mathematik der börsenspekulation optionshandel an der börse
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Mathematik der Börsenspekulation
Optionshandel an der Börse
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Was sind Optionen?
Der Käufer einer Call-Option kauft das Recht,
• ein festgelegtes Gut (z.B. eine Aktie)• zu einem festgelegten Preis
(dem Ausübungspreis)• in einem festgelegten Zeitraum (amerikanische
Option) oder zu einem festgelegten Zeitpunkt (europäische Option)
zu kaufen.
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Verkäufer KäuferOption
Optionspreis
Kursentwicklung
Ausübung: Käufer kauft das Gut zum Ausübungspreis der Option
Keine Ausübung
Ablauf eines Call-Optionsgeschäfts
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Pay-off-Diagramm beim Kauf einer Call-Option
-5
5
15
25
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90Aktienkurs (€)
Ge
win
ne
/Ve
rlu
ste
(€
)
Herr X kauft für 2,50 € eine Call-Option mit Ausübungspreis 63 €.
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Die Siemens Aktie
Die Kursentwicklung während der letzten 7 Jahre(in Euro)
0
50
100
150
200
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0
5
10
15
20-2
2,61
%
-15,
92%
-9,2
2%
-2,5
3%
4,17
%
10,8
7%
17,5
6%
24,2
6%
30,9
6% und
größ
er
Rendite
Häu
figke
itHistogramm der Monatsrenditen
Den Schwerpunkt der Verteilung gibt das arithmetische Mittel m und die typische Abweichung die Standardabweichung s.
m m+sm-s
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Entwicklungsrahmendes zukünftigen Aktienkurs
90,63 €
68,80 €
52,23 €
39,65 €
78,95 €
59,93 €
45,50 €
52,20 €
68,77 €
59,90 €
·1,15 (m+s)
·0,87 (m-s)
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59,93 €4,13 €
52,23 €0 €
68,80 €8,80 €
Ausübungspreis der Call-Option 60,00 €
Ausübung
Keine Ausübung
Rekursionsschritt
Ausübungszeitpunkt der Option
Eine Periode vorher
Aktienkurs
Optionspreis
Die 4,13 € errechnen sich aus den beiden Endpreisen der Option, 8,80 € und 0 €, wenn man fordert, dass es keinen sicheren Gewinn geben kann (Arbitrage).
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Vom Binomial-Modellzur Black-Scholes-Formel
• Mit dem Binomial-Modell lässt sich die Black-Scholes-Formel gewinnen, indem man die Anzahl n der Perioden gegen Unendlich laufen lässt.
• Die Black-Scholes-Formel gibt den Optionspreis in Abhängigkeit von: – dem aktuellen Kurswert– der Ausübungsfrist– dem Ausübungspreis– der Volatilität und– dem Zinsfaktor
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Preise verschiedener Siemens Call-Optionen nach der Black-Scholes-Formel
48 53 58 63 68 73 78
0,00
5,00
10,00
15,00
Op
tio
ns
pre
ise
(€
)
Ausübungspreis (€)
1 Monat
2 Monate
3 Monate
6 Monate
48 53 58 63 68 73 78
1 Monat 12,14 7,52 3,99 1,72 0,60 0,18 0,04
2 Monate 12,51 8,40 5,16 2,90 1,50 0,72 0,32
3 Monate 12,96 9,13 6,08 3,83 2,30 1,32 6,73
6 Monate 14,30 10,34 8,18 5,99 4,31 3,06 2,14