Cuaderno de trabajo

Guadalupe Carrasco Licea

Matemáticas

Matemáticas 2

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Mat

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2

Secu

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ia

2

Secundaria

Cuaderno de trabajo Matemáticas 2 ayuda al estudiante a desarrollar las

competencias matemáticas en los tres ejes del programa de estudios: Sentido

numérico y pensamiento algebraico; Forma, espacio y medida, y Manejo de la

información. En cada lección se aborda un contenido curricular y se incluye

información teórica, así como ejercicios y actividades variados en tres secciones:

“Explora”, “Conoce” y “Practica”. Como elemento atractivo, en los recuadros

“En la red” se incorpora el código QR de las páginas de Internet recomendadas;

de esa manera, el estudiante puede tener un acceso rápido a numerosos

contenidos desde dispositivos móviles.

Cuaderno de trabajo Matemáticas 2 ofrece dos evaluaciones por bloque: una

diagnóstica y una final, y la sección “Taller de tecnología”, con recursos para

la incorporación de las TIC en el estudio de las matemáticas.

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Cuaderno de trabajo

Guadalupe Carrasco Licea

Matemáticas

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Secundaria

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Cuaderno de trabajo fue elaborado en Editorial Santillana por el siguiente equipo:

Dirección General de Contenidos

Antonio Moreno Paniagua Dirección de Ediciones Wilebaldo Nava Reyes

Gerencia de Secundaria Iván Vásquez Rodríguez

Gerencia de Arte y Diseño Humberto Ayala Santiago

Coordinación de Secundaria Óscar Díaz Chávez

Coordinación de Matemáticas Ma. del Pilar Vergara RíosCoordinación de Diseño

Carlos A. Vela Turcott Coordinación de Iconografía

Nadira Nizametdinova Malekovna Coordinación de Realización

Gabriela Armillas Bojorges

Edición Leticia Martínez Ruiz y Rubén García MaderoAsistencia editorial Enrique Martínez Sánchez y Victoria Moreno AyapantecatlCorrección de estilo Pablo Mijares Muñoz Edición de realización Haydée Jaramillo Barona Edición digital Miguel Ángel Flores Medina Diseño de portada e interiores Jessica Gutiérrez LópezDiagramación Héctor Ovando Jarquín e Itzel Castañeda MorenoIconografía Miguel Ángel Bucio TrejoIlustración Héctor Ovando JarquínFotografía ShutterstockDigitalización de imágenes Gerardo Hernández Ortiz

La presentación y disposición en conjunto y de cada página de Cuaderno de trabajo Matemáticas 2 son propiedad del editor.

Queda estrictamente prohibida la reproducción parcial o total de esta obra por cualquier sistema o método electrónico, incluso el fotocopiado, sin autorización escrita del editor.

D. R. © 2014 por EDITORIAL SANTILLANA, S. A. de C. V. Avenida Río Mixcoac 274, colonia Acacias. C. P. 03240, delegación Benito Juárez, México, D. F.

ISBN: 978-607-01-2185-2

Primera edición: abril de 2014

Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana. Reg. Núm. 802

Impreso en México / Printed in Mexico

matemáticas 2

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3

Cuaderno de trabajo Matemáticas 2 tiene como propósito colaborar en la for-mación de los alumnos de segundo de secundaria al seguir la premisa didáctica de crear actividades pensadas tanto para el alumno como para el maestro y su relación con el conocimiento matemático. En este cuaderno de trabajo se incor-pora una visión del aprendizaje matemático que implica un trabajo intelectual dentro y fuera del aula.

En el desarrollo del libro, se consideraron las características de cada con-tenido matemático y las principales dificultades didácticas que representa. Entendemos que el proceso de enseñanza implica una relación cercana con maestros y padres de familia, por lo que invitamos a participar a toda aquella persona involucrada en la educación del estudiante.

Todas las actividades de Cuaderno de trabajo Matemáticas 2 pretenden motivar al escolar y dirigir su interés hacia la resolución de los diferentes problemas. Si el maestro y el grupo logran asumir los retos planteados como propios, seguramente encontrarán en este cuaderno de trabajo una guía que pueda mejorar la forma de aprender matemáticas dentro del aula.

