matematika összefoglaló - jungkaroly.fw.hu · matematika konzultáció az i. évfolyamnak 3...
TRANSCRIPT
Matematika konzultáció az I.
évfolyamnak
1
Matematika összefoglaló
A középiskolai tananyag vázlatos áttekintése,
gyakorló feladatok
Összeállította:
Deák Ottó mestertanárÁltalános- és Felsőgeodézia Tanszék
Matematika konzultáció az I.
évfolyamnak
2
A bemutató vázlata
• Bemutatkozás, a konzultáció célja
• Tapasztalatok a matematika középiskolai
oktatásáról
• A középiskolai tananyag vázlatos és gyors
áttekintés
• A Matematika Tanszék mintadolgozatának
megoldása
• További mintapéldák megoldása
• Tanácsok a matematika tanulásához
Matematika konzultáció az I.
évfolyamnak
3
Bemutatkozás
• Deák Ottó mestertanár, BME Építőmérnöki Kar,
Általános- és Felsőgeodézia Tanszék
• ELTE TTK Matematikus diploma
• 33 év egyetemi oktatói tapasztalat
• Kb. 40 év matematika korrepetálás
középiskolásoknak
• Az I. évf. 7. tankör osztályfőnöke a 2010/2011.
tanévben
• Segítőim az évfolyam mentorai (diák patrónusai)
• Letöltés: http://www.agt.bme.hu/staff_h/deak
Matematika konzultáció az I.
évfolyamnak
4
Tapasztalatok I.
• A BME-n a matematika kiemelt fontosságú
alaptárgy
– A felvételin döntő jelentősége van
– Minden műszaki szaktárgy rá épül
– Alapkészségeket és gondolkodásmódot tanít
– Az egyik első szűrő a mérnökké válás folyamatában
• Szerepe és súlya a középiskolában
– Megnövekedett tananyag
– Csökkenő követelmények
– Az érettségi szerepe a tudás kontrolljában
Matematika konzultáció az I.
évfolyamnak
5
Tapasztalatok II.
• Az elmúlt évek tapasztalata az egyetemi
oktatásban:
– egyre alacsonyabb szintű matematika-ismeretekkel
érkeznek a hallgatók az I. évre;
– a lexikális ismeretek nagy része hiányzik („benne van
a függvény-táblában”!);
– gyenge számolási készség (számológépek
használata);
– a feladat-megoldási rutin hiánya (időhiány, más
elfoglaltság miatt);
– a felvételinél nem követelmény az emelt szintű
matematika érettségi.
Matematika konzultáció az I.
évfolyamnak
6
Következmények
• Az előbb felsorolt tényezők hatása az egyetemi
oktatásra:
– az alapozó tárgyakban magas bukási arány;
– az egyetemen gyakran középiskolai anyagot is
tanítani kell;
– a nem kimondottan matek-alapú tárgyakban is nagy
lemorzsolódás (pl. geodézia).
• Védekezési mechanizmusok az egyetem
részéről:
– matematika-felmérő íratása;
– felzárkóztató matematika-oktatás (középiskolás
anyag megtanítása).
Matematika konzultáció az I.
évfolyamnak
7
Matematika összefoglaló
• Tematikus összeállítás
• A középiskolai tananyag fontos fejezetei
• Alapfogalmak, definíciók, főbb képletek, fontos
tételek
• Nem pótolja a tankönyveket!
• Szerepe:
– gondolatébresztés,
– hiány-feltárás,
– figyelmeztetés
Matematika konzultáció az I.
évfolyamnak
8
Matematikai jelölések az anyagban
• Szimbolikus jelölések az anyagban:
– : a megadott értékek közelítően egyenlőek
– : minden olyan elem, amely…
– : létezik olyan elem, amely…
– : az előzőekből következik
– : eleme a magadott halmaznak
– : nem eleme a halmaznak
– : a megadott halmaz részhalmaza (valódi)
– : halmazok egyesítése (uniója)
– : halmazok közös része (metszete)
– : a megadott elemek összege
Matematika konzultáció az I.
