math online vi บทที่ 16 คณิตศาสตร บท ... · math online vi...

Math Online VI http://www.pec9.com บทท่ี 16 ลําดับและอนุกรม

คณิตศาสตร บทท่ี 16 ลําดับและอนุกรม

ตอนท่ี 1 ลําดับ พิจารณาฟงกชั่น

{ (1 , 5) , (2 , 7) , (3 , 9) , (4 , 11) , … } โดเมน เราเรียก ฟงกชั่นซึ่งม ีโดเมนเปนจํานวนเต็มบวก N จํานวนแรก วาเปน ลําดับ

1. ความสัมพันธขอใดตอไปนี้เปนลําดับ 1. { (1,1) , (3,2) , (5,3) , (7,4) , ……… } 2. { (1,1) , (2,3) , (3,5) , (4,7) , ……… } 3. { (1,1) , (1,2) , (1,3) , (1,4) , ……… } 4. { (1,1) , (5,2) , (7,3) , (9,4) , ……… } (2 ) วิธีทํา

วิธีการเขียนลําดับ เราอาจเขียนแสดงเฉพาะเรนจอยางเดียว เชน 5 , 7 , 9 , 11 , …… ? พจนที ่1 พจนที ่2 พจนที ่3 พจนที ่4 พจนที ่n

2. พิจารณาลําดับ 5 , 7 , 9 , 11 , 13 , 15 , 17 ........ เลข 5 เปนสมาชิกตัวแรกของลําดับ เรียกวาเปนพจนท่ี ......... เขียนเปนสัญลักษณ ............ เลข 7 เรียกวาเปนพจนท่ี .........เขียนเปนสัญ ษณ ............ และพจนที่ n ของลําดับเรียก.......................

3. ลําดับจํากัด คือ ........................ ........ ........ ลําดับอนันต คือ ........ ........ ........ ........ ......

a1 = 5 a2 = 7 a3 = 9 a4 = 11

… …

an = ?

a1 a2 a3 a4 (พจนทั่วไป) an

ลัก

1

. เขียนเปนสัญลักษณ ............ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ .. ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ......


2

ลําดับเลขคณิต ลําดับเลขคณิต คือ ลําดับซึ่งเมื่อนําพจนขวามือตั้ง แลว ลบออกดวย พจนซายมือที่อยูติดกัน แลว ผลจากการลบจะมีคาคงที่เสมอ คาคงที่นี้เรียกวา “ผลตางรวม (d)” พิจารณาตัวอยาง 5 , 7 , 9 , 11 , ……

7 – 5 9 – 7 11 – 9 = 2 = 2 = 2 ผลตางรวม (d)

เราสามารถหา พจนทั่วไป (an) ไดจากสมการ an = a1 + (n – 1) d หรือ an = d n + (a1 – d) เม่ือ a1 = พจนที ่1 ของลําดับ n = ลําดับที่ของพจนที่จะหา d = ผลตางรวม

4. จงหาพจนทั่วไปของลําดับเลขคณิตตอไปนี ้ 5 , 7 , 9 , 11 , …… (2n+3)

วิธีทํา 5. จงหาพจนทั่วไปของลําดับเลขคณิต 4 , 7 , 10 , …. ( 3n + 1) วิธีทํา

6. จงหาพจนท่ี n (พจนทั่วไป) ของลําดับเลขคณิต 5 , 9 , 13 , …. (4n + 1) วิธีทํา 7. จงหาพจนท่ี 30 ของลําดับเลขคณิตตอไปน้ี 2 , 6 , 10 , 14 , …… ( 118 ) วิธีทํา


3

8. จงหาพจนท่ี 30 ของลําดับเลขคณิตตอไปน้ี –2 , 4 , 10 , …. (172) วิธีทํา

9. จงหาพจนท่ี 100 ของลําดับเลขคณิต x , –2x , –5x , …. (–296x)

วิธีทํา 10. –176 เปนพจนที่เทาใดของลําดับเลขคณิต –1 , –6 , –11 , …. ( เปนพจนท่ี 36 ) วิธีทํา

11. กําหนดพจนที ่ 4 และพจนที่ 7 ของลําดับเลขคณิตเทากับ 18 และ 36 ตามลําดับ จงหา พจนที ่ 1 และ ผลตางรวม (a1= 0 และ d = 6)

วิธีทํา 12. ลําดับเลขคณิตชุดหนึ่งมีพจนที ่ 5 เทากับ 15 และพจนที่ 36 เทากับ 77 จงหาพจนที ่ 1 และ ผลตางรวม (a1 = 7 และ d = 2)

วิธีทํา


4

13. ลําดับเลขคณิตชุดหนึ่งมีพจนที ่ 42 เทากับ –95 และผลตางรวมเทากับ – 25 จงหาพจนท่ี 54 ของลําดับเลขคณิตชุดนี ้ (–125) วิธีทํา 14. ในลําดับเลขคณิตชุดหนึ่ง ถา a2 + a13 = 0 และ a4 + a8 = 12 แลวคาของ a1 + a5 มีคาตรงกับคาในขอใด 1. 28 2. 30 3. 32 4. 36 (ขอ 4) วิธีทํา 15. ในลําดับเลขคณิตชุดหนึ่ง ถา a4 + a6 = 32 และ a2 + a12 = 62 แลวคาของ a5 + a9 มีคาเทาใด ( 62 ) วิธีทํา


5

16(มช 45) กําหนดให a1 , a2 , a3 , … เปนลําดับเลขคณิต ถา a1 + a5 + a9 + a13 = 220 แลว a1 + a7 + a13 เทากับขอใด

1. 55 2. 110 3. 135 4. 165 (ขอ 4) วิธีทํา 17. ในลําดับเลขคณิตชุดหนึ่ง ถา a2 – a6 + a4 = –7 และ a8 – a7 = 2a4 แลว คาของ a3 + a10 มีคาตรงกับคาในขอใด ( 12 ) 1. 10 2. 12 3. 14 4. 16 ( ขอ 2.)

