2n + 1n2

)= lim

n→∞1− lim

n→∞2n + limn→∞

1n2

= 1− 0− 0 = 1,

saj vse limite na desni obstajajo. Podobno je tudi

limn→∞

(3 + 1n +

1n2

)= lim

n→∞3 + lim

n→∞1n + limn→∞

1n2 = 3 + 0 + 0 = 3.

Sledi

limn→∞

(n− 1)23n2 + n+ 1

= limn→∞

1− 2n + 1n23 + 1n +

1n2

=limn→∞

(1− 2n + 1n2 )limn→∞

(3 + 1n +1n2 )

=1

3.


3n + 1

3n+1 − 1 .

Rešitev. Če števec in imenovalec delimo s 3n, dobimo

limn→∞

3n + 1

3n+1 − 1 = limn→∞1 + 13n

3− 13n=

1

3.

Do enakega sklepa bi prǐsli tudi, če bi delili s 3n+1.


3n+1 + 5n

3n − 5n+1 .

Rešitev. Podobno kot v preǰsnjem primeru delimo z izrazom, ki najhitreje narašča, tj. s 5n.Dobimo

limn→∞

3n+1 + 5n

3n − 5n+1 limn→∞3 · (35 )n + 1(35 )

n − 5 = −1

5,

kjer smo upoštevali, da je limn→∞

(35 )n = 0. Do enakega sklepa bi prǐsli tudi, če bi delili s 5n+1.

Deljenje s 3n ali s 3n+1 pa ne vodi k rešitvi, saj je limn→∞

(53 )n = ∞.

30


5n+√n2 + 1

5n −√4n2 + 1

.

Rešitev. Če števec in imenovalec delimo z n, dobimo

limn→∞

5n+√n2 + 1

5n−√4n2 + 1

= limn→∞

5 +√

1 + 1n2

5−√

4 + 1n2

=5 + 1

5− 2 = 2.


2 + 6√2n

3√

3 +√n.

Rešitev. Če števec in imenovalec delimo s 6√n = 3

√√n, dobimo

limn→∞

2 + 6√2n

3√

3 +√n= lim

n→∞

26√n+ 6

√2

3

√3√n+ 1

=6√2.


(√n2 + n− n).

Rešitev. Računajmo:√n2 + n−n = (

√n2 + n− n)(

√n2 + n+ n)√

n2 + n+ n=

n√n2 + n+ n

=1√

1 + 1n + 1.

Sledi limn→∞

(√n2 + n− n) = lim

n→∞1√

1 + 1n + 1=

1

2.


1√n2 + 2n + 2−

√n2 + n+ 1

.

Rešitev. Podobno kot prej lahko izračunamo

1√n2 + 2n+ 2−

√n2 + n+ 1

=

√n2 + 2n + 2 +

√n2 + n+ 1

(n2 + 2n+ 2)− (n2 + n+ 1) =

=

√n2 + 2n + 2 +

√n2 + n+ 1

n+ 1=

=

√1 + 2n +

2n2

+√

1 + 1n +1n2

1 + 1n,

od koder sledi

limn→∞

√1 + 2n +

2n2

+√

1 + 1n +1n2

1 + 1n= 2.


1 + 2 + . . .+ n

n2.

Rešitev. Čeprav je 1+2+...+nn2

= 1n2

+ 2n2

+ . . . + nn2

in limn→∞

kn2

= 0 za vsak k, ne smemo

sklepati, da je limn→∞

1+2+...+nn2

= 0 + 0 + . . . + 0 = 0. Izrek limn→∞


an + limn→∞

bn

lahko sicer razširimo na poljubno, vendar fiksno število členov, v izrazu 1+2+...+nn2

pa številočlenov ni fiksno, ampak se spreminja hkrati z n.

31

Ker je 1 + 2 + . . .+ n = n(n+1)2 , lahko zapǐsemo

1+2+...+nn2 =

n(n+1)2n2 =

n+12n =

1+ 1n

2 .

Torej je

limn→∞

1 + 2 + . . . + n

n2= lim

n→∞1 + 1n2

=1

2.

Izrek 3.25 (Izrek o sendviču). Če sta zaporedji (an) in (bn) konvergentni in imata enaki limititer je an ≤ cn ≤ bn za vsak n ≥ N , je tudi zaporedje (cn) konvergentno in velja lim

n→∞(an) =

limn→∞

(bn) = limn→∞

(cn).