Resolver problemas matemáticos, reflexionar sobre ellos y discutir con los compañeros es una de las fórmulas de enseñanza por las que se optó en este cuaderno de trabajo. La educación matemática por medio de la resolución de problemas ayuda al maestro a construir un vínculo próspero entre el alumno y el conocimiento.

Invitamos al estudiante a trabajar con este cuaderno: confiamos en que le será de gran utilidad.

Los editores

Presentación

Los vitrales son composiciones de formas geométricas que se ensamblan mediante varillas de plomo. En su diseño podemos observar una aplicación de la geometría.

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4

índice

Conoce tu cuaderno de trabajo 5

Bloque 1 Evaluación diagnóstica 7Lección 1. Multiplicación y división de

números enteros 8Lección 2. Productos y cocientes de potencias 12Lección 3. Dos rectas paralelas y

una transversal 16Lección 4. Construcción de triángulos 20Lección 5. Área de figuras compuestas 24Lección 6. Porcentajes 28Lección 7. Procedimientos recursivos 32Lección 8. Más probable, menos probable 36Lección 9. Medias y medianas 40Evaluación 44Taller de tecnología 46

Bloque 2 Evaluación diagnóstica 51Lección 10. Suma y resta de monomios 52Lección 11. Suma y resta de polinomios 56Lección 12. Expresiones algebraicas

equivalentes 60Lección 13. Fórmulas para el volumen

de cubos, prismas y pirámides 64Lección 14. Estimación y cálculo

de volúmenes 68Lección 15. Proporcionalidad inversa 72Lección 16. Probabilidad frecuencial

y probabilidad teórica 76Evaluación 80Taller de tecnología 82

Bloque 3 Evaluación diagnóstica 87Lección 17. Paréntesis y jerarquía

de las operaciones 88Lección 18. Operaciones con polinomios 92Lección 19. Ángulos interiores

de un polígono 96

Lección 20. Polígonos que cubren el plano 100Lección 21. Unidades de capacidad

y volumen 104Lección 22. La función y = kx 108Lección 23. Histogramas y gráficas

de líneas 112Lección 24. Propiedades de la media

y la mediana 116Evaluación 120Taller de tecnología 122

Bloque 4 Evaluación diagnóstica 127Lección 25. Sucesiones aritméticas 128Lección 26. Ecuaciones 132Lección 27. Ángulos centrales e inscritos 136Lección 28. Gráfica de la función

de proporcionalidad directa 140Lección 29. Funciones lineales 144Lección 30. Medias ponderadas 148Evaluación 152Taller de tecnología 154

Bloque 5 Evaluación diagnóstica 159Lección 31. Sistemas de dos ecuaciones

con dos incógnitas 160Lección 32. Representación gráfica

de ecuaciones 164Lección 33. Figuras simétricas respecto

a un eje 168Lección 34. Arcos, sectores circulares,

coronas y ángulos 172Lección 35. Lectura y construcción

de funciones lineales 176Lección 36. Pendiente y ordenada al origen

de una recta 180Lección 37. Gráficas de distribuciones

de probabilidad 184Evaluación 188Taller de tecnología 190

Bibliografía 192

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5

conoce tu cuaderno de

traBajo

6

7

1. Determina el área del siguiente polígono. Escribe el procedimiento que emplees.

2. Escribe los términos que faltan en los espacios marcados. a) 51 , 5

3 , , , 581, ,….b) , 7, , 15, 19, ,…c) 2, , 8

9 , 1627, , ,…d) 540, , , , 340,…

3. Completa las siguientes oraciones:a) La media aritmética de un conjunto de datos se obtiene

b) La mediana de un conjunto de datos es

4. ¿Cuál de los siguientes experimentos no es aleatorio? Explica tu respuesta.a) Lanzar un dado regular y observar el número de la cara que cae hacia arriba.b) Dejar caer el borrador al suelo desde una altura de un metro y observar qué ocurre con él.c) Escribir en papeles los nombres de los alumnos del grupo, doblar los papeles, revolverlos

y sacar uno de los papeles para observar qué nombre sale.d) Lanzar una moneda al aire y observar la cara que cae hacia arriba.

