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Vorkurs Mathematik

Vorbereitung auf das Studium derMathematik

Herbst 2011

Skript

Institut fur Analysis

Inhaltsverzeichnis

Einleitung 6

1 Aussagen und Mengen 81.1 Aussagen: Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.1.1 Beispiele fur Aussagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.1.2 keine Aussagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2 logische Verknupfungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.3 Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.4 Darstellung von Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.5 Teilmengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.5.1 Leere Menge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.6 Schnitt- und Vereinigungsmenge, relatives Komplement . . . . . . . . . . 12

1.6.1 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.7 Die Quantoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.7.1 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.7.2 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.7.3 Beispiel: Bedeutung der Reihenfolge der Quantoren . . . . . . . . 13

1.8 Verneinung (Negation) von Aussagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.8.1 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.9 Die Zahlenbereiche N,Z,Q,R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.9.1 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.10 Rechenregeln fur reelle Zahlen und Ordnungsrelationen . . . . . . . . . . 161.10.1 Regeln fur das Rechnen mit Ungleichungen . . . . . . . . . . . . . 161.10.2 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.11 Intervalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.11.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.11.2 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2 Potenzen, Logarithmus und Betrag 192.1 Potenzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.1.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.1.2 Die q-te Wurzel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.1.3 Potenzen mit rationalem Exponenten . . . . . . . . . . . . . . . . 212.1.4 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3

Inhaltsverzeichnis

2.1.5 Beispiel: Rationalmachen des Nenners . . . . . . . . . . . . . . . . 222.2 Der Logarithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.2.1 Die Logarithmengesetze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.2.2 Umrechenformel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.2.3 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.2.4 Beispiele zu den Logarithmengesetzen . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.3 Der Betrag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.3.1 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.3.2 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.3.3 Auflosen von Betragsungleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3 Losen von Gleichungen und Ungleichungen 263.1 in einer Variablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.2 Quadratische Gleichungen und Ungleichungen . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.2.1 Beispiel: Quadratisches Erganzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.2.2 Losungsmengen quadratischer Ungleichungen . . . . . . . . . . . . 273.2.3 Beispiel 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.2.4 Beispiel 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.3 Wurzelgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.3.1 Beispiel 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.3.2 Beispiel 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.4 Bruchungleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.5 Betragsungleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.6 ...in zwei Variablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.6.1 Kartesisches Produkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.6.2 R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.6.3 Das kartesische Produkt zweier Intervalle . . . . . . . . . . . . . . 323.6.4 Einige Teilmengen des R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.6.5 Vertauschen von x und y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.6.6 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4 Funktionen 364.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364.2 Der Graph einer Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364.3 Verkettung von Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4.3.1 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384.4 Definitionsbereich/Wertemenge reeller Funktionen . . . . . . . . . . . . . 38

4.4.1 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394.4.2 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4.5 Eigenschaften von Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434.5.1 Monotonie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434.5.2 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

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Inhaltsverzeichnis

4.5.3 gerade und ungerade Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444.6 Definition der Umkehrfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4.6.1 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454.7 Die Potenzfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

4.7.1 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484.8 Die Exponentialfunktion und die Logarithmusfunktion . . . . . . . . . . 484.9 Polynomfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

4.9.1 Allgemeine (affin-)lineare Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . 504.9.2 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

Index 52

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Einleitung

Dieser Kurs soll wichtige Bereiche Ihres Schulwissens moglichst konsistent aufbereiten.Er richtet sich insbesondere an Studierende, die Unsicherheiten im Umgang mit demmathematischen Schulstoff haben, deren Mathematikunterricht langer zuruckliegt oderderen mathematischer Schulstoff nicht alle fur das Studium notwendige Voraussetzungenumfasste. Der Vorkurs muss sich auf das Notwendigste beschranken, soll Sie aber schonvertraut machen mit der prazisen Darstellung mathematischer Sachverhalte, wie sie dasStudium vermitteln und verlangen wird.

Die dargestellten Inhalte sind vielerorts, sei es frei erhaltlich im Internet, oder auf demBuchermarkt in guten Darstellungen zu finden. In diesen Kurs fließen aber die speziellenErfahrungen des Lehrbetriebes an der Karlsruher mathematischen Fakultat ein. UberJahre konnten wir gravierende Lucken vieler Studienanfanger im Umgang mit elemen-taren Rechentechniken und Definitionen, wie Rechnen mit Betragen oder den sicherenUmgang mit Ungleichungen beobachten. Wenn solche Lucken nicht aufgearbeitet werden,kann daran leicht das erfolgreiche Studium scheitern. Auch beobachteten wir bei vielenStudienanfangern und -anfangerinnen große Hemmungen, sich eigenstandig an das Losenauch einfacherer Ubungsaufgaben zu machen. Das ist aber unumganglich um mit demFortschreiten des Stoffes Schritt zu halten und nicht irgendwann

”abzuhangen“. Dieser

Vorkurs soll daher jedem Studienanfanger, jeder Studienanfangerin die Chance bieten,im Studium von Anfang an alle Ubungsangebote optimal fur sich nutzen zu konnen unddamit die Grundlage fur ein erfolgreiches Mathematik- oder Informatikstudium an derUniversitat Karlsruhe bieten.

Auf dem Buchermarkt gibt es eine große Anzahl von mathematischen Einfuhrungen undVorkursen. Das folgende Material wurde von einigen davon inspiriert.

[2]: Dieses Buch bietet eine sehr ausfuhrliche Einfuhrung in alle Grundlagen und Begriffe,die fur ein Studium der Mathematik oder Wirtschaftswissenschaften benotigt werden. Daes sich an Studierende der Wirtschaftwissenschaften und Sozialwissenschaften richtet, istes fur mathematisch interessierte Studienanfanger im Bereich Mathematik und Informa-tik bestimmt etwas zu ausfuhrlich. Einige der Beispiele des vorliegenden Vorkursskriptszu quadratischen Gleichungen und Ungleichungen wurden ihm entnommen.

[3]: Dieses Werk bietet eine knappe aber konsistente Einfuhrung in die Bereiche Mengen,Abbildungen, Rechenregeln fur reelle Zahlen, Betrag, Intervalle, Summenzeichen. Die

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Darstellung der Mengen N,Z,Q und R wird in diesem Buch sinngemaß ubernommen,wie auch einige Aufgaben.

[4]: Dieses Buchlein wird inzwischen leider nicht mehr aufgelegt. Gut verstandlicheEinfuhrungen, sinnvoller Aufbau und eine große Zahl von Aufgaben mit Losungen ma-chen ein Selbststudium gut moglich. Einige Beispiele in den Kapiteln 3, 4 und 5 sind ihmentnommen. Zu bemerken ware allenfalls, dass die Autoren gemaß ihrer Lehrtradition inihrer Darstellung der Funktionen nicht zwischen einer Funktion f und dem Funktions-wert an einer Stelle f(x) unterscheiden. Da diese Unterscheidung im Studium in vielenVorlesungen aber getan wird, wird auch in diesem Vorkurs streng zwischen Funktionund Funktionswerten unterschieden.

[1]: Diesem Buch, das auf anspruchsvolle Weise den Analysis-Stoff des Grundstudi-ums behandelt, habe ich sinngemaß das Kapitel 2 dieses Vorkurses (dort S. 4 ff) uberPradikatenlogik und die Verwendung der Quantoren entlehnt. Die vielen Beispiele helfen,abstrakte mathematische Definitionen, wie sie gleich zu Beginn des Studiums behandeltwerden, zu verstehen. Die oft verwendete Technik des Verneinens von verknupften Aus-sagen wird anhand vieler Beispiele geubt.

Es handelt sich bei diesem Skriptum um eine uberarbeitete Version eines Skriptes, daßvon Frau Dr. Johanna Dettweiler im Jahr 2009 fur das Institut fur Analysis erstelltwurde.

Karlsruhe, im Herbst 2011 Alexander Ullmann

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1 Aussagen und Mengen

Wenn man sich uber Mathematik verstandigen will, ist es unumganglich zu verstehen,was eine mathematische Aussage ist und wie sie verknupft werden kann. Erst dann kannman verstehen, was bspw. ein mathematischer Beweis ist. Daher fangt dieser Vorkurs mitmathematischen Aussagen an und behandelt in Kurze, wie daraus durch verschiedeneVerknupfungen neue Aussagen entstehen.

1.1 Aussagen: Definition

Eine Aussage im mathematischen Sinne ist eine Feststellung, deren Wahrheitsgehaltstets mit

”wahr“ oder

”falsch“ angegeben werden kann.

1.1.1 Beispiele fur Aussagen

• Dienstag ist ein Wochentag.

• Dienstag ist Montag.

• 2 ist eine gerade Zahl.

• 2 = 1

1.1.2 keine Aussagen

• Mathematik macht Spaß.

• x2 + 2x+ 1.

• x2 + 1 = 0. (Was ist x?).

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1.2 logische Verknupfungen

1.2 logische Verknupfungen

Folgende logische Verknupfungen von Aussagen A,B werden wir verwenden:

BezeichnungSymbol Bedeutung der Verknupfung

1. Negation ¬A nicht A

2. Konjunktion (und) A ∧ B A und B

3. Disjunktion (oder) A ∨ B A oder B

4. Implikation (Folgerung) A ⇒ B aus A folgt B

5. Aquivalenz (genau dann, wenn) A ⇔ B A und B sind aquivalent, d.h. es gilt

A ⇒ B und B ⇒ A

Sie werden definiert uber Wahrheitstafeln (dabei steht”w“ fur wahr und

”f“ fur falsch):

A B ¬A A ∧ B A ∨ B A ⇒ B A ⇔ B

w w f w w w w

w f f f w f f

f w w f w w f

f f w f f w w

Zwei zusammengesetzte Aussagen heißen tautologisch aquivalent, wenn Sie dieselbenWahrheitstafeln besitzen, wir verwenden hierfur das Zeichen =||=. Zum Beispiel gelten(Nachweis uber Wahrheitstafeln):

1. ¬(A ∨ B) =||=(¬A ∧ ¬B

),

2. (A ⇒ B) =||= (¬A ∨ B),

3. ¬(A ⇒ B) =||= (A ∧ ¬B),

4. (A ⇒ B) =||= (¬B ⇒ ¬A), aber A ⇒ B ist nicht tautologisch aquivalent zuB ⇒ A.

