módulo de matemáticas financieras
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Módulo de Matemáticas
Financieras
Elkyn Rafael Lugo Arias
Docente Uniminuto
Magister en Economía y finanzas
Pero…. subyacen problemas de
orden económico y su
correspondiente expresión
financiera.
¿Qué es matemáticas financieras
Son las matemáticas aplicadas para hallar el valor del
dinero en el tiempo con el objeto de disminuir el riesgo y la
incertidumbre y así tomar decisiones financieras de ahorro
– inversión.
El concepto de inversión
Cualquier sacrificio de recursos hoy con la
esperanza de recibir algún beneficio en el
futuro.
Estudiando los beneficios…La tasa de Interés:
La tasa de interés es la utilidad (rentabilidad) medida entérminos porcentuales del rendimiento de un capital
determinado.
¿De cuánto deben ser estos beneficios o intereses?
¿Cuánto es lo mínimo que debo cobrar para no perder?
Los beneficios deberán cubrir:
1 La pérdida del poder adquisitivo. (Inflación)
2 El riesgo de perder una parte o todo el dinero.
3El “sacrificio” de no consumir ahora(componente real)
Solución
• Sólo se pueden comparar o combinar los valoresque se encuentren en el mismo punto detiempo.
Regla 1
•Para mover un flujo de efectivo hacia adelanteen el tiempo, debe capitalizarse.Regla 2
•Para mover un flujo de efectivo hacia atrás en el tiempo, debe descontarse.Regla 3
Las tres reglas del movimiento del tiempo
Fuente: Adaptación de Berk y Demarzo (2008)
Las reglas de los movimientos en el tiempo
SoluciónLas reglas de los movimientos en el tiempo
La primera regla es que solo se puede comparar o combinar valores que estánen el mismo punto del tiempo. Para comparar flujos de efectivo que ocurrenen distintos puntos de tiempo, primero se necesita convertirlos a las mismasunidades, es decir moverlos al mismo tiempo.
La segunda regla señala que para mover un flujo de efectivo hacia adelante enel tiempo, debe capitalizarse. Si la tasa de interés de mercado para el año sedenota como i, para llevar el flujo de efectivo del comienzo al final del año, sele multiplica por el factor (1+ i). Este proceso de mover un valor o flujo deefectivo hacia adelante en el tempo de le denomina como capitalización.
La tercera regla trata de cómo mover los flujos de efectivo en el tiempo haciaatrás. Para realizar ese cálculo, se divide el flujo de efectivo entre el factor dela tasa de interés (1+i), donde i es la tasa de interés, por lo tanto, encontrar elvalor equivalente hoy de un flujo de efectivo futuro de se conoce comodescuento. Entonces, la tercera regla señala que para mover un flujo deefectivo hacia atrás en el tiempo, debe descontarse.
Línea de tiempo dinero…
Interés simple e interés compuesto …
Interés simple e interés compuesto …
En el interés simple, el capital inicial no varía
período a período, es decir, el cálculo del interés
para un período no considera el interés que el
capital ganó en el período anterior.
En el caso del interés compuesto, el interés que el
capital gana en un período pasa a formar parte
del capital para efectos del cálculo del interés en
el período siguiente. A este proceso se le
denomina capitalización.
Comparando ambos tipos de interés podemos
decir que , en el interés simple no hay
capitalización , en el interés compuesto si lo hay.
Interés simple
En el interés simple el rendimiento se calcula en cada periodo
sobre el capital inicial.
Nomenclatura
Valor presente (P) = representa el capital inicial; llamado igualmente
principal, suele representarse por VP, VA y se define como la cantidad
de dinero que se invierte, se presta o recibe al inicio de una transacción.
Valor futuro (F) = representa el capital final, denominado también monto
o dinero incrementado.
Interés (I) = representa el interés y es la cantidad de dinero que se paga
por el uso del capital (P).
Tasa de interés (i) = representa el tanto por ciento que se paga por cada
unidad monetaria.
Tiempo (n) = representa el tiempo que dura la transacción. Se le
denomina también periodo.