évfolyamnak
9
Algebrai kifejezések I.
• Algebrai kifejezés fogalma, elemei
– Számok
– Változók
– Paraméterek
– Műveleti jelek
– Zárójelek
• Számok a kifejezésekben, számítási élesség
– Természetes számok
– Egész számok
– Racionális számok
– Valós számok (irracionális szám fogalmával)
Matematika konzultáció az I.
évfolyamnak
10
Algebrai kifejezések II.
• Műveletek algebrai kifejezésekkel
– Zárójelek szerepe, felbontása
– Racionális kifejezések, műveletek törtekkel
– Kiemelés, összevonás, egynemű kifejezés fogalma
– Fontosabb algebrai azonosságok
páratlannNnbbabaababa
párosnNnbbabaababa
Nnbbabaababa
bababa
bbabaaba
bbaaba
nnnnnn
nnnnnn
nnnnnn
,,
,,
,
33
2
1221
1221
1221
22
32233
222
Matematika konzultáció az I.
évfolyamnak
11
Hatványozás
• Ismételt szorzás, egyszerűbb jelölés
• Azonosságok a definíció alapján, kiterjesztése
mn
m
n
mnnmmn
mnmn
n
aa
a
aaa
aaa
aaaa
q pq
p
nn
nn
n
n
aa
aa
aaa
a
aa
1
1
00
0
n
nn
nnn
b
a
b
a
baba
Matematika konzultáció az I.
évfolyamnak
12
Gyökvonás
• Négyzetgyök, n-dik gyök fogalma
• Műveletek gyökös kifejezésekkel
nn yaya
xaxa 2
mnn m
nn
aa
aa
b
a
b
a
baba
Matematika konzultáció az I.
évfolyamnak
13
Törtek gyöktelenítése
• Azonos átalakítások, a tört értéke nem változik
cb
ccbba
ccbb
ccbb
cb
a
cb
a
cb
cba
cb
cb
cb
a
cb
a
b
ba
b
b
b
a
b
a
n nnn n nn
n nnn n nn
n nnn n nn
nnnn
121
121
121
Matematika konzultáció az I.
évfolyamnak
14
Oszthatóság I.
• Az egész számok körében értelmezzük:
– Osztandó, osztó, hányados, maradék fogalma
– Maradék nélküli és maradékos osztás
– Összetett és prím szám
• Az algebra alaptétele
Minden egész szám (sorrendtől eltekintve)
egyértelműen bontható fel prímszámok szorzatára
• Prímfelbontás előállítása
• Legnagyobb közös osztó, legkisebb közös
többszörös
prímszámp,pppn i
k
r
kk r21
21
Matematika konzultáció az I.
évfolyamnak
15
Oszthatóság II.
• Oszthatósági szabályok
– 2: páros számok
– 3: számjegyek összege osztható 3-mal
– 4: utolsó két jegy osztható 4-gyel
– 5: utolsó számjegy 0 vagy 5
– 6: páros és osztható 3-mal
– 7: 3-as csoportok váltakozó előjelű összege osztható 7-tel
– 8: utolsó három jegye osztható 8-cal
– 9: számjegyek összege osztható 9-cel
– 10: utolsó jegye 0
– 11: páros helyiérték összege – páratlan helyiérték összege
osztható 11-gyel
Matematika konzultáció az I.
évfolyamnak
16
Függvények I.
• Kapcsolat 2 halmaz elemei között
• Általában számhalmazok közötti művelet
– Alaphalmaz, képhalmaz
– Értelmezési tartomány
• Df A, azon A-beli pontok halmaza, ahol az f értelmezhető
– Értékkészlet
• Rf B, azon B-beli pontok halmaza, amelyeket az f az Rf-beli
pontokban felvesz értékként
• Függvény inverze (megfordítása)
By,Axahol),x(fy;BA:f
AB:fBA:f 1
Matematika konzultáció az I.