N

R

Abc

b

bb

bb b b

b

bb

b

b

b

b

b

bb

bb b

b

b

bb

b

b bb b b

| | | | | | | | | |

Dokaz. Označimo limn→∞

(an) = limn→∞

(bn) = A. Naj bo ε > 0. Potem obstaja n1, da je

an > A− ε za n ≥ n1. Potem obstaja n2, da je bn < A+ ε za n ≥ n2. Sledi limn→∞

cn = A, saj za

n ≥ n0 = max{n1, n2, N} velja

A− ε < an ≤ cn ≤ bn < A+ ε.

Zgled 3.26. Izračunaj limito zaporedja s splošnim členom

an =1√

n2 + 1+

1√n2 + 2

+ . . . +1√

n2 + n.

Rešitev. Očitno jen√

n2 + n≤ an ≤

n√n2 + 1

. Ker za vsak k ∈ {1, 2, . . . , n} velja

limn→∞

n√n2 + k

= limn→∞

1√1 + kn2

= 1,

je tudi limn→∞

an = 1.

Število eOglejmo si zaporedji an =

(1 + 1n

)nin bn =

(1− 1n

)−n.

N

R

e

bn = (1− 1n)−n

an = (1 +1n)

nb

b b bb b b b b b

b

bb b b b b b b

bc

| | | | | | | | | |

32

Zaporedje an je naraščajoče in navzgor omejeno, zaporedje bn pa padajoče in navzdol omejeno.Torej sta obe zaporedji konvergentni.

Iz zveze

bn+1 =(1− 1n+1

)−(n+1)=(n+1n

)n+1=(1 + 1n

)n ·(1 + 1n

)= an

(1 + 1n

)

pa sledi, da je

limn→∞

bn = limn→∞

bn+1 = limn→∞

an

(1 +

1

n

)= lim

n→∞an · lim

n→∞

(1 +

1

n

)= lim

n→∞an,

kar pomeni, da imata zaporedji an in bn isto limito, ki jo označimo z e. Skratka

e = limn→∞

(1+

1

n

)n= lim

n→∞

(1− 1

n

)−n= lim

n→−∞

(1 +

1

n

)n.

Število e je iracionalno in velja e ≈ 2.7182.Dokazati je možno, da je

e = limx→∞

(1 +

1

x

)x= lim

x→−∞

(1 +

1

x

)x,

če x teče po realnih številih. Če sedaj pǐsemo t = 1x , gornji dve limiti skupaj dasta še

limt→0

(1 + t)1t = e.


(1− 13n

)n.

Rešitev.

Računajmo

limn→∞

(1− 1

3n

)n= lim

n→∞

(1− 1

3n

)−3n·(− 13)

=

= limn→∞

((1− 1

3n

)−3n)− 13.

Ker je limn→∞

13n = 0, je limn→∞

(1− 13n

)−3n= e. Torej je

limn→∞

(1− 1

3n

)n= lim

n→∞

((1− 1

3n

)−3n)− 13= e−

13 .

Pri izračunu preǰsnje limite smo uporabili spodnjo trditev za zaporedji an =(1− 13n

)−3nin

bn = −13 .

Izrek 3.28. Če sta zaporedji (an) in (bn) konvergentni, an > 0 za vsak n ter limn→∞

an > 0, je

tudi zaporedje (abnn ) konvergentno in velja

limn→∞

abnn = ( limn→∞an)

limn→∞

bn.

33


(n+1n+2

)n.

Rešitev. Ker je limn→∞

n+1n+2 = 1, želimo limito preoblikovati na limito za e. Zaradi

n+1n+2 =

n+2−1n+2 = 1− 1n+2 lahko zapǐsemo

limn→∞

(n+ 1

n+ 2

)n= lim

n→∞

(1− 1

n+ 2

)−(n+2)· n−(n+2)=

= limn→∞

(1− 1

n+ 2

)−(n+2)

︸︷︷︸an→e

bn→−1︷︸︸︷n

−(n+ 2)

= e−1.


(n2+2nn2+1

)n.

Rešitev.

Z deljenjem polinomov ugotovimo n2+2nn2+1 = 1 +

2n−1n2+1 .

limn→∞

(n2 + 2n

n2 + 1

)n= lim

n→∞

(1 +

2n− 1n2 + 1

)n2+12n−1 ·

(

2n−1n2+1

·n)

=

= limn→∞

(1 +

2n − 1n2 + 1

)n2+12n−1

︸︷︷︸an→e

bn→2︷︸︸︷2n2 − nn2 + 1

= e2.

