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Tópicos de Álgebra Agosto 2015

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Laboratorio # 1 Algebra de Matrices

I.- Calcular las operaciones indicadas, dadas las siguientes matrices:

a) (−4 −3 52 −4 10 6 −7

) b) (−2 4 01 −5 −86 −3 −1

) c) (0 24 1

−2 −1) d) (

3 25 4

) e) (−111

) f) (3 1

−5 2)

1) 3𝐴 + 2𝐵

2) 𝐷𝐶

3) 𝐵𝐹 + 𝐸

4) 𝐴𝑡𝐶𝑡

5) 𝐷 − 𝐹

6) (𝐴𝑡 + 𝐵𝑡)𝐶

7) 2𝐹𝑡 − 𝐴𝑡

II.- Hallar la matriz “X” tal que:

1) 𝑋 − 𝑆𝐴 = 𝐵 2) 𝑆𝐴 + 3𝑋 = 𝐵

Siendo

𝐴 = (−2 3 22 −1 1

−1 −1 0), 𝐵 = (

−1 4 00 2 6

−3 0 2)

III.- Hallar la inversa de la siguiente matriz mediante la definición

𝐴 = (−1 13 −2

)


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Laboratorio # 2 Formas Reducidas

I.- Obtener la Forma Reducida Inferior (FRI) y Forma Reducida en Escalón (FRE) de las siguientes

matrices.

1)𝐴 = (

2 −13 −23 −13 7

) 3)𝐵 = (2 3 −12 1 51 1 1

) 5)𝐶 = (6 2 1 43 3 1 54 6 3 5

)

2)𝐷 = (2 2 22 3 11 −1 −2

) 4)𝐸 = (

1 3 1 20 11 −5 32 −5 3 14 1 1 5

) 6)𝐹 = (1 2 −1 2 12 4 1 −2 33 6 2 −6 5

)

II.- Hallar la inversa, si existe, de la matriz dada, utilizando transformaciones elementales.

1) 𝐷 = (2 −1 33 −2 73 −1 2

)

2) 𝐶 = (2 0 40 1 13 −1 1

)

3) 𝐵 = (1 1 10 2 35 5 1

)

4) 𝐴 = (

5 −2 0 3−1 4 −1 23 −1 6 01 3 4 1

)


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Laboratorio # 3 Sistemas de Ecuaciones Lineales

I.- Resolver el sistema de ecuaciones lineales dado, mediante el método indicado.

1)

𝑥 + 𝑦 + 𝑤 + 𝑧 = 11 𝑥 − 𝑤 + 3𝑧 = 14

2𝑥 + 2𝑦 − 3𝑤 = 2 𝑦 − 𝑧 − 𝑤 = −4

Gauss

2)

2𝑥 + 𝑦 − 3𝑧 = −10 3𝑥 + 2𝑦 − 4𝑧 = −9

𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 = 19 Gauss-Jordan

3)

𝑥 − 2𝑦 − 𝑧 = −6 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 6

𝑥 − 3𝑦 − 𝑧 = −8 Inverso de la matriz de coeficientes

4)

𝑥 − 2𝑧 = 12 −𝑦 + 𝑧 = 7

𝑥 + 3𝑦 = −4 Gauss

5)

4𝑥 + 3𝑦 + 5𝑧 = 0 2𝑥 − 4𝑦 − 3𝑧 = 0 6𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 = 0

Cualquier método

6)

𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = 0 8𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 = 0 𝑥 + 3𝑦 − 5𝑧 = 0 4𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 0

Cualquier método


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Laboratorio # 4 Determinantes

I.-Usar el desarrollo de Laplace para evaluar las siguientes determinantes

a) |−7 3 −82 −3 51 −4 2

|

b) |4 3 00 −2 11 −1 4

|

c) |

4 −2 −6 2−5 3 7 −6−1 5 6 −21 −2 −4 7

|

II.-Resolver para x

d) |𝑥 −1 21 𝑥 43 −2 𝑥 − 1

| = −7

e) |−𝑥 2 1

1 − 𝑥 −1 𝑥 − 22 3 4

| = −11

f) |𝑥 2 6

𝑥 − 1 1 53 −2 𝑥

| = 18

III.-Justifica las ecuaciones siguientes

g) |2 2 43 0 70 −1 −2

| = 3 |2 6 43 0 70 −3 −2

|

h) |2 −1 11 0 13 −1 2

| = 0

i) 2 |1 1 64 3 7

−5 0 −8| = |

2 1 68 3 7

−10 0 −8|


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Laboratorio # 5 Solución de Sistemas de Ecuaciones Lineales por

Determinantes

I.- Resolver el sistema dado por el método indicado.

