mathématiques des systèmes et signaux à temps continu gel

Session S2 Hiver 2008

Mathématiques des systèmes et signaux à temps continu

GEL 211 / GIF 230

Roch Lefebvre Professeur titulaire

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Partie 1

Notions de systèmes et Signaux

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Hiver 2008 GEL211 - Systèmes et Signaux GIF230 - Mathématiques des Signaux Continus Notions de systèmes et signaux Roch Lefebvre, Professeur titulaire

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GEL211 – Mathématiques des Signaux Continus GIF230 – Mathématiques des Signaux Continus

Notions de Systèmes et Signaux 1.0 Introduction Un signal peut être défini de façon générale comme une quantité qui varie dans le temps et qui transporte de l’information (par exemple, un voltage sur une ligne de transmission). Un système, dans ce contexte, sera vu comme un élément fonctionnel (par exemple, un filtre analogique) qui agit sur un ou des signaux d’entrée pour produire un un ou des signaux en sortie. Nous nous limiterons au cas où le système a une seule entrée et une seule sortie. Un système peut être décrit de plusieurs façons. Un filtre analogique, par exemple, peut être décrit par ses composantes (résistances, condensateurs, transistors, amplificateurs, etc.). Une telle description permet de réaliser le filtre pour le mettre en œuvre dans une application réelle. Pour comprendre le fonctionnement d’un système, il faut cependant des outils d’analyse et de design qui permettent de prédire la sortie pour une entrée donnée (analyse), ou encore qui permettent de choisir les composantes du système pour obtenir des caractéristiques désirées en sortie (design). Les outils d’analyse et de design sont essentiellement des outils mathématiques et informatiques. Les outils mathématiques permettent de formaliser la description des signaux et des systèmes, et les outils informatiques permettent de simuler numériquement les systèmes pour en analyser le comportement. Nous étudierons dans ce cours à la fois les outils mathématiques, et un exemple d’outil informatique pour l’analyse des systèmes (MATLAB et SIMULINK). Il faut insister sur le fait que ce cours n’est pas un cours de Maths… Le formalisme donnera parfois cette impression (notamment lorsqu’il sera question de l’analyse de Fourier et de la convolution), mais il faut se rappeler que les mathématiques ne sont pas ici une fin en soi. Elles sont plutôt un langage utile et très pratique (en fait, incontournable…) pour explorer les propriétés et le fonctionnement des systèmes.

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2.0 Systèmes LTI Les systèmes étudiés dans ce cours seront tous Linéaires et Invariants dans le Temps (en anglais, « LTI systems » pour « Linear Time Invariant Systems »). Un très grand nombre de systèmes ont cette caractéristique LTI, de sorte qu’il est tout à fait approprié de se limiter à cette catégorie de systèmes. De façon générale (et pour anticiper un peu…), un système est Linéaire et Invariant dans le Temps si la sortie y et l’entrée x sont reliées par une équation différentielle linéaire à coefficients constants. Par exemple, l’équation suivante décrit un système LTI (d’ordre 2): y’’ - 2 y’ + 3 y = x alors que ce n’est pas le cas pour les équations suivantes : y’’ + t y’ = 3 x (coefficient t non constant) (y’’)2 + y’ = x (équation non-linéaire) 2.0.1 Invariance dans le temps On peut aussi traiter de la linéarité et de l’invariance dans le temps de façon plus physique (et intuitive). Ainsi, un système est Invariant dans le Temps si la forme du signal de sortie ne dépend pas de l’instant où le signal d’entrée est appliqué. Autrement dit, un décalage pur dans le temps du signal d’entrée ne produira qu’un décalage pur dans le temps du signal de sortie. Ceci est illustré à la figure suivante.

Système LTI

Système LTI

t0 t0

x(t) y(t)

x(t- t0) y(t- t0)

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2.0.2 Linéarité Un système est linéaire si la réponse à une somme d’entrées est égale à la somme des réponses individuelles. Par exemple, si

la réponse à x1(t) est y1(t) et que

la réponse à x2(t) est y2(t), alors

la réponse à x1(t) + x2(t) sera y1(t) + y2(t). On appelle également cette propriété le principe de superposition, i.e. que superposer les entrées (signaux simultanés) produira en sortie une superposition des sorties individuelles. 2.0.3 Description d’un système LTI Une description très compacte, et très utile, d’un système LTI est sa fonction de transfert H(s), sur laquelle sous reviendrons plus en détails. Celle-ci donne une information essentiellement fréquentielle sur le comportement du système. Plus précisément, la fonction de transfert indique le gain et le déphasage que va subir toute sinusoïde pure si elle est appliquée à l’entrée du système LTI. En effet, si on applique une sinusoïde pure à l’entrée d’un système, il en sortira une sinusoïde pure de même fréquence, mais d’amplitude et de phase en général différentes. Cette constatation est fondamentale : la sinusoïde est une fonction propre des systèmes LTI, i.e. qu’elle garde sa forme en sortie (!!!). On ne peut en dire autant d’aucun autre signal (sauf les exponentielles complexes, mais qui sont en fait composées d’un cosinus - partie réelle – et d’un sinus – partie imaginaire). La figure ci-dessous donne un exemple SIMULINK d’un système LTI d’ordre 2, de fonction de transfert H(s) = 1 / (s2 + 0.2 s + 1), où on a appliqué en entrée une sinusoïde pure de fréquence 1 radian par seconde. On montre à la droite de la figure le signal d’entrée et le signal de sortie. On observe que la sortie garde la forme sinusoïdale de

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l’entrée, sauf pour la période transitoire initiale qui correspond au fait que le système est initialement au repos. On peut voir aussi qu’une fois en régime permanent (après 20 secondes, dans la figure ci-dessous), l’amplitude et la phase de la sinusoïde de sortie sont différents de l’amplitude et de la phase du signal d’entrée. On verra qu’on peut calculer ces valeurs (amplitude et phase en sortie) avec la fonction de transfert H(s). La figure ci-dessous montre maintenant le même système, mais dans le cas où le signal d’entrée est une fonction triangulaire périodique. On observe que cette fois-ci, la sortie est nettement différente de l’entrée.

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On comprend donc que la sinusoïde est un signal qui va jouer un rôle important dans l’analyse des systèmes et des signaux. Une autre représentation d’un système LTI est sa réponse impulsionnelle h(t). Physiquement, la réponse impulsionnelle est la sortie mesurée après une impulsion forte et de très courte durée en entrée. La résonnance d’une cloche suite à un coup de marteau est sa réponse impulsionnelle. De même, en donnant une brève impulsion (une « pichnotte ») à une masse suspendue à un ressort, on mesure la réponse impulsionnelle du système masse-ressort. A première vue, la fonction de transfert H(s) et la réponse impulsionnelle h(t) d’un système contiennent des informations très différentes (la première, une information fréquentielle, et la seconde, une information temporelle). Et pourtant, H(s) et h(t) contiennent la même information. On verra en effet que H(s) et h(t) sont reliées par la Transformée de Laplace : on prenant la Tranformée de Laplace de h(t), on obtient H(s). Pour l’instant, on peut voir le lien entre H(s) et h(t) d’une autre façon. Considérez une impulsion pure, i.e. un signal nul partout dans le temps, sauf à t=0 où il prend une valeur très grande (infinie…). On peut construire une telle impulsion en sommant des sinusoïdes de toutes les fréquences. La figure suivante montre quelques sinusoïdes (des cosinus) de phase nulle et d’amplitude unitaire. L’axe horizontal est l’axe temporel. On remarque qu’à t=0, tous ces cosinus passent par le même point (ils sont tous en phase à t=0). Ailleurs dans le temps, chaque cosinus passe par des valeurs différentes, certaines positives et d’autres négatives. Ainsi, en additionant plusieurs cosinus, on devrait avoir une très grande valeur à l’origine (t=0) puisqu’ils s’additionnent tous de façon constructive à ce moment. Par contre, lorsque t≠0, la somme

-0.5 0 0.5-1

-0.5

0

0.5

1

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des cosinus devrait (intuitivement) être petite puisque des valeurs positives et négatives vont s’additionner. Effectivement, en prenant un nombre de plus en plus grand de cosinus, la somme tend vers une impulsion pure à t=0, comme le montrent les figures suivantes où K est le nombre de cosinus additionnés ensemble (pour être plus précis, on additionne les K premières harmoniques de période fondamentale T=1 seconde --- nous reviendrons à l’impact de ce détail…). On arrive ainsi à la conclusion suivante : une impulsion pure est égale à la somme de cosinus à toutes les fréquences, de phase nulle et d’amplitude constante. Autrement dit, une impulsion contient toutes les fréquences en même temps. Quel est l’impact pour les systèmes LTI? Simplement ceci : puisque l’impulsion pure est la somme de toutes les fréquences, la réponse à l’impulsion pure (réponse impulsionnelle h(t)) est donc la réponse simultanée à toutes les fréquences (principe de linéarité). La figure ci-dessous illustre ce principe. h(t) contient donc bien toute l’information fréquentielle contenue dans H(s) -- il faut juste aller la chercher, i.e. prendre la transformée de h(t). impulsion réponse à l’impulsion somme de toutes réponse à toutes les fréquences les fréquences

K = 1 K = 5

-0.5 0 0.50

0.5

1

1.5

2

-0.5 0 0.5-5

0

5

10

15

-0.5 0 0.5-20

0

20

40

60

K = 20

-0.5 0 0.5-200

0

200

400

600

K = 200

Système LTI

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On a donc maintenant 2 représentations d’un système : sa fonction de transfert H(s), et sa réponse impulsionnelle h(t). Ce sont deux « points de vue » différents du même système, qui contiennent la même information. Cette notion de « représentation » est très importante. On n’invente rien de nouveau en considérant h(t) au lieu de H(s), on ne fait que traduire la même information dans un format différent. L’application va nous dicter la forme la plus utile de représentation du système. Par exemple, pour calculer rapidement la réponse du système à une sinusoïde pure, la fonction de transfert H(s) est la meilleure représentation pusqu’elle donne directement le gain et le déphasage du système pour toute fréquence. Par contre, pour avoir une bonne idée de la forme d’une transitoire (par exemple, la réponse à une fonction échelon ou à une onde carrée), la réponse impulsionnelle h(t) donne directement la forme temporelle désirée. On verra aussi que h(t) est au centre de l’opération de convolution, qui donne la relation entrée-sortie d’un système LTI. 2.1 Autres propriétés importantes des systèmes

2.2.1 Mémoire Un système sera considéré à mémoire si la valeur instantanée de la sortie dépend de la valeur passée du signal d’entrée ou du signal de sortie. Une résistance est un exemple de système sans mémoire, alors qu’on condensateur est un système avec mémoire. La plupart des systèmes traités seront avec mémoire. 2.2.2 Inversibilité Un système est inversible si à une entrée donnée correspond une seule et unique sortie. 2.2.3 Causalité Un système est causal si la sortie ne dépend pas du futur de l’entrée. Un système physique ne peut être que causal…

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2.2.4 Stabilité Un système est stable si un signal petit et de durée finie en entrée ne produit pas un signal divergent et de durée infinie en sortie. La stabilité des systèmes est un élément très important à prendre en compte lors de leur conception.

3.0 Interconnexion de systèmes On décompose souvent un système en sous-systèmes de façon à faciliter son analyse ou sa conception. On retrouve ainsi plusieurs sous-systèmes interconnectés, qui forment ensemble le système complet. Ces sous-systèmes peuvent être interconnectés de plusieurs façons. Les trois modes principaux d’interconnections sont : en série, en parallèle, et avec feedback. Ceci est illustré dans les figures ci-dessous, où les systèmes et les signaux sont représentés dans le domaine de Laplace (fonction de transfert H(s) pour les systèmes, Transformée de Laplace pour les signaux).

Interconnection en série

Interconnection en parallèle

Interconnection avec feedback

H1(s) H2(s) X(s) Y(s)

H1(s)

H2(s)

X(s) Y(s)

H1(s)

H2(s)

X(s) Y(s)

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On montre facilement que la fonction de transfert totale de chacun de ces systèmes est :

pour le système interconnecté en série;

pour le système interconnecté en parallèle;

pour le système avec feedback. 4.0 Propriétés et manipulation des signaux Nous allons maintenant porter notre attention aux signaux, à leur représentation dans le temp et dans les fréquences, et à quelques propriétés importantes 4.0.1 Signaux périodiques Une classe importante de signaux est formée des signaux périodiques. Par définition, un signal périodique est un signal ayant une période fondamentale, qui se répète identiquement jusqu’à l’infini. Une sinusoïde pure est un exemple de signal périodique. t (ms)

)( )()( 21 sHsHsH =

)( )()( 21 sHsHsH +=

)()(1

)()(21

1

sHsHsHsH

−=

0 10 20 30 40 50 60 70-1

-0.5

0

0.5

1

T

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La figure ci-haut montre un exemple de sinusoïde, de période T = 20 ms. Ce signal se répète de façon parfaitement périodique, de sorte qu’il est entièrement définit par une seule période (la période fondamentale). Remarquez que pour décrire complètement le signal, il suffit d’en prendre une seule période, qui commence n’importe où – l’important est d’avoir une période entière. Une représentation équivalente (et qui sera très utile) d’un signal périodique est son spectre de fréquences (ou spectre de Fourier). Il s’agit alors de représenter non pas le signal temporel lui-même (comme la figure ci-haut), mais plutôt l’énergie que l’on retrouve dans le signal à chaque fréquence. L’axe horixzontal est alors l’axe des fréquences. Pour la sinusoïde pure ci-haut, la seule fréquence présente est à 1/T = 1/0.020 = 50 Hz. Ainsi, le spectre de fréquence devrait être très simple – une seule « raie », à la position 50 Hz. Ceci est illustré à la figure ci-dessous, qui montre le module du spectre de Fourier de la sinusoïde ci-haut. On verra plus tard (chapitre sur les séries de Fourier) quelle devrait être l’amplitude de cette « raie spectrale » dans le cas du spectre d’une sinusoïde pure. On verra aussi la notion de spectre de phase. fréquence (Hz) Les représentation temporelle (sinusoïde) et fréquentielle (spectre de Fourier) sont deux points de vues du même objet (i.e. le signal). Il faut insister sur ce point : on peut décrire un signal dans le temps, ou dans les fréquences, mais on a dans les deux cas la même information. (Un peu comme h(t) et H(s) qui donnent, dans deux formes différentes – temporelle et fréquentielle -- la même information d’un système).

0 50 100 150 2000

1000

2000

3000

4000

5000

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La figure suivante montre maintenant la somme de deux sinusoïdes pures, la première à 50 Hz et la secondes à 130 Hz :

x(t) = sin(2*pi*50*t) + cos(2*pi*130*t) t (ms) On ne voit pas à première vue de période dans ce signal (bien qu’il est formé de la somme de deux signaux périodiques – deux sinusoïdes). En fait, la période d’un signal formé de la somme de signaux périodiques est le plus petit commun multiple des périodes individuelles. Ici, la période devrait donc être le plus petit commun multiple entre 20 ms (1/50*1000) et 7.7 ms (1/130*1000). Ce n’est pas simple de trouver un facteur commun, mais en prenant 7.7*26, on tombe sur la valeur 200.2 ms, qui est presque un multiple entier de 50 ms. Ainsi, la période commune devrait être très grande, c’est pourquoi on n’observe pas de période commune sur la figure ci-haut. Quel devrait être le spectre de fréquences de ce signal? Puisqu’on a deux sinusoïdes (de même amplitude – voir plus haut), on ne devrait voir que deux « raies spectrales », la première à 50 Hz et la seconde à 130 Hz. C’est ce que montre la figure suivante. fréquence (Hz)

0 10 20 30 40 50 60 70-2

-1

0

1

2

0 50 100 150 2000

1000

2000

3000

4000

5000

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On peut donc résumer en disant que le spectre de fréquences est le résultat d’une analyse qui indique à quelle(s) fréquence(s) se situe l’énergie du signal. En général, un signal sera beaucoup plus complexe que les deux exemples précédents. La figure suivante donne un exemple de signal de parole, d’une durée de 65 ms. t (ms) On remarque un niveau de périodicité (dû à la vibration des cordes vocales). Ceci laisse supposer que le signal doit être formé (du moins en partie) de la somme de signaux périodiques, en fait de la somme de sinusoïdes. Effectivement, le module du spectre de fréquences de ce signal de parole est montré à la figure suivante : fréquence (Hz) On observe ainsi que ce segment de signal de parole est formé, en première analyse, de la somme de 4 sinusoïdes, respectivement à (environ) 290, 580, 870 et 1160 Hz. Ces 4 sinusoïdes, de fréquences régulièrement espacées, sont appelées des harmoniques. La période

0 10 20 30 40 50 60 70-2

-1

0

1

2x 10

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 40000

5

10

15x 105

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commune de ces harmoniques est la période qui correspond à la plus petite fréquence – la période fondamentale. Ici, la période fondamentale est 1/290 = 3.4 ms environ. En retournant au signal temporel plus haut, on voit effectivement qu’il comporte un peu moins de 3 périodes dans 10 ms, ce qui correspond bien à une période de 3.4 ms. Notez que les raies spectrales de ce signal de parole ne sont pas aussi étroites que les raies spectrales de sinusoïdes pures (voir plus haut). Ceci a plusieurs causes. La raison principale est que le signal de parole observé varie dans sa durée de 65 ms, de sorte que ce ne sont pas tout à fait les mêmes sinusoïdes (pas exactement les mêmes fréquences) au début et à la fin du signal. Ceci élargie les raies spectrales observées. Nous verrons dans le chapitre sur les séries de Fourier comment on peut « extraire » l’information spectrale d’un signal temporel. Pour l’instant, il suffit de retenir que le spectre de fréquences (ou spectre de Fourier) montre l’énergie du signal pour chaque fréquence. C’est pour cette raison que le spectre d’une sinusoide pure donne une seule raie spectrale – il n’y a qu’une sinusoïde présente, ce qui concentre l’énergie à une seule fréquence dans le spectre. Disons en terminant qu’un signal x(t) est périodique si on peut écrire x(t) = x(t + kT) où k est un entier quelconque et T est la période du signal. Ainsi, tel que spécifié au début de cette section, un signal périodique est entièrement déterminé par sa période fondamentale de durée T, puisqu’on peut calculer ses valeurs à l’extérieur de la période fondamentale avec l’équation ci-haut. 4.0.2 Manipulation des signaux Cette section présente quelques éléments de formalisme sur la manipulation (mathématique) des signaux. Essentiellement, il s’agit de transformer la variable indépendante (le temps t), afin de modifier le signal de façon appropriée. La figure suivante montre un signal x(t) :

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x(t) : t En multipliant la variable t par un facteur différent de 1, on peut dilater ou contracter ce signal. Par exemple, la prochaine figure montre comment compresser le signal en multipliant l’échelle des temps par un facteur plus grand que 1. On montre ici x(2t) : De même, pour dilater le signal, on multiplie l’échelle des temps par un facteur plus petit que 1. On montre ici x(t/2) :

-1 -0 5 0 0 5 1-20

0

20

-1 -0.5 0 0.5 1-20

0

20

-1 -0.5 0 0.5 1-20

0

20

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Pour les décalages temporels, il suffit d’ajouter un terme (« offset ») à l’échelle des temps. On montre ci-dessous les signaux x(t), x(t+1) et x(t-1) : x(t) : x(t+1) : x(t-1) : Un « offset » positif signifie un décalage vers la gauche (une avance), et un « offset » négatif signifie un décalage vers la droite (un retard). On se trompe régulièrement avec ce signe. Pensez donc plutôt en termes d’avance (« offset » positif donc décalage vers la gauche) ou de retard (« offset » négatif donc décalage vers la droite). Une dernière propriété importante de certains signaux est la parité. Cette propriété va également se retrouver lorsqu’on étudiera de plus près les spectres de Fourier. Un signal (ici, un signal temporel) est pair si x(-t) = x(t)

-2 -1 0 1 2 30

0.5

1

1.5

-2 -1 0 1 2 30

0.5

1

1.5

-2 -1 0 1 2 30

0.5

1

1.5

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et il est impair si x(-t) = - x(t) Vérifiez par exemple que le signal cos(5t) est un signal pair et que le signal sin(5t) est un signal impair. Tout signal peut être décomposé en une partie paire et une partie impaire, ce que l’on écrit : x(t) = xp(t) + xi(t) Pour déterminer xp(t) et xi(t), les parties paire et impaire, il suffit de noter que xp(-t) = xp(t) puisque celui-ci est pair, et que xi(-t) = - xi(t) puisque celui-ce est impair. Ainsi, on peut écrire les deux équations suivantes : x(t) = xp(t) + xi(t) x(-t) = xp(-t) - xi(-t) En résolvant ces deux équations pour xp(t) et xi(t), on trouve

xp(t) = 0.5 * [ x(t) + x(-t) ] et xi(t) = 0.5 * [ x(t) - x(-t) ] i.e. que la partie paire de x(t) est égale à la demi-somme de x(t) et de sa version inversée dans le temps, x(-t), et que la partie impaire de x(t) est égale à la demi-différence de ces mêmes signaux. Les figures suivantes illustrent ceci.

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x(t) : x(-t) : xp(t) : xi(t) :

-1 -0.5 0 0.5 1-10

0

10

20

-1 -0.5 0 0.5 1-10

0

10

20

-1 -0.5 0 0.5 1-5

0

5

10

-1 -0.5 0 0.5 1-10

-5

0

5

10

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4.0.3 Energie et puissance Une information importante d’un signal est son énergie et sa puissance (énergie par unité de temps). L’énergie d’un signal x(t), sur un intervalle t1 à t2, est définie mathématiquement comme suit :

Sur le même intervalle, la puissance est définie comme suit :

Ainsi, la puissance apparaît simplement comme l’énergie par unité de temps. On comprend bien que pour des signaux de durée infinie et dont l’amplitude ne tend pas vers zéro (exemple : une sinusoïde), l’énergie prend une valeur infinie. Ainsi, seule la puissance du signal aura un sens dans ce cas. Pour un signal périodique, en fait, on donne souvent la puissance mesurée sur une période (t2 – t1 = la période du signal). Une des conditions de stabilité d’un système LTI est que sa réponse impulsionnelle doit d’énergie finie (i.e. qu’elle ne diverge pas).