Evaluación diagnóstica

ContenidoLección 1 Multiplicación y división de números enterosLección 2 Productos y cocientes de potenciasLección 3 Dos rectas paralelas y una transversalLección 4 Construcción de triángulosLección 5 Área de figuras compuestasLección 6 Porcentajes

Lección 7 Procedimientos recursivosLección 8 Más probable, menos probableLección 9 Medias y medianas

BLOQUE 1

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46

tallER dE tECnología

Calculando intereses

En esta primera actividad del taller de tecnología analizaremos el interés que debe pagar una

persona que pide un préstamo de 10 000 pesos, sabiendo que la tasa de interés que le cobran

es capitalizable cada mes.

Compararemos cómo aumenta la deuda con tres tasas de interés: 1%, 2% y 2.5% mensual.

Supondremos que quien pidió el préstamo puede pagar $5 000 cada año para ir reduciendo su deuda.

■■ En la primera celda de la columna A escribe la palabra Mes, en la columna B escribe Monto

de la deuda al 1% y en la tercera columna escribe Pagos. Repite los dos últimos textos en

las siguientes columnas cambiando al 2% y 2.5%.

■■ Debajo de la palabra Mes escribe 0, 1 y 2, uno en cada celda. Selecciona las celdas en

las que escribiste estos números y encuentra el símbolo + en la esquina inferior derecha.

Cuando lo encuentres, presiona el botón principal y sin soltarlo jala hacia abajo haciendo

aparecer la serie de números enteros hasta el 12. Deja una celda vacía y luego empieza

con los números 13, 14, 15, hasta el 24; vuelve a dejar una celda vacía. Repite este pro-

cedimiento hasta el número 48.

■■ En las columnas B, D y F, correspondientes al monto de la deuda, escribe la cantidad 10 000 en

el segundo renglón, para mostrar la deuda que tiene la persona al mes cero.

■■ Si el interés mensual es de 1%, después de un mes la deuda tendrá un monto de 10000

+ 10000(1%), es decir, 10000 + 10000(0.01) = 10000(1 + 0.01) = 10000(1.01). Después

de dos meses la deuda se obtiene multiplicando la cantidad del mes 1 por 1.01, y así su-

cesivamente. Para hacer esto en la hoja de cálculo, escribe en la celda B3 la instrucción

=B2*1.01. Luego selecciona esa celda, busca el símbolo + en la esquina inferior derecha

y jala para copiar la instrucción hasta el renglón del mes 12. La hoja de cálculo realizará

la misma operación 12 veces, pero cada vez multiplicará la cantidad de la celda anterior

por el factor que marcaste.

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ViñetaIndica el eje de estudio de las matemáticasal que pertenece la lección.

Explora Presenta un problema que te introduce al estudio de la lección.

Conoce Te da la información básica para la soluciónde los ejercicios y problemas.

Practica Ejercicios en los que aplicarás los conceptosy algoritmos específicos de la lección.

Resuelve problemas Presenta situaciones de tipo cotidiano conalgún problema para resolver.

Taller de tecnología

Al final de cada bloque estudiarás algunostemas para aprender a utilizar herramientastecnológicas, como la calculadora, la hoja de cálculo y programas informáticos de geometría, para la solución de algunas situaciones y problemas matemáticos.

Evaluación

Al final de cada bloque podrás conocer el grado de adquisición de los conocimientos y habilidades logrados, mediante un instrumento de evaluación.

Sentido numérico y pensamiento algebraico

Forma, espacio y medida

Manejo de la información

Evaluación diagnóstica

Mediante ejercicios sencillos recordarás contenidos de matemáticas estudiados en tus cursos anteriores, que te servirán para entender mejor los que estás a punto de conocer.

Lecciones

Los bloques están divididos en lecciones, en las cuales encontrarás información breve y clara y ejercicios constantes, aprenderás los conceptos y adquirirás habilidades para la interpretación del mundo desde una perspectiva matemática.

Bloques

Al inicio de cada bloque encontrarás los nom-bres de las lecciones que vas a desarrollar.

56

Suma y resta de polinomiosExplora

En las siguientes figuras todos los cuadriláteros del mismo color tienen las mismas dimensiones.

a) Suma las áreas de los cuadriláteros que forman la figura A y escribe un polinomio que

represente el área de toda esa figura.

b) De la misma manera, encuentra un polinomio que represente el área de la figura B.

c) Haz lo mismo para encontrar un polinomio que represente el área de la figura C.

d) Suma las áreas de las figuras B y C.

e) Resta el área de la figura C del área de la figura A.

