RETORNO A LOS PROBLEMAS UNIDIMENSIONALES Ahora que estamos más familiarizados con el formalismo matemático y el contenido físico de la mecánica cuántica, podemos investigar algunos resultados obtenidos en el capítulo I con más detalle. En los tres complementos que siguen, estudiaremos de una manera general las propiedades cuánticas de una partícula sujeta a un potencial escalar* de forma arbitraria, limitándonos por simplicidad a problemas unidimensionales. Trataremos los estados estacionarios ligados de una partícula, cuyas energías forman un espectro discreto (complemento MIII), y luego los estados no ligados correspondientes a un continuo de energía (complemento NIII). Además, examinaremos un caso especial el cual es muy importante debido a sus aplicaciones, particularmente en física del estado sólido, como de un potencial periódico (complemento OIII). Complemento MIII ESTADOS LIGADOS DE UNA PARTICULA EN UN POZO DE POTE NCIAL DE FORMA ARBITRARIA. 1. Cuantización de las energías de los estados ligados 2. Valor mínimo del estado fundamental En el complemento HI, estudiamos, para un caso especial (pozo cuadrado finito o infinito), los estados ligados de una partícula en un pozo de potencial. Derivamos ciertas propiedades de estos estados ligados: un espectro de energía discreto y una energía del estado fundamental más grande que la energía mínima clásica. Estas propiedades son, de hecho, generales, y tienen numerosas consecuencias físicas, como mostraremos en este complemento. Cuando la energía potencial de una partícula posee un mínimo (ver figura 1-a), se dice que la partícula está colocada en un pozo de potencial ** . Antes de estudiar cualitativamente los estados estacionarios de una partícula cuántica en tales pozos, recordemos el movimiento correspondiente a una partícula clásica. Cuando su energía Ecl se toma sobre el valor mínimo posible Ecl = -Vo (donde Vo es la profundidad del pozo), la partícula está sin movimiento en el punto Mo cuya abcisa es xo. en el caso donde 0o clV E− < < , la partícula oscila en el pozo, con una amplitud que se incrementa

con Ecl. Finalmente, cuando 0clE < , la partícula no permanece en el pozo, sino que se

mueve fuera hacia el infinito. Los “estados ligados” de la partícula clásica, por lo tanto, corresponden a los valores de energía negativa comprendidos entre oV− y 0.

* Los efectos de un potencial vectorial A serán estudiados mas tarde en el complemento EVI. ** La energía potencial, por supuesto, está solamente definida dentro de una constante. Por convención, establecemos el potencial igual a cero en el infinito.

Para una partícula cuántica la situación es muy diferente. Los estados de energía bien definidos son estados estacionarios cuyas funciones de onda ( )xϕ son soluciones de la ecuación de valores propios del Hamiltoniano H:

2

2( ) ( ) ( )

2

dV x x E x

m dxϕ ϕ

− + =

ℏ (1)

Tal ecuación diferencial de segundo orden tiene un número infinito de soluciones, cualquiera sea el valor escogido para E: si escogemos valores arbitrarios de ( )xϕ y sus derivadas en un punto dado, podemos obtener ϕ para cualquier otro valor de x. La ecuación (1) sola no puede, por lo tanto, restringir los valores posibles de energía. Sin embargo, mostraremos aquí que si, además, imponemos ciertas condiciones de frontera sobre ( )xϕ solamente cierto un número de valores de E permanecerán posibles (cuantización de niveles de energía). 1. Cuantización de las energías de los estados ligados Llamaremos “estados ligados de la partícula” estados cuyas funciones de onda

( )xϕ satisfacen la ecuación de valores propios (1) y son cuadráticamente integrables [indispensable si ( )xϕ es realmente para describir el estado físico de una partícula]. Estos son por lo tanto estados estacionarios, para los cuales la densidad de probabilidad

2( )xϕ se forma sobre valores no despreciables únicamente en una región limitada del

espacio [para 2

( )dx xϕ+∞

−∞∫ converge,

2( )xϕ debe aproximarse a cero suficientemente

rápido cuando x → ±∞ ]. Los estados ligados nos recuerdan del movimiento clásico donde la partícula oscila dentro del pozo sin ser capaz nunca de emerger (energía clE

negativa, pero más grande que oV ).

