matm1solund2

1 LOS NMEROS NATURALES

P A R A E M P E Z A R

La suma de dos nmeros naturales es 12. Cules pueden ser los posibles sumandos?

1 11 12 2 10 12 3 9 12 4 8 12 5 7 12

Reparte 237 camisetas en lotes de 11. Cuntos lotes se pueden formar? Cuntas camisetas quedan sinrepartir?

2 3 7 112 1 7 21 Nmero de lotes: 212 1 6 Camisetas sin repartir: 6

Determina el cuadrado de los cinco primeros nmeros naturales.

12 1 22 4 32 9 42 16 52 25

Carlos tiene una piscina cuadrada de 7 metros de lado. Cunto mide la superficie del agua?

Superficie del agua: 7 7 49 m2

Espaa ingres en la ONU 10 aos despus de su fundacin. En qu ao ingres? Cuntos aos lleva Es-paa perteneciendo a la ONU?

Fecha de ingreso de Espaa en la ONU: 1945 10 1955

Aos perteneciendo Espaa a la ONU: 2006 1955 51

El sistema de numeracin decimal

Problema resuelto

Representa en una recta numrica los puntos kilomtricos que correspondena las capitales de provincia que se atraviesan en un viaje por carretera deMadrid a Cdiz.

1.1

5

4

3

2

1

Distancia kilomtricade Madrid a

Madrid 0

Crdoba 400

Sevilla 538

Cdiz 663 0 400 538 663

Mad

rid

Crd

oba

Sevil

la

Cdiz


P A R A P R A C T I C A R

Ejercicio resuelto

Indica el valor de cada cifra 7 en el nmero 47 372.

El valor de la primera cifra 7 corresponde a los millares; por tanto, su valor es 7 1 000 7 000El valor de la segunda cifra 7 corresponde a las decenas; por tanto, su valor es 7 10 70

Escribe el valor en unidades que corresponde a cada cifra del nmero 3 456.

3 expresa 3 millares 3 1 000 3 000 unidades4 expresa 4 centenas 4 100 400 unidades5 expresa 5 decenas 5 10 50 unidades6 expresa 6 unidades

Qu valor de posicin tiene la cifra 2 en cada uno de los siguientes nmeros?

a) 1 234 b) 2 341 c) 3 412 d) 4 123

a) El valor del 2 corresponde a las centenas: 2 100 200 unidadesb) El valor del 2 corresponde a los millares: 2 1 000 2 000 unidadesc) El valor del 2 corresponde a las unidades: 2 unidadesd) El valor del 2 corresponde a las decenas: 2 10 20 unidades

Escribe con palabras los siguientes nmeros.

a) 274 b) 3 267 c) 46 865 d) 579 723

a) Doscientas setenta y cuatrob) Tres mil doscientas sesenta y sietec) Cuarenta y seis mil ochocientas sesenta y cincod) Quinientas setenta y nueve mil setecientas veintitrs

Cul es el nmero natural anterior y el posterior en cada caso?

a) 1 000 b) 4 600 000 c) 18 000 000 d) 750 300 000

a) 999 b) 4 599 999 c) 17 999 999 d) 750 299 9991 001 4 600 001 18 000 001 750 000 001

Con las cifras 2 y 3, escribe un nmero de seis cifras repetidas cada una tres veces.

a) Cul es el menor nmero posible? b) Cul es el mayor nmero posible?

a) Nmero menor: 222 333 b) Nmero mayor: 333 222

Representa en la recta numrica los nmeros 5, 12, 0, 1, 3 y 7. Luego, ordnalos de menor a mayor.

Nmeros ordenados: 0 1 3 5 7 12

1.8

1.7

1.6

1.5

1.4

1.3

1.2

0 31 5 7 12


P A R A A P L I C A R

Para renovar los ascensores, la comunidad de vecinos acuerda pagar un recibo extra de 2 202 euros. Siun vecino paga con un cheque, indica cmo debe escribir esa cantidad con letras.

En qu ao naci Luis?

El ao de nacimiento de Luis fue 1987.

Ejercicio resuelto

Un alumno sabe que un nmero misterioso de cuatro cifras est formado por dos ochos y dos ceros.Qu nmeros pueden ser?

La primera cifra debe ser 8. Los nmeros posibles son: 8 800, 8 080, 8 008

Un nmero capica es aquel que se lee igual de izquierda a derecha y de derecha a izquierda; por ejem-plo, 232 y 1 221 son capicas.Escribe el nmero capica de 5 cifras que cumple lo siguiente:

Comienza por 1. La suma de las cifras es 24. Las cifras de las decenas y millares son iguales.

Hay ms de una solucin?

Hay ms de una solucin. Las tres soluciones posibles son los nmeros: 19 491, 18 681, 17 871

Ordena y representa, aproximadamente, en una recta numrica las distancias por carretera entre A Co-rua y las siguientes capitales de provincia: Santander (547 km), Bilbao (644 km), Oviedo (340 km), SanSebastin (763 km) y Lugo (98 km).

1.13

1.12

1.11

1.10

1.9

Dos mil dosciendos dos

El lugar de las unidades loocupa un 7, tiene 19 centenasy el valor de posicin de 8 es

80 unidades.

Qu condicionescumple la fecha

de tu nacimiento?

Oviedo Santander Bilbao San SebastinLugoA Corua

340 547 644 763980


Suma y resta de nmeros naturales

Ejercicio resuelto

Calcula 25 17 (5 2).

Como hay parntesis, se realiza primero la operacin del parntesis.25 17 (5 2) 25 17 3

Cuando no hay parntesis, las sumas y restas se realizan de izquierda a derecha.25 17 3 8 3 5

1.14



Calcula.a) 6 13 4 7 c) 7 9 9 10b) 15 11 4 20 d) 4 16 16 6

a) 30 b) 50 c) 17 d) 30

Determina el nmero oculto n para que la igualdad sea cierta.a) 18 n 25 c) 31 n 21b) 15 n 2 22 d) 43 n 5 45

a) n 25 18 7 c) n 31 21 10b) n 22 15 2 5 d) n 43 5 45 3

Ejercicio resuelto

Aplica la propiedad de la resta para justificar, razonadamente, las igualdades.a) 68 32 66 30 36b) 44 17 47 20 27

a) Se resta el mismo nmero, el 2, al minuendo y al sustraendo para obtener nmeros ms sencillos.b) Se suma 3 al minuendo y al sustraendo para obtener 47 20.

Calcula utilizando la propiedad de la resta.

a) 59 37 c) 65 42b) 82 33 d) 811 299

a) 59 37 62 40 22 Se suma 3 a los dos nmeros.b) 82 33 89 40 49 Se suma 7 a los dos nmeros.c) 65 42 63 40 23 Se resta 2 a los dos nmeros.d) 811 299 812 300 512 Se suma 1 a los dos nmeros.

Escribe 2 012 como:

a) Suma de tres sumandos mayores que 500.b) Resta de dos nmeros mayores que 1 000.

a) 600 700 712 2 012 b) 4 012 2 000 2 012

Resuelve las siguientes operaciones.

a) 18 (3 5) + 30b) 12 (17 9) (10 8) 4c) 34 16 (10 2)

Se opera el parntesis y luego se hacen las operaciones.a) 18 (3 5) 30 18 8 30 40b) 12 (17 9) (10 8) 4 12 8 2 4 26c) 34 16 (10 2) 34 16 8 10

1.20

1.19

1.18

1.17

1.16

1.15


Halla el resultado de las siguientes operaciones.

a) (40 10) 14 c) 50 (100 75)b) 75 (14 5) d) (215 65) (121 71)

a) 30 14 16 c) 50 25 75b) 75 9 66 d) 150 50 100

Calcula el valor de las expresiones siguientes.

a) 8 52 5 (17 12) 2

b) 20 3 4 32 (9 7) 12

c) 40 5 6 9 (10 8)

a) 48 b) 31 c) 36

1.22

1.21



Problema resuelto

Andrs tiene que recorrer en bicicleta 2 200 metros para ir al trabajo. La casa de su compaero Sergiodista del trabajo 1 355 metros. Cuntos metros recorre Andrs ms que Sergio?

2 200 1 355 845Por tanto, Andrs recorre 845 metros ms que Sergio.

Estbaliz tiene 165 euros. Si entrega 97 euros a la Cruz Roja, cunto dinero le queda?

Dinero que le queda a Estbaliz: 165 97 68 euros.

A las pruebas de una productora de cine se han presentado 15 350 candidatos. Si en la primera pruebahan quedado eliminados 7 325, cuntos quedan para la segunda?

Aspirantes que quedan para la segunda prueba: 15 350 7 325 8 025

Los alumnos de primero se han encargado de recoger dinero para una ONG. Los cuatro cursos han re-cogido, respectivamente, 170, 230, 180 y 160 euros. Qu cantidad aportan entre todos?

Dinero que aportan entre todos: 170 230 180 160 740 euros.

Luis y Alba regalan cada uno, un ramo de flores a su madre. El ramo de Luis tiene 12 rosas y 15 clave-les, y el de Alba 15 rosas y 12 claveles. Cul de los dos ramos tiene ms flores? Qu propiedad ma-temtica refleja el resultado?

12 15 27 flores tiene el ramo de Luis.15 12 27 flores tiene el ramo de Alba.

Ambos ramos tienen la misma cantidad de flores.El resultado refleja la propiedad conmutativa de la suma.

Pablo y sus padres van de vacaciones y, para evitar el cansancio, han hecho dos paradas en el recorrido.Cuntos kilmetros tiene el tercer trayecto si los dos primeros miden 156 y 212 kilmetros y la dis-tancia total es de 600 kilmetros?

Longitud del tercer trayecto: 600 (176 212) 600 388 212

Multiplicacin y divisin de nmeros naturales

Ejercicio resuelto

Calcula (75 10) 5 2 10.

Como hay un parntesis, se realiza primero la operacin del parntesis.(75 10) 5 2 10 65 5 2 10

Luego se realizan las multiplicaciones y divisiones de izquierda a derecha.65 5 2 10 13 2 10 26 10

Por ltimo, se hacen las sumas y restas.26 10 36

1.29

1.28

1.27

1.26

1.25

1.24

1.23



Calcula.

a) 3 3 3 3 c) 5 5 5 5 5 5b) 4 3 d) 7 5

a) 3 3 3 3 12 c) 5 5 5 5 5 5 30b) 4 3 12 d) 7 5 35

Calcula.

a) 12 3 3 3 3 c) 20 4 4 4 4 4b) 12 3 d) 20 4

a) 12 4 3 12 12 0 c) 20 5 4 20 20 0b) 12 3 4 d) 20 4 5

Realiza las operaciones indicadas.

a) 73 62 c) 8 5 6b) 62 73 d) 6 8 5A la vista de los resultados, qu conclusin puedes sacar?

a) 4 526 c) 240b) 4 526 d) 240La conclusin es: el orden de los factores no altera el producto o propiedad conmutativa del producto.

