matfys topo 19fy.chalmers.se/~tfkhj/matfys topo 19.pdf · 2019-12-20 · andra sätt att använda...
TRANSCRIPT
![Page 1: Matfys Topo 19fy.chalmers.se/~tfkhj/Matfys Topo 19.pdf · 2019-12-20 · Andra sätt att använda ekvivalensrelationer för att konstruera topologiska mångfalder: cylinder, orienterbar](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022041904/5e6215878ad8216cde3d963e/html5/thumbnails/1.jpg)
1
O1 = S2 � {S} O2 = S
2 � {N}
�i : Oi ! R2, i = 1, 2
1
O1 = S2 � {S} O2 = S
2 � {N}
�i : Oi ! R2, i = 1, 2
stereografisk projektion
1
O1 = S2 � {S} O2 = S
2 � {N}
�i : Oi ! R2, i = 1, 2
1
O1 = S2 � {S} O2 = S
2 � {N}
�i : Oi ! R2, i = 1, 2
g12 = �1��12 : R2�{0} ! R2�{0}
g12 2 C1 =) S
2 ar en ”glatt mangfald”
1
O1 = S2 � {S} O2 = S
2 � {N}
�i : Oi ! R2, i = 1, 2
g12 = �1��12 : R2�{0} ! R2�{0}
g12 2 C1 =) S
2 ar en ”glatt mangfald””överföringsfunktion”
![Page 2: Matfys Topo 19fy.chalmers.se/~tfkhj/Matfys Topo 19.pdf · 2019-12-20 · Andra sätt att använda ekvivalensrelationer för att konstruera topologiska mångfalder: cylinder, orienterbar](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022041904/5e6215878ad8216cde3d963e/html5/thumbnails/2.jpg)
![Page 3: Matfys Topo 19fy.chalmers.se/~tfkhj/Matfys Topo 19.pdf · 2019-12-20 · Andra sätt att använda ekvivalensrelationer för att konstruera topologiska mångfalder: cylinder, orienterbar](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022041904/5e6215878ad8216cde3d963e/html5/thumbnails/3.jpg)
![Page 4: Matfys Topo 19fy.chalmers.se/~tfkhj/Matfys Topo 19.pdf · 2019-12-20 · Andra sätt att använda ekvivalensrelationer för att konstruera topologiska mångfalder: cylinder, orienterbar](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022041904/5e6215878ad8216cde3d963e/html5/thumbnails/4.jpg)
![Page 5: Matfys Topo 19fy.chalmers.se/~tfkhj/Matfys Topo 19.pdf · 2019-12-20 · Andra sätt att använda ekvivalensrelationer för att konstruera topologiska mångfalder: cylinder, orienterbar](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022041904/5e6215878ad8216cde3d963e/html5/thumbnails/5.jpg)
tangentknippe
specialfall av fiberknippe= topologiskt rum som lokalt ser ut som produkten av två topologiska rum:
1
O1 = S2 � {S} O2 = S
2 � {N}
�i : Oi ! R2, i = 1, 2
g12 = �1��12 : R2�{0} ! R2�{0}
g12 2 C1 =) S
2 ar en ”glatt mangfald”
S1 (”basmangfald”)
R (”principiellt knippe”)
1
O1 = S2 � {S} O2 = S
2 � {N}
�i : Oi ! R2, i = 1, 2
g12 = �1��12 : R2�{0} ! R2�{0}
g12 2 C1 =) S
2 ar en ”glatt mangfald”
S1 (”basmangfald”)
R (”principiellt knippe”)
cylinder = S1 ⇥ R
1
O1 = S2 � {S} O2 = S
2 � {N}
�i : Oi ! R2, i = 1, 2
g12 = �1��12 : R2�{0} ! R2�{0}
g12 2 C1 =) S
2 ar en ”glatt mangfald”
S1 (”basmangfald”)
R (”fiber”)
cylinder = S1 ⇥ R
(x1, y1) ⇠ (x2, y2) om x2 = x1 + 2⇡nx och y2 = y1 + 2⇡ny
![Page 6: Matfys Topo 19fy.chalmers.se/~tfkhj/Matfys Topo 19.pdf · 2019-12-20 · Andra sätt att använda ekvivalensrelationer för att konstruera topologiska mångfalder: cylinder, orienterbar](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022041904/5e6215878ad8216cde3d963e/html5/thumbnails/6.jpg)
Vi kan använda ekvivalensrelationer till att konstruera topologiska mångfalder
Exempel: givet R, definiera en ekvivalensrelation x ~ y: y = x + 2πn
ekvivalensklasser: (x) = {…, x – 2π, x, x + 2π, x + 4π,…} kvotmängden R/~ består av alla ekvivalensklasser (x) motsvarande topologiska mångfald kallas kvotrum
![Page 7: Matfys Topo 19fy.chalmers.se/~tfkhj/Matfys Topo 19.pdf · 2019-12-20 · Andra sätt att använda ekvivalensrelationer för att konstruera topologiska mångfalder: cylinder, orienterbar](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022041904/5e6215878ad8216cde3d963e/html5/thumbnails/7.jpg)
Andra sätt att använda ekvivalensrelationer för att konstruera topologiska mångfalder:
cylinder, orienterbar
![Page 8: Matfys Topo 19fy.chalmers.se/~tfkhj/Matfys Topo 19.pdf · 2019-12-20 · Andra sätt att använda ekvivalensrelationer för att konstruera topologiska mångfalder: cylinder, orienterbar](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022041904/5e6215878ad8216cde3d963e/html5/thumbnails/8.jpg)
