mecanica y ondas tema 6 - ucm
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MECANICA Y ONDAS
Tema 6
II
Indice general
6. Ecuaciones de Lagrange de tipo II. Sistemas lagrangianos 16.1. Coordenadas generalizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
6.1.1. Ecuaciones de Lagrange para sistemas holonomos conservativos . . . . . . 46.1.2. Ecuaciones de Lagrange para sistemas no holonomos . . . . . . . . . . . . 4
6.2. Propiedades de la funcion lagrangiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76.2.1. Invariancia por cambios de coordenadas generalizados . . . . . . . . . . . 76.2.2. Hessiano de un sistema lagrangiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86.2.3. Traslacion temporal del lagrangiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96.2.4. Traslaciones espaciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106.2.5. Coordenadas cıclicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116.2.6. Conservacion del momento angular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
6.3. Resolucion de las ecuaciones de Lagrange de tipo II . . . . . . . . . . . . . . . . . 136.3.1. Deslizamiento en una cicloide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156.3.2. El pendulo de resorte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
6.4. La funcion lagrangiana para vibraciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196.5. El principio de Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206.6. Teorema de Noether. Simetrıas de Noether . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236.7. La condicion de simetrıa en terminos de X [1] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286.8. Algebra de Lie de simetrıas puntuales y de Noether . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
6.8.1. Simetrıas de Noether y el grupo de Galileo . . . . . . . . . . . . . . . . . 326.9. Ambiguedades del formalismo lagrangiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336.10. Ecuaciones canonicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386.11. Coordenadas cıclicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406.12. Determinacion del hamiltoniano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
6.12.1. Oscilador armonico N -dimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416.12.2. Fuerza central en el plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 426.12.3. El problema de Kepler (en tres dimensiones) . . . . . . . . . . . . . . . . 426.12.4. Lagrangiano dependiente del tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
6.13. El corchete de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 436.14. Transformaciones canonicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446.15. La ecuacion de Hamilton-Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
III
IV INDICE GENERAL
Capıtulo 6
Ecuaciones de Lagrange de tipo II.Sistemas lagrangianos
Las ecuaciones de Lagrange de tipo I, pese a su importancia conceptual, no constituyen siemprela tactica optima para resolver las ecuaciones del movimiento de un sistema de masas puntualessujeto a multiples ligaduras. Aun en situaciones donde el numero de partıculas no es excesivo,el numero de ecuaciones a resolver ya es considerable. Otra dificultad, de orden computacional,reside en determinar y despejar adecuadamente los multiplicadores de Lagrange. Mediante laintroduccion de coordenadas generalizadas, correspondientes a una referencia adaptada al pro-blema concreto y las ligaduras existentes1, establecemos nuevas ecuaciones del movimiento demodo que las ligaduras y sus fuerzas asociadas ya no aparezcan. Este formalismo nos lleva a lanocion de funcion lagrangiana del sistema y las ecuaciones de Lagrange de segunda especie otipo II.
6.1. Coordenadas generalizadas
Como se ha puesto de manifiesto con anterioridad, una correcta eleccion de coordenadas ayuda,en la mayorıa de los casos, a resolver o simplificar significativamente un problema. Introducimos acontinuacion las coordenadas generalizadas, el primero de los pasos para describir las ecuacionesdel movimiento de una forma mas eficiente.
Supongamos dado un sistema de N partıculas sujetas a r ligaduras holonomas
gα (t, xk) = 0, α = 1, · · · r; k = 1, · · · , 3N. (6.1.1)
Un sistema de este tipo tiene exactamente f = 3N − r grados de libertad. Se observa por tan-to que una referencia cartesiana es inadecuada, al emplear mas variables de las estrictamentenecesarias. Buscamos una nueva referencia consistente en f coordenadas {q1, · · · , qf} que des-criban completamente el movimiento del sistema, pero que no esten sujetas a ligaduras. Estascoordenadas, que llamaremos generalizadas, pueden adoptar un significado fısico concreto, ta-les como distancia, inclinacion, angulo, momento, entropıa, accion, etc. Intuitivamente, elegir
1Formalmente, esta correspondencia entre coordenadas generalizadas y grados de libertad solo es valida para liga-duras holonomas.
1
2 6.1. COORDENADAS GENERALIZADAS
coordenadas generalizadas consiste es considerar una referencia optima adaptada al sistema con-creto, donde las diferentes coordenadas estan ajustadas a las distintas magnitudes fısicas que seesten considerando.2 En multitud de ejemplos vistos en secciones anteriores hemos considerado,implıcitamente, una referencia formada por coordenadas generalizadas.Las coordenadas {x1, · · · , x3N} de partida pueden expresarse en funcion de {q1, · · · , qf}
xj = xj (t, q1, · · · , qf ) , 1 ≤ j ≤ 3N. (6.1.2)
Calculamos los desplazamientos virtuales de estas ecuaciones
δ xj =
f∑k=1
∂xj∂qk
δqk, (6.1.3)
ası como las velocidades correspondientes
xj =∂xj∂t
+
f∑k=1
∂xj∂qk
qk, (6.1.4)
y aplicando el principio de D’Alembert (??) visto anteriormente, obtenemos
3N∑j=1
(mj xj − Fj) δxj =3N∑j=1
(mj xj − Fj)f∑k=1
∂xj∂qk
δqk = 0. (6.1.5)
Para simplificar esta formula, tengamos en cuenta el termino cinetico del sistema
T =1
2
3N∑j=1
mj x2j . (6.1.6)
Usando (6.1.4), es inmediato comprobar que para cada k se verifica
∂T
∂qk=
3N∑j=1
mj xj∂xj∂qk
=3N∑j=1
mj xj∂xj∂qk
, (6.1.7)
con lo cual
d
dt
(∂T
∂qk
)=
3N∑j=1
mj
(xj∂xj∂qk
+ xjd
dt
(∂xj∂qk
)). (6.1.8)
Dado que
d
dt
(∂xj∂qk
)=
∂2xj∂t ∂qk
+
f∑l=1
∂2xj∂ql∂qk
ql =∂
∂qk
(∂xj∂t
+
f∑l=1
∂xj∂ql
ql
)=∂xj∂qk
, (6.1.9)
un sencillo calculo demuestra que
d
dt
(∂T
∂qk
)=
3N∑j=1
mj xj∂xj∂qk
+∂T
∂qk. (6.1.10)
2Debe observarse que, segun este principio, las coordenadas generalizadas no estan unıvocamente determinadas.
3
Haciendo la sustitucion pertinente en (6.1.5) obtenemos
f∑k=1
d
dt
(∂T
∂qk
)− ∂T
∂qk−
3N∑j=1
Fj∂xj∂qk
δqk = 0. (6.1.11)
Puesto que las coordenadas generalizadas qk no estan sujetas a ligaduras, para cada k = 1, · · · , f,los coeficientes de la expresion anterior deben anularse. Definiendo la suma
3n0∑a=1
Fa∂xa∂qk
= Qk (6.1.12)
como fuerza generalizada,3 las componentes anteriores dan lugar al sistema de ecuaciones
d
dt
(∂T
∂qk
)− ∂T
∂qk= Qk, 1 ≤ k ≤ f. (6.1.13)
Estas son ecuaciones del movimiento cuyas coordenadas ya no dependen explıcitamente de lasligaduras,4 y que no dependen de una eleccion particular de coordenadas generalizadas. Tecni-camente las ecuaciones (6.1.13) pueden llamarse ecuaciones de Lagrange de tipo II del sistema,aunque generalmente esta terminologıa queda reservada para el caso de sistemas conservativos.
Las ecuaciones (6.1.13) admiten una expresion equivalente. Partiendo de la identidad
d T
dt=∂T
∂t+
f∑l=1
(∂T
∂qlql +
∂T
∂qlql
)(6.1.14)
y tomando la derivada parcial con respecto a qj obtenemos
∂
∂qj
(d T
dt
)=
∂2T
∂t∂qj+∂T
∂qj+
f∑l=1
(∂2T
∂ql∂qjql +
∂2T
∂ql∂qjql
)
=∂
∂t
(∂T
∂qj
)+∂T
∂qj+
∂
∂qj
f∑l=1
(∂T
∂qlql +
∂T
∂qlql
)=
d
dt
(∂T
∂qj
)+∂T
∂qj. (6.1.15)
Sustituyendo esta expresion en (6.1.13), se obtienen las relaciones
∂
∂qj
(d T
dt
)− 2
∂T
∂qj= Qj , 1 ≤ j ≤ f. (6.1.16)
Este sistema recibe el nombre de forma de Nielsen de las ecuaciones del movimiento.
3Advertimos no obstante que las Qk no tienen porque tener forzosamente la dimension de una fuerza, ası como lasqk no tienen necesariamente la dimension de una longitud. De ahı que se llamen generalizadas. La condicion que sıdebe darse es que Qkδqk debe tener la dimension de un trabajo.
4Recordemos que las ligaduras se han tomado holonomas. Esta afirmacion deja de ser cierta en el caso no holonomo,aunque no constituya una obstruccion seria en la practica.
4 6.1. COORDENADAS GENERALIZADAS
6.1.1. Ecuaciones de Lagrange para sistemas holonomos conservativos
La identidad (6.1.13) tiene validez para sistemas holonomos arbitrarios. No obstante, para elcaso de sistemas conservativos, estas ecuaciones pueden condensarse aun mas, anadiendo unasimplificacion adicional. Supongamos que las fuerzas externas F que actuan sobre el sistemaadmiten una funcion potencial U (x1, · · · , x3N ) de modo que
Fj = − ∂U∂xj
, 1 ≤ j ≤ 3N. (6.1.17)
De (6.1.12) deducimos que las fuerzas pueden expresarse en terminos de las derivadas parcialesdel potencial con respecto a las coordenadas generalizadas
Qk =
3N∑j=1
Fj∂xj∂qk
= −3N∑j=1
∂U
∂xj
∂xj∂qk
= − ∂U∂qk
. (6.1.18)
Insertando esta ultima expresion en las ecuaciones del movimiento (6.1.13) resulta
d
dt
(∂ (T − U)
∂qk
)− ∂
∂qk(T − U) = 0, 1 ≤ k ≤ f. (6.1.19)
Estas ecuaciones suponen un refinamiento cualitativo de las ecuaciones (6.1.13), dado que nospermiten deducir las ecuaciones del movimiento a partir de una sola funcion que fısicamentecorresponde a la diferencia de las energıas cinetica y potencial del sistema. La funcion L = T −Use llama lagrangiano del sistema, y decimos que (6.1.19) son las ecuaciones de Lagrange de tipoII del sistema. Con esta terminologıa, las ecuaciones del movimiento son simplemente
d
dt
(∂ L
∂qk
)− ∂L
∂qk= 0, 1 ≤ k ≤ f. (6.1.20)
La formula anterior codifica un sistema de f ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden,exenta de ligaduras. Estas ecuaciones no dependen de la eleccion de coordenadas generalizadasrealizada. Es importante recordar que la expresion (6.1.20) de las ecuaciones del movimientosolo es valida para sistemas holonomos y conservativos.5
En la siguiente tabla presentamos, en terminos de coordenadas generalizadas, la expresion dela funcion lagrangiana para algunos de los sistemas holonomos y conservativos ya estudiados enlas secciones anteriores mediante el enfoque directo, ası como de otros sistemas lagrangianos quepueden ser considerados representativos de la teorıa.
6.1.2. Ecuaciones de Lagrange para sistemas no holonomos
Establecemos en este apartado las ecuaciones de Lagrange de tipo II para sistemas cuyas liga-duras no holonomas pueden describirse mediante r formas diferenciales independientes del tipoanalizado en la ecuacion (??). Formalmente, el resultado es parecido al caso holonomo, con laimportante diferencia que, en el caso no holonomo, las coordenadas generalizadas siguen estandoligadas entre sı.6
5Comparense estas ecuaciones con las deducidas en el capıtulo 2 para sistemas unidimensionales, en el contexto delteorema de Euler-Lagrange.
6Se recomienda comparar este paragrafo con los resultados del capıtulo anterior.
5
Cuadro 6.1: Lagrangianos de algunos sistemas comunes(a)
Sistema Lagrangiano
Movimiento unidimensional L = m2 q
2 − U (q)
Oscilador armonico L = m2 q
2 − k2q
2
Pendulo matematico L = m2 l
2ϕ2 +mgl cosϕ
Osciladores acoplados de masa m L = m2
(q21 + q22
)− k0
2
(q21 + q22
)− k
2 (q1 − q2)2
Deslizamiento libre en una cicloide L = am(a (1− cos θ) θ2 − g (1 + cos θ)
)Caıda libre L = m
2
(q21 + q22 + q23
)−mg q3
Oscilador armonico tridimensional L =∑3
i=1
(m2 q
2i − k
2q2i
)Movimiento en campos centrales L = m
2
(ρ2 + ρ2θ2
)− U (ρ)
Movimiento planetario L = m2
(ρ2 + ρ2θ2 + ρ2ξ2 sin2 θ
)+ γmM
ρ
Campo con dos centros (±x, 0) L = m2
(q21 + q22
)− C1√
(q1−x)2+q22− C2√
(q1+x)2+q22
Pendulo de resorte L = m2
(ρ2 + ρ2θ2
)+mgρ cos θ − k
2 (ρ− l)2
Movimiento en una superficie de L = m2
((1 + f ′ (z)2
)z2 + f2 (z) θ2
)− U (z)
revolucion ρ = f (z)Movimiento libre en una superficie S L = E(u, v) u2 + 2F (u, v) u v +G(u, v) v2
Movimiento libre en una variedad L =∑N
k=1 gij(q)q2k
(a)Algunos de estos sistemas se trataran con detalle en el texto.
Sin perdidad de generalidad podemos suponer que el sistema esta descrito por n coordenadasgeneralizadas {q1, · · · , qn} adaptadas a las posibles ligaduras holonomas del sistema.7 Sin con-siderar aun las ligaduras no holonomas, las ecuaciones del movimiento en esta referencia serıan
d
dt
(∂T
∂qj
)− ∂T
∂qj= Qj , 1 ≤ j ≤ n. (6.1.21)
Las ligaduras no holonomas que consideramos son formas diferenciales independientes del tipon∑j=1
Akj d qj +Bkd t = 0, 1 ≤ k ≤ r. (6.1.22)
Como consecuencia de estas condiciones, los desplazamientos virtuales δqj ya no son indepen-dientes, debido a la relacion lineal en los desplazamientos δqj :
n∑j=1
Akjδqj = 0, 1 ≤ k ≤ r. (6.1.23)
Introducimos ahora multiplicadores de Lagrange λ1, · · · , λr, de modo que
λk
n∑j=1
Akjδqj = 0, 1 ≤ k ≤ r. (6.1.24)
7De no haber tales ligaduras, las coordenadas generalizadas coinciden con las coordenadas xi de partida.
6 6.1. COORDENADAS GENERALIZADAS
Si ahora aplicamos el principio de D’Alembert e introducimos la suma anterior en las ecuacionesdel movimiento, obtenemos la suma siguiente
n∑j=1
(d
dt
(∂T
∂qj
)− ∂T
∂qj−Qk −
r∑k=1
λkAkj
)δqj = 0. (6.1.25)
Formalmente, estamos en la misma situacion que en la ecuacion (??). Manipulando adecuada-mente las funciones λk y los desplazamientos δqk independientes, deducimos las n ecuaciones deLagrange para el sistema no holonomo
d
dt
(∂T
∂qj
)− ∂T
∂qj−Qj −
r∑k=1
λkAkj = 0, 1 ≤ k ≤ n, (6.1.26)
a las que hay que anadir las ligaduras (6.1.22), totalizando n+ r ecuaciones para n+ r funcionesindeterminadas.Para el caso especial de sistemas conservativos, las ecuaciones se simplifican de la forma siguiente
d
dt
(∂L
∂qj
)− ∂L
∂qj−
r∑k=1
λkAkj = 0, 1 ≤ k ≤ n, (6.1.27)
donde las formas diferenciales (6.1.22) de las ligaduras permanecen inalteradas.
