matematisk modellering - genomgång 3 · inledning projekt 2 projekt 3 presentation modellering...

Inledning Projekt 2 Projekt 3 Presentation Modellering Modelleringsexempel Avslutning

Matematisk ModelleringGenomgång 3

Pelle

MatematikcentrumLunds universitet

27 november 2018

Pelle Matematisk Modellering 27 november 2018 1 / 31


Dagens program

Dagens program

I Andra projektet - avslutning.I Tredje projektet

I start,I genomförande,I avslutning.

I Muntlig presentation.I Modellering.



Projektstart

Projekt 2

I Grupper med udda nummer gör första projektet - minska miljöslitage.I Grupper med jämna nummer gör andra projektet - reglering av

vattenkraft.I Rapport färdig i torsdags skickades till handledare, kursledareI och opponentgrupp.I Grupp 1 byter med 2, 3 med 4, 5 med 6, 7 med 8 och 9 med 10.



Projektstart

Projekt 2

I Projektet redovisas muntligt gruppvis onsdag 28 november i MH 332B.I Grupp 1-6 kl 10-12 och grupp 7-10 kl 13-15.I Presentation 12min.I Opponering 3min.I Dator, projektor och vita tavlor finns tillgängliga.I Obligatorisk närvaro på aktuellt pass.



Granskning

Projekt 2 - granskning

I Opponentgruppen skriver granskningsrapport på projektrapporten ochdet muntliga framförandet.

I Skicka in granskningsrapport till vängrupp och handledare senast4 december.

I Läs opponentgruppens granskningen av er rapport och lyssna påhandledarens kommentarer.

I Rätta till er rapport och sänd in slutversion till handledare ochkursledare senast 7 december.



Presentation

Projekt 3

I Olika för varje grupp.I Lite mer omfattande och lite roligare.I Förhoppningsvis lite simulering.I Handledarna styr innehåll och omfattningI Håll kontakt, minst en gång i veckan. Gärna mer!



Kommande

Kommande program

I Onsdag 28 nov och onsdag 12 dec arbete med projekt 3.I Onsdag 19 december muntlig redovisning av projekt 3.I Däremellan icke schemalagt arbete med projekt 3.



Projektredovisning

Projekt 3 - skriftlig redovisning

I Projektet redovisas skriftligt i rapport.I Rapporten ska vara färdig senast fredag 14 december.I Skickas som pdf till handledare, kursledare samt till opponentgrupp.I Filen bör heta grupp4projekt3.pdf eller motsvarande.I Grupp 1 byter med 2, 3 med 4, 5 med 6, 7 med 8 och 9 med 10.I Handledaren kommer sen med synpunkter och kommentarer.



Muntlig redovisning

Redovisning projekt 3

I Muntlig redovisning projekt 3 onsdag 19 december kl 10-15 i E:C.I Grupp 10-6, 10.15-12.00,I Grupp 5-1, 13.15-15.00.

I Presentation 12min.I Opponering 3min.I Obligatorisk närvaro!I Ni får förbättringstips av er handledare under veckan.



Slutrapport

Redovisning projekt 3

I Lämna in förbättrad version till er handledare och kursledare senastfredagen 21 december.



Granskning

Granskning - Muntlig

I Bra om man redan läst rapporten.I Ge positiv och negativ kritik.I Ställ 3-4 frågor.I Ta upp oklarheter och saker du inte förstått.



Mål

Muntlig presentation

I Bestäm vad du vill uppnå.I Skall åhörarna minnas något?I Skall de ha tänkt över en problemställning?I Vill du övertyga dem om en ståndpunkt?

I . . . sedan är det lättare att planeraI . . . och avgöra om du lyckats.I Sätt rimliga mål!



Mål

Nervositet

I Förbered dig mentalt.I Jorda dig.I Tag en kort paus innan du börjar prata.I Skriv ner inledningsmeningen.I Titta i början på de som ser snällast ut.I Öva på din presentation.



Huvuddrag

Modelleringsprocessen

I Utgå från ett verkligt problem.I Från verkligt problem till modellproblem.I Förenklingar och approximationer.I Analys av modellproblem.I Simulering.I Tolkning av analysresultat.I Förfining av modellen.



Exempel

Välja rätt kö

I Komplicerad - Förenklad modell.I Mätbara - icke mätbara parametrar.I Teoretisk - praktiskt användbar.

T = αV +βK

I T tid,I V antal varor,I K antal kunder,I α,β parametrar.



Exempel

Praktisk modell

I Poängsystem.I Uppskatta bara full vagn, halvfull vagn eller korg.



Planetbanor

Planetbanor

Om man antar att jorden roterar så ligger stjärnorna stilla medan solen,månen och planeterna merkurius, mars, venus, jupiter och saturnus flyttarsej.På medeltiden ansåg man att jorden låg i mitten och de andra kretsade ibanor kring jorden.