E x t dtt

t

= ∫ ( ) 2

1

2

Pt t

x t dtt

t

=− ∫1

2 1

2

1

2

( )

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Partie 2

Nombres complexes

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Hiver 2008 GEL210 - Systèmes et Signaux GIF230 - Mathématiques des Signaux Continus Nombres complexes Roch Lefebvre, Professeur titulaire

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GEL210 – Systèmes et Signaux GIF230 – Mathématiques des Signaux Continus

Nombres complexes 1.0 Introduction Ce chapitre est une révision de la théorie des nombres complexes, un outil mathématique incontournable en génie. Elle est notamment au centre de l’analyse spectrale (analyse de Fourier) qui permet de décomposer un signal en composantes fréquentielles. Les exponentielles complexes de la forme ejωt y jouent un rôle central. On doit également être capable de manipuler les nombres complexes dans l’analyse et la conception de filtres analogiques. Un nombre complexe z s’exprime comme la somme d’une partie réelle et d’une partie imaginaire : z = a + j b

où a et b sont des nombres réels, et j = √-1. Ce nombre j est une quantité imaginaire, qui a été introduite pour solutionner certains problèmes n’ayant pas de solution dans le domaine des nombres réels. Par exemple, si on demande de déterminer la solution de l’équation x2 + x + 1 = 0 On trouve

Ce nombre, √-3, ne pouvant être évalué dans le domaine des nombres réels (la racine d’un nombre négatif n’existe pas), on fait alors intervenir la quantité imaginaire j = √-1, et on pose

321

21

2,1 −±−=x

)3(21

21

)3()1(21

21

)3)(1(21

21

2,1

j

x

±−=

−±−=

−±−=

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2

Ainsi, les racines de ce polynôme d’ordre 2 ont toutes deux une partie réelle égale à –1/2, et une partie imaginaire égale à soit j/2 √3 (première racine) ou -j/2 √3 (deuxième racine). La partie imaginaire étant « dans un autre espace » par rapport à la partie réelle, il est naturel de les représenter sur des axes indépendants, i.e. orthogonaux. Ainsi, on représente un nombre complexe dans le plan, avec sa partie réelle sur l’axe horizontal et sa partie imaginaire sur l’axe vertical. Le nombre complexe z est ainsi vu comme un point dans le plan (on dit, le plan complexe) dont les composantes réelle et imaginaire sont les coordonnées d’un vecteur en 2 dimensions (coordonnées rectangulaires). Alternativement, le point z peut être décrit en coordonnées polaires, i.e. par un rayon r et une phase θ. On a le lien suivant entre ces coordonnées : a = r cos (θ) b = r sin (θ) et

r2 = a2 + b2 θ = arctan (b / a) Ainsi, z = a + j b = r cos (θ) + j r sin (θ)

Nombre complexe z

Re(z)

Im(z)

a

b r

θ

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3

Cette forme polaire d’un nombre complexe peut être écrite de façon plus compacte par le théorème d’Euler : ejθ = cos (θ) + j sin (θ) Cette relation n’est pas très intuitive, mais elle peut se démontrer assez facilement en développant les termes en séries de Taylor (retour au CEGEP…). Ainsi, on peut démontrer que cos (θ) = 1 - θ2/(2!) + θ4/(4!) - θ6/(6!) + … sin (θ) = θ - θ3/(3!) + θ5/(5!) - θ7/(7!) + … En développant de la même manière ejθ, on trouve ejθ = 1 + j θ - θ2/(2!) - j θ3/(3!) + θ4/(4!) + j θ5/(5!) + … = 1- θ2/(2!) + θ4/(4!) + … + j θ - θ3/(3!) + θ5/(5!) + … = cos (θ) + j sin (θ) Cette équivalence se présente comme suit dans le plan complexe :

Point z = rejθ

Re(z)

Im(z)

r cos(θ)

r sin(θ) r

θ

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La forme exponentielle rejθ permet de simplifier les calculs sur les complexes, notamment l’opération de division, comme le montrera la prochaine section. 2.0 Opérations sur les nombres complexes Les opérations d’addition, de soustraction, de multiplication et de division sont définies sur les complexes. Nous les traitons dans ce qui suit. On notera que la forme rectangulaire est plus appropriée pour l’addition et la soustraction, alors que la forme exponentielle rejθ est plus appropriée pour la multiplication et la division. 2.0.1 Addition L’addition de deux nombres complexes z1 et z2 est définie comme suit : Soient deux nombres complexes

z1 = a1 + j b1 z2 = a2 + j b2

Alors, la somme de ces deux nombres est

z3 = z1 + z2 = a1 + j b1 + a2 + j b2 = (a1 + a2) + j (b1 + b2)

i.e. qu’il suffit d’additionner séparément les parties réelles et les parties imaginaires. 2.0.2 Soustraction La soustraction est définie de la même façon que l’addition. Soient deux nombres complexes

z1 = a1 + j b1 z2 = a2 + j b2

Alors, la différence entre ces deux nombres est

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z3 = z1 - z2 = a1 + j b1 - a2 + j b2 = (a1 - a2) + j (b1 - b2)

i.e. qu’il suffit de soustraire séparément les parties réelles et les parties imaginaires. 2.0.3 Multiplication La multiplication de deux nombres complexes ressemble davantage à une multiplication de polynômes. Plus précisément, soient deux nombres complexes

z1 = a1 + j b1 z2 = a2 + j b2

alors, le produit de ces deux nombres est

z3 = z1 z2 = (a1 + j b1) (a2 + j b2) = a1 a2 + j2 b1 b2 + j (a1 b2 + a2 b1) = (a1 a2 - b1 b2)+ j (a1 b2 + a2 b1)

(notez que j2 =-1). Avec la forme exponentielle, il est plus facile d’effectuer l’opération de multiplication, de même que d’en interpréter le résultat. Soient donc deux nombres complexes en forme exponentielle :

z1 = r1ejθ1 z2 = r2ejθ2

Alors, le produit de ces deux nombres est

z3 = z1 z2

= r1ejθ1 r2ejθ2 = (r1 r2) ej(θ1+θ2)

Le résultat du produit de deux nombres complexes a donc un module qui est le produit des modules, et une phase qui est la somme des

Page 29


6

phases. Avec cette représentation, il est donc facile de situer le résultat de la multiplication dans le plan complexe. 2.0.4 Division Il n’est pas recommandé d’effectuer la division de nombres complexes dans leur représentation rectangulaire. La forme exponentielle est beaucoup plus appropriée. On donne ici cependant le résultat d’une division avec la représentation rectangulaire, puis on montrera le calcul pour deux nombres en représentation exponentielle. Soient d’abord deux nombres complexes en forme rectangulaire :

z1 = a1 + j b1 z2 = a2 + j b2

Alors, le résultat de la division de ces deux nombres est Dans ce calcul, nous avons multiplié le numérateur et le dénominateur par le complexe conjugué du dénominateur (multiplication par « 1 »), de façon à se débarrasser des valeurs complexes au dénominateur. Le même calcul, avec la forme exponentielle, est beaucoup plus simple. Soient donc deux nombres complexes en forme exponentielle :

z1 = r1ejθ1 z2 = r2ejθ2

Alors, le résultat de la division de ces deux nombres est

z3 = z1 / z2

= r1ejθ1 / r2ejθ2 = (r1 / r2) ej(θ1−θ2)

22

22

21122121

22

22

22

11

22

11

2

13

)( ba

babajbbaajbajba

jbajba

jbajba

zzz

+−++

=−−

++

=++

==

Multiplication par « 1 »

Page 30


7

Le résultat de la division de deux nombres complexes a donc un module qui est le ratio des modules, et une phase qui est la différence des phases. Notez la similitude du résultat avec la multiplication. 2.0.5 En résumé

Pour additionner deux nombres complexes : - faire la somme des parties réelles - faire la somme des parties imaginaires

Pour soustraire deux nombres complexes :

- faire la différence des parties réelles - faire la différence des parties imaginaires

Pour multiplier deux nombres complexes :

- faire le produit des modules (ou rayons) - faire la somme des phases

Pour diviser deux nombres complexes :

- faire le ratio des modules (ou rayons) - faire la différence des phases

3.0 Exercices sur les opérations Exercice 3.1 Donnez la forme exponentielle (polaire) des nombres complexes suivants.

z1 = 3 + 2 j z2 = 4 - 5 j

Réponses : z1 = 3.6 e 0.588 j ; z2 = 6.4 e - 0.896 j Exercice 3.2 Donnez la forme rectangulaire des nombres complexes suivants.

z1 = 1.5 e π/2 j z2 = 3 e −0.5 j

Page 31


8

Réponses : z1 = 0 + 1.5 j ; z2 = 2.63 - 1.44 j Exercice 3.3 Pour les paires de nombres complexes suivants, calculez la somme, la différence, le produit et le résultat de la division. Donnez tous les résultats dans la forme polaire.

z1 = 3 + 5 j z2 = -1 – 2 j

z3 = 2 e 1.5j

z4 = 3 e -j Réponses : z1 + z2 = 3.6 e 0.983 j ; z1 - z2 = 8.1 e 1.052 j ; z1 z2 = 13.0 e -1.004 j ; z1 / z2 = 2.6 e 3.065 j ;

z3 + z4 = 1.8 e -0.292 j ; z3 – z4 = 4.8 e 1.887 j ; z3 z4 = 6.0 e 0.500 j ; z3 / z4 = 0.7 e 2.500 j ; 4.0 Les exponentielles tournantes Les fonctions harmoniques sin(ωt) et cos(ωt) sont très importantes pour l’analyse des signaux et des systèmes. Notamment, dans un système Linéaire et Invariant dans le Temps (LTI), seule une fonction harmonique en entrée conserve sa forme en sortie (i.e., un sinus pur en entrée demeure un sinus pur en sortie, de même fréquence, mais avec une amplitude et une phase en général différentes). On ne peut en dire autant d’aucune autre fonction (essayez avec un générateur de signaux de faire passer une fonction périodique triangulaire ou carrée à travers un filtre linéaire, et observez la sortie). Comme décrit plus haut, un nombre complexe z = rejθ est un point dans le plan complexe, de rayon r et de phase θ. Si on fait varier la phase θ linéairement avec le temps, i.e.

θ(t) = ω t

Page 32


9

où ω est la fréquence angulaire en radians par seconde, on a alors z(t) = rejωt = r cos (ω t) + j r sin(ω t) On obtient ainsi une fonction périodique (période = 2π/ω) dont la partie réelle est un cosinus de période 2π/ω et la partie imaginaire est un sinus de même période. Ceci se représente graphiquement comme suit :

Les parties réelle (cosinus) et imaginaire (sinus) sont alors vues comme la projection de la fonction rejωt sur le plan réel et sur le plan imaginaire, respectivement. Ces fonctions évoluent de façon périodique avec le temps, tout comme l’exponentielle tournante rejωt, qui se présente, lorsque tracée en fonction du temps, comme une fonction hélicoïdale (fonction en forme de ressort). On a ainsi une représentation très compacte de fonctions harmoniques, qui sera très utile dans l’analyse spectrale. 5.0 Exercices Exercice 5.1 En utilisant le théorème d’Euler, démontrez les expressions suivantes : (a) cos(θ) = ½ (e jθ + e -jθ)

0

0.5

1 -1 -0.5 0 0.5 1

-1

-0.5

0

0.5

1

fonction r e jωt

t

partie imaginaire

partie réelle

Page 33


10

(b) sin(θ) = 1/(2j) (e jθ - e -jθ) (c) cos2(θ) = ½ (1 + cos(2θ) ) (d) sin(θ) sin(φ) = ½ cos(θ - φ) - ½ cos(θ + φ) Réponse : il s’agit ici de faire une démonstration (voir procédural) Exercice 5.2 Soit x(t) = e-100t u(t), où u(t) est la fonction échelon, qui vaut 1 pour t>0 et 0 pour t<0. (a) Evaluer alors l’intégrale suivante :

Réponse : X(ω) = 1 / (100 + j ω) (b) Donnez le module et la phase de X(ω) en fonction de ω. Réponse :

(Attention : lorsqu’on calcule la phase, il faut bien considérer le signe de la partie réelle car certaines fonctions – calculatrices – retournent la phase entre – π/2 et π/2. Ici, par exemple, la partie réelle vaut 100, donc elle est toujours positive et la phase sera par définition toujours entre – π/2 et π/2 – ce n’est pas le cas si la partie réelle devient négative.).

∫∞

−∞=

−=t

tj dtetxX ωω )()(

221001)(

ωω

+=X

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=∠100

arctan)( ωωX

Page 34

Partie 3

Séries de Fourier

Page 35

Hiver 2008 GEL211 - Mathématiques des Signaux Continus GIF230 - Mathématiques des Signaux Continus Les séries de Fourier Roch Lefebvre, Professeur titulaire

1


Les séries de Fourier 1.0 Introduction Ce document présente les principes de l’analyse spectrale pour les signaux périodiques. Le document « Transformée de Fourier » étendra l’analyse spectrale aux signaux apériodiques. L’idée de base des séries de Fourier est la suivante :

Tout signal périodique peut se représenter comme une somme de sinusoïdes pures, dont les fréquences sont des multiples entiers de la fréquence fondamentale du signal.

L’analyse de Fourier permet alors de déterminer l’amplitude et la phase de ces sinusoïdes, de telle façon que leur somme corresponde bien au signal analysé. On comprend l’importance des séries de Fourier en se rappelant que la réponse d’un système LTI à une sinusoïde pure est facile à calculer à partir de la fonction de transfert. Ainsi, en décomposant un signal périodique quelconque en sinusoïdes pures, on peut facilement déterminer la sortie d’un système pour un signal quelconque par le principe de superposition : la réponse sera la somme des réponses individuelles pour chaque sinusoïde « contenue » dans le signal. 2.0 Bases sur les fonctions sinusoïdales Une sinusoïde est définie par une fréquence ω, une amplitude A et une phase φ : x(t) = A cos (ωt + φ) La période T de la sinusoïde est inversement proportionnelle à sa fréquence :

ωπ2

=T

Page 37


2

Graphiquement : x(t) = 10 cos (2π20 t - π/3)

t (ms) Ici, la fréquence est f=20 Hz, ou encore ω=40π rad/sec (ω=2πf). Ainsi, la période est T=1/f = 1/20 = 50 ms, comme on le voit sur la figure. La phase φ = -π/3 radians représente un retard de π/3 radians. Ainsi, x(t) passe par sa valeur maximale à t = 8.3 ms (1/6 de sa période) au lieu de t=0 (qui correspondrait à un cosinus de phase nulle). Les harmoniques d’un signal périodique sont des sinusoïdes dont les fréquences sont régulièrement espacées. Plus précisément, les harmoniques d’un signal périodique, de période T, ont des fréquences qui sont des multiples entiers de la fréquence fondamentale 1/T. Par exemple, pour un signal périodique de période T=1 seconde, les harmoniques sont les sinusoïdes de fréquence 1/T, 2/T, 3/T, …, k/T, …, i.e. 1 Hz, 2 Hz, 3 Hz, etc. La somme d’une série d’harmoniques ne peut donner qu’un signal de même période que la fondamentale. Par exemple (avec T=1): x1(t) = cos(2π t-π/2)

0 20 40 60 80 100 120-15

-10

-5

0

5

10

15

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-1

-0.5

0

0.5

1

Page 38


3

x2(t) = x1(t) – 0.7 cos(2π 2t – 2.87) x3(t) = x2(t) – 0.3 cos(2π 3t - 0.57) x4(t) = x3(t) + 0.5 cos(2π 4t – 1.37) La première figure montre la fondamentale (un sinus pur de fréquence 1 Hz). La seconde figure montre la somme de la fondamentale et de la seconde harmonique (de fréquence 2 Hz). Dans les 3e et 4e figures, on ajoute respectivement la 3e et 4e harmonique, de fréquence 3 et 4 Hz. Notez que le signal se « complexifie » à mesure qu’on ajoute des harmoniques. Notez aussi que la période demeure inchangée : elle est toujours de 1 seconde, peu importe le nombre d’harmoniques.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-2

-1

0

1

2

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-2

-1

0

1

2

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-4

-2

0

2

Page 39


4

On a ainsi construit un signal périodique, de période T=1 seconde, en additionnant 4 harmoniques de période fondamentale 1 seconde. Le résultat est le signal x4(t). Le contrôle sur la forme du signal ainsi reconstruit repose sur deux degrés de liberté pour chaque harmonique : son amplitude, et sa phase. Dans l’exemple ci-haut, on a choisit, au hasard, les amplitudes 1, -0.7, -0.3 et 0.5, et les phases sont -π/2, -2.87, -0.57 et –1.37. En notant que - cos (θ) = cos (θ − π) et - sin (θ) = sin (θ − π) on peut écrire la somme d’harmoniques avec des amplitudes uniquement positives, en ajoutant (ou en soustrayant) une phase de π à chaque harmonique d’amplitude négative: x4(t) = cos(2π t - π/2)

+ 0.7 cos(2π 2t + 0.27) + 0.3 cos(2π 3t + 2.57) + 0.5 cos(2π 4t - 1.37)

(On retire π si la phase est positive, et on ajoute π si la phase est négative, de façon à maintenir la phase entre - π et π). On appelle cette forme des séries de Fourier, la forme polaire. Ainsi, on dira que le signal x4(t) est formé de 4 harmoniques, respectivement à 1, 2, 3 et 4 Hz, dont les amplitudes sont 1, 0.7, 0.3 et 0.5, et dont les phases sont - π/2, 0.27, 2.57 et –1.37. Cette information peut être représentée sous forme de spectres. Le spectre d’amplitude donne l’amplitude de chaque harmonique d’un signal, et le spectre de phase donne la phase de chaque harmonique. Ainsi, les spectres d’amplitude et de phase du signal x4(t) sont tels que représentés dans les figures ci-dessous :

Page 40


5

Spectre d’amplitude du signal x4(t) Spectre de phase du signal x4(t) Notez qu’on a inclut une harmonique « 0 » (k=0). Ceci correspond à la composante DC du signal. Puisque x4(t) n’a pas de composante DC, l’amplitude de l’harmonique k=0 est 0.

0 1 2 3 4 50

0.5

1

1.5

k (no de l'harmonique)

Am

plitu

de

0 1 2 3 4 5-3

-2

-1

0

1

2

3

k (no de l'harmonique)

Pha

se

Page 41


6

Dans cet exemple, le numéro k de l’harmonique correspond à la fréquence (en Hz), puisque la fréquence fondamentale est 1 Hz. Ceci n’est pas le cas en général, de sorte qu’il faut toujours faire correspondre une échelle de fréquence au numéro des harmoniques. Les exponentielles complexes étant une forme compacte, et très utile, des fonctions harmoniques, on trouve une seconde représentation des harmoniques d’un signal : la forme complexe du spectre. On se base sur le théorème d’Euler, selon lequel :

Ainsi, on peut écrire

Puisqu’il faut deux exponentielle complexes (ejωt et e-jωt) pour faire un cosinus réel, chaque harmonique fera apparaître 2 raies spectrales dans le spectre complexe : une à ωt, l’autre à -ωt, correspondant à chacune des deux exponentielles complexes (tournant l’une dans le sens inverse de l’autre…). Le coefficient multipliant chacune des exponentielles complexes est à son tour un nombre complexe : il a donc une amplitude et une phase. L’amplitude est A/2 (la moitié de l’amplitude A dans la représentation polaire), et la phase est φ ou -φ (même phase que dans la représentation polaire, à un signe près pour la fréquence « négative »). Les figures suivantes montrent le spectre de Fourier, dans sa forme complexe, du signal périodique x4(t) :

( )θθθ jj ee −+=21)cos(

( )tjjtjj

tjtj

eeAeeA

eeAtA

ωϕωϕ

ϕωϕωϕω

−−

+−+

+=

+=+

22

2)cos( )()(

Page 42


7

Spectre d’amplitude (forme complexe) Spectre de phase (forme complexe) Notez bien que dans la forme complexe du spectre, on retrouve à la fois des valeurs positives et négatives de k (indice d’une harmonique). Les valeurs positives correspondent aux exponentielles de fréquence

-5 0 50

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

k (numé ro de l'harmonique)

Am

plitu

de

-5 0 5-3

-2

-1

0

1

2

3

k (numé ro de l'harmonique)

Pha

se

Page 43


8

« positive » (ejωt) et les valeurs négatives correspondent aux exponentielles de fréquence « négative » (e-jωt). Ainsi, on interprète ces spectres de la façon suivante : Le signal temporel correspondant (ici, x4(t)) est formé de la somme de 8 exponentielles complexes (par paires, elles forment un cosinus réel), de fréquences kω0, où ω0 est la fréquence fondamentale et k est le numéro de l’harmonique. Dans le cas du signal x4(t), la fréquence fondamentale est ω0 = 2π (voir pages 2 et 3). Le coefficient qui multiplie chaque exponentielle complexe est aussi un nombre complexe Aejφ, dont le module A est donné par le spectre d’amplitude, et la phase φ est donnée par le spectre de phase. Pour la première harmonique (k=±1) de x4(t), on peut donc écrire x1(t) = 0.5 ej(−π/2) ej2πt + 0.5 ej(π/2) e-j2πt = 0.5 ej(2πt-π/2) + 0.5 e-j(2πt-π/2) = cos (2πt - π/2) ce qui correspond bien à l’harmonique x1(t) décrite au bas de la page 2. On fait le même calcul pour les autres harmoniques (k=±2, ±3 et ±4). Symétries des spectres On observe facilement que le spectre d’amplitude est symétrique par rapport à k=0. De même, le spectre de phase est antisymétrique par rapport à k=0. Ceci rappelle une propriété vue sur la parité des signaux : Le spectre d’amplitude est pair Le spectre de phase est impair On comprend donc, à cause de cette propriété de parité, que l’on peut reconstruire le signal temporel avec uniquement l’information des raies spectrales de fréquences positives (k ≥ 0), l’autre moitié du spectre (k<0) pouvant en être déduit par symétrie. Avant de passer à la prochaine section, assurez-vous de bien comprendre la relation entre le domaine du temps et le domaine des

Page 44


9

fréquences. Prenez quelques temps pour résoudre les exercices suivants. Exercice 1 Affichez les spectres d’amplitude et de phase (forme polaire et forme exponentielle) des signaux suivants : x1(t) = 10 cos (2π 50 t –0.5) x2(t) = 10 sin (2π 50 t –0.5) x3(t) = 25 - 10 cos (2π 50 t – π/3) + 10 cos (2π 100 t – 2.0) Exercice 2 Calculez le signal temporel x(t) dont les spectres d’amplitude et de phase sont donnés dans les 2 figures suivantes (la raie k=1 correspond à la fondamentale, de période T=0.1 sec) : 3.0 Calcul des coefficients de Fourier Dans le section 2, on a vu comment représenter un signal temporel périodique dans le domaine spectral, i.e. en représentant l’amplitude et la phase de chacune de ses composantes harmoniques. Les signaux présentés étaient relativement simples (quelques sinusoïdes), et surtout, on savait à l’avance quelles sinusoïdes se retrouvaient dans ces signaux.

-4 -2 0 2 40

10

20

30

40

50

60

k

Am

plitu

de

-4 -2 0 2 4-3

-2

-1

0

1

2

3

k

Pha

se

Page 45


10

Dans cette section, nous allons étendre l’analyse spectrale à des signaux périodiques quelconques, et nous allons montrer comment décomposer ces signaux en une somme de sinusoïdes (i.e. comment calculer l’amplitude et la phase de leurs harmoniques). Lorsqu’on dit qu’un signal périodique x(t) peut se décomposer en une somme d’harmoniques, ceci s’exprime mathématiquement comme suit :

où C0 est la composante DC, Ck et φk sont respectivement l’amplitude et la phase de l’harmonique k, et ω0 est la fréquence fondamentale du signal x(t). Ceci est bien sûr la forme polaire, telle que vue dans la section 2. Pour le signal x4(t) de la page 3, on avait C0 = 0 C1 = 1 C2 = 0.7 C3 = 0.3 C4 = 0.5 φ1 = - π/2 φ2 = 0.27 φ3 = 2.57 φ4 = -1.37 et tous les autres coefficients nuls pour k>4. Alternativement, on peut aussi écrire x(t) comme une série d’harmoniques dans la forme exponentielle :

Dans cette forme exponentielle, les coefficients Xk sont complexes, i.e. qu’ils comprennent à la fois le module et la phase de chacune des harmoniques. (Retournez aux pages 6 à 8, si nécessaire, pour bien comprendre le lien entre ces 2 représentations – polaire et exponentielle).

( )∑∞

=++=

1 00 cos)(k kk tkCCtx ϕω

∑∞

−∞==

ktjk

keXtx 0)( ω

Page 46


11

Dans ce qui suit, nous allons choisir la représentation exponentielle, puisqu’il sera plus facile de manipuler les exponentielles complexes que les sinusoïdes dans le calcul des intégrales. Soit, donc, un signal périodique x(t), de période T secondes. Pour fixer les idées, nous allons prendre l’onde carrée périodique de la figure suivante : x(t) t (sec) Il s’agit d’une onde carrée périodique, de période T=1 seconde, dont le facteur d’activité est 25 % (la fonction vaut « 1 » dans le premier 25% de la période, et « 0 » pour le reste de la période). De plus, le début de l’activité d’une des périodes coïncide avec t=0. Comment trouver les harmoniques qui se cachent dans ce signal (où rien, en fait, ne laisse deviner une forme sinusoïdale quelconque)? Nous allons d’abord poser

(i.e. imposer que le signal x(t) soit égal à une somme d’harmoniques) et tenter de voir s’il existe un moyen de calculer les coefficients Xk en ne connaissant que le signal x(t) et sa fréquence fondamentale ω0 (1 seconde dans le cas de l’onde carrée ci-haut).