Nota: La ultima ecuacion expresa de forma concisa que las ligaduras no son integrables, en elsentido de que, manipulando estas ecuaciones, no puede encontrarse una funcion L (t,q) quelas comprima, haciendo desaparecer las condiciones de ligadura (6.1.22). La razon principalde esta imposibilidad se basa en la derivacion de la funcion lagrangiana a partir de principiosvariacionales (o bien del llamado principio de Hamilton, que se estudiara mas adelante).
Ecuaciones de Maggi de un sistema no holonomo. En las mismas hipotesis que en el apartadoanterior, presentamos una variante para obtener las ecuaciones del movimiento que no utilizan losmultiplicadores de Lagrange. En lugar de introducir estas funciones en la ecuacion (6.1.23), lo quenos conlleva posteriormente a distinguir los desplazamientos δqk dependientes e independientes,procedemos de la forma siguiente: Para cada 1 ≤ j ≤ n expresamos δqj como una funcion linealde n− r parametros arbitrarios δξ1, · · · , δξn−r
δqj =n−r∑l=1
ηjl (t,q) δξl. (6.1.28)
Eliminando estos parametros δξl recuperamos nuevamente la relacion (6.1.23). Si aplicamosahora el principio de D’Alembert, que podemos suponer en la forma
n∑j=1
(d
dt
(∂T
∂qj
)− ∂T
∂qj−Qj
)δqj (6.1.29)
en virtud de las consideraciones anteriores, e introduciendo los desplazamientos infinitesimalesδqj en la forma (6.1.28), llegamos a un doble suma del tipo
n−r∑l=1
n∑j=1
(d
dt
(∂T
∂qj
)− ∂T
∂qj−Qj
)ηjl
δξl = 0. (6.1.30)
7
Como δξ1, · · · , δξn−r pueden elegirse libremente (son independientes), podemos anular consecu-tivamente todos los terminos de la suma anterior, que dan lugar al sistema
n∑j=1
(d
dt
(∂T
∂qj
)− ∂T
∂qj
)ηjl =
n∑j=1
Qjηjl, 1 ≤ l ≤ n− r, (6.1.31)
que constituye las llamadas ecuaciones de Maggi del sistema. A estas hay que anadirles, comosiempre, las ecuaciones de las ligaduras (6.1.22).
6.2. Sistemas lagrangianos. Propiedades de la funcion lagrangiana.Leyes de conservacion
Mediante la introduccion de las ecuaciones de Lagrange de tipo II de un sistema hemos logradouna simplificacion formal de las ecuaciones del movimiento, lo que, en particular para el casoholonomo y conservativo, ayuda a determinar las ecuaciones del movimiento a partir de lasenergıas cinetica y potencial. Es por tanto natural suponer que la expresion de las leyes deconservacion vistas en secciones anteriores tambien podran presentarse de manera mas eficientehaciendo uso de este enfoque. Al margen de esto, la funcion lagrangiana L tiene particularidadesinteresantes que nos permitiran relacionar leyes de conservacion y propiedades de simetrıa delsistema.Salvo que se diga explıcitamente lo contrario, supondremos que el sistema es holonomo, es decir,que las ecuaciones del movimiento del mismo vienen dadas por (6.1.13).8
6.2.1. Invariancia por cambios de coordenadas generalizados
Supongamos que las coordenadas generalizadas {q1, · · · , qn} de un sistema se transforman delmodo
qj = qj(t, q′j
), 1 ≤ j ≤ n, (6.2.1)
donde el jacobiano no es nulo:
J = det
(∂qj∂q′l
)6= 0. (6.2.2)
La derivada temporal de las coordenadas llevan a la relacion
qj =∂qj∂t
+n∑l=1
∂qj∂q′l
q′l ⇒ ∂qj∂q′l
=∂qj∂q′l
. (6.2.3)
Por otra parte,
d
d t
(∂qj∂q′l
)=
∂2qj∂t ∂q′l
+n∑s=1
∂2qj∂q′s∂q
′l
q′s =∂qj∂q′l
. (6.2.4)
8Para los sistemas no holonomos algunas de las propiedades siguen siendo validas, aunque ciertas caracterısticasimportantes difieren como consecuencia de los terminos de correccion. Recomendamos los textos [3, 12] para untratamiento exhaustivo del tema.
8 6.2. PROPIEDADES DE LA FUNCION LAGRANGIANA
Para la energıa cinetica T se verifica, dado que ∂qk∂q′l
= 0
d
d t
(∂T
∂q′l
)=
d
d t
(n∑k=1
∂T
∂qk
∂qk∂q′l
)=
n∑k=1
{d
d t
(∂T
∂qk
)∂qk∂q′l
+∂T
∂qk
d
d t
(∂qk∂q′l
)}(6.2.5)
=n∑k=1
d
d t
(∂T
∂qk
)∂qk∂q′l
+∂T
∂qk
∂qk∂q′l
,
en virtud de las igualdades (6.2.3) y (6.2.4). Analogamente,
∂T
∂q′l=
n∑k=1
(∂T
∂qk
∂qk∂q′l
+∂T
∂qk
∂qk∂q′l
). (6.2.6)
Tomando la diferencia de las ecuaciones (6.2.5) y (6.2.6) resulta
d
d t
(∂T
∂q′l
)− ∂T
∂q′l=
n∑k=1
(d
d t
(∂T
∂qk
)∂qk∂q′l− ∂T
∂qk
∂qk∂q′l
)=
n∑k=1
Qk∂qk∂q′l
. (6.2.7)
De la definicion de las fuerzas Qk (vease la ecuacion (6.1.12)) se tiene ademas que
Qk∂qk∂q′l
=n∑p=1
Fp∂rp∂qk
∂qk∂q′l
=n∑p=1
Fp∂rp∂q′l
= Q′l, (6.2.8)
lo que termina de demostrar que en la nueva referencia {q′1, · · · , q′n}, las ecuaciones del movi-miento son
d
d t
(∂T
∂q′l
)− ∂T
∂q′l= Q′l. (6.2.9)
En consecuencia, las ecuaciones del sistema no dependen de la eleccion particular de coordenadasgeneralizadas, como hemos comentado con anterioridad.9 Por otra parte, ponen de manifiestolos elementos esenciales para el analisis del sistema: la energıa cinetica T , ası como las fuerzasgeneralizadas Qk dadas por las componentes lagrangianas.
Equivalencia dinamica: Si dos sistemas dan lugar a las mismas expresiones para la energıacinetica y las componentes lagrangianas Qk, decimos que son dinamicamente equivalentes.
6.2.2. Hessiano de un sistema lagrangiano
Dado que las ecuaciones del movimiento constituyen un sistema de ecuaciones diferencialesordinarias de segundo orden, vemos de (6.2.9) que la dependencia en las derivadas qj es a losumo lineal. Por tanto, la energıa cinetica T es una funcion que depende a lo sumo de las variables
t, q y q. Desarrollando el termino dd t
(∂T∂qk
)tenemos, para cada 1 ≤ k ≤ n:
d
d t
(∂T
∂qk
)=
∂2T
∂t ∂qk+
n∑j=1
(∂2T
∂qk∂qjqj +
∂2T
∂qk∂qjqj
). (6.2.10)
9En este sentido, las ecuaciones del movimiento se expresan de manera covariante. La covariancia es uno de objetivosprincipales en la descripcion de las leyes fısicas.
9
Introduciendo esta relacion en las ecuaciones (6.1.13), se comprueba sin dificultad que
n∑j=1
∂2T
∂qk∂qjqj =
∂T
∂qk− ∂2T
∂t ∂qk−
n∑j=1
∂2T
∂qk∂qjqj +Qk. (6.2.11)
Con el fin de escribir estas ecuaciones en forma normal, es decir
qj = Φj (t,q, q) , (6.2.12)
es forzoso que el hessiano sea no nulo:10
det
(∂2T
∂qk∂qj
)6= 0. (6.2.13)
Para ello, desarrollamos el termino cinetico
T =1
2
n∑k=1
mi ri · ri =1
2
n∑k=1
mi
(n∑l=1
∂ri∂ql
ql
)·
(n∑s=1
∂ri∂qs
qs
)=
1
2
n∑k=1
(n∑i=1
mi∂ri∂ql
∂ri∂qs
)qlqs.
(6.2.14)Llamando
als =n∑i=1
mi∂ri∂ql
∂ri∂qs
, (6.2.15)
vemos que se trata de funciones simetricas, es decir, als = asl, dado que las componentes provie-nen del producto escalar de los operadores gradiente de los vectores de posicion. En consecuencia
∂2T
∂ql∂qs=
∂
∂qs
(n∑k=1
alkqk
)=
∂
∂ql
(n∑k=1
aksqk
)= als. (6.2.16)
De ello se deduce de forma rutinaria la relacion (6.2.13).11
6.2.3. Traslacion temporal del lagrangiano
Para los sistemas holonomos, la funcion lagrangiana L basta para comprobar si para el sistemala energıa es una cantidad conservada. Segun las ecuaciones (6.1.20), para un sistema con ngrados de libertad, la funcion L = T − U depende solamente del tiempo t, las coordenadasgeneralizadas q1, · · · , qn y sus derivadas temporales q1, · · · , qn. Si tomamos la derivada totalrespecto del tiempo, de las ecuaciones de Lagrange resulta la identidad
dL
d t=∂L
∂t+
n∑k=1
(∂L
∂qkqk +
∂L
∂qkqk
)=∂L
∂t+
n∑k=1
(qk
d
d t
∂L
∂qk+∂L
∂qkqk
). (6.2.17)
10Se dice en esta situacion que el lagrangiano L es regular. No obstante, existen sistemas para los cuales estacondicion no esta globalmente garantizada.
11Cabe notar que se esta empleando, de forma implıcita, la regla de Schwarz del analisis, segun la cual se verifican
∂2T
∂qs∂ql=
∂2T
∂ql∂qs, 1 ≤ l, s ≤ n.
10 6.2. PROPIEDADES DE LA FUNCION LAGRANGIANA
Es facil ver que el ultimo termino puede expresarse a su vez como una derivada temporal, dadoque, para cada k,
qkd
d t
∂L
∂qk+∂L
∂qkqk =
d
d t
(qk∂L
∂qk
). (6.2.18)
Descartando los terminos nulos, esto permite reformular (6.2.17) como
dL
d t−
n∑k=1
d
d t
(qk∂L
∂qk
)=
d
d t
(L−
n∑k=1
qk∂L
∂qk
)=∂L
∂t. (6.2.19)
Esta expresion permite reconocer bajo que condiciones obtenemos una ley de conservacion: enefecto, si el sistema es escleronomo, entonces el lagrangiano no depende del tiempo, y por tantose verifica la identidad
d
d t
(L−
n∑k=1
qk∂L
∂qk
)= 0. (6.2.20)
Ahora bien, puesto que la energıa cinetica T es una funcion homogenea de segundo grado en lascoordenadas qk,
12 del teorema de Euler para funciones homogeneas obtenemos que
n∑k=1
qk∂L
∂qk= 2T. (6.2.21)
Siendo L = T − U , la ecuacion (6.2.20) postula que
− d
d t(T + U) = 0, (6.2.22)
es decir, la energıa total E = T +U no varıa temporalmente, por lo que se conserva. Establece-mos en consecuencia que si el lagrangiano L es invariante por una traslacion temporal, entoncesla energıa del sistema se conserva. Este resultado esta en perfecto acuerdo con las observacionesrealizadas en secciones anteriores, mediante el metodo directo de las ecuaciones del movimien-to para sistemas conservativos. La importancia de (6.2.22) estriba en el hecho de que sea laconsecuencia de una simetrıa del sistema.13
6.2.4. Traslaciones espaciales
Para un sistema holonomo conservativo exento de ligaduras y fuerzas externas, el lagrangianoL del sistema adopta la estructura simplificada
L =1
2
N∑j=1
mj rj · rj +∑i<j
Uij (‖ri − rj‖) , (6.2.23)
donde para cada i se tiene ri = (xi, yi, zi). Consideremos un vector fijo u ∈ A3 y sea ε→ 0 unacantidad infinitesimal. Llamamos traslacion infinitesimal de ri a la transformacion
r′i = ri + εu, 1 ≤ i ≤ N. (6.2.24)
12Esto se deduce de forma inmediata de (6.2.14).13Profundizaremos en esta relacion al hablar del hamiltoniano de un sistema y su relacion con el lagrangiano.
11
Si comparamos L antes y despues de esta transformacion, observamos que
L(t, r′i, r
′i
)− L (t, ri, ri) = 0, (6.2.25)
por lo que L es invariante por traslaciones espaciales. Para una funcion arbitraria F (t, ri, ri), lacomparacion entre el estado inicial y el transformado proporciona la relacion
L(t, r′i, r
′i
)− L (t, ri, ri) = ε u1
n∑j=1
∂F
∂xi
+ ε u2
n∑j=1
∂F
∂yi
+ ε u3
n∑j=1
∂F
∂zi
, (6.2.26)
donde hemos expresado L (t, r′i, r′i) como desarrollo en una serie de Taylor. Dado que la ultima
expresion es totalmente general, para el lagrangiano particular (6.2.23) debe verificarse
ε u1
n∑j=1
∂L
∂xi
+ ε u2
n∑j=1
∂L
∂yi
+ ε u3
n∑j=1
∂L
∂zi
= 0. (6.2.27)
Como las componentes u1, u2 y u3 son arbitrarias, los coeficientes han de ser forzosamente nulos.Usando las ecuaciones de Lagrange tenemos por tanto las identidades
n∑j=1
∂L
∂xi=
d
d t
n∑j=1
∂L
∂xi
= 0,n∑j=1
∂L
∂yi=
d
d t
n∑j=1
∂L
∂yi
= 0,n∑j=1
∂L
∂zi=
d
d t
n∑j=1
∂L
∂zi
= 0.
(6.2.28)Recordando la nocion de centro de masas (vease la ecuacion (??)), resulta de (6.2.28) que lascomponentes del momento lineal total son una cantidad conservada, es decir, que el momentolineal total M s del sistema se conserva.En otras palabras, hemos establecido que el momento lineal total de un sistema se conserva siuna traslacion espacial es una simetrıa del sistema (lo que quiere decir que el lagrangiano esinvariante por tal traslacion).
6.2.5. Coordenadas cıclicas
Entendemos por coordenada cıclica de una funcion lagrangiana L a toda coordenada generalizadaqs tal que
∂L
∂qs= 0. (6.2.29)
Puede demostrarse que la aparicion de coordenadas cıclicas esta siempre asociada a una ciertasimetrıa del sistema, lo que permite, al menos formalmente, obtener una referencia optima quetenga en cuenta todas las propiedades de simetrıa del sistema dado. Una de las consecuenciasinmediatas de las coordenadas cıclicas es la posibilidad de reducir el orden del sistema de ecua-ciones del movimiento.14
Con el fin de ilustrar esta idea, supongamos un sistema holonomo conservativo descrito por el
14Historicamente, en el marco de las ecuaciones separables, esta propiedad es una de las motivaciones que impulsaronel desarrollo del formalismo hamiltoniano, que veremos mas tarde.
