matrices noviembre – Álgebra – 5to
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I.E. Leonardo de Vinci
Mes: NoviembreI.E. Leonardo de Vinci
Mes: Noviembre
DEFINICIN
Se define una matriz como un arreglo rectangular de elementos ordenados en filas y columnas.
As una matriz tiene la siguiente forma general:
Columnas
Donde:
Se llaman elementos de la matriz A.
aij es el elemento ubicado en la fila i, columna j.
Orden de Matriz
Si una matriz tiene m filas y n columnas, entonces se dice que esta matriz es de dimensin u orden m x n (no se efecta).
As la matriz A, se puede denotar:
A = (aij)m x nDonde:
m, n ( Z+i = {1; 2; 3; .......; m}j = {1; 2; 3; .......; n}
Ejemplo:
Escribir explcitamente la matriz:
A = (aij)2x3 / aij = 2i j
Tipos de matrices
1. Matriz columna: Es aquella matriz, que tiene una sola columna, es decir de orden m x 1.
Ejemplo:
2. Matriz fila: Es aquella matriz, que tiene una sola fila, es decir es de orden 1 x n
Ejemplo:
B = (2 4 6) 1 x 3
3. Matriz nula: Es aquella matriz, cuyos elementos son iguales a cero y se denota por (.
Ejemplo:
( =
4. Matriz cuadrada: Es aquella matriz, cuyo nmero de filas es igual al nmero de columnas, y se denota: A = (aij)n x n A = (aij)nEjemplo:
Traza de una matriz cuadrada:
Es la suma de los elementos de su diagonal principal.
Sea la matriz:
A = (aij) ( Traz(A) =
As en el ejemplo anterior: Traz(A) = 3 + 2 + 1 = 6
CASOS PARTICULARES DE UNA MATRIZ CUADRADA a. Matriz triangular superior: Es aquella matriz, cuyos elementos que se encuentran debajo de la diagonal principal, son iguales a cero. Es decir:
A = (aij)n es una matriz triangular superior, si aij = 0; ( i > j
Ejemplos:
b. Matriz triangular inferior: Es aquella matriz, cuyos elementos que se encuentran encima de la diagonal principal, son iguales a cero. Es decir:
A = (aij)n es una matriz triangular inferior.
Si: aij ) 0; ( i < j
Ejemplos:
c. Matriz diagonal: Es aquella matriz que simultneamente es triangular superior e inferior, es decir todos los elementos fuera de la diagonal principal son ceros.
A = (aij)n es una matriz diagonal, si: aij = 0; ( i ( j
Ejemplos:
d. Matriz escalar: Es una matriz diagonal, cuyos elementos de la diagonal principal son iguales, es decir: A = (aij)n es una matriz escalar,
si: aij = k; i = j
0; i ( j
Ejemplos:
e. Matriz identidad: Es una matriz escalar, cuyos elementos de la diagonal principal son iguales a la unidad y se denota por In.
In = (aij) / aij = 1; i= j
0; i ( j
Ejemplos:
RELACIONES ENTRE MATRICES a. Igualdad de matrices: Dos matrices son iguales si y slo si son del mismo orden y todos sus respectivos elementos son iguales.
As, dadas las matrices:
A = (aij)m x n ; B = (bij) m x n
A = B (aij = bij : ( i; ( j
Ejemplo:
Calcular x y, si las matrices son iguales.
b. Transpuesta de una matriz: La transpuesta de una matriz A (de orden m x n), es una matriz denotada por At (de orden n x m) que se obtiene cambiando las filas por las columnas de la matriz A.
Ejemplo:
c. Matrices Opuestas: Dos matrices son opuestas si son del mismo orden y adems sus respectivos elementos son opuestos.
d. Matriz simtrica: Si una matriz es igual a su transpuesta, se llama matriz simtrica.
Ejemplo:
Como: A = -At ( A es antisimtrica.
OPERACIONES CON MATRICES
1. Adicin de matrices
Sean las matrices:
A = (aij)mxn ;B = (bij)mxn
Luego la matriz suma de A y B es:
A + B = (aij + bij)mxn
Ejemplo:
Sean:
Observacin:
- A B = A + (-B)
- A + B = B + A
- A + ( = ( + A = A
- (A + B) + C = A + (B + C)
2. Multiplicacin de matrices
a. Multiplicacin de un escalar por una matriz
Sea:
A = (aij)mxn(kA = (kaij)mxn
Ejemplo:
b. Multiplicacin de una matriz fila por una matriz columna.