Limite, ki jih lahko spretno preoblikujemo na limito za e, lahko enostavno izračunamo tudiz uporabo izreka:

Izrek 3.31. Naj bo limn→∞

an = 1 in an 6= 1 za vsak n. Če za zaporedje (bn) obstaja limita

L = limn→∞

bn(an − 1),

je tudi zaporedje (abnn ) konvergentno in velja

limn→∞

abnn = eL.


(n2+2nn2+1

)n.

Rešitev. Označimo an =n2+2nn2+1

. Ker je limn→∞

an = 1 in

L = limn→∞

n

(n2 + 2n

n2 + 1− 1)

= limn→∞

2n2 − nn2 + 1

= 2,

sledi limn→∞

(n2+2nn2+1

)n= eL = e2.

34


(2n−12n+3

)3n+1.

Rešitev. Označimo an =2n−12n+3 . Ker je limn→∞

an = 1 in

L = limn→∞

(3n + 1)

(2n− 12n+ 3

− 1)

= limn→∞

−4(3n + 1)2n+ 3

= −6,

sledi limn→∞

(2n−12n+3

)3n+1= eL = e−6.


2n+ 1n√

n2+1.

Rešitev. Računajmo

limn→∞

2n+ 1n√n2 + 1

= limn→∞

2 + 1n2√1 + 1

n2

= 2.


1+√n

√

n+√

n2+√n.

Rešitev. Računajmo

limn→∞

1 +√n√

n+√n2 +

√n= lim

n→∞

1√n+ 1

√1 +

√1 +

√n

n2

=1√2.

4 Funkcije

4.1 Splošni pojem funkcije

Naj bosta X in Y množici. Funkcija ali preslikava f : X → Y je pravilo f , ki vsakemuelementu x množice X priredi natančno določen element f(x) množice Y . Označimo lahko tudix 7→ f(x).

Množico X imenujemo definicijsko območje ali domena, množico f(X) = {f(x); x ∈ X}pa zaloga vrednosti funkcije f . Definicijsko območje funkcije f označimo tudi z Df , zalogovrednosti pa z Zf .

Graf funkcije f : X → Y je množica

Γ(f) = {(x, f(x)) ∈ X × Y ; x ∈ X} ⊂ X × Y.

Funkcija f je tako določena, če je podano definicijsko območje Df in funkcijski predpis,ki vsakemu x ∈ Df priredi natančno določen element f(x). Funkcijski predpis podamo lahkos tabelo, besedilom, diagramom, ali pa, kot je v matematiki običajno, analitično. Analitičnolahko podamo funkcijo

• eksplicitno; tj. v obliki y = f(x)

• implicitno; tj. v obliki F (x, y) = 0

• parametrično; tj. v obliki x = g(t), y = h(t)

35

Če je funkcija podana eksplicitno, jo enostavno pretvorimo v implicitno ali parametrično obliko.Obratna pot ni vedno možna ali pa je računsko neizvedljiva.

Zgled 4.1. Funkcijo y = f(x) zapǐsemo implicitno kot F (x, y) = y− f(x), parametrično pa kotx = t, y = f(t).

Naj bo I ⊂ R interval in f : I → R funkcija. Funkcija f je navzgor omejena, če obstajaM ∈ R, da je f(x) ≤M za vsak x ∈ I. Število M imenujemo zgornja meja funkcije f .

y

xI

M bc

Funkcija f je navzdol omejena, če obstaja m ∈ R, da je f(x) ≥ m za vsak x ∈ I. Številom imenujemo spodnja meja funkcije f .

y

xI

m bc

Funkcija f je omejena, če je navzgor in navzdol omejena. Torej obstajata m,M ∈ R, da jem ≤ f(x) ≤M za vsak x ∈ I.

y

xI

M

m

bc

bc

Natančna zgornja meja funkcije f je njena najmanǰsa zgornja meja: torej število M ∈ R,da je f(x) ≤M za vsak x ∈ I in da za vsak ε > 0 obstaja x0 ∈ I, da je f(x0) > M − ε. Pogostooznačimo M = sup(f).

36

y

xI

M − εM

x0

bc

bc

bc

bc

Natančna spodnja meja funkcije f je njena največja spodnja meja: torej število m ∈ R,da je f(x) ≥ m za vsak x ∈ I in da za vsak ε > 0 obstaja x0 ∈ I, da je f(x0) < m+ ε. Pogostooznačimo m = inf(f).

y

xI

m

m+ ε

x0

bc

bc

bc

bc

Ničla funkcije f je tako število a, da je f(a) = 0.

y

xabcbc

Zgled 4.2. Obravnavaj omejenost funkcije f : [1,∞) → R, podane s predpisom f(x) = 1x .

x

y

f(x) = 1x

bc

O

bc1

bc

1

bc

Funkcija f je omejena in velja sup(f) = 1, inf(f) = 0. Ker velja f(1) = sup(f), je sup(f) =max(f). Ker pa je f(x) > 0 za vsak x > 0, ne obstaja točka x0, v kateri je f(x0) = inf(f) inzato ne obstaja minimum funkcije f .

