ค 31101 คณิตศาสตร...

ค 31101 คณตศาสตร

-DLIT 1-

เซต(Set)

1. เซต (Set)ในทางคณตศาสตร เราถอวาเซตเปนอนยาม ซงเราจะใชเซตบงบอกถงกลมของสงตางๆ โดยจะตอง

ทราบวา สงใดอยในกลม สงใดไมอยในกลม และสงทอยในกลมนนเราจะเรยกวาเปนสมาชกของเซต โดยนยมใชอกษรภาษาองกฤษตวใหญ A, B, C, ... แทนเซต และอกษรภาษาองกฤษตวเลก a , b, c,... แทนสมาชกของเซต2. เซตวาง (Empty set หรอ Null set)

บทนยาม เซตวาง คอ เซตทไมมสมาชกเลย เขยนแทนดวย ( อานวา phi ) หรอ { }ตวอยางท 1 จงพจารณาวา จากการสนใจสงตอไปนขอใดเกดเซตและขอใดไมเกดเซต__________1) วนใน 1 สปดาห __________2) สระในภาษาองกฤษ__________3) จานวนนบทนอยกวา 0 __________4) ชอ-นามสกลของคนในกรงเทพมหานคร__________5) จานวนจรงทมากกวา 5 แตนอยกวา 9 __________6) นกเรยน ม.4 รน 49 ของ ร.ร.หอวง ทนารก__________7) รายชอคนดของเขต จตจกร __________8) สตวทม 4 ขา

3. วธเขยนเซตการเขยนเซตอาจเขยนได 2 แบบ คอ1) แบบแจกแจงสมาชก วธนจะเขยนแจงสมาชกทกตวลงในวงเลบปกกา { } โดยคนระหวางสมาชก

ดวยเครองหมายจลภาค ( , )* ถาสมาชกของเซตมหลายตวแตมแบบแผนทชดเจน อาจใชการเขยนสมาชกของเซตเพยง 3-4 ตว แลวตามดวย , . . . เพอเปนการยอไวในฐานทเขาใจกนวาตวตอๆไปคออะไร

2) แบบบอกเงอนไข วธนจะเขยนในรปของเงอนไขของสงทจะเปนสมาชกของเซตไดโดยเขยนในรป { ตวแปร / คณสมบตของตวแปรทเปนสมาชกของเซต }

ตวอยางท 2 จงเขยนเซตตอไปนแบบแจกแจงสมาชก1) เซตของชอจงหวดในประเทศไทยทขนตนดวยพยญขนะ "จ"

ตอบ....................................................................................................................................................................................2) เซตของสระในภาษาองกฤษ

ตอบ....................................................................................................................................................................................3) เซตของจานวนเตมบวกทมสองหลก

ตอบ....................................................................................................................................................................................4) เซตของจานวนคบวกทนอยกวา 10

ตอบ....................................................................................................................................................................................5) เซตของจานวนเตมทมากกวา 100

ตอบ....................................................................................................................................................................................6) { x / x เปนจานวนเตมทมากกวา 3 และนอยกวา 10 }

ตอบ....................................................................................................................................................................................7) { x / x เปนจานวนเตมอยระหวาง 0 กบ 1 }

ตอบ....................................................................................................................................................................................


-DLIT 2-

8) เซตของจานวนเตมลบทมากกวา 5ตอบ....................................................................................................................................................................................

