MATRIČNI METODI RJEŠAVANJA ELEKTRIČNIH MREŽA Zadatak #1:

Za mrežu predstavljenu na slici 1 izvršiti ekvivalentiranje strujnih generatora u zamjenske naponske generatore.

Ug

+

Ug

+Ig

2Ig

R2

R5

R3

R4

R1 R6

R7

Ig

32

5 6

4

1

slika 1. Analizirana mreža

Rješenje:

Ako u mreži između čvorova i djeluje strujni izvor struje i ako je provodnost između krajeva i jednaka G , tada se između tih krajeva može postaviti ekvivalentni naponski generator napona

i unutrašnje otpornosti , a prema šemi prikazanoj na slici 1.1.

gI

gU R

a a

b b

G

R=1/G

V V

+ +

IgUg=RIg

+

slika 1.1. Principijelni postupak ekvivalentiranja strujnog generatora u zamjenski naponski generator

Koristeći predstavljeni postupak ekvivalentiranja, mreža sa slike 1 dobija strukturu kao na slici 1.2.

Ug

++

+

UgR1Ig

2R4Ig

R2Ig

+

+

R5R4

R2 R3

R6

R7R1

32

5 64

1

slika 1.2. Analizirana mreža nakon ekvivalentiranja strujnih generatora u zamjenske naponske generatore

1

Zadatak #2:

Za mrežu predstavljenu na slici 2 izvršiti ekvivalentiranje naponskih generatora u zamjenske strujne generatore. Poznate vrijednosti su: , 1 3 2 4 5150 ( ), 100 ( ), 600 ( ), 200 ( )E E V E V E V E V= = = = =

1 6 2 3 4 5 7 850 ( ), 20 ( ), 80 ( ), 100 ( ), 300 ( ), 200 ( ), 25 ( )R R R R R R R R= = Ω = Ω = Ω = Ω = Ω = Ω = Ω .

E3

R2 R7

R3 R4

R1 R5R8R6

+

+

+

+ +

3

1 2

4

E2

E1 E4 E5

slika 2. Analizirana mreža

Rješenje:

Ako u mreži između čvorova i djeluje naponski generator napona i unutrašnje otpornosti , tada se on može zamijeniti ekvivalentnim strujnim generatorom struje i unutrašnje provodnosti G , a prema šemi prikazanoj na slici 2.1.

gU R

gI

aa

bb

G=1/R

R

VV

++

Ug

+ Ig=GUg

slika 2.1. Principijelni postupak ekvivalentiranja naponskog generatora u zamjenski strujni generator

Koristeći predstavljeni postupak ekvivalentiranja, mreža sa slike 2 dobija strukturu kao na slici 2.2.

G7

G4

G1G23 G5G8 G6

3

1 2

4

Is3

Is1Is2 Is4 Is5

slika 2.2. Analizirana mreža nakon ekvivalentiranja naponskih generatora u zamjenske strujne generatore

Parametri mreže i parametri režima za mrežu sa slike 2.2 dati su vrijednostima:

2

1 1 1 11 1 23 2 3 4 4 5 50, 02 ( ), ( ) 0, 01 ( ), 0, 01 ( ), 0, 0033 ( ),G R S G R R S G R S G R S− − − −= = = + = = = = =

1 1 1 16 6 7 7 8 8 1 1 1

10, 02 ( ), 0, 005 ( ), 0, 04 ( ), 3 ( ),s

EG R S G R S G R S I G E A

R− − −= = = = = = = = =

2 3 4 52 23 2 3 4 3 4 5 5 5 6 5

2 3 4 5 61 ( ), 1, 5 ( ), 2 ( ), 4 ( )s s s s

E E E EI G E A I G E A I G E A I G E

R R R R R= = = = = = = = = = = =

+A

V

Zadatak #3:

Za mrežu prikazanu na slici 3 odrediti napone grana i struje u granama mreže koristeći KZS i KZN u matričnom obliku. Poznate vrijednosti: 1 2 3 1 230 ( ), 50 ( ), 25 ( ), 50 ( ), 100 ( )R R R E V E= Ω = Ω = Ω = = . Fundamentalno stablo mreže sastavljeno je od grane 3. Čvor ② je izabran kao referentni čvor.

