material de matematica para concurso da camara
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Material de Matematica Para Concurso Da CamaraTRANSCRIPT
Expressões Numéricas
São expressões matemáticas que envolvem operações com
números. Por exemplo:
a = 7+5+4
b = 5+20-87
c = (6+8)-10
d = (5×4)+15
Expressões algébricas
São expressões matemáticas que apresentam letras e podem
conter números. São também denominadas expressões literais.
Por exemplo:
A = 2a+7b
B = (3c+4)-5
C = 23c+4
As letras nas expressões são chamadas variáveis o que significa
que o valor de cada letra pode ser substituída por um valor
numérico.
Valor numérico de uma expressão algébrica identificada
É o valor obtido para a expressão, ao substituir as variáveis
literais por valores numéricos.
Exemplo: Tomando p(x,y)=3x²y, então para x=7 e y=2 temos que:
p(7,2) = 3 × 7² × 2 = 294
TEORIA DOS CONJUNTOS
(parte 3)Símbolo Nome Explicação
{ , } chaves o conjunto de...Ex: {a,b,c} representa o conjunto composto por a, b e c.
{ } ou conjunto vazio Significa que o conjunto não tem elementos, é um conjunto vazio.Ex: A={1,2,3}B={4,5,6}
A B= para todo Significa "Para todo" ou "Para qualquer
que seja".Ex: x > 0, x é positivo. Significa que para qualquer x maior que 0, x é positivo.
pertence Indica relação de pertinência.Ex: 5 Significa que o 5 pertence aos números naturais.
não pertence Não pertence .Ex: -1 N. Significa que o número -1 não pertence aos números naturais.
existe Indica existência.Ex: x Z | x > 3Significa que existe um x pertencente ao conjunto dos números inteiros tal que x é maior que 3.
está contido Ex: N ou seja, o conjunto dos números naturais está contido no conjunto dos números inteiros.
não está contido Ex: R ou seja, o conjunto dos números reais não está contido no conjunto dos números naturais.
contém Ex: Z N, ou seja, o conjunto dos números inteiros contém o conjunto dos números naturais.
se...então se...entãop: José vai ao mercadoq: José vai fazer comprasp qSe José vai ao mercado então ele vai fazer compras.
se e somente se se e somente seEx: p: Maria vai para a praiaq: Maria vai tirar notas boasp qMaria vai para a praia se e somente se ela tirar notas boas.
A B união de conjuntos
Lê-se como "A união B"Ex: A={5,7,10}B={3,6,7,8}A B = {3,5,6,7,8,10}
A B intersecção de conjuntos
Lê-se como "A intersecção B"Ex:
A={1,3,5,7,8,10}B={2,3,6,7,8}A B={3,7,8}
A - B diferença de conjuntos
Lê-se como "diferença de A com B".É o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto A e não pertencem ao conjunto B.
Ex: A-B = {X | x A e x B}
No final do século XIX, o matemático George Cantor (1845-1918) deu
início ao estudo da Teoria dos Conjuntos. Um conjunto pode ser considerado
bem definido quando é possível identificar os seus componentes. No exemplo
anterior, poderíamos dizer que o número 20 faz parte do conjunto? Vamos
analisar esse elemento: o número 20 é par? Sim, então o número 20 faz parte
do conjunto dos números pares. Podemos simplificar a linguagem chamando o
conjunto dos números pares de P. Então:
P = {conjunto dos números pares} ⇒ P= {0, 2, 4, 6, 8, 10...}
Podemos ainda afirmar que o número 20 pertence a esse conjunto da seguinte
forma:
20 € P
Tente agora imaginar um conjunto formado apenas pelos múltiplos de 5, vamos
chamá-lo de Q. Temos, então:
Q = {0, 5, 10, 15...}
Nesse caso, o 20 pertence ao conjunto Q? Ele é múltiplo de 5? Sim,
pois 4*5=20, então 20 é múltiplo de 5 e, portanto, pertence a Q. Mas
existem outros números que pertencem ao conjunto dos números
pares e dos múltiplos de 5 simultaneamente. Podemos melhor
representá-los através do Diagrama de Venn, como na imagem
abaixo:
Na parte roxa estão representados os números que fazem parte apenas do
conjuntoP; na seção verde, há os que fazem parte apenas do
conjunto Q; e, na parte laranja, estão os números que fazem parte
tanto do conjunto P quanto do Q. Dizemos que os
números 0, 10 e 20 pertencem à intersecção dos conjuntos P e Q,
isto é,{0,10,20} € P ᴨ Q.
RAZÃO
O conceito de razão é a forma mais comum e prática de fazer a
comparação relativa entre duas grandezas. Ao dividir uma grandeza por outra,
estamos comparando a primeira com a segunda, que passa a ser a base da
comparação. Por exemplo, se a área de um retângulo mede 300 cm² e a área
de um outro retângulo mede 210 cm², ao fazermos a razão das áreas, temos:
210/300=7/10=0,7
Estamos calculando o quanto a área menor representa da maior. Em
outras palavras, a área menor representa 0,7, ou 70%, da área maior. Isso é
uma comparação muito significativa e fácil de ser feita.
