Réservoir - centre de poussée

Centre de pousséeLe centre de poussée due à la pression d'un liquide sur une paroi est le point d'application de la résultante des forces de pression sur cette paroi. On connaît sa position par rapport à l'origine du moment résultant en calculant le rapport du moment à la résultante.

Réservoir - centres de poussée

Parois verticalesPour les parois verticales, on montre aisément que le centre de poussée est à une profondeur de 2/3 de la hauteur de la paroi, vis-à-vis de la surface libre :

Paroi horizontalePour la paroi horizontale, le chargement étant symétrique, le centre de poussée est au milieu de cette paroi.

Foyer aérodynamique : quelle définition ?14 septembre 2013 Aéronautique centre de poussée , foyer, mécanique, portance Manu Aujourd’hui je vous propose qu’on se prenne un peu la tête (mais gentiment, pas trop méchant) sur la mécanique du vol d’un avion. Voici la matière :

Le foyer aérodynamique d’un avion est :

1. le point d’application de la portance ;2. le point d’application de la traînée ;3. le point d’application du poids ;4. le point d’application des variations de portance ?

Annales des QCMs pour la partie théorique du PPL(license de pilote privé)

Préambule nécessaireA l’heure où je commence à écrire ces lignes, je ne totalise même pas 7h de vol en tant qu’élève pilote : je n’ai donc aucune compétence en matière de pilotage (une partie de ma

jeunesse perdue sur Flight Simulator, ça ne compte pas !). En revanche, j’ai quelques connaissances que j’espère encore un peu solides en physique et en mécanique, et une petite expérience d’enseignement de ces notions. Et ça tombe bien, parce que c’est plutôt de physique je voudrais parler, et de l’art délicat de la vulgarisation…

J’essaye d’utiliser dans cet article uniquement des connaissances de mécanique de base : forces et moments. Dans la mesure du possible, je mettrai en équation les définitions et propriétés énoncées ; les lecteurs qui ne sont pas particulièrement fans de produits vectoriels ou d’intégrales devraient néanmoins pouvoir sauter ces paragraphes sans que cela nuise à la compréhension globale (j’espère !). Pour commencer, vous avez seulement besoin de savoir qu’on appelle portance la force qui s’exerce verticalement sur les ailes d’un avion lorsque celles-ci sont placées dans un flux d’air. En gros, c’est cette force qui fait voler le bouzin ; je reviens là-dessus un peu plus loin.

Le vif du sujetLa question en en-tête de cet article, croisée lors d’un examen blanc, m’a donné du fil à retordre. En effet, la réponse était le point d’application des variations de la portance. En cherchant un peu, j’ai pu constater que l’on retrouve régulièrement cette formulation dans les manuels de référence (notamment le “Manuel du Pilote d’Avion” chez Cépaduès) et dans les cours d’aérodynamique de base enseignés pour la pratique aéronautique. Les auteurs insistent systématiquement sur la distinction entre :

le centre de poussée, point où s’applique la portance ; et le foyer, point d’application des variations de la portance.

Avec ou sans connaissances de base en mécanique, un peu d’intuition devrait suffire pour constater que cette définition du foyer est un peu légère : que signifie le point d’application des variations d’une force ? Surtout, comment peut-il différer du point d’application de cette force ?

Si vous n’êtes pas convaincu, demandez-vous ce qu’il se passe concrètement par exemple lorsque la force de portance augmente pour passer d’une valeur à (c’est typiquement ce qui se passe lors d’un virage à altitude constante : voir figure ci-après). A mesure que la portance augmente, la différence de portance s’appliquerait au foyer, tandis que la portance “de base” continuerait de s’appliquer au centre de poussée, distinct du foyer. Mais lorsque la portance a fini d’augmenter pour atteindre la valeur totale , que se passe-t-il exactement ? La portance est désormais constante, donc ne doit plus s’appliquer au foyer. Quid donc de la composante qui s’y appliquait jusqu’à présent ? Intuitivement, on se doute bien qu’elle ne “saute” pas d’un coup du foyer au centre de poussée…

Lors d’un vol en palier (à altitude constante), le poids de l’appareil représenté en noir est exactement compensé par la portance représentée en rouge. Lors d’un virage à 60° d’inclinaison à altitude constante, la portance doit exactement doubler pour que sa composante verticale continue de compenser exactement le poids. (puisque cos(60°)=1/2).Je vous propose donc de ressusciter quelques notions de physique assez simples pour comprendre ce que sont réellement le centre de poussée et le foyer, pourquoi ces points diffèrent, et quel est leur intérêt.

Ce que dit la physiqueLes forces aérodynamiques : portance et traînéeL’écoulement de l’air le long d’un profil d’aile crée une dépression sur l’extrados (le dessus), et une surpression sur l’intrados (le dessous). Ces phénomènes de dépression et de surpression

se traduisent par une infinité de petites forces élémentaires s’exerçant partout sur le profil

de l’aile, perpendiculairement à sa surface. La résultante de l’ensemble de ces forces notée

ci-dessous, est usuellement décomposée en un vecteur purement vertical appelé la

portance, et en un vecteur purement longitudinal s’opposant au mouvement appelé traînée. Nous verrons juste après la question du point d’application de ces forces résultantes.

Profil d’aile dans un écoulement d’air. La résultante des petites forces s’exerçant est notée et se

décompose en une force de portance et une force de traînée . Notez au passage un fait intéressant : la portance est due majoritairement à la dépression de l’extrados, et en moindre mesure à la surpression de l’intrados. Une aile d’avion n’est donc pas vraiment “poussée”, mais plutôt “aspirée” vers le haut. Ne cherchez pas : ça n’a rien à voir avec la choucroute du jour, c’est juste rigolo :-)Par la suite, pour simplifier les choses, nous ne nous intéresserons qu’à la force de portance. Cela revient donc à considérer uniquement la composante verticale des forces élémentaires,

que nous noterons par la suite . La somme de toutes ces forces élémentaires

vaut donc .

Le centre de pousséeLe centre de poussée peut être considéré comme le “point moyen d’application” de l’ensemble des forces élémentaires de portance. Intuitivement, on le définit de façon un peu analogue au centre de gravité, sauf qu’au lieu d’être le barycentre des masses c’est le barycentre des éléments de portance .

De même que l’on peut considérer que le poids d’un solide s’applique en son centre de

gravité, on pourra considérer que la portance s’applique au centre de poussée . En

particulier, le moment résultant en des éléments de portance est nul. Dit autrement et un peu plus simplement, si l’on place une aile sur un axe passant par le centre de poussée

, et que l’on met ce dispositif dans une soufflerie, l’aile restera immobile lorsque l’air s’écoulera : elle ne tournera pas autour de l’axe1.

Parce qu’il est toujours difficile de résister au plaisir d’écrire une intégrale double, tout ce qui précède se résume par :

où décrit la surface de l’aile, et est l’élément de portance s’appliquant au niveau du point . Notez que cette équation exprime une propriété du centre de poussée (le moment résultant des forces de portance y est nul), mais elle peut aussi être prise comme définition. Je

vous laisse faire les calculs pour trouver l’expression de à partir de cette équation, étant l’origine du repère…

Malheureusement, le centre de poussée n’est pas immobile. En effet, lorsque l’incidence2 augmente, la répartition des forces élémentaires de portance à la surface de l’aile change, et le centre de poussée à tendance à se déplacer vers le bord d’attaque, jusqu’au décrochage. L’expérience imaginée ci-avant consistant à placer l’aile sur un axe est donc en fait irréalisable parce que instable. En effet, la moindre variation d’incidence de l’aile déplacerait la position du centre de poussée ; l’axe ne serait donc plus correctement placé en , et l’aile commencerait à tourner sur elle-même.

Avion en carton dans une soufflerie (on le suppose de masse nulle), placé sur un axe (la croix noire). A gauche, l’avion a une incidence nulle, et l’axe est placé exactement au centre de poussée : la portance s’applique donc exactement sur l’axe, et a un moment nul par rapport à celui-ci – l’avion reste immobile dans le flux d’air. Mais, si la moindre perturbation vient modifier légèrement l’incidence, par exemple en cabrant l’avion comme à droite, alors le centre de poussée se déplace vers l’avant. Comme l’axe est resté au même endroit, la force de portance (qui au passage a augmenté avec l’incidence) a maintenant un moment non nul sur l’axe : l’avion a donc tendance à se cabrer encore plus, et finira sur le dos… La figure de gauche est donc un point d’équilibre instable.Comme vous pouvez l’imaginer, le fait que le centre de poussée n’est pas immobile complique la tâche lorsque l’on veut faire des calculs faisant intervenir ce point. Les aérodynamiciens préfèrent donc utiliser un autre point de référence : le foyer.

Le foyer aérodynamiqueOuf ! Nous y voilà. Le foyer aérodynamique est le point de l’aile en lequel le moment de la force de portance reste constant lorsque l’incidence varie. L’existence et l’unicité d’un tel point n’est pas évidente a priori, mais l’expérience et le calcul montrent que ce point existe “à peu près”, tout du moins pour de faibles valeurs d’incidence, correspondant au domaine de vol habituel des avions. Par ailleurs, contrairement au centre de poussée, le foyer a le bon goût d’être un point fixe.3

J’insiste donc sur le fait qu’en ce point, le moment de portance est constant, mais n’est pas nul. Si l’on place comme précédemment un pivot au niveau du foyer et qu’on place l’aile dans un flux d’air, celle-ci se mettra à tourner sur elle-même ! Avec le même moment quelle que soit l’incidence, certes – mais elle tournera4.

Pour ceux qui aiment le formalisme, le foyer vérifie donc l’équation suivante, sous l’incidence :

où et sont respectivement le centre de poussée et la force de portance résultante à

l’incidence . est un moment constant, appelé dans la littérature moment de portance nulle.

C’est bien joli tout ça, mais à quoi ça sert au final ?La réponse est simple et a été esquissée plus haut : ça sert uniquement à simplifier la vie des aérodynamiciens qui veulent modéliser l’application des forces de portance sur un avion. Le foyer offre pour cela un modèle relativement simple, puisqu’il suffit de considérer qu’en ce

point fixe s’appliquent, quelle que soit l’incidence, la force de portance et le moment

constant . A l’inverse, en prenant comme point de référence le centre de poussée , seule

la force de portance s’appliquerait, et le moment serait nul (par définition du centre de poussée !)… mais il faudrait refaire les calculs pour toutes les valeurs d’incidence, puisque

se déplace à chaque variation de celle-ci.

Je donnerai peut-être un exemple d’utilisation un peu plus concret dans un prochain post, consacré à la stabilité globale de l’avion. L’appareil ne peut être stable sans un empennage avant ou arrière (la gouverne de profondeur) : le foyer permettra de calculer à quelle distance du centre de gravité doit se situer cet empennage, et quelles contraintes maximales doivent pouvoir s’y exercer. Mais ça, comme disait le monsieur à la grande barbe blanche, c’est une autre histoire.

ConclusionsVulgariser oui, mais comment et à quel prix ?Vous l’aurez compris, je pense que définir le foyer comme “point d’application des variations de la portance” n’a aucun sens. Après avoir compris physiquement la signification de ce point, je ne comprends toujours pas l’intention qui se cache derrière cette drôle d’idée de point d’application des variations d’une force ; et je ne comprends toujours pas ce qu’avait derrière la tête l’inventeur cet étrange concept… Cette définition loufoque est pourtant largement répandue : on la retrouve jusque sur la page Wikipedia traitant de la stabilité longitudinale d’un avion ! (que je trouve assez mal rédigée elle aussi d’ailleurs – si vous cherchez une source limpide et didactique, optez pour les pages Wikipedia en anglais traitant du même sujet ! Références plus bas.) Fait intéressant : lors de mes recherches pour la rédaction de cet article je n’ai trouvé aucune source anglophone utilisant cette étrange définition.

Comprenez-moi bien : il est parfaitement louable de vouloir vulgariser les bases de la mécanique pour la rendre accessible au plus grand nombre, et ainsi permettre aux élèves pilotes de tous horizons de comprendre comment vole leur appareil. Mais en l’occurrence, la

définition retenue pour le foyer n’a rien d’une simplification, bien au contraire ! Au final, j’imagine que les malheureux béotiens qui ont lu cette définition ont écarquillé les yeux quelques instants, avant de se résoudre à apprendre par cœur cette assertion sans queue ni tête pour la répéter le jour où on le leur redemandera. Et ça mon bon monsieur, c’est bien triste ! On a mieux à faire de notre court séjour sur la Terre que de s’encombrer l’esprit avec des notions inutiles, et fausses par dessus le marché…

Je ne sais pas si les explications que j’ai essayé de développer ci-dessus sont facilement compréhensibles ; j’espère qu’elles le sont. Ce dont je suis sûr en revanche, c’est que les “simplifications” auxquelles s’adonnent les manuels de référence (et notamment le fameux “Manuel du Pilote Privé” pour ne pas le nommer) lorsqu’ils se mettent à parler de mécanique sont presque systématiquement contre-productives. A plusieurs reprises, j’ai eu un mal fou à comprendre le sens de longues tirades “simplificatrices”, dans lesquelles les auteurs prenaient soin de ne parler ni de force, ni de moment, ni de vecteur – mots tabous qui effraient le chaland. En traitant le sujet sans les outils mathématiques de base, ils ont obtenu l’effet inverse de celui recherché : ils ont rendu leur propos abscons.

Et en y réfléchissant un peu, un tel résultat était inévitable.

Depuis Newton, plusieurs générations de physiciens se sont succédées, et tous ont cherché des formalismes permettant de représenter de façon simple et élégante les phénomènes naturels complexes qu’ils observaient. Nous héritons aujourd’hui de ces formalismes, fruits d’une lente évolution : les vecteurs et les torseurs, ce sont déjà des simplifications, offertes par les mathématiques. Pire encore : c’est même la façon la plus simple que nous avons trouvée pour représenter la nature, depuis plus de cinq siècles que nous planchons dessus ! Vouloir faire de la mécanique sans utiliser ces outils n’a rien de simplificateur, au contraire : c’est la voie assurée pour se prendre les pieds dans le tapis et partir dans de longue tirades gloubi-boulguesques incompréhensibles…

Que faut-il enseigner ?Un dilemme se pose alors : si les vecteurs, les forces, les moments et les principes fondamentaux de la mécanique ne sont pas raisonnablement “simplifiables”, ces notions doivent-elles réellement être enseignées aux élèves-pilotes PPL ? Ou, pour être encore plus polémique : un bon pilote privé doit-il nécessairement savoir comment son avion vole ?

Mes compétences s’arrêtent ici, et je suis en vérité bien incapable de répondre à cette question : mon côté ingénieur me pousse à dire qu’il est inconcevable de manœuvrer un bouzin qui nous emmène à plusieurs kilomètres d’altitude sans comprendre comment il fonctionne, même grossièrement. A regarder le type de sélection pour rentrer par exemple à l’École de l’Air, on dirait bien que je ne suis pas le seul à avoir ce pressentiment (par contre ça n’a rien à voir, mais l’Ecole de l’Air ferait bien de se payer un vrai webmaster…). D’un autre côté, j’ai peine à croire qu’un pilote expérimenté s’appuie consciemment ou inconsciemment sur des connaissances d’ingénierie pour manœuvrer sa machine, ou pour se sortir de situations périlleuses. Pour finir là-dessus, le pilote du vol 1549 d’US Airways par exemple ne s’est probablement pas posé de questions d’aérodynamique avant de poser son Airbus dans l’Hudson River (au passage : il faut écouter l’enregistrement ATC disponible sur la page Wikipedia : le commandant de bord répondant “We’re gonna be in the Hudson” au

contrôleur qui lui demandait quelle piste il veut pour son atterrissage d’urgence, ça vaut son pesant de cacahuètes !).