18. จงหาจํานวนท่ีอยูระหวาง 6 และ 10 ที่ทําใหจํานวนทั้งสาม เปนพจนเรียงกันในลําดับ เลขคณิต (8) วิธีทํา


6

19. ถา 5 และ 25 เปนพจนสองพจนของลําดับเลขคณิต จงหาอีก 4 พจนซึ่งเรียงอยูระหวาง พจนทั้งสองที่กําหนดใหนี้ (9 , 13 , 17 , 21 ) วิธีทํา 20. ถาผลบวกของ 3 พจนแรกของลําดับเลขคณิตเปน 12 และผลบวกของกําลังสองของแต ละจํานวนเปน 66 จงหาเลขสามจํานวนน้ี (1 ,4 , 7 หรือ 7 , 4 , 1)

วิธีทํา 21. เลข 4 จํานวนเรียงกันเปนลําดับเลขคณิต ถาผลบวกของเลข 4 จํานวนนี้เปน 28 และผลบวก ของกําลังสองของแตละจํานวนเปน 216 แลว จงหาเลขทั้ง 4 จํานวนน้ี (4,6,8,10 หรือ 10,8,6,4) วิธีทํา


7

22. ระหวาง 100 และ 500 มีจํานวนเต็มบวกที ่ จํานวนที ่ 9 หารลงตัว มีกี่จํานวน (44) วิธีทํา 23. ต้ังแต 200 ถึง 1000

1. มีก่ีจํานวนท่ีหารดวย 3 ลงตัว (267) 2. มีก่ีจํานวนท่ีหารดวย 7 ลงตัว (114) 3. ต้ังแต 200 ถึง 1000 ดังกลาวมีทั้งหมดกี่จํานวน (801)



8

24. จากขอที่ผานมา จํานวนต้ังแต 200 ถึง 1000 1. มีก่ีจํานวนท่ีหารดวย 3 และ 7 ลงตัว (38) 2. มีก่ีจํานวนท่ีหารดวย 3 หรือ 7 ลงตัว (343) 3. มีก่ีจํานวนท่ีหารดวย 3 ลงตัว แตหารดวย 7 ไมลงตัว (229) 4. มีก่ีจํานวนท่ีหารดวย 7 ลงตัว แตหารดวย 3 ไมลงตัว (76) 5. มีก่ีจํานวนท่ีหารดวย 3 หรือ 7 ไมลงตัว (458) 6. มีก่ีจํานวนท่ีหารดวย 3 และ 7 ไมลงตัว (763) วิธีทํา 25. จํานวนเต็มต้ังแต 1 ถึง 500 และหารดวย 3 หรือ 5 ลงตัวจํานวนเทากับขอใดตอไปน้ี 1. 167 2. 200 3. 233 4. 266 (ขอ 3) วิธีทํา 26. จํานวนสมาชิกในเซต { 100 , 101 , 102 , … , 600} ซ่ึงหารดวย 8 หรือ 12 ลงตัวเทากับขอใด 1. 84 2. 92 3. 100 4. 125 (ขอ 1) วิธีทํา


9

ลําดับเรขาคณิต ลําดับเรขาคณิต คือ ลําดับซึ่งเมื่อนําพจนขวามือตั้ง แลวหารดวยพจนซายมือที่อยูติดกันแลว ผลจากการหารจะมีคาคงที่เสมอ คาคงที่นี้เรียกวา “อัตราสวนรวม ( r )” พิจารณาตัวอยาง 2 , 4 , 8 , 16 , ……

4 ÷ 2 8 ÷ 4 16 ÷ 8 = 2 = 2 = 2

อัตราสวนรวม (r)

เราสามารถหา พจนทั่วไป (an) ไดจากสมการ

an = a1 . r(n – 1) หรือ an = r1a . rn

เม่ือ a1 = พจนที ่1 ของลําดับ n = ลําดับที่ของพจนที่จะหา

r = อัตราสวนรวม

27. จงหาพจนท่ัวไปของลําดับเรขาคณิตตอไปน้ี 1 , 3 , 9 , 27 , …… (an = 3

n3 ) วิธีทํา

28. จงหาพจนทั่วไปของลําดับเรขาคณิต 121 , 61 , 31 , …. ( 24n2 )

วิธีทํา 29. จงหาพจนท่ี 9 ของลําดับเรขาคณิต 1 , 2 , 4 , 8 , …… ( 256 ) วิธีทํา


10

30. จงหาพจนท่ี 10 ของลําดับเรขาคณิต 3 , 6 , 12 , …. (1536) วิธีทํา 31. จงหาพจนท่ี 7 ของลําดับเรขาคณิตตอไปน้ี –3 , –6 , –12 , …. (–192) วิธีทํา

32. 162 เปนพจนท่ีเทาใดของลําดับเรขาคณิต 2 , –6 , 18 , …. (พจนที ่5) วิธีทํา 33. ลําดับเรขาคณิตชุดหน่ึงมีพจนท่ี 7 เทากับ 14581 และพจนที่ 3 เทากับ 181 จงหาอัตรา สวนรวม และ พจนที ่ 1 ของลําดับเรขาคณิตชุดน้ี ( ±±±± 31 , 21 ) วิธีทํา 34. ลําดับเรขาคณิตชุดหน่ึงมีพจนท่ี 7 เทากับ 256 และพจนที่ 5 เทากับ 64 จงหาอัตราสวน รวม และ พจนที ่ 1 ของลําดับเรขาคณิตชุดน้ี ( ±±±±2 , 4)



11

35. ถา 5 และ 20 เปนพจนในลําดับเรขาคณิต จงหาจํานวนท่ีอยูระหวางจํานวนท้ังสองน้ีแลว ทําใหจํานวนทั้งสองอยูในลําดับเรขาคณิต (10 และ –10)

วิธีทํา 36. เม่ือจํานวนจํานวนหน่ึงไปบวกกับแตละจํานวนตอไปน้ีคือ 3 , 20 , 105 ตามลําดับ แลว