1) 2𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 6

2𝑦 − 𝑧 = 2 𝐶𝑟𝑎𝑚𝑒𝑟

−𝑥 + 𝑦 = 2

2) 6𝑧 − 10𝑤 = 9 − 3𝑥

−4𝑦 + 6𝑤 = 2 − 2𝑧 𝐶𝑟𝑎𝑚𝑒𝑟

𝑥 − 2𝑦 + 8𝑧 = 10

2𝑥 − 6𝑤 − 6𝑦 = −12

3) 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 10

−𝑦 + 2𝑧 = 8 𝐼𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠𝑎

𝑥 + 4𝑧 = −4

4) 2𝑥 − 2𝑦 + 5𝑧 = 4

−5𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 = 6 𝐼𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠𝑎

−5𝑥 + 3𝑦 − 5𝑧 = 2

5) 8𝑥 + 4𝑦 − 2𝑧 = 12

𝑥 + 𝑧 = 2 𝐼𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠𝑎

4𝑥 + 2𝑦 + 2𝑧 = 6

6) 4𝑥 + 2𝑦 − 2𝑧 + 6𝑤 = 0

𝑥 + 3𝑦 + 4𝑧 − 10𝑤 = 0 𝐸𝑙𝑒𝑔𝑖𝑟 𝑚𝑒𝑡𝑜𝑑𝑜


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2𝑥 − 4𝑦 + 6𝑧 + 2𝑤 = 0

6𝑥 − 2𝑧 + 6𝑤 = 0

7) 3𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 − 𝑤 = 6

𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 + 2𝑤 = 0 𝐸𝑙𝑒𝑔𝑖𝑟 𝑚𝑒𝑡𝑜𝑑𝑜

−2𝑥 + 3𝑦 + 2𝑧 + 3𝑤 = 7

𝑥 − 4𝑦 − 𝑧 − 2𝑤 = −2

II.- Determina los valores de 𝑘 tales que el sistema dado tenga:

a) Solución única

b) Ninguna solución

c) Una infinidad de soluciones

1) 𝑥 + 𝑦 + 𝑘𝑧 = 2

3𝑥 + 4𝑦 + 2𝑧 = 𝑘

2𝑥 + 3𝑦 − 𝑧 = 1

2) 𝑥 − 𝑦𝑘 = 3

2𝑥 − 2𝑦 = 𝑘


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Laboratorio # 6 Fracciones Parciales

I.-Indicar la descomposición en fracciones parciales de las fracciones siguientes.

1) 𝑥+34

𝑥2−4𝑥−12

2) 4𝑥2−15𝑥−1

(𝑥−1)2(𝑥−3)

3) 19𝑥2+50𝑥−25

3𝑥3−5𝑥5

4) 2𝑥2−𝑥

(𝑥−1)2(𝑥+1)2

5) 5𝑥2+8𝑦+5

(𝑥−1)(𝑥2+1)

6) 5𝑦2+8𝑦+5

𝑦3+3𝑦2+3𝑦+2

7) 𝑢5+4𝑢4−15𝑢3−14𝑢2+𝑢+24

(𝑢−2)2(𝑢+1)3

II. Descomponer en sus fracciones parciales simples la fracción dada

1) 2𝑦4−4𝑦2−𝑦+2

(𝑦2−𝑦)2

2) 𝑥2−4𝑥−4

𝑥3−2𝑥2+4𝑥−8

3) 9𝑔3+16𝑔2+3𝑔−10

𝑔4+5𝑔3

4) 𝑝3−𝑝2

𝑝4+2𝑝2+1

5) 4ℎ3−8ℎ2−10ℎ+30

2ℎ2+ℎ+6


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Laboratorio # 7 Logaritmos

I.- Expresar el logaritmo dado es términos de logaritmos más simples.