Interés compuesto …
En el interés simple el capital original sobre el que se calculan los interesespermanece sin variación alguna durante todo el tiempo que dura laoperación. En el interés compuesto, en cambio, los intereses que se generanse suman al capital original en periodos establecidos y, a su vez, van agenerar un nuevo interés adicional en el siguiente lapso.
En este caso se dice que el interés se capitaliza y que se esta en presenciade una operación de interés compuesto.
En estas operaciones, el capital no es constante a través del tiempo, puesaumenta al final de cada periodo por la adición de los intereses ganados deacuerdo con la tasa convenida.
Ejercicios de interés compuesto …Valor Futuro
1. Juan Andrés recibe un préstamo universitario de $1.520.000, que deberá pagar
en una sola cuota doce meses después de efectuado el desembolso. La entidad
le cobra un interés compuesto del 2,6520 % mensual. ¿Cuál será el valor que
deberá pagar el estudiante una vez cumplido el plazo? Por favor, elabore el
diagrama de flujo de caja.
Formula Manual Formula excel
ni1 VP VF
00,0)2,0,-15200VF(2.65%,1
Valor presente 1,520,000
Interés 2.6520%
Tiempo 12
Valor futuro 2,080,906.52 522.080.906, %6520,21 1.520.000 VF
12
n,0,-VP,0)VF(i,
Ejercicios de interés compuesto …
Valor presente
3. Juliana del Pilar se acerca hoy al banco y retira $5.500.500 de un CDT que
depositó hace 30 bimestres. El banco le reconocía una tasa de interés compuesto
del 1,0725 % mensual. Por favor, elabore el diagrama de flujo de caja.
Formula Manual Formula Excel
21,158.900.2
1.0725%1
5.500.500 VP
60
n,0,-VF,0)VA(i,
Ejercicios de interés compuesto …Tasa de interés
ni1 VP VF
1 - P
F i
P
F i)1(
P
Fi)(1
P
Fi1
n
n
/1/1n
n
nn
5. El Banco Fortuna les ofrece a sus clientes triplicar el valor de suinversión siempre y cuando dejen su dinero depositado por un
periodo de 4 años. ¿Qué tasa mensual compuesta les pagaría este
banco a los ahorradores?
Manual Formula Excel
%3152,211
3 i 48
%3152,211
3 i 48
Valor futuro (VF) 3 Valor presente (VP) 1
Tiempo (n) 48Interés = ? =tasa(n,0,-VP,VF)
Ejercicios de interés compuesto …Tiempo o periodo
Como ya se menciono, la formula
de VF puede utilizarse para
resolver cualquier problema de
interés compuesto, pues en ella
están involucradas todas las
variables que lo determinan:
monto, capital, tiempo y tasa de
interés; conociendo tres de ellas se
despeja y determina la cuarta.
Formula Manual
ni1 VP VF
7. Diego Alejandro realiza una inversión de
$8.000.000, que le aseguraba una tasa
bimestral compuesta del 3,0835 %. Pasado
el tiempo, le entregan $11.520.000.
¿Cuántos bimestres pasaron para lograr el
valor del retorno?
Formula de Excel
3,0835%1 Log
8.000.000
11.520.000Log
n
P
Fi1
n
12308350,1 Log
44,1Log n
Valor futuro (VF) 11,520,000 Valor presente (VP) 8,000,000
Interés (i) 3.0835%
n = ? =NPER(i,0,-VP,VF)
Tasas equivalentes
Se puede observar cómo las tasas de interés se estipulan para unperiodo de tiempo como por ejemplo meses, trimestres, semestres oaños; adicionalmente se determina el momento en el que se pagan losintereses dentro del periodo, es decir, los intereses se pueden pagar deforma anticipada o vencida. Siguiendo la idea del concepto deequivalencia, se puede determinar relaciones entre las tasas para:
Convertir tasas anticipadas a tasas vencidas.Convertir tasas de un tipo de periodo a otro, por ejemplo de meses asemestres.Comparar tasas anticipadas con tasas vencidas.Comparar tasas de diferentes períodos.