évfolyamnak
17
Függvények II.
• Függvények tulajdonságai
– Monotonitás
• Szigorúan monoton növő, monoton növő
• Szigorúan monoton fogyó, monoton fogyó
– Korlátosság
• Felülről korlátos
• Alulról korlátos
• Korlátos
)x(f)x(filletve),x(f)x(fxx,Dx,x f 21212121
)x(f)x(filletve),x(f)x(fxx,Dx,x f 21212121
11 K)x(fDx,K f
22 K)x(fDx,K f
2121 K)x(fKDx,KK f,
Matematika konzultáció az I.
évfolyamnak
18
Függvények III.
• Függvények tulajdonságai
– Paritás
• Páros
• Páratlan
– Határérték
– Folytonosság
• Az függvény folytonos az pontban, ha
,
– Periodikusság
xfxfDx,:f f
xfxfDx,:f f
A)x(fxx,Dx,,AA)x(flim fxx
0000
:f fDx0
00
xf)x(flimxx
Matematika konzultáció az I.
évfolyamnak
19
Függvények IV.
• Függvények megjelenítése, grafikonja
• Függvények megadása– táblázattal
– kifejezéssel
– egyenlettel
– grafikonnal
))x(f,x(P)x(fyDx,:f f
Matematika konzultáció az I.
évfolyamnak
20
Függvények V.
• Függvények transzformációja
– f(λ·x) - széthúzás λ-szorosra az X tengely
irányába
– f(x+a) - eltolás balra a-val az X tengely irányába
– c·f(x) - széthúzás c-szeresre az Y tengely
irányába
– f(x) + t - eltolás t-vel az Y tengely irányába
Matematika konzultáció az I.
évfolyamnak
21
Elemi függvények
• Tulajdonságok ismerete: a korábbi fogalmak
értelmezése az adott függvényre
• Fontosabb függvények:
– Konstans függvény;
– Lineáris függvény;
– Abszolutérték függvény;
– Másodfokú (parabola) függvény;
– Egészrész, törtrész függvény;
– Lineáris törtfüggvény;
– Logaritmikus, exponenciális függvények;
– Trigonometrikus függvények.
Matematika konzultáció az I.
évfolyamnak
22
Elsőfokú (lineáris) egyenletek
• Olyan algebrai kifejezések, amelyeket = jel
kapcsol össze, és benne betűvel jelzett
mennyiségek is szerepelnek.
• Ezek lehetnek paraméterek és ismeretlenek is.
• Az egyenlet megoldása az ismeretlen(ek) azon
értékének meghatározása, amelyeket az
egyenletbe helyettesítve, az egyenlőség két
oldala azonosságot fejez ki.
• A megoldást a mérleg-elv segítségével kapjuk
meg (mi az?).
Matematika konzultáció az I.
évfolyamnak
23
Lineáris egyenlőtlenségek
• Megoldásuk: mint az egyenleteknél
• Eltérés: ha negatív számmal osztunk vagy
szorzunk, az egyenlőtlenség iránya megváltozik
• A megoldás általában egy halmaz (intervallum)
Matematika konzultáció az I.
évfolyamnak
24
Többismeretlenes egyenletek
• Megoldási módszerek:
– kiküszöböléssel
– helyettesítéssel
• Lehetnek ellentmondásosak (nincs megoldásuk)
vagy összefüggőek (végtelen sok megoldásuk
van).
Matematika konzultáció az I.
évfolyamnak
25
Másodfokú egyenletek
• Általános alakjuk:
• Megoldásukhoz a mérleg-elv nem elegendő
• Megoldóképlet:
• Összefüggések (Viéte-formulák, gyöktényező):
02 cxbxa
a
cabbx
2
42
2,1
a
bxx 21
a
cxx 21 021 xxxx
Matematika konzultáció az I.