Halla el cociente y el resto de las siguientes divisiones.a) 139 24 c) 6 845 23b) 365 75 d) 17 319 253

a) Cociente 5 Resto 139 24 5 19b) Cociente 4 Resto 365 75 4 65c) Cociente 297 Resto 6 845 23 297 14d) Cociente 68 Resto 17 319 253 68 115

Realiza las siguientes operaciones.a) (3 5) 9 c) (180 70 60) 10b) (11 24) 8 d) (26 13 52) 13

a) 8 9 72 c) 310 10 31b) 35 8 280 d) 91 13 7

Realiza las operaciones siguientes.a) (75 50) 14 c) (111 20) 7b) (86 55) 7 d) (184 133) 57

a) 25 14 350 c) 91 7 637b) 31 7 217 d) 51 57 2 907

Ejercicio resuelto

Qu nmero dividido entre 24 da 36 de cociente y 14 de resto?

D d c r 24 36 14 878

1.36

1.35

1.34

1.33

1.32

1.31

1.30


Entre qu nmero hay que dividir 1 111 para obtener el cociente exacto 101?

Nmero por el que hay que dividir: 1 111 101 = 11

Un alumno se ha olvidado de escribir uno de los factores. Cul es el valor oculto de n para que la igual-dad sea cierta en cada caso?a) 10 n 130 c) 110 n 550b) 12 n 144 d) 125 n 500

a) n 130 10 13 c) n 550 110 5b) n 144 12 12 d) n 500 125 4

Copia y completa la tabla.

Realiza las operaciones indicadas.a) (3 15 18) 9 7b) 3 (15 18) 9 7c) 3 15 (18 9) 7d) 3 15 18 (9 7)

a) (45 18) 9 7 63 9 7 7 7 0b) 3 33 9 7 99 9 7 11 7 4c) 3 15 2 7 45 2 7 40d) 45 18 2 45 9 54

1.40

1.39

1.38

1.37

Dividendo Divisor Cociente Resto

561 187 3 0

805 23 35 0

986 28 54 14

1 950 55 35 25



El radar de un control de trfico cuenta 65 coches en un minuto. Si se mantiene ese ritmo, cuntos cochespasarn en una hora por ese control?

Coches que pasan en una hora por el control: 65 60 3 900

Un colegio tiene 35 aulas y el nmero de alumnos por aula es 30. Cuntos alumnos se pueden matri-cular en el centro?

Nmero de alumnos: 35 30 1 050

Problema resuelto

La distancia por carretera entre dos ciudades es 765 kilmetros. Una familia hace el viaje de una a otraciudad a una velocidad media de 85 kilmetros por hora y hace una parada de una hora para comer.Cunto tiempo emplea en el viaje?

Tiempo empleado por el coche: 765 85 9Tiempo total empleado: 9 horas 1 hora 10 horas

Un centro escolar dispone de 6 aulas para los 162 alumnos que se han matriculado en 1. de ESO. Cuntosalumnos habr en cada grupo?

Alumnos por grupo: 162 6 27

El padre de Daniel ha comprado un equipo de msica. Abona 30 euros de entrada y el resto lo paga en12 mensualidades de 10 euros cada una. Cunto le cuesta todo el equipo?

Precio del equipo de msica: 30 12 10 30 120 150 euros.

Potencias de exponente natural

Ejercicio resuelto

Expresa el nmero 3 540 como una suma de sus cifras multiplicadas por potencias de 10.

El nmero posee 4 decenas, 5 centenas y 3 unidades de millar:3 540 3 000 500 403 540 3 1 000 5 100 4 103 540 3 103 5 102 4 10

1.46

1.45

1.44

1.43

1.42

1.41



Escribe los siguientes productos como potencias y calcula su valor.

a) 7 7 c) 3 3 3 3b) 8 8 8 d) 2 2 2 2 2

a) 72 49 c) 34 81b) 83 512 d) 25 32

Calcula el valor de las potencias.

a) 54 c) 28

b) 33 d) 104

a) 625 c) 256b) 27 d) 10 000

Ejercicio resuelto

Expresa los siguientes nmeros como el producto de un dgito por una potencia de 10.a) 9 000 c) 350 000b) 60 000 d) 4 030 000

El nmero de ceros que acompaa a la primera cifra ser, en cada caso, el exponente de 10.a) 9 000 9 103 c) 350 000 35 104

b) 60 000 6 104 d) 4 030 000 403 104

Expresa como producto de cifras distintas de cero por una potencia de diez, los siguientes nmeros.a) 2 700 c) 52 000b) 3 670 d) 700 000

a) 2 700 27 102 c) 52 000 52 103

b) 3 670 367 10 d) 700 000 7 105

En las siguientes potencias falta el exponente n. Indica de qu nmero se trata en cada caso.a) 5n 125 c) 12n 144b) 3n 81 d) 2n 64

a) n 3, ya que 53 125 c) n 2, ya que 122 144b) n 4, ya que 34 81 d) n 6, ya que 26 64

Expresa el nmero 87 560 como una suma de sus cifras multiplicadas por potencias de 10.

87 560 80 000 7 000 500 6087 560 8 10 000 7 1 000 5 100 6 1087 560 8 104 7 103 5 102 6 101

Los nmeros naturales que son el cuadrado de otro se denominan nmeros cuadrados. Identifica cuntoshay menores que 1 000.

12 1 22 4 32 9 302 900 312 961Total de nmeros cuadrados menores que 1 000: 31.

Cul es el cubo de 4? Indica cul es el volumen de un cubo cuya arista mide 4 metros. Calcula tambinsu rea.

Volumen del cubo: 43 64 m3

rea total del cubo: 6 42 6 16 96 m2

1.54

1.53

1.52

1.51

1.50

1.49

1.48

1.47



Se va a asfaltar un tramo de calle de 5 metros de ancho y 200 metros de largo.Escribe en forma de potencia la superficie asfaltada.

Superficie asfaltada: 5 m 200 m 1 000 m2 103 m2

El depsito de agua de un pueblo tiene forma cbica y su arista mide 12 metros.Sabiendo que el volumen del depsito es el producto de sus tres dimensiones, exprsalo en forma depotencia.

Volumen del depsito: 123 m3 1 728 m3

Expresa, como producto de un nmero natural por una potencia de 10, las siguientes distancias aproxi-madas de estos planetas al Sol.a) Marte: 228 millones de kilmetros. b) Saturno: 1 427 millones de kilmetros.a) Marte: 228 1 000 000 228 106 b) Saturno: 1 427 1 000 000 1 427 106

Expresa en forma de potencia la superficie de los siguientes ocanos.a) Atlntico: 110 millones de kilmetros cuadrados.b) Pacfico: 180 millones de kilmetros cuadrados.

a) Atlntico: 11 107 km2

b) Pacfico: 18 107 km2

Un nio tiene un juguete de construcciones cuyas piezas son cubitos de 1 centmetro de lado. Con es-tos cubitos va a formar cubos mayores de 2, 3 y 4 centmetros de arista.Cuntos cubitos utilizar en cada caso?

Cubo de arista 2 cm: 23 8 cubitos necesitaCubo de arista 3 cm: 33 27 cubitos necesitaCubo de arista 4 cm: 43 64 cubitos necesita

1.59

1.58

1.57

1.56

1.55


P R O P I E D A D E S D E L A S P O T E N C I A S


Escribe en una sola potencia.a) 73 72 c) 53 52

b) 114 112 d) 9 93

a) 73 72 75 c) 53 52 55

b) 114 112 116 d) 9 93 94

Expresa el resultado como una sola potencia.a) 39 34 c) 75 75

b) 76 75 d) 64 62

a) 39 34 35 c) 75 75 70 1b) 76 75 71 7 d) 64 62 62

Calcula las siguientes expresiones, escribiendo el resultado como una sola potencia.a) (23 23) 22 c) (104 103) 102

b) (57 53) 52 d) (76 75) 72

a) (23 23) 22 1 22 22 c) (104 103) 102 10 102 103

b) (57 53) 52 54 52 56 d) (76 75) 72 71 72 73

Halla estas potencias.a) (2 8)2 c) (3 12)2

b) (5 2)3 d) (4 7)2

a) (2 8)2 102 100 c) (3 12)2 152 225b) (5 2)3 33 27 d) (4 7)2 112 121

Calcula las siguientes potencias.a) (5 2)2 c) (45 3)2

b) (6 6)3 d) (63 6)3

a) (5 2)2 102 100 c) (45 3)2 152 225b) (6 6)3 363 46 656 d) (63 6)3 (62)3 66 46 656

Determina el valor de las siguientes expresiones escribiendo el resultado como una potencia nica.a) (102)2 c) (114)3

b) (20 5)3 d) (4 9)2

a) (102)2 104 c) (114)3 1112

b) (20 5)3 43 d) (4 9)2 362 64

1.65

1.64

1.63

1.62

1.61

1.60



Un centro escolar tiene dos salas cuadradas, una de 6 metros de lado y otra de 8 metros de lado, y quie-re sustituirlas por una sola, cuya rea sea la suma de las anteriores.El rea de la nueva sala es igual a la de una sala cuadrada de lado 6 8?

rea de la nueva sala que sustituir a las dadas: 62 82 36 64 100 m2

rea de una sala cuadrada de lado 6 8: (6 8)2 142 196 m2

Si comparamos ambas reas, observamos que NO es igual el rea de la nueva sala a la de una sala cuadrada de lado ( 6 8 ).

Problema resuelto

Se sabe que 1 Gigabyte (Gb) equivale a 210 Megabytes (1 024 Mb). El ordenador de Juan tiene 2 048 Mbde memoria y el de Mara tiene 4 Gb.Compara sus capacidades de memoria.

Juan: 2 048 Mb 2 1 024 Mb 2 210 Mb 211 Mb

Mara: 4 Gb 4 1 024 Mb 22 210 Mb 212 Mb

212 211 212 11 21 2

El ordenador de Mara tiene el doble de capacidad que el de Juan.

Un contenedor tiene 100 paquetes y cada uno contiene 10 envases de detergente. Otro contenedor tiene10 paquetes iguales a los anteriores.Determina cuntos envases de detergente hay en total, utilizando el clculo de potencias de la mismabase.

Envases del primer contenedor: 100 10 103.

Envases del segundo contenedor: 10 10 102.

Total de envases de detergente: 103 102

Paula recuerda que el cuadrado de un nmero que est comprendido entre 1 000 y 1 300 tiene comofactores 5 y 7.Cul es ese nmero?