Conoce

Un polinomio es una expresión algebraica formada por la suma de varios monomios que no son semejantes, mismos que pueden tener coeficiente positivo o negativo. Por ejemplo:

5x2 + 2y2 + 7xy, a2b2 – 32a2 – 24b2, – 58

m4n3 – 11.25m2 + 8.

Para sumar dos polinomios, se identifican los términos semejantes que hay en ellos y se suman. Por ejemplo:

(–95a3 + 82b2 – 74a + 2) + (26a3 – 59b2 – 4) = – 69a3 + 23b2 – 74a – 2También se pueden acomodar los polinomios de manera que los términos semejantes queden uno arriba del otro y luego sumarlos:

– 95a3 + 82b2 – 74a + 2 + 26a3 – 59b2 – 4 – 69a3 + 23b2 – 74a – 2

Para restar dos polinomios, se cambia el signo de todos los términos del polinomio precedido por el signo – y después se reducen los términos semejantes, por ejemplo:

5.2x4 + 3.4y2 – 7.7x + 2.4y + 3.1 – (2.7x3 + 1.9y2 – 4.1y – 11.6)= 5.2x4 + 3.4y2 – 7.7x + 2.4y + 3.1 – 2.7x3 – 1.9y2 + 4.1y + 11.6= 5.2x4 – 2.7x3 + 1.5y2 – 7.7x + 6.5y + 14.7

Lección 11

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80

1. Haz las operaciones.

a) 2a2 – 3.2ab + 1.5b – (0.8b + 1.4a2 – ab) =

b) 4m(m3 + 8m2n – 2mn – 3n) =

c) (2z – y)(3 – 2yz) =

2. Calcula el volumen de los siguientes cuerpos:

a)

Volumen =

b)

Volumen =

3. En cada cuadrilátero, escribe una expresión algebraica que represente el área correspondiente.

a) ¿Cuáles deben ser los valores de a y b para que la expresión algebraica x2 + 7x + 12, represente el área del rectángulo grande cuyo borde es rojo?

EvaluaCión

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6

ContenidoLección 1 Multiplicación y división de números enteros

Lección 2 Productos y cocientes de potencias

Lección 3 Dos rectas paralelas y una transversal

Lección 4 Construcción de triángulos

Lección 5 Área de figuras compuestas

Lección 6 Porcentajes

Lección 7 Procedimientos recursivos

Lección 8 Más probable, menos probable

Lección 9 Medias y medianas

BLoQue 1

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7

1. Determina el área del siguiente polígono. Escribe el procedimiento que emplees.

2. Escribe los términos que faltan en los espacios marcados.

a) 51, 53, , , 581, ,….

b) , 7, , 15, 19, ,…

c) 2, , 89, 1627, , ,…

d) 540, , , , 340,…

3. Completa las siguientes oraciones:

a) La media aritmética de un conjunto de datos se obtiene

b) La mediana de un conjunto de datos es

4. ¿Cuál de los siguientes experimentos no es aleatorio? Explica tu respuesta.

a) Lanzar un dado regular y observar el número de la cara que cae hacia arriba.

b) Dejar caer el borrador al suelo desde una altura de un metro y observar qué ocurre con él.

c) Escribir en papeles los nombres de los alumnos del grupo, doblar los papeles, revolverlos

y sacar uno de los papeles para observar qué nombre sale.

d) Lanzar una moneda al aire y observar la cara que cae hacia arriba.

Evaluación diagnóstica

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8

Multiplicación y división de números enteros

Lección 1

explora

El dueño de una pequeña tienda de abarrotes hace un balance de sus cuentas de la semana. El dinero que obtuvo por las ventas realizadas lo escribe con números positivos. El dinero que pagó por las compras que hizo, lo escribe con números negativos. La diferencia entre lo que vendió y lo que compró, es –$50.

¿Cómo explicas el significado de este resultado?

Si obtiene la misma diferencia entre compras y ventas durante 4 semanas, ¿cuál será el resul-

tado del balance de esas semanas?

El resultado anterior se puede obtener de dos maneras distintas. Escribe las dos operaciones

que conducen a ese resultado.