5. (A ⇐⇒ B) =||=(A ⇒ B ∧ B ⇒ A

)

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Beispiele aus dem alltaglichen Sprachgebrauch (Achtung, hierbei handelt es sich strenggenommen nicht um Aussagen in unserem Sinn):

Zu 2. Die Aussage”Wenn Du nicht aufraumst, dann bekommst Du Stubenarrest“ laßt

sich auffassen als Implikation A ⇒ B mit den Aussagen A : Du raumst nicht aufund B : Du bekommst Stubenarrest. In der Tat ist diese Aussage auch umgangs-sprachlich gleichwertig mit

”Du raumst auf, oder Du bekommst Du Stubenarrest“,

also mit ¬A ∨ B.

Zu 3. Ebenso laßt sich die Aussage”Wenn Du aufraumst, dann bekommst Du 10 Euro“

als Implikation A ⇒ B auffassen, dieses mal mit den Aussagen A : Du raumstauf und B : Du bekommst 10 Euro. Diese Aussage ist offenbar falsch genau dann,wenn sie eine

”Luge“ ist, wenn der Angesprochene also aufraumt, aber keine 10

Euro bekommt, wenn also A wahr und B falsch ist, bzw. wenn A ∧ ¬B gilt.

Zu 4. Die Aussage”Wenn es regnet, wird die Straße naß“ laßt sich als ImplikationA ⇒ B

auffassen mit den Aussagen A : Es regnet und B : Die Straße wird naß. Wenn dieStraße also nicht naß wird, kann es nicht regnen, d.h. wir haben tautologischeAquivalenz zur Aussage ¬B ⇒ ¬A, aber wenn die Straße (wie auch immer) naßwird, konnen wird daraus nicht folgern, daß es auch regnet.

Man beachte:

• Das logische”oder“ ist nicht-ausschließend, also nicht zu verwechseln mit

”entweder

... oder“.

• Ist A falsch, so ist die Implikation A ⇒ B stets wahr (”ex falso quodlibet“)! Zum

Beispiel gilt 1 < 0⇒ 2 = 3.

• Die Negation einer Implikation ist eine”und“-Aussage, vgl. dazu auch Punkt 3.

oben und das zugehorige sprachliche Beispiel.

1.3 Mengen

”Naiver“ Mengenbegriff nach Cantor: Eine Menge ist eine Zusammenfassung bestimm-

ter, wohlunterschiedener Objekte unserer Anschauung oder unseres Denkens zu einemGanzen. Fur jedes Objekt muß eindeutig feststellbar sein, ob es zu der Menge gehortoder nicht. Die zu einer Menge gehorenden Objekte heißen Elemente der Menge.

Mengen werden ublicherweise mit Großbuchstaben A,B,C, ... und ihre Elemente mitkleinen Buchstaben a, b, c, ... bezeichnet.

Wir schreiben

a ∈ A fur”a ist Element von A“ und

a 6∈ A fur”a ist nicht Element von A“.

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1.4 Darstellung von Mengen

1.4 Darstellung von Mengen

Elemente von Mengen werden durch geschweifte Klammern {...} zusammengefasst.

Dies geschieht entweder durch die aufzahlende Darstellung, wie zum Beispiel:

die Menge A der Buchstaben des Namens”Paula“, mit Unterscheidung großer und

kleiner Buchstaben:

A := {P, a, u, l, a} = {P, a, u, l}= {l, P, u, a},

oder durch die beschreibende Darstellung {x|x hat die Eigenschaft E}, wie zum Beispiel:

B := {x|x ∈ A, x ist ein Großbuchstabe } = {P} oderC := {x|x ist eine ungerade Zahl}.

Es bedeutet X := Y”X sei definiert als Y “.

Ist fur ein x aus einer Menge X die Eigenschaft E in Gestalt eines AusdruckesE(x) gegeben, so sind gleichbedeutend {x ∈ X|x hat die Eigenschaft E} sowie{x ∈ X| E(x) ist wahr}, oder meist kurz {x ∈ X| E(x)}. Die so definierte Mengeist dann eine Teilmenge von X (s.u.).

Man beachte: Eine bedingte (also teilweise) aufzahlende Darstellung von unendlichenMengen mit

”Punktchenschreibweise“ ist zwar oft intuitiv und auch anschaulicher, aber

niemals exakt. Definiert man zum Beispiel M := {1, 2, 4, 8, 16, . . .}, so suggeriert dieszwar M = {n ∈ N | n = 2k fur eine k ∈ N}, aber es konnte genauso gut sein

M = {1, 2, 4, 8, 16, 30, . . .} = {n ∈ N | n ist die Anzahl der Teiler von m! fur ein m ∈ N}

1.5 Teilmengen

Eine Menge A heißt Teilmenge einer Menge B, wenn jedes Element a aus A auch Elementvon B ist.

Wir schreiben A ⊆ B. Oft findet man auch die Notation A ⊂ B. Zum Beispiel gilt{1, 2} ⊆ {1, 3, 2}.

Insbesondere ist jede Menge Teilmenge von sich selbst: A ⊆ A.

Falls A keine Teilmenge von B ist, so schreiben wir A 6⊆ B.

Gilt A ⊆ B und B ⊆ A, so sind die Mengen gleich und wir schreiben A = B.

Ist A ⊆ B, so nennt man B auch Obermenge von A.

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1.5.1 Leere Menge

Die Menge ∅, die kein Element besitzt, wird als leere Menge bezeichnet.

Achtung: Nicht zu verwechseln mit {∅} oder {0}; insbesondere ist {∅} 6= ∅, aber ∅ ⊆ {∅}und ∅ ∈ {∅} (Anschaulich: Ein Sack, in dem ein leerer Sack ist, ist selbst nicht leer).

1.6 Schnitt- und Vereinigungsmenge, relativesKomplement

Seien A,B Mengen.

Die Schnittmenge A ∩B von A und B wird definiert als

A ∩B := {x|x ∈ A und x ∈ B}.

Die Vereinigungsmenge A ∪B von A und B wird definiert als

A ∪B := {x|x ∈ A oder x ∈ B}.

Als relatives Komplement von B in A definiert man A \B := {x ∈ A|x 6∈ B}.

1.6.1 Beispiel

Mit A := {1, 2, 3} und B = {3, 4, 5} ist A ∩ B = {3} und A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5} sowieA\B = {1, 2}.

1.7 Die Quantoren

Die Quantoren ∃ und ∀ sind logische Zeichen, die der abkurzenden Schreibweise in derAussagenlogik dienen.

Sei X eine Menge und E eine Eigenschaft, durch die fur jedes x ∈ X eine Aussage E(x)gegeben ist. Wir schreiben in diesem Fall auch E(·), wobei der Punkt als Platzhalter furein einzusetzendes Element steht. Dann bedeuten:(

∃x ∈ X : E(x))

:”Es existiert ein x ∈ X so, daß E(x) wahr ist.“ (1.1)

bzw.”Es existiert ein x ∈ X mit der Eigenschaft E .“(

∀x ∈ X : E(x))

:”Fur alle x ∈ X gilt E(x).“ (1.2)

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1.7 Die Quantoren

1.7.1 Beispiel

Sei X die Menge der Teilnehmer dieses Vorkurses und E(x) die Aussage:”x tragt eine

Brille.“

1. Dann bedeutet (1.1):”Mindestens ein Teilnehmer tragt eine Brille.“ In welchen

Konstellationen ist diese Aussage wahr bzw. falsch? B

2. (1.2) bedeutet:”Alle Teilnehmer tragen eine Brille.“

Diese Quantoren kann man auch iterativ verwenden: Seien X, Y Mengen und

X × Y := {(x, y) | x ∈ X, y ∈ Y }

das sog. kartesische Produkt od. auch Kreuzprodukt von X und Y und E eine Eigenschaftauf X × Y . Da man in diesem Fall zwei (moglicherweise) verschiedene Argumente furdie Eigenschaft E hat, schreibt man hier auch E(·, ··).

Dann bedeutet bspw.

∃x ∈ X : (∀y ∈ Y : E(x, y)) :”Es existiert ein x ∈ X so, daß fur alle (1.3)

y ∈ Y die Aussage E(x, y) gilt.“

1.7.2 Beispiel

Sei X := Y := R. F(x, y) sei die Aussage x · y = 0. Dann bedeutet (1.3):”Es existiert

ein x ∈ R so, daß fur alle y ∈ R x · y = 0 gilt.“

Ist diese Aussage wahr? Wenn ja, fur welche x? B

1.7.3 Beispiel: Bedeutung der Reihenfolge der Quantoren

Die Reihenfolge der auftretenden Quantoren ist fur die Bedeutung der formulierten Aus-sage entscheidend. Die Aussagen ∀x ∃y : E(x, y) und ∃y ∀x : E(x, y) haben eine unter-schiedliche Bedeutung. So unterscheiden sich die Aussagen

”Alle Anwesenden haben

einen Schuh, der paßt.“ und”Es gibt einen Schuh, der allen Anwesenden paßt.“ oder

auch die Aussagen ∀x ∈ R \ {0} ∃y ∈ R : x · y = 1 und ∃y ∈ R ∀x ∈ R \ {0} : x · y = 1.

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1.8 Verneinung (Negation) von Aussagen

Oft gelingt es bei einfachen Aussagen, diese”nach Gefuhl“ zu verneinen. Bei Aussagen,

die selbst wieder Verknupfungen anderer Aussagen sind, wird das jedoch immer unzu-verlassiger. Es gibt aber eine ganz einfache Regel, wie das Negieren einer Aussage ganz

”mechanisch“ zu bewerkstelligen ist:

• Behalte die Reihenfolge bei!

• Vertausche ∃ und ∀ sowie ∨ und ∧.

• Verneine alle auftretenden Aussagen.

Die folgende Zusammenstellung listet Negierungen typischer Aussagetypen auf. Seiendabei A,B Aussagen, X, Y Mengen und E eine Eigenschaft.

1. ¬¬A := ¬(¬A) =||= A.

2. ¬(A ∧ B) = (¬A) ∨ (¬B).

3. ¬(A ∨ B) = (¬A) ∧ (¬B).

4. ¬(∀x ∈ X : E(x)) =||= (∃x ∈ X : ¬E(x)). Die Negation der Aussage”Alle

Teilnehmer waren punktlich da“ ist die Aussage”Mindestens ein Teilnehmer war

unpunktlich“.

5. ¬(∃x ∈ X : E(x)) =||= (∀x ∈ X : ¬E(x)). Die Negation der Aussage”Es gibt einen

Teilnehmer mit Brille“ ist”Alle Teilnehmer tragen keine Brille“, was naturlich eher

als”Kein Teilnehmer tragt eine Brille“ formuliert wird.

