FLUIDOS I

ARQUIMEDES

(Siracusa, actual Italia, h. 287 a.C.-id., 212 a.C.) Matemático griego. Hijo de un astrónomo,quien probablemente le introdujo en las matemáticas, Arquímedes estudió en Alejandría,donde tuvo como maestro a Conón de Samos y entró en contacto con Eratóstenes; a esteúltimo dedicó Arquímedes su Método, en el que expuso su genial aplicación de la mecánica ala geometría, en la que «pesaba» imaginariamente áreas y volúmenes desconocidos paradeterminar su valor. Regresó luego a Siracusa, donde se dedicó de lleno al trabajo científico.En física se lo conoce por las aportaciones que hizo respecto del equilibrio de los cuerpos y,sobre todo, por el descubrimiento de la ley de la hidrostática, el llamado principio deArquímedes. éste establece que todo cuerpo sumergido en un fluido experimenta unapérdida de peso igual al peso del volumen del fluido que desaloja. Se dice que este hallazgolo hizo mientras se bañaba, al comprobar cómo el agua se desplazaba y se desbordaba. Conestas revelaciones se anticipó a muchos de los descubrimientos de la ciencia moderna.Arquímedes murió durante el sitio de Siracusa (214–212 a. C.), cuando fue asesinado por unsoldado romano, a pesar de las órdenes de que no debía ser dañado. Cicerón describe habervisitado la tumba de Arquímedes, que tenía una esfera inscrita dentro de un cilindro sobreella. Arquímedes probó que la esfera tiene dos tercios de volumen y superficie del cilindro(incluyendo las bases de estos), lo cual consideró el más grande de sus descubrimientosmatemáticos.

MATERIAL: FT-12

C U R S O: FÍSICA TERCERO

2

El término Hidrostática se refiere al estudio de los fluidos en reposo. Un fluido es una

sustancia que puede escurrir fácilmente y que puede cambiar de forma debido a la acción

de pequeñas fuerzas. Por tanto, el término fluido incluye a los líquidos y los gases.

Los fluidos que existen en la naturaleza siempre presentan una especie de fricción interna o

viscosidad que complica un poco el estudio de su movimiento. Sustancias como el agua y el

aire presentan muy poca viscosidad (escurren fácilmente), mientras que la miel y la glicerina

tienen una viscosidad elevada. En este capítulo no habrá necesidad de considerar la

viscosidad por que sólo nos ocuparemos de los fluidos en reposo, y la viscosidad únicamente

se manifiesta cuando se mueven o fluyen estas sustancias.

Para el estudio de la Hidrostática es indispensable el conocimiento de dos cantidades: la

presión y la densidad. Así pues, iniciaremos este capítulo con el análisis de ambos

conceptos.

Presión: Consideremos un objeto cilíndrico cuyo peso vamos a designar por F, apoyados

sobre una superficie circular, como muestra la figura 1.

Sea A, el área sobre la cual se apoya. Observemos que la compresión que el objeto ejerce

sobre la superficie debido a su peso, está distribuida en toda el área A, y la fuerza F que

produce la compresión es perpendicular a la superficie. Se define, entonces la presión

producida por una fuerza F perpendicular a una superficie y distribuida sobre su área A, de

la siguiente manera: “La presión p, ejercida por la fuerza F sobre el área A, es el cociente

entre la intensidad de la componente perpendicular de la fuerza F, al área, y el valor del

área A”, es decir:

FP =

A 2

N

mdonde

2

N1 = 1Pa

m

Nota: La presión es un escalar.

F

fig. 1

3

Densidad o Masa específica

Consideremos un cuerpo de masa m y cuyo volumen es V. la densidad (llamada también

masa específica) del cuerpo se representará por la letra griega (rho) y se define de la

siguiente manera: La densidad (o masa específica) de un cuerpo es el cociente entre su

masa y su volumen, o sea:

Unidades de densidad

Por la definición de densidad, = m/V, observemos que la unidad de la densidad debe ser la

relación entre una unidad de masa y una unidad de volumen. Por tanto, en el SI la unidad

será kg/m3. Es muy fácil demostrar que

En la tabla 1 presentamos las densidades o masas específicas de diversas sustancias.