évfolyamnak
26
Exponenciális egyenletek
• Az ismeretlen a kitevőben található
• Azonosságok használatával:
– átalakítás alakra, amiből az fv
szigorúan monoton tulajdonsága miatt
következik, ami megoldható;
– új ismeretlen bevezetésével visszavezetés
másodfokú egyenletre, aminek megoldása után
kapjuk meg az eredeti egyenlet gyökeit.
21 kifejezéskifejezés aa
21 kifejezéskifejezés
xa
xa xa
Matematika konzultáció az I.
évfolyamnak
27
Logaritmikus egyenletek
• Az ismeretlen a logaritmus alatt található
• Azonosságok használatával:
– átalakítás alakra, amiből
a fv szigorúan monoton tulajdonsága miatt
következik, ami megoldható;
– új ismeretlen bevezetésével visszavezetés első- vagy
másodfokú egyenletre, aminek megoldása után
kapjuk meg az eredeti egyenlet gyökeit.
21 kifejezéskifejezésxa xa
2log1log kifejezéskifejezés aa
xalog
Matematika konzultáció az I.
évfolyamnak
28
Szögfüggvények I.
• Derékszögű háromszögekben értelmezzük
• Néhány elemi összefüggés:
c
b
c
a
cos
sin
a
bctg
b
atg
cos
sin
cossin
tg
ctgtg
1cossin 22
Matematika konzultáció az I.
évfolyamnak
29
Szögfüggvények II.
• Addíciós azonosságok:
• Kétszeres szögek:
• Egyszerű átalakítások:
tgtg
tgtgtg
1
sinsincoscoscos
sincoscossinsin
2
22
1
22
sincos2cos
cossin22sin
tg
tgtg
2
2cos1cos
2
2cos1sin
Matematika konzultáció az I.
évfolyamnak
30
Szögfüggvények III.
• További összefüggések:
2sin
2sin2coscos
2cos
2cos2coscos
2cos
2sin2sinsin
2cos
2sin2sinsin
s
Matematika konzultáció az I.
évfolyamnak
31
Trigonometrikus egyenletek
• Megoldásukhoz használni kell a trigonometrikus
azonosságokat!
• Az egyenletet átalakítjuk, hogy csak egy
szögfüggvény szerepeljen benne.
• A kapott egyenletet megoldjuk vagy
visszavezetjük új ismeretlen bevezetésével
másodfokú egyenletre.
• A megoldás értelmezése:
– periódikusság miatti additív konstansok alkalmazása;
– a megoldás általában párban jelenik meg (két
szögnegyedben is azonos a szögfüggvény értéke).
Matematika konzultáció az I.
évfolyamnak
32
Sorozatok I.
• Számok rendezett (sorszámozott) halmaza, más szóval egy leképezés a természetes számok halmazáról a valós számok halmazára:
• Jellemző mennyiségei:– : a sorozat első tagja
– : a sorozat n-dik tagja
– : az első n tag összege
• Definiálása– explicit képlettel
– implicit (rekurzióval)
n,...,,i,a,N:a i 21
1a
na
nS
Matematika konzultáció az I.
évfolyamnak
33
Sorozatok II.
• Fontosabb számsorozatok:
– Számtani
• a szomszédos tagok különbsége állandó
– Mértani
• a szomszédos tagok hányadosa állandó
– Fibonacci
• minden tag az előző kettő összege
ndna
naa
S;dnaa nnn
2
12
21 11
1
1
11
1
1q
qaS;qaa
n
n
n
n
,...),n(aaa;a;a nnn 4311 1221
Matematika konzultáció az I.
évfolyamnak
34
Vektorok
• Irányított szakasz a síkban vagy a térben
• Jellemzői:– állása (melyik egyenessel párhuzamos);
– iránya (merre mutat);
– hossza (távolság a kezdő- és a végpont között).