El nmero es: 52 72 1 225

Un pal de un supermercado contiene 16 cajas de leche, y cada una de ellas tiene 16 envases de 1 litro.Expresa el nmero total de litros de leche del pal, en forma de potencias de 2 y en forma de potenciasde 4.

Nmero de litros de leche en potencias de 2: 16 16 162 24 24 28

Nmero de litros de leche en potencias de 4: 16 16 42 42 44

1.70

1.69

1.68

1.67

1.66


Mnica nos dice que el nmero de alumnos de su colegio se puede calcular multiplicando 54 por el me-nor nmero que consigue que el producto sea un cuadrado perfecto.Cuntos alumnos hay en su colegio?

Factorizacin de 54: 54 2 33

Se multiplica por 2 3 para que sean cuadrados los factores.

Nmero buscado: 2 33 2 3 22 34 324

Es un cuadrado perfecto porque los exponentes son pares.

En el colegio de Mnica hay 324 alumnos.

1.71


R A C E S C U A D R A D A S


Encuentra un nmero natural que multiplicado por s mismo d los siguientes resultados.

a) 36 b) 81 c) 121 d) 169

a) 6 b) 9 c) 11 d) 13

Los alumnos de una clase nos dicen los cuadrados de los nmeros que han pensado. Cules son losnmeros?

a) 64 b) 169 c) 196 d) 400

a) 8 b) 13 c) 14 d) 20

Ejercicio resuelto

Calcula la raz cuadrada exacta de 106.

106 10 10 10 10 10 10 103 103 (103)2

Por tanto: 106 103 1 000

Calcula las races cuadradas exactas de los siguientes nmeros.

a) 54 b) 34 c) 28

a) 54 52 25 b) 34 32 9 c) 28 24 16

Halla por tanteo la raz exacta de 441.

20 20 400 21 21 441

Por tanto: 441 21

Cul es la raz cuadrada entera y el resto de estos nmeros?

a) 56 c) 90

b) 125 d) 420

a) 56 7, resto 7 c) 90 9, resto 9

b) 125 11, resto 4 d) 420 20, resto 20

1.77

1.76

1.75

1.74

1.73

1.72


Determina la raz cuadrada exacta o entera de estos nmeros.

a) 1 000 c) 100 000

b) 49 d) 258

a) 1 000 31, resto 39 c) 100 000 316, resto = 144

b) 49 7, resto 0 d) 258 16, resto = 2

Calcula el radicando sabiendo que:

a) Raz 24, resto 17 c) Raz 25, resto 20

b) Raz 30, resto 24 d) Raz 11, resto 11

a) Radicando 242 17 576 17 593

b) Radicando 302 24 900 24 924

c) Radicando 252 20 625 20 645

d) Radicando 112 11 121 11 132

1.79

1.78



El patio de un colegio es cuadrado. Si su rea mide 961 metros cuadrados, cunto mide su lado?

Lado del cuadrado: 961 31 m.

Un terreno rectangular tiene 1 250 metros cuadrados. Si el largo es igual al doble del ancho, cules sonsus dimensiones?

En la figura se forman dos cuadrados de 625 m2 de rea.

Lado del cuadrado: 625 25 m.Dimensiones del rectngulo: 50 m 25 m.

Es posible vallar un terreno cuadrado con una cerca de 112 metros de longitud, sin que sobre o faltenada?

Basta elegir como lado del terreno cuadrado 28 m, puesto que 28 4 112 metros

Problema resuelto

Se quieren plantar 147 rboles de forma que llenen un rea cuadrada. Cuntas filas de rboles tendrla plantacin? Sobrar algn rbol?

Buscamos un nmero cuyo cuadrado se aproxime, sea menor o igual a 147:

112 121 122 144 132 169

147 12, resto 147 144 3.

La plantacin tendr 12 filas de 12 rboles cada una y sobrarn 3 rboles.

Se han comprado 2 975 placas cuadradas de granito de un metro cuadrado, para embaldosar una plazacuadrada. Se pretende emplear el mximo nmero posible y guardar el resto para reparaciones.Cuntas quedan en reserva?

Raz entera de 2 975 54

Resto 2 975 542 2 975 2 916 59

Quedan en reserva: 59 placas

1.84

1.83

1.82

1.81

1.80


M A T E M T I C A S C O T I D I A N A S


En qu cifra termina el nmero que resulta al desarrollar la potencia 32 006?

Calculamos las sucesivas potencias de 3.

30 1 31 3 32 9 33 27

34 81 35 243 36 729 37 2 187

38 6 561 ... ... ...

Observamos que cada cuatro potencias se repite la ltima cifra: 1, 3, 9, 7, 1, 3, 9, 7, 1

2 006 501 4 2

Dividiendo 2 006 entre 4 obtenemos de resto 2. Por tanto, la potencia termina en la misma cifra que 32, o sea en 9.

1.85


A C T I V I D A D E S F I N A L E S

C L C U L O M E N T A L

Estima cada suma.

a) 207 613 c) 24 782

b) 1 885 7 277 d) 1 422 666

a) 207 613 200 600 800 c) 24 782 20 800 820

b) 1 885 7 277 2 000 7 000 9 000 d) 1 422 666 1 400 700 2 100

Estima cada resta.

a) 13 207 3 613 c) 54 424 6 582

b) 74 885 4 271 d) 8 656 777

a) 13 207 3 613 13 000 4 000 9 000 c) 54 424 6 582 54 000 7 000 47 000

b) 74 885 4 271 75 000 4 000 71 000 d) 8 656 777 9 000 800 8 200

Estima cada producto.

a) 27 63 c) 78 18

b) 82 95 d) 472 483

a) 27 63 30 60 1 800 c) 78 18 80 20 1 600

b) 82 95 80 90 7 200 d) 472 483 500 500 250 000

Estima los siguientes cocientes.

a) 317 63 c) 798 19

b) 282 95 d) 452 53

a) 317 63 300 60 5 c) 798 19 800 20 40

b) 282 95 300 100 3 d) 452 53 450 50 9

Comprueba, mediante estimaciones, si estn bien resueltas las siguientes operaciones.

a) 66 72 4 752 c) 56 89 47 084

b) 456 12 38 d) 37 713 967 39

a) 66 72 70 70 4 900 c) 56 89 60 90 5 400

b) 456 12 400 10 40 d) 37 713 967 40 000 1 000 40

1.90

1.89

1.88

1.87

1.86


P A R A P R A C T I C A R Y A P L I C A R

Indica el valor de posicin de la cifra 5 en cada uno de los siguientes nmeros.

a) 7 587 c) 2 345

b) 52 137 d) 2 751

a) El valor del 5 es: 5 100 500 c) El valor del 5 es: 5

b) El valor del 5 es: 5 10 000 50 000 d) El valor del 5 es: 5 10 50

A qu nmeros corresponden los puntos sealados con letras?

A 3 B 7 C 9 D 12 E 14

Realiza las siguientes operaciones.

a) 20 (45 25) c) 11 (321 47) 20 11

b) 25 12 9 7 d) 127 25 3 81 9

a) 20 20 400 c) 11 368 20 11 4 048 220 3 828

b) 25 108 7 140 d) 127 75 9 61

Coloca los parntesis adecuados para que el resultado sea correcto.

a) 4 5 8 72 c) 12 7 8 5 97

b) 10 2 3 7 350 d) 5 8 5 4 16 2 28

a) (4 5) 8 9 8 72 c) No son necesarios.

b) 10 (2 3) 7 10 5 7 350 d) No son necesarios.

Expresa el resultado de las expresiones en forma de potencia y determina su valor.

a) (5 2)5 c) 42 41 43

b) (52)3 d) 117 115

a) (5 2)5 105 100 000 c) 42 41 43 46 4 096

b) (52)3 56 15 625 d) 117 115 112 121

Escribe el exponente n que falta.

a) 3n 36 33 310 c) 154 15n 15

b) 83 86 8n 811 d) 133 130 13n

a) 31 36 33 310 , luego n 1 c) 154 153 151 15, luego n 3

b) 83 86 82 811, luego n 2 d) 133 130 133, luego n 3

Halla las races cuadradas exactas o enteras de los siguientes nmeros.

a) 169 c) 835

b) 576 d) 614

a) 169 13 c) Raz entera 28, resto 51b) 576 24 d) Raz entera 24, resto 38

1.97

1.96

1.95

1.94

1.93

1.92

1.91

0

E

A

B

C

D

1


Ordena los ros ms importantes de la Pennsula Ibrica, de mayor a menor longitud (en kilmetros),y represntalos de forma aproximada en una recta numrica.

Tajo Ebro Duero Guadiana Guadalquivir

La familia Blanco ha tenido estos gastos fijos durante el primer trimestre del ao.

a) En qu mes ha tenido ms gastos?

b) En qu ha gastado ms a lo largo del trimestre: en agua, en electricidad o en telfono?

c) Cul es la diferencia en el recibo del telfono en los tres meses? Y en el recibo del agua?

Calculamos en la tabla los totales por meses y por conceptos.

a) Durante el mes de enero.

b) Ha gastado ms en electricidad.

c) 115 75 40 euros es la mayor diferencia en el recibo del telfono durante el trimestre.

54 42 12 euros es la mayor diferencia en el recibo del agua durante el trimestre.

Un parque cuadrado que tiene una extensin de 19 600 metros cuadrados, est rodeado por un paseo.

a) Cuntos metros mide el lado del parque?

b) Cuntos metros recorre una atleta que da 10 vueltas?

a) Medida del lado: 19 600 140 m.b) Recorrido de una vuelta: 4 140 560 m.

Recorrido en 10 vueltas: 560 10 5 600 m.

1.100

1.99

1.98

Agua Electricidad TelfonoEnero 54 93 115

Febrero 42 89 96Marzo 51 107 75

Agua Electricidad Telfono TotalEnero 54 93 115 262

Febrero 42 89 96 227Marzo 51 107 75 233Total 147 289 286 722

Ro Duero Ebro Guadalquivir Guadiana TajoLongitud 895 910 657 744 1 008

Guadalquivir Guadiana Duero Ebro Tajo

910895 1008744657


P A R A R E F O R Z A R

Escribe los siguientes nmeros.a) Dos millones trescientas mil ocho.b) Trece millones quinientos cinco mil quinientos cinco.c) Veinticinco millones treinta y tres.d) Cien mil doscientas.

a) 2 300 008b) 13 505 505c) 25 000 033d) 100 200

Escribe sin calcular.a) El triple de la suma de cinco, ms ocho.b) El doble de la diferencia de once y seis.c) El doble del cudruple de nueve, ms cinco.d) El triple de la suma de siete, ms quince.

a) 3 (5 8)b) 2 (11 6)c) 2 (4 9 5)d) 3 (7 15)

Ordena y representa en la recta numrica las edades de los asistentes a una fiesta familiar.Bea, 14 aos; Antonio, 63; Elena, 59; Carmen, 41; Jos, 43; Miguel, 70, y Pablo, 12 aos.