Točka x0 je pol funkcije f , če je v vsaki njeni okolici funkcija f neomejena; tj. če za vsak Mobstaja ε > 0, da je |f(x)| > M za vsak 0 < |x− x0| < ε.

37

x0 − ε x0 + εx0 x

y

M

f

Obcbc

bc

bc bc

• Funkcija f : R \ {−1} → R, f(x) = 1x+1 , ima pol v točki x0 = −1.

• Funkcija f : R → R,

f(x) =

{1

x+1 , če je x 6= −1,0, če je x = −1

ima pol v točki x0 = −1 ∈ Df .

Definicijsko območje funkcije f je simetrično, če je x ∈ Df natanko tedaj, ko je −x ∈ Df .Funkcija f je soda, če ima simetrično definicijsko območje in velja f(−x) = f(x) za vsak x ∈ Df .

x

y

bcO

bcf(x)

bc

xbc

−x

bc bc

Graf sode funkcije je simetričen na ordinatno os.Funkcija f je liha, če ima simetrično definicijsko območje in velja f(−x) = −f(x) za vsak

x ∈ Df .

x

y

bcO

bcf(x)

bc −f(x)

bc

xbc

−x

bc

bc

38

Graf lihe funkcije je simetričen na koordinatno izhodǐsče.Enostavno je videti, da je

• Vsota, razlika, produkt in kvocient dveh sodih funkcij je soda funkcija.

• Vsota in razlika dveh lihih funkcij je liha funkcija, produkt in kvocient dveh lihih pa jesoda funkcija.

• Produkt in kvocient sode in lihe funkcije je liha funkcija.

Zgled 4.3. Funkcija xf7→ ex+e−x2 je soda, x

h7→ ex−e−x2 liha, xg7→ ex2 pa ni ne soda ne liha.

x

y

f

h

gbc

O

bc

1

bc −1

bc

1bc

−1

Funkcija f : I → R je naraščajoča na intervalu I, če je f(x1) ≤ f(x2) za vsaka x1, x2 ∈ I,x1 < x2. Funkcija f : I → R je strogo naraščajoča na intervalu I, če je f(x1) < f(x2) zavsaka x1, x2 ∈ I, x1 < x2.

y

xIx1 x2

f(x1)

f(x2) bc

bc bc

bc bc

bc

Funkcija f : I → R je padajoča na intervalu I, če je f(x1) ≥ f(x2) za vsaka x1, x2 ∈ I,x1 < x2. Funkcija f : I → R je strogo padajoča na intervalu I, če je f(x1) > f(x2) za vsakax1, x2 ∈ I, x1 < x2.

y

xIx1 x2

f(x1)

f(x2) bc

bc bc

bc bc

bc

39

Zgled 4.4. Funkcija f : R → R, podana s predpisom f(x) = 2xx2+1

, je na intervalu [−1, 1] strogonaraščajoča, na intervalih (−∞,−1], in [1,∞) pa strogo padajoča.

x

y

bc

O

bc

bc

bc

1bc

−1

Inverzna funkcijaNaj bo f : X → Y funkcija. Če obstaja taka funkcija g : Y → X, da je g ◦ f = idX in

f ◦g = idY , pravimo, da je g inverz funkcije f in označimo f−1 = g. Spomimo se, da inverznafunkcija k dani funkciji f obstaja natanko tedaj, ko je f bijektivna.

y

x

f(x) = (x− 2)3

f−1(x) = x13 + 2

O 1 21

2

bc bc bc

bc

bc

bc

Inverzno funkcijo grafično določimo tako, da narǐsemo graffunkcije f in ga prezrcalimo čez simetralo lihih kvadrantov.Analitično pa določimo inverzno funkcijo tako, da enačboy = f(x) “rešimo” na x; torej tako, da iz enačbe y = f(x)izrazimo x = g(y).