12 6.2. PROPIEDADES DE LA FUNCION LAGRANGIANA
lagrangiano L, y donde las coordenadas generalizadas {q1, · · · , qn} se han ordenado de tal formaque las ecuaciones de Lagrange son
d
d t
(∂L
∂qj
)= 0, 1 ≤ j ≤ r0 (6.2.30)
d
d t
(∂L
∂qj
)− ∂L
∂qj= 0, r0 + 1 ≤ j ≤ n (6.2.31)
De la primera ecuacion se siguen las r0 integrales primeras
∂L
∂qj= ak, ak ∈ R, 1 ≤ j ≤ r0. (6.2.32)
Mediante estas integrales primeras es posible reducir el orden del sistema. Si el hessiano de L esno nulo, entonces, para los ındices j = 1, · · · , r0, simplificamos la expresion de qj del modo
qj (t, qr0+1, · · · , qn, qr0+1, · · · , qn) . (6.2.33)
Definimos la funcion de Routh
R = L−r0∑j=1
αj qj . (6.2.34)
En virtud de la ecuacion (6.2.33), para cada 1 ≤ j ≤ r0 hallamos que
∂R
∂qj=∂L
∂qj= 0,
∂R
∂qj=∂L
∂qj− αj = 0. (6.2.35)
La diferencial total aplicada a ambos lados de (6.2.34) da lugar a
dR =∂R
∂tdt+
n∑l=r0+1
(∂R
∂qldql +
∂R
∂qldql
), (6.2.36)
d
L− r0∑j=1
αj qj
=∂L
∂tdt+
n∑l=r0+1
(∂L
∂qldql +
∂L
∂qldql
), (6.2.37)
luego, identificando las 1-formas correspondientes obtenemos el sistema
∂R
∂t=∂L
∂t,∂R
∂ql=∂L
∂ql,∂R
∂ql=∂L
∂ql, r0 + 1 ≤ l ≤ n. (6.2.38)
Introduciendo el resultado en (6.2.30), las ecuaciones que deben integrarse son
d
d t
(∂R
∂qj
)− ∂R
∂qj= 0, r0 + 1 ≤ j ≤ n, (6.2.39)
correspondientes a un sistema de orden 2 (n− r0). Finalmente, introduciendo las soluciones deeste ultimo sistema en la relacion (6.2.33), se completa la integracion de las ecuaciones delmovimiento del sistema.15
15Posteriormente veremos que, dentro del ambito hamiltoniano, tambien pueden obtenerse reducciones en terminosde funciones de Routh correspondientes.
13
6.2.6. Conservacion del momento angular
La conservacion del momento angular tambien esta asociada a la invariancia de la funcionlagrangiana por una transformacion geometrica, en este caso, por rotaciones espaciales. Sinentrar en el formalismo preciso del analisis de simetrıas, que desarrollaremos en una seccionaparte, ilustramos esta propiedad mediante un ejemplo concreto.Como hemos demostrado anteriormente, el momento angular solo es una cantidad conservadapara el caso de fuerzas centrales. Empleando coordenadas esfericas, el lagrangiano de un talsistema viene dado por
L = T − U =m
2
(ρ2 sin2 θ ξ2 + ρ2 + ρ2θ2
)− V (ρ) . (6.2.40)
De esta expresion es inmediato verificar que ξ es una coordenada cıclica, dado que ∂L∂ξ = 0.16 La
correspondiente ecuacion resultante es
d
d t
(∂L
∂ξ
)− ∂L
∂ξ=
d
d t
(mρ2 sin2 θ ξ
)= 0. (6.2.41)
En consecuencia, la componente del momento angular L en la direccion de z es constante. Porotra parte, dado que la eleccion del eje de coordenadas z es arbitraria, resulta que para todaslas componentes del momento angular existe una ley de conservacion.17
En un paragrafo posterior, veremos con mas detalle y rigor como la conservacion de las compo-nentes del momento angular se deduce de las propiedades de simetrıa de la funcion lagrangianaL.
6.3. Resolucion de las ecuaciones de Lagrange de tipo II
Las consideraciones anteriores permiten deducir, tecnicamente para cualquier sistema holonomoy conservativo, la funcion lagrangiana y las ecuaciones de Lagrange asociadas. El procedimientopuede dividirse en ciertas etapas que podemos visualizar como pasos de un algoritmo. Escogemosun ejemplo concreto para ilustrar el metodo.
Supongamos que una partıcula de masa m se mueve sobre la superficie de ecuacion
3 z = x2 + y2 (6.3.1)
bajo el efecto de la gravedad, siendo z el eje vertical.
16En el caso libre V (ρ) = 0, el caracter cıclico de ξ permite deducir propiedades geometricas adicionales referentesal lagrangiano. Vease la seccion ??.
17Observamos que esta propiedad de invariancia rotacional tambien juega un importante papel para los sistemacuanticos y el analisis de los estados mediante autovalores de operadores normales.
14 6.3. RESOLUCION DE LAS ECUACIONES DE LAGRANGE DE TIPO II
Figura 6.1: Movimiento en gravedad en un paraboloide.
1. Introduccion de coordenadas generalizadas adaptadas a las ligaduras.La ligadura dada por (6.3.1) sugiere introducir coordenadas cilındricas {ρ, θ, z} para simplificarsu expresion. Esto da lugar a la ecuacion
3 z = ρ2.
En estas condiciones, optamos por las coordenadas generalizadas definidas por q1 = ρ y q2 = θ.Dado que la ligadura es holonoma y escleronoma, el sistema admite dos grados de libertad. Dela condicion de ligadura resulta ademas que
3z − 2ρρ = 3z − 2q1q1 = 0.
2. Terminos cinetico y potencial. Determinacion del lagrangiano del sistema.Los terminos cinetico y potencial se pueden calcular primero en las coordenadas cartesianas, in-troduciendo a continuacion las coordenadas generalizadas. Se obtienen por tanto las expresiones
T =m
2
(x2 + y2 + z2
)=m
2
(ρ2 + ρ2θ2 +
4
9ρ2ρ2
)=m
2
(q21
(1 +
4
9q21
)+ q21 q
22
),
U = mg z =mg
3ρ2 =
mg
3q21
L = T − U =m
2
(q21
(1 +
4
9q21
)+ q21 q
22
)− mg
3q21.
De la expresion del lagrangiano se deduce, por otra parte, que en la referencia {q1, q2}, la segundacoordenada es cıclica.
3. Calcular las ecuaciones del movimiento y analizar cantidades conservadas.Las ecuaciones de Lagrange de tipo II son
d
dt
(∂L
∂q1
)− ∂L
∂q1= m
(q1
(1 +
4
9q21
)+
8
9q1q
21 − q1q22
)= 0,
d
dt
(∂L
∂q2
)− ∂L
∂q2= m
d
dt
(q21 q2
)= 0
15
Se concluye que J = q21 q2 es una constante del movimiento, a la que se anade la conservacion dela energıa E, que se deduce del caracter escleronomo y holonomo del sistema.
4. Resolucion de las ecuaciones del movimiento.Con el fin de resolver las ecuaciones del movimiento, simplificamos las ecuaciones de Lagran-ge, teniendo en cuenta las constantes del movimiento deducidas anteriormente. Puesto que sesatisfacen
J = q21 q2 = α = cons.
y
E =m
2
(q21
(1 +
4
9q21
)+ q21 q
22
)+mg
3q21,
puede despejarse q2 de ambas ecuaciones, de lo que resulta la ecuacion de primer orden no lineal
m
2q21
(1 +
4
9q21
)+mα2
2q21+mg
3q21 = E.
Esencialmente, esta ecuacion es del tipo (??), correspondiente al problema unidimensional conun potencial modificado (los dos ultimos terminos de la ecuacion anterior), pese a que el terminocinetico no esta en forma normal. A causa de este hecho, la ecuacion no admite una integracionelemental. No obstante, como la funcion de escala que multiplica a q21 es siempre positiva, esposible analizar cualitativamente el comportamiento del sistema a partir de la conservacion dela energıa:
Figura 6.2: Potencial modificado del problema.
En general, para valores de α 6= 0, y despreciando el factor de escala de q21, se observa a partir deldiagrama de energıa que el movimiento varıa entre dos valores fijos r1 y r2, es decir, la partıculadescribe un movimiento espiral entre las dos circunferencias cuyos radios estan determinadospor los puntos de interseccion de la recta E con el potencial modificado (comparese con losresultados vistos en la clasificacion de trayectorias).
6.3.1. Deslizamiento en una cicloide
Consideremos una esfera perforada de masa m que se desliza, sin rozamiento, por un cabledoblado en forma de cicloide.
16 6.3. RESOLUCION DE LAS ECUACIONES DE LAGRANGE DE TIPO II
Figura 6.3: Deslizamiento en una cicloide.
Siendo a una constante, las coordenadas cartesianas son
x = a (θ − sin θ) , y = a (1 + cos θ) , 0 ≤ θ ≤ 2π. (6.3.2)
El sistema tiene un solo grado de libertad, por lo que tomamos θ como coordenada generalizada.La energıa cinetica viene dada por T = 1
2m(x2 + y2
)= a2m (1− cos θ) θ2, mientras que el
potencial es U = amg (1 + cos θ). Por tanto el lagrangiano del problema es
L = T − U = a2m (1− cos θ) θ2 − amg (1 + cos θ) . (6.3.3)
Las ecuaciones de Lagrange en este caso son
d
dt
(∂L
∂θ
)− ∂L
∂θ= (1− cos θ) θ +
1
2
(θ2 − g
a
)sin θ = 0. (6.3.4)
Observamos que mediante el cambio de coordenadas u = cos(θ2
), la ecuacion del movimiento se
reduce a una ecuacion lineal de coeficientes constantes
u+g
4au = 0
cuya solucion general es la funcion
u (t) = c1 cos
√4a
gt+ c2 sin
√4a
gt. (6.3.5)
Se constata que, a diferencia de lo que ocurre con el pendulo matematico, el perıodo de u(t) sedetermina de forma exacta, y es independiente de la amplitud. Esta propiedad de isocronıa, ob-servada por primera vez por Huygens, jugo un papel relevante en el desarrollo de los mecanismosde relojerıa mecanicos (el llamado pendulo cicloidal). Observamos que la propiedad de isocronıaes muy importante para el estudio de las oscilaciones en los sistemas dinamicos complejos.
6.3.2. El pendulo de resorte
Se considera el sistema formado por un resorte de masa n0 y constante de recuperacion kacoplado a un pendulo matematico de longitud l y masa m. Como coordenadas generalizadas seeligen x y θ, siendo x el desplazamiento con respecto a la posicion de equilibrio del resorte y θel angulo que forma el pendulo con respecto a la vertical.
17
Figura 6.4: Pendulo de resorte.
De la configuracion del sistema no es difıcil comprobar que una funcion lagrangiana admisiblepara este sistema viene dada por18
L =1
2
((n0 +m) x2 + 2l m x θ cos θ + l2mθ2
)−(k
2x2 −mg l cos θ
), (6.3.6)
de la que resultan las ecuaciones del movimiento
l m(θ2 sin θ − θ cos θ
)= k x+ (n0 +m) x, (6.3.7)
g sin θ + l θ + x cos θ = 0. (6.3.8)
Manipulando la primera de esta ecuaciones, es facil convencerse de que esta admite la simplifi-cacion
(n0 +m)d
dtx+ k x+ l m
d
dt
(θ cos θ
)= 0. (6.3.9)
Analizando por separado las funciones x (t) y θ (t), se observa que estas pueden ser representadascomo una superposicion de oscilaciones. El comportamiento de las curvas de velocidad x (t) yθ (t) es analogo, como ilustra la figura siguiente:
18Este lagrangiano puede deducirse facilmente del acoplamiento de los dos sistemas que lo componen, cuyos lagran-gianos han de estar, en particular, contenidos en L. La diferencia con respecto a la suma de los lagrangianos de estossubsistemas corresponde al termino de interaccion.
18 6.3. RESOLUCION DE LAS ECUACIONES DE LAGRANGE DE TIPO II
Figura 6.5: Comparacion de las trayectorias radial y angular.
El movimiento resultante del sistema en el plano puede ser, no obstante, sumamente complejo,abarcando desde una oscilacion para valores de la constante k muy grandes a movimientos cuyatrayectoria es una curva cerrada.19
Figura 6.6: Posible trayectoria en el plano del pendulo de resorte.
19La trayectoria final depende tanto del angulo inicial como de la magnitud de la constante de recuperacion k delresorte y la longitud l del pendulo. Vease en particular la forma del termino de interaccion de L.
19
Siendo las ligaduras holonomas y escleronomas, es inmediato comprobar que la energıa delsistema
E =1
2
((n0 +m) x2 + 2l m x θ cos θ + l2mθ2 + kx2 − 2mg l cos θ
)(6.3.10)
es una cantidad conservada.
6.4. La funcion lagrangiana para vibraciones lineales
En este paragrafo se proporciona una justificacion formal a la ecuacion matricial (??) estu-diada con anterioridad, basandonos en el formalismo lagrangiano. Consideremos un sistema departıculas descrito por un lagrangiano del tipo
L (q, q) =1
2[M (q) q] · q− V (q) , (6.4.1)
donde M (q) es una matriz definida positiva dependiente de las coordenadas. Si q0 designa laposicion de equilibrio del sistema, una solucion de (6.4.1) proxima al estado de equilibrio serade la forma
q = q0 + x. (6.4.2)
Desarrollando en serie (6.4.1) y evaluando la matriz M (q) y el potencial V (q), obtenemos
M (q) = M (q0) +O (x) ,
V (q) = V (q0) +1
2[HV (q0) x] · x +O
(x3),
siendo HV la matriz hessiana de V y O (xp) los terminos de ordenes q ≥ p. Sustituyendo lasexpresiones anteriores en (6.4.1) resulta
L (q, q) =1
2[M (q0) x] ·x−1
2[HV (q0) x] · x + V (q0) +O
(x3, x3
). (6.4.3)
Dado que V (q0) es constante, descartando los terminos de ordenes cubico y superior,20 obtene-mos el lagrangiano
L (q, q) =1
2[M (q0) x] ·x−1
2[HV (q0) x] · x. (6.4.4)
Siendo M (q0) y HV (q0) matrices constantes definidas positivas, utilizando que se verifican
grad ([M (q0) x] · x) = 2M (q0) x, grad ([HV (q0) x] · x) = 2HV (q0) x, (6.4.5)
las ecuaciones de Lagrange de tipo II correspondientes al lagrangiano L (q, q) son
d
d t
(∂L
∂q
)− ∂L
∂q= M (q0) x+HV (q0) x = 0. (6.4.6)
Concluimos por tanto que los sistemas (??) se obtienen por linearizacion de lagrangianos nolineales de tipo (6.4.1).
20Este procedimiento corresponde a tomar la linearizacion del lagrangiano (6.4.1).
20 6.5. EL PRINCIPIO DE HAMILTON
6.5. El principio de Hamilton
En el tema anterior se han estudiado diversos principios de la mecanica validos para sistemas conligaduras tanto holonomas como no holonomas, ası como sistemas mixtos que exhiben ambostipos de ligaduras.21 En este apartado, introducimos un nuevo e importante principio que permitededucir las ecuaciones de Lagrange de tipo II, y basado en los llamados “principios variacionalesintegrales”. Como tal entendemos el problema de hallar una funcion ϕ(t, qk, qk) tal que la integralde lınea
I =
∫ t2
t1
ϕ(t, qk, qk)dt, (6.5.1)
sea extrema, es decir, que corresponda bien al mınimo o maximo valor posible de I entre todas lasfunciones. El estudio de este tipo de problemas extremales corresponde al calculo de variaciones,en el que no entraremos en detalle,22 sino para poner de manifiesto la importancia de estosmetodos para el estudio de las ecuaciones del movimiento de un sistema.
Supongamos que L (t, qk, qk) es la funcion lagrangiana de un sistema holonomo con f grados delibertad.23 En este caso, las ecuaciones de Lagrange de tipo II (6.1.19) determinan las trayectoriasdel sistema.24
Principio de Hamilton: La trayectoria del sistema corresponde a aquella entre todas lasposibles trayectorias, de modo que la integral de lınea
I =
∫ t2
t1
L (t, qk, qk) dt. (6.5.2)
sea extrema. En otras palabras, para la trayectoria r = (q1 (t) , · · · , qf (t)), la integral anteriores un extremo (mınimo o maximo), y por tanto ha de satisfacerse
δI = δ
∫ t2
t1
L (t, qk, qk) dt = 0. (6.5.3)
Observamos que I tiene, como producto de energıa×tiempo, la dimension fısica de una accion,por lo que algunos autores se refieren a I como la integral de la accion (veanse por ejemplo[10, 15]).
