คณ คณิตศาสตร คณิตศาสตร สำหรับ ... ·...
TRANSCRIPT
สำนกพมพมหาวทยาลยธรรมศาสตร
คณตศาสตรสำหรบวทยาศาสตร
ดร.อจฉรา ปาจนบรวรรณ
หนงสอนไดรบทนสนบสนนการเขยนตำราจากมหาวทยาลยธรรมศาสตร พ.ศ. 2555
ดร. อจฉรา ปาจนบรวรรณคณ
ตศาสตรสำหรบวทยาศาสตร
คณตศาสตรสำหรบวทยาศาสตร
ดร. อจฉรา ปาจนบรวรรณอาจารยประจำภาควชาคณตศาสตรและสถต คณะวทยาศาสตรและเทคโนโลย มหาวทยาลยธรรมศาสตรการศกษา: • วทยาศาสตรบณฑต (ศกษาศาสตร) มหาวทยาลยสงขลานครนทร วทยาเขตปตตาน • วทยาศาสตรมหาบณฑต (คณตศาสตรประยกต) มหาวทยาลยมหดล • Master of Arts in Mathematics, Western Michigan University, USA. • Doctor of Philosophy in Mathematics, Western Michigan University, USA.ผลงานตำรา: • แคลคลส 1, พมพครงท 4, 2555 • พชคณตเชงเสน, พมพครงท 3, 2556 • คณตศาสตรสำหรบวทยาศาสตร, 2557
คณตศาสตรเปนเคร�องมอทสำคญในการขบเคล�อนสงคม นวตกรรม เทคโนโลย และวทยาศาสตรกอใหเกดการทดลองตางๆ ทเปนรปธรรม หรอกลาวไดวาคณตศาสตรชวยใหวทยาศาสตรทำงานไดงายขนนอกจากนคณตศาสตรยงมบทบาทสำคญยงตอการพฒนาสตปญญา ทำใหมความคดสรางสรรค คดอยางมเหตผลและเปนระบบ สามารถวเคราะหปญหาหรอสถานการณไดอยางถถวนรอบคอบ รจกวางแผนในการแกปญหา และนำไปใช ในชวตประจำวนไดอยางถกตองเหมาะสม พชคณตเชงเสน แคลคลสและสมการเชงอนพนธ เปนสวนหนงของคณตศาสตรทชวยใหนกศกษาสามารถนำไปประยกตใช ในการอธบายกฎเกณฑทางธรรมชาต โดยใชวธการแปลงปญหาในธรรมชาตใหเปนปญหาเชงสญลกษณ และแกปญหาจากสญลกษณเหลานน
http://www.thammasatpress.com
ราคา 270 บาทหมวดวทยาศาสตร
ISBN 978-616-314-089-0
9 786163 140890
สน 1.3 ซม.
ตวอยาง
หนงสอทไดรบทนสนบสนนการเขยนตÓราจากมหาวทยาลยธรรมศาสตร พ.ศ. 2555
อจฉรา ปาจนบรวรรณ.
คณตศาสตรสำาหรบวทยาศาสตร.
1. คณตศาสตร.
QA37.3
ISBN 978-616-314-089-0
ลขสทธของดร. อจฉรา ปาจนบรวรรณสงวนลขสทธ
ฉบบพมพครงท 1 เดอนมถนายน 2557
จำานวน 500 เลม
จดพมพและจำาหนายโดยสÓนกพมพมหาวทยาลยธรรมศาสตรอาคารธรรมศาสตร 60 ป ชน U1 มหาวทยาลยธรรมศาสตร
ถนนพระจนทร กรงเทพฯ 10200
โทร. 0-2223-9232, 0-2613-3801-2
โทรสาร 0-2226-2083
(สÓนกงานศนยรงสต โทร. 0-2564-2859-60)e-mail address: [email protected]
พมพทบรษทไอดออล ดจตอลพรนท จÓกด นายธศษฎ วราภาสกล ผพมพผโฆษณา
ราคาเลมละ 270.-บาท
Math&Science(��������)(1)-(9).indd 4 5/22/57 BE 10:18 AM
eISBN 978-616-314-149-1
ฉบบอเลกทรอนกส (e-book) มกราคม 2558
หนงสอทไดรบทนสนบสนนการเขยนตÓราจากมหาวทยาลยธรรมศาสตร พ.ศ. 2555
อจฉรา ปาจนบรวรรณ.