1) log𝑎√

𝑥2𝑦

𝑧

5

2) 1

2log 𝑥3 𝑦

3) log √𝑥2(𝑥 + 2)

(𝑥 + 1)(𝑥2 + 3)

3

4) log √(𝑥2 − 4)

√𝑥2 + 5

5) log(𝑥 − 7)(𝑥2)

√(𝑥 + 1)(𝑥2 + 1)3

II.- Expresar como un solo logaritmo

1) 4𝑙𝑛𝑥 − 𝑙𝑛𝑥 + ln (𝑥2 + 2)

2) 2𝑙𝑛𝑥2 − 𝑙𝑛√𝑥 +1

2ln(𝑥 + 1) − 8𝑙𝑛3

3) 𝑙𝑛𝑥2 + 7𝑙𝑛𝑦3 +1

3𝑙𝑛𝑧

4) 𝑙𝑛𝑥 − 𝑙𝑛𝑦 + 70𝑙𝑛𝑥 − 𝑙𝑛8

5) 3

5log𝑎 𝑥 +

1

2log𝑎 𝑦 − 8 log𝑎 𝑥

6) 2𝑙𝑛𝑥 − ln(𝑥 + 1) − ln(𝑥 + 1) + 3𝑙𝑛𝑥 + 2𝑙𝑛𝑦 − 4𝑙𝑛𝑧

III.- Expresa "𝑥" en terminos de "𝑦".

1) ln(20 − 𝑥2) = 𝑦 + 𝑙𝑛30

2) 𝑦 =5𝑥

5𝑥 + 1

3) log3(𝑥𝑦) = 3 log3

𝑦

𝑥

4)

log2(𝑥2𝑦) = 8 log2

𝑥

𝑦


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Laboratorio #8 Ecuaciones Exponenciales y Logarítmicas

I.-Resuelve las siguientes ecuaciones.

1) 7𝑥+2 = 3

2) 3𝑥+4 = 6𝑥

3) 5𝑥 = 2𝑥+5

4) 7𝑥2= 73𝑥+4

5) log(𝑟 + 2) = log(3𝑟 − 1)

6) log(𝑥 − 5) + log(3) = log(2𝑥)

7) log(2𝑎) = log(1 − 𝑎)

8) log4(𝑥) + log4(6𝑥 − 7) = log4 5

9) log7(𝑥 + 6) − log7(𝑥 − 3) = log7 4

10) log8(𝑥) = 4 log8(2) − log8(8)

11) 2 log2 𝑥 = 4

12) 2 log(𝑥) − log(9) = 2

13) 𝑒2𝑥 − 𝑒𝑥 − 9 + 9𝑒−𝑥 = 0

14) 𝑒3𝑥 − 4𝑒2𝑥 + 3𝑒𝑥 − 12 = 0

15) 𝑒3𝑥 − 2𝑒2𝑥 + 2𝑒𝑥 − 4 = 0

16) 20𝑒4𝑥 − 60𝑒2𝑥 − 200 = 0

17) 𝑒2𝑥 − 6𝑒𝑥 + 1 − 6𝑒−𝑥 = 0

18) 14𝑒2𝑥 + 28𝑒𝑥 − 112 = 0


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Laboratorio # 9 Permutaciones y Combinaciones

I.- Simplifica la expresión dada

1) 8!

4!

2) 12!

6!∙4!

3) 9!

4!+5!

4) 6!∙7!

5!

5) 3!+4!

3!

II.-Halle “n”o “r” si

1) 𝑃(𝑛, 5) = 6 ∙ 𝑃(𝑛, 3)

2) P(n, 3) = 5 ∙ P(n − 1,2)

3) 3 ∙ C(4, r) = 4 ∙ C(3, r)

4) 12 ∙ P(7, r) = 5 ∙ P(9, r)

III.-Resuelva

1) Se tienen 6 puntos coplanares de manera que 4 de ellos si son colineales.

Determinar:

a. El número de rectas que pueden trazarse

b. El número de triángulos que pueden formarse

2) Un comerciante dispone de 4 latas idénticas de sopa de tomate, 3 latas idénticas de

sopa de elote, 2 latas idénticas de champiñones y 4 latas idénticas de apio. En

cuantas formas diferentes se puede exhibir las 10 latas?