Observe en la tabla que los gases tienen una densidad muy pequeña

TABLA 1DENSIDADES

(a 0º C y a la presión de 1 atm)Sustancia (g/cm3)Hidrógeno 0,0009

Aire 0,0013Corcho 0,24

Gasolina 0,70Hielo 0,92Agua 1

Agua de mar 1,03Glicerina 1,25Aluminio 2,7

Fierro 7,6Cobre 8,9Plata 10,5Plomo 11,3

Mercurio 13,6Oro 19,3

Platino 21,4

= mV

13

g

cm = 103

3

kg

m

4

Presión atmosférica

Que es la presión atmosférica.

El aire, como cualquier sustancia cercana a la tierra es atraído por ella; es decir, el airetiene peso. Debido a esto, la capa atmosférica que envuelve a la Tierra y que alcanza unaaltura de decenas de kilómetros, ejerce una presión sobre los cuerpos sumergidos en ella.Esta presión de denomina presión atmosférica.En todos los planetas con atmósfera existe una presión atmosférica con cierto valor. En laluna, como no hay atmósfera, no hay, por consiguiente, presión atmosférica.Hasta la época de Galileo (siglo XVII) la existencia de la presión atmosférica era desconocidapor muchos, e incluso, muchos estudiosos de la física la negaban. El físico italiano Torricelli,contemporáneo y amigo de Galileo, realizó un famoso experimento que, además dedemostrar que la presión atmosférica realmente existe, permitió la determinación de suvalor.

Experimento de Torricelli: Para efectuar su experimento, Torricelli tomó un tubo de vidrio,de casi 1 m de longitud, cerrado por uno de sus extremos, y lo llenó de mercurio (fig. 2).Tapando el extremo abierto con un dedo e invirtiendo el tubo, sumergió este extremo en unrecipiente que también contenía mercurio. Al destapar el tubo, estando éste en posiciónvertical, Torricelli comprobó que la columna líquida del recipiente, lograba equilibrar el pesode la columna de mercurio. Observe que arriba del mercurio, en el tubo, existe un vacío,pues si se hiciera un orificio en esta parte, a fin de permitir la entrada del aire la columnadescendería hasta nivelarse con el mercurio del recipiente.

Como la altura de la columna líquida en el tubo era de 76 cm, Torricelli llegó a la conclusiónde que el valor de la presión atmosférica, pa equivale a la presión ejercida por una columnade mercurio de 76 cm de altura, es decir,

Por este motivo, una presión de 76 cm Hg recibe el nombre de atmósfera y se emplea comounidad de presión.

Hgfig. 2

pa

VACÍOHg

Hg

76 cm

pa

pa = 76 cm Hg

5

Cálculo de la presión en el interior de un fluido.

En la figura 3 se indican los puntos 1 y 2 en el interior de un fluido de densidad . La

diferencia de nivel entre estos puntos es h. Consideremos una porción del líquido, de forma

cilíndrica, como si estuviese separada del resto del líquido (fig. 3). Dicha parte está en

equilibrio por la acción de su propio peso P y de las fuerzas que el resto del líquido ejerce

sobre ella. En la dirección vertical, estas fuerzas son: la fuerza F1, que actúa hacia abajo

sobre la superficie superior del cilindro, y que se debe al peso de la capa de líquido situada

encima de esta superficie, y la fuerza F2, que actúa sobre la superficie inferior de la porción

cilíndrica. Obsérvese que como el cilindro está en equilibrio, y P y F1 están dirigidas hacia

abajo, F2 deberá estar dirigida hacia arriba. Podemos, entonces, escribir que

F2 = F1 + P (Condición de equilibrio)

F1

F2

2P

h

1

fig. 3

Variación de la presiónAtmosférica con la altitud

Altitud (m) pa (cm Hg)0 76

500 721000 672000 603000 534000 475000 416000 367000 318000 279000 2410000 21

6

Siendo p1 la presión en la superficie superior (punto 1); p2 la presión en la superficie inferior

(punto 2), y A el área de esas superficies, tenemos (recordando la definición de presión):

F1 = p1·A F2 = p2·A

si m es la masa de la porción cilíndrica y V es su volumen, es posible expresar, de la

siguiente manera, el peso P de esta porción:

P = m · g pero m = · V = · A · h

donde

P = · A · h · g

Aplicando estas relaciones a la condición de equilibrio F2 = F1 + P, tenemos

p2A = p1A + Ahg o bien p2 = p1 + gh

La relación anterior es tan importante en el estudio de la estática de los fluidos, que suele

ser denominada ecuación fundamental de la hidrostática. Suponiendo que uno de los

puntos se encuentra en la superficie del líquido y que el otro punto está a una profundidad h

(fig. 4), vemos que la presión en el primer punto será la presión atmosférica pa y en

consecuencia la presión p, en el segundo punto se puede obtener por la relación

p = pa + hgpa

p

h

fig. 4

pa

h

p

fig. 5

7

Vasos comunicantes

Consideremos dos recipientes que no necesitan ser del mismo tamaño, ni poseer la misma

forma, cuyas bases están unidas por un tubo (fig. 6). Se dice que tales vasijas son “vasos

comunicantes”. Coloquemos un líquido cualquiera en estos vasos y esperemos que se

alcance el estado de equilibrio. Los puntos A y B, situados en un mismo nivel horizontal,

deben estar sometidos a presiones iguales, pues lo contrario, el líquido no estaría en

equilibrio.

Siendo la densidad del líquido, podemos escribir

Para el punto A: pA = pa + ghA

Para el punto B: pB = pa + ghB

Como pA = pB, concluimos que hA = hB, es decir, puesto en vasos comunicantes, un líquido

determinado alcanza las mismas alturas en ambos recipientes. Esta conclusión también es

válida cuando se tiene varias vasijas en comunicación, independientemente de su forma o

tamaño.

Aplicaciones de los vasos comunicantes

Es frecuente ver en las localidades costeras o rurales que las casas tienen unos estanques

elevados. Estos contienen agua y están conectados por tuberías al interior de la casa, en un

sistema de vasos comunicantes. Como el estanque está ubicado en altura se logra dar

mayor presión al agua que baja a la casa.

Cuando los albañiles quieren nivelar horizontalmente un muro, suelen usar una manguera

larga transparente llena de agua. Luego ubican los extremos de la manguera en dos puntos

del muro de manera que el nivel de agua en ellos sea el mismo. Cuando el agua queda

quieta marcan el nivel, de modo queda perfectamente horizontal

pa pa

hA hB

BA

fig. 6

8

Principio de Pascal

Una característica de cualquier fluido en reposo es que la fuerza ejercida sobre cualquierpartícula del fluido es la misma en todas las direcciones. Si las fuerzas fueran desiguales, lapartícula se desplazaría en la dirección de la fuerza resultante. De esto se deduce que lafuerza por unidad de superficie que el fluido ejerce sobre las paredes del recipiente que locontiene es perpendicular a la pared en cada punto sea cual sea su forma.

El principio de Pascal afirma que la presión aplicada sobre el fluido contenido en unrecipiente se transmite por igual en todas las direcciones y a todas partes del recipiente,siempre que se puedan despreciar las diferencias del peso debidas al peso del fluido.

Es decir, el aumento de la presión en un punto 2 es igual al aumento de la presiónprovocado por F en el punto 1 (fig. 7). Este hecho fue descubierto experimentalmente en1653 por el científico francés Pascal. Observe que aun cuando en la época de Pascal estapropiedad sólo era un hecho experimental, en la actualidad comprobamos que se puedededucir de inmediato de la ecuación fundamental de la Hidrostática, la cual, a su vez, esconsecuencia de las leyes de equilibrio de la Mecánica.

La prensa Hidráulica

La aplicación más frecuente del principio de Pascal es la prensa hidráulica, que se ilustra enla figura 8. De acuerdo con el principio de Pascal, una presión aplicada al líquido en lacolumna izquierda se transmitirá íntegramente al líquido de la columna de la derecha. Por lotanto, si una fuerza de entrada F1 actúa sobre un émbolo de área A1, causará una fuerza desalida F2 que actúa sobre un émbolo de área A2 de modo que

p1 = p2 1 2

1 2

F F =

A A

F

1

2

fig. 7

F2

F1

A1 A2

fig. 8

9

Empuje ascendente

Cuando sumergimos un cuerpo sólido cualquiera en un líquido, comprobamos que ésteejerce sobre el cuerpo una fuerza de sustentación, es decir, una fuerza dirigida hacia arribaque tiende a impedir que el cuerpo se hunda en el líquido. Ya debe haberse dado cuenta dela existencia de esta fuerza al tratar de sumergir en el agua, por ejemplo, un pedazo demadera. Esta fuerza es también la que hace que una piedra parezca más ligera cuando lasumergimos en el agua o en algún otro líquido. Tal fuerza, que es vertical y está dirigidahacia arriba, se denomina empuje ascendente del líquido sobre el cuerpo sumergido.

