matrices4diap

Dr. Abraham Rodríguez MotaESIME Zacatenco CONTROL/ICE

Repaso de Matrices y operaciones matriciales

ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICAUNIDAD ZACATENCO

ESPACIO DE ESTADOS

DR. ABRAHAM RODRÍGUEZ MOTA

Dr. Abraham Rodríguez Mota

ESIME Zacatenco CONTROL/ICE


Contenidos:

● Definición y orden de una matriz.● Igualdad, suma y resta de matrices.● Multiplicación por un escalar.● Multiplicación de matrices.● Matriz transpuesta.● Matrices simétricas y antisimétricas.● Traza de una matriz● Matriz diagonal● Matriz identidad● Matriz nula● Determinante

MenorCofactor

● Matriz unitaria y ortogonal● Sistemas de ecuaciones y determinantes.● Matrices triangulares● Matrices escalonadas y escalonadas reducidas

● Transformaciones elementales de fila● Rango● Norma de una matriz● Vectores y valores propios



Definición:Una matriz es un arreglo de números reales o complejos.

Donde ajk

≡ (A) jk

es un elemento de A

El orden de una matriz A esta dado por el número de filas y columnas de la matriz: mxn ( filas x columnas).

m=n A es una matriz cuadrada m≠n A es una matriz rectangular m=1 Es un vector fila n =1 Es un vector columna

A=[a jk ]=[a11 a12 … a1na21 a22 … a2n⋮ ⋮ … ⋮am1 am2 … amn

]



Operaciones matriciales

Igualdad:

Las matrices A y B son iguales unicamente si aik = b

ik , para toda j y k

Suma y Resta

A+B = [ajk + b

jk]

A - B = [ajk – b

jk]

La suma y resta son realizables unicamente cuando ambas matrices tienen el mismo orden.

Adicionalmente:A+B = B+A (propiedad conmutativa)A+(B+C) = (A+B) + C (propiedad asociativa)



Multiplicación por un escalar:

λA = A λ

Con λA =[λajk

]

Multiplicación de matrices

C= AB

La multiplicación solo esta definida para matrices cuyo número de columnas (A) es igual al número de filas (B). Para los demás caso no está definida.

Sea A una matriz de orden mxn y B una matriz de orden nxp, su multiplicación resulta en una matriz de orden mxp C= AB = [C

jk] ,

Dada por:

Cjk=∑

l

n

ajlblk




Propiedades básicas de la multiplicación:

AB ≠ BA no conmutativaA(BC) = (AB) C asociativa(B+C)A = BA+CA distributiva

Para el caso de matrices cuadradas:

A2 = AA , A3 = AAA



Matriz transpuesta:

Si A=[ajk] entonces AT= [a

kj]

Resulta útil verificar las siguientes propiedades

(A+B)T = AT + BT

(AB)T = BT AT

(AT)T = A

Matrices simetricas y antisimetricas

Si AT=A → A es simétrica AT= - A → A es antisimétrica




Matrices simétricas y antisimétricas:

En el caso de una matriz A antisimétrica, para j=k se tiene ajj = -a

kk, lo cual

implica que todos los elementos que se encuentran en la diagonal principal de una matriz antisimétrica son ceros.

Existe la propiedad de que dada cualquier matriz cuadrada A, la matriz A + A T es simétrica, mientras que A - AT es antisimétrica.

Por lo tanto, cualquier matriz real cuadrada puede ser siempre escrita como la suma de matrices simétricas y asimétricas

El primer término es simétrico, dado que:(A+AT)T = AT + A = A + AT

El segundo término es antisimétrico(A-AT)T = AT - A = - (A – AT )

A=1

2(A+AT )+

1

2(A�AT )



Traza:

La suma de los elementos de la diagonal principal de una matriz cuadrada

Matriz diagonal (para matrices cuadradas)

Si ajk = 0 cuando j≠k entonces A es una matriz diagonal

Matriz Identidad (para matrices cuadradas)

Todos los elementos son cero a excepción de aquellos sobre la diagonal los cuales son todos unos

IA = AIAdemás: Im = I m=0,1,2,...