21Recordamos que estos principios estan tipificados como principios variacionales diferenciales.22Buenas exposiciones del tema validas para la mecanica pueden encontrarse, por ejemplo, en [2, 15].23El lagrangiano no tiene que ser forzosamente de la forma L (t, qk, qk) = T (qk, qk) − U (t, qk). La dependencia
temporal del potencial tambien es admisible, al no variar la forma externa de las ecuaciones de Lagrange de tipo II.24Deducciones distintas de este principio, y obtenidas directamente del calculo de variaciones, pueden encontrarse,
por ejemplo, en [10] y [15].
21
Figura 6.7: Comparacion de trayectorias en el principio de Hamilton.
En analogıa con los principios estudiados anteriormente, consideramos desplazamientos virtuales,con la salvedad de que, en este caso, estamos desplazando simultaneamente las coordenadasgeneralizadas qk y las velocidades generalizadas qk. Esto da lugar a trayectorias de aproximaciona la trayectoria real del sistema (vease la figura). Los requisitos que deben satisfacer talesaproximaciones estan especificados por las tres condiciones siguientes:
1. Todas las trayectorias pasan por los puntos inicial y final para los tiempos t1 y t2, respec-tivamente
q′k (t1) = qk (t1) , δqk (t1) = 0,q′k (t2) = qk (t2) , δqk (t2) = 0.
(6.5.4)
2. Las trayectorias q′k (t) han de ser proximas a la trayectoria real qk (t), en particular, lascoordenadas y velocidades generalizadas han de ser proximas:
q′k (t) = qk (t) + δqk (t) ,q′k (t) = qk (t) + δqk (t) .
(6.5.5)
3. La comparacion de trayectorias se realiza para tiempo fijo
δt = 0. (6.5.6)
En la practica, el calculo de la trayectoria a traves del principio de Hamilton resulta pocoventajoso, debido a su naturaleza variacional. No obstante, proporciona informacion valiosaacerca de las propiedades de tales trayectorias.Sea L (t, qk, qk) la funcion lagrangiana de un sistema holonomo y conservativo, y sea q′k (t) unatrayectoria aproximada a la trayectoria real qk (t). Si evaluamos la funcion lagrangiana para estaaproximacion y desarrollamos en serie, ignorando los terminos cuadraticos y de orden superior,podemos suponer que
L(t, q′k, q
′k
)= L (t, qk, qk) +
∑k
(∂L
∂qkδqk +
∂L
∂qkδqk
). (6.5.7)
Comparando la integral de accion de ambas trayectorias y tomando su diferencia, obtenemos laidentidad
δI =
∫ t2
t1
L(t, q′k, q
′k
)− L (t, qk, qk) dt =
∫ t2
t1
∑k
(∂L
∂qkδqk +
∂L
∂qkδqk
)dt. (6.5.8)
22 6.5. EL PRINCIPIO DE HAMILTON
Esta integral puede simplificarse teniendo en cuenta la siguiente relacion:25
d
d t
(∂L
∂qkδqk
)=
d
d t
(∂L
∂qk
)δqk +
∂L
∂qk
d
d t( δqk) =
d
d t
(∂L
∂qk
)δqk +
∂L
∂qkδqk. (6.5.9)
Sustituyendo el ultimo termino de esta ecuacion en (6.5.8), la integral se transforma en
δI =
∫ t2
t1
∑k
(d
d t
(∂L
∂qkδqk
)−(
d
d t
(∂L
∂qk
)− ∂L
∂qk
)δqk
)dt. (6.5.10)
La primera de las integrales a la derecha es identicamente nula, dado que se satisface∫ t2
t1
∑k
d
d t
(∂L
∂qkδqk
)dt =
∂L
∂qkδqk
∣∣∣∣t2t1
= 0 (6.5.11)
como consecuencia de δqk (t1) = δqk (t2) = 0. El principio de Hamilton establece que la variacionδI debe ser nula, por lo que ha de verificarse
δI = −∫ t2
t1
∑k
(d
d t
(∂L
∂qk
)− ∂L
∂qk
)δqk dt. (6.5.12)
Puesto que los δqk pueden elegirse libremente (siempre que satisfagan las restricciones (6.5.4)-(6.5.6)), se deduce que para cada k se verifica la identidad
d
d t
(∂L
∂qk
)− ∂L
∂qk= 0, (6.5.13)
correspondiente a las ecuaciones de Lagrange de tipo II del sistema.26
El principio de Hamilton demuestra, por tanto, que las trayectorias solucion de las ecuacionesde Lagrange de tipo II extreman la integral de lınea o accion (6.5.2). El hecho de que dichoextremo sea un mınimo admite, por otra parte, una explicacion en terminos de la energıa delsistema.
Por otra parte, observamos que, formalmente, el principio de Hamilton puede tambien plantearsepara el caso de sistemas no conservativos o sujeto a ligaduras semi-holonomas, cuyas ecuacionesse han estudiado anteriormente.27 La extension correspondiente debe dar lugar a las ecuacionesdel movimiento (6.1.21) en el primer caso, y (6.1.26) en el segundo. Hay, no obstante, queproceder con suma cautela, dado que para ligaduras no holonomas, la condicion
δI = δ
∫ t2
t1
L(t, qk, qk)dt =
∫ t2
t1
δL(t, qk, qk)dt
25Observese que los operadores de variacion y de diferencial conmutan: δ ddt
= ddtδ. Esta propiedad fundamental del
calculo de variaciones solo es valida con caracter general en el caso de ligaduras holonomas.26En el Calculo de Variaciones, estas ecuaciones se denominan ecuaciones de Euler-Lagrange del problema variacional.
Vease [15], capıtulo 3.27Uno de los primeros trabajos en los que se plantea esta extension es el artıculo: O. Holder 1896 Nachrichten Kon.
Ges. Wiss. Gottingen, Math. Phys. Klasse 2, 122-157.
23
deja de ser cierta, y por tanto, el principio estacionario δ∫ t2t1L(t, qk, qk)dt = 0 da lugar a ecua-
ciones del movimiento incorrectas.28 Sin entrar en los detalles concernientes a la obtencion deestas ecuaciones, indicamos que la generalizacion del principio de Hamilton a estos casos se basaen la variacion de la integral siguiente∫ t2
t1
(δT +
∑k
Qkδqk
)dt = 0. (6.5.14)
Es importante resenar que δW =∑
k Qkδqk corresponde al trabajo virtual realizado, donde lasδqk deben satisfacer las condiciones de compatibilidad con las ligaduras.29
Llegados a este punto, es legıtimo preguntarse la razon de introducir un principio variacionalintegral para deducir las ecuaciones del movimiento que ya se han obtenido bien aplicando losprincipios de D’Alembert, Gauss, Jourdain o mediante un calculo directo con las ecuaciones deNewton.
Sin pretender ser exhaustivos, algunas de las ventajas del principio de Hamilton sobre el enfoquebasado en las ecuaciones de Newton son las siguientes:
El principio de Hamilton indica de forma directa el motivo por el cual las ecuaciones deLagrange de tipo II son invariantes por cambios de coordenadas generalizadas.
Permite deducir de forma inmediata el teorema de Noether. [Vease el apartado 6.6]
Las ecuaciones de Hamilton son una consecuencia del principio de Hamilton. [Vease elapartado 6.10]
Ilustra de forma natural la conservacion del volumen en el espacio de fase (teorema deLiouville). [Vease el apartado ??]
En el marco de la Mecanica Cuantica, el principio de Hamilton da lugar a la ecuacion deSchrodinger. [Vease el apartado ??]
Admite una generalizacion natural a la teorıa de campos, y por tanto a contextos masgenerales que los de la mecanica (electrodinamica, optica, partıculas elementales, etc).
6.6. Teorema de Noether. Simetrıas de Noether
En secciones anteriores hemos visto que la invariancia de la funcion lagrangiana con respecto aciertas transformaciones de las coordenadas generalizadas (y del tiempo) dan lugar a determi-nadas constantes del movimiento. Estas propiedades de invariancia no son sino un caso especialde una fenomenologıa mas amplia valida tanto para sistemas lagrangianos clasicos como parasistemas hamiltonianos clasicos y cuanticos, ası como en la teorıa de campos. De ello se deduce la
28Muchos de los textos clasicos, como por ejemplo [7] (en su primera edicion), presentan este error. Estrictamente,esto significa que para ligaduras genericas, el principio de Hamilton no es variacional. Una version moderna de laadaptacion del principio de Hamilton a sistemas no holonomos puede encontrarse, entre otros, en la monografıa [8].
29En este contexto, recomendamos un interesante trabajo que discute y compara las diferentes formas del principiode Hamilton para el caso no holonomo: V. V. Rumyantsev 2010 Facta Universitatis Ser. Mech. Aut. Control Robot. 2,1035-1048.
24 6.6. TEOREMA DE NOETHER. SIMETRIAS DE NOETHER
estrecha relacion existente entre los principios variacionales y la teorıa de grupos de transforma-ciones o simetrıas, que constituyen actualmente una herramienta basica en todas las disciplinasfısicas. Los llamados teoremas de Noether, introducidos en 1918, proporcionan una explicacionformal del origen de muchas de las constantes del movimiento que admite un sistema, y pro-porciona, por otra parte, un metodo para calcular tanto las simetrıas como las constantes delmovimiento de un sistema con un numero arbitrario de grados de libertad.30
En esencia,31 los dos teoremas establecen lo siguiente:
1. Si la integral de accion I en (6.5.2) es invariante bajo un grupo de transformaciones Grdependiente de r parametros continuos, entonces pueden deducirse r identidades entre lasecuaciones de Lagrange de tipo II que pueden expresarse mediante divergencias.
2. Si la integral de accion I en (6.5.2) es invariante bajo un grupo de transformaciones Gr,sque depende de r parametros funcionales y sus derivadas hasta orden s, entonces puedendeducirse identidades entre las ecuaciones de Lagrange de tipo II y sus derivadas hastaorden s.
El primer teorema, en esta o reformulaciones equivalentes, es el que se emplea usualmente enel marco de la mecanica de sistemas discretos, y es la que desarrollamos a continuacion. Elsegundo teorema, que involucra diferenciales de orden superior, es de utilidad en situacionesmas generales que exceden el marco de este texto, por lo que nos limitamos a su enunciado.
Sea L (t,q, q) la funcion lagrangiana de un sistema con ecuaciones del movimiento (6.1.20), yconsideremos una transformacion Ψε en el espacio de configuracion ampliado de coordenadas{t,q} definida por:
t = Ξ0 (t,q; ε) , qi = Ξi (t,q, ε) , 1 ≤ i ≤ n. (6.6.1)
Las variables ε = (ε1, · · · , εr) designan los r parametros continuos de los que dependen lastransformaciones. Una transformacion de tipo (6.6.1) diremos que es puntual.32 Suponemosademas que para ε = 0, la transformacion Ψ0 es la identidad, es decir,
t = Ξ0 (t,q; 0) , qi = Ξi (t,q; 0) , 1 ≤ i ≤ n. (6.6.2)
Es evidente que para cada Ψε se verifica Ψε ◦ Ψ0 = Ψ0 ◦ Ψε, y que la composicion de trans-formaciones es una operacion transitiva. Diremos que Gr = {Ψε (t,q)} es un grupo (local) detransformaciones si para cada Ψε ∈ Gr existe otro elemento Ψε ∈ Gr tal que
Ψε (Ψε (t,q)) = Ψε (Ψε (t,q)) = Ψ0 (t,q) , (6.6.3)
de modo que Ψε es la transformacion inversa de Ψε (Ψε = Ψ−1ε ).33 Al tratarse de transforma-ciones continuas,34 estas pueden, en particular, desarrollarse en serie en un entorno de ε = 0, de
30La nocion de simetrıa de Noether admite varias generalizaciones importantes en mecanica, como las simetrıasdinamicas, las simetrıas no locales, etc. El lector interesado en estas cuestiones hallara informacion detallada en [4].
31Una reformulacion en ocasiones mas sencilla de aplicar puede hallarse, por ejemplo, en E. Bessel-Hagen 1921 Math.Ann. 84, 258-276.
32Este hecho es el enlace natural de la teorıa de simetrıas de ecuaciones diferenciales, en el sentido de Lie, con lassimetrıas que llamaremos de Noether. De hecho se verifica que las simetrıas de este tipo forman un subgrupo del grupode simetrıas puntuales, que, a diferencia de las variacionales, no tienen que ser simetrıas asociadas a la integral deaccion. Una introduccion basica al tema puede hallarse en [11].
33Para un estudio mas detallado de los grupos de transformaciones y su propiedades como grupos de Lie, vease porejemplo [11]. Un texto introductorio, no exento de errores, pero recomendable por su orientacion pedagogica, es [14].
34De hecho suponemos que el grupo Gr es de transformaciones diferenciables, por lo que se trata de un grupo deLie local de transformaciones.
25
lo que se deduce
t = t+r∑l=1
ξl (t,q) εl +O (ε) ; qi = qi +r∑l=1
ηil (t,q) εl +O (ε) , (6.6.4)
donde O (ε) designa los terminos en ε de ordenes cuadratico o superior.35 Los terminos ξl (t,q) yηil (t,q) reciben el nombre de generadores infinitesimales de la transformacion (6.6.1). En efecto,del propio desarrollo de Taylor obtenemos las identidades
∂ Ξ0
∂ εl|ε=0 = ξl (t,q) ,
∂ Ξi
∂ εl|ε=0 = ηil (t,q) , (6.6.5)
por lo que en dicho entorno la aproximacion lineal genera la transformacion.
Definimos para cada ındice 1 ≤ l ≤ r el campo de vectores Xl
Xl = ξl (t,q)∂
∂t+
n∑k=1
ηil (t,q)∂
∂qi. (6.6.6)
Geometricamente, este campo es tangente a la trayectoria que resulta de resolver el sistemaacoplado de ecuaciones diferenciales
dt
ξl (t,q)=
dqiηil (t,q)
= dεl (6.6.7)
para cada l, por lo que Xl puede considerarse como el generador infinitesimal de la transforma-cion (6.6.1) para los valores ε1 = · · · = εl−1 = εl+1 = · · · = εr = 0, εl 6= 0.36
Con el fin de aplicar transformaciones al lagrangiano de un sistema, es necesario saber tambiencomo se transforman las velocidades qi. A partir de (6.6.2), es inmediato obtener la expresion
qi =d qi
d t=
∂qi∂t +
∑nk=1
∂qi∂qk
qk
∂t∂t +
∑nk=1
∂t∂qk
qk, (6.6.8)
que puede generalizarse de forma natural a derivadas de orden superior. A efectos practicos,
no obstante, es generalmente suficiente obtener la llamada primera prolongacion X[1]l para cada
generador infinitesimal Xl (1 ≤ l ≤ r). Formalmente
X[1]l = ξl (t,q)
∂
∂t+
n∑k=1
(ηil (t,q)
∂
∂qi+ ηil (t,q, q)
∂
∂qi
). (6.6.9)
La expresion del termino ηil (t,q, q), correspondiente a ∂qi∂εl|ε=0, se obtiene utilizando la apro-
ximacion lineal de (6.6.4) combinada con (6.6.8). Mediante un calculo elemental se deduce sindificultad que37
ηil (t,q, q) =dηil (t,q)
d t− qi
d ξl (t,q)
d t, 1 ≤ i ≤ n. (6.6.10)
35En este sentido, se verifica
lım||ε||→0
O (ε)
||ε|| = 0,
por lo que estos terminos pueden ignorarse cerca de ε = 0.36De hecho, la transformacion infinitesimal (6.6.5) se obtiene al aplicar el algoritmo de diferencias finitas de Euler al
sistema (6.6.7).37De forma completamente analoga se obtienen las prolongaciones de orden superior [11].