คณตศาสตรสำาหรบวทยาศาสตร.
1. คณตศาสตร.
QA37.3
ISBN 978-616-314-089-0
ลขสทธของดร. อจฉรา ปาจนบรวรรณสงวนลขสทธ
ฉบบพมพครงท 1 เดอนมถนายน 2557
จำานวน 500 เลม
จดพมพและจำาหนายโดยสÓนกพมพมหาวทยาลยธรรมศาสตรอาคารธรรมศาสตร 60 ป ชน U1 มหาวทยาลยธรรมศาสตร
ถนนพระจนทร กรงเทพฯ 10200
โทร. 0-2223-9232, 0-2613-3801-2
โทรสาร 0-2226-2083
(สÓนกงานศนยรงสต โทร. 0-2564-2859-60)e-mail address: [email protected]
พมพทบรษทไอดออล ดจตอลพรนท จÓกด นายธศษฎ วราภาสกล ผพมพผโฆษณา
ราคาเลมละ 270.-บาท
Math&Science(��������)(1)-(9).indd 4 5/22/57 BE 10:18 AM
ตวอยาง
สารบญ
หนา
Math&Science(��������)(1)-(9).indd 5 5/22/57 BE 10:18 AM
ตวอยาง
(6)
หนา
Math&Science(��������)(1)-(9).indd 6 5/22/57 BE 10:18 AM
ตวอยาง
(7)
หนา
Math&Science(��������)(1)-(9).indd 7 5/22/57 BE 10:18 AM
ตวอยาง
คำ�นำ�
ดร. อจฉรา ปาจนบรวรรณมถนายน 2557
Math&Science(��������)(1)-(9).indd 9 5/22/57 BE 10:18 AM
ตวอยาง
บทท 1เมทรกซบทท 1
เมทรกซ�
1.1 เมทรกซ�และการดำเนนการบนเมทรกซ�กล�มของจำนวนซงนำมาจดเรยงกนเป�นรปสเหลยมมมฉาก หรอทเรยกว�า เมทรกซ� ได�ถกนำมาใช�ในหลายสาขาวชา เมทรกซ�จดว�าเป�นหนงในเครองมอทสำคญมากทางด�านคณตศาสตร� ในหวข�อนเราจะเรยนร�บทนยามเบองต�นของเมทรกซ� การดำเนนการบวกลบ และคณเมทรกซ�
สญลกษณ�ของเมทรกซ�
บทนยาม 1.1 เมทรกซ� (matrix) คอ กล�มของจำนวนซงนำมาจดเรยงกนเป�นรปสเหลยมมมฉากและบรรจภายในเครองหมาย [ ] หรอ ( ) จำนวนซงนำมาจดเรยงแต�ละจำนวนเรยกว�า สมาชก (element หรอ entry) ของเมทรกซ�
ตวอย�างเช�น
2 3
−1 2
0 −5
(1.1)
(
1 −1 0
0 5 2
)
(1.2)[
1√2 π 0
]
(1.3)และ
2
−3
7
(1.4)
1
Math&Science1 1-6.indd 1 5/15/57 BE 8:08 PM
ตวอยาง
2 บทท 1 เมทรกซ2 บทท 1 เมทรกซ�
สมาชกซงจดเรยงกนในแนวนอนเรยกว�า แถว ของเมทรกซ� ในขณะทสมาชกซงจดเรยงในแนวตงเรยกว�า หลก ของเมทรกซ� ตวอย�างเช�นแถวทสามของเมทรกซ� (1.1) ประกอบด�วยสมาชก 0 และ −5 และสมาชกในหลกทหนงเมทรกซ� (1.1) คอ 2, −1 และ 0
สำหรบเมทรกซ�ทม m แถว และ n หลก เรากล�าวว�าเมทรกซ�นนม มต (dimension)หรอ อนดบ (order) m×n ดงนนเมทรกซ� (1.1) มมต 3×2 เมทรกซ� (1.2) มมต 2×3
และเมทรกซ� (1.3) มมต 1× 4
เมทรกซ�ทมเพยงแถวเดยว หรอเมทรกซ�มต 1×n เรยกว�า เมทรกซ�แถว (row ma-trix) หรอ เวกเตอร�แถว (row vector) ในขณะเดยวกนเมทรกซ�ทมเพยงหลกเดยวหรอเมทรกซ�มต m× 1 เรยกว�า เมทรกซ�แนวตง (column matrix) หรอ เวกเตอร�แนวตง (column vector) ดงนนเมทรกซ� (1.3) คอ เมทรกซ�แถวหรอเวกเตอร�แถว และเมทรกซ� (1.4) คอ เมทรกซ�แนวตงหรอเวกเตอร�แนวตง
โดยทวไปเรานยมใช�ตวอกษรพมพ�ใหญ�เช�น A,B,C, . . . แทนเมทรกซ� ในขณะทสมาชกของเมทรกซ�จะเขยนแทนด�วยตวพมพ�เลกทมดชนล�าง 2 ตว เช�น aij หมายถงสมาชกในแถวท i และหลกท j ของเมทรกซ� ดงนนรปทวไปของเมทรกซ�มต 2 × 4
สามารถเขยนแทนด�วย
A =
[
a11 a12 a13 a14
a21 a22 a23 a24
]
และรปทวไปของเมทรกซ�มต m× n คอ
A =
a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n... ... ...