Planetbanor

Problematiska planetrörelser

Svårt att förklara till exempel mars vandringar. Aldebaran

Bildserie av Mars på himlen 2007-2008, kring en opposition. (Ur Sterne und Weltraum nr. 12, 2009.) ”Oxens öga”, Aldebaran, har markerats.

För Brahes del blev tiden i Prag inte vad han väntat. Han påverkades ohjälpligt av de hovintriger som var följden av kejsarens svaghet – vid sin död 1612 var han berövad all makt – och fick exempelvis av en trilskande skattmästare inte sällan bara ut hälften av de pengar som utlovats. Tiden i Prag blev dessutom kort; Tycho Brahe avled i oktober 1601. Livet på slottet Benatek, Brahes residens där även familjen Kepler bodde, blev inte heller lätt, med ständiga konflikter mellan de båda hetlevrade astronomerna. Den förmögne, högadlige Brahe behandlade sin fattige assistent nedlåtande, inte minst genom att bara lämna från sig data bit för bit, som ”köttben åt en hund”. När det stormiga samarbetet tog slut med Brahes död passade Kepler därför på att lägga beslag på alla mätdata, till arvingarnas raseri. Det orsakade efter hand en hel del bekymmer och dessutom misstanken att Kepler förgiftat sin uppdragsgivare. Den senaste undersökningen efter en öppning av Brahes grav visar emellertid inga spår av någon förgiftning. Mer talande är i stället att Kepler som ett drag av förso-ning erbjöd Brahes svärson Tengnagel att stå som medhjälpare i arbetet. Kepler trodde nu optimistiskt att arbetet med Mars skulle ta åtta dagar. Så blev det inte, det tog åtta år, men sedan kunde han också presentera ett av tidernas mest



Planetbanor

Nicolaus Copernicus (1473-1543)

Föreslog 1543 att solen låg i mitten och att jorden och planeterna hadecirkulära banor kring solen (fästa på kristallklot).



Planetbanor

Johannes Kepler (1571-1630)

Tyckte det skulle vara tjusigt om planeternas banor låg på klot inskrivna iplatoniska kroppar.

De fem rymdfigurerna ovan var kända som de perfekta eller platonska kropparna. Alla begränsas av ett antal plana, liksidiga ytor, trianglar, kvadrater och femhör-ningar, men det märkliga är att man kan bevisa att de fem kropparna är de enda som kan byggas upp på det sättet. Av liksidiga femhörningar behövs t.ex. tolv för att de ska kunna bilda en sluten yta, färre räcker inte och med fler går det inte heller. (Troligen kommer vårt ord ”dussin” av ”dode”.) Kepler var övertygad om en harmoni i universum, där matematik och geometri bildade grunden – helt i Platons anda - och vad var då naturligare än att de sex då kända planeternas banor byggdes upp av de här figurerna. Mars sfär Jupiters sfär Saturnus sfär Keplers världsmodell.

I modellen hade var och en av planeterna en sfär, sex sfärer således, med platons-ka kroppar inskrivna i denna ordning: Saturnus sfär Jordens sfär Kub Ikosaeder Jupiters sfär Venus sfär Tetraeder Oktaeder Mars sfär Merkurius sfär Dodekaeder

Beskrev modellen 1596 i boken Det kosmografiska mysteriet.



Planetbanor

Tycho Brahe (1546-1601)

Satt på Ven och mätte planeters positioner med större noggrannhet äntidigare. Försökte få mätdata att stämma med jorden i mitten men det gickinget vidare.



Planetbanor

Kepler igen

När Brahe dog fick Kepler överta Brahes mätdata som han försökte få ochstämma med sin världsbild. Gick inget bra det heller.Bättre gick det när han modifierade sin modell. Nya modellensammanfattas i tre lagar som publicerades 1609 och 1619.

(Ur Sterne und Weltraum nr. 12, 2009.) Det är värt att påminna sig om att inga av dagens räknehjälpmedel fanns att tillgå på Keplers tid, utan att allt räknearbete måste ske för hand och att det därför bör ha varit nödvändigt att både kontrollera och dubbelkontrollera resultaten.



Planetbanor

Keplers lagar

1. Planetbanorna är ellipser med solen i ena brännpunkten.2. Ythastigheten är konstant.

storslagna verk, Astronomia Nova, 1609. Samma år, för övrigt, då Galilei började sina observationer med kikare, vilket gör att ”det astronomiska året” 2009, som officiellt berodde på detta, lika mycket borde ha ägnats åt Keplers insats.