ตวอยางท 3 จงเขยนเซตตอไปนแบบบอกเงอนไขสมาชกของเซต1) N = { 1 , 3 , 5 }

ตอบ....................................................................................................................................................................................2) P = {. . . , -2 , -1 , 0 , 1 , 2 , . . .}

ตอบ....................................................................................................................................................................................3) R = { 1 , 4 , 9 , 16 , 25 , 36 , . . . }

ตอบ....................................................................................................................................................................................4) T = { 10 , 20 , 30 , . . . }

ตอบ....................................................................................................................................................................................4. เอกภพสมพทธ (Relative Universe)

เอกภพสมพทธ คอ เซตทกาหนดขอบเขตทจะพจารณา นยมเขยนแทนดวย ตวอยางเอกภพสมพทธทควรทราบR ใชแทน เซตของจานวนจรงR+ ใชแทน เซตของจานวนจรงบวกR ใชแทน เซตของจานวนจรงลบI ใชแทน เซตของจานวนเตม = {... , 3 , 2 , 1 , 0 , 1 , 2 , 3 , ...}I+ ใชแทน เซตของจานวนเตมบวก = {1 , 2 , 3 , ...}I ใชแทน เซตของจานวนเตมลบ = {1 , 2 , 3 , ...}N ใชแทน เซตของจานวนนบ = {1 , 2 , 3 , ...}P ใชแทน เซตของจานวนเฉพาะบวก = {2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 , ... }**การกาหนดเอกภพสมพทธเปนการกาหนดขอบเขตของเรองราวทสนใจ บางครงเงอนไขของสมาชกของเซต

เหมอนกน แตเอกภพสมพทธตางกน ทาใหเซตทไดเปนเซตทมสมาชกแตกตางกน เชน

1) ถากาหนดเอกภพสมพทธเปนเซตของจานวนเตม และ 2{ 2 3 0}A x x x จะได A = {3 , -1}

2) ถากาหนดเอกภพสมพทธเปนเซตของจานวนเตมบวก และ 2{ 2 3 0}A x x x จะได A = { 3 }

5. เซตจากด และเซตอนนตเซตจากด (Finite set) คอ เซตทมจานวนสมาชกเทากบจานวนเตมบวกใดๆ หรอศนยเซตอนนต (Infinite set) คอ เซตทไมใชเซตจากดขอตกลง 1. ใชสญลกษณ n(A) แทน "จานวนสมาชกของเซต A"

2. ใชสญลกษณ " " แทน " เปนสมาชกของเซต "และ " " แทน " ไมเปนสมาชกของเซต "

ขอสงเกต เซตวางเปนเซต.........................


-DLIT 3-

ตวอยางท 4 จงพจารณาวา เซตตอไปนเปนเซต จากด หรออนนต จากด อนนต

4.1) A = {หมาก , ณเดชน , แตว} __________ __________

4.2) B = {จานวนเตมบวก} __________ __________

4.3) C = {x/x เปนจานวนเตมคบวก} __________ __________

4.4) D = {1 , 3 , 5 , ... , 1000001} __________ __________

4.5) E = {x R / 1 x 20} __________ __________

4.6) G = {x R / x2 = 1 } __________ __________

4.7) H = { } __________ __________

ตวอยางท 5 จงบอกจานวนสมาชกของเซตตอไปน1) B = {1234} n(B) = .................2) C = {a , b , c , de , f , gh , ijk } n(C) = .................3) G = { x / x เปนจานวนเตมบวก และนอยกวา 0 } n(G) = ................4) H = { , {0,1} , 2 , {2}} n(H) = ...............

6. การเทากนของเซตบทนยาม เซต A เทากบเซต B กตอเมอ ทกสมาชกของเซต A เปนสมาชกของเซต B และ ทกสมาชกของ

เซต B เปนสมาชกของเซต Aเซต A เทากบเซต B เขยนแทนดวย A = B

ตวอยางท 6 1) กาหนดให A = { 1 , 2 , 3 , 4 } และ B = { 3 , 1 , 4 , 2 } จะไดวา............................................................ 2) กาหนดให C = { 1 , 2 , 3 } และ D = { 1 , 2 , 2 , 3 , 3 , 3 } จะไดวา .....................................................

สรป 1) ........................................................................................................................................................................2) ........................................................................................................................................................................