Si tuviera la misma diferencia entre lo que vendió y lo que compró durante 6 semanas, ¿qué

operación realizarías para obtener el resultado del balance? ¿Cuál es esa cantidad?

conoce

Para multiplicar números enteros, se multiplican los números sin considerar el signo y al pro-ducto se le pone el signo que corresponde, de acuerdo con las siguientes reglas:

Positivo por positivo es positivo: (+)(+) = + Positivo por negativo es negativo: (+)(–) = –Negativo por negativo es positivo: (–)(–) = +Negativo por positivo es negativo: (–)(+) = –

Estas leyes de los signos se pueden resumir de la siguiente manera: El producto de dos enteros con el mismo signo es un entero positivo, y el producto de dos enteros con signos diferentes es un entero negativo.Por ejemplo:

7(–13) = (–7)(13) = –91 (–11)( –9) = (11)(9) = 99

Para todo número entero a, se cumple:

–1(a) = 1(–a) = – a (–1)(–a) = –(–a) = a

Para la división entre números enteros operan reglas similares (toma en cuenta que el resultado de la división puede no ser un número entero):

El cociente de dos enteros con el mismo signo es un número positivo, y el cociente de dos enteros con signos diferentes es un número negativo. Por ejemplo:

–15 4 3 = 15 4 (–3) = –5–52 4 (–4) = 52 4 4 = 13

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9

Practica

1. Multiplica.

a) (–8)(9) = b) (–12)(–3) =

c) (7)(–8) = d) (–20)(6) =

e) (–11)(–4) = f) (–15)(–2) =

g) (–5)(–13) = h) (14)(–3) =

i) (15)(9) = j) (18)(–4) =

2. Calcula.

a) (–3)(5)(–7) = b) (9)(–2)(8) =

c) (–1)(–9)(–4) = d) (–12)(2)(–3) =

e) (–8)(11)(2) = f) (–10)(–6)(–5) =

g) (–4)(–8)(5) = h) (10)(6)(–2) =

i) (7)(2)(–5) = j) (–2)(9)(–9) =

3. Divide.

a) (–18) ÷ (–3) = b) (–12) ÷ (2) =

c) 36 ÷ (–9) = d) (–48) ÷ (–3) =

e) 144 ÷ (–6) = f) 156 ÷ (–13) =

g) (–91) ÷ (–13) = h) (–140) ÷ (7) =

i) (90) ÷ (–6) = j) (132) ÷ (–11) =

4. Realiza las operaciones que se indican en cada caso, como en el siguiente ejemplo:

(–18 ÷ 6)( –3) = (–3)( –3) = 9

a) (–12 ÷ 2)(–5) =

b) –54 ÷ (–18÷ 9) =

c) [81 ÷ (–9)](3) =

d) [(–56) ÷ (–8)](5) =

e) [144 ÷ (–6)] ÷ (–4) =

5. Haz las operaciones que se indican en cada caso, como se muestra en el ejemplo:

(6 – 30) ÷ (–3 –3) = (–24)÷( –6) = 4

a) (–15 –10) ÷ (6 – 1) =

b) (12 – 20)(5) ÷ (–12 + 7) =

c) (–1 + 33) ÷ (–5 –3) =

d) (–8 + 14)(5) ÷ (–4 – 2 ) =

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10

6. Coloca en los cuadritos blancos, los números indicados arriba de cada cuadro, de manera que todos los resultados de las operaciones sean correctos.

–3, –4, –6, –8, –12, 18, –144 2, 3, –3, 6, 8, –12, –72

12 3 = –9 3 =

4 4 4 4 4 4

3 = 3 =

= = = = = =

3 2 = 3 4 =

7. Coloca el signo + o el signo – en los espacios marcados, para lograr que el resultado de la operación sea el indicado.