Pablo (12) Bea (14) Carmen (41) Jos (43) Elena (59) Antonio (63) Miguel (70)


Comprueba si las siguientes divisiones son exactas. En caso contrario, cul es el nmero ms pequeoque hay que aadir al dividendo para que la divisin sea exacta?a) 72 6 b) 75 9 c) 45 7 d) 60 8

a) 72 6 12 Exactab) 75 9 8,33 No exacta (75 6) 9 81 9 9c) 45 7 6,42 No exacta (45 4) 7 49 7 7d) 60 8 7,5 No exacta (60 4) 8 8

1.105

1.104

1.103

1.102

1.101

a b c a b c a (b c) a (b c) (a b) c17 5 2 14 10 119 160 21 3 42 36 1 440 2728 20 4 12 4 672 12

41 59120

Carmen Elena Antonio MiguelPablo JosBea

14 43 63 70


Expresa en forma de potencia y halla el resultado.a) 11 11 11 c) 20 20 20b) 4 4 4 4 d) 2 5 2 5 2 5

a) 11 11 11 113 1 331 c) 20 20 20 203 8 000b) 4 4 4 4 44 256 d) 2 5 2 5 2 5 (2 5)3 103 1 000

Escribe en una sola potencia.

a) 26 22 c) 712 76

b) 35 37 d) 59 57

a) 26 22 28 c) 712 76 76

b) 35 37 312 d) 59 57 52

Calcula las siguientes potencias del modo que creas conveniente.

a) (54 9)4 c) (10 4)2

b) (32 11)2 d) (60 12)3

a) (54 9)4 64 1 296 c) (10 4)2 402 1 600b) (32 11)2 (9 11)2 202 400 d) (60 12)3 53 125

Utiliza las propiedades de las potencias.

a) 38 36 c) 74 72 7

b) 105 104 106 d) (32)3

a) 38 36 32 9 c) 74 72 7 72 7 73 343b) 105 104 106 109 106 103 1 000 d) (32)3 36 729

Calcula.

a) 42 53 52 62 c) 54 53 52 51

b) 62 62 61 63 d) 64 63 43 42

a) 42 53 52 62 42 5 62 16 5 36 47b) 62 62 61 63 62 6 63 36 6 216 246c) 54 53 52 51 625 125 25 5 720d) 64 63 43 42 6 4 10

Calcula la raz cuadrada exacta de los siguientes nmeros.

a) 324 c) 784

b) 529 d) 1 369

a) 324 18 c) 784 28b) 529 23 d) 1 369 37

Calcula la raz cuadrada entera y el resto de los siguientes nmeros.

a) 53 c) 375

b) 685 d) 967

a) Raz entera 7, resto 4 c) Raz entera 19, resto 14b) Raz entera 26, resto 9 d) Raz entera 31, resto 6

1.112

1.111

1.110

1.109

1.108

1.107

1.106


P A R A A M P L I A R

Sigue los siguientes pasos.

Elige un nmero cualquiera de un mximo de seis cifras. Multiplcalo por 100. Rstale el nmero original. Divdelo entre 11. Divdelo entre el nmero original.

a) Qu nmero has obtenido?b) Si repites el proceso con otro nmero inicial, obtienes el mismo resultado. Por qu?

Puedes repetir este truco de magia matemtica con tus amigos.

a) El nmero que se obtiene es 9.b) Si seguimos los pasos con un nmero cualquiera:

Sea n el nmero pensado. Se multiplica por 100: 100n. Se resta el nmero original: 100n n 99n. Se divide entre 11: 99n 11 9n. Se divide por el nmero original: 9n n 9.

El resultado final es siempre 9.

Para cubrir el suelo de una cocina cuadrada se han necesitado 576 baldosas.Cul es el rea de la cocina si el lado de cada baldosa mide 20 centmetros?

Nmero de baldosas por lado: 576 24 baldosasLongitud del lado de la cocina: 24 0,20 4,8 mrea de la cocina: 4,8 4,8 23,04 m2

1.114

1.113


P A R A I N T E R P R E T A R Y R E S O L V E R

La Liga

La Federacin de Ftbol tiene que organizar las jornadas del campeonato de liga, en el que participan 18equipos.El reglamento exige las siguientes condiciones:Cada equipo debe enfrentarse dos veces con todos los dems: una vez, en su estadio, y otra, en el deloponente.Cada domingo debern participar todos los equipos, por lo que se habrn de celebrar 9 partidos.Al finalizar la primera vuelta, a mitad del campeonato, cada equipo habr jugado una vez con cada opo-nente.

a) De cuntos partidos constar el total del campeonato?b) Cuntas jornadas se debern celebrar?Si la primera vuelta comienza el domingo 1 de septiembre y debe estar acabada al finalizar el ao,habr suficientes domingos para que se celebren todas las jornadas, o deber habilitarse algn daintermedio de la semana para celebrar alguna de ellas?

a) En un partido estn enfrentados dos equipos. El primero puede ser cualquiera de los 18, el segundo puede ser cualquiera de los17 restantes. En total habr 18 17 306 partidos en todo el campeonato.

b) Se debern celebrar 30

96

34 jornadas: 17 en la primera vuelta y otros 17 en la segunda.

Desde el 1 de septiembre hasta el 31 de diciembre hay 30 31 30 31 122 das.

Como, 122 17 37 7, habr 17 domingos antes del 31 de diciembre, por lo que no ser necesario habilitar ningn daintermedio de la semana.

Pensar y adivinar

Una vez puestas las bolas en la bolsa y teniendo en cuenta que esta se hallaba vaca, Carla saca tres bolasde una vez y le dice a Javier:Son tres bolas de diferente color y el producto de sus tres nmeros es 175.Puede adivinar Javier el color y el nmero de las bolas que Carla sac?

Como 175 52 7, deben haber salido dos bolas marcadas con el 5 y una con el siete.Como los colores son diferentes, slo se puede dar la posibilidad de haber obtenido:Una bola roja y marcada con el 5Una bola azul y marcada con el 5Una bola verde y marcada con el 7

1.116

1.115


A U T O E V A L U A C I N

Ordena de menor a mayor los siguientes nmeros.

5004 4050 5040 5400 4005 4500

4 005 4 050 4 500 5 004 5 040 5 400

Efecta las operaciones.

a) 4 30 200 1000 c) 7 5 6 9 3b) 2914 1492 2 001 d) 25 32 3 2 8 18 6

a) 1 234 c) 70 30 9 3 31b) 3 423 d) 25 96 16 3 108

Realiza estas operaciones.

a) (3 7) 10 (28 3) c) (48 6 12) 10 2b) 7 5 (8 2) 5 65 d) 10 6 4 (4 6) 5 1

a) 10 10 25 100 25 75 c) (8 12) 10 2 20 10 2 200 2 100b) 35 10 5 65 35 2 65 102 d) 10 6 4 10 5 1 10 6 4 50 1 71

Realiza las siguientes operaciones.

a) 3 32 (3 3) c) (8 24) (2 23)b) (52 5) 5 d) (10 10) (10 10)

a) 3 32 (3 3) 3 32 30 27 c) (8 24) (2 23) 27 24 23 8b) (52 5) 5 53 5 25 d) (10 10) (10 10) 100 100 1

Calcula la raz cuadrada exacta de los nmeros siguientes.

a) 256 c) 900

b) 225 d) 1 600

a) 256 16 c) 900 30

b) 225 15 d) 1 600 40

Halla la raz cuadrada entera y el resto de los siguientes nmeros.

a) 125 c) 150

b) 170 d) 1 814

a) 125 121 4 112 4 c) 150 144 6 122 6

Raz entera 11, resto 4 Raz entera 12, resto 6

b) 170 169 1 132 1 d) 1 600 402 0

Raz entera 13, resto 1 Raz exacta 40, resto 0

1.A6

1.A5

1.A4

1.A3

1.A2

1.A1


En un circuito de Frmula 1 hay que dar 72 vueltas. Si el circuito tiene 7 kilmetros, cuntos kilme-tros le quedan por correr a un piloto que ya ha dado 47 vueltas?

Quedan: (72 47) 25 vueltas.

Kilmetros que faltan: 25 7 175 km le quedan por correr.

Un granjero ha tropezado en el camino y se le han roto 13 huevos de un lote de ocho docenas quellevaba. Cuntos huevos no se han roto?

Nmero de huevos que quedan: (12 8) 13 96 13 83 huevos no se han roto.

En una divisin, el divisor es 11, el cociente 13 y el resto 4. Cul es el dividendo?

Dividendo divisor cociente resto

Dividendo 11 13 4 143 4 147

Un alumno ha dividido un nmero entre otro. Indica si pueden ser el divisor (d) y el resto (r) los si-guientes nmeros.

a) d 15, r 10

b) d 12, r 12

c) d 13, r 4

d) d 11, r 21

a) Puede ser, ya que el resto es menor que el divisor.

b) No puede ser, ya que el resto es igual al divisor.

c) Puede ser, ya que el resto es menor que el divisor.

d) No puede ser, ya que el resto es mayor que el divisor.

1.A10

1.A9

1.A8

1.A7


U N R I N C N P A R A J U G A R

Juego: EL MS RPIDO

Nmero de jugadores: 2 o ms

Material: Una calculadora para cada jugador.

Se trata de aadir 10 trminos a cada una de las siguientes sucesiones de nmeros.

27 54 81 108 ... ... ... 324 355 386 417 ... ... ... 1 000 979 958 937 ... ... ... 2 6 18 54 ... ... ... 11 19 27 35 ... ... ... 3 6 12 24 ... ... ...

Todos los jugadores comienzan a trabajar a la vez en una de las sucesiones, y obtiene un punto el que lacomplete correctamente en menos tiempo.

Al finalizar observa que sucede cuando pulsas en tu calculadora estas secuencias de teclas:

27 ... 3 2 ...

A continuacin damos la secuencia de teclas necesaria con la calculadora para aadir 10 trminos a cada una de estas sucesiones: 27 54 81 108 ... ... ...

27

27 54 81 108 135 162 189 216 243 270 297 324 351 378

324 355 386 417 ... ... ... 355 324 31324 31

324 355 386 417 448 479 510 541 572 603 634 665 696 727

1 000 979 958 937 ... ... ... 1 000 979 211 000 21

1 000 979 958 937 916 895 874 853 832 811 790 769 748 727

2 6 18 54 ... ... ... 6 2 33 2 2 6 18 54 162 486 1 458 4 374 13 122 39 366 118 098 354 294 1 062 882 3 188 646

11 19 27 35 ... ... ... 19 11 811 8

11 19 27 35 43 51 59 67 75 83 91 99 107 115

3 6 12 24 ... ... ... 6 3 = 22 3

3 6 12 24 48 96 192 384 768 1 536 3 072 6 144 12 288 24 576 ...