4.2 Limita funkcije

Naj bo x0 notranja točka intervala I in f : I \ {x0} → R dana funkcija. Število A je limitafunkcije f v točki x0, če za vsak ε > 0 obstaja δ > 0, da za vsak x ∈ I iz 0 < |x− x0| < δ sledi|f(x)−A| < ε. Oznaka: lim

x→x0f(x) = A.

y

xO x0x0 − δ x0 + δ

A

A+ ε

A− ε

f

bc

bc

bc

bc

Zgled 4.5. Dokaži, da je limx→1

(2x+ 1) = 3.

40

x

y

bcO

bc

bc

1

bc3

Rešitev. Označimo f(x) = 2x + 1 in izberimo ε. Poiskati moramotak δ, da je

|f(x)− 3| < ε za 0 < |x− 1| < δ.Ker je f(x) − 2 = 2(x − 1), bo za |x − 1| < ε2 veljalo |2(x − 1)| < ε.Torej za δ = ε2 velja: če je 0 < |x− 1| < δ, je |f(x)− 3| < ε.

Zgled 4.6. Določi limx→1

f(x) za funkcijo f , podano s predpisom f(x) =

{x2−1x−1 če je x 6= 1,1 če je x = 1.

x

y

bcO

bc2

bc1

bc

1

b

Rešitev. Velja: limx→1

f(x) = 2 in f(1) = 1.

Limita funkcije f v točki x0 ni odvisna od funkcijske vrednosti vtej točki. V definiciji limite imamo namreč pogoj 0 < |x−x0| <δ, kar pomeni, da se x točki x0 sicer poljubno približuje, vendarte točke ne doseže. Še več, zaradi pogoja |x − x0| > 0 tudi nipotrebno, da je funkcija f v točki x0 sploh definirana.

Izrek 4.7 (Izrek o sendviču). Če je limx→x0

f(x) = limx→x0

h(x) = A in je f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) za vsex blizu x0 (razen za x = x0), obstaja tudi limita lim

x→x0g(x) in je enaka A.

x

y

h

g

f

bcO

bcbcA

bc

x0

Dokaz. Naj obstaja δ0 > 0, da je f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) za vse 0 < |x − x0| < δ0. Izberimoε > 0. Potem obstaja δ1, da je |f(x) − A| < ε za vse 0 < |x − x0| < δ1. Obstaja tudi δ2,da je |h(x) − A| < ε za vse 0 < |x − x0| < δ2. Označimo δ = min{δ0, δ1, δ2}. Torej za vse0 < |x− x0| < δ velja

−ε < f(x)−A ≤ g(x) −A ≤ h(x)−A < ε,

kar nam da |g(x)−A| < ε. Torej je res limx→x0

g(x) = A.

41

Zgled 4.8. Dokaži, da je limx→0

sinxx = 1.

Ox

C A

D

B

1

x

y

bc

bc

bc bc

bc

bc

Rešitev. S skice razberemo, da za 0 < x < π2 velja ocena

|CD| = sinx < x < tan x = |AB|.

Torej je 1 < xsinx <1

cos x , kar lahko zapǐsemo tudi v obliki

cos x <sinx

x< 1.

Ker je limx→0

cos x = 1, po preǰsnjem izreku sledi limx→0

sinxx = 1.

Leva in desna limitaŠtevilo A je leva limita funkcije f v točki x0, če za vsak ε > 0 obstaja δ > 0, da za vsak

x ∈ I iz 0 < x0 − x < δ sledi |f(x) − A| < ε. Oznaka: limx↑x0

f(x) = A. (Z oznako x ↑ x0poudarimo, da x narašča k x0.)

A

A+ ε

A− ε

x0x0 − δ x

y

Obcbc

bcbc

bc

Število A je desna limita funkcije f v točki x0, če za vsak ε > 0 obstaja δ > 0, da za vsakx ∈ I iz 0 < x − x0 < δ sledi |f(x) − A| < ε. Oznaka: lim

x↓x0f(x) = A. (Z oznako x ↓ x0

poudarimo, da x pada k x0.)

A

x0 x

y

O x0 + δ

A+ ε

A− ε

bc

bc bc

bc bc

Neposredno iz definicije limite vidimo, da obstaja limx→x0

f(x) natanko tedaj, ko obstajata

limiti limx↑x0

f(x) in limx↓x0

f(x) in sta enaki.

Zgled 4.9. Izračunaj limx↓0

arc tan 1x in limx↑0arc tan 1x . Ali obstaja limx→0

arc tan 1x?

42

x

y

bcO

bc

π2

bc

−π2

Zgled 4.10. Ali obstaja limx→0

1

1+e1x?