26 6.6. TEOREMA DE NOETHER. SIMETRIAS DE NOETHER
Definicion: La integral de accion (6.5.2) es invariante salvo divergencias por una transformacionr-parametrica del tipo (6.6.1) si existen campos escalares V1 (t,q) , · · · , Vr (t,q) tales que∫ t2
t1
L(t, q, q) dt− ∫ t2
t1
L (t,q, q) dt =
∫ t2
t1
r∑k=1
εkd Vkd t
dt+O (ε) . (6.6.11)
Una transformacion del grupo Gr que satisfaga la condicion anterior se llama simetrıa de Noetherdel lagrangiano L.38
Utilizando ahora la transformacion inversa para expresar la primera de las integrales anterioresen el intervalo [t1, t2] original, se obtiene que la condicion (6.6.11) se satisface si y solo si39
L(t, q, q) dt
dt− L (t,q, q) =
r∑k=1
εkd Vkd t
dt+O (ε) . (6.6.12)
En efecto, tomando la diferencial de (6.6.11) con respecto a cada εk y evaluando en ε = 0,resulta
∂L(t, q, q)∂εk
dt
dt|ε=0 + L
(t, q, q) ∂
∂εk
(dt
dt
)|ε=0 =
d Vkd t
. (6.6.13)
Usando que en ε = 0 la transformacion es la identidad y las propiedades (6.6.5), (6.6.8) y(6.6.10) de los generadores infinitesimales, el desarrollo explıcito de la formula anterior da lugara la identidad
∂L
∂tξk (t,q) +
n∑i=1
∂L
∂qiηik (t,q) +
∂L
∂qiηik (t,q, q) + L (t,q)
d ξ
d t=d Vkd t
. (6.6.14)
Utilizando la prolongacion X[1]k del generador infinitesimal asociado a la transformacion k-esima,
esta identidad puede simplificarse a la expresion siguiente
X[1]k (L (t,q)) + L (t,q)
d ξ
d t=dVkd t
. (6.6.15)
Con esta formulacion, la condicion para que una transformacion deje invariante la integral deaccion se reduce a comprobar una identidad en terminos del generador infinitesimal prolongado,lo que proporciona un metodo directo para analizar o determinar simetrıas de Noether. Antes dedetallar este procedimiento, vamos a demostrar una consecuencia importante del primer teoremade Noether.
Teorema [Noether]: A cada transformacion Ψεk con generador infinitesimal (6.6.9) que satis-faga la condicion (6.6.11) le corresponde una constante del movimiento definida por
ϕX = ξk (t,q) L (t,q) +n∑i=1
∂L
∂qi
(ηik (t,q)− qiξk (t,q)
)− Vk (t,q) . (6.6.16)
38Si Vk (t,q) es cero, se dice en ocasiones que la simetrıa correspondiente es variacional.39Los detalles formales de este paso pueden consultarse en cualquier texto de calculo de variaciones, tales como
[10, 15].
27
La clave para demostrar este resultado esta en reformular la expresion (6.6.14) teniendo encuenta la ecuaciones de Lagrange de tipo II que satisface L. Con este fin, observamos que paracada ındice i se verifica la identidad
d
d t
(ξk (t,q) L (t,q) +
n∑i=1
∂L
∂qi
(ηik (t,q)− qiξk (t,q)
))
= L (t,q)dξkd t
+ ξk (t,q)dL
dt+
n∑i=1
{d
d t
(∂L
∂qi
)+∂L
∂qi
dηikdt− qiξk (t,q)− qi
dξkdt
}. (6.6.17)
Consideramos, por otra parte, el producto
n∑i=1
(ηil (t,q)− qi ξl (t,q)
)(∂L∂qi− d
dt
(∂L
∂qi
)). (6.6.18)
Si sumamos (6.6.17) y (6.6.18), despues de simplificar terminos se llega a la expresion
∂L
∂tξk (t,q) +
n∑i=1
{∂L
∂qiηik (t,q) +
∂L
∂qiηik (t,q, q)
}+ L (t,q)
d ξ
d t, (6.6.19)
de la que es inmediato deducir que el resultado es justamente (6.6.14). Por tanto hemos demos-trado que
dd t
(ξk (t,q) L (t,q) +
∑ni=1
∂L∂qi
(ηik (t,q)− qiξk (t,q)
))+∑n
i=1
(ηil (t,q)− qi ξl (t,q)
)×(
∂L∂qi− d
dt
(∂L∂qi
))= dVk
dt
(6.6.20)Supuesto que se verifican las ecuaciones del movimiento (6.1.20), la segunda suma se anula, ypor tanto obtenemos una diferencial total
d
d t
(ξk (t,q) L (t,q) +
n∑i=1
∂L
∂qi
(ηik (t,q)− qiξk (t,q)
)− Vk (t,q)
)=dϕX
d t= 0, (6.6.21)
En consecuencia, ϕX es una integral primera o constante del movimiento del sistema.
El primer teorema de Noether implica otra propiedad que a menudo no se menciona, pero quejuega un papel relevante en el estudio de los grupos de simetrıas. Supongamos que el campo devectores
X[1] = ξ (t,q)∂
∂t+
n∑i=1
(ηi (t,q)
∂
∂qi+ ηi (t,q, q)
∂
∂qi
)(6.6.22)
es el generador infinitesimal prolongado de una simetrıa de Noether. Entonces la constante delmovimiento ϕX asociada a X es tambien una integral primera del campo X[1], es decir, se verificala condicion40
X[1] (ϕX) = 0. (6.6.23)
Desarrollando la parte izquierda de (6.6.23) se sigue que
X[1] (ϕX) = ξ∂ϕX
∂t+
n∑i=1
(ηi (t,q)
∂ϕX
∂qi+ ηi (t,q, q)
∂ϕX
∂qi
). (6.6.24)
40Estos son los llamados invariantes diferenciales del campo. Vease [6, 11].
28 6.7. LA CONDICION DE SIMETRIA EN TERMINOS DE X [1]
Teniendo en cuenta que ϕX es una constante del movimiento (ecuacion (6.6.15)) y la expre-sion explıcita de ϕX, desarrollando (6.6.24) es posible, despues de varios calculos tediosos perorutinarios, reducir esta expresion a
X[1] (ϕX) =n∑i=1
{ξdξ
dt−X (ξ) +
(ηi − qiξ
)}L (t,q, q) +
{X (V )− ξ dV
dt−
n∑i=1
∂V
∂qi
(ηi − qiξ
)}
−∑i,k
∂L
∂qk
{X[1]
(ηk − qkξ
)− ∂ηk∂qi
(ηi − qiξ
)− dξ
dt
(ηk − qkξ
)}. (6.6.25)
La comprobacion de que los terminos entre llaves son identicamente nulos es inmediata.
6.7. La condicion de simetrıa en terminos de X [1]
Las simetrıas de Noether de un sistema lagrangiano L (t,q, q) cuyas ecuaciones del movimientovengan descritas por (6.1.20) pueden reformularse, de forma mas manejable, en terminos exclu-sivamente del generador infinitesimal de simetrıa, en lugar de la integral de accion. Sin perdidade generalidad, consideramos que las ecuaciones del movimiento vienen dadas en forma normal(6.2.12), por lo que, desarrollando las ecuaciones de Lagrange, tenemos
qi = Λi (t,q, q) =n∑k=1
gik(∂L
∂qj− ∂2L
∂t∂qj− qk
∂2L
∂qj∂qk
), 1 ≤ i ≤ n. (6.7.1)
Las funciones gik corresponden a las entradas de la inversa de la matriz hessiana (6.2.13). Enesta forma, las soluciones del sistema (6.7.1) son equivalentes a las soluciones de la ecuacion enderivadas parciales lineal de primer orden41
A (F ) =∂F
∂t+
n∑i=1
qi∂F
∂qi+ Λi
∂F
∂qi= 0. (6.7.2)
El operador diferencial
A =∂
∂t+
n∑i=1
qi∂
∂qi+ Λi
∂
∂qi(6.7.3)
codifica por tanto la informacion sobre las ecuaciones del movimiento. Si ϕ es una constante delmovimiento, entonces es inmediato comprobar que
A (ϕ) =∂ϕ
∂t+
n∑i=1
qi∂ϕ
∂qi+ Λi
∂ϕ
∂qi= 0 (6.7.4)
En particular, se satisfacen las relaciones
A (t) = 1, A (qj) = qj , A (qj) = Λj , 1 ≤ j ≤ n. (6.7.5)
41Este resultado es una generalizacion natural de la correspondencia entre ecuaciones diferenciales ordinarias escalaresde segundo orden y sistemas de primer orden en el plano [9].
29
Observamos que, en terminos de A, para las componentes ξ = ξ (t,q) y ηi = ηi (t,q) de laprolongacion de una simetrıa de Noether X[1] se cumplen las identidades
A (ξ) =d ξ
d t, A
(ηi)
=d ηi
d t, A
(ηi)
= A
(dηj
dt
)− qjA
(dξ
dt
)− Λi
dξ
dt. (6.7.6)
En particular, puede considerarse A como un campo de vectores, por lo que su conmutador conX[1] esta definido.42 Respecto de las coordenadas {t,q, q}, el conmutador de X[1] con A tienela forma[
X[1],A]
= −A (ξ)∂
∂t+
n∑i=1
(ηi −A
(ηi)) ∂
∂qi+(X[1] (Λi)−A
(ηi)) ∂
∂qi. (6.7.7)
Sea M = {ψα : 1 ≤ α ≤ 2n} un conjunto maximal de soluciones independientes de (6.7.1). Portanto, para cada ındice α y cada funcion F (ψ1, · · · , ψ2n) se verifica
A (ψα) = 0, A (F (ψ1, · · · , ψ2n)) = 0. (6.7.8)
Puesto que una simetrıa de Noether es, en particular, una simetrıa puntual, debe transformarsoluciones de (6.7.1) en soluciones.43 Esto implica que para cada α existe Fα (ψ1, · · · , ψ2n) con
X[1] (ψα) = Fα (ψ1, · · · , ψ2n) . (6.7.9)
Tomando ahora el conmutador (6.7.7), se satisfacen las identidades[X[1],A
](ψα) = X[1] (A (ψα))−A
(X[1] (ψα)
)= −A (Fα (ψ1, · · · , ψ2n)) = 0. (6.7.10)
De ello se concluye la existencia de una funcion λ (t,q) tal que44[X[1],A
]= λ (t,q) A. (6.7.11)
Dado que esta identificacion debe ser cierta para toda funcion, lo es en particular para lasfunciones coordenadas {t,q} y sus velocidades. De (6.7.7) se sigue[
X[1],A]
(t) = −A (ξ) ,[X[1],A
](qj) = ηj −A
(ηj),[X[1],A
](qj) = X[1] (Λj)−A
(ηj),
(6.7.12)por lo que ha de verificarse [
X[1],A]
= −dξdt
A (6.7.13)
en virtud de (6.7.11). Observamos que, utilizando el conmutador, la expresion de la prolonga-cion del generador infinitesimal ηj es inmediata, ya que esta se obtiene del coeficiente en ∂
∂qj
en la igualdad (6.7.13). Es particular, la condicion de simetrıa (puntual) esta completamentedeterminada por el coeficiente en ∂
∂qj, y dada por
X[1] (Λj)−A(ηj)
+ A (ξ) Λj = 0, 1 ≤ j ≤ n. (6.7.14)
42Vease apendice para las propiedades del corchete o conmutador de dos campos de vectores.43Un caso particular es que la propia solucion sea invariante por la simetrıa. En este caso, el generador infinitesimal
de esta y A claramente conmutan [11].44En el caso de simetrıas mas generales, como las dinamicas, la funcion λ puede depender tambien de las velocidades.
30 6.8. ALGEBRA DE LIE DE SIMETRIAS PUNTUALES Y DE NOETHER
Para cada j, esta condicion da lugar a una ecuacion en derivadas parciales de segundo orden.Al tratarse de un sistema acoplado, su resolucion no es siempre sencilla.
De (6.7.13) y (6.7.14) obtenemos un criterio algebraico directo para comprobar si un campo devectores es una simetrıa puntual de las ecuaciones del movimiento (6.7.1). Dado un campo devectores
Y = ξ (t,q)∂
∂t+
n∑i=1
(ηi (t,q)
∂
∂qi+ ηi (t,q, q)
∂
∂qi
), (6.7.15)
entonces Y es la primera prolongacion de un generador infinitesimal de una simetrıa puntualsi verifica la condicion (6.7.13). No obstante, una simetrıa puntual no es necesariamente unasimetrıa de Noether, por lo que, para comprobar si una simetrıa procede del problema de in-variancia de la integral de accion (6.5.2), debe satisfacerse adicionalmente la condicion (6.6.15).Expresando esta ultima en terminos de A y X [1], obtenemos
X[1]L+ (Aξ)L = A (V (t,q)) (6.7.16)
6.8. Algebra de Lie de simetrıas puntuales y de Noether
Finalizamos nuestro analisis general con otra propiedad fundamental de las simetrıas puntualesy de Noether.
Si X e Y son los generadores infinitesimales de dos simetrıas puntuales, entonces [X,Y] estambien el generador infinitesimal de una simetrıa puntual. En particular, si X y Y correspondena simetrıas de Noether, entonces su conmutador tambien tiene esta propiedad.Sean
X[1] = ξ1 (t,q)∂
∂t+
n∑i=1
(ηi1 (t,q)
∂
∂qi+ ηi1 (t,q, q)
∂
∂qi
),
Y[1] = ξ2 (t,q)∂
∂t+
n∑i=1
(ηi2 (t,q)
∂
∂qi+ ηi2 (t,q, q)
∂
∂qi
)las primeras prolongaciones de los generadores infinitesimales de simetrıa X e Y. Puesto que loscampos de vectores satisfacen la identidad de Jacobi, se verifica[
X[1],[Y[1],A
]]+[A,[X[1],Y[1]
]]+[Y[1],
[A,X[1]
]]= 0. (6.8.1)
De la condicion de simetrıa (6.7.13), y desarrollando la identidad de Jacobi, resulta[X[1],−dξ2
dt ,A]
+[A,[X[1],Y[1]
]]+[Y[1], dξ1dt A
]=
−dξ2dt
[X[1],A
]−X[1]
(dξ2dt
)A+dξ1
dt
[Y[1],A
]−Y[1]
(dξ1dt
)A−
[[X[1],Y[1]
],A]
={Y[1]
(dξ1dt
)−X[1]
(dξ2dt
)}A−
[[X[1],Y[1]
],A]
= 0,
y por tanto45 [[X[1],Y[1]
],A]
=
{Y[1]
(dξ1dt
)−X[1]
(dξ2dt
)}A. (6.8.2)
45Esta conclusion puede deducirse asimismo sin referencia a las simetrıas puntuales, mediante el uso de la llamada
31
Puesto que la componente en ∂∂t de
[X[1],Y[1]
]viene dada por
ξ = ξ1∂ξ2∂t− ξ2
∂ξ1∂t
+
n∑k=1
{ηk1∂ξ2∂qk− ηk2
∂ξ1∂qk
}, (6.8.3)
utilizando la formula (6.6.10) se comprueba rutinariamente que
dξ
dt= X[1]
(dξ2dt
)−Y[1]
(dξ1dt
), (6.8.4)
lo que demuestra que [X,Y] es, en efecto, una simetrıa puntual de (6.7.1). Si ademas X eY sonsimetrıas de Noether de un lagrangiano L (t,q, q), se sigue de (6.6.15) que
X[1] (L) + Ldξ1dt
=dV1dt
, Y[1] (L) + Ldξ2dt
=dV2dt
para ciertas divergencias V1 (t,q) y V2 (t,q). Evaluando la funcion[X[1],Y[1]
](L) y aplicando
la regla (6.8.4), una primera simplificacion nos lleva a la expresion[X[1],Y[1]
](L) + L
dξ
dt= X[1]
(dV2dt
)−Y[1]
(dV1dt
)+dV2dt
dξ1dt− dV1
dt
dξ2dt. (6.8.5)
Aunque no es inmediatamente evidente que la suma a la derecha es una divergencia, un calculosumamente tedioso demuestra que existe efectivamente una funcion W (t,q) tal que su diferencialtotal coincide con los cuatro sumandos de (6.8.5). Se concluye que el conmutador
[X[1],Y[1]
]es asimismo una simetrıa de Noether del lagrangiano L. Para la integral primera asociada a[X[1],Y[1]
], observamos que, si ϕX y ϕY son, respectivamente, las constantes del movimiento
asociadas a las simetrıas, entonces puede demostrarse que la funcion
Φ =∑i,j,k,l
−gikgjl ∂ϕX
∂qk
∂ϕY
∂ql
(∂2L
∂qi∂qj− ∂2L
∂qj∂qi
)+∑i,l
gil∂ϕX
∂qi
∂ϕY
∂ql− gil ∂ϕY
∂qi
∂ϕX
∂ql(6.8.6)
es tambien una constante del movimiento.