RAZÃO. Dados dois números reais a e b, com b diferente de zero,
chamamos de razão entre a e b ao quociente a/b=k
Observe que k é um número real. O numerador a chamamos de
antecedente, e o denominador b chamamos de consequente dessa razão (lê-
se “a está para b”). A razão k indica o valor do número a quando comparado ao
número b, tomando-o como unidade.
Exemplo: Uma escola tem 1200 m² de área construída e 3000 m² de
área livre. A razão da área construída para a área livre é:
A) 6/5
B) 3/5
C) 4/5
D) 1/10
E) 2/5
Solução: razão = área construída/área livre=1200/3000=25(letra E)
Isso significa que a área construída representa 2/5=0,4,ou 40%, da área
livre.
Questão 1
A distância entre duas cidades é de aproximadamente 500 km.
Determine a velocidade média de um veículo que faz esse percurso em
8 horas e 30 minutos.
ver resposta Resposta Questão 1
Temos que 8 horas e 30 minutos correspondem a 8,5 horas, e que a
velocidade medida de um veículo é dada pela divisão entre a distância e
o tempo da viagem.
A velocidade média do veículo é de, aproximadamente, 58,8 km/h.
Questão 2
Determine a densidade demográfica de uma cidade que possui 13.834.
971 habitantes, e que ocupa uma área de 564.692 km². A densidade
demográfica é calculada através da divisão entre número de habitantes
e área em km².
Resposta Questão 2
A densidade indica que existem 25 habitantes por km².
Questão 3
Um carro percorre cerca de 668 km com aproximadamente 48 litros de
combustível. Para determinarmos o consumo desse carro, devemos
dividir a distância percorrida pela quantidade de litros de combustível.
Resposta Questão 3
O consumo desse carro é de, aproximadamente, 13,96 quilômetros por
litro.
Questão 4
Um minério com massa igual a 32,24 kg possui volume igual a 12,40
cm³. Determine a densidade desse minério.
A densidade desse minério corresponde a 2,6 g/cm³.
Questão 03 - Razão e proporção
Em uma padaria, a razão entre o número de pessoas que tomam café puro e o
número de pessoas que tomam café com leite, de manhã, é 2/3. Se durante
uma semana, 180 pessoas tomarem café de manhã nessa padaria, e supondo
que essa razão permaneça a mesma, pode-se concluir que o número de
pessoas que tomarão café puro será:
(A) 72.
(B) 86.
(C) 94.
(D) 105.
(E) 112.
Questão 07 - Razão e proporção
Em uma fundação, verificou-se que a razão entre o número de atendimentos a
usuários internos e o número de atendimento total aos usuários (internos e
externos), em um determinado dia, nessa ordem, foi de 3/5. Sabendo que o
número de usuários externos atendidos foi 140, pode-se concluir que, no total,
o número de usuários atendidos foi
(A) 84.
(B) 100.
(C) 217.
(D) 280.
(E) 350.
PROPORÇÃOA igualdade entre duas razões forma uma proporção, vale
lembrar que razão é a divisão entre dois números a e b, tal que b ≠ 0
e pode ser escrito na forma de a/b. Observe os exemplos de
proporções a seguir:
é uma proporção, pois 10:20 = 3:6
é uma proporção, pois 9:12 = 3:4
As proporções possuem uma propriedade que diz o seguinte: “em
uma proporção, o produto dos extremos é igual ao produto dos
meios.” Essa propriedade pode ser colocada em prática na verificação
da proporcionalidade, realizando uma operação denominada
multiplicação cruzada.
9 x 4 = 12 x 3
36 = 36
Multiplicação cruzada
4 x 15 = 6 x 10
60 = 60
As proporções possuem uma enorme aplicabilidade em situações
problema envolvendo informações comparativas, na regra três a
proporcionalidade é usada no intuito de calcular o quarto valor com
base nos três valores estabelecidos pelo problema. Acompanhe os
exemplos a seguir no intuito de demonstrar a importância do estudo
das proporções.
Exemplo 1
Para fazer 600 pães, são gastos, em uma padaria, 100 Kg de farinha.
Quantos pães podem ser feitos com 25kg de farinha?
Estabelecemos a seguinte relação:
600 -------------- 100
x -------------- 25
Podem ser feitos 150 pães.
Exemplo 2
Se com 40 laranjas é possível fazer 26 litros de suco, quantos litros de
suco serão obtidos com 25 laranjas?
40 -------- 26
25 -------- x
Com 25 laranjas podemos fazer 16,25 litros de suco.
REGRA DE TRES
QUESTAO 01- Se 6 impressoras iguais produzem 1000 panfletos em 40
minutos, em quanto tempo 3 dessas impressoras produziriam 2000 desses
panfletos?
Resposta Questão 1
As três impressoras produziriam 2000 panfletos em 160 minutos, que
correspondem há 2 horas e 40 minutos.