6. ¬(∀x ∈ X : (∃y ∈ Y : E(x, y))

)=||=

(∃x ∈ X : (∀y ∈ Y : ¬E(x, y))

). Die Negation

der Aussage”Jeder Teilnehmer findet mindestens einen Satz des bisherigen Stoffes

trivial“ ist die Aussage”Es gibt einen Teilnehmer der alle bisherigen Satze nicht-

trivial findet“

7. ¬(∃x ∈ X : (∀y ∈ Y : E(x, y))

)=||=

(∀x ∈ X : (∃y ∈ Y : ¬E(x, y))

). Die Negation

der Aussage”Es gibt einen Teilnehmer, der alle Anwesenden bereits kennt“ ist

”Alle Teilnehmer kennen mindestens einen der Anwesenden nicht“.

1.8.1 Beispiel

Seien X, Y Mengen und F eine Eigenschaft auf X × Y , welche fur alle (x, y) ∈ X × Yeine Aussage F(x, y) definiert. Formulieren Sie mithilfe von Quantoren die Aussage

”Zu

jedem x ∈ X findet man genau ein y ∈ Y so, daß F(x, y) gilt.“. Bilden Sie zudem dieNegation dieser Aussage.

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1.9 Die Zahlenbereiche N,Z,Q,R

1.9 Die Zahlenbereiche N,Z,Q,R

Wir gehen an dieser Stelle davon aus, daß die grundlegenden Zahlenbereiche N,Z,Q,Rbekannt sind und werden daher nur unformal and die wesentlichen Eigenschaften erin-nern. Im Rahmen von fortfuhrenden Vorlesungen werden Sie zumindest teilweise aucheine stringente Konstruktion dieser Zahlenbereiche und Herleitung der charakterisieren-den Eigenschaften kennenlernen.

Die naturlichen Zahlen N := {1, 2, 3, 4, . . .}: Es gibt eine kleinste naturliche Zahl,und jede Zahl n hat einen Nachfolger n + 1; es gibt also keine großte naturliche Zahl.In N sind die Rechenoperationen + und · uneingeschrankt ausfuhrbar, d.h. fur a, b ∈ Ngilt a+ b, a · b ∈ N.

Die Frage, ob die Zahl 0 zu den naturlichen Zahlen gehort, ist nicht einheitlich gere-gelt, und hangt von der in der jeweiligen Veranstaltung bzw. vom Autor verwendetenKonvention ab. In den Grundvorlesungen wird aber meist die hier vorgestellte Variantegewahlt, in der 0 keine naturlich Zahl ist, und man verwendet die zusatzliche Bezeich-nung N0 := N ∪ {0} = {0, 1, 2, 3, . . .}.

Die ganzen Zahlen Z = {...,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, ...}: In Z besitzt die Gleichungx+ b = a (a, b ∈ N, x unbekannt, a, b bekannt) in Z stets eine Losung. Es gilt N ⊆ Z. InZ gibt es im Gegensatz zu N keine kleinste Zahl. In Z sind die Rechenoperationen +,−und · uneingeschrankt ausfuhrbar.

Die rationalen Zahlen Q ={x∣∣ x =

a

bfur ein a ∈ Z und ein b ∈ N

}: Zwischen

zwei rationalen Zahlen liegen stets noch (unendlich viele) andere rationale Zahlen. Esgilt Z ⊆ Q. In Q sind die Rechenoperationen +,− und · sowie teilen durch Elementeq ∈ Q\{0} uneingeschrankt ausfuhrbar.

Die reellen Zahlen Es gibt keine Zahl q ∈ Q, fur die gilt

q2 = q · q = 2.

Also:”

√2 ist irrational“.

Beweis. Siehe Kapitel ??.

Jede rationale Zahl laßt sich als endliche oder periodische Dezimalzahl schreiben undumgekehrt stellt jede endliche oder periodische Dezimalzahl eine rationale Zahl dar. Indiesem Kontext soll es genugen, sich unter der Menge R der reellen Zahlen alle moglichenDezimalzahlen vorzustellen, also endliche, periodische und nicht endliche, nicht periodi-sche Dezimalzahlen. Es gilt N ⊆ N0 ⊆ Z ⊆ Q ⊆ R.

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1.9.1 Beispiel

1 ∈ N1, 17 ∈ Q13

= 0.3333... ∈ Q ist periodisch, nicht endlich√2 = 1, 41421... ∈ R ist nicht periodisch, nicht endlich

π = 3.14159... ∈ R ist nicht periodisch, nicht endlich. Mit der Zahl π identifizieren wirdie Lange eines Halbkreisbogens mit dem Radius 1.

1.10 Rechenregeln fur reelle Zahlen undOrdnungsrelationen

Wir vereinbaren fur x, y ∈ R:

x = y steht fur”x ist gleich y“,

x < y steht fur”x ist echt kleiner als y“,

x ≤ y steht fur”x ist kleiner oder gleich y“,

x > y steht fur”x ist echt großer als y“,

x ≥ y steht fur”x ist großer oder gleich y“.

Man beachte: Nach Definition gilt x < y ⇒ x ≤ y fur alle x, y ∈ R, aber im allgemeinengilt x ≤ y 6⇒ x < y!

Die reellen Zahlen konnen auf der Zahlengeraden veranschaulicht werden. Jeder reellenZahl entspricht genau ein Punkt auf der Zahlengeraden und umgekehrt. Fur zwei belie-bige reelle Zahlen x, y kann eindeutig entschieden werden, ob x < y, x = y oder x > ygilt. Auf der Menge der reellen Zahlen ist also eine Ordnungsstruktur gegeben. Fur diesegelten folgende

1.10.1 Regeln fur das Rechnen mit Ungleichungen

Seien a, b, c ∈ R. Dann gilt

Aus a < b und b < c folgt a < c.

Aus a < b und c > 0 folgt ac < bc

16

1.10 Rechenregeln fur reelle Zahlen und Ordnungsrelationen

Aus a < b und c < 0 folgt ac > bc

Aus a < b folgt a+ c < b+ c

ab > 0 gilt genau dann, wenn (a > 0 und b > 0) oder (a < 0 und b < 0)

ab < 0 gilt genau dann, wenn (a > 0 und b < 0) oder (a < 0 und b > 0)

ab = 0 gilt genau dann, wenn (a = 0 oder b = 0)

Entsprechende Aussagen gelten auch fur ≤ und ≥ anstelle von < bzw. >.

Fur das Rechnen mit den reellen Zahlen gelten folgende

Rechenregeln

Kommutativgesetz derAddition

Multiplikation

a+ b = b+ a

ab = ba

Assoziativgesetz derAddition

Multiplikation

(a+ b) + c = a+ (b+ c)

(ab)c = a(bc)

Distributivgesetz a(b+ c) = ab+ ac

1. binomische Formel (a+ b)2 = a2 + 2ab+ b2

2. binomische Formel (a− b)2 = a2 − 2ab+ b2

3. binomische Formel (a+ b)(a− b) = a2 − b2

Vorzeichenregeln −(−a) = a

−(a+ b) = −a− b

−(a− b) = −a+ b

Die Regeln der Bruchrechnung werden als bekannt vorausgesetzt.

1.10.2 Beispiel

Losen Sie die folgenden Ungleichungen und geben Sie die LosungsmengeL := {x ∈ R| Ungleichung bzw. Gleichung ist fur x definiert und x erfullt sie} an:

x− 2 > 2x− 1 B

2(x− 1) < 6(x+ 53) B

17


1.11 Intervalle

Seien a, b ∈ R mit a ≤ b.

1.11.1 Definition

Das offene Intervall (a, b) ist die Menge

(a, b) := {x ∈ R|a < x < b}.

Das abgeschlossene Intervall [a, b] ist die Menge

[a, b] := {x ∈ R|a ≤ x ≤ b}.

Die halboffenen Intervalle sind definiert als die Mengen

(a, b] := {x ∈ R|a < x ≤ b}, [a, b) := {x ∈ R|a ≤ x < b}

Ist speziell a = b, so gelten [a, a] = {a}, bzw. [a, a) = (a, a] = (a, a) = ∅. Als Inter-vallgrenzen sind auch ±∞ zugelassen. Daraus ergeben sich funf weitere unbeschrankteIntervalltypen:

(−∞, a) := {x ∈ R|x < a} (−∞, a] := {x ∈ R|x ≤ a}(a,∞) := {x ∈ R|x > a} [a,∞) := {x ∈ R|x ≥ a}(−∞,∞) := R

Der Schnitt zweier Intervalle ist stets ein Intervall (evtl. die leere Menge). Die Vereini-gung zweier Intervalle kann ein Intervall sein, muß es aber nicht.

1.11.2 Beispiel

[3, 4] ∩ [1,∞)=[3,4][−2, 0) ∩ (−1, 0] = (−1, 0)[4, 7] ∩ [8, 9) = ∅[7, 8] ∩ [8, 9) = [8, 8] = {8}[4, 5) ∪ (−3, 1] ist kein Intervall[4, 5] ∪ (−3, 4) = (−3, 5]

18

2 Potenzen, Logarithmus und Betrag

In den folgenden Kapiteln werden wir uns mit verschiedenen Rechenregeln und -methodenbeschaftigen, die Ihnen auch in der Schule bereits begegnet sein sollten. Bitte beachtenSie in Hinblick auf Ihr bald beginnendes Studium der Mathematik folgende Punkte:

1. Die mathematischen Begriffe werden hier nicht ganz exakt, aber dafur in einemStil eingefuhrt, der Ihnen auch aus der Schule noch gelaufig sein sollte. Tatsachlichist es ohne ausreichendes mathematisches Grundlagenwissen, wie Sie es in denersten Wochen des Studiums erlernen werden, zumeist gar nicht moglich, die hierverwendetetn Begriffe exakt zu definieren. Beachten Sie aber, daß im Verlauf IhresStudiums naturlich die in den jeweiligen Vorlesungen angegebenen Definitionenund Herleitungen relevant sind und nicht die – zuweilen unexakten – Begriffsbil-dungen aus der Schule oder diesem Vorkurs.

2. Bei dem hier prasentierten Stoff handelt es sich im wesentlichen um Rechentech-niken, aber nicht um formale Beweise! Sie werden zu Beginn Ihres Studiums Auf-gaben gestellt bekommen, die einigen dieser Rechenaufgaben sehr ahnlich sehen,werden in dem Fall aber aufgefordert, einen formalen Beweis zu erstellen, der –meist erheblich – von diesen Rechentechniken abweicht. Dennoch sind ausreichen-de Rechenfahigkeiten unerlaßlich, um uberhaupt auf Losungen bzw. Aussagen zukommen, die man anschließend auch beweisen kann.