La conclusion de este largo calculo es que las simetrıas de Noether de L forman un algebrade Lie LNS , llamada el algebra de simetrıas de Noether de L.46 Es importante observar que,aunque la dimension de LNS sea r, este hecho no implica que las r constantes del movimientoque se deducen de sus generadores sean independientes. El numero de constantes independientesdepende esencialmente de la estructura de LNS como algebra de Lie.47
forma de Cartan
θ = Ldt+n∑
k=1
∂L
∂qk(dqi − qidt) .
Del producto interior i[X,A] obtenemosi[X,A]dθ = 0.
El lector interesado puede consultar la monografıa [6] para encontrar mas detalles sobre el formalismo de formasdiferenciales aplicado a cuestiones de mecanica clasica.
46Formalmente, este algebra es el espacio tangente en la identidad de un grupo de Lie, y su dimension es siemprefinita, al ser subalgebra del algebra de simetrıas puntuales. Un desarrollo introductorio a este formalismo, aplicado a lamecanica, puede encontrarse en [11, 13].
47Vease [13] para consultar los distintos tipos de algebras de Lie existentes.
32 6.8. ALGEBRA DE LIE DE SIMETRIAS PUNTUALES Y DE NOETHER
6.8.1. Simetrıas de Noether y el grupo de Galileo
Como caso particularmente importante, podemos determinar las simetrıas de Noether de unapartıcula libre en el espacio. Las simetrıas y constantes del movimiento resultantes deben, comoconsecuencia de la primera ley de Newton, estar relacionadas con el grupo de Galileo, ya quelas transformaciones de este no varıan el caracter inercial de una referencia.
Partimos del lagrangiano libre L = m2
(x21 + x22 + x23
). El campo de vectores A asociado a las
ecuaciones del movimiento es, por tanto
A =∂
∂t+ x1
∂
∂x1+ x2
∂
∂x2+ x3
∂
∂x3. (6.8.7)
Sea
X[1] = ξ (t,x)∂
∂t+
3∑i=1
(ηi (t,x)
∂
∂xi+ ηi (t,x, x)
∂
∂xi
)(6.8.8)
la prolongacion de una simetrıa de Noether de L. Evaluando la condicion (6.7.16), se obtieneun sistema de ecuaciones en derivadas parciales separable respecto de las variables x1, x2 y x3,lo que permite su integracion explıcita. Despues de un calculo rutinario, obtenemos que lascomponentes de una simetrıa de Noether X vienen dadas por
ξ (t,x) = b1t2 + b2t+ b3,
η1 (t,x) = b1t x1 + 12b2x1 + a12x2 + a13x3 + f11t+ f12,
η2 (t,x) = b1t x2 + 12b2x2 − a12x1 + a23x3 + f21t+ f22,
η3 (t,x) = b1t x3 + 12b2x3 − a13x1 − a23x2 + f31t+ f32,
(6.8.9)
donde b1, b2, b3, a12, a13, a23 y f11, f12, f21, f22, f31, f32 son parametros reales. La funcion auxiliarV (t,x) adopta la forma
V (t,x) =b12
(x21 + x22 + x23
)+ f11x1 + f21x2 + f31x3. (6.8.10)
Observamos que la estructura de V (t,x) implica que para las simetrıas asociadas a los parame-tros b2,b3,a12,a13,a23,f12,f22 y f32, la invariancia de la integral de accion (6.6.11) es absoluta,mientras que para los parametros b1, f11, f21 y f31 la invariancia es salvo la divergencia de-terminada por V (t,x). Del numero de parametros libres deducimos que el algebra de Lie desimetrıas de Noether LNS tiene dimension 12.48 Los generadores infinitesimales de las simetrıasse obtienen para los distintos valores de los parametros. Cada uno de estos da lugar, igualandolos demas a cero, a las distintas simetrıas fundamentales. Dejando momentaneamente de ladoaquellas que se obtienen para b1 = 1 y b2 = 1, las restantes son las siguientes simetrıas:
b3 = 1 : X = ∂∂t ;
aij = 1 : X = xi∂∂xj− xj ∂
∂xi, 1 ≤ i < j ≤ 3;
fi2 = 1 : X = ∂∂xi, 1 ≤ i ≤ 3
fi1 = 1 : X = t ∂∂xi, 1 ≤ i ≤ 3;
(6.8.11)
Es inmediato comprobar que estos diez campos vectoriales son exactamente los generadoresinfinitesimales del grupo de Galileo ortocrono G↑+. En consecuencia, las diez leyes de conservacion
48Desde el punto de vista estructural, puede demostrarse que LNS es isomorfa al algebra de Schrodinger inextendidaS (3).
33
“canonicas” de la mecanica newtoniana se derivan del teorema de Noether. Los tres primerostipos que se deducen de (6.8.11), es decir, la traslacion temporal, las rotaciones y las traslacionesespaciales, ya comentadas en secciones anteriores, son simetrıas respecto de las cuales la integralde accion es absolutamente invariante, luego corresponden a simetrıas variacionales. No ocurre lomismo con las simetrıa asociadas a fi1, dado que para estas, la invariancia es salvo divergencia.Las transformaciones correspondientes son las llamadas transformaciones de Galileo consideradasen (??), y cuya constante del movimiento esta especificada por
xi − t xi = cte (6.8.12)
en virtud de (6.6.16). Cabe destacar que, para sistemas en N dimensiones, estas simetrıas pro-porcionan informacion sobre el movimiento del centro de masas del sistema.
Al margen del grupo de Galileo, tenemos dos simetrıas de Noether adicionales, especificadaspor los valores b1 = 1 y b2 = 1, respectivamente. Utilizando la expresion (6.6.16), es facilcomprobar que las constantes del movimiento que se obtienen no son nuevas, sino que sonfuncionalmente dependientes de las constantes obtenidas a partir de las traslaciones espacialesy las transformaciones de Galileo. Por tanto, pese a que el algebra de simetrıas tiene dimensiondoce, existe un numero menor de constantes del movimiento independientes, y todas derivablesde G↑+. Este hecho es otro argumento que determina que el grupo relevante para la mecanica
clasica sea el grupo de Galileo G↑+, y no el grupo total de las simetrıas de Noether.
6.9. Ambiguedades del formalismo lagrangiano
La nocion de las simetrıas, ası como el teorema de Noether, establecen un nexo claro entre lasleyes de conservacion de un sistema mecanico y las simetrıas del mismo, siendo el caso de lasdiez leyes de conservacion de la teorıa de Newton el exponente mas ilustrativo, mediante surelacion con el grupo isocrono de Galileo G↑+. La importancia del metodo de simetrıas para elestudio de las leyes de conservacion no se limita al caso clasico, como puso de manifiesto latransicion del grupo de Galileo, correspondiente a la mecanica clasica, al grupo de Poincare,que engloba el grupo de Lorentz y, por tanto, corresponde a un grupo de simetrıas que tieneen cuenta los efectos relativistas. Es de destacar que el uso de los grupos de transformacionesexcede el marco mecanico, y juega un papel relevante en todas las disciplinas fısicas, siendoun ingrediente esencial en la comprension y jerarquizacion de las partıculas elementales, cuyoexponente maximo es el llamado Modelo Estandar.
Es, no obstante, frecuente encontrar en la literatura interpretaciones o afirmaciones erroneasconcernientes a los grupos de simetrıa de un sistema y la existencia de leyes de conservacion. Sibien los primeros dan lugar a nociones de simetrıa, que hay que precisar,49 las segundas no nece-sariamente provienen de un grupo concreto. En este sentido, no se trata de una correspondenciabiunıvoca. Muchos de estos errores son consecuencia de no tener en cuenta las ambiguedadesque aparecen en el formalismo lagrangiano (y que se reproducen en el hamiltoniano), dado quela funcion lagrangiana de un sistema no esta unıvocamente determinada. Por otra parte, el for-malismo lagrangiano trasciende el marco de los sistemas holonomos conservativos, por lo que
49En este contexto, una ley de conservacion puede ser consecuencia de simetrıas distintas en espacios con geometrıasubyacente diferente.
34 6.9. AMBIGUEDADES DEL FORMALISMO LAGRANGIANO
las nociones de simetrıas y leyes de conservacion adoptan una interpretacion mas general, quemediante un paso al lımite permiten recuperar las nociones clasicas halladas por Noether.
En esta seccion analizamos algunas de las interpretaciones erroneas de las leyes de conservaciony los grupos de simetrıas, basandonos en el ”decalogo” propuesto por Havas en 1973.50 Comopunto de partida, observamos que cualquier funcion lagrangiana del tipo
L =1
2
n∑i=1
miq2i −
1
2
∑j 6=k
Ujk (‖qj − qj‖ , ‖qj − qk‖ , (qj − qj) (qj − qk)) (6.9.1)
es invariante, salvo divergencias, por el grupo de Galileo G↑+, dando lugar a fuerzas que depen-den tanto de las velocidades como de las aceleraciones. El sistema correspondiente es por tantode una naturaleza mas general a los considerados habitualmente, y las leyes de conservacionpueden deducirse empleando el metodo descrito con anterioridad. Si bien estas integrales prime-ras difieren en forma de las llamadas “leyes canonicas”, no por ello dejan de ser constantes delmovimiento perfectamente legıtimas.
1. Constantes del movimiento de sistemas dinamicos y existencia de simetrıas.Dado un sistema general de 3N ecuaciones diferenciales de segundo orden
qi = ωi (t, qj , qj) , 1 ≤ i, j ≤ 3N, (6.9.2)
cabe preguntarse si toda constante del movimiento esta asociada a una simetrıa. Desdeel punto de vista de la teorıa de ecuaciones diferenciales, el sistema (6.9.2) posee 6N in-tegrales, una vez dadas las condiciones iniciales. Estas integrales, obviamente invariantesen el tiempo, son plenamente independientes de las posibles simetrıas que tenga el siste-ma. Puede demostrarse que, para un sistema del tipo (6.9.2), pueden encontrase 6N − 1integrales que no contienen la variable temporal t. Como ejemplo de una ecuacion que noadmite simetrıas, consideramos el sistema unidimensional cuya ecuacion del movimientoes
x = t x2 + ex. (6.9.3)
El sistema admite dos constantes del movimiento, pese a que no existe ninguna simetrıapuntual de la ecuacion, por lo que las constantes del movimiento no estan asociadas aningun tipo de simetrıa.
2. Invariancia por traslaciones espaciales y temporales y conservacion del mo-mento y la energıa.Es comun encontrar la afirmacion erronea de que la conservacion del momento lineal y laenergıa son una consecuencia de la invariancia por traslaciones espaciales y temporales.Con caracter general, esta afirmacion, valida solo para sistemas muy concretos, es falsa.Consideremos un sistema sujeto tan solo a una fuerza de friccion
m r + k r = 0. (6.9.4)
Es evidente que las ecuaciones no varıan por traslaciones en las direcciones espaciales nila temporal, y no obstante, la energıa y el momento (en sus acepciones usuales) no seconservan, al tratarse de un sistema disipativo, por lo que las constantes del movimientoque se derivan de la simetrıa tienen un significado distinto.
50P. Havas 1973 Acta Phys. Austriaca 38, 145-167.
35
3. Invariancia por el grupo de Galileo G↑+ y las leyes de conservacion canonicas.Pese a que un sistema pueda ser invariante por todas las transformaciones del grupo deGalileo, este hecho no implica, en general, que las leyes de conservacion usuales lo sean delsistema en particular. El siguiente ejemplo muestra que la forma final de las cantidadesconservadas deducidas por la invariancia con respecto a G↑+ pueden diferir notablementede su forma habitual:51
m r1 = −k4
(r1 − r2)2 grad1F (‖r1 − r2‖)− exp
[− kmF (‖r1 − r2‖)
]grad1U (‖r1 − r2‖) ,
(6.9.5)
m r2 = −k4
(r1 − r2)2 grad1F (‖r1 − r2‖)− exp
[− kmF (‖r1 − r2‖)
]grad1U (‖r1 − r2‖) .
(6.9.6)
Este sistema de dos partıculas en interaccion es invariante por el grupo G↑+, y no obstan-te, la energıa E no se conserva en su forma habitual. Mediante un calculo rutinario secomprueba que la funcion definida por
E =m
4
((r1 + r2)
2 + (r1 − r2)2 exp
[− kmF (‖r1 − r2‖)
])+ U (‖r1 − r2‖) (6.9.7)
es una cantidad conservada que solo coincide con la suma de los terminos cinetico y po-tencial para el valor de la constante k = 0.
4. Simetrıas independientes y leyes de conservacion independientes.Supuesto que un sistema admite un grupo con p simetrıas independientes, cabe preguntarsesi las leyes de conservacion que se derivan de estas simetrıas son asimismo independientes.La respuesta es negativa en general. En efecto, si bien el teorema de Noether estipula quea cada simetrıa de este tipo se le puede asociar una cantidad conservada, el resultado noofrece informacion alguna acerca de la independencia de estas. Determinar el numero deleyes de conservacion independientes obtenidas de un grupo de simetrıas depende de formaesencial de la estructura interna de este grupo, y no puede responderse de manera generica.Consideremos a estos efectos el oscilador armonico en dos dimensiones
xj + ω2xj = 0, j = 1, 2. (6.9.8)
Por dimensiones, existen cuatro constantes del movimiento. Por otra parte, el sistemaadmite ocho simetrıas de Noether independientes, lo que demuestra que las constantes delmovimiento asociadas a ellas no pueden ser todas independientes.52
5. Sistemas dinamicos y principios variacionales.Una cuestion central es si todo sistema mecanico puede obtenerse mediante un princi-pio variacional, y en caso afirmativo, como hallar una funcion lagrangiana adecuada. Larespuesta a la primera cuestion es negativa, es decir, existen amplias clases de sistemasque no pueden describirse mediante un principio variacional. La contestacion a la segunda
51Para los detalles particulares de este ejemplo, vease la referencia de Havas citada anteriormente.52Con caracter general, el oscilador armonico N -dimensional admite 1
2
(N2 + 3N + 6
)simetrıas de Noether inde-
pendientes, de las cuales a lo sumo 2N constantes del movimiento pueden ser independientes.