02- Um automóvel percorre um espaço de 480 Km em 02 horas. Quantos kms
ele percorrerá em 06 horas?
Grandeza 1: Distância percorrida
Grandeza 2: Tempo necessário
Cálculo:
Distância 1 = 480 Km – 02 horas
Distância 2 = ? Km – 06 horas
01 hora percorrida = 240 km
06 horas percorrida = 240 Km x 6
Resultado: 1440 Kms
regra de três composta
1) Na alimentação de 02 bois, durante 08 dias, são consumidos 2420 kgs de ração. Se mais 02 bois são comprados, quantos quilos de ração serão necessários para alimentá-los durante 12 dias.
Assim: serão necessários 7260 Kgs de ração
PORCENTAGEM
10) (VNSP1201/003-AssistAdmin-I 2012) – Um arquiteto projetou uma Escola Infantil, utilizando
45% da área total do terreno para o prédio que continha as salas de aula e 15% para as salas de projeção, biblioteca e laboratórios. Mesmo assim, sobrou uma área de 900 m² para ambientes de lazer. Podemos concluir que o terreno tinha um total, em m², de
(A) 3 250.(B) 3 000.(C) 2 750.(D) 2 450.(E) 2 250.
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11) (PCSP1205/001-AgentePolicia – 2013) – Um produto foi vendido com desconto de 10% sobre o preço normal de venda. Se ele foi vendido por R$ 54,00, o preço normal de venda desse produto é
(A) R$ 59,40.
(B) R$ 58,00.(C) R$ 60,00.(D) R$ 59,00.(E) R$ 58,40.
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JUROS SIMPLES
O regime de juros será simples quando o percentual de juros
incidir apenas sobre o valor principal. Sobre os juros gerados a
cada período não incidirão novos juros. Valor Principal ou
simplesmente principal é o valor inicial emprestado ou aplicado,
antes de somarmos os juros. Transformando em fórmula temos:
J = P . i . n
Onde:
J = juros
P = principal
(capital)
i = taxa de juros
n = número de
períodos
Exemplo: Temos uma dívida de R$ 1000,00 que deve ser
paga com juros de 8% a.m. pelo regime de juros simples e
devemos pagá-la em 2 meses. Os juros que pagarei serão:
J = 1000 x 0.08 x 2 = 160
Ao somarmos os juros ao valor principal temos
o montante.
Montante = Principal + Juros
Montante = Principal + ( Principal x Taxa de juros x
Número de períodos )
MONTANTE
M = P . ( 1 + ( i . n ) )
Exemplo: Calcule o montante resultante da aplicação de
R$70.000,00 à taxa de 10,5% a.a. durante 145 dias.
SOLUÇÃO:
M = P . ( 1 + (i.n) )
M = 70000 [1 + (10,5/100).(145/360)] = R$72.960,42
Observe que expressamos a taxa i e o período n, na
mesma unidade de tempo, ou seja, anos. Daí ter dividido
145 dias por 360, para obter o valor equivalente em anos,
já que um ano comercial possui 360 dias.
Questão 1
Uma pessoa aplicou o capital de R$ 1.200,00 a uma taxa de 2% ao
mês durante 14 meses. Determine os juros e o montante dessa
aplicação.
Resposta Questão 1
Capital (C) = R$ 1.200,00
Tempo (t) = 14 meses
Taxa (i) = 2% ao mês = 2/100 = 0,02
Fórmula dos juros simples
J = C * i * t
J = 1200 * 0,02 * 14
J = 336
Montante
M = C + J
M = 1200 + 336
M = 1536
O valor dos juros da aplicação é de R$ 336,00 e o montante a ser
resgatado é de R$ 1.536,00.