3. Wir verwenden keine Taschenrechner und – außer zu Ubungs- und Anschauungs-zwecken – keine Computer-Algebra-Systeme (CAS). Bedenken Sie, daß Taschen-rechner aufgrund des Problems endlichen Speichers so gut wie nie exakt rech-nen konnen, da sie (fast) immer runden mussen. CAS sind hier im Vorteil, abernaturlich ist es gerade ein Bestandteil des Mathematik-Grundstudiums, die Theo-rie zu erlernen, die diesen Systemen zugrunde liegt (Vgl.: Ein Kfz-Mechaniker istgerade jemand, der ein Auto nicht nur fahren konnen soll, sondern auch genauwissen, wie es funktioniert).

19


2.1 Potenzen

2.1.1 Definition

Fur Zahlen a ∈ R und m ∈ Z wird die m-te Potenz von a definiert als

am = 1, falls m = 0

am = a · a · . . . · a︸︷︷︸m−mal

, falls m > 0

bzw.

am =1

a−m, falls m < 0, a 6= 0.

Die Zahl a heißt Basis , m heißt Exponent .

Fur alle a, b ∈ R \ {0} und n,m ∈ Z gelten die folgenden Potenzgesetze:

1. a0 = 1 und 00 = 1.

2. an · am = an+m

3. an

am= an−m

4. an · bn = (a · b)n

5. an

bn=(ab

)n6. (am)n = am·n

2.1.2 Die q-te Wurzel

Fur a ≥ 0 und q ∈ N ist a1q die q-te Wurzel aus a,

a1q = q√a;

das ist die Zahl x ∈ R, x ≥ 0, fur die xq = a gilt. Fur ungerade q ∈ N ist q√a auch fur

a < 0 definiert, und in diesem Fall x = q√a = − q

√−a die Losung der Gleichung xq = a.

Z.B. ist x = −2 = − 3√

8 die Losung von x3 = −8, also 3√−8 = −2.

20

2.1 Potenzen

2.1.3 Potenzen mit rationalem Exponenten

Fur a ∈ R, a > 0, r ∈ Q mit r = pq, p ∈ Z, q ∈ N definieren wir die (gebrochene) Potenz

ar durch

ar := apq :=

(a

1q

)pExkurs: Um die Definition von ar mathematisch sauber zu rechtfertigen, muß mannoch zeigen, daß die Potenz ar wohldefiniert ist, also unabhangig von der konkretenDarstellung der rationalen Zahl r als Bruch p

q: man kann dieselbe Zahl r auf verschiedene

Arten als Bruch schreiben, zum Beispiel ist 39

= 26

= 13, und es ist zu zeigen, daß durch die

a priori verschiedenen Ausdrucke(a

1q

)p, in diesem Beispiel

(a

19

)3,(a

16

)2, a

13 , jedesmal

dieselbe Zahl definiert wird. Formal ist also zu zeigen: ist r = pq

= mn

mit p,m ∈ Z undq, n ∈ N, liegen also zwei - moglicherweise verschiedene - Darstellungen der Zahl r ∈ Qvor, so ist (dennoch)

(a

1q

)p=(a

1n

)m. Wir geben kurz an, wie man dies einsehen kann:

Es sei r ∈ Q und seien p,m ∈ Z und q, n ∈ N mit r = pq

= mn

, also np = qm. Unter

Verwendung der bereits bekannten Rechenregeln fur Potenzen und Wurzeln (aber nichtdurch

”Vorgriff“ auf Rechenregeln fur allgemeine Potenzen!) erhalten wir:

(a1q )p =

n

√((a

1q )p)n

=n

√(a

1q )np =

n

√(a

1q )qm =

n

√((a

1q )q)m

= n√am

=n

√((a

1n )n)m

=n

√(a

1n )mn =

n

√((a

1n )m)n

= (a1n )m.

Auch fur rationale Exponenten gelten die obigen Potenzgesetze (m und n konnen durchr, s ∈ Q ersetzt werden). Dies laßt sich auf die Definition von Wurzeln sowie die bereitsformulierten Potenzgesetze fur ganzzahlige Exponenten zuruckfuhren, was wir hier nichtbeweisen wollen. Der Anschauung halber formulieren wir hier einige mit der Wurzel-schreibweise:

Seien a ≥ 0 und n, k ∈ N und m ∈ Z. Dann gelten die sogenannten Wurzelgesetze

1. n√am = ( n

√a)m und n

√an = ( n

√a)n = a

2. n√a · n√b = n√ab

3.n√an√b

= n√

ab

4. n√

k√a = nk

√a = k

√n√a

Achtung: Wir haben fur a > 0 den Ausdruck ax nur fur rationales x definiert. ImRahmen der Vorlesung Analysis 1 werden Sie sehen, wie man die Definition auch aufbeliebige x ∈ R ausdehnen kann.

21


2.1.4 Beispiele

10√

1024 =10√

210 =(

10√

2)10

= 2

6 =√

4√

9 =√

4 · 9 =√

36 = 6√64√4

=√

644

=√

16 = 43√

2√

64 =2√

3√

64 = 6√

64 = 23√√

125 =√

3√

125 =√

5

Man beachte, daß der Ausdruck√

5 im letzten Beispiel bereits als Endergebnis angese-hen wird, da mit diesem Symbol eine wohldefinierte reelle Zahl bezeichnet wird. Fallszusatzlich (warum auch immer) eine Dezimaldarstellung gewunscht wird, schreibt manz.B. · · · =

√5 ≈ 2, 2361. Achtung: die (zuweilen in der Schule verwendete) Notation√

5 = 2, 2361 ist hingegen nicht zulassig! Gleichheit im mathematischen Sinn ist die(abstrakte) Gleichheit zweier Objekte (vgl. Kapitel 1) und kann nicht durch irgendwel-che Konventionen (wie

”Runden nach der vierten Nachkommastelle“) relativiert werden.

Selbst fur einen Computer ist es unmoglich, eine exakte Dezimaldarstellung der Zahl√

5anzugeben, da er nur endlichen Speicher besitzt, die Zahl

√5 aber irrational ist.

2.1.5 Beispiel: Rationalmachen des Nenners

Treten Bruche mit irrationalen Nennern n√am = a

mn , a > 0, n,m ∈ N, m < n, so

erweitert man den Bruch mit a1−mn .

So ist:

13√

2=

1

21/3· 22/3

22/3=

3√

4

2

Ist der Nenner der Gestalt√a±√b mit a 6= b, so wird der Bruch mit

√a∓√b erweitert.

So ist:

1√2 +√

3=

1√2 +√

3·√

2−√

3√2−√

3=

√2−√

3

2− 3=√

3−√

2

2.2 Der Logarithmus

Unter dem Logarithmus c einer positiven reellen Zahl a zur positiven reellen Basis b 6= 1

c = logb a, a > 0, b > 0, b 6= 1

22

2.2 Der Logarithmus

versteht man diejenige reelle Zahl c, mit der die Basis b zu potenzieren ist, um a zuerhalten. Es ist also die Gleichung

bc = a, a > 0, b > 0, b 6= 1

mit der ersten Gleichung gleichwertig. Man schreibt auch log a anstelle logb a, falls mandie Basis nicht festlegen will.

Achtung: Es handelt sich hierbei um die ubliche Definition fur Logarithmen, die Ihnenauch aus der Schule gelaufig sein sollte. Man beachte, daß diese Definition in sofern pro-blematisch ist, daß – wie oben bereits erwahnt – der Ausdruck bc fur irrationales c ∈ R\Qnoch gar nicht korrekt definiert ist. Wir werden dies jedoch zunachst stillschweigendhinnehmen, in unseren konkreten Rechenbeispielen werden wir nur Ausdrucke bc mit ra-tionalem c behandeln, bzw. es ist stets sichergestellt, daß die aufretenden Logarithmenrational sind.

Eine besondere Rolle spielt die sog. Eulersche Zahl e. Fur die Basis e = 2, 71828...(exakte Definition der Zahl e in der Vorlesung Analysis 1) verwendet man das Symbol

ln a = loge a.

fur den naturlichen Logarithmus. Wegen seiner herausragenden Rolle wird in der Ma-thematik der naturliche Logarithmus ln oft einfach als der Logarithmus bezeichnet, undman schreibt ublicherweise einfach log fur den Logarithmus anstelle von ln.

Es gilt insbesondere

a = blogb a und ac = ec ln a fur alle a, b > 0, b 6= 1, c ∈ Q,

und es gilt immer

logb 1 = 0, logb b = 1 fur alle b > 0, b 6= 1.

2.2.1 Die Logarithmengesetze

Sei b > 0 mit b 6= 1.

1. logb(x · y) = logb x+ logb y, x > 0, y > 0;

2. logb

x

y= logb x− logb y, x > 0, y > 0;

3. logb(xy) = y · logb x, x > 0;

4. logby√x =

1

ylogb x, x > 0, y ∈ N.

Wegen logb a = logb

(dlogd a

)= (logd a)(logb d) gilt die

23


2.2.2 Umrechenformel

logd a =logb a

logb d, fur alle a, b, d > 0 mit b, d 6= 0.

2.2.3 Beispiele

1. 2x = 16⇔ x = 4 5. log5 125 = x⇔ x = 3

2. 3x = 19⇔ x = −2 6. log 1

2

116

= x⇔ x = 4

3. logx 36 = 2⇔ x = 6 7. log3 x = 5⇔ x = 243

4. logx164

= −6⇔ x = 2 8. log2 x = −5⇔ x = 132

2.2.4 Beispiele zu den Logarithmengesetzen

1. log(32) + log(4) + log(18) + log(81) B

2. log2√a+ ba3b2

3√c(a+ c)2

B

3. log(a+ b) + 2 log(a− b)− 1

2log(a2 − b2) B

2.3 Der Betrag

Sei a ∈ R; dann wird der Betrag |a| von a definiert als

|a| :=

{a fur a ≥ 0

−a fur a < 0.

2.3.1 Beispiel

| − 3| = −(−3) = 3, da − 3 < 0; |3| = 3, da 3 > 0; |0| = 0.

Der Abstand zweier beliebiger Zahlen a, b kann mit Hilfe des Betrages als Betrag derDifferenz |a− b| definiert werden.

Es gilt fur a, b ∈ R:

24

2.3 Der Betrag

|a| ≥ 0, und |a| = 0 genau dann, wenn a = 0,

|a · b| = |a| · |b|,

|a+ b| ≤ |a|+ |b| (Dreiecksungleichung).

Fur a ∈ R gilt

|a| =√a2.

2.3.2 Beispiel

Geben Sie alle a ∈ R an, fur die folgenden Aussagen zutreffen:

1. a2 = 4

2. a2 > 3 B

2.3.3 Auflosen von Betragsungleichungen

Sei ε > 0. Geben Sie die Menge aller x ∈ R an, fur die folgenden Ungleichungen erfulltsind.

