matemàtiques - activitats d’estiu 4t eso tiques-4...matemàtiques - activitats d’estiu 4t eso...

Matemàtiques - Activitats d’estiu 4t ESO

1

NOMBRES REALS

1. Calcula, extraient factors fora dels radicals:

a) 54520 +− =

b) =−+ 754827

c) =+− 83185724

d) =−+− 722484125

2. Racionalitza els denominadors dels quocients següents:

a) 5

2 c)

22

6

−

b) 72

7 d)

35

4

−

3. Calcula, aplicant fórmules notables:

a) ( )253 + b)

( )223 −

EQUACIONS I SISTEMES D’EQUACIONS

4. Resol les equacions següents:

a. x + 4 – (8 – 2x) = 0

b. x + 3 – (x – 3) = - (x – 3)

c. 4(x – 4) + 4x – 4(4 – x) = 4(4x – 4) + 4(4 – x)

d. –(4 + 3x) + 6 = 3(x + 2)

e. 14

3

2

1x

7

3x =++−

f. 13

x26

9

)1x(2 =−−−

g. 3

1x1

3

x2 +=−

h. 6

x21

2

3x)1x(2

−−−=−


2

5. Resol les equacions biquadrades propostes a continuació:

a. 036x13x 24 =+−

b. 01x3x4 24 =−+

c. 05x6x 24 =+−

d. 06x5x 24 =++

e. 09x4 =−

f. 8)2x(x 22 =−

g. 10)3x(x 22 =+

h. 015)8x(x 22 =+−

i. 13x

16x2

4

=+

6. Resol els sistemes d’equacions següents:

a.

=−=+

17yx2

10yx22

22

b.

=+=+

29yx

7yx22

c.

==−6yx

1xy

d.

=+=+

57xy4x

10yx22

e.

−=+=−

6xyx

14xyx2

2

f.

=

=

5y

x20xy

INEQUACIONS

7. Resol les inequacions exposades a continuació:

a. 2x + 1 < 1

b. 3x – 2 < 4


3

c. 8 > 4x – 3

d. 2(x + 2) > 5x + 2

e. 1 – 4x < 5x + 11

f. 6 + 6x – (1- 2x) > 4(2 – x) + 3x

PROBLEMES D’INEQUACIONS

8. Si al doble d’un nombre li sumem 8 unitats, resulta més petit que si al seu triple li’n restem 12.

Quins nombres verifiquen aquest enunciat?

9. El doble de la suma d’un nombre més tres unitats és més gran que el triple d’aquest nombre més

sis unitats. Quins nombres compleixen aquesta condició?

10. La suma de la meitat i la quarta part d’un nombre és més petita o igual que el triple d’aquest

nombre menys nou unitats. Quins nombres verifiquen aquestes condicions?

11. En Lluís ha comprat una llibreta, un bolígraf que val la quarta part del que val la llibreta i un

retolador que val 1,80 euros. Si s’ha gastat menys de 6,50 euros, què podem dir del preu de la

llibreta?

12. Dues empreses lloguen furgonetes. Tenen aquestes tarifes per dia de lloguer:

Empresa A : 6 euros fixos + 0,75 euros per km

Empresa B : 9 euros fixos + 0,65 euros per km

Indica per a quin quilometratge l’empresa A és més econòmica.

13. La companyia telefònica cobra en cada rebut 15 euros de quota fixa més 0,16 euros per cada pas

dels servei automàtic. Si un abonat no vol que la tarifa del telèfon sobrepassi 71 euros en total,

quin és el nombre màxim de passos que ha de consumir?

TRIGONOMETRIA

14. Fixa’t en el triangle i completa les dades:

AB =

AC =

BC = 5 cm


4


AB = 4 m

AC =

BC =


AB = DC =

BC = AC =

AD = DB = 3 m

17. Fixa’t en els angles i completa les raons trigonomètriques:

sin α = sin β =

cos α = cos β =

tan α = tan β =

18. Els braços d’un compàs, que mesuren 12 cm, formen un angle de 50º. Quin és el radi de la

circumferència que es pot traçar amb aquesta obertura.


5

19. Què mesura l’apotema d’un pentàgon regular de costat 10 cm?

20. Per trobar l’altura a la que es troba un globus, procedim de la següent manera: Rosa es col·loca en

un punt B, i jo en A, a 5 metres d’ella, de manera que els punts A, B i C queden alineats. Si els angles

α i β mesuren 40º i 50º, respectivament, a quina altura es troba el globus?