Exercícios de Equações de 1º Grau
2) Resolva as equações a seguir:a)18x - 43 = 65b) 23x - 16 = 14 - 17xc) 10y - 5 (1 + y) = 3 (2y - 2) - 20d) x(x + 4) + x(x + 2) = 2x2 + 12e) (x - 5)/10 + (1 - 2x)/5 = (3-x)/4f) 4x (x + 6) - x2 = 5x2
Resposta a:
18x = 65 + 4318x = 108x = 108/18x = 6
Resposta b:
23x = 14 - 17x + 1623x + 17x = 3040x = 30x = 30/40 = 3/4
Resposta c:
10y - 5 - 5y = 6y - 6 -20 5y - 6y = -26 + 5-y = -21y = 21
Resposta d:
x² + 4x + x² + 2x = 2x² + 122x² + 6x = 2x² + 12Diminuindo 2x² em ambos os lados:6x = 12x = 12/6 = 2
Resposta e:
[2(x - 5) + 4(1 - 2x)] / 20 = 5 (3 - x) / 202x - 10 + 4 - 8x = 15 - 5x-6x - 6 = 15 - 5x-6x + 5x = 15 + 6-x = 21x = -21
Resposta f:
4x² + 24x - x² = 5x²4x² - x² - 5x² = -24x-2x² = -24xDividindo por x em ambos os lados:-2x = - 24x = 24/2 = 12
Exercícios de Equações de 2º Grau1) Identifique os coeficientes de cada equação e diga se ela é completa ou não:a) 5x2 - 3x - 2 = 0b) 3x2 + 55 = 0c) x2 - 6x = 0d) x2 - 10x + 25 = 0
Resposta a:
a = 5 ; b = -3 ; c = -2Equação completa
Resposta b:
a = 3 ; b = 0 ; c = 55Equação incompleta
Resposta c:
a = 1 ; b = -6 ; c = 0Equação incompleta
Resposta d:
a = 1 ; b = -10 ; c = 25Equação completa
FUNÇÃO POLINOMIAL DE 1º GRAU
NOÇÃO DE FUNÇÃO
As funções são definidas abstractamente por certas relações. Descrevem relações matemáticasespeciais entre dois elementos.As funções estão presentes em diversas situações do dia a dia, e são utilizadas também em várias ciências como na física, química, biologia, estatísticas...Exemplos de funções polinomiais do 1ª grau:O consumo de combustível de um carro é dado em função do percurso percorrido. No exemplo citado, o gasto do combustível depende da distancia percorrida pelo veículo. Isto é, a variação de uma grandeza depende da outra.Um vendedor da loja B recebe um salário fixo de (650,00?) reais mais comissão de 5% por cada venda realizada. No final do mês seu rendimento será o seu salário mais as comissões, isto é, o salário final desse funcionário vai depende do total de vendas feitas pelo mesmo durante um mês.
Com a e b números reais quaisquer e a≠ 0, (a diferente de zero)Toda função do tipo f(x)=ax + c ou y = ax + c, é dita função polinomial ou função do 1º grau. Coma e b números reais quaisquer e a≠ 0, (a diferente de zero)Exemplos:Y= 3x -1f(x)= 2x - 20
COEFICIENTES DA FUNÇÃO POLINOMIAL DO 1º GRAU
y=ax+ba → é o coeficiente angular, e a ≠ 0 a> 0 a função é crescente.a< 0 a função é decrescente.
b → é o coeficiente linear – é o termo independente.
Exemplo1: f(x)= 3x – 2; onde o coeficiente de a=3,o coeficiente de b= - 2.a>0 logo, a função é crescente.
Exemplo2: f(x)= -2x ; onde a=-2 e b=0, nesse caso não termos o valor de b, então b é igual a 0(zero).a<0 logo, a função é decrescente
GRÁFICO DA FUNÇÃO
O gráfico de uma função do 1º grau é uma reta.
Gráfico da função crescente: a>0y= ax + b: F(x)= 2x – 2
vejamos como fica o gráfico dessa função que é crescente abaixo:
FUNÇÃO POLINOMIAL DO 2º GRAU – MATEMÁTICA ENEM
Estude para o Exame Nacional do Ensino Médio com esta aula de Funções Polinomiais de 2º grau para a prova de Matemática Enem
Função Polinomial do 2º grau
Temos que uma função polinomial do 2º grau, é toda
função escrita na forma:
Exemplos:
a)
b)
Raiz da Função
É o valor de x que zera a função.
Vamos utilizar as mesmas fórmulas usadas na aula 3:
Dica 1 – Nesta aula de Matemática Enem vamos revisar sobre
Estudo do Delta, Equação Polinomial do 2º grau e como resolver
este tipo de equação
Ponto que intercepta o eixo y.
Temos como valor que intercepta o eixo y (eixo das
ordenadas) o coeficiente c.
Pois:
Portanto o ponto que intercepta o eixo das ordenadas é o
ponto (0;c)
Vértice
É o ponto que se encontra o valor máximo ou mínimo de
uma função polinomial do 2º grau. E podemos encontrar
utilizando as seguintes fórmulas:
Gráfico
O gráfico de uma função polinomial do 2º grau será uma
parábola, como você pode observar no exemplo abaixo:
Analisando alguns gráficos podemos chegar a algumas
conclusões gerais:
Parábola concavidade para baixo:
Parábola concavidade para cima:
Valor mínimo para uma função
Para , não teremos valor mínimo, pois a função tende
a menos infinito.
Para , o valor mínimo será o
Para , teremos valor mínimo, pois a função tende a
menos infinito.
PROGRESSÃO ARITMÉTICA
Denomina-se progressão aritmética (PA) a sequência em que
cada termo, a partir do segundo, é obtido adicionando-se uma
constante r ao termo anterior. Essa constante r chama-se razão da
progressão aritmética.
A sequência (2,7,12,17) é uma progressão aritmética finita de razão 5
pois:
a1 = 2
a2 = 2+5 = 7
a3 = 7 +5 = 12
a4 = 12 + 5= 17
As progressões aritméticas podem ser classificadas de acordo com o
valor da razão r.
Se r > 0, então a PA é crescente.
Se r = 0, então a PA é constante.