• Nem jellemző:– kezdő- vagy támadási pontjának helye
• Műveletek vektorokkal– Számmal való szorzás
– Összeadás, kivonás
– Skaláris szorzás (két vektor szorzata egy szám)
– Vektoriális szorzás (két vektor szorzata egy újabb vektor)
• Ábrázolása koordinátarendszerben– helyvektor (kezdőpontja az origóI
Matematika konzultáció az I.
évfolyamnak
35
Geometria I.
• Fontosabb geometriai témák és fogalmak:
– Síkidomok osztályozása
– Háromszögek tulajdonságai, fontosabb tételei:
• Thalesz tétel, Pithagorasz tétel
• Számítási módszerek: sinus- és cosinus tétel
• Szögfelező tétel
• Derékszögű háromszögben befogó- és magasság tétel
• Súlypont, magasságpont, oldalfelező, szögfelező tulajdon-
ságai
cosbabac:tételinuscos
sin
c
sin
b
sin
a:tételussin
2
2
222
Matematika konzultáció az I.
évfolyamnak
36
Geometria II.
• A kör és fontosabb tulajdonságai:
– A kör részei: középpont, sugár, átmérő, körív,
körszelet, körcikk
– Középponti- és kerületi szögek tétele
– Külső pontból körhöz húzott érintőszakaszok tétele
– Húrnégyszög, érintőnégyszög tétele
– Háromszögbe, háromszög köré írt kör
Matematika konzultáció az I.
évfolyamnak
37
Geometria III.
• További fontosabb fogalmak és tételek:
– Párhuzamos szelők tételei és megfordításuk
– Síkidomok, háromszögek hasonlósága és
egybevágósága
– Síkidomok, háromszögek kerülete, területe
– Szabályos sokszögek tulajdonságai
– Síkbeli transzformációk
Matematika konzultáció az I.
évfolyamnak
38
Koordinátageometria I.
• A geometria számszerűsítése, geometriai
alakzatok egyenletekkel történő megadása
• Alkalmazásával a geometriai feladatok analitikus
megoldást nyernek (egyenletek használata,
megoldása)
• Egy geometriai objektum egyenlete egy olyan
azonosság, amelyet csak az objektum pontjai
elégítenek ki (a koordinátájukat az egyenletbe
helyettesítve azonosságot kapunk)
Matematika konzultáció az I.
évfolyamnak
39
Koordinátageometria II.
• Az egyenes egyenletei:– Irány vektoros egyenlet
• Adott:
• Egyenlet:
– Normál vektoros egyenlet
• Adott:
• Egyenlet:
– Két pontos átmenő egyenes egyenlete
• Adott:
• Egyenlet:
– Meredekségével adott egyenes egyenlete
• Adott:
• Egyenlet:
010212
00021
yvxvyvxv
y;xP,v;vv
00
000
yBxAyBxA
y;xP,B;An
112112
222111
yyxxxxyy
y;xP,y;xP
00
000
xxmyy
y;xP,m
Matematika konzultáció az I.
évfolyamnak
40
Koordinátageometria III.
• A kör egyenlete• Adott:
• Egyenlete:
• A kör egyenletének általános alakja
222rvyux
r,v;uC
022 DyCxByAxA
Matematika konzultáció az I.
évfolyamnak
41
Polinomok I.
• A polinom (vagy többtagú algebrai kifejezés)
egy olyan kifejezés, melyben csak számok és
változók egész kitevőjű hatványainak szorzatai
illetve ilyenek összegei szerepelnek.
• A polinomban a számokkal szorzott hatvány-
szorzatokat monomoknak (vagy egytagoknak)
nevezzük.
• A monomokban lévő számszorzókat a polinom
együtthatóinak hívjuk.
• A polinomokkal műveletek végezhetők
– összeadás, kivonás, szorzás, osztás
Matematika konzultáció az I.
évfolyamnak
42
Polinomok II.