Por qué se produce el empuje hidrostático ascendente

Consideremos un cuerpo sumergido en un líquido cualquiera (fig. 9). Como ya sabemos, ellíquido ejercerá fuerzas de presión sobre toda la superficie del cuerpo que está en contactocon el líquido. Como la presión aumenta con la profundidad, las fuerzas ejercidas por ellíquido en la parte inferior del cuerpo, son mayores que las fuerzas ejercidas en su partesuperior, y se distribuyen en la forma que se indica en la figura 9. La resultante de estasfuerzas, por tanto, deberá estar dirigida hacia arriba. Dicha resultante es la que constituyeel empuje hidrostático ascendente que actúa sobre el cuerpo, tendiendo a impedir que sehunda en el líquido. Observe, entonces, que la causa del empuje ascendente es que lapresión aumenta con la profundidad.Si las presiones ejercidas en las partes superior e inferior del cuerpo fueran iguales, laresultante de las fuerzas de presión sería nula y no habría empuje alguno sobre el cuerpo.

Principio de Arquímedes.

En el siglo III A.C., el gran filósofo, matemático y físico griego Arquímedes, al realizarcuidadosos experimentos descubrió la manera de calcular el empuje ascendente que actúaen los cuerpos sumergidas en líquidos. Sus conclusiones fueron expresadas en unenunciado que recibe el nombre de principio Arquímedes y cuyo texto es: todo cuerposumergido en un líquido recibe un empuje vertical hacia arriba, igual al peso del líquidodesplazado por el cuerpo.

E = Pd = md · g

donde md es la masa del liquido desplazado, la cual se podría expresar en función de ladensidad del liquido y el volumen desplazado Vd, lo que implica que

E = L · Vd · g

Usando las leyes de Newton podríamos llegar a este mismo resultado para el cálculo delempuje. Obsérvese, en cambio, que Arquímedes descubrió estos hechos medianteexperimentos, mucho antes de que Newton estableciera las leyes básicas de la Mecánica.

fig. 9

10

Condiciones para que un cuerpo flote en un líquido

Suponga que una persona introduce un cuerpo en un líquido, de modo que quede totalmente

sumergida. Si el cuerpo se suelta, las fuerzas que actuarán sobre él será su peso P y el

empuje E ejercido por el líquido. En estas condiciones, podrá observarse una de las tres

situaciones siguientes:

El valor del empuje es menor que el peso del cuerpo (E < P). En este caso, la resultante

de estas fuerzas estará dirigida hacia abajo, y el cuerpo se hundirá hasta llegar al fondo del

recipiente. Esto es lo que sucede cuando, por ejemplo, soltamos una piedra dentro del agua

(fig. 10). El valor del empuje es mayor que el peso del cuerpo (E > P). En este caso, la

resultante de estas fuerzas está dirigida hacia arriba y el cuerpo sube en el interior del

líquido (fig. 11). El valor del empuje es igual al peso del cuerpo (E = P). En este caso la

resultante de estas fuerzas será nula y el cuerpo quedará en reposo en el sitio en que ella

se halle. Esto es lo que sucede con el submarino bajo el agua, en reposo a cierta

profundidad (fig. 12).

Nota: cuando se habla de peso aparente de un cuerpo, se refiere a la diferencia entre el

peso del cuerpo y el empuje que ejerce un fluido sobre éste.

E < P

P

E

fig. 10

E > P

E

P

fig. 11

E = P

E

P

fig. 12

Paparente = P – E

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EJEMPLOS

Para los problemas, use g = 10 m/s2

1. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones caracterizan a los fluidos?

I) Adoptan la forma del recipiente que los contiene.II) La distancia intermolecular es menor a la que existe entre las moléculas de

un sólido.III) Escurren fácilmente ocupando el máximo espacio.