0 1 2 3 4-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

∑∞

−∞==

ktjk

keXtx 0)( ω

Page 47


12

On peut ensuite écrire quelques uns des termes de cette relation :

Supposons maintenant qu’on désire calculer le terme X2. En divisant chaque terme de l’équation ci-haut par

i.e. en multipliant chaque terme par

on peut déjà isoler le terme X2 dans la somme :

Tous les termes à droite de cette équation (sauf le terme X2) sont des exponentielles complexes contenant un nombre entier de périodes dans la période fondamentale T, puisque leur fréquence est un multiple entier de la fréquence fondamentale ω0 = 2π/T. Ainsi, en intégrant sur une période T, chaque terme de droite va s’annuler puisque le sinus ou le cosinus (partie imaginaire et partie réelle) de chaque exponentielle complexe contient autant de demi-cycles positifs que de demi-cycles négatifs dans une durée T (nombre entier de périodes pour chaque exponentielle complexe). Par exemple, pour le terme contenant X-2, on a, en intégrant sur une période :

(puisque e-j8π = 1). Les seuls termes qui seront non-nuls après l’intégrale sont le terme de gauche incluant x(t) et (ici) le terme de droite incluant X2. On a donc

......)( 22

10

1

22

0000 ++++++= −−

−−

tjtjtjtj eXeXXeXeXtx ωωωω

tje 2 0ω

......)( 2

1 2

0 3

1 4

2 2 00000 ++++++= −−−

−−

−− XeXeXeXeXetx tjtjtjtjtj ωωωωω

tje 2 0ω−

01100

000

4

24

24

4

20

42

0

42 =

−=

−== −

−

−−

−

−

=

=

−−

=

=

−− ∫∫ ω

π

ω

ωωω

j

TT

j

j

TjTt

t

tjTt

t

tj eXeXdteXdteX

Page 48


13

Puisque X2 est une constante (le coefficient spectral recherché pour l’harmonique k=2), on a

ce qui donne, en intégrant à droite :

et finalement :

On y est arrivé… On extrait le coefficient de Fourier X2 de l’harmonique k=2 en multipliant le signal à analyser x(t) par

(notez le signe négatif dans l’exposant) puis en intégrant sur une période, et en divisant par la période T. On aurait tout aussi bien pu calculer le coefficient de Fourier Xk de l’harmonique k, en multipliant le signal x(t) par

Puis en intégrant sur une période et en divisant par T. C’est l’équation générale de l’analyse en séries de Fourier :

dtXdtetxT

t

Tt

t

tj ∫∫=

=

=

− =0

20

2 0)( ω

∫∫=

=

=

− =T

t

Tt

t

tj dtXdtetx0

20

2 0)( ω

20

2 0)( TXdtetxTt

t

tj =∫=

=

− ω

∫=

=

−=Tt

t

tj dtetxT

X0

22

0)(1 ω

tje 2 0ω−

tjke 0ω−

Page 49


14

avec ω0 = 2π/T. La DC (X0) du signal x(t) s’obtient en posant k=0 dans cette expression, ce qui donne simplement : i.e. que la DC X0 est la moyenne du signal x(t). Notez que la DC est toujours réelle… Revenons maintenant au signal périodique (onde carrée) de la page 11. On voulait calculer ses harmoniques, de façon à calculer l’amplitude et la phase de toutes les sinusoïdes contenues dans ce signal. Puisque x(t) est très simple (il vaut 1 de 0 à 0.25 sec, et 0 de 0.25 à 1 seconde), l’intégrale ci-haut se calculera très facilement. En effet, en prenant la période complète entre 0 et 1 seconde, on a C’est la composante DC de cette onde carrée. Pour les autres harmoniques, on a (avec ω0 = 2π/T = 2π/1 = 2π):

∫=

=

−=Tt

t

tjkk dtetx

TX

0

0)(1 ω

∫=

=

=Tt

to dttx

TX

0

)(1

41

11 4/1

0

== ∫=

=

t

to dtX

∫=

=

−=4/1

0

2 111 t

t

tjkk dteX π

π

π

214/1 2

jkeX

jk

k −−

=−

Page 50


15

On pourrait laisser ce terme sous cette forme, mais en manipulant un peu cette expression, on arrive à une forme beaucoup plus intéressante. En effet, au numérateur, on peu mettre en évidence le terme suivant : de sorte qu’on peut maintenant écrire : On reconnaît ici, avec le théorème d’Euler, la forme d’une sinusoïde qui dépend de l’indice k (attention, on est dans les fréquences, ici , pas dans le temps..) : C’est l’expression des coefficients de Fourier de l’onde carrée périodique, de période T=1, et de facteur d’activité 25 %. OK, mais on fait quoi avec ça? Rappelons-nous que Xk est le facteur par lequel il faut multiplier chaque exponentielle complexe (i.e. chaque harmonique)

pour qu’en les additionnant, on retrouve le signal x(t) (ici, l’onde carrée périodique).

π

π

212/

jkeX

jk

k −−

=−

4/ πjke−

( )jee

keX

jkjkjk

k 2

4/ 4/ 4/

−−

=−− πππ

π

( )jee

keX

jkjkjk

k 2

4/ 4/ 4/ πππ

π

−− −=

( )4/sin4/

ππ

π

kk

eXjk

k

−

=

tjke 0ω

Page 51


16

On voit bien que Xk est un nombre complexe, i.e. qu’il renferme à la fois l’amplitude (module) et la phase de l’harmonique k. Voyons donc quels sont le module et la phase de Xk. Le terme est un complexe de module 1, et de phase –kπ/4, alors que le terme est un nombre réel (de phase 0 lorsqu’il est positif, ou de phase π lorsqu’il est négatif). On peut donc maintenant écrire les phases et les amplitudes des harmoniques : k Amplitude Phase 0 ¼ 0 (la DC) 1 sin(π/4)/ π –π/4 2 sin(2π/4)/ (2π) –2π/4 3 sin(3π/4)/ (3π) –3π/4 4 sin(4π/4)/ (4π) –4π/4 5* sin(5π/4)/ (5π) –π/4 … … … (* attention : le signe du sinus change ici, ce qui fait faire un saut de π à la phase) En évaluant les amplitudes, on trouve les valeurs suivantes : k Amplitude Phase 0 ¼ 0 (la DC) 1 0.2251 –π/4 2 0.1592 –2π/4 3 0.0750 –3π/4 4 0.0000 –4π/4 5 0.0450 –π/4 … … …

4/ πjke−

( )k

kπ

π 4/sin

Page 52


17

Ainsi, on peut exprimer l’onde carrée périodique de la page 11 comme une somme de cosinus, dont les amplitudes et les phases sont données ci-haut (rappelons que dans la forme polaire, les amplitudes des harmoniques – sauf pour la DC – sont le double des amplitudes de la forme exponentielle (voir page 6) ): x(t) = ¼ + 2 * 0.2251 cos(2πt - π/4) + 2 * 0.1592 cos(2π2t - 2π/4) + 2 * 0.0750 cos(2π3t - 3π/4) + 2 * 0.0000 cos(2π4t - 4π/4) + 2 * 0.0450 cos(2π5t - π/4) + … La figure ci-dessous montre, pour une période (1 seconde), la somme de la DC (1/4) et des 5 premières harmoniques ci-haut (on montre aussi l’onde carrée x(t) qui doit être égale à la somme de ses harmoniques) : On observe qu’en additionnant uniquement 5 sinusoïdes (plus la DC), avec les bonnes phases et les bonnes amplitudes (i.e. les 5 premières harmoniques), on arrive déjà à tendre vers la forme du signal

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

t (seconde)

Page 53


18

périodique x(t). On a cependant coupé trop tôt dans la somme. La figure suivante montre donc la somme des 20 premières harmoniques. On observe qu’on tend beaucoup mieux vers le signal x(t) (la somme des harmoniques converge vers x(t)). En observant (ci-dessous) le spectre d’amplitude de l’onde carrée périodique x(t) de la page 11, on comprend pourquoi les 5 premières harmoniques ne suffisent pas à reconstruire proprement le signal :

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

t (seconde)

-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 200

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

k (no. de l'harmonique)

Am

plitu

de

Page 54


19

La figure ci-dessous montre également le spectre de phase pour les 20 premières harmoniques: Notez encore que le spectre d’amplitude est pair, et que le spectre de phase est impair. 4.0 Calcul des X(k) à l’aide de MATLAB Avant de passer en revue quelques propriétés des séries de Fourier (Section 5.0), nous allons montrer ici comment calculer les coefficients de Fourier (les X(k)) avec MATLAB. Ceci vous permettra notamment de vérifier numériquement vos résultats pour les exercices de la section 6.0. Vous pourrez également visualiser la somme des harmoniques afin de vérifier qu’elle tend bien vers le signal x(t) analysé. Nous n’allons pas voir toutes les fonctionnalités de MATLAB dans cette section; seulement la syntaxe de base nécessaire à nos calculs. De nombreuses références sont disponibles pour approfondir MATLAB. Puisque MATLAB est un environnement numérique, l’échelle des temps doit être représentée sur une échelle discrète. On dit que le temps est échantillonné. Plus le nombre d’échantillons par seconde est important, meilleure sera l’approximation numérique.

-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20-3

-2

-1

0

1

2

3

k (no. de l'harmonique)

Pha

se

Page 55


20

Nous allons donc reprendre l’exemple de l’onde carrée périodique de la page 11, et montrer comment calculer l’amplitude et la phase de ses 20 premières harmoniques. D’abord, on définit la période entre deux échantillons successifs (discrétisation du temps). Ici, nous allons prendre 1024 échantillons par seconde, i.e. que les échantillons sont espacés de 1/1024e de seconde. On a donc dt = 1/1024 (on choisit le symbole « dt » pour signifier une petite durée – i.e. qui tend vers un élément différentiel). On prend ensuite une période de signal. Dans notre cas, le signal x(t) a une période d’une seconde; il vaut « 1 » de 0 à ¼ de seconde, et « 0 » de ¼ de seconde à 1 seconde. Puisqu’on a pris 1024 échantillons par seconde, x(t) vaudra « 1 » sur les premiers 256 échantillons, et « 0 » sur les autres 768 échantillons. La figure suivante montre comment on génère la version numérique de x(t), sur une seconde, dans MATLAB:

On y voit dt, l’intervalle entre deux échantillons (dt joue ici le rôle d’élément différentiel). La ligne suivante montre comment on génère l’échelle discrète du temps, sur 1 seconde, par intervalles de dt seconde. Notez que l’échelle de temps inclut le « 0 » mais exclut le « 1 » (elle s’arrête à 1-dt). On a ainsi exactement 1024 échantillons, sinon on en aurait eu 1025. On voit ensuite deux lignes qui permettent de générer 256 uns consécutifs (dans le vecteur « uns ») et 768 zéros consécutifs (dans le

Page 56


21

vecteur « zer »). MATLAB fonctionne ainsi avec des vecteurs (et éventuellement des matrices). La syntaxe des fonctions MATLAB « ones » et « zeros » nous indique ici qu’on a généré deux vecteurs à 1 ligne et 256 (ou 768) colonnes et retourné le résultat dans « uns » et « zer ». La ligne suivante crée le vecteur x, un vecteur ligne où on a concaténé les vecteur « uns » et « zer ». Encore ici, on exploite la syntaxe MATLAB. Finalement, on peut afficher le vecteur x en fonction du temps t, avec la fonction « plot » (on met l’abscisse d’abord, puis l’ordonnée). La fonction « axis » permet de spécifier l’échelle des axes (i.e., l’échelle du temps va de 0 à 1, et l’échelle de x va de –1 à 2). On voit mieux le signal ainsi. Le résultat est le premier quart de la figure de la page 11. Maintenant que nous avons le signal temporel x(t), nous allons générer les fonctions exponentielles

qui se retrouvent dans l’intégrale de Fourier en haut de la page 14. Dans notre cas, la période du signal x(t) est T=1 seconde, de sorte que la fréquence fondamentale ω0 = 2π. La figure suivante montre comment générer dans MATLAB les 20 premières fonctions exponentielles pour k=1 :20.

tjke 0ω−

Page 57


22

Le nombre complexe j est définit par défaut dans MATLAB. On a retourné dans la variable « u » les 20 fonctions exponentielles complexes, pour k=1 :20. La syntaxe u(k, :) signifie “la ligne k de u”. Maintenant, « u » est une matrice de 20 lignes (nombre d’harmoniques) et 1024 colonnes (nombre d’échantillons dans le temps). De plus, la ligne 1 de « u » est une exponentielle complexe tournante faisant exactement 1 tour en 1 seconde (1024 échantillons). La ligne 2 de « u » est une exponentielle complexe tournante faisant exactement 2 tours en 1 seconde, et ainsi de suite. On peut voir ceci en affichant la partie réelle de u(1, :) et u(2, :).

(On aurait des sinus, bien sûr, en affichant les parties imaginaires…) On a maintenant tous les éléments pour calculer les coefficients de Fourier du signal x(t) (onde carrée périodique). Puisqu’une intégrale est la limite d’une somme, on a le code MATLAB suivant:

Page 58


23

La première ligne calcule le coefficient DC (voir équation au milieu de la page 14). Il s’agit simplement d’intégrer x(t) sur la période T. La boucle pour k=1:20 calcule successivement les coefficients de Fourier X(k) pour les 20 premières harmoniques. La somme (“sum”) est toujours l’approximation de l’intégrale, le symbole “ .* ” en MATLAB signifie la multiplication point-par-point de deux fonctions, et l’élément dt est l’élément différentiel de l’intégration. Rappelons que les fonctions u(k,:) sont les exponentielles complexes calculées plus haut. On n’a pas mis le 1/T devant l’intégrale (la somme) puisqu’ici la période T est 1 seconde. Pour afficher les spectres d’amplitude et de phase, on utilise les fonctions “abs” et “angle” de MATLAB. Par exemple, pour le spectre d’amplitude:

Page 59


24

Sur la première ligne, on calcule le spectre d’amplitude à partir du spectre complexe X. Sur la deuxième ligne, on affiche le spectre d’amplitude (incluant la DC à k=0) avec la fonction “stem”. Cette fonction permet un affichage en bâtonnets, contrairement à “plot” qui trace une ligne reliant les points d’une fonction. Remarquez qu’on donne en paramètres à la fonction “stem” l’axe horizontal d’abord (k qui va de 0 à 20) et qu’on donne ensuite les amplitudes à afficher, incluant la DC, que l’on concatène avec le vecteur A. Les crochets “[“ et “]” doivent se retrouver ici, pour indiquer que l’on forme un vecteur en concaténant la DC aux amplitudes de “A”. Finalement, pour boucler la boucle et conclure cette section, on montre ici comment faire la somme des k premières harmoniques du signal (incluant la DC) pour afficher le résultat. On peut donc vérifier si le signal est bien formé par la somme de ses harmoniques.

Page 60


25

Ces trois paires de figures montrent successivement comment faire la somme des 5, 10 et 20 premières harmoniques de l’onde carrée périodique, puis afficher le résultat en fonction du temps. On remarque encore une fois que plus on prend d’harmoniques en considération, plus leur somme tend vers l’onde carrée. En fait, il faudrait une infinité d’harmoniques pour que l’approximation devienne une égalité. Ceci est dû à la coupure abrupte dans la forme d’onde carrée, qui ne peut être reproduite par aucune sinusoïde (elles sont toutes lisses). Nous avons maintenant une bonne base pour faire l’analyse spectrale de signaux périodiques et calculer leurs composantes fréquentielles, tant au niveau formel mathématique (l’intégrale de Fourier) qu’au niveau de la simulation numérique. La prochaine section fera l’étude de quelques propriétés importantes des séries de Fourier.

5.0 Propriétés des séries de Fourier 5.1 Linéarité Le calcul des coefficients de Fourier est une opération linéaire. Ceci veut dire que si on a les coefficients de Fourier X(k) et Y(k) des signaux x(t) et y(t), alors les coefficients de la somme x(t) + y(t) sont égaux à la somme des coefficients, X(k) + Y(k). On résume cette propriété comme suit :

Page 61


26

Temps Fréquences x(t) X(k) y(t) Y(k) x(t) + y(t) X(k) + Y(k) Notez que la somme des coefficients de Fourier, X(k) + Y(k), est une somme de nombres complexes. Il ne s’agit pas de faire la somme des amplitudes et/ou des phases. Des nombres complexes s’additionnent dans le plan, comme des vecteurs, et peuvent même s’annuler complètement s’ils pointent dans des directions opposées (même amplitude, mais différence de phase de π). 5.2 Inversion dans le temps Si on connaît les coefficients de Fourier X(k) d’un signal x(t), on obtient les coefficients de Fourier du signal x(-t) (inversion dans le temps) simplement en prenant le complexe conjugué de X(k) : Temps Fréquences x(t) X(k) x(-t) X*(k) Démonstration : soient X2(k) les coefficients de Fourier de x(-t) : où on a fait la changement de variable τ = -t. On intègre maintenant « dans le sens inverse » du temps, i.e. de 0 à –T, et non de 0 à T. En changeant cet ordre d’intégration, on change aussi le signe de l’intégrale; l’élément –dτ devient ainsi dτ, et on retrouve l’intégrale

∫

∫−=

=

=

=

−

−=

−=

Tjk

Tt

t

tjk

dexT

dtetxT

kX

τ

τ

τω

ω

ττ0

0

2

)()(1

)(1)(

0

0

∫=

=

=T

jk dexT

kXτ

τ

τω ττ0

2 )()(1)( 0

Page 62


27

qui est équivalente à X(k), le coefficient de Fourier k de x(t), sauf pour le signal de l’exponentielle qui est positif au lieu d’être négatif. Ceci revient à changer le signe de tous les « j » dans X(k) – i.e. en prendre son complexe conjugué. Les coefficients de Fourier de x(-t) (les X2(k)), sont donc bien le complexe conjugué des coefficients de Fourier de x(t) (les X(k)). En pratique, ceci veut simplement dire que pour inverser un signal dans le temps, il suffit d’inverser le signe de toutes les phases de ses coefficients de Fourier. Voyons ça avec MATLAB.

On suppose ici qu’on a déjà calculé les coefficients de Fourier, X(k), de même que leur module (A(k)) et leur phase (P(k)). Le signal y est la somme de la DC et des 10 premières harmoniques. Le signal y2 est la même somme, mais où on a inversé le signe des phases. On montre ci-dessous les signaux temporels correspondants y et y2.

Page 63


28

On observe l’inversion dans le temps de ce signal périodique (on voit ici uniquement la première période). 5.3 Multiplication par une sinusoïde La multiplication d’un signal par une sinusoïde est une opération importante dans les systèmes de communications. Si x(t) est un signal temporel quelconque (le message) et si p(t) est la sinusoïde (la porteuse), le produit des deux signaux, x(t) p(t), correspond à la modulation AM synchrone. Nous nous limiterons ici au cas où la sinusoïde p(t) a une fréquence qui correspond à une des harmoniques de x(t). Ainsi, la période fondamentale du produit x(t) p(t) demeurera celle du signal x(t). Cette contrainte ne sera plus importante dans le chapitre sur la Transformée de Fourier. Soient donc un signal x(t), de fréquence fondamentale ω0 = 2π/T, et une sinusoïde pure p(t) de fréquence mω0 où m est un entier : p(t) = cos(mω0 t) (on prend une phase nulle pour simplifier). Alors, le produit x(t) p(t) peut s’écrire

(d’après le théorème d’Euler). On peut donc calculer les coefficients de Fourier du produit x(t) p(t) :

tjmtjm etxetxtmtxtptx 00 )(21)(

21)cos()()()( 0

ωωω −+==

∫∫

∫=

=

+−=

=

−−

=

=

−

+=

=

Tt

t

tmkjTt

t

tmkj

Tt

t

tjk

dtetxT

dtetxT

dtetptxT

kY

0

)(

0

)(

0

00

0

)(21)(

21

)()(1)(

ωω

ω

Page 64


29

(Assurez-vous de bien comprendre comment on arrive à ce résultat, en remplaçant p(t) par son expression en exponentielles complexes plus haut). Comment interpréter ce résultat, qui donne les coefficients de Fourier du produit x(t) p(t)? En observant bien, on remarque que le premier terme, est presque équivalent à l’intégrale de Fourier qui donne le coefficient X(k) de x(t), sauf pour le facteur ½, et pour le terme (k-m) au lieu de k dans l’exposant. En fait, ce calcul donne (à un facteur ½ près) les coefficients de Fourier X(k), mais décalés vers la droite de m positions sur l’axe des fréquences. Par exemple, si la sinusoïde p(t) a une fréquence 4ω0 (m=4), alors en posant k=0, on se trouve à calculer le coefficient k-m = 0-4 = -4 de X(k) (i.e. X(-4)). Pour k=1, on calcule le coefficient X(-3), pour k=2, on calcule le coefficient X(-2), et ainsi de suite. De même, pour le terme On se trouve (à un facteur ½ près) à calculer les coefficients X(k) du signal x(t), mais décalés de m positions vers la gauche. Avec un exemple, on va pouvoir fixer les idées. Soit x(t) le signal temporel de la figure ci-dessous. On montre ici 4 périodes de x(t), de période fondamentale T=1 seconde.

∫=

=

−−Tt

t

tmkj dtetxT 0

)( 0)(21 ω

∫=

=

+−Tt

t

tmkj dtetxT 0

)( 0)(21 ω

Page 65


30

Le module du spectre de Fourier de x(t) est montré à la figure suivante. On constate que son énergie est concentrée dans ses 5 premières harmoniques.

On choisit maintenant une fréquence pour la sinusoïde p(t) qui va multiplier x(t). Prenons par exemple 12 ω0, i.e. 12 fois la fréquence fondamentale de x(t). Les figures ci-dessous montrent respectivement la sinusoïde p(t), et le module de ses coefficients de Fourier :

Page 66


31

Sinusoïde p(t) = cos(12*2π*t)

Module des coefficients de Fourier de p(t)

On constate que toute l’énergie de la sinusoïde se retrouve concentrée en une seule raie spectrale (la raie k=12). Normal, puisqu’il n’y a qu’une seule sinusoïde dans une sinusoide…

Page 67


32

Voyons maintenant ce qu’on obtient en multipliant le signal x(t) (de la page 30) et la sinusoïde p(t) de la page précédente. On montre ci-dessous le signal temporel x(t) p(t), puis le module de ses coefficients de Fourier.

En comparant ce spectre à celui du bas de la page 30 (spectre de x(t)), on conclut que le spectre du produit x(t) p(t) s’obtient (à un

Page 68


33

facteur ½ près) en additionnant des versions décalées du spectre de x(t), chaque version se retrouvant centré sur le spectre de la sinusoïde p(t) (i.e. aux positions spectrales k=12 et k=-12). C’est ce que nous dit l’équation du bas de la page 28. Ce phénomène de décalage fréquenciel lorsqu’on multiplie un signal par une sinusoïde est à la base des systèmes de communications (modulation d’amplitude). Par exemple, en diffusion radio, chaque station a sa propre fréquence (CJAD 900 (kHz), Energie 106.1 (MHz)) qui correspond à fréquence de la porteuse p(t). Ainsi, en laissant des bandes de fréquences suffisamment larges pour inclure toute la bande audio, on peut transmettre simultanément plusieurs signaux en les multiplexant en fréquence, i.e. en leur allouant chacun une bande fréquences centrée autour d’une porteuse. Plus de détails dans les chapitres sur la modulation. (Notons tout de suite que la modulation FM – dans le cas de CIMO par exemple) est un peu plus complexe que la modulation AM (CJAD), et ne se décrit pas comme nous venons de le faire ici). Les coefficients de Fourier ont d’autres propriétés, que nous couvrirons lorsque le moment sera opportun. La prochaine section présente une série d’exercices, qui devraient permettre de récapituler et de mettre en œuvre les éléments de ce chapitre. 6.0 Exercices Exercice 6.1 Représentez graphiquement le module et la phase des coefficients de Fourier du signal x(t) si (a) x(t) = 22 cos(2πt - π/3) (b) x(t) = -12 sin(2πt + π/3) (c) x(t) est tel que montré à la figure suivante (on montre 4

périodes de x(t) –--- t est en secondes)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

Page 69


34

(d) x(t) est tel que montré à la figure suivante (on montre 4

périodes de x(t) –--- t est en secondes) Note : Pour les parties (c) et (d), donnez au moins la forme de

X(k) (i.e. calculez l’intégrale de Fourier). Utilisez MatLab pour calculer et afficher les coefficients, et ainsi valider cotre réponse.

Exercice 6.2 Pour les parties (c) et (d) de l’exercice 6.1, affichez la somme des 5, 10, et 20 premières harmoniques, pour montrer que cette somme converge vers le signal lorsqu’on prend un nombre suffisant d’harmoniques. Utilisez MatLab. Exercice 6.3 Un signal x(t) périodique a une période de T=0.1 seconde. La valeur de ses coefficients de Fourier non-nuls est X(0) = 10 X(1) = X*(-1) = 4 j X(3) = X(-3) = 6 (tous les autres X(k) sont nuls).

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

Page 70


35

(a) Exprimez x(t) sous la forme

(b) Affichez graphiquement une période de x(t) avec MatLab.

