matematika teknik ii divergence theorem and stokes’ theorem · dan integral s terhadap v dari –...
TRANSCRIPT
![Page 1: Matematika Teknik II Divergence Theorem and Stokes’ Theorem · dan integral S terhadap v dari – π/2 sampai π/2 kita dapatkan. Di sini terbukti bahwa perhitungan integral permukaan](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022021621/5c963be909d3f290768c135d/html5/thumbnails/1.jpg)
Matematika Teknik IIDivergence Theorem and
Stokes’ Theorem
Rudy Dikairono
![Page 2: Matematika Teknik II Divergence Theorem and Stokes’ Theorem · dan integral S terhadap v dari – π/2 sampai π/2 kita dapatkan. Di sini terbukti bahwa perhitungan integral permukaan](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022021621/5c963be909d3f290768c135d/html5/thumbnails/2.jpg)
Outline
• Divergence Theorem– Triple Integrals– Divergence Theorem of Gauss– Transformation between Triple and surface
integrals• Stokes’ Theorem
– Curl– Transformation between surface and line
integrals
![Page 3: Matematika Teknik II Divergence Theorem and Stokes’ Theorem · dan integral S terhadap v dari – π/2 sampai π/2 kita dapatkan. Di sini terbukti bahwa perhitungan integral permukaan](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022021621/5c963be909d3f290768c135d/html5/thumbnails/3.jpg)
Divergence TheoremTriple Integral
• Triple integral adalah sebuah integral dari f(x, y, z) yang diambil secara 3 dimensi pada daerah T dalam ruangan.
• Triple integral dapat ditulis sebagai
![Page 4: Matematika Teknik II Divergence Theorem and Stokes’ Theorem · dan integral S terhadap v dari – π/2 sampai π/2 kita dapatkan. Di sini terbukti bahwa perhitungan integral permukaan](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022021621/5c963be909d3f290768c135d/html5/thumbnails/4.jpg)
Divergence Theorem of Gauss
• Triple integral dapat ditranformasi menjadi surface integral dan begitu pula sebaliknya.
• Tranformasi ini dilakukan dengan divergence theorem yang melibatkan divergence dari sebuah vector functionF = [F1, F2, F3] = F1i + F2j + F3k,dan ditulis sebagai:
![Page 5: Matematika Teknik II Divergence Theorem and Stokes’ Theorem · dan integral S terhadap v dari – π/2 sampai π/2 kita dapatkan. Di sini terbukti bahwa perhitungan integral permukaan](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022021621/5c963be909d3f290768c135d/html5/thumbnails/5.jpg)
![Page 6: Matematika Teknik II Divergence Theorem and Stokes’ Theorem · dan integral S terhadap v dari – π/2 sampai π/2 kita dapatkan. Di sini terbukti bahwa perhitungan integral permukaan](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022021621/5c963be909d3f290768c135d/html5/thumbnails/6.jpg)
Pembuktian• Persamaan 2* adalah benar jika hanya jika:
![Page 7: Matematika Teknik II Divergence Theorem and Stokes’ Theorem · dan integral S terhadap v dari – π/2 sampai π/2 kita dapatkan. Di sini terbukti bahwa perhitungan integral permukaan](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022021621/5c963be909d3f290768c135d/html5/thumbnails/7.jpg)
• Kita amati (5) sebagai special region dari T.
![Page 8: Matematika Teknik II Divergence Theorem and Stokes’ Theorem · dan integral S terhadap v dari – π/2 sampai π/2 kita dapatkan. Di sini terbukti bahwa perhitungan integral permukaan](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022021621/5c963be909d3f290768c135d/html5/thumbnails/8.jpg)
• Untuk membuktikan (5) kita gunakan (6). Dan kita dapatkan
![Page 9: Matematika Teknik II Divergence Theorem and Stokes’ Theorem · dan integral S terhadap v dari – π/2 sampai π/2 kita dapatkan. Di sini terbukti bahwa perhitungan integral permukaan](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022021621/5c963be909d3f290768c135d/html5/thumbnails/9.jpg)
• Hasil yang sama didapat dari (5) bagian kanan.