Astronomia Nova. Astronomia Nova innehåller det vi nu kallar Keplers första och andra lag. Den första säger att planeterna rör sig i ellipsbanor med solen i den ena brännpunkten och den andra är den om ythastighetens konstans. Enligt den andra lagen sveper linjen mellan planeten och solen (radius vektor) över lika areor på lika tider. Om tiden t2-t1 i figuren nedan är lika med t4-t3 så är de båda areorna A1 och A2 lika. Radius vektor (Bilden tagen ur Sterne und Weltraum.)

Först fram emot 1605 kom Kepler på idén med ellipsbanor och hade innan dess bland annat tänkt sig ovala, alltså äggformade banor. Utdraget nedan ur Keplers omfattande räkningar nedan visat omräkning av Mars positioner i förhållande till jorden – dem som Brahe hade mätt upp – till lägena i förhållande till solen.

3. Samband mellan omloppstid T och medelavstånd R till solen.T 88 225 365 687 4392 10753R 58 108 150 228 778 1430

T 2

R3 = 0,04



Planetbanor

Isaac Newton (1642-1727)

Publicerade 1689 tre böcker Principia med Newtons rörelselagar ochgravitiationslagen vilka han visade medförde Keplers lagar.

A X I O M A T ASIVE

L E G E S M O T U S

Lex. I.

Corpus omne perseverare in statu suo quiescendi vel movendi uniformiter indirectum, nisi quatenus a viribus impressis cogitur statum illum mutare.

Projectilia perseverant in motibus suis nisi quatenus a resistentia aeris retar-dantur & vi gravitatis impelluntur deorsum. Trochus, cujus partes cohærendoperpetuo retrahunt sese a motibus rectilineis, non cessat rotari nisi quatenusab aere retardatur. Majora autem Planetarum & Cometarum corpora motussuos & progressivos & circulares in spatiis minus resistentibus factos conservantdiutius.

Lex. II.

Mutationem motus proportionalem esse vi motrici impressæ, & fieri secun-dum lineam rectam qua vis illa imprimitur.

Si vis aliqua motum quemvis generet, dupla duplum, tripla triplum genera-bit, sive simul & semel, sive gradatim & successive impressa suerit. Et hic motusquoniam in eandem semper plagam cum vi generatrice determinatur, si corpusantea movebatur, motui ejus vel conspiranti additur, vel contrario subducitur,vel obliquo oblique adjicitur, & cum eo secundum utriusq; determinationemcomponitur.

Lex. III.

Actioni contrariam semper & æqualem esse reactionem: sive corporum duo-rum actiones in se mutuo semper esse æquales & in partes contrarias dirigi.

Quicquid premit vel trahit alterum, tantundem ab eo premitur vel trahitur.Siquis lapidem digito premit, premitur & hujus digitus a lapide. Si equus lapi-dem funi allegatum trahit, retrahetur etiam & equus æqualiter in lapidem: namfunis utrinq; distentus eodem relaxandi se conatu urgebit Equum versus lapi-dem, ac lapidem versus equum, tantumq; impediet progressum unius quantumpromovet progressum alterius. Si corpus aliquod in corpus aliud impingens, mo-tum ejus vi sua quomodocunq; mutaverit, idem quoque vicissim in motu proprio

16



Planetbanor

Philosophiæ naturalis principia mathematica

Exempel på sats och bevis.



Planetbanor

Modern version

Andra lagen i modern version

F =d(mv)

dt

eller om massan inte är tidsberoende

F =ma=mdv

dt=m

d2x

dt2.



Planetbanor

Gravitationslagen

Hooke, Newton, andra (1660)

F = GmM

r2

ellerF = G

mM

|x |2· (− x

|x |) =−GmM

x

|x |3

där x =(x1(t),x2(t),x3(t)

).



Planetbanor

Diffekvation

Rörelselagen tillsammans med gravitationslagen ger detta att en planetsacceleration ges av

d2x

dt2=−GM x

|x |3

eller kortarex ′′ =−GM x

|x |3.

Differentialekvation som bestämmer planetens rörelse.



Planetbanor

Från linjär algebra

BildaL= x×x ′

vektor som beror på tiden. Derivera

L′ = x ′×x ′+ x×x ′′ = 0− GM

|x |3x×x = 0.

L (rörelsemängdmomentet) beror inte alls på tiden!



Planetbanor

Konsekvenser

EftersomL= x×x ′

hela tiden har samma riktning rör sej planeten x hela tiden i ett planvinkelrätt mot L.Areatolkning av L ger Kepler andra lag.De andra lagarna följer av en lite nogrannare analys av diffekvationen.



Att tänka på

Avslutning

I Inlämning projekt 3 fredag 14 december.I Presentation av projekt 3 onsdag 19 december kl 10-15 i E:C.


matematisk modellering - genomgång 3 · inledning projekt 2 projekt 3 presentation modellering...

Documents