ผลบวกที่ไดจะเปน 3 พจน เรียงกันในลําดับเรขาคณิต จงหาจํานวนที่นําไปบวกนั้น (85/68) วิธีทํา 37. ผลบวกของลําดับเรขาคณิต 3 พจนมีคาเทากับ 2

21 และผลคูณของพจนทั้งสามมีคาเทากับ 27 แลวพจนที่มีคามากที่สุดมีคาเทาใด ( 6 ) วิธีทํา


12

38. ผลบวกของเลข 3 จํานวนท่ีเรียงกันเปนลําดับเรขาคณิตมีคาเทากับ 19 และผลคูณของเลข สามจํานวนน้ีเปน 216 จงหาจํานวนที่มีคานอยที่สุด ( 4 ) วิธีทํา 39. ถาป 2518 ประชากรในจังหวัดหนึ่งม ี 60000 คน ถาในแตละปประชากรในจังหวัดนี้เพิ่ม ขึ้นปละ 4% จงหาวาป 2530 จังหวัดนี้จะมีประชากรเทาใด (60000 x ( )12

100104 ) วิธีทํา 40. จงหาพจนท่ี n ของลําดับ 2

1 , 61 , 10

1 , 141 , ……. ( 24

1−n )



13

41. จงหาพจนท่ี 8 ของลําดับ 3 , 5 , 7 ( 17 ) วิธีทํา

42. จงหาพจนท่ี 7 ของลําดับ log 2 , log 3 , 2 log 2 , … (3 log 2) วิธีทํา

43. จงหาพจนทั่วไปของลําดับ 215x 3 , 22

7x 5 , 239x 7 , ……. ( 2

3824n

nn ++ ) วิธีทํา

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

ตอนท่ี 2 ลิมิตของลําดับ

พิจารณาลําดับตอไปนี ้ an = 2 + n1 จะไดวา a1 = 2 + 11 = 3 a2 = 2 + 21 = 2.5 a3 = 2 + 31 = 2.3 a4 = 2 + 41 = 2.25 a5 = 2 + 51 = 2.20 a6 = 2 + 61 = 2.17 …. …. a ≈ 2

จะเห็นวา “เม่ือ n เขาใกล ∞ แลว an เขาใกล 2” เขียนเปนสัญลักษณ จะได nalimn

= 2

อานวา “ลิมิต an เม่ือ n เขาใกล ∞ เทากับ 2”


14

พิจารณาลําดับตอไปนี ้ an = 2n + 1 จะไดวา a1 = 2(1) + 1 = 3 a2 = 2(2) + 1 = 5 a3 = 2(3) + 1 = 7 a4 = 2(4) + 1 = 9 a5 = 2(5) + 1 = 11 a6 = 2(6) + 1 = 13 …. …. a∞ = ?

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

พิจารณาลําดับตอไปนี ้ an = (–1)n จะไดวา a1 = (–1)1 = –1 a2 = (–1)2 = 1 a3 = (–1)3 = –1 a4 = (–1)4 = 1 a5 = (–1)5 = –1 a6 = (–1)6 = 1 …. a∞ = ? ลําดับที่หาคา limn

an ได เรียก ลําดับลูเขา ( convergent sequence )

ลําดับที่หาคา limn an ไมได เรียก ลําดับลูออก ( divergent sequence )

ลําดับลูออกท่ีมีคาสลับไปมา เรียก ลําดับแกวงกวัด ( ossilating sequence )

จะเห็นวา เม่ือ n มีคาเพิ่มขึ้น คา จะเพ่ิมข้ึนเร่ือย ๆ ตาม เม่ือ n เขาใกล ∞ คา an จะบอกไมไดวามีคาเทาใด กรณีเชนน้ี จะหาคาลิมิตไมได nalimn

= หาคาไมได ลําดับที่หาคาลิมิตไมได เรียก ลําดับไดเวอรเจนต ลําดับที่หาคาลิมิตได เรียก ลําดับคอนเวอรเจนต

จะเห็นวา คาที่ได จะเปน +1 สลับกับ –1 ไปเร่ือย ๆ เม่ือ n เขาใกล ∞ คา an จะบอกไมไดวาเปน +1 หรือ –1 กรณีเชนน้ี จะหาคาลิมิตไมได nalimn

= หาคาไมได


15

วิธีการหาคาลิมิต วิธีท่ี 1 ใชสมบัติของลิมิต ข้ันท่ี 1 นํา n ตัวที่มีกําลังสูงสุดหารทุกเทอมในพจนทั่วไปนั้น ข้ันท่ี 2 ใชสมบัติของลิมิตตอไปนี้เขาชวย 1) limn

c = c เม่ือ c เปนคาคงที ่

เชน limn5 = 5 limn

–4 = –4 limn0 = 0

2) limn(an ± bn) = limn

an ± limnbn

3) limn(an . bn) = limn

an . limnbn

4) limn nbna = nblimnnalimn

5) limn(an)k = limn

an k

6) limnk na = k nalimn

7) limn| an | = | limn

an |

8) limn(log an ) = log limn

an

9) limn(sin an ) = sin limn

an

0 เม่ือ | a | < | b | ∞ เม่ือ | a | > | b |

11) limn[ kn

1 ] = 0 เม่ือ k ∈ R+

12) limn[ nb

1 ] = 0 เม่ือ b ≠ 0

44. จงเติมคําลงในชองวางตอไปน้ี 1) limn

c = ......................... 2) limn

(an ± bn) = .........................

10) n lim [ ba ]n = เชน limn

[ 75 ]n = 0

limn[ 49 ]n = ∞

เชน limn[ 5n

1 ] = 0

lim [ n1 ] = 0
n 8
.........

.........


16

3) limn(an . bn) = ..................................

4) limn nbna = ..................................

5) limn(an)k = ..................................

6) limnk na = ..................................

7) limn| an | = ..................................

8) limn(log an ) = ..................................

9) limn(sin an ) = ..................................

10) n lim [ ba ]n =

11) limn[ kn

1 ] = ..................................

12) limn[ nb

1 ] = ..................................