1. |x| ≤ ε

2. |x− 2| < ε B

25

3 Losen von Gleichungen undUngleichungen

3.1 in einer Variablen

Unter der Definitionsmenge D einer Gleichung bzw. Ungleichung in x ∈ R verstehenwir die Menge aller x ∈ R, fur die die Gleichung bzw. Ungleichung definiert ist. DieLosungsmenge L (siehe Beispiel 1.10.2.1) ist dann eine Teilmenge der Definitionsmenge.

Oft ist offensichtlich D = R und braucht nicht angegeben zu werden. Fur die Ungleichung1x> 1 hingegen ist D = R \ {0} und L = (0, 1). Auch gibt es weitere Moglichkeiten, die

Definitionsmenge korrekt anzugeben (siehe Abschnitt Bruchungleichungen)!

3.2 Quadratische Gleichungen und Ungleichungen

3.2.1 Beispiel: Quadratisches Erganzen

Das quadratische Erganzen ist eine Technik zum Ermitteln von Nullstellen quadratischerGleichungen. Zunachst werden die Terme in x2 und x durch eine binomische Formelausgedruckt: das geht immer! Dann ist i.A. ein Korrekturterm notwendig um den x-freien Teil des binomischen Terms zu neutralisieren.

Bestimmen Sie die Losungen der Gleichung x2 − x− 6 = 0.

x2 − x− 6 = (x− 1

2)2 − (

1

2)2 − 6 = (x− 1

2)2 − 25

4

26

3.2 Quadratische Gleichungen und Ungleichungen

also gilt

x2 − x− 6 = 0

⇔(x− 1

2)2 =

25

4

⇔x− 1

2= ±

√25

4

⇔x =1

2± 5

2⇔x = −2 ∨ x = 3

3.2.2 Losungsmengen quadratischer Ungleichungen

Quadratische Ungleichungen konnen stets auf die Form

x2 + px+ q≥≤ 0, bzw.

><

fur p, q ∈ R gebracht werden.

Die Losungsmenge L ist entweder leer, ein Intervall, oder Vereinigung zweier Inter-valle. Zunachst muss die Losungsmenge der quadratischen Gleichung x2 + px + q = 0bestimmt werden. Dies geschieht z.B. mit der oben ausgefuhrten Technik des quadrati-schen Erganzens.

Bild 1 Bild 2 Bild 3

3.2.3 Beispiel 1

Zeigen Sie, daß fur alle x ∈ R die Ungleichung x2 − 2x+ 3 > 0 erfullt ist.

x2 − 2x+ 3 = (x− 1)2 − 1 + 3 = (x− 1)2 + 2 > 0.

27

3 Losen von Gleichungen und Ungleichungen

Da die letzte Ungleichung offensichtlich fur alle x ∈ R wahr ist, haben wir die Behaup-tung bewiesen.

3.2.4 Beispiel 2

Bestimmen Sie die Losungsmenge der Ungleichung x2 − x− 6 > 0.

1.Weg: uber die Faktorisierung.

Aus 3.2.1 kennen wir die beiden Nullstellen x1 = −2 und x2 = 3 von x2 − x − 6. Alsogilt die Identitat

x2 − x− 6 = (x+ 2)(x− 3) .

Bekanntlich ist dieses Produkt genau dann großer Null, wenn (x+ 2 > 0 und x− 3 > 0)oder (x+ 2 < 0 und x− 3 < 0) erfullt ist.

Es gilt

x+ 2 > 0 ∧ x− 3 > 0

⇔ x > −2 ∧ x > 3

⇔ x ∈ (3,∞)

und

x+ 2 < 0 ∧ x− 3 < 0

⇔ x < −2 ∧ x < 3

⇔ x ∈ (−∞,−2) .

Die Losungsmenge ist also die Menge L = (−∞,−2) ∪ (3,∞).

2.Weg: uber die Anschauung.

Wie in Bild 1 dargestellt, ist das Schaubild von x2−x−6 eine nach oben geoffnete Parabel,welche die x-Achse in den Punkten −2 und 3 schneidet. Gesucht ist nun die Menge allerx ∈ R an welchen die Parabel (echt) oberhalb der x-Achse liegt. Das entspricht in Bild 1der gestrichelten Menge. Man sieht also L = (−∞,−2) ∪ (3,∞).

3.3 Wurzelgleichungen

Diese lost man durch wiederholtes Auflosen solcher Gleichungen nach einer Wurzel undanschließendem Potenzieren. Das fuhrt auf eine rationale Gleichung in x, d.h. einerGleichung in der nur noch ganzzahlige Exponenten von x auftauchen.

28

3.4 Bruchungleichungen

Achtung: Nicht alle Losungen der resultierenden rationalen Gleichung sind Losungen derWurzelgleichung. Jedoch kann es außer den Losungen der rationalen Gleichung keineweiteren geben. Durch Einsetzen dieser Losungen in die Ursprungsgleichung erhalt mandie Losungsmenge.

3.3.1 Beispiel 1

7 + 3√

2x+ 4 = 16 (∗)

⇔ 3√

2x+ 4 = 9

⇔√

2x+ 4 = 3

⇒ 2x+ 4 = 9

⇔ x = 52

Einsetzen von x = 52

zeigt: x = 52

lost (∗). Damit ist L ={

52

}.

3.3.2 Beispiel 2

√x−√x− 1 =

√2x− 1 (∗∗)

⇒ (√x−√x− 1)2 = 2x− 1

⇔ x− 2√x√x− 1 + (x− 1) = 2x− 1

⇔ 2√x(x− 1) = 0

⇔ (x = 1) ∨ (x = 0)

Probe: x = 1: 1− 0 = 1 stimmt!

x = 0: die rechte Seite von (∗∗) ist fur x = 0 nicht definiert.

Also ist L = {1}.

3.4 Bruchungleichungen

Zunachst bestimmt man D, indem man alle x ausschließt, fur die die auftretenden Nen-ner Null werden. Das Multiplizieren mit dem Nenner fuhrt zu Fallunterscheidungen,abhangig vom Vorzeichen des Nenners.

29


Gesucht sei die Losungsmenge L folgender Ungleichung.

2x+ 1

x− 3< 1 (3.1)

Sei x 6= 3. Wir unterscheiden die Falle:

Fall 1 x− 3 > 0, also x > 3: Dann gilt

2x+1x−3 < 1

⇔ 2x+ 1 < x− 3

⇔ x < −4

Bezeichnen wir die Losungsmenge in diesem Fall mit L1, so gilt L1 = (3,∞) ∩(−∞,−4) = ∅.

Fall 2 x− 3 < 0, also x < 3: Dann gilt

2x+1x−3 < 1

⇔ 2x+ 1 > x− 3

⇔ x > −4

Fur die Losungsmenge dieses Falles gilt L2 = (−∞, 3) ∩ (−4,∞) = (−4, 3)

Fur die Gesamtlosungsmenge L gilt nun L = L1 ∪ L2 = (−4, 3).

Bild 3.A

30

3.5 Betragsungleichungen

3.5 Betragsungleichungen

|2x+ 1|x− 3

≤ 1 (∗)

Bestimmen Sie D und L.

Sei x 6= 3.

Fall 1: x > 3:

(∗)

⇔ |2x+ 1| ≤ x− 3

⇔ 2x+ 1 ≤ x− 3

⇔ x ≤ −4

Analog zu 3.4 Fall 1 ist hier L1 = ∅.Fall 2: x < 3:

(∗)

⇔ |2x+ 1| ≥ x− 3 (∗∗)

Fall 2a: x ≥ −1/2 (also 2x+ 1 ≥ 0). Wir suchen jetzt also die x ∈ [−1/2, 3), die (∗∗)erfullen.

(∗∗)

⇔ 2x+ 1 ≥ x− 3

⇔ x ≥ −4

Also ist L2a = [−1/2, 3) ∩ [−4,∞) = [−1/2, 3).

Fall 2b: x < −1/2 (also 2x+ 1 < 0).

(∗∗)

⇔ −(2x+ 1) ≥ x− 3

⇔ −3x ≥ −2

⇔ x ≤ 2/3

Also ist L2b = (−∞, 3) ∩ (−∞,−1/2) ∩ (−∞, 2/3) = (−∞,−1/2).

Insgesamt ist L = L1 ∪ L2a ∪ L2b = (−∞, 3).

Man kann den zweiten Fall auch deutlich abkurzen: Wegen x < 3 gilt |2x+1| ≥ 0 > x−3,und wegen (∗) ⇔ |2x + 1| ≥ x − 3 ist daher in diesem Fall die Ungleichung (∗) stetserfullt.

31


3.6 Gleichungen und Ungleichungen in zwei Variablen

3.6.1 Kartesisches Produkt

Seien A,B Mengen. Das kartesische Produkt auch Kreuzprodukt A × B der Mengen Aund B ist die Menge aller geordneten Paare (a, b) von Elementen a ∈ A und b ∈ B

A×B = {(a, b)|a ∈ A, b ∈ B}.

3.6.2 R2

Das kartesische Produkt R2 := R × R ist die Menge aller geordneten Paare (x, y) vonElementen x, y ∈ R. Wir konnen uns R2 durch ein Koordinatensystem in der Ebeneveranschaulichen.

3.6.3 Das kartesische Produkt zweier Intervalle

Das kartesische Produkt zweier Intervalle laßt sich folgendermaßen darstellen:

Das kartesische Produkt A×B der Intervalle A = [1, 4] undB = [1, 2] im Koordinatensystem.

32

3.6 ...in zwei Variablen

Andere Beispiele lassen sich nicht als kartesische Produkte darstellen:

3.6.4 Einige Teilmengen des R2

1. S := {(x, y)|x2 + y2 ≤ 1}

2. K := {(x, y)|x2 + y2 = 1}

3. R := {(x, y)||x|+ |y| ≤ 1}

4. T := {(x, y)|0 ≤ y ≤ 1, x2 − y2 > 0}

3.6.5 Vertauschen von x und y

Vergleichen Sie die beiden Mengen

A := {(x, y)|(y − 1)2 + x2 ≤ 1, x ≥ 0}

und

B := {(x, y)|(x− 1)2 + y2 ≤ 1, y ≥ 0}

33


B entsteht durch Spiegelung von Aan der Achse x = y.

3.6.6 Beispiel

Ermitteln Sie die Losungsmenge L in R2, deren Elemente die folgende Ungleichungerfullen

2x− |y − 1| < 1

Hier losen Sie wie gewohnt die Betragsstriche auf und losen dann die Ungleichungennach y auf:

Fall 1: y ≥ 1, dh. |y − 1| = y − 1.