Tr (A)=∑j=1

n

a jj




Matriz Nula:

[0]jk= 0

Propiedades

A+0 = 0 + A

A0 = 0A = 0


Operaciones matriciales (Determinante)

Determinantes (matriz cuadrada):

Expansión de Laplace para el determinante:

∆ = det(A)

Donde Cjk representa al cofactor del elemento a

jk y M

jk simboliza el menor del

elemento jk.

det (A)=∑k=1

n

ajkCjk=∑

k=1

n

(�1) j+k a jk M jk




Menor:

El menor de un elemento ajk es el determinante de orden n-1 (para una matriz

de orden n) obtenido de remover los elementos de la fila y columna conteniendo al elemento a

jk, este se simboliza como M

jk

Cofactor:

El cofactor de un elemento ajk se denota como C

jk y se define como:

Cjk = (-1)j+k M

jk

Ejemplo: Menor de a23

y confactor de a23

A=[1 2 3 4

5 6 7 8

9 10 11 12

13 14 15 16] M 23=∣ 1 2 4

9 10 12

13 14 16∣C

23=(�1)2+3M

23=�∣ 1 2 4

9 10 12

13 14 16∣



Ejemplos básicos:

Matriz cuadrada orden 1:

Matriz cuadrada de orden 2:

A=(a11 ) Entonces det (A)=a11

A=(a11 a12

a21a22) Entonces det (A)=(a11a22)�(a21

a12)




Algunas propiedades de los determinantes:

●El intercambio de dos filas resulta en la multiplicación del valor del determinante por -1.

●Sumar un múltiplo de una fila a otra fila no ocasiona cambios al valor del determinante.

●Multiplicar una fila por un escalar α ocasiona que el valor del determinante sea igual a α∆.

Nota: estas propiedades son idénticas cuando se aplican a columnas



Más propiedades de los determinantes:

●det(AT) = det(A)

●det(A) = 0 , si alguna de las filas o columnas contiene unicamente ceros.

●det(A) = 0 , si existen uno o más pares proporcionales ( o idénticos) de filas o columnas.

●det(AB) = det(A) + det(B)

Matriz Identidad

Una matriz identidad de orden n, es la matriz cuadrada I cuyos elementos en la diagonal principal son todos de valor 1 y cero para las posiciones restantes.



Operaciones matriciales (Inversa de una matriz)

A-1 esta definida por AA-1 = A-1A = I

Con

Donde [Cjk] es la matriz de cofactores de A.

Un par de propiedades básicas:

●(AB)-1 = B-1 A-1

●(A-1)-1 = A

A�1=

[c jk ]T

det(A)


Matrices unitaria y ortogonal

Un matriz real A es ortogonal si:

AT = A-1 , es decir ATA = I

Una matriz compleja A es unitaria si

(A*)T = A-1 , es decir (A*)T A = I o ATA = I

Nota: Una matriz real unitaria es una matriz ortogonal



Sistemas de ecuaciones lineales

A partir de un sistema de ecuaciones:

Este puede ser escrito de la forma:

Ax = y Donde A=[ajk] , x = [x

k] , y = [y

j]

x = A-1 y

Si escribimos [a-1

jk] ≡ A-1

Por lo tanto

a11x1+a12

x2+…+a1n xn= y1

⋮ + ⋮ + ⋮am1 x1+am2 x2+…+amn xn= yn

x j=∑j=1

n

a�1 jk y k


Sistemas de ecuaciones lineales

Propiedades de la representación matricial de sistemas de ecuaciones.

Si det(A) ≠ 0, yj≠ 0 -------------> x

k ≠ 0 es única

Si det(A) ≠ 0, yj=0 -------------> x

k = 0

Si det(A) = 0, yj=0 -------------> un número infinito de

soluciones para xk, incluida x

k=0,



Matriz triangular

Triangular superiorTodos los elementos por debajo de su diagonal son cero.

Triangular inferiorTodos los elementos por encima de su diagonal son cero

a jk=0 ∀ j >k

A=[a11 a12 a13 a14

0 a22 a23 a24

0 0 a33

a34

0 0 0 a44]

A=[a11 0 0 0

a21 a22 0 0

a31 a32 a33 0

a41 a42 a43 a44]a jk=0 ∀ j<k


Matriz escalonadas reducidas

Matriz escalonada por filas

Para una matriz no cuadrada A, se dice que es escalonada si:

1.- Tiene filas compuestas enteramente por ceros (fila nula), las cuales están agrupadas en la parte inferior de la matriz.

2.- El pivote de cada fila no nula es 1

3.- El pivote de cada fila no nula está a la derecha del de la fila anterior

4.- Los elementos que aparecen en la misma columna que el pivote de una fila y debajo de él son todos cero.



Matriz escalonada reducida

Matriz escalonada por filas

Pivote: el pivote de una fila (o columna) es el primer elemento no nulo de dicha fila (o columna), si es que hay alguno.