ตัวอยางท่ี 1 จงหาลิมิตของลําดับ an = ) 1 2n3() 1 2n 2n6(

++−

วิธีทํา จาก n lim an = n lim +

+− 1 2n3

1 2n 2n6

= n lim +

+−

2n1 2n

23n

2n1 2n

2n 2n26n

= n lim +

+−

2n1 3

2n1 n2 6

= 2n

1limn

3limn

2n1lim

n n

2limn

6limn

+

+−

= 0 3 0 0 6+

+− n lim an = 2


17

45. จงหาลิมิตของลําดับ an = ) 2 2(4n) 1 5n 2(8n

++− (2)

วิธีทํา ตัวอยางท่ี 2 จงหาลิมิตของลําดับ an = ) 1 3n3(

) 1 2n 2n6(+

+−


+−

1 33n1 2n 2n6

= n lim +

+−

3n1 3n

33n3n

1 3n2n 3n

26n

= n lim +

+−

3n1 3

3n1 2n

2 n6

= 3n

1 limn

3limn

3n1 lim

n 2n

2 limn

n6 lim

n+

+−

= 0 3 0 0 0+

+− n lim an = 0

46. จงหาลิมิตของลําดับ an = ) 2 4(5n) 1 5n 2(8n

++− (0)



18

ตัวอยางท่ี 3 จงหาลิมิตของลําดับ an = ) 1 n3() 1 3n 2n4(

++−


+−1 3n

1 3n 2n4

= n lim +

+−

2n1 2n

3n2n

1 2n3n 2n

24n

= n lim +

+−

2n1 n

32n

1 n3 4

= 2n

1 limn

n3 lim

n

2n1 lim

n n

3 limn

4 limn

+

+−

= 0 0 0 0 4 +

+−

n lim an = หาคาไมได

47. จงหาลิมิตของลําดับ an = ) 1 n() 1 2n 25(

++−n (∝∝∝∝ )



48(En 33) จงหาคาของ limn 1 n 5 1 n 2

1 n 3 1n 5 −++−++ (25)


การหาคาลิมิตโดยวิธีลัด สําหรับฟงกชั่นพหุนาม ใหพิจารณาเฉพาะเทอมของ n ท่ีมีกําลังสูงสุดของเศษและสวนเทาน้ัน

กรณีที ่ 1 หากกําลังสูงสุดของเศษ < กําลังสูงสุดของสวน คําตอบของลิมิตน้ันคือ 0 เชน กําลังสูงสุดคือ 2

n lim +

+−

1 33n1 2n 2n6

= 0

กรณีที ่ 2 หากกําลังสูงสุดของเศษ = กําลังสูงสุดของสวน

เชน กําลังสูงสุดคือ 3 คําตอบของลิมิตน้ัน = ิ ์สวนสัมประสิทธ ิเ์ศษสัมประสิทธ

n lim +−

3n1 22n 3n5 = 35

กรณีที ่ 3 หากกําลังสูงสุดของเศษ เชน กําลังสูงสุดคือ 2

n lim −3n2n6

กําลังสูงสุดคือ 3

ลังสูงสุดคือ 3
+ 1 3 กํา > กําลังสูงสุดของสวน
คําตอบของลิมิตน้ัน จะหาคาไมได

++

1 2n = หาคาไมได

สูงสุดคือ 1
1
กําลัง
19


20

49. จงหาลิมิตของลําดับที่มีพจนทั่วไปดังตอไปนี ้ 1. an = 1 23n

4 27n+− 2. an = 9 8n 23n

8 5n 22n+−+−

3. an = 5 3n 2nn

++ 4. an = 1 2n 8 5n 2n

+++

5. an = 1 32n1 35n

+−

ตอบ 1. 37 2. 32 3. 0 4. หาคาไมได 5. 25

50. จงหาลิมิตของลําดับที่มีพจนทั่วไปดังตอไปนี ้

an = 3

5 4n 1 n3

−+ ( 6427 )


51. จงหาลิมิตของลําดับที่มีพจนทั่วไปดังตอไปนี ้

an = 5

3n232n4n2n−−−−

−−−− ( 21 )

52. จงหาลิมิตของลําดับที่มีพจนทั่วไปตอไปนี้ an = 1 2n

2n+ – 1 2n

2n− ( 21− )

วิธีทํา 53. จงหาลิมิตของลําดับที่มีพจนทั่วไปตอไปนี้ an = 3n2 + 4n (หาคาไมได) วิธีทํา


21

54. ลิมิตของลําดับ an = 2n3 4 n 51 3 n n

+−++ เทากับเทาใด ( 23

1 )


55. จงหาลิมิตของลําดับ an = n 6 1 7n

4 1 32n 5 37n

−+

−++ (∞∞∞∞ )

วิธีทํา 56. จงหาลิมิตของลําดับ

.,.........22222 ,2222 ,222 ,22 , 2 (4) วิธีทํา

การหาคาลิมิตโดยวิธีลัด สําหรับฟงกช่ันเอกโปแนนเชียล ใหพิจารณาเฉพาะเทอมที่มีฐานะสูงสุดของเศษและสวนเทานั้น

กรณีที ่ 1 หากฐานสูงสุดของเศษ < ฐานสูงสุดของสวน คําตอบของลิมิตน้ันคือ 0 เชน ฐานสูงสุดคือ 3

n lim +

−

1 )n7(5n2 )n2(3

= 0

ฐานสูงสุดคือ 5


2

กรณีที ่ 2 หากฐานสูงสุดของเศษ = ฐานสูงสุดของสวน

เชน ฐานสูงสุดคือ 3 คําตอบของลิมิตน้ัน = ิ ์สวนสัมประสิทธ ิเ์ศษสัมประสิทธ

n lim +

−

1 )n7(3n2 )n2(3

= 72

กรณีที ่ 3 หากฐานสูงสุดของเศษ > ฐานสูงสุดของสวน เชน ฐานสูงสุดคือ 5 คําตอบของลิมิตน้ัน จะหาคาไมได

n lim +

−

1 n7(4n2 )n2(5

ไมได

57. จงหาลิมิตของลําดับที่มีพจนทั่วไปดังตอไป

1. n lim+

−

1 )n7(5n2 )n2(3

3. n lim+

−

1 n7(4n2 )n2(5


58(En 41) ถา an = 1 23n1 n 2n

+++ และ bn

n เปน an – bn + an bn มีคาเทากับขอใดต 1. –1 2. – 31 วิธีทํา

ฐานสูงสุดคือ 3

= หาคา

นี ้

2. n lim +

−

1 )n7(3n2 )n2(3

( 0 , 72 , หาคาไมได )