21. Una antena de radio està subjectada al terra per dos

cables d’acer, com indica la figura. Calcula:

a. L’altura de l’antena

b. La longitud dels cables.

c. L’angle ABC .

22. Des del lloc on em trobo, la visual cap a un campanar és de 32º amb l’horitzontal. Si m’apropo 25

m, l’angle és ara de 50º. Quina és l’altura del campanar?

23. Calcula h, x i b.

24. D’un triangle sabem que els seus costats fan a = 10 cm, b = 15 cm i c= 18 cm. Troba el valor dels

seus angles.

25. Les mesures dels catets d’un triangle rectangle són 3,6 cm i 2,7 cm. Dibuixa el triangle i calcula el

valor del sinus de cadascun dels angles aguts. Calcula també el valor d’aquests angles.

26. La hipotenusa d’un triangle rectangle mesura 5,3 cm i un dels seus catets, 4,5 cm. Dibuixa el

triangle i calcula el valor dels cosinus dels seus angles aguts. Calcula també el valor d’aquests

angles.

27. Si la hipotenusa d’un triangle rectangle val 10 cm i sabem que sin α = 0,6 essent α l’angle agut més

petit, calcula el perímetre i l’àrea del triangle.


6

POLINOMIS

28. Obté el valor numèric del polinomi p(x) = 2x3 – 5x + 3 per a x = 0, x = - 1 i x = 1/2.

29. Calcula:

a. (x3

- 5x2

+ 4) – (x2 +3x – 5)

b. (2x4 + 4x

3 – 6x +1)·(x

2 + x – 4)

c. (x4 – 3x

2 + 2x – 5) : (x + 2)

30. Troba el valor de k per tal que 2 sigui arrel del polinomi P(x) = x4 – 15x

2 + kx – 24

31. Donat el polinomi P(x) = x5 – x

4 – 15x

3 + 25x

2 + 14x – 24, digues si x = 1, x = -1, x= 2 i x = -2 són arrels

de P(x).

32. Calcula el valor numèric del polinomi P(x) = (x2

+ 2)(x – 2) quan x = -1, x = 0 i x = 3.

33. Si el polinomi Q(x) és el resultat de les operacions següents: 5(x – 2)(x + 3)(x – 1), de quin grau és

Q(x)? Quin serà el seu terme independent?

34. Divideix els polinomis i comprova el resultat:

a. (6x5 – x

4 – 8x

3 + 15x

2 – 8x)/(2x

2 – 3x + 2)

b. (x7 – x

6 + x

2 + 3)/(x

4 – x

2)

c. (4x3 + 2x

2 – 3x + 1)/(2x +1)

d. (2x3 + 2x + 1)/(x

2 – x + 1)

35. Factoritza els polinomis:

a. P(x) = x2 – 2x – 3

b. Q(x) = - 6x2 + 12x + 18

c. R(x) = 3x2 – 2x + 5

FUNCIONS

36. Donada la funció f(x) = x2 + 2x – 3, troba:

a. les imatges de -1, 1 i 3.

b. les antiimatges de 0 i 5.


7

37. Troba el domini de les funcions següents:

a. f(x)=2x

5

+−

b. g(x)= 9x3 −

c. h(x) = 8x2x

22 −−

−

38. En les gràfiques següents, esbrina:

a. el domini,

b. el recorregut

c. els punts de tall amb els eixos

d. la continuïtat i la discontinuïtat

e. el creixement, el decreixement, els màxims i els mínims

f. el signe

g. les imatges de - 2, 0, 3, 5 i - 4, en els casos que sigui possible

h. les antiimatges de - 3, 0, 2, 4 i - 5, en els casos que sigui possible.

a) y

x

b) y

x


8

c) y d) y

39. Quins són els punts de tall amb els eixos de la paràbola y = x2 + 8x + 7?

40. La funció mostrada en la gràfica següent, indica:

a. el domini i el recorregut

b. els punts de tall amb els eixos

c. els valors d’x on la funció és creixent.

d. els valors d’x on la funció és decreixent

e. les coordenades dels màxims o mínims.

GEOMETRIA, VECTORS I RECTES

41. Donats els punts A=(1, -3 ) i B=(2,4) troba les coordenades del vector →

AB .