Rešitev. Funkcija x 7→ 1x ima pri x = 0 pol: limx↓01x = +∞ in limx↑0

1x = −∞. Torej je limx↓0

1

1+e1x= 0

in limx↑0

1x = 1 ter limx→0

1

1+e1xne obstaja.

x

y

bc

O

bc 1

bc

12

Limita v neskončnostiŠtevilo A je limita funkcije f v neskončnosti, z oznako lim

x→∞f(x) = A, če za vsak ε > 0

obstaja b, da za vsak x > b velja |f(x)−A| < ε.

b x

y

AA+ ε

A− εf

Obc

bc

bc

bc

bc

Podobno označimo limx→−∞

f(x) = A, če za vsak ε > 0 obstaja b, da za vsak x < b velja

|f(x)−A| < ε.

b x

y

AA+ ε

A− εf

Obc

bc

bc

bc

bc

43

Neskončna limitaČe za vsak b obstaja δ > 0, da je f(x) > b za 0 < |x − a| < δ, pravimo, da gre vrednost

funkcije f preko vsake meje, ko gre x proti a, in označimo limx→a

f(x) = ∞.

a− δ a+ δa x

y

b

f

Obcbc

bc

bc bc

Podobno označimo limx→a

f(x) = −∞, če za vsak b obstaja δ > 0, da je f(x) < b za 0 <|x− a| < δ.

a− δ a+ δax

y

b

f

Obcbc

bc

bc bc

Zgled 4.11. Naj bosta p(x) = amxm+ . . .+a0 in q(x) = bnx

n+ . . .+ b0 polinoma, am 6= 0 6= bn.Izračunaj lim

x→∞p(x)q(x) .

Rešitev. Števec in imenovalec ulomka p(x)q(x) delimo z xn in dobimo

p(x)

q(x)=amx

m−n + am−1xm−n−1 + . . .+ a0x−n

bn + bn−1x−1 + . . .+ b0x−n.

Ker je limx→∞

(bn + bn−1x−1 + . . . + b0x−n) = bn 6= 0, od tod sledi

limx→∞

p(x)

q(x)=

0 če je m < n,ambn

če je m = n,

∞ · sign(ambn ) če je m > n.

44

Zgled 4.12. Izračunaj limx→∞

(√x2 + x−

√x2 − x) in lim

x→−∞(√x2 + x−

√x2 − x).

Rešitev. Pri izračunih limit v neskončnosti si pogosto pomagamo z enakimi prijemi kot priračunanju limit zaporedij. Torej

√x2 + x−

√x2 − x = (x

2 + x)− (x2 − x)√x2 + x+

√x2 − x

=2x√

x2 + x+√x2 − x

.

Pri limiti x→ ∞ lahko predpostavimo, da je x > 0 in zato

limx→∞

2x√x2 + x+

√x2 − x

= limx→∞

2√1 + 1x +

√1− 1x

= 1.

Pri limiti x→ −∞ lahko predpostavimo, da je x < 0 in zato

limx→−∞

2x√x2 + x+

√x2 − x

= limx→−∞

2

−√1 + 1x −

√1− 1x

= −1,

kjer smo upoštevali, da je√x2 = |x| = −x za x < 0.

4.3 Zveznost

Naj bo x0 poljubna točka intervala I in f : I → R dana funkcija. Funkcija f je zvezna v točkix0, če za vsak ε > 0 obstaja δ > 0, da za vsak x ∈ I iz |x− x0| < δ sledi |f(x)− f(x0)| < ε.

y

xO x0x0 − δ x0 + δ

f(x0)

f(x0) + ε

f(x0)− ε

f

bc

bc

bc

bc

Pravimo, da je funkcija f zvezna na intervalu I, če je zvezna v vsaki njegovi točki.Funkcija je zvezna z leve v točki x0, če za vsak ε > 0 obstaja δ > 0, da za vsak x ∈ I iz

0 ≤ x0 − x < δ sledi |f(x)− f(x0)| < ε.

f(x0)

f(x0) + ε

f(x0)− ε

x0x0 − δ x

y

Obcbc

bcbc

bc

Funkcija je zvezna z desne v točki x0, če za vsak ε > 0 obstaja δ > 0, da za vsak x ∈ Iiz 0 ≤ x− x0 < δ sledi |f(x)− f(x0)| < ε.

