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FUNES TRIGONOMTRICAS

O que voc deve saber sobre

As funes trigonomtricas so muito teis na modelagem defenmenos peridicos observados na natureza. Conceitos comoamplitude e perodo alm das transformaes possveis em seusgr!ficos permitem aplicaes na astronomia na geografia namedicina e em inmeros outros campos do con"ecimento "umano.

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# definida como a relaof$ %ue associa a cada valor

realxum valor real y = senx,correspondente & coordenada yCdoponto C e'tremidade dos arcoscngruos ax na circunfer(nciatrigonomtrica de tal modo %ue$

I. A fu!"o seo

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)r!fico de f*x+= senx

,ara valores do domnio - e */avolta positiva no centro+ a

funo senx assume todos os valores reais no intervalo 01/ /2.

3sse comportamento se repete nos intervalos com e'tremidadescu4os calores so mltiplos inteiros de .

3'.$ 3m 01 52 e'istem seis valores dex cu4a imagem vale

1-6 *indicados no gr!fico por setas vermel"as+.

I. A fu!"o seo


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7 valor c"amado #er$ododa funo seno pois a cada intervalo

correspondente a percorrido no domnio os valores de f*x+percorrem novamente o intervalo de 1/ a / como na /avolta dacircunfer(ncia e assim sucessivamente tanto no sentido anti8"or!rioda circunfer(ncia trigonomtrica como no sentido "or!rio.

9e4a %ue f*x+= f*x + += f*x + 5+= f*x + :+ e assim por diante

pois cada corresponde a uma volta completa.7 intervalo de variao da imagem de y = senx y 01/ /2 e suaa%#&'(ude igual a / o %ue representa o %uanto os valores de senxvariam acima e abai'o de zero.

I. A fu!"o seo


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# definida como a relao f$ %ueassocia a cada valor realxum valor real y correspondente& abscissaxCdo pontoC e'tremidadedos arcos cngruos axna circunfer(ncia trigonomtricade tal modo %ue$

II. A fu!"o cosseo


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I.as curvas das funes seno e cosseno t(m o mesmo formato

embora defasadas *deslocadas+ unidades uma em relao a outra;

II.ambas t(m amplitude igual a / com a imagem variando nointervalo fec"ado 01/ /2;

III.ambas t(m perodo igual a .

II. A fu!"o cosseo

7bserve o gr!fico da funo y1 cosx para '


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# definida como a relao f$ %ue associa a cada valor realx

um valor real t%ue corresponde& ordenada do ponto T obtidoa partir do arcox %ue pertence &circunfer(ncia trigonomtricade tal modo %ue t = A

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=esse gr!fico merecem desta%ue os pontos em %ue a curva no contnua pois para os valores dex = > k com kinteiro a funo

no est! definida.

III. A fu!"o (a)e(e)r!fico da funo f*x+= tgx


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9amos partir da funo seno e introduzir par?metros um de cadavez observando as conse%u(ncias geomtricas sobre o gr!fico.

A funo geral tem o formato$ y = a sen*bx + c++ d)r!ficos de y = senx ey = .senx *a = ;b = c = d = -+

7 coeficiente ainflui na amplitude da funo.

I*. Co%e(+r'os )era's


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)r!ficos de y =senxey =sen x*a=c =d = -;b =+

7 coeficiente b altera o perodo da funo.



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)r!ficos de y = senx ey = sen*x + /+ *a = b = d = -;c = /+

7 par?metro denotado pela letra c provoca uma translao"orizontal no gr!fico da funo.



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)r!ficos de y = senx ey = senx + / *a = b = c = -;d = /+

=esse caso o par?metro d desloca o gr!fico verticalmente.



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Fu!,es (r')oo%-(r'casCli%ue na imagem para ver a animao.

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UFC/CE0Considere as funes definidas f$ e g$ respectivamente por f*x+= x.+ /eg*x+=cosx - senx.

a03'plicite a funo composta h*x+= f*g*x++.b0@etermine o valor m!'imo da funo composta h*x+= f*g*x++.

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FUNES TRIGONOMTRICAS 2NO *ESTI3U4AR

E5ERCCIOS

ESSENCIAIS

RES6OSTA7

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7 fenmeno das mars pode ser descrito por uma funo da formaf*t+= a .sen *b .t+, em %ue a medido em metros e t em "oras. eo intervalo entre duas mars altas sucessivas /5 "oras tendosempre a mesma altura m!'ima de /6 metro ento$

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E5ERCCIOS

ESSENCIAIS

6UC/Ca%#'as/S607 subir e descer das mars regulado por v!rios fatores sendo oprincipal deles a atrao gravitacional entre

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6UC/S60=a figura a seguir tem8se o gr!fico funo f, de em definida por f*x+= k .sen*mx+ em %ue k em so reais e cu4operodo 8. D

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E5ERCCIOS

ESSENCIAIS


RES6OSTA7 3

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U'fes#0=a procura de uma funo y = f*t+para representar um fenmeno fsico peridico cu4a variao total de y vai de E: at/55 c"egou8se a uma funo daforma f*t+= A + B sen com o argumento medido em radianos.

:

E5ERC

CIOS

ESSENCIAIS

RES6OSTA7a03ncontre os valores deA eB

para %ue a funo f satisfaaas condies dadas.b07 nmeroA c"amado va&or%-d'o da fu!"o. 3ncontre omenor t positivo no %ual fassume o seu valor mdio.


)( /-6

E-t

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U'fes#0Considere a funo y = f*x+= /+ sen definida para todox real

a0@( o perodo e o con4unto imagem da funo f.b07bten"a todos os valores dex no intervalo 0- /2 tais %ue y = /.

1

E5ERC

CIOS

ESSENCIAIS 18


RES6OSTA7

.. x

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UF630Considere um corpo preso a uma mola oscilando em torno da suaposio de e%uilbrio O como na figura ao lado.=o instante t a posiox = x*t+desse corpo em relao & sua

posio de e%uilbrio dada pela funox*t+F cos tG -.

1

E5ERC

CIOS

ESSENCIAIS 19

@essa forma o gr!fico %ue mel"or representa a posiox dessecorpo como funo do tempo t em relao ao ponto O $


RES6OSTA7 3Comparemos as funes$ f*t+ F cos t

e g*t+ F cos *at > b+ em %ue a F e b , analisando a

influ(ncia dos coeficientes a e b no gr!fico de f*t+$ a H / altera o perodo diminuindo8o; isso descarta as

alternativas de e;

b H - desloca o gr!fico "orizontalmente para a direita;

g(t) = 0;

I medida %ue t aumenta a partir de t F - g*t+

tambm aumenta; portanto ela crescente no incio e a

alternativa a est! descartada.

,ortanto o gr!fico %ue mel"or representa a funo

x*t+ respeitando as consideraes anteriores est! na

alternativa b.

D

.

Dt

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