∑∞

=

+=0

)cos()(k

kkk tAtx ϕω

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36

Page 72

Partie 4

Fonctions de transfert harmoniques

Page 73

Hiver 2008 GEL211 - Systèmes et Signaux GIF230 - Mathématiques des Signaux Continus Fonctions de transfert harmoniques Roch Lefebvre, Professeur titulaire

1


Fonctions de transfert harmoniques 1.0 Les filtres La notion de filtre est au centre d’un très grand nombre d’applications, notamment en communications, en contrôle et en traitement du signal. Ce document présente une notion très importante sur les filtres analogiques: leur fonction de transfert harmonique. L’idée principale que l’on veut dégager ici est qu’un filtre analogique linéaire (de type circuit RLC) peut être vu comme un simple diviseur de tension si le signal d’entrée est une sinusoïde pure; le gain du filtre (de même que son déphasage) va dépendre de la fréquence de la sinusoïde d’entrée. Un filtre peut être décrit simplement comme une boîte fonctionnelle qui prend un signal en entrée, disons x(t), et qui donne un autre signal en sortie, disons y(t). Un des filtres analogiques les plus simples à réaliser est le diviseur de tension : Ici, x(t) est le voltage en entrée, y(t) le voltage de sortie, et la relation entrée-sortie est simplement

Filtre

x(t) y(t)

R1

R2

x(t)

y(t)

Page 75


2

Dans ce cas particulier (et trivial), le gain est indépendant de la fréquence du signal (la relation entrée-sortie ne fait pas apparaître la fréquence). On remarquera aussi que le gain de ce filtre simple est nécessairement inférieur à 1. 2.0 Notions de fonction de transfert harmonique Prenons maintenant le cas (plus intéressant) d’un circuit RC d’ordre 1 : On peut montrer facilement dans ce cas que la relation entrée-sortie est l’équation différentielle suivante :

(Retrouvez cette équation en observant que le courant dans le condensateur doit être égal au courant à travers la résistance.) On ne peut donc pas écrire explicitement y(t) en fonction de x(t), puisque des différentielles apparaissent dans l’équation. Par contre, imaginez que le signal (voltage) d’entrée soit

Cette exponentielle complexe, par le théorème d’Euler, est égale à la somme d’un cosinus et d’un sinus de fréquence ω. On peut donc dire que c’est “comme si” on avait une sinusoïde pure. Puisque la dérivée d’une exponentielle (complexe ou non) donne la même exponentielle

)()(21

2 txRR

Rty

+=

R

C

x(t)

y(t)

)()()( txtydt

tdyRC =+

tjetx ω=)(

Page 76


3

multipliée par un gain, la solution de l’équation différentielle se trouve en posant

et en cherchant la valeur de H qui satisfait l’équation différentielle. On verra dans quelques lignes que H dépend de la fréquence ω. En remplaçant x(t) et y(t) dans l’équation différentielle, on obtient

Et puisque H ne dépend pas de t, on a

ce qui donne

(Attention: lorsqu’on dérive l’exponentielle complexe par rapport à t, on se retrouve avec le facteur jω devant l’exponentielle.) Puisque l’exponentielle complexe se retrouve dans chaque terme de l’équation, on peut diviser partout par cette exponentielle, et on se retrouve avec l’équation suivante:

En isolant H, on obtient finalement

On remarque que: 1) H dépend de la fréquence ω, et 2) H est complexe. Pour bien indiquer ceci, on va écrire plutôt

tjHety ω=)(

( ) tjtjtj

eHedt

HedRC ωωω

=+

( ) tjtjtj eHeejRCH ωωωω =+

1=+ HRCHjω

11

+=

RCjH

ω

( ) tjtjtj

eHedtedRCH ωω

ω

=+

11)(

+=

RCjjH

ωω

Page 77


4

Cette fonction H(jω) est ce qu’on appelle la fonction de transfert harmonique du circuit RC de la page 2. A quoi ça sert, dites-vous? Rappelez-vous comment nous avons posé le problème: en supposant que pour le circuit RC suivant le voltage d’entrée est donné par

on a observé que le voltage de sortie doit avoir la forme

et nous venons de déterminer que, pour ce circuit,

On obtient donc la sortie en multipliant l’entrée par H(jω), qui est un nombre complexe ayant un module et une phase, qui vont dépendre de la fréquence. On imagine aisément que si le module de H(jω) est élevé à une fréquence ω donnée, alors le gain du filtre à cette fréquence sera élevé. Par contre, si à une autre fréquence le module de H(jω) est petit, alors le gain du circuit à cette fréquence sera d’autant plus petit. Evidemment, travailler avec des fonctions temporelles complexes ne nous facilite pas la tâche. Faisons donc un pas de plus. Comme un circuit RC est un système linéaire (sa relation entrée-sortie est une équation différentielle linéaire), la réponse à une somme d’entrées sera égale à la somme des réponses individuelles. Quelle sera donc la réponse du circuit RC montré ci-haut lorsque l’entrée x(t) est donnée par

R

C

x(t)

y(t)

tjetx )( ω=

( ) )( tjejHty ωω=

11)(

+=

RCjjH

ωω

( ) tjtj eettx cos 2)( ωωω −+==

Page 78


5

Pour solutionner, on va donc faire comme si on avait d’abord x1(t) en entrée, puis x2(t), et on va additionner les deux réponses y1(t) et y2(t) correspondantes, où

On a déjà solutionné l’équation pour x1(t). On a trouvé

avec

Maintenant, pour solutionner l’équation avec x2(t), on emploie la même procédure. On remplace d’abord x(t) et y(t) dans l’équation différentielle par x2(t) et y2(t) définits ci-haut:

Puis, en appliquant la dérivée et en isolant H2, on obtient

(Notez que H2(jω) ne porte pas le nom de fonction de transfert harmonique puisque l’entrée n’est pas e jωt.) Ainsi, lorsqu’on applique le voltage d’entrée suivant au circuit RC

tj

tj

tj

tj

eHty

eHty

etx

etx

22

11

2

1

)(

)(

)(

)(

ω

ω

ω

ω

−

−

=

=

=

=

( ) 11 )( tjejHty ωω=

11)(1 +

=RCj

jHω

ω

( ) tjtjtj

eeHdteHdRC ωω

ω−−

−

=+ 22

11)(2 +−

=RCj

jHω

ω

( ) tjtj eettx cos 2)( ωωω −+==

Page 79


6

on obtient en sortie le signal (voltage) suivant (somme des réponses)

En remplaçant H1(jω) et H2(jω) par leur expression donnée à la page précédente, on obtient la réponse

Oui mais, Monsieur, on avait un beau cosinus simple en entrée du circuit RC (voyez plutôt le x(t) juste en bas de la page 4), et là, vous nous donnez un signal de sortie y(t) que nous ne serions même pas en mesure de tracer sur un graphique. OK. Alors suivez bien la suite et la fin de mon raisonnement, qui va nous donner une solution facile à digérer avec en bonus une piste pour généraliser tout ça à d’autres circuits que le circuit RC simple étudié ici. D’accord, Monsieur, on écoute… Donc, dans l’équation pour y(t) ci-dessus, on remarque une chose extrêmement intéressante: la fonction H2(jω) qui multiplie e-jωt est le complexe conjugué de la fonction H1(jω) qui multiplie e jωt. Le complexe conjugué d’un nombre s’obtient toujours en remplaçant tous les j par des –j, ce que nous avons ici. Si on définit les fonctions complexes H1(jω) et H2(jω) en forme polaire, i.e. en fonction de leur module et de leur phase, on a donc

avec

(Revoir vos notes sur les nombres complexes si nécessaire).

( ) ( ) tjtj ejHejHty 2

1)( ωω ωω −+=

tjtj eRCj

eRCj

ty

11

11)( ωω

ωω−

+−+

+=

( )ωφωω jeAjH )()(1 =( )ωφωω jeAjH −= )()(2

( )( ) 1

12 +

=RC

Aω

ω ( ) ( )RCatan ωωφ −=

Page 80


7

On peut maintenant remplacer H1(jω) et H2(jω) par leur expression en forme polaire dans l’expression de y(t), ce qui donne

Avouez que ça a valu la peine de suivre la discussion jusqu’ici. On a bien maintenant en sortie un cosinus de même fréquence ω qu’en entrée (le x(t) au bas de la page 4), mais multiplié par un gain A(ω) et déphasé de φ(ω) radians. Graphiquement (notez qu’on a divisé l’entrée et la sortie par un facteur 2 – comme le filtre est linéaire, diviser par deux l’entrée implique que la sortie est aussi divisée par 2) : où A et φ dépendent de la fréquence ω de la sinusoïde d’entrée. Pour le circuit RC analysé depuis la page 2, le gain A et la phase φ, rappelons-le, sont donnés par

Pour un autre circuit, le gain et la phase en fonction de la fréquence seront différents, mais le principe restera le même: la réponse à une sinusoïde sera une sinusoïde de même fréquence, mais d’amplitude et de phase différentes, selon le gain et le déphasage du filtre à cette fréquence, i.e. selon le module et la phase de sa fonction de transfert harmonique H(jω). A cette étape-ci, on pourrait bien montrer à quoi ressemblent le gain et la phase de la fonction de transfert harmonique H(jω) de notre

( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ) cos(2

)(

2

1

φωωωω

ωω

ωω

φωφω

ωφωφ

ωω

+=+=

+=

+=

+−+

−−

−

tAeAeA

eeAeeA

ejHejHty

tjtj

tjjtjj

tjtj

Filtre

x(t) = cos(ωt) y(t) = A cos(ωt + φ)

( )( ) 1

12 +

=RC

Aω

ω ( ) ( )RCatan ωωφ -=

Page 81


8

circuit RC. Ceux-ci dépendent (bien entendu) des valeurs données aux composantes R et C. Prenons le cas où le produit RC = 1 (par exemple, une résistance de 1 kΩ et un condensateur de 1 mF). On a alors les expressions suivantes pour le gain A et la phase φ:

La première figure montre le gain (A) du filtre en fonction de la fréquence ω comprise entre 0 et 10 rad/sec. La seconde figure montre la phase (φ). On observe que le gain de ce circuit RC diminue à mesure que la fréquence augmente. Par exemple, une sinusoïde pure de 0.1 rad/sec en entrée apparaîtra avec pratiquement la même amplitude en sortie, alors qu’une sinusoïde de 10 rad/sec n’aura plus qu’environ 10% de son amplitude en sortie. Notez aussi que la phase est toujours nulle ou négative – une phase négative représente un retard, i.e. que la sortie est en retard sur l’entrée. Pour les très grandes fréquences, la

( )( ) 1

12 +

=ω

ωA ( ) ( )ωωφ atan -=

Page 82


9

figure ci-dessus montre que la sortie est en retard de 90 degrés par rapport à l’entrée. Le filtre formé par le réseau RC de la page 4, et dont le gain en fonction de la fréquence est donné à la figure de la page 8, est de type passe-bas. Plus la fréquence est élevée, moins il laisse passer le signal. Pour obtenir un filtre passe-haut avec les mêmes composantes RC, il suffit d’interchanger la résistance R et le condensateur C. On mesure alors le voltage de sortie aux bornes de la résistance, comme dans la figure suivante : Dans ce cas, la fonction de transfert harmonique se présenterait plutôt comme suit (refaites le développement pour vous en assurer) :

Ce filtre a maintenant la caractéristique d’un filtre passe-haut, i.e. que son gain est nul lorsque ω = 0, alors qu’il tend vers 1 lorsque ω tend vers l’infini. La fréquence de coupure d’un filtre est définie comme la fréquence ω à laquelle le gain du filtre est 3 dB sous le gain de la bande passante. Une chute de gain de 3 dB (i.e. un gain de -3 dB si la gain de la bande passnte est de 0 dB) correspond à 2/1 . Prenons par exemple le filtre passe-bas du réseau RC de la page 4, dont la fonction de transfert harmonique est donnée, comme nous l’avons vu, par :

11)(

+=

RCjjH

ωω

R

C x(t)

y(t)

1( )

/jH j

j RCωω

ω=

+

Page 83


10

Le gain de ce filtre est donc :

( ) 1

1)(2 +

=RC

jHω

ω

La fréquence de coupure ωc est trouvée lorsque :

( ) 21

1

1)(2

=+

=RC

jHc

cω

ω

On a donc :

( ) 212 =+RCcω

Ce qui donne :

( ) 12 =RCcω

Et finalement, la fréquence de coupure de ce filtre est donc donnée par :

1c RC

ω =

Attention, la fréquence de coupure en Hz est donnée par :

12cf RCπ

=

3.0 Les impédances complexes Pour obtenir le gain et la phase d’un filtre en fonction de la fréquence du signal d’entrée, on a donc une méthode qui consiste à déterminer la fonction de transfert harmonique H(jω) du filtre, puis à calculer le module et la phase de cette fonction. Le module donne le gain du filtre en fonction de la fréquence, et la phase donne (eh oui) la phase du filtre.

Page 84


11

Voyons ce que ceci implique pour les éléments du circuit eux-même (i.e. les R, L et C). Chacun de ces éléments peut être décrits par sa relation VI (relation entre le voltage à ses bornes et le courant qui le traverse). Ces relations (bien connues) sont

Ce sont (encore) des équations différentielles, et donc on peut les analyser dans le contexte d’une excitation sinusoïdale. Commençons par le condensateur (noux reviendrons sur la résistance R). Si le voltage aux bornes du condensateur est donné par

alors le courant qui le traverse est donné par

Pour une excitation sinusoïdale, on peut donc exprimer la relation VI du condensateur comme suit

Cette quantité ZC = 1 / (jωC) est appelée l’impédance complexe du condensateur. Elle indique que plus la fréquence augmente, plus l’impédance du condensateur diminue (à ω=0, l’impédance est infinie et à une fréquence infinie l’impédance est nulle). On peut faire la même analyse pour une inductance L. Si le courant qui traverse l’inductance est donné par

alors le voltage à ses bornes est donné par

)( )( tiRtv = dttdvCti )()( =

dttdiLtv )()( =

tjetv ω )( =

( ) )()()(

tCvjCejdtedC

dttdvCti tj

tj

ωω ωω

====

)()(1)( tiZtiCj

tv C==ω

tjeti ω )( =

( ) )()()()( tiZtLijLejdtedL

dttdiLtv L

tjtj

===== ωω ωω

Page 85


12

Ainsi, pour l’inductance, on a l’impédance complexe ZL = jω L. L’inpédance d’une inductance augmente donc avec la fréquence (comportement inverse du condensateur). Pour la résistance, c’est déjà trouvé, l’impédance est simplement R. Que tout cela nous suggère-t-il? En considérant le cas particulier où le signal d’entrée du circuit est une exponentielle complexe (donc un sinus et un cosinus purs), on peut trouver le rapport entre la sortie et l’entrée en remplaçant les composantes R,L et C par leur impédance complexe, et en appliquant la loi du diviseur de tension. On obtient alors (eh oui) la fonction du transfert harmonique du circuit. Sans passer auparavent par son équation différentielle (une étape de moins – tant mieux!). Faisons un premier exemple avec le circuit RC pour nous rassurer : Pour une entrée sinusoïdale, le rapport entrée sortie se trouve donc en remplaçant C par l’impédance complexe ZC = 1 / (jωC), et en appliquant la loi du diviseur de tension. On obtient :

C’est presque la forme trouvée au bas de la page 3. En fait, en multipliant par jωC, on obtient

(le même résultat que celui trouvé à la page 3).

R

C

x(t)

y(t)

CjRCjjHω

ωω/1

/1)(+

=

11)(

+=

RCjjH

ωω

Page 86


13

Pour montrer l’intérêt de cette approche, déterminez la fonction de transfert harmonique du circuit RLC suivant en utilisant la notion d’impédances complexes. On obtient facilement

(Exercez vos compétances MATLAB en affichant le gain et la phase de cette fonction de transfert harmonique pour différentes valeurs de R, L et C – on suggère comme premier essai les valeurs R=10 Ω, L=100 mH et C=10 µF, en affichant le gain et la phase pour ω entre 0 et 2000 radians par seconde.) Vérifiez que vous obtenez la même fonction de transfert harmonique en utilisant la méthode montrée à la section 2 (i.e. déterminer d’abord l’équation différentielle qui régit la relation entrée/sortie du circuit puis remplacer x(t) par une exponentielle complexe de fréquence ω).

R

C

x(t)

y(t)

L

( ) RCjLCRCjjLCCjRLjCjjH

ωωωωωωωω

+−=

++=

++= 22 1

11

1/1

/1)(

Page 87

Partie 5

La convolution

Page 88

Hiver 2008 GEL211 – Systèmes et Signaux GIF230 – Mathématiques des Signaux continus La convolution Roch Lefebvre, Professeur titulaire

1

GEL211 GIF230 La convolution

1.0 Introduction Ce document vise à rendre le lecteur familier avec l’opération de convolution, de sa définition à son calcul en passant par quelques unes de ses propriétés. Au premier abord, la convolution semble parfois difficile à saisir. Une des raisons est le fait que l’on doit recourir à des fonctions particulières – les impulsions de Dirac – afin de définir formellement la convolution sous la forme d’une intégrale. Une autre raison est l’interprétation même de cette intégrale lorsqu’on doit la calculer. Le présent document vise à montrer toute la pertinence de cet opérateur mathématique, et à en donner une interprétation intuitive. On donnera aussi des exemples numériques montrant comment on peut évaluer la convolution avec MatLab. Il y a essentiellement 3 approches pour obtenir la réponse d’un système linéaire (comme un filtre, par exemple) à une entrée donnée. Il s’agit de :

Résoudre l’équation différentielle du système. L’équation du système doit alors être connue, et il doit être possible de la résoudre avec les méthodes connues. Si le système est un filtre linéaire d’ordre 1 – par exemple un circuit RC – alors son équation différentielle est simple et facile à résoudre. Vous devriez déjà être familier avec cette approche. ou Utiliser l’approche par transformée. Dans ce cas, on doit transformer l’équation du système, de même que les signaux eux-mêmes. Spécifiquement, on applique alors la Transformée de Laplace au signal d’entrée de même qu’à l’équation différentielle du système. En manipulant ces fonctions dans le domaine transformé, puis en appliquant la transformation inverse, on obtient alors l’expression temporelle du signal de sortie. Nous y reviendrons. ou

Appliquer l’opération de convolution. Il s’agit alors d’appliquer une intégrale – l’intégrale de convolution – faisant

Page 90


2

intervenir le signal d’entrée du système x(t) ainsi que sa réponse impulsionnelle h(t). Cette approche fait l’objet du présent document.

Chacune de ces 3 approches a ses particularités et ses avantages. Notamment, l’approche par transformée donne de l’information sur la stabilité du système ainsi que sur ses modes d’oscillation naturels. De son côté, l’approche par convolution permet de déterminer la réponse d’un système pour toute entrée, pour autant que l’ont connaisse la réponse impulsionnelle du système. 2.0 Systèmes LTI Pour que l’opération de convolution ait un sens, elle doit être appliquée à un système qui a deux propriétés :

1- le système doit être linéaire 2- le système doit être invariant dans le temps

Dans la littérature (la plupart du temps, en anglais) on nomme LTI (« Linear Time Invariant ») ce type de systèmes. Tous les filtres que nous allons rencontrer ont cette propriété. Un système est linéaire si multiplier l’entrée par un gain g a pour unique effet de multiplier la sortie associée par le même gain g : Signal d’entrée Signal de sortie x(t) y(t) g x(t) g y(t) Un système est invariant dans le temps si, en introduisant un décalage t0 dans le signal d’entrée, l’unique effet est de décaler de t0 le signal de sortie, sans en changer la forme d’autre façon :

Signal d’entrée Signal de sortie x(t) y(t) x(t- t0) y(t- t0) Si un système répond simultanément à ces deux conditions, alors on le qualifie de système LTI et on peut appliquer la convolution pour évaluer la réponse à une entrée donnée.

Page 91


3

3.0 Concepts de base Avant de se lancer dans l’étude de la convolution, et des fonctions de Dirac δ(t) dont elle se nourrit, commençons par le commencement. Le point de départ est celui de la « boite noire ». Considérez le schéma suivant

Figure 1. Schéma générique d’un système LTI. Ici, x(t) est l’entrée du système, y(t) est se sortie (la réponse à l’entrée x(t) ) et le système lui-même est dénoté H. Cette notation est conforme à celle des fonctions de transfert, c’est pourquoi on l’utilise tout de suite. (On aurait pu appeler le système « Charlie », mais c’est à la fois trop long à écrire tout le temps, et en plus ça fait familier…) Le système H pourrait être, par exemple, un filtre passif ou un filtre actif, ou toute autre opération de type LTI. Mais ici, on ne connaît pas sa nature. On sait par contre (parce qu’on l’a mesuré) que, si l’entrée du système H est une onde rectangulaire d’amplitude 1 et de durée 1 seconde, alors sa sortie est telle que montrée à la Figure 2.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

t (seconde)

x(t)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

t (seconde)

y(t)

Figure 2. Réponse du système H à une onde rectangulaire de durée 1 seconde.

H x(t) y(t)

H x(t) y(t)

Page 92


4

(On ne risque pas de rencontrer de système ayant ce type de réponse dans la nature, mais nous prenons des formes simples pour illustrer les idées.) Sachant que le système H est LTI, quelle serait alors sa réponse si l’entrée x(t), pour lequel on a mesuré la réponse à la Figure 2, était remplacée par 1.5 x(t)? La linéarité du système produit le résultat de la Figure 3.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

t (seconde)

1.5

x(t)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

t (seconde)

1.5

y(t)

Figure 3. Réponse du système H si l’entrée est 1.5 x(t). Maintenant, quelle sera la réponse du système si on retarde l’entrée x(t) de 2 secondes? Autrement dit, le signal d’entrée est maintenant donné par x(t-2). Puisqu’on assume que le système est invariant dans le temps, la forme de la réponse ne devrait pas être changée. Elle devrait seulement être décalée, du même décalage que le signal d’entrée (ici, 2 secondes). Ceci est montré à la figure 4.

H x(t) y(t)

Page 93


5

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

t (secondes)

x(t-2

)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

t (secondes)

y(t-2

)

Figure 4. Réponse du système H si l’entrée est x(t-2). On se doute fort que si l’entrée est maintenant formée de la somme de x(t) (comme dans la figure 2) et de x(t-2) (comme dans la figure 4), alors la réponse sera formée de la somme des deux réponses respectives. Ceci est montré à la figure 5.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

t (secondes)

x(t)

+ x(

t-2)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

t (secondes)

y(t)

+ y(

t-2)

Figure 5. Réponse du système H si l’entrée est x(t) + x(t-2).

H x(t) y(t)

H x(t) y(t)

Page 94


6

Qu’est-ce qui se passe maintenant si les réponses individuelles sont superposées? Autrement dit, si on a en entrée une série d’impulsions rectangulaires dont la réponse est plus longue que l’espacement entre les impulsions? Puisque le système est linéaire, la réponse à une somme d’impulsions décalées est la somme des réponses (même si ces réponses se superposent). Et puisque le système est invariant dans le temps, la forme des réponses individuelles est la même, à un décalage près. Ainsi, la réponse à deux impulsions successives de durée 1 seconde et d’amplitude 1 est telle que montrée à la figure 6.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

t (secondes)

x(t)

+ x(

t-1)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

t (secondes)

y(t)

+ y(

t-1)

Figure 6. Réponse du système H si l’entrée est x(t) + x(t-1). Notez

que les réponses individuelles se superposent. Cette réponse est la somme de la réponse y(t) à la figure 2, et de la même réponse mais décalée de 1 seconde (i.e. y(t-1)). (Une réponse de forme bizarre, mais souvenez-vous que la réponse de la figure 2, pour une impulsion rectangulaire en entrée, n’a pas la forme que l’on retrouverait pour un système « normal » -- on utilise ici des formes simples pour illustrer les concepts de base). A la figure 6,on observe qu’on peut remplacer une impulsion rectangulaire de durée 2 secondes, par la somme de 2 impulsions rectangulaires de durée 1 seconde, et calculer la réponse en faisant la somme (en fait la superposition) des réponses décalées aux impulsions

H x(t) y(t)

Page 95


7

de durée 1 seconde. C’est le principe fondamental qui mène à la convolution. Pourrait-on, en connaissant la réponse à une impulsion rectangulaire de durée 1 seconde, obtenir de cette façon la réponse à n’importe quel autre signal, même un signal dont la forme n’est pas une suite d’impulsions rectangulaires? Par exemple, quelle serait la réponse à l’entrée dans la figure 7?

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

t (secondes)

x(t)

quel

conq

ue

Figure 7. Le système H, dont l’entrée x(t) est maintenant une onde

de forme quelconque. Et bien, non. On ne pourrait pas obtenir la réponse du système H à cette entrée de forme quelconque (en fait, plutôt arrondie) en connaissant uniquement la réponse à une impulsion rectangulaire de durée 1 seconde, montrée à la figure 2. La raison est qu’il n’est pas possible de remplacer le signal d’entrée x(t) de la figure 7 par une somme d’impulsions rectangulaires décalées, chacune de durée 1 seconde. Par contre, en connaissant la réponse du système à une impulsion de Dirac, alors on pourrait déterminer la réponse à n’importe quelle entrée, en appliquant les mêmes concepts que nous venons de voir. Une impulsion de Dirac est essentiellement une impulsion rectangulaire de durée « nulle », d’amplitude « infinie », et dont la surface demeure égale à 1. En appliquant une intégrale particulière, appelée intégrale de convolution, qui fait intervenir le signal d’entrée

H x(t) y(t)

?

Page 96


8

x(t) et la réponse du système à l’impulsion de Dirac, on peut alors calculer la réponse à tout signal d’entrée. Nous allons voir cela dans la prochaine section. 3.0 La convolution Une fonction importante dans l’analyse des signaux à temps continu est l’impulsion de Dirac, notée δ(t). Cette fonction se représente, théoriquement, comme ayant une amplitude infinie au temps t = 0, et ayant une amplitude nulle pour toutes les autres valeurs de t. Mais en même temps, la fonction δ(t) a la particularité que la surface sous sa courbe vaut 1. Mathématiquement, la fonction δ(t) s’exprime comme suit : 0pour 0)( ≠= ttδ et

∫∞

−∞==

tdtt 1)(δ

En termes clairs : l’impulsion δ(t) est nulle partout sauf à t = 0, mais la surface totale sous la courbe de δ(t) vaut 1. On peut donc visualiser l’impulsion δ(t) comme un rectangle centré à t=0, de largeur infinitésimale ε et de hauteur « infinie » 1/ε. Puisque, de façon générale, l’impulsion δ(t-t0) – i.e. l’impulsion

)(tδ retardée de t0 secondes – est nulle partout sauf à t= t0, on peut écrire : )()()()( 000 tttxtttx −=− δδ

ce qui signifie que multiplier entre elles les fonctions (continues) x(t) et δ(t-t0) revient à multiplier l’impulsion δ(t-t0) par la valeur de x(t) évaluée à t= t0.

