TURUNAN DAN INTEGRAL VEKTOR TURUNAN (DERIVATIF) Misalkan r = if1(t) + j f2(t) + kf3(t) = if1 + j f2 + kf3 s = ig1(t) + jg2(t) + kg3(t) = ig1 + jg2 + kg3 r = ih1(t) + jh2(t) + kh3(t) = ih1 + jh2 + kh3, dimana i, j dan k adalah vektor-vektor satuan. Kecepatan dan percepatan sebuah partikel yang bergerak sepanjang kurva r , adalah

v = ���� dan a =

������.

Hasil kali titik (dot product) � r.s = f1g1 + f2g2 + f3g3

Hasil kali silang (cross product) � r x s = � � � � � � � ��. ��� ��. �� � ���� . � � �. ���� ��� �� x �� � ���� x � � � x ����.

OPERATOR � (“DEL”) Misalkan w = F(x, y, z), maka didefinsikan � = � ��� � � ��� � � ���

�F = � �!�� � � �!�� � � �!�� � turunan berarah pada titik (x, y, z).

Jika a = a1i + a2j + a3k, maka turunan berarah F dalam arah vektor a adalah �F. " DIVERGENSI DAN CURL Misalkan F = iF1(x, y, z) + jF2(x, y, z) + kF3(x, y, z), maka divergensi dari vektor F adalah

div F = � . # = �!�� � �!��� � �!���

curl dari vektor F adalah

curl F = � x # = $ � � ���� ��� ���% %� %�$.

INTEGRAL GARIS Misalkan F = iF1(x, y, z) + jF2(x, y, z) + kF3(x, y, z), dan r = xi + yj + zk adalah posisi titik P(x, y, z) pada busur C sepanjang vektor r , maka & #. d�()

(* � & �%+�, � %-�. � %/�0�()(*

Dinamakan integral garis. Secara spesifik integral ini dinamakan usaha yang dikerjakan oleh sebuah partikel yang bergerak dari P0 ke P1 sepanjang busur C.

LATIHAN

1. Sebuah partikel bergerak sepanjang kurva x = 4cos t, y = 4sin t, z = 6t. Carilah magnitude kecepatan dan percepatan pada waktu t = 0 dan t = π/2.

2. Percepatan sebuah partikel pada sebarang waktu t > 0 diberikan oleh persamaan a = dv/dt = eti + e2t j + k. Jika pada t = 0, r = 0 dan v = i + j , carilah r dan v pada sebarang waktu t.

3. Carilah turunan berarah vektor F(x, y, z) = x2 – 2y2 + 4z2 pada titik P(1, 1, -1) dalam arah a = 2i + j – k.

4. Misalkan B = xy2i + 2x2yzj – 3yz2k, carilah div B dan curl B.

5. Carilah turunan pertama dan kedua dari vektor s jika

(a) s = (t + 1)i + (t2 + t + 1)j + (t3 + t2 + t + 1)k

(b) s = ie2t cos 2t + j et sin 2t + t2k.

6. Diberikan a = ui + u2j + u3k, b = i cos u + j sin u, c = 3u2 i – 4uk. Hitung a.b, a x b, a.(bxc), ax(bxc) dan cariral turunan masing-masing.

7. Hitung 1 %�2��234 , jika diberikan

(a) F(u) = u2i + (3u2 – 2u)j + 3k, a = 0, b = 2

(b) F(u) = eui + e-2uj + uk, a = 0, b = 2.

8. Carilah usaha yang dilakukan oleh F = (x + yz)i + (y + xz)j + (z + xy)k dalam menggerakkan partikel dari titik asal O(0,0,0) ke titik C(1, 1, 1)

(a) Sepanjang garis lurus OC

(b) Sepanjang kurva x = t, y = t2, z = t3

(c) Sepanjang garis lurus O(0, 0, 0) ke A(1, 0, 0), A ke B(1, 1, 0), B ke C.