E1 E2

+ +R1 R2

R3

1

2

slika 3. Analizirana mreža

Rješenje:

Orijentisani graf za analiziranu mrežu sa odabirom fundamentalnih kontura predstavljen je na slici 3.1 (fundamentalno stablo sastavljeno je od grane 3). Matrica incidencije čvorova i matrica incidencije grana i fundamentalnih kontura B , imaju oblik (čvor ② je referentni čvor):

A

1 1 1= − −⎡ ⎤⎣ ⎦A ; 1 0 1

0 1 1

⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

B

Jednačina prema KZS ima oblik:

1 2 3 0i i i− − + = (1)

odnosno u matričnoj formi:

1

2

3

1 1 1 0

i

i

i

⎡ ⎤⎢ ⎥− −⎡ ⎤= =⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

Ai

2

1

231 I II

slika 3.1. Orijentisani graf za analiziranu mrežu

Jednačine prema KZN imaju oblik:

1 3

2 3

0

0

v v

v v

+ =

+ = (2)

odnosno u matričnoj formi:

1

2

3

1 0 10

0 1 1

v

v

v

⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥= =⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦

Bv

Jednačine grana (vi karakteristike elemenata koji čine granu) imaju oblik:

3

1 1 1 1

2 2 2 2

3 3 3 0

R i v E

R i v E

R i v

− =

− =

− =

odnosno:

1 1 1 1

2 2 2

3 3 3

v R i E

v R i E

v R i

= −

= −

=2

1

2

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

⎤⎥

V

(3)

Ako se jednačine (3) uvrste u sistem (2), dobija se forma:

1 1 3 3 1

2 2 3 3 2

R i R i E

R i R i E

+ =

+ = (4)

Ako se u sistem jednačina (4) uvrsti relacija (1), tada on dobija kompaktniju formu oblika:

1 3 1 3 2

3 1 2 3 2 2

( )

( )

R R i R i E

R i R R i E

+ + =

+ + = (5)

koja se može predstaviti u matričnom obliku kao:

1 3 3 1 1

23 2 3

R R R i E

iR R R E

+⎡ ⎤ ⎡ ⎤=⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦

Uz brojne vrijednosti date u formulaciji zadatka, posljednja matrična relacija glasi:

1

2

5055 25

10025 75

i

i

⎡ ⎤ ⎡⎡ ⎤=⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ čije je rješenje:

1

1

2

50 5055 25 0, 0214 0, 0071 0, 3571( )

100 10025 75 0, 0071 0, 0157 1,2143

iA

i

− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤= = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Prema KZS, odnosno relaciji (1), struja u grani 3 određena je kao:

3 1 2 1, 5714 ( )i i i A= + =

dok su prema relaciji (3), odnosno KZN, naponi grana mreže predstavljeni u matričnoj formi i određeni kao:

1 111

2 2 2 2

3 33

0 0 0, 3571 50 39,285730 0 0

0 0 0 50 0 1,2143 100 39,2857 ( )

0 00 0 25 1, 5714 39,28570 0

g

R Eiv

v R i E

v iR

⎡ ⎤ ⎡ ⎤− − −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ = + = + − = + − = −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦

Ri V

Zadatak #4:

Za mrežu prikazanu na slici 4 odrediti napone grana i struje u granama mreže koristeći KZS i KZN u matričnom obliku. Fundamentalno stablo sastavljeno je od grana 2,4. Čvor ③ je izabran kao referentni čvor. Poznate vrijednosti su: . 1 4 2 3 515 ( ), 50 ( ), 20 ( ), 45 ( ), 50 ( )R R R R R E V= = Ω = Ω = Ω = Ω =

4

1 2 4

5

3

E

R3R1 R5

R4R2 E

++

1 2

3

slika 4. Analizirana mreža

Rješenje:

Orijentisani graf za analiziranu mrežu sa odabirom fundamentalnih kontura predstavljen je na slici 4.1 (fundamentalno stablo sastavljeno je od grana 2,4). Čvor ③ je referentni čvor. Matrica incidencije čvorova i matrica incidencije grana i fundamentalnih kontura , imaju oblik: A B

1 1 1 0 0

0 0 1 1 1

−⎡ ⎤= ⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎣ ⎦

A ; 1 1 0 0 0

0 0 0 1 1

0 1 1 1 0

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦

B

Jednačine prema KZS imaju oblik:

1 2 3

3 4 5

0

0

i i i

i i i

− + + =

− + − = (1)

dok su jednačine prema KZN date kao:

1 2

4 5

2 3 4

0

0

0

v v

v v

v v v

+ =

+ =

− + + =

(2)

1 5

3

2 4

21

I IIII

I

slika 4.1. Orijentisani graf za analiziranu mrežu sa odabirom fundamentalnih kontura

Jednačine grana (vi karakteristike elemenata koji čine granu) imaju oblik:

1 1 1

2 2 2

3 3 3

4 4 4

5 5 5

0

0

0

R i v E

R i v

R i v

R i v

R i v E

− =

− =

− =

− =

− =

odnosno:

1 1 1

2 2 2

3 3 3

4 4 4

5 5 5

v R i E

v R i

v R i

v R i

v R i E

= −

=

=

=

= −

(3)

Ako se jednačine (3) uvrste u sistem (2), dobija se forma:

1 1 2 2

4 4 5 5

2 2 3 3 4 4 0

R i R i E

R i R i E

R i R i R i

+ =

+ =

− + + =

(4)

5

Ako se u sistem jednačina (4) uvrste relacije (1), odnosno, ako se iz relacija (1) izraze struje i , tada sistem dobija kompaktniju formu oblika:

1i 3i

1 2 2 1 4 1 5

4 4 5 5

2 2 3 4 4 3 5

( )

( )

R R i R i R i E

R i R i E

R i R R i R i

+ + − =

+ =

− + + − = 0

(5)

koja se može predstaviti u matričnom obliku kao:

1 2 1 1 2

4 5 4

52 3 4 3

0

0

R R R R Ei

R R i E

iR R R R

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

− + −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦

Uz brojne vrijednosti date u formulaciji zadatka, posljednja matrična relacija glasi:

2

4

5

65 15 15 50

0 15 45 50

050 35 20

i

i

i

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤−⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦

čije je rješenje:

12

4

5

65 15 15 0,629250

0 15 45 50 1,2884 ( )

050 35 20 0,6816

i

i A

i

−⎡ ⎤ ⎡⎡ ⎤ ⎡ ⎤−⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥ ⎢ ⎥

= =⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣

⎤⎥⎥⎥⎥⎦

Prema KZS, odnosno relacijama (1), struje u granama 1 i 3 su određene kao:

1 2 3 2 4 5

3 4 5

1,2360 ( )

0, 6068 ( )

i i i i i i A

i i i A

= + = + − =

= − =

dok su prema relaciji (3), odnosno KZN, naponi grana mreže predstavljeni u matričnoj formi i određeni kao:

1

2

3

4

5

1,2360 31, 460715 0 0 0 0 50

0 50 0 0 0 0,6292 31, 46070

0 0 20 0 0 00,6068 12,1348

00 0 0 15 0 1,2884 19, 3258

500 0 0 0 45 0,6816 19, 3258

g

v

v

v

v

v

−− ⎡⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎢⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ = + = + =⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ − −⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣

Ri V ( )V

⎤⎥⎥⎥

⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎦

Zadatak #5:

Za električnu mrežu predstavljenu na slici 5 odrediti napone grana, te struje u granama mreže koristeći metod struja petlji. Poznate vrijednosti:

1 225 ( ); 10 ( ); 15 ( );R R L= Ω = Ω ω = Ω 0,2 ( ); 45 ( );gC S U j Vω = = − (10 5) ( )gI j= − A .