2x− |y − 1| < 1

⇔ 2x− (y − 1) < 1

⇔ −y < −2x

⇔ y > 2x

Also ist L1 := {(x, y)|y ≥ 1, y > 2x} Teilmenge von L.

34

3.6 ...in zwei Variablen

Fall 2: y < 1, dh. |y − 1| = 1− y.

2x− |y − 1| < 1

⇔ 2x− (1− y) < 1

⇔ y < 2− 2x

Insgesamt ist also L = L1 ∪ L2 mit L2 := {(x, y)|y < 1, y < 2− 2x}.

Skizzieren Sie die Losungsmenge! B

Bemerkung: Bei diesem Beispiel konnte man auch obige Uberlegung uber das”Vertau-

schen“ von x und y anwenden:

Es gilt (nachrechnen): 2x − |y − 1| < 1 ⇔ x < 12

+ 12|y − 1|. Vertauschen wir hier x

und y, so erhalten wir y < 12

+ 12|x − 1|. Die zugehorige Losungsmenge lasst sich dann

folgendermaßen skizzieren.

Spiegeln an der Geraden x = y liefert dann die Skizze der ursprunglich gesuchten Menge.

35

4 Funktionen4.1 Definition

Seien X, Y Mengen. Eine Vorschrift f , die jedem Element x ∈ X genau ein Ele-ment y ∈ Y zuordnet, heißt Funktion oder auch Abbildung von X nach Y . Wir setzenin diesem Fall f(x) := y. X bezeichnen wir als Definitionsbereich, Y als Wertebereichvon f . Schreibweise: f : X → Y, x 7→ f(x).

Ist f : X → Y eine Funktion, so heißt Bild(f) := {y ∈ Y | ∃ x ∈ X : y = f(x)} dasBild oder auch die Wertemenge oder Bildmenge von f . Man beachte: die Wertemen-ge einer Funktion, also die Menge der tatsachlich angenommenen Werte, ist eine - imallgemeinen echte - Teilmenge des Wertebereichs von f . Zum Beispiel fur die Funktionf : R→ R, x 7→ x2 ist Bild(f) = [0,∞).

Anmerkung: Eine Funktion hat also stets drei”Bestandteile“, neben der eigentlichen

Zuordnungsvorschrift x 7→ f(x) namlich auch Definitions- und Wertebereich. So habenzum Beispiel die Funktionen

f : R→ R, x 7→ x2,

g : [0,∞)→ [0,∞), x 7→ x2

zwar dieselbe Zuordnungsvorschrift x 7→ x2, aber verschiedene Definitions- und Wertebe-reiche. Dies ist zum Beispiel wichtig bei der Frage, ob eine Funktion eine Umkehrfunktionbesitzt (dies ist fur g der Fall, aber nicht fur f) - diese Frage werden wir allgemein spaterim Abschnitt 4.6 behandeln.

Achtung: Wir unterscheiden die Funktion f von ihren Funktionswerten f(x). Insbeson-dere ist

”f(x)“ keine zulassige Schreibweise fur die ganze Funktion f , sondern nur die

Bezeichnung des einen Funktionswertes f(x) fur ein festes x ∈ X.

4.2 Der Graph einer Funktion

Fur eine Funktion f : X → Y heißt die Menge Gf := {(x, y) ∈ X×Y |y = f(x), x ∈ X}der Graph der Funktion f . Gilt X, Y ⊂ R, so ist der Graph Gf eine Teilmenge des R2,und die Funktion f laßt sich gut durch ihren Graphen veranschaulichen:

36

4.3 Verkettung von Funktionen

Bild 4.A Graph einer Funktion als Teilmenge des R2

Anmerkung: Der oben beschriebene Funktionenbegriff sollte Ihnen von der Schulegelaufig sein und stellt zudem eine anschauliche und zum Arbeiten auch praktischeBegriffsbildung dar. Dennoch ist diese Definition mathematisch noch nicht exakt (wasfur ein mathematische Objekt ist eine

”Zuordnungsvorschrift“?) - die Beschreibung uber

den Graphen stellt hingegen eine Moglichkeit dar, Funktionen sehr abstrakt, aber dafurkonkret als bestimmte Typen von Mengen zu definieren. Ohne dies weiter zu vertiefen,soll diese Variante der Definition hier genannt werden:

Definition einer Funktion als Menge. Seien X, Y Mengen. Ein Funktion f von Xnach Y ist eine Teilmenge f ⊆ X × Y so, daß es zu jedem x ∈ X genau ein y ∈ Y gibtmit (x, y) ∈ f . Wir schreiben in diesem Fall f : X → Y , und fur (x, y) ∈ f schreibenwir y = f(x).

4.3 Verkettung von Funktionen

Seien X, Y,Df , Dg Mengen und f : Df → Y und g : Dg → X beliebige Funktionen.Dann wird die Verkettung von f mit g definiert als

f ◦ g : Df◦g → Y, x 7→ f(g(x))

mit Df◦g := {x ∈ Dg | g(x) ∈ Df}. Man bezeichnet f ◦ g auch als die die Hintereinan-derausfuhrung von g und f oder sagt kurz f nach g oder f

”Kringel“ g.

37

4 Funktionen

4.3.1 Beispiel

Seien f : R→ R, x 7→ 4− x2 und g : [0,∞)→ R, x 7→√x. Bestimmen Sie die Funktio-

nen f ◦ g und g ◦ f mit ihren Definitionsbereichen.

Es gilt Df◦g = {x ≥ 0 |√x ∈ R} = [0,∞), und fur alle x ∈ [0,∞) gilt

(f ◦ g)(x) = f(g(x)) = f(√x) = 4− (

√x)2 = 4− x.

Umgekehrt ist Dg◦f = {x ∈ R | 4− x2 ≥ 0} = [−2, 2], und fur alle x ∈ [−2, 2] gilt

(g ◦ f)(x) = g(f(x)) = g(4− x2) =√

4− x2.

4.4 Definitionsbereich/Wertemenge reeller Funktionen

Im Folgenden sei stets D ⊂ R und f : D → R eine Funktion. Eine solche Funktionnennt man auch reellwertige (reelle) Funktion. Wir verwenden in dieser Situation auchdie Bezeichnung Wf := Bild(f) = {y ∈ R| ∃x ∈ D : f(x) = y} fur die Wertemenge vonf .

Oft werden reelle Funktionen - im Gegensatz zur obigen Definition - etwas lax nurdurch ihre Abbildungsvorschrift vorgegeben, und auf eine konkrete Angabe des Defi-nitionsbereiches wird verzichtet. In diesem Fall bezeichnen wir mit Df den maxima-len Definitionsbereich von f , dies ist die großte Teilmenge von R, auf der die Ab-bildungsvorschrift x 7→ f(x) noch

”sinnvoll“ definiert ist. Weiter heißt in diesem Fall

Wf := {y ∈ R | ∃x ∈ Df : f(x) = y} die maximale Wertemenge von f .

Mit dem oben eingefuhrten Begriff der Verkettung von Funktionen laßt sich mathema-tisch sauber (wenn auch noch nicht ganz exakt) formulieren, was mit dem

”maximalen

Definitionsbereich“ einer Zuordnungsvorschrift gemeint ist: Die von uns notierten Zuord-nungsvorschriften sind Terme, die die Verkettung bestimmter elementarer Funktionendarstellen, deren Definitionsbereich bekannt ist - wie z.B. der elementaren Funktionen√·[0,∞) → R, x 7→

√x, log : (0,∞) → R, x 7→ log(x), oder der Inversionsabbildung

R\{0} → R, x 7→ 1x. Der maximalen Definitionsbereich einer Zuordnungsvorschrift, die

sich als Verkettung solcher elementare Funktionen darstellen laßt, ist schlicht der Defi-nitionsbereich dieser Verkettung gemaß der obigen Definition.

38


4.4.1 Beispiele

1. Die Funktion f sei durch die Zuordnungsvorschrift

x 7→ log(−x2 + x+ 2)

gegeben. Geben Sie den maximalen Definitionsbereich Df und die Wertemenge Wf

an, indem Sie f in geeigneter Weise als Verkettung zweier Funktionen schreiben.

Losung: Die Funktion f ist in der Form f = u◦v mit den (elementaren) Funktionenu = log : (0,∞)→ R, x 7→ log(x) und v : R→ R, x 7→ −x2 + x+ 2. Dann ist

Df = Du◦v = {x ∈ R |x ∈ Dlog} = {x ∈ R | − x2 + x+ 2 > 0}.

Durch scharfes Hinsehen erhalten wir die zwei Nullstellen −1 und 2 der quadra-tischen Gleichung x2 − x − 2 = 0 (Normalform). Wir verfahren wie in Abschnitt3.2.2 dargestellt. Fur alle x ∈ R gilt

−x2 + x+ 2 > 0⇔ x2 − x− 2 < 0⇔ (x+ 1)(x− 2) < 0⇔ x ∈ (−1, 2).

Also ist Df = (−1, 2). Wir bestimmen nun die Wertemenge: Nach Definition gilt

Wf = {log(y) | y = v(x) fur ein x ∈ Df}.

Wir bestimmen daher zunachst die Wertemenge von v: Mit quadratischer Erganzungerhalten wir

v(x) = −x2+x+2 = −(x2−x−2) = −[(x−1/2)2−1/4−2

]= 9/4−(x−1/2)2

fur alle x ∈ R, und hieraus lesen wir ab: {v(x) | x ∈ Df} = (0, 94]. Damit folgt

Wf = {log(y) | y ∈} = {log(y) | y ∈ (0, 9/4]} = (−∞, log(9/4)].

(Fur das letzte”=“ verweisen wir - zunachst - auf die Anschauung, tatsachlich

gehen hier Argumente wie Monotonie und Stetigkeit der Funktion log ein.)

2. Die Funktion f sei durch die Abbildungsvorschrift x 7→√

1 +1

xgegeben. Bestim-

men Sie den maximalen Definitionsbereich Df und die maximale Wertemenge Wf .

Der Ausdruck

√1 +

1

xist sinnvoll definiert, falls x 6= 0 und 1 + 1

x≥ 0 ist. Die

zweite Ungleichung ist auf jeden Fall erfullt fur x > 0; Ist hingegen x < 0, so gilt

1 +1

x≥ 0⇔ x+ 1 ≤ 0⇔ x ≤ −1.

39

4 Funktionen

Damit folgt Df = (−∞,−1] ∪ (0,∞).

Zur Bestimmung der Wertemenge stellen wir zunachst fest, daß Wf ⊆ [0,∞) ist,da Wurzeln immer nicht-negativ sind. Außerdem ist 1 /∈Wf , denn ware f(x) = 1

fur ein x ∈ Df , so ware√

1 + 1x

= 1, also auch 1 + 1x

= 1 und damit 1x

= 0, was

aber nicht moglich ist.