• Polinomok (maradékos) osztása:
– Az osztandó legmagasabb hatványkitevőjű tagjának
és az osztó legmagasabb hatványkitevőjű tagjának a
hányadosát képezzük
– Ezzel a hányadossal megszorozzuk az osztót és az
eredményt levonjuk az osztandóból
– A kapott új polinommal megismételjük az előbbi
eljárást
– A fenti lépéseket addig ismételjük, amíg az osztandó
alacsonyabb fokszámú lesz, mint az osztó
– Ha a megmaradó osztandó nem nulla, akkor
maradékos osztásról beszélünk
Matematika konzultáció az I.
évfolyamnak
43
Polinomok III.
• Polinomok (maradékos) osztása:
– Az osztandó legmagasabb hatványkitevőjű tagjának
és az osztó legmagasabb hatványkitevőjű tagjának a
hányadosát képezzük
– Ezzel a hányadossal megszorozzuk az osztót és az
eredményt levonjuk az osztandóból
– A kapott új polinommal megismételjük az előbbi
eljárást
– A fenti lépéseket addig ismételjük, amíg az osztandó
alacsonyabb fokszámú lesz, mint az osztó
– Ha a megmaradó osztandó nem nulla, akkor
maradékos osztásról beszélünk
Matematika konzultáció az I.
évfolyamnak
44
Mintazárthelyi
• A feladatlapon csak egy helyes választ lehet
megadni
• A feladat szövegét figyelmesen olvassák el!
• Csak a biztos megoldásokat írják be, ne
tippeljenek!
• A részszámításokat minden esetben el kell
végezni, de külön lapon.
• A megoldás sorrendje nem feltétlenül a
számsorrend.
Matematika konzultáció az I.
évfolyamnak
45
Mintazárthelyi feladatlap
Matematika konzultáció az I.
évfolyamnak
46
1. feladat
Megoldás:
a
aa
a
aa
a
a
a
a
a
a
11
1
1
1
11
Helyes válasz: B
Matematika konzultáció az I.
évfolyamnak
47
2. feladat
Megoldás:
Helyes válasz: D
2040025
10000
10
1010
25
4254
lg
lg
Matematika konzultáció az I.
évfolyamnak
48
3. feladat
Megoldás:
Helyes válasz: C
Matematika konzultáció az I.
évfolyamnak
49
4. feladat
Megoldás:
Helyes válasz: D
c
bcbcb
a
aaaa.1
222 bbbbbb aaaaa.
cblogclogblogcblog. aaaa3
Matematika konzultáció az I.
évfolyamnak
50
5. feladat
Megoldás:
Helyes válasz: C
01101
1101
01
0
2
2
xxxha,x/x
x
xxxha,x/x
x
xx
:ezért,xha,tőértelmezhexlg
Matematika konzultáció az I.
évfolyamnak
51
6. feladat
Megoldás:
Helyes válasz: C
4
1
2
1
2
130
2
1150
2
1
7522
175752
2
17575
sinsin
sincossincossin
Matematika konzultáció az I.
évfolyamnak
52
7. feladat
Megoldás:
Helyes válasz: C
f(x)
g(x)h(x)
Matematika konzultáció az I.
évfolyamnak
53
8. feladat
Megoldás:
Helyes válasz: B
5
1
20
34
20
141441
20
3
20
12
4
12
20
1
5
1
2
5
2
1
4
12
213
142
12
2
4
141214
TTT
TTT
TT
TTTTTT
Matematika konzultáció az I.
évfolyamnak
54
9. feladat
Megoldás:
Helyes válasz: A
h
km
h
km
h
km
hh
km
t
sv
h
h
km
km
v
sth
h
km
km
v
st
75368
30092
300
230138
92
60
46
100
46
92
60
46
60
46
100
46
100
46
2
22
1
11
Matematika konzultáció az I.
évfolyamnak
55
10. feladat
Megoldás:
Helyes válasz: B
1941
1961
2
19611
2
141
141
2
2
2
2
2
2
2
2
xx
xx
xxxx
xx
xx
Matematika konzultáció az I.