2 MLTIPLOS Y DIVISORES

P A R A E M P E Z A R

Cul es el resultado de sumar 15 veces el nmero 3?

3 3 ... 3 15 3 45

Reparte 60 fotografas en las 12 hojas de un lbum, de modo que haya el mismo nmero de fotografasen cada hoja.

60 12 5En cada hoja hay 5 fotografas.

En una divisin, el divisor es 16, el cociente 7 y el resto 11. Cul es el dividendo?

Relacin: D d c r D 16 7 11 123

Es 4 divisor de 2 020? Es 192 mltiplo de 8?

2 020 4 505, luego S es 4 divisor de 2 020.192 8 24, luego S es 192 mltiplo de 8.

De cuntas formas se pueden plantar 42 olivos, de manera que formen un rectngulo?

Posibilidades: 1 42 2 21 3 14 6 7

5

4

3

2

1


M L T I P L O S Y D I V I S O R E S D E N M E R O S


Calcula los cuatro primeros mltiplos de los nmeros 7, 11, 25 y 125.

Mltiplos de 7: 7 14 21 28Mltiplos de 11: 11 22 33 44Mltiplos de 25: 25 50 75 100Mltiplos de 125: 125 250 375 500

Escribe cinco mltiplos de 8 mayores que 100.

El primer mltiplo de 8 mayor que 100 es: 8 13 104Mltiplos sucesivos: 104 112 120 128

Sonia cuenta de cuatro en cuatro: 0, 4, 8, ... y Emilio de cinco en cinco: 0, 5, 10, ... hasta llegar a 100.En qu nmeros coincidirn?

Sonia: 0 4 8 12 16 20 24Emilio: 0 5 10 15 20 25 30Coincidirn en 20 40 60 80

Ejercicio resuelto

Calcula por parejas los divisores de los nmeros 8 y 11.

Para calcular los divisores de un nmero, lo dividimos entre los nmeros naturales menores que l y anotamos los que corres-ponden a una divisin exacta:

8 1 = 8 8 2 = 4 8 4 = 2 8 8 = 1

Los divisores de 8 son: 1 y 8, 2 y 4.11 1 = 11 11 11 = 1

Los divisores de 11 son: 1 y 11.

2.4

2.3

2.2

2.1


Calcula por parejas los divisores de los nmeros 23, 35, 43, 75, 144, 200 y 500.

Parejas de divisores de 23: 1 23

Parejas de divisores de 35: 1 355 7

Parejas de divisores de 43: 1 43

Parejas de divisores de 75: 1 753 255 15

Parejas de divisores de 144: 1 1442 723 484 366 248 189 1612 12

Parejas de divisores de 200: 1 2002 1004 505 408 2510 20

Parejas de divisores de 500: 1 5002 2504 1255 10010 5020 25

Razona si los siguientes nmeros son primos o compuestos.

a) 21 c) 27 e) 65b) 41 d) 47 f) 72

a) 21 3 7, no es primo c) 27 3 9, no es primo e) 65 5 13, no es primob) 41 1 41, es primo d) 47 1 47, es primo f) 72 2 36, no es primo

Halla los divisores de 9, 25, 49 y 121.

Divisores de 9: 1 3 9Divisores de 25: 1 5 25Divisores de 49: 1 7 49Divisores de 121: 1 11 121

El nmero de divisores es 3 si el nmero es un cuadrado de un nmero primo.

2.7

2.6

2.5


Encuentra los divisores de 8, 27, 125, y 343. Existe alguna relacin entre el nmero y su nmero de di-visores?

Divisores de 8: 1 2 4 8Divisores de 27: 1 3 9 27Divisores de 125: 1 5 25 125Divisores de 343: 1 7 49 343

El nmero de divisores es 4 si el nmero es el cubo de un nmero primo.

Los nmeros 17 y 19 son primos consecutivos impares que se diferencian en dos unidades. Halla otrasparejas similares formadas por nmeros menores que 100.

Las parejas menores que 100 son:5 y 7 11 y 13 17 y 19 41 y 43 71 y 73

2.9

2.8



Sofa tiene 60 sellos y los quiere pegar en un lbum de manera que todas las pginas tengan el mismonmero de sellos. De cuntas formas puede hacerlo?

Si tiene 1 pgina 60 sellos/pginaSi tiene 2 pginas 30 sellos/pginaSi tiene 3 pginas 20 sellos/pginaSi tiene 4 pginas 15 sellos/pginaSi tiene 5 pginas 12 sellos/pginaSi tiene 6 pginas 10 sellos/pginaSi tiene 10 pginas 6 sellos/pginaSi tiene 12 pginas 5 sellos/pginaSi tiene 15 pginas 4 sellos/pginaSi tiene 20 pginas 3 sellos/pginaSi tiene 30 pginas 2 sellos/pginaSi tiene 60 pginas 1 sello/pgina

Un grupo de 24 alumnos hace una excursin al monte. Los profesores les exigen, por seguridad, quevayan en grupos iguales de al menos tres alumnos. De cuntas maneras pueden ir?

Grupos posibles: Si van 3 alumnos, se forman 8 grupos.Si van 4 alumnos, se forman 6 grupos.Si van 6 alumnos, se forman 4 grupos.Si van 8 alumnos, se forman 3 grupos.Si van 12 alumnos, se forman 2 grupos.Si van 24 alumnos, se forma 1 grupo.

Problema resuelto

Miguel tiene comprobado que los dos autobuses que pasan por su parada tardan uno 15 minutos y elotro 20 minutos. Si a las 10.00 pasan los dos a la vez, cundo coincidirn de nuevo?

El primer autobs pasa cada:15, 30, 45, 60, 75 minutos

El segundo autobs pasa cada:20, 40, 60, 80 minutos

Por tanto, coincidirn dentro de 60 minutos o una hora, es decir, a las 11.00.

Tres amigos van a entrenar a un circuito. Uno tarda en recorrerlo 10 minutos, otro 12 y el tercero 15. Sisalen juntos, cundo volvern a encontrarse en el punto de salida?

Tiempos de llegada a la meta del primero: 10 20 30 40 50 60 Tiempos de llegada a la meta del segundo: 12 24 36 48 60 72 Tiempos de llegada a la meta del tercero: 15 30 45 60 75 90

Se encontrarn al cabo de 1 hora.

2.13

2.12

2.11

2.10


Ftima tiene dos amigos. El primero sale con ella un da fijo cada semana y el segundo cada 10 das. Sihoy coinciden los tres, cundo volvern a coincidir?

Salida con el primer amigo:7 14 21 28 35 42 49 56 63 70

Salida con el segundo amigo:10 20 30 40 50 60 70 80

Coinciden cada 70 das.

Anglica recuerda que el dinero recogido para una ONG por un grupo de 45 alumnos est comprendi-do entre 365 y 420 euros. Si todos entregan los mismos euros, cunto dinero han recogido?

Si todos entregan lo mismo, las cantidades pueden ser:45 90 ... ... ... 180 ... ... ... 360 405 450

Dinero entregado por cada alumno: 405 45 9 euros

Criterios de divisibilidad. Factorizacin

Ejercicio resuelto

Descompn en factores primos el nmero 210.

Buscamos los nmeros primos que dividan exactamente el nmero 210.Para hallar de forma ordenada la descomposicin, empezamos por los factores primos ms pequeos.

420 2 210210 2 105

105 3 3535 5 7

7 7 1

Por lo que 420 2 2 3 5 7 22 3 5 7En la prctica, las divisiones exactas se plantean como se indica en el grfico de la derecha.

2.16

2.15

2.14

13 / 05

420 2210 2105 3

35 57 71



Halla el resto de la divisin de los nmeros 121, 726, 2 225 y 3 471 entre 3.

Resto (121 3) 1 Resto (2 225 3) 2Resto (726 3) 0 Resto (3 471 3) 0

Para comprobar si los nmeros 253, 1 375, 7 700 y 8 547 son divisibles por 11, se puede utilizar otrocamino que no sea la divisin?

Se pueden utilizar los criterios de divisibilidad.

En 253 se tiene que 2 3 5, luego es divisible por 11.En 1 375 se tiene que 1 7 3 5, luego es divisible por 11.En 7 700 se tiene que 7 0 7 0, luego es divisible por 11.En 8 549 se tiene que 8 4 5 9, luego no es divisible por 11.

Comprueba si son divisibles por 2, 3, 5 u 11 los nmeros dados:a) 324 d) 165 g) 2 442b) 567 e) 330 h) 7 070c) 675 f) 617 i) 23 456

a) Es divisible por 2, 3 d) Es divisible por 3, 5, 11 g) Es divisible por 2, 3, 11b) Es divisible por 3 e) Es divisible por 2, 3, 5, 11 h) Es divisible por 2, 5, 11c) Es divisible por 3, 5 f) Es primo i) Es divisible por 2


El nmero 37A es divisible por 25. Calcula el valor de A.

A 5 El nmero es 375, porque 375 300 75, siendo cada uno de los sumandos divisible por 25.

Halla el valor de A para que el nmero 7A2 sea divisible por 3 y por 11.

A 9 El nmero es 792.

La suma de las cifras es 18, luego el nmero es divisible por 3.

Se verifica que 9 2 7, luego es divisible por 11.

2.22

2.21

2.20

2.19

2.18

2.17

Divisible por 2 3 5 10 11 100

12 317 160 S S S S NO NO

12 348 257 NO NO NO NO S NO

12 142 857 NO S NO NO S NO

54 545 400 S S S S NO S

12 345 679 NO NO NO NO NO NO


Ejercicio resuelto

Factoriza, a tu modo, los nmeros 81 y 360.

Se comienza la factorizacin por cualquier par de divisores. Luego, cada factor se vuelve a descomponer y se contina el proceso.

81 9 9 (3 3) (3 3) 32 32 34

360 36 10 (3 3 2 2) (2 5) 23 32 5

Factoriza los siguientes nmeros.

48 720 1 000 3 300 2 040

48 3 16 3 24

720 8 9 10 24 32 51 000 103 23 53

3 300 100 33 22 52 3 112 040 204 10 23 3 5 17

Factoriza los nmeros de tres cifras iguales.

111 222 333 444 555 666 777 888 999

111 3 37 444 22 3 37 777 3 7 37222 2 3 37 555 3 5 37 888 23 111 23 3 37333 32 37 666 2 32 37 999 33 37

Factoriza los nmeros menores de 100 que terminan en 1.