Se r < 0, a PA é decrescente
Termo geral da PAA partir da definição, podemos escrever os elementos da PA(a1, a2,
a3, ..., an ) da seguinte forma:
a1 = a1
a2 = a1 + r
a3 = a2 + r = a1 + 2r
O termo an geral de uma PA é dado, portanto, pela fórmula:
an = a1+(n-1)r
Questão 1
A sequência seguinte é uma progressão geométrica, observe: (2, 6, 18,
54...). Determine o 8º termo dessa progressão.
Razão da progressão: 6 : 2 = 3
an = a1 * q n–1
a8 = 2 * 3 8–1
a8 = 2 * 3 7
a8 = 2 * 2187
a8 = 4374
02- Sabendo que o primeiro termo de uma PA é 5 e a razão é 11, calcule o 13o termo:
- Primeiro devemos coletar todas informações do problema: a1=5 r=11 a13=? - Para calcular vamos utilizar a fórmula do termo geral, onde an será o a13, portanto n=13. Agora, substituindo:
a13 = 5 + (13 - 1).11 a13 = 5 + (12).11 a13 = 5 + 132 a13 = 137
GEOMETRIA PLANAA geometria plana ou euclidiana é a parte da matemática que estuda as figuras
que não possuem volume, tal qual as figuras que fazem parte da geometria
espacial. A geometria plana também é chamada de euclidiana, uma vez que seu
nome representa uma homenagem ao geômetra Euclides de Alexandria,
considerado o “pai da geometria”. Curioso notar que o termo geometria é a união
das palavras “geo” (terra) e “metria” (medida); assim, a palavra geometria
significa a "medida de terra".
Conceitos de Geometria PlanaAlguns conceitos são de suma importância para o entendimento da geometria
plana, a saber:
Ponto: Conceitos adimensional, uma vez que não possuem dimensão.
Os pontos determinam uma localização e são indicados com letras
maiúsculas.
Reta: a reta, representada por letra minúscula, é uma linha ilimitada
unidimensional (possui o comprimento como dimensão) e pode se
apresentar em três posições: horizontal, vertical ou inclinada.
Dependendo da posição das retas, quando elas se cruzam, ou seja,
possuem um ponto em comum, são chamadas de retas concorrentes;
por outro lado, as que não possuem ponto em comum, são classificadas
como paralelas.
Segmento de Reta: Diferente da reta, o segmento de reta é limitado pois
corresponde a parte entre dois pontos distintos. Não obstante, a
semirreta é limitada somente num sentido, visto que possui início, e não
possui fim.
Plano: corresponde a uma superfície plana bidimensional, ou seja,
possui duas dimensões: comprimento e largura. Nessa superfície que se
formam as figuras geométricas.
Ângulos: são formados pela união de dois segmentos de reta, a partir de
um ponto comum, chamado de vértice do ângulo. São classificados em:
ângulo reto (Â = 90º), ângulo agudo (0º < Â < 90º) e ângulo obtuso (90º <
 < 180º).
Área: A área de uma figura geométrica expressa o tamanho de uma
superfície de modo que quando maior a superfície da figura, maior será
sua área.
Perímetro: corresponde a soma de todos os lados de uma figura
geométrica.
Circulo Área = pi x r²
Triangulo equilátero a= base. Altura
2
Área = lado . lado
Retângulo = base . altura
Triangulo retângulo= Sendo c o comprimento da hipotenusa e a e b os comprimentos dos catetos, o teorema pode ser expresso por meio da seguinte equação:
Manipulando algebricamente essa equação, chega-se a que se os comprimentos de quaisquer dois lados do triângulo retângulo são conhecidos, o comprimento do terceiro lado pode ser calculado:
e
ANALISE COMBINATORIA
A análise combinatória é um dos tópicos que a matemática é dividida,
responsável pelo estudo de critérios para a representação da quantidade de
possibilidades de acontecer um agrupamento sem que seja preciso
desenvolvê-los.
Quantos são os anagramas da palavra AMOR?
Resolução:
Anagramas da palavra amor são todas as palavras, com ou sem
significado, que criamos usando todas as letras da palavra dada. Alguns
deles são ROMA, ROAM, MORA, AMOR, MROA, etc.
Veja que estamos simplesmente permutando todas as 4 letras. Assim, o
total de anagramas é dado por
P4 = 4! = 24
E se a palavra fosse BATATA?
Neste caso tem-se uma Permutação com Repetição.
Permutação com repetição
Fórmula:
(n objetos, onde um deles se repete á vezes, outro â vezes, e assim por
diante).
Calculando então o total de anagramas da palavra BATATA, temos 6
letras, com A repetindo 3 vezes e T duas vezes.