Interés anticipado e interés vencido
Interés anticipado e interés vencido
Interés anticipado e interés vencido
Interés anticipado e interés vencido
Interés anticipado e interés vencido
Interés nominal e interés efectivo
Interés nominal e interés efectivo
Tasa de Interés Periódica
•Índica la tasa y el periodo de aplicación
•Es vencida o anticipada
•Puede ser usada en las formulas
•Ejemplos: 2% mensual; 4% bimestral; 6% trimestral; 18% semestral y 30% anual
Tasa de Interés Nominal
•Tasa de interés de referencia y no se utiliza en fórmulas
•Tiene tres elementos:
•tasa
•periodo de referencia
•periodo de composición
•Ejemplos: 16% acumulable trimestral; 30% convertible mensualmente
Tasa de Interés Efectivo
•Tasa de interés para un periodo especifico
•Mide el costo o rentabilidad real del dinero
•Ejemplo: 12,55% efectivo anual
Interés nominal e interés efectivo9. La señora Ana Inés tiene unos ahorros y los piensa invertir en un CDT durante un año. Le ofrecen las siguientes opciones: Banco X le brinda una tasa del 12,9000 % NAMV; el Banco Y, una tasa del 13,1000 % NABV y el Banco Z, una tasa del 12,8000 % NATA. La señora Ana Inés le pide a usted el favor que le haga la equivalencia de tasas a EA, para poder establecer cuál es la mejor opción.Formula Manual Formula en Excel
𝑿) 𝒆𝒂 = (𝟏 + 𝒊)𝒏-1
𝒆𝒂 = (𝟏 + 𝒊𝑵𝑨𝑴𝑽/𝒏)𝒏-1
𝑒𝑎 = (1 + 0,129/12)12-1 = 13,69%
Tasa nominal vencida
Número de periodos
Resultado tasa efectiva =INT.EFECTIVO(12.9%,12)
12.9000% 12 13.6907%
Y) 𝒆𝒂 = (𝟏 + 𝒊𝑵𝑨𝑩𝑽/𝒏)𝒏-1
𝑒𝑎 = (1 + 0,131/6)6-1 = 13,84%
Tasa nominal vencida
Número de periodos
Resultado tasa efectiva =INT.EFECTIVO(13.1%,6)
13.1000% 6 13.8362%
Opciones NTA NTV NMV EA
banco x 12.9%NAMV 1.08% 13.69%
Banco y 13.1%NABV 2.18% 13.84%
Banco z 12.8%NATA 3.20% 3.31% 13.89%
Z) 𝑁𝑇𝐴 = (0,128/4) = 3,2%
= (0,032
1−0,032) = 3,31%
𝒆𝒂 = (𝟏 + 𝒊)𝒏-1
𝑒𝑎 = (1 + 0,0331)4 - 1 = 13,89%
Interés nominal e interés efectivo10. Manuela Fernanda desea sacar un crédito para realizar una remodelación en su hogar y le ofrecen las siguientes opciones: Almacén A, una tasa del 18,4200 % NASV; Almacén B, una tasa del 3,5233 % BV; Almacén C, una tasa del 19,0000 % EA. Manuela Fernanda le pide a usted el favor que le haga la equivalencia de tasas a mensual vencida, para poder establecer cuál es la mejor opción.Formula Manual Formula en Excel
𝑨) 𝒊𝑴𝑽 = (𝟏 + 𝒊/𝒏)𝒏/𝒎-1
𝑖𝑀𝑉 = (1 + 𝑖𝑁𝐴𝑆𝑉/𝑛)𝑛/𝑚-1
iMV = (1 + 0,1842/2)2/12-1 = 1,4792%
𝑩) 𝒊𝑴𝑽 = (𝟏 + 𝒊𝑩𝑽)𝒏/𝒎-1
iMV = (1 + 0,035233)6/12-1 = 1,7464%
C) 𝒊𝑴𝑽 = (𝟏 + 𝒊𝑬𝑨)𝟏/𝒏-1
iMV = (1 + 0,19)1/12-1 = 1,4602%
A) Tasa nominal
Número de periodos
Resultado tasa efectiva. =INT.EFECTIVO(18.42%, 2)
18.42% 2 19.2682%
Tasa efectivaNúmero de
periodos
Resultado tasa nominal. =TASA.NOMINAL(19.2682%, 12)
19.2682% 12 17.7505%
Interés nominal
Número de periodos
Interés periódico = i nom/1217.7505%/12 = 1,4792%
17.7505% 12 1.4792%
B) Interés periódico Número de periodos Interés nominal
3.5233% 6 21.1398%
Tasa nominal Número de periodos Resultado tasa efectiva