1 es primo 51 3 1711 es primo 61 es primo21 3 7 71 es primo31 es primo 81 3441 es primo 91 7 13

2.26

2.25

2.24

2.23



La superficie del saln de actos de un centro escolar es rectangular y mide 253 metros cuadrados. Si elsuelo est cubierto con baldosas de 1 metro cuadrado y cada lado tiene ms de 10 baldosas, calcula lamedida de los lados y el permetro del saln de actos.

Sean a y b las medidas de los lados.a b 253 11 23 m2

Dimensiones del saln: 23 y 11 m.Permetro: 2 (23 11) 2 34 68 m

Unos padres reparten sus ahorros entre sus 6 hijos, para que amplen sus estudios de ingls en verano.Si a cada hijo le dan la misma cantidad y la reparticin es exacta, cul de estas cantidades puede serel dinero ahorrado: 5 857, 6 454, 8 664, 8 389?

Las cantidades 5 857 y 8 389 no son posibles, ya que no son divisibles por 2 y, por tanto, tampoco lo son por 6. La cantidad 6 454 no es divisible por 3 y, por tanto, tampoco lo es por 6. 8 664 es divisible por 6, ya que es divisible por 2 (la cifra final es par), y por 3 (la suma de sus cifras es 24).

Dinero ahorrado: 8 664 euros.

Problema resuelto

A Fran, que le gusta mucho la msica, le pregunta su amiga Carmen cuntos discos tiene. l contesta:Si cuento los discos de 9 en 9, no sobra ninguno y si los cuento de 11 en 11, me falta 1 disco.Cuntos discos tiene Fran?

El nmero de discos tiene que ser mltiplo de 9 y adems, si le sumamos 1, mltiplo de 11.Mltiplos de 9: 9 18 27 36 45 54 Mltiplos de 11: 11 22 33 44 55 66 Tiene 54 discos.

Un jardinero tiene que plantar rboles en un parque. Observa que los puede contar de 3 en 3, de 4 en4 y de 5 en 5. Cuntos rboles tiene que plantar como mnimo?

Si el nmero de rboles es mltiplo de 3, de 4 y de 5, se tiene:3 6 9 12 ........................ 60 ............4 8 12 16 ........................ 60 ............5 10 15 20 ........................ 60 ............

Luego tiene que plantar como mnimo 60.

Ignacio observa que si cuenta los alumnos de su clase de 5 en 5, le falta uno para que sea exacto, pero silos cuenta de 6 en 6, le sobra uno. Qu nmero de alumnos tiene la clase, si su nmero es menor de 50?

5n 1 4 9 14 19 24 20 34 39 6n 1 7 13 19 25 31 37 43 49

Nmero de alumnos: 19

2.31

2.30

2.29

2.28

2.27


Mximo comn divisor

Ejercicio resuelto

Calcula el mximo comn divisor de 80, 120 y 300.

80 2 2 2 2 5 120 2 2 2 3 5 300 2 2 3 5 5

Se multiplican los factores primos comunes, elevados al menor exponente: m.c.d.(80, 120, 300) 22 5 20

2.32

300 2150 2175 3125 51 7 51 1

120 2160 2130 2115 3115 51 1

80 240 220 210 2

5 51



Escribe los divisores comunes de 24 y 36. Cul es el mayor?

Divisores de 24: 1 2 3 4 6 8 12 24Divisores de 36: 1 2 3 4 6 12 18 36El mayor divisor es 12.

Escribe todos los divisores de los nmeros dados, subraya los comunes y elige el mayor.a) 30 y 50 c) 22 y 33b) 15 y 60 d) 30 y 45

a) Divisores de 30: 1 2 3 5 6 10 15 30Divisores de 50: 1 2 5 10 25 50

Divisores comunes: 1 2 5 10Divisor comn mayor: 10

b) Divisores de 15: 1 3 5 15Divisores de 60: 1 2 3 4 5 6 10 15 20 30 60


c) Divisores de 22: 1 2 11 22Divisores de 33: 1 3 11 33

Divisores comunes: 1 11Divisor comn mayor: 11

d) Divisores de 30: 1 2 3 5 6 10 15 30Divisores de 45: 1 3 5 9 15 45


Determina los divisores de los nmeros 50, 150 y 300, busca los comunes y elige el mayor.

Divisores de 50: 1 2 5 10 25 50Divisores de 150: 1 3 5 10 15 25 30 50 Divisores de 300: 1 3 5 6 10 12 15 20 25 50

Divisores comunes: 1 5 10 25 50Divisor comn mayor: 50

2.35

2.34

2.33


Indica los divisores de los nmeros dados, subraya los comunes y elige el mayor.a) 30, 50 y 70 c) 11, 22 y 33b) 15, 30 y 60 d) 30, 45 y 90

a) Divisores de 30: 1 2 3 5 6 10 15 30Divisores de 50: 1 2 5 10 25 50Divisores de 70: 1 2 5 7 10 14 70


b) Divisores de 15: 1 3 5 15Divisores de 30: 1 2 3 5 6 10 15 30Divisores de 60: 1 2 3 4 5 6 10 5 20 30 60


c) Divisores de 11: 1 11Divisores de 22: 1 2 11 22Divisores de 33: 1 3 11 33

Divisores comunes: 1 11Divisor comn mayor: 11

d) Divisores de 30: 1 2 3 5 6 10 15 30Divisores de 45: 1 3 5 9 15 45Divisores de 90: 1 3 5 6 9 10 15 18 30 45 90


Ejercicio resuelto

Calcula el mximo comn divisor de 66 y 88.

Descomposicin en factores:66 2 3 1188 2 2 2 11 23 11

m.c.d.(66, 88) 2 11 22

Cul es el mximo comn divisor de las siguientes parejas de nmeros?a) 8 y 16 c) 18 y 27b) 40 y 60 d) 30 y 45

a) m.c.d.(8, 16) 8 c) m.c.d.(18, 27) 9b) m.c.d.(40, 60) 20 d) m.c.d.(30, 45) 15

Halla el mximo comn divisor de:a) 18, 36 y 74 b) 30, 45 y 60

a) 18 18 36 2 18 74 4 18 b) 30 2 15 45 3 15 60 4 15m.c.d.(18, 36, 74) 18 m.c.d.(30, 45, 60) 15

2.39

2.38

2.37

2.36



Un grupo de excursionistas est formado por 72 chicos y 66 chicas. Si se forman grupos iguales de chicosy chicas, cuntos alumnos formarn cada grupo?

Factorizacin: 72 6 12 66 6 11m.c.d.(72, 66) 6

Grupo de chicos: 72 6 12 Grupo de chicas: 66 6 11

Problema resuelto

Un taller de carpintera recibe el encargo de construir planchas de madera, cuadradas y del mayortamao posible, para enlosar un saln de 1 050 centmetros de largo por 820 centmetros de ancho.Cul ser la medida del lado de cada plancha? Cuntas planchas hay que fabricar?

La medida del lado de cada plancha tiene que ser un divisor de las medidas de cada lado del saln. Como se quieren las planchasdel mayor tamao posible, el divisor ser el mayor; es decir, el mximo comn divisor.

Medida del lado: m.c.d.(1 050, 820) 10

Nmero de planchas: 105 82 8 610

Un semillero de plantas, que tiene forma rectangular, mide 180 metros de ancho y 120 metros de largo. Sequiere dividir en parcelas cuadradas de mxima rea.

a) Cul debe ser la medida del lado de cada parcela?b) Cuntas parcelas se conseguirn?

a) Medida del lado: m.c.d.(180, 120) 60 m.

b) Nmero de parcelas: (180 120) (60 60) 6 parcelas.

A una cena asisten 20 chicos y 30 chicas. Si las mesas son todas iguales y los chicos y chicas estn se-parados, cuntas mesas son necesarias?

m.c.d.(20, 30) 10

Nmero de mesas: (20 30) 10 5

Se quiere embalar 48 botellas de refresco y 72 botellas de leche en cajas iguales, lo ms grandes posible.Cul ser el nmero de botellas en cada caja?

m.c.d.(48, 72) 24

Nmero de cajas de refrescos: 48 24 2

Nmero de cajas de leche: 72 24 3

La caja de un camin de transporte tiene como dimensiones interiores 8 metros de largo, 3 metros deancho y 2 metros de altura.

Si la mercanca est metida en contenedores cbicos, cules son las dimensiones mximas, en cent-metros, que puede tener cada contenedor?

Medidas interiores del camin en centmetros: 800 cm 300 cm 250 cm

m.c.d.(800, 300, 250) 50

Dimensiones de las cajas: 50 50 50

2.45

2.44

2.43

2.42

2.41

2.40


Mnimo comn mltiplo

Ejercicio resuelto

Calcula el mnimo comn mltiplo de 80, 120 y 300.

80 2 2 2 2 5 24 5 120 2 2 2 3 5 23 3 5 300 2 2 3 5 5 22 3 52

Se multiplican los factores primos, comunes y no comunes, elevados al mayor exponente:

m.c.m.(80, 120, 300) 24 3 52 1 200

2.46

80 240 220 210 2

5 51

120 2160 2130 2115 3115 5111

300 2150 2175 3125 5115 5121



Escribe los 10 primeros mltiplos de 3 y 5. Cules son comunes? Cul es el menor?

Mltiplos de 3: 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 ...Mltiplos de 5: 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 ...

Mltiplos comunes: 15 30 45 Mltiplo comn menor: 15

Encuentra los 10 primeros mltiplos de los nmeros dados, subraya los comunes y elige el menor.a) 2 y 5 c) 15 y 30b) 2 y 7 d) 8 y 12

a) Mltiplos de 2: 2 4 6 8 10 12 16 18 20 22 ...Mltiplos de 5: 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 ...

Mltiplos comunes: 10 20 30Mltiplo comn menor: 10

b) Mltiplos de 2: 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 ...Mltiplos de 7: 7 14 21 28 35 42 49 56 63 70 ...

Mltiplos comunes: 14Mltiplo comn menor: 14

c) Mltiplos de 15: 15 30 45 60 75 90 105 120 135 150 ...Mltiplos de 30: 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 ...

Mltiplos comunes: 30 60 90 120 150Mltiplo comn menor: 30

d) Mltiplos de 8: 8 16 24 32 40 48 56 64 72 80Mltiplos de 12: 12 24 36 48 60 72 84 96 108 120

Mltiplos comunes: 24 48 72Mltiplo comn menor: 24

Ejercicio resuelto

Calcula el mnimo comn mltiplo de 42 y 45.