Ug

R1 R2

L C

+ ~

1

3

2

Ig

slika 5. Analizirana mreža

6

Rješenje:

I II

3

42

1

21

3

Orijentisani graf za mrežu sa slike 5 predstavljen je na slici 5.1 na kome su odabrane unutrašnje petlje. Matrica impedansi petlji može se napisati direktno u obliku:

1

2

(25 15) 151 15 (10 10)( )p

R j L j L j j

j jj L R j LC

+ ω − ω⎡ ⎤ + −⎡ ⎤⎢ ⎥= = ⎢ ⎥⎢ ⎥ − +− ω + ω − ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥ω⎣ ⎦

Z

odnosno, odrediti analitički kao:

slika 5.1. Orijentisani graf za analiziranu mrežu sa odabirom

unutrašnjih petlji 1

2

1 1

2 2

0 0 0 1 00 0 01 1 0 0 1 10 0 00 1 1 1 0 1

1 0 10 0 0

1 00 0 1 1 (

1 10 10 ( )

0 1

Tp

R

j L

R

jC

R j L R j L j L

j L R j j L R j LC C

⎡ ⎤ −⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ω⎢ ⎥− −⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎢ ⎥= = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥− ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎢ ⎥ ⎣ ⎦ω⎣ ⎦−⎡ ⎤⎢ ⎥− ω + ω − ω⎡ ⎤ ⎡ ⎤−⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥= = =⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥− ω − − ω + ω −⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ω ω⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦MZ

Z MZM

25 15) 15

15 (10 10)

j j

j j

+ −⎡ ⎤⎢ ⎥

− +⎢ ⎥⎣ ⎦

Vektor napona petlji može se odrediti direktno u obliku:

45

(25 50)

g

p g

U jI

jjC

⎡ ⎤ −⎡ ⎤⎢ ⎥= = ⎢ ⎥⎢ ⎥ +⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥ω⎣ ⎦

E

odnosno, analitički pomoću relacije:

1

2

000 0 0 1 1 0 0 0

1 0 0 1 1 1 0 00

0

45

(25 50)

g

gp g g g

g

g

g

UR j L U

Ij L R j j

C CI

U jI

jjC

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥− ω ⎡ ⎤⎡ ⎤ − −⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥= − = − = − ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ −− ω − ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ω⎣ ⎦ ω⎣ ⎦⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎡ ⎤ −⎡ ⎤⎢ ⎥= = ⎢ ⎥⎢ ⎥ +⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥ω⎣ ⎦

E MZI MV =

Vektor struja petlji određen je iz osnovne matrične relacije prema metodi struja petlji:

11

1

2

45 45(25 15) 15 (2 2) 31(25 50) (25 50)15 (10 10) 3 (5 3)(65 80)

( 0, 48 0, 36)

(3,12 1,16)

p p p

p

p

j jj j j j

j jj j j jj

j J

Jj

−−

− −+ − +⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡= = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢

+ +− + ++⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢⎣ ⎦ ⎣⎣ ⎦ ⎣ ⎦− +⎡ ⎤ ⎡ ⎤

= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥+⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦

J Z E⎤=⎥

⎥⎦

tako da su struje u granama analizirane mreže određene kao:

7

1

2

3

4

(0, 48 0, 36)1 0

1 1 ( 0, 48 0, 36) ( 3, 60 0, 80)

0 1 (3,12 1,16) (3,12 1,16)

0 1 (3,12 1,16)

Tp

j I

j j

Ij j

Ij

−− ⎡

I

⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥− − + − −⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥

= = = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ + +⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ +⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦

I M J

Naponi grana mreže određeni su vrijednostima:

(0, 48 0, 36) (12, 0 54, 0)025 0 0 0 45

0( 3, 60 0, 80) (12, 0 50 15 0 0 0

0 00 0 10 0 (3,12 1,16)