Veremos que en mecánica cuántica, el hecho de que se requiera que la función ( )xϕ sea cuadráticamente integrable implica que las energías posibles forman un conjunto discreto de valores los cuales están incluidos entre - oV y 0. Para entender esto,

retornemos al potencial mostrado en la figura 1-a. Por simplicidad, asumiremos que ( )V x es idénticamente igual a cero fuera del intervalo [ ]1 2,x x . Si 1x x< (región I),

( ) 0V x = , y la solución para la ecuación (1) puede escribirse inmediatamente: - Si E > 0: 1( ) ikx ikxx Ae A eϕ −′= + (2)

con:

2

2mEk =

ℏ (3)

- Si E < 0: 1( ) x xx Be B eρ ρϕ −′= + (4)

con:

2

2mEρ = −ℏ

(5)

Estamos buscando una solución cuadráticamente integrable; debemos por lo tanto eliminar la forma (2) en la cual ( )I xϕ es una superposición de ondas planas de módulo constante la cual

causa que la integral:

2

( )dx xϕ+∞

−∞∫ (6)

diverja. Solamente la posibilidad (4) se mantiene y obtenemos nuestro primer resultado: los estados ligados de la partícula todos tienen una energía negativa. En (4), no podemos retener el

termino en xe ρ− , el cual diverge cuando x → −∞ . Nos hemos quedado por lo tanto con:

( ) xI x eρϕ = si 1x x< (7)

[Hemos omitido el factor de proporcionalidad B desde que la homogeneidad de la ecuación (1) nos lleva a definir ( )xϕ sin un coeficiente multiplicativo].

El valor de ( )xϕ en el intervalo 1 2x x x< < (región II) es obtenido extendiendo ( )I xϕ : debemos

buscar la solución de la ecuación (1) la cual es igual a 1xeρ para 1x x= y cuya derivada en este

punto es igual a 1xeρρ . La función ( )II xϕ así obtenida depende de ρ y, porsupuesto, de la

expresión exacta para ( )V x . Sin embargo, desde que (1) es una ecuación diferencial de segundo

orden, ( )II xϕ es determinada únicamente por las condiciones de frontera precedentes; es además

real (lo cual nos capacita para trazar curvas tales como aquellas de la figura 1-b, 1-c y 1-d). Todo lo que ahora resta por ser el hecho es obtener la solución cuando 2x x> (región III); esta

solución puede escribirse:

( ) x xIII x Be B eρ ρϕ −′= +ɶ ɶ (8)

donde Bɶ y B′ɶ son constantes reales determinadas por las dos condiciones de continuidad para

( )xϕ y /d dxϕ en el punto 2x x= . Bɶ y B′ɶ dependen de ρ , también como de la función

( )V x . Hemos construido por lo tanto una solución de la ecuación (1), tal como la mostrada en la figura 1-b. ¿Es esta solución cuadráticamente integrable? Vemos de (8) que, en general, no lo es,

excepto cuando Bɶ es cero (este caso especial es mostrado en la figura 1-c). Ahora, para una

función ( )V x dada, Bɶ es una función de E a través del intermediario de ρ . Los únicos valores

de E para los cuales un estado ligado existe son por lo tanto soluciones de la ecuación ( )B Eɶ =

0. Estas soluciones 1 2, ,...E E (cf. Fig. 2) forman un espectro discreto el cual, por supuesto,

depende del potencial ( )V x escogido (veremos en la siguiente sección que todas las energías Ei

son más grandes que -0V ).

Así arribamos al siguiente resultado: los valores de energía de estado ligado posibles para una partícula colocada en un pozo de potencial de forma arbitraria forman un conjunto discreto (a menudo se dice que las energías de los estados ligados están cuantizadas). Este resultado puede ser comparado a la cuantización de los modos electromagnéticos en una cavidad. No hay analogía en mecánica clásica, donde, como hemos visto, todos los valores de energía incluidos entre - 0V y 0 son aceptables. En mecánica cuántica, el nivel de energía mas bajo 1E es llamado

estado fundamental, la energía del nivel 2E inmediatamente arriba, el primer estado excitado, el

siguiente nivel de energía 3E , el segundo nivel excitado, etc. El siguiente diagrama esquemático

es asociado a menudo con cada uno de estos estados: el interior del pozo de potencial representa ( )V x , una línea horizontal es dibujada cuya posición vertical corresponde a la energía del

estado y cuya longitud da una idea de la extensión espacial de la función de onda (esta

línea realmente cubre los puntos de las abcisas las cuales deberían ser rechazadas por una partícula clásica de la misma energía). Para el conjunto de niveles de energía, obtenemos un diagrama esquemático del tipo mostrado en la figura 3. Como vimos en el capítulo I, el fenómeno de la cuantización de la energía fue uno de los factores que condujeron a la introducción de la mecánica cuántica. Los niveles de energía discretos aparecen en muy largo número de sistemas físicos: átomos (cf. cap VII, átomo de hidrogeno), el oscilador armónico (cf. cap V), núcleos atómicos, etc.