Page 97


9

Ainsi, pour obtenir la valeur x(t0), il suffit d’intégrer le produit de fonctions x(t) δ(t-t0) sur tout l’intervalle du temps. Il s’agit d’une des propriétés importantes de la fonction impulsion δ(t) (propriété d’échantillonnage), qui s’énonce comme suit :

∫∞

−∞=−=

tdttttxtx )()()( 00 δ

Cette équation s’interprète comme suit : en multipliant une fonction x(t) par une impulsion une impulsion décalée δ(t-t0), puis en intégrant ce produit de fonctions sur toute l’échelle du temps, on obtient x(t0), la valeur de la fonction x(t) évaluée au temps t = t0 . Maintenant, quand j’écris x(t0) δ(t-t0), il s’agit bien d’une fonction définie sur tout l’intervalle du temps. En fait, c’est l’impulsion δ(t-t0), dont la surface totale vaut 1 (tel que discuté au début de cette section), multipliée par x(t0). Que se passe-t-il si je met les unes à côté des autres ces fonctions x(t0) δ(t-t0), où je fais varier de façon infinitésimale t0 d’une fonction à la suivante? J’obtiens une série d’impulsions infiniment proches les unes des autres, dont l’intensité (la surface) de chacune est proportionnelle à l’amplitude du signal x(t) à la position t0 où se trouve l’impulsion. Il n’y a qu’un pas à faire pour remplacer tout le signal x(t) par la somme de ces impulsions décalées et d’amplitudes proportionnelles au signal, c’est de faire la « somme » (en fait on verra que c’est l’intégrale – la limite d’une somme) de chaque impulsion décalée, multipliée par la largeur (infinitésimale) de chaque impulsion et multipliée par l’amplitude du signal x(t) à la position où se situe chaque impulsion. Appelons τ la position d’une impulsion donnée et dτ la largeur infinitésimale de chaque impulsion. Alors, l’amplitude du signal x(t) au temps t=τ est x(τ) et l’impulsion de Dirac décalée de τ est δ(t-τ). (On utilise τ et non t0 pour signifier le décalage pour simplifier la notation de ce qui va suivre). Avec ces définitions, faire la somme (en fait l’intégrale) des impulsions décalées, multipliées par leur largeur τ et par l’amplitude du signal x(t) à cette position revient à l’intégrale suivante :

∫∞

−∞=−=

τττδτ dtxtx )()()(

Page 98


10

Pourquoi toutes ces complications, dites-vous, si on connaît déjà le signal x(t)? Pourquoi le remplacer par cette intégrale bizarre, qui fait intervenir des fonctions impulsions δ(t-τ) d’amplitude infinie et de largeur infinitésimale? Et bien, voici la magie. Imaginez qu’on a calculé ou mesuré la réponse du système à une impulsion δ(t) en entrée, i.e. une impulsion de Dirac agissant uniquement à t=0. Et appelons h(t), comme c’est l’usage, cette réponse du système à une impulsion (on dit aussi réponse impulsionnelle). Comme on fait l’hypothèse que le système est linéaire et invariant dans le temps (LTI), alors si on a une somme d’impulsions décalées en entrée, on aura en sortie la somme des réponses impulsionnelles décalées. Comme les impulsions sont d’amplitude infinie et de largeur infinitésimale, cette « somme » s’exprime encore comme une intégrale. En clair, si on veut la réponse du système à une entrée x(t) quelconque, il suffit de remplacer les impulsions δ(t-τ) dans l’intégrale ci-dessus par la réponse individuelle de chaque impulsion, i.e. h(t-τ). Ainsi, la réponse y(t) d’un système LTI à toute entrée x(t) s’exprime :

∫∞

−∞=−=

ττττ dthxty )()()(

Cette intégrale porte un nom bien particulier : il s’agit de l’intégrale de convolution. Elle exprime la relation entrée-sortie de tout système LTI si on connaît son entrée x(t) et sa réponse impulsionnelle h(t). L’intégrale de convolution est importante et doit être maîtrisée. Par exemple, comment la calcule-t-on avec des exemples précis de signaux x(t) et h(t)? Et quelles sont ses propriétés principales? C’est ce que nous allons voir dans les prochaines sections. 4.0 La convolution pour les signaux à temps discret Un peu comme les séries de Fourier qui sont plus faciles à comprendre que la transformée de Fourier (une somme d’harmoniques est plus facile à concevoir que l’intégrale de Fourier), la convolution se comprend beaucoup plus aisément dans le domaine du temps discret

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11

(suite d’échantillons) que dans le domaine du temps continu. La somme de convolution (très facile à comprendre) pour un signal à temps discret a la même forme que l’intégrale de convolution pour les signaux à temps continu. Ses propriétés sont aussi très similaires. Nous allons donc faire une petite incartade du côté des signaux à temps discret pour aider notre compréhension. De plus, comme nous allons utiliser MatLab pour approximer l’intégrale de convolution, autant bien comprendre la convolution sur des signaux à temps discret (réalisée par la fonction conv dans MatLab). Un signal à temps discret est un signal qui ne peut prendre de valeurs qu’à des instants discrets du temps. Ainsi, le signal x[nT] est un signal à temps discret, dont l’intervalle temporel entre les échantillons est T (période d’échantillonnage). L’entier n = …, -2, -1, 0, 1, 2, … permet de numéroter les échantillons successifs, qui se trouvent aux temps discrets t = …, -2T, -T, 0, T, 2T, … Pour simplifier la notation, on écrit simplement x[n] au lieu de x[nT], en se rappelant toutefois que lorsqu’on écrit x[n], on veut dire le signal x(t) évalué au temps t=nT. Un des avantages des signaux à temps discret est qu’une impulsion de Dirac n’a plus à avoir une hauteur infinie, puisque la notion de « largeur » de l’impulsion n’a aucun sens dans un signal discret. L’impulsion de Dirac discrète sera simplement un signal qui vaut 0 à tous ses échantillons, sauf un seul qui vaudra 1. Tout simplement. Soit donc le système LTI à temps discret de la figure suivante : où les signaux x[n] et y[n] sont simplement des séries d’échantillons (des tableaux dans MATLAB, par exemple). Supposons maintenant que la réponse à l’impulsion discrète

est

LTI x[n] y[n]

⎩⎨⎧

=≠

==0pour 10pour 0

][][nn

nnx δ

Page 100


12

(On utilise la notation réservée δ[n] pour l’impulsion de Dirac discrète, et h[n] pour la réponse à l’impulsion (ou réponse impulsionnelle) du système, puisque ce sont des fonctions spéciales, et importantes, pour décrire un système.) On a donc graphiquement :

Figure 8. Exemple de réponse à l’impulsion d’un système discret. Quelle serait maintenant la sortie y[n] si l’entrée était plutôt telle que montrée dans la figure suivante :

⎩⎨⎧ =

==ailleurs 0

2et 1,0pour 1][][

nnhny

LTI x[n]=δ[n] y[n]=h[n]

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13

Pour obtenir la réponse, il faut appliquer le principe de superposition des systèmes LTI (qu’ils soient discrets ou non), qui dit que la réponse d’une somme est la somme des réponse individuelles. Ainsi, le signal x[n] de la figure ci-haut est la somme de 3 impulsions décalées, la première à n=0, la seconde à n=1 et la troisième à n=2. La réponse à cette somme de 3 impulsions décalées sera donc la somme des réponses individuelles. Comme le système est Invariant dans le Temps (« TI »), la forme de la réponse ne dépend pas du moment où on applique l’entrée. Ainsi, la réponse y[n] à l’entrée x[n] montrée ci-haut devrait être la somme des trois signaux suivants : n -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 … y0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 … y1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 … y2 0 0 0 0 1 1 1 0 0 … où y0 est la réponse à l’impulsion centrée à n=0, y1 est la réponse à la seconde impulsion, centrée à n=1, et ainsi de suite. La somme de ces trois réponses donne la sortie y[n] suivante : y 0 0 1 2 3 2 1 0 0 … Graphiquement :

Figure 9. Entrée-sortie pour le système de la figure 8. On voit donc qu’en remplaçant l’entrée x[n] par une somme d’impulsions décalées (éventuellement d’amplitudes différentes…), on

LTI x[n] y[n]

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14

obtient la sortie en superposant la réponse à chacune de ces impulsions (somme de réponses impulsionnelles décalées). Ceci se formalise comme suit :

où h[n-k] est la réponse impulsionnelle décalée de k échantillons (vers la droite), et x[k] est l’amplitude de l’échantillon k du signal d’entrée. Ainsi, h[n-k] est la réponse à une impulsion (d’amplitude 1) qui se produit à n=k, et donc x[k]h[n-k] est la réponse de l’échantillon x[k] qui est à la position n=k. On fait la somme sur toutes les valeurs possibles de k, i.e. que l’on considère tous les échantillons x[k] (de k=-∞ à k=∞) de x[n]. Dans l’exemple ci-dessus, on a uniquement 3 échantillons non-nuls en entrée, et donc la somme n’a qu’à prendre en compte les valeurs k=0, 1 et 2 uniquement, ce qui donne :

où h[n] est la réponse impulsionnelle montrée en haut de la page 15, et h[n-k] est cette même réponse impulsionnelle mais décalée de k échantillons vers la droite (en retard…). Notez que si les échantillons de x[n] avaient été [1 2 –1] au lieu de [1 1 1] comme à la figure du haut de la page 16, la réponse du système, selon l’équation ci-dessus, aurait plutôt été :

∑∞

−∞=

−=k

knhkxny ][][][

]2[ 1 ]1[ 1 ][ 1 ]2[]2[ ]1[]1[ ][]0[

][][

][][][

2

0

−+−+=−+−+=

−=

−=

∑

∑

=

∞

−∞=

nhnhnhnhxnhxnhx

knhkx

knhkxny

k

k

]2[ 1 ]1[ 2 ][ 1 ]2[]2[ ]1[]1[ ][]0[

][][

][][][

2

0

−−−+=−+−+=

−=

−=

∑

∑

=

∞

−∞=

nhnhnhnhxnhxnhx

knhkx

knhkxny

k

k

Page 103


15

Cette équation est justement ce qu’on appelle la somme de convolution : Notez que la forme de la somme de convolution est essentiellement la même que l’intégrale de convolution pour les signaux à temps continu. Exercez vous à la convolution avec les deux exemples ci-dessous. On ne donne pas la solution, mais vous pouvez vérifier votre réponse avec la fonction conv de MatLab. Exercice 1 Un système discret LTI a une réponse impulsionnelle montrée à la figure suivante :

Calculez, par la méthode de la convolution, la réponse de ce système au signaux x[n] suivants (affichez le résultat): (a) x[n] = 1 pour 0 ≤ n ≤ 3

0 ailleurs (b) x[n] = 1 pour n = 0 -1 pour n = 1

0 ailleurs

∑∞

−∞=

−=k

knhkxny ][][][

Page 104


16

Exercice 2

Un signal y[n] est obtenu en convoluant un signal x[n] dont les seuls échantillons non-nuls sont entre n=2 et n=7 inclusivement, et un signal h[n] dont les seuls échantillons non-nuls sont entre n=1 et n=3.

(a) Quelle sera la durée (en échantillons) du signal y[n]? (b) Quelles seront les positions N1 e N2 du premier échantillon non-

nul et du dernier échantillon non-nul de y[n]? 5.0 Convolution avec MatLab Parmi les nombreuses fonctions librairies de MATLAB, on retrouve la fonction de convolution appelée simplement conv.

Cette fonction prend deux vecteurs en entrée (les deux signaux à convoluer) et retourne le résultat de la convolution dans un autre vecteur.

Par exemple, le code MATLAB suivant montre comment convoluer un signal x[n] qui vaudrait 1 pour ses 3 premiers échantillons, et 0 ailleurs, avec un signal h[n] qui aurait la même forme.

Quel résultat obtiendrait-on si le signal x[n] était retardé d’un échantillon? Bien évidemment, la sortie serait la même, mais retardée aussi d’un échantillon. C’est ce que montre le code suivant, où le premier « 0 » du résultat y[n] implique un décalage de 1 échantillon de tout le reste du signal, qui demeure inchangé par rapport au résultat ci-haut :

Page 105


17

MATLAB nous offre même le « luxe » de l’opération inverse, i.e. deconv. Avec cette fonction, on peut retrouver l’entrée du système si on connaît sa sortie et sa réponse impulsionnelle, comme le montre le code suivant :

(C’est bien le même x que dans la figure précédente). On ne va pas utiliser cette fonction de déconvolution dans les systèmes à temps continu.

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18

6.0 Les deux points de vue de la convolution Le terme convolution vient du latin convolvere, qui signifie « retourner ». On n’a encore rien « retourné », et pourtant on a bien fait une convolution. C’est parce qu’il existe deux façons de concevoir l’opération de convolution, selon notre interprétation de l’équation

La première interprétation, nous la connaissons déjà. La réponse y[n] est la somme de réponses impulsionnelles décalées h[n-k], chacune étant multipliée par la valeur du signal x[n] au temps n=k, i.e. multipliée par l’échantillon x[k]. On trouve cependant une seconde interprétation de la convolution, qui explique son nom, et qui permet aussi d’obtenir une bonne idée de l’allure de la réponse temporelle d’un système à une entrée donnée, pour autant qu’on ait sa réponse impulsionnelle (h(t) en continu, ou h[n] en discret). Pour obtenir cette deuxième interprétation de la convolution, considérez, dans la somme de convolution donnée ci-haut, la variable k, et non la variable n, comme la variable de temps, et considérez n comme le décalage. Autrement dit, au lieu de dire

« Pour obtenir la réponse y[n], je fait la somme des réponses impulsionnelles h[n] décalées de k (i.e. h[n-k]) multipliées par la valeur de l’échantillon x[k] correspondant en entrée »

dites plutôt

« Pour obtenir l’échantillon n de la réponse y[n], je fais le produit du signal d’entrée x[k] (je considère le signal x[k] au complet, comme si c’était x[n]) avec la fonction h[n-k], puis j’intègre (je fais la somme) le produit de ces deux fonctions sur toutes les valeurs du temps (i.e. sur toutes les valeurs de k) »

∑∞

−∞=

−=k

knhkxny ][][][

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19

Cette deuxième façon n’est pas la plus intuitive, mais elle est riche de conséquences pour comprendre ce qui va suivre, alors un peu d’effort… Prenons un exemple simple, et suivons le raisonnement pas à pas. Soient donc deux signaux x[n] et h[n], qui représentent respectivement l’entrée d’un système LTI (à gauche) et sa réponse impulsionnelle (à droite), et que l’on désire convoluer pour obtenir la réponse du système à l’entrée x[n]. On suppose que le système est initialement au repos. Les deux figures suivantes montrent x[n] et h[n].

Puisqu’on désire considérer k comme la variable temporelle, on va plutôt afficher ces signaux en fonction de k, i.e. x[k] et h[k] :

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20

Pour l’instant, ce n’est qu’un changement de variable (on change n pour k). Mais ceci nous permet maintenant de considérer x[k] dans la somme de convolution comme un signal complet (et non comme un échantillon unique du signal x[n] au temps n=k). De plus, la fonction h[n-k] s’interprète autrement si on considère k, et non n, comme la variable de temps: c’est la fonction h[k], que l’on inverse dans le temps (pour obtenir h[-k]), et à laquelle on applique un décalage n (pour obtenir finalement h[n-k]). Dans quel sens est le décalage n? (un retard – i.e. vers la droite – ou une avance – i.e. vers la gauche). Eh bien, vers la droite si n est positif, et vers la gauche si n est négatif. Pensez-y : si vous connaissez la fonction h[-k], et que vous désirez avoir sa correspondance avec les échantillons de h[-k+1]= h[1-k] (n=1), vous obtenez k h[-k] h[-k+1] 0 h[ 0] h[ 1] 1 h[-1] h[ 0] 2 h[-2] h[-1] 3 h[-3] h[-2] . . . Ainsi, chaque échantillon de h[-k] est décalé de 1 échantillon vers la droite (retard) dans h[-k+1]. En général, donc, la fonction h[-k+n] est retardée de n échantillons par rapport à la fonction h[-k]. Nous pouvons maintenant effectuer la convolution, selon ce deuxième point de vue, qui consiste, rappelons-le, à faire le produit des fonctions x[k] et h[n-k], puis de faire la somme, pour obtenir l’échantillon n de la sortie y[n]. Les figures suivantes résument le processus pour n entre 0 et 4 inclusivement, pour les signaux x[n] et h[n] de la page précédente. La figure du haut à gauche montre le signal x[k] (changement de variable n pour k). Les figures de la colonne de gauche, sous x[k], montrent les différentes versions de h[n-k] pour n entre 0 et 4 inclusivement, et les figures de droite montrent la valeur de y[n] correspondante, de même que sa position dans le temps (i.e. à l’échantillon n). En abscisse, on a la variable k, entre –3 et 6. Vérifiez que y[n] est égal à la somme, sur toutes les valeurs de k, du produit entre x[k] et h[n-k].

Page 109


21

Illustration de la convolution en sommant le produit x[k] h[n-k]

7.0 La convolution pour les signaux continus : un exemple

Page 110


22

En comparant la somme de convolution

à l’intégrale de convolution on remarque que leur forme est identique. La différence, bien entendu, est que τ et t son des variables continues, alors que k et n sont des variables discrètes (valeurs entières uniquement). De plus, on retrouve l’élément dτ dans l’intégrale, puisqu’on y fait une « somme » d’un nombre infini de fonctions. Mais autrement, leur expression est identique. Notez qu’on utilise en général la notation x(t) * h(t) pour signifier l’intégrale de convolution des signaux x(t) et h(t). Ici, le symbole « * » ne représente pas le produit, mais bien l’intégrale de convolution de l’équation encadrée ci-haut. La convolution permet de déterminer la réponse y(t) d’un système à tout signal d’entrée x(t). Il suffit de connaître la réponse impulsionnelle h(t) du système. L’exemple suivant permettra d’illustrer le principe pour un circuit simple, le circuit RC.

∑∞

−∞=

−=k

knhkxny ][][][

∫∞

−∞=

−=τ

τττ dthxty )()()(

Page 111


23

Considérez donc le circuit RC suivant : où R = 1 kΩ, C = 1 µF, et x(t) et y(t) sont respectivement la tension en entrée et la tension en sortie. Le circuit est initialement au repos (x(0) = 0 et y(0) = 0). Déterminez, par la méthode de la convolution, la réponse de ce circuit au signal x(t) montré ci-dessous :

En sachant que la réponse impulsionnelle du circuit est donnée par

Avec les valeurs de R et C données ci-dessus, on a

R

C

x(t)

y(t)

)(1)( / tueRC

th RCt−=

)(1000)( 1000 tueth t−=

Page 112


24

La fonction u(t) est la fonction échelon, qui vaut 0 pour les temps négatifs et 1 pour t>0. La figure suivante montre les premiers 5 ms de la réponse à l’impulsion h(t) du circuit :

Pour obtenir la réponse à l’entrée x(t), il suffit maintenant de convoluer x(t) avec h(t) montré ci-dessus. Graphiquement, on peut observer que le résultat de cette convolution sera différent selon que 0<t<3 ms ou t>3 ms (et pour t<0, le résultat sera nul). Ceci peut se voir dans la figure ci-dessous, où on voit x(τ) et h(t- τ) pour différentes valeurs de τ. La figure du haut montre le signal x(τ) (notez le changement de variable t pour τ). Les 4 figures suivantes montrent h(t- τ) pour 4 valeurs du temps, soit t=0, 1, 3 et 5 ms respectivement. L’axe horizontal est le temps τ, en millisecondes. La sortie y(t) au temps t est simplement le produit de x(τ) avec h(t- τ), intégré sur toutes les valeurs du temps τ (définition de la convolution). Dans cet exemple, x(τ) étant non nulle seulement pour τ compris entre 0 et 3 ms, le produit x(τ) h(t- τ) ne peut être non nul que sur cet intervalle. Plus précisément, le produit x(τ) h(t- τ) est nul partout sauf entre τ=0 et τ=t lorsque le décalage t est entre 0 et 3 ms, et entre τ=0 et τ=3 ms lorsque le décalage t est plus grand que 3 ms.

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25

Page 114


26

On a donc 2 intégrales de convolution, selon la valeur de t : 1) Pour t entre 0 et 3 ms , on a

2) Pour t plus grand que 3 ms, on a

Et pour t < 0, la réponse y(t) est nulle. La figure suivante montre la réponse y(t), formée de y1(t) pour t entre 0 et 3 ms, suivie de y2(t) pour t > 3 ms.

t

tt

tt

t

e

e

de

dthxty

10000

)(1000

0

)(1000

01

1

10001000

1000)1(

)()()(

−

=

−−

=

−−

=

−=

=

=

−=

∫

∫

τ

τ

τ

τ

τ

τ

τττ

tt

t

t

ee

e

de

dthxty

1000)003.0(1000

003.0

0

)(1000

003.0

0

)(1000

003.0

02

10001000

1000)1(

)()()(

−−−

=

−−

=

−−

=

−=

=

=

−=

∫

∫

τ

τ

τ

τ

τ

τ

τττ

Page 115


27

On observe que la durée du pulse rectangulaire en entrée (page 27) est trop courte pour que le condensateur se charge complètement lors de la première phase de la réponse (y1(t)). Ceci est cohérent avec la forme de la réponse impulsionnelle h(t) du circuit, montrée à la page 28, qui ne devient presque nulle qu’après 5 ms, alors que le pulse en entrée ne dure que 3 ms. La définition même de la convolution nous permet maintenant de comprendre que la durée de la période transitoire de la réponse d’un système est étroitement liée à la durée de la réponse impulsionnelle du système. On observe dans la deuxième phase de la réponse (y2(t)), on observe essentiellement la forme de la réponse impulsionnelle, puisque l’entrée devient tout à coup nulle à partir de 3 ms. Avec un peu de pratique, la convolution n’aura plus de secrets pour vous. Assurez-vous de faire quelques exercices (voir à la fin de ce document) pour vous « faire la main ».

Page 116


28

8.0 Utiliser MatLab pour approximer l’intégrale de convolution Dans la section 5.0, on a vu comment utiliser la fonction MatLab conv pour convoluer deux signaux à temps discret. On peut utiliser MatLab aussi pour obtenir une bonne estimation numérique de l’intégrale de convolution entre deux signaux analogiques. Pour voir ceci, nous allons résoudre avec MatLab l’exemple précédent avec le circuit RC. Rappelons que le signal d’entrée était donné par x(t) = 1 pour 0 < t < 3 = 0 ailleurs et que la réponse impulsionnelle de ce circuit est donnée par h(t) = 1000 exp(-1000 t) u(t) En notant que la somme de convolution

et l’intégrale de convolution

∫∞

−∞=−=

ττττ dthxty )()()(

ont la même forme, sauf pour l’élément différentiel dτ, on peut déduire que pour approximer l’intégrale par la somme, il suffit de multiplier le résultat de la somme par l’élément dτ. Ainsi, l’exemple de code MatLab suivant montre comment on obtient par convolution la réponse du circuit RC à l’entrée x(t) définie plus haut. Notez qu’on doit choisir un incrément temporel assez petit pour pouvoir « commencer à le considérer » comme un élément différentiel.

>> dT = 0.005 / 1000; % incrément temporel (élément différentiel) >> t = 0 : dT : 0.005 - dT; % échelle de temps >> >> x = [ones(1,600) zeros(1,400)]; % signal d’entrée (version discrète) >> h = 1000*exp(-1000*t); % réponse impulsionnelle >> >> y = conv(x,h) * dT; % intégrale de convolution >> >> tt = 0 : dT : 2*(0.005 - dT); % échelle de temps pour la sortie >> >> plot(1000*t,x) % affichage de l’entrée

∑∞

−∞=

−=k

knhkxny ][][][

Page 117


29

>> axis([0 5 -1 2]) >> >> plot(1000*t,h) % affichage de la rép. impulsionnelle >> >> plot(1000*tt,y) % affichage du résultat de la conv.

On note qu’on a d’abord définit l’élément différentiel dT. On l’a pris égal à 1/1000e de la durée d’observation du signal d’entrée (i.e. 5 millisecondes). Ca veut dire que les versions discrètes des signaux à convoluer seront des tableaux comportant 1000 valeurs. Plus dT sera petit, meilleure sera l’approximation de l’intégrale, mais plus le temps de calcul sera long. On suggère de s’en tenir à quelques milliers d’échantillons au plus. On a ensuite définit une échelle de temps, allant de 0 à 0.005 seconde (excluant cette dernière valeur, pour avoir 1000 et non 1001 échantillons). Puis, on définit les signaux à convoluer, i.e. d’abord x puis h. Pour x, comme c’est une onde rectangulaire de durée finie, on le définit avec les fonctions MatLab zeros et ones en utilisant la propriété de concaténation des crochets «[ » et « ] ». Pour h, comme on a son expression analytique (une exponentielle décroissante) on la définie avec la fonction exp de MatLab. Ensuite, lorsqu’on a discrétisé les signaux à convoluer, on appliquer la fonction conv à ceux-ci, en n’oubliant pas de multiplier le tout par l’élément différentiel dT (qui se trouve dans l’intégrale). Le résultat, noté y, est la version numérique approximée du résultat de l’intégrale de convolution appliquée à x et h. Notez que la durée de la sortie est la somme des durées de x et de h. C’est pour cette raison que nous avons redéfinit l’échelle de temps tt pour afficher la sortie y en fonction du temps (tt). Le résultat de cette convolution est montré ci-dessous. On note que c’est le même résultat que celui obtenu « au long » dans l’exercice sur le réseau RC (le temps est en milliseconds, sur l’abcisse). On a donc montrée qu’on peut utiliser MatLab pour obtenir une version numérique (et approximative) de l’intégrale de convolution.