Sei nun umgekehrt y ∈ [0,∞), y 6= 1. Dann gilt fur alle x ∈ Df :√1 +

1

x= y ⇔ 1 +

1

x= y2 ⇔ x+ 1 = xy2 ⇔ x− xy2 = −1

⇔ x(1− y2) = −1⇔ x =1

y2 − 1

(beachte, daß y2 6= 1, also y2 − 1 6= 0 ist). Wenn wir zeigen konnen, daß x :=1

y2−1 ∈ Df ist, so haben wir gezeigt, daß y = f(x) ∈ Wf ist und damit insgesamt

Wf = [0,∞)\{1}. Dazu machen wir eine Fallunterscheidung:

Fall 1: y > 1. Dann ist y2 − 1 > 0, also auch x = 1y2−1 > 0 und damit x ∈ Df .

Fall 2: y < 1, also auch 0 ≤ y2 < 1. Dann ist −1 ≤ y2 − 1 < 0, und hierausfolgt −1 ≥ 1

y2−1 (machen Sie sich dies anhand der Rechenregeln fur Ungleichungen

klar!). Also ist x = 1y2−1 ≤ −1 und damit auch in diesem Fall x ∈ Df .

3. Geben Sie den Definitionsbereich der durch die Zuordnungsvorschrift

x 7→ −√

4− (x− 1)2

definierten Funktion f an, und skizzieren Sie den Graphen der Funktion.

Losung: Es gilt Df = {x ∈ R | 4− (x− 1)2 ≥ 0}. Dazu berechnen wir:

4− (x− 1)2 ≥ 0

⇔ |x− 1| ≤ 2

⇔ −2 ≤ x− 1 ≤ 2

⇔ −1 ≤ x ≤ 3

fur alle x ∈ R, also ist Df = [−1, 3].

Einschub: Die Kreisgleichung In Abschnitt 3.6.4 haben wir die Kreisgleichungfur den Einheitskreis , d.h. fur den Kreis um Null mit Radius r = 1 kennengelernt:x2 + y2 = 1. Seien x0, y0 ∈ R, r > 0. Dann lautet die allgemeine Kreisgleichung

(x− x0)2 + (y − y0)2 = r2, x, y,∈ R

40


Die Losungsmenge dieser Gleichung, also die Menge

K := {(x, y) ∈ R2 | (x− x0)2 + (y − y0)2 = r2} ⊆ R2

beschreibt (im R2) einen Kreis um (x0, y0) mit Radius r. Durch Umformung siehtman, daß der Kreis sich aus den Graphen der Funktionen

f1 : [x0 − r, x0 + r]→ R, x 7→√r2 − (x− x0)2 + y0 (oberer Halbkreis)

und

f2 : [x0 − r, x0 + r]→ R, x 7→ −√r2 − (x− x0)2 + y0 (unterer Halbkreis)

zusammensetzt. Mit den obigen Uberlegungen erkennt man, daß der resultierendeKreis aus einer Verschiebung um x0 ”

nach rechts“ und y0 ”nach oben“ aus dem

Kreis um Null mit Radius r hervorgegangen ist.

Zuruck zur Aufgabenstellung: Das ge-gebene f stellt einen unteren Halbkreisum (1, 0) mit Radius r = 2 dar:

Bild 4.B

Als weitere Anwendung der obigen Definition wollen wir uns verschiedenen Manipula-tionen von Graphen widmen, wie Verschieben, Spiegeln, Strecken oder Stauchen. Dieseswird durch besonders einfache Verkettungen bewirkt, auch wenn diese der Einfachheithalber nicht mehr explizit aufgeschrieben werden. Die Betrachtung dieser Verkettungenerlaubt einem haufig, auf einfache Weise den Graphen der resultierenden Funktion f zuzeichnen oder Definitions- und Bildmenge zu bestimmen.

4.4.2 Beispiel

Definiere h : R→ R, x 7→ −x2 + x+ 2.

Es gilt h(x) = −x2+x+2 = −(x2−x−2) = −[(x−1/2)2−1/4−2

]= −

[(x−1/2)2−9/4

]fur alle x ∈ R.

Der Graph von h entsteht nun aus dem Graphen der Funktion g : R→ R, x 7→ x2 durchVerschieben um 1/2 nach rechts, Verschieben um −9/4 nach unten und Spiegelung an

41

4 Funktionen

der x-Achse. Genauer gilt h = f2 ◦ g ◦ f1 mit den Funktionen f1 : R → R, x 7→ x− 1/2und f2 : R→ R, y 7→ −(y − 9/4).

Daraus ist ersichtlich, daß Df = R und Wf = (−∞, 9/4] gilt.

Wir betrachten nun eine allgemeinere Situation: Die Funktion f (anstelle von h) seidurch

f(x) = ±c · g(± b(·x+ a)

)+ d, a,b, c,d ∈ R,b, c > 0

gegeben, wobei g eine elementare Funktion mit Dg = R ist. Ist Dg 6= R, so mussen dieDefinitionsbereiche der kombinierten Funktionen entsprechen angepaßt werden, woraufwir hier wegen der Ubersichtlichkeit aber nicht eingehen.

Im Folgenden werden wir alle Schritteanhand g(x) = x3 illustrieren.

Bild 4.C g(x) = x3

In Bezug auf den Graphen von f(x) = ±c · g(± b(·x+ a)

)+ d bewirkt

a eine Verschiebung des Graphen von g um −a entlang der x-Achse (s. Bild 4.M);

b eine 1/b-fache Streckung in Richtung der x-Achse (fur b > 1 wird der Graph alsogestaucht) (s. Bild 4.N);

− vor b eine Spiegelung an der Achse x = −a (s. Bild 4.O);

42

4.5 Eigenschaften von Funktionen

Bild 4.D g(x− 1) = (x− 1)3 Bild 4.E g(1/2(x− 1)) Bild 4.F g(−1/2(x− 1))

c eine c-fache Streckung in Richtung der y-Achse (s. Bild 4.P);

− vor c eine Spiegelung an der x-Achse (s. Bild 4.Q);

d eine Verschiebung des Graphen um d in Richtung der y-Achse (s. Bild 4.R).

Bild 4.G 3 · g(−1/2(x− 1)) Bild 4.H −3 · g(−1/2(x− 1)) Bild 4.I 3 ·g(−1/2(x−1))+1

4.5 Eigenschaften von Funktionen

4.5.1 Monotonie

Eine Funktion f : D → R, x 7→ f(x) heißt auf D monoton wachsend (fallend), falls furalle x1, x2 ∈ D mit x1 < x2 gilt

f(x1) ≤ f(x2), bzw. f(x1) ≥ f(x2) .

Entfallen die Gleichheitszeichen, so spricht man von strenger Monotonie.

43

4 Funktionen

4.5.2 Beispiele

1. Die Funktion f : [0,∞)→ R, x 7→ x2 ist streng monoton wachsend:

Seien x1, x2 ∈ [0,∞) mit x1 < x2. Dann gilt x2 − x1 > 0 und x2 > x1 ≥ 0, alsoauch x2 + x1 ≥ x2 > 0 und damit

f(x2)− f(x1) = x22 − x21 = (x2 − x1)(x2 + x1) > 0, also f(x1) < f(x2).

2. Die Funktion f : R → R, x 7→ x2 ist weder monoton wachsend noch monotonfallend:

Es ist −1 < 0 und f(−1) = 1 > 0 = f(0), also ist f nicht monoton wachsend, undes ist 0 < 1, aber f(0) = 0 < f(1), also ist f auch nicht monoton fallend.

3. Die Wurzelfunktion√· : [0,∞)→ R, x 7→

√x ist streng monoton wachsend:

Seien x1, x2 ∈ [0,∞) mit x1 < x2. Dann gilt x2 − x1 > 0 und x2 > x1 ≥ 0, alsoauch

√x2 +

√x1 ≥

√x2 > 0 und damit

f(x2)− f(x1) =√x2−

√x1 =

(√x2 −

√x1)(√x2 +

√x1)√

x2 +√x1

=x2 − x1√x2 +

√x1

> 0,

also f(x1) < f(x2).

4.5.3 gerade und ungerade Funktionen

Eine Funktion f : R→ R, x 7→ f(x) heißt gerade oder symmetrisch, bzw. ungerade oderantisymmetrisch, wenn gilt

f(−x) = f(x), bzw. f(−x) = −f(x) fur alle x ∈ R.

Bild 4.J monotonwachsende Funktion

Bild 4.K gerade Funktion Bild 4.L ungerade Funktion

44

4.6 Definition der Umkehrfunktion

4.6 Definition der Umkehrfunktion

Existiert zu jedem y ∈ W (zur Erinnerung: W = {y ∈ R| ∃x ∈ D : f(x) = y} istdie Wertmenge von f) genau ein x ∈ D mit y = f(x), so nennt man die Funktioninjektiv. Nach den Ausfuhrungen zum Quantor

”Es existiert genau ein ...“ im Rahmen

von Beispiel 1.8.1 (vgl. erste Vorlesung) ist die Funktion genau dann injektiv, wennfolgendes gilt:

∀x1, x2 ∈ D : f(x1) = f(x2)⇒ x1 = x2.

Ist f injektiv, so heißt die Funktion

f−1 : W→ D, y 7→ x, wobei x ∈ D die eindeutige Zahl mit f(x) = y ist,

die Umkehrfunktion von f .

Es gilt also fur alle x ∈ D und y ∈W: f−1(f(x)) = x und f(f−1(y)) = y.

Streng monotone Funktionen sind immer injektiv und besitzen somit auch immer eineUmkehrfunktionen. Die Graphen von f und f−1 liegen symmetrisch zur Geraden y = x.

Beispiel: Die Funktion f : R → R, x 7→ x2 ist nicht injektiv, denn es gilt f(1) = 1 =(−1)2 = f(−1), aber 1 6= −1, bzw. mit anderen Worten: y := 1 liegt im Wertebereichvon f aber besitzt zwei verschiedene Urbilder.

4.6.1 Beispiele

1. Zeigen Sie, daß die Funktion f : R\{−1} → R, x 7→ x−1x+1

injektiv ist. Geben Siedie Umkehrfunktion von f an und zeichnen Sie deren Graphen.