1. Estamos utilizando todos os elementos do conjunto ou parte deles?
Todos os elementos = PERMUTAÇÃO (SIMPLES OU COM REPETIÇÃO) No
caso de utilizarmos todos os elementos, do conjunto dado, analise de acordo
com o enunciado se o problema proposto permite ou não repetição dos
elementos. Não = PERMUTAÇÃO SIMPLES Sim = PERMUTAÇÃO COM
REPETIÇÃO
2. Estamos utilizando todos os elementos do conjunto ou parte deles?
Parte dos elementos = ARRANJO (SIMPLES OU COM REPETIÇÃO) ou
COMBINAÇÃO
3. O Agrupamento com parte dos elementos é ORDENADO ou NÃO
ORDENADO? Ordenado = ARRANJO (SIMPLES OU COM REPETIÇÃO) O
Agrupamento Ordenado com parte dos elementos permite ou não
REPETIÇÃO? Não = ARRANJO SIMPLES Sim = ARRANJO COM
REPETIÇÃO
4. O Agrupamento com parte dos elementos é ORDENADO ou NÃO
ORDENADO? Não Ordenado = COMBINAÇÃO
Probabilidade
A Probabilidade está presente nas nossas vidas. É comum ouvir em telejornais
que a probabilidade de um candidato obter a vitória é de x%. Provavelmente
por estar associada diretamente as pessoas, a probabilidade é uma das
matérias mais cobradas nos vestibulares. Nas Olimpíadas de Matemática deste
ano teve uma questão de probabilidade na prova.
Como calcular probabilidade.
Para calcular probabilidade vamos usar a seguinte fórmula. P = r/v. A variável
“r” é o resultado que foi obtido, e a “v” é o número de vezes que foi realizada a
experiência. Exemplo:
Em uma garrafa opaca fechada existem 10 bolinhas, distribuídas entre as cores
azul e branca. Não é possível ver as bolinhas dentro da garrafa, exceto se
virarmos a garrafa de ponta-cabeça, quando uma das bolinhas vai para o
gargalo e é possível ver sua cor. Ao longo de vários dias, repetiu-se 2000 vezes
a seguinte operação: chacoalhava-se e tombava-se a garrafa para então anotar
a cor da bolinha que aparecia no gargalo. Os resultados foram os seguintes:
Azul = 624
Branca = 1376
Na próxima vez que for repetida essa operação, qual a probabilidade de que a
cor da bolinha do garrafão seja azul?
Resolução.
Usando a fórmula, temos P = 624/2000 => P = 0,312.
Portanto, a chance que a cor da bolinha do garrafão seja azul na próxima vez é
de 0,312.
Questão 1
Ao lançarmos dois dados não viciados, qual a probabilidade de obtermos faces
voltadas para cima onde a soma entre elas seja 6?
ver resposta
Resposta Questão 1
Nesse caso temos o lançamento de dois dados. O espaço amostral será determinado pelo
produto entre os eventos decorrentes de cada universo de resultados possíveis. No dado,
o espaço amostral é composto de 6 eventos e como são dois dados temos que o espaço
amostral terá 6 x 6 elementos, totalizando 36.
No lançamento dos dois dados as possibilidades de parceria entre as faces para que a
soma seja 6, será:
(1 e 5), (5 e 1), (2 e 4), (4 e 2), (3 e 3).
No lançamento de dois dados a probabilidade de obtermos soma das faces voltadas para
cima igual a 6 será de aproximadamente 13,9%.
Questão 2
No lançamento de uma moeda e um dado, determine a probabilidade de obtermos
o resultado dado por (coroa, 1).
ver resposta
Resposta Questão 2
Temos que o espaço amostral do dado corresponde a 6 eventos e que o espaço amostral
da moeda equivale a 2 eventos. Envolvendo o dado e a moeda temos um espaço amostral
de 12 eventos. A probabilidade de obtermos o resultado (coroa, 1) é de 1 em 12. Portanto:
Ao lançarmos um dado e uma moeda, a probabilidade de obtermos o par (coroa, 1) será
de aproximadamente 8,3%.
Questão 3
Em uma empresa, o risco de alguém se acidentar é dado pela razão 1 em 30.
Determine a probabilidade de ocorrer nessa empresa as seguintes situações
relacionadas a 3 funcionários:
Todos se acidentarem.
Nenhum se acidentar.
ver respostaResposta Questão 3
Probabilidade de todos se acidentarem
Como o risco é de 1 em 30 temos que:
Probabilidade de nenhum se acidentar
Para os acidentados temos a probabilidade de 1 em 30. Nesse caso para os não
acidentados temos a probabilidade de 29 em 30. Então:
Questão 4
(UFF–RJ)
Em um jogo de bingo são sorteadas, sem reposição, bolas numeradas de 1 a 75, e
um participante concorre com a cartela reproduzida abaixo. Qual é a probabilidade
de que os três primeiros números sorteados estejam nessa cartela?
ver respostaResposta Questão 4
Podemos resolver o exercício utilizando o princípio fundamental da contagem. Observe
que a cartela contém 24 números entre um universo de 75 que serão sorteados. A chance
dos três primeiros números dessa cartela serem sorteados nas três primeiras rodadas
respeita a seguinte ordem:
1º sorteio – 24/75
2º sorteio ¬– 23/74
3º sorteio – 22/73
Calculamos a chance realizando o produto entre os eventos:
A chance dos três primeiros números sorteados serem da cartela é de 3%.