Sean las matrices:
( A x B = (a1.b1+a2.b2 + ..... + an bn) =
Ejemplo:
Sean:
A = (1 3 2); B =
( A x B = 1 x 4 + 3 (-2) + 2 x 5 = 8
c. Multiplicacin de matrices
Sean las matrices:
A = (aij)mxn; B = (bij)nxp
Entonces se define:
A x B = (cij)mxp
Donde cij resulta de multiplicar la i-sima fila de A por la j-sima columna de B.
Observacin: Slo se puede hallar el producto A.B si el nmero de columnas de A es igual al nmero de filas de B.
Ejemplo:
( C = A x B =
C11 = 3.4 + 2(-1) = 10 C21 = (-1) (4) + 4(-1) = -8
C12 = 3.3 + 2.2 = 13 C22 = (-1) (3) + 4.2 = 5
C13 = 3.1+ 2.2 = 7 C23 = (-1) (1) + 4.2= 7
Entonces:
A x B =
PROPIEDADES:
1. (A ( B)t = At ( Bt2. (At)t = A
3. (AB)t = BtAt4. (KA)t = KAt5. K(A+B) = KA + KB
6. A (B + C) = AB + AC
(B + C)A = BA + CA
7. (AB)C = A(BC)
8. En general AB no es necesariamente igual a BA.
Si A y B son dos matrices cuadradas del mismo orden entonces:
A y B conmutan o son conmutativos ( AB = BA
A y B son anticonmutativos ( AB = -BA
9. AI = IA = A
10. In = I
11. Si: AB = AC, no implica que: B = C
12. A es una matriz idempotente, si: A2 = A
13. A es una matriz involutativa, si: A2 = I
14. A es una matriz nilpotente, si: A2 = (
1. Escribir explcitamente la matriz A.
A = [aij] ( K3x2 / aij = i + 2j
a)
b)
c)
d)
e) N.A.
2. Sean las matrices:
;
Hallar (xy), si: A = B
a) 1b) 2c) 6
d) 12e) N.A.
3. Sean las matrices:
;
Hallar (A + C); si: A = B
a)
b)
c)
d)
e) N.A.
4. Sean las matrices:
;
Si: A B, hallar : (3A +2C)
a)
b)
c)
d)
e)
5. Resolver el sistema:
x 2y = A
2x + 3y = B
Donde: x, y ( K2x2Adems:
(
Hallar:
a)
b)
c)
d)
e) N.A.
6. Sean las matrices:
y
Hallar AB
a) b)
c)
d)
e) N.A.
7. Hallar la matriz A de segundo orden tal que a22 = 5 y A22 = segn ello. Hallar la suma de todos los elementos de la matriz A.
a) 2b) 1c) 3
d) 11e) N.A.
8. Hallar la matriz x que resuelve:
. x =
Dar como respuesta la suma de sus elementos.
a) 2b) 1c) 3
d) 7e) N.A.
1. Construir la matriz:
A = [aij]2x3 / aij = i + j; si: i > j
aij = ij; si: i < j
a)
b)
c)
d)
e)
2. Hallar:
(x y) (z w)
si:
a) 1b) 2c) 4
d) 6e) 3
3. Dada:
-1 2 1
A = 3 2 1
1 -2 0
Calcular: 3A - 2I
a)
b)
c)
d)
e)
4. Dados:
Si:
P(x, y) = 2x y + 3
Determinar: P(A, B)a)
b)
c)
d)
e)
5. Dados:
Determinar: AB
a)
b)
c)
d)
e)
6. Dada la matriz A, calcular: A3 6A
A =
a) Ab) 2Ac) 2I
d) 3Ie) 4I
7. Si:
Hallar: Xta)
b)
c)
d)
e)
8. Hallar la suma de los elementos de X, tal que:
a) 2b) 0c) 1
d) 3e) 5
MATRICES
ACTIVIDAD EN AULA
ACTIVIDAD DOMICILIARIA
8
Sub rea: lgebra
5 Secundaria7
Sub rea: lgebra
5 Secundaria
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