ตวอยางท 7 จงพจารณาวาเซตคใดทกาหนดใหเปนเซตทเทากน1) C = { x / x เปนจานวนจรง และ x2 = 36} , D = { 6 } ..........................

2) E = { x / x = 7n เมอ n เปนจานวนนบทนอยกวา 50 } , F = { 7 , 14 , 21 , . . . , 343 } ..........................

3)1{ 1 }A x xn

, B = 1 2 3 4{0 , , , , , . . . }2 3 4 5

..........................เมอ n เปนจานวนนบ


-DLIT 4-

7. การเทยบเทากนของเซตเซตทเทยบเทากน คอ เซตทม จานวนสมาชกเทากน (สาหรบเซตจากด)

คอ เซตซงสามารถจบคสมาชกกนแบบหนงตอหนงได (สาหรบเซตอนนต)

ตวอยางท 9 พจารณาขอความตอไปนวาถก หรอ ผด________ 9.1) a {a , b}________ 9.2) a {{a} , {a , b}}________ 9.3) {a} {a , {a , b}}________ 9.4) {b , c} {a , {c , b}}________ 9.5) a , b {a , {a , b}, b}________ 9.6) a , b {a , {a , b}, {b}}________ 9.7)

________ 9.8) { }________ 9.9) { } {{ }}________ 9.10) { } {{ } , { }}

HOMEWORK: แบบฝกหด 1.1 ขอ 4-6 หนา 7-88. สบเซต (Subset)

บทนยาม เซต A เปนสบเซตของเซต B กตอเมอ สมาชกทกตวของเซต A เปนสมาชกของเซต Bเขยนแทนดวยสญลกษณ A B

ถา A เปนสบเซตของ B เขยนแทนดวย A B

ถา A ไมเปนสบเซตของ B เขยนแทนดวย A B

บทนยาม เซต A เปนสบเซตแท (proper subset) ของเซต B กตอเมอ A B และ A B

ตวอยางท 10 1) กาหนด A = { 1 , 3 , 5 } และ B = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } จะไดวา .......................................................2) กาหนด A = { 1 , 3 , 5 } และ B = { 1 , 2 , 4 , 5 , 6 , 7 } จะไดวา .......................................................

ขอสงเกต 1) A ไมเปนสบเซตของ B กตอเมอ ..................................................................................................2) { }x A กตอเมอ ......................................................................................................................3) เปนสบเซตของทกเซต กลาวคอ A เมอ A เปนเซตใดๆ4) เซตใดๆยอมเปนสบเซตของตวเอง กลาวคอ A A เมอ A เปนเซตใดๆ5) {x} A กตอเมอ x A

ตวอยางท 11 กาหนดให A = { a, b, c, { a, b}, {c}} ขอความใดตอไปนผด 1. {a, b }A 2. {a, b} A 3. {a} A 4. {a}A


-DLIT 5-

ตวอยางท 12 จงพจารณาขอความตอไปนวาถกหรอผด________ 12.1) a {a , {a , c}}________ 12.2) {a} {a , {a , c}}________ 12.3) {a , b} {a , b , {a , b}}________ 12.4) {a , c} {a , {a , c}}________ 12.5) {a , {b}} {a , {b} , {a , c}}________ 12.6) {a , b , c} {a , b , {c} , c}________ 12.7)

________ 12.8) { }________ 12.9) {{ }}________ 12.10) { } {{ }}________ 12.11) { } {{ } , { }}

ตวอยางท 13 กาหนดให { , 1 , {1}}A ขอใดตอไปนผด1. A 2. { } A 3. {1 , {1}} A 4. {{1} , {1 , {1}}} A