Andra sätt att använda ekvivalensrelationer för att konstruera topologiska mångfalder:
cylinder, orienterbar
Möbiusband, ej orienterbar
![Page 9: Matfys Topo 19fy.chalmers.se/~tfkhj/Matfys Topo 19.pdf · 2019-12-20 · Andra sätt att använda ekvivalensrelationer för att konstruera topologiska mångfalder: cylinder, orienterbar](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022041904/5e6215878ad8216cde3d963e/html5/thumbnails/9.jpg)
Andra sätt att använda ekvivalensrelationer för att konstruera topologiska mångfalder:
cylinder, orienterbar
Möbiusband, ej orienterbar
Möbiusband som fiberknippe
![Page 10: Matfys Topo 19fy.chalmers.se/~tfkhj/Matfys Topo 19.pdf · 2019-12-20 · Andra sätt att använda ekvivalensrelationer för att konstruera topologiska mångfalder: cylinder, orienterbar](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022041904/5e6215878ad8216cde3d963e/html5/thumbnails/10.jpg)
Andra sätt att använda ekvivalensrelationer för att konstruera topologiska mångfalder:
(–1,y) ~ (1,y) (x, –1) ~ (x,1)
torus
![Page 11: Matfys Topo 19fy.chalmers.se/~tfkhj/Matfys Topo 19.pdf · 2019-12-20 · Andra sätt att använda ekvivalensrelationer för att konstruera topologiska mångfalder: cylinder, orienterbar](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022041904/5e6215878ad8216cde3d963e/html5/thumbnails/11.jpg)
Andra sätt att använda ekvivalensrelationer för att konstruera topologiska mångfalder:
(–1,y) ~ (1,y) (x, –1) ~ (x,1)
torus
jfr. kvotrummet R2/~ med ekvivalensrelationen
1
O1 = S2 � {S} O2 = S
2 � {N}
�i : Oi ! R2, i = 1, 2
g12 = �1��12 : R2�{0} ! R2�{0}
g12 2 C1 =) S
2 ar en ”glatt mangfald”
S1 (”basmangfald”)
R (”principiellt knippe”)
cylinder = S1 ⇥ R
(x1, y1) ⇠ (x2, y2) om x2 = x1 + 2⇡nx och y2 = y1 + 2⇡ny
![Page 12: Matfys Topo 19fy.chalmers.se/~tfkhj/Matfys Topo 19.pdf · 2019-12-20 · Andra sätt att använda ekvivalensrelationer för att konstruera topologiska mångfalder: cylinder, orienterbar](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022041904/5e6215878ad8216cde3d963e/html5/thumbnails/12.jpg)
Andra sätt att använda ekvivalensrelationer för att konstruera topologiska mångfalder:
(–1,y) ~ (1,y) (x, –1) ~ (x,1)
torus
(–1,y) ~ (1,y) (–x, –1) ~ (x,1)
?
![Page 13: Matfys Topo 19fy.chalmers.se/~tfkhj/Matfys Topo 19.pdf · 2019-12-20 · Andra sätt att använda ekvivalensrelationer för att konstruera topologiska mångfalder: cylinder, orienterbar](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022041904/5e6215878ad8216cde3d963e/html5/thumbnails/13.jpg)
Andra sätt att använda ekvivalensrelationer för att konstruera topologiska mångfalder:
(–1,y) ~ (1,y) (x, –1) ~ (x,1)
torus
(–1,y) ~ (1,y) (–x, –1) ~ (x,1)
? http://www.youtube.com/watch?v=yaeyNjUPVqs !
![Page 14: Matfys Topo 19fy.chalmers.se/~tfkhj/Matfys Topo 19.pdf · 2019-12-20 · Andra sätt att använda ekvivalensrelationer för att konstruera topologiska mångfalder: cylinder, orienterbar](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022041904/5e6215878ad8216cde3d963e/html5/thumbnails/14.jpg)
(–1,–y) ~ (1,y) (–x, –1) ~ (x,1)
?
![Page 15: Matfys Topo 19fy.chalmers.se/~tfkhj/Matfys Topo 19.pdf · 2019-12-20 · Andra sätt att använda ekvivalensrelationer för att konstruera topologiska mångfalder: cylinder, orienterbar](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022041904/5e6215878ad8216cde3d963e/html5/thumbnails/15.jpg)
(–1,–y) ~ (1,y) (–x, –1) ~ (x,1)
(reellt) projektivt plan
![Page 16: Matfys Topo 19fy.chalmers.se/~tfkhj/Matfys Topo 19.pdf · 2019-12-20 · Andra sätt att använda ekvivalensrelationer för att konstruera topologiska mångfalder: cylinder, orienterbar](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022041904/5e6215878ad8216cde3d963e/html5/thumbnails/16.jpg)
![Page 17: Matfys Topo 19fy.chalmers.se/~tfkhj/Matfys Topo 19.pdf · 2019-12-20 · Andra sätt att använda ekvivalensrelationer för att konstruera topologiska mångfalder: cylinder, orienterbar](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022041904/5e6215878ad8216cde3d963e/html5/thumbnails/17.jpg)