3) De cuantas formas se pueden hacer combinaciones de letras y dígitos en 4 espacios.

Sabiendo que el primer espacio es una letra (cualquiera del alfabeto) y los otros 3

espacios un digito?


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4) Encuentre el número de permutaciones diferentes que pueden formarse con la

palabra UANLFCFM tomadas todas a la vez

5) De cuantos modos se puede escoger un comité que está conformado por 1

presidente, 10 diputados, 10 senadores y 1 secretario si se elige entre 5 presidentes,

20 diputados, 30 senadores y 4 secretarios?

6) Cuantos números mayores a 4,500 de 4 dígitos se pueden formar con las cifras 2, 3,

6, 8 sin repetir ningún digito?

7) De cuantos modos se pueden elegir 5 libros que traten de la misma materia entre 7

libros de matemáticas y 6 de física?

8) De cuantos modos se puede formar un grupo de 2 líderes y 8 trabajadores si se

eligen de un grupo de 10 líderes y 40 trabajadores?

9) De cuantas maneras puede formarse un estante con 3 libros de matemáticas, 4 de

algebra, 5 de geometría y 2 de física, de manera que los libros de la misma materia

permanezcan juntos (cada libro tiene diferente editorial)

10) De cuantas maneras se pueden elegir 6 pantalones del mismo material entre 10 de

mezclilla y 12 de algodón?


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Laboratorio # 10 Probabilidad

1) Se saca una bola de una caja que contiene 6 bolas rojas, 3 bolas azules y 1 negra.

1. Si se devuelve la bola o la caja y se saca una segunda, ¿Cuál es la probabilidad de

que ambos sean rojas?

2. Si no se devuelve la bola a la caja y se saca una segunda. ¿Cuál es la probabilidad

de que una sea roja y una negra?

3. En este mismo caso. ¿Cuál es la probabilidad de que una sea roja y una azul?

2) Si se sacan 3 cartas de una baraja de naipes. Cuál es la probabilidad de que salgan:

1. Las 3 sean del mismo palo.

2. 2 sean reinas y 1 rey.

3. Al menos 1 corazón, 1 rey o diamante.

3) Encuentra la probabilidad de que en 4 tiros de un dado salgan:

1. 4 tres.

2. Ningún 2.

3. 2 cincos.

4. La suma sea mayor a 4.

4) Una bolsa contiene 5 bolas blancas, 3 negras y 2 rojas. Se sacan 3 al azar. Calcular la

probabilidad de que:

1. Las 3 sean negras.

2. 2 sean negras y una roja.

5) Calcular la probabilidad de obtener una suma de 8 en un lanzamiento de 2 dados.

6) Calcular la probabilidad de obtener una suma de 8 en un lanzamiento de 3 dados.

7) Se escoge un comité de 5 personas entre un grupo de 7 abogados, 3 ingenieros y 4

doctores. ¿Cuál es la probabilidad de que todos los del comité sean de la misma

profesión?

8) Una bolsa contiene 8 pelotas negras y 3 blancas. Si se sacan 2 pelotas. Calcular la

probabilidad de que ninguna sea blanca.

9) Un señor compra un boleto para una rifa y su probabilidad de ganar es 1

100. Una señora

compra 3 boletos para participar en la misma rifa. Encuentre la probabilidad de que

ninguno de los dos gane. (Solo hay un ganador por rifa).


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Laboratorio # 11 Sucesiones

I.- Escribir los 8 primeros términos de la sucesión dada.

1)

2)

3)

4)

II. Establecer la ley de formación de las sucesiones dadas

1) 2/9, 5/13, 8/17, 11/21, 14/25, ...

2) 1/2, 4/3, 9/4, 16/5, 25/6, ...

3)

4)

III. Evaluar el Límite indicado.

1.- 2.-


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Laboratorio # 12 Series

I.- Determinar si la serie dada es convergente o divergente. Justifique su respuesta.

1) 6)

2) 7)

3) 8)

4) 9)

5) 10)

II.- Halle el intervalo de convergencia de las siguientes series de potencias.

1)

2)

3)

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