1. On suppose pour les besoins de l’expérience que l’aile a une masse nulle, et donc que le poids n’a pas de

moment en . [↩]2. On appelle incidence l’angle formé entre le profil de l’aile et l’écoulement de l’air sur celle-ci. Typiquement,

lorsqu’un avion se cabre, son incidence augmente. [↩]3. Pour des ailes à profil asymétrique, on le situe généralement à 25% de la longueur de corde en partant du

bord d’attaque. [↩]4. Si j’insiste un peu lourdement là-dessus, c’est parce que le Manuel du Pilote d’Avion aux éditions Cépaduès,

dans le chapitre dédié à la définition du foyer, propose exactement la même expérience et assure que l’aile ne se met pas à tourner lorsque l’axe est placé au niveau du foyer ; mieux encore, on pourrait s’amuser à changer librement l’incidence de l’aile dans le souffle d’air, et l’aile conserverait ainsi son incidence ! Cette affirmation est bien entendu erronée. [↩]

Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences, la balistique extérieureUn livre de Wikilivres.Aller à : navigation, rechercherLa balistique extérieure, ici, concerne le mouvement d'un point matériel [1] soumis à la pesanteur uniforme, selon son poids mg et la résistance de l'air notée mg f(v).

Ce qu'il y a de plus caractéristique par rapport au mouvement de Torricelli est l'apparition d'une asymptote, ce que savaient bien les artilleurs : Tartaglia, Ufano, etc.

Il faudra se souvenir essentiellement de l'équation de l'hodographe :

Ici est la composante horizontale du vecteur vitesse, et l'angle complémentaire de l'angle de hauteur (on dit parfois la déclinaison) : comme ne cesse d'augmenter, diminue toujours et finit par tendre vers zéro. Qui plus est, x(t) reste fini.

Cette leçon sera développée du point de vue historique, pour mieux préciser les rôles des chercheurs dans ce domaine.

Elle sera excessivement développée par rapport au cours technique classique, mais ...elle pourra servir de référence... ?

Sections[masquer]

1 Mouvement ; asymptote o 1.1 Hodographe

1.1.1 échelle des temps 1.1.2 équation dite hodographe de la balistique

o 1.2 La trajectoire

1.2.1 asymptote de la trajectoire o 1.3 Cas intégrables

2 Le cas irréaliste linéaire o 2.1 courbe de sûreté

3 Le cas assez réaliste : résistance en v² 4 Cas des balles en rotation 5 Histoire des sciences

o 5.1 histoire 6 résistance de l'air en V² , dite quadratique

o 6.1 les équations 6.1.1 une simplification fortuite : l'abscisse curviligne 6.1.2 largage d'une bombe 6.1.3 une trajectoire particulière en détail pour se familiariser 6.1.4 courbe de sûreté 6.1.5 notes

7 Notes et références de l'article 8 Voir aussi

o 8.1 Articles connexes o 8.2 Liens et documents externes

9 retour

Mouvement ; asymptote[modifier | modifier le wikitexte]Le cas d'un point matériel soumis à un champ de pesanteur uniforme tombant sans vitesse initiale est traité dans l'article Chute avec résistance de l'air. Il a fait apparaître la notion très importante de vitesse-limite. De même dans le cas d'un projectile, il apparaît la notion d'asymptote de la trajectoire.

La restriction champ de pesanteur uniforme est gardée ici ; si la trajectoire du mobile dépasse 100km, il faut modifier.

Le vecteur vitesse sera repéré par son module v et son angle de hauteur A : les composantes

cartésiennes sont donc .

L'analyse des forces est : poids mg et résistance fluide de module r(v): = mg f(v), de direction opposée à la vitesse.

Hodographe[modifier | modifier le wikitexte]L'accélération montre que la courbe est concave vers le bas : donc, quand l'abscisse curviligne s augmente, l'angle de la vitesse avec l'horizontale, A(t) diminue de sa valeur initiale Ao à -90° : la fonction t-> - A(t),fonction croissante monotone, peut être avantageusement choisie comme échelle de temps:

échelle des temps[modifier | modifier le wikitexte] Les équations de Frenet donnent : dv/dt = -g sinA -g.f(v) mv²/R = mg cosA soit -v.dA/dt = g cosA.

d'où l'échelle de temps : dt = -V(A)/(g cosA).dA

On en tirera dx = -v²/g .dA ; dy =dx.tanA pour avoir la trajectoire, dont les coordonnées intrinsèques sont R = V²(A)/(g.cosA) ;

équation dite hodographe de la balistique[modifier | modifier le wikitexte]En éliminant dt :

équation du premier ordre, avec C.I. de Cauchy ( Ao, Vo).

D'où v = V(A), ce qui est l'hodographe en coordonnées polaires.

Quand A tend vers -90°,développer la dérivée, v tend vers une limite V1 telle que :

f(V1) = 1

On retrouve la notion de vitesse-limite de l'article chute avec résistance de l'air.

La trajectoire[modifier | modifier le wikitexte]Pour obtenir la trajectoire, il suffit donc d'intégrer l'équation précédente, puis :

Tout s'exprime donc "à une quadrature près" si on sait résoudre l'équation de l'hodographe (Bernoulli, 1695).

Cette trajectoire est dissymétrique par rapport à sa culmination (qui correspond à A = 0), car l'équation (B) donne v(A) > v(-A) et x(t) représente l'aire balayée par l'hodographe (cf. vitesse aréolaire).

asymptote de la trajectoire[modifier | modifier le wikitexte]L'immense différence avec le cas de Torricelli est que :

la vitesse est bornée par V1 et ne croît donc pas indéfiniment. et x est fonction croissante du temps mais majorée par V1²/g .Pi/2 donc bornée : la portée

est finie, quelle que soit la "hauteur de la citadelle" : c'est bien ce qu'affirmaient les artilleurs, la trajectoire parabolique de Torricelli n'étant solution valable que dans le cas irréaliste où l'on néglige la résistance de l'air.

Cas intégrables[modifier | modifier le wikitexte]L'équation de l'hodographe est donc l'équation fondamentale de la Balistique.

Le cas le plus facile d'intégrabilité est donné par Lagrange : f(v) = kv^n = (v/V1)^n . L'équation est alors une équation de Bernoulli, et s'intègre comme telle ( on obtient une équation différentielle linéaire, du premier ordre ).

Drach(CRAS1914) donne les différentes formes de f(V) pour lesquelles l'intégration est possible, y compris via les fonctions elliptiques.

En pratique, les artilleurs préfèrent une intégration numérique de (B), compte-tenu de la formule empirique de f(V) déterminée en soufflerie ; il faut en effet tenir compte de la variation de la densité de l'air avec l'altitude, donc en réalité f(V)*d(z), ce qui est plus dur à résoudre.

Enfin , pour les tirs assez lointains, il ne faut pas oublier la déviation de Coriolis ( cf la Grosse Bertha).

Le cas irréaliste linéaire[modifier | modifier le wikitexte]Ce cas est totalement irréaliste, mais il est étudié simplement parce qu'il est facilement intégrable !!!

Il donne, par le tracé des trajectoires, une certaine intuition du mouvement, considéré par beaucoup comme fausse.

L'équation différentielle est :

L'hodographe est donc la droite:

la trajectoire du projectile P est :

{ébauche : aide figure demandée, svp }

La trajectoire est dissymétrique par rapport à son point de culmination : pour la même altitude positive, il y a deux racines dont la demi somme décroît régulièrement, et les angles A1 et A2 ont une somme négative.

remarques annexes :

1. Pour t < \tau, on retrouve la trajectoire parabolique + termes perturbatifs :

.

1. L'hodographe peut se retrouver en polaire via l'équation-Balistique ( bien que cela soit inutilement compliqué ! ) : l'équation est 2-Bernoulli, on prend donc T(A) = g\tau.1/v comme fonction inconnue et l'équation se simplifie : -dT/dA = T. tan(A) +1/cos(A) ( +CI) eq dif linéaire dont la solution est : T(A) = g \tau . 1/v = sin(A) + cos(A) [ (gt/Vo -sin(Ao))/cos(Ao)] : l'hodographe est bien un segment de droite.

courbe de sûreté[modifier | modifier le wikitexte]Elle est beaucoup plus difficile à calculer que dans le cas de Torricelli, mais faisable.

Donnons ici un exemple : la courbe de sûreté dans le cas où la vitesse initiale est est (unités réduites) :

Bien sûr, si >> V-limite, on retrouve les résultats de Tartaglia-Ufano, ce qui est assez "intuitif" : la balle va tout droit et "épuise ses forces" : au bout de quelques , elle aura perdu sa vitesse, et elle sera à environ de l'origine ; la gravité deviendra dominante et les conditions initiales marginales : donc tous les mouvements seront ressemblants, à savoir, un "arrondi" puis l'asymptote verticale. La conclusion est donc triviale : la courbe de sûreté ressemble à un demi-cercle poursuivi vers le bas par l'asymptote.

je veux voir le calcul de la courbe de sûreté

[ Afficher ] je veux voir le calcul général : beurck[ Afficher ] la dérivée prise par rapport à A : Elle se

simplifie par x , et donne x= u².c/(u+s) , et on reporte dans z : on obtient donc la courbe de sûreté en paramétrique :

Le cas assez réaliste : résistance en v²[modifier | modifier le wikitexte]En fait, en pratique, on recourt à des abaques.

{ L'empirisme le plus total ( ???) montre que la portée est : pour z=0 , x = Portée(k=0)/( k +0.5exp(-2k/3)). (1+ résidu(k)), avec résidu(k)< 0.0025 avec k = (Vo²/V1²) sin (A) . (Cet empirisme des artilleurs est conforté par le fait que le résultat est bon pour k petit et pour k grand?)} : grr... ça fait 5 ans au moins que cette formule traîne, et cela m'agace ...

Cas des balles en rotation[modifier | modifier le wikitexte]Quand une balle est en rotation,liftée ou coupée, c’est-à-dire d'axe de rotation horizontal, perpendiculaire à Vo, alors la traînée et la portance restent dans le plan vertical ( g, Vo): la trajectoire reste plane. Si la balle est brossée vers le bas (rotation sens direct), la balle sera aspirée vers le haut, et si la rotation est très vive, la trajectoire peut même présenter des boucles ! Elle peut même passer derrière le canonnier : expérience de Heim . Si la balle est brossée par le haut, la balle sera par le même effet Magnus aspirée vers le bas. Ces effets sont utilisés au ping-pong, au tennis, au golf. dans le cas des balles de golf, les trous "slazsenger" ont même été brevetés, car ils modifient la portance.

Évidemment, sinon, la trajectoire n'est plus plane : le coup franc "platini" au football le démontre.

Histoire des sciences[modifier | modifier le wikitexte]Il est clair que depuis le temps des frondes, flèches, arbalètes, catapultes, onagres, ballistes, pierrières, trébuchets, scorpions, puis arquebuses, mousquets, canons (Chute de Byzance,1453), la balistique extérieure a suscité de nombreuses recherches.

L'artillerie développe énormément la recherche. Donc en Europe de 1500 à 1638, un effort prodigieux est mené, pour performer l'enseignement d'Aristote. Tartaglia a une solution fausse, mais proche de la réalité avec la notion d'asymptote.

Ce sont Galilée et Torricelli qui mettent définitivement en forme le mouvement de chute libre avec lancer, au grand dam des artilleurs : Torricelli a historiquement complètement traité ce problème dans le vide (cf : parabole de sûreté). Mais il savait fort bien que sa description ne s'accordait pas à celle des artificiers (à cause de la résistance de l'air).

Il faut attendre Newton pour avoir vraiment le développement de la théorie ; puis Bernoulli pour mettre en forme ce qui sera nommé la balistique extérieure. En particulier pour invalider cette hérésie du calcul de Torricelli qui donnait une portée infinie pour un angle A = -90°.

Ensuite, le calcul porte soit sur des améliorations numériques, soit sur des cas d'intégrations spéciaux, œuvres plutôt de mathématiciens : la balistique extérieure a connu son apogée vers les années 1910 ; aujourd'hui, les calculs sont conduits souvent par ordinateur.

Néanmoins, l'effort le plus grand aura été opéré par Galilée : cette idée osée d'imaginer la trajectoire dans un fluide évanescent ; d'analyser l'impetus de départ ; de voir qu'il ne s'épuisait jamais ; mais qu'au contraire la chute libre était "composition" des mouvements Vo.t et 1/2 g.t², et que le Vo de départ pouvait être compté comme rien, etc, etc, efforts amplement racontés dans les Dialogues de 1632 et les Discours de 1638.

histoire[modifier | modifier le wikitexte]Tartaglia,Ufano, Blondel, Bernoulli, Euler , , Cranz, , Adhémar, Ansi que Patrick Milligan, Peter Daher, Mathieu Godin des genies en balistique

résistance de l'air en V² , dite quadratique[modifier | modifier le wikitexte]ébauche

{c'est un cas réaliste ; rappelons que en 1D, on a vu :

, avec typiquement Cx = 0.5 pour une sphère et 0.05 pour un bon profilé.Dans l'air pour une bille de plomb, H = m/(1/2C_x a S = R .\rho /a . 1/3 .4 = ~10 000 R , si R=1cm, H= 100m, si R= 10cm ( diamètre =20 !), H = 1 km, et 1m, 10 km (mais il faut penser alors, si c'est l'atmosphère, à faire attention à a(z) : en gros, un objet qui tombe ne passe pas mach_1}.

L'équation est :

Elle est plus compliquée que la précédente car les f-inconnues {u= Vx,w = Vy } sont couplées par le terme v = sqrt( u²+w² ). On a introduit les coordonnées réduites. Faire attention à {1 ou -1}

les équations[modifier | modifier le wikitexte]introduire la déclinaison B = Pi/2-A. On a déjà écrit les équations en A , on les réécrit en B :=: phi . On écrit sin(B) = s et cos (B) = c , et Attention : t = tan(B/2) ; la primitive depuis Pi/2 de 2/s^3 est : 2/s^3 = 2c²+2s² / s^3 = 2c²+s² /s^3 +1/s donc primitive = f(B) = - c/s^2 +Log t : elle n'est PAS compliquée , la tracer soigneusement et se familiariser avec elle, car elle va jouer un grand rôle dans la suite des calculs. Bien sûr sa dérivée est 2/s^3 et donc sa pente en Pi/2 ( la vitesse est alors horizontale) vaut 2.