ฐานสูงสุดคือ

2

= 9 n5n5 n2

+− แลวลิมิตของลําดับที่มีพจนที ่

อไปนี ้ 3. 0 4. 1 (ขอ 4)


23

59(มช 38) จงหาคาของ limn n5 1) (n

)n5 (12n +

− (–2)

วิธีทํา 60(มช 45) กําหนดลําดับ an = 3 2n 5 n2

++ และลําดับ bn = nn2 แลว n lim

nbna เทากับขอใด

1. 25 2. 35 3. 21 4. 31 (ขอ 3) วิธีทํา

61. กําหนดให A = n lim n 3 และ B = n lim)(

9 12n1n

−+

แลวคาของ A2 B คือ คาในขอใด

1. 0 2. 1 3. 2 4. 3 (ขอ 4) วิธีทํา


24

62. กําหนด A = n lim [ ] 1 4n n sin −π และ B = n lim + 23n

1)2(n cos π แลว

คาของ A2 + B คือคาในขอใด 1. 41 2. 161 3. 21 4. 1 (ขอ 4) วิธีทํา 63. กําหนดลําดับ an = log +2n

1 2n แลว n lim an มีคาเทากับขอใด

1. 0 2. 1 3. 21 4. ไมมีลิมิต (ขอ 1) วิธีทํา

64. กําหนดลําดับ an = 1 3n 1 22n

+− ลิมิตของลําดับ an คือ คาในขอใด

1. 32 2. – 32 3. 0 4. ไมมีลิมิต (ขอ 1) วิธีทํา


25

65(มช 33) ก) พจนที ่ n ของลําดับเลขคณิต 4 , 7 , 10 , 13 , .... คือ ...... (an = 3n+1 ) ข) ลิมิตของลําดับ 42 , 74 , 106 , 138 , .... คือ .......... ( 32 ) วิธีทํา 66(มช 36) จงหาลิมิตของลําดับ 21

5x 3 , 227x 5 , 23

9x 7 , ……. (4 )



26

ตอนท่ี 3 อนุกรม

อนุกรม (S) คือ ผลบวกของสมาชิกของลําดับ เชน S5 = a1 + a2 + a3 + a4 + a5 S4 = a1 + a2 + a3 + a4 S3 = a1 + a2 + a3 อนุกรมจํากัด S2 = a1 + a2 S1 = a1

S∞ = So = a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + …. อนุกรมอนันต

67. อนุกรมจํากัด คือ ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... อนุกรมอนันต คือ ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ....

อนุกรม

อนุกรมจํากัด อนุกรมอนันต

อ.จํากัดเลขคณิต อ.จํากัดเรขาคณิต อ.อนันตเลขคณิต อ.อนันตเรขาคณิต

68. จงเติมแผนผังตอไปน้ีใหสมบูรณ อนุกรม

อนุกรมจํากัดเลขคณิต อนุกรมจํากัดเลขคณิต คือ อนุกรมที่เกิดจากลําดับเลขคณิตจํากัด เราสามารถหาผลบวกไดโดยอาศัยสมการ Sn = 2n [ a1 + an ] หรือ Sn = 2n [ 2 a1 + (n – 1) d ] เม่ือ Sn คือ ผลบวก n พจนแรก n คือ จํานวนพจนท่ีบวก d คือ ผลตางรวม a1 คือ พจนแรก an คือ พจนสุดทาย


27

69. จงหาผลบวก 10 พจนแรก ของอนุกรมตอไปน้ี 3 + 7 + 11 + 15 + 19 + .... (210)

วิธีทํา 70(มช 31) ผลบวก 20 พจนแรกของอนุกรมเลขคณิต –3 + 2 + 7 + 12 + ... มีคาเทากับขอใด ก. 890 ข. 980 ค. 1010 ง. 1100 (ขอ ก) วิธีทํา 71. จงหาผลบวก 20 พจนแรกของอนุกรมเลขคณิตที่มีพจนแรกและพจนสุดทายเปน 4 และ 42 ตามลําดับ (460) วิธีทํา 72. จงหาผลบวกของอนุกรม 12 + 9 + 6 + ... + (–60) (–600) วิธีทํา 73. ผลบวกของจํานวนเต็มค่ีต้ังแต 1 ถึง 207 มีคาเทาใด (10816) วิธีทํา


28

74. ระหวาง 100 ถึง 400 คาทุกคาที่หารดวย 3 ลงตัว รวมกันจะมีคาเทาใด (25050) วิธีทํา 75. ผลบวกของจํานวนท่ีหารดวย 9 ไมลงตัว ต้ังแต 100 ถึง 500 มีคาเทาใด (107034) วิธีทํา 76. ถา S = { 200 , 201 , 202 , ……. , 400 } แลวผลบวกทั้งหมดของจํานวนในเซต S ที่หาร ดวย 8 ลงตัว แตหารดวย 12 ไมลงตัวมีคาเทากับเทาใด (5400) วิธีทํา 77. อนุกรม 39 + 33 + 27 + ... ตองบวกกันกี่พจนจึงจะทําใหไดผลบวกเทากับ 144 (6 , 8) วิธีทํา


29

78. อนุกรม 1 + 5 + 9 + 13 + ... ตองบวกกันกี่พจนจึงจะทําใหไดผลบวกเทากับ 190 (10) วิธีทํา 79. ผลบวก 10 พจนแรกของอนุกรมเลขคณิตชุดหน่ึงเทากับ 430 ถาพจนที่ 10 ของอนุกรม น้ีคือ 79 แลว ผลบวก 3 พจนแรกมีคาเทาใด (45)