• Hasil integral terhadap R yang pertama menghasilkan nilai (+) karena cos γ > 0 pada bidang S1, dan integral kedua bernilai (-) karena cos γ < 0 pada S2[(5”) sec. 10.6].
• Dan ini membuktikan (5)
![Page 10: Matematika Teknik II Divergence Theorem and Stokes’ Theorem · dan integral S terhadap v dari – π/2 sampai π/2 kita dapatkan. Di sini terbukti bahwa perhitungan integral permukaan](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022021621/5c963be909d3f290768c135d/html5/thumbnails/10.jpg)
Contoh 1• Hitung
Dimana S adalah permukaan tertutup yang terdiri dari cylinderlingkaran pada z = 0 dan
![Page 11: Matematika Teknik II Divergence Theorem and Stokes’ Theorem · dan integral S terhadap v dari – π/2 sampai π/2 kita dapatkan. Di sini terbukti bahwa perhitungan integral permukaan](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022021621/5c963be909d3f290768c135d/html5/thumbnails/11.jpg)
Solution
Karena permuaan berbentuk lingkaran maka kita gunakan koordinat polar r, θ dengan nilai x = r cos θ, y = r sin θdan dx dy dz = r dr dθ dz, dan kita dapatkan.
![Page 12: Matematika Teknik II Divergence Theorem and Stokes’ Theorem · dan integral S terhadap v dari – π/2 sampai π/2 kita dapatkan. Di sini terbukti bahwa perhitungan integral permukaan](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022021621/5c963be909d3f290768c135d/html5/thumbnails/12.jpg)
Contoh 2Hitung
(a) dengan (2), (b) secara langsung
Penyelesaian:
![Page 13: Matematika Teknik II Divergence Theorem and Stokes’ Theorem · dan integral S terhadap v dari – π/2 sampai π/2 kita dapatkan. Di sini terbukti bahwa perhitungan integral permukaan](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022021621/5c963be909d3f290768c135d/html5/thumbnails/13.jpg)
(b) kita representasikan S dengan (3) Sec. 10.5 (dengan a = 2), dan kita gunakan n dA = N du dv [lihat (3*), Sec. 10.6]
sekarang kita punyasehingga F = [7x, 0, -z] menjadi
![Page 14: Matematika Teknik II Divergence Theorem and Stokes’ Theorem · dan integral S terhadap v dari – π/2 sampai π/2 kita dapatkan. Di sini terbukti bahwa perhitungan integral permukaan](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022021621/5c963be909d3f290768c135d/html5/thumbnails/14.jpg)
pada S kita harus mengintegralkan u dari 0 sampai 2π.
dan integral S terhadap v dari – π/2 sampai π/2 kita dapatkan
Di sini terbukti bahwa perhitungan integral permukaan sama dengan perhitungan divergence theorem.
![Page 15: Matematika Teknik II Divergence Theorem and Stokes’ Theorem · dan integral S terhadap v dari – π/2 sampai π/2 kita dapatkan. Di sini terbukti bahwa perhitungan integral permukaan](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022021621/5c963be909d3f290768c135d/html5/thumbnails/15.jpg)
Stokes’ Theorem
• Curl• Transformation between surface and line
integrals
![Page 16: Matematika Teknik II Divergence Theorem and Stokes’ Theorem · dan integral S terhadap v dari – π/2 sampai π/2 kita dapatkan. Di sini terbukti bahwa perhitungan integral permukaan](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022021621/5c963be909d3f290768c135d/html5/thumbnails/16.jpg)
Curl (Rotation of the vector field)
![Page 17: Matematika Teknik II Divergence Theorem and Stokes’ Theorem · dan integral S terhadap v dari – π/2 sampai π/2 kita dapatkan. Di sini terbukti bahwa perhitungan integral permukaan](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022021621/5c963be909d3f290768c135d/html5/thumbnails/17.jpg)
Stokes’ Theorem
Teorema Stokes mentransformasi integral permukaan menjadi integral garis dansebaliknya. Transformasi ini melibatkancurl (1)
![Page 18: Matematika Teknik II Divergence Theorem and Stokes’ Theorem · dan integral S terhadap v dari – π/2 sampai π/2 kita dapatkan. Di sini terbukti bahwa perhitungan integral permukaan](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022021621/5c963be909d3f290768c135d/html5/thumbnails/18.jpg)
Theorem 1
• S is a piecewise smooth oriented surface in space
• C is the boundary of S.• F(x,y,z) is the continuous
vector function in domain S.• n is unit normal vector of S.• r' = dr/ds is unit tangent
vector.• s is the arc length of C
![Page 19: Matematika Teknik II Divergence Theorem and Stokes’ Theorem · dan integral S terhadap v dari – π/2 sampai π/2 kita dapatkan. Di sini terbukti bahwa perhitungan integral permukaan](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022021621/5c963be909d3f290768c135d/html5/thumbnails/19.jpg)
Theorem 1
• F = [F1,F2,F3]• N = [N1, N2, N3]• n dA = N du dv• r' ds = [dx, dy, dz]• R is the region with boundary curve C in uv-plane.