ตวอยางท 14 จงหาสบเซตของเซต A ทงหมด พรอมทงจานวนสบเซตแทของเซต A เมอ1) A = สบเซตของ A คอ...................................................................................................................................................................... จานวนสบเซตทงหมด เทากบ..................................................จานวนสบเซตแท เทากบ...................................................2) A = { 1 } สบเซตของ A คอ...................................................................................................................................................................... จานวนสบเซตทงหมด เทากบ..................................................จานวนสบเซตแท เทากบ...................................................3) A = { 1, 2 } สบเซตของ A คอ...................................................................................................................................................................... จานวนสบเซตทงหมด เทากบ..................................................จานวนสบเซตแท เทากบ...................................................4) A = { 1 , 2 , 3 } สบเซตของ A คอ...................................................................................................................................................................... จานวนสบเซตทงหมด เทากบ..................................................จานวนสบเซตแท เทากบ...................................................

คณสมบตเพมเตมของสบเซต1.จานวนสบเซตทงหมด = 2n เมอ n เปนจานวนสมาชก2.จานวนสบเซตแททงหมด = 2n 1 เมอ n เปนจานวนสมาชก3.A = B กตอเมอ A B และ B A

4.ถา A B และ B C แลว A C (สมบตถายทอดของการเปนสบเซต)


-DLIT 6-

ตวอยางท 15 ให A เปนเซตจากด และ B เปนเซตอนนต ขอความใดตอไปนเปนเทจ1. มเซตจากดทเปนสบเซตของ A 2. มเซตจากดทเปนสบเซตของ B3. มเซตอนนตทเปนสบเซตของ A 4. มเซตอนนตทเปนสบเซตของ B

9. เพาเวอรเซต (Power set)บทนยาม เพาเวอรเซตของเซต A คอเซตของสบเซตทงหมดของเซต A

เขยนแทนดวยสญลกษณ P(A) หรอ 2A

จากนยาม ( )X P A กตอเมอ X A

ตวอยางท 16 จงหา P(A) และ n(P(A)) เมอ16.1) A = {a , b}

16.2) A = {1 , 2 , 3}

16.3) A =

คณสมบตของเพาเวอรเซต กาหนด A และ B เปนเซตใดๆ1. ( )X P A กตอเมอ X A

2. P(A) เนองจาก................................................................................3. A P(A) เนองจาก................................................................................4. P(A) , n (P(A)) 0 เนองจาก................................................................................5. n(P(A)) = )A(n2 เนองจาก................................................................................6. P(A) P(B) กตอเมอ A B

พสจน 1) ถา ( ) ( )P A P B เนองจาก ( )A P A จากขอ 2. ดงนน ( )A P B นยามสบเซต จะได A B นยามเพาเวอรเซต2) ถา A B จะไดวา ถา x A แลว x B สมบตถายทอดการเปนสบเซต จะไดวา ถา ( )x P A แลว ( )x P B นยามเพาเวอรเซต ดงนน ( ) ( )P A P B นยามสบเซต

จาก 1) และ 2) สรปไดวา ( ) ( )P A P B A B


-DLIT 7-

*7. {x} P(A) กตอเมอ x A

*8. {x} P(A) กตอเมอ x A

ตวอยางท 17 กาหนด A = {1 , 2 , {1}} แลวตอไปนขอใดถก-ขอใดผด________17.1) {1} A________17.2) {1 , {1}} A________17.3) {2} P(A)________17.4) {{1}} P(A)________17.5) {{2}} P(A)________17.6) {2 , {1}} P(A)________17.7) {{1}} P(A)________17.8) { } P(A)________17.9) { } P(A)________17.10) { } P(P(A))

ตวอยางท 18 กาหนดให A = {1 , {1} , {2} , 2} จงพจารณาวา ขอใดตอไปนไมถกตอง1. {1} P(A) 2. P(A)3. {1 , 2} P(A) 4. { ,{1}} P(A)

ตวอยางท 19 กาหนดให A = {1 , {1} , , { }} และ P(A) เปนเพาเวอรเซตของ A จะไดวาก) { } A และ { } P(A)