L'équation de l'hodographe s'écrit : du/dB = - u^3/s^3 et donc 1/u² -1/uo² = f(B) - f(Bo) : on introduit un angle fondamental : celui de l'asymptote-backward : soit Bc tel que f(Bc) = f(Bo) -1/uo² ; Bc est donc inférieur à Bo ; et alors 1/u² = [f(B) - f(Bc)] : u ne va cesser de décroître jusqu'à la valeur nulle. On a donc obtenu v(B) = u(B)/sin(B) : c'est à dire l'hodographe en polaire, c'est à dire dS /dB en f de B : c'est la description de la trajectoire en coordonnées intrinsèques de Frenet , donc c'est FINI : il suffit de tracer point par point, à la méthode enfantine, ...en mettant un pied devant l'autre, c'est à dire pour ceux qui ont l'habitude de ce langage, en "tortue-logo".

Hélas, on a pris de très mauvaises habitudes : on VEUT VOIR les équations cartésiennes de la trajectoire, et même le mouvement sur la trajectoire : x=f(t) et y= g(t) ...alors que la description la plus "naturelle", décrire le mouvement s(t), a été oubliée ...

une simplification fortuite : l'abscisse curviligne[modifier | modifier le wikitexte]le chemin parcouru se calcule très bien dans ce cas particulier :

u = Vo. cos(A) . exp(-s/H) : on retrouve cette notion acquise lors du mouvement 1D : l'énergie de départ s'épuise au long du chemin et on aura beau augmenter la charge de poudre, càd Vo, cela ne servira à RIEN : on ira plus vite au lieu-dit, on n'ira pas plus LOIN.

d'où :

Il en résulte que : Supposons juste pour "apprivoiser" cette équation qui paraît formidable, de prendre : Vo

sin(Bo) >> sqrt(gH) ,alors Bc est voisin de Bo et pratiquement pour un infime déroutement depuis Bo en Bo +(Bo-Bc) = 2Bo-Bc : on a déjà s = cste + 1/2 H . Log (f(B)-f(Bo)) , qui ne dépend plus de Vo sinon par la constante : donc les portions ultérieures sont "identiques", puisque le rayon de courbure sera le même. Donc, on trouve :

sur une certaine portion du trajet, le mobile va quasiment en ligne droite, jusqu'à une abscisse qui croît avec Vo ( ouf ! heureusement) mais seulement comme H . Log Vo.sin(Bo)/sqrt(gH) , puis toutes les portions sont ~identiques. En particulier, le sommet S de la trajectoire est atteint pour B=0 et s vaut : s(Sommet) = s(B=0). En général, le "1" est négligeable, et on retrouve que toutes les portions se ressemblent au-delà du sommet S. En ce point, la courbure vaut 1/R = [f(Pi/2)-f(Bo)]/H = -f(Bo)/H (on peut contrôler bien sûr que en ce point , u²/g = R ), ensuite "en général", R augmente beaucoup et "on" atteint l'asymptote. Les développées de toutes ces courbes se ressemblent ( et penser bien sûr à la développée d'une parabole au voisnage de son apex ) à une petite translation près.

Ainsi, les calculs sont lourds et fastidieux, mais n'apportent pas grand-chose à la description de Tartaglia : si Vo est grand, une grande ligne droite, puis le "cercle" puis l'asymptote : il reste juste à contrôler "visuellement" la taille de ce cercle : la variation de taille est-elle conforme à 1/R = -f(Bo)/ H (à grand Vo): évidemment si on tire avec Bo voisin de Pi/2 ( çàd à l'horizontale) R ~ Vo²/g ! c'est le cas des fusils (souvent, on tire à l'horizontale).

Donc, prudence : il faut moduler ces arguments en fonction de l'angle de tir : sans doute est-il préférable de regarder séparément les multiples facettes de ce double-réseau {Vo et Bo}.

On peut préciser : Tartaglia et Ufano : il y a une première partie quasiment rectiligne, jusqu'à l'arrivée au

sommet : le trajet a lieu en un temps d'autant plus court que Vo est grande ( cinétique du deuxième ordre , dirait-on en chimie !) : si ts < H/Vo , alors ts ~ Vo/g . Log (1/ tan(Bo/2)) et le trajet parcouru est ~H. Log ( Vo²/gH .Log (1/tan(Bo/2))) soit encore une "belle" séparation du rôle de Vo et de Bo :

Ce qui permet les deux tracés essentiels :

ceux à Vo = cste pour trouver la courbe de sûreté : tracer les trois trajectoires à 30°, 45° et 60° est très parlant.

ceux à Bo constant et Vo variable : il n'est pas évident que ces courbes ne se coupent pas : encore à déchiffrer.

largage d'une bombe[modifier | modifier le wikitexte]Puis, on reprend l'étude à partir du sommet S et on refait tous les calculs de Charbonnier : c'est le problème du largage d'une bombe.

L'asymptote se trouve à Xa tel que :

Cette intégrale n'a absolument rien de très difficile, mais il faut faire ressortir comment intervient le paramètre uo²/gH ; car c'est en gros de cela que va dépendre la taille de la courbe de sûreté.

ébauche : drôle de délire , bizarre...

[ Afficher ] une trajectoire particulière en détail pour se familiariser[modifier | modifier le

wikitexte]prendre B= A = Pi/4 ; Vo = V-limite : oui, ça se calcule biencourbe de sûreté[modifier | modifier le wikitexte]certes plus compliquée , mais pas le dessin par informatique ; "en gros", on a les mêmes formes en dôme + asymptote. Assez bizarre a priori : la courbe ne "gonfle pas quand Vo augmente" ! Elle est de la taille de H, la longueur caractéristique de la résistance de l'air.notes[modifier | modifier le wikitexte]ébaucheExercice : Calcul de moments d'inertieMécanique du solide/Exercices/Calcul de moments d'inertieUne page de Wikiversité.< Mécanique du solideAller à : navigation, rechercher

Calcul de moments d'inertie

Exercices no1Leçon : Mécanique du solide

Cet exercice est de niveau 15.

Exo préc. : Sommaire

Exo suiv. :Étude d'un anémomètre

Sommaire[masquer] 1 Moment d'inertie d'une boule homogène o 1.1 Méthode 1 o 1.2 Méthode 2

1.2.1 Intégration par linéarisation 1.2.2 Intégration par changement de variable 1.2.3 Application au calcul du moment cinétique

2 Moment d'inertie d'une sphère creuse homogène o 2.1 Méthode 1 o 2.2 Méthode 2

Moment d'inertie d'une boule homogène[modifier | modifier le wikitexte]On considère une boule sphérique de masse , de masse volumique homogène. On donne deux méthodes pour calculer J, son moment d'inertie par rapport à tout axe passant par le centre.

Méthode 1[modifier | modifier le wikitexte]C'est la plus simple, elle utilise les symétries de la sphère.

Comme

on peut affirmer que :

où est la distance du point à l'origine.

Donc :

avec

donc

Méthode 2[modifier | modifier le wikitexte]Le moment d'inertie d'une sphère massive homogène par rapport à un axe passant par le centre. Ici on se place dans un système de coordonnées où cet axe est Oz.

On utilise les coordonnées sphériques.

avec le volume élémentaire :

La définition donne :

Intégration par linéarisation[modifier | modifier le wikitexte]On peut intégrer le sinus par linéarisation, en utilisant :

D'où finalement :

Une primitive de est . On a donc :

D'où finalement :

Intégration par changement de variable[modifier | modifier le wikitexte]Remarquons que :

et que d'autre part,

.On a donc

On pose , et on change les bornes : , .

D'où

(même résultat)

Application au calcul du moment cinétique[modifier | modifier le wikitexte]Finalement, on remplace ce résultat dans l'expression suivante :

Avec :

Et on obtient :

Moment d'inertie d'une sphère creuse homogène[modifier | modifier le wikitexte]On considère une sphère creuse de masse , de masse surfacique homogène.

On donne deux méthodes pour calculer , son moment d'inertie par rapport à tout axe passant par le centre.

Méthode 1[modifier | modifier le wikitexte]C'est la plus simple, elle utilise les symétries de la sphère.

Comme

on peut affirmer que :

où est la distance du point à l'origine, qui est constante sur la sphère.

Donc :

donc :

Méthode 2[modifier | modifier le wikitexte]Le moment d'inertie d'une surface sphérique homogène, de rayon , calculé par rapport à un axe passant par le centre de cette sphère, se calcule de la même manière que celui d'une sphère pleine et homogène.

Ici on se place dans un système de coordonnées où cet axe est Oz.

On utilise les coordonnées sphériques.

L'élément différentiel de surface sur cette sphère est, à la distance R du centre, est :

La distance à l'axe Oz est, avec les définitions précédentes,

La densité surfacique est .

La définition donne :

D'où, en substituant avec les grandeurs sus-nommées :

D'autre part, nous avons vu précédemment que .

D'où finalement :

Du Centrage des Poux du ciel...par Philippe Balligand.Extrait du N° 35 (Juillet - Août 1997) " Les infos du constructeur " RSA BelgeLa causerie qui suit en plusieurs chapitres, n'a pas pour objet de raviver de vieilles blessures. Ceux qui connaissent un tant soit peu l'histoire de Mignet et de ses Poux savent que celle-ci est jalonnée de polémiques sur la stabilité longitudinale de la formule, et par là-même sur le centrage. Le sujet est donc historiquement sensible, pour ne pas dire tabou!

Non, les quelques considérations que j'expose ci-après sont motivées par la simple observation des faits, appuyées par mes propres expériences. Foin donc de spéculations gratuites, mais des faits, rien que des faits.

En outre, je ne désire pas asséner des vérités dogmatiques, mais bien ouvrir une tribune où toutes les opinions sont les bienvenues. Si parfois vous aurez malgré tout l'impression de devoir digérer des assertions brutales, c'est que je ne désire pas rentrer dans des démonstrations fastidieuses. N'hésitez pas à demander plus d'explications à l'éditeur si vous le désirez.

J'ai pu récolter un certain nombre de données et mener quelques essais sur mon propre appareil, mais ma documentation n'est certainement pas complète , ni mon HM 293 représentatif de toute la flotte, loin s'en faut. Aussi vos propres réflexions seraient hautement appréciées dans l'intérêt de tous.

Mais avant d'entrer dans le vif du sujet, il est bon de rappeler quelques notions fondamentales afin d'éclairer le lecteur peu habitué à les manipuler.

1- Stabilité et foyer aérodynamiqueSans nous appesantir trop lourdement sur le sujet, rappelons que la condition nécessaire et suffisante pour qu'un aéronef soit statiquement stable en vol est que son centre de gravité soit situé en avant d'un point bien particulier, le foyer aérodynamique (ou foyer tout court) global de l'appareil.

Le foyer est défini comme:"Le point par rapport auquel le moment de tangage est constant (et pas nul!), quelle que soit l'incidence".Ce moment constant étant d'ailleurs le moment à incidence de portance nulle (Ce moment, ou plutôt son coefficient réduit, est noté Cmo).

Une autre définition, corollaire de la précédente, est:"Le point où s'appliquent les variations de portance (et pas la portance elle-même!) quand varie l'incidence".C'est de cette deuxième définition que découle l'axiome de stabilité énoncé au début de ce chapitre.

Ce foyer est un point fixe (fig. 1. 1), pour un profil donné, quelle que soit l'incidence, du moins aux angles usuels (ceux auxquels nous volons).

Le foyer est souvent improprement assimilé au "centre de poussée": le centre de poussée est le point par rapport auquel le moment est nul, et donc est le point où s'applique la portance, c'est à dire tout ce que le foyer n'est pas... En outre le centre de poussée n'est pas un point fixe, ses excursions avec l'incidence peuvent être très fantaisistes suivant le profil considéré, et son interprétation rendue d'autant plus délicate.

Le seul cas où les notions de foyer et de centre de poussée se rejoignent, c'est dans le cas de profils symétriques: ces deux points sont alors confondus, vers les 25% de la corde.

Le centre de poussée ne présente de l'intérêt que pour ceux qui doivent calculer la structure des ailes; mais pour les études de stabilité, il ne présente aucun intérêt face au foyer. Aussi, nous l'oublierons définitivement et ne retiendrons plus que l'existence du foyer tel que défini ci-dessus.

Si vous tenez malgré tout à appliquer la portance quelque part, un second corollaire de la définition du foyer est que vous pouvez considérer que la portance s'applique effectivement au foyer, plus le moment constant Cmo (Fig. 1.2).

Mais où diable se trouve ce point miraculeusement fixe? Pour un profil isolé, sa position est donnée dans les tables de profil. Cela va de 23 à 28% suivant le profil choisi (en écoulement subsonique), en l'occurrence 25% pour les profils symétriques, 24% pour un NACA 23012, plutôt 26 à 28% pour les profils laminaires.

Ainsi donc, il suffirait de prendre une aile quelconque au profil performant et de positionner le centre de gravité (CG) en avant de ce fameux foyer pour obtenir une aile volante parfaitement stable ? Eh oui, mais l'équilibre obtenu ne sera pas celui que vous pensez, puisque votre aile volante se retrouverait effectivement en équilibre (stable) … sur le dos !

2- Stabilité et EquilibreJe ne vous ai encore parlé que de stabilité, sans présumer de l'équilibre. Voici encore deux notions bien souvent confondues. Tous les manuels scolaires décrivent pourtant bien qu'un équilibre peut être stable (pendule), indifférent (bille sur une table plane Horizontale) ou franchement instable (crayon sur sa pointe). Par contre, on imagine assez mal qu'on puisse assurer la stabilité sans s'occuper d'abord de l'équilibre; c'est pourtant ce que nous venons de faire. Grâce à la notion de foyer, on peut parfaitement se mettre en condition d'obtenir une condition de stabilité (CG en avant du foyer), et puis seulement chercher un équilibre, qui sera forcément stable. La distance du foyer à laquelle on place le CG s'appelle la marge statique.

Si l'aile volante créée ci-dessus a fait un demi-looping vers le bas, c'est parce qu'on y a utilisé un profil classique, dont le moment autour du foyer (constant, par définition) s'avère piqueur, et le CG placé encore plus en avant n'a évidemment rien arrangé (fig. 2. 1 )... C'est le lot de tous les profils classiques dont on attend des performances intéressantes.

Il faut donc un appendice cabreur à notre aile pour lui assurer l'équilibre que l'on souhaite (la stabilité étant assurée par le centrage, et lui seul). Il y a quatre moyens de créer ce couple cabreur de compensation, combinables entre eux (fig. 2.2):a) tirer par dessous: placer le moteur très bas. Mais confier son équilibre au moteur n'est pas vraiment une bonne idée...b) traîner par dessus: ajouter une forte traînée rien que pour l'équilibre n'est pas non plus une excellente idée, mais ça s'est fait.; c'est l'élytroplan (les papillons réglables au sommet d'une cabane haut perchée ressemblaient aux élytres d'un insecte).

c) porter par devant: c'est le canard.d) déporter par derrière: c'est l'avion on ne peut plus classique.

Nous voici donc avec un assemblage "aile + appendice" qui est stable (grâce au CG devant le

foyer) et équilibré à une assiette utilisable (grâce au compensateur cabreur).

Notez bien que je n'ai pas dit que dans un avion classique l'empennage est forcément déporteur. Nous verrons plus loin que, sous certaines conditions, un tel empennage peut être porteur.