36 6.9. AMBIGUEDADES DEL FORMALISMO LAGRANGIANO
cuestion, en caso de existir un tal principio, corresponde al llamado problema inverso dela mecanica lagrangiana. El primer analisis sistematico y riguroso de las condiciones quegaranticen que un sistema dinamico
qi = ωi (t, qj , qj) , 1 ≤ i, j ≤ 3N (6.9.9)
pueda obtenerse como las ecuaciones de Lagrange deducidas de un principio variacionaldel tipo
δ
∫L (t,q, q) dt = 0, (6.9.10)
donde L (t,q, q) no tiene que satisfacer la descomposicion L = T − U como diferenciade los terminos cinetico y potencial, se debe a Helmholtz. Las llamadas condiciones deHelmholtz, consistentes en un sistema de ecuaciones en derivadas parciales de segundoorden, determinan las condiciones necesarias y suficientes para que un sistema (6.9.9)admita una funcion lagrangiana. En particular, como se ha visto en capıtulos anteriores,resulta que todo sistema en dimension n = 1 admite una funcion lagrangiana, si biensu estructura es mas general y no satisface generalmente la descomposicion L = T − U .El oscilador armonico amortiguado x + ρx + ω2x = 0 es el ejemplo mas sencillo de estatipologıa, siendo una funcion lagrangiana admisible
L =eρt
2
(x2 − ω2x2
). (6.9.11)
Para dimensiones superiores, existe un resultado notable que establece que si un sistemadinamico dado no es derivable de un principio variacional, bajo ciertas condiciones puedehallarse un sistema dinamico equivalente al primero que sı admita una funcion lagrangia-na. Esta conclusion, no obstante, debe manejarse con precaucion, puesto que las simetrıasde las ecuaciones del movimiento originales y las del sistema equivalente descrito por unafuncion lagrangiana no tienen por que coincidir. Para ilustrar este hecho, consideremos denuevo el oscilador armonico amortiguado. Puede demostrarse la existencia de un lagran-giano que no depende explıcitamente del tiempo, y dado por
L = exp
{1
2ln(x2 + ρx x+ ω2x
)− ρ
2ωtan−1
[1
2ω
(2x
x+ ρ
)]}, (6.9.12)
que da lugar a la misma ecuacion del movimiento. Claramente ∂L∂t = 0, y, no obstante,
no puede concluirse que la energıa sea una cantidad conservada, al tratarse de un sistemadisipativo.
6. Leyes de conservacion y simetrıas no puntuales.53
En el marco planteado, cabe finalmente preguntarse si toda ley de conservacion deducida deuna simetrıa implica que esta deba ser una simetrıa de Noether. Una vez mas, la respuestaes generalmente negativa. Un ejemplo fısicamente relevante que ilustra esta situacion es elsistema de Kepler dado por L = 1
2
(q21 + q22
)+ k ‖ r‖−1, donde las componentes del vector
de Runge-LenzRi = qi (r · r)− qi (r · r)− k qi ‖r‖−1 , i = 1, 2 (6.9.13)
53Esta cuestion, no incluida en el decalogo de Havas, es de notable importancia en el estudio de la integrabilidad desistemas, y esta basada en una generalizacion del teorema de Noether a tipos de simetrıas mas generales que dependenesencialmente de las velocidades.
37
son constantes del movimiento independientes del momento angular y de la energıa. Pesea que las funciones Ri estan asociadas a una simetrıa del sistema, esta simetrıa no es unasimetrıa de Noether.54
Este ejemplo, ası como otros sistemas lagrangianos que aparecen en el contexto de lamecanica celeste, muestran los lımites de aplicacion del teorema de Noether en su for-mulacion original. La teorıa de simetrıas dinamicas, basada en el formalismo geometricode Cartan,55 proporciona una generalizacion natural de la nocion de simetrıa de un la-grangiano, que engloba las simetrıas de Noether como caso especial. Debe indicarse, noobstante, que las simetrıas dinamicas puras no forman, en general, un grupo de transfor-maciones de dimension finita. Observamos que existen otras posibles generalizaciones dela nocion de simetrıa, de naturaleza altamente sofisticada, y no equivalentes a simetrıasdinamicas, adaptadas especıficamente a sistemas dinamicos de cierto tipo.56
En el marco de las simetrıas de Noether, es importante destacar que si el lagrangiano Lde un sistema es de orden cuadratico en las velocidades, entonces las constantes del mo-vimiento que se deduzcan de una simetrıa de Noether son a lo sumo cuadraticas en lasvelocidades. En efecto, de la expresion de la constante del movimiento
ϕ = ξ (t,q)
(n∑k=1
qk∂L
∂qk− L
)−
n∑k=1
ηk (t,q)∂L
∂qk+ V (t,q) (6.9.14)
se obtiene siempre quedegq ϕ ≤ degq L, (6.9.15)
manteniendose el grado solo si ξ (t,q) 6= 0. Este hecho demuestra que una constante delmovimiento de orden mayor en las velocidades y que no se obtenga como combinacionfuncional de las de orden a lo sumo dos, no puede proceder de una simetrıa de Noether.Como ejemplo ilustrativo, consideramos el lagrangiano en dos dimensiones dado por
L =1
2
(q21 + q22
)− 16
3q31 − q1q22. (6.9.16)
Un calculo elemental muestra que la unica simetrıa de Noether es X1 = ∂∂t , asociada a la
conservacion de la energıa. Sin embargo, la funcion
ϕ = q42 + 4q1q22 q
22 −
4
3q32 q1q2 −
4
3q21q
42 −
2
9q62 (6.9.17)
satisface la condicion dϕdt = 0 cuando qi = ∂L
∂qipara i = 1, 2, por lo que ϕ es una constante
del movimiento, de orden cuatro en las velocidades. En este caso, la simetrıa de la queprocede la constante no es puntual, sino una simetrıa dinamica pura cuyas componentesson dependientes de las velocidades.57
54Una interesante discusion geometrica de este resultado puede hallarse en G. Prince 1983 Bull. Austral. Math. Soc.27, 53-71.
55El formalismo de Cartan constituye un capıtulo avanzado de la geometrıa diferencial que no tiene cabida en estetexto, por lo que nos limitamos a senalar su importancia en la descripcion covariante de las leyes fısicas. Un textoesencial para la generalizacion del teorema de Noether es el tratado siguiente: E. Cartan. Lecons sur les invariantsintegraux. Hermann, Paris, 1922.
56Un interesante artıculo de revision sobre este tema puede hallarse en W. Sarlet, F. Cantrijn 1980 SIAM Review 23,467-494.
57El potencial de (6.9.16) es uno de los llamados potenciales de Henon-Heiles, introducidos en los anos 1960 en elcontexto de los movimientos galacticos.
38 6.10. ECUACIONES CANONICAS
6.10. Ecuaciones canonicas
Consideremos las ecuaciones del movimiento (ecuaciones Lagrange de tipo II) de un sistema conN grados de libertad
d
dt
(∂L
∂qi
)− ∂L
∂qi= 0, 1 ≤ i ≤ N. (6.10.1)
Dadas 2N condiciones iniciales (n correspondientes a la posicion y n a las velocidades), el sistemade ecuaciones anterior admite una solucion unica, y por tanto determinan el movimiento delsistema para cualquier tiempo t. En este sentido, las coordenadas y velocidades generalizadas{qi, qi} describen adecuadamente el movimiento.58 Recordemos que la ecuacion de Newton estadefinida a partir de la variacion temporal del momento lineal. Tiene por tanto sentido buscaruna formulacion en la cual las coordenadas relevantes sean las coordenadas generalizadas y losllamados momentos generalizados, definidos a partir de la expresion
pi =∂L
∂qi, 1 ≤ i ≤ N. (6.10.2)
Observamos que las ecuaciones del movimiento vienen ahora descritas por un sistema de primerorden
pi =∂L
∂qi, 1 ≤ i ≤ N. (6.10.3)
El paso formal del sistema de coordenadas {qi, qi} a {qi, pi} se realiza a traves de la llamadatransformacion de Legendre. 59 En esencia, esta se introduce de la siguiente forma: dada unafuncion f (q, q), su diferencial total viene dada por
df =N∑i=1
(∂f
∂qidqi +
∂f
∂qidqi
). (6.10.4)
Definamos las nuevas variables ui = ∂f∂qi
para 1 ≤ i ≤ N . Con el fin de describir adecuadamentela funcion f en las variables {qi, ui}, hemos de encontrar una expresion de las 1-formas dqi enterminos de las nuevas variables. Definimos la transformada de Legendre de f por
f = f −N∑i=1
ui qi. (6.10.5)
Calculando la diferencial total de esta, obtenemos
df =N∑i=1
(∂f
∂qidqi +
∂f
∂qidqi
)−
N∑i=1
(dui qi + ui dqi) =N∑i=1
(∂f
∂qidqi − qi dui
). (6.10.6)
Si ahora esta 1-forma actua sobre el campo vectorial basico ∂∂uj
para algun 1 ≤ j ≤ N , es
inmediato comprobar que
df
(∂
∂uj
)=
∂f
∂uj= −
N∑i=1
qi dui
(∂
∂uj
)= −δji qi dui
(∂
∂uj
)= −qj . (6.10.7)
58Siempre que se permanezca dentro del marco de la teorıa no relativista.59Para una formulacion ligeramente distinta de esta transformada, vease por ejemplo [5], seccion 1.4.
39
De esta forma, la funcion f (q, q) se reescribe en las nuevas variables {q,u}. El procedimientopuede aplicarse en particular a la funcion lagrangiana L (t,q, q) de un sistema, donde las uise identifican con los momentos generalizados pi. En lugar de tomar L, es tradicional tomarH = −L, funcion que recibe el nombre de hamiltoniano del sistema:
H (t,q, p) =N∑k=1
qkpk − L (t,q, q) . (6.10.8)
En virtud de (6.10.7), las funciones qk se expresan en terminos de qi, pi y t :
qk = qk (t, qi, pi) , i, k = 1, . . . N. (6.10.9)
Es importante observar que las coordenadas {qi, pi} se consideran independientes, es decir
∂pi∂qj
=∂qj∂pi
= 0, 1 ≤ i, j ≤ N (6.10.10)
La ecuacion (6.10.9) implica ademas que el lagrangiano L se expresa como
L = L (t, qk, qk (t, qi, pi)) (6.10.11)
Tomando ahora la diferencial total de H, y tendiendo en cuenta las ecuaciones de Lagrange(6.10.1) y el momento generalizado (6.10.2), se obtienen las identidades
dH =N∑k=1
(dqk pk + qk dpk −
∂L
∂qkdqk −
∂L
∂qkdqk
)− ∂L
∂tdt
=
n∑k=1
qk dpk −∂L
∂qkdqk −
∂L
∂tdt =
∂H
∂tdt+
N∑k=1
∂H
∂qkdqk +
∂H
∂pkdpk (6.10.12)
La comparativa de los terminos apoyados en la base {dt, dqk, dpk} implica las identidades
∂H
∂t= −∂L
∂t,∂H
∂qk= − ∂L
∂qk,∂H
∂pk= qk. (6.10.13)
Observando que, adicionalmente, se verifica la identidad
∂L
∂qk=
d
dt
(∂L
∂qk
)=dpkdt
= pk = −∂H∂qk
, (6.10.14)
se sigue de (6.10.12) quedH
dt=∂H
∂t= −∂L
∂t. (6.10.15)
En particular, resulta que si el sistema lagrangiano es autonomo (es decir ∂L∂t = 0), se verifica
la ley de conservacion de la energıa, y el hamiltoniano H es una cantidad conservada del movi-miento.Las ecuaciones del movimiento escritas en terminos del hamiltoniano son
∂H
∂qi= −pi,
∂H
∂pi= qi, (6.10.16)
40 6.11. COORDENADAS CICLICAS
y reciben el nombre de ecuaciones canonicas de Hamilton. Un sistema de este tipo se dira quees un sistema hamiltoniano. Estas forman un sistema de 2N ecuaciones diferenciales de primerorden equivalentes a las N ecuaciones de segundo grado dadas por (6.10.1). Es importanteobservar que, con la reformulacion de las ecuaciones canonicas, el movimiento tiene lugar en unespacio de dimension 2N y coordenadas {pi, qi} llamado espacio de fase.60 A diferencia de loque ocurre en el espacio de configuracion, la estructura geometrica del espacio de fase es muchomas rica, estrechamente relacionada con el llamado grupo simplectico, por lo que la geometrıasimplectica juega un papel central en este enfoque. Prescindimos aquı de estas consideraciones,recomendando el texto [1] para una solida introduccion al tema.
La formulacion hamiltoniana puede dar lugar a la erronea creencia de que en un sistema, elhamiltoniano describe la energıa, es decir, que por defecto se tiene H = E. Sin embargo, estaafirmacion con toda generalidad es falsa. En efecto, puede darse el caso de sistemas que conservenla energıa y donde H no coincida con E. El prototipo para ilustrar esta situacion es tomar unsistema conservativo e introducir coordenadas generalizadas que se muevan con respecto a unareferencia ortogonal fija. En este caso, el termino cinetico T no es una funcion homogenea de lasvelocidades generalizadas, y por tanto E 6= H.
Llegados a este punto, conviene comentar las ventajas relativas que tiene la adopcion del formalis-mo hamiltoniano. La reduccion del orden de las ecuaciones del movimiento es una simplificacion,pero a menudo meramente formal, puesto que las soluciones son del mismo tipo, y para sistemasaltamente no lineales una expresion analıtica completa es usualmente impracticable. La obten-cion explıcita de los momentos conjugados no siempre es tarea sencilla, ası como expresar lasvelocidades en terminos de las coordenadas del espacio de fase. Las ventajas notables, como yase ha observado, proceden de las propiedades geometricas mas extensas que tienen los sistemashamiltonianos [1].
6.11. Coordenadas cıclicas
Recordemos que, en el ambito lagrangiano, decıamos que las coordenadas {qi1 , . . . , qir} soncıclicas si
∂L
∂qia= 0, a = 1, · · · , r, (6.11.1)
de donde deducıamos que el momento conjugado pia es una constante del movimiento. De laecuacion (6.10.14) se deduce que la nulidad de pia implica a su vez que
∂H
∂qia= 0, a = 1, · · · , r, (6.11.2)
por lo que las coordenadas cıclicas tampoco aparecen en el hamiltoniano, y el momento gene-ralizado es una cantidad conservada. Recıprocamente, si una de las coordenadas generalizadasno aparece explıcitamente en el hamiltoniano, entonces el momento conjugado se conserva. Eneste sentido, hay una correspondencia clara entre los metodos lagrangiano y hamiltoniano. Si unlagrangiano L tiene la forma
L = L (t, q1, · · · , qr, q1, · · · , qN ) , r ≤ N − 1 (6.11.3)
60Para el caso de sistemas reonomos, el espacio de fase se extiende al llamado “espacio de estados” adjuntando lavariable temporal. El desarollo del formalismo hamiltoniano basado en este enfoque puede encontrarse en los textos[3, 6, 10].
41
las ecuaciones del movimiento siguen teniendo N grados de libertad en las velocidades genera-lizadas qj , dado que estas son generalmente dependientes del tiempo. No obstante, al pasar ala formulacion hamiltoniana, el razonamiento anterior muestra que pj = αj (r + 1 ≤ j ≤ N) esuna constante, por lo que el hamiltoniano tiene la forma
H = H (t, q1, · · · , qr, q1, · · · , qr, αr+1, · · · , αN ) (6.11.4)
En la practica, esta ecuacion describe un problema en r coordenadas, donde las constantes deintegracion αr+1, · · · , αN vienen fijadas por las condiciones iniciales del problema. Por otra partese tiene
qj =∂H
∂αj, r + 1 ≤ j ≤ N,
lo que permite determinar la variacion temporal de las coordenadas cıclicas. En este sentido, enel caso de existir coordenadas cıclicas, el formalismo hamiltoniano puede ser mas conveniente, yaque permite una considerable simplificacion en la integracion de las ecuaciones del movimiento.
6.12. Determinacion del hamiltoniano
Dada la funcion lagrangiana L = T −U , la obtencion del hamiltoniano H se reduce, en esencia,a considerar la transformada de Legendre, seguido de la eliminacion de las velocidades genera-lizadas de las ecuaciones. Presentamos algunos ejemplos tipo, ası como alguno mas elaborado,de como deducir el hamiltoniano en problemas cuyo funcion lagrangiana es conocida.
6.12.1. Oscilador armonico N-dimensional
De secciones anteriores tenemos que el lagrangiano de un oscilador de este tipo es
L =1
2
N∑j=1
mq2j − kq2j
.
En este caso, el espacio de fase tendra las coordenadas {q,p}, donde
pj =∂L
∂qj= m qj .
