Differentialrechnung

Vorkurs 2019

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Mathematik macht Freu(n)de Vorkurs – Differentialrechnung

Steigungsmessung von Geraden

Wie misst man die Steigung von Geraden?

AB – Steigungsmessung von Geraden

Mathematik macht Freu(n)de Vorkurs – Differentialrechnung

Steigungsmessung an Funktionsgraphen

Ein Funktionsgraph modelliert das Profil eines Hugels:

Wo ist der tiefste Punkt?

Wo ist der hochste Punkt?

Wo geht es am steilsten bergauf?

Allgemein:Wie misst man die Steigung des Funktionsgraphenin einem Punkt?

Arbeitsblatt – Differentialquotient

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Von Sekanten zur Tangente

Kreis:

Was sind Sekanten durch den Punkt A?

Was ist die Tangente im Punkt A?

Funktionsgraph:

Was sind Sekanten durch den Punkt A?

Was ist die Tangente im Punkt A?

Steigung der Tangente:

f ′(x0) = limh→0

f(x0 + h) − f(x0)

h

Arbeitsblatt – Differentialquotient

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Anderungsraten

s(t) . . . zuruckgelegter Weg in Metern nach t Sekunden

Mittlere Anderungsratevon s im Zeitraum [20 s, 50 s]

Steigung der Sekante

s(50) − s(20)

50 − 20= 28,16 m/s

Mittlere Geschwindigkeit in [20 s, 50 s]

Lokale Anderungsratevon s zum Zeitpunkt t = 20 s

Steigung der Tangente

s′(20) = 24,48...m/s

Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t = 20 s

KH – Differenzieren IMathematik macht Freu(n)de Vorkurs – Differentialrechnung

Qualitative Untersuchung von Funktionen

Gegeben:Graph von f

Gesucht:Graphen von f ′ und f ′′

f ′ wechselt das Vorzeichen.Was bedeutet das fur f?

f ′′ wechselt das Vorzeichen.Was bedeutet das fur f ′?Was bedeutet das fur f?

AB – Ableitungen hoherer Ordnung

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Ableitungsregeln

Welche Regeln helfen beimErmitteln von Ableitungen?

a(x) = 5 · x3 − 3 · x2 + 4 · x− 3

b(x) = 2 · x · ex

c(x) = ln(x2 + 42)

d(x) =sin(x)

x2 + 1+ 6

SRDP-Formelsammlung

KH – Differenzieren I

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Optimierungsaufgaben

Rechteckiger Karton mit Seitenlangen a = 21 cm und b = 30 cm

x

xx

xx

x

x x

21− 2 · x

30−2·x x

Das Volumen V der gefalteten Schachtel hangt von x ab.

Fur welche Zahl x ist das Volumen so groß wie moglich?

AB – Optimierungsaufgaben

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First derivative test

f ist eine differenzierbare Funktion.

Gesucht ist eine Stelle xmax in [a, b], an derdie Funktion f den großten Funktionswert annimmt.

Welche Stellen in [a, b] kommen dafur in Frage?

KH – Differenzieren IIMathematik macht Freu(n)de Vorkurs – Differentialrechnung

Stammfunktionen

Welche Beziehung besteht zwischeneiner Funktion f und jeder ihrerStammfunktionen?

Warum sind sowohl F als auch GStammfunktionen von f?

Welche Regeln helfen beimErmitteln von Stammfunktionen? SRDP-Formelsammlung

AB – Stammfunktionen

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Uberblick zu den Kompetenzmaterialien

Paket 1

KH – Differenzieren IAB – DifferentialquotientAB – Steigungsmessung von Geraden

Paket 2

KH – Differenzieren IIAB – Ableitungen hoherer OrdnungAB – Optimierungsaufgaben

Paket 3

{KH – StammfunktionenAB – Stammfunktionen

Paket 4

AB – Newtonsches NaherungsverfahrenTB – KurvenuntersuchungenTB – Umgekehrte Kurvenuntersuchungen

Kompetenzmaterialien online verfugbar: mmf.univie.ac.at/materialien

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