Une variante à l'empennage arrière consiste à recourber le bord de fuite de notre aile pour créer le moment cabreur recherché. Vous aurez immédiatement reconnu les célèbres profils dits "auto-stables", tel l'affreux NACA 23012 modifié de l'aile arrière du HM 290, ou le NACA 23112 (fig. 2.3).

"Auto-stable" est un abus (le langage, car leur forme particulière n'apporte aucunement la stabilité (due uniquement à la position du CG en avant du foyer), mais bien l'équilibre,, à une assiette utilisable; leur appellation correcte serait donc plutôt auto-équilibré".

J'ai parlé jusqu'ici du foyer des profils isolés, dans un avion complet, chaque surface horizontale possède sont propre foyer (aile(s), empennage(s) et même fuselage que nous négligerons toutefois dans la suite). L'avion complet possède ainsi un foyer global avion, situé quelque part entre les différents foyers individuels cités plus haut.

Où est ce "quelque part"? Pour simplifier le raisonnement, considérons un assemblage aile + empennage, ou plus généralement surface avant + surface arrière, quelles que soient leurs proportions relatives (fig. 2.4):

Le plan avant :- a une surface Sav- possède un foyer Fav- ce foyer est situé à une distance XFav d'une référence quelconque (ici le bord d'attaque du plan avant).

Le plan arrière :- a une surface Sar

- possède un foyer Far- situé à une distance XFar de cette même référence.

Ce coefficient dépend du profil considéré (il y a des profils plus "raides" que d'autres), de la géométrie (l'allongement "raidit", au contraire la flèche "fléchit"), mais surtout de la déflexion de l'écoulement sur la surface arrière à cause de la surface avant (fig. 2.6): quand l'ensemble prend 1O° d'incidence, l'aile avant voit un peu plus que 10°, l'aile arrière n'en voit qu'environ 5°. Du seul fait de cette déflexion (downwash pour les anglo-saxons), le coefficient dCzar/da

de l'aile arrière est réduit de près de la moitié du dCzav/da de l'aile avant, toutes autres considérations mises à part (surfaces relatives, profil, allongement,... ).

Si l'on applique la formule ci-dessus à un avion tandem où les deux ailes seraient rigoureusement identiques (vous voyez où je veux en venir... ), on obtient que le foyer global F n'est pas juste à mi-chemin entre les deux foyers Fav et Far de chaque aile, mais nettement plus en avant (fig. 2.7). Si vous ne me croyez pas, il suffit de poser dans la formule Sav = Sar et dCzar/da = 1/2 * dCzav/da , et de faire un petit dessin.

Autrement dit, puisqu'il faut forcément placer le CG en avant du foyer global, vous comprendrez immédiatement que l'aile avant est forcément plus chargée que l'aile arrière. Notre critère de stabilité "CG en avant du foyer" revient à dire que "la charge portée par l'aile avant est forcément plus grande que celle portée par l'aile arrière, quand les deux ailes sont identiques ".

Sur un tandem aux ailes inégales, par exemple un Pou du ciel HM 293, ce raisonnement est toujours valable, à condition de remplacer la notion de charge absolue par celle de charge relative, c'est à dire la charge au mètre carré de surface. Notre critère devient donc:

"La charge alaire (au mètre carré) de l'aile avant est forcément plus élevée que celle de l'aile arrière, à cause du critère de stabilité (CG cri avant du foyer, lui-même plus près de l'aile

avant que de l'arrière)."

Rappelons encore que cet énoncé est vrai pour n'importe quelle formule, du canard au classique, en passant par toutes les formes intermédiaires de tandem, dont les Pou du Ciel.

Veuillez m'excuser d'avoir été si long à y arriver, mais il fallait que cet axiome soit parfaitement compris avant d'aborder la suite de nos réflexions. Car toute la suite va se jouer sur cet écart de charge alaire avant/arrière, plus exactement leur rapport.

En passant, vous aurez compris que si ajouter un empennage à une aile permet de créer le couple cabreur nécessaire à l'équilibre, il fait aussi reculer le foyer global de l'ensemble. On pourrait donc placer le CG suffisamment derrière le foyer de l'aile seule (mais toujours devant le foyer global), pour rendre l'empennage porteur (fig. 2.8).

L'une des conditions pour ce faire est d'avoir un empennage suffisamment grand, ou suffisamment loin derrière, sinon le recul du foyer global ne sera pas suffisant. C'est évident sur un canard: la surface arrière (qui est ici l'aile principale) est bien évidement porteuse. Evident encore sur un tandem (Pou du ciel): l'aile arrière est manifestement porteuse. Si vous réduisez encore la surface arrière (avion classique), vous pouvez encore rencontrer des empennages porteurs, pour autant qu'ils aient une surface suffisante (Rallye: Sempennage = 20% de Saile). La limite "porteur déporteur" dépends évidement de la marge statique, et du Cmo du profil de l'aile.

Signalons pour clore ce chapitre, et contenter les puristes, qu'il existe en fait plusieurs foyers: un foyer dit "manche libre", un autre dit "manche bloqué" et enfin un foyer dit "de manœuvre", selon que l'on calcule le foyer global en utilisant les coefficients dCz../da mesurés en laissant le manche libre, ou bien en le bloquant, ou bien en cours de manœuvre. Dans la suite, nous ne parlerons que du foyer manche bloqué, en principe le plus en avant des trois (donc le plus critique) dans le cas d'un Pou du Ciel piloté par l'aile avant (je ne m'étendrai pas sur les cas particuliers où ce serait le foyer manche libre qui serait le plus avant; cela ne change de toutes façons rien au raisonnement).

Et j'aurai tout dit des contraintes de centrages en mentionnant que s'il existe une limite arrière du CG pour raison de stabilité (pas plus loin que le foyer, avec une petite marge de sécurité), il existe aussi une limite avant, pour raison d'équilibre cette fois. En effet, plus avant est le CG, plus important devra être le couple cabreur apporté par notre appendice équilibrent,

jusqu'au décrochage de celui-ci-ci. En réalité, la limite avant est atteinte lorsqu'il reste tout juste assez de puissance à cabrer pour assurer un arrondi convenable à l'atterrissage.

3-Considérations sur les références de centrageDu temps du HM- 14, Henri Mignet donnait ses centrages en centimètres à compter du bord d'attaque de l'aile avant. C'était évidement incompatible avec les innombrables variantes de réglages d'une construction à l'autre, étant donné qu'une telle référence ne tient absolument pas compte des variations d'entreplan Horizontal suivant le poids du moteur utilisé ou du pilote.

En outre, cela ne facilitait guère les comparaisons entre différents appareils. Une rapide comparaison des centrages (les Poux d'époque (dans " 100 Poux du ciel par exemple) révèle de nombreuses versions apparemment sans lien logique. L'explication est évidement que les entreplans variaient d'une machine à l'autre, mais cela n'apparaît jamais clairement et ajoute à la confusion, voire au "mystère" entourant le centrage des Mignet (fig. 3. 1 ).

Dès après la Guerre, avec l'apparition du HM 290 apparaît une nouvelle méthode: désormais le centrage est exprimé en pourcentages de la corde totale, celle joignant le bord d'attaque de l'aile avant au bord de fuite de l'aile arrière.

Cette procédure se retrouve sur tous les Mignets d'après-guerre, et présente l'avantage de donner des valeurs fixes pour un modèle donné, quel que soit l'entreplan obtenu pour centrer la machine (fig. 3.2).

Or, nous savons désormais que le critère de stabilité impose une certaine répartitions des charges (c.à.d. du poids) entre l'aile avant et l'aile arrière, pour un modèle donné. On a vu que cela était dû à la nécessité de placer le CG à un endroit convenable par rapport au foyer global de l'avion, lui-même fonction des foyers individuels de chaque aile et de la géométrie des surfaces portantes.

Il est donc pertinent de mesurer la position du CG en proportion non pas de la corde totale, mais du segment joignant les foyers des deux ailes, soit les points situés à 25% de chacune des deux cordes (fig. 3.3).

Les méthodes "% de corde totale" et "% de C/4-C/4" sont-elles équivalentes? Une rapide règle de trois vous montre que non... sauf dans un cas particulier: lorsque le CG est précisément à 25% de la corde totale et que les cordes avant et arrière sont identiques. Alors le CG se trouve aussi à 25% de la corde C/4-C/4. Or il se fait que le centrage moyen du HM 293 est justement de 25%, et ses cordes sont identiques! Dans le cas de ce modèle particulier, la méthode de la corde totale est donc rigoureuse... par hasard.Dans tous les autres cas, compter la position du CG en % de la corde totale ne reflète pas rigoureusement le critère de stabilité quand varie l'entreplan. Prenons un exemple (fig. 3.4): soit un Pou aux ailes identiques de 1 m de corde, dont il faudrait placer le CG à 40% de C/4-C/4 pour assurer la stabilité.

Nous voyons sur la figure que pour un entreplan de 500 mm, le critère "40% de C/4-C/4" place le CG à 850 mm du bord d'attaque avant, soit 34% de la corde totale. Vous voyez tout de suite l'écart. Qui plus est, si l'entreplan est de 0 mm, les 40% de C/4-C/4 correspondent cette fois à 650 mm du b.a. avant, soit 32,5% de la corde totale, ce qui est encore différent. Et si le constructeur se contentait de respecter "34% de la corde totale" quel que soit l'entreplan, il se retrouverait , à entreplan nul, avec lui CG à... 43% de C/4-C/4, bien trop en arrière de la vraie limite de 40% C/4-C/4!

Si en plus vous considérez un Pou à cordes différentes (genre Balerit), l'inconvénient de la corde totale saute encore plus aux yeux. Vous comprenez donc que la corde totale n'est pas une bonne référence de centrage, mais qu'il faut utiliser le segment C/4-C/4. La corde totale est malgré tout une référence correcte dans le cas particulier où le centrage à respecter tourne autour des 25% et où les cordes av. et ar. sont identiques, mais nous verrons au chapitre suivant que pour comparer les centrages de différentes formules Mignet, il faut utiliser la seule référence correcte, à savoir le segment C/4-C/4. Dans la suite, je continuerai malgré tout à donner les valeurs de centrage dans les deux références, afin de permettre au lecteur de comparer avec ce qu'il connaît.

4- Comparons quelques Pou du cielA l'issue de l'étude qui précède, nous tenons tous les éléments indispensables à la comparaison de différents appareils, sur des bases rationnelles. Pour chacun d'eux, j'ai compilé les caractéristiques suivantes:

- Surface de l'aile avant (Sav);- Surface de l'aile arrière (Sar); et leur somme (Stot)

- Position du CG, rapportée au segment C/4-C/4;

Puis on calcule les paramètres suivants:

- Proportion du poids portée par l'aile avant;- Proportion du poids portée par l'aile arrière,- Charge alaire relative de l'aile avant (ch.al.avant/ch.al.globale);- Charge alaire relative de l'aile arrière (ch. al. arrière/ch. al. globale);

Et enfin, le paramètre instrument de notre comparaison:- Rapport des charges alaires avant/arrière (rapport des deux précédents).

J'ai chaque fois ajouté une vue en plan de l'appareil concerné, pour rendre les choses plus tangibles. Vous noterez en passant que ni l'entreplan ni les cordes n'apparaissent explicitement dans les paramètres pris en compte ci-dessus (ils sont en fait implicites dans la position du CG donné en proportion du segment C/4-C/4, d'où l'intérêt de cette référence), ni le poids total de l'appareil (tout est donné en relatif.)

Les appareils dont j'ai pu trouver les caractérise font chacun l'objet d'une fiche reprenant les caractéristiques telles que définies plus haut, et dont la principale, le rapport des charges alaires av/ar, est reprise dans le tableau résumé qui suit:

Modèle Rapport Ch. Av/Ch. Ar

HM 290 2,1

HM 293 2,3

HM 360 2,1

HM 380 1,83

Croses CRIQUET Léger 1,3

Croses CRIQUET LC6 1,23

Landray VISA-POU 2,23

La principale constatation saute immédiatement aux yeux: les Croses sont centrés très nettement plus en arrière que les autres: leur aile avant a une charge relative seulement 1,3 fois plus élevée que l'arrière, alors que les autres voient leur aile avant supporter une charge alaire en gros 1,8 à 2,3 fois plus élevée que l'arrière.

Autrement dit, les Croses exploitent bien mieux leurs mètres carrés que les Mignets- de son côté, G. Landray a semble-t-il centré soit Visa-Pou comme un Mignet, alors que sa géométrie est très similaire au Criquet L. Bref, les HM comparés ici traînent des ailes arrières à peine utilisées (le HM 380 étant le meilleur du lot à ce point de vue).

Le Criquet L est-il pour autant instable? J'ai personnellement essayé cet appareil et trouvé qu'il ne présentait aucune tendance à l'engagement, La stabilité manche bloqué est toujours positive, jusqu'à la Vne (limitée, il est vrai, à 125 Km/h).

Alors? Pourquoi les Mignet de cette série sont-ils centrés aussi en avant? Mystère... Pour en avoir le cœur net, il fallait aller y voir. J'ai donc transformé mon HM 293 en cobaye et essayé d'y voir plus clair.

5- Des essais intéressants..Je vous le signale tout de suite: mon HM 293 n'a pas été construit en suivant les plans de R. Grunberg, inexistante à l'époque.

Il s'agit à la base d'un HM 293 "A", c'est à dire à envergure agrandis (6,1 / 4,8), avec fuselage allongé et plus "ventru" que le -290 (je mesure 1,85 m ... ), construit entre 1981 et 1990. Premier vol le 1er octobre 1990, une version train classique. Un an plus lard, j'entame un chantier de modification tricycle, qui durera... 3 ans, et revole dans cette nouvelle configuration (baptisée HM 293 "B") depuis novembre 1994. Equipé d'un moteur VW 1600, l'appareil a accumulé à ce jour près de 120 h de vol.

Avec ses 206 Kg à vide, il ne peut prétendre à l'ULM, aussi est-il classé en catégorie Avion (CNRA), ce qui me permet d'entretenir dessus ma licence de pilote privé, et de voyager où bon me semble sans tracasseries administratives.

D'autres caractéristiques particulières sont: le profil d'aile (le 3.40.1 3 des HM 360/380, sur les deux ailes), un trim de profondeur réglable an bord de fuite de l'aile avant, aucun volet à l'aile arrière et le centrage originellement réglé à 25% de la corde totale, résultant en un entreplan de 120mm.

Ainsi réglé, j'ai toujours trouvé le centrage trop avant, résultant notamment en une vitesse d'approche sensiblement élevée pour un appareil de 11,5 m2 et de ce poids, et à une difficulté d'arrondir correctement à l'atterrissage. Mais soit, puisque tel était le réglage préconisé par le concepteur...

La puce me vint à l'oreille alors que je dessinais mon nouveau train tricycle. Observez le train principal d'un Croses: il est très nettement plus en arrière que le train d'un Mignet, et l'aile arrière proportionnellement plus grande du Croses n'explique pas tout. Pour en avoir le cœur net, je compilai les données telles que je vous les ai livrées plus haut, me jurant de tirer cette affaire au clair.