Descomposicin en factores:

42 2 3 745 5 9 = 5 32

m.c.m.(42, 45) 2 5 7 32 630

Halla el mnimo comn mltiplo de:a) 5 y 7 c) 15 y 45b) 8 y 24 d) 20 y 30

a) m.c.m.(5, 7) 35 c) m.c.m.(15, 45) 45b) m.c.m.(8, 24) 24 d) m.c.m.(20, 30) 60

2.50

2.49

2.48

2.47


Determina el mnimo comn mltiplo de:a) 72 y 81 c) 110 y 220b) 96 y 120 d) 240, 270 y 150

a) 72 9 8 81 9 9 c) 110 110 220 2 110m.c.m.(72, 81) 9 9 8 648 m.c.m.(110, 220) 110

b) 96 32 3 25 3 120 3 5 23 d) 240 10 24 10 8 3m.c.m.(96, 120) 3 5 25 480 270 10 27 10 33

150 10 15 10 3 5m.c.m.(240, 270, 150) 10 800

Joel cuenta de 2 en 2, Marta de 3 en 3 y Ral de 5 en 5.En qu mltiplo coincidirn por primera vez?

m.c.m.(2, 3, 5) 30Coincidirn en el nmero 30.

Cul es el nmero ms pequeo de tres cifras que es mltiplo de 20 y de 25 a la vez?

Mltiplo de 20: 20 5 100Mltiplo de 25: 25 4 100Por tanto, el mltiplo ms pequeo de tres cifras es 100.

Un nmero, distinto de 1, tiene la propiedad de que al dividirlo por 2, 3, 5, 7, 11 y 13, da siempre deresto 1. Qu nmero es?

El nmero buscado es mltiplo de 2, 3, 5, 7, 11 y 13 ms 1. Puesto que se trata de nmeros primos:

Nmero: 2 3 5 7 11 13 1 30 030 1 30 031

2.54

2.53

2.52

2.51



Problema resuelto

Jaime observa que los alumnos que van al teatro se pueden contar exactamente de 2 en 2, de 3 en 3,de 4 en 4, de 5 en 5 y de 6 en 6. Cul es el menor nmero de alumnos que puede ir?

El nmero de alumnos ser un mltiplo de 2, de 3, de 4, de 5 y de 6.El menor nmero de alumnos posible ser el mnimo comn mltiplo.

m.c.m.(2, 3, 4, 5, 6) 60

Los tres nietos de Araceli la visitan cada 6, 9 y 12 das, respectivamente.Si coinciden hoy en casa de la abuela, dentro de cuntos das volvern a estar juntos?

m.c.m.(6, 9, 12) 36Volvern a coincidir dentro de 36 das.

En un colegio los alumnos del coro se renen cada 10 das y los que pertenecen al grupo de teatro cada15 das.Cada cuntos das coinciden las dos agrupaciones?

Das de reunin de los alumnos del coro: 10 20 30 40 50 60 70

Das de reunin de los alumnos del teatro: 15 30 45 60 75 90 105

m.c.m.(10, 15) 30

Coincidirn las dos agrupaciones cada 30 das.

Por una parada de autobuses pasa el autobs de la lnea A cada 45 minutos, el de la lnea B cada 25minutos y el de la lnea C cada 60 minutos.Si los tres han coincidido en la parada a las 16.00, a qu hora volvern a coincidir?

m.c.m.(45, 25, 60) 900 minutos

900 60 16 horas

16 15 31 24 7 horas

Volvern a coincidir a las 7.00 del da siguiente.

Un albail coloca en una pared azulejos rectangulares de 6 centmetros por 15 centmetros sin romperninguno.Se formarn cuadrados en la pared al colocar todos los azulejos?

m.c.m.(6, 15) 30

30 6 5 30 15 2

Se formarn cuadrados en la pared de dimensiones 30 30, formados por 2 filas y 5 columnas de azulejos.

Halla cuntos nmeros hay mayores que 1 000 y menores que 1 500, que al dividirlos por 4, 5 y 7 dende resto 3.

m.c.m.(4, 5, 7) 140

Puesto que 1 000 140 7,14, tomamos n 7 y consideramos:

140 8 1 120 140 9 1 260 140 10 1 400

2.60

2.59

2.58

2.57

2.56

2.55


M A T E M T I C A S C O T I D I A N A S


Queremos cubrir el suelo de una habitacin rectangular de 360 centmetros de largo por 400 centme-tros de ancho, con baldosas cuadradas tan grandes como sea posible.Cunto debe medir el lado de cada baldosa?

Hallamos el mximo comn divisor de 360 y 400: 360 23 32 5; 400 24 52 m.c.d.(360, 400) 40

Las baldosas deben ser cuadradas de 40 cm de lado.

2.61


A C T I V I D A D E S F I N A L E S

C L C U L O M E N T A L

Estudia si los siguientes nmeros son divisibles por 4.a) 112 d) 56 255

b) 3 322 e) 123 456

c) 92 345 f) 444 008

Un nmero es divisible por 4 si lo es el nmero formado por las dos ltimas cifras.

a) 12 4 3, es divisible por 4. d) No es divisible por 4.

b) No es divisible por 4. e) 56 4 14, es divisible por 4.

c) No es divisible por 4. f) 8 4 2, es divisible por 4.

Idea un criterio parecido para saber si un nmero:a) Es divisible por 25.

b) Es divisible por 100.

a) 73 425 73 400 25 734 100 25

Un nmero es divisible por 25 si el nmero formado por las dos ltimas cifras lo es.

b) 34 500 345 100Un nmero es divisible por 100 si el nmero formado por las dos ltimas cifra los es (es decir, si sus dos ltimas cifras sonceros).

Indica si estos nmeros son divisibles por 25.a) 250 c) 17 200 e) 2 530 555

b) 3 375 d) 337 550 f) 354 008

a) Es divisible por 25. c) Es divisible por 25. e) No es divisible por 25.

b) Es divisible por 25. d) Es divisible por 25. f) No es divisible por 25.

Estudia si los siguientes nmeros son divisibles por 100.a) 7 500 d) 2 575 100

b) 1 001 001 e) 2 510 075

c) 172 000 f) 1 002 575

Un nmero es divisible por 100 si lo es el nmero formado por las tres ltimas cifras, es decir, si termina en dos ceros.

a) Es divisible por 100. d) Es divisible por 100.

b) No es divisible por 100. e) No es divisible por 100.

c) Es divisible por 100. f) No es divisible por 100.

2.65

2.64

2.63

2.62


P A R A P R A C T I C A R Y A P L I C A R

Busca todos los mltiplos de 125 que tengan tres cifras.

125 1 125 125 5 625125 2 250 125 6 750125 3 375 125 7 875125 4 500 125 8 1 000 (no vale)

Construye la tabla de los nmeros primos menores que 50. Para ello copia la tabla y sigue los pasos.

Rodea con un crculo el 1. Rodea con un crculo el 2 y tacha sus mltiplos. Rodea con un crculo el 3 y tacha sus mltiplos. Sigue el mismo proceso con 5, 7, 11

Los nmeros en negrita y sombreado son primos, los restantes son compuestos.

Un nmero es divisible por 15 si lo es por 3 y 5. Comprueba si son divisibles por 15 los siguientesnmeros.

a) 375 b) 840 c) 645 d) 1 090

a) Termina en 5 y la suma de sus cifras es 15, luego S es divisible por 15.b) Termina en 0 y la suma de sus cifras es 12, luego S es divisible por 15.c) Termina en 5 y la suma de sus cifras es 15, luego S es divisible por 15.d) Termina en 0, pero la suma de sus cifras es 10, luego NO es divisible por 15.

Factoriza todos los nmeros menores de 100 que terminan en 3.

Nmeros primos: 3 13 23 43 53 73 83Nmeros compuestos: 33 3 11 63 7 9 93 3 31

Dados los nmeros 18, 45 y 60:

a) Escrbelos como producto de nmeros primos.b) Halla su mximo comn divisor y su mnimo comn mltiplo.

a) 18 2 32 45 32 5 60 22 3 5b) m.c.d.(18, 45, 60) 3 m.c.m.(18, 45, 60) 180

Cul es la cifra borrada, si el dueo del automvil asegura que el nmero de la matrcula es divisiblepor 11?

Para que sea divisible por 11, la cifra borrada debe ser:X 2

2.71

2.70

2.69

2.68

2.67

2.66

1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 12 13 14 15 16 17 18 19 2021 22 23 24 25 26 27 28 29 3031 32 33 34 35 36 37 38 39 4941 42 43 44 45 46 47 48 49 50


Los compaeros de la clase de Ana se pueden contar exactamente de 2 en 2, de 3 en 3 y de 5 en 5.Cuntos alumnos hay si no pasan de 50 alumnos?

m.c.m.(2, 3, 5) 30Los alumnos podran ser 30, 60, 90 Por tanto, como no pasan de 50, su nmero es de 30 alumnos.

Tres barcos salen del mismo puerto. El primero sale cada 15 das, el segundo cada 12 das y el tercerocada 25 das. Si hoy salen los tres juntos, cundo volvern a salir juntos la prxima vez?

m.c.m.(15, 12, 25) 300 das

Un coche necesita que le cambien el aceite cada 9 000 kilmetros, el filtro del aire cada 15 000 kilme-tros y las bujas cada 30 000 kilmetros.

A qu nmero mnimo de kilmetros habr que hacerle todos los cambios a la vez?

m.c.m.(9 000, 15 000, 30 000) 90 000 km

2.74

2.73

2.72


P A R A R E F O R Z A R

Escribe los 5 primeros mltiplos de 10, de 13 y de 25.

Mltiplos de 10: 10 20 30 40 50Mltiplos de 13: 13 26 39 52 65Mltiplos de 25: 25 50 75 100 125

Escribe los nmeros que tengan solo:a) Dos divisores.b) Tres divisores.c) Cuatro divisores.

a) 5, 7, 11 nmeros primosb) 4, 9, 25 nmeros cuadradosc) 6, 14, 15 producto de dos primos

Sin hacer la divisin, indica si 2 445 es divisible por 2, 3 5.

No es divisible por 2, ya que termina en cifra impar.S es divisible por 3, ya que la suma de sus cifras, 2 4 4 5 15, es divisible por 3.S es divisible por 5, ya que termina en 5.

Sustituye la letra por una cifra, de manera que el nmero resultante sea divisible por 3. Hay ms deuna solucin?a) 34A b) 2B5 c) C13 d) 74D

a) A 2, A 5, A 8b) B 2, B 5, B 8c) C 2, C 5, C 8d) D 1, D 4, D 7

Descompn en factores primos estos nmeros.a) 175 b) 242 c) 588

a) 175 52 7 b) 242 2 112 c) 588 22 3 72

Calcula el mximo comn divisor y el mnimo comn mltiplo de:a) 13 y 19 b) 15 y 60 c) 72 y 48

a) m.c.d.(13, 39) 13 m.c.m.(13, 39) 39

b) m.c.d.(15, 60) 15 m.c.m.(15, 60) 60

c) m.c.d.(72, 48) 24 m.c.m.(72, 48) 144

Encuentra dos pares de nmeros tales que su mnimo comn mltiplo sea 36.