00 0 0 5 ( 10 5)(3,12 1,16)

g g

j jj

j jj

j

j jj

⎧ ⎫− −⎡ ⎤ −⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − −⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎪ ⎪= − + = − + =⎢ ⎥⎨ ⎬⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥+⎢ ⎥⎪ ⎪⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎪ ⎪⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − ++ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎪ ⎪⎣ ⎦⎩ ⎭

V ZI ZI V

1

2

3

4

4, 0)

(31,2 11, 6)

( 19,2 65, 6)

V

V

Vj

Vj

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥

=⎢ ⎥ ⎢ ⎥+⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦

Zadatak #6:

Analizira se rezistivna mreža prikazana na slici 6. Odrediti struje u granama mreže koristeći metod struja kontura u matričnom obliku. Poznate vrijednosti: . Fundamentalno stablo mreže sastavljeno je od grana 3,4,5.

1 210 ( ), 50 ( ), 30 ( ), 2 ( )g g gR U V U V I A= Ω = = =

Ug1 R

R

+

Ug2

R

R

+

Ig

R

5

1

3

4

2

2

3

1

4

slika 6. Analizirana mreža Rješenje:

Ako se u analiziranoj mreži izvrši ekvivalentiranje strujnog generatora u naponski generator, mreža sa slike 6 dobija strukturu kao na slici 6.1. Orijentisani graf tako ekvivalentirane mreže predstavljen je na slici 6.2 na kome su odabrane fundamentalne konture (grane spojnice su grane 1,2).

Ug1

RIg

R

R

+

Ug2

R

R

R +

+

5

1

3

4

2

2

3

1

4

1

5

I II43 2

21

4

slika 6.1. Analizirana mreža nakon ekvivalentiranja strujnog generatora u zamjenski naponski generator

slika 6.2. Orijentisani graf mreže sa odabirom fundamentalnih kontura

8

Matrica otpornosti kontura može se odrediti direktno u obliku: kR

4 40

10 202k

R R

R R

− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥−−⎢ ⎥ ⎢⎣ ⎦⎣ ⎦

R10

⎥

R

R

odnosno, odrediti analitički koristeći matričnu relaciju:

0 0 0 0 1 0 1 0

0 0 0 0 0 1 0 11 0 1 1 1 0 4

1 0 1 00 0 0 00 1 0 1 0 0 0 0 2

1 1 1 10 0 0 0

1 0 1 00 0 0 0

Tk

R

RR R R R R

RR R R

R

R=

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − − − −⎡ ⎤ ⎡⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −= = = =

⎤⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ ⎦

⎥⎥⎣ ⎦ ⎣⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦

BR

R BRB⎦

⎥

1

Vektor napona kontura može se napisati direktno u obliku: ke

1

2

70

30g g

kg

U RI

U

+⎡ ⎤ ⎡ ⎤= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢⎣ ⎦⎣ ⎦

e odnosno, odrediti analitički koristeći relaciju:

1

2

1 1

2 2

0

00 1 0 1 1

00 1 0 1 00 0 0

0 0

0 0

0

g

g

gk g g

g g gg

g g

U

UR R R R

IR R

U U RIRI

U U

−⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥ −⎢ ⎥⎢ ⎥− − − −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎢ ⎥−= − = −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ =⎢ ⎥⎢ ⎥ −−⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

− +⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤= − =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

e BRi Bv

Vektor struja kontura može se odrediti koristeći relaciju: kj

1 1 21

22 1 2 2

2 1 2 2 171 1 11 4 1947 7 7

g g g g g kk k k

kg g g g

U RI U U RI j

jU U U RIR R−

+ + +⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ 1⎡ ⎤= = = = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ + ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦

j R e

tako da su struje u granama mreže:

1 2 1

1 2 21 2

1 21 2

1 2

1 2

2 21 0 17

40 1 192 21 11 0 172 2

47 71 1 23

1 0 172 2

g g g

g g gg g gT

g g gkg g g

g g g

g g g

U U RI i

U U RI iU U RI

iU U RIU U RIR R

U U RI

U U RI

17

+ +⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ +⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ +⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −− − −= = = = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ +⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −− +⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥

− −⎢ ⎥− − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦

i B j 3

4

5

i

i

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

Zadatak #7:

Za mrežu predstavljenu na slici 7 odrediti napone grana mreže koristeći metod napona čvorova. Čvor ③ je referentni čvor.