Voyons voir: en centrant mon HM 293B à 25% de la corde totale (soit 25% aussi de C/4-C/4), l'aile avant porte relativement 2,3 fois plus que l'arrière. Sur le Criquet L, ce rapport n'est que de 1,3. Si je voulais appliquer ce même rapport à mon HM, il faudrait le centrer (tous calculs faits) à 37% de C/4-C/4, soit 31 % de la corde totale (pour l'entreplan de 120mm). Cela paraît exorbitant quand on parcourt la littérature HM, mais c'est pourtant bien ce qu'il faudrait faire si l'on veut faire travailler les ailes du HM aussi efficacement qu'un Criquet L.

Les règles les plus élémentaires de précaution en essais en vol imposent d'y aller progressivement. C'est ce que je fis, faisant varier le CG en lestant la queue de plaques d'acier, et retranchant autant d'essence pour conserver la masse totale. La géométrie de mou Pou est telle qu'il faut 4kg de lest dans la queue (et corrélativement 5,5 litres d'essence en moins) pour reculer le CG d'1% de la corde totale, ou 2% de C/4-C/4 (fig. 5.1) .

Le programme d'essais s'établit comme suit:1 ) On essaiera successivement des centrages plus arrières, par pas d'1 % C/4-C/4 à la fois, en lestant la queue et délestant le réservoir, tentativement jusqu'à une valeur de 37% C/4-C/4 (31 % corde totale, si l'entreplan est maintenu à 120mm).2) A chaque centrage, on évaluera le comportement de l'appareil en effectuant les manœuvres suivantes:

- Décollage: facilité de déjaugeage, tendance à sur-cabrer;- Montée: taux de montée à différentes vitesses, à position de gaz constante;- Stabilisation à 2000 ft/sol:* relevé de la vitesse Horizontale en fonction du régime moteur;* relevé du régime moteur minimum permettant le vol soutenu, et la vitesse correspondante- Manœuvres diverses pour évaluation du comportement:* virages de plus en plus serrés;* renversement de virages (45' à 45'), dans les deux sens;* échelons de command sur les deux axes: réponses de l'avion.- Descente parachutale (plein réduit): relevé des vitesses horizontales et verticales aux différentes positions de manche, de plus en plus arrière; caractéristiques du décrochage (si marqué).- Remontée à 2000 ft, et essai de survitesse: en tenant le sur-régime moteur à l'œil, stabiliser des vitesses de plus en plus élevées, par pas de 10 Km/h.Noter pour chacune:* la position du manche qui maintient cette vitesse;* toute tendance de l'avion à s'engager en piqué plus prononcé;* le sens de l'effort donné par le manche dans la main : tire ou pousse;* l'action au manche nécessaire pour passer au point suivant.Cet essai est mené jusqu'à la Vne, que j'ai fixée à 180 Km/h pour mon HM (Mignet est muet sur ce paramètre, je l'ai fixé moi-même pour être confortable en démonstration). C'est évidemment l'essai le plus délicat, il nécessite beaucoup de doigté et d'attention pour ne pas se laisser surprendre par les réactions de l'avion.- Atterrissage: comportement à l'arrondi.

L'essai dure environ une demie heure, on rajoute le lest nécessaire à l'essai suivant, et on recommence.

Du Centrage des Poux du ciel...par Philippe Balligand.Extrait du N° 35 (Juillet - Août 1997) " Les infos du constructeur " RSA BelgeLa causerie qui suit en plusieurs chapitres, n'a pas pour objet de raviver de vieilles blessures. Ceux qui connaissent un tant soit peu l'histoire de Mignet et de ses Poux savent que celle-ci est jalonnée de polémiques sur la stabilité longitudinale de la formule, et par là-même sur le centrage. Le sujet est donc historiquement sensible, pour ne pas dire tabou!

Non, les quelques considérations que j'expose ci-après sont motivées par la simple observation des faits, appuyées par mes propres expériences. Foin donc de spéculations gratuites, mais des faits, rien que des faits.

En outre, je ne désire pas asséner des vérités dogmatiques, mais bien ouvrir une tribune où toutes les opinions sont les bienvenues. Si parfois vous aurez malgré tout l'impression de devoir digérer des assertions brutales, c'est que je ne désire pas rentrer dans des démonstrations fastidieuses. N'hésitez pas à demander plus d'explications à l'éditeur si vous le désirez.

J'ai pu récolter un certain nombre de données et mener quelques essais sur mon propre appareil, mais ma documentation n'est certainement pas complète , ni mon HM 293 représentatif de toute la flotte, loin s'en faut. Aussi vos propres réflexions seraient hautement appréciées dans l'intérêt de tous.

Mais avant d'entrer dans le vif du sujet, il est bon de rappeler quelques notions fondamentales afin d'éclairer le lecteur peu habitué à les manipuler.

1- Stabilité et foyer aérodynamiqueSans nous appesantir trop lourdement sur le sujet, rappelons que la condition nécessaire et suffisante pour qu'un aéronef soit statiquement stable en vol est que son centre de gravité soit situé en avant d'un point bien particulier, le foyer aérodynamique (ou foyer tout court) global de l'appareil.

Le foyer est défini comme:"Le point par rapport auquel le moment de tangage est constant (et pas nul!), quelle que soit l'incidence".Ce moment constant étant d'ailleurs le moment à incidence de portance nulle (Ce moment, ou plutôt son coefficient réduit, est noté Cmo).

Une autre définition, corollaire de la précédente, est:"Le point où s'appliquent les variations de portance (et pas la portance elle-même!) quand varie l'incidence".C'est de cette deuxième définition que découle l'axiome de stabilité énoncé au début de ce chapitre.

Ce foyer est un point fixe (fig. 1. 1), pour un profil donné, quelle que soit l'incidence, du moins aux angles usuels (ceux auxquels nous volons).

Le foyer est souvent improprement assimilé au "centre de poussée": le centre de poussée est le point par rapport auquel le moment est nul, et donc est le point où s'applique la portance, c'est à dire tout ce que le foyer n'est pas... En outre le centre de poussée n'est pas un point fixe, ses excursions avec l'incidence peuvent être très fantaisistes suivant le profil considéré, et son interprétation rendue d'autant plus délicate.

Le seul cas où les notions de foyer et de centre de poussée se rejoignent, c'est dans le cas de profils symétriques: ces deux points sont alors confondus, vers les 25% de la corde.

Le centre de poussée ne présente de l'intérêt que pour ceux qui doivent calculer la structure des ailes; mais pour les études de stabilité, il ne présente aucun intérêt face au foyer. Aussi, nous l'oublierons définitivement et ne retiendrons plus que l'existence du foyer tel que défini ci-dessus.

Si vous tenez malgré tout à appliquer la portance quelque part, un second corollaire de la définition du foyer est que vous pouvez considérer que la portance s'applique effectivement au foyer, plus le moment constant Cmo (Fig. 1.2).

Mais où diable se trouve ce point miraculeusement fixe? Pour un profil isolé, sa position est donnée dans les tables de profil. Cela va de 23 à 28% suivant le profil choisi (en écoulement subsonique), en l'occurrence 25% pour les profils symétriques, 24% pour un NACA 23012, plutôt 26 à 28% pour les profils laminaires.

Ainsi donc, il suffirait de prendre une aile quelconque au profil performant et de positionner le centre de gravité (CG) en avant de ce fameux foyer pour obtenir une aile volante parfaitement stable ? Eh oui, mais l'équilibre obtenu ne sera pas celui que vous pensez, puisque votre aile volante se retrouverait effectivement en équilibre (stable) … sur le dos !

2- Stabilité et EquilibreJe ne vous ai encore parlé que de stabilité, sans présumer de l'équilibre. Voici encore deux notions bien souvent confondues. Tous les manuels scolaires décrivent pourtant bien qu'un équilibre peut être stable (pendule), indifférent (bille sur une table plane Horizontale) ou franchement instable (crayon sur sa pointe). Par contre, on imagine assez mal qu'on puisse assurer la stabilité sans s'occuper d'abord de l'équilibre; c'est pourtant ce que nous venons de faire. Grâce à la notion de foyer, on peut parfaitement se mettre en condition d'obtenir une condition de stabilité (CG en avant du foyer), et puis seulement chercher un équilibre, qui sera forcément stable. La distance du foyer à laquelle on place le CG s'appelle la marge statique.

Si l'aile volante créée ci-dessus a fait un demi-looping vers le bas, c'est parce qu'on y a utilisé un profil classique, dont le moment autour du foyer (constant, par définition) s'avère piqueur, et le CG placé encore plus en avant n'a évidemment rien arrangé (fig. 2. 1 )... C'est le lot de tous les profils classiques dont on attend des performances intéressantes.

Il faut donc un appendice cabreur à notre aile pour lui assurer l'équilibre que l'on souhaite (la stabilité étant assurée par le centrage, et lui seul). Il y a quatre moyens de créer ce couple cabreur de compensation, combinables entre eux (fig. 2.2):a) tirer par dessous: placer le moteur très bas. Mais confier son équilibre au moteur n'est pas vraiment une bonne idée...b) traîner par dessus: ajouter une forte traînée rien que pour l'équilibre n'est pas non plus une excellente idée, mais ça s'est fait.; c'est l'élytroplan (les papillons réglables au sommet d'une cabane haut perchée ressemblaient aux élytres d'un insecte).

c) porter par devant: c'est le canard.d) déporter par derrière: c'est l'avion on ne peut plus classique.

Nous voici donc avec un assemblage "aile + appendice" qui est stable (grâce au CG devant le

foyer) et équilibré à une assiette utilisable (grâce au compensateur cabreur).

Notez bien que je n'ai pas dit que dans un avion classique l'empennage est forcément déporteur. Nous verrons plus loin que, sous certaines conditions, un tel empennage peut être porteur.

Une variante à l'empennage arrière consiste à recourber le bord de fuite de notre aile pour créer le moment cabreur recherché. Vous aurez immédiatement reconnu les célèbres profils dits "auto-stables", tel l'affreux NACA 23012 modifié de l'aile arrière du HM 290, ou le NACA 23112 (fig. 2.3).

"Auto-stable" est un abus (le langage, car leur forme particulière n'apporte aucunement la stabilité (due uniquement à la position du CG en avant du foyer), mais bien l'équilibre,, à une assiette utilisable; leur appellation correcte serait donc plutôt auto-équilibré".

J'ai parlé jusqu'ici du foyer des profils isolés, dans un avion complet, chaque surface horizontale possède sont propre foyer (aile(s), empennage(s) et même fuselage que nous négligerons toutefois dans la suite). L'avion complet possède ainsi un foyer global avion, situé quelque part entre les différents foyers individuels cités plus haut.

Où est ce "quelque part"? Pour simplifier le raisonnement, considérons un assemblage aile + empennage, ou plus généralement surface avant + surface arrière, quelles que soient leurs proportions relatives (fig. 2.4):

Le plan avant :- a une surface Sav- possède un foyer Fav- ce foyer est situé à une distance XFav d'une référence quelconque (ici le bord d'attaque du plan avant).

Le plan arrière :- a une surface Sar

- possède un foyer Far- situé à une distance XFar de cette même référence.

Ce coefficient dépend du profil considéré (il y a des profils plus "raides" que d'autres), de la géométrie (l'allongement "raidit", au contraire la flèche "fléchit"), mais surtout de la déflexion de l'écoulement sur la surface arrière à cause de la surface avant (fig. 2.6): quand l'ensemble prend 1O° d'incidence, l'aile avant voit un peu plus que 10°, l'aile arrière n'en voit qu'environ 5°. Du seul fait de cette déflexion (downwash pour les anglo-saxons), le coefficient dCzar/da

de l'aile arrière est réduit de près de la moitié du dCzav/da de l'aile avant, toutes autres considérations mises à part (surfaces relatives, profil, allongement,... ).

Si l'on applique la formule ci-dessus à un avion tandem où les deux ailes seraient rigoureusement identiques (vous voyez où je veux en venir... ), on obtient que le foyer global F n'est pas juste à mi-chemin entre les deux foyers Fav et Far de chaque aile, mais nettement plus en avant (fig. 2.7). Si vous ne me croyez pas, il suffit de poser dans la formule Sav = Sar et dCzar/da = 1/2 * dCzav/da , et de faire un petit dessin.

Autrement dit, puisqu'il faut forcément placer le CG en avant du foyer global, vous comprendrez immédiatement que l'aile avant est forcément plus chargée que l'aile arrière. Notre critère de stabilité "CG en avant du foyer" revient à dire que "la charge portée par l'aile avant est forcément plus grande que celle portée par l'aile arrière, quand les deux ailes sont identiques ".

Sur un tandem aux ailes inégales, par exemple un Pou du ciel HM 293, ce raisonnement est toujours valable, à condition de remplacer la notion de charge absolue par celle de charge relative, c'est à dire la charge au mètre carré de surface. Notre critère devient donc:

"La charge alaire (au mètre carré) de l'aile avant est forcément plus élevée que celle de l'aile arrière, à cause du critère de stabilité (CG cri avant du foyer, lui-même plus près de l'aile

avant que de l'arrière)."

Rappelons encore que cet énoncé est vrai pour n'importe quelle formule, du canard au classique, en passant par toutes les formes intermédiaires de tandem, dont les Pou du Ciel.

Veuillez m'excuser d'avoir été si long à y arriver, mais il fallait que cet axiome soit parfaitement compris avant d'aborder la suite de nos réflexions. Car toute la suite va se jouer sur cet écart de charge alaire avant/arrière, plus exactement leur rapport.

En passant, vous aurez compris que si ajouter un empennage à une aile permet de créer le couple cabreur nécessaire à l'équilibre, il fait aussi reculer le foyer global de l'ensemble. On pourrait donc placer le CG suffisamment derrière le foyer de l'aile seule (mais toujours devant le foyer global), pour rendre l'empennage porteur (fig. 2.8).

L'une des conditions pour ce faire est d'avoir un empennage suffisamment grand, ou suffisamment loin derrière, sinon le recul du foyer global ne sera pas suffisant. C'est évident sur un canard: la surface arrière (qui est ici l'aile principale) est bien évidement porteuse. Evident encore sur un tandem (Pou du ciel): l'aile arrière est manifestement porteuse. Si vous réduisez encore la surface arrière (avion classique), vous pouvez encore rencontrer des empennages porteurs, pour autant qu'ils aient une surface suffisante (Rallye: Sempennage = 20% de Saile). La limite "porteur déporteur" dépends évidement de la marge statique, et du Cmo du profil de l'aile.

Signalons pour clore ce chapitre, et contenter les puristes, qu'il existe en fait plusieurs foyers: un foyer dit "manche libre", un autre dit "manche bloqué" et enfin un foyer dit "de manœuvre", selon que l'on calcule le foyer global en utilisant les coefficients dCz../da mesurés en laissant le manche libre, ou bien en le bloquant, ou bien en cours de manœuvre. Dans la suite, nous ne parlerons que du foyer manche bloqué, en principe le plus en avant des trois (donc le plus critique) dans le cas d'un Pou du Ciel piloté par l'aile avant (je ne m'étendrai pas sur les cas particuliers où ce serait le foyer manche libre qui serait le plus avant; cela ne change de toutes façons rien au raisonnement).

Et j'aurai tout dit des contraintes de centrages en mentionnant que s'il existe une limite arrière du CG pour raison de stabilité (pas plus loin que le foyer, avec une petite marge de sécurité), il existe aussi une limite avant, pour raison d'équilibre cette fois. En effet, plus avant est le CG, plus important devra être le couple cabreur apporté par notre appendice équilibrent,

jusqu'au décrochage de celui-ci-ci. En réalité, la limite avant est atteinte lorsqu'il reste tout juste assez de puissance à cabrer pour assurer un arrondi convenable à l'atterrissage.