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30

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

On peut faire un autre exemple, pour montrer l’intérêt de l’approximation numérique. Supposons qu’on désire connaître la réponse à ce même circuit RC si l’entrée est une sinusoïde de 1000 Hz redressée double alternance. On prendra ici une durée d’observation de 10 millisecondes et un incrément différentiel de 1/1000e de la durée d’observation. Le code MatLab est le suivant (notez l’usage de la fonction abs pour redresser le signal – dans un circuit analogique, un pont de diodes ou une structures active intégrant des diodes serait utilisé pour redresser le signal).

>> dT = 0.010 / 1000; % incrément différentiel >> t = 0 : dT : 0.010 - dT; % échelle de temps >> >> x = sin(2*pi*1000*t); % signal d’entrée discrétisé >> xa = abs(x); % signal d’entrée redressé >> >> h = 1000*exp(-1000*t); % réponse impulsionnelle >> >> y = conv(xa,h) * dT; % résultat de l’intégrale de convolution >> plot(1000*t,y(1:length(x)))

Le résultat de cette convolution est montré à la figure suivante (plot de la dernière ligne ci-dessus, où le temps est en millisecondes) :

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31

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

Ce dernier exemple, et la forme montrée ci-dessus, sont très similaires à ce que vous rencontrerez à un point précis du circuit de l’unité 1. Notez que si on avait affiché la réponse y en entier, on aurait obtenu un signal qui décroît dans sa deuxième moitié. Comme on suppose que la sinusoïde redressée est « infinie », i.e. qu’elle se poursuit sans s’arrêter, alors seule la partie de la réponse qui correspond à la durée de l’entrée observée a du sens dans ce contexte. Pour terminer ce document sur la convolution, on vous suggère de résoudre les exercices de la section 9.0 ci-dessous. Vous pouvez facilement vérifier vos réponses avec vos nouvelles compétences MatLab en convolution. 9.0 Autres exercices sur la convolution Sans faire le calcul de l’intégrale, i.e. uniquement en dessinant les signaux (possiblement inversés et décalés dans le temps), obtenez le résultat y(t) de la convolution des paires de signaux x(t) et h(t) suivants.

Page 120


32

(a)

Résultat :

Refaites le même exercice si la durée de h(t) 1 sec au lieu de 0.5 sec.

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33

(b)

Résultat :

(c) Convolution avec des impulsions de Dirac. On vous demande maintenant de convoluer x(t) et h(t) montrés ci-dessous, où h(t) est formé de deux impulsions de Dirac à t = 3 et à t = -3. Puisqu’on ne peut pas montrer de signaux infinis (…), h(t) a une amplitude maximale dans le graphique ci-dessous. Assumez cependant qu’il est formé de deux impulsions idéales, i.e. infiniment étroite, d’amplitude infiniment élevée, et de surface unitaire.

Page 122


34

Résultat :

Conclusion : convoluer un signal x(t) avec une série d’impulsions de

Dirac (h(t)) produit un signal y(t) de même forme que x(t), mais reproduit et centré à chacune des impulsions de h(t)

Notez que si x et h avaient été dans le domaine des fréquences (des spectres), on aurait eu le même résultat (on peut convouer des spectres entres eux –eh oui – la convolution n’est pas uniquement réservée au domaine du temps…

Page 123


35

Ainsi, on a une nouvelle interprétation de la modulation AM : lorsqu’on multiplie entre eux deux signaux (x(t) et la porteuse p(t)), ceci revient à convoluer leurs spectres… En effet, si x et h montrés ci-dessus avaient été des spectres, le signal y est le résultat de la convolution de x avec h, mais c’est aussi le spectre du signal modulé en amplitude. Ceci constitue une propriété centrale de la convolution : Multiplier (moduler) deux signaux dans un domaine (par

exemple, le temps) revient à les convoluer dans l’autre domaine (les fréquences).

Elle a son dual dans les fréquences : multiplier deux spectres revient à convoluer les signaux dans le temps. On a donc : f(t) F(ω) f1(t) * f2(t) F1(ω) F2(ω) f1(t) f2(t) [1/(2π)] [F1(ω) * F2(ω)] où « * » est l’opérateur de convolution. Sur la première ligne, f1(t) * f2(t) représente la convolution de f1(t) avec f2(t) (un filtrage…) ce qui revient à multiplier leurs spetres entre eux. Sur la deuxième ligne, f1(t) f2(t) est simplement le produit f1(t) avec f2(t) (modulation AM), ce qui revient à convoluer leurs spectres.

Page 124


36

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Partie 6

La transformée de Fourier

Page 126

GEL211 – Mathématiques des Signaux Continus

La transformée de Fourier 1.0 Introduction Dans le chapitre sur les séries de Fourier, on a vu comment remplacer un signal périodique x(t) par une somme d’harmoniques. Les harmoniques sont des sinusoïdes dont les fréquences sont des multiples entiers de la fréquence fondamentale du signal x(t) (1/T si T est la période fondamentale de x(t)). La somme de ces harmoniques est nécessairement un signal périodique, de même période que x(t). Lorsqu’on fait la somme de toutes les harmoniques (dans certains cas, une infinité), on obtient x(t). Alors, comment faire l’analyse spectrale du signal suivant, qui n’est pas périodique?

Ce signal est nul jusqu’à t=0, il vaut ensuite 1 pour 0 < t < ½ seconde, puis il vaut à nouveau 0 pour t > ½. Clairement, ce signal n’est pas périodique. Peut-on alors quand même le remplacer par des sinusoïdes, comme dans le cas d’un signal périodique? La réponse est : oui. La section suivante montre comment on y arrive. 2.0 La limite des séries de Fourier Comme on sait déjà calculer les composantes sinusoïdales (les harmoniques) d’un signal périodique, ce sera notre point de départ. En effet, nous allons « périodiser » le signal apériodique ci-haut, puis voir ce qui se passe lorsqu’on fait tendre sa période vers l’infini (suivez bien notre raisonnement…).

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Hiver 2008 GEL211 - Mathématiques des Signaux Continus La transformée de Fourier Roch Lefebvre, Professeur titulaire

2

La figure suivante montre le signal obtenu en répétant périodiquement l’intervalle 0 < t < 1 du signal ci-haut :

On sait faire l’analyse spectrale de ce signal. La période fondamentale est T=1 seconde. Les coefficients de Fourier X(k) se trouvent (comme on l’a vu dans le chapitre sur les séries de Fourier) par l’équation : Le module des 10 premiers coefficients est montré dans la figure ci-dessous. On a mis, en abscisse, la fréquence f (en Hz) des harmoniques (et non leur numéro k) afin de comparer entre elles les prochaines figures. Ainsi, l’axe des fréquences montre f = k/T. (ici, T=1, mais ce ne sera pas le cas dans les prochaines figures).

∫=

=

−=Tt

t

tjk dtetxT

kX0

0)(1)( ω

Page 129


3

Que se passe-t-il maintenant si on double la période du signal? Autrement dit, on répète périodiquement l’intervalle 0 < t < 2 secondes du signal de la page 1, comme le montre la figure suivante :

On observe que dans une période, le facteur d’activité est maintenant de 25% (0 à ½ seconde, pour une période de 2 secondes). Les coefficients de Fourier seront certainement différents de ceux du signal précédent, dont la facteur d’activité était 50% (0 à ½ seconde, pour une période de 1 seconde). En calculant le module des 20 premiers coefficients de Fourier de ce signal périodique, de période T=2 secondes, on obtient la figure suivante (encore ici, l’axe des fréquences montre k/T, et non k) :

Portez bien attention à l’axe des fréquences. Dans le spectre du bas de la page 2, on avait 5 raies spectrales entre 0 et 5 Hz (en excluant la DC et en comptant les raies d’amplitude nulle), donc des raies à 1, 2, 3, 4, et 5 Hz. Dans le spectre ci-haut, on a maintenant 10 raies spectrales entre 0 et 5 Hz (à ½, 1, 3/2, 2, …, i.e. par intervalle de 1/T, où T est la période --- 2 secondes).

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4

Allons maintenant plus loin en répétant périodiquement l’intervalle 0<t<4 secondes du signal apériodique de la page 1. Ceci donne le signal de la figure suivante, de période T=4 secondes :

En calculant les 40 premiers coefficients de Fourier de ce signal de période T=4 secondes, on obtient (pour le module) la figure suivante (axe des fréquences gradué en k/T):

Nos conclusions :

1) A mesure que l’on augmente la période T, les raies spectrales sont de plus en plus rapprochées (puisque chaque raie se retrouve à la fréquence k/T)

2) L’enveloppe du spectre reste identique, sauf que sa valeur maximale diminue avec la période (avec T=1, le maximum du spectre est 0.5 (page 2), avec T=2, le maximum du spectre est 0.25 et avec T=4, le maximum du spectre est 0.125), etc. Ceci est normal puisque la valeur moyenne du signal diminue.

Page 131


5

3) Conséquence du point (2) : si on multiplie les coefficients de Fourier par la période T, les spectres retrouvent tous la même amplitude (i.e. 0.5 – vérifiez bien).

4) En prenant T → ∞, et en multipliant les coefficients de Fourier X(k) par T, on devrait donc obtenir l’enveloppe du spectre (i.e. la courbe par où passent tous les points de chacun des spectres vus précédemment)

En appliquant le point (4), on arrive à la définition de la transformée de Fourier. Ainsi, le module de la transformée de Fourier du signal suivant (impulsion rectangulaire, de durée ½ seconde)

devrait être la figure suivante :

où l’axe horizontal est la fréquence f (en Hz), et l’axe vertical est le module de la transformée.

Page 132


6

3.0 Expression mathématique de la transformée de Fourier Lorsque l’on fait tendre la période T vers l’infini, la fréquence fondamentale ω0 = 2π/T tend vers zéro, ou plus précisément, ω0 tend vers un élément différentiel dω. Ainsi, la fréquence kω0 de l’harmonique k tend vers la fréquence continue ω (les harmoniques sont tellement rapprochées qu’on peut les considérer sur un axe de fréquences continues). Ainsi, lorsque l’on fait tendre la période T vers l’infini, on a le signal x(t) apériodique de la page 1 (par exemple), et l’intégrale de Fourier : devient une fonction de ω et non de k (kω0 = ω ). De plus, pour éviter que cette intégrale ne tende vers 0 (T tend vers l’infini), il faut la multiplier par T . On obtient donc finalement la transformée de Fourier d’un signal apériodique : i.e. Remarquez que l’on a pris l’intervalle -∞<t<∞ dans cette intégrale. Puisque les séries de Fourier sont définies pour n’importe quelle période T du signal, on aurait tout aussi bien pu écrire ce qui tendrait bien vers l’intégrale encadrée ci-haut lorsque T tend vers l’infini.

∫=

=

−=Tt

t

tjk dtetxT

kX0

0)(1)( ω

∞→= TkTXX lorsque )()(ω

∫∞=

−∞=

−=t

t

tj dtetxX )( )( ωω

∫=

−=

−=2/

2/

0)(1)(Tt

Tt

tjk dtetxT

kX ω

Page 133


7

On doit aussi réécrire l’équation de synthèse, c.a.d. la transformée de Fourier inverse, lorsque T tend vers l’infini. L’équation de synthèse pour les séries de Fourier est :

i.e. x(t) est la somme de toutes ses harmoniques. Lorsque la période T tend vers l’infini, la fréquence kω0 de chaque harmonique k devient la fréquence continue ω, et la somme devient une intégrale sur ω (i.e. sur toutes les harmoniques à toutes les fréquences kω0 = ω). Mais pour faire une intégrale avec cette somme, il faut bien un élément différentiel dω. Rappelons-nous qu’une intégrale peut être vue comme la limite d’une somme de surfaces élémentaires sous une courbe (encore le CEGEP…), chaque surface ayant la forme d’un rectangle très étroit et de hauteur égale à la fonction intégrée. Dans notre cas, la base de ces surfaces élémentaires est dω, et leur « hauteur » est

(puisque X(k) est le coefficient de Fourier de la raie k, qui se trouve en fait à la fréquence kω0 = ω, autrement dit, X(k) = X(kω0) = X(ω) ). On peut donc écrire : i.e. l’équation de synthèse, que l’on appelle « transformée de Fourier inverse », qui permet de reconstruire le signal x(t) à partir de son spectre de Fourier X(ω). Notez bien ici que X(ω) est une fonction continue (et non pas une série de « bâtonnets » X(k) comme dans le cas des séries de Fourier, applicables uniquement aux signaux périodiques). Le facteur 1/(2π) est plus subtil à expliquer … Les fonctions encadrées des pages 6 et 7 permettent de passer du domaine du temps au domaine des fréquences, et vice-versa, pour

∑∞

−∞==

ktjkekXtx 0)()( ω

tjtjk eXekX ωω ω)()( 0 =

∫∞=

−∞=

=ω

ω

ω ωωπ

deXtx tj )( 21)(

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8

tout signal x(t), sans imposer que celui-ci soit périodique. Ce sont les équations de la transformée de Fourier. Si le développement mathématique de cette section vous laisse un peu froid, voyez simplement ces deux équations comme une extension des séries de Fourier à des signaux x(t) apériodiques quelconques. Les différences fondamentales sont donc :

Signaux périodiques Formés uniquement de sinusoïdes dont les fréquences sont des multiples entiers de la période fondamentale (les harmoniques) Représentation spectrale : X(k) (Séries de Fourier) X(k) est une fonction discrète X(k) s’obtient en échantillonnant X(ω) à intervales discrets k/T

Signaux apériodiques Formés de sinusoïdes à toutes les fréquences Représentation spectrale : X(ω) (Transformée de Fourier) X(ω) est une fonction continue X(ω) est l’enveloppe des raies X(k), i.e. la courbe qui passe par le sommet de chaque raie spectrale X(k)

4.0 Un exemple Exemple 4.1 Calculez la transformée de Fourier X(ω) du signal x(t) montré à la figure suivante (l’axe horizontal est le temps t, en secondes)

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9

et montrez qu’en remplaçant ω par kω0, et en divisant par T, on obtient les coefficients de Fourier X(k) d’une onde carrée périodique. Solution Le signal x(t) est une impulsion rectangulaire, d’amplitude 1, de durée ½ seconde, commençant à t=0. Sa transformée de Fourier est donnée par (définition à la page 6) : puisque x(t) est nul à l’extérieur de l’intervalle 0<t<½. En intégrant, on trouve En mettant le terme e-jω/4 en évidence, on obtient finalement : Le terme entre parenthèses est « presque » un sinus (théorème d’Euler). Il faudrait simplement retrouver 2j au dénominateur. On va donc réécrire le dénominateur comme suit :

∫

∫=

=

−

∞=

−∞=

−

=

=

2/1

0

1

)( )(

t

t

tj

t

t

tj

dte

dtetxX

ω

ωω

ω

ω

ωω

ω

ω

ω

jej

e

jeX

j

j

t

t

tj

2/

2/

2/1

0

1

1

)(

−

−

=

=

−

−=

−−

=

−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=

−−

ωω

ωωω

jeeeX

jjj

4/4/4/)(

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=

−−

)4/)(2)(2()(

4/4/4/

ωω

ωωω

jeeeX

jjj

Page 136


10

de sorte que X(ω) peut maintenant s’écrire : (Le facteur ½ vient du terme « 2 » qui est tout seul au dénominateur de l’expression au bas de la page 9). Noter que le terme est le sinus cardinal de ω/4. En général, le sinus cardinal de x s’écrit On montre facilement que sinc(0) = 1 (puisque sin(x) tend vers x lorsque x tend vers 0…) On peut maintenant afficher le module et la phase de la transformée de Fourier X(ω): Module de X(ω) vs ω Phase de X(ω) vs ω

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= −

)4/()4/sin(

21)( 4/

ωωω ωjeX

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛)4/(

)4/sin(ω

ω

sin(x)sinc(x)x

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

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11

On peut aussi afficher le module et la phase de X(ω) en fonction de la fréquence f en Hz. Il suffit de remplacer ω par 2πf. X(ω) devient X(f) : Module de X(f) vs f Phase de X(f) vs f

Notez que l’on obtient, pour le module, le même spectre qu’à la page 5. Normal, puisque le signal x(t) analysé (onde carrée de durée ½ seconde) est le même que celui de la page 5. Notez aussi que le module du spectre de l’onde carrée passe par zéro exactement à tous les 2 Hz (i.e. à 2, 4, 6, 8 Hz, etc.). Essayez d’expliquer pourquoi l’on observe ce phénomène. Maintenant, on doit montrer qu’en remplaçant ω par kω0 = k (2π/T), et en divisant par T, on obtient les coefficients de Fourier X(k) d’une onde carrée périodique, qui est la version périodique de x(t) de la page 8. On a (voir en haut de la page 10) : et donc

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= −

)4/()4/sin(

21)( 4/

ωωω ωjeX

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= −

)4/2()4/2sin(

21)( 4/2

TkTke

TkX Tkj

πππ

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En simplifiant un peu : En prenant T=1, ce qui signifie que la version périodique de x(t) de la page 8, analysé ici, possède une période de 1 sec donc une fréquence fondamentale de 1 Hz. Ceci équivaut à échantillonner X(f) à tous les 1 Hz. ce qui correspond aux bâtonnets dans les figures suivantes : Module de X(k) vs k/T Phase de X(k) vs k/T

Tel que vu dans le chapitre sur les séries de Fourier, on peut reconstruire le signal temporel périodique correspondant par la somme des harmoniques :

où ω0 = 2π/T (= 2π dans notre cas, puisque T=1). En faisant cette somme pour les 10 premières harmoniques montrées dans les figures ci-haut (k entre –10 et 10), on obtient le signal x(t) suivant (on montre ici les 3 premières périodes, pour t entre 0 et 3 secondes) :

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= −

)2/()2/sin(

21)( 2/

TkTke

TkX Tkj

πππ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= −

)2/()2/sin(

21)( 2/

kkekX kj

πππ

∑∞

−∞==

ktjkekXtx 0)()( ω

Page 139


13

On observe que la somme de ces 10 premières harmoniques tend vers une onde carrée périodique, de période T=1, et de facteur d’activité de 50% (i.e. une version périodique du signal x(t) du bas de la page 8). On aurait pu échantillonner X(f) plus finement, par exemple à tous les ½ Hz (en choisissant T=2). Ainsi, en remplaçant ω par kω0 = k (2π/T) = k (2π/2) = k π dans l’expression et en divisant par T=2, on trouve Les figures suivantes montrent le module et la phase de X(k), de même que l’enveloppe du module et de la phase de X(ω)/2 (division par 2 pour mettre X(k) et X(ω) à la même échelle) :

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= −

)4/()4/sin(

21)( 4/

ωωω ωjeX

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= −

)4/()4/sin(

41)( 4/

πππ

kkekX jk

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14

Module de X(k) vs k/T Phase de X(k) vs k/T

Par rapport aux figures de la page 12, on remarque que les raies spectrales sont 2 fois plus rapprochées (normal, puisque l’on a choisit ici T=2 au lieu de T=1). De plus, la DC (raie k=0) vaut ici 0.25, et non 0.5. Ceci s’explique simplement par le fait que la période est maintenant T=2, mais que la durée du pulse rectangulaire est toujours la même, i.e. ½ seconde. Comme la DC est l’intégrale de la fonction (½), divisée par la période (2), on trouve la valeur de ¼.

En calculant la somme des 20 premières harmoniques montrées dans les figures ci-haut, selon l’équation de synthèse

où ω0 = 2π/T = 2π/2 = π, on trouve le signal x(t) montré à la figure suivante (l’axe horizontal est le temps t, en secondes) :

∑∞

−∞==

ktjkekXtx 0)()( ω

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15

En général :

En remplaçant ω par k (2π/T) dans X(ω), puis en divisant par T, on trouve les coefficients de Fourier X(k) d’un signal x(t) périodique, de période T, dont la période principale est égale au signal temporel dont la transformée de Fourier est X(ω).

5.0 Compromis temps-fréquences L’analyse d’un signal rectangulaire nous permet de formuler une propriété importante de la transformée de Fourier :

Plus un signal x(t) est localisé dans le temps, plus son spectre de Fourier est étalé en fréquences, et vice-versa.

Les deux limites de cette propriété sont

1) la DC : signal complètement étalé dans le temps, et complètement localisé en fréquences (i.e. une seule composante, à f = 0 Hz)

2) l’impulsion : signal complètement localisé dans le temps, et complètement étalé en fréquences (le spectre d’une impulsion temporelle est « plat », i.e. que son module est le même peu importe la fréquence).

Les figures suivantes montrent donc le module de la transformée de Fourier, X(f), pour des impulsions rectangulaires de durées différentes, la première (la DC) ayant une durée infinie. On observe, dans les figures de droite, que la largeur du lobe principal du spectre est inversement proportionnelle à la durée de l’impulsion rectangulaire. x(t) vs t (en sec) Module de X(f) vs f (en Hz)

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16

x(t) vs t (en sec) Module de X(f) vs f (en Hz)

Page 143


17

Remarquez qu’on a multiplié par 10 l’échelle du dernier spectre de la figure précédente afin de bien le visualiser. A mesure que la durée du signal rectangulaire diminue, l’énergie contenue dans le signal diminue d’autant, ce qui atténue la valeur maximale du spectre. Afin d’obtenir des spectres de même amplitude maximale, et ainsi préserver l’énergie des différents signaux, il aurait fallu augmenter l’amplitude du signal rectangulaire à mesure que sa durée diminue, de façon à obtenir des rectangles à surface constante. Ainsi, lorsque le signal tend vers une impulsion (durée presque nulle), son amplitude doit tendre vers l’infini. C’est la définition de l’impulsion idéale de Dirac, δ(t). Son spectre est parfaitement plat (voir le dernier spectre de la page précédente), i.e. que l’amplitude de sa transformée de Fourier vaut 1 pour toutes les fréquences. La règle de base pour avoir une idée rapide sur la forme du spectre d’un signal rectangulaire est simple :

Le lobe principal du spectre (i.e. entre la DC et le premier zéro spectral) s’étend de 0 à 1/D Hz, où D est la durée du signal.