Matriz escalonada reducida por filas.Una matriz A es una matriz escalonada reducida por filas si además de ser escalonada cumple con la característica de que los elementos que aparecen en la misma columna que el pivote de una fila son todos ceros.

Escalonada Escalonada reducida

A=[1 a12 a13 a14

0 1 a23 a24

0 0 1 a34]

Pivotes

A=[1 0 0 a14

0 1 0 a24

0 0 1 a34]

Pivotes



Matriz escalonada por columnas

Para una matriz no cuadrada A, se dice que es escalonada si:

1.- Tiene columnas compuestas enteramente por ceros (columna nula), estas son las últimas columnas de la matriz.

2.- El pivote de cada columna no nula es 1

3.- El pivote de cada columna está mas abajo que el de la fila anterior.

4.- Los elementos que aparecen en la misma fila que el pivote de una columna y a la derecha de él, son todos cero.




Matriz escalonada reducida por columnas

Una matriz es escalona reducida por columnas si además de ser escalonada por columna verifica que:

Los elementos que aparecen en la misma fila del pivote de una columna son todos cero.

Escalonada por columnas Escalonada reducida por columnas

A=[1 0 0

a21 1 0

a31

a32

1

a41a42

a43

] A=[1 0 0

0 1 0

0 0 1

a41 a42 a43

]


Forma normal de Hermite

Sea una matriz A, se llama forma normal de Hermite por filas (o forma escalonada reducida por filas) de A a la única matriz escalonada reducida por filas que se obtiene de A por transformaciones elementales de fila.

De forma similar se define la forma normal de Hermite por columnas.

Aunque la forma de Hermite es única se puede llegar a ella por secuencias diferentes de transformaciones elementales.



Transformaciones elementales de fila

Tipo1.- Intercambiar la posición de dos filas

Tipo 2.- Multiplicar todos los elementos de una fila por un escalar no nulo.

Tipo 3.- Sumar a una fila otra multiplicada por un escalar


Rango de una matriz

Dada una matriz A, se denomina rango de A, denotado por rg(A), al número de filas no nulas de su forma normal de Hermite por filas (o lo que es igual: el número de pivotes).

O en otras palabras, rg(A) es igual al número de (vectores) fila linealmente independientes de la matriz.



Norma de una matriz

Una norma de una matriz es un número real positivo que “mide” el tamaño de una matriz, y permite, por ejemplo, estudiar cuando una matriz tiende a otra matriz o la matriz nula.

A la norma de una matriz se le exige las tres condiciones que debe satisfacer la norma de un vector, y una condición adicional relacionada con el producto de matrices.1.- ||A|| ≥0, y ||A|| = 0 si y solo si A=02.- ||αA|| = |α|.||A||, para cualquier α ϵ K3.- ||A+B|| ≤ ||A|| + ||B|| (desigualdad triangular)4.- ||AB|| ≤ ||A||.||B||


Vectores y valores propios

Sea A una matriz cuadrada, un número real λ se dice que es un valor propio (eigenvalor o valor característico) de A si existe un vector x, diferente del vector cero, tal que:

Ax = λx

Es decir, un vector que al transformarlo mediante la multiplicación por A el vector resultante mantiene su dirección, aunque posiblemente solo su longitud y/o sentido se modifique. Dicho vector (x) se denomina vector propio (eigenvector o vector característico) asociado al valor propio λ.



Vectores y valores propios

Ejemplo:

Sea la matriz A,

Y un vector v, definido por:

Se determina que v es un vector propio de A asociado al valor propio λ=3, puesto que se cumple la igualdad:

A=[1 2

2 1 ]v =[11]

Av=[33]=3[11]=λ v


Obtención de vectores y valores propios

Esta expresión es similar a la expresión general de un sistema de ecuaciones homogéneo, Bx = 0 , el cual tiene solución trivial (x=0), pero que para el caso de soluciones múltiples su determinante debería ser igual a cero. Entonces aplicando al sistema original:

Ecuación característica del sistema

Por lo tanto, todo valor propio λ debe ser raíz del polinomio o ecuación característica asociada a la matriz A.

Y un vector propio asociado al valor propio λ debe ser solución al sistema homogéneo

Av=λ v

Av�λ v=0 , dadoquees una suma matricial Av�λ I v=0

(A�λ I )v=0

det (A�λ I )=0

P A(λ)=det (A�λ I )

(A�λ I )x=0

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