3-Considérations sur les références de centrageDu temps du HM- 14, Henri Mignet donnait ses centrages en centimètres à compter du bord d'attaque de l'aile avant. C'était évidement incompatible avec les innombrables variantes de réglages d'une construction à l'autre, étant donné qu'une telle référence ne tient absolument pas compte des variations d'entreplan Horizontal suivant le poids du moteur utilisé ou du pilote.

En outre, cela ne facilitait guère les comparaisons entre différents appareils. Une rapide comparaison des centrages (les Poux d'époque (dans " 100 Poux du ciel par exemple) révèle de nombreuses versions apparemment sans lien logique. L'explication est évidement que les entreplans variaient d'une machine à l'autre, mais cela n'apparaît jamais clairement et ajoute à la confusion, voire au "mystère" entourant le centrage des Mignet (fig. 3. 1 ).

Dès après la Guerre, avec l'apparition du HM 290 apparaît une nouvelle méthode: désormais le centrage est exprimé en pourcentages de la corde totale, celle joignant le bord d'attaque de l'aile avant au bord de fuite de l'aile arrière.

Cette procédure se retrouve sur tous les Mignets d'après-guerre, et présente l'avantage de donner des valeurs fixes pour un modèle donné, quel que soit l'entreplan obtenu pour centrer la machine (fig. 3.2).

Or, nous savons désormais que le critère de stabilité impose une certaine répartitions des charges (c.à.d. du poids) entre l'aile avant et l'aile arrière, pour un modèle donné. On a vu que cela était dû à la nécessité de placer le CG à un endroit convenable par rapport au foyer global de l'avion, lui-même fonction des foyers individuels de chaque aile et de la géométrie des surfaces portantes.

Il est donc pertinent de mesurer la position du CG en proportion non pas de la corde totale, mais du segment joignant les foyers des deux ailes, soit les points situés à 25% de chacune des deux cordes (fig. 3.3).

Les méthodes "% de corde totale" et "% de C/4-C/4" sont-elles équivalentes? Une rapide règle de trois vous montre que non... sauf dans un cas particulier: lorsque le CG est précisément à 25% de la corde totale et que les cordes avant et arrière sont identiques. Alors le CG se trouve aussi à 25% de la corde C/4-C/4. Or il se fait que le centrage moyen du HM 293 est justement de 25%, et ses cordes sont identiques! Dans le cas de ce modèle particulier, la méthode de la corde totale est donc rigoureuse... par hasard.Dans tous les autres cas, compter la position du CG en % de la corde totale ne reflète pas rigoureusement le critère de stabilité quand varie l'entreplan. Prenons un exemple (fig. 3.4): soit un Pou aux ailes identiques de 1 m de corde, dont il faudrait placer le CG à 40% de C/4-C/4 pour assurer la stabilité.

Nous voyons sur la figure que pour un entreplan de 500 mm, le critère "40% de C/4-C/4" place le CG à 850 mm du bord d'attaque avant, soit 34% de la corde totale. Vous voyez tout de suite l'écart. Qui plus est, si l'entreplan est de 0 mm, les 40% de C/4-C/4 correspondent cette fois à 650 mm du b.a. avant, soit 32,5% de la corde totale, ce qui est encore différent. Et si le constructeur se contentait de respecter "34% de la corde totale" quel que soit l'entreplan, il se retrouverait , à entreplan nul, avec lui CG à... 43% de C/4-C/4, bien trop en arrière de la vraie limite de 40% C/4-C/4!

Si en plus vous considérez un Pou à cordes différentes (genre Balerit), l'inconvénient de la corde totale saute encore plus aux yeux. Vous comprenez donc que la corde totale n'est pas une bonne référence de centrage, mais qu'il faut utiliser le segment C/4-C/4. La corde totale est malgré tout une référence correcte dans le cas particulier où le centrage à respecter tourne autour des 25% et où les cordes av. et ar. sont identiques, mais nous verrons au chapitre suivant que pour comparer les centrages de différentes formules Mignet, il faut utiliser la seule référence correcte, à savoir le segment C/4-C/4. Dans la suite, je continuerai malgré tout à donner les valeurs de centrage dans les deux références, afin de permettre au lecteur de comparer avec ce qu'il connaît.

4- Comparons quelques Pou du cielA l'issue de l'étude qui précède, nous tenons tous les éléments indispensables à la comparaison de différents appareils, sur des bases rationnelles. Pour chacun d'eux, j'ai compilé les caractéristiques suivantes:

- Surface de l'aile avant (Sav);- Surface de l'aile arrière (Sar); et leur somme (Stot)

- Position du CG, rapportée au segment C/4-C/4;

Puis on calcule les paramètres suivants:

- Proportion du poids portée par l'aile avant;- Proportion du poids portée par l'aile arrière,- Charge alaire relative de l'aile avant (ch.al.avant/ch.al.globale);- Charge alaire relative de l'aile arrière (ch. al. arrière/ch. al. globale);

Et enfin, le paramètre instrument de notre comparaison:- Rapport des charges alaires avant/arrière (rapport des deux précédents).

J'ai chaque fois ajouté une vue en plan de l'appareil concerné, pour rendre les choses plus tangibles. Vous noterez en passant que ni l'entreplan ni les cordes n'apparaissent explicitement dans les paramètres pris en compte ci-dessus (ils sont en fait implicites dans la position du CG

donné en proportion du segment C/4-C/4, d'où l'intérêt de cette référence), ni le poids total de l'appareil (tout est donné en relatif.)

Les appareils dont j'ai pu trouver les caractérise font chacun l'objet d'une fiche reprenant les caractéristiques telles que définies plus haut, et dont la principale, le rapport des charges alaires av/ar, est reprise dans le tableau résumé qui suit:

Modèle Rapport Ch. Av/Ch. Ar

HM 290 2,1

HM 293 2,3

HM 360 2,1

HM 380 1,83

Croses CRIQUET Léger 1,3

Croses CRIQUET LC6 1,23

Landray VISA-POU 2,23

La principale constatation saute immédiatement aux yeux: les Croses sont centrés très nettement plus en arrière que les autres: leur aile avant a une charge relative seulement 1,3 fois plus élevée que l'arrière, alors que les autres voient leur aile avant supporter une charge alaire en gros 1,8 à 2,3 fois plus élevée que l'arrière.

Autrement dit, les Croses exploitent bien mieux leurs mètres carrés que les Mignets- de son côté, G. Landray a semble-t-il centré soit Visa-Pou comme un Mignet, alors que sa géométrie est très similaire au Criquet L. Bref, les HM comparés ici traînent des ailes arrières à peine utilisées (le HM 380 étant le meilleur du lot à ce point de vue).

Le Criquet L est-il pour autant instable? J'ai personnellement essayé cet appareil et trouvé qu'il ne présentait aucune tendance à l'engagement, La stabilité manche bloqué est toujours positive, jusqu'à la Vne (limitée, il est vrai, à 125 Km/h).

Alors? Pourquoi les Mignet de cette série sont-ils centrés aussi en avant? Mystère... Pour en avoir le cœur net, il fallait aller y voir. J'ai donc transformé mon HM 293 en cobaye et essayé d'y voir plus clair.

5- Des essais intéressants..Je vous le signale tout de suite: mon HM 293 n'a pas été construit en suivant les plans de R. Grunberg, inexistante à l'époque.

Il s'agit à la base d'un HM 293 "A", c'est à dire à envergure agrandis (6,1 / 4,8), avec fuselage allongé et plus "ventru" que le -290 (je mesure 1,85 m ... ), construit entre 1981 et 1990. Premier vol le 1er octobre 1990, une version train classique. Un an plus lard, j'entame un chantier de modification tricycle, qui durera... 3 ans, et revole dans cette nouvelle configuration (baptisée HM 293 "B") depuis novembre 1994. Equipé d'un moteur VW 1600, l'appareil a accumulé à ce jour près de 120 h de vol.

Avec ses 206 Kg à vide, il ne peut prétendre à l'ULM, aussi est-il classé en catégorie Avion (CNRA), ce qui me permet d'entretenir dessus ma licence de pilote privé, et de voyager où bon me semble sans tracasseries administratives.

D'autres caractéristiques particulières sont: le profil d'aile (le 3.40.1 3 des HM 360/380, sur les deux ailes), un trim de profondeur réglable an bord de fuite de l'aile avant, aucun volet à l'aile arrière et le centrage originellement réglé à 25% de la corde totale, résultant en un entreplan de 120mm.

Ainsi réglé, j'ai toujours trouvé le centrage trop avant, résultant notamment en une vitesse d'approche sensiblement élevée pour un appareil de 11,5 m2 et de ce poids, et à une difficulté d'arrondir correctement à l'atterrissage. Mais soit, puisque tel était le réglage préconisé par le concepteur...

La puce me vint à l'oreille alors que je dessinais mon nouveau train tricycle. Observez le train principal d'un Croses: il est très nettement plus en arrière que le train d'un Mignet, et l'aile arrière proportionnellement plus grande du Croses n'explique pas tout. Pour en avoir le cœur net, je compilai les données telles que je vous les ai livrées plus haut, me jurant de tirer cette affaire au clair.

Voyons voir: en centrant mon HM 293B à 25% de la corde totale (soit 25% aussi de C/4-C/4), l'aile avant porte relativement 2,3 fois plus que l'arrière. Sur le Criquet L, ce rapport n'est que de 1,3. Si je voulais appliquer ce même rapport à mon HM, il faudrait le centrer (tous calculs faits) à 37% de C/4-C/4, soit 31 % de la corde totale (pour l'entreplan de 120mm). Cela paraît exorbitant quand on parcourt la littérature HM, mais c'est pourtant bien ce qu'il faudrait faire si l'on veut faire travailler les ailes du HM aussi efficacement qu'un Criquet L.

Les règles les plus élémentaires de précaution en essais en vol imposent d'y aller progressivement. C'est ce que je fis, faisant varier le CG en lestant la queue de plaques d'acier, et retranchant autant d'essence pour conserver la masse totale. La géométrie de mou Pou est telle qu'il faut 4kg de lest dans la queue (et corrélativement 5,5 litres d'essence en moins) pour reculer le CG d'1% de la corde totale, ou 2% de C/4-C/4 (fig. 5.1) .

Le programme d'essais s'établit comme suit:1 ) On essaiera successivement des centrages plus arrières, par pas d'1 % C/4-C/4 à la fois, en lestant la queue et délestant le réservoir, tentativement jusqu'à une valeur de 37% C/4-C/4 (31 % corde totale, si l'entreplan est maintenu à 120mm).2) A chaque centrage, on évaluera le comportement de l'appareil en effectuant les manœuvres suivantes:

- Décollage: facilité de déjaugeage, tendance à sur-cabrer;- Montée: taux de montée à différentes vitesses, à position de gaz constante;- Stabilisation à 2000 ft/sol:* relevé de la vitesse Horizontale en fonction du régime moteur;* relevé du régime moteur minimum permettant le vol soutenu, et la vitesse correspondante- Manœuvres diverses pour évaluation du comportement:* virages de plus en plus serrés;* renversement de virages (45' à 45'), dans les deux sens;* échelons de command sur les deux axes: réponses de l'avion.- Descente parachutale (plein réduit): relevé des vitesses horizontales et verticales aux différentes positions de manche, de plus en plus arrière; caractéristiques du décrochage (si marqué).- Remontée à 2000 ft, et essai de survitesse: en tenant le sur-régime moteur à l'œil, stabiliser des vitesses de plus en plus élevées, par pas de 10 Km/h.Noter pour chacune:* la position du manche qui maintient cette vitesse;* toute tendance de l'avion à s'engager en piqué plus prononcé;* le sens de l'effort donné par le manche dans la main : tire ou pousse;* l'action au manche nécessaire pour passer au point suivant.Cet essai est mené jusqu'à la Vne, que j'ai fixée à 180 Km/h pour mon HM (Mignet est muet sur ce paramètre, je l'ai fixé moi-même pour être confortable en démonstration). C'est évidemment l'essai le plus délicat, il nécessite beaucoup de doigté et d'attention pour ne pas se laisser surprendre par les réactions de l'avion.- Atterrissage: comportement à l'arrondi.

L'essai dure environ une demie heure, on rajoute le lest nécessaire à l'essai suivant, et on recommence.

Pression relative / effective*

L'écart de pression par rapport à la pression atmosphérique s'appelle la pression relative. Elle peut être négative ou positive selon qu'une particule fluide est à une pression supérieure ou inférieure à la pression atmosphérique.

En conséquence, la pression relative de la pression atmosphérique est nulle.

Pression relative

Remarque : * les deux termes sont usités par différentes professions

Introduction

Contexte

Prenons l'exemple d'un bassin d'orages. Cet équipement est aujourd'hui très répandu parmi les infrastructures des collectivités pour recevoir les eaux pluviales issues d'orages violents.

Un bassin d'orages stocke l'eau avant rejet vers la station d'épuration, qui peut être momentanément saturée, et évite ainsi la pollution du milieu naturel.

On considère le bassin en état de stockage permanent ; sans nouvelle arrivée d'eau ni rejet.

Colonne d'eau

Si toute l'eau du bassin en tout point est soumise à la pression atmosphérique, en revanche la pression totale subie par une particule dépend de sa profondeur sous la surface libre.

Plus elle est située profondément dans l'eau plus la colonne d'eau qui est au-dessus d'elle est grande : le poids de cette colonne d'eau est proportionnel à sa hauteur et la particule subit ce poids.

Donc la contrainte de compression subie par une particule d'eau augmente avec sa profondeur, phénomène bien connu des plongeurs.

Bassin d'orage - colonne d'eau

Calcul de la pression en un point

La pression supplémentaire - c'est-à-dire en surplus de la pression atmosphérique - due au poids de la colonne d'eau située au dessus de la particule est proportionnelle :

← à la masse volumique du fluide,

← à l'accélération de la pesanteur,

← à la profondeur de la particule.

Pression hydrostatique

Normalité

Contrainte normale*La pression exercée sur une particule d'un fluide au repos** est une contrainte qui n'a pas de composante tangentielle.

Elle s'applique toujours perpendiculairement à la surface sur laquelle elle agit.

Ce qui est vrai au sein du fluide l'est aussi à ses frontières. Aux interfaces liquide/air et liquide/solide, les pressions sont normales aux interfaces.

Normalité de la pression - fluide au repos

Attention : A retenirLa pression dans un fluide au repos est toujours normale à la surface sur laquelle elle s'applique.

Isotropie

Définition : L'isotropie est une propriété qui signifie : identique dans toutes les directions de l'espace.

Liquide isotropeUn liquide au repos est isotrope pour ce qui concerne la pression. Cela signifie qu'en un point quelconque d'un fluide la pression en ce point est identique dans toutes les directions.

Schématisation

D'un point de vue schématique on peut représenter la pression en un point-particule comme une sphère dont le centre est le point représentant une particule et dont le rayon est l'intensité de la pression subie par la particule.