ข) A และ P(A)ค) A และ P(A) มสมาชกซากน 3 ตว

ขอใดสรปถกตอง1. ถกเฉพาะขอ ก และ ขอ ข 2. ถกเฉพาะขอ ข และ ขอ ค3. ถกเฉพาะขอ ก และ ขอ ค 4. ถกหมดทงสามขอ

ตวอยางท 20 กาหนด A = {} แลวพจารณา ขอตอไปน1) {{{}}} P(P(A))2) {{{}}} P(P(P(A)))ขอใดสรปถกตอง1. ถกทง 2 ขอ 2. 1) ถก 2) ผด 3. 1) ผด 2) ถก 4. ผดทง 2 ขอ

HOMEWORK : แบบฝกหด 1.3 หนา 12 ขอ 1-4


-DLIT 8-

10. แผนภาพเวนน-ออยเลอร (Venn-Euler Diagrams)เราอาจแทนเซตไดด วยแผนภาพท เรยกวา "แผนภาพของเวนน -ออยเลอร ซ งต งข นตามช อของนก

คณตศาสตร ชาวองกฤษ John Venn (1834-1923) และชาวสวส Leonhard Euler (1707-1783) โดยการเขยน แผนภาพนยม แทนเอกภพสมพทธ ( ) ดวยสเหลยมมมฉาก และแทนเซตตางๆ ทเปนสบเซตของ ดวย วงกลม วงร หรอรปทมพนทจากดใดๆ กได

การแสดงความสมพนธระหวางเซต A กบ B ในกรณตางๆ ดวยแผนภาพ กรณท 1 เซต A และ B ไมมสมาชกซากนเลย กรณท 2 เซต A เทากบเซต B

กรณท 3 เซต A เปนสบเซตของเซต B กรณท 4 เซต B เปนสบเซตของเซต A

กรณท 5 เซต A และเซต B มสมาชกซากนบาง

11. การกระทาระหวางเซต (Operation between Sets)กาหนด A , B แทนเซตใดๆ และ แทนเอกภพสมพทธ

ยเนยน (Union) ใชสญลกษณ " " โดยA B = {x / x A หรอ x B}

อนเตอรเซกชน (Intersection) ใชสญลกษณ " " โดยA B = {x / x A และ x B}

ผลตาง (Difference) ใชสญลกษณ " " โดยA B = {x / x A และ x B}

BA

A B

AB

A B

A B

BA

BA

BA


-DLIT 9-

12. การกระทาบนเซต (Operation on set)คอมพลเมนต (Complement) ใชสญลกษณ "" โดย

A = {x / x และ x A}อาจเขยน A ดวยสญลกษณ Ac

ตวอยางท 21 กาหนด = {1 , 2 , 3 , ... , 8}A = {1 , 2 , 3 , 4} B = {5 , 6 , 7 , 8}C = {3 , 4 , 5} D = {5 , 6}

จงหา1) A C 2) A C

3) A C 4) C

5) D A 6) (A C) B

7) (A B) D 8) (A D)

ตวอยางท 22 ถา {2, 4, 6} , {0,1,3}A B B A และ {0,1, 2,3, 4,5,6,7 ,8}A B

แลว A B เปนสบเซตของเซตในขอใดตอไปน1. {0,1,4,5,6,7} 2. {1,2,4,5,6,8}3. {0,1,3,5,7,8} 4. {0, 2,4,5,6,8}

ตวอยางท 23 ให A = { 1, 2, 3, ...} และ B = {{1, 2} , {3, 4, 5}, 6, 7, 8, ...} ขอใดเปนเทจ1. A - B มสมาชก 5 ตว2. จานวนสมาชกของเพาเวอรเซตของ B - A เทากบ 43. จานวนสมาชกของ ( ) ( )A B B A เปนจานวนค4. A B คอเซตของจานวนนบทมากกวา 5

A


-DLIT 10-

ตวอยางท 24 จงเขยนแผนภาพ (Venn-Euler diagram) แสดงเซตตอไปน1) A B 2) (A B) (A B)