Es (son) verdadera(s)

A) sólo I.B) sólo II.C) sólo III.D) sólo I y III.E) todas ellas.

2. Un recipiente de aluminio posee una capacidad interior de 96 cm3 si este se llena conglicerina (densidad = 1,26 g /cm3). ¿Que cantidad aproximada de glicerina, enkilogramos, contiene el recipiente?

A) 1200,000B) 120,000C) 0,120D) 0,012E) Ninguna de las anteriores

3. Al medir la presión sanguínea de una persona enferma se determina que es de76 mm Hg. ¿Cuál es el valor de esta presión en Pascales?(Considere 760 mm Hg = 105 Pa)

A) 104

B) 105

C) 76D) 760E) 7600

4. ¿Cuál de las siguientes definiciones corresponde al principio de Pascal?

A) La presión que se ejerce sobre un líquido se propaga en todas direcciones, en lamisma medida.

B) La fuerza que se ejerce sobre un líquido se propaga en todas direcciones en lamisma medida.

C) La presión que se ejerce sobre un líquido se propaga sólo horizontalmenteD) La presión que se ejerce sobre un líquido se propaga sólo verticalmente en la

misma medida.E) La presión que se ejerce sobre un líquido no se propaga

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PROBLEMAS DE SELECCIÓN MÚLTIPLE

1. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones define sin lugar a dudas el concepto de Presión?

I) Se llama Presión a la magnitud de la fuerza ejercida perpendicularmentepor unidad de área de la superficie.

II) Se llama Presión a la magnitud de la fuerza ejercida paralelamente porunidad de área de la superficie.

III) Se llama Presión al trabajo realizado por unidad de área.

Es (son) verdadera(s)

A) sólo I.B) sólo II.C) sólo III.D) sólo I y III.E) todas ellas.

2. Un buzo mariscador se encuentra trabajando a una profundidad de 20 m bajo elnivel del mar ( = 1,03 g/cm3). ¿Cuál es la presión que recibe el mariscador?

A) 206.000 N/m2

B) 203.888 N/m2

C) 200.400 N/m2

D) 200.188 N/m2

E) Ninguna de las anteriores

3. La presión al interior de un fluido depende de

I) la densidad del fluido. II) la viscosidad.III) la profundidad.

Es (son) verdadera(s)

A) sólo I.B) sólo II.C) sólo III.D) sólo I y II.E) sólo I y III.

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4. Una piedra se hunde en el agua porque

A) el empuje del agua es mayor que el peso de la piedra.B) el empuje del agua es menor que la masa de la piedra.C) el empuje del agua es igual al peso de la piedra.D) la densidad de la piedra es mayor a la del agua.E) la densidad de la piedra es igual a la del agua.

5. Una joven de 60 kg está descalza apoyada sobre sus dos pies. La superficie de contactocon el suelo es de 150 cm2, ¿qué presión ejerce sobre el suelo?

A) 4 · 106 pascalesB) 4 · 103 pascalesC) 4 · 104 pascalesD) 4 · 10-3 pascalesE) 4 · 10-6 pascales

6. En una columna de vasos comunicantes se tienen tubos de distintas formas al echarlíquido en el primer tubo y luego observar se puede esperar que

I) en los tubos cilíndricos alcancen un mayor nivel de agua. II) en los tubos rectangulares alcancen un menor nivel de agua.III) todos los tubos del vaso comunicante tienen el mismo nivel de agua,

independiente de la forma.

Es (son) verdadera(s)

A) sólo I.B) sólo II.C) sólo III.D) I, II y III.E) no se puede determinar.

7. Una piedra cuelga de un dinamómetro. Éste marca 20 newton cuando la piedra está enel aire y 17 newton cuando la piedra está totalmente sumergida en agua. ¿Qué opciónexplica con exactitud esta diferencia?

A) Se debe a que el peso de la piedra se reduce en 3 newtonB) Se debe a que la piedra pierde 300 g de masaC) Se debe al empuje que el agua aplica sobre la piedra, cuyo valor es 3 newtonD) Se debe a que, al mojarse, el peso de la piedra aumenta en 3 newton.E) El empuje que el agua aplica sobre la piedra es igual al peso de la piedra

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8. En una prensa hidráulica el radio de sus émbolos es de 1 cm y 8 cm, respectivamente.Si sobre el émbolo de menor área se ejerce una fuerza de 10 N. ¿Cuál es la fuerza quese ejerce sobre el de mayor área?