Dans ce schéma la contrainte de pression est dite « sphérique ».

Représentation de l'isotropie de la pression

Liquide en mouvement

ContextePrenons l'exemple d'une canalisation totalement remplie d'eau. L'eau s'écoule dans la canalisation, de manière stable et permanente.

Pression et écoulementL'écoulement complique l'identification de la pression en tout point-particule. La pression subie par une particule dépend encore du poids de l'eau située au dessus d'elle, mais elle dépend également,

← de sa vitesse durant son déplacement lors de l'écoulement,

← de son altitude

← de ses frottements sur les particules voisines ou avec les parois de la canalisation*.

Inclinaison de la pressionContrairement aux fluides au repos, les fluides en mouvement engendrent des frottements sur eux-mêmes qui induisent des contraintes de cisaillement. De fait la pression n'est pas normale aux surfaces de contact.

AnisotropieContrairement aux liquides aux repos, les particules des fluides en mouvement subissent une pression qui varie selon l'orientation. Cela est due à la viscosité du fluide.

Seul un liquide sans viscosité** permettrait à la pression d'être isotrope lors d'un écoulement.

Remarque : * l'identification de la pression en tout point d'un fluide en écoulement nécessite d'utiliser le théorème de Bernoulli généralisé.

** cas du fluide parfait : un fluide parfait est un fluide théorique d'un fluidité parfaite, c'est-à-dire sans viscosité.

géométrique- monde en 3 dimensions (Applicable à tous les facteurs suivant)

Forces et effet:- Gravité- vent- force de coriolis (rotation de la terre... ?)- masse du projectile- coéfficient Cx (forme simple de projectiles, une dizaine prédéfinis)

Météo:- les frottements de l'air- la pression atmosphérique- la température- l'hygrométrieformule donnant (supposé deux axes X et Y) la distance totale parcouru:d=(v²/g) x Sin2A

d = Distance parcouru (m)v = vitesse projectil (m/s)g = accélération terrestre (m/s²)A = angle par rapport à l'horizontal (en degré ?)

formule de la résistance de l'air en fonction de la vitesse²R =1/2 . p . Cx . S . V²

R = résistance de l'air (unité ?)p = masse volumique de l'air (Kg/m³ ?)S = section droite perpendiculaire au mouvement (m²)Cx = le coefficient de résistance aérodynamiqueVoici donc une liste des facteurs principaux qui définissent la trajectoire d'une balle:

- L’effet de la température de la munition sur la vitesse à la bouche du canon- Les effets du coefficient balistique sur le vol de la balle- Les effets du tir vers le haut ou en descendant- L’effet de la rotation de notre planète bleue sur le vol de la balle- L’effet du vent sur le vol de la balle- L’effet de la dérive sur le vol de la balle- Les éléments de la dispersion- L’effet de la pression barométrique sur le vol de la balle- L’effet de la température de l’air sur le vol de la balle- L’effet de l’humidité relative (rhésus) sur le vol de la balle

Il ne reste plus qu'a prendre élément par élément, et a fusionner leur formules en une seul.

Pourquoi en une formule ?Le serveur contient une planète virtuel (gravité, rotation) avec météo complète (modélisation des vents, température, pression atmosphérique, hygrométrie, modélisation des couches atmosphérique jusqu’à la mésosphère).Bien entendu, ces facteurs représente une quantité de donnée colossale à gérer. En réalité, ces données ne s'applique qu'une fois par "secteur" de dimension importante:==> un secteur = 10km * 10km * 10km, soit 1000km³==> calcul jusqu’à la mésosphère (120km d'altitude), soit 62.336.226 Blocs à gérer==> info: 62.336.226 Blocs, ça fait ~357 Mo en Ram, comme ceci:---------> vitesse des vents: 2 octets (512 valeurs)

---------> direction des vents: 1 octets (256 valeurs)---------> température: 1 octet (256 valeurs)---------> pression atm: 1 octet (256 valeurs)---------> hygrométrie: 1 octet (256 valeurs)(j'oublie peut être des données)

De ce fait, lors de la trajectoire d'un projectile longue distance (ce qui rapportera le plus de point), ce dernier va passer de secteur en secteur, et sera donc influencépar chacun d'eux en temps réel. (les données de chaque secteur change toutes les 15 secondes, dans une logique météorologique continu)

Il doit donc avoir, en tout moment, la formulation complète pour réagir au nouveau secteur qu'il rencontrera, et définir sa trajectoire. Voila formule donnant (supposé deux axes X et Y) la distance totale parcouru:d=(v²/g) x Sin2A

d = Distance parcouru (m)v = vitesse projectil (m/s)g = accélération terrestre (m/s²)A = angle par rapport à l'horizontal (en degré ?)

formule de la résistance de l'air en fonction de la vitesse²R =1/2 . p . Cx . S . V²

R = résistance de l'air (unité ?)p = masse volumique de l'air (Kg/m³ ?)S = section droite perpendiculaire au mouvement (m²)

Cx = le coefficient de résistance aérodynamiqueDéviation vers l'estUn article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.(Redirigé depuis Formule de la déviation vers l'est)Aller à : navigation, rechercherLa déviation vers l'est est un phénomène physique correspondant au fait qu'un corps en chute libre ne suit pas exactement la direction de la pesanteur, mais est légèrement dévié vers l'est par la force de Coriolis résultant de la rotation de la Terre. Ce phénomène a été mis en évidence par Ferdinand Reich en 1833. Reich fit tomber des projectiles dans un puits de 158 m de profondeur à Freiberg (Saxe). Il observa une déviation de 28 mm vers l'est.

Sommaire[masquer]

1 Histoire 2 Expression 3 Formule de déviation vers l'est

o 3.1 Équation rigoureuse o 3.2 Approximation du premier ordre

4 Compléments 5 Bibliographie 6 Voir aussi 7 Lien externe

Histoire[modifier | modifier le code]

Huygens (1629-1695), qui était sur la piste de la force de Coriolis avec sa théorie de la relativité totale, n'a pas fait le poids face à Isaac Newton et ses notions de temps et d'espace absolu. Ce dernier étouffa par la monumentalité de son œuvre toute tentative relativiste, et il ne voulait pas manier les forces d'inertie. La force de Coriolis (1792-1843) ne sera énoncée que tardivement au XIX e siècle .

Newton a fait la démonstration de la déviation vers l'est en 1679 dans le référentiel « absolu » géocentrique. Pour faire simple, prenons le cas équatorial. Il remarque, mais il n'était pas le premier à le faire, que le point A avait une vitesse ω·(R + h), soit une vitesse plus grande que la vitesse du point O situé sur le sol à la verticale descendante de A. Cette différence de vitesse correspond à une petite vitesse vers l'est de ω·h, donc la déviation est vers l'Est. Elle est donnée par 2/3 ω·h·T0, où T0 est le temps de chute.

Expression[modifier | modifier le code]

La déviation vers l'est est un cas particulier de la force de Coriolis appliquée à un corps en chute dans l'atmosphère de la Terre, dont la formule est donnée par :

où :

est la force d'inertie de Coriolis; est la masse du corps en chute;

est le vecteur vitesse angulaire instantanée de rotation de la Terre; la vitesse instantanée du corps.

Le vecteur étant parallèle à l'axe de rotation de la Terre, dirigé vers le nord, et orienté vers le centre de la Terre, le produit vectoriel résultant est orienté vers l'est (une fois inversé). Cette force dépend de la latitude de l'objet, sa masse et sa vitesse de chute.

Le calcul de cette force nécessite la résolution d'une équation différentielle qui n'a pas de solution mathématique rigoureuse. Il faut alors trouver une solution approchée à l'aide de la méthode perturbative : dans un premier temps, on résout l'équation sans la force de Coriolis, puis on rajoute une force de Coriolis dérivant de la solution précédente, et ainsi de suite. La convergence vers la bonne solution est alors très rapide : 3 itérations du procédé suffisent largement.

Formule de déviation vers l'est[modifier | modifier le code]

La formule de déviation vers l'est est une forme simplifiée de la représentation vectorielle qui permet de calculer la déviation vers l'est d'un corps en chute libre dans l'atmosphère terrestre; cette déviation est une conséquence de la Force de Coriolis qui apparait dans les équations, car la terre en rotation sur elle-même n'est pas un repère galiléen. Cette déviation est maximale à l'équateur et nulle aux pôles.

La longueur de cette déviation est donnée par la formule approchée :

où :

représente la vitesse angulaire de rotation de la terre,

est le temps de la chute, h est la hauteur de la chute,

la latitude à laquelle est effectuée l'expérience (0 à l'équateur, aux pôles).

Équation rigoureuse[modifier | modifier le code]

On part de la représentation vectorielle de la force de Coriolis, et on remplace le vecteur vitesse par la dérivée du vecteur position :

où :

est parallèle à l'axe de rotation de la Terre, orienté vers le nord; A est le point d'origine, référentiel tournant lié à la surface de la Terre.

Le principe fondamental de la dynamique permet d'écrire l'accélération comme somme de la force d'attraction de la Terre et de la force de Coriolis :

où est dirigé selon la verticale descendante.

On intègre une fois pour trouver la vitesse :

la vitesse initiale étant nulle.

On intègre à nouveau pour obtenir la position du corps en fonction du temps :

où la déviation est donnée par : (car A est l'origine).

Approximation du premier ordre[modifier | modifier le code]

La déviation vers l'est étant petite devant la déviation due à la pesanteur, on prend comme approximation :

d'où le résultat :

qui est valide si D est petit devant h, c’est-à-dire pour T0 (temps de chute) petit devant T = 86 164 s (période sidérale) :

soit, en valeur absolue :

Compléments[modifier | modifier le code]

Un autre terme, encore plus faible, donne une déviation vers le sud dans l'hémisphère nord,

et vers le nord dans l'hémisphère sud : il vaut . Une grande question que se posaient les théoriciens : en réduisant la terre à un point

massique central, quelle serait la déviation sur une chute de R = 6 400 km ? En utilisant l'ellipse de Kepler, on trouve : D = paramètre de l'ellipse = R·(1/17)2 = R/289 soit environ 22 kilomètres.

On peut remarquer la parenté de l'équation de la force de Coriolis avec celle de l'effet Hall en électricité.

Force de traînée:F = (1/2).Rho(air).Cx.S.v²ouk = (1/2).Rho(air).Cx.S source

De manière générale:F = -k2.v²source

Je me suis rendu compte que densité de l'air était fonction de l'humidité, de la température et de la pression de l'air...(tout ce que j'avais homis d'inclure ^^) Donc si j'inclus cela dans mes calculs, il faudra tenir compte de cette formulation:

source

Ces formules tiennent compte de:

t en secm en kgg en m/s²V0 en m/sk en kg.s-1

k2 en N.s²/m²S (maître-couple) en m²Rho(air) (masse volumique de l'air) en kg/m³ (j'imagine)

Humidité relativetempérature en °Cpression en Pa

NB sur le jeu:Le but du jeu est d'avoir un système qui se joue en alliant à la fois de l'aléatoire (météo) à l'expérience/intuition du joueur.La combinaison des deux offriront une expérience non linéaire au joueur, un tir n'étant de ce fait jamais un autre...Si par exemple vous jouez bien, vous gagnerez de l'argent virtuel pour acheter, par exemple, une station météo.Grace à cette investissement, votre appareil de calcul-trajectoire aura des données supplémentaires, et vos tir seront plus précis.Avec à la clé, bien entendu, des tirs possible sur une plus grande distance... les facteurs principaux influençant la trajectoire d’une balle, en temps réel, sont :

L’effet de la température de la munition sur la vitesse à la bouche du canon ;

Les effets du coefficient balistique sur le vol de la balle ;

Les effets du tir vers le haut ou en descendant ;

L’effet de la rotation de notre planète bleue sur le vol de la balle ;

L’effet du vent sur le vol de la balle ;

L’effet de la dérive sur le vol de la balle ;

Les éléments de la dispersion ;

L’effet de la pression barométrique sur le vol de la balle ;

L’effet de la température de l’air sur le vol de la balle ;

L’effet de l’humidité relative (rhésus) sur le vol de la balle.

1 ) L’effet de la température de la munition sur la vitesse à la bouche du canon

Comme chacun le sait, la vitesse initiale d'une balle est un facteur d'importance fondamentale qui détermine sa trajectoire. Par conséquent, il est nécessaire pour le tireur de connaître la vitesse de la balle afin de savoir ou viser et comment ajuster son tir. La meilleure évaluation de la vitesse est

obtenue en effectuant des mesures minutieuses avec les munitions destinées à l’arme et de préférence, approximativement, à la température habituelle d’utilisation de ces munitions mais il existe des tables qui en sont en général mises à dispositions des tireurs par les firmes qui fabriquent les balles ou les ogives. En fait, il y a deux types de facteurs, aléatoires et systématiques, qui déterminent la vitesse de la balle pour n’importe quel tir. Un certain nombre de facteurs aléatoires inévitables, d’un tir à l’autre (entre tirs), entraînent une variation de la vitesse initiale et affectent le mouvement propre du projectile de manière imprévisible. Le tireur réduira donc au minimum cette variation aléatoire par le choix des munitions qui auront démontré leur régularité et leur groupement au cours des mesures rigoureuses de vitesse. D’où, la nécessité de l’obtention de la stabilité du rechargement. Tous les tireurs avisés le savent.

2) Les effets du coefficient balistique sur le vol de la balle

Le coefficient balistique d'une balle est la mesure de sa capacité à se déplacer dans l'air avec une résistance minimale. Cette résistance s'appelle la traînée aérodynamique, et son effet le plus significatif est de réduire la vitesse de la balle et d’augmenter de ce fait son temps de vol. Une augmentation du temps de vol augmente la chute verticale de la balle par rapport à sa ligne originale de départ, et donc elle augmente également la correction verticale ou l'ajustement exigé pour atteindre des cibles à différentes distances. Un autre résultat important de la traînée aérodynamique est qu'elle rend la balle susceptible de débattement au vent, qui est un changement horizontal de la direction dans la trajectoire de la balle, provoqué par le vent soufflant par le travers de la ligne de visée. Contrairement à ce que beaucoup de gens supposent, l'effet du vent de travers sur le chemin de la balle ne dépend pas principalement du temps de vol de la balle, mais de la durée pendant laquelle la balle est retardée dans sa trajectoire vers la cible par la traînée aérodynamique. N'importe quelle augmentation du coefficient balistique de la balle tend à réduire ce temps de retard, et il peut en être ainsi quoique le gain en coefficient balistique soit réalisé aux dépens d'une vitesse inférieure et d'un plus long temps de vol.

L'exemple suivant illustrera ce point.

Considérons d'abord une charge de calibre .308 qui se compose d'une balle de 150 grains ayant un coefficient balistique de C1=.400, avec une vitesse initiale de 2850 fps (868 m/S). Nous pouvons calculer que son temps de vol à 700 yards (640 m), par exemple, est environ 1,027 secondes, et que son débattement au vent dans un vent latéral de 10-mph(16 km/h ) serait environ 51 pouces (1.29 m.)