3) (A B) C 4) A (B C)

ตวอยางท 25 สวนทแรเงาคอเซตในขอใดตอไปน

1. (B A)C2. (B A ) C3. B (A C )4. B ( A C)

ตวอยางท 26 สวนทแรเงาคอเซตในขอใดตอไปน

1. C (AB)2. C (BA )3. A C4. B C

ตวอยางท 27 จากแผนภาพทกาหนดให สวนทแรเงาคอเซตขอใด1. ( A B ) C2. ( A B ) C3. ( A B ) C4. ( A B ) C


-DLIT 11-

13. คณสมบตของ Operation

1. กฎการกระทาตวเอง (Idempotent Law)A A = AA A = A

2. กฎของเดอรมอแกน (De Morgan's Law)(A B) = A B(A B) = A B

3. กฎการสลบท (Commutative Law)A B = B AA B = B A

4. กฎการเปลยนหม (Associative Law)A (B C) = (A B) CA (B C) = (A B) C

5. กฎการแจกแจง (Distributive Law)A (B C) = (A B) (A C)A (B C) = (A B) (A C)A (B C) = (A B) (A C)A (B C) = (A B) (A C)

6. การเปลยนรป(Transformative Law of " - "and " ")A B = A B

= B AA B = A B

7. กฎการยบ ( Absorption Law)A (A B) = AA (A B) = A

8. กฎการแจกแจงของ " - "(Distributive Law of " - " )A (B C) = (A B) (A C)A (B C) = (A B) (A C)(B C) A = (B A) (C A)(B C) A = (B A) (C A)

9. คอมพลเมนตA = A(A) = A =

=

10. กระทากบ คอมพลเมนตA A =A A =

A A = AA A = A

11. กระทากบ A =A = AA =

A = A

12. กระทากบ A = AA =

A = A A =

13. **กรณ A B จะไดวาA B = BA B = AA B =


-DLIT 12-

ตวอยางท 28 จงพจารณาวาขอความตอไปนถกหรอผด_______1) ( ) ( ) ( )A B C A B A C

_______2) ( ) ( ) ( )A B C A B A C

ตวอยางท 29 [(A B) B] คอเซตในขอใด1. A B 2. A B 3. A B 4. A B

ตวอยางท 30 A (B C) คอเซตในขอใด1. (A B) C 2. (A B) (A C)3. (A B) (A C) 4. (A B) (A C)

ตวอยางท 31 ให A, B, C, D เปนเซตใด ๆ ( A C ) ( B D ) เทากบเซตในขดใด1. ( A B ) ( D C ) 2. ( A B ) ( C D )3. ( A B ) ( D C ) 4. ( A B ) ( C D)


-DLIT 13-

ตวอยางท 32 ( A B ) ( A B C D ) เทากบเซตในขอใด1. A B 2. A B 3. A ( B C ) 4. A B C

ตวอยางท 33 A (A B C) ตรงกบเซตขอใด1. A (B C) 2. (B C) A 3. (A C) B 4. (B A) C

ตวอยางท 34 กาหนดให A , B และ C แทนเซตใดๆ ซง A B พจารณาขอความตอไปนก) ( ) ( )C A C B

ข) c cA C A B ขอใดตอไปนถกตอง1. ก. ถก และ ข. ถก 2. ก. ถก และ ข. ผด3. ก.ผด และ ข. ถก 4. ก. ผด และ ข. ผด

ตวอยางท 35 แผนภาพแรเงาในขอใดแทนเซต (( ) ( )) (( ) ( ))A B A C B C A B C 1. 2.

3. 4.

HOMEWORK : แบบฝกหด 1.4 ขอ 1-4 หนา 23 - 24

B

C

A

B

C

A B

C

A

B

C

A

ค 31101 คณิตศาสตร...

Documents