Par exemple, à la page 16, la durée du premier signal est de 8 secondes (-4 à 4), de sorte que son premier zéro spectral est à la fréquence 1/D = 1/8 = 0.125 Hz (voir spectre correspondant pour confirmer). Le deuxième signal rectangulaire a une durée de 4 secondes, de sorte que son premier zéro spectral est à ¼ = 0.250 Hz. Le troisième signal (qui s’étend de –½ à ½ seconde) a son premier zéro spectral à 1 Hz, et le dernièr à 5 Hz (pas visible sur son spectre) puisqu’il a une durée de 0.2 seconde. 6.0 Transformée de Fourier de fonctions périodiques Dans la section 2.0, nous avons décrit la transformée de Fourier comme une technique d’analyse spectrale pour les signaux apériodiques. On l’a présentée comme une extension des séries de Fourier, lorsque l’on fait tendre la période du signal vers l’infini. En fait, on peut appliquer la transformée de Fourier même aux signaux périodiques. L’interprétation du résultat demande toutefois un peu plus de subtilité que pour les séries de Fourier, où chaque raie spectrale est

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18

représentée comme un bâtonnet d’amplitude finie, à des positions entières (discrètes) sur l’échelle des fréquences (i.e. à 0, 1, 2, …, k, …, où k est le numéro de l’harmonique). Dans le cas de la transformée de Fourier, le spectre est une fonction continue, et non une série de bâtonnets (fonction discrète). L’énergie d’un signal périodique sera concentré aux harmoniques, et le spectre sera nul ailleurs (i.e. entre les harmoniques). Dans le cas le plus simple, celui d’une sinusoïde pure, le spectre sera constitué d’une seule raie (une dans les fréquences positives et une dans les fréquences négatives, en prenant la forme exponentielle de la transformée de Fourier), à la fréquence de la sinusoïde. Comme la sinusoïde ne contient qu’une seule fréquence, le spectre devra être vraiment nul partout, sauf exactement vis-à-vis la fréquence de la sinusoïde. Autrement dit, la raie spectrale d’une sinusoïde, dans le domaine de la transformée de Fourier, a une largeur infinitésimale. Comme l’énergie de la sinusoïde est non-nulle (dans le cas non-trivial), l’amplitude de sa raie spectrale devra être très grande (infinie) pour que l’énergie dans le domaine spectral (l’aire sous la courbe du spectre d’amplitude) soit non-nulle. Autrement dit, la transformée de Fourier (forme exponentielle) d’une sinusoïde pure est formée de deux impulsions de Dirac dans le domaine des fréquences (infiniment étroites, et infiniment hautes) centrées à la fréquence de la sinusoïde (i.e. à ω0 et - ω0). Les figures suivantes montrent le module de la transformée de Fourier X(f) (à droite), pour un signal x(t) (à gauche) formé d’un ou plusieurs cycles d’un signal rectangulaire. On voit se former la série d’impulsions dans le domaine spectral à mesure que l’on ajoute des périodes au signal x(t), jusqu’à former un signal parfaitement périodique (infinité de périodes – en principe). x(t) Module de X(f) vs f (en Hz)

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19

x(t) Module de X(f) vs f (en Hz)

Page 146


20

On remarque que l’amplitude de la transformée de Fourier du signal périodique est une version « échantillonnée » du spectre de l’onde carrée non-périodique du haut de la page 20. On remarque cependant que l’amplitude des raies spectrales du signal périodique est beaucoup plus grande que l’enveloppe du spectre de l’onde carrée non-périodique (maximum de 0.5 vs maximum de 0.025). On a pris ici seulement 20 cycles d’onde carrée périodique, qui en compterait normalement une infinité. On comprend aisément qu’en prenant en compte toutes ces périodes, l’amplitude des raies spectrales de la figure du bas de la page 20 deviendrait infinie (impulsions de Dirac dans le domaine des fréquences). Remarquez cependant que la position des raies spectrales du signal périodique (0, 1, 2, 3 Hz, etc.) correspond bien à la position fréquencielle des raies spectrales de la série de Fourier de l’onde carrée périodique (période T = 1 seconde; il y a donc des raies spectrales à tous les 1 Hz). Remarquez aussi que les « zéros » du spectre apparaissent bien à tous les 2 Hz dans le cas de l’onde périodique : ceci se déduit facilement de la durée de l’impulsion rectangulaire qui est ici de ½ seconde). 7.0 Propriétés de la transformée de Fourier 7.1 Linéarité La transformée de Fourier est linéaire, i.e. que la transformée d’une somme est la somme des transformées. Formellement, on écrit : f(t) F(ω)

________________________________________ f1(t) + f2(t) F1(ω) + F2(ω) et k f(t) k F(ω) 7.2 Dualité temps-fréquence La forme mathématique de la transformée de Fourier (page 6) et de la transformée de Fourier inverse (page 7) révèle une grande similitude entre le passage du temps aux fréquences (de x(t) à X(ω)), et le

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21

passage des fréquences aux temps (de X(ω) à x(t)). Ce qui change essentiellement, c’est le signe de l’exponentielle complexe dans l’intégrale (e-jωt dans la transformée, et ejωt dans la transformée inverse). On peut ainsi supposer qu’il existe une symétrie dans la transformée de Fourier telle qu’à partir d’une forme donnée dans un domaine ou dans l’autre (ex.: une forme rectangulaire) on obtient la même forme dans l’autre domaine. C’est ce que montrent les figures suivantes. À gauche on a un signal rectangulaire et un sinus cardinal dans le domaine du temps, et à droite on présente leurs transformées de Fourier qui sont un sinus cardinal et un spectre rectangulaire, respectivement. x(t) X(f) vs f (en Hz)

On note la dualité temps-fréquence dans cet exemple : la transformée de Fourier du signal rectangulaire est un sinus cardinal dans les fréquences, et la transformée de Fourier du sinus cardinal est un spectre rectangulaire. Cette dualité s’exprime : f(t) F(ω)

________________________________________ F(t) 2π f(-ω)

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22

7.3 Changement d’échelle temporelle Tel que discuté dans la Section 5.0 (Compromis temps-fréquence), plus un signal est localisé dans le temps, plus son spectre est étalé en fréquences, et vice-versa. Ceci se traduit par la propriété suivante : f(t) F(ω)

________________________________________ f(at) 1/|a| F(ω/a) Les valeurs a > 1 représentent une contraction temporelle, et donc une dilatation fréquentielle (spectre plus large). Les valeurs a < 1 représentent une dilatation temporelle, et donc une contraction fréquentielle (spectre plus étroit). 7.4 Décalage temporel Un décalage pur du signal temporel x(t) a comme impact, dans le domaine fréquentiel, l’ajout d’un terme linéaire au spectre de phase. De façon formelle : f(t) F(ω)

________________________________________ f(t) F(ω) f(t-t0) F(ω) e-jωt0 On arrive à ce résultat en appliquant la Transformée de Fourier au signal f(t-t0), puis en opérant un simple changement de variable. Posons d’abord f2(t) = f(t-t0). On peut alors écrire

∫∞

−∞=

−=t

tj dtetfF ωω )()( 22

∫∞

−∞=

−−=t

tj dtettf ω)( 0

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23

∫∞

−∞=

−−−−=t

tjttj dteettf 00 )(0 )( ωω

∫∞

−∞=

−−− −=t

ttjtj dtettfe )(0

00 )( ωω

En opérant le changement de variable τ = t-t0, et en notant que dτ = dt puisque t0 est une constante, on peut réécrire

∫∞

−∞=

−−− ==t

tjjtj FedefeF )()()( 002 ωττω ωωτω

(ce qu’il fallait démontrer). Dans le cas particulier où le signal non décalé f(t) a une phase nulle (par exemple, une impulsion de Dirac centrée à t=0), le spectre de phase du signal f(t-t0) apparaît alors comme une courbe en dents de scie, comme dans la figure de droite du bas de la page 10. Plus le décalage t0 est important, plus la pente du spectre de phase est grande.

On peut interpréter le résultat obtenu (F(ω) e-jωt0) de la façon suivante : - Comme le module de l’exponentielle e-jωt0 est unitaire, un décalage

temporel n’affecte aucunement le module de la transformée de Fourier du signal décalé; seule sa phase est modifiée.

- En fait, la phase de la transformée de Fourier du signal f(t) est augmentée de t0ω lorsque ce signal est retardé de t0 sec. Ce qui signifie qu’un système présentant un déphasage linéaire, de pente t0, en fonction de ω va retarder un signal qui le traverse de t0 sec.

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24

7.5 Décalage en fréquences On peut démontrer la même propriétés de décalage pour le domaine des fréquences, qui s’écrit : f(t) F(ω)

________________________________________ f(t) F(ω) f(t) ejω0t F(ω−ω0) Cette propriété signifie que si on connaît le spectre F(ω) d’un signal f(t), alors en décalant ce spectre de ω0 (vers la droite), on obtient le spectre du signal f(t)ejω0t, i.e. f(t) multiplié par l’exponentielle complexe tournante ejω0t. Il y a mieux : puisque cos(ω0t) est la demi-somme des exponentielles complexes ejω0t et e-jω0t, on a f(t) F(ω)

________________________________________ f(t) F(ω) f(t) cos(ω0t) ( F(ω+ω0) + F(ω−ω0) ) / 2 C’est la propriété de modulation, qui indique ce qu’il advient d’un signal f(t) lorsqu’on le module en amplitude (lorsqu’on le multiplie) par la sinusoïde cos(ω0t). Le résultat est que le spectre de f(t) se trouve décalé en fréquence, pour se retrouver centré à ω0. 7.6 Dérivée dans le temps Puisque la transformée de Fourier indique comment remplacer la fonction f(t) par une somme de sinusoïdes, on voit tout de suite que la dérivée de f(t) par rapport au temps doit être formée de la somme des dérivées de toutes ses composantes sinusoïdales. Dans la forme exponentielle, les composantes sinusoïdales peuvent s’écrire comme des sommes d’exponentielles complexes ejωt. Alors, la dérivée de ejωt correspondant simplement à une multiplication par jω, on a la propriété suivante :

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25

f(t) F(ω)

________________________________________ f(t) F(ω) df(t)/dt (jω) F(ω) On peut généraliser cette propriété pour la dérivée nième de f(t) : f(t) F(ω)

________________________________________ f(t) F(ω) dnf(t)/dtn (jω)n F(ω)

Nous avons présenté ici les principales propriétés de la transformée de Fourier.

8.0 Exercices Dans les exercices qui suivent, vous aurez besoin dans certains cas de l’impulsion de Dirac, δ(t-t0) ou δ(ω− ω0), pour indiquer une fonction qui prend la forme d’une impulsion infiniment étroite et d’amplitude infiniment grande, mais dont la surface totale (base fois hauteur) est égale à 1. Ainsi, en prenant en compte les décalages, l’impulsion δ(t-t0) représente une impulsion de Dirac dans le domaine du temps centrée à t0, et δ(ω− ω0) représente une impulsion de Dirac dans le domaine des fréquences centrée à ω0. Exercice 8.1 Calculez (et dessinez le plus fidèlement possible) la transformée de Fourier X(ω) des signaux x(t) suivants. (a) x(t) = sin (2π50t) (b) x(t) = cos (2π100t - π /3) (c) x(t) = 1 pour –2 < t < 2 et 0 ailleurs (d) x(t) = 1 pour 4 < t < 8 et 0 ailleurs (e) x(t) = sin(25 π t) / (25 π t)

Page 152


26

(f) x(t) = sin(25 π t) cos(100 π t) Exercice 8.2 Donner l’expression mathématique du signal x(t) dont la transformée de Fourier X(ω) est donnée par la figure suivante :

Exercice 8.3 Considérez le système simple suivant : où le signal d’entrée x(t) est l’excitation périodique montrée à la figure suivante

Filtre

x(t) y(t)

Page 153


27

Déterminez la sortie y(t) du filtre si celui-ci est (a) un filtre passe-bas idéal de fréquence de coupure 50 Hz (b) un filtre passe-bas idéal de fréquence de coupure 150 Hz (c) un filtre passe-bande idéal dont le gain est 1 entre 350 et 550

Hz, et dont le gain est nul à toutes les autres fréquences Note : un filtre idéal est un filtre dont le gain est exactement 1 dans

sa (ou ses) bande passante, dont le gain est 0 ailleurs, et dont la phase est nulle partout (i.e. que le filtre n’introduit aucun décalage temporel à toutes les fréquences). Il va sans dire que tout filtre réalisable sera au mieux une approximation d’un filtre idéal.

Page 154


28

Page 155

Partie 7

La transformée de Laplace

Page 156

GEL211 – Mathématiques des Signaux Continus

La transformée de Laplace

Objectif global de ce document L’objectif de ce document est de permettre la maîtrise de la transformée de Laplace, et de donner une signification aux fonctions

que l’on retrouve dans la transformée. On verra également comment établir la stabilité d’un système en analysant sa fonction de transfert H(s), et quel est le lien entre la transformée de Laplace et la transformée de Fourier. La transformée de Laplace apparaîtra comme une forme plus générale de la transformée de Fourier, et la transformée de Fourier comme un cas particulier de la transformée de Laplace. À la fin de ce document, vous serez en mesure de tracer une bonne approximation de la fonction de transfert harmonique H(jω) d’un système simplement en faisant une analyse assez sommaire de sa fonction de transfert H(s) (analyse des pôles et des zéros), sans même avoir à poser s = jω et à calculer le module de H(jω) pour différentes valeurs de ω. En route. 1.0 Introduction Après avoir étudié et utilisé les outils de l’analyse spectrale comme les séries de Fourier et la transformée de Fourier, on devrait être convaincu que ces représentations donnent de l’information très utile sur les signaux et les systèmes analysés. Le spectre d’un signal indique, par exemple, à quelles fréquences est concentrée l’énergie du signal. De même, la fonction de transfert harmonique d’un filtre nous indique le gain et le déphasage que subira une sinusoïde de fréquence donnée si on l’applique à l’entrée du filtre.

ste−

Page 158

Hiver 2008 GEL211 - Mathématiques des Signaux Continus La transformée de Laplace Roch Lefebvre, Professeur titulaire

2

De façon formelle, la relation entre ces deux informations (transformée d’un signal et fonction de transfert d’un système ou d’un filtre) s’exprime comme suit :

Transformée de la sortie =

Fonction de transfert x transformée de l’entrée En identifiant par des lettres majuscules les transformées des signaux (convention habituelle), on peut écrire ceci comme suit :

Y = H X où H est la fonction de transfert du système, X est la transformée de du signal d’entrée et Y est la transformée du signal de sortie. En prenant ensuite la transformée inverse de Y, on retrouve ce signal dans le domaine temporel (i.e. le signal de sortie y(t)). Si on a la transformée de Fourier de l’entrée, notée X(jω), alors on doit utiliser la fonction de transfert harmonique H(jω) du système. Il existe cependant certains signaux simples pour lesquels la transformée de Fourier n’existe pas. Que faire alors ? La réponse est simple : on va utiliser une transformée plus «générale» que la transformée de Fourier, qui s’applique à tous les signaux. Cette transformée plus général, c’est la transformée de Laplace. L’interprétation physique est simple : il s’agit simplement de considérer des fonctions plus générales que les sinusoïdes à amplitude constante (comme c’est le cas avec Fourier) pour tenter de “fabriquer”, en les additionnant, un signal donné x(t) à analyser. 2.0 Un exemple simple Prenons un exemple simple. On désire connaître la réponse d’un circuit RC passif passe-bas d’ordre 1 à la rampe

⎩⎨⎧

<>

=0pour 00pour

)(ttt

tx

Page 159


3

ce qui s’écrit aussi x(t) = t u(t) où u(t) est la fonction échelon qui vaut 0 pour t < 0 et 1 pour t > 0. La fonction de transfert harmonique d’un réseau RC passe-bas d’ordre 1 est donnée par (vu dans l’unité 2) :

Si on peut calculer la transformée de Fourier X(jω) du signal x(t), on pourra alors multiplier X(jω) par H(jω) pour obtenir la transformée de la sortie :

Y(jω) = H(jω) X(jω) et finalement obtenir la sortie y(t) dans le domaine temporel en prenant la transformée inverse de Y(jω). Mais quelle est la transformée de Fourier de x(t) = t u(t) ? En appliquant la définition de la transformée de Fourier, on a :

On trouve facilement que cette intégrale donne :

Or, cette intégrale ne converge pas (i.e. lorsque l’on remplace t par ∞, le terme te –jωt

devient infini). L’interprétation physique de cet état de fait est simple : la rampe x(t) = t ne peut tout simplement pas être remplacée par une somme infinie de fonctions exponentielles d’amplitudes constantes. Il faut donc considérer des fonctions plus générales. Pour ce faire, on va considérer des fonctions de la forme plus générale est, où s est un nombre complexe.

Ainsi, pour faire l’analyse ( obtenir la transformée) du signal x(t), on va appliquer l’intégrale suivante, que l’on appelle la transformée de Laplace :

11)(

+=

RCjjH

ωω

∫

∫∞

=

−

∞

−∞=

−

=

=

0

)()(

t

tj

t

tj

dtte

dtetxjX

ω

ωω

∞=

=

−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

t

t

tjejtjX

02

1)( ω

ωωω

Page 160


4

où s est une variable complexe. On écrit typiquement s comme suit s = σ + j ω où σ est la partie réelle de la variable s et ω est sa partie imaginaire. On voit déjà apparaître la notion que la variable s est une forme de fréquence plus générale que la variable ω. En effet la multiplication de s par t doit donner un nombre sans unité, puisque l’exposant dans est doit être sans unité, ce qui signifie que s a les unités de sec-1, i.e. une fréquence. De plus, on observe que si l’on pose σ = 0, on a : s = j ω On retombe alors au cas particulier de la transformée de Fourier, puisqu’en effet, en remplaçant s par jω dans la définition de la transformée de Laplace donnée ci-dessus, on obtient :

ce qui n’est rien d’autre que la transformée de Fourier de x(t). Revenons à notre exemple. On désire connaître la réponse y(t) du filtre RC passe-bas si l’entrée est :

La transformée de Laplace de ce x(t) est donnée par :

(voir le tableau 4.1 l’annexe B contenant des paires de transformées de Laplace). On aurait pu calculer l’intégrale en bas de la page 3, mais utiliser les tables, lorsque c’est possible, est tellement plus simple…

∫∞

−∞=

−=t

st dtetxsX )()(

( ) ( ) j t

t

X j x t e dtωω∞

−

=−∞

= ∫

⎩⎨⎧

<>

=0pour 00pour

)(ttt

tx

2

1)(s

sX =

Page 161


5

Cette transformée X(s) existe (c.a.d. que l’intégrale converge) uniquement si σ > 0, i.e. si la partie réelle de la variable s est positive. On dira que le domaine de convergence de X(s) est la partie droite du plan complexe (en excluant l’axe imaginaire jω). Que fait-on avec cette information ? En multipliant X(s) par la fonction de transfert H(s) du filtre, on trouvera la transformée de Laplace Y(s) de la sortie. On n’aura plus qu’à en évaluer la transformée de Laplace inverse pour obtenir la sortie y(t). Quelle est la fonction de transfert H(s) du filtre RC passe-bas d’ordre 1? On sait que sa fonction de transfert harmonique est donnée par :

On a vu aussi que H(jω) est un cas particulier de la transformée de Laplace, i.e. qu’on obtient H(jω) en remplaçant s par jω dans H(s). On devine donc facilement que la fonction de transfert H(s) du filtre passe-bas RC d’ordre 1 sera donnée par :

Ceci revient aussi à dire que les impédances complexes pour le condensateur et l’inductances sont vues comme suit : Composant Impédance complexe

dans le domaine de Fourier

Impédance complexe dans le domaine de Laplace

condensateur C 1 / (jω C) 1 / (s C) inductance L jω L s L On peut maintenant donner la réponse de tout système linéaire dans le domaine de Laplace :

Y(s)= H(s) X(s)

où H(s) est la fonction de transfert du système, et X(s) est la transformée de Laplace de l’entrée. Pour l’exemple simple que nous traitons ici (i.e. réponse d’un circuit RC passe-bas d’ordre 1 dont l’entrée est x(t) = t u(t)) cela donne :

11)(

+=

RCjjH

ωω

11)(

+=

RCssH

111)( 2 +

=RCss

sY

Page 162


6

(notez que l’on suppose ici que les conditions initiales du circuit sont nulles). Pour simplifier, on va considérer le cas particulier où RC = 1. On a donc :

Si cette expression se trouvait dans les tables de transformées de Laplace (table 4.1 de l’annexe B), on pourrait donner immédiatement y(t) en prenant la transformée inverse de Laplace de Y(s). Mais on ne trouve par cette expression directement. Par contre, on trouve dans les tables des termes en 1/s, 1/s 2

, et en 1/(s-λ). Peut-on écrire l’équation ci-dessus en fonction de ces termes ? Bien sûr que oui. On peut écrire :

On appelle ce développement une décomposition en fractions partielles. Voyez l’annexe C pour quelques exemples. Dans notre cas (cas de racines multiples – « repeated poles »), on doit déterminer les coefficients A, B et C. D’abord, on multiplie de part et d’autre par s 2 (s+1), ce qui donne :

En remplaçant s par –1, on trouve C=1. En remplaçant s par 0, on trouve B=1. Finalement, en remplaçant s par 1, on trouve A=-1 (ayant déjà trouvé les valeurs de B et C). On a donc décomposé Y(s) comme suit :

111)( 2 +

=ss

sY

1111)( 22 +

++=+

=sC

sB

sA

sssY

2)1()1(1 CssBsAs ++++=

1111

111)( 22 +

++−=+

=sssss

sY

Page 163


7

Maintenant, en utilisant la table 4.1 de l’Annexe B, on peut déterminer y(t) en prenant la transformée de Laplace inverse des trois termes de droite dans l’expression de Y(s). On trouve ainsi :

Voilà. On a trouvé la réponse y(t) du filtre RC passe-bas d’ordre 1 (où RC=1) si l’entrée est la rampe x(t) = t. Pour bien voir ce qui se passe, la figure ci-dessous montre l’entrée x(t) (la droite tu(t)) et la sortie y(t) (la droite en pointillé, recourbée au début, qui suit ensuite x(t) par en-dessous). Il n’aurait pas été possible de calculer de cette façon la sortie sans la transformée de Laplace, puisque le passage par la transformée de Fourier n’était pas possible. Notez que la transformée de Laplace a bien d’autres informations à nous communiquer, en particulier sur les systèmes (carte des pôles et zéros, stabilité et même le comportement de filtres comme les filtres de Butterworth et de Chebyshev).

( ) )( 1)( tuetty t−++−=

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10Entrée vs Réponse du circuit RC

t (secondes)

Entrée

Réponse

Page 164


8

3.0 La transformée de Laplace : formalisation et 2e exemple La transformée de Laplace X(s) unilatérale d’un signal x(t) se définit comme suit :

On dit de cette forme qu’elle est la forme unilatérale de la transformée de Laplace puisque l’intégrale ne prend en compte que les valeurs positives du temps. Physiquement, ceci revient à ne considérer que les signaux x(t) qui sont nuls pour t<0. On utilise notamment la transformée de Laplace pour résoudre des équations différentielles linéaires à coefficients constants, comme par exemple :

Puisque chaque dérivée successive par rapport à t introduit un facteur « s » dans le domaine de Laplace (voir la table 4.2 de l’Annexe B), on peut écrire :

(en supposant que les valeurs initiales de x(t) et y(t) sont nulles). En isolant Y(s), on trouve :

ce qui permet d’exprimer y explicitement en fonction de x. Si maintenant la fonction x(t) est, par exemple, la fonction échelon u(t) (qui vaut 0 aux temps négatifs, et 1 aux temps positifs), on a X(s) = 1/s (voir table 4.1 de l’Annexe B), de sorte que :

On peut développer le terme de droite en fractions partielles, ce qui donne :

∫∞

=

−=0

)()(t

st dtetxsX

)(2)(3)(2 txtydt

tdy=−

)(2)(3)(2 sXsYssY =−

32)(2)(

−=

ssXsY

)32(2)(−

=ss

sY

)32(3/43/2)(

−+

−=

sssY

Page 165


9

Une table de transformées nous indique que le premier terme est la transformée de Laplace de –2/3 u(t), et que le deuxième terme est la transformée de Laplace de 2/3 e(3/2)t u(t). En prenant la transformée de Laplace inverse, on a donc la solution :

(où la fonction u(t) fait en sorte que y(t) vaut 0 pour t<0). On montre facilement que cette expression pour y(t) est la solution de l’équation différentielle en haut de la page 8 lorsque x(t) = u(t) (simplement remplacer y(t) par cette expression et x(t) par u(t)). On peut également résoudre un système d’équations différentielles linéaires à coefficients constants avec la transformée de Laplace. On obtient un système d’équations algébriques linéaires dans le domaine transformé, qui se résout en inversant une matrice puis en prenant la transformée inverse. La fonction de transfert H(s) d’un système linéaire (par exemple un filtre analogique) s’obtient en isolant le rapport Y(s)/X(s) – la transformée de la sortie divisée par la transformée de l’entrée – après avoir transformé l’équation différentielle du système. En posant s = jω dans H(s), on obtient directement la fonction de transfert harmonique du système, H(jω) (vue à l’unité 2 de S2), à partir de laquelle on peut tracer le gain et le déphasage du système à chaque fréquence (lieu de Bode). 4.0 Convergence La Transformée de Laplace d’un signal x(t) est une fonction de la variable complexe s. Comme s est définie sur tout le plan complexe, on pourrait supposer que la transformée X(s) le sera aussi. Ce n’est pas toujours le cas. En effet, selon la forme du signal x(t), l’intégrale

( ) ( ) )( 132)()(

32)( )2/3()2/3( tuetuetuty tt −=+−=

∫∞

=

−=0

)()(t

st dtetxsX

Page 166


10

ne converge pas pour toutes les valeurs de s. Ainsi, la fonction X(s) n’est pas définie partout dans le plan complexe. La région du plan complexe où l’intégrale de X(s) converge s’appelle justement le domaine de convergence. Prenons un exemple. Soit le signal x(t) suivant :

où a est une constante réelle. La transformée de Laplace de x(t) est donnée par :

Cette intégrale convergera uniquement si : Re(s + a) > 0 (sinon, lorsqu’on prend t=∞ dans l’exponentielle, le résultat ne sera pas un nombre fini). Puisque s est un nombre complexe, on a s = σ + jω, où σ est sa partie réelle, et ω est sa partie imaginaire. Pour que l’intégrale converge, on a donc la condition σ + a > 0 i.e.

σ > - a

)()( tuetx at−=

∞=

=

+−

∞

=

+−

∞

=

−−

⎥⎦

⎤+−

=

=

=

∫

∫

t

t

tas

t

tas

t

stat

ase

dte

dteesX

0

)(

0

)(

0

)(

)(

Page 167


11

Si a est positif, x(t) est l’exponentielle décroissante de la figure suivante (on montre ici le cas où a = 10) :

Ainsi, pour ce signal x(t), la région de convergence de la transformée de Laplace est la zone ombragée de la figure suivante, qui montre le plan complexe des fréquences des exponentielles complexes est = e(σ+jω)t: Cela signifie qu’à l’extérieur de la région de convergence (ici, lorsque la partie réelle de s est inférieure à –a), la transformée de Laplace n’existe pas. En général, on peut montrer qui si un signal x(t) a une enveloppe temporelle qui décroît comme la fonction e-at, alors sa région de convergence sera aussi limitée à la zone grise de la figure ci-haut.