Questão 5
(UFSCar)
Dois dados usuais e não viciados são lançados. Sabe-se que os números
observados são ímpares. Então, a probabilidade de que a soma deles seja 8 é:
a) 2/36
b) 1/6
c) 2/9
d) 1/4
e) 2/18
ver respostaResposta Questão 5
No lançamento de dois dados temos que a soma entre as faces ímpares em que o
resultado seja 8 é dado pelos pares (5, 3) e (3, 5). Somente 2 eventos dos 36 pertencentes
ao espaço amostral satisfazem a situação proposta. Portanto:
Temos que o item a fornece a resposta correta.
EXERCÍCIOS SOBRE ESTATÍSTICATeste os seus conhecimentos: Faça exercícios sobre
Estatística e veja a resolução comentada.
Questão 1
Em um grupo de pessoas, as idades são : 10, 12, 15 e 17 anos. Caso uma pessoa
de 16 anos junte-se ao grupo, o que acontece com a média das idades do grupo?
ver respostaResposta Questão 1
Questão 2
A distribuição de salários de uma empresa é fornecido pela tabela a seguir:
Calcule a média salarial dessa empresa.
ver respostaResposta Questão 3
Questão 3
(Unicamp-SP)
Para votar, cinco eleitores demoraram, respectivamente, 3min 38s, 3min 18s, 2min
46s, 2min 57s e 3min 26s. Qual foi a média do tempo de votação (em minutos e
segundos) desses eleitores?
ver respostaResposta Questão 3
Questão 4
(Unifor-CE)
Em certa eleição municipal foram obtidos os seguintes resultados:
O número de votos obtido pelo candidato vencedor foi:
a) 178
b) 182
c) 184
d) 188
e) 191
ver respostaResposta Questão 4
Calcular o índice percentual de votos nulos e brancos:
x + 26% + 24% + 22% = 100%
x = 100% – 72%
x = 28%
Calcular o total de votos com base nos votos nulos e brancos:
28% de x = 196
0,28x = 196
x = 196/0,28
x = 700
O total de votos é igual a 700, e o candidato vencedor teve 26% desses votos, então:
26% de 700 → 0,26 * 700 → 182 votos
Resposta correta item b.
Questão 5
(FGV-SP)
A tabela abaixo representa a distribuição de frequência dos salários de um grupo
de 50 empregados de uma empresa, em certo mês. O salário médio desses
empregados, nesse mês, foi de:
a) R$ 2 637,00
b) R$ 2 520,00
c) R$ 2 500,00
d) R$ 2 420,00
e) R$ 2 400,00
Resposta Questão 5
Medidas de Comprimento: Múltiplos e Submúltiplos
Medidas maiores que o metro
1000 m = 1 km (quilometro)
100 m = 1 (hectômetro)
10 m = 1 dam (decâmetro)
Medidas menores que o metro
1 m = 10 dm (decímetro)
1 m = 100 cm (centímetro)
1 m = 1000 mm ( milímetro)
As medidas de comprimento são:
metro (m), quilômetro (km), hectômetro (hm), decâmetro (dam),
decímetro (dm), centímetro (cm) e milímetro (mm).
O metro (m) é a unidade padrão, fundamental.
Quilômetro (km), hectômetro (hm) e decâmetro (dm) são os múltiplos do
metro. Usados normalmente para medir distâncias muito grandes.
Decímetro (dm), centímetro (cm) e milímetro (mm) são
os submúltiplos do metro. Usados normalmente para medir distâncias
muito pequenas.
Temos então a seguinte ordem:
quilômetro – hectômetro – decâmetro – metro – decímetro – centímetro –
milímetro
Essas medidas servem para avaliar (medir) a linha (linear). Representam
uma única medição (unidimensional).
Já as medidas de superfície (área), bidimensional (comprimento x
largura). Percebeu a diferença, só como exemplo?
Veja a tabela abaixo com as unidades de medidas:
5. Um município colheu uma produção de 9.000 toneladas de milho em
grão em uma área plantada de 2.500 hectares. Obtenha a produtividade
média do município em termos de sacas de 60 kg colhidas por hectare.
A) 50
B) 60
C) 72
D) 90
E) 100
Exercício 5
Sabemos que uma tonelada equivalem a 1000 kg, então 9000 toneladas
equivalem a 9000 x 1000 = 9.000.000 kg.
Isto é, 9.000.000 kg foram plantados em 2.500 hectares.
Mas o problema pede a produtividade média do município em termos de
sacas de 60 kg colhidas por hectare. Vamos antes determinar a
quantidade de sacas de 60 kg.
9.000.000 / 60 = 150.000 sacas de 60 kg plantadas em 2.500 hectares.
Logo, a produtividade média por hectare é de
150.000 / 2.500 = 60 sacas / hectare. Ou seja, 60 sacas de 60kg por
cada um hectare.