วิธีทํา 80. ถาผลบวก 22 พจนแรกของอนุกรมเลขคณิตมีคาเทากับ 198 และพจนที่ 10 ของอนุกรม น้ี มีคาเทากับ 8 แลว ผลบวก 13 พจนแรกของอนุกรมน้ีมีคาเทาใด (78)



30

81. อนุกรมเลขคณิตชุดหน่ึง ผลบวก 3 พจนแรกมีคาเทากับ 6 และผลบวก 5 แรกมีคาเทา กับ 25 แลว ผลบวกของ n แรกมีคาเทาใด ( n [3n–5] / 2)

วิธีทํา 82. อนุกรมเลขคณิตหน่ึงมี 10 พจน ผลบวกของ 5 พจนแรกเทากับ 7 และผลบวกของ 5 พจนหลังเปน 12 จงหาพจนแรก (1) วิธีทํา 83. จงหาผลบวกตั้งแตพจนที่ 10 ถึงพจน 20 ของอนุกรม 1 + 3 + 5 + 7 + ... (319) วิธีทํา


31

84. ไมกองหนึ่งวางซอนกันเปนชั้นๆ แตละชั้นมีจํานวนไมมากกวาจํานวนไมในชั้นที่ถัดขึ้นไป เปนจํานวน 3 ทอน เสมอ ถาจํานวนไมชั้นบนสุดม ี 70 ทอน ช้ันติดกับพ้ืนดินมี 376 ทอน จงหาวาไมกองนี้มีกี่ทอนและวางซอนกันกี่ชั้น (103 ช้ัน , 22969 ทอน)

วิธีทํา 85. ชายคนหนึ่งตองเดินทางทั้งสิ้น 162 ไมล วันแรกเขาเดินทางได 30 ไมล วันท่ีสองเขาเดิน ทางได 27 ไมล วันที่สามเดินทางได 24 ไมล เปนเชนน้ีเร่ือยๆ ไป ถามวานานกี่วันเขาจึงจะ เดินถึงปลายทาง (9 , 12)

วิธีทํา 86. ก. และ ข. อยูหางกัน 255 กม. ตั้งใจเดินทางมาพบกัน โดยต้ังตนเดินทางพรอม ๆ กัน ก. เดินทางในวันแรก 1 กม. วันท่ีสอง 3 กม. วันที่สาม 5 กม. เชนน้ีเร่ือยๆ ไป สวน ข. เดินทางวันแรก 20 กม. วันท่ีสอง 19 กม วันที่สาม 18 กม. เชนน้ีเร่ือย ๆ ไป จงหาวา ในเวลากี่วันเขาทั้งสอง จึงจะพบกัน (10 วัน)



32

87. อนุกรมเลขคณิตชุดหน่ึง มีทั้งหมด 7 พจน พจนที ่ 4 มีคาเทากับ 10 จงหาผลลัพธของ อนุกรมน้ี ( 70 ) วิธีทํา 88. อนุกรมเลขคณิตชุดหน่ึง มีทั้งหมด 5 พจน พจนที ่ 3 มีคาเทากับ

è2tan1è2tan1

+− จงหาผล

ลัพธของอนุกรมนี ้ ( 5 [è2tan1è2tan1

+− ] )

วิธีทํา 89. อนุกรมเลขคณิตชุดหน่ึง มีทั้งหมด 6 พจน มี a3 = 12 และ a4 = 17 จงหาผลลัพธของ อนุกรมน้ี ( 87 ) วิธีทํา 90. ผลบวก 10 พจนแรกของอนุกรม log 2 + log 4 + log 8 + log 16 + …. เทากับ (55 log 2) วิธีทํา


33

91. คาของ log3 3 + 3log 3 + 3log3

3

+ 3log4

3

+ …….. + + 3logn

3

มีคาเทาใด

วิธีทํา ( 2n [n+1] )

อนุกรมจํากัดเรขาคณิต อนุกรมจํากัดเรขาคณิต คือ อนุกรมท่ีเกิดจากลําดับเรขาคณิตจํากัด เราสามารถหาผลบวกไดโดยอาศัยสมการ

Sn = 1 r )1n(r 1a

−− หรือ Sn = 1 r 1a r na

−−

เม่ือ Sn คือ ผลบวก n พจนแรก n คือ จํานวนพจนท่ีบวก r คือ อัตราสวนรวม a1 คือ พจนแรก an คือ พจนสุดทาย

92. จงหาผลบวก 7 พจนแรก ของอนุกรมตอไปน้ี 1 + 3 + 9 + 27 + 81 + .... (1093)


93. จงหา S6 ของอนุกรมเรขาคณิต ตอไปน้ี (1) 1 + 2 + 4 + 8 + … (63) (2) 1 + 21 + 41 + 81 + … ( 3263 ) วิธีทํา


34

94. อนุกรม 3 + 6 + 12 + ... มีกี่พจน จึงจะมีผลบวกเปน 765 ( 8) วิธีทํา 95. อนุกรมเรขาคณิตชุดหน่ึง มีผลบวกของ 3 พจนแรกเปน 9 และมีผลบวกของ 6 พจนแรก เปน –63 แลว ผลบวก 20 พจนแรกของอนุกรมน้ีมีคาเทาใด ( 1– (–2)20) วิธีทํา 96. ถาผลบวก 6 พจนแรกของอนุกรมเรขาคณิตชุดหน่ึงมีคาเปน 9 เทาของผลบวก 3 พจน แรก จงหาอัตราสวนรวมของอนุกรมชุดน้ี ( 2 )



35

97(มช 45) ถา (32) (34) (38) ... ( )x23 = 64 2log 727 แลว จงหาคาของ x ( 6) วิธีทํา

อนุกรมอนันต การหาคาอนุกรมอนันตอาจทําไดโดยวิธีดังน้ี วิธีท่ี 1 หาคาจาก S0 = n lim Sn วิธีท่ี 2 ใชหลักการตอไปนี ้