Soluciones posibles: 9 y 4 1 y 36

Halla dos nmeros que sumen 60 y cuyo mximo comn divisor sea 12.

Nmeros: 24 y 36

Suma: 24 36 60 m.c.d.(24, 36) 12

2.82

2.81

2.80

2.79

2.78

2.77

2.76

2.75


A una reunin de la asociacin de alumnos asisten entre 80 y 100 alumnos. Se pueden agrupar exacta-mente de 4 en 4, pero si se agrupan de 5 en 5, sobra uno.Cuntos alumnos son?

Mltiplos de 5 ms 1: 81 86 91 96

De los mltiplos de 5 ms 1, el nico divisible por 4 es 96.

Nmero de alumnos: 96

Los nmeros siempre dan sorpresas. Halla los divisores de 6, 28 y 496, y suma para cada nmero sus di-visores, excluido el propio nmero.Qu nmero se obtiene?

Nmero 6: 1 2 3 6

Nmero 28: 1 2 4 1 14 28

Nmero 496: 1 2 4 8 16 31 62 124 248 496

La suma de los divisores distintos del nmero es el mismo nmero.

Un depsito se llena con un nmero exacto de garrafas de 4 litros, tambin se llena con un nmeroexacto de garrafas de 3 litros y con un nmero exacto de garrafas de 6 litros.Cul es la menor capacidad que puede tener el depsito?

Capacidad del depsito: m.c.m.(4, 3, 6) 12 litros

2.85

2.84

2.83


P A R A A M P L I A R

Sonia observa que al contar los alumnos de su clase de 2 en 2 le sobra 1 y al hacerlo de 3 en 3 le so-bra tambin 1. Si el nmero de alumnos est comprendido entre 20 y 30, cuntos hay?

El nmero de alumnos es mltiplo de 2 ms 1.

El nmero de alumnos es mltiplo de 3 ms 1.

Por tanto, es mltiplo de 6 ms 1.

Nmeros posibles: 7 13 19 25 31

El nmero de alumnos est comprendido entre 20 y 30; por tanto, la solucin es 25 alumnos.

Sabemos que los nmeros primos 2, 3, 5, 7 tienen dos divisores.a) Busca directamente los nmeros menores que 30 que tienen tres divisores.b) Qu nmeros tienen en general tres divisores?

a) Los nmeros son: 4 9 25

b) Las potencias cuadradas de los nmeros primos tienen tres divisores.

Si a 24 y b 36, comprueba que se cumple la siguiente relacin:

m.c.d.(a, b) m.c.m.(a, b) a b

m.c.d.(24, 36) 12m.c.m.(24, 36) 7224 36 864 12 72

Si m.c.d.(48, 72) 24, calcula el m.c.m.(48, 72) sin hacer la descomposicin factorial de 48 y 72.

Se aplica el resultado del ejercicio anterior.m.c.m.(48, 72) (48 72) 24 3 456 24 144

El plato de una bicicleta tiene 24 dientes y est engranado a travs de la cadena con el pin, que esuna rueda dentada ms pequea. Si al dar el plato dos vueltas coinciden ambos en la posicin inicial,cul es el mayor nmero de dientes que puede tener el pin?

Nmero de dientes que recorre el plato en dos vueltas: 48Nmero de dientes del pin: xNmero de vueltas del pin: n

n x 48x 16 dientes, n 3 vueltasx 12 dientes, n 4 vueltas

Por tanto, el nmero de dientes 16 es el valor mximo.

Comprueba que el nmero 345 345 es divisible por 11. Ser divisible cualquier nmero de la formaabc abc?

Suma de cifras de lugar impar: 3 5 4 12 Suma de cifras de lugar par: 4 3 5 12Los nmeros de forma abc abc verifican: a c b b a c, luego son divisibles por 11.

2.91

2.90

2.89

2.88

2.87

2.86


P A R A I N T E R P R E T A R Y R E S O L V E R

Medidas exactas

Ariel tiene un cubo con el que llena los tres depsitos de agua de la finca. Le sorprende que consiguellenar cada uno de los depsitos con un nmero exacto de cubos llenos, nunca le hace falta una frac-cin de su cubo para completar los depsitos.

Se lo cuenta a su compaero, y este le dice: Anda, claro! Cuando se compraron se pidi un cubo quecumpliese eso que observas y que adems tuviese la mayor capacidad posible.

a) Cul es la capacidad del cubo que usa Ariel?

b) Cuntas veces ser necesario llenar este cubo para completar cada uno de los depsitos?

a) m.c.d.(182 98 42) 14La capacidad de la vasija que se va a utilizar para llenar los recipientes deber ser de 14 litros.

b) Para llenar el recipiente de 182 litros ser necesario echar 11842

13 vasijas enteras.

Para llenar el recipiente de 98 litros ser necesario echar 9184 7 vasijas enteras.

Para llenar el recipiente de 42 litros ser necesario echar 4114 3 vasijas enteras

Caramelos

Rodrigo le promete a Pilar que le regalar los caramelos que contienen las bolsas que escoja de entrelas que aparecen en la figura si cumple la siguiente condicin: Pilar puede coger todas las bolsas quequiera pero es obligatorio que la suma de caramelos sea exactamente 1 000. Qu bolsas escoger?Estudia todas las posibilidades que tiene para cumplir la condicin.

Todos los nmeros son mltiplos de 3 excepto 718.Si slo se escogieran bolsas mltiplos de 3, no se podra obtener la suma de 1 000 ya que la suma de mltiplos de 3 es tambinmltiplo de 3.Por tanto, se deber escoger obligatoriamente la bolsa con 718 caramelos.La nica solucin es 718 159 123

2.93

2.92


A U T O E V A L U A C I N

Escribe los tres primeros mltiplos de 20 y 30.

m.c.m.(20, 60) 60

Mltiplos: 60 120 180 60 n, siendo n un nmero natural.

Busca tres mltiplos de 7 que lo sean de 4.

m.c.m.(7, 4) 28

Mltiplo: 28 56 84 28 n, siendo n un nmero natural.

Un nmero es mltiplo de 2 y de 5 a la vez. Razona cul debe ser la cifra de las unidades.

m.c.m.(2, 5) 10

Mltiplos: 10 20 30

Los mltiplos conjuntos de 2 y 5 terminan en 0.

Cambia la X por una cifra para que en cada caso los nmeros 3X2, 12X5, 55X y XX7:a) Sean divisibles por 2.b) Sean divisibles por 3.c) Sean divisibles por 5.c) Sean divisibles por 11.

a) Son divisibles por 2 si la ltima cifra es par.3X2 es divisible para todo valor de X.12X5 no es divisible para ninguna cifra.55X es divisible si termina en cifra par.XX7 no es divisible para ninguna cifra.

b) Son divisibles por 3 si la suma de las cifras es divisible por 3.3X2 es divisible si X 1, 4, 7.12X5 es divisible si X 1, 4, 7.55X es divisible si X 2, 5, 8.XX7 es divisible si X 4, 7.

c) Son divisibles por 5 si terminan en 5 o en 0.3X2 no es divisible para ninguna cifra.12X5 es divisible para todo valor de X.55X es divisible si X 5, 0.XX7 no es divisible para ninguna cifra.

d) Son divisibles por 11 si la suma de las cifras de lugar par menos las de lugar impar es 0 o mltiplo de 11.3X2 es divisible si X 5.12X5 es divisible si X 6.55X es divisible si X 0.XX7 no es divisible para ninguna cifra.

2.A4

2.A3

2.A2

2.A1


Si un nmero es mltiplo de 4 y de 6, es siempre mltiplo de 24?

NO. Por ejemplo, 12 es mltiplo de 4 y de 6 y no es mltiplo de 24.

Qu nmero hay que aadir o restar a 431 para que sea divisible por 5?

Se puede restar 1, y queda 430, que es divisible por 5.Se puede sumar 4, y queda 435, que es divisible por 5.

.......................Existen infinitas soluciones. Para obtenerlas basta con:

Sumar cualquier nmero mltiplo de 5 ms 4: 4, 9, 14, 19 Restar cualquier nmero mltiplo de 5 ms 1: 1, 5, 11, 16

Realiza la descomposicin factorial de los nmeros 29, 49, 72 y 66 y di si son primos.

29 1 29 Es un nmero primo.49 7 7 No es un nmero primo.72 8 9 23 32 No es un nmero primo.66 6 11 2 3 11 No es un nmero primo.

Indica de cuntas maneras se pueden agrupar los 24 alumnos de una clase, para formar grupos de tra-bajo con el mismo nmero de personas.

Razona si el nmero 23 32 5 72 es divisible por 22 72.

Es divisible por 22 72, ya que aparecen los factores 22 en 23 y 72.

Calcula el m.c.d. y el m.c.m. de:

a) 4, 13 y 26 c) 15, 55 y 70b) 12, 15 y 60 d) 4, 6 y 21

a) m.c.d.(4, 13, 26) 1 c) m.c.d.(15, 55, 70) 5m.c.m.(4, 13, 26) 52 m.c.m.(15, 55, 70) 2 310

b) m.c.d.(12, 15, 60) 3 d) m.c.m.(4, 6, 21) 1m.c.m.(12, 15, 60) 60 m.c.m.(4, 6, 21) 84

Javier, Pedro y Nicols van al supermercado cada 7, 9 y 12 das, respectivamente. Si hoy coinciden,cuntos das pasarn hasta que vuelvan a coincidir?

m.c.m.(7, 9, 12) 252Luego volvern a coincidir dentro de 252 das.

2.A11

2.A10

2.A9

2.A8

2.A7

2.A6

2.A5

Nmero de alumnos 1 2 3 4 6 8 12 24

Nmero de grupos 24 12 8 6 4 3 2 1


U N R I N C N P A R A J U G A R

Juego: CONTRA EL RELOJ

Nmero de jugadores: 2 o ms

Material: Una calculadora para cada jugador

Se trata de averigua cul es el menor exponente que hace que la potencia 7? sea mayor que cualquiera deestas:

69 511 315 224

Todos los jugadores comienzan a trabajar a la vez y gana el que emplee menos tiempo en responder co-rrectamente.

Truco: Observa qu sucede cuando pulsas en tu calculadora las siguientes secuencias de teclas:

3 3 3 3

Primero se calcula, siguiendo la secuencia de teclas que se indica en el truco el resultado de las potencias:

69 10 077 696511 48 828 125315 14 348 907224 16 777 216

Tenemos que 511 315 224 69

Buscamos el menor exponente que haga que 7? sea mayor que 511

Con la secuencia de teclas siguiente vemos que el exponente buscado es 10.

7

7 49 343 2 401 16 807 117 649 823 543 5 764 801 40 353 607

matm1solund2

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