ComprimentoVamos entender o que é uma medida de comprimento analisando o cubo ao lado.Caso você não saiba ou não se lembre, as arestas de um cubo são as linhas originadas pelo encontro de suas faces.Nosso cubo em estudo possui doze arestas, sendo onze pretas e uma vermelha.Como todas as seis faces de um cubo são formadas por quadrados iguais, todas as suas arestas possuem o mesmo tamanho.Pela figura identificamos que a aresta vermelha, e também as demais, já que são todas iguais, tem uma medida linear de5 cm. Esta é a medida do seu comprimento.Já que a aresta vermelha esta na posição vertical, podemos utilizá-la para medir a altura do cubo, ou seja, ele mede 5 cmde altura.Utilizamos medidas de comprimento para a medição de alturas, larguras, profundidades. Como você pode notar, todos estes exemplos tem apenas uma dimensão. A aresta do cubo só tem uma dimensão, você tem como medir o seu comprimento, mas não a sua espessura, por exemplo.Comprimentos são extensões unidimensionais.
Área ou Superfície
Agora o nosso cubo tem a sua face frontal em rosa.Qual é a superfície desta face?Quando falamos em superfície estamos falando em área.Áreas são extensões bidimensionais, pois como podemos ver na figura, a face que estamos analisando possui uma altura de 5 cm e uma base, que por se tratar de um cubo, com a mesma medida.Diferentemente da aresta que possui apenas uma dimensão, o seucomprimento, a área das faces possui duas dimensões, altura e base, por exemplo.Como este cubo tem uma aresta de 5 cm, a área das suas faces será igual a 5 cm . 5 cm que é igual a (5 cm)2, igual a52 cm2, ou seja, 25 cm2.O expoente 2 do cm2 indica que esta é uma unidade de medida com duas dimensões, portanto não é uma unidade de medida linear que possui apenas uma dimensão.
Volume e Capacidade
Agora cubo está todo em rosa.Qual é o volume deste cubo?O volume é o espaço ocupado por um sólido. Normalmente para líquidos utilizamos o termo capacidade.Nosso cubo possui altura, largura e profundidade, portanto, possui três dimensões.Volumes são extensões tridimensionais. O volume do nosso cubo é obtido através do produto 5 cm . 5 cm . 5 cm que é igual a (5 cm)3, igual a 53 cm3 que resulta em 125 cm3.O expoente 3 do cm3 nos diz que esta é uma unidade de medida com três dimensões, portanto não é uma unidade de medida linear que só possui uma dimensão, nem bidimensional que só possui duas.
Como unidades de capacidade também são unidades de volume, podemos estabelecer relações como, por exemplo, 1 cm3equivale a 1 ml, o que nos permite transformações de unidade de medida de volume em unidades de medida de capacidade e vice-versa.Conversões entre unidades de diferentes dimensões não são possíveis, por isto as conversões levantadas acima pelos internautas não são permitidas.
Medidas de massaIntrodução Observe a distinção entre os conceitos de corpo e massa: Massa é a quantidade de matéria que um corpo possui, sendo, portanto, constante em qualquer lugar da terra ou fora dela. Peso de um corpo é a força com que esse corpo é atraído (gravidade) para o centro da terra. Varia de acordo com o local em que o corpo se encontra. Por exemplo: A massa do homem na Terra ou na Lua tem o mesmo valor. O peso, no entanto, é seis vezes maior na terra do que na lua. Explica-se esse fenômeno pelo fato da gravidade terrestre ser 6 vezes superior à gravidade lunar.Obs: A palavra grama, empregada no sentido de "unidade de medida de massa de um corpo", é um substantivo masculino. Assim 200g, lê-se "duzentos gramas". Quilograma A unidade fundamental de massa chama-se quilograma.
O quilograma (kg) é a massa de 1dm3 de água destilada à temperatura de 4ºC.
Apesar de o quilograma ser a unidade fundamental de massa, utilizamos na prática o grama como unidade principal de massa. Múltiplos e Submúltiplos do grama
MúltiplosUnidade principal
Submúltiplos
quilograma hectograma decagrama grama decigrama centigrama miligramakg hg dag g dg cg mg
1.000g 100g 10g 1g 0,1g 0,01g 0,001g Observe que cada unidade de volume é dez vezes maior que a unidade imediatamente inferior. Exemplos:
1 dag = 10 g1 g = 10 dg
NOCOES DE LOGICA
07. (ABC) A negação de todos os gatos são pardos é:
a) nenhum gato é pardo;
b) existe gato pardo;
c) existe gato não pardo;
d) existe um e um só gato pardo;
e) nenhum gato não é pardo.
08. (ABC) Se A negação de o gato mia e o rato chia é:
a) o gato não mia e o rato não chia;
b) o gato mia ou o rato chia;
c) o gato não mia ou o rato não chia;
d) o gato e o rato não chiam nem miam;
e) o gato chia e o rato mia.
07. C 08. C