am1 am2 · · · amn
(1.5)
เพอความสะดวกในการนำไปใช� บางครงเราเขยนแทนเมทรกซ� A ในรป
[aij ]m×n หรอ [aij ]
โดยทสญลกษณ�ตวแรกจะใช�เมอต�องการทราบมตของเมทรกซ� ในขณะทสญลกษณ�ตวทสองจะใช�เมอไม�จำเป�นต�องกล�าวถงมตของเมทรกซ�
นอกจากนสมาชกในแถวท i และหลกท j ของเมทรกซ� A อาจจะเขยนแทนด�วยสญลกษณ� (A)ij ดงนนสมาชกในแถวท i และหลกท j ของเมทรกซ� (1.5) สามารถเขยนแทนด�วย
(A)ij = aij
Math&Science1 1-6.indd 2 5/15/57 BE 8:08 PM
ตวอยาง
31.1 เมทรกซและการดำาเนนการบนเมทรกซ1.1 เมทรกซ�และการดำเนนการบนเมทรกซ� 3
และสำหรบเมทรกซ�
A =
3 6 −1
4 2 0
1 −3 −5
เราได�ว�า a12 = 6, a21 = 4 และ a33 = −5
เมทรกซ� A ทม n แถว และ n หลก เรยกว�า เมทรกซ�จตรส (square matrix) มตn × n หรอ เมทรกซ�จตรสอนดบ n และสมาชก a11, a22, . . ., ann ในเมทรกซ� (1.6)คอสมาชกทอย�ใน เส�นทแยงมมหลก (main diagonal) ของ A
a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n... ... ...
an1 an2 · · · ann
(1.6)
เมทรกซ�จตรสทสมาชกใต�เส�นทแยงมมหลกทกตวเป�นศนย�เรยกว�า เมทรกซ�แบบสามเหลยมบน (upper triangular matrix) เมทรกซ�จตรสทสมาชกเหนอเส�นทแยงมมหลกทกตวเป�นศนย� เรยกว�า เมทรกซ�แบบสามเหลยมล�าง (lower triangle matrix) และเมทรกซ�จตรสทสมาชกทอย�นอกแนวเส�นทแยงมมหลกทกตวเป�นศนย�เรยกว�า เมทรกซ�ทแยงมม (diagonal matrix)
เมทรกซ�ทน�าสนใจอกเมทรกซ�หนงคอ เมทรกซ�จตรสทสมาชกในเส�นทแยงมมหลกทกตวมค�าเท�ากบ 1 และสมาชกทอย�นอกแนวเส�นทแยงมมหลกทกตวมค�าเท�ากบ 0
ตวอย�างเช�น[
1 0
0 1
]
,
1 0 0
0 1 0
0 0 1
,
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
เมทรกซ�ในรปแบบนเรยกว�า เมทรกซ�เอกลกษณ� (identity matrix หรอ unit matrix)และเขยนแทนด�วย I แต�หากต�องการแสดงมตของเมทรกซ� เราจะเขยนแทนเมทรกซ�เอกลกษณ�มต n× n ด�วย In
เมทรกซ�มต m× n ทสมาชกทกตวเป�นศนย� เรยกว�า เมทรกซ�ศนย� (zero matrixหรอ null matrix) และเขยนแทนด�วย 0m×n หรอ 0 ตวอย�างต�อไปนเป�นตวอย�างของเมทรกซ�ศนย�
0 0 0
0 0 0
0 0 0
,
[
0 0 0
0 0 0
]
,
0
0
0
และ
[
0 0 0 0]
Math&Science1 1-6.indd 3 5/15/57 BE 8:08 PM
ตวอยาง
4 บทท 1 เมทรกซ4 บทท 1 เมทรกซ�
การดำเนนการบนเมทรกซ�
บทนยาม 1.2 กำหนดให� A และ B เป�นเมทรกซ�ใดๆ สมาชก aij และ bkp เป�น สมาชกทสมนยกน (corresponding entries) กต�อเมอ i = k และ j = p หรอกล�าวอกนยหนงว�าสมาชกของ A สมนย กบสมาชกของ B กต�อเมอ สมาชกทงสองอย�ในตำแหน�งเดยวกน