Ug Y

+

Ug

Y

+

Ig

IgY

2

1

3

2

3

1

~

~

slika 7. Analizirana mreža

9

Rješenje:

Orijentisani graf za analiziranu mrežu predstavljen je na slici 7.1. Matrica admitansi čvorova i matrica injektiranih struja čvorova mogu se odrediti direktno inspekcijom mreže u obliku (čvor ③ je referentni čvor):

2

2n

Y Y

Y Y

−⎡ ⎤= ⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦

Y ; 2g

ng g

YU

I YU

−⎡ ⎤= ⎢ ⎥

+⎢ ⎥⎣ ⎦I

1

2 3

21

Vektor napona čvorova određen je prema relaciji:

slika 7.1 Orijentisani graf za analiziranu mrežu

1

11

2

2 2 11 11 22 2 2 2 33 3

g g gn n n

g g g g g g n

Y Y YU YU I V

Y Y I YU I YU I YU VY Y

−−

− − −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡⎡ ⎤= = = = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥− + + +⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣

V Y In ⎤⎥⎥⎦

Za orijentisani graf mreže sa slike 7.1, matrica incidencije čvorova ima oblik: A

1 1 0

1 0 1

⎡ ⎤= ⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎣ ⎦

A

pa su naponi grana mreže određeni prema relaciji:

1

2

3

31 11 11 0

2 33 32 30 1

g ggT

gng g

g g

I YU VI

I VI YUY Y

I YU V

⎡ ⎤⎡ ⎤ − −⎡ ⎤−⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥

= = = = ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ − −− ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦

V A V

10

ODREĐIVANJE OSNOVNIH MATRICA MREŽE KORISTEĆI SE INSPEKCIJOM MREŽE

Zadatak #1: Za mrežu istosmjerne struje na kojoj su naznačene unutrašnje petlje, napisati matricu otpornosti petlji i matricu napona petlji koristeći se inspekcijom mreže.

E E

RR

R R2R

2R

R R

1

4 3

2

2

1

3

4

5

6

+

+

I II III

Rješenje:

3 0

6

0 3

p

R R

R R R

R R

−⎡ ⎤⎢ ⎥= − −⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦

R ; 2p

E

E

E

−⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦

e

Zadatak #2: Za mrežu istosmjerne struje sa slike za koju je čvor ① izabran kao referentni čvor, napisati matricu provodnosti čvorova i matricu injektiranih struja čvorova.

E

RR R

3R

RR E

++

1 2

3 Rješenje:

1 1 1 1 1 2 1 1 19 513 3 4 4

1 1 1 1 1 1 1 1 3 1 5 1343 3 4 4

nR R R R R R R R R R R

RR R R R R R R R R R R R

⎡ ⎤ ⎡+ + − − + − − −⎤

⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢+ += =⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ −⎥

⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦− − + + + − − +⎢ ⎥ ⎢+ +⎣ ⎦ ⎣

G

⎥⎦

3 45

3 4

n

E ER R RE E ER R R R

⎡ ⎤ ⎡⎢ ⎥ ⎢+= =⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥ ⎢− − −⎢ ⎥ ⎢+⎣ ⎦ ⎣

i

⎤⎥⎥⎥⎥⎦

Zadatak #3: Ako je za mrežu sa slike čvor ② izabran kao referentni čvor, odrediti matricu provodnosti čvorova i matricu injektiranih struja čvorova.