45

f(x0)

x0 x

y

O x0 + δ

f(x0) + ε

f(x0)− ε

bc

bc bc

bc bc

Funkcija celi delZa realno število x z [x] označimo največje celo število, ki ne presega x. Torej je [π] = 3 in

[−π] = −4.

x

y

bc

O

bc

bc

bc

bc

bc

bc

bc

bc1

bc −1

bc2

bc −2

bc

3bc

2bc

1bc

−1bc

−2

Funkcija x 7→ [x] je v vseh celoštevilskih točkah zvezna z desne.Množica točk, v katerih je funkcija f : R → R nezvezna, je lahko končna (ali celo prazna) ali

neskočna (ali celo vsa realna števila).

Zgled 4.13. Dirichletova funkcija f(x) =

{1, če je x ∈ Q,0, če je x /∈ Q,

je nezvezna v vsaki točki x ∈ R.

x

y

bc

O

bc

1

bc

x0

Izrek 4.14. Funkcija f : I → R je v točki x0 ∈ I zvezna natanko tedaj, ko je limx→x0

f(x) = f(x0).

Pogosto je funkcija f v okolici točke x0 podana z več predpisi. Ker je limx→x0

f(x) = A natanko

tedaj, ko obstajata limiti limx↑x0

f(x) in limx↓x0

f(x) in sta enaki A, lahko zveznost v točki x0 dokažemo

tudi s pomočjo leve in desne limite:

Izrek 4.15. Funkcija f : I → R je v točki x0 ∈ I zvezna natanko tedaj, ko je

limx↑x0

f(x) = limx↓x0

f(x) = f(x0).

46

Zgled 4.16. Določi vrednosti konstant a in b tako, da bo funkcija f : R → R,

f(x) =

ax+ b, če je x > 2,

5, če je x = 2,

bx− a, če je x < 2,

zvezna v točki x = 2.

Rešitev. Da bi bila funkcija zvezna v točki 2, mora veljati limx↑2

f(x) = limx↓2

f(x) = f(2). Ker je

limx↑2

f(x) = 2b− a, limx↓2

f(x) = 2a+ b in f(2) = 5, mora veljati

2b− a = 52a+ b = 5

Če enačbi odštejemo, dobimo b− 3a = 0, oz. b = 3a in od tod 2a+3a = 5. Sledi a = 1 in b = 3.

Izrek 4.17. Naj bosta f, g : I → R funkciji in naj obstajata limiti limx→x0

f(x) in limx→x0

g(x). Potem

obstajata tudi limiti limx→x0

(f(x) + g(x)) in limx→x0

(f(x) · g(x)) in velja

limx→x0

(f(x) + g(x)) = limx→x0

f(x) + limx→x0

g(x)

limx→x0

(f(x) · g(x)) = limx→x0

f(x) · limx→x0

g(x)

Če je g(x) 6= 0 za vse x blizu x0 in limx→x0

g(x) 6= 0, obstaja tudi limita limx→x0

f(x)g(x) in velja[-2ex]

limx→x0

f(x)

g(x)=

limx→x0

f(x)

limx→x0

g(x).

Dokaz. Označimo limx→x0

f(x) = A in limx→x0

g(x) = B. Izberimo ε > 0. Potem obstajata δ1 in δ2,

da je |f(x) − A| < ε2 za 0 < |x − x0| < δ1 in |g(x) − B| < ε2 za 0 < |x − x0| < δ2. Označimoδ = min{δ1, δ2}. Torej za 0 < |x− x0| < δ velja

|(f(x) + g(x)) − (A+B)| ≤ |f(x)−A|+ |g(x)−B| < ε2+ε

2= ε.

Za dokaz druge trditve zapǐsimo

f(x)g(x)−AB = (f(x)−A)g(x) +A(g(x) −B). (2)

Izberimo ε > 0. Potem obstajata δ1 in δ2, da je |f(x) − A| < ε2(|B|+1) za 0 < |x − x0| < δ1 in|g(x)−B| < ε2(|A|+1) za 0 < |x−x0| < δ2. Ker je limx→x0 g(x) = B, obstaja δ3, da je |g(x)| ≤ |B|+1za 0 < |x− x0| < δ3. Označimo δ = min{δ1, δ2, δ3}.

Torej lahko za 0 < |x− x0| < δ v (2) ocenimo

|f(x)g(x)−AB| = |(f(x)−A)g(x) +A(g(x) −B)| ≤≤ |(f(x)−A)g(x)| + |A(g(x) −B)|= |(f(x)−A)| · |g(x)| + |A| · |(g(x) −B)| ≤≤ |(f(x)−A)| · |g(x)| + (|A|+ 1) · |(g(x) −B)| << ε2(|B|+1)(|B|+ 1) + (|A| + 1) ε2(|A|+1) = ε.