ตวอย�างเช�น ถ�า
A =
[
1 2 3
4 5 6
]
และ B =
[
7 8 9
−1 −2 −3
]
แล�ว 1 สมนยกบ 7, 2 สมนยกบ 8 และ 4 สมนยกบ −1
หมายเหต เรากล�าวถงการสมนยกนของสมาชกถ�าเมทรกซ�ทง 2 เมทรกซ�มมตเท�ากน
บทนยาม 1.3 (การเท�ากนของเมทรกซ�) เมทรกซ� A และ B จะ เท�ากน และเขยนแทนด�วย A = B ถ�าเมทรกซ�ทงสองมมตเท�ากน และสมาชกทสมนยกนของเมทรกซ�ทงสองมค�าเท�ากน
หรอกล�าวได�ว�า ถ�า A = [aij ] และ B = [bij] เป�นเมทรกซ�ทมมตเท�ากน แล�วA = B กต�อเมอ aij = bij สำหรบทก i และ j
ตวอย�าง 1.1 จงพจารณาว�าเมทรกซ�ใดต�อไปนเท�ากน
A =
[
1 2 −1
4 0 1 + 2
]
, B =
[
1 2
4 0
]
, C =
[
1 42 −1
4 0 3
]
, D =
[
1 2 −1
4 0 1
]
วธทำ ในทน A และ C เป�นเมทรกซ�เพยงค�เดยวทเท�ากน ดงนน A = C �
บทนยาม 1.4 (ผลบวกของเมทรกซ�) กำหนดให� A และ B เป�นเมทรกซ�ทมมตเท�ากนผลบวก ของ A และ B ซงเขยนแทนด�วย A+ B คอ เมทรกซ�ทได�จากการบวกสมาชกทสมนยกนของ A และ B
หรอกล�าวได�ว�า ถ�า A = [aij ] และ B = [bij] เป�นเมทรกซ�ทมมตเท�ากน แล�วC = A+B กต�อเมอ cij = aij + bij สำหรบทก i และ j
ตวอย�าง 1.2 จงหาเมทรกซ� C ทเป�นผลบวกของเมทรกซ�
A =
3 6
−1 5
0 2
และ B =
12 −4
−2 0
−3 −2
Math&Science1 1-6.indd 4 5/15/57 BE 8:08 PM
ตวอยาง
51.1 เมทรกซและการดำาเนนการบนเมทรกซ
Math&Science1 1-6.indd 5 5/15/57 BE 8:08 PM
ตวอยาง
6 บทท 1 เมทรกซ6 บทท 1 เมทรกซ�
ตวอย�าง 1.5 กำหนดให� A และ B เป�นเมทรกซ�ต�อไปน จงหาผลคณ AB และ BA
(ถ�าหาได�)
(a) A =
3 −2
2 4
1 −3
, B =
[
−2 1 3
4 1 6
]
(b) A =
1 2 3
4 5 6
7 8 9
, B =
x
y
z
วธทำ (a) ในทน A เป�นเมทรกซ�มต 3×2 และ B เป�นเมทรกซ�มต 2×3 ดงนนจำนวนหลกของ A เท�ากบจำนวนแถวของ B ทำให�ผลคณ AB สามารถหาได� และมมต 3× 3
ถ�าให� C = AB แล�วจะได�ว�า
c11 = (3)(−2) + (−2)(4) = −14
c12 = (3)(1) + (−2)(1) = 1
c13 = (3)(3) + (−2)(6) = −3
c21 = (2)(−2) + (4)(4) = 12
c22 = (2)(1) + (4)(1) = 6
c23 = (2)(3) + (4)(6) = 30
c31 = (1)(−2) + (−3)(4) = −14
c32 = (1)(1) + (−3)(1) = −2
c33 = (1)(3) + (−3)(6) = −15
ดงนน
C =
−14 1 −3
12 6 30
−14 −2 −15
ในทำนองเดยวกน จำนวนหลกของ B เท�ากบจำนวนแถวของ A ดงนนผลคณ BA
สามารถหาได� และมมต 2× 2 และถ�ากำหนดให�
D = BA =
[
−2 1 3
4 1 6
]
3 −2
2 4
1 −3
แล�วจะได�ว�า
d11 = (−2)(3) + (1)(2) + (3)(1) = −1
d12 = (−2)(−2) + (1)(4) + (3)(−3) = −1
Math&Science1 1-6.indd 6 5/15/57 BE 8:08 PM
ตวอยาง
71.1 เมทรกซและการดำาเนนการบนเมทรกซ1.1 เมทรกซ�และการดำเนนการบนเมทรกซ� 7
d21 = (4)(3) + (1)(2) + (6)(1) = 20
d22 = (4)(−2) + (1)(4) + (6)(−3) = −22
ดงนนD =
[
−1 −1
20 −22
]
นอกจากนจะเหนได�ว�า AB �= BA เนองจาก AB และ BA มมตต�างกน
(b) เนองจากจำนวนหลกของ A เท�ากบจำนวนแถวของ B ดงนนผลคณ AB สามารถหาได� และมมต 3× 1 และจะได�ว�า
AB =
1 2 3
4 5 6
7 8 9
x
y
z
=
x+ 2y + 3z
4x+ 5y + 6z
7x+ 8y + 9z
อย�างไรกตาม ผลคณ BA ไม�สามารถหาได� เนองจากจำนวนหลกของ B (เท�ากบหนง) ไม�เท�ากบจำนวนแถวของ A (เท�ากบสาม) �
หมายเหต จากตวอย�างข�างต�นจะเหนได�ว�าการคณของเมทรกซ� จะแตกต�างจากการคณของจำนวน กล�าวคอ การคณของจำนวนมสมบตการสลบท นนคอ ถ�า a และ b เป�นจำนวนใดๆ แล�ว ab = ba แต�การคณของเมทรกซ�ไม�มสมบตดงกล�าว
อย�างไรกตาม สถานการณ�หนงททำให� AB และ BA สามารถหาได� (แต�อาจจะไม�เท�ากน) คอ เมอเมทรกซ� A และ B มมตเท�ากนและเป�นเมทรกซ�จตรส
เมทรกซ�สลบเปลยน
บทนยาม 1.9 กำหนดให� A เป�นเมทรกซ�มต m×n ใดๆ เมทรกซ�สลบเปลยน ของ A
(transpose of A) เขยนแทนด�วย AT คอเมทรกซ�มต n×m ทได�จากการสลบแถวและหลกของ A นนคอ หลกท j ของ AT คอแถวท j ของ A
หรอกล�าวได�ว�า B = AT กต�อเมอ bij = aji สำหรบแต�ละค�าของ i และ j
ตวอย�าง 1.6 จงหาเมทรกซ�สลบเปลยนของเมทรกซ�ต�อไปน
(a) A =
[
1 2 3
4 5 6
]
(b) B =
−3 2 1
4 3 2
1 2 5
(c) C =
2
3
5
วธทำ (a) AT =
1 4
2 5
3 6
(b) BT =
−3 4 1
2 3 2
1 2 5
(c) CT =
[
2 3 5]
�
Math&Science1 1-6.indd 7 5/15/57 BE 8:08 PM
ตวอยาง
8 บทท 1 เมทรกซ8 บทท 1 เมทรกซ�
บทนยาม 1.10 ถ�า A เป�นเมทรกซ�จตรสใดๆ แล�ว รอย (trace) ของ A เขยนแทนด�วยtr(A) คอ ผลบวกของสมาชกทอย�ในเส�นทแยงมมหลกของ A แต�ถ�า A ไม�ใช�เมทรกซ�จตรส แล�ว tr(A) หาค�าไม�ได�
ตวอย�าง 1.7 จงหารอยของเมทรกซ�ต�อไปน
A =
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
, B =
−3 1 7 0
2 4 −8 4
1 −2 5 0
8 3 −1 0
วธทำ tr(A) = a11 + a22 + a33 และ tr(B) = −3 + 4 + 5 + 0 = 6 �
เราจะจบหวข�อนโดยการกล�าวถงสมบตพชคณตของเมทรกซ�ต�อไปน