-a

Re(s)=σ

Im(s) = jω

Région de convergence

Page 168


12

C’est le cas par exemple de la fonction x(t) = cos(ωt) e-at u(t), montrée ci-dessous pour ω = 2π10 et a = 5 :

(On montre en pointillé l’enveloppe e-at du signal x(t)). La région de converge est importante pour évaluer la transformée de Laplace inverse. Comme nous utilisons en général des tables pour faire la transformée inverse, nous n’allons pas utiliser la notion de convergence à cet effet. Plutôt, la notion de région de convergence sera importante pour déterminer si la transformée de Fourier existe. En effet, on va montrer dans la section 10.0 que la transformée de Fourier revient à évaluer la transformée de Laplace pour s = jω, i.e. le long de l’axe imaginaire (le point s = jω est un point purement imaginaire, sur l’axe imaginaire dans le plan complexe). Si la région de convergence n’inclut pas cet axe imaginaire, alors la transformée de Fourier du signal en question n’existe pas. 5.0 Pôles et zéros On a déjà vu que la fonction de transfert d’un circuit RC passe-bas s’écrit :

où le produit RC est la constante de temps du circuit. La réponse de ce circuit, dans le domaine de Laplace, est :

Y(s) = H(s) X(s)

RCsRCsH/1

/1)(+

=

Page 169


13

où X(s) est la transformée de Laplace de l’entrée. La fonction de transfert H(s) peut être décrite par ses pôles et ses zéros. Les pôles sont les racines du dénominateur de H(s), i.e. les valeurs de s pour lesquelles H(s) vaut l’infini, et les zéros sont les racines du numérateur, i.e. les valeurs de s telles pour lesquelles H(s) vaut 0. Les racines d’un polynôme sont les valeurs de sa variable indépendante (ici, la variable s) où le polynôme s’annule. Une caractéristique importante des pôles et des zéros d’une fonction de transfert H(s) est que, pour que la réponse impulsionnelle h(t) — qui est la transformée de Laplace inverse de H(s), pourquoi ? — d’un système soit réelle, les pôles et les zéros doivent apparaître en paires conjuguées. Seuls les pôles ou les zéros réels n’ont pas à obéir à cette contrainte. Par exemple, une fonction de transfert d’ordre 3 aura nécessairement soit trois pôles réels, soit un pôle réel et une paire de pôles complexes conjugués. La fonction de transfert d’ordre 1 suivante :

a un pôle (réel) à s = -1/RC, et apparemment aucun zéro. En fait, toute fonction rationnelle a autant de pôles que de zéros; il faut donc que H(s) ait un zéro. Il faut se tourner vers le dénominateur puisque le numérateur est une constante (pas un « polynôme en s »). Effectivement, si on pose s=∞ au dénominateur, H(s) s’annule. On a donc un zéro à s=∞. C’est normal puisque c’est un filtre passe-bas, et que son gain doit tendre vers zéro lorsque la fréquence augmente (s=jω). La figure suivante montre le diagramme pôles-zéros de ce filtre (on ne montre pas les pôles ou les zéros à l’infini dans de tels diagrammes) :

RCsRCsH/1

/1)(+

=

X

Pôle (réel) à s = -1/RC

Im (s)

Ré (s)

Page 170


14

En général, dans de tels diagrammes, un « x » représente un pôle et un « o » représente un zéro. La fonction de transfert H(s) est ainsi entièrement définie soit par son expression explicite

soit par le diagramme pôles-zéros ci-dessus, en ajoutant l’information de gain K = 1/RC du dénominateur de H(s) (qui n’apparaît pas dans le diagramme pôles-zéros). Le diagramme (ou carte) des pôles et des zéros d’une fonction de transfert est une représentation très riche en informations, qui nous permettra, entre autres, de dire si le système (le filtre) est stable ou non, et à partir de laquelle il sera facile de donner une approximation de la forme de la réponse en fréquence H(ω). 6.0 Exercices sur les pôles et les zéros Exercice 6.1 Tracez le diagramme pôles-zéros des fonctions de transfert suivantes, en indiquant le gain K du système. (a)

(b)

RCsRCsH/1

/1)(+

=

32)1()( 2 ++

+=

sssssH

5010125)( 2

2

+++−

=sssssH

Page 171


15

(c) La fonction de transfert H(s) du filtre suivant : où : R=100 kΩ, L=10 mH et C=1 µF. 7.0 Factorisation Lorsque l’on a déterminé les pôles et les zéros de la fonction de transfert, on peut réécrire celle-ci en exprimant le numérateur et le dénominateur comme un produit de facteurs d’ordre 1. Par exemple, dans l’exercice précédent 6.1 (b), les pôles et les zéros de la fonction de transfert

sont Pôles : p1 = -5 + 5 j p2 = -5 - 5 j Zéros : z1 = 0.2 + 0.4 j z2 = 0.2 - 0.4 j et le gain K est K = 5 (facteur de s2 au numérateur). On peut donc écrire H(s) comme suit :

R

C x(t) y(t) L

5010125)( 2

2

+++−

=sssssH

)55)(55()4.02.0)(4.02.0( 5

)2)(1()2)(1( )(

jsjsjsjs

pspszszsKsH

++−++−−−

=

−−−−

=

Page 172


16

En multipliant les facteurs du numérateur et du dénominateur, on doit obtenir à nouveau les polynômes d’ordre 2 du numérateur et du dénominateur de la fonction H(s). (Essayez pour vous en assurer). En général, donc, une fonction de transfert de la forme :

où N et M sont respectivement l’ordre du numérateur et du dénominateur de H(s), doit pouvoir s’écrire sous la forme factorisée :

où zk est le kième zéro de H(s) et pk est le kième pôle de H(s). On retrouve parfois la notation :

où le symbole Π représente le produit des termes qui suivent. Cette forme factorisée sera très pratique pour interpréter le lieu des pôles et des zéros En exercice, écrivez les fonctions de transfert H(s) de l’exercice 6.1 de la page 14 sous leur forme factorisée. 8.0 Pôles et zéros avec MATLAB Encore une fois, les librairies de fonctions MATLAB permettent de nous faciliter le travail. La fonction roots (faire help roots pour plus de détails) permet de calculer les racines d’un polynôme. Par exemple, supposons que l’on désire obtenir les pôles et les zéros de la fonction de transfert :

1...1...)( 1

1

++++++++

= −

−

sssssssH MM

NN

))...(2)(1())...(2)(1( )(

pMspspszNszszssH

−−−−−−

=

)(

)( )(

1k

1k

pks

zkssH M

N

−

−=

Π

Π

=

=

Page 173


17

Les zéros sont les racines du numérateur et les pôles, les racines du dénominateur. La fonction roots prend comme argument les coefficients de la variable s, dans l’ordre descendant des puissances. Pour obtenir les racines du numérateur (les zéros) et les racines du dénominateur (les pôles) on a donc le code MATLAB suivant :

On retrouve là les zéros et les pôles obtenus à la page 15. Puisque les racines d’un polynôme ne changent pas si on multiplie (ou divise) le polynôme par une constante non nulle, il est important de toujours mettre en évidence le coefficient de la plus grande puissance de s au numérateur et au dénominateur de H(s). Ainsi, pour la fonction de transfert :

5010125)( 2

2

+++−

=sssssH

Page 174


18

on devrait plutôt écrire :

de sorte que le gain K (ici 5/2 = 2.5) soit mis en évidence, puisqu’il n’apparaîtra pas dans les valeurs des pôles et des zéros. La fonction de transfert sera donc complètement définie par son gain K, et par le lieu de ses pôles et de ses zéros. Faisons maintenant un autre exemple MATLAB, où on verra aussi comment obtenir la carte des pôles et des zéros. 9.0 Affichage de la carte des pôles et des zéros avec MATLAB La figure suivante montre un exemple où on a fait le design, avec la fonction butter, d’un filtre passe-bande Butterworth d’ordre 2, dont les fréquences basse et haute (début et fin de la bande passante) sont 100 et 200 radians/seconde. Les coefficients du numérateur de la fonction de transfert sont dans le vecteur B, et les coefficients du dénominateur sont dans le vecteur A. On calcule ensuite les pôles et les zéros de la fonction de transfert correspondante, et on les affiche dans le plan.

50102125)( 2

2

+++−

=sssssH

)255(2)2.04.0(5)( 2

2

+++−

=sssssH

Page 175


19

Comme on le voit, on a d’abord calculé les coefficients de la fonction de transfert du passe-bande (B et A). On a ensuite calculé les racines de B (les zéros) et de A (les pôles). Puis, pour afficher ces racines dans le plan complexe, on utilise la fonction plot pour afficher la partie imaginaire de chaque racine en fonction de sa partie réelle. La fonction axis permet de définir l’échelle des axes. Le résultat de la fonction plot est montré à la figure suivante, où les pôles sont représentés par des « x » et les zéros par des « o ».

Notez qu’il y a 2 zéros à s = 0. Puisqu’ils sont superposés, on n’en voit qu’un seul. Notez qu’il y a aussi 2 zéros à s = ∞. Puisqu’il doit y avoir autant de zéros que de pôles.

Page 176


20

La position des pôles et des zéros a un lien direct avec la forme de la réponse en fréquence H(ω), dont on montre ici le module.

9.1 Exercices MATLAB avec les pôles et les zéros Refaites avec MATLAB l’exercice 6.1 de la page 14. 10.0 Lien entre les transformées de Laplace et de Fourier En observant les équations de transformation pour la transformée de Laplace

et pour la transformée de Fourier on note que si on restreint x(t) à être causal (i.e. x(t) = 0 pour t < 0), la transformée de Fourier s’obtient en posant s = j ω

∫∞

=

−=0

)()(t

st dtetxsX

∫∞=

−∞=

−=t

t

tj dtetxX )( )( ωω

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21

dans la transformée de Laplace. Vous avez déjà posé cette « restriction » sur s pour tracer le lieu de Bode d’un système. Mais quelle est l’interprétation de cette égalité (s = j ω) dans le plan complexe? Pour chaque valeur de la variable complexe s, la fonction de transfert H(s) est aussi un nombre complexe qui a donc un module et une phase (sauf à l’extérieur de la région de convergence, où H(s) n’est pas définie). Le module de H(s) peut être vu comme une « toile de tente » qui s’étend partout au-dessus du plan complexe, qui tendra vers l’infini près des pôles (le dénominateur de H(s) s’annule) et qui tendra vers 0 près des zéros (le numérateur de H(s) s’annule). Si on pose maintenant s= jω pour passer de H(s) à H(jω), cela signifie que l’on évalue H(s) uniquement pour les valeurs de s qui sont purement imaginaires, i.e., plus précisément, uniquement pour les valeurs de s qui sont sur l’axe imaginaire dans le plan complexe. Prenons par exemple la fonction de transfert suivante :

Les pôles de H(s) sont à -1±5j, tel que le montre la figure suivante (et ses zéros sont à l’infini) :

26226)( 2 ++

=ss

sH

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Le module de H(s) va tendre vers l’infini lorsque s s’approche de ces pôles. La figure suivante montre le module de H(s) sur une partie du plan-s (partie réelle entre –4 et 0, partie imaginaire entre –10 et 10). On montre aussi les deux pôles sur le plan complexe (représentés par des « x » sous les deux pics de la fonction). Remarquez que le module de H(s) augmente lorsque l’on se rapproche des pôles. (On a saturé le module à 5 pour des raisons de représentation graphique). Maintenant, puisque la réponse en fréquence H(jω) est égale à la fonction de transfert H(s) évaluée à s= jω, le module de H(j ω) est simplement obtenu en « sectionnant » le module de H(s) (figure ci-dessus) le long de l’axe imaginaire s= jω et en observant la coupe. Dans la figure ci-dessus, l’axe imaginaire va de ω = -10 à ω = 10. Il est identifié, de même que l’axe réel. La coupe de H(s) est donc le devant de la surface que nous voyons dans la figure ci-dessus. Elle correspond bien au module de H(jω), montré ci-dessous :

Axe imaginaire

Axe réel

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On pourrait traiter la phase de la même manière. On voit donc que la forme de H(jω) est fortement influencée par la position des pôles (et des zéros) de la fonction de transfert H(s). Plus un pôle de H(s) sera proche de l’axe imaginaire (partie réelle petite), plus le module de H(jω) vis-à-vis ce pôle sera important. Inversement, plus un zéro de H(s) sera proche de l’axe imaginaire (partie réelle petite), plus le module de H(jω) vis-à-vis ce zéro sera petit. 10.1 Forme de H(jω) en fonction des pôles et des zéros Les deux figures suivantes montrent la carte des pôles et des zéros de deux fonctions de transfert. Tracez approximativement le module de la réponse en fréquence correspondante. Le gain K des deux systèmes est K = 1.

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Système 1 Système 2

Réponses : Module de H(jω) Module de H(jω)

Vous avez probablement réussi à dessiner approximativement le module de ces fonctions de transfert, sans toutefois arriver à déterminer correctement les échelles. Par exemple, pourquoi le gain DC (à ω = 0) du système 2 est-il de 50? Par contre, vous arrivez correctement à placer les « 0 » dans le module de la réponse en fréquence H(ω): lorsqu’un zéro dans le plan complexe se trouve sur l’axe imaginaire, le module de H(ω) devra nécessairement passer par 0 à cette valeur de ω. De même, lorsqu’un pôle dans le plan complexe se trouve près de l’axe imaginaire (par exemple, à ω = 0 dans le système 2), alors le module de H(ω) sera plus grand vis-à-vis cette valeur de ω.

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Mais peut-on tracer une bonne approximation du module de H(jω), incluant les valeurs d’échelle, en connaissant uniquement la position des pôles et des zéros du système? Mais oui. C’est ce que nous verrons dans la prochaine section. 11.0 Méthode géométrique On va utiliser ici la forme factorisée de H(s) :

On met ici en évidence chaque zéro (les zk) et chaque pôle (les pk) de la fonction de transfert. Maintenant, on pose s= jω pour obtenir la réponse en fréquence H(ω) :

Chaque terme entre parenthèses est la différence entre le point jω (un point sur l’axe imaginaire) et un pôle ou un zéro. Par exemple, le terme (jω -z1) est la différence entre le point jω et le premier zéro, z1, du système. Cette différence est, dans le plan complexe, un vecteur qui va du point z1 au point jω. Puisque le module d’un produit est le produit des modules, et le modules d’un ratio est le ratio des modules, il en ressort que le module de H(jω) est égal au produit des distances entre jω et chacun des zéros, divisé par le produit des distances entre jω et chacun des pôles. Faisons un exemple, ce sera plus clair. Supposons que l’on ait un filtre analogique dont la fonction de transfert est donnée par :

))...(2)(1())...(2)(1( )(

pMspspszNszszssH

−−−−−−

=

( j z1)( j z2)...( j zN)H( j )( j p1)( j p2)...( j pM)

ω ω ωωω ω ω

− − −=

− − −

521)( 2 ++

+=

ssssH

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Le gain K de ce filtre est K = 1. Le gain DC de ce filtre est 1/5 = 0.2 (poser simplement s = jω = 0). La figure suivante montre le lieu des pôles et des zéros de ce filtre :

Pour déterminer le module de la réponse en fréquence H(ω), il faut se positionner sur l’axe imaginaire, à la « hauteur » ω, et calculer les distances entre ce point et chacun des pôles et des zéros. Les figures ci-dessous montrent les distances correspondantes lorsque ω = 1 (figure de gauche) et ω = 5 (figure de droite).

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En faisant le produit des distances entre le point jω et chaque zéro (ici, un seul zéro de valeur finie), et en divisant par le produit des distances entre le point jω et chaque pôle, on obtient le module de H(jω) pour chaque valeur de ω. Le module de H(jω) est montré dans la figure ci-dessous pour ω entre 0 et 7. Chaque point (« cercle ») sur la courbe représente une valeur de ω où l’on a calculé le module de H(jω) par la méthode géométrique. On retrouve entre autres le gain DC de 0.2.

Pour être bien certain que l’on a saisi la méthode, essayons de calculer le module de H(jω) pour ω = 2 (i.e. à la hauteur des pôles). Selon la figure ci-dessus, nous devrions obtenir environ 0.55. Pour ω = 2, le point jω est tel que montré à la figure suivante, et les distances à calculer sont les longueurs des trois segments montrés :

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Par trigonométrie simple, on trouve que la distance entre le point jω et le zéro de H(s) est

De même, les distances entre le point jω et les deux pôles sont, respectivement

(pour le pôle supérieur) et

(pour le pôle inférieur). Ainsi, le module de H(ω) pour ω = 2 doit être

521 2 =+

1

1741 2 =+

54.017)1(5|)(| 2 ≅==ωωH

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ce qui donne la valeur attendue. On peut répéter cette méthode pour toutes les valeurs de la fréquence ω . 12.0 Exercice Appliquez la méthode géométrique pour déterminer, à partir de son diagramme pôles-zéros, le module de la réponse en fréquences du système 2 à la page 24. 13.0 Stabilité Le lieu des pôles et des zéros permet de déterminer la stabilité d’un filtre, ou plus généralement d’un système LTI. Un système est stable si sa réponse impulsionnelle tend vers 0 lorsque t tend vers l’infini. Dans ce cas, la réponse impulsionnelle est un signal à énergie finie, i.e.

Prenons le cas simple d’un système LTI d’ordre 1, dont la fonction de transfert est

où a est une constante réelle. Dans le domaine de Laplace, la réponse de ce système est Y(s) = H(s) X(s) Si l’entrée x(t) est une impulsion de Dirac, sa transformée de Laplace est 1 (voir les tables) et donc la transformée de la réponse impulsionnelle est (c’est toujours le cas) Y(s) = H(s) Ainsi, pour ce système d’ordre 1, la réponse impulsionnelle est

∞<∫∞

=

)(0

2

t

dtth

asKsH+

=)(

)()()( tuethty at−==

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Cette réponse tendra vers zéro lorsque t tendra vers l’infini uniquement si a > 0 Or, il se trouve que a est aussi le pôle de la fonction de transfert H(s). Les paires de figures suivantes montrent la relation entre le pôle (réel) a de la fonction de transfert et la forme de h(t). On en conclut que pour être stable, le pôle d’un système d’ordre 1 doit être à gauche de l’axe imaginaire dans le plan complexe.

On peut faire la même analyse pour un système d’ordre 2. Soit la fonction de transfert suivante :

bassKsH

++= 2)(

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Les pôles de H(s) (racines du dénominateur) sont soit tous les deux réels, soit tous les deux complexes conjugués (pour assurer que les coefficients a et b soient réels). Soient p1 et p2 ces deux pôles. On peut écrire :

et

On peut maintenant écrire

et en développant en fractions partielles :

(on suppose que p1 ≠ p2). La réponse impulsionnelle de ce système est

Pour que le système soit stable, il faut à la fois que la partie réelle de p1 et la partie réelle de p2 soient négatives. Sinon, les exponentielles ep1t et ep2t deviendront infinie lorsque t → ∞.

24

21

2 baap −+

−=

24

22

2 baap −−

−=

)2)(1()(

pspsKsH

−−=

)2()12/(

)1()21/()(

psppK

psppKsH

−−

+−

−=

)()12(

)()21(

)( 21 tuepp

ktuepp

kth tptp

−+

−=

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On a donc la situation suivante : Pôles d’un système stable Pôles d’un système instable

Puisque l’on peut faire l’expansion en fractions partielles de toute fonction de transfert H(s), on en conclue que

Pour être stable, un système LTI doit posséder des pôles qui se trouvent tous à gauche de l’axe imaginaire dans le plan complexe, i.e. que la partie réelle des pôle doit toujours être négative.

Les fonctions MATLAB de conception de filtres, comme butter, cheby1, cheby2 et ellip retournent la fonction de transfert de filtres stables. Par exemple, le code suivant permet de générer les coefficients de la fonction de transfert d’un filtre Butterworth passe-bas d’ordre 4, de fréquence de coupure 100 rad/sec. Le vecteur B contient les coefficients du numérateur de H(s), en ordre décroissant des puissances de s, et le vecteur A contient les coefficients du dénominateur de H(s).

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Ce filtre n’a pas de zéros explicites, c.a.d. de valeurs finies (le numérateur B est une constante), mais il a 4 pôles, que l’on obtient de la façon suivante avec la fonction roots qui calcule les racines d’un polynôme :

On peut maintenant afficher les pôles de ce filtre :

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On observe que les pôles sont dans le plan gauche, donc le filtre est stable. On y observe que les pôles d’un filtre de Butterworth passe-bas sont situés sur un demi-cercle dans le plan gauche du plan complexe. 14.0 Carte des pôles et des zéros versus forme de la réponse Avec la position des pôles et des zéros dans le plan complexe, on peut déterminer rapidement la forme que devrait prendre la réponse d’un filtre, tant dans le domaine temporel (réponse impulsionnelle) que fréquentiel (réponse en fréquence). En effet, plus certains pôles s’approchent de l’axe imaginaire (sans toutefois passer dans le demi-plan droit), plus le filtre est résonnant à cette fréquence. Ceci se traduit par un pic étroit dans le domaine fréquentiel, et par une réponse impulsionnelle longue dans le domaine temporel. Voici quelques exemples. On montre dans chaque cas le lieu des pôles et des zéros, le module de la réponse en fréquence, et la réponse impulsionnelle.

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La différence dans les deux exemples précédents est la distance entre les pôles et l’axe imaginaire. Dans le premier cas, les pôles sont p1 = -2 + 10 j p2 = -2 - 10 j alors que dans le deuxième cas, les pôles sont p1 = -0.5 + 10 j p2 = -0.5 - 10 j On observe que plus les pôles sont près de l’axe imaginaire (tout en restant à gauche), plus le filtre est résonnant (pic étroit dans la réponse en fréquence) et plus la réponse impulsionnelle est longue. Un filtre résonnant veut donc dire un filtre qui « résonne » (oscille) longtemps à une fréquence donnée, i.e. à la fréquence qui correspond à la « hauteur » des pôles dans le plan complexe.

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Observons maintenant l’effet produit par un déplacement vertical des pôles (ce qui devrait produire, on s’en attend, une variation de la fréquence de résonance).

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On observe en effet que la position verticale des pôles a un effet direct sur la fréquence de résonance du système. Plus les pôles sont éloignés de l’axe horizontal (i.e. plus ω est grand), plus la fréquence de résonance est élevée. On remarque aussi que si la distance entre les pôles et l’axe imaginaire ne change pas, la largeur du pic dans le domaine des fréquences (directement liée au facteur de qualité Q) et l’enveloppe de la réponse impulsionnelle ne changent pas. 15.0 Propriétés Puisqu’il existe un lien très serré entre la transformée de Laplace et la transformée de Fourier (Fourier est un cas particulier de Laplace), les propriétés de ces deux transformées sont très similaires. On trouve à l’annexe B un tableau résumant ces propriétés. Pour résumer quelques unes de ces propriétés :

- ces transformées (Laplace et Fourier) sont linéaires; - la transformée d’une dérivée est égale à la transformée du

signal avant dérivation, multipliée par l’élément fréquentiel s (pour Laplace) ou jω (pour Fourier);

- la transformée d’une intégrale est égale à la transformée du signal avant intégration, divisée par l’élément fréquentiel s (pour Laplace) ou jω (pour Fourier);

- Un décalage temporel de τ introduit le facteur e−sτ (pour Laplace) et e−jωτ (pour Fourier);

- Multiplier par une sinusoïde a l’effet de décaler le spectre d’origine, et de le centrer à la fréquence de la sinusoïde (la porteuse), à la fois dans les fréquences positives et négatives.

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16.0 Exercices de synthèse Exercice 16.1 La fonction de transfert H(s) d’un filtre analogique est donnée par

(a) Affichez ses pôles et ses zéros dans le plan complexe (b) Avec la méthode graphique, tracez à l’échelle une bonne

approximation de sa réponse en fréquence (c) Si on remplace le facteur 10 au dénominateur par le facteur –10,

la fonction de transfert est-elle toujours stable ? Justifiez. Exercice 16.2 (MATLAB et SIMULINK) On demande ici de comparer deux filtres de Butterworth passe-bande d’ordre 1 (i.e. que le dénominateur de la fonction de transfert sera un ordre 2…) Le premier filtre doit être un Butterworth passe-bande d’ordre 1, centré à 1000 Hz, de largeur 40 Hz. Le second filtre doit être un Butterworth passe-bande d’ordre 1, centré à 1000 Hz, de largeur 200 Hz. La figure suivante montre le code MATLAB pour générer ces deux filtres.

102)1()( 2 ++

+=

sssssH

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(a) Avec la fonction roots, calculez les pôles et les zéros de ces filtres, et affichez-les dans le plan complexe

(b) Avec la fonction bode (et tf) affichez le module de la réponse en fréquences de ces deux filtres

(c) Avec SIMULINK, obtenez la réponse impulsionnelle de ces filtres (d) Discutez ce que vous observez, et faites le lien avec le facteur de

qualité Q de ces deux filtres (que vous pouvez calculez avec les valeurs des coefficients de A, le dénominateur de H(s)).

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Annexes

Page 200

Annexe A

Nombres complexes

Page 204

Annexe B

Tables de mathématiques

Page 220

Annexe C

Les fractions partielles

Page 232

Annexe D

Exercices sur la convolution

Page 242

Annexe E

Exercices sur les séries de Fourier

Page 246

Annexe F

Exercices sur la transformée de Fourier

Page 254

Annexe G

Exercices sur la transformée de Laplace

Page 264

mathématiques des systèmes et signaux à temps continu gel

Documents