Comparons maintenant cette charge de calibre.308 à la précédente en utilisant une balle de 180 grains de forme semblable, qui aurait un coefficient balistique d’environ C1=.480. La vitesse initiale possible avec la balle plus lourde et une pression de chambre comparable serait seulement environ 2600 fps (792 m/S) et le temps du vol à 700 yards (640 m) serait grimpé jusqu'à 1,070 secondes. Néanmoins, le débattement au vent serait réduit réellement d’environ dix pour cent, de 51 pouces (1.29 m) à 46 pouces (1,16 m) à 700 yards (640 m), ceci étant dû au coefficient balistique plus élevé de la balle de 180-grains.

Les coefficients balistiques des balles sportives commerciales sont presque invariablement basés sur la comparaison avec " le projectile G1 standard " de référence qui a un diamètre et un poids indiqués, et une forme particulière. Un coefficient balistique basé sur la forme du projectile G1 est correctement identifié en tant que " C1 " pour le distinguer d'autres coefficients balistiques possibles tels que " C5 ", " C6", " C7", …

La plupart des fabricants des balles sportives commerciales de fusil fourniront les valeurs (C1) des coefficients balistiques de leurs balles sur demande, et plusieurs fabricants incluent cette information dans les manuels de rechargement qu'ils éditent. A titre d’exemple, SIERRA, liste plusieurs

coefficients balistiques C1 différents pour chaque balle, chaque coefficient balistique étant prévu pour s'appliquer à des plages différentes de vitesse.

3) Les effets du tir vers le haut ou en descendant

La chute verticale d'une balle au-dessous de sa ligne du départ est pratiquement identique si la cible est en dénivelée positive ou négative (ascendante, ou descendante) ou au même niveau que l’arme. Cela n'implique pas, cependant, que l'ajustement de visée ou la correction exigée pour atteindre une cible à n'importe quelle distance soient inchangés par la pente de la ligne arme-cible. La raison de cette contradiction apparente est que les effets d'une correction ou d'un ajustement d'altitude de la visée sont dans un plan perpendiculaire à la ligne de visée, qui, dans le cas d’un tir avec dénivelée (ascendant ou d’un tir incliné), ne sont pas identiques à ceux effectués dans le plan vertical dans lequel la chute de la balle est mesurée. La raison pour laquelle nous devons tenir compte de la pente de la ligne de arme-cible est illustrée dans les exemples suivants. Supposons que nous tirions une balle de 180-grains de calibre 30 ayant un coefficient balistique de C1=.450 et une vitesse de sortie de 2600 fps (792 m/S), dans les conditions atmosphériques standards du niveau de la mer et nous avons réglé l’arme à 200 yards (182 m). Supposons maintenant que nous souhaitions tirer dans le noir d’une grande cible verticale à 700 yards (640 m) située au même niveau que l’arme. Nous pouvons calculer que, si nous devions tirer avec les réglages de tir prévus pour 200 yards(182 m), la balle se positionnerait environ 147 pouces (3,73 m) plus bas que le point visé sur la cible verticale. Par conséquent, pour tirer dans le noir nous devons (1) déplacer la cible de 147 pouces (3,73 m) vers le haut ou (2) procéder à une correction d’environ 21 MoA (147/7). Supposons maintenant que toutes les conditions soient identiques à celles décrites ci-dessus sauf que la grande cible verticale est sur un terrain plus élevé faisant un angle ascendant de 30 degrés. Puisque la chute verticale de la balle est identique, la balle atteindra la cible verticale à un point situé à 147 pouces (3,73 m) au-dessous du noir si nous tirons avec le réglage d’origine. Cependant, comme nous regardons la cible vers le haut suivant un angle de 30-degrés, la ligne verticale entre l’impact et le centre de la cible semblera être moins important que 147 pouces en raison de l'angle sous lequel nous avons visé (je vous invite également à relire mon article précédent sur le sujet). Nous pouvons calculer par la trigonométrie qu'une ligne verticale de 147 (3,73 m) pouces de long semblerait mesurer seulement environ 127 pouces (3,25 m) (147*cos 30o) lorsqu’elle est vue d'un endroit situé à 30 degrés plus bas. Par conséquent, nous pourrions être dans le noir de la cible(1) en visant 127 pouces plus haut ou (2) par une correction d’élévation d’environ 18 moa (127/7)) de notre visée. Par un raisonnement identique, nous pouvons voir qu'une ligne verticale de 147-pouces (3,73 m) semblerait mesurer environ 127 pouces (3,25 m) de long une fois vue à 30 degrés au-dessus de la cible aussi bien qu’à 30 degrés en-dessous, et donc la même d’élévation doit être faite dans l'un ou l'autre cas.

Tableau sniper pour les paramètres d'inclinaison en fonction de la distance à la cible pour du .308 win en 168 grains

4 ) L’effet de la rotation de notre planète bleue sur le vol de la balle Souvenez-vous de votre cours de mécanique rationnelle : l'effet de Coriolis sur la trajectoire d'un projectile est une conséquence de la rotation de la terre et du fait que la surface de la terre soit courbée plutôt que plate. L'importance et la direction de l'effet de Coriolis dépendent de la situation de l’arme (sa latitude) et de la direction horizontale (azimut) selon laquelle l’arme est orientée. L'effet de Coriolis est si petit par rapport à d'autres effets sur le chemin du projectile qu'on ne le prend pas en compte d'habitude excepté dans le cas de tirs d'artillerie à longue portée. Il sera donc considéré comme négligeable. 5) L’effet du vent sur le vol de la balle L'effet le plus important du vent sur le vol de la balle est de changer sa direction horizontale. Pour engager des cibles à grande distance, le tireur doit apprendre à estimer les paramètres de la vitesse de vent. La vitesse et la direction du vent peuvent être mesurées par les instruments appropriés, ou être estimées par les observateurs expérimentés à partir des signes tels que le mouvement des feuilles et de l'herbe. Les drapeaux de vent et d'autres indicateurs sont placés à différentes distances pendant la durée de certaines compétitions pour faciliter l’estimation des effets du vent. Le débattement (angle dans le plan horizontal ) dû au vent dépend de son orientation. Un vent de10-mph soufflant de 3 heures ou de 9 heures a une résultante de 10 mph (16 km/h). Les vents 10 mph de 2, 4, 8 ou 10 heures ont une résultante d'environ 8,7 mph (14 km/h), alors que les vents de 1, 5, 7 ou 11 heures ont une résultante de 5,0 mph (8 km/h) Les vents soufflant de 6 ou 12 heures n'ont aucune influence. La vitesse et la direction de vent ne sont pratiquement jamais uniformes tout au long de la trajectoire (distance de l’arme à la cible), et ainsi le tireur en estimant l’influence du vent doit décider de concentrer son attention sur le vent près de l’arme ou sur le vent le plus proche la cible. La réponse est que les conditions de vent près de l’arme ont un effet beaucoup plus grand que les conditions près de la cible. Deux exemples hypothétiques illustreront ce point. Pour les deux exemples, supposons que nous tirions une balle de calibre 30 de 150-grains ayant un coefficient balistique de C1=.400 et une vitesse de bouche de 2800 fps (853 m/S), vers une cible à 500 yards (457 m). Pour le premier exemple, supposons qu'un vent 10-mph parfaitement uniforme souffle de 9 heures à travers les 100 premiers yards (91,4 m), et qu'il n'y ait aucun vent entre 100 yards (91,4mètres) et 500 yards (457m). Considérons maintenant la situation quand la balle a atteint 100 yards (91,4m).

Nous voyons que le débattement du vent est d’environ 0,8 pouces (2.03cm), ce qui signifie que la balle est maintenant 0,8 pouces (2.03 cm) à droite de la ligne de visée, mais également que sa trajectoire est déviée vers la droite sous un angle de 1,6 MoA environ. Sans subir davantage l'influence du vent pendant la distance restante de 400-yards, la trajectoire dans le plan horizontal sera droite, mais l'angle horizontal de 1,6 MoA acquis à 100 yards la portera à 6,4 pouces (16.2 cm) plus à droite de la ligne de visée, pour un effet total de débattement du vent de 7,2 pouces (18 cm) à 500 yards. Pour le deuxième exemple, supposons que les conditions de vent de l’arme jusqu’à 400 yards sont parfaitement calmes, mais qu’un vent de 10-mph (16 km/h) souffle en rafales à 9 heures de 400 à 500 yards. La direction horizontale de la balle demeure orientée sur la cible dans la zone calme jusqu’à 400 yards, où sa vitesse restante est 1959fps (597m/S) environ, quand elle rencontre soudainement le vent latéral à 10-mph (16 km/h). Le vol de la balle entre 400 et 500 yards sera identique à celui d'une balle tirée de la même façon vers une cible situé à 100 yards avec une vitesse de bouche 1959fps (597m/S), pour laquelle nous constatons que le débattement de vent serait environ 1,3 pouces (3.3 cm). Vous pouvez faire des simulations par le biais de mon article sur les logiciels de simulation.

Tableau comparatif de 3 calibres dans un vent de 10 MPH et en fonction de la distance de tir

Tableau des compensations pour une inclinaison de 45° en MOA et pour une lunette à 1/4 MOA pour du .308 en 168 gr

6) L’effet de la dérive sur le vol de la balle La dérive est un des phénomènes qui contribuent à la déviation horizontale d'une balle (stabilisée par sa rotation) dans le plan vertical de sa ligne du départ. La dérive est une conséquence fortuite du mouvement gyroscopique, qui elle-même est essentielle pour l'exécution satisfaisante de la trajectoire du projectile (balle stabilisée par sa rotation) .Ce sont les contraintes exercées par l’air qui

forcent l'axe d'un projectile à changer constamment sa direction pendant que la trajectoire s’oriente vers le bas, de sorte que le projectile pointe vers l'avant avec son axe presque parallèle à la direction dans laquelle il se déplace. Le calcul de la dérive est relativement compliqué et puisque la contribution entière de la dérive à la déviation horizontale de la trajectoire est relativement petite, nous considèrerons ce paramètre comme négligeable. 7) Les éléments de la dispersion Dans la description de la répartition des impacts sur une cible, la dispersion (l’inverse du groupement) se rapporte à la dispersion des projectiles autour du centre du point visé. Une petite dispersion est synonyme de ce qui s'appelle généralement la bonne précision et une grande dispersion est synonyme de ce qui s'appelle généralement précision faible. Les causes de la dispersion sont parfois divisées en deux classes. La première, qui peut s'appeler l'erreur de visée se rapporte à des erreurs dans la direction dans laquelle l’arme était alignée lors du départ du coup . La seconde, qui peut s'appeler la dispersion balistique, se rapporte à des déviations de la balle de son chemin prévu vers la cible après qu'elle ait quitté l’arme. La dispersion balistique dépend principalement de la qualité du fusil et des munitions. Si le tireur peut faire des groupements d’une manière satisfaisante avec de petits projectiles aux distances courtes telles que 100 yards ou 100 mètres, cela tient à la qualité du fusil et aux propriétés qui déterminent la qualité des munitions. Les performances du système arme/munitions ne peuvent pas être transposées aux longues distances à partir des groupements obtenus aux courtes distances, parce que la dispersion verticale aux longues distances dépend très fortement de la variation de la vitesse initiale entre chaque tir, tandis que l'exactitude à courte portée est souvent tout à fait peu sensible à ces variations de vitesse. Considérant que la dispersion balistique dépend de la qualité du fusil et des munitions, l'erreur de visée dépend de la compétence du tireur et des possibilités du système optique. Les informations sur les conditions d’environnement doivent être fournies par le tireur ou par son observateur. Les divers éléments de cette information sont plus ou moins importants, selon / en fonction de la distance de la cible et de l'importance relative de l'effet de chaque élément de la trajectoire. La vitesse initiale, le coefficient balistique, la distance, les conditions de vent et la vitesse de la cible (dans le cas d'une cible mobile) ont des effets relativement grands tout au long de la trajectoire depuis l’arme jusqu’à la cible et doivent donc être connus le plus exactement. On doit reconnaître que ni l'erreur de visée ni la dispersion balistique ne peuvent jamais être réduites à zéro, et donc si une cible est atteinte par le projectile ceci est une question de probabilités, selon la taille de la cible, la compétence du tireur et l’exactitude des informations. 8) L’effet de la pression barométrique sur le vol de la balle La pression barométrique affecte les performances d'une balle parce qu'elle affecte la densité de l'air dans lequel la balle doit voyager. La pression barométrique dépend principalement de l'altitude, et à un degré beaucoup moindre des variations dans l'atmosphère qui produisent les hautes et les basses pressions barométriques que nous entendons dans les prévisions météorologiques. Une fois de plus, je ne peux que vous renvoyer à mon article sur les logiciels de simulation. 9) L’effet de la température de l’air sur le vol de la balle La température de l'air affecte la traînée aérodynamique (" résistance de l'air ") produite par la balle dans son vol.. Il y a deux raisons à ceci. La première et plus importante raison est que l'air froid est plus dense que l’air chaud. La deuxième raison est que la vitesse du son est inférieure en air froid à la vitesse du son en air chaud. La première raison est plus facilement comprise. La plupart des personnes savent probablement que presque toutes les substances se contractent et deviennent plus denses lorsqu’elles sont refroidies, et donc que l'air froid est plus dense qu'un air plus chaud. Plus le milieu dans lequel un corps passe est dense, plus l'énergie dépensée par le corps pendant sa traversée est importante et plus la vitesse chute. La deuxième raison n'est pas intuitivement évidente, mais c'est un fait que l'air froid offre une plus grande résistance au passage d'une balle - particulièrement une balle supersonique - parce que la vitesse du son est inférieure en air froid à celle d’un air plus chaud. Une complète explication de ce phénomène serait trop conséquente pour être incluse ici, mais c'est un fait que la force de la traînée

aérodynamique sur un corps rapide dépend du prétendu " rapport de Mach " qui est le rapport de la vitesse du corps mobile à la vitesse du son. Puisque la vitesse du son est inférieure en air froid, le « rapport de Mach » pour une balle à n'importe quelle vitesse particulière est également plus haut en air froid, et la force de la traînée aérodynamique est donc plus grande. 10) L’effet de l’humidité relative (rhésus) sur le vol de la balle L'humidité relative affecte les performances d’une balle parce qu'elle affecte la densité de l'air dans lequel la balle vole. Contrairement à ce que beaucoup de gens supposent, l’air humide est moins dense que l'air sec dans les mêmes conditions de température et de pression barométrique, parce que le poids moléculaire de l'eau est moins grand que les poids moléculaires des principaux gaz (azote et oxygène) qui composent notre atmosphère. L'effet de l'humidité sur les performances des balles est petit par rapport à d'autres facteurs influents .L'humidité relative a un plus grand effet sur la densité d'air à température élevée qu'à basse température, mais même à 90° F(32°C), la différence de densité entre l'air complètement sec et l'air complètement saturé est seulement de 0,1%. Pour une balle type de 150-grains en calibre 30 ayant un coefficient balistique de C1=.400 et une vitesse de bouche de 2800 fps (853 m/S), la différence de vitesse à 1000 yards (914 mètres) est environ 14 fps (4,2 m/S), et la différence dans la chute de la balle est environ six pouces (15 cm). Abaque des snipers reprenant les paramètres du vent, d'inclinaison et clics de lunette à mettre pour la correction du tir

Exemple de tableau issu d'un logiciel de simulation de tir tenant compte des paramètres propres à la situation du terrain