Losung: Wie auf der Skizze zu sehen ist die Funktion f injektiv und somitinvertierbar, wir geben aber zusatzlich noch einen formalen Beweis: Seien dazux1, x2 ∈ R\{−1} mit f(x1) = f(x2). Dann gilt

x1 − 1

x1 + 1= f(x1) = f(x2) =

x2 − 1

x2 + 1,

und damit folgt (x1 − 1)(x2 + 1) = (x2 − 1)(x1 + 1), also

x1x2− x2 + x1− 1 = (x1− 1)(x2 + 1) = (x2− 1)(x1 + 1) = x2x1− x1 + x2− 1,

und hieraus folgt schließlich −x2 + x1 = −x1 + x2, also 2x1 = 2x2 und damitx1 = x2, was zu zeigen war.

45

4 Funktionen

Wir losen zunachst die Gleichung y = x−1x+1

nach y auf. Sei x 6= −1. Dann gilt:

y = x−1x+1

⇔ (x+ 1)y = x− 1

⇔ x(y − 1) = −1− yy 6=1⇔ x = −

(y+1y−1

)Um die Umkehrfunktion f−1 zu bestimmen, muß man sich klarmachen, daß dasobige y die Variable sein soll und man daher in der letzten Gleichung x und yvertauschen muß. Wir erhalten also: f−1 : R\{1} → R\{−1}, x 7→ −

(x+1x−1

).

Bild 4.M Graph der Funktion f Bild 4.N Graph der Funktion f−1

2. Sei a > 0.Geben Sie den Definitionsbereich und die Wertemenge von der durch diefolgende Abbildungsvorschrift definierte Funktion f an:

x 7→ 1

a+√x.

Zeigen Sie ferner, daß f injektiv ist und bestimmen Sie die Umkehrfunktion f−1.

Losung: Es gilt Df = [0,∞) und Wf = (0, 1/a]. Insbesondere gilt also y 6= 0.

y = 1a+√x

⇔ a+√x = 1

y

⇔√x = 1

y− a

√x≥0⇔ x =

(1y− a)2

Damit ergibt sich f−1 : Wf → Df , x 7→(1x− a)2

.

46

4.7 Die Potenzfunktion

Im Folgenden wird eine Reihe von elementaren Funktionen mit ihren Graphen angege-ben.

4.7 Die Potenzfunktion

Im Folgenden verwenden wir die Notationen R>0 := (0,∞), R<0 := (−∞, 0) und R≥0 :=[0,∞). Man nennt R>0 die positiven Zahlen, R<0 die negativen Zahlen und R≥0 die nichtnegativen Zahlen.

Eine Funktion f : Df → R, fur die es a ∈ R, r ∈ Q gibt mit

f(x) = axr, fur alle x ∈ Df ,

heißt Potenzfunktion. Fur a 6= 0 unterscheiden wir die folgenden Falle:

1. r = 0. f ist eine konstante Funktion mit (maximalem) Definitionsbereich Df = R.

2. r = 1. f ist eine lineare Funktion, Df = R.

3. r ∈ N, r ≥ 2. Df = R.

4. r ∈ Z, r ≤ −1. Df = R \ {0}

5. r 6∈ N, r > 0. Df = R≥0.

6. r 6∈ Z, r < 0. Df = R>0

Bild 4.O Bild 4.P

47

4 Funktionen

4.7.1 Beispiel

Es sei n ∈ N, n ≥ 2. Dann ist die Funktion f : [0,∞) → R, x 7→ xn injektiv, und dieUmkehrfunktion f−1 ist gegeben durch

f−1(x) = n√x fur alle x ∈ Df−1 = [0,∞).

Der Graph der Umkehrfunktion f−1 entsteht durch Spiegelung des Graphen von f ander Achse x = y, wie man in Bild 4.E sehen kann.

4.8 Die Exponentialfunktion und dieLogarithmusfunktion

Sei a > 0, a 6= 1. Die Funktion

f : R→ R, x 7→ ax(

= ex log a)

nennt man Exponentialfunktion mit Basis a. Im Fall a = e heißt f einfach die Exponen-tialfunktion.

Man beachte: Nach dem Kommentaren in Abschnitt 2.1.3 haben wir ax fur x ∈ R\Qnoch gar nicht definiert. Dies wird aber im Rahmen der Vorlesung Analysis 1 nachgeholt.

Die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion zur Basis a ist die Logarithmusfunktion,definiert durch die Abbildungsvorschrift

x 7→ loga x

auf D = (0,∞) (vgl. 2.2).

48

4.9 Polynomfunktionen

Bild 4.Q


Als Polynomfunktionen bezeichnen wir bestimmte Summen von Potenzfunktionen.

Ein Funktion p : R→ R gegeben durch

p(x) = a0 + a1x+ a2x2 + ...+ anx

n, fur alle x ∈ R mit a0, a1, ..., an ∈ R, n ∈ N0

nennen wir eine Polynomfunktion. Ist an 6= 0, so ist p eine Polynomfunktion n-ten Gra-des und n heißt der Grad von p.

Eine Polynomfunktion n-ten Grades hat hochstens n Nullstellen.

49

4 Funktionen

Bild 4.R Graph einer Polynomfkt. funften Grades

Der nachste Abschnitt behandelt den Fall n = 1.

4.9.1 Allgemeine (affin-)lineare Funktionen

Die Funktion f : R → R, x 7→ a + bx mit a, b ∈ R, nennt man allgemeine lineareFunktion bzw. genauer allgemeine affin-lineare Funktion. Wir bereiten hier bereits dieBegriffbildung vor, die Sie in der Vorlesung Lineare Algebra 1 kennenlernen werden, dortist der Begriff lineare Abbildung fur den Fall a = 0 reserviert. Der Zusatz

”affin“ steht

fur den moglichen Fall a 6= 0.

Die Funktion f ist eine Polynomfunktion ersten Grades.

Skizzieren Sie den Graphen solch einer Funktion im Falle

1. a = 0, b = 2

2. a = 1, b = 0

3. a = −1, b = −0.5 B

Wir bringen nun ein Beispiel einer immer noch einfachen Funktion, die aber nicht zuden elementaren Funktionen gehort. Dennoch laßt sie sich durch Fallunterscheidungenaus elementaren (namlich affin-linearen) Funktionen zusammensetzen.

50


4.9.2 Beispiel

Schreiben Sie die Funktion f : R→ R, x 7→ 2− |1−x| − |x+ 2| ohne Betrage, indem Siesie auf geeigneten Intervallen als affin-lineare Funktionen schreiben. Skizzieren Sie ihrenGraphen.

Losung: Zunachst ermitteln wir die kritischen Punkte, in denen die Terme innerhalb derBetragsstriche das Vorzeichen wechseln. Das sind die Punkte 1 und −2.

Das fuhrt uns auf die drei Teilintervalle von R: (−∞,−2), [−2, 1) und [1,∞) auf deneneine einheitliche Darstellung ohne Betrage moglich ist.

Sei x ∈ (−∞,−2): Hier gilt

f(x) = 2− |1− x| − |x+ 2| = 2− (1− x) + (x+ 2) = 3 + 2x

Sei x ∈ [−2, 1): Hier gilt: f(x) = 2− (1− x)− (x+ 2) = −1.

Sei x ∈ [1,∞): Hier gilt

f(x) = 2 + (1− x)− (x+ 2) = −2x+ 1

Insgesamt ist

f(x) =

3 + 2x x < −2

−1 −2 ≤ x < 1

1− 2x x ≥ 1

Bild 4.S Graph der Funktion f

51

Literaturverzeichnis

[1] H. Amann und J. Escher Analysis I, Birkhauser, Basel, 2006

[2] E. Cramer und J. Neslehova, Vorkurs Mathematik. Arbeitsbuch zum Studienbe-ginn in Bachelor-Studiengangen., EMIL@A-stat, Springer, 2008

[3] R. Janßen und K. Benecke, Studienvorbereitung: Mathematik in den Naturwis-senschaften -Teil 1-, Oldenburg, 1996

[4] W. Schafer und K. Georgi, Vorbereitung auf das Hochschulstudium, BSB B. Teub-ner Verlagsgesellschaft, 1985

52

Index

<, 16=, 16>, 16A \B, 12D, 26, 38L, 17⇔, 9N, 15Q, 15R2, 32R>0, R>0, R≥0, 47⇒, 9W, 38Z, 15∅, 12≥, 16∈, 10≤, 16logb a, ln, 22¬, 9π, 16⊆, 11∨, 9∧, 9f ◦ g, 37

Df , 38Wf , 38

Abbildung, 36allgemeine lineare Funktion, 50Aussage, 8

Basis, 20, 22Betragsungleichungen, 31

Bild, 36Bildmenge, 36binomische Formeln, 17Bogenlange des Einheitskreises, 16Bruchrechnung, 17Bruchungleichungen, 29

Definitionsbereich, 36Definitionsmenge, 26

Eigenschaft, 11, 12Einheitskreis, 40Element einer Menge, 10elementare Funktionen, 47Exponent, 20Exponentialfunktion, 48

Fallunterscheidungen, 29Funktion, 36

gerade, 44symmetrische, 44ungerade, 44

Funktionenelementare, 47

ganze Zahlen, 15gerade Funktion, 44Graph einer Funktion, 36

Hintereinanderausfuhrung von Funktio-nen, 37

injektiv, 45Intervall, 18

abgeschlossenes, 18offenes, 18

53

Index

kartesisches Produkt, 13, 32Kreisgleichung, 40Kreuzprodukt, 13

Losungsmenge, 17, 26leere Menge, 12Logarithmengesetze, 23Logarithmus

Basis, 22Logarithmusfunktion, 48Logharithmus, 22logische Verknupfungen, 9

maximale Wertemenge, 38maximaler Definitionsbereich, 38Menge, 10monoton, 43

fallend, 43wachsend, 43

naturliche Zahlen, 15Negation, 14negative Zahlen, 47nicht negative Zahlen, 47

Obermenge, 11

Parabel, 27, 28Polynom, 49

n-ten Grades, 49positive Zahlen, 47Potenz, 20

gebrochene, 21Potenzfunktionen, 47Potenzgesetze, 20

quadratische Gleichungen, 26quadratische Ungleichungen, 26quadratisches Erganzen, 26Quantoren, 12

rationale Gleichung, 28rationale Zahlen, 15reelle Zahlen

Rechenregeln, 17reellwertige Funktion, 38relatives Komplement, 12

Schnittmenge, 12streng monoton, 43symmetrisch, 44

Teilmenge, 11

Umkehrfunktion, 45Umrechenformel, 23ungerade Funktion, 44Ungleichungen, 26

Regeln, 16

Vereinigungsmenge, 12Verkettung von Funktionen, 37Verneinung, 14

Wertebereich, 36Wertemenge, 36, 38Wurzel, 20

q-te, 20Wurzelgesetze, 21Wurzelgleichungen, 28

Zuordnungsvorschrift, 36

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