2. Valor mínimo de la energía del estado fundamental En esta sección mostraremos que las energías 1 2, ,E E etc,…son todas más grandes que el

mínimo valor - 0V de la energía potencial ( )V x . Veremos entonces como este resultado puede

ser fácilmente entendido usando la relación de incertidumbre de Heisemberg. Si ( )xϕ es una solución de (1), obtenemos, multiplicando esta ecuación por * ( )xϕ e integrando la relación así obtenida:

2 22 2*

2( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2

ddx x x dxV x x E dx x

m dxϕ ϕ ϕ ϕ

+∞ +∞ +∞

−∞ −∞ −∞

− + =∫ ∫ ∫ℏ

(9)

Para un estado confinado, la función ( )xϕ puede ser normalizada, y la ecuación (9) puede entonces escribirse simplemente:

E T V= + (10)

con:

22 2 2

*2

( ) ( ) ( )2 2

d dT dx x x dx x

m dx m dxϕ ϕ ϕ

+∞ +∞

−∞ −∞

= − =∫ ∫ℏ ℏ

(11)

[donde hemos realizado una integración por partes y usado el hecho de que ( )xϕ va a

cero cuando x → ∞ ] y:

2

( ) ( )V dxV x xϕ+∞

−∞

= ∫ (12)

La relación (10) muestra simplemente que E es la suma del valor medio de la energía cinética:

2

2

PT

mϕ ϕ= (13)

y como de la energía potencial:

( )V V Xϕ ϕ= (14)

De las relaciones (11) y (12), se sigue inmediatamente que: 0T > (15)

2

0 0( ) ( )V dx V x Vϕ+∞

−∞

≥ − = −∫ (16)

Consecuentemente: 0E T V V V= + > ≥ − (17)

Desde que E es negativa, como mostramos en 1∫� , vemos que, como en mecánica clásica, las energías del estado confinado, están siempre entre - 0V y 0.

Allí existe, sin embargo, una diferencia importante entre las situaciones clásica y cuántica: mientras que, en mecánica clásica, la partícula puede tener una energía igual a - 0V (caso de una

partícula en reposo en 0M ) o ligeramente más grande que -0V (caso de pequeñas oscilaciones),

lo mismo no es verdad en mecánica cuántica, donde la energía más baja posible es la energía 1E

del estado fundamental, la cual es necesariamente más grande que -0V (cf. Fig. 3). Las

relaciones de incertidumbre de Heisemberg nos capacitan para entender el origen físico de este resultado, como mostraremos ahora. Si tratamos de construir un estado de la partícula para el cual la energía potencial media es tan pequeña como sea posible, vemos de (12) que debemos escoger una función de onda la cual está prácticamente localizada en el punto 0M . La desviación media cuadrática X∆ es entonces muy

pequeña, de modo que P∆ es necesariamente muy grande. Desde que:

22 2 2( ) ( )P P P P= ∆ + ≥ ∆ (18)

la energía cinética 2 / 2T P m= es luego también muy grande. Por lo tanto, si la

energía potencial de la partícula se aproxima a su mínimo, la energía cinética se incrementa sin límite. La función de onda del estado fundamental corresponde a un compromiso, para el cual la suma de estas dos energías es un mínimo. El estado fundamental de la partícula cuántica esta así caracterizado por una función de onda la cual tiene una cierta extensión espacial (cf. Fig. 3), y su energía es necesariamente más grande que - 0V . Distinta la situación en mecánica clásica, allí no existen los estados bien

definidos de energía de la mecánica cuántica donde la partícula está “en reposo” en el fondo del pozo de potencial. COMENTARIO: Desde que la energía de los estados confinados está incluida entre - 0V y 0, tales estados pueden

existir solamente si el potencial ( )V x se toma sobre valores negativos en una o varias regiones del eje x. Esto es el por qué hemos escogido para este complemento un “pozo” de potencial como el mostrado en la figura 1-a (mientras, en el siguiente complemento, no nos limitaremos al caso de un pozo de potencial). Sin embargo, no hay nada que prevenga que ( )V x sea positivo para ciertos valores de x; por ejemplo, el pozo puede estar rodeado por “barreras” de potencial como se muestra en la figura 4 (siempre asumiremos que el potencial sea cero en el infinito). En este caso, ciertos movimientos clásicos de energía positiva permanecen confinados, mientras que en mecánica cuántica, el mismo razonamiento de arriba muestra que los estados confinados siempre tienen una energía entre - 0V y 0. Físicamente, esta diferencia surge del hecho de que una barrera de potencial de

altura finita no es nunca capaz de hacer que una partícula cuántica retorne completamente: la partícula tiene una probabilidad diferente de cero de atravesar por el efecto túnel.

JMA-UNPRG LAMBAYEQUE-PERU