E

G2G 2G

2G2G

GG E

++

1 2

3

11

Rješenje:

2 2 2 23 22 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 42 2 2 2 2 2

n

G G G GG G G G GG G G GG G G G G G G G

G G GG G G G G G

⋅ ⋅⎡ ⎤+ + − − −⎡ ⎤⎢ ⎥+ += = ⎢ ⎥⎢ ⎥⋅ ⋅ ⋅ −⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦− − + + +⎢ ⎥+ + +⎣ ⎦

G

2 22 2

2 2 2 2 22 2 2 2

n

G GE GEG G

G G G G GEE E

G G G G

⋅⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥+= = ⎢ ⎥⎢ ⎥⋅ ⋅ −⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦− −

⎢ ⎥+ +⎣ ⎦

i

Zadatak #4: Za mrežu naizmjenične struje napisati matricu admitansi čvorova i matricu injektiranih struja čvorova koristeći se inspekcijom mreže, ukoliko je čvor ② izabran kao referentni čvor.

C

Is1

L

Is2R

21

3 2

3

1

E

+

L

~

Rješenje:

1 1 1

1 1n

jR j L L R j L

j CR j L R j L

⎡ ⎤− −⎢ ⎥+ ω ω + ω⎢ ⎥=⎢ ⎥− + ω⎢ ⎥+ ω + ω⎣ ⎦

Y ;

1

2

s

n

s

EI

R j LE

IR j L

⎡ ⎤−⎢ ⎥+ ω⎢ ⎥=⎢ ⎥− −⎢ ⎥+ ω⎣ ⎦

I

Zadatak #5: Za mrežu naizmjenične struje odrediti matricu admitansi čvorova ako je čvor ② izabran kao referentni čvor. U mreži je postignut uslov 1( ) 0, 5 ( )G C L S−= ω = ω = .

UgG

G 2G

2G

C 2C

L

+

2Ig

~

1 3

2 4 Rješenje:

1 1( ) 0

0 0, 5 0, 5 01 1

(2 ) 2 2 0, 5 0, 5 0, 5 0, 5

0 0, 5 10 2 2 20 2 2 2

n

G j C jL L G jG j

j G j C G j C jG G jG G j G j j jL L

j jG j G G j GG j C G j C

⎡ ⎤+ ω −⎢ ⎥ω ω ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥= + ω − + ω = + + = +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ω ω ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ + ++ ω + ω ⎣ ⎦⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦

Y +

+ +

)

Zadatak #6: Za mrežu naizmjenične struje odrediti matricu impedansi kontura ako je odabir fundamentalnih kontura naznačen direktno na slici. U mreži je postignut uslov 1( ) 50 (R L C −= ω = ω = Ω .

12

UgUgR R

2LC CC

C LL

IIIIII

++

Ig

~ ~

Rješenje:

1( ) 0

10 ( )

12 (2 )

0 50 0 50

0 0 50 50

50 50 100 502

k

R j L RC

R j L RC

R R R j LC

R R

R R

jR R R jR

⎡ ⎤+ ω − −⎢ ⎥ω⎢ ⎥⎢ ⎥= + ω − − =⎢ ⎥ω⎢ ⎥

− − + ω −⎢ ⎥ω⎢ ⎥⎣ ⎦

− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= − = −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − +− − + ⎣ ⎦⎣ ⎦

Z

Zadatak #7: Za mrežu naizmjenične struje za koju je čvor ④ izabran kao referentni čvor, napisati matricu injektiranih struja čvorova koristeći se inspekcijom mreže. U mreži je postignut uslov gI YU= g , pri čemu je (2 3) ( )gI j= − A .

UgUg Y Y

Y2Y 2Y

Y2Y 2Y

++

Ig

1

3

2

4

~ ~

Rješenje:

2 22 22 22 22 22 2

0 0

2 3 ( )

2 3

g gg g

n g

gg

g

g

Y YU I

Y Y YU IY Y

U YUY Y

YUY YU

Y Y

I j A

jI

⋅⎡ ⎤−⎢ ⎥+ −⎡ ⎤⎢ ⎥⋅ ⎢ ⎥⎢ ⎥

g= = =⎢ ⎥⎢ ⎥+ ⎢ ⎥⎢ ⎥ −⋅ ⎣ ⎦⎢ ⎥−⎢ ⎥+⎣ ⎦⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= = −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥− +− ⎣ ⎦⎣ ⎦

I

13