อนุกรมอนันตเลขคณิต อนุกรมอนันตเลขคณิต คือ อนุกรมท่ีเกิดจากลําดับเลขคณิตอนันต เชน 3 + 7 + 11 + 15 + 19 + ... อนุกรมแบบน้ี จะไมสามารถหาผลบวกได เพราะยิ่งบวกยิ่งไดคาเขาใกล ∞ หรือ –∞

อนุกรมอนันตเรขาคณิต อนุกรมอนันตเรขาคณิต คือ อนุกรมท่ีเกิดจากลําดับเรขาคณิตอนันต

กรณีที ่ 1 หาก | r | ≥ 1 กรณีนี ้ จะไมสามารถหาผลบวกได เพราะยิ่งบวกยิ่งไดคาเขาใกล ∞ หรือ –∞ เชน 1 – 4 + 16 – 64 + 256 – ..... ตัวอยางน้ี | r | = |–4| = 4 ซึ่งมีคามากกวา 1 จึงหาคาผลบวกอนันตไมได


36

กรณีที ่ 2 หาก | r | < 1 กรณีนี ้ จะสามารถหาผลบวกได โดยใชสูตร So = r 1 1a

−

อนุกรมอนันตท่ีสามารถหาคาได เรียก อนุกรมลูเขา ( convergent series ) อนุกรมอนันตท่ีสามารถหาคาไมได เรียก อนุกรมลูออก ( divergent series )

98. จงหาผลบวกอนันตของอนุกรม 1 + 31 + 91 + 271 + … ( 23 ) วิธีทํา 99. จงหาผลบวกอนันตของอนุกรม 1 + 21 + 41 + 81 + ... (2) วิธีทํา 100(มช 35) อนุกรม 0.1 + 0.001 + 0.00001 + .... มีผลบวกเทากับ................. (0.101) วิธีทํา 101(มช 40) กําหนดให a1 + a2 + … + an + … เปนอนุกรมเรขาคณิตซ่ึงมี a2 = 59 และ a3 = 2527 จงหาผลบวกของอนุกรมน้ี (7.5) วิธีทํา


37

102. จงเขียน 0.6• ใหอยูในรูปเศษสวน (2 / 3) วิธีทํา 103. คาของ 4.999 ... มีคาเทากับคาในขอใด 1. 5 2. มีคาเกือบจะเทากับ 5 (ขอ 1) วิธีทํา 104. กําหนดใหสามเหลี่ยมดานเทารูปที ่ n + 1 เกิดจากการลากเสนตอจุดกึ่งกลางดานทั้งสาม ของสามเหลี่ยมดานเทารูปที ่ n ถาขบวนการสรางรูปสามเหลี่ยมดานเทานี้ไมสิ้นสุดและผล บวกของเสนรอบรูปของสามเหล่ียมดานเทารูปท่ี 1 เปน p พจนในขอใดตอไปน้ี เปนผล บวกของเสนรอบรูปทั้งหมดของสามเหลี่ยมเหลานี้

1. 3p/2 2. 2p 3. 3p 4. 4p (ขอ 2) วิธีทํา


38

105. ปลอยลูกบองใหตกจากที่สูง 6 เมตร ลูกบอลกระดอนขึ้นมาได 3/4 ของความสูงเดิมใน แตละครั้ง จงหาระยะที่เคลื่อนที่ไดทั้งหมดในแนวตั้งของลูกบอล (42 ม.)


อนุกรม

อนุกรมจํากัด อนุกรมอนันต

อ.จํากัดเลขคณิต อ.จํากัดเรขาคณิต อ.อนันตเลขคณิต อ.อนันตเรขาคณิต

Sn = 2n [a1 + an ] Sn = 1 r ) 1 n r( 1a

−−

หาผลบวกไมได หาก |r| ≥ 1

Sn = 2n [2a1 + (n –1)d] Sn = 1 r 1a r n.a −−

หาผลบวกไมได หาก |r| ≥ 1 So = r1 1a

−

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!


39

ตอนท่ี 4 อนุกรมลักษณะพิเศษ

อนุกรมรูป 1)n.(n 1 +

106(มช 36) เราทราบวา 1)n.(n 1 + = n1 – 1 n 1+ ( 71 )

จงหาผลบวกของอนุกรม 8 7 1 + 9 8 1 + 10 9 1 + … วิธีทํา 107. เราทราบวา 1kk1kk

1 −−−−−−−−====−−−−++++ จงหาคาของ

1 + 121++++ + 23

1++++ + 34

1++++ + ……. + 1-nn

1++++ +……. (หาคาไมได)


อนุกรมผสมเลขคณิต + เรขาคณิต

108. ผลบวกถึงอนันตของอนุกรม 31 + 94 + 277 + 8110 + … มีคาตรงกับคาในขอใด 1. 45 2. 27 3. 4 4. 5 (ขอ 1) วิธีทํา


40

109. ผลบวกของอนุกรมอนันตน้ี มีคาเทาใด 31 + 92 + 273 + 814 + ... (3/4) วิธีทํา 110. ผลบวกของอนุกรมอนันตน้ี มีคาเทาใด 1 + 43 + 167 + 6415 + ... (8/3) วิธีทํา 111. ผลบวกของอนุกรมอนันตน้ี มีคาเทาใด 3 + 45 + 169 + 6417 + ... 1. 316 2. 418 3. 5 4. 6 (ขอ 1) วิธีทํา


41

112. ผลบวกสิบพจนแรกของอนุกรม 1•3 + 2•32 + 3•33 + 4•34 + ......... + n • 3n + ......... ( 11.341943 ++++ )

วิธีทํา 113. ผลบวกสิบพจนแรกของอนุกรม

1• 31 + 2• 91 + 3• 271 + 4• 811 + ......... + n • n31 + ......... [ 103

5)10)41((143 −−−−−−−− ]



42

ตอนที่ 5 สัญญลักษณแทนการบวก

พิจารณาสัญญลักษณตอไปนี้

=+

51i

3)(i = (1 + 3) + (2 + 3) + (3 + 3) + (4 + 3) + ( 5 + 3)