21.1398% 6 23.0917%
Tasa efectiva Número de periodos Resultado tasa nominal
23.0917% 12 20.9568%
Interés nominal Número de periodos Interés periódico
20.9568% 12 1.7464%
Tasa efectiva Número de periodos Resultado tasa nominal
19.0000% 12 17.5220%
Interés nominal Número de periodos Interés periódico
17.5220% 12 1.4602%
Interés nominal e interés efectivo
Interés nominal e interés efectivo
Interés nominal e interés efectivo
Interés nominal e interés efectivo
Interés nominal e interés efectivo
Amortizaciones
Amortizar significa reducir gradualmente el saldo de una deuda mediante una serie depagos periódicos que contienen, además del pago de intereses, los abonos a capital.Un préstamo amortizable, tal como un crédito hipotecario o un crédito para automóvil, esun préstamo en el cual se reembolsa el principal a medida que se hacen los pagosperiódicos.
Amortizaciones
Amortizaciones
Anualidad
https://www.youtube.com/watch?v=a1KrccUO-2w
En general, se denomina anualidad a un conjunto de pagos iguales realizados a
intervalos iguales. Se conserva el nombre de anualidad por estar ya muy arraigado
en el tema, aunque no siempre se refieran a periodos anuales de pago. Algunos
ejemplos de anualidades son:
• Los pagos mensuales por renta.
• El cobro quincenal o semanal de sueldos.
• Los abonos mensuales a una cuenta de crédito.
• Los pagos anuales de primas de pólizas de seguro de vida.
Se conoce como intervalo o periodo de pago al tiempo que transcurre entre un
pago y otro, y se
denomina plazo de una anualidad al tiempo que pasa entre el inicio del primer
periodo de pago y el final del ultimo. Renta es el nombre que se da al pago
periódico que se hace.
Interés nominal e interés efectivoA. Juan negocio un crédito, con un pago final a 12 meses, de capital e intereses por
$6.000.000. Si ella decide hacer un abono, en el mes 4, de $2.000.000 y pagar el saldo en el mes 10, si la tasa de interés es del 2,0000 % mes vencido, ¿cuánto deberá pagar? Tome como fecha focal el mes 10 y recuerde elaborar el diagrama de flujo de caja.
Formula Manual Formula en Excel
0 4 10 12 meses
2000000 ? 6000000
Periodos 2
Valor futuro 6,000,000
Interés 2%Valor presente $5,767,012.69
Periodos 6
Valor presente 2,000,000
Interés 2%
Valor futuro $2,252,324.84
Valor por pagar $3,514,687.85
Interés nominal e interés efectivoB. Pedro ha sido compensado en su trabajo con una bonificación mensual consecutiva adicional al sueldo de $100.000, durante 36 meses, que solo podrá retirar hasta el final del plazo. Asimismo, se le reconocerá un interés del 13 % EA, sobre los abonos. ¿Cuál será el valor final que le entregará la empresa a Pedro?
Formula Manual Formula en Excel
Tasa efectiva Número de periodos Resultado tasa nominal
13.0000% 12 12.2842%
Interés nominal Número de periodos Interés periódico
12.2842% 12 1.0237%Pago (R) 100,000.00 Interés (i) 1.0237%
Periodo (n) 36
VF = ?=VF(i,n,-R,0)
=4,326,511.70
Gracias!