A) 1,25 NB) 16,00 NC) 80,00 ND) 640,00 NE) 2560,00 N

9. Un trozo de madera con densidad 0,8 flota en un líquido cuya densidad es 1,2. La partede la madera que se sumerge es

A) 80,0%B) 66,6 %

C) 33,3%D) 20,0%E) no se puede determinar.

10. Un cuerpo se sumerge en agua. Por lo tanto, podemos decir correctamente que sobreel cuerpo

A) la presión decrece linealmente con la profundidad.B) la presión crece linealmente con la profundidad.C) la presión decrece cuadráticamente con la profundidad.D) la presión crece exponencialmente con la profundidad.E) la presión permanece constante con la profundidad.

11. Una pelota de ping-pong de masa m está sumergida en una cubeta llena de aguasostenida por un hilo tenso como se muestra en la figura 13. Entonces, la tensión delhilo es

I) mg. II) de igual valor que el empuje.III) Menor que el empuje.

Es (son) correcta(s)

A) sólo I.B) sólo II.C) sólo III.D) sólo I y II.E) sólo I y III.

12. La presión sobre la superficie de área 2 m2 de un líquido es de 200 Pa. ¿Cuál es lamagnitud de la fuerza que se está aplicando sobre un metro cuadrado de ella?

A) 1 · 10-2 NB) 1 · 102 NC) 2 · 102 ND) 1 · 103 NE) 4 · 103 N

fig 13

15

13. La figura 14 muestra el comportamiento de la presión en función de la profundidadpara un líquido L contenido en un depósito descubierto.

¿Cuál es la presión atmosférica en el lugar donde se encuentra?

A) 0B) 0,5 · 104 (N/m2)C) 5,0 · 104 (N/m2)D) 5,0 · 105 (N/m2)E) Ninguna de las anteriores

14. Una piedra de 20 kg y volumen V0 y otro cuerpo de 10 kg y volumen V0 son sumergidoscompletamente en un envase con agua, al respecto se debe cumplir que

A) la piedra recibe un empuje mayor que el que recibe el otro cuerpo.B) ambos cuerpos necesariamente subirán a la superficie.C) ambos cuerpos necesariamente descenderán hasta el fondo del envase con agua.D) la piedra y el otro cuerpo reciben el mismo empuje.E) ambos pesan lo mismo dentro del agua

15. Un estudiante suelta un cuerpo de masa M desde la superficie del agua de una piscina.Entonces, el gráfico que mejor representa la forma como varía la presión P que ejerceel agua sobre el cuerpo, en función de la profundidad h, es

A) B) C)

D) E)

1 x 105

2 x 105

3 x 105

P (N/m2)

2 6 10 h (m)

fig. 14

h h h h

P

h

P

h

P

h

P

h

P

h

16

16. Un cuerpo de masa 5 kg sumergido en agua. Si la fuerza neta sobre él es de 15 N,entonces el empuje que ejerce el agua, en newton, es

A) 60B) 35C) 20D) 10E) 3

17. Un manómetro que contiene mercurio, está abierto en uno de sus extremos, seencuentra en un lugar donde la presión atmosférica es 760 mmHg. En la otra rama delmanómetro se encuentra un gas confinado, considerando que H es 20 cm, entonces lapresión del gas es

A) 56 cmHgB) 76 cmHgC) 96 cmHgD) 100 cmHgE) 106 cmHg

18. Una esfera, cuyo volumen es de 200 cm3 la cual está hecha de un material cuyadensidad es 0,8 g/cm3, es sumergida totalmente en un tanque lleno de agua y luego sesuelta. Despreciando las fuerzas de fricción, ¿cual es la magnitud de la aceleración queadquiere la esfera?

A) 0,4 cm/s2

B) 25,0 cm/s2

C) 250,0 cm/s2

D) 2 · 105 cm/s2

E) Se requiere información adicional

CLAVES DE LOS EJEMPLOS

1 D 2 C 3 A 4 A

DMONFT-12

GAS

h

fig. 15

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