= 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 30

=

41i

)2(i = 12 + 22 + 32 + 42

= 1 + 4 + 9 + 16 = 30

=

−53i

1) (2i = ( 2[3] – 1) + (2 [4] – 1) + (2 [5] – 1)

= 5 + 7 + 9 = 20

114. จงหาคาของ (1) =

71 i

i 3

(2) =

−4

1 i 1) i (2

(81 , 16)


สูตรสําหรับหาคา Sumation 1 )

=

n1i

C = n C เม่ือ C เปนคาคงตัว เชน =

101i

5 = 10 (5) = 50

2) =

n1i

C ai = C =

n1i ia เชน

=

n1i

2i 5 = 5 =

n1i

2i

3) =

n

1i )

ib

i(a =

==

n1i

i bn1i

ia

4) =

n1i

i = 21)(nn + เชน

=

91i

i = 21)(9 9 + = 45


43

5) =

n1i

2i = 61) (2n 1)(nn ++ เชน

=

61i

2i = 61) (2[6] 1) (6 6 ++ = 91

6) =

n1i

3i = [ ]221)(n n + เชน

=

81i

i = [ ]221) (8 8 + = 1296

115. จงเติมคําลงในชองวางตอไปน้ี

1 ) =

n1i

C = ........ ........ ........ ........ .. เชน =

101i

5 = ........ ........ ........ ........

2) =

n1i

C ai = ........ ........ ........ ........ เชน =

n1i

2i 5 = ........ ........ ........ ..

3) =

n

1i )

ib

i(a = ........ ........ ........ ..

116. จงเติมคําลงในชองวางตอไปน้ี

1) =

n1i

i = ........ ........ ........ ........ เชน =

91i

i = ........ ........ ........ ........ ......…

2) =

n1i

2i = ........ ........ ........ ...... เชน =

61i

2i = ..........................................

3) =

n1i

3i = ........ ........ ........ ...... เชน =

8

1i 3i = ........ ........ ........ ........ ........

117. จงหาคาของ =

101 i

25i

(1925)

วิธีทํา 118. จงหาคาของ

=+

101 i

8)3(i

(3105)



44

119. จงหาคาของ =

+10 i

5) (3i 5

(165)


120. ถา =

+7

1n 2)(An = 74 แลว A มีคาเทาใด (15/7)


121(มช 37) จงหาผลบวกของอนุกรม =

−0 n

n1)( cosn [ ]3π ( 32 )


122(มช 38) ผลบวกของอนุกรม = −

+−

1 n 1 n 3

ne 1n1)( เทากับขอใด

1. e 3 e+ 2. e 3 e

− 3. e 33e+ 4. e 33e

− (ขอ 3) วิธีทํา


45

123. ผลบวก 112 + 122 + 132 + ....+ 502 มีคาเทากับคาในขอใดตอไปนี ้ 1. 35,480 2. 37,280 3. 39,440 4. 42,540 (ขอ 4) วิธีทํา

124. คาของ 350 ...333231 ++++ ตรงกับคาในขอใด 1. 2,550 2. 1,940 3. 1,525 4. 1,275 (ขอ 4) วิธีทํา 125. คาของ 22 + 42 + 62 + 82 + ... + 502 มีคาตรงกับคาในขอใด 1. 18,464 2. 20,604 3. 22,100 4. 24,804 (ขอ 3) วิธีทํา


46

126. จงหาคาของ n lim ++++++++

2n.....232221n).....32(1n (3/2)


127. จงหาคาของ n lim ++++ )( 2n.....2322213n3 ( 1 )

วิธีทํา 128(En 39) สําหรับแตละจำนวนเต็ม n ≥ 4 ให an = 3n... 33 32 31

1 4n ++++

+ ลําดับ an เปนจริงตามขอใด 1. มีลิมิตเปน 1 2. มีลิมิตเปน 2 3. มีลิมิตเปน 4 4. เปนลําดับไดเวอรเจนต (ขอ 3) วิธีทํา


47

129. จงหาผลบวก 10 พจนแรกของ 1. 1•2 + 2•3 + 3•4 + 4•5 + ......... + n (n + 1) 2. 1•4 •7 + 2 •5 •8 + 3 •6 •9 + .......... + n (n + 3) (n + 6) 3. 1(2+3) + 4 (4+3) + 9 (6+3) + ……… + n2(2n+3) วิธีทํา 130. จงหาผลบวก 10 พจนแรกของอนุกรม 1 + 221+ + 2 321 ++ + 2 4321 +++ + …………….. (32.5) วิธีทํา


48

131. จงหาผลบวก n พจนแรกของอนุกรม 1 + (1+2) + (1+2+22) + (1+2+22+ 23) + ......... (2n+1 –2 – n) วิธีทํา

132. จงหาผลบวก n พจนแรกของอนุกรม 1 + (1+ 21 ) + (1+ 21 + 22

1 ) + (1+ 21 + 221 + 32

1 ) + ……………. (2n–2+ 1-n21 )

วิธีทํา 133. จงหาผลบวก n พจนแรกของอนุกรม 1 + 21

2221++ + 321

232221++++ + 4321

24232221++++++ + …………….. ( 31 [n2+2n])



49

134(En 40) พิจารณาขอความ ก. 3 + 3.4 + 3.42 + ... + 3.419 = 420 – 1 ข. 1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + 19. 20 = 2660 ขอใดตอไปน้ีถูกตอง 1. ก. และ ข. ถูก 2. ก. และ ข. ผิด

3. ก. ถูก แต ข. ผิด 4. ก. ผิด แต ข. ถูก (ขอ 1) วิธีทํา 135. ถาพจนที ่ n ของอนุกรมหน่ึงเปน n2 + 2n แลว จงหาผลบวก n พจนแรกของอนุกรมน้ี วิธีทํา ( 6 1) (2n 1) (n n ++ + 2(2n – 1) )

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

math online vi บทที่ 16 คณิตศาสตร บท ... · math online vi...

Documents