![Page 20: Matematika Teknik II Divergence Theorem and Stokes’ Theorem · dan integral S terhadap v dari – π/2 sampai π/2 kita dapatkan. Di sini terbukti bahwa perhitungan integral permukaan](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022021621/5c963be909d3f290768c135d/html5/thumbnails/20.jpg)
Verification of Stokes’ Theorem
Solution
![Page 21: Matematika Teknik II Divergence Theorem and Stokes’ Theorem · dan integral S terhadap v dari – π/2 sampai π/2 kita dapatkan. Di sini terbukti bahwa perhitungan integral permukaan](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022021621/5c963be909d3f290768c135d/html5/thumbnails/21.jpg)
Solution with surface integral
![Page 22: Matematika Teknik II Divergence Theorem and Stokes’ Theorem · dan integral S terhadap v dari – π/2 sampai π/2 kita dapatkan. Di sini terbukti bahwa perhitungan integral permukaan](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022021621/5c963be909d3f290768c135d/html5/thumbnails/22.jpg)
Solution with surface integral
Hasil yang didapat dengan metode integral garis tertutup sama dengan hasil yang didapat dengan integral permukaan.
![Page 23: Matematika Teknik II Divergence Theorem and Stokes’ Theorem · dan integral S terhadap v dari – π/2 sampai π/2 kita dapatkan. Di sini terbukti bahwa perhitungan integral permukaan](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022021621/5c963be909d3f290768c135d/html5/thumbnails/23.jpg)
Stokes’ theorem for each component
![Page 24: Matematika Teknik II Divergence Theorem and Stokes’ Theorem · dan integral S terhadap v dari – π/2 sampai π/2 kita dapatkan. Di sini terbukti bahwa perhitungan integral permukaan](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022021621/5c963be909d3f290768c135d/html5/thumbnails/24.jpg)
Example 1 (Line integral)
Hitung
Solution:Permukaan S mempunyai keliling lingkaran C, yang dapatdirepresentasikan sebagai lingkaran x2 + y2 =< 4 padabidang z = -3. Nilai n pada teorema stokes mempunyaiarah k (z-positif).
![Page 25: Matematika Teknik II Divergence Theorem and Stokes’ Theorem · dan integral S terhadap v dari – π/2 sampai π/2 kita dapatkan. Di sini terbukti bahwa perhitungan integral permukaan](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022021621/5c963be909d3f290768c135d/html5/thumbnails/25.jpg)
Solution:Permukaan S mempunyai keliling lingkaran C, yang dapat direpresentasikan sebagai lingkaran x2 + y2 =< 4 pada bidang z = -3. Nilai n pada teorema stokes mempunyai arah k (z-positif).
![Page 26: Matematika Teknik II Divergence Theorem and Stokes’ Theorem · dan integral S terhadap v dari – π/2 sampai π/2 kita dapatkan. Di sini terbukti bahwa perhitungan integral permukaan](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022021621/5c963be909d3f290768c135d/html5/thumbnails/26.jpg)
Tugas
![Page 27: Matematika Teknik II Divergence Theorem and Stokes’ Theorem · dan integral S terhadap v dari – π/2 sampai π/2 kita dapatkan. Di sini terbukti bahwa perhitungan integral permukaan](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022021621/5c963be909d3f290768c135d/html5/thumbnails/27.jpg)
Thanks