Esta expresion es obviamente la del momento lineal usual. Considerando (6.10.8) y sustituyendoda lugar a
H =N∑j=1
(pjm
2− m
2
(pjm
)2+k
2q2j
)=
1
2m
N∑j=1
p2j + kmq2j
, (6.12.1)
donde las ecuaciones canonicas son
pj = −∂H∂qj
= −kqj , qj =∂H
∂pj=pjm.
En este caso, H es la suma de las energıas cinetica y potencial, luego describe la energıa delsistema.
42 6.12. DETERMINACION DEL HAMILTONIANO
6.12.2. Fuerza central en el plano
Imaginemos una partıcula de masa constante m que se mueve en el plano bajo la accion de unafuerza central. En estas condiciones, el sistema viene descrito por el lagrangiano (en coordenadaspolares)
L = T − U =1
2m(ρ2 + ρ2θ2
)− U (ρ) .
Los momentos generalizados son
pρ =∂L
∂ρ= mρ, pθ =
∂L
∂θ= mρ2θ.
El hamiltoniano es por tanto
H =1
2mρ2(p2θ + ρ2p2ρ
)+ U (ρ) (6.12.2)
con ecuaciones canonicas
ρ =pρm, θ =
pθmρ2
, pρ =p2θmρ3
, pθ = 0.
6.12.3. El problema de Kepler (en tres dimensiones)
Expresando el problema de Kepler en coordenadas esfericas, el lagrangiano viene dado por
L =m
2
(ρ2 + ρ2θ2 + ρ2 sin2 (θ) ϕ2
)+αm
ρ, α > 0.
Los momentos generalizados son
pρ = mρ, pθ = mρ2θ, pϕ = mρ2 sin2 (θ) ϕ,
de lo que se deduce el hamiltoniano
H = T + U =1
2m
(p2ρ + ρ−2p2θ +
(ρ2 sin2 θ
)−1p2ϕ
)− αm
ρ. (6.12.3)
Las ecuaciones canonicas correspondientes al primer termino de (6.10.16) son
pρ = −p2θ + p2ϕ − γm2ρ+
(γm2ρ− p2θ
)cos2 θ
mρ3 sin2 θ, pθ = p2ϕ
− cos θ
mρ2(sin2 θ
) , pϕ = 0.
Se observa que, pese a ser un sistema de primer orden, su integracion dista de ser elemental.
6.12.4. Lagrangiano dependiente del tiempo
Consideremos un sistema dado por un pendulo que se mueve sobre un eje horizontal, y para elcual el lagrangiano, que depende explıcitamente del tiempo, esta dado por la funcion
L =m
2
(l2q2 − 2lα (t) q sin q
)+mgl cos q +
(m2α2 (t) +mgα (t)
). (6.12.4)
43
En este caso, el momento generalizado depende tanto de q como de t
p =∂L
∂q= ml2q − 2lα (t) sin q
El hamiltoniano que resulta es
H = pq − L =1
2ml2(p+ α (t)ml sin q)2 −mgl cos q − m
2α (t) (2g + α (t)) , (6.12.5)
y las ecuaciones canonicas son
q =p+mlα (t) sin q
ml2, p = −(p+mlα (t) sin q) cos q
ml2−mgl sin q
Observamos que el termino que solo depende de t no tiene influencia en las ecuaciones delmovimiento.
6.13. El corchete de Poisson
Definimos en esta seccion una operacion, llamada corchete de Poisson, que nos permitira refor-mular las ecuaciones del movimiento de forma concisa, ası como obtener un criterio formalmentesencillo para comprobar si una cantidad constituye una constante del movimiento de un sistema.
Dadas dos funciones F (t, q1, · · · , qN , p1, · · · , pN ) y G (t, q1, · · · , qN , p1, · · · , pN ), definimos el cor-chete de Poisson de F y G como la funcion {F,G} dada por la expresion
{F,G} =N∑k=1
(∂F
∂qk
∂G
∂pk− ∂F
∂pk
∂G
∂qk
). (6.13.1)
Es inmediato comprobar que para cualesquiera funciones F,G se verifica la identidad
{F,G}+ {G,F} = 0, (6.13.2)
lo que demuestra que el corchete de Poisson es antisimetrico, y, en particular, satisface la relacion{F, F} = 0. Con ayuda de este operador, podemos describir las ecuaciones del movimiento deun modo muy eficiente. Tomando en particular F = pi y G = qj , resulta de (6.13.1) que
{qi, pj} =∂qi∂qk
∂pj∂pk
= δki δkj = δji , (6.13.3)
donde recordamos que δki es el sımbolo de Kronecker
δβα =
{1, α = β0, α 6= β
. (6.13.4)
Tenemos por tanto{qi, pj} = δji , {pi, pj} = 0, {qi, qj} = 0. (6.13.5)
La terminologıa de momento conjugado entre pi y qi debe entenderse por tanto en terminos delcorchete de Poisson. Para una funcion G arbitraria obtenemos
{pi, G} = −∂G∂qi
, {qi, G} =∂G
∂pi(6.13.6)
44 6.14. TRANSFORMACIONES CANONICAS
Por otra parte, utilizando estas relaciones y las ecuaciones canonicas (6.10.16), podemos rees-cribir la diferencial total de G del modo siguiente:
dG
dt=∂G
∂t+
n∑k=1
(qk∂G
∂qk+ pk
∂G
∂pk
)=∂G
∂t+ {G,H} . (6.13.7)
De este modo, las ecuaciones canonicas se expresan mediante el corchete de Poisson como
qi = {qi, H} , pi = {pi, H} . (6.13.8)
En consecuencia, una constante del movimiento C viene caracterizada por (6.13.7):
dC
dt=∂C
∂t+ {C,H} = 0. (6.13.9)
En particular, para sistemas autonomos la caracterizacion se reduce a la nulidad del corchete dePoisson {C,H}.El corchete de Poisson tiene interesantes propiedades que son la base del estudio de integrabili-dad de sistemas clasicos, es decir, de integrar explıcitamente las ecuaciones del movimiento.Para cualesquiera funciones Fa (t, q1, · · · , qN , p1, · · · , pN ), donde a = 1, 2, 3, se verifica la identi-dad de Jacobi61
{F1, {F2, F3}}+ {F2, {F3, F1}}+ {F3, {F1, F2}} = 0. (6.13.10)
Para el caso autonomo, esta identidad demuestra que, conocidas dos constantes del movimien-to, su corchete de Poisson tambien es una constante del movimiento (no necesariamente in-dependiente). Destacamos asimismo las siguientes propiedades del corchete de Poisson, cuyademostracion es elemental:
{F1F2, G} = F1 {F2, G}+ {F1, G}F2, (6.13.11)
∂
∂t{F,G} =
{∂F
∂t,G
}+
{F,∂G
∂t
},
d
dt{F,G} =
{dF
dt,G
}+
{F,dG
dt
}.
En determinadas circunstancias, el corchete de Poisson permite, a traves de su aplicacion suce-siva, obtener un sistema completo de constantes del movimiento.62
6.14. Transformaciones canonicas
El formalismo hamiltoniano, entre otras caracterısticas, nos proporciona una mayor versatilidaden la eleccion de magnitudes fısicas que puedan identificarse como “coordenadas” o “momentosgeneralizados” de la que se tenıa en el caso lagrangiano. No es difıcil constatar que el numero decoordenadas cıclicas es dependiente de la eleccion de coordenadas generalizadas, lo que plantea
61El lector notara que la operacion producto vectorial en el espacio euclıdeo R3 satisface la misma propiedad.El corchete de Poisson demuestra que las funciones de clase C∞ en el espacio de fase forman un algebra de Lie,analogamente a lo que ocurre con los campos de vectores en variedades diferenciables.
62Cabe destacar que utilizando el formalismo lagrangiano, se pueden obtener criterios similares, que emplean elconmutador de campos de vectores. El lector interesado puede encontrar una descripcion detallada en [11, ?].
45
la cuestion de la existencia de una referencia en la cual todas las coordenadas generalizadas seancıclicas. Las transformaciones vistas hasta ahora (cambios de referencia) son del tipo
q′i = q′i (t, qj) , 1 ≤ i, j ≤ n, (6.14.1)
que designaremos por transformaciones puntuales. No obstante, la formulacion hamiltonianaconsidera los momentos generalizados pi como nuevas variables independientes (paso al espaciode fase), por lo que es natural considerar transformaciones mas generales del tipo63
q′i = q′i (t, qj , pj) , 1 ≤ i, j ≤ n, (6.14.2)
p′i = p′i (t, qj , pj) , 1 ≤ i, j ≤ n,
De este modo, las nuevas coordenadas dependen tanto de las originales como de los momentosgeneralizados correspondientes. De especial interes son aquellas transformaciones que dejan in-variantes las ecuaciones canonicas, es decir, para las cuales exista una funcion H ′ (t, q′i, p
′i) tal
que
q′i =∂H ′
∂p′i, p′i = −∂H
′
∂q′i. (6.14.3)
Diremos que la transformacion es canonica si se verifica la ecuacion anterior. Se observa que H ′
juega el papel de hamiltoniano en las nuevas coordenadas.Resulta evidente que las ecuaciones (6.14.3) seran equivalentes a las ecuaciones (6.10.16) expre-sadas en las coordenadas originales si el problema variacional correspondiente
δ
∫ t2
t1
L (t, qi, qi) dt = 0 (6.14.4)
en las coordenadas {t, qi, qi} es equivalente al problema
δ
∫ t2
t1
L′(t, q′i, q
′i
)dt = 0. (6.14.5)
Esta equivalencia es inmediata para lagrangianos cuya diferencia sea la diferencial total de unafuncion R (t, qi, q
′i) :
L− L′ = dR (t, qi, q′i)
dt. (6.14.6)
En este caso es inmediato comprobar que∫ t2
t1
L (t, qi, qi) dt−∫ t2
t1
L′(t, q′i, q
′i
)dt = R
(t, qi, q
′i
)|t2t1 (6.14.7)
El termino a la derecha no tiene ningun efecto en la variacion, en virtud del principio de Hamilton.Si utilizamos (6.14.6) y sustituimos en (6.10.8), se deduce la identidad
n∑k=1
pkqk −n∑k=1
p′kq′k −H +H ′ =
dR (t, qi, q′i)
dt(6.14.8)
63Este tipo de transformaciones se dicen de contacto.
46 6.15. LA ECUACION DE HAMILTON-JACOBI
Por tanto
dR(t, qi, q
′i
)=∂R
∂tdt+
∂R
∂qidqi +
∂R
∂q′idq′i =
n∑k=1
pkdqk −n∑k=1
p′kdq′k −H dt+H ′ dt (6.14.9)
Comparando los coeficientes se concluye que
pk =∂R
∂qk, p′k =
∂R
∂q′k, H ′ = H +
∂R
∂t(6.14.10)
Estas ecuaciones proporcionan el metodo para determinar las transformaciones canonicas, siem-pre que se parta de una funcion R (t, qi, q
′i) tal que
det
(∂2R (t, qi, q
′i)
∂qi∂q′j
)6= 0. (6.14.11)
Ejemplo 1. Para el hamiltoniano (6.12.1) del oscilador armonico, consideramos la transforma-cion dada por
q =
√2√mk
p′ sin q′, p =
√2√mkp′ cos q′.
Para comprobar si es una transformacion canonica, aplicamos el criterio anterior:
p dq − p′ dq′ =√
2p′ (mk)14 cos q′
((mk)−
14
sin q′ dp′√2p′
+ (mk)−14
√2p′ cos q′ dq′
)− p′dq′
= sin q′ cos q′ dp′ + 2 p′ cos2 q′ − p′dq′ = sin(2q′)dp′ + p′
(cos2 q′ − sin2 p′
)dq′
= d(p′ sin q′ cos q′
).
En las nuevas coordenadas {q′, p′} el hamiltoniano se expresa por
H ′ =
√k√mp′ cos2 q′ +
√k√mp′ sin2 q′ =
√k
mp′, (6.14.12)
por lo que la coordenada q′ es cıclica y las ecuaciones canonicas son
q′ =∂H ′
∂p′=
√k
m, p′ = −∂H
′
∂q′= 0.
6.15. La ecuacion de Hamilton-Jacobi
Entre todas las transformaciones canonicas posibles, la ideal es aquella para la cual el hamilto-niano transformado H ′ es trivial, H ′ = 0, ya que entonces las ecuaciones canonicas son asimismotriviales y por tanto
q′k = const., p′k = const., 1 ≤ k ≤ N (6.15.1)
47
Para obtener las condiciones que una tal transformacion debe satisfacer, observemos que, deacuerdo con la ecuacion (6.14.10), el hamiltoniano H y el hamiltoniano transformado estanrelacionados, a traves de una cierta funcion F , de la forma
H ′ = 0 = H +∂ F
∂t. (6.15.2)
En esta situacion, es conveniente considerar F como una funcion de las coordenadas originalesqi y los nuevos momentos generalizados p′i, es decir F (t, qi, p
′i). Para describir el hamiltoniano
H en terminos de estas coordenadas, consideramos la transformacion
pk =∂ F
∂qk, 1 ≤ k ≤ N, (6.15.3)
por lo que (6.15.2) se reescribe de la forma
H
(t, qk,
∂F
∂qk
)+∂F
∂t= 0. (6.15.4)
Esta ecuacion recibe el nombre de ecuacion de Hamilton-Jacobi.64 Se trata de una ecuacion enderivadas parciales de primer orden en las variables {t, q1, · · · , qN}. Generalmente, una soluciona la ecuacion de Hamilton-Jacobi se designa por S, llamada funcion principal. Esta ecuacion noproporciona informacion acerca de como estan integrados los nuevos momentos en la solucionS, pese a que sabemos por la hipotesis que son constantes. El valor de estas se deduce de lanaturaleza del problema concreto. La funcion principal S es por tanto la funcion generatriz deuna transformacion de contacto,65 y resolver la ecuacion de Hamilton-Jacobi es obtener a su vezla solucion del problema mecanico. Supuesto que hemos resuelto la ecuacion de Hamilton-Jacobi,de (6.15.1) tenemos que
∂ S
∂p′k= q′k = const. (6.15.5)
Resolviendo este sistema con respecto a las variables qk recuperamos las trayectorias
qk = qk(t, q′i, p
′i
), (6.15.6)
que aun dependen de los 2N parametros de las condiciones iniciales.
Ejemplo 2. Consideremos nuevamente el oscilador armonico con hamiltoniano
H =1
2mp2 +
k
2q2.
La ecuacion de Hamilton-Jacobi viene dada en este caso por
1
2m
(∂S
∂q
)2
+k
2q2 +
∂S
∂t= 0.
Dado que la dependencia explıcita de t solo se da en el ultimo termino, podemos tratar deresolver el problema mediante separacion de variables. Sea
S (t, q) = ϕ (q)− α t,64Es preciso indicar que, para sistemas no holonomos, esta ecuacion no es valida en esta forma, aunque existen
generalizaciones que cubren este tipo de sistemas.65Observese que S ya aparecio en el marco del principio de Hamilton.
48 Referencias complementarias
donde α ∈ R es la constante que correspondera al momento transformado. Esta eleccion permiteeliminar t de la ecuacion de Hamilton-Jacobi, que se reduce a
1
2m
(∂ϕ
∂q
)2
+k
2q2 = α.
Es inmediato verificar la identidad
ϕ (q) =√km
∫dq
√2α
k− q2.
Dado que no estamos interesados en S, sino en las derivadas parciales, no es necesario resolveresta integral. La solucion para q se obtiene de
∂S
∂α=
√m
k
∫dq√
2αk − q2
− t = β = const.
Integrando esta ultima parte y llamando ω =√k/√m, llegamos a la expresion conocida
q =
√2α
kcos (ωt+ β) .
Las constantes α y β vienen especificadas por las condiciones iniciales. Si suponemos que parat = 0 la partıcula esta en reposo para una elongacion q0 y que p0 = 0, un calculo elementalmuestra que
α =mω2q20
2
Esta constante coincide con la energıa total del sistema, dado que este es conservativo.
Referencias complemenarias
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49
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