ทฤษฎบท 1.1 (สมบตพชคณตของเมทรกซ�) กำหนดให� A, B และ C เป�นเมทรกซ�ใดๆและ a และ b เป�นสเกลาร�ใดๆ และสมมตให�มตของเมทรกซ�ในแต�ละการดำเนนการเป�นไปตามบทนยาม พชคณตของเมทรกซ�ต�อไปนสมเหตสมผล
(a) A+B = B +A (กฎการสลบทสำหรบการบวก)
(b) A+ (B + C) = (A+B) + C (กฎการจดหม�สำหรบการบวก)
(c) A(BC) = (AB)C (กฎการจดหม�สำหรบการคณ)
(d) A(B + C) = AB +AC (กฎการแจกแจงทางซ�าย)
(e) (B + C)A = BA+ CA (กฎการแจกแจงทางขวา)
(f) A(B − C) = AB −AC (g) (B −C)A = BA−CA
(h) a(B + C) = aB + aC (i) a(B −C) = aB − aC
(j) (a+ b)C = aC + bC (k) (a− b)C = aC − bC
(l) (ab)C = a(bC) (m) a(BC) = (aB)C = B(aC)
(n) A+ 0 = 0+A = A (o) A−A = 0
(p) 0−A = −A (q) A0 = 0, 0A = 0
(r) AI = A
Math&Science1 1-6.indd 8 5/15/57 BE 8:08 PM
ตวอยาง
สำนกพมพมหาวทยาลยธรรมศาสตร
คณตศาสตรสำหรบวทยาศาสตร
ดร.อจฉรา ปาจนบรวรรณ
หนงสอนไดรบทนสนบสนนการเขยนตำราจากมหาวทยาลยธรรมศาสตร พ.ศ. 2555
ดร. อจฉรา ปาจนบรวรรณคณ
ตศาสตรสำหรบวทยาศาสตร
คณตศาสตรสำหรบวทยาศาสตร
ดร. อจฉรา ปาจนบรวรรณอาจารยประจำภาควชาคณตศาสตรและสถต คณะวทยาศาสตรและเทคโนโลย มหาวทยาลยธรรมศาสตรการศกษา: • วทยาศาสตรบณฑต (ศกษาศาสตร) มหาวทยาลยสงขลานครนทร วทยาเขตปตตาน • วทยาศาสตรมหาบณฑต (คณตศาสตรประยกต) มหาวทยาลยมหดล • Master of Arts in Mathematics, Western Michigan University, USA. • Doctor of Philosophy in Mathematics, Western Michigan University, USA.ผลงานตำรา: • แคลคลส 1, พมพครงท 4, 2555 • พชคณตเชงเสน, พมพครงท 3, 2556 • คณตศาสตรสำหรบวทยาศาสตร, 2557
คณตศาสตรเปนเคร�องมอทสำคญในการขบเคล�อนสงคม นวตกรรม เทคโนโลย และวทยาศาสตรกอใหเกดการทดลองตางๆ ทเปนรปธรรม หรอกลาวไดวาคณตศาสตรชวยใหวทยาศาสตรทำงานไดงายขนนอกจากนคณตศาสตรยงมบทบาทสำคญยงตอการพฒนาสตปญญา ทำใหมความคดสรางสรรค คดอยางมเหตผลและเปนระบบ สามารถวเคราะหปญหาหรอสถานการณไดอยางถถวนรอบคอบ รจกวางแผนในการแกปญหา และนำไปใช ในชวตประจำวนไดอยางถกตองเหมาะสม พชคณตเชงเสน แคลคลสและสมการเชงอนพนธ เปนสวนหนงของคณตศาสตรทชวยใหนกศกษาสามารถนำไปประยกตใช ในการอธบายกฎเกณฑทางธรรมชาต โดยใชวธการแปลงปญหาในธรรมชาตใหเปนปญหาเชงสญลกษณ และแกปญหาจากสญลกษณเหลานน
http://www.thammasatpress.com
ราคา 270 บาทหมวดวทยาศาสตร
ISBN 978-616-314-089-0
9 786163 140890
สน 1.3 ซม.
ตวอยาง