47

Za dokaz tretje trditve pa zapǐsimo

f(x)g(x) − AB =

f(x)B−g(x)Ag(x)B =

(f(x)−A)B+A(B−g(x))Bg(x) . (3)

Izberimo ε > 0. Potem obstajata δ1 in δ2, da je |f(x) − A| < ε4 |B| za 0 < |x − x0| < δ1 in|g(x)−B| < ε4 B

2

|A|+1 za 0 < |x−x0| < δ2. Ker je limx→x0 g(x) = B 6= 0, obstaja δ3, da je |g(x)| ≥|B|2

za 0 < |x−x0| < δ3. Označimo δ = min{δ1, δ2, δ3}. Torej lahko za 0 < |x−x0| < δ v (3) ocenimo∣∣∣f(x)g(x) − AB

∣∣∣ =∣∣∣f(x)B−g(x)ABg(x)

∣∣∣ ≤

≤ |f(x)−A|·|B|+|A|·|B−g(x)||B|·|g(x)| ≤

≤ε4|B|·|B|+|A|· ε

4B2

|A|+1

|B|· |B|2

=

= ε2 +ε2

|A||A|+1 <

ε2 +

ε2 = ε.

Posledica 4.18. Če sta funkciji f in g zvezni v točki x0, sta v tej točki zvezni tudi funkcijix 7→ (f(x) + g(x)) in x 7→ (f(x) · g(x)). Če je g(x0) 6= 0, je v točki x0 zvezna tudi funkcijax 7→ f(x)g(x) .

Kompozitum zveznih funkcij

Izrek 4.19. Če obstaja limita limx→x0

f(x) (označimo jo z A) in je funkcija g zvezna v točki A,

obstaja tudi limita limx→x0

g(f(x)) in velja limx→x0

g(f(x)) = g(A).

Dokaz. Naj bo ε > 0. Ker je g zvezna v točki A, obstaja δ1 > 0, da je |g(y) − g(A)| < ε za|y − A| < δ1. Ker je lim

x→x0f(x) = A, obstaja δ > 0, da je |f(x) − A| < δ1 za 0 < |x − x0| < δ.

Za f(x) = y od tod sledi |g(f(x)) − g(A)| = |g(y) − g(A)| < ε. Torej za 0 < |x− x0| < δ velja|g(f(x)) − g(A)| < ε in lim

x→x0g(f(x)) = g(A).

Posledica 4.20. Če je funkcija f zvezna v točki x0 in funkcija g zvezna v točki f(x0), je tudifunkcija g ◦ f zvezna v točki x0.

Zgled 4.21. Izračunaj limito limx→x0

x2−5x+6x2−6x+8 za x0 = 2 in x0 = 3.

Rešitev. Ker je x2−5x+6

x2−6x+8 =(x−2)(x−3)(x−2)(x−4) , lahko za x 6= 2 ulomek okraǰsmo v x−3x−4 . Ker je funkcija

x 7→ x−3x−4 v točki x = 2 zvezna, tako velja

limx→2

x2 − 5x+ 6x2 − 6x+ 8 = limx→2

x− 3x− 4 =

x− 3x− 4

∣∣∣∣x=2

=2− 32− 4 =

1

2.

Izračun limite limx→3

x2−5x+6x2−6x+8 pa ni problematičen, saj je funkcija x 7→ x

2−5x+6x2−6x+8 v točki x = 3

zvezna in zato velja

limx→3

x2 − 5x+ 6x2 − 6x+ 8 =

x2 − 5x+ 6x2 − 6x+ 8

∣∣∣∣x=3

=0

−1 = 0.

48

Zgled 4.22. Izračunaj limx→−1

√x2+3−2x+1 .

Rešitev. Računajmo√x2 + 3− 2x+ 1

=(√x2 + 3− 2)(

√x2 + 3 + 2)

(x+ 1)(√x2 + 3 + 2)

=

=(√x2 + 3)2 − 22

(x+ 1)(√x2 + 3 + 2)

=(x2 + 3)− 4

(x+ 1)(√x2 + 3 + 2)

=

=(x− 1)(x+ 1)

(x+ 1)(√x2 + 3 + 2)

=x− 1√

x2 + 3 + 2.

Torej je

limx→−1

√x2 + 3− 2x+ 1

= limx→−1

x− 1√x2 + 3 + 2

=−2√4 + 2

matematika - dmfazeljko.dmfa.si/lectures/2011/les-matematika.pdf · matematika bf – lesarstvo...

Documents