évfolyamnak
56
11. feladat
Megoldás:
Helyes válasz: D
qm
pnc
m
n
q
pc
n
m
q
pc
darab
q
pc
q
pcV
össz
össz
Matematika konzultáció az I.
évfolyamnak
57
12. feladat
Megoldás:
Helyes válasz: A
)xsin(2
xsin
2
xsin 1
2
xsin
Matematika konzultáció az I.
évfolyamnak
58
13. feladat
Megoldás:
Helyes válasz: E
222
22
22
22
424
1624
0442164
0448
yx
yx
yx
yyxx
424 r);,(O
Matematika konzultáció az I.
évfolyamnak
59
14. feladat
Megoldás:
Helyes válasz: A
431293
2
45
2
2193
2
59
2
7393
932
5
2
77225
yxyx
yx
yx:e
);(n);(F);(B);(A
Matematika konzultáció az I.
évfolyamnak
60
15. feladat
Megoldás:
Helyes válasz: B
x,x,:e
x,
x,
x
4806404
3
43Ennek
640:utánév2
80csökkenés%20Évente
:értékEredeti
Matematika konzultáció az I.
évfolyamnak
61
További mintapéldák
• Az alábbi feladatok megoldását külön oldalon
közöljük
• A példák önálló megoldását javasoljuk, a
kidolgozott megoldást ellenőrzésre használják
• További feladatok megoldása segít a
felkészülésben
• Ajánlott segédlet: Egységes érettségi
feladatgyűjtemény – Matematika (Konsept-H
Könyvkiadó, 2002)
Matematika konzultáció az I.
évfolyamnak
62
Példák I.
1) Egy matematika versenyen két feladatot tűztek
ki. Az elsőt az indulók 70 %-a, a másodikat
pedig az indulók 60 %-a oldotta meg. Minden
induló megoldott legalább egy feladatot, és
kilencen mindkét feladatot megoldották.
Hányan indultak a versenyen?
2) Számológép használata nélkül állapítsa meg,
melyik nagyobb a következő számok közül:
vagy 249 221
Matematika konzultáció az I.
évfolyamnak
63
Példák II.
3) Fejezze ki c-vel az alábbi kifejezéseket, ha
. Tegye meg a szükséges kikötéseket
is!
4) Hozza egyszerűbb alakra a következő
kifejezéseket:
blogc a
b
aloga
3bloga
)a(a
aaa 1
11
32
2
2
21
253
ss
ssa
11
11
11
)ba(logc a
Matematika konzultáció az I.
évfolyamnak
64
Példák III.
5) Végezze el az alábbi polinomos osztást.
Mennyi lesz a művelet maradéka?
6) Egy háromszög egyik szöge a másik két szög
számtani közepe. A két nagyobbik szög
együttvéve akkora, mint a legkisebb szög
háromszorosa. Mekkorák a háromszög
szögei?
7) Melyik az az ötjegyű szám, amely után egy 1-
est írva, háromszor akkora számot kapunk,
mintha az elejére írnánk egy 1-est?
132145574 22346 xx:xxxxx
Matematika konzultáció az I.
évfolyamnak
65
Példák IV.
8) Oldja meg az alábbi egyenlőtlenséget:
9) Melyik az a legbővebb halmaz, amelyen az
alábbi f(x) függvény értelmezhető?
10) Három szám összege 114. Lehetnek egy
mértani sorozat első három tagja, vagy egy
számtani sorozat 1., 4. és 25. tagja is. Mely
számokról van szó?
23
42
x
x
)xsin(
)x(tg)x(f
21
Matematika konzultáció az I.
évfolyamnak
66
Példák V.
11) Vízszintes sík talajon álló 100 m magas
felhőkarcolóból megmérjük egy egyenes
útszakasz két végpontjának depressziószögét
és az útszakasz látószögét. A mért értékek
rendre 4,5º; 5,5 º és 75 º. Mekkora az
útszakasz hossza?