42. Donats els punts A=(1,0), B=(2,-1), C=(3,2) i D=(-1,-2), troba els vectors →

AB ,→

AC ,→

AD , →

BC , →

BD , →

CD .

43. Determina els components cartesians i el mòdul de cadascun dels vectors següents. En cada cas

fes-ne la representació gràfica.

a. →

AB amb A=(-3,4) i B=(6,9)

b. →

CD amb C=(5,1) i D=(4,-3)

c. →EF amb E=(0,0) i F=(-2,-4)

d. →

GH amb G=(-2,-3) i H=(-5,-8)

x

x

5 3

4

-2

f(x)

2


9

44. Si el punt B=(-2,1) és l’extrem dels vectors següents, troba’n l’origen:

a. )4,3(AB =→

b. )2,1(AB −=→

c. )5,2(AB =→

45. Determina la funció f(x) que passa pel punt P=(3,2) i té pendent 2.

46. Determina la funció f(x) que passa pel punt P=( 2 ,-1 ) i té pendent -2.

47. Troba l’equació de la recta que passa pels punts P(1, 2) i Q(0, - 12)

48. Troba l’equació de la recta que passa pels punts P(4, 6) i Q(1, - 3)

49. Donada la figura següent i sabent que les equacions de

les rectes són:

AB: y = 0,25x + 4,75

AC: y = 2,5x + 2,5

BC: y = - 2x + 16

a. Troba les coordenades dels punts A, B i C

b. Troba l’equació de la recta paral·lela a la recta

BC que passa pel punt A.

50. Quin és el perímetre del triangle format pels punts ABC de l’exercici anterior?

B

C

A


10

SOLUCIONS:

1.

a. 0

b. 32

c. 215

d. 21236 −

2.

a. 5

52

b. 2

7

c. 236 +

d. 3252 +

3.

a. 5614 +

b. 625 −

4. EQUACIONS

a. 4

b. -3

c. No té solució

d. -2/3

e. 2/9

f. 29/8

g. -4

h. 2/7


11

5. BIQUADRADES

a. x1 = 3, x2 = - 3, x3 = 2, x4 = -2

b. x1 = 1/2, x2 = -1/2

c. 1x,1x,5x,5x 4321 −==−==

d. No té solució.

e. 3x,3x 21 −==

f. X1 = 2, x2 = - 2

g. 2x,2x 21 −==

h. 3x,3x,5x,5x 4321 −==−==

i. 6x,6x,7x,7x 4321 −==−==

6. SISTEMES

a. x1 = 3, x2 = 3, x3 = - 3, x4 = - 3, y1 = 1, y2 = - 1, y3 = 1, y4 = -1

b. x1 = 5, y1 = 2, x2 = 2, y2 = 5

c. x1 = 2, y1 = 3, x2 = - 3, y2 = -2

d. x1 = 3, y1 = 4, x2 = 19/7, y2 = 32/7

e. x1 = 2, y1 = -5, x2 = -2, y2 = 5

f. x1 = 10, y1 = 2, x2 = -10, y2 = -2

7. INEQUACIONS

a. x< 0

b. x < 2

c. x < 11/4

d. x < 2/3

e. x > - 10/9

f. x > 1/3

8. Els nombres majors de 30.

9. Tots els nombres negatius.

10. Els majors o iguals que 31/10


12

11. Podem dir que val menys de 3,76€

12. Per a quilometratges inferiors a 30 km.

13. Com a molt pot consumir 350 passos.

14. AB = 10 cm, AC = 8,66 cm

15. AC = 8 m, BC = 6,93 m

16. AB = 4,24 m, BC = 6 m, AD = 3 m, DC = 5,2 m, AC = 8,2 m.

17. sin α = 5/13, cos α = 12/13, tan α =5/12, sin β = 12/13, cos β = 5/13, tan β = 12/5

18. 10,14 cm

19. 6,88 cm

20. 14,18 m.