a) ( 28 + ( 4)) ÷ (8) = –4 b) ( 14)( –6 – 2) = 112

c) ( 9)(–9)(–9) = –729 d) ( 12 + ( 8))( –7) = –140

e) (91) ÷ ( 20 + ( 7)) = –7 f) (–180) ÷ ( 50 + ( 5)) = 4

g) (34 ÷ 2)( 5 5) = 170 h) (40+ ( 5))÷ (27 ÷ 3) = –5

8. Elimina paréntesis y haz las operaciones como en el ejemplo:

–( –(54 ÷ (–6))) = –( –(–9)) = –9

a) –((–16)( –5)) =

b) –(–63 ÷ 7) =

c) – (–(–140) ÷ 5) =

d) –(–(90 ÷ (–3))) =

e) – (–(–((84)(–2)))) =

f) – (–(–((–11)(–2)(4)))) =

9. Encuentra el valor de x en cada una de las siguientes expresiones.

a) –12 ÷ x = 6, x =

b) 16x = –48, x =

c) –9x = 9, x =

d) 124 ÷ x = –124, x =

e) x ÷ –12 = –3, x =

f) –7x = –49, x =

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11

resuelve problemas

1. Escribe todas las parejas de números enteros que multiplicados dan como resultado 24.

2. Encuentra todas las parejas de números enteros que multiplicados dan como resultado –36.

3. Se multiplica un número por 2 y se le suma 10, se obtiene 2. ¿Cuál es ese número? Explica el procedimiento que seguiste.

4. En la sucesión de números –256, 128, –64, 32, … cada término se construye dividiendo el anterior entre un número entero.

a) ¿Cuál es ese número?

b) Escribe los términos que faltan hasta llegar a 1 o –1.

5. Encuentra dos números enteros que sumados den –1 y multiplicados den –20.

6. Encuentra dos números enteros que sumados den –13 y multiplicados den 42.

En la siguiente liga, encontrarás recursos interactivos acerca de varios temas que abordarás en el curso de Matemáticas 2.

http://arquimedes.matem.unam.mx/Vinculos/Secundaria/2_segundo/2_Matematicas/

Haz clic en el título 1.1 Multiplicación y división de números con signo, para acceder a los ejercicios relativos a esta lección.

en la red

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12

Productos y cocientes de potencias

Lección 2

explora

Para saber cuántos padres (papá y mamá) suman los papás de tus segundos tatarabuelos, responde cada pregunta usando una potencia.

En total, ¿cuántos suman los padres de tus papás?

¿Cuántos suman los padres de tus abuelos?

¿Cuántos suman los padres de tus bisabuelos?

¿Cuántos suman los padres de tus tatarabuelos?

¿Cuántos suman los padres de tus segundos tatarabuelos?

Para saber cuántos son los padres de tus papás, ¿qué operación debes hacer?

¿Cuántas veces repetiste la operación anterior para saber el total de padres de tus bisabuelos?

¿Cuántas veces repetiste la operación para saber el número de padres de tus segundos tatarabuelos?

Calcula la potencia que obtuviste y escribe el número que suman los padres de todos tus

segundos tatarabuelos.

conoce

Una potencia es una multiplicación repetida del mismo factor:

aaa…a = an

n veces

El número a, que es el factor que se repite, se llama base de la potencia. El número n, que indica cuántas veces se repite el factor, se llama exponente.Las reglas para operar potencias son las siguientes.1) Producto de potencias: (am)(an) = am+n. Por ejemplo:

43(45) = 4(4)(4) (4)(4)(4)(4)(4) = 48

43 45

2) División de potencias: am

an = am–n. Por ejemplo:

76

74 = 7 (7)(7)(7)(7)(7)7(7)(7)(7)

= 77

(77)(7

7)(7

7)(7)(7) = (1)(1)(1)(1)(7)(7) = 72

3) Potencia de una potencia: (am)n = amn. Por ejemplo:

(23)4 = (23)(23)(23)(23) = (2)(2)(2) (2)(2)(2) (2)(2)(2) (2)(2)(2) = 212

23 23 23 23

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13

Practica

1. Completa la tabla.

Base Exponente Potencia Resultado

3 2 32 9

23

4 64

5 1

9 81

4 81

6 64

104

5 125

2. Escribe como potencia de base 10 los siguientes números.

a) Mil:

b) Un millón:

c) Diez millones:

d) Diez mil millones:

3. Desarrolla las siguientes potencias para encontrar el resultado. Observa que no siempre la base de la potencia incluye el signo.