12) Adja meg annak a körnek az egyenletét,
amelynek középpontja a C(0;5) pont és érinti a
egyenest. 1935 yx:g
Matematika konzultáció az I.
évfolyamnak
67
Megoldások
1) Az egyik feladatot 60%, a
másodikat 70% oldotta meg,
ezért mindkét feladattal 30%
foglalkozott. Tudjuk, hogy ez 9
főt jelent, így a teljes létszám
30 tanuló. Ennyien indultak a versenyen.
2) Azonos átalakításokkal kapjuk:
Vagyis a ?? helyére = írható!99
24241249
2221249
??
??
""/??
Matematika konzultáció az I.
évfolyamnak
68
Megoldások
3)
4)
cblogalog)ba(log aaa 1
cblogalogb
alog aaa 1
cblogblog aa 333
aa
aaaa
a
aaaaa
a
aaa
1
1
1
1
1
111
11
3322
3232
1212
112
12
11
1
1
11
1
11
11
11
11
11
a
a
a
aa
a
a
a
aa
a
a
a
Matematika konzultáció az I.
évfolyamnak
69
Megoldások
4) (folytatás)
1
21
22
12411
3
21
22
324255
1
3
12
1
32
1
21
253
21
21
2
2
)(
)(x
)(
)(x:mert
x
x
xx
xx
ss
ss
,
,
Matematika konzultáció az I.
évfolyamnak
70
Megoldások
5)
0
132
132
32
1452
396
145596
264
132132145574
2
2
23
23
345
2345
456
3422346
xx
xx
xxx
xxx
xxx
xxxxx
xxx
xxxxx:xxxxx
Matematika konzultáció az I.
évfolyamnak
71
Megoldások
6)
7)
756045
1803
12180
3
5
3
4
3
4
3
5
18032
;;
;
;;
42857
2999997
3300000110
1000003110
x
x
xx
xx
Matematika konzultáció az I.
évfolyamnak
72
Megoldások
8)
megoldás! nincs352
3104
03010403
104
352352
3104
03010403
104
3
32422
3
42
x,x
xx
xxx
x
x,x,x
xx
xxx
x
x
xx
x
x
Matematika konzultáció az I.
évfolyamnak
73
Megoldások
9)
kxkxkkxk
)xsin(
)xsin(kx
)xsin(tértelmezet)x(tg
)xsin(
)x(tg)x(f
2222
6
52
62
2
1
212
021
21
Matematika konzultáció az I.
évfolyamnak
74
Megoldások
10)
9872
1472
2
43
62
3
1
21144971I.
73
21
21
1
3
1
213II.
1141
114I.
2
3
2
1
2
2
2
a
a
a
dq
ad
aa
qqa
qa
qaqaaqa
qqa
qaqaa
Matematika konzultáció az I.
évfolyamnak
75
Megoldások
11)
911422
753410435512742341043551274
752
34104355
10010055
55127454
10010054
222
21
2
2
2
1
2
2
2
1
1
,t
cos,,,,t
costtttt
,,sin
tt
,sin
,,sin
tt
,sin
Matematika konzultáció az I.
évfolyamnak
76
Megoldások
12)
0910
342510
34
1156003400
0340013409618496
025986344136
02598613634
25625250259114361
251025
9114361
5
3192510
19355
22
22
2
2
2
22
22
222
222
222
222
yyx:k
yyx:k
r
r
r
rD
ryy
ryyyy
ryyyy
yxryyx
yx:gryx:k
Matematika konzultáció az I.
évfolyamnak
77
Tanácsok a matematika tanulásához
• Részvétel az előadásokon
• Jegyzet készítése – ha nem ért valamit, akkor is!
• Óra után az anyag átnézése és megértése
• Problémás részekről konzultálás évfolyam-
társsal, felsőbb évessel
• A gyakorlaton aktív részvétel (kérdezés!)
• A feladatok önálló megoldása az óra után
• Mintapéldák megoldása (begyakorlás)
• Zárthelyire készülés (csoportos feladat-
megoldás)