21. altura: 54,56 m, longitud: AB = 63 m i BC = 109,12 m, angle ABC = 900

22. 32,84 m

23. h = 30,74 cm, x = 32,19 cm, b = 44,50 cm

24. A = 33,750, B = 56,44

0, C = 89,81

0

25. sin α = 0,8, α = 53,130, sin β = 0,6, β = 36,57

0

26. cos α = 0,8, α = 58,110, cos β = 085, β = 31,89

0

27. El perímetre és 24 cm i l’àrea és 24 cm2

28. p(0) = 3, p(-1) = 6, p(1/2) = 3/4

29.

a. x3 – 6x

2 + 9

b. 2x6 + 6x

5 – 4x

4 – 22x

3 – 5x

2 + 25x – 4

c. Q(x) = x3 – 2x

2 + x; R = - 5

30. k = 34

31. x = 1 sí, x = - 1 sí, x = 2 sí, x = -2 no

32. P(-1) = - 9, P(0) = -4 i P(3) = 11

33. El grau serà 3, el terme independent 30.

34.

a. Q(x) = 3x3 + 4x

2 – x + 2, R = - 4.


13

b. Q(x) = x3 – x

2 + x – 1, R = x

3 + 3.

c. Q(x) = 2x2 – 3/2, R = 5/2.

d. Q(x) = 2x + 2, R = 2x – 1

35.

a. P(x) = (x – 3)·(x + 1)

b. Q(x) = - 6·(x – 3)·(x + 1)

c. R(x) = 3·(x – 5/3)·(x + 1)

36.

a. f(- 1) = - 4, f(1) = 0, f(3) = 12,

b. f-1

(0) = 1 i 3, f-1

(5) = - 4 i 2.

37.

a. Df = R – {- 2}

b. Dg = [3, + ∞)

c. Dh = R – {4, - 2}

38.

a b c d

Domini R R – {0} (-5, + ∞) (- ∞, -3)

Recorregut [0, + ∞) R – {0} [0, + ∞) [0, + ∞)

Punts de tall (0, 0) No en té (- 5, 0) i (2,1,

0) No en té

Continuïtat R Discontinua en x = 0 (-5, + ∞) (- ∞, -3)

Creixement i

decreixement

creix: (0, + ∞),

decreix: (- ∞, 0) sempre decreixent

sempre

creixent

sempre

creixent

Signe sempre + (- ∞, 0): -; (0, + ∞):

+ sempre + sempre +

Imatges

f(- 2) = 1,5

f(0) = 0

f(3) = 2,3

f(5) = 3,2

f(- 4) = 2,9

f(- 2) = - 0,5

f(0) = --

f(3) = 0,4

f(5) = 0,2

f(- 4) = - 0,3

f(- 2) = 1,9

f(0) = 2,1

f(3) = 2,9

f(5) = 3,1

f(- 4) = 1

f(- 2) = --

f(0) = --

f(3) = --

f(5) = --

f(- 4) = 1

Antiimatges

f-1

( - 3) = --

f-1

(0) = 0

f-1

(2) = -2,5 i 2,5

f-1

(4) = -7,5 i 7,5

f-1

( - 5) = --

f-1

( - 3) = - 0,4

f-1

(0) = --

f-1

(2) = 0,5

f-1

(4) = 0,3

f-1

( - 5) = - 0,2

f-1

( - 3) = --

f-1

(0) = - 5

f-1

(2) = - 1

f-1

(4) = 12

f-1

( - 5) = --

f-1

( - 3) = --

f-1

(0) = --

f-1

(2) = -3,2

f-1

(4) = - 3

f-1

( - 5) = --


14

39. (0, 7), (- 1, 0) i (- 7, 0)

40.

a. Df = R, Rf = R

b. ( - 2, 0) i (0, 2)

c. creixent (- ∞, 3) U (5, + ∞), decreixent (3, 5)

d. màxim: (3, 4), mínim (5, 2)

41. )7,1(AB =

42. )4.4(CD),1,3(BD),3,1(BC),2,2(AD),2,2(AC),1,1(AB −−=−−==−−==−=

43.

a. )5,9(AB =

b. )4,1(CD −−=

c. )4,2(EF −−=

d. )5,3(GH −−=

44.

a. A(- 5, - 3)

b. A(- 3, 3)

c. A(- 4, - 4)

45. f(x) = 2x – 4

46. f(x) = - 2x + 3

47. f(x) = 14x - 12

48. f(x) = 3x - 6

49.

a. A(1, 1), B(5, 6), C(3, 10)

b. y = - 2x + 3

50. 09,20852041 =++

matemàtiques - activitats d’estiu 4t eso tiques-4...matemàtiques - activitats d’estiu 4t eso...

Documents