a) (–2)4 =

b) –24 =

c) (–1)3 =

d) (–1)4 =

e) –82 =

4. Escribe una regla para determinar el signo de una potencia en la que la base es un número negativo.

5. Escribe la potencia que resulta en las siguientes operaciones.

a) 63(64) = b) (63)4 =

c) 35 ÷ 33 = d) 84 3 86 =

e) 77 ÷ 7 = f) (92)2 =

g) x2(x3) = h) (a2)5 =

i) x3

x = j) n6

n5 =

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14

6. Escribe paso a paso el desarrollo para determinar la potencia que resulta de las siguientes operaciones.

a) 102 (106)(103)2

=

b) 38(34) 3 (312 ÷ 310) =

c) (43)5(42)3

(45)(42)=

d) ((54)2 ÷ 54(52))3 =

e) (73)2(74)

(75)2 =

Para que la regla an

am = an–m se cumpla cuando n = m y cuando n < m, se establecen las

siguientes igualdades:an

an = a0 = 1

1an = a

0

an = a –n

7. Encuentra el valor de x en cada una de las siguientes expresiones.

a) 93

9x = 9–4 x =

b) 10x ÷ 105 = 10–2 x =

c) 32(3x) = 1 x =

d) 6–3(6x) = 1 x =

e) (– 13)x (– 1

3)4 = 1

9 x =

La potencia formada por un producto elevado a un exponente es igual al producto de las potencias de cada uno de los números elevados al mismo exponente.

(ab)n = anbn

La potencia formada por un cociente elevado a un exponente, es igual al cociente de las potencias de cada uno de los números elevados al mismo exponente.

ab

n

= a nbn

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8. Encuentra el valor de x en cada una de las expresiones.

a) 23(53) = 10x x =

b) 53 (43)

23 = x3 x =

c) 210

44 = 2x x =

d) abc

–2

= cab

x

x =

resuelve problemas

1. Para comparar el tamaño de la Tierra y el de Mercurio se puede determinar la razón o cociente entre la masa de cada uno de estos planetas. Su masa aproximada es:Tierra: 5 983 000 000 000 000 000 000 000 kgMercurio: 330 300 000 000 000 000 000 000 kg

a) Escribe la masa de Mercurio como el producto de 3.303 por una potencia de 10 y la masa de la Tierra como 5.983 por una potencia de 10.

Mercurio: Tierra:

b) Divide 5.983 entre 3.303 y multiplica el resultado por el cociente de las potencias de 10 que usaste en las expresiones de la masa.

¿Cuántas veces cabe la masa de Mercurio en la de la Tierra?

c) Determina cuántas veces es más grande la masa de Júpiter que la de la Tierra, si aproxima-damente es de 1 900 000 000 000 000 000 000 000 000 kg.

Masa de la Júpiter como potencia de 10:

División:

2. Las unidades que se usan para almacenar información en las computadoras son los bytes, kilobytes, megabytes y gigabytes, entre otras.

a) Un kilobyte está formado por 210 bytes. Escribe la potencia de 2 que indica cuántos

bytes hay en 8 kilobytes.

b) Escribe la potencia que indica cuántos kilobytes se pueden formar con 215 bytes.

c) Un megabyte está formado por 210 kilobytes. Escribe la potencia que indica cuántos

bytes hay en un megabyte.

d) Un gigabyte está formado por 210 megabytes. ¿Cuántos gigabytes se pueden formar

con 213 megabytes?

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Dos rectas paralelas y una transversal

Lección 3

explora

En la siguiente figura, determina cuánto suman las medidas de los ángulos w y z. Explica tu

respuesta.

Si el ángulo z mide 30° más que w, ¿cuánto miden los ángulos z y w?

w = z =

¿Cuánto mide el ángulo a? ¿Por qué?

¿Y el ángulo b? ¿Por qué?

conoce

En una figura formada por dos rectas paralelas cortadas por una transversal, se utilizan los siguientes nombres para identificar distintas parejas de ángulos:

■■ Ángulos alternos externos: a y g, b y h.■■ Ángulos alternos internos: c y e, d y f.■■ Ángulos colaterales externos: a y h, b y g.■■ Ángulos colaterales internos: c y f, d y e. ■■ Ángulos correspondientes: a y e, b y f, c y g, d y h.

Y se tienen las siguientes relaciones en las medidas de los ángulos formados en esta figura:

■■ Los ángulos alternos internos miden lo mismo.■■ Los ángulos alternos externos miden lo mismo.■■ Los ángulos correspondientes miden lo mismo. ■■ Los ángulos colaterales internos y los colaterales

externos, son suplementarios, es decir, suman 180°.

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